2019届二轮复习 解三角形2 学案 (全国通用)
(新课标)高考数学二轮复习 专题一 三角函数与解三角形 第2讲 三角恒等变换与解三角形学案 理 新人
第2讲 三角恒等变换与解三角形[做真题]题型一 三角恒等变换1．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( )A ．15 B ．55C ．33D ．255解析：选B ．由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2 sin 2α＋1，即2sin αcosα＝1－sin 2α.因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＝1－sin 2α，所以2sin α1－sin 2α＝1－sin 2α，解得sin α＝55，故选B ． 2．(2018·高考全国卷Ⅲ)若sin α＝13，则cos 2α＝( )A ．89 B ．79 C ．－79D ．－89解析：选B ．cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79.3．(2016·高考全国卷Ⅱ)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( )A ．725 B ．15 C ．－15D ．－725解析：选D ．因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝22(sin α＋cos α)＝35，所以sin α＋cos α＝325，所以1＋sin 2α＝1825，所以sin 2α＝－725，故选D ．题型二 三角形中的边角计算问题1．(2018·高考全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )A ．4 2B ．30C ．29D ．2 5解析：选A ．因为cos C2＝55，所以cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552－1＝－35.于是，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝52＋12－2×5×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝32，所以AB ＝4 2.故选A ．2．(2016·高考全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________．解析：因为cos A ＝45，cos C ＝513，所以sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝6365，由正弦定理b sin B ＝a sin A ，得b ＝a sin B sin A ＝6365×53＝2113.答案：21133．(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设(sin B －sinC )2＝sin 2A －sin B sin C ．(1)求A ；(2)若2a ＋b ＝2c ，求sin C ．解：(1)由已知得sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sinB sinC ，故由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为0°＜A ＜180°，所以A ＝60°.(2)由(1)知B ＝120°－C ，由题设及正弦定理得2sin A ＋sin (120°－C )＝2sin C ，即62＋32cos C ＋12sin C ＝2sin C ，可得cos(C ＋60°)＝－22. 由于0°＜C ＜120°，所以sin(C ＋60°)＝22， 故sin C ＝sin(C ＋60°－60°)＝sin(C ＋60°)cos 60°－cos(C ＋60°)sin 60° ＝6＋24. 题型三 与三角形面积有关的问题1．(2018·高考全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( )A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6解析：选C ．根据题意及三角形的面积公式知12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24，所以sin C ＝a 2＋b 2－c22ab ＝cos C ，所以在△ABC 中，C ＝π4.2．(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为________．解析：法一：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×43×23×sin π3＝6 3. 法二：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以a 2＝b 2＋c 2，所以A ＝π2，所以△ABC的面积S ＝12×23×6＝6 3.答案：6 33．(2019·高考全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sinA ＋C2＝b sin A .(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围． 解：(1)由题设及正弦定理得 sin A sinA ＋C2＝sin B sin A .因为sin A ≠0，所以sinA ＋C2＝sin B ．由A ＋B ＋C ＝180°，可得sinA ＋C2＝cos B 2，故cos B 2＝2sin B 2cos B2. 因为cos B 2≠0，故sin B 2＝12，因此B ＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝34a . 由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin(120°－C )sin C ＝32tan C ＋12. 由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°. 由(1)知A ＋C ＝120°，所以30°<C <90°，故12<a <2，从而38<S △ABC <32.因此，△ABC 面积的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫38，32. [明考情]1．高考对此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命题形式出现．2．若无解答题，一般在选择题或填空题各有一题，主要考查三角恒等变换、解三角形，难度一般，一般出现在第4～9题或第13～15题位置上．3．若以解答题形式出现，主要考查三角函数与解三角形的综合问题，一般出现在解答题第17题位置上，难度中等．三角恒等变换与求值[考法全练]1．(2019·高考全国卷Ⅰ)tan 255°＝( ) A ．－2－ 3 B ．－2＋ 3 C ．2－ 3D ．2＋ 3解析：选D ．由正切函数的周期性可知，tan 255°＝tan (180°＋75°)＝tan 75°＝tan (30°＋45°)＝33＋11－33＝2＋3，故选D ．2．(一题多解)(2019·福建五校第二次联考)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝45，则sin 2α＝( )A ．15 B ．－15C ．725D ．－725解析：选C ．法一：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝45，所以sin 2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725.故选C ．法二：令π4－α＝θ，则α＝π4－θ，cos θ＝45，所以sin 2α＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2θ＝cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725.故选C ．法三：因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝45，所以22(cosα＋sin α)＝45，所以cos α＋sin α＝425，平方得1＋sin 2α＝3225，得sin 2α＝725.故选C ．3．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝________． 解析：因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2， 所以sin α＝255，cos α＝55，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫255＋55＝31010. 答案：310104．(2019·江西七校第一次联考)若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β2＋π4＝33，则cos(2α＋β)＝________． 解析：因为0<α<π2，所以π4<α＋π4<3π4，又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝223， sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝429， cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－1＝－79. 因为－π2<β<0，所以0<β2＋π4<π4，又sin ⎝⎛⎭⎪⎫β2＋π4＝33，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β2＋π4＝63，sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β2＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β2＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β2＋π4＝223， cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β2＋π4＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β2＋π4＝13. 所以cos(2α＋β)＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫β2＋π4＝－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β2＋π4＋sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4·sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β2＋π4＝2327.答案：2327三角恒等变换要遵循的“三看”原则一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分；二看“函数名称”，是需进行“切化弦”还是“弦化切”等，从而确定使用的公式；三看“结构特征”，了解变式或化简的方向．三角形的基本量的计算[典型例题]命题角度一 求解三角形中的角(1)(2019·江西七校第一次联考)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝a (cos C ＋33sin C )，a ＝2，c ＝263，则角C ＝( ) A ．3π4B ．π3C ．π6D ．π4(2)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b cos C ＋b sin C ＝a . ①求角B 的大小；②若BC 边上的高等于14a ，求cos A 的值．【解】 (1)选D ．由b ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos C ＋33sin C ，得sin B ＝sin A ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos C ＋33sin C . 因为sin B ＝sin []π－(A ＋C )＝sin(A ＋C )， 所以sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A cos C ＋33sin A sin C (sin C ≠0)，即cos A ＝33sin A ，所以tan A ＝ 3.因为0<A <π，所以A ＝π3.由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得sin C ＝22.因为0<C <2π3，所以C ＝π4.故选D ．(2)①由b cos C ＋b sin C ＝a ， 得sin B cos C ＋sin B sin C ＝sin A . 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin B cos C ＋sin B sin C ＝sin(B ＋C )，即sin B cos C ＋sin B sin C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ， 因为sin C ≠0，所以sin B ＝cos B ．因为B ∈(0，π)，所以B ＝π4. ②设BC 边上的高为AD ，则AD ＝14a .因为B ＝π4，所以BD ＝AD ＝14a ，所以CD ＝34a ，所以AC ＝AD 2＋DC 2＝104a ，AB ＝24a . 由余弦定理得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝－55.利用正、余弦定理求三角形角的方法(1)已知两边及其夹角，先由余弦定理求第三边，再由正弦定理求角． (2)已知三边，直接由余弦定理求角．(3)已知两边及其中一边的对角，先由正弦定理求另一边的对角，再由三角形内角和求第三角．[技能] 利用正、余弦定理求角时的两个失分点：(1)已知两边及其中一边的对角求其他角时，有一解、两解的情况，容易把握不准而出错；(2)在变形时，直接两边约去公因式，没有移项后提公因式，产生漏解．命题角度二 求解三角形中的边与面积如图所示，在△ABC 中，点D 为BC 边上一点，且BD ＝1，E 为AC 的中点，AE ＝32，cos B ＝277，∠ADB ＝2π3.(1)求AD 的长； (2)求△ADE 的面积．【解】 (1)在△ABD 中，因为cos B ＝277，B ∈(0，π)，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2772＝217，所以sin ∠BAD ＝sin(B ＋∠ADB )＝217×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋277×32＝2114. 由正弦定理知AD sin B ＝BD sin ∠BAD ，得AD ＝BD ·sin Bsin ∠BAD＝1×2172114＝2.(2)由(1)知AD ＝2，依题意得AC ＝2AE ＝3，在△ACD 中，由余弦定理得AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC ，即9＝4＋DC 2－2×2×DC cos π3，所以DC 2－2DC －5＝0，解得DC ＝1＋6(负值舍去)，所以S △ACD ＝12AD ·DC sin ∠ADC ＝12×2×(1＋6)×32＝3＋322，从而S △ADE ＝12S △ACD ＝3＋324.利用余弦定理求边，一般是已知三角形的两边及其夹角．利用正弦定理求边，必须知道两角及其中一边，如该边为其中一角的对边，要注意解的多样性与合理性．而三角形的面积主要是利用两边与其夹角的正弦值求解．[技能] 三角形的面积主要是利用S ＝12ab sin C 求解，有时可以直接利用余弦定理求出ab 的整体值再求面积，而不必分别求出a ，b 的值．[对点训练]1．(一题多解)(2019·广州市综合检测一)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 已知c cos B ＝(3a －b )cos C ．(1)求sin C 的值；(2)若c ＝26，b －a ＝2，求△ABC 的面积． 解：(1)法一：因为c cos B ＝(3a －b )cos C ，所以由正弦定理得sin C cos B ＝(3sin A －sin B )cos C ， 即sin C cos B ＋sin B cos C ＝3sin A cos C ， 所以sin(B ＋C )＝3sin A cos C ，由于A ＋B ＋C ＝π，所以sin(B ＋C )＝sin (π－A )＝sin A ， 则sin A ＝3sin A cos C ．因为0<A <π，所以sin A ≠0，cos C ＝13.因为0<C <π，所以sin C ＝1－cos 2C ＝223.法二：因为c cos B ＝(3a －b )cos C ，所以由余弦定理得c ×a 2＋c 2－b 22ac ＝(3a －b )×a 2＋b 2－c 22ab，化简得a 2＋b 2－c 2＝23ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝23ab2ab ＝13.因为0<C <π，所以sin C ＝1－cos 2C ＝223.(2)法一：由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 及c ＝26，cos C ＝13，得a 2＋b 2－23ab ＝24，即(a －b )2＋43ab ＝24.因为b －a ＝2，所以ab ＝15.所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×15×223＝5 2.法二：由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 及c ＝26，cos C ＝13，得a 2＋b 2－23ab ＝24.又b －a ＝2， 所以a ＝3，b ＝5.所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×15×223＝5 2.2．(2019·郑州市第一次质量预测)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为S ，且满足sin B ＝b 24S.(1)求sin A sin C ；(2)若4cos A cos C ＝3，b ＝15，求△ABC 的周长．解：(1)由三角形的面积公式可得S ＝12bc sin A ，又sin B ＝b 24S，所以2bc sin A sin B ＝b 2，即2c sin A sin B ＝b ，由正弦定理可得2sin C sin A sin B ＝sin B ， 因为sin B ≠0，所以sin A sin C ＝12.(2)因为4cos A cos C ＝3，所以cos A cos C ＝34，所以cos A cos C －sin A sin C ＝34－12＝14，即cos(A ＋C )＝14，所以cos B ＝－14，因为0<B <π，所以sin B ＝154， 因为a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝15154＝4，所以sin A sin C ＝ac 16＝12，所以ac ＝8，因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ， 所以(a ＋c )2＝15＋12＝27，所以a ＋c ＝3 3. 所以△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝33＋15.解三角形的综合问题[典型例题]命题角度一 以平面几何为载体的解三角形问题(2019·洛阳尖子生第二次联考)如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC 为锐角，AD⊥BD ，AC 平分∠BAD ，BC ＝23，BD ＝3＋6，△BCD 的面积S ＝3(2＋3)2.(1)求CD ； (2)求∠ABC .【解】 (1)在△BCD 中，S ＝12BD ·BC ·sin ∠CBD ＝3(2＋3)2，因为BC ＝23，BD ＝3＋6， 所以sin ∠CBD ＝12.因为∠ABC 为锐角，所以∠CBD ＝30°.在△BCD 中，由余弦定理得CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD ·cos ∠CBD ＝(23)2＋(3＋6)2－2×23×(3＋6)×32＝9，所以CD ＝3. (2)在△BCD 中，由正弦定理得BC sin ∠BDC ＝CDsin ∠CBD ，即23sin ∠BDC ＝3sin 30°，解得sin ∠BDC ＝33.因为BC <BD ，所以∠BDC 为锐角，所以cos ∠BDC ＝63. 在△ACD 中，由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CDsin ∠CAD ，即ACcos ∠BDC ＝3sin ∠CAD.①在△ABC 中，由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝BCsin ∠BAC ，即ACsin ∠ABC ＝23sin ∠BAC.②因为AC 平分∠BAD ，所以∠CAD ＝∠BAC . 由①②得sin ∠ABC cos ∠BDC ＝323，解得sin ∠ABC ＝22.因为∠ABC 为锐角，所以∠ABC ＝45°.解决以平面几何为载体的问题，主要注意以下几方面：一是充分利用平面几何图形的性质；二是出现多个三角形时，从条件较多的三角形突破求解；三是四边形问题要转化到三角形中去求解；四是通过三角形中的不等关系(如大边对大角，最大角一定大于等于π3)确定角或边的范围．命题角度二 三角形中的最值或范围问题(1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，外接圆的半径为1，且tan Atan B＝2c －bb，则△ABC 面积的最大值为________．(2)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a 2＋b 2－c 2)(a cos B ＋b cos A )＝abc ，若a ＋b ＝2，则c 的取值范围为________．【解析】 (1)因为tan A tan B ＝2c －b b ，所以b sin A cos A ＝(2c －b )sin Bcos B，由正弦定理得sin B sinA cosB ＝(2sinC －sin B )sin B cos A ，又sin B ≠0，所以sin A cos B ＝(2sin C －sin B )cos A ，所以sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos A ，即sin(A ＋B )＝2sin C cos A ，即sin C ＝2sin C cos A ，又sin C ≠0，所以cos A ＝12，sin A ＝32.设外接圆的半径为r ，则r ＝1，由余弦定理得bc ＝b 2＋c 2－a 22cos A＝b 2＋c 2－a 2＝b 2＋c 2－(2r sin A )2＝b 2＋c 2－3≥2bc －3(当且仅当b＝c 时，等号成立)，所以bc ≤3，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤334.所以△ABC 面积的最大值为334.(2)由sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin(A ＋B )＝sin C 及正弦定理，可知a cos B ＋b cos A ＝c ，则由(a 2＋b 2－c 2)(a cos B ＋b cos A )＝abc ，得a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理可得cos C ＝12，则C ＝π3，B ＝2π3－A ， 由正弦定理asin A＝bsin B＝csin C，得asin A＝bsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝csinπ3，又a ＋b ＝2，所以c sin A32＋c sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－A 32＝2，即c ＝3sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝1sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6，因为A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，所以A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，则c ∈[1，2)．【答案】 (1)334(2)[1，2)解三角形中的最值与范围问题主要有两种解决方法：一是利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围确定所求式的范围．[对点训练]1．(2019·重庆市七校联合考试)如图，在平面四边形ABCD 中，E 为AB 边上一点，连接CE ，DE .CB ＝2，BE ＝1，∠B ＝∠CED ＝2π3.(1)求sin ∠AED 的值； (2)若AB ∥CD ，求CD 的长．解：(1)在△BEC 中，由余弦定理得，CE ＝CB 2＋BE 2－2CB ·BE cos ∠B ＝7， 又BEsin ∠BCE ＝CE sin ∠B ，所以sin ∠BCE ＝2114，因为∠B ＝∠CED ，所以sin ∠AED ＝sin ∠BCE ＝2114. (2)因为AB ∥CD ，所以∠CDE ＝∠AED ， 所以sin ∠CDE ＝sin ∠AED ＝2114， 在△CDE 中，CD sin ∠CED ＝CE sin ∠CDE ，所以CD ＝CE sin ∠CEDsin ∠CDE＝7×322114＝7.2．(2019·福建五校第二次联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3a cosC ＝(2b －3c )cos A .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝2，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由正弦定理可得，3sin A cos C ＝2sin B cos A －3sin C cos A ， 从而3sin(A ＋C )＝2sin B cos A ，即3sin B ＝2sin B cos A . 又B 为三角形的内角，所以sin B ≠0，于是cos A ＝32，又A 为三角形的内角，所以A ＝π6.(2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋c 2－2bc ×32≥2bc －3bc ，所以bc ≤4(2＋3)，所以S △ABC ＝12bc sin A ≤2＋3，故△ABC 面积的最大值为2＋ 3.[A 组 夯基保分专练]一、选择题1．(2019·湖南省五市十校联考)已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x ＋1，则( ) A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4解析：选B ．f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x ＋1＝3sin 2x ＋cos 2x ＋2＝2sin(2x ＋π6)＋2，则f (x )的最小正周期为2π2＝π，最大值为2＋2＝4.故选B ．2．(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sin A －b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则bc＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：选A ．由题意及正弦定理得，b 2－a 2＝－4c 2，所以由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝－3c 22bc ＝－14，得b c＝6.故选A ． 3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c ＝2a ，b sin B －a sin A ＝12a sinC ，则sin B 为( )A ．74 B ．34 C ．73D ．13解析：选A ．由b sin B －a sin A ＝12a sin C ，且c ＝2a ，得b ＝2a ，因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34， 所以sin B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝74.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且a 2＝c 2＋ac －bc ，则cb sin B＝( )A ．32 B ．233C ．33D ． 3解析：选B ．由a ，b ，c 成等比数列得b 2＝ac ，则有a 2＝c 2＋b 2－bc ，由余弦定理得cos A＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，故A ＝π3，对于b 2＝ac ，由正弦定理得，sin 2B ＝sin A sinC ＝32·sinC ，由正弦定理得，c b sin B ＝sin C sin 2B ＝sin C 32sin C＝233.故选B ． 5．(一题多解)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝5，tan ∠BAC ＝－3，则BC 边上的高等于( )A ．1B ． 2C ． 3D ．2解析：选A ．法一：因为tan ∠BAC ＝－3，所以sin ∠BAC ＝310，cos ∠BAC ＝－110.由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ＝5＋2－2×5×2×⎝⎛⎭⎪⎫－110＝9，所以BC ＝3，所以S △ABC ＝12AB ·AC sin ∠BAC ＝12×2×5×310＝32，所以BC 边上的高h ＝2S △ABCBC ＝2×323＝1，故选A ．法二：因为tan ∠BAC ＝－3，所以cos ∠BAC ＝－110<0，则∠BAC 为钝角，因此BC 边上的高小于2，故选A ．6.如图，在△ABC 中，∠C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足．若DE ＝22，则cos A 等于( )A ．223B ．24 C ．64D ．63解析：选C ．依题意得，BD ＝AD ＝DE sin A ＝22sin A ，∠BDC ＝∠ABD ＋∠A ＝2∠A .在△BCD 中，BCsin ∠BDC＝BDsin C ，4sin 2A ＝22sin A ×23＝423sin A ，即42sin A cos A ＝423sin A，由此解得cos A ＝64. 二、填空题7．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝14，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝________． 解析：依题意得cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142－1＝－78.答案：－788．已知a ，b ，c 是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，a ＝4，b ∈(4，6)，sin 2A ＝sin C ，则c 的取值范围为________．解析：由4sin A ＝c sin C ，得4sin A ＝csin 2A ，所以c ＝8cos A ，因为16＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以16－b 2＝64cos 2A －16b cos 2A ，又b ≠4，所以cos 2A ＝16－b 264－16b ＝(4－b )(4＋b )16(4－b )＝4＋b16，所以c 2＝64cos 2A ＝64×4＋b 16＝16＋4b .因为b ∈(4，6)，所以32<c 2<40，所以42<c <210.答案：(42，210)9．(一题多解)(2019·合肥市第一次质检测)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成等比数列，cos(A －C )－cos B ＝12，延长BC 至点D ，若BD ＝2，则△ACD 面积的最大值为________．解析：法一：由题意知b 2＝ac ，由正弦定理得sin 2B ＝sin A sinC ①，又由已知，得cos(A －C )＋cos(A ＋C )＝12，可得cos A cos C ＝14 ②，②－①，得14－sin 2B ＝－cos B ，所以cos 2B＋cos B －34＝0，解得cos B ＝12或cos B ＝－32(舍去)，所以B ＝60°，再由题得cos(A －C )＝1，则A －C ＝0，即A ＝C ，则a ＝c ，所以△ABC 为正三角形，则∠ACD ＝120°，AC ＝b ，CD ＝2－b ，故S △ACD ＝12×b ×(2－b )×32≤34⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋2－b 22＝34，当且仅当b ＝2－b ，即b ＝1时取等号．故填34. 法二：由题意知b 2＝ac ，且cos(A －C )＋cos(A ＋C )＝12，即cos A cos C ＋sin A sin C ＋cos A cos C －sin A sin C ＝12，即cos A cos C ＝14，由余弦定理得b 2＋c 2－a 22bc ·b 2＋a 2－c 22ab ＝14，整理得b 4－(a 2－c 2)2＝b 4，所以a 2－c 2＝0，即a ＝c ，又b 2＝ac ，所以a ＝b ＝c ，即△ABC 为正三角形，所以S △ACD ＝S △ABD －S △ABC ＝12×2×c ×32－34c 2＝－34(c －1)2＋34≤34，当c ＝1时取等号，故填34. 答案：34三、解答题10．(2019·广东六校第一次联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＋c 2－b 2＝ab cos A ＋a 2cos B ．(1)求角B ；(2)若b ＝27，tan C ＝32，求△ABC 的面积． 解：(1)因为a 2＋c 2－b 2＝ab cos A ＋a 2cos B ，所以由余弦定理，得2ac cos B ＝ab cos A ＋a 2cos B ，又a ≠0，所以2c cos B ＝b cos A ＋a cos B ，由正弦定理，得 2sin C cos B ＝sin B cos A ＋sin A cos B ＝sin(A ＋B )＝sin C ， 又C ∈(0，π)，sin C >0，所以cos B ＝12.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3. (2)由tan C ＝32，C ∈(0，π)，得sin C ＝217，cos C ＝277， 所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝32×277＋12×217＝32114. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a ＝b sin Asin B ＝27×3211432＝6，所以△ABC 的面积为12ab sin C ＝12×6×27×217＝6 3.11．(2019·武汉模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A ＝2B ，cos B ＝255. (1)求sin C 的值；(2)若角A 的平分线AD 的长为5，求b 的值． 解：(1)由cos B ＝255及0<B <π，得sin B ＝55，又A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B ＝2×55×255＝45， cos A ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝35.故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45×255＋35×55＝11525.(2)由题意得，∠ADC ＝B ＋12∠BAC ＝∠BAC (如图)，所以sin ∠ADC ＝45.在△ADC 中，AD sin C ＝ACsin ∠ADC ，即511525＝AC 45，AC ＝2011，故b ＝2011.12．(2019·高考天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a ，3c sin B ＝4a sin C ．(1)求cos B 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B ＋π6的值． 解：(1)在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝csin C，得b sin C ＝c sin B ，又由3c sin B ＝4a sinC ，得3b sin C ＝4a sin C ，即3b ＝4a .又因为b ＋c ＝2a ，得到b ＝43a ，c ＝23a .由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋49a 2－169a 22·a ·23a＝－14.(2)由(1)可得sin B ＝1－cos 2B ＝154， 从而sin 2B ＝2sin B cos B ＝－158，cos 2B ＝cos 2B －sin 2B ＝－78， 故sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝sin 2B cos π6＋cos 2B sin π6＝－158×32－78×12＝－35＋716.[B 组 大题增分专练]1．(2019·江西七校第一次联考)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a (sinA －sinB )＝(c －b )(sinC ＋sin B )．(1)求角C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长．解：(1)由a (sin A －sin B )＝(c －b )(sin C ＋sin B )及正弦定理，得a (a －b )＝(c －b )(c ＋b )，即a 2＋b 2－c 2＝ab .所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π3.(2)由(1)知a 2＋b 2－c 2＝ab ，所以(a ＋b )2－3ab ＝c 2＝7， 又S ＝12ab sin C ＝34ab ＝332，所以ab ＝6，所以(a ＋b )2＝7＋3ab ＝25，a ＋b ＝5.所以△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋7. 2．(一题多解)(2019·福州模拟)如图，在△ABC 中，M 是边BC 的中点，cos ∠BAM ＝5714，cos ∠AMC ＝－277.(1)求∠B 的大小；(2)若AM ＝21，求△AMC 的面积．解：(1)由cos ∠BAM ＝5714， 得sin ∠BAM ＝2114， 由cos ∠AMC ＝－277，得sin ∠AMC ＝217. 又∠AMC ＝∠BAM ＋∠B ，所以cos ∠B ＝cos (∠AMC －∠BAM )＝cos∠AMC cos ∠BAM ＋sin ∠AMC sin ∠BAM＝－277×5714＋217×2114＝－12， 又∠B ∈(0，π)，所以∠B ＝2π3. (2)法一：由(1)知∠B ＝2π3， 在△ABM 中，由正弦定理AM sin ∠B ＝BM sin ∠BAM， 得BM ＝AM sin ∠BAM sin ∠B ＝21×211432＝ 3.因为M 是边BC 的中点，所以MC ＝ 3.故S △AMC ＝12AM ·MC ·sin ∠AMC ＝12×21×3×217＝332. 法二：由(1)知∠B ＝2π3， 在△ABM 中，由正弦定理AM sin ∠B ＝BM sin ∠BAM， 得BM ＝AM sin ∠BAM sin ∠B ＝21×211432＝ 3.因为M 是边BC 的中点，所以S △AMC ＝S △ABM ，所以S △AMC ＝S △ABM ＝12AM ·BM ·sin ∠BMA ＝12×21×3×217＝332. 3．(2019·昆明市质量检测)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2(c －a cos B )＝3b .(1)求角A ；(2)若a ＝2，求△ABC 面积的取值范围．解：(1)由2(c －a cos B )＝3b 及正弦定理得2(sin C －sin A cos B )＝3sin B ， 所以2sin(A ＋B )－2sin A cos B ＝3sin B ，即2cos A sin B ＝3sin B ， 因为sin B ≠0，所以cos A ＝32，又0<A <π，所以A ＝π6. (2)因为a ＝2，由正弦定理得b ＝4sin B ，c ＝4sin C ，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝14bc ， 所以S △ABC ＝4sin B sin C ，因为C ＝π－(A ＋B )＝5π6－B ，所以sin C ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－B ， 所以S △ABC ＝4sin B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－B ＝4sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos B ＋32sin B ， 即S △ABC ＝2sin B cos B ＋23sin 2B＝sin 2B －3cos 2B ＋ 3 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π3＋ 3. 因为0<B <5π6，所以－π3<2B －π3<4π3，所以－32<sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π3≤1， 所以0<S △ABC ≤2＋ 3.即△ABC 面积的取值范围为(0，2＋3]．4．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，AB 边上的高h ＝23c . (1)若△ABC 为锐角三角形，且cos A ＝35，求角C 的正弦值； (2)若C ＝π4，M ＝a 2＋b 2＋13c 2ab ，求M 的值． 解：(1)作CD ⊥AB ，垂足为D ，因为△ABC 为锐角三角形，且cos A ＝35， 所以sin A ＝45，tan A ＝43， 所以AD ＝c 2，BD ＝AB －AD ＝c 2， 所以BC ＝CD 2＋BD 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝5c 6， 由正弦定理得sin ∠ACB ＝AB sin A BC ＝c ×455c 6＝2425. (2)因为S △ABC ＝12c ×23c ＝12ab sin ∠ACB ＝24ab ， 所以c 2＝324ab ， 又a 2＋b 2－c 2＝2ab cos ∠ACB ＝2ab ，所以a 2＋b 2＝2ab ＋c 2，所以a 2＋b 2＋13c 2＝2ab ＋43c 2＝2ab ＋43×324ab ＝22ab ， 所以M ＝a 2＋b 2＋13c 2ab ＝22ab ab ＝2 2.。
高三二轮复习解三角形专题学案
高三二轮专题复习—解三角形专题知识点：1、正弦定理 2、余弦定理 3、三角形面积公式 4、常用结论题型一：正弦定理的应用例：在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,且2a sin A=(2b-c )sin B+(2c-b )sin C. (1)求角A 的大小; (2)若sin B+sin试判断△ABC 的形状. (3)求sin B+sin C 的取值范围. （4）若2=a ，求△ABC 周长的取值范围.变式训练：1．在△ABC 中，若 60,75,3=∠=∠=ACB ABC AB ，则BC 等于 ． 2.在△ABC 中,若,则AB= . 3.在△ABC 中,∠ABC=,AB=,BC=3,则sin∠BAC 等于 .4.ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =，求C ；5.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足(a －b )(sin A －sin B )＝c sin C －a sin B .(1)求角C 的大小；6. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，则B = 题型二：余弦定理（面积公式）例：在△ABC 中,A,B,C 所对的边分别为,,,c b a 已知.3,2π==C c（1）若△ABC 的面积为3，求;,b a（2）若,2sin 2)sin(sin A A B C =-+求△ABC 的面积。
1tan ,150,23A C BC ==︒=变式训练：1.已知△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且 2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 等于( )A.34B.43 C ．－34 D ．－432.若△ABC 中B ＝60°，点D 为BC 边中点，且AD ＝2，∠ADC ＝120°，则△ABC 的面积等于( )A ．2B ．3 C. 3 D ．2 33.设△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且a=2,cos C=14-,3sin A=2sin B,则c= . 4.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2a ，b ＝4，cos B ＝14，则边c 的长度为________5．已知c b a ,,是锐角ABC ∆中C B A ∠∠∠,,的对边，若,4,3==b a ABC ∆的面积为33，则=c 6.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 已知b +c =2a cos B. （I ）证明：A =2B ；（II ）若△ABC 的面积2=4a S ，求角A 的大小.题型三：正余弦定理在实际生活中的运用例：如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上,行驶600 m 后到达B 处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD.变式训练：1.如图，塔AB 底部为点B ，若C ，D 两点相距为100 m 并且与点B 在同一水平线上，现从C ，D 两点测得塔顶A 的仰角分别为45°和30°，则塔AB 的高约为(精确到0.1 m ，3≈1.73，2≈1.41)( )A ．36.5B ．115.6C ．120.5D ．136.52.某中学举行升旗仪式，如图所示，在坡度为15°的看台上，从正对旗杆的一列的第一排到最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离AB ＝10 6 m ，则旗杆CD 的高度为________m.3．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？.课后巩固练习：1 .设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若b cos C+c cos B=a sin A ,则△ABC 的形状为( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定 2.在△ABC中，若AB ，120C ∠= ,则AC = （ ）（A ）1（B ）2（C ）3（D ）43.的内角的对边分别为，若，，，则 ．4.已知a ,b ,c 分别为△ABC 三个内角A ,B ,C 的对边,a cossin C-b-c=0. (1)求A ; 5.设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c , a=b tan A , 且B 为钝角. (1)证明:B-A=; (2)求sin A+sin C 的取值范围.6.ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =（I ）求C ；（II）若c ABC △的面积为2，求ABC △的周长．7.已知a ,b ,c 分别为△ABC 三个内角A ,B ,C 的对边,a cossin C-b-c=0. (1)求A ; (2)若a=2,△ABC求b ,c.8.在ABC 中，.（1）求 的大小； （2的最大值.9.设锐角三角形的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2sin a b A =. （1）求B 的大小；（2）求cos sin A C +的取值范围. ABC ∆,,A B C ,,a b c 4cos 5A =5cos 13C =1a =b =∆222+=a c b B ∠cos cos A C +10.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 （Ⅰ）证明：a +b =2c ; （Ⅱ）求cos C 的最小值.11.设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3cos =B a ，4sin =A b （1）求边长a ；（2）若ABC △的面积S=10，求ABC △的周长。
高中数学二轮复习三角函数与解三角形教案含答案(全国通用)
专题三 三角函数与解三角形必考点一 三角恒等变换与求值[高考预测]——运筹帷幄1．三角函数定义、诱导公式与和差倍半角公式结合进行三角恒等变换、求三角函数值．2．结合简单的三角函数图象，求三角函数值或角度．[速解必备]——决胜千里1．诱导公式都可写为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋α或cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋α的形式． 根据k 的奇偶性：“奇变偶不变(函数名)，符号看象限”．2．公式的变形与应用(1)两角和与差的正切公式的变形tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．(2)升幂公式1＋cos α＝2cos 2α2；1－cos α＝2sin 2α2.(3)降幂公式sin 2α＝1－cos 2α2；cos 2α＝1＋cos 2α2. (4)其他常用变形sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α； cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α； 1±sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2±cos α22； tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α. 3．角的拆分与组合(1)已知角表示未知角例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＋π3.(2)互余与互补关系例如，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－α＝π，⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝π2.(3)非特殊角转化为特殊角例如，15°＝45°－30°，75°＝45°＋30°.[速解方略]——不拘一格类型一 三角函数概念，同角关系及诱导公式[例1] (1)(2016·高考全国乙卷)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.解析：基本法：将θ－π4转化为⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2.由题意知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，θ是第四象限角，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4>0，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45.tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2＝－1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－4535＝－43.答案：－43速解法：由题意知θ＋π4为第一象限角，设θ＋π4＝α，∴θ＝α－π4，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α.如图，不妨设在Rt △ACB 中，∠A ＝α，由sin α＝35可得，BC ＝3，AB ＝5，AC ＝4，∴∠B ＝π2－α，∴tan B ＝43，∴tan B ＝－43.答案：－43错误!(2)若tan α＞0，则( )A ．sin α＞0B ．cos α＞0C ．sin 2α＞0D ．cos 2α＞0解析：基本法：由tan α＞0得α是第一或第三象限角，若α是第三象限角，则A ，B 错；由sin 2α＝2sin αcos α知sin 2α＞0，C 正确；α取π3时，cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1＝－12＜0，D 错．故选C. 速解法：∵tan α＝sin αcos α＞0，即sin αcos α＞0，∴sin 2α＝2sin αcos α＞0，故选C.答案：C方略点评：(1)基本法根据α的可能象限判断符号.,速解法是根据tan α及sin 2α的公式特征判断符号，更简单.(2)知弦求弦.利用诱导公式及平方关系sin 2α＋cos 2α＝1求解.(3)知弦求切.常通过平方关系、对称式sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α建立联系，注意tan α＝sin αcos α的灵活应用.(4)知切求弦.通常先利用商数关系转化为sin α＝tan α·cos α的形式，然后利用平方关系求解.1．(2016·河北唐山模拟)已知2sin 2α＝1＋cos 2α，则tan 2α＝( )A ．－43 B.43C ．－43或0 D.43或0解析：基本法：∵⎩⎨⎧ 2sin 2α＝1＋cos 2αsin 22α＋cos 22α＝1， ∴⎩⎨⎧ sin 2α＝0cos 2α＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧ sin 2α＝45，cos 2α＝35.∴tan 2α＝0或tan 2α＝43.答案：D2．已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________．解析：基本法：由sin α＋2cos α＝0得tan α＝－2.∴2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1＝2×(－2)－1(－2)2＋1＝－55＝－1. 答案：－1类型二 三角函数的求值与化简[例2] (1)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )A ．－32 B.32C ．－12 D.12解析：基本法：原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12，故选D.速解法：从题目形式上看应是sin(α＋β)公式的展开式．又∵20°＋10°＝30°，故猜想为sin 30°＝12.答案：D方略点评：基本法是构造sin (α＋β)的形式，再逆用公式.速解法是根据三角函数的特征猜想，大胆猜想也是一种方法.(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( ) A ．3α－β＝π2 B ．3α＋β＝π2C ．2α－β＝π2D ．2α＋β＝π2解析：基本法：由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋sin βcosα，所以sin(α－β)＝cos α，又cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，所以sin(α－β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以－π2＜α－β＜π2，0＜π2－α＜π2，因为α－β＝π2－α，所以2α－β＝π2，故选C.速解法一：∵tan α2＝1－cos αsin α，由tan α＝1＋sin βcos β知，α、β应为2倍角关系，A 、B 项中有3α，不合题意，C 项中有2α－β＝π2.把β＝2α－π2代入1＋sin βcos β＝1＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π2 ＝1－cos 2αsin 2α＝tan α，题设成立．故选C.速解法二：1＋sin βcos β＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋βsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β2 ∴tan α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β2 又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4， ∴π4＋β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴α＝π4＋β2，。
2019-2020年高考数学复习第二轮解三角形专题复习教案
∴ a2+c 2-ac=1,
∴(a+c) 2 +3(a-c) 2=4,
∴ (a+c) 2 =4-3(a-c) 2 .
∵ 0≤ a-c<1 ∴ 0≤ 3(a-c) 2<3, ∴4-3(a-c) 2 ≤ 4,
2
即 (a+c) ≤ 4, a+c ≤ 2a+c>1,
1<a+c
≤ 2．
思维点拨： 边角互化是解三角形问题常用的手段．
例４ ．已知⊙ O 的半径为 R，，在它的内接三角形 ABC 中，有
2R sin 2 A sin 2 C
2a b sin B 成立，求△ ABC 面积 S 的最大值．
解：由已知条件得
2
2R
sin 2 A
sin 2 B
2R sin B
2a b ．即有 ，
又
∴．
∴S
1 ab sin C
2
2 ab 4
由正弦定理 :,得 a+c=(sinA+sinC)= (sinA+sinC)= [sinA+sin(120 °－ A)]=2sin(A+30 ° )，因为
0° <A<120 °，所以 30° <A+30 °<150 ° ,故 1<2sin(A+30 ° )≤ 2.
法二．∵ B=60° ,b=1 ，∴ a2+c2-b 2=2accos60 ° , ∴ a2+c2-1=ac,
S= pr = ( 其中 p=, r 为内切圆半径 ) 射影定理： a = bcosC + ccosB； b = acosC + ccosA； c = acosB + bcosA （二）例题分析： 例 1．在Δ ABC 中，已知 a=,b=,B=45 °，求 A,C 及边 c．
2019年高考数学二轮复习(11)解三角形教案
2019年高考数学二轮复习（11）解三角形教案【专题要点】正、余弦定理公式及其变形公式，三角形面积公式，三角形形状的判断（化边为角或化角为边），正、余弦定理的应用举例（如：测量距离问题，测量高度问题，测量角度问题，计算面积问题、航海问题、物理问题等）【考纲要求】1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题【知识纵横】2222222222sin sin sin (1)::sin :sin :sin (2)2sin ,2sin ,2sin (3)sin ,sin ,sin 2222cos ,2cos ,2cos a b c R A B C a b c A B C a R A b R B c R C a b c A B C R R R b c bc A a c ac B a b ab ⎧===⎪⎪⎧⎪⎪⎪=⎨⎪⎪===⎨⎪⎪⎪⎪===⎪⎩⎩=+-=+-=+-（1）公式：正弦定理（2）变形公式：解三角形（1）公式：a b c 余弦定理222222222cos ,cos ,cos 222:(1):(2)C b c a c a b A B C bc ac ab A B A B ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎨+++===⎪⎩⎧⎧⎫⎨⎪⎪⎪⎩⎪---→⎨⎬⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎭⎩⎩-a -b -c （2）变形公式：已知两角及任一边，求其它边角正弦定理解决两类问题：：已知两边及一边的对角，求其它边角正、余弦定理在解三角形中的应用实际应用已知两角及夹角问题余弦定理解决两类问题：：已知三边问题⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ 【教法指引】本节是高考必考内容，重点为正余弦定理及三角形面积公式，考题灵活多样，因此，在实际教学中应注意：1．根据教学实际，启发学生不断提出问题，研究问题。
在对于正弦定理和余弦定理的证明的探究过程中，应该因势利导，根据具体教学过程中学生思考问题的方向来启发学生得到自己对于定理的证明。
2019最新高考数学二轮复习 专题一第2讲 三角恒等变换与解三角形学案(考试专用)
第2讲 三角恒等变换与解三角形[考情考向分析] 正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：1.边和角的计算.2.三角形形状的判断.3.面积的计算.4.和三角函数的图象、性质有关的参数的范围问题．热点一 三角恒等变换 1．三角求值“三大类型”“给角求值”“给值求值”“给值求角”． 2．三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等．(2)项的拆分与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等．(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化：一般是切化弦．例1 (1)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝45，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α等于( )A.2325 B ．－2325 C.725 D ．－725 答案 D解析 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝45，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝45，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－725.(2)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则β等于( ) A.5π12 B.π3 C.π4 D.π6答案 C解析 因为α，β均为锐角，所以－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－1010，所以cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55，所以cos α＝255， 所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55×31010－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝22. 所以β＝π4.思维升华 (1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现“张冠李戴”的情况．(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解． 跟踪演练1 (1)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝________.答案 23－4解析 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6， ∴－sin α＝－3sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6，∴sin α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝3sin αcos π6＋3cos αsin π6 ＝332sin α＋32cos α， ∴tan α＝32－33，又tan π12＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π4＝tan π3－tanπ41＋tan π3tanπ4＝3－11＋3＝2－3，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝tan π12＋tan α1－tan π12tan α＝()2－3＋32－331－()2－3×32－33＝23－4.(2)若2cos 2θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝3sin 2θ，则sin 2θ等于( )A.13 B ．－23 C.23 D ．－13 答案 B解析 由题意得2cos 2θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝2(cos 2θ－sin 2θ)22(cos θ－sin θ)＝2(cos θ＋sin θ)＝3sin 2θ，将上式两边分别平方，得4＋4sin 2θ＝3sin 22θ， 即3sin 22θ－4sin 2θ－4＝0，解得sin 2θ＝－23或sin 2θ＝2(舍去)，所以sin 2θ＝－23.热点二 正弦定理、余弦定理 1．正弦定理：在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sinB ∶sinC 等．2．余弦定理：在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.例2 (2017·全国Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2. (1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积．解 (1)由已知可得tan A ＝－3，所以A ＝2π3.在△ABC 中，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 即28＝4＋c 2－4c ·cos 2π3，即c 2＋2c －24＝0，解得c ＝－6(舍去)或c ＝4. 所以c ＝4.(2)由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6. 故△ABD 的面积与△ACD 的面积的比值为 12AB ·AD ·sin π612AC ·AD ＝1.又△ABC 的面积为12×4×2sin∠BAC ＝23，所以△ABD 的面积为 3.思维升华 关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．跟踪演练2 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知B ＝60°，c ＝8. (1)若点M ，N 是线段BC 的两个三等分点，BM ＝13BC ，ANBM ＝23，求AM 的值；(2)若b ＝12，求△ABC 的面积．解 (1)由题意得M ，N 是线段BC 的两个三等分点， 设BM ＝x ，则BN ＝2x ，AN ＝23x ， 又B ＝60°，AB ＝8，在△ABN 中，由余弦定理得12x 2＝64＋4x 2－2×8×2x cos 60°， 解得x ＝2(负值舍去)，则BM ＝2. 在△ABM 中，由余弦定理，得AB 2＋BM 2－2AB ·BM ·cos B ＝AM 2，AM ＝82＋22－2×8×2×12＝52＝213.(2)在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝csin C， 得sin C ＝c sin B b ＝8×3212＝33.又b >c ，所以B >C ，则C 为锐角，所以cos C ＝63. 则sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝32×63＋12×33＝32＋36， 所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A＝48×32＋36＝242＋8 3.热点三 解三角形与三角函数的综合问题解三角形与三角函数的综合是近几年高考的热点，主要考查三角形的基本量，三角形的面积或判断三角形的形状．例 3 (2018·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6.(1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值． 解 (1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B，可得b sin A ＝a sin B .又由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，得a sin B ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，即sin B ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6，所以tan B ＝ 3. 又因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝7. 由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，可得sin A ＝217 .因为a <c ，所以cos A ＝277.因此sin 2A ＝2sin A cos A ＝437，cos 2A ＝2cos 2A －1＝17.所以sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314. 思维升华 解三角形与三角函数的综合题，要优先考虑角的范围和角之间的关系；对最值或范围问题，可以转化为三角函数的值域来求解． 跟踪演练3 已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫7π6－2x －1(x ∈R )．(1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝12，若b ＋c ＝2a ，且AB →·AC→＝6，求a 的值． 解 (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫7π6－2x ＋2cos 2x －1＝－12cos 2x ＋32sin 2x ＋cos 2x＝12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，可解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)由f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12，可得2A ＋π6＝π6＋2k π或2A ＋π6＝5π6＋2k π(k ∈Z )．∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3，∵AB →·AC →＝bc cos A ＝12bc ＝6，∴bc ＝12，又∵2a ＝b ＋c ，∴cos A ＝12＝(b ＋c )2－a 22bc －1＝4a 2－a 224－1＝a28－1，∴a ＝2 3.真题体验1．(2017·山东改编)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是______．(填序号)①a ＝2b; ②b ＝2a; ③A ＝2B; ④B ＝2A . 答案 ①解析 ∵等式右边＝sin A cos C ＋(sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A cos C ＋sin(A ＋C )＝sinA cos C ＋sinB ，等式左边＝sin B ＋2sin B cos C ，∴sin B ＋2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin B . 由cos C >0，得sin A ＝2sin B . 根据正弦定理，得a ＝2b .2．(2018·全国Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________. 答案 －12解析 ∵sin α＋cos β＝1，① cos α＋sin β＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1， ∴sin αcos β＋cos αsin β＝－12，∴sin(α＋β)＝－12.3．(2018·全国Ⅲ改编)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝________. 答案π4解析 ∵S ＝12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24＝2ab cos C4＝12ab cos C ， ∴sin C ＝cos C ，即tan C ＝1. 又∵C ∈(0，π)，∴C ＝π4.4．(2018·全国Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin C ＋c sin B ＝4a sinB sinC ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为________．答案233解析 ∵b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ， ∴由正弦定理得sin B sin C ＋sin C sin B ＝4sin A sin B sin C . 又sin B sin C >0，∴sin A ＝12.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝82bc ＝4bc>0，∴cos A ＝32，bc ＝4cos A ＝833， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×833×12＝233.押题预测1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝23，sin B ＝5cos C ，并且a ＝2，则△ABC 的面积为________．押题依据 三角形的面积求法较多，而在解三角形中主要利用正弦、余弦定理求解，此题很好地体现了综合性考查的目的，也是高考的重点． 答案52解析 因为0<A <π，cos A ＝23，所以sin A ＝1－cos 2A ＝53. 又由5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53cos C ＋23sin C 知，cos C >0， 并结合sin 2C ＋cos 2C ＝1，得sin C ＝56，cos C ＝16.于是sin B ＝5cos C ＝56.由a ＝2及正弦定理a sin A ＝csin C ，得c ＝ 3.故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝52.2．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－23sin x cos x (x ∈R )．(1)求函数f (x )的最小正周期及f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值；(2)将函数f (x )的图象向右平移π12个单位长度，得到函数g (x )的图象，试求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值．押题依据 三角函数是高考的热点问题，是解答题的重要考查题型．利用三角恒等变换将函数转化为“一角一函数”的形式是解决此类问题的关键，换元法与整体代换法是最基本的解决方法．考查重点是三角函数的图象与性质，有时会与解三角形问题进行综合考查． 解 (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－23sin x cos x＝32sin 2x ＋12cos 2x －3sin 2x ＝12cos 2x －32sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×π4＋π3＝－32.(2)g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π3＝ cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6.所以当2x ＋π6＝π，即x ＝5π12时，g (x )取得最小值，此时g (x )min ＝－1.3．已知f (x )＝sin(ωx ＋φ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－f (x )，若其图象向左平移π6个单位长度后得到的函数为奇函数．(1)求f (x )的解析式；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2c －a )cos B ＝b cos A ，求f (A )的取值范围．押题依据 三角函数是高考考查的重点，是解答题的常考题型，常与解三角形相结合，此题很好地体现了综合性，是高考中的热点．解 (1)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－f (x )，∴f (x ＋π)＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝f (x )，∴T ＝π，∴ω＝2，则f (x )的图象向左平移π6个单位长度后得到的函数为g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，而g (x )为奇函数，则有π3＋φ＝k π，k ∈Z ，而|φ|<π2，则有φ＝－π3，从而f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.(2)∵(2c －a )cos B ＝b cos A ，由正弦定理得2sin C cos B ＝sin(A ＋B )＝sin C ，又C ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin C ≠0，∴cos B ＝12，∴B ＝π3.∵△ABC 是锐角三角形，C ＝2π3－A <π2， ∴π6<A <π2，∴0<2A －π3<2π3， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π3∈(0,1]，∴f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π3∈(0,1]．A 组 专题通关1．(2018·全国Ⅲ)若sin α＝13，则cos 2α等于( )A.89B.79 C ．－79 D ．－89 答案 B解析 ∵sin α＝13，∴cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79.2．tan 70°＋tan 50°－3tan 70°tan 50°的值为( ) A. 3 B.33 C ．－33D ．－ 3 答案 D解析 因为tan 120°＝tan 70°＋tan 50°1－tan 70°tan 50°＝－3，即tan 70°＋tan 50°－3tan 70°tan 50°＝－ 3.3．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A ＝bc，则该三角形为( ) A ．等腰三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形 D ．直角三角形答案 D解析 由cos A ＝b c ，即b 2＋c 2－a 22bc ＝bc，化简得c 2＝a 2＋b 2， 所以△ABC 为直角三角形．4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－3bc ，sin C ＝2cos B ，则( )A ．A ＝π3B ．B ＝π4 C ．c ＝3b D ．c ＝2a答案 D解析 在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 又a 2＝b 2＋c 2－3bc ，所以cos A ＝32， 又A ∈(0，π)，所以A ＝π6，则sin C ＝2cos B ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－C＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 5π6cos C ＋sin 5π6sin C＝－3cos C ＋sin C ，则cos C ＝0，又C ∈(0，π)，所以C ＝π2，所以B ＝π3，在△ABC 中，由正弦定理得a sin π6＝b sin π3＝csinπ2， 化简得c ＝233b ＝2a .综上所述，选D.5．已知α为锐角，则2tan α＋3tan 2α的最小值为( )A ．1B ．2 C. 2 D. 3 答案 D解析 方法一 由tan 2α有意义，α为锐角可得α≠45°， ∵α为锐角，∴tan α>0，∴2tan α＋3tan 2α＝2tan α＋3(1－tan 2α)2tan α＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫tan α＋3tan α≥12×2tan α·3tan α＝3，当且仅当tan α＝3tan α，即tan α＝3，α＝π3时等号成立．故选D.方法二 ∵α为锐角，∴sin α>0，cos α>0， ∴2tan α＋3tan 2α＝2sin αcos α＋3cos 2αsin 2α＝4sin 2α＋3cos 2α2sin αcos α＝sin 2α＋3cos 2α2sin αcos α＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫sin αcos α＋3cos αsin α≥12×2sin αcos α·3cos αsin α＝3， 当且仅当sin αcos α＝3cos αsin α，即α＝π3时等号成立．故选D.6．(2018·浙江省台州中学统考)已知sin α＝12＋cos α且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin 2α＝________，cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4的值为__________．答案 34 －142解析 由sin α＝12＋cos α，得sin α－cos α＝12，①两边平方得(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝14，则sin 2α＝34.因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α>0，cos α>0，则sin α＋cos α＝(sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α＝72，② 联立①②解得cos α＝7－14， 则cos 2α＝2cos 2α－1＝－74， 又由sin α－cos α＝12得，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝12， 则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝24，所以cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－7424＝－142.7．(2018·杭州模拟)设△ABC 内切圆与外接圆的半径分别为r 与R ，且sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos C ＝________；当BC ＝1时，△ABC 的面积为________． 答案 －14 31516解析 ∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4， ∴由正弦定理得a ∶b ∶c ＝2∶3∶4. 令a ＝2t ，b ＝3t ，c ＝4t ， 则cos C ＝4t 2＋9t 2－16t 212t 2＝－14， ∴sin C ＝154. 当BC ＝1时，AC ＝32，∴S △ABC ＝12×1×32×154＝31516.8．(2018·温州市适应性测试)在△ABC 中，AD 为边BC 上的中线，AB ＝1，AD ＝5，B ＝45°，则sin∠ADC ＝________，AC ＝________. 答案210113解析 在△ABD 中，由正弦定理得AB sin∠ADB ＝ADsin B，则sin∠ADB ＝AB sin B AD ＝1×225＝210，则sin∠ADC ＝sin(π－∠ADB )＝sin∠ADB ＝210. 在△ABD 中，由余弦定理得AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B ，即52＝12＋BD 2－2BD cos 45°，解得BD ＝42(舍负)，则BC ＝2BD ＝82， 在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B＝12＋(82)2－2×1×82cos 45°＝113， 所以AC ＝113.9．(2018·浙江)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45.(1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝513，求cos β的值．解 (1)由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45，得sin α＝－45.所以sin(α＋π)＝－sin α＝45.(2)由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45，得cos α＝－35.由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α，得cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，所以cos β＝－5665或cos β＝1665.10．(2018·浙江省重点中学联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知2b cos C ＝2a －3c . (1)求B 的大小；(2)若CA →＋CB →＝2CM →，且|CM →|＝1，求△ABC 面积的最大值． 解 (1)由2b cos C ＝2a －3c 及正弦定理， 得2sin B cos C ＝2sin A －3sin C ， 即2sin B cos C ＝2sin(B ＋C )－3sin C ， ∴2sin C cos B ＝3sin C ，∵C ∈(0，π)，∴sin C ≠0，∴cos B ＝32， 又B ∈(0，π)，∴B ＝π6.(2)由条件知，M 为AB 的中点， ∴在△BCM 中，由余弦定理可得cos B ＝BM 2＋BC 2－12BM ·BC ＝32，∴BM 2＋BC 2＝1＋3BM ·BC ≥2BM ·BC ，∴BM ·BC ≤2＋3，当且仅当BM ＝BC 时等号成立． 又S △ABC ＝12BC ·BA sin π6＝12BC ·BM ≤1＋32，∴△ABC 面积的最大值是1＋32. B 组 能力提高11．已知2sin θ＝1－cos θ，则tan θ等于( ) A ．－43或0B.43或0 C ．－43D.43答案 A解析 因为2sin θ＝1－cos θ，所以4sin θ2cos θ2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2sin 2θ2＝2sin 2θ2，解得sin θ2＝0或2cos θ2＝sin θ2，即tan θ2＝0或2，又tan θ＝2tanθ21－tan2θ2，当tan θ2＝0时，tan θ＝0；当tan θ2＝2时，tan θ＝－43.12．在锐角△ABC 中，角A 所对的边为a ，△ABC 的面积S ＝a 24，给出以下结论：①sin A ＝2sin B sin C ； ②tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ；③tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ； ④tan A tan B tan C 有最小值8. 其中正确结论的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 D解析 由S ＝a 24＝12ab sin C ，得a ＝2b sin C ，又a sin A ＝bsin B，得sin A ＝2sin B sin C ，故①正确； 由sin A ＝2sin B sin C ，得sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ， 两边同时除以cos B cos C ，可得tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ，故②正确； 因为tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ，且tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C ， 所以tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－tan C ，整理移项得tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ， 故③正确；由tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ， tan A ＝－tan(B ＋C )＝tan B ＋tan Ctan B tan C －1，且tan A ，tan B ，tan C 都是正数，得tan A tan B tan C ＝tan B ＋tan Ctan B tan C －1·tan B tan C＝2tan B tan C tan B tan C －1·tan B tan C ＝2(tan B tan C )2tan B tan C －1， 设m ＝tan B tan C －1，则m >0， tan A tan B tan C ＝2(m ＋1)2m＝2⎝⎛⎭⎪⎫m ＋1m ＋4≥4＋4m ·1m＝8，当且仅当m ＝tan B tan C －1＝1， 即tan B tan C ＝2时取“＝”，此时tan B tan C ＝2，tan B ＋tan C ＝4，tan A ＝4， 所以tan A tan B tan C 的最小值是8，故④正确，故选D. 13．(2018·北京)若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，且∠C 为钝角，则∠B ＝________；c a的取值范围是________． 答案π3(2，＋∞) 解析 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，∴a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ．又∵S ＝34(a 2＋c 2－b 2)， ∴12ac sin B ＝34×2ac cos B ，∴tan B ＝3， 又∠B ∈(0，π)，∴∠B ＝π3.又∵∠C 为钝角，∴∠C ＝2π3－∠A >π2，∴0<∠A <π6.由正弦定理得c a ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－∠A sin A＝32cos A ＋12sin A sin A ＝12＋32·1tan A .∵0<tan A <33，∴1tan A>3，∴c a >12＋32×3＝2，即c a>2. ∴c a的取值范围是(2，＋∞)．14．如图，在△ABC 中，D 为边BC 上一点，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2.(1)如图1，若AD ⊥BC ，求∠BAC 的大小； (2)如图2，若∠ABC ＝π4，求△ADC 的面积．解 (1)设∠BAD ＝α，∠DAC ＝β. 因为AD ⊥BC ，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2， 所以tan α＝12，tan β＝13，所以tan∠BAC ＝tan(α＋β) ＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12＋131－12×13＝1. 又∠BAC ∈(0，π)，所以∠BAC ＝π4.(2)设∠BAD ＝α.在△ABD 中，∠ABC ＝π4，AD ＝6，BD ＝3.由正弦定理得AD sinπ4＝BD sin α，解得sin α＝24.因为AD >BD ，所以α为锐角，从而cos α＝1－sin 2α＝144. 因此sin∠ADC ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4 ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫24＋144＝1＋74. 所以△ADC 的面积S ＝12×AD ×DC ·sin∠ADC＝12×6×2×1＋74＝32(1＋7)．。
2019届二轮复习 解三角形 教案 (全国通用)
第1页教师姓名学生姓名 年 级 高一 上课时间学 科数学课题名称解三角形1一．知识梳理：1.三角形面积公式 (1)111sin sin sin 222ABC S ab C ac B bc A ∆=== (2)1()2a a S a h h a =表示边上的高 (3)111sin sin sin ()2224abcS ab C ac B bc A R R====为外接圆半径C B A R sin sin sin 22= 2.正余弦定理 (1)正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C=== (2)余弦定理：2222222222cos ,2cos ,2cos .a b c bc A b c a ac B c a b ab C =+-=+-=+-；(3)变形形式：①C R c B R b A R a sin 2;sin 2;sin 2===； ②;2sin ;2sin ;2sin Rc C R b B R a A ===解三角形1第2页③C B A c b a sin :sin :sin ::= ④sin sin sin sin a b c aA B C A++=++⑤acb c a C ab c a b B bc a c b A 2cos ;2cos 2cos 222222222-+=-+=-+=；；(4)解决的问题类型：①正弦定理已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角②余弦定理已知三边，求各角；已知两角和它们的夹角，求第三边和其他两个角。
3.三角形中常见的结论(1)在ABC ∆中B A sin sin >是B A >的充要条件B A b a Rb R a B A >⇔>⇔>⇔>22sin sin (2)B A B A B A B A B A =⇔==+=⇔=2cos 2cos ;902sin 2sin 0或 (3)C B A ,,成等差数列060=⇔B(4)C B A ,,成等差数列，c b a ,,成等比数列ABC ∆⇔为等边三角形 (5)sin()sin ;cos()cos ;tan()tan ;sincos ;cos sin .2222A B C A B CA B C A B C A B C +++=+=-+=-== (6)在ABC ∆中，C B A C B A tan tan tan tan tan tan ⋅⋅=++二、例题讲解：1. 基础梳理1：公式应用（知三求一）例1．在ABC ∆中，23,45,62,a B c ︒===+解此三角形.答案：22,60,75.b A C ︒︒===例2．在ABC ∆中，45,60,2(31),B C a ︒︒===+求ABC ∆的面积S . 答案：62 3.S =+例3．在△ABC 中，10ABC S ∆=，10a = 外接圆直径226R =.求△ABC 的周长. 答案： 10(31)+.例4．在ABC ∆中，c b a 、、为角C B A 、、所对的三边，已知222+c b a bc -=．第3页（1）求角A 的值；（2）若3a =，3cos 3C =，求c 的长. 答案：（1）3A π∴=；（2）263例5．在ABC △中，若43tan =A ，︒=120C ，32=BC ，则AB =（ ）A .3B .4C .5D .6答案：C例6．已知△ABC 中，A B C >>，2A C =，4b =，22645a c -=，求a 、c 的值. 答案：∵2A C =，∴2sinA sinCcosC =.即2a ccosC =.又2222a b c cosC ab+-=，4b =，22645a c -=，∴2365a c =，22222a b c a c ab+-=⋅.2366455c c ∴-=.解得165c =或4c =.由,4A B C b >>=知4c =不合题意， 所以165c =，2361624,555a a =⨯=，即2416,55a c ==. 例7．如图，在△ABC 中，若∠B=90°，∠ACD=45°，BC=3，BD=1，求AD 的值答案：52. 基础梳理2：公式应用（边角互化）例8．在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，23a =，tantan 4,22A B C++=2sin cos sin B C A =，求,A B 及,b c答案：6B π=，23A π=，2b c ==第4页【解析】由tantan 422A B C ++=得cot tan 422C C+= ∴cossin224sin cos 22C CC C += ∴14sin cos22C C =∴1sin 2C =，又(0,)C π∈ ∴566C C ππ==，或由2sin cos sin B C A =得 2sin cos sin()B B B C =+ 即sin()0B C -= ∴B C =，6B C π==2()3A B C ππ=-+=由正弦定理sin sin sin a b cA B C ==得1sin 2232sin 32B b c a A ===⨯=例9．在ABC ∆中，,,a b c 分别是,,A B C ∠∠∠的对边长，已知2ac b =，且22a c ac bc -=-，求A ∠的大小及sin b Bc的值. 答案：60A ∠=；2sin sin 60sin 60b B b c ac︒===23.例10．已知()()3a b c b c a bc +++-=，则A ∠=_______. 答案：3π【解析】由已知得22()3b c a bc +-=，∴222b c a bc +-=，∴bc a c b 2222-+=21.∴π3A ∠=.例11．在ABC ∆中，设,3,2π=-=+C A b c a 求B sin 的值。
专题 解三角形-2019年高考文数母题题源系列(全国Ⅱ专版)(解析版)
专题15 解三角形【母题来源一】【2019年高考全国Ⅱ卷文数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b sin A +a cos B =0，则B =___________. 【答案】3π4【解析】由正弦定理，得sin sin sin cos 0B A A B +=．(0,),(0,)A B ∈π∈π，sin 0,A ∴≠∴sin cos 0B B +=，即tan 1B =-，3.4B π∴=【名师点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取定理法，利用转化与化归思想解题．本题容易忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在(0,π)范围内，化边为角，结合三角函数的恒等变化求角．【母题来源二】【2018年高考全国Ⅱ卷文数】在ABC △中，cos 2C =，1BC =，5AC =，则AB =A ． BCD ．【答案】A【解析】因为cos2C =，所以cos C =22cos 2C −1=2×2−1=35-.于是，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2=AC 2+BC 2−2AC ×BC ×cos C =52+12−2×5×1×(35-)=32，所以AB =故选A.【名师点睛】本题主要考查二倍角公式、余弦定理，考查考生的运算求解力，考查的数学核心素养是数学运算.解三角形是近几年高考中的高频者点，将解三角形与其他知识巧妙地融合在一起，既体现了试题设计的亮点，又体现了对所学知识的交汇考查.【母题来源三】【2017年高考全国Ⅱ卷文数】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos cos b B a C c A=+，则B = .【答案】π3【解析】由正弦定理可得1π2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23B B AC C A A C B B B =+=+=⇒=⇒=. 故答案为π3. 【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.【命题意图】三角函数解答题主要考查利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题,常与同角三角函数的关系、诱导公式、和差角公式,甚至三角函数的图象和性质等交汇命题,多以解答题的形式出现,属解答题中的低档题．预测今后的高考仍将以正弦定理、余弦定理,尤其是两个定理的综合应用为主要考点,可能与三角函数的图象和性质等交汇命题,重点考查计算能力以及应用数学知识分析和解决问题的能力． 【命题规律】本考点一直是高考的热点，尤其是已知边角求其他边角，判断三角形的形状，求三角形的面积考查比较频繁，既有直接考查两个定理应用的选择题或填空题，也有考查两个定理与和差公式、倍角公式及三角形面积公式综合应用的解答题，解题时要掌握正、余弦定理及灵活运用，注意函数与方程思想、转化与化归思想在解题中的应用. 【应试技巧】在ABC △中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则 1．正弦定理：sin sin sin a b c==A B C. 2．常见变形sin sin sin 1,,,sin sin ,sin sin ,sin sin ;sin sin sin A a C c B b a B b A a C c A b C c B B b A a C c ======（）2;sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin a b c a b a c b c a b c A B C A B A C B C A B C+++++======+++++（）3::sin :sin :sin ;a b c A B C =（）3．余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即2222222222cos ,2cos 2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+-， 4．余弦定理的推论从余弦定理，可以得到它的推论222222222cos ,cos ,cos 222b c a c a b a b c A B C bc ca ab+-+-+-===5．三角形面积公式（1）三角形的高的公式：h A =b sin C =c sin B ,h B =c sin A =a sin C ,h C =a sin B =b sin A ． （2）三角形的面积公式：S =21ab sin C ，S =21bc sin A ，S =21ca sin B. 6．正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题：（1）已知两角和任意一边，求其他的边和角；（2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角．7．三角形解的个数的探究（以已知a b ，和A 解三角形为例） （1）从代数角度来看：①若sin sin 1b AB=a>，则满足条件的三角形的个数为0，即无解；②若sin sin 1b A B=a =，则满足条件的三角形的个数为1；③若sin sin 1b A B=a<，则满足条件的三角形的个数为1或2.注：对于（3），由sin 0sin 1b AB=a<<可知B 可能为锐角，也可能为钝角，此时应由“大边对大角”“三角形内角和等于180°”等进行讨论.（2）从几何角度来看：①当A 为锐角时，一解一解两解无解4===2.sin sin sin a b c R R ABC A B C（）正弦定理的推广：，其中为△外接圆的半径②当A为钝角或直角时，一解一解无解无解8．利用余弦定理解三角形的步骤【解题经验分享】1．对三角形中的不等式,要注意利用正弦、余弦的有界性进行适当“放缩”．2．在解实际问题时,需注意的两个问题(1)要注意仰角、俯角、方位角等名词,并能准确地找出这些角；(2)要注意将平面几何中的性质、定理与正、余弦定理结合起来,发现题目中的隐含条件,才能顺利解决．3.利用正弦定理与余弦定理解题时,经常用到转化思想一个是把边转化为角,另一个是把角转化为边,,具体情况应根据题目给定的表达式进行确定,不管哪个途径,最终转化为角的统一或边的统一,也是我们利用正弦定理与余弦定理化简式子的最终目标,对于两个定理都能用的题目,应优先考虑利用正弦定理,会给计算带来相对的简便,根据已知条件中边的大小来确定角的大小,此时利用正弦定理去计算较小边所对的角,可避免分类讨论,利用余弦定理的推论,可根据角的余弦值的正负直接确定所求角是有锐角还是钝角,但计算麻烦.△中，角A，B，C的对边分别为a，1．【陕西省西安市2019届高三第三次质量检测数学试题】在ABCC=︒，则c=b，c，若ABC△的面积和周长分别为20，60A．7B．8C．5D．6【答案】A【解析】由题意可得，11sin sin6022ABC S ab C ab ==︒△，∴1sin602ab ︒=40ab =. ∵20a b c ++=，∴20c a b -=+．由余弦定理可得，()()222222cos60320120c a b ab a b ab c =+-︒=+-=--， 解得7c =．故选A ．【名师点睛】本题考查利用余弦定理和面积公式解三角形.在运用余弦定理时常用到()2222a b a b ab +=+-.2．【陕西省汉中市略阳天津高级中学、留坝县中学、勉县二中等12校2019届高三下学期校际联考数学试题】在ABC △中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若2b c =，a =7cos 8A =，则ABC △的面积为AB ．3C D 【答案】D【解析】在ABC △中，2227cos 28b c a A bc +-==，将2b c =，a =22246748c c c +-=， 解得：2c =，由7cos 8A =得sin A ==，所以，11sin 2422ABC S bc A ∆==⨯⨯=故选D.【名师点睛】三角形的面积公式常见形式有两种：一是12⨯（底⨯高），二是1sin 2bc A .借助12（底⨯高）时，需要将斜三角形的高与相应的底求出来；借助1sin 2bc A 时，需要求出三角形两边及其夹角的正弦值.3．【重庆市2019届高三学业质量调研抽测（第二次)4月二诊数学试题卷】在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知3B π=，1cos 3A =，b =，则边c 的长为A． B．C．D．【答案】B【解析】因为1cos 3A =，()0,A ∈π，所以sin 3A =， 在ABC △中()11sin sin 323C A B =+=+=由正弦定理sin sin b c B C=，所以sin sin 6b c C B ===故选B.【名师点睛】本题考查了正弦定理解三角形，属于基础题.4．【辽宁省葫芦岛市普通高中2019届高三第二次模拟考试数学试题】在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC △为锐角三角形，且满足2sin 2tan (2sin cos 2)C A C C =+-，则等式成立的是 A ．2b a = B ．2a b =C ．2A B =D ．2B A =【答案】B【解析】依题意得()2sin 2sin cos 22cos cos 2cos A C C C C A =-+-,2sin sin 12cos cos C AC A=-,()2sin cos cos sin sin A C A C A +=，即sin 2sin A B =，由正弦定理得2a b =，故选B.【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式和两角和的正弦公式，考查三角形内角和定理以及正弦定理边角互化，属于基础题.5．【甘青宁2019届高三3月联考数学试题】在ABC △中，D 为AC 边上一点，若3BD =，4CD =，5AD =，7AB =，则BC =A． BC．D【答案】B【解析】在三角形ABD 中，由余弦定理得254996513cos 2577014A +-===⨯⨯.在三角形ABC 中，由余弦定理得BC ==故选B.【名师点睛】本小题主要考查利用余弦定理计算角的余弦值和边长，属于基础题.6．【宁夏石嘴山市第三中学2019届高三下学期三模考试数学试题】设ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2,a c A ===且b c <，则b =A ．3B ．C ．2D 【答案】C【解析】因为cos A =，所以1sin 2A ==且6A π=，由正弦定理可得：sin sin a c A C=，即：212=，解得：sin 2C =，所以3C π=或23C π=，当3C π=时，362B πππ=π--=，此时B C >，与b c <矛盾，所以3C π=舍去. 当23C π=时，2366B πππ=π--=，由余弦定理可得：2222cos 4122242b ac ac B =+-=+-⨯⨯=， 所以2b =， 故选C.【名师点睛】本题主要考查了正弦定理及三角函数求值，还考查了余弦定理及分类思想，考查计算能力，属于中档题.7．【西南名校联盟重庆市第八中学2019届高三5月高考适应性月考卷（六)数学试题】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若1,sin sin ,234A B C a π===，则ABC △的面积为___________.【解析】由正弦定理得sin ,sin sin 3sin 3a ab B Bc C C A A ====，所以164sin sin 33bc B C ==，从而1sin 2ABC S bc A ==△. 【名师点睛】本题考查了正弦定理、面积公式，正确使用公式是解题的关键.8．【辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三第八次模拟数学试题】在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若222a b ab c ++=，且ABC △，则ab 的最小值为___________. 【答案】48【解析】在ABC △中222a b ab c ++=，结合余弦定理2222cos a b ab C c +-=， 可得1cos 2C =-，所以sin 2C =，1sin 2ab C =代入化简可得4ab c =， 代入222a b ab c ++=中可得222216a b a b ab +=-，因为222a b ab +≥，当且仅当a =b 时取等号，所以22216a b ab ab -≥，解不等式可得48ab ≥， 所以ab 最小值为48.【名师点睛】本题考查了余弦定理及三角形面积公式，不等式在求最值中的应用，属于中档题. 9．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第二次模拟数学试题】在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且2sin c A =，c =ABC △的面积为，则a b +的值为___________. 【答案】52sin c A =2sin sin ,sin 0,sin A C A A C =≠∴=. 在锐角三角形ABC 中，可得3C π=.所以ABC △的面积1sin 2S ab C ===6ab =. 由余弦定理可得222222cos ()3()187c a b ab C a b ab a b =+-=+-=+-=， 解得5a b +=. 故答案为5.【名师点睛】本题主要考查了正余弦定理及三角形面积公式的应用，重点考查了计算能力，属于基础题. 10．【甘肃省白银市靖远县2019届高三第四次联考数学试题】在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若1a =，且BC 边上的高等于tan A ，则ABC △的周长的取值范围为___________.【答案】(2,1+ 【解析】由题可知：11tan sin 22ABC S a A bc A ∆==, 故cos 1bc A =222221122b c a b c bc bc +-+-⇒⋅==，即223b c +=,又22222b c b c ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，则b c +≤当且仅当b c =时，取等号.又1b c a +>=，则21a b c <++≤,所以ABC △的周长的取值范围为(2,1.故填(2,1.【名师点睛】本题考查解三角形中的周长最值问题的求解，关键是能够通过余弦定理建立等量关系，+的最大值，再利用三角形三边关系确定最小值，从而得到取值范围.从而求得b c。
二轮专题复习(二)：三角函数与解三角形
二轮专题复习（二）：三角函数与解三角形•应知已会——熟练 •会而不对——巩固 •对而不全——强化 •全而不优——指导三角函数二轮复习的目标和方向（1）注重任意角三角函数的定义，深化公式的理解记忆 （2）二倍角公式和两角和差公式是化简的核心工具 （3）三角函数的图象与性质是核心（4）解三角形问题要充分利用正、余弦定理以及两角和与差的三角公式 典型例题：一.三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换例1.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=( )A ．45-B ．35-C ．35D ．45变式1.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点(1,)A a ，(2,)B b ，且2cos23α=，则||(a b -= )A ．15B CD ．1变式2.已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点34(,)55P --．(1)求sin()απ+的值； (2)若角β满足5sin()13αβ+=，求cos β的值．例2.若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是( )（A ）πsin()2α+ （B ）πcos()2α+（C ）sin(π)α+ （D ）cos(π)α+变式1.若tan 0α>，则( )A. sin 20α>B. cos 0α>C. sin 0α>D. cos20α>例3.已知α∈(0，)，2sin 2α=cos 2α+1，则sin α=( )A ． BCD变式1．若 ，则( ) A ．B ．C ．1D ． 变式2．若，则tan2α=（ ） A ．−B ．C ．−D ． 变式3．已知，则（ ） A ．B ．C ．D ．变式4．设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则（ ） A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=变式5．已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+= ． 变式6. 已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=_________ 二. 三角函数的图象与性质例 1.动点(),A x y 在圆422=+y x 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12秒旋转一周,已知时间0t =时,点A 的坐标是)3,1(,则动点A 的纵坐标y 关于t （秒）的函数的解析式为 .例2.若()cos sin =-f x x x 在[,]-a a 是减函数，则a 的最大值是( )A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π变式1. 已知0>ω，函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ单调递减，则ω的取值范围是（ ） 2π155353tan 4α=2cos 2sin 2αα+=642548251625sin cos 1sin cos 2αααα+=-34344343210cos 2sin ,=+∈αααR =α2tan 344343-34-A ．]45,21[B ．]43,21[C ．]21,0(D ．]2,0(变式2.函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）．A ．13(,)44k k ππ-+，k Z ∈ B ．13(2,2)44k k ππ-+，k Z ∈ C ．13(,)44k k -+，k Z ∈ D ．13(2,2)44k k -+，k Z ∈ 变式3.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈ 恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是_________________ 例3.函数3()sin(2)3cos 2f x x x π=+-的最小值为 ______ ． 变式1.若x ∈(0,)则2tanx+tan(-x)的最小值为 . 变式2.若，则函数的最大值为 .变式3. 函数xxy cos 3sin 1--=的值域___________.变式4.当时，函数的最小值为__________.例4.函数图像可由函数图像至少向右平移____个单位长度得到．变式1.函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右平移则ϕ=_________。
2019版高考数学二轮复习 第1篇 专题2 三角函数、解三角形学案
专题二三角函数、解三角形年份卷别小题考查大题考查2018全国卷ⅠT8·同角三角函数的基本关系与三角函数的性质—T11·同角三角函数的基本关系与三角恒等变换T16·正、余弦定理与三角形的面积公式全国卷ⅡT7·三角恒等变换与余弦定理的应用—T10·三角恒等变换与三角函数的性质T15·利用三角恒等变换求值全国卷ⅢT6·同角三角函数的基本关系、三角恒等变换与三角函数的性质—T11·三角形的面积公式及余弦定理的应用2017 全国卷ⅠT15·同角三角函数的基本关系、两角差的余弦公式—T11·利用正弦定理解三角形全国卷ⅡT3、T13·三角函数的性质—T16·利用正、余弦定理解三角形全国卷ⅢT4·同角三角函数的基本关系、二倍角公式—T6·诱导公式、三角函数的性质T15·利用正弦定理解三角形2016全国卷ⅠT6·三角函数的图象与变换及性质—T14·同角三角函数基本关系式、诱导公式T4·利用余弦定理解三角形全国卷ⅡT3·已知三角函数图象求解析式—T11·二倍角公式、诱导公式及三角函数的最值问题T15·同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式及利用正弦定理解三角形全国卷ⅢT14·三角函数的图象与变换—T6·三角恒等变换的求值问题T9·解三角形、三角形面积公式解三角形问题重在“变”——变角、变式尽管解三角形的解答题起点低、位置前，但由于其公式多、性质繁，使得不少同学对其有种畏惧感．突破此难点的关键在于“变”——变角与变式，从“变角”来看，主要有：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运用，如：α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＝(β＋α)－(β－α)，α＋β＝2·α＋β2，α＋β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β等．从“变式”来看，在解决解三角形的问题时，常利用正、余弦定理化边为角或化角为边等．【典例】 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c ．(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长． [解题示范] (1)由已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c 及正弦定理得2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ，❶即2cos C sin(A ＋B )＝sin C ，故2cos C sin C ＝sin C ．❷可得cos C ＝12，所以C ＝π3． (2)由已知得12ab sin C ＝332.又C ＝π3，所以ab ＝6．由已知及余弦定理得a2＋b2－2ab cos C＝7，故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25，即a＋b＝5．所以△ABC的周长为5＋7．❶变式：利用正弦定理把已知等式中的边a，b，c变为sin A，sin B，sin C．❷变角：利用两角和的正弦公式及三角形的内角和定理把等式中sin A cos B＋sin B cos A变为sin(A＋B)再变为sin C．“明确思维起点，把握变换方向，抓住内在联系，合理选择公式”是三角变换的基本要诀．在解题时，要紧紧抓住“变”这一核心，灵活运用公式与性质，仔细审题，快速运算.。
2019年高考理数二轮复习名校资料 专题07 三角恒等变换与解三角形 教学案 Word版含解析
2019年高考理数二轮复习名校资料和差角公式、二倍角公式是高考的热点，常与三角函数式的求值、化简交汇命题．既有选择题、填空题，又有解答题，难度适中，主要考查公式的灵活运用及三角恒等变换能力．1．和差角公式(1)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； (2)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．倍角公式 (1)sin2α＝2sin αcos α；(2)cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)tan2α＝2tan α1－tan 2α.3．半角公式 (1)sin α2＝±1－cos α2； (2)cos α2＝±1＋cos α2； (3)tan α2＝±1－cos α1＋cos α；(4)tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.4．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)． 5．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . 【2015高考四川，理12】 .【答案】2【解析】法一、.法二、.法三、.【2015高考浙江，理11】函数的最小正周期是 ，单调递减区间是 ．【答案】π，，Z k ∈.【解析】，故最小正周期为π，单调递减区间为，Z k ∈.【2015高考天津，理15】（本小题满分13分）已知函数，R x ∈(I)求()f x 最小正周期； (II)求()f x 在区间[,]34p p-上的最大值和最小值. 【答案】(I)π; (II),.(II)因为()f x 在区间[,]36p p --上是减函数，在区间[,]64p p-上是增函数，，所以()f x 在区间[,]34p p-12-. 【2015高考重庆，理18】 已知函数（1）求()f x 的最小正周期和最大值； （2）讨论()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性.【答案】（1）最小正周期为p ，最大值为22-；（2）()f x 在5[,]612ππ上单调递增；()f x 在52[,]123ππ上单调递减.【解析】（1）,因此()f x 的最小正周期为p ，最大值为22-.（2）当2[,]63x ππ∈时，有，从而当时,即5612x ππ≤≤时，()f x 单调递增，当时,即时，()f x 单调递减，综上可知，()f x 在5[,]612ππ上单调递增；()f x 在52[,]123ππ上单调递减.【2015高考上海，理14】在锐角三角形C AB 中，1tan 2A =，D 为边CB 上的点，D ∆AB 与CD∆A的面积分别为2和4．过D 作D E ⊥AB 于E ，DF C ⊥A 于F ，则D DF E⋅= ．【答案】1615-【解析】由题意得：，又,因为DEAF 四点共圆，因此D DF E⋅=【2015高考广东，理11】设的内角，，的对边分别为，，，若，，则 .【答案】．【2015高考湖北，理12】函数的零点个数为 ．【答案】2【解析】因为所以函数)(x f 的零点个数为函数x y 2sin =与图象的交点的个数，函数x y 2sin =与图象如图，由图知，两函数图象有2个交点，所以函数)(x f 有2个零点.1b =6C =π1sin 2B =a =cb a C B A ABC ∆【2015高考湖北，理13】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD = m.【答案】6100 【解析】依题意，，，在ABC ∆中，由，所以，因为600=AB ，由正弦定理可得，即m ，在BCD Rt ∆中，因为，，所以，所以m ．【2015高考重庆，理13】在ABC 中，B =120o，AB ，A 的角平分线AD ,则AC =_______.【解析】由正弦定理得，即，解得，，从而，所以，.【2015高考福建，理12】若锐角ABC ∆的面积为，且，则BC 等于________．【答案】7【解析】由已知得ABC ∆的面积为=所以sin 2A =，(0,)2A π∈，所以3A π=．由余弦定理得49，7BC =．【2015高考新课标2，理17】（本题满分12分）ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍．(Ⅰ) 求sin sin BC∠∠；(Ⅱ)若1AD =，2DC =，求BD 和AC 的长． 【答案】(Ⅰ)12；(Ⅱ)1． 【解析】(Ⅰ)，，因为，，所以2AB AC =．由正弦定理可得．(Ⅱ)因为，所以BD =ABD ∆和ADC ∆中，由余弦定理得，．．由(Ⅰ)知2AB AC =，所以1AC =．【2015高考浙江，理16】在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4A π=，22b a -=122c . （1）求tan C 的值；（2）若ABC ∆的面积为7，求b 的值. 【答案】（1）2；（2）3b =. 【解析】 （1）由及正弦定理得，∴，又由4A π=，即34B C π+=，得，解得tan 2C =；（2）由tan 2C =，(0,)C π∈得，cos C =又∵，∴，由正弦定理得3c =，又∵4A π=，，∴bc =，故3b =.【2015高考安徽，理16】在ABC ∆中，,点D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长.【解析】如图，设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，由余弦定理得，所以a = 又由正弦定理得.由题设知04B π<<，所以.在ABD ∆中，由正弦定理得.【2015高考陕西，理17】（本小题满分12分）C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量与平行．（I ）求A ；（II ）若a =2b =求C ∆AB 的面积．【答案】（I ）3π；（II ）2．（Ⅱ）解法一：由余弦定理，得而3πA =得，即因为0c >，所以3c =．故C ∆AB 的面积为．解法二：由正弦定理，得，从而，又由a b >，知A B >，所以.故所以C ∆AB 的面积为.1. 【2014高考江苏卷第14题】 若ABC ∆的内角满足，则cos C 的最小值是 .【考点定位】解三角形,求最值. 11．【2014重庆高考理第10题】已知ABC ∆的内角，面积S 满足所对的边，则下列不等式一定成立的是( )A. B. C. D.【答案】A 【解析】由题设得：⇒⇒（1）由三角形面积公式及正弦定理得：所以24s R =又因为12s ≤≤，所以248R ≤≤所以恒成立，所以故选A.【考点定位】两角和与差的三角函数、正弦定理、三角形的面积公式.12. 【2014天津高考理第12题】在ABC D 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知14b c a -=，，则cos A 的值为_______．【答案】14-．【解析】∵代入14b c a -=得2a c =，由余弦定理得．【考点定位】正弦定理、余弦定理的推论． 13. 【2014大纲高考理第3题】设则 （ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >> 【答案】C ．【解析】故选C ．【考点定位】三角函数基本关系式14. 【2014高考安徽卷第16题】（本小题满分12分）设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，且（1）求a 的值； （2）求sin()4A π+的值.【答案】（1）a =（2）46-. 【解析】（1）因为2A B =，所以，由正、余弦定理得.因为3,1b c ==，所以.由余弦定理得.由于0A π<<，所以.故.【考点定位】正、余弦定理、三角函数恒等变形.15. 【2014高考北京理第15题】如图，在ABC ∆中，，点D 在BC 边上，且2CD =，.（1）求sin BAD ∠； （2）求BD ，AC 的长.【答案】（1）1433；（2）7. 【解析】（1）在ADC ∆中，因为，所以， 所以.（2）在ABD ∆中，由正弦定理得，在ABC ∆中由余弦定理得，所以7=AC .【考点定位】同角三角函数的关系，两个角的差的正弦公式，正弦定理与余弦定理.16. 【2014高考福建理第16题】已知函数.（1）若02πα<<，且，求()f α的值；（2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.【答案】(1) 12;(2) π,【解析】 (1)因为0,2πα<<所以cos 2α=.所以(2)因为,所以22T ππ==.由得.所以()f x 的单调递增区间为.【考点定位】1.三角函数的性质.2.三角的恒等变形.17. 【2014高考广东理第16题】已知函数，x R ∈，且.（1）求A 的值；（2）若，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求34f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【答案】（1）A =（2）4. 【解析】（1），所以A =；（2），，，sin 0θ>，则，.【考点定位】本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系以及两角和的三角函数18. 【2014高考湖北理第17题】某实验室一天的温度（单位：C ）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系；.（1）求实验室这一天的最大温差；（2）若要求实验室温度不高于11C ，则在哪段时间实验室需要降温？【答案】（1）4C ；（2）在10时至18时实验室需要降温.（2）依题意，当11)(>t f 时实验室需要降温.由（1）得，所以，即，又240<≤t ，因此，即1810<<t ，故在10时至18时实验室需要降温.【考点定位】两个角的和的正弦公式、三角不等式的解法. 19. 【2014高考湖南理第18题】如图5,在平面四边形ABCD 中,.(1)求cos CAD ∠的值;(2)若,,求BC 的长.【答案】(1) (2)3【解析】(1)由DAC ∆关于CAD ∠的余弦定理可得=7=,所以.(2)因为BAD ∠为四边形内角,所以且,则由正余弦的关系可得且,再由正弦的和差角公式可得==再由ABC ∆的正弦定理可得.【考点定位】三角形正余弦定理、正余弦之间的关系与和差角公式20. 【2014高考江苏第15题】已知.（1）求sin()4πα+的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由题意，所以．（2）由（1）得，，所以．【考点】三角函数的基本关系式、二倍角公式、两角和与差的正弦、余弦公式．21. 【2014高考辽宁理第17题】在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ⋅=，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值.【答案】（1）a=3，c=2；（2）2327. 【解析】（1）由得，，又1cos 3B=，所以ac=6. 由余弦定理，得.又b=3，所以.解，得a=2，c=3或a=3，c=2.因为a>c,∴ a=3，c=2.（2）在ABC ∆中，由正弦定理，得，又因为a b c =>，所以C 为锐角，因此.于是=.【考点定位】解三角形、三角恒等变换. 22. 【2014高考山东卷第16题】已知向量，，设函数()f x a b =⋅，且()y f x =的图象过点(12π和点2(,2)3π-.（Ⅰ）求,m n 的值；（Ⅱ）将()y f x =的图象向左平移ϕ（0ϕπ<<）个单位后得到函数()y g x =的图象.若()y g x =的图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求()y g x =的单调增区间.【答案】（I ）.（II ）函数()y g x =的单调递增区间为.【解析】（1）由题意知：.因为()y f x =的图象过点(12π和2(,2)3π-， 所以，即，解得.（2）由（1）知：.由题意知：，设()y g x =的图象上符合题意的最高点为0(,2)x ，由题意知：2011x +=，所以00x =，即到点0,3（）的距离为1的最高点为0,2（）. 将其代入()y g x =得，因为0ϕπ<<，所以6πϕ=，因此，由，得，所以，函数()y g x =的单调递增区间为.学+科网【考点定位】平面向量的数量积，三角函数的化简，三角函数的图象和性质.23. 【2014高考四川第16题】已知函数.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，，求的值.【答案】（1）；（2）,【解析】（1）；（2）由题设得：，即，.若，则，若，则.【考点定位】三角函数的性质、三角恒等变换三角函数的求值.24.【2014高考浙江理第18题】在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知，（I ）求角C 的大小； （II ）若4sin 5A =，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）3C π=；（2）．【解析】（1）由题意得，，即，，由a b ≠得，A B ≠，又，得，即23A B π+=，所以3C π=；（2）由c =4sin 5A =，得85a =，由a c <，得A C <，从而3cos 5A =，故，所以ABC ∆的面积为．【考点定位】诱导公式，、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式25.【2014高考重庆理科第17题】已知函数的图像关于直线3π=x 对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.（I ）求ω和ϕ的值；（II ）若，求的值.【答案】（1）；（2 【解析】（1）因()f x 的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以()f x 的最小正周期T π=，从而22Tπω==. 又因()f x 的图象关于直线3π=x 对称，所以因得0k =所以.（2）由（1）得所以.由得所以因此=【考点定位】诱导公式、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数公式、三角函数的图象和性质.1．已知2sin 2α＝1＋cos 2α，则tan 2α＝( ) A ．－43 B.43C ．－43或0 D.43或02．若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：基本法：cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5 ＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π5sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5＝tan α＋tan π5tan α－tan π5， ∵tan α＝2tan π5，∴cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝3tan π5tan π5＝3.故选C. 答案：C3．已知tan β＝43，sin(α＋β)＝513，其中α，β∈(0，π)，则sin α的值为( )(导学号 55460112) A.6365 B.3365 C.1365 D.6365或3365解析：依题意得sin β＝45，cos β＝35.注意到sin(α＋β)＝513<sin β，因此有α＋β>π2(否则，若α＋β≤π2，则有0<β<α＋β≤π2，0<sin β<sin(α＋β)，这与“sin(α＋β)<sin β”矛盾)，则cos(α＋β)＝－1213，sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝6365. 答案：A4．函数f (x )＝12sin 2x ＋12tan π3cos 2x 的最小正周期为( ) A.π2B ．πC ．2πD ．4π 解析：∵f (x )＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 答案：B5．已知tan(3π－α)＝－12，tan(β－α)＝－13，则tan β＝________. 解析：基本法：依题意得tan α＝12， 又tan(β－α)＝－13， ∴tan β＝tan[(β－α)＋α]＝β－a ＋tan α1－β－αα＝17.答案：176．已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________．解析：基本法：由sin α＋2cos α＝0得tan α＝－2.∴2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1＝－－1－2＋1＝－55＝－1. 答案：－17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a sin A ＝(2sin B ＋sin C )b ＋(2c ＋b )·sin C ，则A ＝________．解析：根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故cos A ＝－12，又A 为三角形的内角，故A ＝120°. 答案：120°8.如图，山上原有一条笔直的山路BC ，现在又新架设了一条索道AC ，小李在山脚B 处看索道AC ，发现张角∠ABC ＝120°；从B 处攀登400米到达D 处，回头看索道AC ，发现张角∠ADC ＝150°；从D 处再攀登800米方到达C 处，则索道AC 的长为________米．解析：如题图，在△ABD 中，BD ＝400米，∠ABD ＝120°.∵∠ADC ＝150°，∴∠ADB ＝30°.∴∠DAB ＝180°－120°－30°＝30°.由正弦定理，可得BD sin ∠DAB ＝AD sin ∠ABD. ∴400sin 30°＝AD sin 120°，得AD ＝4003(米)． 在△ADC 中，DC ＝800米，∠ADC ＝150°，由余弦定理可得AC 2＝AD 2＋CD 2－2·AD ·CD ·cos ∠ADC ＝(4003)2＋8002－2×4003×800×cos 150°＝4002×13，解得AC ＝40013(米)．故索道AC 的长为40013米．答案：400139．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2(tan A ＋tan B )＝tan A cos B ＋tan B cos A. (1)证明：a ＋b ＝2c ；(2)求cos C 的最小值．(2)解：由(1)知c ＝a ＋b 2，[ ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－⎝⎛⎭⎫a ＋b 222ab ＝ 38⎝⎛⎭⎫a b ＋b a －14≥12， 当且仅当a ＝b 时，等号成立，故cos C 的最小值为12.。
2019-2020学年新人教A版必修二 解三角形 学案
2019-2020学年新人教A 版必修二 解三角形实际应用举例 学案实际测量中的常见问题知识拓展实际问题中的常用术语 1．仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．2．方向角相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等． 3．方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图②)．4．坡度(又称坡比)坡面的垂直高度与水平长度之比．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( × ) (2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为⎣⎡⎦⎤0，π2.( × ) (3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．( √ ) (4)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是⎣⎡⎭⎫0，π2.( √ ) 题组二 教材改编2.如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为 m.答案 50 2解析 由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝ACsin B ，又∵B ＝30°，∴AB ＝AC sin ∠ACBsin B ＝50×2212＝502(m)．3.如图，在山脚A 测得山顶P 的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a 米到B ，在B 处测得山顶P 的仰角为60°，则山高h ＝ 米．答案22a 解析 由题图可得∠P AQ ＝α＝30°，∠BAQ ＝β＝15°，△P AB 中，∠P AB ＝α－β＝15°， 又∠PBC ＝γ＝60°，∴∠BP A ＝()90°－α－()90°－γ＝γ－α＝30°， ∴a sin 30°＝PB sin 15°，∴PB ＝6－22a ， ∴PQ ＝PC ＋CQ ＝PB ·sin γ＋a sin β ＝6－22a ×sin 60°＋a sin 15°＝22a . 题组三 易错自纠4．在某次测量中，在A 处测得同一半平面方向的B 点的仰角是60°，C 点的俯角是70°，则∠BAC 等于( )A ．10°B ．50°C ．120°D ．130° 答案 D5.如图所示，D ，C ，B 三点在地面的同一条直线上，DC ＝a ，从C ，D 两点测得A 点的仰角分别为60°，30°，则A 点离地面的高度AB ＝ .答案32a 解析 由已知得∠DAC ＝30°，△ADC 为等腰三角形， AD ＝3a ，所以在Rt △ADB 中，AB ＝12AD ＝32a .6．在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30°，风速是20 km /h ；水的流向是正东，流速是20 km/h ，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的方向为北偏东 ，速度的大小为 km/h. 答案 60° 20 3解析 如图，∠AOB ＝60°，由余弦定理知OC 2＝202＋202－800cos 120°＝1 200，故OC ＝203，∠COy ＝30°＋30°＝60°.题型一 求距离、高度问题1．在相距2 km 的A ，B 两点处测量目标点C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A ，C 两点之间的距离为( ) A. 6 km B. 2 km C. 3 km D ．2 km答案 A 解析 如图，在△ABC 中，由已知可得∠ACB ＝45°， ∴AC sin 60°＝2sin 45°， ∴AC ＝22×32＝6(km)． 2.(2017·郑州一中月考)如图所示，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角为α，在塔底C 处测得A 处的俯角为β.已知铁塔BC 部分的高为h ，则山高CD ＝ .答案h cos αsin βsin (α－β)解析 由已知得，∠BCA ＝90°＋β，∠ABC ＝90°－α，∠BAC ＝α－β，∠CAD ＝β. 在△ABC 中，由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝BCsin ∠BAC，即ACsin (90°－α)＝BCsin (α－β)，∴AC ＝BC cos αsin (α－β)＝h cos αsin (α－β).在Rt △ACD 中，CD ＝AC sin ∠CAD ＝AC sin β＝h cos αsin βsin (α－β).故山高CD 为h cos αsin βsin (α－β).3．(2018·枣庄模拟)如图，一艘船上午9：30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°的方向，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°的方向，且与它相距8 2 n mile.此船的航速是n mile/h.答案 32解析 设航速为v n mile/h ，在△ABS 中，AB ＝12v ，BS ＝82，∠BSA ＝45°，由正弦定理得82sin 30°＝12v sin 45°，则v ＝32.思维升华 求距离、高度问题的注意事项(1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理． 题型二 求角度问题典例 如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ的值为．答案2114解析 在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°， 由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800， 得BC ＝207.由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠BAC ，即sin ∠ACB ＝AB BC ·sin ∠BAC ＝217.由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，则cos ∠ACB ＝277.由θ＝∠ACB ＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB ＋30°) ＝cos ∠ACB cos 30°－sin ∠ACB sin 30°＝2114. 思维升华 解决测量角度问题的注意事项 (1)首先应明确方位角或方向角的含义；(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步； (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用． 跟踪训练 如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°的方向上，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°的方向上，则灯塔A 在灯塔B 的 的方向上．答案 北偏西10°解析 由已知∠ACB ＝180°－40°－60°＝80°， 又AC ＝BC ，∴∠A ＝∠ABC ＝50°，60°－50°＝10°， ∴灯塔A 位于灯塔B 的北偏西10°的方向上． 题型三 三角形与三角函数的综合问题典例 (2018·石家庄模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，(2a －c )cos B －b cos C ＝0.(1)求角B 的大小；(2)设函数f (x )＝2sin x cos x cos B －32cos 2x ，求函数f (x )的最大值及当f (x )取得最大值时x 的值． 解 (1)因为(2a －c )cos B －b cos C ＝0， 所以2a cos B －c cos B －b cos C ＝0，由正弦定理得2sin A cos B －sin C cos B －cos C sin B ＝0， 即2sin A cos B －sin(C ＋B )＝0， 又C ＋B ＝π－A ，所以sin(C ＋B )＝sin A . 所以sin A (2cos B －1)＝0. 在△ABC 中，sin A ≠0，所以cos B ＝12，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)因为B ＝π3，所以f (x )＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 令2x －π3＝2k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π＋5π12(k ∈Z )，即当x ＝k π＋5π12(k ∈Z )时，f (x )取得最大值1.思维升华 三角形与三角函数的综合问题，要借助三角函数性质的整体代换思想，数形结合思想，还要结合三角形中角的范围，充分利用正弦定理、余弦定理解题． 跟踪训练 设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4. (1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．解 (1)由题意知f (x )＝sin 2x2－1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12.由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z,可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ；由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z, 可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z .所以f (x )的递增区间是⎣⎡⎦⎤－π4＋k π，π4＋k π (k ∈Z )；递减区间是⎣⎡⎦⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )． (2)由f ⎝⎛⎭⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12， 由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋3，当且仅当b ＝c 时等号成立． 因此12bc sin A ≤2＋34.所以△ABC 面积的最大值为2＋34.函数思想在解三角形中的应用典例 (12分)某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．思想方法指导 已知两边和其中一边的对角解三角形时，可以设出第三边，利用余弦定理列方程求解；对于三角形中的最值问题，可建立函数模型，转化为函数最值问题解决． 规范解答解 (1)设相遇时小艇航行的距离为S 海里，则[1分] S ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos (90°－30°) ＝900t 2－600t ＋400＝900⎝⎛⎭⎫t －132＋300.[3分] 故当t ＝13时，S min ＝103，v ＝10313＝30 3.即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．[6分] (2)设小艇与轮船在B 处相遇．则v 2t 2＝400＋900t 2－2·20·30t ·cos(90°－30°)，[8分] 故v 2＝900－600t ＋400t2.∵0<v ≤30，∴900－600t ＋400t 2≤900，即2t 2－3t ≤0，解得t ≥23.又当t ＝23时，v ＝30，故当v ＝30时，t 取得最小值，且最小值为23.此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20.[11分] 故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时．[12分]1．(2018·武汉调研)已知A ，B 两地间的距离为10 km ，B ，C 两地间的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A ，C 两地间的距离为( )A．10 km B．10 3 kmC．10 5 km D．107 km答案 D解析如图所示，由余弦定理可得，AC2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700，∴AC＝107.2．(2018·襄阳模拟)如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东80°D．南偏西80°答案 D解析由条件及图可知，∠A＝∠CBA＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°.3．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A．10 2 海里B．10 3 海里C．20 3 海里D．20 2 海里答案 A解析如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝ABsin 45°，解得BC ＝10 2.4．(2018·广州模拟)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )A ．240(3＋1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m答案 C解析 如图，∠ACD ＝30°，∠ABD ＝75°，AD ＝60 m ，在Rt △ACD 中， CD ＝AD tan ∠ACD ＝60tan 30°＝603(m)， 在Rt △ABD 中，BD ＝AD tan ∠ABD ＝60tan 75°＝602＋3＝60(2－3)m ，∴BC ＝CD －BD ＝603－60(2－3)＝120(3－1)m.5.如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m ，50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°答案 B解析 依题意可得AD ＝2010，AC ＝305， 又CD ＝50，所以在△ACD 中，由余弦定理得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD＝(305)2＋(2010)2－5022×305×2010＝ 6 0006 0002＝22， 又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°， 所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.6．(2018·郑州质检)如图所示，测量河对岸的塔高AB 时可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB 等于( )A ．5 6B ．15 3C ．5 2D ．15 6答案 D解析 在△BCD 中，∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°. 由正弦定理得BC sin 30°＝CD sin 135°，所以BC ＝15 2.在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝152×3＝15 6. 故选D.7．轮船A 和轮船B 在中午12时同时离开海港C ，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile /h,15 n mile/h ，则下午2时两船之间的距离是 n mile. 答案 70解析 设两船之间的距离为d ，则d 2＝502＋302－2×50×30×cos 120°＝4 900，∴d ＝70，即两船相距70 n mile.8．(2018·哈尔滨模拟)如图，某工程中要将一长为100 m ，倾斜角为75°的斜坡改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长 m.答案 100 2解析 设坡底需加长x m ，由正弦定理得100sin 30°＝x sin 45°，解得x ＝100 2.9．(2018·青岛模拟)一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时 海里． 答案 10解析 如图所示，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°， 所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10，在Rt △ABC 中，得AB ＝5，于是这艘船的速度是50.5＝10(海里/时)．10.如图，在山底A 点处测得山顶仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 000米至S 点，又测得山顶仰角∠DSB ＝75°，则山高BC 为 米．答案 1 000解析 由题图知∠BAS ＝45°－30°＝15°， ∠ABS ＝45°－(90°－∠DSB )＝30°， ∴∠ASB ＝135°，在△ABS 中，由正弦定理可得1 000sin 30°＝AB sin 135°，∴AB ＝1 0002，∴BC ＝AB2＝1 000.11．(2018·泉州质检)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为米．答案507解析如图，连接OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°.由余弦定理得OC2＝1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝17 500，解得OC＝507.12.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值．解(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784，解得BC＝28.所以渔船甲的速度为BC2＝14(海里/小时)．(2)在△ABC 中，因为AB ＝12，∠BAC ＝120°，BC ＝28，∠BCA ＝α，由正弦定理，得ABsin α＝BCsin 120°，即sin α＝AB sin 120°BC ＝12×3228＝3314.13．(2018·德阳模拟)如图，在水平地面上有两座直立的相距60 m 的铁塔AA 1和BB 1.已知从塔AA 1的底部看塔BB 1顶部的仰角是从塔BB 1的底部看塔AA 1顶部的仰角的2倍，从两塔底部连线中点C 分别看两塔顶部的仰角互为余角．则从塔BB 1的底部看塔AA 1顶部的仰角的正切值为 ；塔BB 1的高为 m.答案 1345解析 设从塔BB 1的底部看塔AA 1顶部的仰角为α， 则AA 1＝60tan α，BB 1＝60tan 2α.∵从两塔底部连线中点C 分别看两塔顶部的仰角互为余角，∴△A 1AC ∽△CBB 1，∴AA 130＝30BB 1，∴AA 1·BB 1＝900，∴3 600tan αtan 2α＝900， ∴tan α＝13，tan 2α＝34，则BB 1＝60tan 2α＝45.14.如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600 km 处的热带风暴中心正以20 km/h 的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km 以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为 h.答案 15解析 记现在热带风暴中心的位置为点A ，t 小时后热带风暴中心到达B 点位置，在△OAB 中，OA ＝600，AB ＝20t ，∠OAB ＝45°，根据余弦定理得OB 2＝6002＋400t 2－2×600×20t ×22，令OB 2≤4502，即4t 2－1202t ＋1 575≤0，解得302－152≤t ≤302＋152，所以该码头将受到热带风暴影响的时间为302＋152－302－152＝15.15.如图所示，经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB ，AC ，根据规划要在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库M ，N (异于村庄A )，要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：千米)．记∠AMN ＝θ.(1)将AN ，AM 用含θ的关系式表示出来；(2)如何设计(即AN ，AM 为多长时)，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离AP 最大)? 解 (1)∠AMN ＝θ，在△AMN 中，由正弦定理，得 MN sin 60°＝AN sin θ＝AMsin (120°－θ)， 所以AN ＝433sin θ，AM ＝433sin(120°－θ)．(2)AP 2＝AM 2＋MP 2－2AM ·MP ·cos ∠AMP ＝163sin 2(θ＋60°)＋4－1633sin(θ＋60°)cos(θ＋60°) ＝83[1－cos (2θ＋120°)]－833sin(2θ＋120°)＋4 ＝－83[3sin(2θ＋120°)＋cos(2θ＋120°)]＋203＝203－163sin(2θ＋150°)，θ∈(0°，120°)(其中利用诱导公式可知sin(120°－θ)＝sin(θ＋60°))，当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小，此时AN ＝AM ＝2千米．16．已知△ABC 为锐角三角形，若向量p ＝(2－2sin A ，cos A ＋sin A )与向量q ＝(sin A －cos A,1＋sin A )是共线向量． (1)求角A ；(2)求函数y ＝2sin 2B ＋cos C －3B 2的最大值．解 (1)因为p ，q 共线，所以(2－2sin A )(1＋sin A )＝(cos A ＋sin A )(sin A －cos A )，则sin 2A ＝34.又A 为锐角，所以sin A ＝32，则A ＝π3. (2)y ＝2sin 2B ＋cosC －3B2＝2sin 2B ＋cos⎝⎛⎭⎫π－π3－B －3B2＝2sin 2B ＋cos ⎝⎛⎭⎫π3－2B＝1－cos 2B ＋12cos 2B ＋32sin 2B＝32sin 2B －12cos 2B ＋1＝sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6＋1. 因为B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以2B －π6∈⎝⎛⎭⎫－π6，5π6， 所以当2B －π6＝π2时，函数y 取得最大值，解得B ＝π3，y max ＝2.。
2019届高考数学二轮复习第二部分突破热点分层教学专项二专题二2第2讲三角恒等变换与解三角形学案
第2讲三角恒等变换与解三角形年份卷别考查内容及考题位置命题分析2018卷Ⅰ利用正、余弦定理求边或角·T17 1.高考对此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命题形式出现．2．若无解答题，一般在选择题或填空题各有一题，主要考查三角恒等变换、解三角形，难度一般，一般出现在第4～9题或第13～15题位置上．3．若以解答题命题形式出现，主要考查三角函数与解三角形的综合问题，一般出现在解答题第17题位置上，难度中等.卷Ⅱ利用余弦定理求边长·T6三角恒等变换·T15卷Ⅲ倍角公式·T4三角形的面积公式·T92017卷Ⅰ正、余弦定理、三角形的面积公式及两角和的余弦公式·T17卷Ⅱ余弦定理、三角恒等变换及三角形的面积公式·T17卷Ⅲ余弦定理、三角形的面积公式·T172016卷Ⅰ正、余弦定理、两角和的正弦公式·T17卷Ⅱ诱导公式、三角恒等变换、给值求值问题·T9正弦定理的应用、诱导公式·T13卷Ⅲ正、余弦定理解三角形·T8三角恒等变换与求值(基础型)两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.(3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝2sin αcos α.(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(3)tan 2α＝2tan α1－tan2α.三角恒等变换的“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等．(2)项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等．(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化：一般是切化弦．[考法全练]1．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝________．解析：因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2， 所以sin α＝255，cos α＝55，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4 ＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫255＋55＝31010. 答案：310102．已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos(α－β)＝________．解析：因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以2α∈(0，π)．因为cos α＝13，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－79，所以sin 2α＝1－cos 22α＝429，又α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋β∈(0，π)，所以sin(α＋β)＝ 1－cos 2（α＋β）＝223， 所以cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)] ＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－79×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋429×223＝2327. 答案：23273．已知sin β＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<β<π，且sin(α＋β)＝cos α，则tan(α＋β)＝________．解析：因为sin β＝35，且π2<β<π，所以cos β＝－45，tan β＝－34.因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝cos α， 所以tan α＝－12，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－2.答案：－2正、余弦定理在解三角形中的应用(综合型)正弦定理及其变形在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a ＝2R sin A ，sin A ＝a2R，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等．余弦定理及其变形在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.三角形面积公式S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B .[典型例题]命题角度一 求解三角形中的角已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b cos C ＋b sin C ＝a . (1)求角B 的大小；(2)若BC 边上的高等于14a ，求cos A 的值．【解】 (1)由b cos C ＋b sin C ＝a ， 得sin B cos C ＋sin B sin C ＝sin A . 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin B cos C ＋sin B sin C ＝sin(B ＋C )，即sin B cos C ＋sin B sin C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ， 因为sin C ≠0，所以sin B ＝cos B .因为B ∈(0，π)，所以B＝π4. (2)设BC 边上的高为AD ，则AD ＝14a .因为B ＝π4，所以BD ＝AD ＝14a ，所以CD ＝34a ，所以AC ＝AD 2＋DC 2＝104a ，AB ＝24a . 由余弦定理得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝－55.利用正、余弦定理求三角形的角，常见形式有：(1)已知两边及其夹角，先由余弦定理求第三边，再由正弦定理求角． (2)已知三边，直接由余弦定理求角．(3)已知两边及其中一边的对角，先由正弦定理求另一边的对角，再由三角形内角和求第三角，注意此类问题有一解、两解或无解的情况．命题角度二 求解三角形中的边与面积如图所示，在△ABC 中，点D 为BC 边上一点，且BD ＝1，E 为AC 的中点，AE ＝32，cos B ＝277，∠ADB ＝2π3. (1)求AD 的长； (2)求△ADE 的面积．【解】 (1)在△ABD 中，因为cos B ＝277，B ∈(0，π)，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2772＝217，所以sin ∠BAD ＝sin(B ＋∠ADB )＝217×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋277×32＝2114. 由正弦定理知AD sin B ＝BD sin ∠BAD ，得AD ＝BD ·sin Bsin ∠BAD＝1×2172114＝2.(2)由(1)知AD ＝2，依题意得AC ＝2AE ＝3，在△ACD 中，由余弦定理得AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC ，即9＝4＋DC 2－2×2×DC cos π3，所以DC 2－2DC －5＝0，解得DC ＝1＋6(负值舍去)，所以S △ACD ＝12AD ·DC sin ∠ADC ＝12×2×(1＋6)×32＝3＋322，从而S △ADE ＝12S △ACD ＝3＋324.利用余弦定理求边，一般是已知三角形的两边及其夹角．利用正弦定理求边，必须知道两角及其中一边，如该边为其中一角的对边，要注意解的多样性与合理性．而三角形的面积主要是利用两边与其夹角的正弦值求解．[对点训练]1．(2018·高考全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5.(1)求cos ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC .解：(1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin ∠A ＝ABsin ∠ADB .由题设知，5sin 45°＝2sin ∠ADB ，所以sin ∠ADB ＝25.由题设知，∠ADB <90°，所以cos ∠ADB ＝1－225＝235. (2)由题设及(1)知，cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝25. 在△BCD 中，由余弦定理得BC 2＝BD 2＋DC 2－2·BD ·DC ·cos ∠BDC＝25＋8－2×5×22×25＝25. 所以BC ＝5.2．(2018·山西八校第一次联考)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且(a ＋c )2＝b 2＋3ac .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝2，且sin B ＋sin(C －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积． 解：(1)由(a ＋c )2＝b 2＋3ac ，整理得a 2＋c 2－b 2＝ac ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12，因为0<B <π，所以B ＝π3.(2)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π， 即B ＝π－(A ＋C )， 故sin B ＝sin(A ＋C )，由已知sin B ＋sin(C －A )＝2sin 2A 可得sin(A ＋C )＋sin(C －A )＝2sin 2A ， 所以sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin C cos A －cos C sin A ＝4sin A cos A ， 整理得cos A sin C ＝2sin A cos A . 若cos A ＝0，则A＝π2，由b ＝2，可得c ＝2tan B ＝233，此时△ABC 的面积S ＝12bc ＝233.若cos A ≠0，则sin C ＝2sin A ， 由正弦定理可知，c ＝2a ，代入a 2＋c 2－b 2＝ac ，整理可得3a 2＝4，解得a ＝233，所以c ＝433，此时△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝233.综上所述，△ABC 的面积为233.解三角形的综合问题(综合型)[典型例题]命题角度一 正、余弦定理与平面几何的综合(2018·成都模拟)如图，在直角梯形ABDE 中，已知∠ABD ＝∠EDB ＝90°，C 是BD 上一点，AB ＝3－3，∠ACB ＝15°，∠ECD ＝60°，∠EAC ＝45°，则线段DE 的长度为________．【解析】 易知∠ACE ＝105°，∠AEC ＝30°，在直角三角形ABC 中，AC ＝ABsin 15°，在三角形AEC 中，ACsin 30°＝CE sin 45°⇒CE ＝AC sin 45°sin 30°，在直角三角形CED 中，DE ＝CE sin 60°，所以DE ＝CE sin 60°＝sin 45°sin 60°sin 30°×AB sin 15°＝22×3212×3－36－24＝6.【答案】 6利用正、余弦定理求解平面几何中的问题，应根据图形特征及已知条件，将所给量及待求量放在同一个三角形中，结合三角形内角和定理，外角和定理及正、余弦定理求解．命题角度二 正、余弦定理与最值(范围)问题的综合(1)(2018·潍坊模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，外接圆的半径为1，且tan A tan B ＝2c －bb，则△ABC 面积的最大值为________．(2)(2018·西安模拟)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a 2＋b 2－c 2)(a cos B ＋b cos A )＝abc ，若a ＋b ＝2，则c 的取值范围为________．【解析】 (1)因为tan A tan B ＝2c －b b ，所以b sin A cos A ＝(2c －b )sin Bcos B，由正弦定理得sin B sinA cosB ＝(2sinC －sin B )sin B cos A ，又sin B ≠0，所以sin A cos B ＝(2sin C －sin B )cos A ，所以sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos A ，sin(A ＋B )＝2sin C cos A ，即sin C ＝2sin C cos A ，又sin C ≠0，所以cos A ＝12，sin A ＝32.设外接圆的半径为r ，则r ＝1，由余弦定理得bc ＝b 2＋c 2－a 22cos A＝b 2＋c 2－a 2＝b 2＋c 2－(2r sin A )2＝b 2＋c 2－3≥2bc －3(当且仅当b ＝c时，等号成立)，所以bc ≤3，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤334.(2)由sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin(A ＋B )＝sin C 及正弦定理，可知a cos B ＋b cos A ＝c ，则由(a 2＋b 2－c 2)(a cos B ＋b cos A )＝abc ，得a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理可得cos C ＝12，则C ＝π3，B ＝2π3－A ， 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，得asin A＝b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝csinπ3，又a ＋b ＝2，所以c sin A32＋c sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－A 32＝2，即c ＝3sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝1sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6，因为A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，所以A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，则c ∈[1，2)．【答案】 (1)334(2)[1，2)解三角形中的最值与范围问题主要有两种解决方法：一是利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围确定所求式的范围．命题角度三 正、余弦定理与实际问题的综合某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C 处(点C 在水平地面下方，O 为CH 与水平地面ABO 的交点)进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A ，B 两地相距100米，∠BAC ＝60°，其中A 到C 的距离比B 到C 的距离远40米．A 地测得该仪器在C 处的俯角为∠OAC ＝15°，A 地测得最高点H 的仰角为∠HAO ＝30°，则该仪器的垂直弹射高度CH 为( )A ．210(6＋2)米B ．1406米C ．2102米D ．20(6－2)米【解析】 由题意，设AC ＝x 米，则BC ＝(x －40)米，在△ABC 内，由余弦定理得BC 2＝BA 2＋CA 2－2BA ·CA ·cos ∠BAC ，即(x －40)2＝x 2＋10 000－100x ，解得x ＝420米．在△ACH 中，AC ＝420米，∠CAH ＝30°＋15°＝45°，∠CHA ＝90°－30°＝60°， 由正弦定理：CH sin ∠CAH ＝ACsin ∠AHC ，可得CH ＝AC ·sin ∠CAHsin ∠AHC ＝1406(米)．【答案】 B(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．[对点训练]1．(2018·合肥第一次质量检测)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a －2b )cos C ＋c cos A ＝0.(1)求角C ；(2)若c ＝23，求△ABC 周长的最大值．解：(1)根据正弦定理，由已知得(sin A －2sin B )cos C ＋sin C cos A ＝0，即sin A cos C ＋sin C cos A ＝2sin B cos C ， 所以sin(A ＋C )＝2sin B cos C ， 因为A ＋C ＝π－B ，所以sin(A ＋C )＝sin(π－B )＝sin B >0， 所以sin B ＝2sin B cos C ，所以cos C ＝12.因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3. (2)由(1)及余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又c ＝23，所以a 2＋b 2－12＝ab ，所以(a ＋b )2－12＝3ab ≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，即(a ＋b )2≤48(当且仅当a ＝b ＝23时等号成立)． 所以a ＋b ≤43，a ＋b ＋c ≤6 3. 所以△ABC 周长的最大值为6 3.2．(2018·武汉调研)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，满足cos2A －cos 2B ＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－B ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋B ＝0. (1)求角A 的值；(2)若b ＝3且b ≤a ，求a 的取值范围． 解：(1)由cos 2A －cos 2B ＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6－B cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋B ＝0，得2sin 2B －2sin 2A ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫34cos 2B －14sin 2B ＝0，化简得sin A ＝32，又△ABC 为锐角三角形，故A ＝π3.(2)因为b ＝3≤a ，所以c ≥a ，所以π3≤C <π2，π6<B ≤π3，所以12<sin B ≤32.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a 32＝3sin B，所以a ＝32sin B ，由sin B ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，32得a ∈[3，3)．[A 组 夯基保分专练]一、选择题1．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4解析：选B.易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝32(2cos 2x －1)＋32＋1＝32cos 2x ＋52，则f (x )的最小正周期为π，当x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4.2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c ＝2a ，b sin B －a sin A ＝12a sinC ，则sin B 为( )A.74 B.34 C.73D.13解析：选A.由b sin B －a sin A ＝12a sin C ，且c ＝2a ， 得b ＝2a ，因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34， 所以sin B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝74.3．(2018·洛阳第一次统考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且a 2＝c 2＋ac －bc ，则cb sin B＝( )A.32B.233C.33D. 3解析：选B.由a ，b ，c 成等比数列得b 2＝ac ，则有a 2＝c 2＋b 2－bc ，由余弦定理得cos A＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，故A ＝π3，对于b 2＝ac ，由正弦定理得，sin 2B ＝sin A sinC ＝32·sinC ，由正弦定理得，c b sin B ＝sin C sin 2 B ＝sin C 32sin C＝233.故选B.4．(2018·昆明模拟)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝5，tan ∠BAC ＝－3，则BC 边上的高等于( )A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：选A.法一：因为tan ∠BAC ＝－3，所以sin ∠BAC ＝310，cos ∠BAC ＝－110.由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ＝5＋2－2×5×2×⎝⎛⎭⎪⎫－110＝9，所以BC ＝3，所以S △ABC ＝12AB ·AC sin ∠BAC ＝12×2×5×310＝32，所以BC 边上的高h ＝2S △ABC BC ＝2×323＝1，故选A. 法二：因为tan ∠BAC ＝－3，所以cos ∠BAC ＝－110<0，则∠BAC 为钝角，因此BC 边上的高小于2，故选A.5．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12B.π6C.π4D.π3解析：选B.因为sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，所以sin(A ＋C )＋sin A sin C －sinA cos C ＝0，所以sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，整理得sin C (sin A ＋cos A )＝0.因为sin C ≠0，所以sin A ＋cos A ＝0，所以tan A ＝－1，因为A ∈(0，π)，所以A ＝3π4.由正弦定理得sin C ＝c ·sin Aa ＝2×222＝12， 又0<C <π4，所以C ＝π6.6.如图，在△ABC 中，∠C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足．若DE ＝22，则cos A 等于( )A.223B.24C.64D.63解析：选 C.依题意得，BD ＝AD ＝DEsin A＝22sin A，∠BDC ＝∠ABD ＋∠A ＝2∠A .在△BCD 中，BC sin ∠BDC ＝BD sin C ，4sin 2A ＝22sin A ×23＝423sin A ，即42sin A cos A ＝423sin A，由此解得cos A ＝64. 二、填空题7．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝14，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝________． 解析：依题意得cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142－1 ＝－78.答案：－788．(2018·高考全国卷Ⅱ改编)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝________．解析：因为cos C ＝2cos 2 C 2－1＝2×15－1＝－35，所以由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝25＋1－2×5×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝32，所以AB ＝4 2. 答案：4 29．(2018·惠州第一次调研)已知a ，b ，c 是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，a ＝4，b ∈(4，6)，sin 2A ＝sin C ，则c 的取值范围为________．解析：由4sin A ＝c sin C ，得4sin A ＝csin 2A ，所以c ＝8cos A ，因为16＝b 2＋c 2－2bc cosA ，所以16－b 2＝64cos 2A －16b cos 2A ，又b ≠4，所以cos 2A ＝16－b 264－16b ＝（4－b ）（4＋b ）16（4－b ）＝4＋b 16，所以c 2＝64cos 2A ＝64×4＋b 16＝16＋4b .因为b ∈(4，6)，所以32<c 2<40，所以42<c <210.答案：(42，210) 三、解答题10．(2018·沈阳教学质量监测(一))在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2c cos B ＝2a ＋b .(1)求C ；(2)若a ＋b ＝6，△ABC 的面积为23，求c .解：(1)由正弦定理得2sin C cos B ＝2sin A ＋sin B ， 又sin A ＝sin(B ＋C )，所以2sin C cos B ＝2sin(B ＋C )＋sin B ，所以2sin C cos B ＝2sin B cos C ＋2cos B sin C ＋sin B ， 所以2sin B cos C ＋sin B ＝0， 因为sin B ≠0，所以cos C ＝－12.又C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.(2)因为S △ABC ＝12ab sin C ＝23，所以ab ＝8，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋ab ＋b 2＝(a ＋b )2－ab ＝28， 所以c ＝27.11．(2018·石家庄质量检测(二))已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且3ca cos B＝tan A ＋tan B . (1)求角A 的大小；(2)设AD 为BC 边上的高，a ＝3，求AD 的取值范围． 解：(1)在△ABC 中，因为3c a cos B ＝tan A ＋tan B ，所以3sin C sin A cos B ＝sin A cos A ＋sin Bcos B，即3sin C sin A cos B ＝sin A cos B ＋sin B cos Acos A cos B，所以3sin A ＝1cos A ，则tan A ＝3，所以A ＝π3.(2)因为S △ABC ＝12AD ·BC ＝12bc sin A ，所以AD ＝12bc .由余弦定理得cos A ＝12＝b 2＋c 2－a 22bc ≥2bc －32bc ，所以0<bc ≤3(当且仅当b ＝c 时等号成立)， 所以0<AD ≤32.12．(2018·郑州质量检测(二))已知△ABC 内接于半径为R 的圆，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2R (sin 2B －sin 2A )＝(b －c )sin C ，c ＝3.(1)求A ；(2)若AD 是BC 边上的中线，AD ＝192，求△ABC 的面积． 解：(1)对于2R (sin 2B －sin 2A )＝(b －c )sin C ，由正弦定理得，b sin B －a sin A ＝b sin C －c sin C ，即b 2－a 2＝bc －c 2， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，因为0°<A <180°，所以A ＝60°.(2)以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABEC ，连接DE ，易知A ，D ，E 三点共线． 在△ABE 中，∠ABE ＝120°，AE ＝2AD ＝19，在△ABE 中，由余弦定理得AE 2＝AB 2＋BE 2－2AB ·BE cos 120°，即19＝9＋AC 2－2×3×AC ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，得AC ＝2.故S △ABC ＝12bc sin ∠BAC ＝332.[B 组 大题增分专练]1．(2018·长春质量监测(二))在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其面积S ＝b 2sin A .(1)求cb的值；(2)设内角A 的平分线AD 交于BC 于D ，AD ＝233，a ＝3，求b .解：(1)由S ＝12bc sin A ＝b 2sin A ，可知c ＝2b ，即c b ＝2.(2)由角平分线定理可知，BD ＝233，CD ＝33，在△ABC 中，cos B ＝4b 2＋3－b22·2b ·3，在△ABD 中，cos B ＝4b 2＋43－432·2b ·233，即4b 2＋3－b22·2b ·3＝4b 2＋43－432·2b ·233，解得b ＝1.2．(2018·贵阳模拟)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，AB 边上的高h ＝23c .(1)若△ABC 为锐角三角形，且cos A ＝35，求角C 的正弦值；(2)若C ＝π4，M ＝a 2＋b 2＋13c 2ab，求M 的值．解：(1)作CD ⊥AB ，垂足为D ，因为△ABC 为锐角三角形，且cos A ＝35，所以sin A ＝45，tan A ＝43，所以AD ＝c 2，BD ＝AB －AD ＝c2， 所以BC ＝CD 2＋BD 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝5c 6，由正弦定理得：sin ∠ACB ＝AB sin ABC ＝c ×455c 6＝2425.(2)因为S △ABC ＝12c ×23c ＝12ab sin ∠ACB ＝24ab ，所以c 2＝324ab ，又a 2＋b 2－c 2＝2ab cos ∠ACB ＝2ab ， 所以a 2＋b 2＝2ab ＋c 2，所以a 2＋b 2＋13c 2＝2ab ＋43c 2＝2ab ＋43×324ab ＝22ab ，所以M ＝a 2＋b 2＋13c 2ab＝22abab＝2 2.3．(2018·合肥质量检测)已知△ABC 中，D 为AC 边上一点，BC ＝22，∠DBC ＝45°. (1)若CD ＝25，求△BCD 的面积；(2)若角C 为锐角，AB ＝62，sin A ＝1010，求CD 的长． 解：(1)在△BCD 中，CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD ·cos 45°， 即20＝8＋BD 2－4BD ，解得BD ＝6，所以△BCD 的面积S ＝12×22×6×sin 45°＝6.(2)在△ABC 中，由BC sin A ＝AB sin C 得221010＝62sin C，解得sin C ＝31010.由角C 为锐角得，cos C ＝1010， 所以sin ∠BDC ＝sin(C ＋45°)＝255.在△BCD 中，CD sin ∠DBC ＝BC sin ∠BDC ，即CD 22＝22255，解得CD ＝ 5.4．(2018·高考天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sinA ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6.(1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值．解：(1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B，可得b sin A ＝a sin B ，又由b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6，得a sin B ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6，即sin B ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6，可得tan B ＝ 3.又因为B ∈(0，π)，可得B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b＝7.由b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6，可得sin A ＝37.因为a <c ，故cos A ＝27.因此sin 2A ＝2sin A cos A ＝437，cos 2A ＝2cos 2A －1＝17，所以，sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314.。
2019届高考数学二轮复习专题二第2讲解三角形学案
第2讲解三角形正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题．正弦定理、余弦定理、三角形面积公式． (1)正弦定理在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)；变形：a ＝2R sin A ，sin A ＝a 2R， a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等．(2)余弦定理在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc．(3)三角形面积公式S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ．热点一 利用正(余)弦定理进行边角计算【例1】(2018·株洲质检)在ΔΔΔΔ中，角Δ、Δ、Δ的对边分别是Δ、Δ、Δ，已知cos 2Δ=−13，Δ=√3，sin Δ=√6sin Δ． （Ⅰ）求Δ的值；（Ⅱ）若角Δ为锐角，求Δ的值及ΔΔΔΔ的面积． 解（Ⅰ）由cos 2Δ=1−2sin 2Δ得sin 2Δ=23， 因为Δ∈(0，Δ)，∴sin Δ=√63，由sin Δ=√6sin Δ，sin Δ=13， 由正弦定理Δsin Δ=Δsin Δ得Δ=3√2．（Ⅱ）角Δ为锐角，则cos Δ=√33， 由余弦定理得Δ2−2Δ−15=0即Δ=5，或Δ=−3（舍去）， 所以ΔΔΔΔ的面积ΔΔΔΔΔ=12ΔΔsin Δ=5√22．探究提高 1．高考中主要涉及利用正弦、余弦定理求三角形的边长、角、面积等基本计算，或将两个定理与三角恒等变换相结合综合解三角形．2．关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．【训练1】(2017·全国Ⅱ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2．(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 面积为2，求b ．解 (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π，得sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B )．上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0， 解得cos B ＝1(舍去)，cos B ＝1517．(2)由cos B ＝1517，得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac ．又S △ABC ＝2，则ac ＝172．由余弦定理及a ＋c ＝6得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )＝36－2×172×⎝⎛⎭⎪⎫1＋1517＝4．所以b ＝2．热点二 应用正、余弦定理解决实际问题【例2】(2017·衡水质检)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C 处(点C 在水平地面下方，O 为CH 与水平地面ABO 的交点)进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A ，B 两地相距100米，∠BAC ＝60°，其中A 到C 的距离比B 到C 的距离远40米．A 地测得该仪器在C 处的俯角为∠OAC ＝15°，A 地测得最高点H 的仰角为∠HAO ＝30°，则该仪器的垂直弹射高度CH 为（）A ．210(6＋2)米B ．1406米解析 由题意，设AC ＝x 米，则BC ＝(x －40)米，在△ABC 内，由余弦定理：BC 2＝BA 2＋CA 2－2BA ·CA ·cos∠BAC ， 即(x －40)2＝x 2＋10 000－100x ，解得x ＝420米．在△ACH 中，AC ＝420米，∠CAH ＝30°＋15°＝45°，∠CHA ＝90°－30°＝60°， 由正弦定理：CH sin ∠CAH ＝ACsin ∠AHC ．可得CH ＝AC ·sin ∠CAHsin ∠AHC ＝1406(米)．答案 B探究提高 1．实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．2．实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．【训练2】 (2018·衡水中学)如图，一山顶有一信号塔CD （CD 所在的直线与地平面垂直），在山脚A 处测得塔尖C 的仰角为α，沿倾斜角为θ的山坡向上前进l 米后到达B 处，测得C 的仰角为β．（1）求BC 的长；（2）若24l =，45α=o ，75β=o，30θ=o ，求信号塔CD 的高度．解（1）在ABC V 中，CAB αθ∠=-，()ABC πβθ∠=--，ACB βα∠=-．由正弦定理，()()sin sin BC l αθβα-=-．（2）由（1）及条件知，()()sin 12sin BC l αθβα-==-，9015BCD β∠=︒-=︒，45CBD βθ∠=-=︒，120BDC ∠=︒．由正弦定理得sin4524sin120CD BC ︒=⋅=-︒热点三 解三角形与三角函数的交汇问题【例3】(2017·长沙质检)已知函数f (x )＝23sin x cos x －2cos 2x －1，x ∈R ． (1)求函数f (x )的最小正周期和最小值；解 (1)f (x )＝3sin 2x －2cos 2x －1＝3sin 2x －(cos 2x ＋1)－1＝3sin 2x －cos 2x －2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－2， 所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，最小值为－4．(2)因为f (C )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6－2＝0， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C －π6＝1，又C ∈(0，π)，知－π6<2C －π6<116π，所以2C －π6＝π2，得C ＝π3．因为sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋4a 2－2a 2＝3a 2，又c ＝3，所以a ＝1，b ＝2．探究提高 1．解三角形与三角函数的综合题，其中，解决与三角恒等变换有关的问题，优先考虑角与角之间的关系；解决与三角形有关的问题，优先考虑正弦、余弦定理．2．求解该类问题，易忽视C 为三角形内角，未注明C 的限制条件导致产生错解．【训练3】(2018·聊城一中)已知Δ(Δ)=Δ⃑⃑⃑⃑ ⋅Δ⃑⃑⃑⃑ −1，其中向量Δ⃑⃑⃑⃑ =(sin 2Δ，2cos Δ)，Δ⃑⃑⃑⃑ =(√3，cos Δ)，(Δ∈Δ)．（1）求Δ(Δ)的最小正周期和最小值；（2）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为Δ、Δ、Δ，若4A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭a =4b =，求边长Δ的值．解(1) f(x)=(sin2x ，2cosx)·(√3，cosx)-1=√3sin2x+cos2x=2sin （2x ＋Δ6）， ∴f(x)的最小正周期为π，最小值为-2．(2) f(Δ4)=2sin （Δ2＋Δ6）=√3∴sin （Δ2＋Δ6）＝√32， ∴Δ2＋Δ6＝Δ3或2Δ3∴ A ＝Δ3或Δ=Δ（舍去），由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，即13＝16＋c 2-4c ，即c 2-4c+3=0， 从而c =1或c=3．1．(2018·全国II 卷)在ΔΔΔΔ中，cos Δ2=√55，BC=1，AC=5，则AB=（）A ．4√2B ．√30C ．√29D ．2√52．(2017·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A ．π12B ．π6C ．π4D ．π33．(2018·全国III 卷)△ΔΔΔ的内角Δ ， Δ ， Δ的对边分别为Δ，Δ，Δ，若△ΔΔΔ的面积为Δ2+Δ2−Δ24， 则Δ=（） A ．π2B ．π3C ．π4D ．π64．(2018·全国I 卷)△ΔΔΔ的内角Δ ， Δ ， Δ的对边分别为Δ ， Δ ， Δ，已知Δsin Δ+Δsin Δ=4Δsin Δsin Δ，Δ2+Δ2−Δ2=8，则△ΔΔΔ的面积为________．5．(2018·全国I 卷)在平面四边形ΔΔΔΔ中，∠ΔΔΔ=90∘，∠Δ=45∘，ΔΔ=2，ΔΔ=5． （1）求cos∠ΔΔΔ； （2）若ΔΔ=2√2，求ΔΔ．1．(2019·郴州质检)在ΔΔΔΔ中，三内角Δ，Δ，Δ的对边分别为Δ，Δ，Δ，且Δ2+Δ2−√3ΔΔ=Δ2，ΔΔ=√3Δ2，则角Δ的大小是（）A．Δ6或2Δ3B．Δ3C．2Δ3D．Δ62．(2017·山东卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC为锐角三角形，且满足sin B(1＋2cos C)＝2sin A cos C＋cos A sin C，则下列等式成立的是（）A．a＝2b B．b＝2a C．A＝2B D．B＝2A3．(2017·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2b cos B＝a cos C＋c cos A，则B＝________．4．(2019·开封一模)在ΔΔΔΔ中，内角Δ，Δ，Δ所对的边分别为Δ，Δ，Δ，且ΔcosΔ+ΔsinΔ=Δ．（1）求角Δ；（2）若Δ=2，ΔΔΔΔ的周长为6，求ΔΔΔΔ的面积．1．(2019·昆明诊断)在平面四边形ΔΔΔΔ中，∠Δ=90°，∠ΔΔΔ=120°，ΔΔ=1，ΔΔ=2，ΔΔ=3，则ΔΔ=（）A．√5B．√6C．√7D．2√22．(2017·郑州二模)在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c－b2c－a＝sin Asin B＋sin C，则角B＝________．3．(2018·重庆一中)已知函数Δ(Δ)=√3sin2Δ+2cos2Δ−1，Δ∈Δ．(1)求函数Δ(Δ)的最小正周期和单调递减区间；(2)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知Δ=√3，Δ(Δ)=1，sinΔ=2sinΔ，求△ABC面积Δ．4．(2017·衡水中学调研)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若(a－c)sin A－b sin B＋(a ＋b－c)sin C＝0．(1)求角A；(2)当sin B＋sin C取得最大值时，判断△ABC的形状．参考答案1．【解题思路】先根据二倍角余弦公式求cosC ，再根据余弦定理求AB ． 【答案】因为cos Δ=2cos 2Δ2−1=2×(√55)2−1=−35，所以Δ2=Δ2+Δ2−2ΔΔcos Δ=1+25−2×1×5×(−35)=32，∴Δ=4√2，选A ．点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．2．【解题思路】由B A C =π--消去角B ，再化简即可得到A ，再利用正弦定理求C ． 【答案】 由题意得sin(A ＋C )＋sin A (sin C －cos C )＝0， ∴sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，则sin C (sin A ＋cos A )＝2sin C sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝0，因为sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝0，又因为A ∈(0，π)，所以A ＋π4＝π，所以A ＝3π4．由正弦定理asin A ＝c sin C ，得2sin3π4＝2sin C， 则sin C ＝12，得C ＝π6．故选B ．3．【解题思路】利用面积公式Δ△ΔΔΔ=12ΔΔΔΔΔΔ和余弦定理Δ2+Δ2−Δ2=2ΔΔΔΔΔΔ进行计算可得．【答案】由题可知Δ△ΔΔΔ=12ΔΔΔΔΔΔ=Δ2+Δ2−Δ24，所以Δ2+Δ2−Δ2=2absinC，由余弦定理Δ2+Δ2−Δ2=2ΔΔΔΔΔΔ，所以sinC =cosC， ∵C ∈(0，π)，∴C =Δ4，故选C ．点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理．4．【解题思路】首先利用正弦定理将题中的式子化为sin Δsin Δ+sin Δsin Δ=4sin Δsin Δsin Δ，化简求得sin Δ=12，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到2ΔΔcos Δ=8，可以断定A 为锐角，从而求得cos Δ=√32，进一步求得ΔΔ=8√33，利用三角形面积公式求得结果．【答案】因为Δsin Δ+Δsin Δ=4Δsin Δsin Δ，结合正弦定理可得sin Δsin Δ+sin Δsin Δ=4sin Δsin Δsin Δ，可得sin Δ=12，因为Δ2+Δ2−Δ2=8，结合余弦定理Δ2=Δ2+Δ2−2ΔΔΔΔΔΔ，可得2ΔΔcos Δ=8， 所以A 为锐角，且cos Δ=√32，从而求得ΔΔ=8√33，所以△ΔΔΔ的面积为Δ=12ΔΔsin Δ=12⋅8√33⋅12=2√33，故答案是2√33．5．【解题思路】(1)根据正弦定理可以得到ΔΔsin∠Δ=ΔΔsin∠ΔΔΔ，根据题设条件，求得sin∠ΔΔΔ=√25，结合角的范围，利用同角三角函数关系式，求得cos∠ΔΔΔ=√1−225=√235； (2)根据题设条件以及第一问的结论可以求得cos∠ΔΔΔ=sin∠ΔΔΔ=√25，之后在△ΔΔΔ中，用余弦定理得到ΔΔ所满足的关系，从而求得结果．【答案】（1）在△ΔΔΔ中，由正弦定理得ΔΔsin∠Δ=ΔΔsin∠ΔΔΔ． 由题设知，5sin45°=2sin∠ΔΔΔ，所以sin∠ΔΔΔ=√25． 由题设知，∠ΔΔΔ<90°，所以cos∠ΔΔΔ=√1−225=√235． （2）由题设及（1）知，cos∠ΔΔΔ=sin∠ΔΔΔ=√25． 在△ΔΔΔ中，由余弦定理得ΔΔ2=ΔΔ2+ΔΔ2−2⋅ΔΔ⋅ΔΔ⋅cos∠ΔΔΔ =25+8−2×5×2√2×√25=25．所以ΔΔ=5．1．【解题思路】由Δ2+Δ2−√3ΔΔ=Δ2可得cosA =√32，进而利用bc =√3a 2可得sinBsinC=√3sin 2A =√34结合内角和定理可得C 值．【答案】∵Δ2+Δ2−√3ΔΔ=Δ2， ∴cosA =Δ2+Δ2−Δ22ΔΔ=√3ΔΔ2ΔΔ=√32， 由0＜A ＜π，可得A =Δ6，∵ΔΔ=√3Δ2，∴sinBsinC=√3ΔΔΔ2Δ=√34， ∴sin (5Δ6−Δ)ΔΔΔΔ=√34，即12sinCcosC +√34(1−ΔΔΔ2Δ)=√34， 解得tan2C=√3，又0<Δ<5Δ6，∴2C=Δ3或4Δ3，即C=Δ6或2Δ3，故选A ．2．【解题思路】注意等式两边的形式，利用和差角公式以及++=A B C 朝能约的方向进行化简． 【答案】 等式右边＝2sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A cos C ＋sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sin B ． 等式左边＝2sin B cos C ＋sin B ，则2sin B cos C ＋sin B ＝sin A cos C ＋sin B ， 因为角C 为锐角三角形的内角，所以cos C 不为0． 所以2sin B ＝sin A ，根据正弦定理，得a ＝2b ．故选A ． 3．【解题思路】边化角再利用和差角公式即可．【答案】由正弦定理得2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ． ∴2sin B cos B ＝sin B ，又sin B ≠0，∴cos B ＝12，故B ＝π3．故填π3．4．【解题思路】（1）利用正弦定理将已知的边转化为角的形式，然后利用三角形内角和定理以及两角和的正弦公式化简，由此求得Δ的大小．（2）根据周长列出一个方程，利用余弦定理列出第二方程，解方程组求得ΔΔ的值，并求得三角形的面积．【答案】（1）由已知及正弦定理得：sin Δcos Δ+sin Δsin Δ=sin Δ，∵sin Δ=sin (Δ+Δ)=sin Δcos Δ+cos Δsin Δ，∴sin Δsin Δ=cos Δsin Δ， ∵sin Δ≠0∴sin Δ=cos Δ，∵Δ∈(0，Δ)∴Δ=Δ4．（2）∵Δ=2，ΔΔΔΔ的周长Δ=6，∴Δ+Δ=4，由余弦定理得Δ2=(Δ+Δ)2−2ΔΔ−2ΔΔcos Δ，∴4=16−2ΔΔ−√2ΔΔ，ΔΔ=6(2−√2)， ∴ΔΔΔΔ的面积Δ=12ΔΔsin Δ=12×6(2−√2)×√22=3(√2−1)．1．【解题思路】在Rt ΔΔΔΔ中，由AD =1，AC =2，得∠ΔΔΔ=60∘，且∠BAD =120°，所以∠ΔΔΔ=60∘， 由余弦定理得BC 的长度．【答案】在平面四边形ABCD中，如图．在Rt ΔΔΔΔ中，∠D =90°，AD =1，AC =2，所以∠ΔΔΔ=60∘，且∠BAD =120°，所以∠ΔΔΔ=60∘，在ΔΔΔΔ中，AB =3，由余弦定理得B Δ2=ΔΔ2+ΔΔ2−2ΔΔ×ΔΔcos∠ΔΔΔ=7，所以BC=√7． 故选C ．2．【解题思路】角化边即可得．【答案】由c －b 2c －a ＝sin A sin B ＋sin C 及正弦定理， 得c －b 2c －a ＝a b ＋c，则a 2＋c 2－b 2＝2ac ， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝22，从而B ＝π4．故填π4． 3．【解题思路】(1)利用二倍角公式和辅助角公式将函数f(x)进行化简，然后利用正弦函数图像的性质可得周期和单调区间；（2）由f(C)=1，得角C ，由正弦定理得b=2a ，然后利用余弦定理可得a 和b 的值，代入面积公式即可得到答案．【答案】Δ(Δ)=√3sin2Δ+cos2Δ=2sin(2x+π6) (1)最小正周期为Δ=Δ，因为Δ2+2ΔΔ≤2Δ+Δ6≤3Δ2+2ΔΔ，Δ∈Δ， 所以Δ6+ΔΔ≤Δ≤2Δ3+ΔΔ，所以函数的单递减区间为[Δ6+ΔΔ，2Δ3+ΔΔ]，Δ∈Δ． （2）因为Δ(Δ)=2sin (2Δ+Δ6)=1，所以Δ=Δ3， 所以(√3)2=Δ2+Δ2−2ΔΔcos Δ3，Δ2+Δ2−ΔΔ=3①又因为sinB=2sinA ，所以b=2a ② 由①，②可得a=1，b=2，∴Δ=12ΔΔsin Δ=√32． 4．【解题思路】(1)角化边．(2)由B ＋C ＝23π，消元留一个未知量，再化()sin y A x ωϕ=+形式，进而根据角度范围确定其值域．【答案】解 (1)由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ， 可得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R． 代入(a －c )sin A －b sin B ＋(a ＋b －c )sin C ＝0化简整理得：b 2＋c 2－a 2＝bc ， 则b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以cos A ＝12． 又因为A 为三角形内角，所以A ＝π3．(2)由(1)得B ＋C ＝23π， 所以sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－B ＝sin B ＋sin 23πcos B －cos 23πsin B ＝32sin B ＋32cos B ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6． 因为0<B <23π，所以π6<B ＋π6<56π， 所以当B ＝π3时，B ＋π6＝π2，sin B ＋sin C 取得最大值3， 因此C ＝π－(A ＋B )＝π3，所以△ABC 为等边三角形．。
2019江苏高考数学二轮练习教学案(祥解)--三角变换与解三角形
2019江苏高考数学二轮练习教学案（祥解）--三角变换与解三角形注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。
在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。
考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。
只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。
1.掌握三角函数的公式(同角三角函数关系式、诱导公式、和、差角及倍角公式)及应用；能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和条件等式及恒等式的证明；掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形、2.在复习过程中，要熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点及常规使用方法等；熟悉三角变换常用的方法(化弦法、降幂法、角的变换法、“1”的变换等)；掌握化简、求值和解三角形的常规题型；要注意掌握公式之间的内在联系、3.近年来高考对三角函数与向量联系问题的考查有所增加，三角函数知识在几何及实际问题中的应用也是考查重点，应给予充分的重视、新教材降低了对三角函数恒等变形的要求，但对两角和的正切考查一直是重点、1.假设tan α＝3，那么sin2αcos 2α的值等于________.2.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝453，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是________、3.在△ABC 中，tanA ＝12，tanC ＝13，那么角B 的值为________、4.在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，那么AC cosA 的值等于________、【例1】cos α＝17，cos(α－β)＝1314且0<β<α<π2.(1)求tan2α的值；(2)求β.【例2】在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a 2－c 2＝2b ，且sinAcosC ＝3cosAsinC ，求b.【例3】在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a ，b ，c ，sinC ＋cosC ＝1－sin C2.(1)求sinC 的值；(2)假设a 2＋b 2＝4(a ＋b)－8，求边c 的值、【例4】sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x ，tan β＝y ，记y ＝f(x)、(1)求f(x)的解析式；(2)假设角α是一个三角形的最小内角，试求函数f(x)的值域、1.(2017·全国)α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，tan α＝2，那么cos α＝________.2.(2017·江苏)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，那么tanx tan2x 的值为________、3.(2017·重庆)sin α＝12＋cos α，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，那么cos2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4的值为________、 4.(2017·广东)a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，假设a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，那么sinC ＝________.5.(2017·广东)函数f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6，x ∈R .(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3α＋π2＝1013，f(3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值、6.(2017·全国)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ；asinA ＋csinC －2asinC ＝bsinB.(1)求B ；(2)假设A ＝75°，b ＝2，求a ，c.(本小题总分值14分)函数f(x)＝2cos x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3cos x 2－sin x 2.(1)设θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，且f(θ)＝3＋1，求θ的值；(2)在△ABC 中，AB ＝1，f(C)＝3＋1，且△ABC 的面积为32，求sinA ＋sinB 的值、解：(1)f(x)＝23cos 2x 2－2sin x 2cos x 2＝3(1＋cosx)－sinx ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋ 3.(3分) 由2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋3＝3＋1,得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝12.(5分)于是x ＋π6＝2k π±π3(k ∈Z )，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，所以x ＝－π2或π6.(7分)(2)因为C ∈(0，π)，由(1)知C ＝π6.(9分) 因为△ABC 的面积为32，所以32＝12absin π6，于是ab ＝23，①在△ABC 中，设内角A 、B 的对边分别是a 、b ，由余弦定理得1＝a 2＋b 2－2abcos π6＝a 2＋b 2－6，所以a 2＋b 2＝7，② 由①②可得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝3或⎩⎨⎧ a ＝3，b ＝2.于是a ＋b ＝2＋ 3.(12分)由正弦定理得，sinA a ＝sinB b ＝sinC 1＝12，所以sinA ＋sinB ＝12(a ＋b)＝1＋32.(14分)第8讲三角变换与解三角形1.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，假设(a 2＋c 2－b 2)tanB ＝3ac ，那么角B 的值为________、 【答案】π3或2π3解析：由余弦定理得a 2＋c 2－b 22ac ＝cosB,∴tanB ·cosB ＝32，sinB ＝32，B 为π3或2π3.2.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且a ＋c a ＋b ＝b －ac ，(1)求角B 的大小；(2)假设△ABC 最大边的边长为7，且sinC ＝2sinA ，求最小边边长、解：(1)由a ＋c a ＋b ＝b －ac 整理得(a ＋c)c ＝(b －a)(a ＋b)，即ac ＋c 2＝b 2－a 2，∴cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12，∵0＜B ＜π，∴B ＝2π3.(2)∵B ＝2π3，∴最长边为b ，∵sinC ＝2sinA ，∴c ＝2a ，∴a 为最小边，由余弦定理得(7)2＝a 2＋4a 2－2a ·2a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，解得a 2＝1，∴a ＝1，即最小边边长为1. 基础训练1.6解析：sin2αcos 2α＝2tan α.2.－45解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝453化为32cos α＋12sin α＋sin α＝435，3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝435，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45.3.3π4解析：tanB ＝tan(π－A －C)＝－tan(A ＋C)＝－tanA ＋tanC1－tanAtanC ＝－1.4.2解析：由正弦定理得BC sinA ＝AC sinB ，1sinA ＝AC sin2A ，1sinA ＝AC 2sinAcosA ，ACcosA ＝2. 例题选讲例1解：(1)cos α＝17，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝437，tan α＝43，tan2α＝－8347.(2)cos β＝cos(α－(α－β))＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝12，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴β＝π3. 例2解：(解法1)在△ABC 中，∵sinAcosC ＝3cosAsinC ，那么由正弦定理及余弦定理有a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝3×b 2＋c 2－a 22bc ·c ，化简并整理得：2(a 2－c 2)＝b 2，又由a 2－c 2＝2b ，∴4b ＝b 2，解得b ＝4或0(舍)、(解法2)由余弦定理得：a 2－c 2＝b 2－2bccosA.又a 2－c 2＝2b ，b ≠0.所以b ＝2ccosA ＋2，①又sinAcosC ＝3cosAsinC ，∴sinAcosC ＋cosAsinC ＝4cosAsinC ，sin(A ＋C)＝4cosAsinC ，即sinB ＝4cosAsinC ，由正弦定理得sinB ＝b c sinC ，故b ＝4ccosA ，②由①②，解得b ＝4.变式训练在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.(1)假设c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积S ＝3，求a ，b 的值；(2)假设sinC ＋sin(B －A)＝sin2A ，试判断△ABC 的形状、解：(1)由余弦定理及条件得，a 2＋b 2－ab ＝4，又因为△ABC 的面积等于3，所以12absinC ＝3，得ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)由题意得sinBcosA ＝sinAcosA ，当cosA ＝0时，A ＝π2，△ABC 为直角三角形；当cosA ≠0时，得sinB ＝sinA ，由正弦定理得a ＝b ，△ABC 为等腰三角形、所以，△ABC 为直角三角形或等腰三角形、例3解：(1)由得2sin C 2cos C 2＋1－2sin 2C 2＝1－sin C 2，即sin C 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos C 2－2sin C 2＋1＝0，由sin C 2≠0得2cos C 2－2sin C 2＋1＝0，即sin C 2－cos C 2＝12，两边平方得：sinC ＝34.(2)由sin C 2－cos C 2＝12＞0知sin C 2＞cos C 2，那么π4＜C 2＜π2，即π2＜C ＜π，那么由sinC ＝34得cosC ＝－74，又a 2＋b 2＝4(a ＋b)－8，即(a －2)2＋(b －2)2＝0，故a ＝b ＝2，所以由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝8＋27，c ＝7＋1.变式训练△ABC 中，a 、b 、c 是三个内角A 、B 、C 的对边，关于x 的不等式x 2cosC ＋4xsinC ＋6＜0的解集是空集、(1)求角C 的最大值；(2)假设c ＝72，△ABC 的面积S ＝323，求当角C 取最大值时a ＋b 的值、解：(1)∵不等式x 2cosC ＋4xsinC ＋6＜0的解集是空集、∴⎩⎪⎨⎪⎧ cosC ＞0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ cosC ＞0，16sin 2C －24cosC ≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧ cosC ＞0，cosC ≤－2或cosC ≥12， 故cosC ≥12，而cosC ＝0时解集不是空集、∴角C 的最大值为60°.(2)当C ＝60°时，S △ABC ＝12absinC ＝34ab ＝323，∴ab ＝6，由余弦定理得c 2＝a 2＋b2－2abcosC ＝(a ＋b)2－2ab －2abcosC ，∴(a ＋b)2＝c 2＋3ab ＝1214，∴a ＋b ＝112. 例4解：(1)(解法1)注意角的变换2α＋β＝(α＋β)＋α，β＝(α＋β)－α.(1)由sin(2α＋β)＝3sin β得，sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]，那么sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α，∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α，∴tan(α＋β)＝2tan α，于是tan α＋tan β1－tan αtan β＝2tan α，即x ＋y1－xy ＝2x ，∴y ＝x 1＋2x 2，即f(x)＝x1＋2x 2.(解法2)直接展开，利用“1”的变换、sin2αcos β＋cos2αsin β＝3sin β，2sin αcos αcos β＋(cos 2α－sin 2α)sin β＝3sin β，2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2αtan β＝3tan β，2tan α1＋tan 2α＋1－tan 2α1＋tan 2αtan β＝3tan β，∴y ＝x 1＋2x 2，即f(x)＝x1＋2x 2.(2)∵α角是一个三角形的最小内角，∴0<α≤π3，0＜x ≤3，f(x)＝12x ＋1x，设g(x)＝2x ＋1x ，那么g(x)＝2x ＋1x ≥22(当且仅当x ＝22时取等号)，故函数f(x)的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，24.高考回顾1.－55解析：由cos 2α＝cos 2αsin 2α＋cos 2α＝1tan 2α＋1＝15，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，cos α＜0，所以cos α＝－55.2.49解析：∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1＋tanx 1－tanx ＝2,∴tanx ＝13，∴tanx tan2x ＝tanx 2tanx 1－tan 2x ＝1－tan 2x 2＝49.3.－142解析：sin α＝12＋cos α得sin α－cos α＝12，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝24，cos2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4，sin α－cos α＝12，π4＜α＜π2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝144，cos2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－2×144＝－142. 4.1解析：由三角形内角和定理得B ＝π3，根据正弦定理得1sinA ＝3sin π3，即sinA ＝12，1＜3，∴A ＜B ，∴A ＝π6，C ＝π2，sinC ＝1.5.解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－π6＝2sin π4＝ 2.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3α＋π2＝2sin α＝1013，∴sin α＝513，∵α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos α＝1213.f(3β＋2π)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π2＝2cos β＝65，∴cos β＝35，∵β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， ∴sin β＝45.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝1213·35－513·45＝1665.6.解：(1)由正弦定理asinA ＋csinC －2asinC ＝bsinB ，可变形为a 2＋c 2－2ac ＝b 2，即a 2＋c 2－b 2＝2ac ，由余弦定理cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22，又B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(2)由sinA ＝sin(45°＋30°)＝2＋64·sinC ＝sin60°＝32. 由正弦定理a ＝bsinA sinB ＝2×2＋6422＝3＋1，同理c ＝bsinC sinB ＝2×3222＝ 6.。
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第1页教师姓名 学生姓名年 级高一上课时间学 科数学课题名称解三角形2一．知识梳理： 1.三角形面积公式 (1)111sin sin sin 222ABC S ab C ac B bc A ∆=== (2)1()2a a S a h h a =表示边上的高 (3)111sin sin sin ()2224abcS ab C ac B bc A R R====为外接圆半径C B A R sin sin sin 22= 2.正余弦定理 (1)正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C=== (2)余弦定理：2222222222cos ,2cos ,2cos .a b c bc A b c a ac B c a b ab C =+-=+-=+-；(3)变形形式：①C R c B R b A R a sin 2;sin 2;sin 2===；②;2sin ;2sin ;2sin Rc C R b B R a A ===③C B A c b a sin :sin :sin ::=④sin sin sin sin a b c aA B C A++=++解三角形2第2页⑤acb c a C ab c a b B bc a c b A 2cos ;2cos 2cos 222222222-+=-+=-+=；；(4)解决的问题类型：①正弦定理已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角②余弦定理已知三边，求各角；已知两角和它们的夹角，求第三边和其他两个角。
3.三角形中常见的结论(1)在ABC ∆中B A sin sin >是B A >的充要条件B A b a Rb R a B A >⇔>⇔>⇔>22sin sin (2)B A B A B A B A B A =⇔==+=⇔=2cos 2cos ;902sin 2sin 0或 (3)C B A ,,成等差数列060=⇔B(4)C B A ,,成等差数列，c b a ,,成等比数列ABC ∆⇔为等边三角形 (5)sin()sin ;cos()cos ;tan()tan ;sincos ;cos sin .2222A B C A B CA B C A B C A B C +++=+=-+=-== (6)在ABC ∆中，C B A C B A tan tan tan tan tan tan ⋅⋅=++二、例题讲解：1.难点分析3： 图形解答 例1．在2545,10,cos 5ABC B AC C ∆∠=︒==中，，求（1）BC （2）若点D AB 是的中点，求中线CD 的长度。
答案：（1）32BC =；（2）13CD =例2．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为（ ）A ．2B ．23C ．3D ．32答案：D例3．已知在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，4,3,BC AC P ==是AB 上一点，则点P 到,AC BC 的距离 乘积的最大值是 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5答案：B第3页例4．如图，在△ABC 中，若∠B=90°，∠ACD=45°，BC=3，BD=1，求AD 的值 答案：5例5．已知锐角ABC ∆中，3sin()5A B +=，1sin()5A B -=.（1）求证：tan 2tan A B =；（2）设3AB =，求AB 边上的高. 答案：（1）证明：∵3sin()5A B +=，1sin()5A B -= ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+51sin cos cos sin 53sin cos cos sin B A B A B A B A 2sin cos tan 521tan cos sin 5A B A B A B ⎧=⎪⎪⇒⇒=⎨⎪=⎪⎩∴tan 2tan A B = （2）π2A B π<+<3sin()5A B +=∴3tan()4A B +=-， 即B A BA tan tan 1tan tan -+34=-.将tan 2tan A B =代入上式整理得22tan 4tan 10B B --=， 解得26tan 2B ±=（负值舍去）.得26tan 2B +=，∴tan 2tan 26A B ==+. 设AB 边上的高为CD ，则tan CD AB AD DB A =+=+B CDtan 326CD =+. 由3AB =得26CD =+，所以AB 边上的高为26+.例6．如图所示，D 是直角三角形ABC △斜边上BC 上一点，=AB AD ，记,CAD ABC αβ∠=∠=．（1）证明：sin cos 20αβ+=； （2）若，求β的值．DC AC 3= ABDC第4页答案：（2） 【解析】证明（1）∵∴即sin cos 20αβ+=（2）在△ADC 中，由正弦定理得．即 ∴ 由（1）sin cos 2αβ=-∴即解得或因为，所以从而2. 难点分析4：应用分析例7．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB ，小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，且小区里有一条平行于BO 的小路CD ，已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米） 答案：445米【解析】方法一：设该扇形的半径为r 米，连接CO . 由题意，得 500CD =(米)，300DA =（米），60CDO ∠=︒ 在△CDO 中，2222cos60CD OD CD OD OC +-⋅⋅︒=即，2221500(300)2500(300)2r r r +--⨯⨯-⨯=解得 490044511r =≈（米） 答：该扇形的半径OA 的长约为445米. 方法二：连接AC ，作OH AC ⊥，交AC 于H ， 由题意，得500CD =（米）， 300AD =（米），120CDA ∠=︒ 在△CDO 中，2222cos120AC CD AD CD AD =+-⋅⋅⋅︒222150030025003007002=++⨯⨯⨯=. 700AC ∴=（米）. 22211cos 214AC AD CD CAD AC AD +-∠==⋅⋅.在直角△HAO 中，350AH =（米），11cos 14HAO ∠=， 23=β22)22(22πββπππα-=--=∠-=BAD βπβα2cos )22sin(sin -=-=)sin(sin βπα-=AC DC βαsin 3sin DCDC =αβsin 3sin =)sin 21(32cos 3sin 2βββ--=-=03sin sin 322=--ββ23sin =β23sin -=β20πβ<<23sin =β23=βA O D BCH第5页∴ 4900445cos 11AH OA HAO ==≈∠（米）.答：该扇形的半径OA 的长约为445米.例8．某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°、距离A 为10海里的C 处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以9海里／ｈ的速度向某小岛B 靠拢，我海军舰艇立即以21海里／ｈ的速度前去营救，试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间答案：6647'的方位角方向前进，40分钟【解析】设舰艇从A 处靠近渔船所用的时间为xh ，则21AB x =海里，9BC x =海里，10AC =海里，1245(180105)120ACB ∠=∠+∠=+-=，根据余弦定理，可得2222cos120AB AC BC AC BC =+-⋅⋅即222(21)10(9)2109cos120x x x =+-⨯⨯，即22360910100x x -⨯-=解得1225,312x x ==- (舍去) ∴=2114,96AB x BC x === 再由余弦定理可得22222214106cos 0.9286,221410AB AC BC BAC AB AC +-+-∠===⋅⋅⨯⨯∴2147',45+2147'=6647'BAC ∠=∴ 所以舰艇方位角为6647'，32小时即40分钟 答：舰艇应以6647'的方位角方向航行，靠近渔船则需要40分钟例9．某人在塔的正东沿着南偏本600的方向前进40米后望见在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为300，求塔高。
答案：10(33)3-3. 难点分析5：范围、最值例10．在锐角ABC ∆中，边长1,2a b ==，则边长c 的取值范围是_______.第6页答案：(1,5)例11．在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2ac b =，求y =BB Bcos sin 2sin 1++的取值范围.答案：12y <≤例12．已知ABC △中，2222(sin sin )()sin A C a b B -=-，外接圆半径为2. （1）求C ∠，（2）求ABC △面积的最大值. 答案：（1）3π；（2）233例13．某城市有一条公路，自西向东经过A 点到市中心O 点后转向东北方向OB ，现要修建一条铁路L ，L 在OA 上设一站A ，在OB 上设一站B ，铁路在AB 部分为直线段，现要求市中心O 与AB 的距离为10 km ，问把A 、B 分别设在公路上离中心O 多远处才能使|AB |最短?并求其最短距离.（不要求作近似计算）ABLO答案：20(21)+【解析】在AOB ∆中，设,OA a OB b ==，因为OA 为正西方向，OB 为东北方向，所以135AOB ∠=.则222222cos135222(22)AB a b ab a b ab ab ab ab =+-=++≥+=+，当且仅当a b =时，“=”成立.又O 到AB 的距离为10，设,45OAB OBA αα∠=∠=-则 所以a =αsin 10，b =）（α-︒45sin 10，ab =αsin 10·）（α-︒45sin 10=）（αα-︒⋅45sin sin 100=）（αααsin 22cos 22sin 100-=）（αα2cos 1422sin 42100--=2452sin 2400-︒+）（α≥22400-，当且仅当2230'α=时，“=”成立.所以2AB ≥2222400-+）（2400(21)=+，当且仅当,2230'a b α==时，“=”成立.所以当a b ==0322sin 10'︒102(22)=+时，AB 最短，其最短距离为20(21)+，即当AB 分别在,OA OB 上离O 点102(22)+ km 处，能使AB 最短，最短距离为20(21)+第7页例14．如图，已知△ABC 是边长为1的正三角形，M 、N 分别是边AB 、AC 上的点，线段MN 经过△ABC 的中心G ，设∠MGA ＝α（233ππα≤≤） （1）试将△AGM 、△AGN 的面积（分别记为S 1与S 2）； （2）表示为α的函数，求y ＝221211S S ＋的最大值与最小值。