固体物理习题第二章

U U R N M Q V V （ ） V0 ( ) R0 [ ( m 1) m m 2 ( n 1) n n 2 ] V R V 2 R0 R0 ( 1 N M Q 1 1 2 ) ( m n )( 2 )( )( ) 2 m 1 n 1 3 2 2 3 NAR0 R0 R0 3 NAR0 3 NAR0
第二章：固体的结合
2.1证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为：α=2㏑2. 证明：设由两种一价离子组成一无限长的一维晶格，取任一一个 负离子作为参考，用r表示相邻离子间的间距，则有： 1 1 1 1 '
r
j
2 ... aj r 2r 3r
（+、-号分别对应正离子和负离子间的相互作用） 前面有个因子2是因为以负离子作为参考左右两边都存在相互作 用. 1 1 2 1 ... 则： 2 3
*
1 ) 2 1 2
2 1 由q * 0可知： 0 (3 8 1 2 ) 0 (5 8 ) 2 1 1 1 2 2 2 解得：1 2 3
5
3 1 2 1 5 由卡尔森定义电离度： fi 0.25 2 3 1 1 5
2.6 林纳德- 琼斯势计算 Ne在体心立方和面心立方 结构中的结合 能之比. 解：对于惰性气体分子 ，一对分子间的互作用 势能为 :
m m
2U 3 （3）体弹性模量： K ( ) V 设晶体的体积 V N AR V 0 V 2 0 N N ' ' U ( ) ( ) m n m n 2 j 2 j (a j R) ( a j R） rj rj N M N ' ' ( m n ) 其中：rj a j R, M ( m ) Q ( n ) 2 R R aj aj j j U U R N M Q 1 V0 ( ) R0 ( m m 1 n n 1 )( )0 2 V R V 2 R0 R0 3 NAR0 即有：m M Q n m 1 n 1 R0 R0
rj a j R 并令 : A6 '
j
1 12 6 ' 1 A 则 U ( R ) 2 N [ A ( ) A ( ) ] 12 12 6 6 12 R R aj aj j
U ( R ) 12 6 2 A12 16 在平衡位置处有：（ ） 6 A6 7 ) 0 有：R0 （ ） R0 2 N (12 A 12 13 R A6 R0 R0 A A A 1 代入U ( R )有：U ( R0 ) 2 N ( 6 6 ) N 6 4 A12 2 A12 2 A12 对于面心立方： A12 12.13，A6 14.45 1 (14.45) 2 23 16 则U ( R0 ) - 6.022 10 / mol 50 10 KJ [ ] 2.59 1010 KJ / m ol 2 12.13 可知理论在远大于实验 值.

N 1 M Q [ ( m 1 ) m ( n 1 ) n ] 3 2 m n 18 ( NAR0 ) R0 R0
N 1 m2M n 2Q mM nQ ( ) 2 m n m n 18 V0 R0 R0 R0 R0 N 1 m2M n 2Q ( ) 2 m n 18 V0 R0 R0
2 n n 1 2
2
2.3 若一晶体的相互作用可以表示为: U ( r ) r m r n 试求（1)平衡间距 r0 ;（2）结合能W（单个原子的）；（3）体弹 性模量；（4）若取m=2,n=10, r0 =3A,W=4eV,求α，β值.


dU (r ) （ 1 ）解：在平衡位置处 r0处有：（ ） r r0 0 dr 1 n n m 则：m m 1 n n 1 0 解得：r0 ( ) m r0 r0
2 ' 2 2 2
对于体心立方： A12 9.11 ，A6 12.25对于面心立方： A12 12.13，A6 14.45
'
'
2.7 对于H 2，从气体的测量得到的 林纳德 - 琼斯势参数为 5010,13 J， ，计算H 结合成面心立方固体分 2.96 子时的结合能（以千焦 每摩尔为单位）
2 2 2
O
2.5 假设Ⅲ -Ⅴ族化合物中， Ⅲ族、族原子都是电中性的（ q* 0） , 求出其电离度 fi .
解：由题意可知： Ⅲ -Ⅴ族形成的共价化合物， A、B为异类原子
12 对于Ⅲ族原Baidu Nhomakorabea的有效质量 q (3 8 ) 2 1 1
* 1
对于Ⅴ族原子的有效质量 q 2 (5 8
m
2.4 经过 SP3杂化后形成的共价键，其方向沿立方体的四条对角 线，求共价键之间的夹角.
解：如图所示，在立方 体中经SP3杂化后形成的共价键 . 设立方体的边长为 a, 建立坐标系，以 O点为原点O (0， 0， 0) 1 1 1 1 1 1 则有：A( , , ) C ( , , ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 即有OA ( ， ， ) OC ( ， ，) 2 2 2 2 2 2 由OA OC OA OC COSAOC得： 1 1 1 - 4 4 4 -1 COSAOC 3 1 2 （ 3） 4 1 则共价键的夹角： AOC arc cos( ) 109.28 3
j
1 12 6 ' 1 A 则 U ( R ) 2 N [ A ( ) A ( ) ] 12 12 6 6 12 R R aj aj j
U ( R ) 12 6 2 A12 16 在平衡位置处有：（ ） 6 A6 7 ) 0 有：R0 （ ） R0 2 N (12 A 12 13 R A6 R0 R0 A6 A6 A6 1 代入U ( R)有：U ( R0 ) 2 N ( ) N 4 A12 2 A12 2 A12 U ( R) bcc A6 A12 12.25 2 12.13 则： 2 ( ) 0.957 U ( R) fcc A12 A6 14.45 9.11
1 （2）结合能：W -U (r ) 对于单个原子有 W - U (r0 ) 2 1 1 则有：W （ m n ） (1 ) m nm 2 r0 r0 2r0 r0 1 n n m m 1 n n m m ( ) (1 ) ( ) (1 ) 2 m n 2 m n
1 n 1
nC n1 1 n1 ) ( ) r0 (q) 当q变为2q时，有 r0 (2q) ( 2 A4q 4
1
1
Aq 1 将r0 代入可得结合能： U (r0 (q )) (1 ) r0 (q ) n A4q 1 当q变为2q时有：U (r0 (2q )) (1 ) r0 (2q ) n Aq 1 4 (1 ) U (r0 (q ))4 1 r0 (q ) n 1 n 1 ( ) 4
1
n n m 1 n n m m (4)由（ 1）可知：r0 ( ) 由（2）可知：W ( ) (1 ) m 2 m n 1 1 5 8 2 5 4 2 2 代入数据有: r0 ( ) W ( ) 即W r0 5 5 5 2 5 4 (3 1010 ) 2 则： Wr0 ev.m 2 9.0 1019 ev.m 2 2 2 r08 Wr010 4 (3 1010 )10 1.181095 ev.m10 5 2 2
A B A2 B u (r ) 6 12 令 , ( )1 6 则有：u (r ) 4 [( )12 ( ) 6 ] r r 4B A r r N N个Ne气体分子间的互作用能 为：U '{4 [( )12 ( ) 6 ]} 2 j rj rj rj a j R 并令 : A6 '


又因为 ln 2 1
n 1

n 1
1 1 1 1 ... n 2 3
即有马德隆常数:α=2㏑2
2.2 讨论使离子电荷加倍所引起的对NaCl晶格常数及结合 能的影响.（排斥势看作不变） 解：对于NaCl离子晶体，两离子间的相互作用势能为：
N q 2 B N NB U (r ) ( n ) 令A C 2 4 0 r r 8 0 2 Aq 2 C 则有：U (r ) n r r dU (r ) Aq 2 C 在平衡位置r0处有： r r0 2 n n 1 0 dr r0 r0 nC 即有：r0 ( 2 ) Aq
2
每个氢分子可以当做球 形来处理.结合能实验值为 0.75KJ / mol, 试与计算值比较 . 解：林纳德- 琼斯势：u (r ) 4 [( )12 ( ) 6 ] r r N N个气体分子间的互作用 能为：U '{4 [( )12 ( ) 6 ]} 2 j rj rj