七年级数学竞赛 第14讲 一次方程组的应用
一次方程组的应用 ppt课件2
x y 8 把原方程组化简得: 35x 15y 192 ①×15－②得: 20 x 72
18 x 5 18 18 y 8 把 x 5 代入①得: 5 22 y 5 18 x 5 22 y 5
请同学们思考并讨论
分析:
由“甲种圆珠笔每支售价1.2元,乙种圆珠笔每支售 价0.9元,两种圆珠笔混合装盒后,每盒售价是 26.4元.”得到一个等量关系: (1) 甲种圆珠笔总价 +乙种圆珠笔总价=26.4元 由“已知盒中甲种圆珠笔的支数是乙种圆珠笔的 支数的2倍”得到另一个等量关系: (2) 甲种圆珠笔的支数 =乙种圆珠笔的支数的2倍
等量关系:(1) 甲种圆珠笔总价 +乙种圆珠笔总价=26.4元 (2) 甲种圆珠笔的支数 =乙种圆珠笔的支数的2倍 解: 设甲种圆珠笔有 x 支,乙种圆珠笔有 y 支. 根据等量关系(1)、(2)得:
1.2 x 0.9 y 26.4 x 2y
由①得: 由②代入③得: 4(2 y) 3 y 88 把 y 8 代入②得:
（3） 列方程：认真分析题中的相等关系，列出方程 （4） 解方程：准确求出未知数的值 （5） 写答案：检验所得的方程的解符合题意后，写出答 案，并注意单位名称
9.8 一次方程组的应用
列方程解应用题的基本类型及基本等量关系： 1. 比例分配问题：
三角形三内角的度数和为180度 2. 简单经济问题： (1) 利息＝本金 ×期数×利率 (2) 本利和＝本金 ＋ 利息 3. 工程问题： 工作总量＝工作效率×完成工作总量的时间
1 1 + 乙 小时行路程=16千米 4
中考数学专题复习之一次方程(组)及其应用 课件
5x＋4y＝148 4x＋5y＝148 A.2x＋5y＝100 B.2x＋5y＝100
5x＋4y＝148 4x＋5y＝148 C.5x＋2y＝100 D.5x＋2y＝100
4．(2016·贺州)解方程：x6－304－x＝5.
解：x＝30
5．(2016·柳州)小陈妈妈做儿童服装生意，在“六一”这一天上午的销售中， 某规格童装每件以60元的价格卖出，盈利20%，求这种规格童装每件的进价．
3x－y＝2， 【例 2】 (2016·百色)解方程组：9x＋8y＝17.
解：39xx－＋y8＝y＝2，17①，②①×8＋②得：33xFra bibliotek33，即 x＝1，
x＝1， 把 x＝1 代入①得：y＝1，则方程组的解为y＝1
【点评】 (1)解二元一次方程组的方法要根据方程组的特点灵活选择，当方程组中 一个未知数的系数的绝对值是1或一个方程的常数项为0时，用代入法较方便；当两 个方程中同一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法较方便；当方 程组中同一个未知数的系数的绝对值不相等，且不成整数倍时，把一个(或两个)方 程的两边同乘适当的数，使两个方程中某一个未知数的系数的绝对值相等，仍然选 用加减法比较简便；(2)用加减消元法时，选择方程组中同一个未知数的系数绝对值 的最小公倍数较小的未知数消元，这样会使运算量较小，提高准确率．
七年级数学一元一次方程应用——比赛计分问题
比赛计分问题列方程解应用题是初中数学的重要内容之一，其核心思想就是将等量关系从情景中剥离出来，把实际问题转化成方程或方程组，从而解决问题。
列方程解应用题的一般步骤（解题思路）（1）审——审题：认真审题，弄清题意，找出能够表示本题含义的相等关系（找出等量关系）．（2）设——设出未知数：根据提问，巧设未知数．（3）列——列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解——解方程：解所列的方程，求出未知数的值．（5）答——检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案．（注意带上单位）【典例探究】某企业对应聘人员进行英语考试，试题由50道选择题组成，评分标准规定：每道题的答案选对得3分，不选得0分，选错倒扣1分。
已知某人有5道题未作，得了103分，则这个人选错了多少道题。
解：设这个人选对了x道题目，则选错了(45-x)道题，于是3x-（45-x）=1034x=148解得 x=37则 45-x=8答：这个人选错了8道题.某校高一年级有12个班．在学校组织的高一年级篮球比赛中，规定每两个班之间只进行一场比赛，每场比赛都要分出胜负，每班胜一场得2分，负一场得1分．某班要想在全部比赛中得18分，那么这个班的胜负场数应分别是多少？因为共有12个班，且规定每两个班之间只进行一场比赛，所以这个班应该比赛11场，设胜了x场，那么负了（11-x）场，根据得分为18分可列方程求解．【解析】设胜了x场，那么负了（11-x）场．2x+1•（11-x）=18x=711-7=4那么这个班的胜负场数应分别是7和4．【方法突破】比赛积分问题的关键是要了解比赛的积分规则，规则不同，积分方式不同，常见的数量关系有：每队的胜场数＋负场数+平场数＝这个队比赛场次;得分总数+失分总数＝总积分;失分常用负数表示，有些时候平场不计分，另外如果设场数或者题数为x，那么x最后的取值必须为正整数。
中考数学一轮复习《一次方程组 及其应用》知识梳理及典型例题讲解课件
第一节 一次方程(组)及其应用
一 次 方 程 (组)
等 式 的
如如果果aa＝＝bb，，那那么么aa±c＝c＝②①___b__c_b__±_，_c_ac_＝③___bc_____(c≠0)
性 如果a＝b，那么b＝a
Байду номын сангаас
及 质 如果a＝b，b＝c，那么a＝④__c__
其 应
马，则可列方程为 A．150(12＋x)＝240x
B．240(12＋x)＝150x
(A )
C．150(x－12)＝240x
D．240(x－12)＝150x
2．已知xy＝＝31， 是方程 ax＋y＝2 的解，则 a 的值为__－__1__．
3x－y＝－4， 3．解方程组：x－2y＝－3.
解：
3x－y＝－4…①， x－2y＝－3…②.
5．为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．已知2瓶A型消 毒液和3瓶B型消毒液共需41元，5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53 元．
(1)这两种消毒液的单价分别是多少元？
(2)学校准备购进这两种消毒液共 90 瓶，且 B 型消毒液的数量不少 于 A 型消毒液数量的13，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．
等式两边都除以x－m，得x＋m＝m.④ 等式两边都减m，得x＝0.⑤ 所以任意一个实数都等于0. 以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是___④__．
2．方程3x＝2x＋7的解是 A．x＝4 C．x＝7
( C) B．x＝－4 D．x＝－7
3．对于二元一次方程组
y＝x－1…①， x＋2y＝7…②，
由①式，得 y＝3x＋4，代入②式，得 x
－2(3x＋4)＝－5x－8＝－3，解得 x＝－1.将 x＝－1 代入②式，得－1－
六年级春季班第14讲一次方程组的应用-教师版
引言：欢迎大家来到六年级春季班的第14讲。
在上一讲中，我们学习了一次方程的基本知识，包括什么是一次方程、如何解一次方程等等。
在今天的课程中，我们将进一步学习一次方程的应用，特别是一次方程组的应用。
一、复习：一次方程的解法在上一讲中，我们学习了如何解一次方程。
一次方程的解是使等式成立的未知数的值。
我们可以通过逆运算，将未知数从方程中解出来。
请大家回忆一下，解一次方程的步骤是什么？1.用变量表示未知数；2.根据题意列出方程；3.运用逆运算解方程；4.检验解是否正确。
二、一次方程组的引入我们之前学习的是单个一次方程的解法，但是在现实生活中，我们经常会遇到多个一次方程同时出现的情况，这就是一次方程组。
一次方程组由多个一次方程组成，而且这些方程一般有相同的未知数。
我们通过一个例子来理解一次方程组：例1：商店卖西瓜和苹果，一共卖出了50个水果，一共收入了150元。
已知每个西瓜的价格是5元，苹果的价格是3元，问西瓜和苹果各卖出了几个？解：我们设西瓜的个数为x，苹果的个数为y，根据题意我们可以列出以下两个方程：x+y=50----------方程15x+3y=150----------方程2这就是一个一次方程组，我们需要同时解这两个方程，得到x和y的值。
三、一次方程组的解法一次方程组的解法和单个一次方程的解法类似，只不过需要同时解多个方程。
我们可以通过联立、消元等方法来解一次方程组，具体方法如下：1.联立法联立法是一种比较直观的解法，我们将方程组中的所有方程，写在一起，然后整理方程组，得到最终的解。
我们通过一个例子来演示一下：例2：王老师带领学生参观博物馆，一共有36名学生，乘坐大巴和小汽车共使用了16辆车。
已知大巴车的座位数为50，小汽车的座位数为30，问大巴车和小汽车各是几辆？解：我们设大巴车的辆数为x，小汽车的辆数为y，根据题意我们可以列出以下两个方程：x+y=16----------方程150x+30y=36----------方程2将方程组联立在一起，我们可以得到：(1)方程1×(-30)：-30x-30y=-480(2)方程2×50：50x+30y=1800将两个方程相加，得到-30x+50x=-480+1800化简得20x=1320解得x=66将x的值代入方程1，得到：66+y=16解得y=16-66=-50从这个解法可以看出，x的值为66，而y的值是-50，这样的解是不符合题目要求的。
七年级数学一次方程组的应用人教版知识精讲
七年级数学一次方程组的应用人教版【同步教育信息】一. 本周教学内容一次方程组的应用二. 教学目标和要求1. 能说出列一次方程组解应用题的步骤2. 能列出一次方程组解简单的应用题三. 教学重、难点根据应用题的题意列出一次方程组四. 知识要点1. 列方程组解应用题的一般步骤（1）审题：反复阅读题目，弄清题意，明确问题中哪些量是已知量，哪些是未知量，弄清题目中的相等关系。
（2）找未知数，列出代数式：选择两个或三个未知数，用字母表示，用含有未知数的代数式表示其他的未知数。
（3）列方程组：根据题目中能表示题目全部含义的相等关系列出方程，并组成方程组。
（4）解方程组：求出未知数的值（5）检验并作答：检验所得的未知数的值是否合理，然后作出答案。
2. 题型归类（1）和、差、倍、分问题（2）行程问题（3）调配问题（4）余缺问题（5）百分数与数字问题（6）经济问题和其他【典型例题】[例1] 一个两位数的十位数字与个位数字的和是7，如果这个两位数加上45，则恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的两位数，求这个两位数。
解：设这个二位数的十位数字为x ，个位数字为y 。
根据题意得⎩⎨⎧+=++=+)2(104510)1(7x y y x y x 解这个方程组，得⎩⎨⎧==61y x 答：这个二位数是16。
[例2] 李红用甲、乙两种形式共储蓄了1万元人民币，其中甲种储蓄的年利率为7%，乙种储蓄的年利率为6%，一年后，李红得到本息共10680元，李红两种形式各储蓄多少钱？解：设李红甲种形式储蓄x 元，乙种形式储蓄y 元。
根据题意得⎩⎨⎧=+=+)2(680%6%7)1(10000y x y x 解这个方程组，得⎩⎨⎧==20008000y x 答：李红甲种形式储蓄了8000元，乙种形式储蓄了2000元。
[例3] 某汽车制造厂，接受了在预定期限内生产一批汽车的任务，如果每天生产35辆，则差10辆才能完成任务；如果每天生产40辆，则可超额生产20辆，预定期限是多少天？计划生产多少辆汽车？解：设预定期限为x 天，需要制造的汽车总数为y 辆。
七年级数学培优竞赛讲座第14讲__一次方程组的应用
七年级数学培优竞赛讲座第14讲__⼀次⽅程组的应⽤第⼗四讲⼀次⽅程组的应⽤⼀次⽅程组是解决许多实际问题的有⼒⼯具，它被⼴泛地应⽤于社会⽣活的多个领域，主要体现在：⾸先，⽤于解代数式的化简与求值问题，⼀些表⾯与⽅程组⽆关的问题，但经过分析，借助有关概念、性质、对问题的理解，我们可通过建⽴⼀次⽅程组来解决．其次，⽤于解应⽤题，对于含有多个未知量的问题，我们运⽤⽅程组求解往往⽐单设⼀个未知数建⽴⼀元⽅程求解容易．⼀般说来，许多应⽤题既可⽤列⽅程来解，⼜可⽤列⽅程组来解，它们有各⾃的优缺点．因此，解题时需具体问题具体分析，当列⽅程⽐较困难时，可改⽤列⽅程组来解决问题．例题【例1】 15234,1032+++=++z y x z y x ，则z y x ++= ． (⼴东省中考题) 思路点拨三个未知数两个等式x 、y 、z 的值不惟⼀确定，不妨视其中⼀个字母为常数，解关于另外两个字母的⽅程组．【例2】⽅程1132=+++--y x y x 的整数解的个数是( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 (“五⽺杯”邀请赛试题)思路点拨把1表⽰成两个⾮负整数的和，这两个数只能是0与l ，于是⼀个等式可裂变为两个等式．注：当⽅程的个数少于未知数的个数时，未知数的值不能惟⼀确定，可视某个未知数为常量，实现变量与常量的互相转化，促使问题的解决．本例解法多样，可寻求待等式与已知式的关系，或设k z y x =++，重新联⽴解三元⼀次⽅程组，读者不妨⼀试．【例3】项王故⾥的门票价格规定如下表：某校初⼀甲、⼄两班共103⼈(其中甲班⼈数多于⼄班⼈数)去游项王故⾥，如果两班都以班为单位分别购票，⼀共需付486元．(1)如果两班联合起来，作为⼀个团体购票，则可以节约多少元钱?(2)两班各有多少名学⽣?(宿迁市中考题)思路点拨设甲班有x 名学⽣，⼄班有y 名学⽣，则有以下三种可能情况：51≤x ≤100，1≤y ≤50；51≤x ≤100，5l ≤y ≤100；x>100，1≤y ≤50．故分类讨论是解本例的关键．【例4】某⼯程由甲、⼄两队合做6天完成，⼚家需付甲、⼄两队共8700元；⼄、丙两队合做10天完成，⼚家需⽀付⼄、丙两队共9500元；甲、丙两队合做5天完成全部⼯程的32，⼚家需付甲、丙两队共5500元．现在⼚家要求不超过15天完成全部⼯程，可由哪队单独完成此项⼯程花钱最少?请说明理由． (天津市中考题)思路点拨求出每队⼯作效率及每天需⽀付每队的费⽤，通过计算⽐较，进⾏正确的经济决策．【例5】某果晶商店进⾏组合销售，甲种搭配：2千克A ⽔果，4千克6⽔果；⼄种搭配：3千克A ⽔果．8千克B ⽔果，1千克C ⽔果；丙种搭配：2千克A ⽔果，6千克B ⽔果，l 千克C ⽔果．已知A ⽔果每千克2元，B ⽔果每千克1．2元，C ⽔果每千克10元．某天该商店销售这三种搭配⽔果共441．2元．其中A ⽔果的销售额为116元，问C ⽔果的销售额为多少元? (全国初中数学联赛试题)思路点拨数据多、关系复杂是解本例的难点，运⽤表格可以帮助我们梳理复杂的数量关系，商店每天销售额与甲、⼄、丙三种搭配的销量有关，故不宜直接设元，从求出甲、⼄、丙三种搭配的套数⼈⼿，运⽤整体⽅法求解．注：现代社会信息化社会，各种信息以各种不同的⽅式出现在⼈们⾯前，⽤表格的形式．给出已知信息，是近年中考应⽤题的新特点，解速类问题的关键是：(1)从表头中了解对象，从表列(⾏)中得到数据；(2)处理数据，寻找隐含的规律．在信息化社会，我们时刻⾯对著汹涌⽽来的各种数字、数据，对数据进⾏恰当分析处理，发现规律，作出判断，是现代⼈必备的基本素养．【例6】两辆汽车从同⼀地点同时出发，沿同⼀⽅向同速直线前进，每车最多能带24桶汽油，每桶汽油可以使⼀辆车前进60km ，两车都必须返回出发地点，但可以不同时返回，两车均可以借对⽅的油，为了使⼀辆车尽可能地远离出发点，另⼀辆车应该在离出发点 km 的地⽅返回．思路点拨要使甲车尽量⾛远，应使两车分别时甲车装满24桶汽油，⽽⼄车留下供两车返回时所⽤的油．设从开始出发到分别，甲、⼄车各⽤了x 桶油，则⼄车应留下2x 桶油，并借给甲车x 桶油，使甲车装满24桶油，依据题意，列⽅程x ＋x ＋2x=24．解得x=6．60×6=360(km)．所以，⼄车应在离出发点360km 处返回．注：解应⽤题关键在于挖掘题⽬隐舍的等量关系，⽤来列代数式或建⽴⽅程．【例7】甲、⼄两⼈分别从A 、B 两地同时相向匀速前进，第⼀次相遇在距A 点700m 处，然后继续前进，甲到B 地，⼄到A 地后都⽴即返回，第⼆次相遇在距B 点400m 处，求A 、B 两地间的距离是多少⽶? 思路点拨设A 、B 两地间的距离是xm ，第⼀次相遇甲⾛了700m ，第⼀次相遇后到第⼆次相遇甲⾛了(x —700)+400= (x-300)m ，因为甲、⼄两⼊速度不变，甲、⼄两⼈第⼀次相遇共⾛了xm ，第⼀次相遇后到第⼆次相遇两⼈共⾛了2xm ，所⽤时间是第⼀次相遇所⽤时间的2倍，所以甲第⼀次相遇后到第⼆次相遇所⾛路程应为第⼀次相遇所⾛路程的2倍，即 x-300=2 ×700．解得x=1700m所以，A 、B 两地间的路程是1700 m ．注：弄清以下问题是解题的关键：(1)甲、⼄两⼈从开始到相遇所⽤时间有什么关系?(2)所⾛路程之和是多少?(3)第⼀次相遇后到第⼆次相遇，甲、⼄两⼈所⾛路程之和是多少?(4)所⽤时间是第⼀次相遇时间的⼏倍?【例8】快、慢两列车的长分别为150m ，200m ，相向⾏驶在平⾏轨道上，若坐在慢车上的⼈见快车驶过窗⼝的时间为6s ，问坐在快车上的⼈见慢车驶过窗⼝所⽤的时间是多少?思路点拨设坐在快车上的⼈见慢车驶过窗⼝所⽤的时间为xs ．由于两列车相向⾏驶的相对速度是⼀样的，所以坐在车上看另⼀辆车驶过窗⼝的时间与车长成正⽐，由题意得6：x=150：200．解得x=8(s)答：坐在快车上的⼈看见慢车驶过窗⼝⽤的时间为8s ．【例9】⼩刚骑⾃⾏车沿公路以akm ／min 的速度前进，每隔bmin 迎⾯开来⼀辆公共汽车，每隔cmin(c ＞b)从后⾯开过⼀辆公共汽车．若汽车均为相同的速度，始、终点发车间隔时间相同，求汽车的速度和发车的间隔时间．思路点拨设汽车速度为xkm ／min ，发车的间隔时间为tmin ．依题意有=-=+tx c a x tx b x a )()(，解得??+=-+=c b bc t b c b c a x 2)( 【例10】四⼗只脚的蜈蚣和三个头的龙在同⼀个笼中，共有26个头和298只脚，如果40只脚的蜈蚣思路点拨设蜈蚣和龙的个数分别为x 、y ，三个头的龙的脚数为n ，x 、y 、n 均为正整数．依题意得=+=+)2(29840)1(263 ny x y x ①×40—②得(120—n)y=742，y │742，742=1 ×2×7 ×53，⼜∵3y答：三个头的龙有14只脚．注意题中隐合了条件：只数、脚数均为正整数．【例11】 (重庆市中考题) 某中学新建了⼀栋4层的教学⼤楼，每层楼有8间教室，进出这栋⼤楼共有4道门，其中两道正门⼤⼩相同，两道侧门⼤⼩也相同。
初一数学竞赛专题14 一次方程组
专题14 一次方程组阅读与思考一次方程组是在一元一次方程的基础上展开的，解一次方程组的基本思想是“消元”，即通过消元将一次方程组转化为一元一次方程来解，常用的消元方法有代入法和加减法． 解一些复杂的方程组（如未知数系数较大，方程个数较多等），需观察方程组的系数特点，从整体上思考问题，运用整体叠加、整体叠乘、辅助引元、换元等技巧．方程组的解是方程组理论中的一个重要概念，求解法、代解法是处理方程组解的基本方法． 对于含有字母系数的二元一次方程组，总可以化为⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的形式，方程组的解由222111,,,,,c b a c b a 的取值范围确定，当222111,,,,,c b a c b a 的取值范围未给出时，须讨论解的情况，基本思路是通过换元，将方程组的解的讨论转化为一元一次方程解的讨论．例题与求解【例1】 若m 使方程组⎩⎨⎧=+=-my x y x 22的解x ，y 的和为6，则m ＝______________．(湖北黄冈市竞赛试题)解题思路：用含m 的式子分别表示x ，y ，利用x ＋y ＝6的关系式，求解m ．【例2】 若4x －3y －6z ＝0，x ＋2y －7z ＝0（0≠xyz ）．则代数式222222103225z y x z y x ---+的值等于 ( )A ．21-B ．219- C ．－15 D ．－13 (全国初中数学竞赛试题)解题思路：把z 当作常数，解关于x ，y 的方程组．【例3】 解下列方程组．（1）⎪⎩⎪⎨⎧-=-+==3432654z y x z y x（“缙云杯”邀请赛试题）（2）⎩⎨⎧=+=+798719951997598919971995y x y x（北京市竞赛试题）（3）⎩⎨⎧=++++=+=+==+=+=+1999119991998211999199819981997433221x x x x x x x x x x x x x x（“华罗庚金杯”竞赛试题）解题思路：根据方程组的特点，灵活运用不同的解题方法，或脱去绝对值符号，或设元引参，或整体叠加．【例4】 已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=-++=+3)1(2212y a x ay ax 分别求出a 为何值，方程组的解为：（1）有唯一一组解； （2）无解； （3）有无穷多组解．（湖北省荆州市竞赛试题）解题思路：通过消元，将方程组的解的情况讨论转化为一元一次方程解的情况讨论．【例5】已知正数a ，b ，c ，d ，e ，f 满足4=a bcdef ，9=b acdef ，16=c abdef ，41=d abcef ， 91=e abcdf ，161=f abcde ．求)()(f d b e b a ++-++的值． （“CADIO ”武汉市竞赛试题）解题思路：利用叠乘法求出abcdef 的值．【例6】已知关于x ，y 的二元一次方程（a －3）x ＋（2a －5）y ＋6－＝0，当a 每取一个值时就有一个方程，这些方程有一个公共解．（1）求出这个公共解．（2）请说明，无论a 取何值，这个公共解都是二元一次方程（a －3）x ＋（2a －5）y ＋6－＝0的解．（2013年“实中杯”数学竞赛试题）解题思路：分别令a 取两个不同的值，可得到二元一次方程组，求出公共解．能力训练A 级1． 若243124953=+--++n m n m y x是关于x ，y 的二元一次方程，则nm的值等于______. （“希望杯”邀请赛试题）2． 方程组⎩⎨⎧=+=+572317631723y x y x ，的解为____________.（辽宁省中考试题）3． 已知方程组⎩⎨⎧-=-=+②24①155by x y ax 由于甲看错了方程①中的a 得到方程组的解为x ＝－3，y ＝－1；乙看错了方程②中的b 得到方程组的解为x ＝5，y ＝4．若按正确的a ，b 计算，则原方程组的解为___________.（四川省联赛试题）4． 已知关于x 的方程)1(5)13()3(+=++-x x b x a 有无穷多个解，则a ＝ ，b ＝________.（“希望杯”邀请赛试题）5．已知0)223()423(22=+-+-+yx y x，则有( )． A. x ＝2，y ＝3 B. x ＝－6，y ＝3C. x ＝3，y ＝6D. x ＝－3，y ＝66．如果方程组⎩⎨⎧=-=+223623y x y x 的解也是方程4x ＋y ＋2a ＝0的解，那么a 的值是 ( )．A.391-B. 691-C. －2D. 27．设非零实数a ，b ，c 满足⎩⎨⎧=++=++0432032c b a c b a ，则222c b a cabc ab ++++的值为( )． A.21-B.0C. 21D. 1 （2013年全国初中数学竞赛试题）8．若方程组⎩⎨⎧=+=-9.30531332b a b a 的解为⎩⎨⎧==2.13.8b a 则方程组⎩⎨⎧=-++=--+9.30)1(5)2(313)1(3)2(2y x y x 的解为( )．A. ⎩⎨⎧==2.13.8y x B. ⎩⎨⎧==2.23.10y x C.⎩⎨⎧==2.23.6y x D ．⎩⎨⎧==2.03.10y x （山东省枣庄市中考试题）9．已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧+=-+=+34231232k y x k y x 的解x ，y 的值的和为6，求k 的值．（上海市竞赛试题）10．解方程组． （1）⎩⎨⎧=+-=+102361463102463361y x y x（云南省昆明市竞赛试题）（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=-+-1121221136211y x y x（浙江省竞赛试题）（3）⎩⎨⎧-=-=+1327y x y x11．若1x ~5x 满足下列方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++=++++=++++962482242122625432154321543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ，求5423x x +的值． （美国数学邀请赛试题）B 级1．已知对任意有理数a ，b ，关于x ，y 的二元一次方程b a y b a x b a +=+--)()(有一组公共解， 则公共解为______.（江苏省竞赛试题）2．设⎩⎨⎧=++=++36542332z y x z y x ，则3x －2y ＋z ＝ ．（2013年全国初中数学竞赛试题）3．若关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=-=+03186y x my x 有自然数解，则整数m 可能的值是 ．（2013年浙江省湖州市竞赛试题）4． 已知方程组⎩⎨⎧=+=+-b y x y x a 5)1(，当a ，b 时，方程组有唯一一组解；当a ，b 时，方程组无解；当a ，b 时，方程组有无数组解．（“汉江杯”竞赛试题）5．“△”表示一种运算符号，其意义是a △b ＝2a －b ，如果x △（1△3）＝2，则x ＝ ( )．A.1B.21 C.23D ．2 （江苏省竞赛试题）6．已知xz z y x +=+=531，则z y y x +-22的值为( )．A.1B.23 C. 23- D ．41（重庆市竞赛试题）7．已知关于x ，y 的两个方程组⎩⎨⎧=-=-7222y x by ax 和⎩⎨⎧=-=-113953y x by ax 具有相同的解，那么a ，b 的值是( )．A. ⎩⎨⎧==23b a B. ⎩⎨⎧==32b a C. ⎩⎨⎧-=-=32b a D ．⎩⎨⎧-=-=23b a 8．若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足a ＋b ＝c ，b ＋c ＝d ，c ＋d ＝a ，则a ＋b ＋c ＋d 的最大值是( )．A. －1B. －5C.0 D ．1（全国初中数学联赛试题）9．解方程组（1）⎩⎨⎧=+=+321y x y x（江苏省竞赛试题）（2）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=====64321ea de cd bc ab（上海市竞赛试题）10．已知151=+b a ab ，171=+c b bc ，161=+a c ca ，求cabc ab abc++的值． （山西省太原市数学竞赛试题）11．已知1x ，2x ，3x ，…，n x 中每一个数值只能取－2，0，1中的一个，且满足求的值1x ＋2x ＋3x ＋…＋n x ＝－17，21x ＋22x ＋23x ＋…＋2n x ＝37．求31x ＋32x ＋…＋3n x 的值．（“华罗庚金杯”邀请赛试题）12．已知k 是满足20101910<<k 的整数，并且使二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-ky x y x 54745有整数解，问：这样的整数k 有多少个？（“华罗庚金杯”邀请赛试题）专题14 一次方程组 例 1 8 ②一①得3y=m-2，∴23m y -=．①×2+②得3x=4+m ，∴43mx +=．又由x+y=6得43m ++23m -=6，解得m=8. 例2 D 提示：由题意知43627x y z x y z -=⎧⎨+=⎩得32x zy z=⎧⎨=⎩代入原式中，得2222225(3)2(2)132(3)3(2)10z z z z z z +-=---. 例3 （1）121518x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，提示：令456x y z k ===，则x=4k,y=5k,z=6k.(2) 12x y =⎧⎨=⎩,提示：将方程分别相加、相减得x+y=3,x-y=-1.（3）由题意可设x 1=x 3=x 5=…=x 1999=A,x 2=x 4=x 6=…=x 1998=B ，则110009991999A B A B +=⎧⎨+=⎩解得A=1 000，B=- 999，即x l = x 3 =x 5=…=x 1999=1 000,x 2 =x 4 =x 6=…=x 1998=-999. 例4提示：由方程组得(2)(1)(2)(2)2(2)(1)2a a x a a a a y a -+=-+⎧⎨-+=-⎩(1)当（a-2）(a+1)≠o ，即a ≠2且a ≠-l 时，原方程组有唯一解；(2)当(a-2) (a+l) =0且(a-2) (a+2)与a-2中至少有一个不为0时，方程组无解，故当a= -1时，原方程组无解；(3)当(a-2)(a+l)=(a-2)(n+2)=（a-2)=0, 即a=2时，原方程组有无数组解． 例5提示：依题意可得(abcdef)4=1即abcdef=1，从而414a =，故12a =，同理可得13b =,14c =,2d =,3e =,4f = ，那么1117()()(3)(24)224312a c eb d f ++-++=++-++=-例6 (1)分别令a 取两个不同的值，可得到二元一次方程组，解出公共解为73x y =⎧⎨=-⎩．(2)把(a- 3)x+(2a-5)y+6-a=0可变形为(x+ 2y -1)a- 3x - 5y+6=0．依题意可得2103560x y x y +-=⎧⎨--+=⎩,解得73x y =⎧⎨=-⎩.∴无论a 取何值，这个公共解都是二元一次方程(a-3)x+(2a-5)y+6-a=0的解．A 级1. 3192. 21x y =⎧⎨=⎩3. 14295x y =⎧⎪⎨=⎪⎩4. 2 1 5．C 6．B 7．A 提示：由已知得a+b+c=(2a+3b+4c)-(a+2b+3c) =0，故(a+b+c)2=0，于是ab+bc+ca 2221()2a b c -++，则原式的值为12-． 8. C 提示：依题中方程组知28.31 1.2x y +=⎧⎨-=⎩解得 6.32.2x y =⎧⎨=⎩9. 5 提示：1611,1313x k =+231313y k =--． 10. (1) 11x y =⎧⎨=-⎩(2) 73116x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩提示：设11A x =-，121B y =-. (3) 1143x y =⎧⎨=⎩,2243x y =-⎧⎨=⎩,3343x y =⎧⎨=-⎩4443x y =-⎧⎨=-⎩ 11. 181 提示：将各个方程相加得x 1+x 2 +x 3 +x 4+x 5 ＝31．B 级1. ⎩⎨⎧-==10y x 提示：由a (x －y －1)－b (x ＋y ＋1)＝0知⎩⎨⎧=++=--0101y x y x2. 10 提示：3x －2y ＋z ＝2(2x ＋y ＋3z )－(x ＋4y ＋5z )＝2×23－36＝46－36＝103. －1，0，1，4 提示：把y ＝3x 代入6x ＋m y ＝18中得6x ＋3my ＝18, 整理得x ＝26+m ，又因为x ，y 为自然数，故符合条件的m 取值为－1，0，1，4。
2024年湘教版七年级数学上册 3.7二元一次方程组的应用课时1(课件)
新知探究 知识点 二元一次方程组的应用
例2 甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场
变化，甲商品降价15%，乙商品提价10%，调价后两
种商品的单价和比原来的单价和降低了5%. 求甲、乙
两种商品原来的单价.
本问题涉及的等量关系：
甲商品原单价+乙商品原单价=100元
调价后甲商品单价+调价后乙商品单价=100×(1－5%) 元
第3章 一次方程（组）
3.7 二元一次方程组的应用
课时1
七上数学 XJ
学习目标
1.掌握构建二元一次方程组解决有关实际问题的基
本步骤.
2.通过探究实际问题，进一步体会方程组是刻画现
实世界中含有多个未知数问题的数学模型.
课堂导入
1. 列方程最关键的步骤是什么？
关键在于找到问题的等量关系.
2. 解二元一次方程组目前学习了哪几种方法？
列二元一次方程组解应用题的般步骤：
审 弄清题意和题目中的数量关系，找出能够表达应用题全部
含义的两个等量关系；
设 根据问题设出两个未知数；
列 根据等量关系，列出需要的代数式，从而列出方程组；
解 解这个方程组，得出未知数的值；
验 检验所求的未知数的值是否符合题意，是否符合实际情况；
答 写出答.
随堂练习
1. 蜻蜓有 6 条腿和 2 对翅膀，蝉有 6 条腿和 1
对翅膀，现这两种小虫共有腿 108 条和 20对翅
2
膀，则蜻蜓有____只，蝉有_____只.
16
随堂练习
【课本P130 练习 第1题】
2.有甲、乙两种铜和银的合金，甲种合金含银25%，乙种
合金含银37.5%. 现在要熔制含银30%的合金100 kg，甲、
七年级数学竞赛题：一次方程组的应用
七年级数学竞赛题：一次方程组的应用一次方程组是解数学题的重要工具之一，其应用主要体现在以下两个方面：1．求代数式的值一些表面与方程组无关的问题，借助相关概念、性质、对题意的理解等将问题转化为解方程组而获解．2．列方程组解应用题不同的应用问题应采用不同的解决手段或方法，对于含有多个未知量的问题，利用方程组求解常常比单设一个未知数建立一元方程容易，列方程组解应用题的步骤与列一元方程解应用题的步骤类似，它们的不同之处在于：首先，列方程组所解决的应用题中含有多个未知量，须设多个未知数，而列方程只能设一个未知数，其他未知量只能用这一个未知数的代数式表示；其次，列方程组解应用题应列出彼此独立的方程来组成方程组，而列方程解应用题只需列出一个方程．例1 设x 、y 满足x ＋３y ＋y x -3＝１９２ｘ＋ｙ＝６，则ｘ＝_______，Y ＝_______．(第十届“希望杯”邀请赛试题)解题思路 两等式联立可得关于x ，ｙ的方程组，解题的关键是如何脱去绝对值符号．例2 4x －3y 一6ｚ＝０，ｘ＋2y －7ｘ＝O 222222103225z y x z y x ---+等于( )． (A)－21 (B)－219 (C)一15 (D)一13 (1997年重庆市竞赛题)解题思路 ｘ、ｙ、ｚ的值不惟一确定，不妨视2为常数，解关于x ，ｙ的方程组．例3 某班进行个人投篮比赛，下表记录了在规定时间内投进几个球的人数分布情况。
同时，已知进球3个或3个以上的人平均每人投进3.5个球；进球4个或4个以下的人平均每人投进2.5个球，问投进3个球和4个球的各有多少人?(2002年上海市中考题)解题思路 已知两种情况的每人投进球的平均数，利用平均每人投进的球数＝总人数投进总球数列出方程组．例4 某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队8700元；乙、丙两队合做10天完成，厂家需支付乙、丙两队共9500元；甲、丙两队合做5天完成全部工程的32，厂家需付甲、丙两队共5500元．(1)求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天?(2)若工期要求不超过15天完成全部工程，问可由哪队单独完成此项工程花钱最少?请说明理由．(天津市中考题)解题思路 求出每队工作效率及每天需支付每队的费用，通过计算比较，进行正确的经济决策．例5 有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根，乙种l 根，丙种3根共长23米；甲种1根，乙种4根，丙种5根共长36米．问甲种l 根、乙种2根、丙种3根共长多少米?(天津市竞赛题)解题思路 三个未知量却只有两个等量关系，需运用相关的解方程组的技巧，如视某个变量为常量、整体思想等．A 级１．若a 一b ＝2，ａ－ｃ＝21，则(ｂ一ｃ)3一3(ｂ一c)＋49＝_______． 2．2002年全国足球甲A 联赛前12轮(场)的比赛后，前三名比赛成绩如下表，则每队胜一场、平一场、负一场分别各得——分．(南京市中考题) ＼ 胜场 平场 负场 积分大连万达队 8 22 26 上海申花队 6 51 23 北京国安队 57 0 223．若ｘ＋２ｙ＋３ｘ＝10，４ｘ＋３ｙ＋２ｚ＝１５，则ｘ＋ｙ＋ｚ＝_______．4．如图，在长方形ABCD 中，放人六个形状大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积为_______．5．已知一4ｘn m +ｙn m +与32ｘm -7ｙn +1是同类项，则ｍ、ｎ的值分别为( )． (Ａ)ｍ＝l ，ｎ＝7 (Ｂ)ｍ＝3，ｎ＝1(Ｃ)ｍ＝1029，ｎ＝65 (Ｄ)ｍ＝45 ｎ＝－２ 6．把x ＝1和x ＝一1分别代入代数式ｘ2＋ｂｘ＋ｃ，它的值分别是２和８，则ｂ、ｃ的值是( )．(A)ｂ＝3，c ＝4 (B)ｂ＝3，c ＝一4(C)6＝一3，c ＝一4 (D)ｂ＝一3，ｃ＝47．方程32--y x ＋1++y x ＝１的整数解的个数是( )．(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个8．甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁．那么( )．(A)甲比乙大5岁 (B)甲比乙大10岁(C)乙比甲大10岁 (D)乙比甲大5岁(2000年全国初中数学联赛题)9．某纸品加工厂为了制作甲、乙两种无盖的长方体小盒(如图1)，利用边角料裁出正方形和长方形两种硬纸片，长方形的宽与正方形边长相等(如图2)，现将150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片全部用于制作这种小盒，求可做成甲、乙两种小盒各多少个?(上海市中考题)10．某车间每天能生产甲种零件120个，或者乙种零件100个，或丙种零件200个，甲、乙、丙三种零件分别取3个、2个、1个才能配成一套，要在30天内生产最多的成套产品，问甲、乙、丙三种零件各应生产几天?(福建省中考题)11．项王故里的票价规定如表购票人数1～50人 51～100人 100人以上 每人门票价 5元 4.5元 4元某校初一甲、乙两班共103人(其中甲班人数多于乙班人数)去游项王故里，如果两班都以班为单位分别购票，则共付486元．(1)如果两班联合起来，作为一个团体购票，则可以节约多少元?(2)两班各有多少名学生? ‘(2002年江苏省宿迁市中考题)12．甲、乙、丙三人各有糖若干块，要求互相赠送，先由甲给乙、丙，所给的糖的块数等于乙、丙原来各自的糖块数；依同样的方法再由乙给甲、丙现有的糖块数；后由丙给甲、乙现有的糖块数，互相赠送后，每人恰好各有糖64块，问三人原来各有糖多少块?(天津市竞赛题)B 级1．定义新运算“▽”如下：ｘ▽ｙ＝ａｘ＋ｂｙ＋ｃ(ａ，b ，C 为常数)，其中∣▽∣＝2，2▽2＝1，则2003▽2003的值为_______．(河南省竞赛题)2．《数理天地》(初中版)月刊，全年12期，每期定价2.5元，某中学初一年级组织集体订阅，有些学生订半年而另一些学生订全年，共需订费1320元，若订全年的改订半年，订半年的改订全年时，则共需订费1245元，则该中学初一年级订阅《数理天地》的学生共有_______人．(“希望杯”邀请赛试题)3．江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用两台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完．如果要在10分钟抽完水，那么至少需要抽水机_______台．(全国初中数学联赛试题)4．购买五种数学用品A 1、A 2、A 3、A 4、A 5的件数和用钱总数列成下表则五种数学用品各买一件共需______元．5．买20枝铅笔、3块橡皮、2本日记本需32元；买39枝铅笔、5块橡皮、3本日记本需58元，则买5枝铅笔、5块橡皮、5本日记本需( )．(第十五届江苏省竞赛题)(A)20元 (B)25元 (C)30元 ． (D)35元6．在一家三口人中，每两人的平均年龄加上余下一人的年龄分别得到47，6l ，60，那么这三个人中最大年龄与最小年龄的差是( )．(“希望杯”邀请赛试题)(A)28 (B)27 (C)26 (D)257．已知4x 一3y 一6z ＝0，x+2y －7x ＝0，(xyx ≠0)，则22222275632z y x z y x ++++的值为( )． (安徽省竞赛题) (A)21 (B)－21 (C)l (D)一1 8．某赛季足球比赛的计分规则是胜一场得3分；平一场得1分；负一场得0分，一足球队打完15场，积33分，若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况有( )．(A)3种 (B)4种 (C)5种 (D)6种(2001年全国高考题)9．在车站开始检票时，有a(a>0)名旅客在候车室排队等候检票进站．检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站．设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的．若开放一个检票口，则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放几个检票口?(2001年广州市中考题)10．某一次考试共需做20个小题，做对一个小题得8分，做错一个扣5分，不做的得0分，某学生共得13分，问这个学生没做的题有多少个?(湖北省荆州市竞赛题)11．编号为l 到25的25个弹珠被分放在两个篮子A 和B 中，15号弹珠在篮子A 中，把这个弹珠从篮子A 移至篮子B 中，这时篮子A 中的弹珠号码数的平均数等于原平均数加41，B 中弹珠号码数的平均数也等于原平均数加41．问原来在篮子A 中有多少个弹球? (第十六届江苏省竞赛题)。
初一数学竞赛系列讲座解一次方程(组)与一次不等式(组)教师版
初一数学竞赛系列讲座解一次方程（组）与一次不等式（组）一、知识要点1．一次方程组解一次方程组的基本思想是“消元”，常用方法有“代入消元法”和“加减消元法” 2．不定方程不定方程(组)是指未知数的个数多于方程个数的方程(组)。
它的解往往有无穷多个，不能唯一确定，对于不定方程(组)，我们常常限定只求整数解或正整数解。
定理：若整系数不定方程ax+by=c (a 、b 互质)有一组整数解为x 0，y 0，则此方程的全部整数解可表示为：⎩⎨⎧-=+=)k ( 00为任意整数这里ka y y kbx x 3.一元一次不等式只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的不等式，叫做一元一次不等式。
它的标准形式：ax+b ＜0或ax+b ＞0（a ≠0）解不等式的根据是不等式的同解原理。
4．不等式的基本性质和同解原理 不等式的基本性质(1)反身性 如果a ＞b ，那么b ＜a(2)传递性 如果a ＞b ，b ＞c ，那么a ＞c (3)平移性 如果a ＞b ，那么a+c ＞b+c (4)伸缩性 如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc 如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc不等式的同解原理1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得的不等式与原不等式是同解不等式。
不等式的同解原理2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，所得的不等式与原不等式是同解不等式。
不等式的同解原理3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，并把不等号改变方向后，所得的不等式与原不等式是同解不等式。
5．解一元一次不等式的步骤（1）去分母（根据不等式性质2或3）； （2）去括号（根据整式运算法则）； （3）移项（根据不等式基本性质1）； （4）合并同类项（根据整式的运算法则）； （5）将x 项系数化为1（根据不等式性质2或3）；6．不等式组及其解集几个一元一次不等式合在一起，就成了一元一次不等式组；几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做由它们组成的一元一次不等式组的解集。
二元一次方程组的应用案例
初中数学教学案例分析-----二元一次方程组的应用从平时自测与正规考试分析，有的题型我们教师讲过，甚至几乎一模一样，但是学生仍然不会。
学生存在“知其然，不知其所以然”现象。
这是因为在备课时，我们往往只习惯于备教学内容，而忽视备学生。
如果教师不去研究学生对所教内容的掌握情况，不去研究学生的个体差异，一切从本本出发，课堂教学的适切性就会大打折扣，课堂教学的高效更无从谈起。
案例：《二元一次方程组的应用》各环节配题。
（一）提出问题，导入新课1、问题1 解二元一次方程组问题2 母亲26岁结婚，第二年生个儿子，若干年后母亲的年龄是儿子年龄到3倍，此时母亲的年龄为几岁？解法一：设经过x年后，母亲的年龄是儿子年龄的3倍。
由题意得26+x=3x解法二：设母亲的年龄为x岁。
由题意得x=3（x－26）（二）精选讲例，探求新知例某班有45位学生，共有班费2400元钱，准备给每位学生订一份报纸。
已知《作文报》的订费为60元/年，《科学报》的订费为50元/年，则订阅两种报纸各多少人？巩固练习小明和小李两人进行投篮比赛，规则：小明投3分球，小李投2分球，两人共投中20次，经计算两人得分相等，问小李和小明各投中几个球。
（三）变式训练，激活学生思维问题1 小明和小李两人进行投篮比赛，小明投3分球，小李投2分球，两人共投中100次，小明投中率为40%，小明投中率为40%，经计算两人得分相等，问小李和小明各投中几个球。
问题2 已知某电脑公司有A型、B型、C型3种型号的电脑，其价格分别为A型6000元/台、B型4000元/台、C型2500元/台，我校计划将100500元钱全部用于从该公司购进其中两种不同型号电脑共36台，请你设计出几种不同的购买方案供学校采用。
小红的方案：她认为可以购进A型和B型电脑，请你判断小红提出的方案是否合理，并通过计算说（四）课堂练习，巩固新知1、A、B两地相距36千米，甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发步行到A地，两人同时出发，4小时候相遇。
七年级数学一次方程组的应用(一)人教义务代数
七年级数学一次方程组的应用(一)人教义务代数1．选择题：（1）列方程组解应用题一般有下列步骤：①列方程组；②解方程组；③审题；④设未知数；⑤检验作答．其基本步骤的顺序是（ ）．A ．①②③④⑤B ．④③①②⑤C ．③④①②⑤D ．④①②⑤③（2）某校课外小组的学生准备分组外出活动，若每组7人，则余下3人；若每组8人，则少5人．求课外小组的人数x 和应分成的组数y ，则依题意可列的方程组得（ ）．A ．⎩⎨⎧-=+=58,37x y x yB ．⎩⎨⎧=-=+yx y x 58,37 C ．⎩⎨⎧+=-=58,37x y x y D ．⎩⎨⎧+=+=58,37x y x y （3）某人骑自行车从甲地到乙地，去时每小时走12千米，回来时每小时走8千米，那么他往返一次的平均速度为（ ）．A ．10千米/时B ．9.8千米/时C ．9.6千米/时D ．千米/时（4）甲、乙两人合作完成一件工作，4小时后，甲另有任务，余下的部分由乙单独做，乙用10小时全部完成，已知甲6小时的工作量乙用7小时30分钟才能完成．如果这项工作由甲、乙单独做，那么（ ）．A ．甲用12小时，乙用15小时B ．甲用15小时，乙用12小时C ．甲用10小时，乙用20小时D ．甲用20小时，乙用10小时（5）有一个两位数，用十位数字加上个位数字与用十位数字减去个位数字的结果相同，那么这样的两位数一共有（ ）．A ．8个B ．9个C ．10个D ．11个（6）A 、B 两地相距S 千米，从A 地到B 地，甲用5小时，乙用6小时，那么甲的速度比乙的速度快（ ）．A ．5S 千米/时B ．6S 千米/时 C ．11S 千米/时 D ．30S 千米/时 （7）某校150名学生参加数学考试，人平均55分，其中及格学生平均77分，不及格学生平均47分，则不及格学生人数为（ ）．A ．49B ．101C ．110D ．40（8）某校宿舍，若每间住1人，有10人无处住；若每间住3人，则有10间无人住，则这批宿舍间数为（ ）．A ．20B ．10C ．15D ．12（9）若某年级学生共有246人，其中男生人数为女生人数的2倍少2人，问男、女生各有多少？以上问题中，设女生人数为x 人，男生人数为y 人，则下列方程组中正确的是（ ）．A ．⎩⎨⎧-==+22,246x y y xB ．⎩⎨⎧+==+22,246x y y x C ．⎩⎨⎧+==+22,246x y y x D ．⎩⎨⎧+==+22,246x y y x （10）某同学买了每枚1元的邮票x 枚，每枚2元的邮票y 枚，最后经清点知道共买了邮票12枚，花去了20元钱．那么x ，y 应满足的方程组是（ ）．A ．⎩⎨⎧=+=+202,12y x y xB ．⎩⎨⎧=+=+202,12y x y x C ．⎩⎨⎧=+=+122,20y x y x D ．⎩⎨⎧=+=+122,20y x y x 2．填空题：（1）在代数式kx ＋b 中，当x ＝3时，它的值是－2；当x ＝5时，它的值是2，则k _______，b ＝________；（2）一只轮船顺流航行，每小时行20千米；逆流航行，每小时行16千米，则轮船在静水中的速度为________，水流速度为________；（3）用浓度为30%和浓度为15%的盐酸溶液混合配制成浓度为20%的盐酸溶液50千克，如果分别用x 、y 来表示浓度为30%和浓度为15%的盐酸溶液，那么未知数与已知数的关系如下表：（4）已知甲、乙两个粮库，若从甲库调出10吨给乙库，则乙库的存粮数是甲库存粮数的2倍，以上关系用等式表示为______；（5）5辆大车和4辆卡车一次运货24吨，10辆大车和2辆卡车一次运货21吨，问一辆大车和一辆卡车一次运货各多少吨？若设大车一次运货x 吨，卡车一次运货y 吨，则根据题意所得的方程组为______；（6）1996年全国足球甲级A 组的前11轮（场）比赛中，某某万达队保持连续不败，共得23分，按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，那么该队共胜了_______场；（7）某公司去年出口创汇120万美元，今年比去年增加了x %，若保持此增长率不变，则明年创汇_______万美元．3．甲、乙两个工程队，甲队人数比乙队人数的54少30人，若从乙队调10人到甲队，则甲队人数是乙队人数的43，求两个工程队各有多少人？4．加工螺母与螺杆，若每人每天平均加工螺母15个或螺杆12根，已知共有90人，问怎样分配人数，使加工出的螺母与螺杆正好配套．5．甲库比乙库存粮少5吨，现从甲库运出存粮的32，从乙库运出存粮的40万，那么乙库所余粮食是甲库的2倍，问甲、乙两库原有存粮多少吨？6．某水果种植基地去年结余500万元，估计今年可结余960万元，并且今年的收入比去年高15％，支出比去年低10％．求去年的收入与支出各是多少万元．7．一个两位数，十位数字是个位上数字的2倍，把十位数字与个位数字的位置对调，所得新数比原数小18，求这个两位数各是多少？8．一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数减去1后所得的数正好是它的各位数字之和的5倍．求这个两位数是多少？9．有一个两位数，除以它各数位上的数字的和，商为7，余数是6，如果把它十位数字与个位数字对调，所得的新数除以它各数位上的数字的和，商为3，余数是5，求这两位数．10．有100名某校师生到甲、乙、丙三个工厂参加劳动，到甲厂劳动的人数的2倍比到丙厂劳动人数少10人，到甲、丙两厂劳动人数的和比到乙厂劳动人数的2倍多10人，求到三个厂劳动的人数各是多少人？11．一个三位数的三个数字的和是17，百位数字与十位数字的和比个位数字大了，如果把个位数字与百位数字的位置对调，那么所得的三位数比原数大495，求原来的三位数．12．甲、乙两人从某地同向出发，甲骑自行车，乙步行，如果乙先走20千米，甲用1小时可追上乙，如果乙先走1小时，甲只用15分钟就能追上乙，那么甲、乙二人的速度各是多少？13．A、B两地相距20千米，甲从A地，乙从B地同时出发相向而行，经2小时相遇，相遇后甲立即返回A地，乙仍向A地前进，甲回到A地时，乙离A还有2千米，求甲、乙速度．14．某工厂甲、乙两车间去年计划共完成利税720万元，结果甲车间完成了计划的115％，乙车间完成了计划的110%，两车间共完成利税812万元，去年这两个车间各超额完成利税多少万元？15．某企业向银行申请了甲、乙两种贷款，共计68万元，每年需付利息8.42万元，甲种贷款每年的利率是12％，乙种贷款每年的利率是13％，求两种贷款的数额各是多少万元？16．某厂接受一批定货，预计30天完成，经改革技术后，劳动效率提高了120%，结果提前16天完成任务，并超产32件，求该厂原计划的任务是多少，原计划每天的定额是多少？17．甲、乙两人做相同的零件，开始甲先做了一天，然后两人一起做，4天后甲比乙多做2个，如果甲先做20个，然后二人一起做，4天后，乙反而比甲多做12个，问甲、乙二人每天各做多少个零件？18．敌我相距42千米，如果敌人向我进犯，我军前去迎击，2小时可相遇，如果敌人逃跑，我军须用14小时才能追上，问我军和敌军速度各是多少？19．用白铁皮做饮料盒，每X 铁皮可做16个盒身或43个盒底，一个盒身与两个盒底配成一套，现有150X 白铁皮，问用多少X 制盒身，多少X 制盒底，可正好制成整套的饮料盒而不致于浪费，请你帮助设计一下．20．甲、乙两人从相距18km 两地同时出发，相向而行，59小时后相遇，如果甲比乙先出发32小时，那么乙出发后23小时两人相遇，求两人的速度各是多少？21．某体育场的环行跑道长400米，甲、乙分别以一定的速度练习长跑和自行车．如果反向而行，那么他们每隔30秒相遇一次．如果同向而行，那么每隔80秒乙就追上甲一次．甲、乙的速度分别是多少？22．甲、乙两人分别从相距27km 的A 、B 两地同时出发相向而行，3小时后相遇，两人各用原来的速度继续前进，甲到达B 地比乙到达A 地早1小时21分，求甲、乙两人的速度．23．有甲、乙两种火车，甲车长190米，乙车长250米，在平行的轨道上相向而行，已知两车自车从相遇到车尾相离，经过16秒钟，甲、乙两车的速度比为7∶4，求甲、乙两车的速度各是多少？参考答案1．（1）C （2）C （3）C （4）A （5）B （6）D （7）C （8）A （9）B（10）B2．（1）2，－8 （2）18千米/时，2千米/时（提示：2逆水速度顺水速度静水速度-=2逆水速度顺水速度水流速度-=） （3）30%x ，15%y ，50×20% （4）y ＋10＝2（x －10）即2x －y ＝30 （5）⎩⎨⎧=+=+212102445y x y x （6）设该队胜x 场，平y 场，则⎩⎨⎧=+=+.233,11y x y x ∴⎩⎨⎧==.5,6y x （7）2%)1(120x +⨯ 3．甲工程队有170人，乙工程队有250人．提示：设甲、乙工程分别有工人x 人，y 人，根据题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+).10(4310,5430y x y x 4．40人加工螺母，50人加工螺杆． 提示：设x 人加工螺母，y 人加工螺杆，根据题意，得⎩⎨⎧==+.1215,90y x y x 5．甲库存粮45吨，乙库存粮50吨．提示：设甲乙两库原有存粮分别是x 吨、y 吨，根据题意，得⎪⎩⎪⎨⎧-=--=-.%)401()321(2,5y x y x 6．去年收入2040万元，支出1540万元．提示：设去年收入x 万元，支出y 万元，根据题意，有⎪⎩⎪⎨⎧=--+=-.960)100101()100151(,500y x y x 7．这个两位数是42．提示：设十位数字是x ．个位数字是y ．根据题意，得⎩⎨⎧=+-+=.18)10(10,2x y y x y x 8．这个两位数为56．提示：设两位数的十位数字为x ，个位数字为y ．根据题意有⎩⎨⎧+=-+=+-+).(5110,23)(310y x y x y x y x 9．这个两位数是83．提示：设十位数字是x ，个位数字是y ，根据题意，得⎩⎨⎧++=+++=+.5)(310,6)(710y x x y y x y x 10．甲厂20人，乙厂30人，丙厂50人．提示：设到甲、乙、丙厂劳动的人数分别是x 、y 、z ，根据题意，得⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-=++.102,102,100y z x x z z y x 11．这三位数是287．提示：设百位数字、十位数字、个位数字分别是x 、y 、z ，根据题意，得⎪⎩⎪⎨⎧=++-++=-+=++.495)10100()10100(,3,17z y x x y z z y x z y x 12．甲速度是25千米/时，乙速度是5千米/时．提示：设甲速度x 千米/时，乙速度是y 千米/时，根据题意，得⎪⎩⎪⎨⎧==+.454,20y x x y 13．甲速度是5.5千米/时，乙速度是千米/时．提示：设甲、乙速度分别是x 千米/时、y 千米/时，根据题意，得⎩⎨⎧=-=+.2)(2,20)(2y x y x 14．甲超额完成利税60万元，乙超额完成利税32万元．提示：设甲车间超额完成利税x 万元，乙车间超额完成利税y 万元，根据题意，得⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=+.7201%1101%115,720812y x y x 15．甲种货款42万元，乙种货款26万元．提示：设甲种货款x 万元，乙种货款y 万元，根据题意，得⎩⎨⎧=+=+.42.8%13%12,68y x y x 16．原计划加工任务1200件，原计划每天的定额是40件．提示：设原计划的任务是x 件，原计划每天的定额是y 件，根据题意，得⎩⎨⎧+=-+=.32)1630(%)1201(,30x y x y 17．甲每天做34个，乙每天做42个．提示：设甲每天做x 个，乙每天做y 个，根据题意，得⎩⎨⎧=+-=-.12)204(4,245x y y x 18．我军速度12千米/时，敌军速度是9千米/时．提示：设我军速度x 千米/时，敌军速度y 千米/时，根据题意，得⎩⎨⎧=-=+.42)(14,42)(2y x y x 19．86X 白铁皮制盒身，64X 白铁皮制盒底．提示：设用x X 白铁皮制盒身，y X 制盒底，根据题意，得⎩⎨⎧=⨯=+.43216,150y x y x 20．甲每小时行，乙每小时行．提示：设甲速度是x km/时，乙速度是y km/时，根据题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+.18)(2332,18)(59y x x y x 21．甲速度为625米/秒，乙速度为655米/秒． 提示：设甲速度为x 米/秒，乙速度为y 米/秒．根据题意有⎩⎨⎧=-=+.400)(80,400)(30x y y x 22．甲速度5km/时，乙速度4km/时，提示：设甲速度x km/时，乙速度y km/时，根据题意，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=+.608133,27)(3x y y x y x23．甲车速度为235米/秒，乙车速度为10米/秒． 提示：设甲车速度为x 米/秒，乙车速度为y 米/秒，根据题意，得⎩⎨⎧=+=+.47,250190)(16::y x y x。
七年级数学一次方程组的应用3
一次方程组的应用第三课时(第三课时)一、素质教育目标(一)知识教学点1.会列出三元一次方程组解简单的应用题.2.会用待定系数法解题.(二)能力训练点培养学生分析问题、解决问题的能力.(三)德育渗透点1.使学生进一步了解代数方法的优越性、实用性.2.渗透特定系数法这一重要的思想方法.3.了解我国古数学的光辉成就.(四)美育渗透点学习列三元一次方程组及用待定系数法解题,渗透解题的简捷性与奇异的数学美.二、学法引导1.教学方法:讲解法、谈话法、师生共同分析、发现问题.2.学生学法:列三元一次方程组解应用题的关键在于迅速寻找出三个相等关系,故尖增强分析问题的能力.三、重点·难点·疑点及解决办法(一)重点1.根据简单应用题的题意列出三元一次方程组.2.用待定系数法解题的方法.(二)难点正确找出表示应用题全部含义的三个相等关系,并把它们表示成三个方程.(三)疑点如何正确地寻找相等关系.(四)解决办法反复读题、审题,用简洁的语言概括出相等关系.四、课时安排一课时五、教具学具准备投影仪或电脑、自制胶片.六、师生互动活动设计1.通过提问,复习列二元一次方程组解应用题的步骤.2.通过例6的审题,让学生分析出如何求三种球的相等关系.教师规X板书过程以便学生的模仿.3.通过反馈练习,强化对列三元一次方程组解应用题的训练,以便能掌握相关的一些变式训练.七、教学步骤(一)明确目标本节课主要学习列三元一次方程组解应用题.(二)整体感知列三元一次方程组解应用题的关键在于寻找出正确的相等关系,因而应仔细审题,合理分析,以达迅速求解的目的.(三)教学过程1.开门见山,导入新课前面,我们学习了列二元一次方程组解应用题,哪位同学能简单说一下列二元一次方程组解应用题的步骤?(设、找、列、解、答)实际上,有的应用题中未知数的个数不只两个,这节课,我们来学习三元一次方程组的应用.2.探索新知,讲授新课例6 学校的篮球数比排球数的2倍少3个,足球数与排球数的比是2:3,三种球共41个,求三种球各有多少?题中有几个未知数?要找到几个相等关系?用简洁的语言概括相等关系.学生活动:分析、思考、回答老师的问题;有三个未知数、三个相等关系.相等关系:(1)篮球数=2×排球数-3(2)足球数:排球数=2:3即:2×排球数=3×足球数(3)三种球数的和=总球数学生活动:根据刚才的分析解答例1,一个学生板演.解:设篮球有个,排球有个,足球有个,根据题意得①代入③,得④由④,得⑤把⑤代入②,得把分别代入①、⑤,得∴答:篮球有21个,排球有12个,足球有8个.强调:(1)解方程组的过程可以写在练习本上.(2)得到结果检验是否正确、合理.【教法说明】例6采用与二元一次方程组类似的方法进行分析,学生接受不会感到困难.通过比较,可使学生进一步了解代数方法的优越性.尝试反馈:P38 1、2.两个学生板演.3.变式训练,培养能力P41 17.在公式中,当时, ;当时, ,求当时, 的值.【教法说明】教师首先介绍这个公式的实际意义,再启发学生根据已知条件先求待定系数、,然后把代入,求.(四)总结、扩展列三元一次方程组解应用题的步骤、关键是什么?八、布置作业(一)必做题:P40~P41 14,16.(二)选做题:P41 B组1,4.(三)思考题:课本第42页“想一想”(四)复习本章内容参考答案略.九、板书设计5.5 一次方程组的应用(三)例5变式练习十、背景知识与课外阅读一个水池装有甲、乙进水管和丙出水管,若打开甲管4小时,乙管2小时和丙管2小时,则水池中余水5吨;若打开甲管2小时,乙管3小时,丙管1小时,则池中余水1吨,求打开甲管22小时,乙管5小时,丙管11小时,池中余水多少吨?分析和解:设甲、乙、丙三管每小时的流水量分别为吨,依题意得通过观察分析方程组的特有形式,可用独特的整体相乘,整体相减法求解①×7-②×3得.。
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问题解决：
例 1．设 x，y 满足 x+3y+|3x−y|=19，2x+y=6，则 x=
，y=
。
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：两等式联立可得关于 x，y 的方程组，解题的关键是如何脱去绝对值符号。
例 2．已知 x，y，z 满足 2 = 3 = 5 ，则 3x − y 的值为（ ） x y − z z + x y + 2z
11l+5b+2=3×(7a+3b+c)−(10a+4b+c)=3×30−40=50。 解法 3：11a+5b+2c=(10a+4b+c)+(a+b+c)=40+a+b+c，
需求出
a+b+c，原方程变形为
(a (a
+ +
b b
+ +c)ຫໍສະໝຸດ c)+ +
6a 9a
+ +
2b 3b
= =
30 40
① ②
①×3−②×2，得 a+b+c=3×30−40×2=10 所以 11a+5b+2c=40+10=50。
图(1)
图(2)
图(3)
11．如图，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成 3 个正方形和 2 个长方形后
仍是中心对称图形，若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就
能知道周长的图形的标号为（ ）。
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
（浙江省宁波市中考题）
①
②
②③
①
12．利用两块长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图
7a + 3b + c = 30 10a + 4b + c = 40
，需求
10a+5b+2c
的值。
解法
1：原方程变形为
3b + c = 30 − 7a 4b + c = 40 −10a
，解得
b
= c
10 − 3a = 2a
，
所以 1la+5b+2c=11a+5(10−3a)+2×2a=50。 解法 2：把 11a+5b+2c 直接用 7a+36+c，10a+4b+c 的式子表示，
。
（“五羊杯”竞赛题）
7．小明的爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下：
时刻
12 : 00
13 : 00
14 : 30
碑上的数 是一个两位数，数的数字之 十位与个位数字与 12 : 00 比 12 : 00 时看到的两位数
和为 6
时看到的正好颠倒了
和中间多了个 0
名工人缝制衣袖，才
能使每天缝制出的衣袖、衣身、衣领正好配套。
（山东省滨州市中考题）
4．某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景，甲种盆景由 15 朵红花、24 朵黄花和 25 朵紫花搭配
面成，乙种盆景由 10 朵红花和 12 朵黄花搭配而成，丙种盆景由 10 朵红花、18 朵黄花和 25 朵紫花搭配而
小长方形的面积是 3，则长方形 ABCD 的周长是
。
A
D
2．已知 x+2y−z=8，2x−y+z=18，则 8x+y+z=
。
B
C
（重庆市竞赛题）
3．某服装厂专门安排 210 名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由 2 个衣袖、1 个衣身、1 个衣领组成。如
果每人每天能够缝制衣袖 10 个，或衣身 15 个，或衣领 12 个，那么应该安排
则 12：00 时看到的两位数是（ ）。
A．24
B．42
C．51
D．15
（湖北省恩施中考题）
8．满足式子|x−5|+4|y+2|=10 的整数对（x，y）有（
A．4
B．8
C．10
D．16
）对。
（“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题）
9．将 1，2．3，4，…，12，13 这 13 个整数分为两组，使得一组中所有数的和比另一组中所有数的和大 10， 这样的分组方法（ ）。
C
D
22
例 5．设有 2015 个数 a1，a2，a3，…，a2014，a2015，其中 ai（i=1，2，…，2015）的取值只能是−1，0，1 中 的一个，已知 a1+a2+a3+…+a2014+a2015=70，且(a1+1)2+(a2+1)2+…+(a2014+1)2+(a2015+1)2=4001，求 a1，a2，…， a2014，a2015 中取值为 1 的、取值为 0 的以及取值为−1 的各有多少个? 解题思路：设这列数中取值为 1，0，−1 的三个数的个数分别为 x，y，z，建立三元一次方程组。
割作为例子，这种长方形被后人称为“完美长方形”。
例 8．如图，十三个边长为正整数的正方形纸片恰好拼成一个大长方形（其 中有三个小正方形的边长已标出字母 x，y，z）。试求满足上述条件的长方 形面积的最小值。 解题思路：洞悉图形内涵，挖掘隐含信息，建立关于 x，y，z 的方程组。
刻意练习
1．如图，已知长方形 ABCD 恰好可分成七个形状大小相同的小长方形，如果
第 14 讲 一次方程组的应用
知能概述： 一次方程组是刻画现实数量关系的有效模型，在代数式的化简求值、解实际问题等方面有广泛的应用。 一些代数式化简求值问题，运用相关概念、性质、对题意的理解等，常可转化为解方程组或利用方程组
探寻字母间的关系。 对于含有多个未知量的问题，运用方程组求解往往比只设一个未知数建立一元一次方程求解简单。
台。 （全国初中数学联赛题）
6．有一个正在匀速向上移动的自动扶梯，旅客 A 从其顶端往下匀速行至其底端，共走了 60 级，B 从其底端
往上匀速行至其顶端，共走了 30 级（扶梯行驶，两人也在梯上行走，且每次只跨 1 级），且 A 的速度（即
单位时间所走的级数）是 B 的速度的 3 倍，那么自动扶梯露在外面的级数是
（“希望杯”邀请赛试题）
例 6．购买铅笔 7 支，作业本 3 本，圆珠笔 1 支共需 30 元；购买铅笔 10 支，作业本 4 本，圆珠笔 1 支共需 40 元，问购买铅笔 11 支，作业本 5 本，圆珠笔 2 支共需多少元?
（“希望杯”邀请赛试题）
分析：设铅笔、作业本、圆珠笔的单价分别为
a，b，c，则
成。这些盆景一共用了 2900 朵红花，3750 朵紫花，则黄花一共用了
朵。
（重庆市中考题）
5．江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用 2 台抽水机抽水，40 分钟恰可抽完；如果用 4 台抽水机抽水，16 分钟恰可抽完，如果要在 10 分钟抽完水，那么至少需要抽水机
证一周完成的前提下，哪个队的承包费用最少？ （金国初中数学竞赛题）
解题思路：求出每队工作效率及每天需支付每队的费用，通过计算比进行决策判断。
例 4．如图，长方形 ABCD 中，放置 9 个形状、大小都相同的小长方形，求图 A
B
中阴影部分的面积。
《时代学习报》数学文化节试题）
解题思路：从求出小长方形的长宽入手。 7
①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置。测
量的数据如图，则桌子的高度是（ ）。
A．73cm
B．74cm
C．75cm
D．76cm
80cm
70cm
（英国中学生竞赛题）
13．如图，正方形中的每个小图形表示一个数字，相同的图形表示相同的数字，不 同的图形表示不同的数字，正方形外的数字表示该行或该列的数字的和，求 x，y 的 值。
320 290 370 340 390
，解得
a
b c
d
= 180 = 140 = 110 = 230
，
c + e = 360
e = 250
即圆珠笔、彩笔、铅笔、签字笔、荧光笔的价格分别是 180 元、140 元、110 元、230 元、250 元。
完美长方形 1925 年，数学家莫伦找到了一种把长方形分割成大小不同的正方形的方法，且给出了两个长方形的分
（汉城国际数学竞赛题） 解：设圆珠笔、彩笔、铅笔、签字笔、荧光笔的价格分别为 a，b，c，d，e，则 b−c=30，e>d>a，
因为在题目中所给价格相差 30 元的有 290，320；340，370；360，390。
又由
b−c=30，e>d>a，得
a c b c b
+b +a +d +d +e
= = = = =
（意大利数学奥林匹克试题）
16．甲、乙、丙三人共解出 100 道数学题，每人都解出了其中 60 题。将其中只有 1 人解出的题叫做难题， 3 人都解出的题叫做容易题。试问：难题多还是容易题多?多的比少的多几道题?
（江苏省竞赛题）
17．如图，乙地是甲、丙两地的中点，A 从甲地，B 从丙地，C，D 从乙地
A．1
B． 1 3
C．− 1 3
D． 1 2
解题思路：将连等式拆开运用或引入参数。
（全国初中数学联赛题）
例 3．某项工程，如果由甲、乙两队承包，2 2 天完成，需付 180000 元；由乙、丙两队承包，3 3 天完成，
5
4
需付 150000 元；由甲、丙两队承包，2 6 天完成，需付 160000 元。现在该项工程由一个队单独承包，在保 7