2016年高中数学多元函数求最值问题专题

多元函数求最值问题

一.【问题背景】

多元函数是高等数学中的重要概念之一，但随着新课程的改革，高中数学与大学数学知识的衔接，多元函数的值域与最值及其衍生问题在高考试题中频频出现，因其技巧性强、难度大、方法多、灵活多变而具有挑战性，成为最值求解中的难点和热点。同时，多元函数最值问题中蕴含着丰富的数学思想和方法，而且有利于培养学生联想、化归的解题能力。因此，怎样求多元函数的最值，是师生们非常关注和必须解决的问题，也是高考考生们必须具备的解题技能。

二.【常见的方法】

导数法、消元法、均值不等式法（“1”代换）、换元法（整体换元 三角换元）、数形结合法、柯西不等式法、向量法等

主要思想方法：数形结合、化归思想等

三.【范例】

例1：已知实数,x y 满足0x y >>，且2x y +≤，则21

3x y x y

++-的最小值为 。 方法一 因为422x y +≥，所以

(

)2121

4(

)()[(3)()]3323333x y x y x y x y x y x y x y x y

x y x y

++++-+-+--+=+

+

+-+≥≥

当且仅当1,3x y ==-取等号，故

21

3x y x y

++-

的最小值34+

【评注】这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数，

再用单调性或基本不等式求解，二是直接用基本不等式，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过不等式的途径进行。

方法二 利用不等式()2

22a b a b p q p q

+++≥

，引证：

记向量(

,),(,)a b

x y p q ==，因为()

222x y x y ⋅⋅≤ 所以 ()2

2

2

a b a

b p q p q +++≥，则 )

()

2

121

32

x y x y x y ++-+≥

34+≥ 【评注】在求有些多元函数的最值时，恰当构造向量模型，利用向量数量积的性质，常可使

复杂问题变得简单明了，使繁琐的解题显得巧妙自然。 方法三 因为 0,2x y x y >>+≤，所以 01y << 又因为

()()

2121332222211y

x y x y y y y y -++=+-+-+-≥

113824

6(3)3y y

+=

⋅--+-≥

当且仅当1,3x y ==-取等号 【评注】该解法利用条件将不等式放缩后，通过消元，转化为一元函数，再用基本不等式求解。

方法四 因为 2x y +≥，

所以

211133221322x y x y k k x y x y x y x y k k ++++++=++-+-+-≥，其中y

k x

= 记 ()111322k k

g k k k ++=+

+-，()0,1k ∈ 因为 ()()

22228404246k k g k k k +-'=+-，令 ()0g k '=，得

k =由于 ()g k

在5(0,

)7

上递减，在5

(,1)7上递增 故 (

)min 53()74

g k g +==， 所以 21

3x y x y

++-

的最小值34+

【评注】该解法充分体现了数学中的消元思想，将二元函数的最值转化为一元函数的最值，

从而利用导数研究函数最值，但在处理过程中充分考虑变量的取值范围，否则容易出错。 例2： 已知任意非零实数x ，y 满足3x 2＋4xy ≤λ(x 2＋y 2)恒成立，则实数λ的最小值为____．

方法一：依题可得()()

22222234344x xy x x y x y +++=+≤

因为,x y 均不为0，故22

2

34x xy

x y ++≤4，所以 4λ≥ 【评注】关注各项系数，直接利用基本不等式放缩，构思巧妙。

方法二：因为,x y 均不为0，所以 2

22

234

341()y

x xy x y x y x

λ++=++≥ 令y

t x

=，则 2341t t λ++≥，记 ()

2341t f t t +=+，由导数法可知 因为 ()[]1,4f t ∈-，所以

4λ≥

【评注】利用消元思想，转化为函数最值，用导数法解决，是通解通法。

方法三：因为 (

)2

22

34x xy x y

λ++≤ 所以 2

2(3)40x

xy y λλ--+≥

当3λ=时，则 2

340y xy -+≥显然不成立 当3λ≠时，同除2

y 得 2

(3)()4

0x x

y

y

λλ--+≥

故 ()30

16430

λλλ->⎧⎪⎨

--⎪⎩≤ 解得 4λ≥

【评注】利用消元思想，转化为不等式恒成立问题，通过“∆”法解决，但此法局限于二次

问题。

变式练习：()

22222x xy m x y ++≤对于一切正数,x y 恒成立，则实数m 的最小值为 。 例3：设实数,,a b c 满足2

2

1a b c +≤≤，则a b c ++的最小值为 。

方法一：因为 2

2

c a b +≥ 所以 2

2

a b c a b a b +++++≥

2

2

1

11()()2

2

2

a b =+++-

故 a b c ++的最小值为12

-

【评注】根据条件进行放缩，利用配方法解决问题。

方法二：因为 2

2

c a b +≥ 所以 2

2

a b c a b a b +++++≥

又因为 22

2

()2a b a b ++≥ 故 ()222

()2

a b a b c a b a b a b ++++++++≥≥

()211

122a b =++-⎡⎤⎣

⎦ 故 a b c ++的最小值为12

-

【评注】根据条件进行放缩，关注到基本不等式，同时有整体配方思想。

方法三：换元法 令 []cos ,cos ,0,1a r b r r θθ==∈

(

)

22

222

2cos sin sin()

4

1)sin ()

2424a b c a b a b r r r r θθπ

θππθθ+++++=++=+⎡⎤=++-+⎢⎥⎣

⎦≥

故 a b c ++的最小值为1

2

-

【评注】通过换元，利用三角函数的有界性解决问题。

变式练习：已知,,x y z ∈R ，且2

2

2

1,3x y z x y z ++=++=，则xyz 的最大值是 。5

27

例4：已知正实数,a b 满足2

2

91a

b ，则

3ab

a b

的最大值为 .