南开中学高2010级高三5月月考试卷数学文科
天津南开中学高三第五次月考数学(文)试卷
天津南开中学2016届高三第五次月考数 学(文史类)本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分，共40分一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）复数212ii+-等于 A ．i B ．i - C. 1D .1-（2）已知命题p ：若a b >，则22a b >；q ：“1x ≤”是“2230x x +-≤”的必要不充 分条件，则下列命题是真命题的是A ．p q ∧B .p q ⌝∧ C.p q ⌝∧⌝ D.p q ∧⌝（3）记集合22{(,)|16}A x y x y =+≤，集合{(,)|40,(,)}B x y x y x y A =+-≤∈表 示的平面区域分别为12,ΩΩ.若在区域1Ω内任取一点(,)P x y ，则点P 落在区域2Ω中的 概率为A ．24ππ- B ．324ππ+C ．24ππ+ D ．324ππ-（4）运行如下图所示的程序，则输出的结果为A ．7B ．9C ．10D ．11（5）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积 为A ．π+B ．2π+C ．2π+D ．π+（6）已知函数sin 2y x x =-，下列结论正确的个数是 ①图象关于12x π=-对称②函数在[0，2π]上的最大值为2 ③函数图象向左平移6π个单位后为奇函数 A ．0B ．1C ．2D ．3（7）已知定义在R 上的函数2()1|1()|f x x m =---关于y 轴对称，记(2),a f m =+1251(log ),()2b fc f e ==则,,a b c 的大小关系是A ．c a b <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．a b c <<（8）已知函数||()2x f x x =+，若关于x 的方程2()f x kx =有4个不同的实数解，则k 的取值范围是 A ．1k >B ．1k ≥C ．01k <<D ．01k <≤天津南开中学2016届高三第五次月考数 学(文史类)第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2017届天津市南开中学高三第五次月考数学(文)试题(解析版)
2017届天津市南开中学高三第五次月考数学（文）试题一、选择题1．复数z 满足: ()()25z i i --=，则z =（ ） A. 22i -- B. 22i -+ C. 22i - D. 22i + 【答案】D【解析】试题分析：因为()()25z i i --=，所以【考点】复数的运算2．函数()log f x x x=-+21的零点所在区间是（ ）（A ）()0,1 （B ）()1,2 （C ）()2,3 （D ）()3,4 【答案】B【解析】试题分析：不难知，当x ＞0时f （x ）为增函数，且f （1）＝－1＜0，f （2）＝－12＋1＝12＞0所以零点一定在（1，2）内.选B 【考点】函数的零点3．若0.30.33,log 3,log a b c e π===，则（ ）A. a b c >>B. b a c >>C. c a b >>D. b c a >> 【答案】A【解析】因为00.31,1e <，所以0.3l o g 0c e =<，由于.30.3031,130l o g 31a b ππ>⇒=><<⇒<=<，所以a b c >>，应选答案A 。
4．若2223340a b c +-=，则直线0ax by c ++=被圆221x y +=所截得的弦长为（ ） A.23 B. 1 C. 12 D. 34【答案】B【解析】因为22243a b c +=，所以圆心()0,0O 到直线0ax by c ++=的距离d ==1212l =⨯=，应选答案B 。
5．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：左视图是从左往右看，将几何体上的点往右面做投影，看到的是一个长方形，连从右上角到左下角的对角线 【考点】本题考查三视图点评：考察学生的空间想象能力，此题比较简单，能直接想象出来6．如图， 12,F F 是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点， ,A B 分别是12,C C 在第二、四象限的公共点，若四边形12AF BF 为矩形，则2C 的离心率是（ ）A.B. C.32 D. 2【答案】D【解析】因为2,1a b c ==⇒=22212||412AF AF c +==，由椭圆定义可得1224AF AF a +==，所以12216124AF AF ⋅=-=，又因为12AF AF -==a '=，所以双曲线的离心率c e a ===D 。
—度重庆南开中学高级5月数学月考试题(文科)
重庆南开中学高2008级5月数学月考试题(文科)一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．{}{}{}1,2,3,4,5,6,2,4,5,1,4,6U A B ===，则U C A B =（ ） A 、U B 、{}1,3,6 C 、{}1,3,4,6 D 、{}2,3,4,52．若sin(2)y x ϕ=+是在R 上的偶函数，则ϕ的值可以是（ ）A 、πB 、2πC 、4π D 、0 3．两条直线与平面所成角相等，那么这两条直线的位置关系是（ ）A 、平行B 、异面C 、相交D 、以上都不对4．4(1)x -的展开式中二项式系数最大的项为（ ）A 、26xB 、26x -C 、36xD 、36x -5．{}n a 为正项等比数列，且132435225a a a a a a ++=，则24a a +=（ ）A 、25B 、20C 、15D 、56．“lg(1)0x ->”是“11x ->”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件7．直线l 过定点(1,2)M ，且与221x y +=恰有一个公共点，则直线l 的方程为（ ）A 、1x =B 、1x =或3450x y -+=C 、2y =D 、2y =或3450x y -+= 8．已知,a b r r 为不共线的向量，,AB a b AC a b λμ=-=+u u u r r r u u u r r r ，若A ，B ，C 三点共线，则（ ）A 、2λμ+=B 、1λμ-=C 、1λμ⋅=D 、1λμ⋅=-9．在5张卡片上分别写有1，2，3，4，5，然后把它们混合，在任意排成一行，则得到的5位数能被2或5整除的概率为（ ）A 、45B 、35C 、25D 、1510．已知函数2()24(03)f x ax ax a =++<<，若1212,1x x x x a <+=-，则（ ）A 、12()()f x f x <B 、12()()f x f x =C 、12()()f x f x >D 、1()f x 与2()f x 的大小关系不确定11．已知球O 的半径为1，A ，B ，C 三点都在球面上，A ，B 两点和A ，C 两点的球面距离都是4π，B ，C 两点的球面距离是3π，则二面角B —OA —C 的大小是（ ）A 、4πB 、3πC 、2π D 、23π 12．A ，B 为椭圆22195x y +=上两点，直线AB 过线(2,0)Q -，点P 在直线AB 上，且满足：0OP AB =uu u r uu u r g ，又H 为椭圆上一动点，则PH uuu r 的最小值为（ ）A1- BC1 D 、不存在 二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）13．某校共有50岁以上的老教师40人，35~50的中年教师200人，35岁以下的青年教师80人，为了调查教师对教代会指定的一项规章制度的满意度，准备抽80人进行问卷调查，则中年教师应抽取的人数为___________________14．设x ，y 满足约束条件10x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值是_____________15．将4个相同．．的小球投入到2个不同的盒中，不同的投入方式有___________种 16．在直角ABC V 中，两条直角边分别为a 、b ，斜边和斜边上的高分别为c 、h ，则c h a b ++的取值范围是________________三、解答题（74分）17．（13分）2()2cos 2),2f x x x a a R π=-+∈（1）若()f x 的最大值为2，求实数a 的值。
南开中学高三数学模拟试卷(文科)(参考答案).doc
南开中学高三数学模拟试卷（文科）参考答案一、选择题:（共8小题,每小题5分,共40分）题号 1 2 3 4 5 67 8答案D C D C C A B B二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）题号9 10 11 12 13 14答案611兀+471?兀292[9,+ 8)三、解答题：（本大题共6小题，共80分）. （15）（本小题满分13分）解:(I) /(兀)=V^sin2兀一cos2x = 2sin(2x --------------- )67T TT S(II ) ill 2k7T + — < 2x ------- < lk7l + —7l伙W z),2 6 271 5得k/r——< x < k7r + — 7r(k e z)3 6n5/r•••单调递减区间为[尿+ =、k兀七—](k ez). ................................... 8分3 6(III)因为-~^x^~，贝ij-兰W2x —兰 W兰，6 4 2 6 3当2x-- = -,即x =-时，/(兀)取得最大值为馆；6 3 4当2%--=--,即兀―仝时,/⑴取得最小值为_2 •.................................. 13分6 2 3（16）（木小题满分13分）解：（I ）由条形图得第七组频率为1-（0.04x2 + 0.08x2 + 0.2x2 + 0.3） = 0.06,0.06x50 = 3 1 分・••第七组的人数为3人组别 1 2 3 4 5 6 7 8 样本中人数 2 4 10 10 15 4 3 2 (II )由条形图得前五组频率为(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06)x5=0.82,.......................................................... 4分=71后三组频率为1一0.82=0.18 ................................................... 5分估计这所学校高三年级身高在180cm以上（含180cm）的人数800x0.18=144 （人）. 7分（皿）第二组四人记为a、b、c、d,其中a为男生,b、c、d为女生,第七组三人记为1、2、3,其屮1、2为男生，3为女生，基木事件列表如下：abed1\a \b \c \d22a 2b 2c 2d3 3 a 3b 3c 3d所以基本事件有12个...................................... 10分恰为一男一女的事件有",lc, Id, 2b, 2c, 2d, 3a；共7个..... 12分7因此实验小组中，恰为一男一女的概率是一................... 13分12（17）（本小题满分13分）（I）证明：因为菱形ABCD,所以3D丄AC,又因为平而ACEF丄平面ABCD ,EC丄AC，平面ACEF Q平面ABCD = AC故EC丄平面ABCDEC 丄BD所以BD丄平面ACEF-------------- 5分BDu平面BDE,所以平面BDE丄平面ACEF ；---------------- 6分（II）连结EO, EO//AM ,ZBEO为界面直线BE与AM所成的角或补角，由（I）知，AEOB = 90°,在直角三角形EOB 中，EO = AM=4i,BO = &所以界而直线BE与4M所成的角的正切值心. -------------- 10分2（III）由已知易得BF = FD,BE = ED，所以EO丄BD, FO丄BD,ZEOF为二面角E-BD-F的平而角13分所以二面角E-BD-F为90°.（18）（本小题满分13分）解：（I ）点A （0,2）代入圆C 方程， 得.（2-加尸=9*.* m < 2 ,・*. m = -1 .......... 1 分圆 C ：异+（〉，+ 1）2 =9,圆心（0,-1）・ 设直线的斜率为心，P （3,8）当K 不存在时，PF I ：x = 3,显然不合题意舍去. 当人存在时，PF“ y -8 = k l （x-3）f 即 k }x- y-3« + 8 = 0 .・••号f .解得k }=- ..................................................... 3分W + 1 3 直线 PF ]: 4x-3.y + 12 = 0总线PF 】与x 轴的交点横他标为一3,・・・c=3. F| (—3, 0), F 2(3, 0)............................... 4 分2« = P4F|| + |AF 2|= VB + V13 =2>/13 , a =屈,«2=13, //=4.椭圆E 的方程为：—+ ^- = 1............................. 6分13 4(II)由|丽冃丽|知点A 在线段MN 的垂直平分线上， y = kx-2由]兀2 2 消去y 得(4 + 13/)兀2 一52也=0 (*) —+ —= 1 〔13 4由Id 得方程（*）的A = （52^）2 >0,即方程（*）有两个不相等的实数根…8分 设N （兀2小），线段MN 的中点卩（兀0，儿），26k 4 + 13 衣52k 4 + 13f•宀0,直线仲的斜率为宁=桔由AP 丄MN,得 土竺 xk = _l,解得：k = ±—f……12分13R13・・・存在直线/满足题意，方程为：V5x-V13y-2ji3 =0«KV5x + V13y + 2Vi3 =0 -------------------------------- 13 分 (19) (本小题满分14分)解：(I)方法一：由S 曲=3S “得：数列｛S”｝是等比数列，公比为3,首项为1…2分.•.S” =1・3心=3心 ......... 3分当 n>2 时,a n = S n - S n _{ = 3 心 一 3W '2 = 2 • 3n '2................... 4 分fl (n = 1)•5=\.................. 5 分[2・3心(n > 2)方法一：•** S“+] = 3S“，「. S n = 3S”](M ' 2) 以上两式相减得：Q “+]=3% (n > 2),.................. 2分在 S n+[ = 3S n 中,取 〃 =1 得：a {+a 2= 3a }即 a 2 = 2a } = 2 ,.................. 3 分.・.｛%｝为第二项起的等比数列，公比为3 .................. 4分fl (n = l)/. ci = \.................. 5 分26k 24 + 13p—8 4 + 13/即卩為為)10分2・3宀(n > 2)由(I )知：⑺”｝为第二项起的等比数列，公比为3, s=2t0? + 1)(72 + 2) n(n +1)(/? + 1)(1-/?)① 若r 〉0,则 b n+i -b n <0 HP b n+i < b n (n > 2) .・.数列｛仇｝是从第二项起的递减数列ifij b 、= —, b 2 = — t b 2 >b } 3•••(—b2「 ..................................... 9 分•・•对任意 n e TV * ,都冇 A>/7(Z7 + 1)a“t②若/v0,则b n+} - b n > 0即b n+x > b n (n > 2)・•・数列{仇}是从第二项起的递增数列・・・11 分Ifij/, =-<0,当n >2 时，化=W o't n2r-3w_2b n e (-oo, 0).................. 12 分•• •对任意n e TV * ,都有2>/7(Z7 + 1), > 0 ...................13 分%3综合上面：若/>0,则A>-；若/<0,则A>0o .............................................. 14分t(20) (木小题满分14分)解：(I )当 a = -3ll 寸，/(x) = —x 3 -兀2-3X + 3,所以 广(兀)=x 2 -2x-3 = (x-3)(x + l).令/'(兀) = 0,得 比=_1,兀2=3.当xv-l 时，广(x)〉0,则/(x)在(-oo,-l) ±单调递增； 当一1 v 尢<3时,/'(X )<0 ,则f (x)在(-1,3)上单调递减;・••当心2时,廿2心巴汗畔 “ “ It • 3n_2b n +l ~b n 2r3n-I『•3"10分当x>3时，广(兀)>0 , /(兀)在(3,+00)上单调递增. 所以，当x = -\时，/&)取得极大值为/(-1)=-1-1 + 3 + 3 =—； 当*3时,/(x)取得极小值为/*(3)=丄x27-9-9 + 3 =-6.(II )广(兀)=/-2x + d , △ = 4-4° = 4(1-°) •⑴若dhl,则在心上恒有广(兀)》0,于⑴在R 上单调递增，且值域为R.函 数/(x)的图象少兀轴有且只有一个交点.(2)若a<l,则△>(), /'(%) = 0有两个不等的实根，不妨设为x l9x 2 (x t <x 2).当x 变化吋，广(x)J(x)的取值情况如下表：X(-°°眄)(西，兀2)厶（兀2，+°°）广(刃+—+极大值极小值由兀]2—2 兀]+a = 0 ,得兀]+兀2=2, x l x 2 = a , JL x ）2= 2x, - <7.f （xj = £ 兀1‘ _ X |2 + ax \ 一 a = * £ （2旺 _ d ） — 壬2 + ax }-同理/(x 2) =|［(n-l)x 2-t/_ •函数子(x)的图象与x 轴有且只有一个交点，等价于/(x 2)< f (x,) <0或0</(X2)</(X l)» 即 /(壬)丁(兀2)>0 •又/(西)丁(兀2)=害［(。
天津市南开中学2023-2024学年高三上学期第二次月考数学试卷
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【详解】设{an
-
n}
的公比为
q
，则
q
=
a2 a1
-2 -1
=
11- 2 4 -1
=
3
，
所以 an - n = (a1 -1) × qn-1 = (4 -1) ×3n-1 = 3n ，则 an = n + 3n ，
所以 a4 = 4 + 34 = 85 ，
所以落在区间[4,85] 内的偶数共有 41 个，故t (a4 ) = 41 .
11．在
æ çè
3x2
-
2 x
ö5 ÷ø
的展开式中，
x
的系数是
．
三、双空题
12．已知直线 l : y = kx - 2(k > 0) 与圆 x2 + y2 = 1 相切，且被圆 x2 + ( y + a)2 = 4(a > 0) 截
得的弦长为 2 3 ，则 k = ； a = ．
四、填空题
13．锐角a
(2)求数列{anbn} 的前 n 项和 Sn ；
å (3)若数列{dn} 满足 d1 = 1 ， dn + dn+1 = bn ，记Tn =
n
dk
m ．是否存在整数 ，使得对
b k =1 2k
任意的 n Î N * 都有1 £
mTn
-
dn b2n
<
m 2 成立？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由．
故选：C. 9．B
【分析】根据三角函数的变换规则求出 g ( x) 的解析式，再根据正弦函数的性质判断
A、C、D，利用诱导公式判断 B.
南开中学高级高三5月月考试卷数学文科
南开中学高级高三5月月考试卷数学(文科)本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题，共50分)注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目填涂在答题卡上.2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上. 3．考试结束，监考人员将答题卡收回.一、选择题：(本大题10个小题，每小题5分，共50分)各题答案必须答在答题卡上. 1．设集合{1,2,3,4,5},U ={1,3,5},{2,3,5},A B ==则()U C A B =( )A ．{4}B ．{3,5}C ．{1,2,4}D ．∅2．函数()cos()(0)6f x x πωω=+>的图象相邻两条对称轴之间的距离是2,3π则ω=( )A ．23B ．43C ．32D ．343．数列{}n x 中，若11,x =111,1n n x x +=-+ 则2010x 的值为( ) A ．1-B ．12-C ．12D ．14．圆222210x x y y -+-+=关于直线10x y -+=对称的圆的方程是( ) A ．22(2)1x y +-=B ．221x y +=C ．22(2)1x y -+=D ．22(2)(2)1x y -+-=5．不等式111x x +<-的解集为( ) A ．{|011}x x x <<>或 B ．{|01}x x << C ．{|10}x x -<<D ．{|0}x x <6．已知函数2log (1)(), (1)x x f x x c x ≥⎧=⎨+<⎩ 则“1c =-”是“函数()f x 在R 上递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．在直角梯形ABCD 中，//,AB CD ,AD AB ⊥45,22,B AB CD ∠===M 为BC 的中点，则MA MD ⋅=( )A ．4B ．3C ．2D ．18．将3个相同的黑球和3个相同的白球自左向右排成一排，如果满足：从任何一个位置(含这个位置)开始向左数黑球的个数总是不小于白球的个数，就称这种排列为“有效排列”，则出现“有效排列”的概率为( ) A ．12B ．14C ．15D ．1109．已知函数()()f x x R ∈满足(1)2,f =-且()f x 的导函数'()1,f x <若()3,g x x =-则()()f x g x < 的解集为( )A ．{}11x x -<< B ．{}1x x <-C ．{}11x x x <->或D ．{}1x x >10．过抛物线24y x =的焦点F 作直线l 交抛物线于,A B 两点，若111,||||2AF BF -= 则直线l 的倾斜角(0)2πθθ<≤等于( )A ．2πB ．3π C ．4πD ．6π第Ⅱ卷(非选择题，共100分)二、填空题：(本大题5个小题，每小题5分，共25分)各题答案必须填写在答题卡上(只填结果，不要过程)11．在一次数学考试中，随机抽取100名同学的成绩作为一个样本，其成绩的分布情况如成绩 (40,50] (50,60] (60,70] (70,80] (80,90] (90,100]人数 分布9 18 23 27 15 8则该样本中成绩在(80,100]内的频率为_______________.12．已知某正四棱柱有内切球，则此正四棱柱与它的内切球体积之比为________________. 13．3(2nx x-的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是______________.14．函数()(2cos )(2sin )f x x x =++的最小值为_____________.15．已知集合A 为11111,,,,,242n -⎧⎫⎨⎬⎩⎭…设A 的所有三元子集的元素的和是,n S 则10S =__________.三、解答题：(本大题6个小题，共75分)各题解答必须答在答题卡上(必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程)16．(13分)在ABC ∆中，边,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若2(sin,1),2B Cm += 7(cos 2,4)2n A =+且//.m n(1)求角A 的度数；(2)若3,3,a b c =+= 求ABC ∆的面积.S17．(13分)某射手A 第n 次射击时击中靶心的概率为1()(1,2,).1P n n n ==+… (1)求A 射击5次，直到第5次才击中靶心的概率;P (2)若A 共射击3次，求恰好击中1次靶心的概率.18．(13分)如图，已知ABCD 是边长为2的正方形，DE ⊥ 平面,ABCD BF ⊥平面,ABCD 且2 2.FB DE == (1)求点E 到平面FBC 的距离； (2)求证：平面AEC ⊥平面.AFC19．(12分)函数32()2f x x ax bx =++-的图象在与y 轴交点处的切线方程为.y x a =+ (1)求函数()f x 的解析式；(2)设函数1()(),3g x f x mx =+ 若()g x 存在极值，求实数m 的取值范围.20．(12分)已知点1(,0),4C 椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右准线1:2l x =与x 轴相交于点,D 右焦点F 2.(1)求椭圆的方程；(2)是否存在过点F 且与x 轴不垂直的直线l 与椭圆交于A B 、两点，使得()CA CB BA +⊥？若存在，求出直线;l 若不存在，说明理由.BCDEF21．(12分)已知数列{}n a 满足：{}n a n 是公差为1的等差数列，且12 1.n n n a a n++=+ (1)求数列{}n a 的通项公式;n a (2)设*4),n nb n N a =∈求证：122 1.n b b b n +++<…部分参考答案： 一、选择题 1．C 2．B 3．D 4．C 5．A6．A 7．B 8．C 9．B 10．D二、填空题 11．0.23 12．713．932π15．2三、解答题 16．解：(1)//m n27sin cos 22214B C A ++=∴27cos 24sin 22A A π-+= 2272cos 14cos 22A A -+= 2252cos 2(2cos 1)22cos 222A A A +=-+=+ 212cos 2cos 02A A -+=2(2cos 1)0A -= 1cos 2A =∴ 又A 为三角形内角60.A =∴(2)222cos 22b c a A bc bc+-=⇒= 1133sin 22222ABC S A bc ∆=⋅⋅=⨯=∴ 17．解：(1)记转盘A 指针指向1，2，3区域的事件为123,,;A A A 同理转盘B 指针指向1，2，3区域的事件为123,,.B B B 11()(1())P P A P B =⋅-∴11()6P A = 21()3P A = 31()2P A =11()3P B = 21()2P B =31()6P B =11121(1)63639P =⨯-=⨯=∴(2)2,3,4,5,6ξ=1116(2)()()18108P P A P B ξ==⋅==122121(3)()()()()108P P A P B P A P B ξ==⋅+⋅=13223139(4)()()()()()()108P P A P B P A P B P A P B ξ==⋅+⋅+⋅= 233233(5)()()()()108P P A P B P A P B ξ==⋅+⋅= 339(6)()()108P P A P B ξ==⋅= ∴ξ23 45 6 P6108 2110839108 3310891081086E ξ==18．(1)证明：建立如图坐标系 (0,0,0),(0,0,1)D E ∴(2,0,0),(0,2,0),(2,2,2)A C F (2,0,1),(0,2,1)AE EC =-=-∴(0,2,2),(2,0,2)AF FC ==--ABCDEFZyX设m 为面AEC 法向量 111(,,)m x y z =111120(1,1,2)20x z m y z -+=⎫⇒=⎬-=⎭设n 为面AFC 法向量 222(,,)n x y z =2222220(1,1,1)220y z n x z +=⎫⇒=-⎬--=⎭cos 043m n <⋅>==⋅.m n ⊥∴∴面AEC ⊥面.AFC (2)提示：由EDBF 为切面.19．解：(1)()ln()xf x e a =+ ()ln()xf x e a --=+()f x 为R 上奇函数()()f x f x =--∴，()()0f x f x +-= ln()ln()0xxe a e a -+++=，ln()()0x x e a e a -++=21ln1()0xx a e a e+++=21()0xx a e a e++=∴ 1xx e a e+=- 21x xe a e +=- 1()()1xx a e a e++= ∴当0x =时，2(1)111a a +=⇒+=±0a =∴或 2.a =-(2)(3)略20．(1)解：2222.a a c c=⇒=2,a = 1c =∴ 1b =∴2212x y -=∴ (2)略 21．略。
2016-2017年天津市南开中学高三(下)第五次月考数学试卷(文科)(解析版)
2016-2017学年天津市南开中学高三（下）第五次月考数学试卷（文科）一、选择题1．复数z满足（z﹣i）（2﹣i）＝5．则z＝（）A．﹣2﹣2i B．﹣2+2i C．2﹣2i D．2+2i2．函数f（x）＝﹣+log2x的一个零点落在下列哪个区间（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）3．若a＝30.3，b＝logπ3，c＝log0.3e，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a4．若3a2+3b2﹣4c2＝0，则直线ax+by+c＝0被圆x2+y2＝1所截得的弦长为（）A．B．C．D．15．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为（）A．B．C．D．6．如图F1、F2是椭圆C1：+y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．7．设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x＝b y＝3，a+b＝2的最大值为（）A．2B．C．1D．8．设f（x）＝x3+log2（x+），则对任意实数a，b，a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的（）A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件二、填空题9．已知全集U＝R，A＝{y|y＝2x+1}，B＝{x||x﹣1|＜2}，则（∁U A）∩B＝．10．如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是．11．设函数y＝f（x）在区间[0，1]上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法近似计算由曲线y＝f（x）及直线x＝0，x＝1，y＝0所围成部分的面积S，先生产两组（每组N个）区间[0，1]上均匀随机数x1，x2，…，x N和y1，y2，…，y N，由此得到N个点（x i，y i）（i＝1，2，…，N），再数出其中满足y i≤f（x i）（i＝1，2，…，N）的点数N1，那么由随机模拟方法可得S的近似值为．12．已知{a n}是首项为1的等比数列，S n是它的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为．13．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，△ACD是等边三角形，则的值为．14．已知函数f（x）＝a x+x2﹣xlna，对任意的x1、x2∈[0，1]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤a ﹣1恒成立，则实数a的取值范围为．三、解答题15．已知函数f（x）＝2sin x cos x﹣2cos2x+1（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若f（）＝2，b＝1，c＝2，求a的值．16．某家具厂有方木料90m3，五合板600m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1m3、五合板2m2；生产每个书橱需要方木料0.2m3、五合板1m2．出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元，怎样安排生产可使所得利润最大？最大利润为多少？17．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD （1）证明：DC1⊥BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．18．如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y＝kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．19．已知数列{a n}的前n项和S n＝﹣a n﹣（）n﹣1+2（n为正整数）．（1）令b n＝2n a n，求证数列{b n}是等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）令c n＝a n，T n＝c1+c2+…+c n．是否存在最小的正整数m，使得对于n∈N×都有T n ＜2m﹣4恒成立，若存在，求出m的值；不存在，请说明理由．20．已知函数f（x）＝lnx+x2﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）当a＝3时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1∈（0，1]，证明f（x1）﹣f（x2）≥﹣+ln2．2016-2017学年天津市南开中学高三（下）第五次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．复数z满足（z﹣i）（2﹣i）＝5．则z＝（）A．﹣2﹣2i B．﹣2+2i C．2﹣2i D．2+2i【解答】解：（z﹣i）（2﹣i）＝5⇒z﹣i＝⇒z＝+i＝+i＝+i＝2+2i．故选：D．2．函数f（x）＝﹣+log2x的一个零点落在下列哪个区间（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【解答】解：根据函数的实根存在定理得到f（1）•f（2）＜0．故选：B．3．若a＝30.3，b＝logπ3，c＝log0.3e，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a【解答】解：∵a＝30.3＞1，b＝logπ3∈（0，1），c＝log0.3e＜0，则a＞b＞c．故选：A．4．若3a2+3b2﹣4c2＝0，则直线ax+by+c＝0被圆x2+y2＝1所截得的弦长为（）A．B．C．D．1【解答】解：由圆的方程得到圆心坐标为（0，0），半径为1，∵3a2+3b2﹣4c2＝0，∴圆心到直线ax+by+c＝0的距离d＝＝，∴圆x2+y2＝1被直线ax+by+c＝0所截得的弦长为2＝1．故选：D．5．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为（）A．B．C．D．【解答】解：左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条对角线，对角线是由左下角到右上角的线，故选：D．6．如图F1、F2是椭圆C1：+y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：设|AF1|＝x，|AF2|＝y，∵点A为椭圆C1：+y2＝1上的点，∴2a＝4，b＝1，c＝；∴|AF1|+|AF2|＝2a＝4，即x+y＝4；①又四边形AF1BF2为矩形，∴+＝，即x2+y2＝（2c）2＝＝12，②由①②得：，解得x＝2﹣，y＝2+，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，则2m＝|AF2|﹣|AF1|＝y﹣x＝2，2n＝2c＝2，∴双曲线C2的离心率e＝＝＝．故选：D．7．设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x＝b y＝3，a+b＝2的最大值为（）A．2B．C．1D．【解答】解：∵a x＝b y＝3，∴x＝log a3＝，y＝log b3＝，∴当且仅当a＝b时取等号故选：C．8．设f（x）＝x3+log2（x+），则对任意实数a，b，a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的（）A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：f（x）＝x3+log2（x+），f（x）的定义域为R∵f（﹣x）＝﹣x3+log2（﹣x+）＝﹣x3+log2＝﹣x3﹣log2（x+）＝﹣f（x）．∴f（x）是奇函数∵f（x）在（0，+∞）上是增函数∴f（x）在R上是增函数a+b≥0可得a≥﹣b∴f（a）≥f（﹣b）＝﹣f（b）∴f（a）+f（b）≥0成立若f（a）+f（b）≥0则f（a）≥﹣f（b）＝f（﹣b）由函数是增函数知a≥﹣b∴a+b≥0成立∴a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的充要条件．二、填空题9．已知全集U＝R，A＝{y|y＝2x+1}，B＝{x||x﹣1|＜2}，则（∁U A）∩B＝（﹣1，1]．【解答】解：根据题意，集合A＝{y|y＝2x+1}表示函数y＝2x+1的值域，则A＝{y|y＝2x+1}＝（1，+∞），故∁U A＝（﹣∞，1]，|x﹣1|＜2⇒﹣1＜x＜3，则B＝{x||x﹣1|＜2}＝（﹣1，3），则（∁U A）∩B＝（﹣1，1]；故答案为：（﹣1，1]．10．如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是10．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：此时S值为10．故答案为：10．11．设函数y＝f（x）在区间[0，1]上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法近似计算由曲线y＝f（x）及直线x＝0，x＝1，y＝0所围成部分的面积S，先生产两组（每组N个）区间[0，1]上均匀随机数x1，x2，…，x N和y1，y2，…，y N，由此得到N个点（x i，y i）（i＝1，2，…，N），再数出其中满足y i≤f（x i）（i＝1，2，…，N）的点数N1，那么由随机模拟方法可得S的近似值为．【解答】解：∵∫01f（x）dx的几何意义是函数f（x）（其中0≤f（x）≤1）的图象与x轴、直线x＝0和直线x＝1所围成图形的面积，∴根据几何概型易知∫01f（x）dx≈．故答案为：．12．已知{a n}是首项为1的等比数列，S n是它的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为．【解答】解：显然q≠1，所以，所以是首项为1，公比为的等比数列，则前5项和为：．故答案为：13．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，△ACD是等边三角形，则的值为．【解答】解：∵AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝5，cos∠BAC＝，又∵△ACD是等边三角形，∴AD＝AC＝5，cos∠CAD＝，∴＝•（﹣）＝•﹣•＝﹣＝，故答案为：．14．已知函数f（x）＝a x+x2﹣xlna，对任意的x1、x2∈[0，1]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤a ﹣1恒成立，则实数a的取值范围为[e，+∞）．【解答】解：f′（x）＝a x lna+2x﹣lna＝（a x﹣1）lna+2x，当a＞1时，x∈[0，1]时，a x≥1，lna＞0，2x≥0，此时f′（x）≥0；f（x）在[0，1]上单调递增，f（x）min＝f（0）＝1，f（x）max＝f（1）＝a+1﹣lna，而|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min＝a﹣lna，由题意得，a﹣lna≤a﹣1，解得a≥e，故答案为：[e，+∞）．三、解答题15．已知函数f（x）＝2sin x cos x﹣2cos2x+1（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若f（）＝2，b＝1，c＝2，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）sin2x﹣cos2x＝2（sin2x﹣cos2x）＝2sin（2x﹣），∵ω＝2，∴最小正周期T＝＝π；由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z得，kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，则f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）；（Ⅱ）∵f（）＝2，∴2sin（A﹣）＝2，即sin（A﹣）＝1，∴A﹣＝+2kπ，k∈Z，即A＝+2kπ，k∈Z，又0＜A＜π，∴A＝，由余弦定理及b＝1，c＝2，cos A＝﹣得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝7，即a2＝1+4+2＝7，解得：a＝．16．某家具厂有方木料90m3，五合板600m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1m3、五合板2m2；生产每个书橱需要方木料0.2m3、五合板1m2．出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元，怎样安排生产可使所得利润最大？最大利润为多少？【解答】解：设生产书桌x张，书橱y张，利润z元，则目标函数z＝80x+120y，约束条件为作出上可行域：作出一组平行直线2x+3y＝t，此直线经过点A（100，400）时，即合理安排生产，生产书桌100张，书橱400个，有最大利润为z max＝80×100+400×120＝56000元．17．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD （1）证明：DC1⊥BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．【解答】（1）证明：在Rt△DAC中，AD＝AC，∴∠ADC＝45°同理：∠A1DC1＝45°，∴∠CDC1＝90°∴DC1⊥DC，DC1⊥BD∵DC∩BD＝D∴DC1⊥面BCD∵BC⊂面BCD∴DC1⊥BC（2）解：∵DC1⊥BC，CC1⊥BC，DC1∩CC1＝C1，∴BC⊥面ACC1A1，∵AC⊂面ACC1A1，∴BC⊥AC取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，OH∵A1C1＝B1C1，∴C1O⊥A1B1，∵面A1B1C1⊥面A1BD，面A1B1C1∩面A1BD＝A1B1，∴C1O⊥面A1BD而BD⊂面A1BD∴BD⊥C1O，∵OH⊥BD，C1O∩OH＝O，∴BD⊥面C1OH∴C1H⊥BD，∴点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角设AC＝a，则，，∴sin∠C1DO＝∴∠C1DO＝30°即二面角A1﹣BD﹣C1的大小为30°18．如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y＝kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．∴4a＝8，∴a＝2∵e＝，∴c＝1∴b2＝a2﹣c2＝3∴椭圆E的方程为．（Ⅱ）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12＝0∵动直线l：y＝kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0）∴m≠0，△＝0，∴（8km）2﹣4×（4k2+3）×（4m2﹣12）＝0∴4k2﹣m2+3＝0①此时x0＝＝，y0＝，即P（，）由得Q（4，4k+m）取k＝0，m＝，此时P（0，），Q（4，），以PQ为直径的圆为（x﹣2）2+（y﹣）2＝4，交x轴于点M1（1，0）或M2（3，0）取k＝，m＝2，此时P（1，），Q（4，0），以PQ为直径的圆为（x﹣）2+（y﹣）2＝，交x轴于点M3（1，0）或M4（4，0）故若满足条件的点M存在，只能是M（1，0），证明如下∵∴故以PQ为直径的圆恒过x轴上的定点M（1，0）方法二：假设平面内存在定点M满足条件，因为对于任意以PQ为直径的圆恒过定点M，所以当PQ 平行于x轴时，圆也过定点M，即此时P点坐标为（0，）或（0，﹣），由图形对称性知两个圆在x轴上过相同的交点，即点M必在x轴上．设M（x1，0），则•＝0对满足①式的m，k恒成立．因为＝（﹣﹣x1，），＝（4﹣x1，4k+m），由•＝0得﹣+﹣4x1+x12++3＝0，整理得（4x1﹣4）+x12﹣4x1+3＝0．②由于②式对满足①式的m，k恒成立，所以，解得x1＝1．故存在定点M（1，0），使得以PQ为直径的圆恒过点M．19．已知数列{a n}的前n项和S n＝﹣a n﹣（）n﹣1+2（n为正整数）．（1）令b n＝2n a n，求证数列{b n}是等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）令c n＝a n，T n＝c1+c2+…+c n．是否存在最小的正整数m，使得对于n∈N×都有T n ＜2m﹣4恒成立，若存在，求出m的值；不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：∵S n＝﹣a n﹣（）n﹣1+2，∴S n+1＝﹣a n+1﹣（）n+2，S n+1﹣S n＝a n+1＝﹣a n+1+a n+（）n，2a n+1＝a n+（）n，2n+1a n+1＝2n a n+1，∵b n＝2n a n，∴b n+1＝b n+1，∴数列{b n}是等差数列．（2）解：∵S n＝﹣a n﹣（）n﹣1+2，∴a1＝S1＝﹣a1﹣（）0+2，解得，又b n＝2n a n，b n+1＝b n+1，∴b1＝2×＝1，∴b n＝2n a n＝n，∴．（3）解：∵c n＝a n＝，∴T n＝c1+c2+…+c n＝，①2T n＝2+，②②﹣①，得：T n＝2++…+﹣＝2+﹣＝3﹣﹣＝3﹣．假设存在最小的正整数m，使得对于n∈N×都有T n＜3≤2m﹣4恒成立，则2m﹣4≥3，解得m≥，∴最小的正整数m＝4．20．已知函数f（x）＝lnx+x2﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）当a＝3时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1∈（0，1]，证明f（x1）﹣f（x2）≥﹣+ln2．【解答】（Ⅰ）解：f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝，令f′（x）＞0，可得0＜x＜或x＞1，f′（x）＜0，可得＜x＜1，∴f（x）的递增区间为（0，）和（1，+∞），递减区间为（，1）；（Ⅱ）证明：∵函数f（x）有两个极值点x1，x2，∴f′（x）＝＝0，即2x2﹣ax+1＝0有两个不相等的实数根，∴x1+x2＝，x1x2＝，∴2（x1+x2）＝a，x2＝，∴f（x1）﹣f（x2）＝lnx1+x12﹣ax1﹣（lnx2+x22﹣ax2）＝2lnx1﹣x12++ln2（0＜x≤1）．设F（x）＝2lnx﹣x2++ln2（0＜x≤1），则F′（x）＝﹣＜0，∴F（x）在（0，1）上单调递减，∴F（x）≥F（1）＝﹣+ln2，即f（x1）﹣f（x2）≥﹣+ln2．。
南开中学高2019级高三5月月考试卷数学文科
南开中学高2019级高三5月月考试卷数学(文科)本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题，共50分)注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目填涂在答题卡上.2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上. 3．考试结束，监考人员将答题卡收回.一、选择题：(本大题10个小题，每小题5分，共50分)各题答案必须答在答题卡上. 1．设集合{1,2,3,4,5},U ={1,3,5},{2,3,5},A B ==则()U C A B =( )A ．{4}B ．{3,5}C ．{1,2,4}D ．∅2．函数()c o s ()(0)6f x x πωω=+>的图象相邻两条对称轴之间的距离是2,3π则ω=( )A ．23B ．43C ．32D ．343．数列{}n x 中，若11,x =111,1n n x x +=-+ 则2010x 的值为( ) A ．1-B ．12-C ．12D ．14．圆222210x x y y -+-+=关于直线10x y -+=对称的圆的方程是( ) A ．22(2)1x y +-= B ．221x y +=C ．22(2)1x y -+=D ．22(2)(2)1x y -+-=5．不等式111x x +<-的解集为( ) A ．{|011}x x x <<>或 B ．{|01}x x << C ．{|10}x x -<<D ．{|0}x x <6．已知函数2log (1)(), (1)x x f x x c x ≥⎧=⎨+<⎩则“1c =-”是“函数()f x 在R 上递增”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．在直角梯形ABCD 中，//,AB CD ,AD AB ⊥45,22,B AB CD ∠===M 为BC 的中点，则MA MD ⋅=( )A ．4B ．3C ．2D ．18．将3个相同的黑球和3个相同的白球自左向右排成一排，如果满足：从任何一个位置(含这个位置)开始向左数黑球的个数总是不小于白球的个数，就称这种排列为“有效排列”，则出现“有效排列”的概率为( ) A ．12B ．14C ．15D ．1109．已知函数()()f x x R ∈满足(1)2,f =-且()f x 的导函数'()1,f x <若()3,g x x =-则()()f x g x < 的解集为( )A ．{}11x x -<<B ．{}1x x <-C ．{}11x x x <->或D ．{}1x x >10．过抛物线24y x =的焦点F 作直线l 交抛物线于,A B 两点，若111,||||2AF BF -= 则直线l 的倾斜角(0)2πθθ<≤等于( )A ．2πB ．3π C ．4π D ．6π第Ⅱ卷(非选择题，共100分)二、填空题：(本大题5个小题，每小题5分，共25分)各题答案必须填写在答题卡上(只填结果，不要过程) 11．在一次数学考试中，随机抽取100名同学的成绩作为一个样本，其成绩的分布情况如下：则该样本中成绩在(80,100]内的频率为_______________.12．已知某正四棱柱有内切球，则此正四棱柱与它的内切球体积之比为________________. 13．(2nx -的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是______________.14．函数()(2cos )(2sin )f x x x =++的最小值为_____________.15．已知集合A 为11111,,,,,242n -⎧⎫⎨⎬⎩⎭…设A 的所有三元子集的元素的和是,n S 则10S =__________.三、解答题：(本大题6个小题，共75分)各题解答必须答在答题卡上(必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程)16．(13分)在ABC ∆中，边,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若2(sin,1),2B Cm += 7(cos 2,4)2n A =+且//.m n(1)求角A 的度数；(2)若3,a b c =+= 求ABC ∆的面积.S17．(13分)某射手A 第n 次射击时击中靶心的概率为1()(1,2,).1P n n n ==+… (1)求A 射击5次，直到第5次才击中靶心的概率;P (2)若A 共射击3次，求恰好击中1次靶心的概率.18．(13分)如图，已知ABCD 是边长为2的正方形，DE ⊥ 平面,ABCD BF ⊥平面,ABCD 且2 2.FB DE == (1)求点E 到平面FBC 的距离； (2)求证：平面AEC ⊥平面.AFCABCDEF19．(12分)函数32()2f x x ax bx =++-的图象在与y 轴交点处的切线方程为.y x a =+ (1)求函数()f x 的解析式； (2)设函数1()(),3g x f x mx =+ 若()g x 存在极值，求实数m 的取值范围.20．(12分)已知点1(,0),4C 椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右准线1:2l x =与x 轴相交于点,D 右焦点F(1)求椭圆的方程；(2)是否存在过点F 且与x 轴不垂直的直线l 与椭圆交于A B 、两点，使得()CA CB BA +⊥？若存在，求出直线;l 若不存在，说明理由.21．(12分)已知数列{}n a 满足：{}n a n是公差为1的等差数列，且121.n n n a a n ++=+ (1)求数列{}n a 的通项公式;n a(2)设*),n b n N =∈求证：12 1.n b b b +++<…部分参考答案： 一、选择题1．C 2．B 3．D 4．C 5．A6．A 7．B 8．C 9．B 10．D二、填空题 11．0.23 12．7 1315．2三、解答题 16．解：(1)//m n27sin cos 22214B C A ++=∴27cos 24sin 22A A π-+= 2272cos 14cos 22A A -+= 2252cos 2(2cos 1)22cos 222A A A +=-+=+ 212cos 2cos 02A A -+=2(2cos 1)0A -= 1cos 2A =∴ 又A 为三角形内角60.A =∴(2)222cos 22b c a A bc bc+-=⇒=11sin 222ABC S A bc ∆=⋅⋅==∴ 17．解：(1)记转盘A 指针指向1，2，3区域的事件为123,,;A A A 同理转盘B 指针指向1，2，3区域的事件为123,,.B B B 11()(1())P P A P B =⋅-∴11()6P A =21()3P A =31()2P A =11()3P B =21()2P B = 31()6P B =11121(1)63639P =⨯-=⨯=∴(2)2,3,4,5,6ξ=1116(2)()()18108P P A P B ξ==⋅==122121(3)()()()()108P P A P B P A P B ξ==⋅+⋅=13223139(4)()()()()()()108P P A P B P A P B P A P B ξ==⋅+⋅+⋅= 233233(5)()()()()108P P A P B P A P B ξ==⋅+⋅= 339(6)()()108P P A P B ξ==⋅=1086E ξ==18．(1)证明：建立如图坐标系 (0,0,0),(0,0,1)D E ∴(2,0,0),(0,2,0),(2,2,2)A C F (2,0,1),(0,2,1)AE EC =-=-∴(0,2,2),(2,0,2)AF FC ==--设m 为面AEC 法向量 111(,,)m x y z =111120(1,1,2)20x z m y z -+=⎫⇒=⎬-=⎭设n 为面AFC 法向量 222(,,)n x y z =2222220(1,1,1)220y z n x z +=⎫⇒=-⎬--=⎭cos 0m n <⋅>== Zy.m n ⊥∴∴面AEC ⊥面.AFC (2)提示：由EDBF 为切面.19．解：(1)()ln()xf x e a =+ ()ln()xf x e a --=+()f x 为R 上奇函数()()f x f x =--∴，()()0f x f x +-= ln()ln()0xxe a e a -+++=，ln()()0x x e a e a -++=21ln1()0xx a e a e+++=21()0xx a e a e++=∴ 1xx e a e+=- 21x xe a e +=- 1()()1xx a e a e++= ∴当0x =时，2(1)111a a +=⇒+=± 0a =∴或 2.a =-(2)(3)略20．(1)解：2222.a a c c=⇒=2,a = 1c =∴ 1b =∴2212x y -=∴ (2)略 21．略。
2017-2018年天津市南开中学高三(下)第五次月考数学试卷(文科)(解析版)
2017-2018学年天津市南开中学高三（下）第五次月考数学试卷（文科）一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若复数（2+i）（a﹣2i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则|a+i|＝（）A．B．C．D．102．（5分）“lgx，lgy，lgz成等差数列”是“y2＝xz”成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z＝2x﹣y的最大值为（）A．﹣3B．C．5D．64．（5分）设a＝0.23，b＝log0.30.2，c＝log30.2，则a，b，c大小关系正确的是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a5．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出x，y的值满足（）A．y＝2x B．y＝3x C．y＝4x D．y＝5x6．（5分）已知抛物线y2＝8x的准线与双曲线＝1相交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，△ABF为直角三角形，则双曲线的离心率为（）A．3B．2C．D．7．（5分）若关于x的不等式3﹣|x+a|＞x2至少有一个负数解，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，）B．（）C．（﹣3，3）D．[）8．（5分）已知函数f（x）＝，g（x）＝1+，若f（x）＜g（x），则实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，）∪（，+∞）B．（﹣∞，）∪（，+∞）C．（，）D．（，1）∪（1，）二.填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.9．（5分）已知集合A＝{﹣1，a}，B＝{2a，b}，若A∩B＝{1}，则A∪B＝．10．（5分）如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是．11．（5分）已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y＝lg2，则的最小值是．12．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣5）2＝5，过圆心C的直线l交圆C于A，B两点，交y轴于点P．若A恰为PB的中点，则直线l的斜率为．13．（5分）已知△ABC中，||＝10，＝﹣16，D为边BC的中点，则||等于．14．（5分）函数f（x）＝sin x（sin x+cos x）﹣在区间（）（0＜a＜1）上有且仅有一个零点，则实数a的取值范围是．三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤. 15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞c．已知•＝2，cos B＝，b＝3．求：（1）a和c的值；（2）cos（B﹣C）的值．16．（13分）有编号为A1，A2，…，A10的10个零件，测量其直径（单位：cm），得到下面数据：其中直径在区间[1.48，1.52]内的零件为一等品．（1）从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；（2）从一等品零件中，随机抽取2个．（i）用零件的编号列出所有可能的抽取结果；（ii）求这2个零件直径相等的概率．17．（13分）如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝，现以AD为一边向形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF 与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2．（1）求证：AM∥平面BEC；（2）求证：BC⊥平面BDE；（3）求直线DC与平面BEC所成角的正弦值．18．（13分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝2，S5＝30；数列{b n}的前n项和为T n，且T n＝2n﹣1．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n＝（﹣1）n（a n b n+lnS n），求数列{c n}的前2n项和W2n．19．（14分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线x＝2与椭圆C交于P，Q两点，A，B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点，且直线AB的斜率为．（i）求四边形APBQ面积的最大值；（ii）设直线P A的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，判断k1+k2的值是否为常数，并说明理由．20．（14分）设函数f（x）＝+x2+（m2﹣1）x（x∈R），其中m＞0．（1）当m＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；（2）求函数f（x）的单调区间与极值；（3）已知函数f（x）有三个互不相同的零点0，x1，x2，且x1＜x2，若对任意的x∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）恒成立，求m的取值范围．2017-2018学年天津市南开中学高三（下）第五次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若复数（2+i）（a﹣2i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则|a+i|＝（）A．B．C．D．10【解答】解：∵（2+i）（a﹣2i）＝（2a+2）+（a﹣4）i的实部与虚部相等，∴2a+2＝a﹣4，即a＝﹣6．∴|a+i|＝|﹣6+i|＝．故选：C．2．（5分）“lgx，lgy，lgz成等差数列”是“y2＝xz”成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：lgx，lgy，lgz成等差数列，∴2lgy＝lgx•lgz，即y2＝zx，∴充分性成立，因为y2＝zx，但是x，z可能同时为负数，所以必要性不成立，故选：A．3．（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z＝2x﹣y的最大值为（）A．﹣3B．C．5D．6【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣1，﹣1），B（2，﹣1），C（0.5，0.5）设z＝F（x，y）＝2x﹣y，将直线l：z＝2x﹣y进行平移，当l经过点B时，目标函数z达到最大值∴z最大值＝F（2，﹣1）＝5故选：C．4．（5分）设a＝0.23，b＝log0.30.2，c＝log30.2，则a，b，c大小关系正确的是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a【解答】解：a＝0.23＝0.008，b＝log0.30.2＞log0.30.3＝1，c＝log30.2＜1，∴b＞a＞c，故选：B．5．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出x，y的值满足（）A．y＝2x B．y＝3x C．y＝4x D．y＝5x【解答】解：输入x＝0，y＝1，n＝1，则x＝0，y＝1，不满足x2+y2≥36，故n＝2，则x＝，y＝2，不满足x2+y2≥36，故n＝3，则x＝，y＝6，满足x2+y2≥36，故y＝4x，故选：C．6．（5分）已知抛物线y2＝8x的准线与双曲线＝1相交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，△ABF为直角三角形，则双曲线的离心率为（）A．3B．2C．D．【解答】解：依题意知抛物线的准线x＝﹣2，代入双曲线方程得y＝±•，不妨设A（﹣2，）．∵△F AB是等腰直角三角形，∴＝p＝4，求得a＝，∴双曲线的离心率为e＝＝＝＝3，故选：A．7．（5分）若关于x的不等式3﹣|x+a|＞x2至少有一个负数解，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，）B．（）C．（﹣3，3）D．[）【解答】解：不等式3﹣|x+a|＞x2即|x﹣a|＜﹣x2+3，在同一坐标系内画出y＝﹣x2+3（x＜0，y＞0）与y＝|x|的图象，将绝对值函数y＝|x|向右移动，当左支过点（0，3），得a＝﹣3；将绝对值函数y＝|x|向左移动，当右支与y＝﹣x2+3相切，即联立，得x2+x+a﹣3＝0，由△＝1﹣4（a﹣3）＝0，得a＝．∴要使不等式3﹣|x+a|＞x2至少有一个负数解，则﹣3＜a．故选：A．8．（5分）已知函数f（x）＝，g（x）＝1+，若f（x）＜g（x），则实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，）∪（，+∞）B．（﹣∞，）∪（，+∞）C．（，）D．（，1）∪（1，）【解答】解：当x≤0时，f（x）＜g（x）可化为：，解得：x＜，或x＞1，故x ≤0；当0＜x＜1时，f（x）＜g（x）可化为：+x，解得：＜x＜，或x＞1，故0＜x＜；当x＞1时，f（x）＜g（x）可化为：+x，解得：＜x＜1，或x＞，故x＞；综上可得：若f（x）＜g（x），则实数x的取值范围是（﹣∞，）∪（，+∞）故选：B．二.填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.9．（5分）已知集合A＝{﹣1，a}，B＝{2a，b}，若A∩B＝{1}，则A∪B＝{﹣1，1，2}．【解答】解：集合A＝{﹣1，a}，B＝{2a，b}，又∵A∩B＝{1}，∴a＝1，2a＝2，则b＝1故A＝{﹣1，1}，B＝{1，2}∴A∪B＝故答案为{﹣1，1，2}10．（5分）如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是8+6π．【解答】解：根据三视图知几何体是组合体，下面是半个圆柱、上面是一个以圆柱轴截面为底的四棱锥，圆柱的底面半径为2，母线长为3；四棱锥的高是2，底面是边长为4、3的矩形，∴该几何体的体积V＝×π×22×3+×3×4×2＝6π+8，故答案为：6π+8．11．（5分）已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y＝lg2，则的最小值是．【解答】解：x＞0，y＞0，lg2x+lg8y＝lg2，可得x+3y＝1．＝＝＝≥＝．当且仅当x＝，x+3y＝1，即y＝＝，x＝＝时取等号．的最小值是．故答案为：．12．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣5）2＝5，过圆心C的直线l交圆C于A，B两点，交y轴于点P．若A恰为PB的中点，则直线l的斜率为±2．【解答】解：根据题意，圆C：（x﹣3）2+（y﹣5）2＝5，圆心C（3，5），则直线L的斜率存在，可设直线L的方程为y﹣5＝k（x﹣3），令x＝0可得y＝5﹣3k，即P（0，5﹣3k），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与圆的方程，消去y可得（1+k2）x2﹣6（1+k2）x+9k2+4＝0，由方程的根与系数关系可得，x1+x2＝6，x1x2＝，∵A为PB的中点，∴x2＝2x1②，把②代入①可得x2＝4，x1＝2，则x1x2＝＝8，解可得：k＝±2，即直线l的斜率为±2；故答案为：±2．13．（5分）已知△ABC中，||＝10，＝﹣16，D为边BC的中点，则||等于3．【解答】解：如图，D为边BC的中点；∴＝；根据余弦定理：＝＝＝；∴．故答案为：3．14．（5分）函数f（x）＝sin x（sin x+cos x）﹣在区间（）（0＜a＜1）上有且仅有一个零点，则实数a的取值范围是（，）∪（，1）．【解答】解：f（x）＝sin x（sin x+cos x）﹣＝sin2x+sin x cos x﹣＝﹣cos2x﹣+sin2x ＝sin（2x﹣），令f（x）＝sin（2x﹣）＝0，则2x﹣＝kπ，解得x＝π+，k∈Z，当k＝0时，x＝，此时＜＜aπ，解得＜a＜，当k＝1时，x＝π，此时＜π＜aπ，解得＜a＜1，综上所述f（x）在区（，aπ）（0＜a＜1）上有且仅有一个零点，则实数a的取值范围是（，）∪（，1）故答案为：（，）∪（，1）三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤. 15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞c．已知•＝2，cos B＝，b＝3．求：（1）a和c的值；（2）cos（B﹣C）的值．【解答】解：（1）•＝2，cos B＝，b＝3，可得ca cos B＝2，即为ac＝6；b2＝a2+c2﹣2ac cos B，即为a2+c2＝13，解得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2，由a＞c，可得a＝3，c＝2；（2）由余弦定理可得cos C＝＝＝，sin C＝＝，sin B＝＝，则cos（B﹣C）＝cos B cos C+sin B sin C＝×+×＝．16．（13分）有编号为A1，A2，…，A10的10个零件，测量其直径（单位：cm），得到下面数据：其中直径在区间[1.48，1.52]内的零件为一等品．（1）从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；（2）从一等品零件中，随机抽取2个．（i）用零件的编号列出所有可能的抽取结果；（ii）求这2个零件直径相等的概率．【解答】解：（1）由10个零件直径（单位：cm）数据，得：10个零件中，一等品有6个，∴从上述10个零件中，随机抽取一个，这个零件为一等品的概率p＝．（2）①从一等品零件中，随机抽取2个，用零件的编号列出所有可能的抽取结果共15个，分别为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，A5），（A1，A6），（A2，A3），（A2，A4），（A2，A5），（A2，A6），（A3，A4），（A3，A5），（A3，A6），（A4，A5），（A4，A6），（A5，A6）．②这2个零件直径相等包含的基本事件有6个，分别为：（A1，A4），（A1，A6），（A2，A3），（A2，A5），（A3，A5），（A4，A6）．∴这2个零件直径相等的概率p＝＝．17．（13分）如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝，现以AD为一边向形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2．（1）求证：AM∥平面BEC；（2）求证：BC⊥平面BDE；（3）求直线DC与平面BEC所成角的正弦值．【解答】证明：（1）取EC中点N，连结MN，BN，在△EDC中，M，N分别为ED、EC的中点，∴MN∥CD，且MN＝CD．由已知AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABMN为平行四边形．∴BN∥AM．又∵BN⊂平面BEC，且AM⊄平面BEC，∴AM∥平面BEC．（2）在正方形ADEF中，ED⊥AD，又∵平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD＝AD，∴ED⊥平面ABCD，∴ED⊥BC，在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝1，CD＝2，得BC＝．在△BCD中，BD＝BC＝，CD＝2，BD2+BC2＝CD2，∴BC⊥BD．∵ED∩BD＝D，∴BC⊥平面BDE．解：（3）作DH⊥平面BEC于点H，连接CH，则∠DCH为CD与平面BEC所成角，由（2）知，BC⊥BE，BC⊥BD，∴S△BCD＝，又∵ED⊥平面ABCD，＝．∴DH＝，∴sin＝＝．∴CD与平面BEC所成角的正弦值为．18．（13分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝2，S5＝30；数列{b n}的前n项和为T n，且T n＝2n﹣1．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n＝（﹣1）n（a n b n+lnS n），求数列{c n}的前2n项和W2n．【解答】解：（1）等差数列{a n}的前n项和为S n，利用：＝30，且a1＝2，解得：d＝2．故：a n＝2n．数列{b n}的前n项和为T n，且T n＝2n﹣1①．则：当n≥2时：②，①﹣②得：．当n＝1时，符合通项公式．故：．（2）由（1）得到：S n＝n（n+1），故：c n＝（﹣1）n（a n b n+lnS n）＝n•（﹣2）n+（﹣1）n•[lnn+ln（n+1）]设数列{（﹣1）n a n b n}的前2n项和为A2n，数列{（﹣1）n lnS n}的前2n项和为B2n，则：+2•（﹣2）2+…+n•（﹣2）n①．﹣2A2n＝1•（﹣2）2+2•（﹣2）3+…+n•（﹣2）n+1②．①﹣②得：3A2n＝（﹣2）1+（﹣2）2+…+（﹣2）2n﹣2n•（﹣2）2n+1解得：A2n＝，数列{（﹣1）n lnS n}的前2n项和，利用叠加法得到：B2n＝﹣（ln1+ln2）+（ln2+ln3）+…+（ln2n+ln（2n+1）），＝ln（2n+1）﹣ln1，＝ln（2n+1）．故：W2n＝ln（2n+1）．19．（14分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线x＝2与椭圆C交于P，Q两点，A，B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点，且直线AB的斜率为．（i）求四边形APBQ面积的最大值；（ii）设直线P A的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，判断k1+k2的值是否为常数，并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为．由已知b＝2，离心率e＝，a2＝b2+c2，得a＝4，所以，椭圆C的方程为．（Ⅱ）①由（Ⅰ）可求得点P、Q的坐标为P（2，3），Q（2，﹣3），则|PQ|＝6，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y＝x+t，代入，得：x2+tx+t2﹣12＝0．由△＞0，解得﹣4＜t＜4，由根与系数的关系得，四边形APBQ的面积，故当t＝0时，；②由题意知，直线P A的斜率，直线PB的斜率，则＝＝，由①知，可得，所以k1+k2的值为常数0．20．（14分）设函数f（x）＝+x2+（m2﹣1）x（x∈R），其中m＞0．（1）当m＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；（2）求函数f（x）的单调区间与极值；（3）已知函数f（x）有三个互不相同的零点0，x1，x2，且x1＜x2，若对任意的x∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）恒成立，求m的取值范围．【解答】解：（1）当，故f'（1）＝﹣1+2＝1，所以曲线y＝f（x）在点（1，）处的切线的斜率为1．方程为y﹣＝x﹣1，即为y＝x﹣（2分）（2）f'（x）＝﹣x2+2x+m2﹣1，令f'（x）＝0，解得x＝1﹣m或x＝1+m．∵m＞0，所以1+m＞1﹣m，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：∴f（x）在（﹣∞，1﹣m），（1+m，+∞）内是减函数，在（1﹣m，1+m）内是增函数．函数f（x）在x＝1﹣m处取得极小值f（1﹣m），且f（1﹣m）＝，函数f（x）在x＝1+m处取得极大值f（1+m），且f（1+m）＝．（6分）（3）由题设，，∴方程有两个相异的实根x1，x2，故，∵m＞0解得m，（8分）∵x1＜x2，所以2x2＞x1+x2＝3，故x2＞．（10分）①当x1≤1＜x2时，f（1）＝﹣（1﹣x1）（1﹣x2）≥0，而f（x1）＝0，不符合题意，②当1＜x1＜x2时，对任意的x∈[x1，x2]，都有x＞0，x﹣x1≥0，x﹣x2≤0，则，又f（x1）＝0，所以f（x）在[x1，x2]上的最小值为0，于是对任意的x∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）恒成立的充要条件是f（1）＝m2﹣＜0，解得，∵由上m，综上，m的取值范围是（，）．（14分）。
天津市南开中学2018届高三第五次月考数学(文)试题(含答案)
天津南开中学2018届高三第五次月考数学（文史类）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数()2(2)i a i +-的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a i += ( ) A ．5 B ．10 C ．37 D ．1022.“lg ,lg ,lg x y z 成等差数列”是“2y xz =”成立的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3.已知实数,x y 满足,1,1.y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则目标函数2z x y =-的最大值为( )A ．-3B ．12C ．5D ．6 4.设30.330.2,log 0.2,log 0.2a b c ===，则,,a b c 大小关系正确的是( )A ．a b c >>B ．b a c >> C.b c a >> D ．c b a >> 5.执行下面的程序框图，如果输入的0,1x y ==，1n =，则输出,x y 的值满足( )A ．2y x =B ．3y x = C.4y x = D ．5y x =6.已知抛物线28y x =的准线与双曲线222116x y a -=相交于,A B 两点，点F 为抛物线的焦点，ABF ∆为直角三角形，则双曲线的离心率为( )A ．3B ．2 C.6 D ．37.若关于x 的不等式23x a x -+>至少有一个复数解，则实数a 的取值范围是( ) A ．133,4⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．1313,44-⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.()3,3- D ．13,34⎡⎫-⎪⎢⎣⎭8.已知函数(),()112x x xf xg x x +==+-，若()()f x g x <，则实数x 的取值范围是( ) A ．1515,,22⎛⎫⎛⎫---+-∞+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．1515,,22⎛⎫⎛⎫-++-∞+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.1515,22⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭ D ．1515,11,22⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.已知集合{}{}1,,2,n A a B b =-=，若{}1AB =，则A B =__________.10.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是__________.11.已知0,0,lg 2lg8lg 2xyx y >>+=，则x yxy+的最小值是__________. 12.已知圆22:(3)(5)5C x y -+-=过圆心C 的直线l 交圆C 于,A B 两点，交y 轴于点P ，若A 恰为PB 的中点，则直线l 的斜率为__________.13.已知ABC ∆中，10,16,BC AB AC D =⋅=-为边BC 的中点，则AD 等于 ．14.函数1()sin (sin cos )2f x x x x =+-在区间(),012a a a ππ⎛⎫<< ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且a c >，已知2BA BC ⋅=,1cos ,33B b ==.求： (1)a 和c 的值； (2)cos()BC -的值. 16.有编号为1210,,,A A A 的10个零件，测量其直径（单位：cm ），得到下面数据： 编号 1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A直径1.511.491.491.511.491.511.471.461.531.47其中直径在区间[]1.48,1.52内的零件为一等品.(1)从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率； (2)从一等品零件中，随机抽取2个. (i)用零件的编号列出所有可能的抽取结果； (ii)求这个零件直径相等的概率.17. 如图1，在直角梯形ABCD 中，//,AB CD AB AD ⊥，且112AB AD CD ===.现以AD 为一边向形外作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使平面ADEF 与平面ABCD 垂直，M 为ED 的中点，如图2.(1)求证：//AM 平面BEC ； (2)求证：BC ⊥平面BDE ；(3)求直线DC 与平面BEC 所成角的正弦值.18. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且152,30a S ==；数列{}n b 的前n 项和为n T ，且21nn T =-.(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)设(1)(ln )nn n n n c a b S =-+，求数列{}n c 的前2n 项和2n W .19.已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为12，短袖长为43. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线2x =与椭圆C 交于,P Q 两点，,A B 是椭圆C 上位于直线PQ 两侧的动点，且直线AB 的斜率为12. (i)求四边形APBQ 的面积的最大值；(ii)设直线PA 的斜率为1k ，直线PB 的斜率为2k ，判断12k k +的值是否为常数，并说明理由.20.设函数3221()(1)()2f x x x m x x R =-++-∈，其中0m >. (1)当1m =时，求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线的斜率； (2)求函数()f x 的单调区间与极值；(3)已知函数()f x 有三个互不相同的零点120,,x x ，且12x x <，若对任意的[]12,,()(1)x x x f x f ∈>恒成立，求m 的取值范围.天津南开中学2018届高三第五次月考参考答案一、选择题1-5:CACBC 6-8:AAB二、填空题9.{}1,1,2- 10.86π+ 11.234+ 12.2± 13.3 14.115,,1848⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭三、解答题15.(1)由2BA BC ⋅=得cos 2ca B =. 又1cos 3B =，所以6ac =. 由余弦定理，得2222cos a c b ac B +=+. 又3b =，所以2292213a c +=+⨯=. 解226,13,ac a c =⎧⎨+=⎩得2,3a c ==或3,2a c ==. 因为a c >，所以3,2a c ==.(2)在ABC ∆中，22122sin 1cos 133B B ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭.由正弦定理，得22242sin sin 339c C B b ==⨯=. 因为a b c =>，所以C 为锐角；因此22427cos 1sin 199C C ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭. 于是()17224223cos cos cos sin sin 393927B C B C B C -=+=⨯+⨯=. 16.(1)由所给数据可知，一等品零件共有6个.设“从10个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件A ，则63()105P A ==. (2) (1)一等品零件的编号为123456,,,,,A A A A A A ，从这6个一等品零件随机抽取2个，所有可能的结果有：{}{}{}{}{}{}{}12131415162324,,,,,,,,,,,,,A A A A A A A A A A A A A A ,{}{}{}252634,,,,,A A A A A A ,{}{}3536,,,A A A A ,{}{}{}454656,,,,,A A A A A A ,共有15种.(Ⅱ)“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”（记为事件B ）的所有可能结果有：{}{}{}{}{}{}141623253546,,,,,,,,,,,A A A A A A A A A A A A ,共有6种.所以62()155P B ==. 17.(1)取EC 中点N ，连接,MN BN .因为MN 是ECD ∆的中位线，所以//MN CD ,且12MN CD =. 由已知1//,2AB CD AB CD =, 所以//MN AB ，且MN AB =. 所以四边形ABMN 为平行四边形. 所以//BN AM .又因为BN ⊂平面BEC ，且AM ⊄平面BEC ， 所以//AM 平面BEC .(2)在正方形ADEF 中，ED AD ⊥.又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF 平面ABCD AD =，所以ED ⊥平面ABCD ，所以ED BC ⊥.在直角梯形ABCD 中， 1.2AB AD CD ===,可得2BC =.在BCD ∆中，2BD BC ==,2CD =.所以222BD BC CD +=. 所以BC BD ⊥. 所以BC ⊥平面BDE . (3)由(2)知，BC ⊥平面BDE .又因为BC ⊂平面BCE ,所以平面BDE ⊥平面BEC . 过点D 作EB 的垂线交EB 于点G ， 则DG ⊥平面BEC .连接GC ，则DCG ∠为直线DC 与平面BEC 所成角. 在直角三角形BDE 中，1122BDE S BD DE BE DG ∆=⋅=⋅， 所以2633BD DE DG BE ⋅===, 因此6sin 6DG DCG DC ∠==.18.(1)记等差数列{}n a 的公差为d ， 依题意，得515(51)5302S a d -=+=， 结合12a =，解得2d =，所以数列{}n a 的通项公式2n a n =；因为21nn T =-，所以()11212n n T n --=-≥， 两式相减，得12n n b -=.又因为111211b T ==-=满足上式， 所以数列{}n b 的通项公式12n n b -=.(2) 由(1)可知2nn n a b n =⋅，(1)n S n n =+，则()[](1)(ln )2(1)ln ln(1)nn n n n n n c a b S n x n =-+=-+-++， 记数列(){}1nn n a b -的前2n 项和为2n A，数列(){}1ln nnS -的前2n 项和为2nB，则()()31221(2)2(2)322n n A n =⋅-+⋅-+⋅-++⋅-，()()()()21322122(2)122nn n A n n +-=⋅-+⋅-++-⋅-+⋅-，以上两式相减，得()21232123(2)+(-2)(2)22(2)nn n A n +=-+-++---()()2212122(2)1(2)nn n +⎡⎤---⎣⎦=----21261(2)33n n ++=-- 所以()212261299n n n A ++=---；又()()()[]2ln1ln 2ln 2ln3ln3ln 4ln(2)ln(21)n B n n =-+++-+++++ln(21)ln1n =+-ln(21)n =+综上数列{}n c 的前2n 项和21222261ln(21)(2)99n n n n n W A B n ++=+=+--- 19.(1)设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由已知23b =，离心率12c e a ==，222a b c =+，得4a = 所以，椭圆C 的方程为2211612x y +=. (2)(Ⅰ)由(1)可求得点,P Q 的坐标为(2,3),(2,3)P Q -,则6PQ =.设()()1122,,,A x y B x y ，设直线AB 的方程为12y x t =+，代入2211612x y += 得22120x tx t ++-=.由0∆>，解得44t -<<，由根与系数的关系得12222,12.x x t x x t +=-⎧⎨=-⎩ 四边形APBQ 的面积()2121212163434832S x x x x x x t =⨯⨯-=⨯+-=-故当max 0,123t S ==.(Ⅱ)由题意知，直线PA 的斜率11132y k x -=-，直线PB 的斜率22232y k x -=-，则1212123322y y k k x x --+=+-- 121211332222x t x t x x +-+-=+-- 121211(2)2(2)22222x t x t x x -+--+-=+--1222122t t x x --++-- ()1212122(4)12()4t x x x x x x -+-=+-++，由(1)知12212,12,x x t x x t +=-⎧⎨=-⎩可得 ()212222(4)2811110122428t t t t k k t t t t -----++=+=+=-=-+++-所以12k k +的值为常数0. 20.(1)当1m =时， 故321()3f x x x =-+， 2'()2f x x x =-+， '(1)1f =.所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的斜率为1. (2)22'()21f x x x m =-++-，令'()0f x =，解得1x m =-或1x m =+. 因为0m >，所以11m m +>-.当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表：x(),1m -∞-1m -()1,1m m -+ 1m + ()1,m ++∞'()f x - 0 + 0 - ()f x极小值极大值所以()f x 在(),1m -∞-，()1,m ++∞内是减函数，在()1,1m m -+内是增函数.函数()f x 在1x m =-处取得极小值(1)f m -，且3221(1)33f m m m -=-+-， 函数()f x 在1x m =+处取得极大值(1)f m +，且2221(1)33f m m m +=+-.(3)由题设，221()13f x x x x m ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭121()()3x x x x x =---，所以方程221103x x m -++-=有两个相异的实根12,x x ，故123x x +=，且241(1)03m ∆=+->，解得12m <-（舍）或12m >，因为12x x <，所以21223x x x >+=，若121x x ≤<，则121(1)(1)(1)03f x x =---≥， 而1()0f x =，不合题意.若121x x <<，对任意的[]12,x x x ∈，有120,0,0x x x x x >-≥-≤，则()()121()03f x x x x x x =---≥.又1()0f x =，所以()f x 在[]12,x x 上的最小值为0.于是对任意的[]12,x x x ∈，()(1)f x f >恒成立的充要条件是21(1)03f m =-<， 解得3333m -<<. 综上，m 的取值范围是13,23⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.。
重庆南开中学高级高三5月月考.docx
重庆南开中学高2013级高三5月月考数学试题（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、设全集为R ，集合{}12,01A x x B xx ⎧⎫=≤=>⎨⎬-⎩⎭，则R A C B =（ ） A 、[)2,1- B 、[]2,1-C 、[]2,2-D 、[)2,-+∞ 2、若复数()()2232m m m m i -+-+是纯虚数，则实数m 的值为（ ）A 、0或2B 、2C 、0D 、1或2 3、已知()tan :,:log 42p q f x x αππα<<=在()0,+∞内是增函数，则p q 是的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件 4、设数列{}n a 是公差不为零的等差数列，它的前n 项和为n S ，且1S 、2S 、4S 成等比数列，则41a a 等于（ ） A 、3 B 、4 C 、6 D 、75、执行如图所示的程序框图，若输出x 的值为27，则输入的x 值为（ ）A 、2B 、3C 、4D 、56、已知,a b R +∈，直线6ax by +=平分圆22240x y x y m +--+=的周长，则25a b a b +++的最大值为（ ）A 、6B 、4C 、3D 、37、定义行列式运算：12142334a a a a a a a a =-，将函数()3cos 21sin 2x f x x=的图象向左平移m 个单位()0m >，若所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是（ ）A 、6πB 、56π C 、3π D 、23π 8、过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为A ，延长FA 交双曲线右支于点P ，若A 为线段PF 靠近F 的三等分点，则该双曲线的离心率为（ ）A 、52B 、133C 、5D 、1329、某车队将选派5辆车赴灾区的,,A B C 三地运送救援物资，每地至少派一辆车，其中甲车不派往A 地，则不同的分配方案有（ ）A 、120种B 、112种C 、100种D 、72种 10、设集合()11,()11A x y xy x y x y ⎧⎫⎪⎪=+++-≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭，(){}22,1B x y x y =+≤，则在同一直角坐标平面内，A B 所形成区域的面积为（ ） A 、2132π+ B 、12π+ C 、23π+ D 、223π+第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分。
天津市南开中学2017届高三第五次月考数学试卷及答案--(文科)
4. 若 ，则直线 被圆 所截得的弦长为（ ）
A．
B． C.
D．
5. 将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图 为（ ）
A．
B．
C.
D．
6. 如图， 是椭圆
与双曲线 的公共焦点， 分别是 在第二、四象限的公共点，若四边形
为矩形，则 的离心率是（ ）
A． B． C. D．
19. 已知数列 的前 项和
为正整数） . （ 1）令
，证明数列 是等差数列；
（ 2）求数列 的通项公式；
（ 3）令
. 是否存在最小的正整数 ，使得对于 都有 恒成立？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由 .
20. 已知函数 .
（ 1）当 时，求函数 的单调区间；
（ 2）若函数 有两个极值点 ，且 ，证明
20. 解：
. (1) 当
时，
，令 ，有
或 ，当
或 时， ；当
时， . 所以
的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 .
(2) 由于 有两个极值点 ，则 有两个不相等的实根，所以 ，即 ，
，设 ，则 ， 在
上单调递减，所以 ，即 .
（ 2）求二面角 的大小 .
18. 椭圆
的左焦点为 ，右焦点为 ，离心率
，过 直线椭圆于 两点，且 的周长为 .
（ 1）求椭圆 的方程；
（ 2）设动直线 与椭圆 有且只有一个公共点 ，且与直线 相交于点 . 试探宄：在坐标平面内是否存在定点 ，使得以 为直径的圆恒过点
？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由 .
7. 设 ， ，若 ，则 最大值为（ ）
A． B．
C. D．
重庆市南开中学12—13上学期高三数学(文科)5月模拟考试试卷
重庆市南开中学2012届高三5月月考数学(文)试题本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合1{|3},|2},2x M x x N x MN ⎧⎫=<=>⎨⎬⎭⎩则等于( )A ．φB ．{|13}x x -<<C ．{|03}x x <<D ．{|13}x x <<2．从10名女生与5名男生中选出6名同学组成课外兴趣小组，如果按照性别分层随机抽样，则男生甲的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．已知命题p ：“1xy >”，命题q ：“0x y >>”，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭条对称由是( ) A ．2x π=B ．4x π=C ．34x π=D ．x π=5．已知函数21(0)13(),(),12(0)x x f x f x x x⎧-≥⎪⎪==-⎨⎪<⎪⎩若则实数x 的值为( )A．2-B．34C．324-或D．不存在6．球面有三点A、B、C，任意两点之间的球面距离都等于球大圆周长的四分之一，且||AB=( )A．34πB．3C．D．7．正项数列{}na满足，2211122311111,21,n n nn na a a aa a a a a a++==++++=+则( )8．已知函数231()112()4,(2012)2012f x a og b og x f f=++=且则的值为( )A．—4B．2C．0` D．—29．在直角坐标系,(1,2,3,4),(1,2,3,4) xOy x m m y n n====平面内平行直线与平行直线组成的所有矩形中任取一个矩形，恰好是正方形的概率是( )A．718B．14C．12D．51810．以椭圆的右焦点F2为圆心作一个圆，使此圆过椭圆的中心O并交椭圆于点M、N，若过椭圆的左焦点F1的直线MF1是圆F2的切线，则右准线与圆F2( )A．相交B．相切C．相离D．位置关系随离心率改变第Ⅱ卷(非选择题，共100分)二、填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上)11．已知660160123456(2),x a a x a x a a a a a a a-=++++++++=则________12．平面向量a b a a b与的夹角为60,||=2,|b|=1,则|+2|等于________13．已知x，y满足124,31x yx y z x yx-≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥⎩则函数的最大值是________．14．若12,,1,2a b R a ba b+∈+=-且则-的最大值是________．15．6位身高不同的同学拍照，要求分成两排三列，每排3人，则每列后排均比其正前排的同学身村要高的排法有________种．三、解答题(共6小题；共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)16．(共13分)已知△ABC的面积为2AB且·2AC =(1)求tan A的值；(2)求22sin2sin cos1222cos()4A A AAπ+--的值．17．(13分)某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在峨眉山、泰山、华山3个景中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的．(1)求3个景区都有部门选择的概率；(2)求恰有两个部门选择峨眉山旅游的概率．18．(13分)已知数列{}4 n n n na a≥=+中,前n项和为S,对于任意n1时,3S(1)求数列{}na的通项公式；(2)若数列{}2,{}n n n n n b b S b n T=满足求数列的前项和19．(12分)如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为棱CC 1的中点．(1)求证：AB 1⊥平面A 1BD ；(2)求二面角A —A 1D —B 的大小．20．(12分)已知函数321()43cos ,,,0.322f x x x x R πθθθ=-+∈≤≤其中为参数且(1)当θcos =0时,判断函数()f x 是否有极值；(2)要使函数()f x 的极小值大于零，求参数θ的取值范围；(3)若对(Ⅱ)中所求的取值范围内的任意参数θ，函数()f x 在区间(2a －1，a )内都是增函数，求实数a 的取值范围．21．(12分)已知抛物线2:2(0):C x my m l y x m =>=-和直线没有公共点(其中m 为常数)．动点P 是直线l 上的任意一点，过P 点引抛物线C 的两条切线，切点分别为M 、N ，且直线MN 恒过点Q (1，1)．(1)求抛物线C 的方程；(2)已知O 点为原点，连结PQ 交抛物线C 于A 、B 两点，求||||||||PA QA PB QB -的值．参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 1—5 CBABC 6—10 BDCDA10．设),,(),,(2211y x M y x P 由于PM 过焦点F ，所以有,41,12121=-=x x y y 再设),(33y x N ，则有22331111(,),(,)44P Q x y x y --，将P 点代入直线方程有,0422=+-c y bx a 两边同乘以2x 有.22,04222222222y x y x y cx y bx a =⇒==+-又 所以,04222=+-a yb cx 同理04233=+-ay b cx ，故所求直线为024=+-a by cx ；故选A ．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上． 11．31 12．3 13．),3(+∞ 14．3≤a 15．332-15．解：设x AD =，折叠后顶点A 落在线段BC 上的'A 点，则在△'A BD 中，设∠D 'A B =θ，易得：)3π2,6π[∈θ； 在△'A BD 中，由正弦定理有：,sin 1sin θx B x -=即：;sin 2)1(3θ=-xx 又1sin ≤θ， 于是：33212)1(3-≥⇒≤-x xx ，当且仅当2π=θ时取等号．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．(本小题满分13分)解：(Ⅰ)由题可知： ;92n an S n -=又}{n a 为等差数列，设公差和首项分别为,1a d 、且,2=d于是：,)2(212n da n d S n -+=比较可知：1=a ……6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知：|;9|||-==n n S b n n 当;2)17(,91n n S n n -=≤≤时……9分 当10≥n 时，2)91)(9(2)81(8)]9(21[)178(-+-++=-+++++++=n n n S n2)8)(9(36--+=n n ……13分17．(本小题满分13分)解：(Ⅰ)由题可知：;1sin 22cos 2)2πcos(1sin 4)(+=++-⋅=x x x x x f ωωωω 当1=ω时，,1sin 2)(+=x x f 则：π2=T ……7分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知：,1sin 2)(+=x x f ω欲使)(x f 在]32π,2π[-上单调递增， 则有：π2π2π2π[,][,]2344ωω-⊆-，于是：3(0,]4ω∈……13分18．(本小题满分13分)解：记“甲在第i 次获胜”为事件21(1,2,,5,6)(),();33i i i A i P A P A =⇒==(Ⅰ)记“经过4次比赛甲获胜”为事件B ，由事件的独立性有： 81163232323132323132)()(43214321=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=+=A A A A A A A A P B P ……6分 (Ⅱ)记“最多经过4次比赛结束”为事件C ，则：432143212121()(A A A A A A A A A A A A P C P +++=8165)43214321=++A A A A A A A A ……13分 19．(本小题满分12分) 解：法一：(Ⅰ)取B 1C 1的中点D ，连结A 1D ，MD ，则A 1D ⊥B 1C 1又由题意可知MD ∥AA 1，所以MD ⊥面A 1B 1C 1，所以MD ⊥B 1C 1，所以B 1C 1⊥面A 1DM ，所以B 1C 1⊥A 1M ……6分 (Ⅱ)过D 作DN ⊥B 1M 于N ，连结A 1N ，由(Ⅰ)可知A 1D ⊥面BB 1C ，由三垂线定理可知∠A 1ND 为二面角C 1－B 1M －A 1的平面角A 1D ,1,23,31===D B MD 在1Rt MDB △中，13311=⋅=MB MD D B DN 所以tan ∠A 1ND 3391333==……12分 法二：如图建立直角坐标，则)1,3,1(),0,3,1(),2,0,2(),0,0,2(),0,0,0(111--C C B B A则)23,23,23(-M (Ⅰ)11133(,)(1,0,22A MBC ⋅=⋅-=∴M A 1⊥11C B ……6分 (Ⅱ)取11C B 的中点)0,23,23(-D ，取面M C B 11的法向量)0,1,3(-设面M B A 11的法向量为),,(z y x =，则⎪⎩⎪⎨⎧⇒=+-=⋅-=⋅==⋅=⋅0232323),,()23,23,23(02),,()0,0,2(111z y x z y x A x z y x n B A )1,3,0(=,434)1,3,0()0,1,3(cos 111=⋅->=--<∴A M B C所以339tan 111>=--<A M B C ……12分 20．(本小题满分12分)解：(Ⅰ)对)(x f 求导得：)1(2)13()('2+++-=a a x a x x f ，代入2=a 有)4)(3()('--=x x x f ；令0)('>x f 得),4(),3,(+∞-∞∈x ； 又令0)('<x f ，得到：),4,3(∈x于是：)(x f 在),4(),3,(+∞-∞上单调递增；)(x f 在)4,3(上单调递减……5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知：)]1()[2()('+--=a x a x x f1)当1<a 时，有：12+<a a ，令0)('>x f 得：);,1(),2,(+∞+-∞∈a a x 再令0)('<x f 得：)1,2(+∈a a x ，故)(x f 在),1(),2,(+∞+-∞a a 上单调递增，在)1,2(+a a 上单调递减；此时可知：)2(a f 为)(x f 的极大值，)1(+a f 为)(x f 的极小值；欲使)(x f y =的图像与x 轴恰有三个交点，则必有：,0)1(0)2(⎩⎨⎧<+>a f a f即是：,06)15()1(0232223⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-+>+a a a a 解得：)51,0()0,1()1,3(⋃-⋃--∈a ……9分2)当1>a 时，有：12+>a a ；令0)('>x f 得：),2(),1,(+∞+-∞∈a a x ；再令()0f x '<得：(1,2),x a a ∈+故()f x 在(,1),(2,)a a -∞++∞上单调递增，在)2,1(a a +上单调递减；此时可知：)1(+a f 为)(x f 的极大值，)2(a f 为)(x f 的极小值；欲使)(x f y =的图像与x 轴恰有三个交点，则必有：,0)1(0)2(⎩⎨⎧>+<a f a f即是：3222203,(1)(51)06a a a a a ⎧+<⎪⎪⇒∈∅⎨+-⎪>⎪⎩综上可知：)51,0()0,1()1,3(⋃-⋃--∈a ……12分21．(本小题满分12分)(Ⅰ)由题知点P 到)0,21(F 的距离与它到直线21-=x 的距离相等， 所以点P 的轨迹是抛物线，方程为;22x y =……4分 (Ⅱ)设),0(),,0(),,(00c C b B y x Q ，则x x by b y QB 00:-=-即 0)(000=+--b x y x x b y由直线QB 是圆的切线知1)(||22000=+-+-x b y b x b y 即02)2(0020=-+-x b y b x同理：2000(2)20x c y c x -+-=所以c b ,是方程02)2(0020=-+-x t y t x 的两根2,220000--=--=+∴x xbc x y c b ……8分 0002020024)2(421||21x x x x y x c b S QBC⋅-+-=-=∴∆ 又,|2|202002-=∴=∆x x S x y QBC由题知2,2200200-=-=∴>∆x t x x S x QBC令 则2(2)44448,QBC t S t t t+==++≥+=△当2=t 即40=x 时，取“＝”QBC ∴△面积的最小值为8．……12分。
重庆市南开中学2010届高三下学期3月月考数学试题及答案详解(文科)
数
学 ( 文科 )
本试题分第Ⅰ卷 ( 选择题 ) 和第Ⅱ卷 ( 非选择题 ) 两部分 . 共 150 分，考试时间 120 分钟 .
第Ⅰ卷 ( 选择题，共 50 分)
注意事项：
1 ．答题前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目填涂在答题卡上
.
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮
0 知 A(
p ,(1
4
2
3 22
2) p), B(
p,(1
2
2) p)
所以 (1 2) p y0 (1 2) p, 则当 y0 p 时， dmax
2 p
2
1
2
则 ( S ABM ) max
4p
p
2 p2
2
2
21． (1) 解： a1 1, a2 3,a3 7 事实上，要将 n 个圆盘全部转移到 C 柱上，只需先将上面 n 1 个圆盘转移到 B 柱上，需
(1) 求函数的单调区间及最值；
D C
B
(2) a 为何值时，方程 f (x) 0 有三个不同的实根 .
20．(12 分 ) 如图，斜率为 1 的直线过抛物线 y 2 M 为抛物线弧 AB 上的动点 .
2 px( p
0) 的焦点，与抛物线交于两点
y
A、 B,
(1) 若 | AB | 8, 求抛物线的方程；
12． -2
13． 2n
14 ． 22 3
三、解答题
16．解： f ( x) a b 2cos x (sin x cos x) 1
15 ． 3 5 , 5
sin 2 x 1 cos2 x 1
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南开中学高2010级高三5月月考试卷数学(文科)本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题，共50分)注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目填涂在答题卡上.2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上. 3．考试结束，监考人员将答题卡收回.一、选择题：(本大题10个小题，每小题5分，共50分)各题答案必须答在答题卡上. 1．设集合{1,2,3,4,5},U ={1,3,5},{2,3,5},A B ==则()U C A B =( )A ．{4}B ．{3,5}C ．{1,2,4}D ．∅2．函数()c o s ()(0)6f x x πωω=+>的图象相邻两条对称轴之间的距离是2,3π则ω=( )A ．23B ．43C ．32D ．343．数列{}n x 中，若11,x =111,1n n x x +=-+ 则2010x 的值为( ) A ．1-B ．12-C ．12D ．14．圆222210x x y y -+-+=关于直线10x y -+=对称的圆的方程是( ) A ．22(2)1x y +-= B ．221x y +=C ．22(2)1x y -+=D ．22(2)(2)1x y -+-=5．不等式111x x +<-的解集为( ) A ．{|011}x x x <<>或 B ．{|01}x x << C ．{|10}x x -<<D ．{|0}x x <6．已知函数2log (1)(), (1)x x f x x c x ≥⎧=⎨+<⎩则“1c =-”是“函数()f x 在R 上递增”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．在直角梯形ABCD 中，//,AB CD ,AD AB ⊥45,22,B AB CD ∠===M 为BC 的中点，则MA MD ⋅=( )A ．4B ．3C ．2D ．18．将3个相同的黑球和3个相同的白球自左向右排成一排，如果满足：从任何一个位置(含这个位置)开始向左数黑球的个数总是不小于白球的个数，就称这种排列为“有效排列”，则出现“有效排列”的概率为( ) A ．12B ．14C ．15D ．1109．已知函数()()f x x R ∈满足(1)2,f =-且()f x 的导函数'()1,f x <若()3,g x x =-则()()f x g x < 的解集为( )A ．{}11x x -<<B ．{}1x x <-C ．{}11x x x <->或D ．{}1x x >10．过抛物线24y x =的焦点F 作直线l 交抛物线于,A B 两点，若111,||||2AF BF -= 则直线l 的倾斜角(0)2πθθ<≤等于( )A ．2πB ．3π C ．4π D ．6π第Ⅱ卷(非选择题，共100分)二、填空题：(本大题5个小题，每小题5分，共25分)各题答案必须填写在答题卡上(只填结果，不要过程) 11．在一次数学考试中，随机抽取100名同学的成绩作为一个样本，其成绩的分布情况如下：则该样本中成绩在(80,100]内的频率为_______________.12．已知某正四棱柱有内切球，则此正四棱柱与它的内切球体积之比为________________. 13．(2nx -的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是______________.14．函数()(2cos )(2sin )f x x x =++的最小值为_____________.15．已知集合A 为11111,,,,,242n -⎧⎫⎨⎬⎩⎭…设A 的所有三元子集的元素的和是,n S 则10S =__________.三、解答题：(本大题6个小题，共75分)各题解答必须答在答题卡上(必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程)16．(13分)在ABC ∆中，边,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若2(sin,1),2B Cm += 7(cos 2,4)2n A =+且//.m n(1)求角A 的度数；(2)若3,a b c =+= 求ABC ∆的面积.S17．(13分)某射手A 第n 次射击时击中靶心的概率为1()(1,2,).1P n n n ==+… (1)求A 射击5次，直到第5次才击中靶心的概率;P (2)若A 共射击3次，求恰好击中1次靶心的概率.18．(13分)如图，已知ABCD 是边长为2的正方形，DE ⊥ 平面,ABCD BF ⊥平面,ABCD 且2 2.FB DE == (1)求点E 到平面FBC 的距离； (2)求证：平面AEC ⊥平面.AFC19．(12分)函数32()2f x x ax bx =++-的图象在与y 轴交点处的切线方程为.y x a =+ (1)求函数()f x 的解析式；ABCDEF(2)设函数1()(),3g x f x mx =+ 若()g x 存在极值，求实数m 的取值范围.20．(12分)已知点1(,0),4C 椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右准线1:2l x =与x 轴相交于点,D 右焦点F(1)求椭圆的方程；(2)是否存在过点F 且与x 轴不垂直的直线l 与椭圆交于A B 、两点，使得()CA CB BA +⊥？若存在，求出直线;l 若不存在，说明理由.21．(12分)已知数列{}n a 满足：{}n a n是公差为1的等差数列，且121.n n n a a n ++=+ (1)求数列{}n a 的通项公式;n a(2)设*),n b n N =∈求证：12 1.n b b b +++<…部分参考答案： 一、选择题1．C 2．B 3．D 4．C 5．A6．A 7．B 8．C 9．B 10．D二、填空题11．0.23 12．7 1315．2三、解答题 16．解：(1)//m n27sin cos 22214B C A ++=∴27cos 24sin 22A A π-+= 2272cos 14cos 22A A -+= 2252cos 2(2cos 1)22cos 222A A A +=-+=+ 212cos 2cos 02A A -+=2(2cos 1)0A -= 1cos 2A =∴ 又A 为三角形内角60.A =∴(2)222cos 22b c a A bc bc+-=⇒=11sin 222ABC S A bc ∆=⋅⋅==∴ 17．解：(1)记转盘A 指针指向1，2，3区域的事件为123,,;A A A 同理转盘B 指针指向1，2，3区域的事件为123,,.B B B 11()(1())P P A P B =⋅-∴11()6P A =21()3P A = 31()2P A =11()3P B =21()2P B = 31()6P B =11121(1)63639P =⨯-=⨯=∴(2)2,3,4,5,6ξ=1116(2)()()18108P P A P B ξ==⋅==122121(3)()()()()108P P A P B P A P B ξ==⋅+⋅=13223139(4)()()()()()()108P P A P B P A P B P A P B ξ==⋅+⋅+⋅= 233233(5)()()()()108P P A P B P A P B ξ==⋅+⋅= 339(6)()()108P P A P B ξ==⋅= ∴1086E ξ==18．(1)证明：建立如图坐标系 (0,0,0),(0,0,1)D E ∴(2,0,0),(0,2,0),(2,2,2)A C F (2,0,1),(0,2,1)AE EC =-=-∴(0,2,2),(2,0,2)AF FC ==--设m 为面AEC 法向量 111(,,)m x y z =111120(1,1,2)20x z m y z -+=⎫⇒=⎬-=⎭设n 为面AFC 法向量 222(,,)n x y z =2222220(1,1,1)220y z n x z +=⎫⇒=-⎬--=⎭cos 0m n <⋅>==.m n ⊥∴∴面AEC ⊥面.AFC (2)提示：由EDBF 为切面.19．解：(1)()ln()xf x e a =+Zy()ln()xf x e a --=+()f x 为R 上奇函数()()f x f x =--∴，()()0f x f x +-= ln()ln()0xxe a e a -+++=，ln()()0x x e a e a -++=21ln1()0xx a e a e+++=21()0xx a e a e++=∴ 1xxe a e +=- 21x xe a e +=- 1()()1xx a e a e++= ∴当0x =时，2(1)111a a +=⇒+=± 0a =∴或 2.a =-(2)(3)略20．(1)解：2222.a a c c=⇒=2,a = 1c =∴ 1b =∴2212x y -=∴ (2)略 21．略。