(完整版)矩形的性质和判定
矩形及特殊矩形知识点(经典完整版)
矩形及特殊矩形知识点(经典完整版)
1. 矩形定义
矩形是一种具有四条相等长度的边且四个角都为直角的四边形。
2. 矩形的性质
- 矩形的对角线相等。
- 矩形的两条对边平行且相等。
- 矩形的四个角都为直角。
- 矩形的相邻两边互相垂直。
3. 特殊矩形
除了常见的矩形外，还有一些特殊类型的矩形，包括正方形、
长方形和黄金矩形。
3.1 正方形
正方形是一种特殊的矩形，它的四条边长度相等，且每个角都
为直角。
正方形具有以下性质：
- 任意一条边的长度可以表示为正方形的对角线长度的平方根
乘以√2。
- 正方形的对角线长度等于边长乘以√2。
3.2 长方形
长方形是一种具有不相等的长和宽的矩形，它的两对边分别平行且长度相等。
长方形具有以下性质：
- 长方形的对角线长度可以通过长和宽的值应用勾股定理来计算。
3.3 黄金矩形
黄金矩形是一种特殊的矩形，它的长和宽比例接近黄金分割比例。
黄金矩形具有以下性质：
- 黄金矩形的长和宽的比例可以接近黄金分割比例1:1.618。
- 黄金矩形的长和宽比例可以通过对角线长度的比例来计算。
4. 应用
矩形及其特殊类型的知识在几何学、工程学和建筑学中具有广泛的应用。
矩形可以用于设计建筑物的平面布局、计算房间面积、绘制电路图等。
以上是关于矩形及特殊矩形知识点的经典完整版介绍。
*注：以上内容为简要介绍，未涉及具体应用举例。
如需详细了解，请参考专业教材或专业指导。
*。
矩形的性质与判定
矩形的性质与判定 校区：平湖 年级：九 层次：A/B 编写人：李永佳 审核人：翟威 日期：星期日【知识要点】1.矩形的定义：有一个角 的平行四边形叫做矩形．2.矩形的性质：矩形的四个角都 ；矩形的对角线 .3.矩形的判定定理： 1.有一个角 的 叫做矩形。
2.对角线 的平行四边形是矩形。
3.有三个角是 的四边形是矩形。
4.直角三角形斜边上的中线等于斜边的 .5.矩形的面积等于底乘以高.6.矩形是轴对称图形，也是中心对称图形.【例题精讲】例1：矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）A ．对角相等B ．对边相等C ． 对角线相等D ．对角线互相平分例2：如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 、F 分别是AO 、AD 的中点，若AB=6cm ，BC=8cm ，则△AEF 的周长为（ ）A ．7cmB ．8cmC ．9cmD ．12cm例3：如图，矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，点A 、B 分别在y 轴、x 轴的正半轴上，点C 在第一象限，如果∠OAB=30°，那么点C 的坐标是 ．例4：已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD （AD ＞AB ），将纸片折叠一次，使点A 与点C 重合，再展开，折痕EF 交AD 边于点E ，交BC 边于点F ，分别连结AF 和CE ．（1）求证：四边形AFCE 是菱形；（2）若AB=4，BC=8，求△ABF 的面积；A CB D【巩固练习】一、选择题。
1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是（）A．∠ABC=90°B．AC=BD C．OA=OB D．OA=AD2．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（）A．AB=BE B．DE⊥DCC．∠ADB=90°D．CE⊥DE3．在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（）A．AB=CD，AD=BC，AC=BD B．AO=CO，BO=DO，∠A=90°C．∠A=∠C，∠B+∠C=180°，AC⊥BD D．∠A=∠B=90°，AC=BD4．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为（）A．17 B．18 C．19 D．205．如图，矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为20cm，则这个矩形的一条较短边的长度为（）A．10cm B．8cm C．6cm D．5cm6．如图所示，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则AE的长是（）A．B．C．1 D．1.57．如图，在矩形ABCD中，AD=1，AB＞1，AG平分∠BAD，分别过点B、C作BE⊥AG于点E，CF⊥AG于点F，则（AE﹣GF）的值为（）A．1 B．C．D．8．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E、F，则PE+PF的值为（）A．10 B．4.8 C．6 D．59．在△ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，则下列三种说法：①如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形②如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形③如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形其中正确的有（）A．3个B．2个C．1个D．0个10．如图，矩形ABCD中，AB=8，点E是AD上的一点，有AE=4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连结EF交CD于点G．若G是CD的中点，则BC的长是（）A．7 B．8 C．9 D．10二、填空题。
矩形的性质和判定
矩形的性质和判定【知识梳理】一、定义：有一个是直角的平行四边形是矩形。
二、性质：①矩形的四个角都是直角②矩形的对角线相互平分且相等③矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，有两条对称轴④矩形的面积S=长×宽三、判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形；④对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
四、矩形与平行四边形的区别与联系：①相同点1、两组对边分别平行2、两组对边分别相等3、两组对角分别相等4、对角线相互平分②区别1、有一个角是直角的平行四边形矩形2、对角线相互平分且相等【例题精讲】考点1 矩形的性质【例1】已知：如图，在矩形ABCD中，BE=CF，求证：AF=DE。
【例2】如图，在矩形ABCD 中，,E F 分别是,BC AD 上的点，且BE DF =。
求证：ABE ∆≌CDF ∆。
【例3】如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，60AOB ∠=︒，2AB =，则矩形的对角线AC 的长是（ ） A ．2 B ．4 C ．23 D ．43【变式1】下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是（ ） A 、对边相等 B 、对角相等 C 、对角线相等 D 、对边平行【变式2】矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于O ，如果ABC ∆的周长比AOB ∆的周长大10cm ，则边AD 的长是 。
【变式3】如图，矩形ABCD 沿AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，如果60BAF ∠=︒，则DAE ∠= 。
FED CBA考点2 矩形的判定【例4】如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 中点，四边形ABDE 是平行四边形。
求证：四边形ADCE 是矩形。
【例5】如图，在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的中点，△ABE 是等边三角形，求证：四边形ABCD 是矩形。
ODC BAD EFCAB【变式6】如图11，已知E 是ABCD 中BC 边的中点，连接AE 并延长AE 交DC 的延长线于点F 。
矩形的性质和判定
矩形的性质和判定基础知识点1、矩形的性质和判定：定 义矩 形有一个内角是直角的平行四边形。
性质边对边平行，对边相等。
角 四个角相等，都是直角。
对角线互相平分，相等。
判定有一个角是直角的平行四边形是矩形。
有三个角是直角的四边形是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形。
2、在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半。
3、矩形是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线所在的直线。
例题剖析例1、 已知矩形ABCD 中，AB=2BC ，点E 在边DC 上，且AE=AB ，求∠EBC 的度数．【变式练习】矩形ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥BD 于F ，•求证：BE=CF ．【变式练习】在矩形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，过顶点C 作BD•的平行线与AB 的延长线相交于点E ，求证：△ACE 是等腰三角形．例2、折叠矩形ABCD 纸片，先折出折痕BD ，再折叠使A 落在对角线BD 上A ′位置上，折痕为DG ，AB=2，BC=1。
求AG 的长。
GA`DCBA【变式练习】如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在F 的位置，BF 交AD 于E ，AD=8,AB=4，求△BED 的面积。
EDC BAF例3、在△ABC中，∠ABC=90°，BD是△ABC的中线，延长BD到E，•使DE=BD，连结AE，CE，求证：四边形ABCE是矩形．【变式练习】在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形。
求证：四边形ADCE是矩形。
例4、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．求证：四边形ADCE为矩形．【变式练习】（2011•青岛）在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．（1）求证：△BEC≌△DFA；（2）连接AC ，当CA=CB 时，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？并证明你的结论【变式练习】E 为□ABCD 外一点，AE ⊥CE,BE ⊥DE ，求证：□ABCD 为矩形例5、□ABCD 中，AE 、BF 、CG 、DH 分别是各内角的平分线，E 、F 、G 、H 为它们的交点， 求证：四边形EFGH 的矩形。
矩形的性质和计算方法
矩形的性质和计算方法矩形，是数学中一种简单而重要的几何形状。
它具有一些独特的性质和计算方法，使得它在数学、几何学以及实际生活中都有着广泛的运用。
在本文中，我们将深入探讨矩形的性质和计算方法，帮助读者更好地理解和应用矩形。
一、矩形的定义和基本性质矩形是一个平面上的四边形，它的四个内角均为直角。
相较于其他四边形，矩形具有以下基本性质：1. 四个内角均为直角：在一个矩形中，每个内角都是90度，这使得矩形在建筑、绘画等领域有广泛应用。
2. 两对相对边相等：矩形的相对边长相等，即两条相对边的长度相同。
这个性质使得矩形在制作家具等方面有着重要作用。
3. 对角线相等且相互平分：矩形的对角线相等且相互平分，这使得对角线在计算和绘制矩形时有重要作用。
二、矩形的计算方法1. 矩形的周长计算：矩形的周长等于其各边长之和的两倍。
设矩形的长为L，宽为W，则矩形的周长C计算公式为C=2(L+W)。
2. 矩形的面积计算：矩形的面积等于其长乘以宽。
设矩形的长为L，宽为W，则矩形的面积S计算公式为S=L×W。
3. 矩形的对角线计算：矩形的对角线长度可以通过两条边长计算得到。
设矩形的长为L，宽为W，则矩形的对角线D计算公式为D=√(L²+W²)。
三、矩形的应用领域矩形作为一种常见的几何形状，在许多领域都有广泛的运用，下面列举了一些例子：1. 建筑设计：在建筑设计中，矩形被广泛应用于房屋的平面设计中。
例如，房间的墙壁、门窗等常常采用矩形形状，使得建筑结构更加稳定和美观。
2. 图形绘制：绘画和图形设计中经常使用矩形作为基本的几何形状。
矩形可以用于绘制桌子、窗户、书架等物品，使得画面更具立体感。
3. 计算机图形学：在计算机图形学中，矩形被广泛用于表示屏幕、视窗等显示区域。
矩形的性质和计算方法也为计算机图形学提供了基础。
4. 统计学和金融计算：在统计学和金融计算中，矩形被用作柱状图、条形图、表格等的基本形状，方便数据的展示和分析。
专题15 矩形的性质与判定(解析版)
专题15 矩形的性质与判定【考点归纳】（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）（5）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．【好题必练】一、选择题1．（2020秋•光明区期末）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB 上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是（）A．1.2B．1.5C．2.4D．2.5【答案】A【解析】解：连接CM，如图所示：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB＝90°，∴四边形CEMF是矩形，∴EF＝CM，∵点P是EF的中点，∴CP＝EF，当CM⊥AB时，CM最短，此时EF也最小，则CP最小，∵△ABC的面积＝AB×CM＝AC×BC，∴CM＝＝＝2.4，∴CP＝EF＝CM＝1.2，故选：A．2．（2020秋•凤翔县期末）如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，连接BP、MN，若AB＝6，BC＝8，当点P在斜边AC上运动时，则MN的最小值是（）A．1.5B．2C．4.8D．2.4【答案】C．【解析】解：∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝＝10，∵PM⊥AB，PN⊥BC，∠C＝90°，∴四边形BNPM是矩形，∴MN＝BP，由垂线段最短可得BP⊥AC时，线段MN的值最小，此时，S△ABC＝BC•AB＝AC•BP，即×8×6＝×10•BP，解得：BP＝4.8，即MN的最小值是4.8，故选：C．3．（2020•竹溪县模拟）下列说法中，错误的是（）A．菱形的对角线互相垂直B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．矩形的四个内角都相等D．四个内角都相等的四边形是矩形【答案】B【解析】解：A、∵菱形的对角线互相垂直，∴选项A不符合题意；B、∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，∴选项B符合题意；C、∵矩形的四个角都是直角，∴矩形的四个内角都相等，∴选项C不符合题意；D、∵四个内角都相等的四边形是四个角都是直角，∴四个内角都相等的四边形是矩形，∴选项D不符合题意；故选：B．4．（2020秋•武侯区校级月考）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（）A．5B．2.5C．4.8D．2.4【答案】D．【解析】解：连接AP，如图所示：∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，∴BC＝＝10，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴四边形AFPE是矩形，∴EF＝AP，EF与AP互相平分，∵M是EF的中点，∴M为AP的中点，∴PM＝AP，根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即AP⊥BC时，AP最短，同样PM也最短，∴当AP⊥BC时，AP＝＝4.8，∴AP最短时，AP＝4.8，∴当PM最短时，PM＝AP＝2.4．故选：D．5．（2020春•沙坪坝区校级月考）下列说法正确的是（）A．矩形的对角线互相垂直且平分B．矩形的邻边一定相等C．对角线相等的四边形是矩形D．有三个角为直角的四边形为矩形【答案】D．【解析】解：A、∵矩形的对角线互相平分且相等，∴选项A不符合题意；B、∵矩形的邻边一定垂直，不一定相等，∴选项B不符合题意；C、∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴选项C不符合题意；D、∵有三个角为直角的四边形为矩形，∴选项D符合题意；故选：D．6．（2020春•江夏区期末）如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，点O是MN的中点，若AB＝6，BC＝8，当点P在AC上运动时，则BO的最小值是（）A．1.5B．2C．2.4D．2.5【答案】C．【解析】解：连接BP，如图所示：∵∠ABC＝90°，PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，∴四边形BMPN是矩形，AC＝＝＝10，∴BP＝MN，BP与MN互相平分，∵点O是MN的中点，∴BO＝MN，当BP⊥AC时，BP最小＝＝＝4.8，∴MN＝4.8，∴BO＝MN＝2.4，故选：C．二、填空题7．（2020•顺义区一模）如图，将一矩形纸片ABCD沿着虚线EF剪成两个全等的四边形纸片．根据图中标示的长度与角度，求出剪得的四边形纸片中较短的边AE的长是．【答案】3【解析】解：过F作FQ⊥AD于Q，则∠FQE＝90°，∵四边形ABCD是长方形，∴∠A＝∠B＝90°，AB＝DC＝4，AD∥BC，∴四边形ABFQ是矩形，∴AB＝FQ＝DC＝4，∵AD∥BC，∴∠QEF＝∠BFE＝45°，∴EQ＝FQ＝4，∴AE＝CF＝×（10﹣4）＝3，故答案为：3．8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为．【答案】【解析】解：∵∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，∴BC＝＝10，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，∴四边形DMAN是矩形，∴MN＝AD，∴当AD⊥BC时，AD的值最小，此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，∴AD＝＝，∴MN的最小值为；故答案为：．9．在△ABC中，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，连接EF，则EF的最小值为cm．【答案】【解析】解：∵AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC为直角三角形，∠A＝90°，∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴∠AEP＝∠AFP＝90°，∴四边形AEPF为矩形，连接AP，如图，EF＝AP，当AP的值最小时，EF的值最小，当AP⊥BC时，AP的值最小，根据△ABC面积公式，×AB•AC＝×AP•BC，∴AP＝＝＝，∴EF的最小值为．故答案为．10．如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC＝4，BC＝3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF长度的最小值是．【答案】【解析】解：连接PC．∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°；又∵∠ACB＝90°，∴四边形ECFP是矩形，∴EF＝PC，∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，∴AC•BC＝AB•PC，∴PC＝．∴线段EF长的最小值为；故答案是：．11．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为．【答案】2.4【解析】解：连接AP，∵在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴AB2+AC2＝BC2，即∠BAC＝90°．又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴四边形AEPF是矩形，∴EF＝AP，∵AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即2.4，∴EF的最小值为2.4，故答案为：2.4．三、解答题12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点C作AC的垂线，过点D作BD的垂线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE＝1，DE＝2，求四边形的ABCD面积．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°．∵CE⊥AC，DE⊥BD，∴平行四边形OCED是矩形；（2）解：由（1）知，四边形OCED是菱形，则CE＝OD＝1，DE＝OC＝2．∵四边形ABCD是菱形，∴AC＝2OC＝4，BD＝2OD＝2，∴菱形ABCD的面积为：AC•BD＝×4×2＝4．【解析】（1）欲证明四边形OCED是矩形，只需推知四边形OCED是平行四边形，且有一内角为90度即可；（2）由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答．13．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF ＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AC＝10，∠ABC＝60°，则矩形AEFD的面积是．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵CF＝BE，∴BC＝EF，∴AD∥EF，AD＝EF，∴四边形AEFD是平行四边形，∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴平行四边形AEFD是矩形；（2）解：∵AB＝CD，BE＝CF，∠AEB＝∠DFC＝90°，∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），∴矩形AEFD的面积＝菱形ABCD的面积，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵AC＝10，∴AE＝AC＝5，AB＝10，BO＝5，∵AD＝EF＝10，∴矩形AEFD的面积＝菱形ABCD的面积＝×10×10＝50，故答案为：50．【解析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC且AD＝BC，等量代换得到BC＝EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的判定定理得到Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），求得矩形AEFD的面积＝菱形ABCD 的面积，根据等腰三角形的性质得到结论．14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于E，CF∥AE交AD延长线于点F．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）连接OE，若AE＝4，AD＝5，求OE的长．【答案】（1）证明：∵菱形ABCD，∴AD∥BC．∵CF∥AE，∴四边形AECF是平行四边形．∵AE⊥BC，∴平行四边形AECF是矩形；（2）解：∵AE＝4，AD＝5，∴AB＝5，BE＝3．∵AB＝BC＝5，∴CE＝8．∴AC＝4，∵对角线AC，BD交于点O，∴AO＝CO＝2．∴OE＝2．【解析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC，推出四边形AECF是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）根据已知条件得到得到CE＝8．求得AC＝4，于是得到结论．15．（2020•石景山区一模）如图，在▱ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E．（1）求证：四边形ACED是矩形；（2）连接AE交CD于点F，连接BF．若∠ABC＝60°，CE＝2，求BF的长．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠CAD＝∠ACB＝90°．又∵∠ACE＝90°，DE⊥BC，∴四边形ACED是矩形．（2）解：∵四边形ACED是矩形，∴AD＝CE＝2，AF＝EF，AE＝CD．∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝2，AB＝CD．∴AB＝AE．又∵∠ABC＝60°，∴△ABE是等边三角形．∴∠BFE＝90°，．在Rt△BFE中，．【解析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC．所以∠CAD＝∠ACB＝90°．又∠ACE ＝90°，即可证明四边形ACED是矩形；（2）根据四边形ACED是矩形，和四边形ABCD是平行四边形，可以证明△ABE是等边三角形．再根据特殊角三角函数即可求出BF的长．16．（2020春•灌云县期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．（1）求证：四边形AODE是矩形；（2）若△ABC是边长为2的正三角形，求四边形AODE的面积．【答案】（1）证明：∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOD＝90°，∴四边形AODE是矩形；（2）解：∵△ABC是边长为2的正三角形，∴AB＝AC＝2，∠ABC＝60°，∵四边形ABCD为菱形，∴AO＝AC＝1，OD＝OB，∵∠AOB＝90°，∴OB＝＝＝，∴OD＝OB＝，∵四边形AODE是矩形，∴四边形AODE的面积＝×1＝．【解析】（1）根据题意可判断出四边形AODE是平行四边形，再由菱形的性质可得出AC⊥BD，即∠AOD ＝90°，继而可判断出四边形AODE是矩形；（2）由菱形的性质和勾股定理求出OB，得出OD，由矩形的面积公式即可得出答案。
八年级矩形的性质与判定
B矩形性质与判定讲义【知识点精讲】:1矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形。
2矩形的性质： 矩形的四个角都是直角；矩形的对角线平分且相等。
AC=BD 3矩形判定定理： 1.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2.对角线相等的平行四边形是矩形。
3.有三个角是直角的四边形是矩形。
4直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
【例题精讲】:例1．已知：如图，在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，BE ∶ED ＝1∶3，从两条对角线的交点O 作OF ⊥AD 于F ，且OF ＝2，求BD 的长．例2已知：如图，在四边形ABCD 中，AC 、BD 互相平分于点O ，∠AEC ＝∠BED ＝90°．求证：四边形ABCD 是矩形．例3矩形ABCD 中，M 是BC 的中点，MA ⊥MD ，若矩形的周长为48cm,则矩形的面积是多少？教师寄语：D例4．如图，矩形ABCD 中，ABCD EB EF EB EF ,,=⊥周长为22cm ，CE=3cm ，求：DE 的长。
例5．已知：如图，在□ABCD 中，AQ 、BN 、CN 、DQ 分别是∠DAB 、∠ABC 、∠BCD 、∠CDA 的平分线，AQ 与BN 相交于P ，CN 与DQ 相交于M ，试说明四边形MNPQ 是矩形．【课堂巩固练习】:(1)下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是（ ）A 、对边相等B 、对角相等C 、对角线相等D 、对边平行 (2)矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，∠AOB ＝60°，AC ＝10cm ，则AB ＝___________cm ，BC ＝___________cm ． (3)在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，BC ＝3，则AB 边上的中线CD ＝___________． (4)矩形的对角线长为,132两条邻边之比是2∶3，则矩形的周长是___________．(5)如图，E 为矩形纸片ABCD 的BC 边上一点，将纸片沿AE 向上折叠，使点B 落在DC 边上的F 点处．若△AFD 的周长为9，△ECF 的周长为3，则矩形ABCD 的周长为___________．(6).矩形ABCD 被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm ，对角线是13cm ，那么矩形的周长是____________7.如图，矩形ABCD 中，DE=AB ，DE CF ⊥，求证：EF=EB 。
矩形性质总结知识点
矩形性质总结知识点1. 矩形的定义矩形是一种特殊的四边形，它具有两对相等并且平行的边，且相邻的两条边互相垂直。
由此可以得出矩形的性质：:（1）四个角都是直角；（2）对角线相等；（3）对角线互相垂直。
2. 矩形的性质2.1 矩形对角线的性质矩形的对角线是矩形内角的分割线，并且是等分矩形的。
具体来说，矩形ABCD的对角线AC和BD相等。
证明如下：假设矩形ABCD的对角线AC和BD相等。
我们已经知道AB和CD、BC和AD是相等的，接下来我们通过三角形全等性质来证明这一点。
由于矩形的对角线是等分矩形的，所以三角形ABC与三角形CDA是相似的，根据三角形相似的性质可知三角形ABC与三角形CDA 是全等的，所以AB=CD且BC=AD，说明对角线AC和BD相等。
2.2 矩形的面积与周长矩形的面积可以通过其长和宽来计算，具体的公式为S=ab，其中a为矩形的长，b为矩形的宽。
其周长为P=2(a+b)。
证明如下：设长为a，宽为b，则矩形的周长为P=2(a+b)，矩形的面积为S=ab。
2.3 矩形的对角线长度对角线的长度可以通过矩形的长和宽来计算，具体的公式为d=√(a^2+b^2)，其中a为矩形的长，b为矩形的宽。
证明如下：通过勾股定理，我们可以得出对角线长度的公式为d=√(a^2+b^2)。
2.4 矩形的特殊点矩形的对角线交点是矩形的重心、垂心和外心。
证明如下：矩形的对角线交点是矩形的重心、垂心和外心。
由于对角线是矩形的对称轴，所以对角线交点就是重心。
另外，由于矩形的对角线相等，所以对角线的交点也是垂心。
最后，由于矩形是一种特殊的四边形，所以对角线的交点也是外心。
2.5 矩形的旋转对称性矩形具有旋转对称性，即矩形可以绕其重心进行旋转180度而不改变其形状。
证明如下：矩形的对角线是其对称轴，所以矩形可以绕对角线交点进行旋转。
又因为对角线相等，所以可以证明矩形可以绕重心进行旋转180度而不改变其形状。
3. 矩形的相关定理3.1 矩形与正方形正方形是一种特殊的矩形，正方形的四条边相等，对角线相等；矩形是正方形的特殊情况。
(完整版)矩形基本知识点总结
(完整版)矩形基本知识点总结
1. 定义
矩形是一种拥有四个直角的四边形。
它的两个对角线长度相等，相邻两边相等。
2. 基本特征
- 所有四个内角都是直角（90度）。
- 所有边都是直线段，相邻两边相等。
- 对角线长度相等。
3. 周长和面积
- 周长：矩形的周长等于宽度与长度的两倍之和，公式为：周
长 = 2(宽度 + 长度)。
- 面积：矩形的面积等于宽度乘以长度，公式为：面积 = 宽度
×长度。
4. 性质
- 矩形的对角线相互垂直且相等长。
- 矩形的两条对边平行且相等长。
- 矩形的周长最大时，它就成了一个正方形。
- 矩形的面积最大时，它的长度和宽度相等，即为正方形。
5. 与其他图形的关系
- 矩形是正方形的一种特殊情况，即正方形的所有边长相等。
- 矩形可以看作是平行四边形的一种特殊情况，该平行四边形的所有内角都是直角。
6. 应用
矩形在日常生活及数学中应用广泛，例如：
- 房屋建筑中的房间和窗户形状常常是矩形。
- 矩形在图形和几何学中常用于计算周长和面积。
- 在计算机屏幕和纸张规格中也常使用矩形概念。
以上是矩形的基本知识点总结。
熟练掌握矩形的定义、特征、周长和面积公式以及性质，能够帮助我们更好地理解和应用矩形概念。
矩形的知识点总结
矩形的知识点总结
1. 定义
矩形是一个特殊的四边形，其相对的两条边长度相等，相邻边互相垂直，且所有角均为直角。
2. 特征
矩形具有以下特征：
- 所有角均为直角。
- 相对的两条边长度相等。
- 对角线相等。
- 任意一条对角线，将矩形分成两个全等的三角形。
- 任意一条对角线，将矩形分成两个全等的直角三角形。
3. 性质
矩形的性质包括：
- 周长
矩形的周长等于其四条边的长度之和，即周长 = 2 * (长 + 宽)。
- 面积
矩形的面积等于其长乘以宽，即面积 = 长 * 宽。
- 对角线
矩形的对角线长度可以通过勾股定理计算，对角线长度= √(长² + 宽²)。
- 对称性
矩形具有对称性，对角线是矩形的对称轴。
- 相似性
矩形的对角线相等，因此两个矩形如果对角线相等，则它们全等。
- 分割性
矩形可以通过对角线分割成两个全等的直角三角形。
4. 其他形状的关系
矩形和其他形状之间的关系包括：
- 正方形
正方形是一种特殊的矩形，其四条边长度相等，所有角均为直角。
- 长方形
长方形是一种特殊的矩形，其相邻边长度不等，但都为直角。
- 平行四边形
平行四边形的对边长度相等，但角度不一定为直角。
5. 应用
矩形在现实生活中有许多应用，例如建筑设计、绘图、地理测量等领域。
结论
矩形是一种简单而重要的几何形状，具有许多独特的性质和特点。
熟练掌握矩形的定义、特征、性质和应用，有助于深化对几何学知识的理解，并在实际生活中应用到实践中。
6.2矩形的性质与判定
6.2矩形的性质与判定定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.性质：（1）矩形具有平行四边形的一切性质.（2）四个角都是直角.（3）对角线相等.（4）是轴对称图形，有4条对称轴.定理：直角三角形斜边中线等于斜边的一半.判定：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）有三个角是直角的四边形是矩形.基础闯关矩形的定义与性质1.矩形具有而一般的平行四边形不一定具有的特征是（）。
A．对角相等 B. 对边相等 C．对角线相等 D. 对角线互相平分2.矩形具有而菱形不具有的性质是（）A.两组对边分别平行B.对角线相等C.对角线互相平分D.两组对角分别相等3.矩形的两边长分别为10cm和15cm，其中一个内角平分线分长边为两部分，这两部分分别为（）A．6cm和9cm B．5cm和10cm C．4cm和11cm D．7cm和8cm 4.在下列图形性质中，矩形不一定具有的是（）A．对角线互相平分且相等 B．四个角相等C．是轴对称图形 D．对角线互相垂直平分5.一个矩形周长是12cm, 对角线长是5cm, 那么它的面积为 .6.矩形的两条对角线的夹角是60°，一条对角线与矩形短边的和为15，那么矩形对角线的长为，短边长为 .7.已知，矩形的一条边上的中点与对边的两个端点的连线互相垂直，且该矩形的周长为24 cm，则矩形的面积为 cm2。
8.如图，矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE交AB于F，若DE=2，矩形ABCD 的周长为16，且CE=EF，求AE的长．9.已知：如图所示，矩形ABCD 中，E 是BC 上的一点，且AE=BC ，︒=∠15EDC ．求证：AD=2AB ．10.如图，ABCD 是矩形纸片，翻折∠B 、∠D ，使BC 、AD 恰好落在AC 上。
设F 、H分别是B 、D 落在AC 上的两点，E 、G 分别是折痕CE 、AG 与AB 、CD 的交点。
矩形正方形与长方形的性质与计算知识点总结
矩形正方形与长方形的性质与计算知识点总结矩形、正方形和长方形是几何学中常见的基本图形，它们在数学和日常生活中都有重要的应用。
本文将对矩形、正方形和长方形的性质和计算知识点进行总结。
一、矩形的性质与计算知识点1. 定义：矩形是一种具有四个内角都是直角的四边形，相邻两条边相等且平行。
2. 性质：(1) 两对对边相等且平行，即AB∥CD，AD∥BC。
(2) 对角线相等，即AC=BD。
(3) 内角都是直角，即∠A=∠B=∠C=∠D=90°。
(4) 垂直相交的两条直线互相垂直，即∠AOC=∠BOD=90°。
(5) 对边互相垂直，即AB⊥AD，BC⊥CD。
3. 计算知识点：(1) 矩形的面积计算公式：面积 = 长 ×宽，记作S = l × w。
(2) 矩形的周长计算公式：周长 = 2 × (长 + 宽)，记作P = 2 × (l + w)。
二、正方形的性质与计算知识点1. 定义：正方形是一种具有四个边都相等且内角都是直角的四边形。
2. 性质：(1) 四条边相等，即AB = BC = CD = DA。
(2) 对角线相等，即AC = BD。
(3) 内角都是直角，即∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°。
(4) 垂直相交的两条直线互相垂直，即∠AOC = ∠BOD = 90°。
(5) 对边互相垂直，即AB⊥AD，BC⊥CD。
3. 计算知识点：(1) 正方形的面积计算公式：面积 = 边长 ×边长，记作S = a^2。
(2) 正方形的周长计算公式：周长 = 4 ×边长，记作P = 4a。
三、长方形的性质与计算知识点1. 定义：长方形是一种具有相对边两两相等且内角都是直角的四边形。
2. 性质：(1) 相对的两条边相等，即AB=CD，AD=BC。
(2) 对角线相等，即AC=BD。
(3) 内角都是直角，即∠A=∠B=∠C=∠D=90°。
矩形的性质与判定知识点
矩形的性质与判定知识点矩形是我们在数学中常见的一种几何图形，它具有许多独特的性质和判定方法。
下面让我们来详细了解一下矩形的性质与判定的相关知识点。
首先，矩形的定义是：至少有三个内角都是直角的四边形是矩形。
矩形的性质有很多：1、矩形的四个角都是直角。
这是矩形最显著的特征之一。
因为直角的度数是 90 度，所以矩形的四个内角相加为 360 度。
2、矩形的对边平行且相等。
这意味着矩形的两组对边分别平行，并且长度相等。
3、矩形的对角线相等且互相平分。
两条对角线将矩形分成了四个全等的三角形。
4、矩形是中心对称图形，也是轴对称图形。
其对称中心是两条对角线的交点，对称轴有两条，分别是通过对边中点的直线。
接下来，我们来看看矩形的判定方法。
1、有一个角是直角的平行四边形是矩形。
如果一个平行四边形中有一个角是直角，那么根据平行四边形邻角互补的性质，可以得出其他三个角也都是直角，从而这个平行四边形就是矩形。
2、对角线相等的平行四边形是矩形。
因为平行四边形的对角线互相平分，当两条对角线相等时，根据三角形全等可以证明其四个角都是直角，所以这个平行四边形就是矩形。
3、有三个角是直角的四边形是矩形。
如果一个四边形中有三个角都是直角，那么根据四边形内角和为360 度，第四个角也必然是直角，从而这个四边形就是矩形。
在实际应用中，矩形的性质和判定方法有着广泛的用途。
例如，在建筑设计中，房间的形状常常接近矩形。
设计师需要利用矩形的性质来计算房间的面积、周长等，以合理规划空间和安排材料。
矩形的四个角都是直角的性质，使得建筑物的结构更加稳定，施工更加方便。
在数学解题中，如果已知一个图形是矩形，我们就可以利用矩形的性质来解决与角度、边长、对角线等相关的问题。
反之，如果要证明一个图形是矩形，就可以根据矩形的判定方法来进行推理和证明。
再比如，在制作家具时，很多桌面、柜体的表面都是矩形。
了解矩形的性质可以帮助工匠们准确地测量和切割材料，确保制作出符合要求的家具。
矩形的概念及性质
矩形的概念及性质矩形是一个常见的几何图形，具有许多独特的性质和特点。
下面我将以1200字以上的篇幅详细介绍矩形的概念及性质。
一、概念矩形是指具有四个内角都为直角(90度)的四边形，即四个内角相等且都为90度的四边形。
矩形的四个边相互平行，且相邻边的长度相等。
矩形可以通过两个对角线将其分为四个相等的直角三角形。
二、性质1. 边长相等：矩形的相对边长相等，即对边互相平行且长度相等。
2. 内角为直角：矩形的四个内角都为90度。
3. 对角线相等：矩形的两条对角线相等。
4. 相邻边垂直：矩形的相邻边垂直相交，即相邻两边的内角之和为180度。
5. 对边平行：矩形的对边平行，即任意两个对边互相平行。
6. 对边长度互为倍数关系：矩形的对边长度互为倍数关系。
7. 矩形的内角之和为360度：矩形的四个内角之和为360度。
8. 矩形的对边距离相等：矩形的对边之间的垂直距离相等。
9. 矩形是平行四边形的一种特殊情况：平行四边形是指具有对边平行的四边形，矩形是一种特殊的平行四边形，其内角都为直角。
10. 矩形的面积计算公式：矩形的面积等于长乘以宽，即S = l * w。
三、证明矩形性质的方法1. 直角证明：通过角的定义即可证明矩形的四个内角都是直角。
2. 对角线长度相等证明：由于矩形是为平行四边形的一种特殊情况，而平行四边形的对角线长度相等，所以矩形的对角线长度也相等。
3. 邻角和为180度证明：可以通过假设直角角度为90度，然后求解其他角度和为90度来证明邻角和为180度。
4. 边平行证明：可以用三角形的相似性质来证明矩形的对边平行。
5. 面积计算证明：可以将矩形分成两个相等的直角三角形，然后计算每个直角三角形的面积再求和，即可得到矩形的面积。
四、与其他几何形状的关系和应用1. 正方形：正方形是一种特殊的矩形，其特点是四个边长度相等。
2. 长方形：长方形也是一种矩形，其特点是两条边长度相等，另外两条边长度也相等，但是与正方形不同，长方形的对角线长度不相等。
矩形的性质知识点总结
矩形的性质知识点总结矩形是我们常见的几何形状之一，具有一些独特的性质和特点。
在本文中，我们将对矩形的性质进行详细总结。
请注意，本文将采用总结性文字描述的方式，以便清晰地介绍矩形的性质。
1. 定义：矩形是一个四边形，其中相对的边是平行的，并且对角线相等且相交于垂直的点。
矩形的四个内角是直角（90度）。
2. 边长关系：矩形的相对边长相等，也就是说，相邻的边是相等的。
如果一个矩形的长度为L，宽度为W，则其周长等于2(L + W)。
3. 面积计算：矩形的面积可以通过长度和宽度的乘积来计算，即面积 = 长度 ×宽度。
如果一个矩形的长度为L，宽度为W，则其面积为LW。
4. 对角线关系：一般情况下，矩形的对角线并不相等。
然而，在特殊情况下，即正方形中，对角线是相等的。
对角线相等并且垂直相交的特性使得矩形有更多的几何性质。
5. 对称性：矩形是一个对称图形，具有两个对称轴。
一个矩形可以有两个对称轴：一个通过中点的垂直轴和一个通过中点的水平轴。
这些对称轴将矩形分为四个完全相同的部分。
6. 相似性：当两个矩形的对应边长比例相等时，我们可以说这两个矩形是相似的。
相似的两个矩形具有相同的形状，但大小可能不同。
7. 矩形的角特性：矩形的四个内角都是直角（90度）。
此外，相邻两个内角的和为180度。
例如，如果一个内角的度数是x度，则与其相邻的内角的度数为(180 - x)度。
8. 矩形与其他几何形状的联系：矩形在几何学中与其他几何形状有许多联系。
例如，矩形的一条边可以与一个正方形的边相等，其对角线可以与一个菱形的边相等，等等。
总结：矩形具有许多特殊的性质和特点，包括对称性、直角角度、相等的对角线等。
矩形的边长、面积和周长之间有一些关系，可以通过简单的计算方法得出。
了解和熟悉这些性质对于几何学的学习和问题解决非常重要。
无论是在学校还是在日常生活中，矩形都是我们经常会遇到的形状之一，理解其性质有助于我们更好地理解周围的世界。
矩形的性质与计算
矩形的性质与计算矩形是一种常见的几何形状，它具有独特的性质和计算方法。
本文将介绍矩形的性质、计算公式和实际应用，帮助读者了解并掌握这一几何形状的特点。
一、矩形的定义和性质矩形是一个四边形，其四个内角都是直角(90度)，且相对边长相等。
以下是一些矩形的性质：1. 对角线的关系：矩形的对角线相等且互相平分。
证明：设矩形的长度为a，宽度为b。
连接矩形的相对顶点，得到两条对角线。
根据勾股定理，对角线的长度为√(a²+b²)。
由于相对边长相等，所以a=b。
因此，对角线长度相等。
2. 内角关系：矩形的内角都是直角(90度)。
证明：对于一个矩形，每个内角是直角(90度)。
可以通过叠加两个直角三角形的方法进行证明。
3. 边长关系：矩形的相对边长相等。
证明：设矩形的长度为a，宽度为b。
根据定义，矩形的边长为a和b。
由于矩形的内角都是直角，所以相对边的长度相等，即a=b。
二、矩形的计算方法1. 矩形的周长：矩形的周长等于两条长度相等的边长之和的两倍。
公式：周长 = 2 × (长度 + 宽度)2. 矩形的面积：矩形的面积等于长度乘以宽度。
公式：面积 = 长度 ×宽度3. 对角线的长度：矩形的对角线长度可以通过勾股定理计算。
公式：对角线长度= √(长度² + 宽度²)三、矩形的实际应用由于矩形在几何形状中的特殊性质，它被广泛应用于各个领域。
1. 建筑设计：矩形是建筑设计中常见的形状，例如建筑物的房间、窗户和门等往往采用矩形的设计。
2. 地板铺装：在地板铺装中，矩形的地砖是最常见的选择之一。
通过矩形地砖的拼接，可以创造出各种美观的图案。
3. 测量和制图：矩形的性质和计算公式在测量和制图中非常有用。
例如，在室内设计中，通过准确测量房间的矩形形状，可以为家具和装饰物的摆放提供参考。
4. 计算机图形学：在计算机图形学中，矩形是最基本的几何形状之一。
通过矩形的性质和计算公式，可以实现矩形的绘制、变换和碰撞检测等操作。
矩形的性质与判定知识点
矩形的性质与判定知识点矩形是初中数学中非常重要的一个几何图形，具有独特的性质和判定方法。
下面我们就来详细了解一下矩形的性质与判定的相关知识点。
一、矩形的定义矩形是一种特殊的平行四边形，其中四个内角都是直角。
二、矩形的性质1、矩形的四个角都是直角因为矩形是平行四边形，平行四边形的对角相等且邻角互补。
而矩形的四个角都是直角，即 90 度。
2、矩形的对角线相等矩形的两条对角线将矩形分成了四个三角形。
通过全等三角形的证明可以得出矩形的对角线相等。
3、矩形的对边平行且相等这一性质继承自平行四边形。
矩形的对边相互平行，且长度相等。
4、矩形是轴对称图形矩形有两条对称轴，分别是通过对边中点的直线。
5、矩形的面积等于长乘以宽假设矩形的长为 a，宽为 b，那么其面积 S ＝ a×b。
6、矩形的周长等于 2×（长＋宽）即 C ＝ 2×（a ＋ b) 。
三、矩形的判定1、有一个角是直角的平行四边形是矩形这是矩形判定的最基本方法。
如果一个平行四边形中有一个角是直角，那么根据平行四边形的性质，它的对角相等，邻角互补，所以其他三个角也都是直角，从而该平行四边形就是矩形。
2、对角线相等的平行四边形是矩形在平行四边形中，如果对角线相等，通过全等三角形的证明可以得出相邻的两个角相等，而平行四边形的邻角互补，所以这两个角都是直角，从而该平行四边形为矩形。
3、有三个角是直角的四边形是矩形如果一个四边形中有三个角是直角，那么根据四边形的内角和为360 度，第四个角也必然是直角，所以该四边形是矩形。
四、矩形性质与判定的应用矩形的性质和判定在实际生活和数学解题中都有广泛的应用。
在实际生活中，比如建筑设计、家具制作等领域，都需要用到矩形的性质和判定。
例如，在建造房屋时，要确保房间的形状是矩形，就需要通过测量角度和对角线的长度来判断。
在数学解题中，矩形的性质和判定可以帮助我们解决与几何图形相关的问题。
比如，已知一个四边形是矩形，我们就可以利用其对角线相等、四个角都是直角等性质来求解相关的边长、角度或面积等问题。
证明矩形判定方法
证明矩形判定方法有一个角是直角的平行四边形是矩形;对角线相等的平行四边形是矩形，有三个角是直角的四边形是矩形。
对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
下面小编给大家带来证明矩形判定方法，希望能帮助到大家!证明矩形判定方法(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形;(2)对角线相等的平行四边形是矩形。
(3)有三个角是直角的四边形是矩形。
(4)定理：经过证明，在同一平面内，任意两角是直角，任意一组对边相等的四边形是矩形。
(5)对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
由于矩形是特殊的平行四边形，故包含平行四边形的性质;矩形的性质大致总结如下：(1)矩形具有平行四边形的所有性质：对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分;(2)矩形的四个角都是直角;(3)矩形的对角线相等;(4)具有不稳定性(易变形)。
有三个角是直角的四边形是矩形。
对角线互相平分且相等的四边形是矩形。
有一个角为直角的平行四边形是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形。
证明矩形判定定理长方形也称矩形，是特殊的平行四边形之一。
即有一个角是直角的平行四边形称为长方形。
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
周长和面积公式：矩形ABCD的周长=2(a+b);矩形ABCD的面积S=ab。
(当a=b时，可以得到正方形的相应公式)矩形定理1：1、矩形的对边平行且相等。
2、矩形的四个角都是直角。
矩形定理2：1、矩形的对角线相等。
平行四边形ABCD：AC=BD2、矩形的对角线相互平分平行四边形ABCD是矩形：OA=OC，OB=OD 矩形的对角线相等，我们可以通过勾股定理证明。
证明：∵△ABC中，∠ABC =90°，∴AC2=a2+b2∵△DCB中，∠BCD =90，∴BD2= a2+ b2∴AC2=BD2∴AC=BD证明矩形判定性质矩形的性质1.矩形具有平行四边形的一切性质2.矩形的对角线相等3.矩形的四个角都是90度4.矩形是轴对称图形1.有一个角是直角的平行四边形是矩形2.对角线相等的平行四边形是矩形3.有三个角是直角的四边形是矩形4.对角线相等且互相平分的四边形是矩形证明：因为平行四边形ABCD∴AB=CD,AB‖CD∴∠B+∠D=180度∴BM=MC∴MA=MD∴△MAB≌△MDC(SSS)∴∠B=∠D=90度∴四边形ABCD是矩形(有一个内角为90度的平行四边形是矩形)。
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矩形的性质和判定一．填空题（共12小题）1．如图，矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD边于点E，点F是CD的中点，连接EF．若AB=8，且EF平分∠BED，则AD的长为．题1 题3 题42．若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是．3．如图，在矩形ABCD中，AB=，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是．4．如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE=DC=1，AE=2EM，则BM的长为．5．如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE．若BC=7，AE=4，则CE= ．题5 题6 题76．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD 的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则EF= cm．7．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加条件，才能保证四边形EFGH是矩形．8．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AO=CO，BO=DO，要使四边形ABCD为矩形，则需添加的条件为（填一个即可）．题8 题11 题129．已知四边形ABCD为平行四边形，要使得四边形ABCD为矩形，则可以添加一个条件为．10．木匠做一个矩形木框，长为80cm，宽为60cm，对角线的长为100cm，则这个木框（填“合格”或“不合格”）11．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请补充一个条件，使四边形ABCD成为矩形，这个条件是．12．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB 请你添加一个条件，使四边形DBCE是矩形．二．解答题（共6小题）13．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F=45°．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB=14，DE=8，求sin∠AEB的值．14．如图，AD是等腰△ABC底边BC上的高．点O是AC中点，延长DO到E，使OE=OD，连接AE，CE．（1）求证：四边形ADCE的是矩形；（2）若AB=17，BC=16，求四边形ADCE的面积．15．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，F为DC上一点，且FC=AB，E 为AD上一点，EC交AF于点G．（1）求证：四边形ABCF是矩形；（2）若EA=EG，求证：ED=EC．16．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E点，延长BC至F点使CF=BE，连接AF，DE，DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AB=6，DE=8，BF=10，求AE的长．17．平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AF平分∠BAD，且AE=3，DE=4，求矩形BFDE的面积．矩形的性质和判定解析一．填空题（共12小题）1．如图，矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD边于点E，点F是CD的中点，连接EF．若AB=8，且EF平分∠BED，则AD的长为12 ．【分析】根据两直线平行，内错角相等求出∠AEB=∠EBC，再求出∠ABE=∠EBC，根据等角对等边可得AE=AB，然后根据AD=AE+ED代入数据计算即可得解．【解答】解：∵矩形ABCD中，∴AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC，∵∠ABC的平分线交AD边于点E，∴∠ABE=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE=8，同理得出ED=DF=DC=4，∴AD=AE+ED=8+4=12，故答案为：12．2．若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是80°．【分析】因为两条对角线相交所成的锐角只有一个，直接应用三角形的内角和定理求解即可．【解答】解：由矩形的对角线相等且互相平分，所构成的三角形为等腰三角形，利用等边对等角，所以另一底角为40°，两条对角线相交所成的钝角为：180°﹣40°×2=100°故它们所成锐角为：180°﹣100°=80°．故答案为80．3．如图，在矩形ABCD中，AB=，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是．【分析】根据四边形ABCD是矩形，得到∠ABE=∠BAD=90°，根据余角的性质得到∠BAE=∠ADB，根据相似三角形的性质得到BE=1，求得BC=2，根据勾股定理得到AE==，BD==，根据三角形的面积公式得到BF==，过F作FG⊥BC于G，根据相似三角形的性质得到CG=，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABE=∠BAD=90°，∵AE⊥BD，∴∠AFB=90°，∴∠BAF+∠ABD=∠ABD+∠ADB=90°，∴∠BAE=∠ADB，∴△ABE∽△ADB，∴，∵E是BC的中点，∴AD=2BE，∴2BE2=AB2=2，∴BE=1，∴BC=2，∴AE==，BD==，∴BF==，过F作FG⊥BC于G，∴FG∥CD，∴△BFG∽△BDC，∴==，∴FG=，BG=，∴CG=，∴CF==．故答案为：．4．如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE=DC=1，AE=2EM，则BM的长为．【分析】由AAS证明△ABM≌△DEA，得出AM=AD，证出BC=AD=3EM，连接DM，由HL证明Rt△DEM≌Rt△DCM，得出EM=CM，因此BC=3CM，设EM=CM=x，则BM=2x，AM=BC=3x，在Rt△ABM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC=1，∠B=∠C=90°，AD∥BC，AD=BC，∴∠AMB=∠DAE，∵DE=DC，∴AB=DE，∵DE⊥AM，∴∠DEA=∠DEM=90°，在△ABM和△DEA中，，∴△ABM≌△DEA（AAS），∴AM=AD，∵AE=2EM，∴BC=AD=3EM，连接DM，如图所示：在Rt△DEM和Rt△DCM中，，∴Rt△DEM≌Rt△DCM（HL），∴EM=CM，∴BC=3CM，设EM=CM=x，则BM=2x，AM=BC=3x，在Rt△ABM中，由勾股定理得：12+（2x）2=（3x）2，解得：x=，∴BM=；故答案为：．5．如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE．若BC=7，AE=4，则CE= 5 ．【分析】首先证明AB=AE=CD=4，在Rt△CED中，根据CE=计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AB=CD，BC=AD=7，∠D=90°，∴∠AEB=∠EBC，∵∠ABE=∠EBC，∴AB=AE=CD=4，在Rt△EDC中，CE===5．故答案为56．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD 的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则EF= 2.5 cm．【分析】根据勾股定理求出AC，根据矩形性质得出∠ABC=90°，BD=AC，BO=OD，求出BD、OD，根据三角形中位线求出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，BD=AC，BO=OD，∵AB=6cm，BC=8cm，∴由勾股定理得：BD=AC==10（cm），∴DO=5cm，∵点E、F分别是AO、AD的中点，∴EF=OD=2.5cm，故答案为：2.5．7．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加AC⊥BD 条件，才能保证四边形EFGH是矩形．【分析】根据三角形的中位线平行于第三边，HG∥BD，EH∥AC，根据平行线的性质∠EHG=∠1，∠1=∠2，根据矩形的四个角都是直角，∠EFG=90°，所以∠2=90°，因此AC⊥BD．【解答】解：∵G、H、E分别是BC、CD、AD的中点，∴HG∥BD，EH∥AC，∴∠EHG=∠1，∠1=∠2，∴∠2=∠EHG，∵四边形EFGH是矩形，∴∠EHG=90°，∴∠2=90°，∴AC⊥BD．故还要添加AC⊥BD，才能保证四边形EFGH是矩形．8．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AO=CO，BO=DO，要使四边形ABCD为矩形，则需添加的条件为∠DAB=90°（填一个即可）．【分析】根据对角线互相平分线的四边形为平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形，添加条件∠DAB=90°可根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定．【解答】解：可以添加条件∠DAB=90°，∵AO=CO，BO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠DAB=90°，∴四边形ABCD是矩形，故答案为：∠DAB=90°．9．已知四边形ABCD为平行四边形，要使得四边形ABCD为矩形，则可以添加一个条件为∠BAD=90°．【分析】根据矩形的判定方法：已知平行四边形，再加一个角是直角填空即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD=90°，∴四边形ABCD是矩形，故答案为：∠BAD=90°（答案不唯一）．10．木匠做一个矩形木框，长为80cm，宽为60cm，对角线的长为100cm，则这个木框合格（填“合格”或“不合格”）【分析】只要算出桌面的长与宽的平方和是否等于对角线的平方，如果相等可得长、宽、对角线构成的是直角三角形，由此可得到每个角都是直角，根据矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形，可得此桌面合格．【解答】解：解：∵802+602=10000=1002，即：AD2+DC2=AC2，∴∠D=90°，同理：∠B=∠BCD=90°，∴四边形ABCD是矩形，故答案为合格．11．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请补充一个条件，使四边形ABCD成为矩形，这个条件是∠A=90°．【分析】根据有一个角是90°的平行四边形是矩形，即可解决问题．【解答】解：∵AB∥DC，AB=DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴当∠A=90°时，四边形ABCD是平行四边形．故答案为∠A=90°．（填∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°也可以）12．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB 请你添加一个条件EB=DC ，使四边形DBCE是矩形．【解答】解：添加EB=DC．理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴DE∥BC，又∵DE=AD，∴DE=BC，∴四边形DBCE为平行四边形．又∵EB=DC，∴四边形DBCE是矩形．故答案是：EB=DC．二．解答题（共6小题）13．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F=45°．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB=14，DE=8，求sin∠AEB的值．【分析】（1）欲证明四边形ABCD是矩形，只需推知∠DAB是直角；（2）如图，过点B作BH⊥AE于点H．构建直角△BEH．通过解该直角三角形可以求得sin∠AEB的值．在Rt△BCE中，由勾股定理得．在Rt △AHB中，BH=AB•sin45°=7．所以通过解Rt△BHE得到：sin∠AEB=．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠DAF=∠F．∵∠F=45°，∴∠DAE=45°．∵AF是∠BAD的平分线，∴∠EAB=∠DAE=45°．∴∠DAB=90°．又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．（2）解：如图，过点B作BH⊥AE于点H．∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠DCB=∠D=90°．∵AB=14，DE=8，∴CE=6．在Rt△ADE中，∠DAE=45°，∴∠DEA=∠DAE=45°．∴AD=DE=8．∴BC=8．在Rt△BCE中，由勾股定理得．在Rt△AHB中，∠HAB=45°，∴BH=AB•sin45°=7．∵在Rt△BHE中，∠BHE=90°，∴sin∠AEB=．14．如图，AD是等腰△ABC底边BC上的高．点O是AC中点，延长DO到E，使OE=OD，连接AE，CE．（1）求证：四边形ADCE的是矩形；（2）若AB=17，BC=16，求四边形ADCE的面积．【分析】（1）根据平行四边形的性质得出四边形ADCE是平行四边形，根据垂直推出∠ADC=90°，根据矩形的判定得出即可；（2）求出DC，根据勾股定理求出AD，根据矩形的面积公式求出即可．【解答】（1）证明：∵点O是AC中点，∴AO=OC，∵OE=OD，∴四边形ADCE是平行四边形，∵AD是等腰△ABC底边BC上的高，∴∠ADC=90°，∴四边形ADCE是矩形；（2）解：∵AD是等腰△ABC底边BC上的高，BC=16，AB=17，∴BD=CD=8，AB=AC=17，∠ADC=90°，由勾股定理得：AD===15，∴四边形ADCE的面积是AD×DC=15×8=120．15．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，F为DC上一点，且FC=AB，E 为AD上一点，EC交AF于点G．（1）求证：四边形ABCF是矩形；（2）若EA=EG，求证：ED=EC．【分析】（1）由条件可先证得四边形ABCF为平行四边形，再由∠B=90°可证得结论；（2）利用等腰三角形的性质可求得∠EAG=∠EGA=∠FGC，再利用直角三角形的性质可求得∠D=∠ECD，可证得ED=EC．【解答】证明：（1）∵AB∥CD，且FC=AB，∴四边形ABCF为平行四边形，∵∠B=90°，∴四边形ABCF是矩形；（2）∵EA=EG，∴∠EAG=∠EGA=∠FGC，∵四边形ABCF为矩形，∴∠AFC=∠AFD=90°，∴∠D+∠DAF=∠FGC+∠ECD=90°，∴∠D=∠ECD，∴ED=EC．16．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E点，延长BC至F点使CF=BE，连接AF，DE，DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AB=6，DE=8，BF=10，求AE的长．【分析】（1）先证明四边形AEFD是平行四边形，再证明∠AEF=90°即可．（2）证明△ABF是直角三角形，由三角形的面积即可得出AE的长．【解答】（1）证明：∵CF=BE，∴CF+EC=BE+EC．即 EF=BC．∵在▱ABCD中，AD∥BC且AD=BC，∴AD∥EF且AD=EF．∴四边形AEFD是平行四边形．∵AE⊥BC，∴∠AEF=90°．∴四边形AEFD是矩形；（2）解：∵四边形AEFD是矩形，DE=8，∴AF=DE=8．∵AB=6，BF=10，∴AB2+AF2=62+82=100=BF2．∴∠BAF=90°．∵AE⊥BF，∴△ABF的面积=AB•AF=BF•AE．∴AE===．17．平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AF平分∠BAD，且AE=3，DE=4，求矩形BFDE的面积．【分析】（1）根据有一个角是90度的平行四边形是矩形即可判定．（2）首先证明AD=DF，求出AD即可解决问题．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴DF∥BE，∵CF=AE，∴DF=BE，∴四边形BFDE是平行四边形，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形BFDE是矩形．（2）∵AB∥CD，∴∠BAF=∠AFD，∵AF平分∠BAD，∴∠DAF=∠AFD，∴AD=DF，在Rt△ADE中，∵AE=3，DE=4，∴AD==5，∴矩形的面积为20．18．在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AD=DF，求证：AF平分∠BAD．【分析】（1）先证明四边形BFDE是平行四边形，再证明∠DEB=90°即可．（2）欲证明AF平分∠BAD，只要证明∠DAF=∠BAF即可．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，即BE∥DF，∵CF=AE，∴DF=BE，∴四边形BFDE是平行四边形，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形BFDE是矩形．（2）由（1）可知AB∥CD，∴∠BAF=∠AFD，∵AD=DF，∴∠DAF=∠AFD，∴∠BAF=∠DAF，即AF平分∠BAD．。