课时提升作业(三十九) 6.5

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课时提升作业(三十九)
合情推理与演绎推理
(45分钟100分)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.(2015·漳州模拟)若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a∈R，结论是：a2>0，那么这个演绎推理出错在( )
A.大前提
B.小前提
C.推理过程
D.没有出错
【解析】选A.要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提、小前提和推理形式是否都正确，只有这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确.本题中大前提：任何实数的平方都大于0，是不正确的.
2.定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：
(1)1*1=1.(2)(n+1)*1=n*1+1.则n*1等于( )
A.n
B.n+1
C.n-1
D.n2
【思路点拨】通过已知条件“迭代法”推理求解n*1或利用累加法求解.
【解析】选 A.方法一：由(n+1)*1=n*1+1，得n*1=(n-1)*1+1=(n-2)*1+2=…=1*1+(n-1).又因为1*1=1，所以n*1=n.
方法二：由(n+1)*1=n*1+1可得
n*1=(n-1)*1+1
(n-1)*1=(n-2)*1+1
3*1=2*1+1
2*1=1*1+1=1+1
累加得n*1=+1=n.
【误区警示】本题在“迭代法”或“累加法”时易出现项数多少不清导致错解.
3.(2015·泉州模拟)若函数y=f(x)满足：集合A={f(n)|n∈N*}中至少有三个不同的数成等差数列，则称函数f(x)是“等差源函数”，则下列四个函数中，“等差源函数”的个数是( )
①y=2x+1；
②y=log2x；
③y=2x+1；
④y=sin
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选C，①y=2x+1，n∈N*，是等差源函数；
②因为log21，log22，log24构成等差数列，所以y=log2x是等差源函数；
③y=2x+1不是等差源函数，因为若是，则2(2p+1)=(2m+1)+(2n+1)，则2p+1=2m+2n，右边是偶数，左边是奇数，故y=2x+1不是等差源函数；
④y=sin是周期函数，显然是等差源函数.
【加固训练】正弦函数是奇函数，f(x)=sin(x2+1)是正弦函数，因此f(x)=sin(x2+1)是奇函数，以上推理( )
A.结论正确
B.大前提不正确
C.小前提不正确
D.全不正确
【解析】选C.由三段论可知小前提错.
因为大前提：正弦函数是奇函数，
小前提：f(x)=sin(x2+1)是正弦函数，
结论：f(x)=sin(x2+1)是奇函数.所以小前提错.
4.下面使用类比推理恰当的是( )
A.“若a·3=b·3，则a=b”类比推出“若a·0=b·0，则a=b”
B.“(a+b)c=ac+bc”类比推出“=+”
C.“(a+b)c=ac+bc”类比推出“=+(c≠0)”
D.“(ab)n=a n b n”类比推出“(a+b)n=a n+b n”
【解析】选C.由类比的特点可知，A错；B中当c=0时不成立；而D中乘与加运算不同，故D错.
【方法技巧】类比推理的特点
(1)由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比).简言之，类比推理是由个别到个别的推理(或是由特殊到特殊的推理).
(2)类比推理属于合情推理，结论不一定正确.
5.(2015·龙岩模拟)对于正实数a，M a为满足下述条件的函数f(x)构成的集合：∀x1，x2∈R且x2>x1，有-a(x2-x1)<f(x2)-f(x1)<a(x2-x1)，下列结论中正确的是
( )
A.若f(x)∈，g(x)∈，则f(x)·g(x)∈
B.若f(x)∈，g(x)∈，且g(x)≠0，则∈
C.若f(x)∈，g(x)∈，则f(x)+g(x)∈
D.若f(x)∈，g(x)∈，且a 1>a2，则f(x)-g(x)∈
【思路点拨】对于-a(x2-x1)<f(x2)-f(x1)<a(x2-x1).变形有-a<<a，令k=，又f(x)∈，g(x)∈，利用不等式的性质可得f(x)+g(x)∈.从而得出正确答案.
【解析】选C.对于-a(x2-x1)<f(x2)-f(x1)<a(x2-x1)，
即有-a<<a，令k=，
有-a<k<a，又f(x)∈，g(x)∈，
即有-a1<k f<a1，-a2<k g<a2，
因此有-a1-a2<k f+k g<a1+a2，
因此有f(x)+g(x)∈.故选C.
6.将石子摆成如图的梯形形状，称数列5，9，14，20，…为“梯形数列”.根据图形的构成，此数列的第2012项与5的差，即a2012-5=( )
A.1009×2011
B.1009×2010
C.1009×2009
D.1010×2011
【思路点拨】观察已知的三个图形中点的个数及其规律，从而得到一般结论，再求a2012，得到表达式后通过化简变形与选项对照得出正确答案.
【解析】选 A.由给出的三个图形可知，第n个图形中共有2+3+4+…
+(n+2)=个点，因此数列的第2012项为a2012=，于是a2012-5=-5=1008×2013-5=1009×2013-2013-5=1009×2011+2018
-2013-5=1009×2011.
【加固训练】观察如图所示的正方形图案，每条边(包括两个端点)有n(n≥2，n ∈N*)个圆点，第n个图案中圆点的总数是S n.按此规律推断出S n与n的关系式为
( )
A.S n=2n
B.S n=4n
C.S n=2n
D.S n=4n-4
【解析】选D.由n=2，n=3，n=4的图案，推断第n个图案是这样构成的：各个圆点排成正方形的四条边，每条边上有n个圆点，则圆点的个数为S n=4n-4.
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.设正项数列{a n}的前n项和为S n，且存在正数t，使得对所有自然数n，有
=，则通过归纳猜想可得到S n= .
【解析】令n=1，则=，所以S1=a1=t.
令n=2，则=，则a2=3t.
所以S2=4t.同理可得S3=9t.归纳得S n=n2t.
答案：n2t
8.(2015·宁德模拟)观察下面几个算式，找出规律：
1+2+1=4
1+2+3+2+1=9
1+2+3+4+3+2+1=16
1+2+3+4+5+4+3+2+1=25
利用上面的规律，则第n个算式的右边为.
【解析】由所给算式的规律知，第n个算式为1+2+3+…+n+(n+1)+n+…+3+2+1=(n+1)2.
答案：(n+1)2
【误区警示】解答本题易误填n2，出错的原因是等式的个数规律不清.
【加固训练】(2011·山东高考)设函数f(x)=(x>0)，观察：f1(x)=f(x)=，f2(x)=f(f1(x))=，f3(x)=f(f2(x))=，故f n(x)= .
【解析】根据题意知，分子都是x，分母中的常数项依次是2，4，8，16，…可知f n(x)的分母中常数项为2n，分母中x的系数为2n-1，故f n(x)=. 答案：
9.(2013·安徽高考)如图，互不相同的点A1，A2，…，A n，…和B1，B2，…，B n，…分别在角O的两条边上，所有A n B n相互平行，且所有梯形A n B n B n+1A n+1的面积均相等.设OA n=a n.若a1=1，a2=2，则数列的通项公式是.
【思路点拨】利用三角形的面积比等于相似比的平方得到等式关系化简求解. 【解析】
由题意可得：
=，①
=，
即=. ②
①②两式相加得2=+⇒2=+，所以数列{}是公差为-=3
的等差数列.故=+3(n-1)=3n-2，即a n=.
答案：a n=
三、解答题(10～11题各15分，12题16分)
10.设f(x)=，先分别求f(0)+f(1)，f(-1)+f(2)，f(-2)+f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明.
【思路点拨】由0+1=1，-1+2=1，-2+3=1，以及f(0)+f(1)，f(-1)+f(2)，f(-2)+f(3)的值可猜想f(x)+f(1-x)的值.
【解析】f(0)+f(1)=+
=+
=+=，
同理可得：f(-1)+f(2)=，f(-2)+f(3)=.
由此猜想f(x)+f(1-x)=.
证明：f(x)+f(1-x)=+
=+
=+==.
11.已知sin230°+sin290°+sin2150°=，sin25°+sin265°+sin2125°=，通过观察上述两个等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出证明.
【解析】一般形式：sin2α+sin2(α+60°)+sin2(α+120°)=.
证明如下：
左边=++
=-[cos2α+cos(2α+120°)+cos(2α+240°)]
=-[cos2α+cos2αcos120°-sin2αsin120°+
cos2αcos240°-sin2αsin240°]=-[cos2α-
cos2α-sin2α-cos2α+sin2α]
==右边.
(将一般形式写成sin2(α-60°)+sin2α+sin2(α+60°)=等均正确)
12.(能力挑战题)设f(x)=3ax2+2bx+c.若a+b+c=0，f(0)>0，f(1)>0，求证：
(1)a>0且-2<<-1.
(2)方程f(x)=0在(0，1)内有两个实根.
【证明】(1)因为f(0)>0，f(1)>0，
所以c>0，3a+2b+c>0.
因为a+b+c=0，消去b得a>c>0；
再由条件a+b+c=0，
消去c得a+b<0且2a+b>0，
所以-2<<-1.
(2)方法一：因为抛物线f(x)=3ax2+2bx+c的顶点坐标为，
因为-2<<-1，所以<-<，
又因为f(0)>0，f(1)>0，
而f=-<0，
所以方程f(x)=0在区间与内分别有一实根，
故方程f(x)=0在(0，1)内有两个实根.
方法二：因为f(0)>0，f(1)>0，而f=a+b+c=-a<0，故抛物线与x轴的两个交点落在区间(0，1)内，即方程f(x)=0在(0，1)内有两个实根.
方法三：因为Δ=4b2-12ac=4(a2+c2-ac)>0，
所以方程f(x)=0有两个实根，
设方程的两根为x1，x2，
由根与系数的关系得x1+x2=->0，x1x2=>0，故两根为正.
又因为(x1-1)+(x2-1)=--2<0，
(x1-1)(x2-1)=>0，故两根均小于1，命题得证.
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