第三章5 线性定常系统的稳定误差计算3.6(1)

自动控制原理

3.6.1 误差与稳态误差
R (s) E (s) G (s) C (s)

H (s)

E(s) = R(s) − H(s)C(s) E ( s) = C s ( s ) − C ( s )

误差的两种定义

第一种定义：从系统的输入端定义误差，误差在实际 系统中是可以量测的。 第二种定义：从系统的输出端定义误差，输出的真值 有时很难得到，误差往往难以测量。

r (t ) =
∞

1 R0 t 2

0型

Ⅰ型

R 0 K
0

∞

Ⅱ型

0

R 0 K

静态误差系数 ↑→ 系统稳态误差 ↓ 就越小（与 K 有关、开环传递函数有 关）
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减小和消除稳态误差方法 提高系统的开环增益 增加开环传递函数中积分环节
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系统的稳定性

如果 系统 的输入信号是多种典型函数的线性组合 ：如

三：加速度输入
1 r (t ) = R0 t 2 , 2 R0 = const s⋅ R0 R(s) = 3 s

R0 3 R0 s ess = lim sE ( s ) = lim = lim 2 s → 0 1 + H ( s )G ( s ) s → 0 s + s 2 H ( s )G ( s ) R0 R0 = lim 2 = s → 0 s H ( s )G ( s ) Ka
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为便于讨论，令
G0 (s)H 0 (s) =

Π (τ Π (T
j =1 i =1 n −ν

m

i

s + 1) s + 1)

j

S → 0, G 0 ( s ) H 0 ( s ) → 1

K G ( s ) H ( s ) = ν G0 ( s ) H 0 ( s ) s
sR(s) ess (∞) = ess = lim sE(s) = lim s →0 s →0 1 + H ( s)G( s)

ν =0 ν =1 ν ≥2

⎧∞ ⎪v ⎪ R00 ess = ⎨ ⎪K ⎪ ⎩0

ν =0 ν =1 ν ≥2

0型系统稳态时不能跟踪斜坡输入

I型单位反馈系统的速度误差

Ⅰ型系统稳态时能跟踪斜坡输入，但存在一个稳态位置误差 Ⅱ型及Ⅱ型以上系统，稳态时能准确跟踪斜坡输入信号， 不存在位置误差

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3.6 线性定常系统的稳定误差计算
3.6.1：误差与稳态误差 3.6.2：系统类型 3.6.3：误差系数 3.6.4：扰动作用下的稳态误差

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前提：系统稳定 。
一个符合工程要求的系统，其稳态误差必须控制在 允许的范围之内。例如工业加热炉的炉温误差若超过其 允许的限度，就会影响加工产品的质量。又如造纸厂中 卷绕纸张的恒张力控制系统，要求纸张在卷绕过程中张 力的误差保持在某一允许的范围之内。若张力过小，就 会出现松滚现象，而张力过大，又会促使纸张的断裂。 动态性能 t d , t r , t p , t s , σ %, ξ , ω n , ω 控制系统的性能 稳态性能

R (s) =

1 s

ess = lim s
s →0

(0.5s + 1)(0.04 s + 1) 1 1 = (0.5s + 1)(0.04 s + 1) + 20 s 21

1 R (s ) = 2 s

(0.5s + 1)(0.04 s + 1) 1 =∞ ess = lim s s → 0 (0.5 s + 1)(0.04 s + 1) + 20 s 2
s→0

(3 − 65)

e ss

⎧ R0 = const , ν = 0 ⎪ = ⎨1 + K ⎪ ,ν ≥ 1 ⎩0

可见，由于0型系统中没有积分环节，它对阶跃输入的稳态误差为 一定值，误差的大小与系统的开环放大系数K成反比，K越大， 越小，只要K不是无穷大，系统总有误差存在。 对实际系统来 说，通常是允许存在稳态误差的，但不允许超过规定的指标。为 了降低稳态误差，可在稳定条件允许的前提下，增大系统的开环 放大系数，若要求系统对阶跃输入的稳态误差为零，则必须选用1 上页 下页 返回 自动控制原理 型或高于1型的系统。
2 s→ 0

s→ 0

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表3-1
误差系数 类型

输入信号作用下的稳态误差系数
静态速度误差 系数 静态加速度误 差系数

静态位置误 差系数
Kp

Kv
0 0

K

a

0型

K

Ⅰ型

∞

K

0

Ⅱ型

∞

∞

K

v0

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表3-2
输入

输入信号作用下的稳态误差

类型

r(t ) = R0
R0 1+ K
0 ∞

r (t ) = R0 t
d

e

ss

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稳态误差的不可避免性
①输入量（控制量），扰动量不同，输入函数的形 式不同（阶跃、斜坡、或加速度），控制系统的输 出不可能在任何情况下都与输入量一致或相当，也 不可能在任何形式的扰动作用下都准确地恢复到原 平衡位置。 ②控制系统中不可避免存在摩擦，不灵敏区，零位输 出等非线性因素，都会造成附加的稳态误差。 无差系统：在阶跃函数作用下没有原理性稳态误差 的系统称之无差系统。 有差系统：在阶跃函数作用下具有原理性稳态误差 的系统称之有差系统。

系统类型 开环增益有关 输入信号

有关

因为实际输入多为阶跃函数，斜坡函数和加速 度函数或者其组合，因此分别讨论。

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3.6.3 各种输入作用下的稳态误差与静态误差系数
一：阶跃输入

R0 r (t ) = R 0 , R 0 = 常量。 R ( s ) = . S
令

e ss = lim
2 s→ 0

K s v−2

s→ 0

K

a

⎧0 ⎪ = ⎨K ⎪∞ ⎩

ν = 0 ,1 ν = 2 ν ≥ 3
II型单位反馈系统的加速度误差

R0 e ss = Ka
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ν = 0,1 ⎧∞ ⎪a ⎪ 0 ess = ⎨ = const ν = 2 ⎪K ν ≥3 ⎪ ⎩0

K p : 静态位置误差系数
K

开环传递函数

G (s)H (s) =

Π

sν

K为开环增益；τi和Ti为时间为时间常数；ν为开环系统 在s平面坐标原点上的极点的重数。即

Π

i =1 n −ν j =1

(τ i s + 1 )

, (T j s + 1)

n ≥ m

0型系统 ⎧ν = 0 ⎪ ν : 为系统中含有的积分环 节数 ⎨ν = 1 Ι型系统 ⎪ν = 2 ΙΙ 型系统 ⎩ ν > 2时， ΙΙ 型以上的系统，实际上 很难使之稳定，所以这 种类型的 系统在控制工程中一般 不会碰到。 (复合系统 )

K

v

称为静态速度误差系数
指系统在速度 ( 斜坡 ) 输入作用下，系统的稳态 输出与输入之间存在位置上的误差

K

v

⎧0 ⎪ = ⎨K ⎪∞ ⎩

ν = 0 ν = 1 ν ≥ 2

R0 R0 ess = lim = s → 0 sH ( s ) G ( s ) Kv
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⎧∞ ⎪v ⎪ R00 ess = ⎨ ⎪K ⎪ ⎩0

R0 R0 SR ( s ) = = s → 0 1 + H ( s )G ( s ) R(s) 1 + K p 1 + lim H ( s )G(s)
s→0

(3 − 65)

令

K p = lim G ( s ) H ( s )
s →0
K

K p : 静态位置误差系数
⎧ K ,ν = 0 = ⎨ ⎩ ∞ ,ν ≥ 1
K G (s)H (s) = s
ν

Π i=1 Π j=1
n −ν

m

(τ (T

i

s + 1) ,
j

n ≥ m

s + 1)

K a = lim s 2 H ( s ) G ( s ) = lim
s→ 0

K s v−2

s→ 0

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K a 定义为系统的静态加速 度误差系数
K a = lim s H ( s ) G ( s ) = lim
K
p

= lim H H(s)G(s) (s)R (s) →
s 0

( 3 − 66 )

K

v

：静态速度误差系数
K v = lim sH ( s ) G ( s ) = lim
s→ 0 s→ 0

K s v −1

Ka ：静态加速度误差系数
K s v−2

K a = lim s H ( s ) G ( s ) = lim
R (s)

形式密切相关 。

对于一个给定的稳定系统，当输入信号形式一定 时，系统是否存在稳态误差就取决于开环传递函数所描 述的系统结构。因此，按照控制系统跟踪不同输入信号 的能力来进行系统分类是必要的。
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¾例

解：
ess = lim s
s →0

1 (0.5s + 1)(0.04 s + 1) R ( s ) = lim s R(s) s → 0 1 + G (s) H (s) (0.5s + 1)(0.04 s + 1) + 20

二：斜坡输入
r (t ) = R0 t , R0 = const R0 R(s) = 2 s

R0 s⋅ 2 R0 s ess = lim sE ( s ) = lim = lim s → 0 1 + H ( s )G ( s ) s → 0 s + sH ( s ) G ( s ) R0 R 令 = lim = 0 s → 0 sH ( s ) G ( s ) Kv

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¾例
r ( t ) = sin ωt
Φ e (s ) = 1 1+ 1 Ts =

R (s ) =
s s+ 1 T s

ω s 2 + ω2

E (s) = Φ e (s) R (s) =

ω 1 s 2 + ω2 s+ T ⋅
s→0

lim e( t ) = lim sE (s) = lim s
系统稳态误差计算通式则可表示为
e ss =
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lim [ S ν + 1 R ( s )]
s→ 0

K + lim S
s→ 0

ν

( 3 − 64 )

e ss =

lim [ S
s→ 0

ν +1

R ( s )]
ν

K + lim S
s→ 0

( 3 − 64 )

e

ss

⎧ν ⎪ 与 ⎨ K ⎪ ⎩ R (s)
1 r (t ) = R0 ⋅ 1(t ) + R1t + R 2 t 2 2

根据线性叠加的原理，可将每一种输入分量单独 作用于系统，再将各误差分量叠加起来

R0 R1 R2 ess = + + 1＋ K p K v K a
这时至少应选Ⅱ型系统否则稳态误差将无穷大。

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例 3-9 解

设图3-24所示系统的输入信号r(t)=10+5t， 试分析系统的稳定性并求出其稳态误差。 由图3-24求得系统的特征方程为 2s 3 + 3s 2 + (1 + 0.5K )s + K = 0
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R (s)

E (s) G (s)

C (s)

H (s)

误差 传递 函数

1 E (s) Φ e (s) = = R ( s ) 1 + H ( s )G ( s )
def

误差

R (s) E (s) = Φ e (s)R (s) = 1 + H ( s )G ( s )

e (t ) = L −1[Φ
t →∞ s→0

ω =0 2 2 1 s +ω s+ T s ⋅

e( t ) = Tω cos ωt − T 2 ω 2 sin ωt + ...

sE(s)的极点不全部分布在[S]平面的左半部
终值定理
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3.6.2 系统类型 对于一个给定的稳定系统，当输入信号形式一定 时，系统是否存在稳态误差就取决于开环传递函数所描 述的系统结构。因此，按照控制系统跟踪不同输入信号 m 的能力来进行系统分类是必要的。
K G (s)H (s) = s
ν

Π i=1 Π j=1
n −ν

m

(τ (T

i

s + 1) ,
j

nห้องสมุดไป่ตู้≥ m

s + 1)

K K v = lim sH ( s ) G ( s ) = lim v − 1 s→ 0 s→ 0 s
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K K v = lim sH ( s ) G ( s ) = lim v − 1 s→ 0 s→ 0 s

G (s)H (s) = s
ν

Π i=1 Π j=1
n −ν

m

(τ (T

i

s + 1) ,
j

n ≥ m

s + 1)

K

p

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⎧ K ,ν = 0 K p = ⎨ ⎩ ∞ ,ν ≥ 1 R0 R0 SR ( s ) e ss = lim = = s → 0 1 + H ( s )G ( s ) 1 + lim H ( s ) R (s) 1 + K p G(s)
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e

( s ) R ( s )]

终值定理，求稳态误差。

sR(s) ess (∞) = ess = limsE(s) = lim s→0 s→0 1 + H (s)G(s)
公式条件：

sE(s) 的极点均位于S左半平面（包括坐标原点）
上式表明，系统的稳态误差，不仅与开环传递函数
G ( s ) H ( s ) 的结构有关，还与输入