第三章5 线性定常系统的稳定误差计算3.6(1)
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自动控制原理
3.6.1 误差与稳态误差
R (s) E (s) G (s) C (s)
H (s)
E(s) = R(s) − H(s)C(s) E ( s) = C s ( s ) − C ( s )
误差的两种定义
第一种定义:从系统的输入端定义误差,误差在实际 系统中是可以量测的。 第二种定义:从系统的输出端定义误差,输出的真值 有时很难得到,误差往往难以测量。
r (t ) =
∞
1 R0 t 2
0型
Ⅰ型
R 0 K
0
∞
Ⅱ型
0
R 0 K
静态误差系数 ↑→ 系统稳态误差 ↓ 就越小(与 K 有关、开环传递函数有 关)
自动控制原理
减小和消除稳态误差方法 提高系统的开环增益 增加开环传递函数中积分环节
自动控制原理
系统的稳定性
如果 系统 的输入信号是多种典型函数的线性组合 :如
三:加速度输入
1 r (t ) = R0 t 2 , 2 R0 = const s⋅ R0 R(s) = 3 s
R0 3 R0 s ess = lim sE ( s ) = lim = lim 2 s → 0 1 + H ( s )G ( s ) s → 0 s + s 2 H ( s )G ( s ) R0 R0 = lim 2 = s → 0 s H ( s )G ( s ) Ka
自动控制原理
为便于讨论,令
G0 (s)H 0 (s) =
Π (τ Π (T
j =1 i =1 n −ν
m
i
s + 1) s + 1)
j
S → 0, G 0 ( s ) H 0 ( s ) → 1
K G ( s ) H ( s ) = ν G0 ( s ) H 0 ( s ) s
sR(s) ess (∞) = ess = lim sE(s) = lim s →0 s →0 1 + H ( s)G( s)
ν =0 ν =1 ν ≥2
⎧∞ ⎪v ⎪ R00 ess = ⎨ ⎪K ⎪ ⎩0
ν =0 ν =1 ν ≥2
0型系统稳态时不能跟踪斜坡输入
I型单位反馈系统的速度误差
Ⅰ型系统稳态时能跟踪斜坡输入,但存在一个稳态位置误差 Ⅱ型及Ⅱ型以上系统,稳态时能准确跟踪斜坡输入信号, 不存在位置误差
自动控制原理
3.6 线性定常系统的稳定误差计算
3.6.1:误差与稳态误差 3.6.2:系统类型 3.6.3:误差系数 3.6.4:扰动作用下的稳态误差
自动控制原理
前提:系统稳定 。
一个符合工程要求的系统,其稳态误差必须控制在 允许的范围之内。例如工业加热炉的炉温误差若超过其 允许的限度,就会影响加工产品的质量。又如造纸厂中 卷绕纸张的恒张力控制系统,要求纸张在卷绕过程中张 力的误差保持在某一允许的范围之内。若张力过小,就 会出现松滚现象,而张力过大,又会促使纸张的断裂。 动态性能 t d , t r , t p , t s , σ %, ξ , ω n , ω 控制系统的性能 稳态性能
R (s) =
1 s
ess = lim s
s →0
(0.5s + 1)(0.04 s + 1) 1 1 = (0.5s + 1)(0.04 s + 1) + 20 s 21
1 R (s ) = 2 s
(0.5s + 1)(0.04 s + 1) 1 =∞ ess = lim s s → 0 (0.5 s + 1)(0.04 s + 1) + 20 s 2
s→0
(3 − 65)
e ss
⎧ R0 = const , ν = 0 ⎪ = ⎨1 + K ⎪ ,ν ≥ 1 ⎩0
可见,由于0型系统中没有积分环节,它对阶跃输入的稳态误差为 一定值,误差的大小与系统的开环放大系数K成反比,K越大, 越小,只要K不是无穷大,系统总有误差存在。 对实际系统来 说,通常是允许存在稳态误差的,但不允许超过规定的指标。为 了降低稳态误差,可在稳定条件允许的前提下,增大系统的开环 放大系数,若要求系统对阶跃输入的稳态误差为零,则必须选用1 上页 下页 返回 自动控制原理 型或高于1型的系统。
2 s→ 0
s→ 0
自动控制原理
表3-1
误差系数 类型
输入信号作用下的稳态误差系数
静态速度误差 系数 静态加速度误 差系数
静态位置误 差系数
Kp
Kv
0 0
K
a
0型
K
Ⅰ型
∞
K
0
Ⅱ型
∞
∞
K
v0
自动控制原理
表3-2
输入
输入信号作用下的稳态误差
类型
r(t ) = R0
R0 1+ K
0 ∞
r (t ) = R0 t
d
e
ss
自动控制原理
稳态误差的不可避免性
①输入量(控制量),扰动量不同,输入函数的形 式不同(阶跃、斜坡、或加速度),控制系统的输 出不可能在任何情况下都与输入量一致或相当,也 不可能在任何形式的扰动作用下都准确地恢复到原 平衡位置。 ②控制系统中不可避免存在摩擦,不灵敏区,零位输 出等非线性因素,都会造成附加的稳态误差。 无差系统:在阶跃函数作用下没有原理性稳态误差 的系统称之无差系统。 有差系统:在阶跃函数作用下具有原理性稳态误差 的系统称之有差系统。
系统类型 开环增益有关 输入信号
有关
因为实际输入多为阶跃函数,斜坡函数和加速 度函数或者其组合,因此分别讨论。
自动控制原理
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返回
3.6.3 各种输入作用下的稳态误差与静态误差系数
一:阶跃输入
R0 r (t ) = R 0 , R 0 = 常量。 R ( s ) = . S
令
e ss = lim
2 s→ 0
K s v−2
s→ 0
K
a
⎧0 ⎪ = ⎨K ⎪∞ ⎩
ν = 0 ,1 ν = 2 ν ≥ 3
II型单位反馈系统的加速度误差
R0 e ss = Ka
自动控制原理
ν = 0,1 ⎧∞ ⎪a ⎪ 0 ess = ⎨ = const ν = 2 ⎪K ν ≥3 ⎪ ⎩0
K p : 静态位置误差系数
K
开环传递函数
G (s)H (s) =
Π
sν
K为开环增益;τi和Ti为时间为时间常数;ν为开环系统 在s平面坐标原点上的极点的重数。即
Π
i =1 n −ν j =1
(τ i s + 1 )
, (T j s + 1)
n ≥ m
0型系统 ⎧ν = 0 ⎪ ν : 为系统中含有的积分环 节数 ⎨ν = 1 Ι型系统 ⎪ν = 2 ΙΙ 型系统 ⎩ ν > 2时, ΙΙ 型以上的系统,实际上 很难使之稳定,所以这 种类型的 系统在控制工程中一般 不会碰到。 (复合系统 )
K
v
称为静态速度误差系数
指系统在速度 ( 斜坡 ) 输入作用下,系统的稳态 输出与输入之间存在位置上的误差
K
v
⎧0 ⎪ = ⎨K ⎪∞ ⎩
ν = 0 ν = 1 ν ≥ 2
R0 R0 ess = lim = s → 0 sH ( s ) G ( s ) Kv
自动控制原理
⎧∞ ⎪v ⎪ R00 ess = ⎨ ⎪K ⎪ ⎩0
R0 R0 SR ( s ) = = s → 0 1 + H ( s )G ( s ) R(s) 1 + K p 1 + lim H ( s )G(s)
s→0
(3 − 65)
令
K p = lim G ( s ) H ( s )
s →0
K
K p : 静态位置误差系数
⎧ K ,ν = 0 = ⎨ ⎩ ∞ ,ν ≥ 1
K G (s)H (s) = s
ν
Π i=1 Π j=1
n −ν
m
(τ (T
i
s + 1) ,
j
n ≥ m
s + 1)
K a = lim s 2 H ( s ) G ( s ) = lim
s→ 0
K s v−2
s→ 0
自动控制原理
K a 定义为系统的静态加速 度误差系数
K a = lim s H ( s ) G ( s ) = lim
K
p
= lim H H(s)G(s) (s)R (s) →
s 0
( 3 − 66 )
K
v
:静态速度误差系数
K v = lim sH ( s ) G ( s ) = lim
s→ 0 s→ 0
K s v −1
Ka :静态加速度误差系数
K s v−2
K a = lim s H ( s ) G ( s ) = lim
R (s)
形式密切相关 。
对于一个给定的稳定系统,当输入信号形式一定 时,系统是否存在稳态误差就取决于开环传递函数所描 述的系统结构。因此,按照控制系统跟踪不同输入信号 的能力来进行系统分类是必要的。
自动控制原理
¾例
解:
ess = lim s
s →0
1 (0.5s + 1)(0.04 s + 1) R ( s ) = lim s R(s) s → 0 1 + G (s) H (s) (0.5s + 1)(0.04 s + 1) + 20
二:斜坡输入
r (t ) = R0 t , R0 = const R0 R(s) = 2 s
R0 s⋅ 2 R0 s ess = lim sE ( s ) = lim = lim s → 0 1 + H ( s )G ( s ) s → 0 s + sH ( s ) G ( s ) R0 R 令 = lim = 0 s → 0 sH ( s ) G ( s ) Kv
自动控制原理
¾例
r ( t ) = sin ωt
Φ e (s ) = 1 1+ 1 Ts =
R (s ) =
s s+ 1 T s
ω s 2 + ω2
E (s) = Φ e (s) R (s) =
ω 1 s 2 + ω2 s+ T ⋅
s→0
lim e( t ) = lim sE (s) = lim s
系统稳态误差计算通式则可表示为
e ss =
自动控制原理
lim [ S ν + 1 R ( s )]
s→ 0
K + lim S
s→ 0
ν
( 3 − 64 )
e ss =
lim [ S
s→ 0
ν +1
R ( s )]
ν
K + lim S
s→ 0
( 3 − 64 )
e
ss
⎧ν ⎪ 与 ⎨ K ⎪ ⎩ R (s)
1 r (t ) = R0 ⋅ 1(t ) + R1t + R 2 t 2 2
根据线性叠加的原理,可将每一种输入分量单独 作用于系统,再将各误差分量叠加起来
R0 R1 R2 ess = + + 1+ K p K v K a
这时至少应选Ⅱ型系统否则稳态误差将无穷大。
自动控制原理
例 3-9 解
设图3-24所示系统的输入信号r(t)=10+5t, 试分析系统的稳定性并求出其稳态误差。 由图3-24求得系统的特征方程为 2s 3 + 3s 2 + (1 + 0.5K )s + K = 0
自动控制原理
R (s)
E (s) G (s)
C (s)
H (s)
误差 传递 函数
1 E (s) Φ e (s) = = R ( s ) 1 + H ( s )G ( s )
def
误差
R (s) E (s) = Φ e (s)R (s) = 1 + H ( s )G ( s )
e (t ) = L −1[Φ
t →∞ s→0
ω =0 2 2 1 s +ω s+ T s ⋅
e( t ) = Tω cos ωt − T 2 ω 2 sin ωt + ...
sE(s)的极点不全部分布在[S]平面的左半部
终值定理
自动控制原理
3.6.2 系统类型 对于一个给定的稳定系统,当输入信号形式一定 时,系统是否存在稳态误差就取决于开环传递函数所描 述的系统结构。因此,按照控制系统跟踪不同输入信号 m 的能力来进行系统分类是必要的。
K G (s)H (s) = s
ν
Π i=1 Π j=1
n −ν
m
(τ (T
i
s + 1) ,
j
nห้องสมุดไป่ตู้≥ m
s + 1)
K K v = lim sH ( s ) G ( s ) = lim v − 1 s→ 0 s→ 0 s
自动控制原理
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K K v = lim sH ( s ) G ( s ) = lim v − 1 s→ 0 s→ 0 s
G (s)H (s) = s
ν
Π i=1 Π j=1
n −ν
m
(τ (T
i
s + 1) ,
j
n ≥ m
s + 1)
K
p
自动控制原理
⎧ K ,ν = 0 K p = ⎨ ⎩ ∞ ,ν ≥ 1 R0 R0 SR ( s ) e ss = lim = = s → 0 1 + H ( s )G ( s ) 1 + lim H ( s ) R (s) 1 + K p G(s)
自动控制原理
e
( s ) R ( s )]
终值定理,求稳态误差。
sR(s) ess (∞) = ess = limsE(s) = lim s→0 s→0 1 + H (s)G(s)
公式条件:
sE(s) 的极点均位于S左半平面(包括坐标原点)
上式表明,系统的稳态误差,不仅与开环传递函数
G ( s ) H ( s ) 的结构有关,还与输入
3.6.1 误差与稳态误差
R (s) E (s) G (s) C (s)
H (s)
E(s) = R(s) − H(s)C(s) E ( s) = C s ( s ) − C ( s )
误差的两种定义
第一种定义:从系统的输入端定义误差,误差在实际 系统中是可以量测的。 第二种定义:从系统的输出端定义误差,输出的真值 有时很难得到,误差往往难以测量。
r (t ) =
∞
1 R0 t 2
0型
Ⅰ型
R 0 K
0
∞
Ⅱ型
0
R 0 K
静态误差系数 ↑→ 系统稳态误差 ↓ 就越小(与 K 有关、开环传递函数有 关)
自动控制原理
减小和消除稳态误差方法 提高系统的开环增益 增加开环传递函数中积分环节
自动控制原理
系统的稳定性
如果 系统 的输入信号是多种典型函数的线性组合 :如
三:加速度输入
1 r (t ) = R0 t 2 , 2 R0 = const s⋅ R0 R(s) = 3 s
R0 3 R0 s ess = lim sE ( s ) = lim = lim 2 s → 0 1 + H ( s )G ( s ) s → 0 s + s 2 H ( s )G ( s ) R0 R0 = lim 2 = s → 0 s H ( s )G ( s ) Ka
自动控制原理
为便于讨论,令
G0 (s)H 0 (s) =
Π (τ Π (T
j =1 i =1 n −ν
m
i
s + 1) s + 1)
j
S → 0, G 0 ( s ) H 0 ( s ) → 1
K G ( s ) H ( s ) = ν G0 ( s ) H 0 ( s ) s
sR(s) ess (∞) = ess = lim sE(s) = lim s →0 s →0 1 + H ( s)G( s)
ν =0 ν =1 ν ≥2
⎧∞ ⎪v ⎪ R00 ess = ⎨ ⎪K ⎪ ⎩0
ν =0 ν =1 ν ≥2
0型系统稳态时不能跟踪斜坡输入
I型单位反馈系统的速度误差
Ⅰ型系统稳态时能跟踪斜坡输入,但存在一个稳态位置误差 Ⅱ型及Ⅱ型以上系统,稳态时能准确跟踪斜坡输入信号, 不存在位置误差
自动控制原理
3.6 线性定常系统的稳定误差计算
3.6.1:误差与稳态误差 3.6.2:系统类型 3.6.3:误差系数 3.6.4:扰动作用下的稳态误差
自动控制原理
前提:系统稳定 。
一个符合工程要求的系统,其稳态误差必须控制在 允许的范围之内。例如工业加热炉的炉温误差若超过其 允许的限度,就会影响加工产品的质量。又如造纸厂中 卷绕纸张的恒张力控制系统,要求纸张在卷绕过程中张 力的误差保持在某一允许的范围之内。若张力过小,就 会出现松滚现象,而张力过大,又会促使纸张的断裂。 动态性能 t d , t r , t p , t s , σ %, ξ , ω n , ω 控制系统的性能 稳态性能
R (s) =
1 s
ess = lim s
s →0
(0.5s + 1)(0.04 s + 1) 1 1 = (0.5s + 1)(0.04 s + 1) + 20 s 21
1 R (s ) = 2 s
(0.5s + 1)(0.04 s + 1) 1 =∞ ess = lim s s → 0 (0.5 s + 1)(0.04 s + 1) + 20 s 2
s→0
(3 − 65)
e ss
⎧ R0 = const , ν = 0 ⎪ = ⎨1 + K ⎪ ,ν ≥ 1 ⎩0
可见,由于0型系统中没有积分环节,它对阶跃输入的稳态误差为 一定值,误差的大小与系统的开环放大系数K成反比,K越大, 越小,只要K不是无穷大,系统总有误差存在。 对实际系统来 说,通常是允许存在稳态误差的,但不允许超过规定的指标。为 了降低稳态误差,可在稳定条件允许的前提下,增大系统的开环 放大系数,若要求系统对阶跃输入的稳态误差为零,则必须选用1 上页 下页 返回 自动控制原理 型或高于1型的系统。
2 s→ 0
s→ 0
自动控制原理
表3-1
误差系数 类型
输入信号作用下的稳态误差系数
静态速度误差 系数 静态加速度误 差系数
静态位置误 差系数
Kp
Kv
0 0
K
a
0型
K
Ⅰ型
∞
K
0
Ⅱ型
∞
∞
K
v0
自动控制原理
表3-2
输入
输入信号作用下的稳态误差
类型
r(t ) = R0
R0 1+ K
0 ∞
r (t ) = R0 t
d
e
ss
自动控制原理
稳态误差的不可避免性
①输入量(控制量),扰动量不同,输入函数的形 式不同(阶跃、斜坡、或加速度),控制系统的输 出不可能在任何情况下都与输入量一致或相当,也 不可能在任何形式的扰动作用下都准确地恢复到原 平衡位置。 ②控制系统中不可避免存在摩擦,不灵敏区,零位输 出等非线性因素,都会造成附加的稳态误差。 无差系统:在阶跃函数作用下没有原理性稳态误差 的系统称之无差系统。 有差系统:在阶跃函数作用下具有原理性稳态误差 的系统称之有差系统。
系统类型 开环增益有关 输入信号
有关
因为实际输入多为阶跃函数,斜坡函数和加速 度函数或者其组合,因此分别讨论。
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3.6.3 各种输入作用下的稳态误差与静态误差系数
一:阶跃输入
R0 r (t ) = R 0 , R 0 = 常量。 R ( s ) = . S
令
e ss = lim
2 s→ 0
K s v−2
s→ 0
K
a
⎧0 ⎪ = ⎨K ⎪∞ ⎩
ν = 0 ,1 ν = 2 ν ≥ 3
II型单位反馈系统的加速度误差
R0 e ss = Ka
自动控制原理
ν = 0,1 ⎧∞ ⎪a ⎪ 0 ess = ⎨ = const ν = 2 ⎪K ν ≥3 ⎪ ⎩0
K p : 静态位置误差系数
K
开环传递函数
G (s)H (s) =
Π
sν
K为开环增益;τi和Ti为时间为时间常数;ν为开环系统 在s平面坐标原点上的极点的重数。即
Π
i =1 n −ν j =1
(τ i s + 1 )
, (T j s + 1)
n ≥ m
0型系统 ⎧ν = 0 ⎪ ν : 为系统中含有的积分环 节数 ⎨ν = 1 Ι型系统 ⎪ν = 2 ΙΙ 型系统 ⎩ ν > 2时, ΙΙ 型以上的系统,实际上 很难使之稳定,所以这 种类型的 系统在控制工程中一般 不会碰到。 (复合系统 )
K
v
称为静态速度误差系数
指系统在速度 ( 斜坡 ) 输入作用下,系统的稳态 输出与输入之间存在位置上的误差
K
v
⎧0 ⎪ = ⎨K ⎪∞ ⎩
ν = 0 ν = 1 ν ≥ 2
R0 R0 ess = lim = s → 0 sH ( s ) G ( s ) Kv
自动控制原理
⎧∞ ⎪v ⎪ R00 ess = ⎨ ⎪K ⎪ ⎩0
R0 R0 SR ( s ) = = s → 0 1 + H ( s )G ( s ) R(s) 1 + K p 1 + lim H ( s )G(s)
s→0
(3 − 65)
令
K p = lim G ( s ) H ( s )
s →0
K
K p : 静态位置误差系数
⎧ K ,ν = 0 = ⎨ ⎩ ∞ ,ν ≥ 1
K G (s)H (s) = s
ν
Π i=1 Π j=1
n −ν
m
(τ (T
i
s + 1) ,
j
n ≥ m
s + 1)
K a = lim s 2 H ( s ) G ( s ) = lim
s→ 0
K s v−2
s→ 0
自动控制原理
K a 定义为系统的静态加速 度误差系数
K a = lim s H ( s ) G ( s ) = lim
K
p
= lim H H(s)G(s) (s)R (s) →
s 0
( 3 − 66 )
K
v
:静态速度误差系数
K v = lim sH ( s ) G ( s ) = lim
s→ 0 s→ 0
K s v −1
Ka :静态加速度误差系数
K s v−2
K a = lim s H ( s ) G ( s ) = lim
R (s)
形式密切相关 。
对于一个给定的稳定系统,当输入信号形式一定 时,系统是否存在稳态误差就取决于开环传递函数所描 述的系统结构。因此,按照控制系统跟踪不同输入信号 的能力来进行系统分类是必要的。
自动控制原理
¾例
解:
ess = lim s
s →0
1 (0.5s + 1)(0.04 s + 1) R ( s ) = lim s R(s) s → 0 1 + G (s) H (s) (0.5s + 1)(0.04 s + 1) + 20
二:斜坡输入
r (t ) = R0 t , R0 = const R0 R(s) = 2 s
R0 s⋅ 2 R0 s ess = lim sE ( s ) = lim = lim s → 0 1 + H ( s )G ( s ) s → 0 s + sH ( s ) G ( s ) R0 R 令 = lim = 0 s → 0 sH ( s ) G ( s ) Kv
自动控制原理
¾例
r ( t ) = sin ωt
Φ e (s ) = 1 1+ 1 Ts =
R (s ) =
s s+ 1 T s
ω s 2 + ω2
E (s) = Φ e (s) R (s) =
ω 1 s 2 + ω2 s+ T ⋅
s→0
lim e( t ) = lim sE (s) = lim s
系统稳态误差计算通式则可表示为
e ss =
自动控制原理
lim [ S ν + 1 R ( s )]
s→ 0
K + lim S
s→ 0
ν
( 3 − 64 )
e ss =
lim [ S
s→ 0
ν +1
R ( s )]
ν
K + lim S
s→ 0
( 3 − 64 )
e
ss
⎧ν ⎪ 与 ⎨ K ⎪ ⎩ R (s)
1 r (t ) = R0 ⋅ 1(t ) + R1t + R 2 t 2 2
根据线性叠加的原理,可将每一种输入分量单独 作用于系统,再将各误差分量叠加起来
R0 R1 R2 ess = + + 1+ K p K v K a
这时至少应选Ⅱ型系统否则稳态误差将无穷大。
自动控制原理
例 3-9 解
设图3-24所示系统的输入信号r(t)=10+5t, 试分析系统的稳定性并求出其稳态误差。 由图3-24求得系统的特征方程为 2s 3 + 3s 2 + (1 + 0.5K )s + K = 0
自动控制原理
R (s)
E (s) G (s)
C (s)
H (s)
误差 传递 函数
1 E (s) Φ e (s) = = R ( s ) 1 + H ( s )G ( s )
def
误差
R (s) E (s) = Φ e (s)R (s) = 1 + H ( s )G ( s )
e (t ) = L −1[Φ
t →∞ s→0
ω =0 2 2 1 s +ω s+ T s ⋅
e( t ) = Tω cos ωt − T 2 ω 2 sin ωt + ...
sE(s)的极点不全部分布在[S]平面的左半部
终值定理
自动控制原理
3.6.2 系统类型 对于一个给定的稳定系统,当输入信号形式一定 时,系统是否存在稳态误差就取决于开环传递函数所描 述的系统结构。因此,按照控制系统跟踪不同输入信号 m 的能力来进行系统分类是必要的。
K G (s)H (s) = s
ν
Π i=1 Π j=1
n −ν
m
(τ (T
i
s + 1) ,
j
nห้องสมุดไป่ตู้≥ m
s + 1)
K K v = lim sH ( s ) G ( s ) = lim v − 1 s→ 0 s→ 0 s
自动控制原理
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K K v = lim sH ( s ) G ( s ) = lim v − 1 s→ 0 s→ 0 s
G (s)H (s) = s
ν
Π i=1 Π j=1
n −ν
m
(τ (T
i
s + 1) ,
j
n ≥ m
s + 1)
K
p
自动控制原理
⎧ K ,ν = 0 K p = ⎨ ⎩ ∞ ,ν ≥ 1 R0 R0 SR ( s ) e ss = lim = = s → 0 1 + H ( s )G ( s ) 1 + lim H ( s ) R (s) 1 + K p G(s)
自动控制原理
e
( s ) R ( s )]
终值定理,求稳态误差。
sR(s) ess (∞) = ess = limsE(s) = lim s→0 s→0 1 + H (s)G(s)
公式条件:
sE(s) 的极点均位于S左半平面(包括坐标原点)
上式表明,系统的稳态误差,不仅与开环传递函数
G ( s ) H ( s ) 的结构有关,还与输入