(完整版)矩形的性质和判定

矩形的性质和判定

一．填空题（共12小题）

1．如图，矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD边于点E，点F是CD的中点，连接EF．若AB=8，且EF平分∠BED，则AD的长为．

题1 题3 题4

2．若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是．

3．如图，在矩形ABCD中，AB=，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是．

4．如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE=DC=1，AE=2EM，则BM的长为．

5．如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE．若BC=7，AE=4，则CE= ．

题5 题6 题7

6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD 的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则EF= cm．

7．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加条件，才能保证四边形EFGH是矩形．

8．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AO=CO，BO=DO，要使四边形ABCD为矩形，则需添加的条件为（填一个即可）．

题8 题11 题12

9．已知四边形ABCD为平行四边形，要使得四边形ABCD为矩形，则可以添加一个条件为．

10．木匠做一个矩形木框，长为80cm，宽为60cm，对角线的长为100cm，则这个木框（填“合格”或“不合格”）

11．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请补充一个条件，使四边形ABCD成为矩形，这个条件是．12．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB 请你添加一个条件，使四边形DBCE是矩形．

二．解答题（共6小题）

13．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F=45°．

（1）求证：四边形ABCD是矩形；

（2）若AB=14，DE=8，求sin∠AEB的值．

14．如图，AD是等腰△ABC底边BC上的高．点O是AC中点，延长DO到E，使OE=OD，连接AE，CE．

（1）求证：四边形ADCE的是矩形；

（2）若AB=17，BC=16，求四边形ADCE的面积．

15．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，F为DC上一点，且FC=AB，E 为AD上一点，EC交AF于点G．

（1）求证：四边形ABCF是矩形；

（2）若EA=EG，求证：ED=EC．

16．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E点，延长BC至F点使CF=BE，连接AF，DE，DF．

（1）求证：四边形AEFD是矩形；

（2）若AB=6，DE=8，BF=10，求AE的长．

17．平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．

（1）求证：四边形BFDE是矩形；

（2）若AF平分∠BAD，且AE=3，DE=4，求矩形BFDE的面积．

矩形的性质和判定解析

一．填空题（共12小题）

1．如图，矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD边于点E，点F是CD的中点，连接EF．若AB=8，且EF平分∠BED，则AD的长为12 ．

【分析】根据两直线平行，内错角相等求出∠AEB=∠EBC，再求出∠ABE=∠EBC，根据等角对等边可得AE=AB，然后根据AD=AE+ED代入数据计算即可得解．

【解答】解：∵矩形ABCD中，

∴AD∥BC，

∴∠AEB=∠EBC，

∵∠ABC的平分线交AD边于点E，

∴∠ABE=∠EBC，

∴∠ABE=∠AEB，

∴AB=AE=8，

同理得出ED=DF=DC=4，

∴AD=AE+ED=8+4=12，

故答案为：12．

2．若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是80°．

【分析】因为两条对角线相交所成的锐角只有一个，直接应用三角形的内角和定理求解即可．

【解答】解：由矩形的对角线相等且互相平分，所构成的三角形为等腰三角形，利用等边对等角，所以另一底角为40°，

两条对角线相交所成的钝角为：180°﹣40°×2=100°

故它们所成锐角为：180°﹣100°=80°．

故答案为80．

3．如图，在矩形ABCD中，AB=，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是．

【分析】根据四边形ABCD是矩形，得到∠ABE=∠BAD=90°，根据余角的性质得到∠BAE=∠ADB，根据相似三角形的性质得到BE=1，求得BC=2，根据勾股定理得到AE==，BD==，根据三角形的面积公式得到BF==，过F作FG⊥BC于G，根据相似三角形的性质得到CG=，根据勾股定理即可得到结论．

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABE=∠BAD=90°，

∵AE⊥BD，

∴∠AFB=90°，

∴∠BAF+∠ABD=∠ABD+∠ADB=90°，

∴∠BAE=∠ADB，

∴△ABE∽△ADB，

∴，

∵E是BC的中点，

∴AD=2BE，

∴2BE2=AB2=2，

∴BE=1，

∴BC=2，

∴AE==，BD==，

∴BF==，

过F作FG⊥BC于G，

∴FG∥CD，

∴△BFG∽△BDC，

∴==，

∴FG=，BG=，

∴CG=，

∴CF==．

故答案为：．

4．如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE=DC=1，AE=2EM，则BM的长为．

【分析】由AAS证明△ABM≌△DEA，得出AM=AD，证出BC=AD=3EM，连接DM，由HL证明Rt△DEM≌Rt△DCM，得出EM=CM，因此BC=3CM，设EM=CM=x，则BM=2x，AM=BC=3x，在Rt△ABM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=DC=1，∠B=∠C=90°，AD∥BC，AD=BC，

∴∠AMB=∠DAE，

∵DE=DC，