2018版高中数学人教版A版选修1-2：3.1.2 复数的几何意义

即当－3<x<2时，点Z在第三象限.
解答
(2)直线x－y－3＝0上.
解 z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i对应的点Z(x2＋x－6，x2－2x－15)，
当实数x满足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0，
即当x＝－2时，点Z在直线x－y－3＝0上.
解答
引申探究
若例1中的条件不变，其对应的点在：
(1)虚轴上；
解 当实数x满足x2＋x－6＝0， 即当x＝－3或2时，点Z在虚轴上.
解答
(2)第四象限.
解
2 x ＋x－6>0， 当实数 x 满足 2 x －2x－15<0，
即当2<x<5时，点Z在第四象限.
解答
反思与感悟
按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复
对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一
一对应.
答案
思考2
判断下列命题的真假： ①在复平面内，对应于实数的点都在实轴上； ②在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上； ③在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数； ④在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数； ⑤在复平面内，对应于非纯虚数的点都分布在四个象限. 答案 ①②③正确，④⑤错误 . 因为原点在虚轴上，而其表示实 数，所以④错 . 因为非纯虚数包括实数，而实数对应的点在实轴 上，故⑤错.
答案
梳理
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做 复平面 ，x轴叫做 实轴 ，y轴叫 做 虚轴 .实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
知识点二
复数的几何意义
知识点三
复数的模
→ → 复数z＝a＋bi(a，b∈R)，对应的向量为OZ，则向量 OZ 的模r叫做复数z＝a
2 2 a ＋ b ＋bi的模，记作 |z| 或 |a＋bi| .由模的定义可知：|z|＝|a＋bi|＝r＝_________
→ → 则OZ1＋OZ2对应的复数是
A.－10＋8i
C.0
解析Hale Waihona Puke Baidu
B.10－8i
D.10＋8i
→ → 由复数的几何意义，可得OZ1＝(5，－4)，OZ2＝(－5,4)，
→ → 所以OZ1＋OZ2＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)， → → 所以OZ1＋OZ2对应的复数为 0.
解析 答案
→ → (2)设 O 是原点，向量OA，OB对应的复数分别为 2－3i，－3＋2i，那么 → 向量BA对应的复数是
→ 3－2i 若点 A 关于实轴的对称点为点 B，则向量OB对应的复数为________.
解析 复数3＋2i表示的点A(3,2)关于实轴对称的点为B(3，－2)，
→ ∴OB对应的复数为 3－2i.
解析
答案
4 → 3 (2)复数 z＝3＋4i 对应的向量OZ所在直线的斜率为________.
解析 ∵复数z对应点Z(3,4)，
A.－5＋5i C.5＋5i
解析
B.－5－5i D.5－5i
→ → 由复数的几何意义，得OA＝(2，－3)，OB＝(－3,2)，
→ → → BA＝OA－OB＝(2，－3)－(－3,2)＝(5，－5). → 所以BA对应的复数是 5－5i.
解析 答案
反思与感悟
(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，
第三章 §3.1
数系的扩充和复数的概念
3.1.2 复数的几何意义
学习目标
1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们 之间的一一对应关系.
2.掌握实轴、虚轴、模等概念.
3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法.
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一
复平面
思考1
实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？ 答案 任何一个复数 z ＝ a ＋ bi ，都和一个有序实数对 (a ， b) 一一
则|z|＝ a2＋1∈(1， 10).
解析
答案
当堂训练
1.复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 D.第四象限
4 → ∴向量OZ所在的直线的斜率为3.
解析
答案
类型三 复数的模的计算
例3 若复数z＝1＋ai(i是虚数单位)的模不大于2，则实数a的取值范围是
[－ 3， 3] ____________.
解析 复数z＝1＋ai(i是虚数单位)的模不大于2，
即 1＋a2≤4，即 a2≤3，可得 a∈[－ 3， 3].
数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表
示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值.
跟踪训练1 实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i
(1)对应的点在x轴上方；
解 由m2－2m－15>0，得m<－3或m>5，
所以当m<－3或m>5时，复数z对应的点在x轴上方.
向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后，
从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量.
(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点
一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.
跟踪训练 2
→ (1)在复平面内，O 是原点，向量OA对应的复数为 3＋2i，
(r≥0，r∈R).
题型探究
类型一 复数与复平面内的点的关系 例1 实数x分别取什么值时，复数z＝(x2＋x－6)＋(x2－2x－15)i对应的点
Z在：
(1)第三象限；
解 因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数.
2 x ＋x－6<0， 当实数 x 满足 2 x －2x－15<0，
解析
答案
反思与感悟
利用模的定义将复数模的条件转化为其实部、虚部满足的条件，是一种
复数问题实数化思想.
跟踪训练3 已知0<a<3，复数z＝a＋i(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是
A.(1， 10) B.(1， 3) C.(1,3) D.(1,10)
解析 0<a<3，复数z＝a＋i(i是虚数单位)，
解答
(2)对应的点在直线x＋y＋4＝0上. 解 由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋4＝0，
5 得 m＝1 或 m＝－2， 5 所以当 m＝1 或 m＝－2时，
复数z对应的点在直线x＋y＋4＝0上.
解答
类型二 复数与复平面内的向量的关系
例2 → → (1)向量OZ1对应的复数是 5－4i，向量OZ2对应的复数是－5＋4i，