河北省衡水中学2017-2018学年高三下学期第一次模拟考试理数试题 Word版含解析

2017-2018学年
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设甲：2
210ax ax ++>的解集是实数集R ；乙：01a <<，则甲是乙成立 的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．充要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】
C
考点：必要不充分条件的判定.
2.设,a b R ∈且0b ≠，若复数()3
a bi +（i 为虚数单位）是实数，则（ ） A ．223
b a = B ．223a b = C ．229b a = D ．22
9a b = 【答案】A 【解析】 试
题
分析
：
由题意
得
()
3
03
122
23
3
3
3
3
()()
()(a b i C
a C a
b i
+=
+++
=-
，所以2330a b b -=，即223b a =，故选A.
考点：复数概念及二项式定理的应用. 3.等差数列{}n a 中，
2n
n
a a 是一个与n 无关的常数，则该常数的可能值的集合为（ ） A ．{}1 B ．11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭
C ．12⎧⎫⎨⎬⎩⎭
D ．10,1,2⎧⎫⎨⎬⎩
⎭
【答案】B 【解析】
试题分析：由题意得，因为数列{}n a 是等差数列，所以设数列{}n a 的通项公式为
1(1)n a a n d =+-，则21(21)n a a n d =+-，所以
1
21(1)(21)n n a a n d
a a n d
+-=+-，因为2n n a a 是一个与n 无关的常数，所以10a d -=或0d =，所以2n n
a a 可能是1或1
2，故选B.
考点：等差数列的通项公式. 4.ABC ∆中三边上的高依次为
111
,,13511
，则ABC ∆为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不存在这样的三角形 【答案】
C
考点：余弦定理的应用.
5.函数()f x 是定义在区间()0,+∞上可导函数，其导函数为()'
f
x ，且满足
()()'20xf x f x +>，
则不等式
()()()
201620165552016
x f x f x ++<
+的解集为（ ）
A ．{}|2011x x >-
B ．{}|2011x x <-
C ．{}|20162011x x -<<-
D ．{}|20110x x -<< 【答案】C 【解析】 试题分析：由()()'
20xf
x f x +>，则当()0,x ∈+∞时，()()2'20x f x xf x +>，即
()()2'[()]20xf x x f x xf x '=+>，所以函数()xf x 为单调递增函数，由
()()()2
016
2016555
2016
x f x f x ++<
+，即()(
)()2
2
2016201655x f x f ++
<，
所以020165x <+<，所以不等式的解集为{}|20162011x x -<<-，故选C.
考点：函数单调性的应用及导数的运算.
6.已知F 是椭圆22
:1204
x y C +=的右焦点，P 是C 上一点，()2,1A -，当APF ∆周长最小时，其
面积为（ ）
A ．4
B ．8
C ．【答案】A
考点：椭圆的定义的应用.
7.已知等式()()()()4
3
2
432
123412341111x a x a x a x a x b x b x b x b ++++=++++++++，定
义映
射()()12341234:,,,,,,f a a a a b b b b →，则()4,3,2,1f =（ ）
A ．()1,2,3,4
B ．()0,3,4,0
C ． ()0,3,4,1--
D ．()1,0,2,2-- 【答案】C 【解析】 试
题
分
析
：
由
43243212341234[(1)1][(1)1][(1)1][(1)1]x a x a x a x a x b x b x b x b ++++=+-++-++-++-+
所以()4,3,2,1f =432[(1)1]4[(1)1]3[(1)1]2[(1)1]1x x x x =+-++-++-++-+， 所以1
2
2
1
143243234(1)40,(1)4(1)33,4,1b C C b C C C b b =-+==-+-+=-==-，故选C. 考点：二项式定理的应用.
8.如图所示是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD 长为2，侧视图是一直
角三角形，俯视图为一直角梯形，且1AB BC ==，则异面直线PB 与CD 所成角的正切值是（ ）
A ．1
B ．
2
D ．12
【答案】C
考点：空间几何体的三视图及异面直线所成角的计算.
【方法点晴】本题主要考查了异面直线所成角、异面直线所成角的求法、以及空间几何体的三视图等知识的应用，着重考查了空间想象能力、运算能力和推理论证能力及转化思想的应用，属于基础题，本题的解答中线将三视图转化为空间几何体，取AD 的中点E ，连接
,,BE PE CE ，将CD 平移到BE ，根据异面直线所成角的定义可知PBE ∠为异面直线PB 与CD 所成角，在直角三角形PBE ∆中，即可求解角的正切值.
9.某学校课题组为了研究学生的数学成绩和物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级20名学生某
次考试成绩（百分制）如下表所示：
若数学成绩90分（含90分）以上为优秀，物理成绩85（含85分）以上为优秀.有多少把握认为学生的
学生成绩与物理成绩有关系（ ）
A ．99.9%
B ． 99.5%
C ．97.5%
D ．95% 参考数据公式：①独立性检验临界值表
②独立性检验随机变量2
K 的值的计算公式：()()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=++++
【答案】B
考点：独立性检验的应用.
10.在一个棱长为4的正方体内，你认为最多放入的直径为1的球的个数为（ ） A ．64 B ．65 C ．66 D ．67 【答案】C 【解析】
试题分析：由题意得，底层可以16个，然后在底层每4个球之间放一个，第二层能放9个，
依次类推，分别第三、第四、第五层能放16个、9个、16个，一共可放置1691691666
++++=个，故选C.
考点：空间几何体的机构特征.
11.定义：分子为1且分母为正整数的分数成为单位分数，我们可以把1分拆为若干个不同的单位
分数之和.如：111111111111
1,1,1236246122561220
=
++=+++=++++，依次类推可得： 11111111111111++++++26123042567290110132156
m n =++++++，其中
,,m n m n N +≤∈.设
1,1x m y n ≤≤≤≤，则
2
1
x y x +++的最小值为（ ）
A ．232
B ． 52
C ．87
D ．343
【答案】C
考点：归纳推理.
【方法点晴】本题主要考查了归纳推理的应用，对于归纳推理是根据事物的前几项具备的规律，通过归纳、猜想可得整个事物具备某种规律，是一种特殊到一般的推理模式，同时着重考查了学生分析问题和解答问题的能力以及推理、计算能力，属于中档试题，本题的解答中，根据式子的结构规律，得到,m n 的值是解答的关键. 12.已知,a b R ∈，直线2
y ax b π
=++
与函数()tan f x x =的图像在4
x π
=-
处相切，设
()2x g x e bx a =++，
若在区间[]1,2上，不等式()2
2m g x m ≤≤-恒成立，则实数m （ ） A ．有最小值e - B ．有最小值e C ．有最大值e D ．有最大值1e + 【答案】D 【解析】
试题分析：由题()tan f x x =，得()21cos f x x '=，则()24a f π'=-=，将切点
(,1)4
π
--代入切线方程可得1b =-，则()22x
g x
e x =
-+，令()()2x
h x g x e x '==-
，则()2
x
h x e '=-在[]1,2上有()0h x '>恒成立，所以()h x 在[]1,2上递增，即()g x '在在[]1,2上递增，则有
()()120g x g e ''≥=->，则()g x 在[]1,2上递增，且()()()()min max 1,2g x g g x g ==，不等式()2
2m g x m
≤≤-恒成立，即有()()222
112222
m g e m g e m m ≤=+⎧⎪-≥=-⎨⎪≤-⎩，解得m e ≤-或1e m e ≤≤+，所以实数m 有最大值1e +，故选D.
考点：利用导数研究曲线在某点的切线方程.
【方法点晴】本题主要考查了导数的运用：求切线方程和判断函数的单调性，着重考查了函数的单调性的判定及应用、不等式的恒成问题的转化为函数的最值问题，属于中档试题，通知考查了推理、运算能力和转化的数学思想方法的运用，本题的解答中根据题意先求得,a b 的值，得出函数()g x 的解析式，再判断函数()g x 的单调性与最值，把不等式的恒成转化为函数的最值问题，即可求解m 的取值范围.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）
13.已知函数()2
f x x ax =-的图像在点()()
1,1A f 处的切线与直线320x y ++=垂直，执行
如
图所示的程序框图，输出的k 值是
.
【答案】6
考点：程序框图的计算与输出.
14.在直角坐标系xOy 中，已知点()0,1A 和点()3,4B -，若点C 在AOB ∠的平分线上，且
2OC =
，
则OC =
.
【答案】( 【解析】
试题分析：由题意得，1,2OA OB ==
，设OC 与AB 交于(,)D x y 点，则:1:5AD BD =，
即D 分有向线段AB 所成的比为
1
5
，所以11
0(3)14)1355,11221155
x y +-⨯
+⨯
==-==++，即13(,)22D -，因为2OC = ，所
以2()OD OC OD
=⨯=
，即点C 的坐标
为
(. 考点：向量的运算.
15.如图，将平面直角坐标系中的纵轴绕原点O 顺时针旋转30︒后，构成一个斜坐标平面xOy .在
此斜坐标平面xOy 中，点(),P x y 的坐标定义如下：过点P 作两坐标轴的平分线，分别交两轴于,M N 两
点，则M 在Ox 轴上表示的数为x ，N 在Oy 轴上表示的数为y .那么以原点O 为圆心的单
位圆在此斜坐
标系下的方程为 .
【答案】2210x y xy ++-=
考点：圆的一般方程.
【方法点晴】本题主要考查了与直角坐标有关的新定义的运算问题，对于新定义试题，要紧紧围绕新定义，根据新定义作出合理的运算与变换，同时着重考查了转化与化归的思想方法的应用，属于中档试题，本题的解答中，设出(,)P x y 在直角坐标下的坐标为11(,)P x y '，建立两个点之间的变换关系，代入单位圆的方程，即可曲解轨迹方程，其中正确得到两点之间的变换关系是解答的关键.
16.已知ABC ∆的面积为S ，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2s i n ,C A 成
等比
数列，2213
,218
322b a c ac =≤+≤2
41c +的最小值为 .
【答案】
34
考点：等比数列的应用；余弦定理及三角形的面积公式；导数的应用.
【方法点晴】本题主要考查了等比数列的通项公式，余弦定理及三角形的面积公式、导数的综合应用，试题有一点的难度，属于难题，着重考查了学生的推理、运算能力及转化与化归思想方法的应用，本题的解答中根据题设条件先得出c a =，在利用三角恒等变换和三角形的面积公式表示成三角形的面积，进而得到a 2
41
c +其单调性确定最值即可.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知，12a =，且1234,3,2S S S 成等差 数列.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设25n n b n a =-⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .
【答案】（1）()2n n a n N +
=∈；（2）()16,110,234272,3
n n n T n n n +⎧=⎪==⎨⎪+-⨯≥⎩
.
考点：等比数列通项公式及数列求和.
18．（本小题满分12分）如图，四边形PCBM 是直角梯形，
90,//,1,2PCB PM BC PM BC ∠=︒==
，又1,120,AC ACB AB PC =∠=︒⊥，直线AM 与直线PC 所成的角为60︒. （1）求证：PC AC ⊥；
（2）求二面角M AC B --的余弦值； （3）求点B 到平面MAC 的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2；（3.
考点：直线与平面垂直的判定与证明；空间中二面角的求解；点到平面的距离.
19.（本小题满分12分）电子商务在我国发展迅猛，网上购物成为很多人的选择.某购物网站组织
了一次促销活动，在网页的界面上打出广告：高级口香糖，10元钱三瓶，有8种口味供你选择（其中有
一种为草莓口味）.小王点击进入网页一看，只见有很多包装完全相同的瓶装口香糖排在一起，看不见具
体口味，由购买者随机点击进行选择（各种口味的高级口香糖均超过3瓶，且各种口味的瓶数相同，每
点击选择一瓶后，网页自动补充相应的口香糖）.
（1）小王花10元钱买三瓶，请问小王共有多少种不同组合选择方式？
（2）小王花10元钱买三瓶，由小王随机点击三瓶，请列出有小王喜欢的草莓味口香糖瓶数
ξ的分布列，
并计算其数学期望和方差.
【答案】（1）120种；（2）分布列见解析，38，21
64
. 【解析】
试题分析：（1）若8种口味均不一样，有38C 种，若其中两瓶口味一样，有1187C C 种，若三瓶口
味一样，有8种，由此能求出小王共有多少种选择方式；（2）由已知得1
(3,)8
B ξ ，由此能求
出
小
王
喜
欢
的
草
莓
口
香
糖
考点：排列组合的应用；离散型随机变量的期望与方差.
20.（本小题满分12分）已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>，其短轴的下
端点在
抛物线2
4x y =的准线上.
（1）求椭圆1C 的方程；
（2）设O 为坐标原点，M 是直线:2l x =上的动点，F 为椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM
为直径的圆2C 相交于,P Q 两点，与椭圆1C 相交于,A B 两点，如图所示.
①若PQ 2C 的方程；
②设2C 与四边形OAMB 的面积分别为12,S S ，若12S S λ=，求λ的取值范围.
【答案】（1）2212x y +=；（2）①()()22112x y -+-=或()()22
112x y -++=；
②,2⎫
+∞⎪⎪⎣⎭
.
②当0t ≠，由①，知PQ 的方程为220x ty +-=
由2
212220x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩
消去y ，得()222816820t x x t +-+-= 则()()()()2
2
2
4
2
164882840t t t t ∆=--+-=+>2
121222
1682,88t x x x x t t
-∴+==++
2248t AB t +∴===+
2222241142288
t t S OM AB t t ++∴=⨯⨯==
++ ()221124,4
S r t S S π
πλ==+=
(
)
2
212
24488828
t S S t π
λ+⎫==
==≥⨯=
+
=
，即
0t =时取等号
又0,t λ≠∴>
，当0t =时，直线PQ 的方程为
1x = 2AB OM ==
，21
2
S OM AB ∴=
⨯=2
112S OM ππ⎛⎫
∴==
⎪⎝⎭
，12
2S S λ
∴==
= 综上，
λ≥，所以实数λ的取值范围为,⎫+∞⎪⎪⎣⎭
. 考点：椭圆的标准方程及其简单的几何性质；直线与圆锥曲线的位置关系的应用.
【方法点晴】本题主要考查了圆的方程、椭圆的标准方程及其简单的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用，着重考查了的参数的取值范围的求解及分类讨论的数学与思想方法
的应用及推理、运算能力，属于中档试题，解答时要认真审题，注意一元二次方程中韦达定理与判别式、弦长公式的灵活应用，同时熟记基本的公式是解答此类问题的基础. 21.（本小题满分12分）设a 为实数，函数()()211x f x x e a x -=--. （1）当1a =时，求()f x 在3,24⎛⎫
⎪⎝⎭
上的最大值； （2）设函数()()()
11,x
g x f x a x e
-=+--当()g x 有两个极值点()1212,x x x x <时，总有 ()()'211x g x f x λ≤，求实数λ的值（()'f x 为()f x 的导函数）.
【答案】（1）最大值是()11f =；（2）21
e
e λ≤
+.
（2）由题意，知()()
21x g x x a e -=-，则()()()
'212122x x
g x x x a e x x a e --=-+=-++
根据题意，方程2
20x x a -++=有两个不同的实根()1212,x x x x <
440a ∴∆=+>，即1a >-，且122x x +=
121211,2x x x x x <∴<=- 且，由()()'211x g x f x λ≤
其中()()
'212x f x x x e a -=--，得()()
()()1
1112
22
111111222x x x x a e
x x e x x λ--⎡⎤--≤-+-⎣⎦
21120x x a -++=
所以上式化为()()
()()1
11122
1111112222x x x x e
x x e x x λ--⎡⎤-≤-+-⎣⎦
又120x -> ，所以不等式可化为1
1111210x x x e e λ--⎡⎤-+≤⎣⎦，对任意的()1,1x ∈-∞恒成立.
①当10x =，1
1111210x x x e
e λ--⎡⎤-+≤⎣⎦不等式恒成立，R λ∈；
②当()10,1x ∈时，1
1
11210x x e
e
λ---+≤恒成立，111121
x x e e λ--≥+
令函数()11
111122
211
x x x e k x e e ---==-++ 显然()k x 是R 内的减函数，当()0,1x ∈，()()22011
e e
k x k e e λ<=∴≥++ ③()1,0x ∈-∞时，1
1
11210x x e
e
λ---+≥恒成立，即1
11121
x x e e λ--≤+
由②，当(),0x ∈-∞，()()201e k x k e >=+，即21
e e λ≤+ 考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值.
【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，函数的极值问题，取闭区间上的最值问题，着重考查了分类讨论的数学思想和转化与化归的思想方法，是一道综合试题，试题有一定的难度，本题解答中把不等式可化为11111210x x x e e λ--⎡⎤-+≤⎣⎦，对任意的()1,1x ∈-∞恒成立.通过讨论①当10x =时，②当1(0,1)x ∈时，③1(,1)x ∈-∞时的情况是解解答的难点.
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，ABC ∆内接于直径为BC 的圆O ，过点A 作圆O 的切线交CB 的延长线于点,P BAC ∠的平分线
分别交BC 和圆O 于点,D E ，若210PA PB ==.
（1）求证：2AC AB =；
（2）求AD DE ⋅的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）50.
考点：圆的切割线定理；相似三角形的应用.
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线14cos :3sin x t C y t =-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），28cos :3sin x C y θθ=⎧⎨=⎩
（θ为参数）. （1）化12,C C 的方程为普通方程，并说明他们分别表示什么曲线；
（2）若1C 上的点P 对应的参数为,2t Q π
=为2C 上的动点，求PQ 的中点M 到直线
332:2x t C y t =+⎧⎨=-+⎩
（t 为 参数）距离的最小值.
【答案】（1）()()2222
12:431,:1649x y C x y C ++-=+=；（2.
考点：圆的参数方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程.
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数()()21f x x a x a R =---∈.
（1）当3a =时，求函数()f x 的最大值；
（2）解关于x 的不等式()0f x ≥.
【答案】（1）2；（2）当1a >时，不等式的解集为22,3a a +⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，当1a =时，不等式的解集为{}|1x x =
当1a <，不等式的解集为2,23a a +⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
.
考点：绝对值不等式的求解.。