高一物理必修一：匀速直线运动的位移与时间的关系

[例3] 从车站开出的汽车，做匀加速直线运动，走了 12 s时，发现还有乘客没上来，于是立即做匀减速运动至停 车，共历时20 s，行进50 m，求其最大速度。
[思路点拨] 汽车先做初速度为零的匀加速直线运动， 达到最大速度后，立即改做匀减速直线运动，中间的最大 速度既是第一阶段的末速度，又是第二阶段的初速度。
[重点诠释] 1．位移—时间图像的物理意义 描述物体相对于出发点的位移随时间的变化情况。 2．对位移—时间图像的理解 (1)能通过图像得出对应时刻物体所在的位置。 (2)图线的倾斜程度反映了运动的快慢。斜率的大小等于 速度的大小，斜率为正表示物体沿正方向运动，斜率为负表 示物体沿负方向运动。
(3)图线只能描述对于出发点的位移随时间的变化关系， 不是物体的实际运动轨迹随时间的变化关系，二者不能相 混淆。
(2)因为位移公式是关于 t 的一元二次函数，故 x－t 图像是 一条抛物线(一部分)。但它不表明质点运动的轨迹为曲线。
(3)对于初速度为零(v0＝0)的匀变速直线运动，位移公式为 x＝12vt＝12at2，即位移 x 与时间 t 的二次方成正比。
(4)x＝v0t＋12at2 是矢量式，应用时 x、v0、a 都要根据选定 的正方向带上“＋”“－”号。
[自学教材] 建立一个直角坐标系，用纵轴表示
位移x，用横轴表示时间t。 (1)匀速直线运动：由x＝vt可知，
其位移—时间图像是一条 过原点的直线 。 图2－3－4 如图2－3－4中①所示。
(2)匀变速直线运动：当 v0＝0 时，x＝12at2，其位移— 时间图像是抛物线的一部分。如图 2－3－4 中②所示。图 像是曲线，反映了物体的位移 x 与时间 t 不成正比，而是 x∝ t2 。
D．当沿运动方向油滴间距逐渐增大时，车的加速度可能 在增大
解析：由于油滴分布均匀，即在每秒钟内车通过的位移 相同，故A正确；由Δx＝aT2知，如果Δx都相同，车可能 做匀加速直线运动，如果Δx逐渐变大，则a变大。错，D 正确；Δx逐渐变小，a变小，C正确。 答案： B
[例1] 汽车以2 m/s2的加速度由静止开始运动，求： (1)5 s内汽车的位移； (2)第5 s内汽车的位移。 [审题指导] 解答本题应把握以下几点： (1)5 s内的位移是指汽车前5 s的总位移，持续时间是5 s。 (2)第5 s内的位移是指从第4 s末开始持续1 s内的位移。 (3)第5 s的初速度就是第4 s末的速度。
(3)前 4 s 内通过的路程 x＝x1＋x2＝12v1t1＋12v2t2 ＝12×4×3 m＋12×2×1 m＝7 m。 [答案] (1)6 m (2)5 m (3)7 m
［借题发挥］ (1)v－t图像与t轴所围的“面积”表示位移的大小。 (2)面积在t轴以上表示位移是正值，在下表示位移是负值。 (3)物体的总位移等于各部分位移(正负面积)的代数和。 (4)物体通过的路程为t轴上、下“面积”绝对值的和。
[答案] 5 m/s
［借题发挥］ 应用推论 v ＝v2t＝v0＋2 v解题时应注意： (1)推论 v ＝v2t＝v0＋2 v只适用于匀变速直线运动，且
该等式为矢量式。 (2)该推论是求瞬时速度的常用方法。 (3)当 v0＝0 时，v2t＝v2；v＝0 时，v2t＝v20。
3．飞机在航空母舰上起飞时，在6秒的时间内从30 m/s的弹 射速度加速到起飞速度50 m/s，求航空母舰飞行甲板的 最小长度。 解析：飞机起飞过程的平均速度 v ＝v0＋2 v＝30＋2 50 m/s＝40 m/s。 飞行甲板的最小长度 x＝ v ·t＝40×6 m＝240 m 答案：240 m
1．某质点做直线运动的位移随时间变化的关系是x＝
4t＋2t2，x与t的单位分别为m和s，则质点的初速度与
加速度分别为
()
A．4 m/s与2 m/s2
B．0与4 m/s2
C．4 m/s与4 m/s2
D．4 m/s与0
解析：对比 x＝4t＋2t2 和位移公式 x＝v0t＋12at2，可知
其初速度 v0＝4 m/s，加速度 a＝4 m/s2。 答案：C
3．一辆农用“小四轮”漏油，假如每隔1 s漏下一滴，车在
平直公路上行驶，一同学根据漏在路面上的油滴分布情
况，分析“小四轮”的运动情况(已知车的运动方向)。下
列说法错误的是
()
A．当沿运动方向油滴始终均匀分布时，车可能做匀速
直线运动
B．当沿运动方向油滴间距逐渐增大时，车一定在做匀
加速直线运动
C．当沿运动方向油滴间距逐渐增大时，车的加速度可能 在减小
2．对位移公式 x＝v0t＋12at2 的进一步理解 (1)因为 v0、a、x 均为矢量，使用公式时应先规定正方向， 一般以 v0 的方向为正方向。 若 a 与 v0 同向，则 a 取正值； 若 a 与 v0 反向，则 a 取负值； 若位移计算结果为正值，说明这段时间内位移的方向为正； 若位移计算结果为负值，说明这段时间内位移的方向为负。
②
则 xⅠ＝x1，xⅡ＝x2－x1
③
由①②③得 Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2
此推论常有两方面的应用：一是用以判断物体是 否做匀变速直线运动，二是用以求加速度。
[特别提醒] (1)以上推论只适用于匀变速直线运动， 其他性质的运动不能套用推论式来处理问题。
(2)推论式xⅡ－xⅠ＝aT2常在实验中根据打出的纸带 求物体的加速度。
［借题发挥］ 求位移时要注意位移和时间的对应关系。本题求第5 s内的位移时可先求前4 s的位移，然后用前5 s的位移减去 前4 s的位移。
1．物体以初速度v0＝10 m/s做匀加速直线运动，物体运动 的加速度为a＝1 m/s2，则求物体运动8 s内的位移，第2 个8 s内的位移。 解析：据题意可知，v0＝10 m/s，a＝1 m/s2， 据 x＝v0t＋12at2 解得物体在 8 s 内的位移为：
[解析] 法一：(基本公式法)设最大速度为 vmax，由 题意得
x＝x1＋x2＝12a1t1 2＋vmaxt2－12a2t2 2，t＝t1＋t2， vmax＝a1t1,0＝vmax－a2t2，解得 vmax＝t12＋xt2＝2×2050 m/s＝5 m/s。
法二：(平均速度法)由于汽车在前、后两阶段均做匀
v2t ＝v0＋a2t
③
由②③得 v ＝v2t
④
又 v＝v2t ＋a2t
⑤
由③④⑤解得 v2t＝v0＋2 v，所以 v ＝v2t＝v0＋2 v。
2．逐差相等
在任意两个连续相等的时间间隔 T 内，位移之差是一个
常量，即 Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2
推导：时间 T 内的位移 x1＝v0T＋12aT2
①
在时间 2T 内的位移 x2＝v0(2T)＋12a(2T)2
(1)物体距出发点的最远距离； (2)前4 s内物体的位移； (3)前4 s内物体通过的路程。
图2－3－6
[思路点拨]
(1)
运动情 况分析
→
前3 s远 离出发点
→
第4 s向出 发点运动
(2)利用“面积”计算位移。
[解析] (1)物体距出发点最远的距离 xm＝12v1t1＝12×4×3 m＝6 m。 (2)前 4 s 内的位移 x＝x1－x2＝12v1t1－12v2t2 ＝12×4×3 m－12×2×1 m＝5 m。
(1)对于任何形式的直线运动的
v－t图像，图线与时间轴所围的面 积都等于物体的位移。
图2－3－3
(2)如果一个物体的v－t图像如图2－3－3所示，图线
与t轴围成两个三角形，面积分别为x1和x2，此时x1＜0， x2＞0，则0～t2时间内的总位移x＝|x2|－|x1|。若x＞0，位 移为正；若x＜0，位移为负。
1．平均速度
做匀变速直线运动的物体，在一段时间 t 内的平均速度
等于这段时间内中间时刻的瞬时速度，还等于这段时间初、
末速度矢量和的一半。
推导：设物体的初速度为 v0，做匀变速直线运动的加速
度为 a，t 秒末的速度为 v。由 x＝v0t＋12at2 得，
①
平均速度 v ＝xt ＝v0＋12at
②
由速度公式 v＝v0＋at 知，当 t′＝2t 时
解析：在x－t图像中，纵轴表示位移x，横轴表示时间t。由 图可知：在第1 s初，质点位于参考点O点，在第1 s末，质 点在距参考点4 m处，故第1 s内的位移为4 m，选项A正确。 质点从第2 s末到第6 s末静止不动，故选项B错误，C正确。 由图可知前10 s 的位移是16 m，D正确。 答案：B
2．匀变速直线运动的位移
(1)位移在 v－t 图像中的表示：做匀变
速直线运动的物体的位移对应着 v－t 图
像中的图线和 时间轴 包围的面积。
图2－3－2
如图 2－3－2 所示，在 0～t 时间内的位移大小等于 梯形 的
面积。 (2)位移公式 x＝ v0t＋12at2 。
[重点诠释]
1．对v－t图像中“面积”的理解
[解析] 根据运动学公式可知：5 s 内位移 x1＝v0t1＋12at1 2＝(0×5＋12×2×52) m＝25 m， 第 4 s 末的速度 v4＝v0＋at2＝(0＋2×4) m/s＝8 m/s， 第 5 s 内的位移 x2＝v4t3＋12at3 2＝(8×1＋12×2×12) m＝9 m。 [答案] (1)25 m (2)9 m
x1＝v0t1＋12at1 2＝112 m。
物体在 16 s 内的位移为： x2＝v0t2＋12at2 2＝288 m。 则物体在第 2 个 8 s 内位移为： x′＝x2－x1＝288 m－112 m＝176 m。 答案：112 m 176 m
[例2] 某一做直线运动的物体的图 像如图2－3－6所示，根据图像求：
(4)初速度为0百度文库匀变速直线运动对应的x－t图像为过 原点的抛物线的一部分。
(5)位移－时间图像只能描述直线运动，不能描述曲线 运动，且如果图线是直线均表示物体的速度不变。
2．如图2－3－5所示是质点M在0～10 s内的位移—时间图
像，下列说法不正确的是
()
图2－3－5 A．质点第1 s 内的位移是4 m B．质点第5 s 的位移是8 m C．质点前6 s 的位移是8 m D．质点前10 s 的位移是16 m
变速直线运动，故前、后两阶段的平均速度均为最大速度
vmax
的一半，即
v
＝0＋vmax＝vmax，由
2
2
x＝
v
t 得 vmax＝2tx
＝5 m/s。
法三：(图像法)作出运动全过程的 v－t 图像如图所示，v－t 图像与 t 轴围成的三 角形的面积与位移等值，故 x＝vm2axt，则 vmax＝2tx＝5 m/s。
1.在 v－t 图像中图线与 t 轴所围的面积 表示位移的大小。
2．匀变速直线运动的位移公式 x＝ v0t＋12at2。
3．匀变速直线运动的平均速度公式 v ＝ v0＋2 v＝v2t。
[自学教材] 1．匀速直线运动的位移 做匀速直线运动的物体在时间
t内的位移x＝vt 。其v－t图像是一条 平行于时间轴 的直线，如图2－3－1 图2－3－1 所示。位移在数值上等于v－t图线与对应的时间轴所包围的 矩形的 面积 。
2．如图2－3－7所示为一直升机垂
直起飞过程的v－t图像，则直升机
运动中有几个不同性质的过程，计
图2－3－7
算飞机能达到的最大高度及25 s时飞机的高度是多少。
解析：由v－t图像的意义得：0～5 s内匀加速，5～15 s 内匀速； 15～20 s内匀减速；0～20 s内速度方向一直向上；
20～25 s 内向下匀加速，由此时速度是负值可知，当 20 s 时竖直向上的位移最大。 位移的大小为图线与坐标轴围成的“面积” x＝20＋2 10×40 m＝600 m 当 20 s 到 25 s 阶段飞机向下运动： x1＝5×240 m＝100 m 因此，25 s 时飞机的高度为 500 m。 答案：飞机能达到的最大的高度为600 m,25 s时飞机的高 度为500 m。