悖论及其对数学发展的影响
数学悖论、数学危机及其对数学的推动作用
数学悖论、数学危机及其对数学的推动作用数学悖论、数学危机及其对数学的推动作用悖论是让数学家无法回避的问题。
悖论出现使得数学体系出现不可靠性和失真理性，这就逼迫数学家投入最大的热情去解决它。
而在解决悖论的过程中，各种理论应运而生了，因而悖论在推动数学发展中的巨大作用。
现在我作如下简单阐述：毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”,而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。
然而，毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”.毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。
希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2 的诞生。
这却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。
这一伟大发现不但对毕达哥拉斯学派的致命打击，也对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。
更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。
这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”.二百年后，欧多克索斯提出的新比例理论暂时消除悖论。
一直到18世纪，当数学家证明了圆周率是无理数时，拥护无理数存在的人才多起来。
到十九世纪下半叶，现在意义上的实数理论建立起来后，无理数本质被彻底搞清，无理数在数学中合法地位的确立，一方面使人类对数的认识从有理数拓展到实数，另一方面也真正彻底、圆满地解决了第一次数学危机。
伴随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪微积分诞生，但是微积分理论是不严格的。
理论都建立在无穷小分析之上，作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。
因而，从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。
其中攻击最猛烈的是英国大主教贝克莱。
数学史上把贝克莱的问题称之为“贝克莱悖论”.笼统地说，贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为0”的问题：就无穷小量在当时实际应用而言，它必须既是0,又不是0.但从形式逻辑而言，这无疑是一个矛盾。
芝诺悖论的认识
芝诺悖论的认识引言芝诺悖论是古希腊哲学家芝诺提出的一系列悖论，它们挑战了我们对于时间、空间和无限的直觉和理解。
这些悖论引发了人们对于逻辑和数学的深度思考，对于哲学和数学领域的发展产生了重要影响。
芝诺悖论的概述芝诺悖论是一系列看似矛盾和荒谬的陈述，但却能通过推理得出合理的结论。
它们挑战了我们对于现实世界的感知和理解，引发了人们对于逻辑和数学的思考。
悖论一：亚基里斯与乌龟赛跑在这个悖论中，亚基里斯与乌龟进行一场赛跑。
乌龟比亚基里斯慢，但亚基里斯必须先给乌龟一个头脑的优势。
然而，根据芝诺的推理，亚基里斯将永远无法超过乌龟，因为每当亚基里斯到达乌龟之前，乌龟已经前进了一段距离。
悖论二：阿喀琉斯与乌龟赛跑这个悖论类似于前一个悖论，但加入了连续性的概念。
根据芝诺的推理，亚基里斯将永远无法超过乌龟，因为在每次追赶乌龟之前，他都必须先赶上乌龟前一刻的位置，而乌龟又会在这一刻前进一段距离。
悖论三：无限齐次线段这个悖论涉及到无限的概念。
根据芝诺的推理，如果我们有一个长度为1的线段，我们可以无限次地将其分成两半。
这意味着我们可以得到无限多个长度为1/2、1/4、1/8等的线段，而它们的总和应该是无限大。
然而，这与我们对于有限和无限的理解相矛盾。
悖论四：阿喀琉斯与乌龟的箭矢在这个悖论中，亚基里斯试图射中乌龟。
然而，根据芝诺的推理，箭矢在射中乌龟之前必须先到达射出箭矢的位置，而在那之前箭矢已经前进了一段距离。
这意味着箭矢永远无法射中乌龟。
芝诺悖论的意义和影响芝诺悖论挑战了我们对于时间、空间和无限的直觉和理解，引发了人们对于逻辑和数学的深度思考。
它们对于哲学和数学领域的发展产生了重要影响。
对于逻辑的影响芝诺悖论迫使人们重新审视逻辑的基础和推理的有效性。
它们揭示了一些常识和直觉可能会导致矛盾和荒谬的结论。
人们开始思考如何修正逻辑系统，以避免这些悖论的出现。
对于数学的影响芝诺悖论对于数学的发展也产生了重要影响。
它们引发了人们对于无限的思考，导致了对于无穷集合和无限序列的研究。
研究悖论的意义
什么是悖论？笼统地说，是指这样的推理过程：它看上去是合理的，但结果却得出了矛盾。悖论在很多情况下表现为能得出不符合排中律的矛盾命题：由它的真，可以推出它为假；由它的假，则可以推出它为真。由于严格性被公认为是数学的一个主要特点，因此如果数学中出现悖论会造成对数学可靠性的怀疑。如果这一悖论涉及面十分广泛的话，这种冲击波会更为强烈，由此导致的怀疑还会引发人们认识上的普遍危机感。在这种情况下，悖论往往会直接导致“数学危机”的产生。按照西方习惯的说法，在数学发展史上迄今为止出现了三次这样的数学危机。 鵜
数学科学历来被视为是严格、和谐、精确的典型学科，但数学的发展从来不是直线式的，它的体系并不是永远和谐的，而常常出现悖论，特别是一些重要悖论的产生，自然引起人们对数学基础的怀疑以及对数学可靠性信仰的动摇。数学史上的三次危机皆由数学产生悖论而引起。悖论虽然看似荒诞，但却在数学史上产生过重要影响，一些著名的悖论曾使高明的数学家和逻辑学家为之震惊，并引发人们长期艰难而深入的思考。可以说悖论的研究对促进数学科学的发展是立过汗马功劳的。
悖论是一种思辨的方法，是研究问题的一种方式，也是历史上一种旧理论被新理论代替的前奏，数学少不了悖论，数学公理系统没有悖论就不是完备的，我们不是去容忍悖论，而是去消解悖论，在消解悖论的过程中提高认知水平。消除悖论的过程常常是完善，发展原有的理论的过程。
悖论是一个涉及数理科学、哲学、逻辑学、语义学等非常广泛的论题，对科学发展的意义不言而喻。从数学方面来看，悖论对数学发展的影响是深刻的、巨大的。因而研究悖论的定义、悖论的产生背景、解决方案以及对数学发展的影响也就是非常必要的。
数学悖论及其对数学发展的影响
数学悖论及其对数学发展的影响摘要：数学悖论，曾经引起了数学界的无数争端，它使得数学前进的脚步一次次陷入迷途。
然而，每一次数学悖论的解决、澄清，又会对数学前进的脚步加快，产生许多新的思想、新的学科，它又使得数学飞翔，毕答哥拉斯悖论的解决，使得数学向公理化、演绎化的方向发展。
贝克莱悖论引起的第二次数学危机的解决以及微积分的发现，使人们的眼睛从有限走向无限，微积分在这一时期的到了完善。
罗素悖论引起的第三次数学危机，又使人们对集合论的基础产生了怀疑，逻辑主义、直觉主义和形式主义之间激烈的争论，最终，哥德尔25岁时的发现又使得数学走向了新的纪元。
1毕答哥拉斯悖论与第一次数学危机1.1毕答哥拉斯悖论毕答哥拉斯悖论，又称希帕索斯悖论。
大约公元前580年到公元前500年左右，产生在撒摩斯岛的著名哲学家、数学家、天文学家、音乐家、教育家毕答哥拉斯（与我国孔子，印度释迦牟尼基本同时）。
这位伟大的天才创办了以其名字命名的学派——毕答哥拉斯学派，这个学派当时对数学做了大量的研究并且有突出的贡献。
毕答哥拉斯及其学派把“万物皆数”作为基本信念。
也就是说，在他们眼里，一切事物和现象可以归结为整数与整数的比，这就是所谓的“数的和谐”。
而他们相信宇宙的本质就是这种“数的和谐”，在这种情况下，他们对几何量做了大量的研究。
换句话说，有理数可以充满整个数轴。
他们通过实验的方式证实了，任何两条线段都是可通约的。
着一命题显然是正确的。
于是，我们可以明白，当毕答哥拉斯学派提出“任何两个量都是可通约的”时，古希腊人是如何坦然地接受这一似乎是无可怀疑的结论，怀疑可作为共同公度量的第三条线段的存在，似乎是十分荒谬的，不是吗？答案竟是：就不是！毕答哥拉斯的一个学生希帕索斯，他发现的###就是人类历史上诞生的第一个无理数，不可通约量或无理数的发现，是毕答哥拉斯学派的最重大的贡献。
1.2第一次数学危机的解决1.2.1欧多克索斯的解决方案毕答哥拉斯悖论，曾使希腊数学的发展陷入迷途、陷入困境。
哲学悖论
有趣的悖论
悖论是指逻辑上可以推导出互相矛盾，但表面上又能自圆其说的命题或结论。
悖论的出现往往是因为人们对某些概念的理解和认识不够深刻所致。
有些悖论是很有趣的，对推动数学发展有一定的促进作用。
1.芝诺悖论
阿基里斯追一只海龟，若海龟在阿基里斯的前面，尽管阿基里斯奔跑的速度比海龟爬行的速度快，但阿基里斯还是永远追不上海龟。
这是因为阿基里斯必须跑到海龟的出发点A;而当他到达点A时，海龟又向前爬了一段，到达了点B;当阿基里斯到达点B时，海龟又向前爬了一段，到达了点C……如此一直追下去，尽管阿基里斯和海龟的距离在无限地缩小，但永远追不上海龟。
2.理发师悖论
理发师悖论是数学家罗素给出的.在萨维尔村，理发师挂出一块招牌“我只给村里所有那些不给自己理发的人理发”，有人问他“你给不给自己理发？”理发师无言以对。
如果他不给自己理发，他就属于“不给自己理发的人”，他就要给自己理发；如果他给自己理发，那么他就成了“给自己理发的人”，他就不该给自己理发。
悖论有三种主要形式：
(1)一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（伴谬）。
(2)一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）。
(3)一系列推理看起来好像无法打破，可是却导致逻辑上自相矛盾。
悖论是表面上同一命题或推理中隐含着两个对立的结论，而这两个结论似乎都能自圆其说，悖论的抽象公式是：若事件A发生，则推导出A不发生；若事件A不发生，则推导出A发生。
悖论论促进了数学、逻辑学、语义学等学科的发展。
数学悖论及其对数学发展的影响
数学悖论及其对数学发展的影响魏瑜（西北师范大学数学与信息科学学院,甘肃兰州 730070）摘要：本文论述了三次数学危机的解决，以及危机解决后给数学带来的新的内容、新的进展，甚至革命性的变更。
关键词:数学危机; 数学;变更Mathematical Paradox and Its Influenceupon the Development of MathematicsWei Y u(Institute of Mathematics and Information Science，Northwest Normal University，Lanzhou730070, China)Abstrct:This paper offers a comprehensive analysis of the solution of mathematical crisises and researches the new content , further development and even revolutionany change in the field of mathematics after the solution.Key words: mathematical paradox ; mathematics; modify1毕答哥拉斯悖论与第一次数学危机1.1毕答哥拉斯悖论毕答哥拉斯悖论，又称希帕索斯悖论。
大约公元前580年到公元前500年左右，出生在撒摩斯岛的著名哲学家、数学家、天文学家、音乐家、教育家毕答哥拉斯（与我国孔子，印度释迦牟尼基本同时）。
这位伟大的天才创办了以其名字命名的学派——毕答哥拉斯学派，这个学派当时对数学做了大量的研究并且有突出的贡献。
毕答哥拉斯及其学派把“万物皆数”作为基本信念。
也就是说，在他们眼里，一切事物和现象可以归结为整数与整数的比，这就是所谓的“数的和谐”。
而他们相信宇宙的本质就是这种“数的和谐”，在这种情况下，他们对几何量做了大量的研究。
悖论对数学的影响
悖论对数学的影响悖论和希尔伯特问题说起悖论，人们会想到著名的“说谎者悖论”，何为说谎者悖论呢，公元前六世纪，克里特岛的哲学家埃庇米尼得斯说到：“所有克里特人都说谎。
”这就是这个著名悖论的来源。
大家有时间可以好好琢磨一下这个悖论，我在这里就不再赘述了。
在漫长的数学发展史中，曾有过三次危机：无理数的发现；微积分的创立，集合论的悖论。
这三次危机，使数学与逻辑学、哲学的联系不断加深，也使人类对各种事物的认识不断得到深化。
1900年巴黎国际数学家代表大会上，希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名讲演。
他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了23个最重要的数学问题。
这23个问题统称希尔伯特问题，后来成为许多数学家力图攻克的难关，对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响，并起了积极的推动作用，希尔伯特问题中有些现已得到圆满解决，有些至今仍未得到解决。
这其中第二个问题和第十个问题对数学的影响最大，这两个问题总结起来可以分为三个部分1、数学是不是完备的？是不是所有数学问题都可以用一组有限的的公理证明？2、数学是不是一致的，无矛盾的？也就是说是不是所有可以证明的命题都是真命题？3、就是后来著名的图灵判定问题，是否有一种明确程序可以判定任何命题是否为真？哥德尔不完备定理20世纪20年代，在集合论不断发展的基础上，大数学家希尔伯特向全世界的数学家抛出了个宏伟计划，其大意是建立一组公理体系，使一切数学命题原则上都可由此经有限步推定真伪，这叫做公理体系的“完备性”，希尔伯特的目的是试图对某一形式语言系统的无矛盾性给出绝对的证明，以便克服悖论引起的危机。
希尔伯特的计划也确实有一定的进展，几乎全世界的数学家都乐观地看着数学大厦即将竣工。
正当一切都越来越明朗之际，突然一声晴天霹雳。
1931年，在希尔伯特提出计划不到3年，年轻的哥德尔就使希尔伯特的梦想变成了令人沮丧的噩梦。
哥德尔证明：任何无矛盾的公理体系，只要包含初等算术的陈述，则必定存在一个不可判定命题，用这组公理不能判定其真假。
数学史上的三次危机及对数学发展的影响
《校园百家讲坛》演讲稿数学史上的三次危机及对数学发展的影响主讲卢伯友一引言“校园百家讲坛”很早就邀请我，要我给同学们讲点什么，因为这个讲坛的神圣性和严肃性，我一直没有敢答应下来。
今天，站在这个讲坛上，我仍然感到诚惶诚恐的。
讲什么呢？从哪儿开始呢?我一直思考着这个问题。
国学大师王国维在《人间词话》中说过：“诗人对宇宙人生，须入乎其内，又须出乎其外。
入乎其内，故能写之。
出乎其外，故能观之。
入乎其内，故有生气。
出乎其外，故有高致。
”同学们平时听课、读书、做习题是入乎其内，今天听讲座是出乎其外，两者相互相成。
只知入乎其内，那是见木不见林，常常会迷失方向。
所以，还要辅助以出乎其外，站出来作高瞻远瞩。
正所谓“风声、雨声、读书声、声声入耳；家事、国事、天下事，事事关心！”整个人类文明的历史就像长江的波浪一样，一浪高过一浪，滚滚向前，科学巨人们站在时代的潮头，以他们的勇气、智慧和勤劳把人类的文明从一个高潮推向另一个高潮。
我们认为，整个人类文明可以分为三个层次：(1) 以锄头为代表的农耕文明；(2) 以大机器流水线作业为代表的工业文明; (3) 以计算机为代表的信息文明。
数学在这三个文明中都是深层次的动力，其作用一次比一次明显。
基于此原因，我今天演讲的题目是：数学史上的三次危机及对数学发展的影响古人讲，欲穷千里目，更上一层楼。
今天，我们站在历史的角度，剖析历史上发生的三次数学危机及其对数学发展的重要影响，让同学们不仅从数学自身的思想方法和应用的角度，而且从文化和历史的高度审视数学的全貌和美丽。
赞美数学思想的博大精深，赞美由数学文化引出的理性精神，以及在理性精神的指导下，人类文明的蓬勃发展。
二数学史上的三次危机及对数学发展的影响1毕达哥拉斯与第一次数学危机1.1第一次数学危机的内容毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。
他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。
由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。
统计学悖论
悖论决不是脱离客观实际的凭空想象，也不是客观事物的规律性在人脑中简单地移植，而是由主客体多次反复作用，认识达到高一级阶段主客体作用的结果。当人们试图以原有的理论和方法及逻辑去解释一些新的现象和规律时，就产生了认识和客体之间的冲突，反映到人的主观思维上，打乱了旧的思维层次，而新的思维不能同原有的知识合乎逻辑地联系起来，这样就产生了悖论。其次，悖论常产生于某一学科新旧理论的结合部，反映了人们的思维从两个对立范围向辩证统一过渡。这无疑是思维方法的进步和飞跃。人们的思维也从抽象统一向具体统一升华，不再把有限和无限，存在和非存在看成非此即彼的两个对立概念，从而使它们辩证地统一起来，进而上升为辩证的思维方式。再次，悖论是新颖独到、创造性的思维活动，它既没有有效的方法和确定的规则可以直接利用，又没有人类以总结的科学理论为依据，显示了思维的智力品质的独创性。同时，我们还看到悖论形成的思维过程，不是循规蹈矩、人云亦云，而是独立思考，对旧也深入到了统计中，由上面的“骗人的平均数”可知在研究统计数据的时候也需要考虑数学悖论的相关知识，把悖论知识与统计结合，更加合理的分析统计数据，使数据能为人类提供更有效的信息，并由此利于作出正确的决策。
因明 芝诺悖论-概述说明以及解释
因明芝诺悖论-概述说明以及解释1.引言1.1 概述芝诺悖论是一个由古希腊哲学家芝诺提出的哲学难题，它通过一系列逻辑推理的方式展示了一些看似荒谬的结论。
这个悖论的出现使人们开始思考该如何理解和解决这种看似无解的问题。
芝诺悖论因其极具挑战性和深远影响而成为了哲学、数学和逻辑学等学科领域中的经典案例。
芝诺悖论的核心思想是运用逻辑和推理的方式，试图揭示出与常识和直觉相悖的结论。
它通过一系列巧妙构造的论证过程，使人们遭遇到逻辑的困境，找不到一个合理的答案。
这种思维的反直觉和矛盾给人们带来了巨大的挑战，同时也引发人们的深思。
芝诺悖论的出现激发了人们对逻辑和推理的思考。
它促使我们重新审视传统的逻辑规则和推理方式是否能够解决这类看似荒谬的问题。
芝诺悖论的引入使人们认识到，传统的逻辑体系可能并不完备，需要对其进行重新构思和拓展。
因此，这个悖论在推动逻辑学和数学领域的发展方面发挥了重要作用。
在本文中，我们将探讨芝诺悖论的起源和背景，对其进行描述和解释，并探讨其对哲学和数学的启示。
我们还将思考如何对芝诺悖论进行思考和总结，并探讨其在实际应用和学科发展中的应用和发展。
通过对这一经典悖论的研究，我们可以拓展我们的思维方式和逻辑能力，并对世界的本质有更加深刻的认识。
1.2文章结构文章结构的设计是非常重要的，它有助于读者理解整篇文章的逻辑结构和思路，使文章更具条理性和连贯性。
在本文中，我们将按照以下结构来组织内容：1. 引言1.1 概述1.2 文章结构1.3 目的2. 正文2.1 芝诺悖论的起源和背景2.2 芝诺悖论的描述和解释2.3 芝诺悖论的影响和意义3. 结论3.1 对芝诺悖论的思考和总结3.2 芝诺悖论对哲学和数学的启示3.3 芝诺悖论的应用和发展在引言部分，我们将给出关于因明和芝诺悖论的简要概述，引出接下来正文的主题。
我们还会提供文章的结构，以帮助读者理解整个论文的内容框架。
最后，我们将说明本篇文章的目的，即对芝诺悖论进行深入的探究和分析。
罗素的数学成就
罗素的数学成就
Bertrand Russell（伯特兰·罗素）是20世纪著名的数学家、哲学家和逻辑学家，他为数学领域做出了重要的贡献。
以下是一些罗素在数学方面的成就：
1.罗素悖论：罗素悖论是他在数理逻辑领域的突出成就之一。
他在对集合论的研究中，发现了集合自身的悖论，即罗素
悖论。
这个悖论揭示了集合论的自指问题，对于后来的数
学基础理论的发展产生了深远的影响。
2.建立数理逻辑系统：罗素是数理逻辑系统的重要奠基人之
一。
他通过对逻辑思维的形式化和符号化，提出了一套完
善的命题逻辑和谓词逻辑的体系，为后来的逻辑学和计算
机科学的发展打下了坚实的基础。
3.Principia Mathematica：与同事Alfred North Whitehead 合
作，罗素创作了《数学原理》（Principia Mathematica），这
是一部宏伟的数学基础理论著作。
该著作试图通过逻辑演
绎的方法，从最基础的数理原理出发，建立数学的一系列
推理和证明，目的是验证数学的一致性和完备性。
4.类型论：为了避免集合论中的悖论问题，罗素发展了类型
论的概念。
他认为不同层次或类型的对象应该遵循不同的
规则和限制，以确保逻辑推理的一致性和可靠性。
类型论
为逻辑的基础提供了一个新的框架，在逻辑学和计算机科
学中有着广泛的应用。
除了上述成就，罗素还对数理哲学、数学哲学和数学教育做出了重要贡献。
他对数学和逻辑学的思考和研究，影响和推动了20世纪的数学发展，对于现代数学和逻辑学的形成和进步具有巨大的影响力。
浅析罗素悖论对数学发展的影响
浅析罗素悖论对数学发展的影响标题浅析罗素悖论对数学发展的影响作者冉秋波关键词罗素悖论产生背景逻辑分析认识论的意义方法论的意义指导老师杨红专业数学与应用数学正文1引言数学的发展史同人类社会发展史一样总是充满着矛盾．当矛盾激化到涉及到危及数学的基础时就会产生数学危机．伴随着矛盾的解决也就引发了数学的变革．推动着数学的发展数学也就会增添新的内容和活力．历史上数学曾有三次大的危机．而悖论在数学发展史中占据着非常重要的位置．悖论按弗兰克尔A．A．Fraenkel与巴希勒尔y．Bar-Hillel的说法如果某一理论的公理和推论原则上看上去是合理的但在这个理论中却推出了两个相互矛盾的命题或者证明了这样一个复合命题他表现为两个互相矛盾的命题的等价式那么我们就说这个理论包含了一个悖论．关于悖论的起源．可以追溯到古希腊和我国的先秦哲学时代而悖论对数学的影响却是上世纪的时．特别是上世纪初出现的集合论中著名的罗素悖论．强烈的震撼了数学大厦由此展开了一场长达三十年的数学基础的大论战从推动了数学基础研究数学哲学研究的发展．本文首先介绍罗素悖论的产生背景及其逻辑分析进而简单的介绍了由其导致的三大数学哲学流派关于数学基础的论点著名的歌德尔定理最后试图阐明罗素悖论的认识论和方法论的意义．2简介罗素悖论产生背景及其逻辑分析21罗素悖论的产生和数学第三次危机．十九世纪末到二十世纪初数学发展进入了一个激烈的变革时期．历史上人们多次统一数学的企图均未成功．十九世纪七十年代德国数学家康托尔G．Cantor1845-1918创立无穷集合论为统一数学的尝试提供了新的基础．在十九世纪行将结束之际．数学分析基础注入严密性和精确化因集合论的应用而得以成功柯西建立了严格的极限理论魏尔斯特拉斯引进了语言戴德金康托尔等又将实数理论严密化．分析有了可靠的基础和完整的体系．整个数学界呈现空前繁荣的景象．因而1900年在巴黎召开的国际数学家大会上法国大数学庞卡莱H．Poincare1854-1921宣称今天我们可以宣称完全的严格性已经达到了1902年也就是巴黎大会才两年后罗素悖论出现了它极大的震动了整个数学界逻辑界和西方哲学界只需把罗素悖论的陈述改用逻辑术语替代集合论术语并以逻辑中定义的性质来代替集合论中定义的集合性质．则罗素悖论就可以在最基本的逻辑概念的形式中得出．由此表明罗素悖论不仅触及到数学基础理论而且也触及到逻辑推理的论证他涉及到一向被认为极为严谨的二门学科-数学和逻辑．因而罗素悖论引起西方著名的数学家逻辑学家和哲学家极大的震惊．罗素悖论的发现宣告了数学基础出现了第三次危机围绕这场危机展开的关于数学基础的激烈争论使数学基础的研究中产生了第三大主要学派逻辑主义自觉主义和形式主义．这一点将在后面做详细介绍．22罗素悖论及其逻辑分析我们将罗素悖论表述如下设是这样一个集合它是由所有那些不属于自身的集合所组成．即A∣A A由于自身也是一个集合故可以考虑是否属于自身的问题由排中律必然有∈或但如果∈则由的定义可得知不属于自身即有此自相矛盾．而如果由于不属于自身那么由的定义又可知属于即有∈这由自相矛盾．由此可知矛盾不可避免．这就是著名的罗素悖论．罗素悖论是作为被包含在古典集合论里的一个悖论不仅很快发他可划归为最基本的逻辑概念形式而且进一步发现能用日常语言来表达它的基本原则．罗素本人就在1919年将其改为著名的理发师悖论．将A岛上所有有刮胡子习惯的人分为两类一类自己为自己刮胡子一类则自己不为自己刮胡子．该岛上有一个刮胡子习惯的理发师给自己约定给而且只给岛上那些自己不为自己刮胡子的人刮胡子．人们现在问这个理发师属于那一类如果他属于自己为自己刮胡子的人那一类则按他自己的约定他不有关给自己刮胡子因此他是个自己不为自己刮胡子的人．又如他属于自己不给自己刮胡子的人一类那按他本人的约定他又必须为自己刮胡子．那他又是自己为自己刮胡子的人．两种说法均导出矛盾．此即为所谓理发师悖论．3罗素悖论的意义1902年罗素悖论的提出引发了数学发展史上最为深刻的数学基础的哲学论战．这场涉及数学根本问题并持续三十年之久的论战虽然由于歌德尔不完备性定理的发现而冷淡下来然而这一历史过程却留给人们很重要的深刻的启发．所以将从认识论方法论的角度对罗素悖论的产生的深远意义作一阐述．31从认识的角度看com使人们认识到产生悖论的根本原因是人的认识与客观实际及认识世界发方法与客观规律的矛盾这种直接和间接的矛盾集中在某一点上的表现就是悖论．数学已经广泛的影响着人类的生活和思想是形成现代文化的主要力量数学的发展史同人类社会发展史一样总是充满着危机的当矛盾激化到危及到数学基础时就会产生数学危机罗素悖论以及解决罗素悖论的歌德尔的不完备性定理所揭示的矛盾在于自己不能包含自己．com时间和空间是无限的这就决定了人的认识也是无限的．但是由于人的认识在各个历史阶段中的局限性和相对性．故在人类认识的各个历史阶段的形成的各个理论体系中均有产生悖论的可能性．在解决罗素悖论的过程中数学哲学形成三大流派鼎立的局面即逻辑主义直觉主义证明主义．三者的共性是认为解决悖论需要某种化归主义的努力来为数学找到可靠的支柱以奠定永恒的牢固的基础．．．．．虽然三派各执一端都以最终的避免悖论为目标．．．．．但是是由于没有进一步探讨三者共同的源泉即整个数学大厦的基础究竟建立在什么样的背景之下歌德尔的不完备定理的出现才结束了这一场长达约三十年的辩论歌德尔的不完备定理指出形式数论系统不完全性的证明不可能在形式系统中实现即．形式算术系统是不完备的他的一致性也不可以用有限方法加以证明．．．．．．不仅是数学的全部甚至是任何一个有意义的分之也不能用一个公理系统概括起来因为任何这样的公理系统都是不完备的．歌德尔的定理指出任何一个数学分支都做不到完全的公理推演而且没有一个数学分支能保证自己没有内部矛盾．歌德尔的两条定理迫使人们对宇宙和数学地位的认识作出了根本性的改变．数学不在是精确论证的顶峰不再是真理的化身数学有他自己的局限性．因此在绝对意义下去寻求产生悖论的终极原因及创造解决悖论的终极方法都是在理论上都是不符合原则的．不仅对于逻辑数学是这样对于以数学作为重要研究工具的自然科学也是这样．同样的随着人类认识客观世界的深化也具备排除悖论的可能性和现实性．由于人类认识世界的深化过程是没有终结的悖论的产生与排除也是没有终结的．从而也使人们认识到任何事物都只存在着相对性．而不存在绝对的真理．32方法论的意义com对罗素悖论的研究推动了数学哲学的深入和发展这促使人们开始更深层的对数学的本体论认识论方法论及数学真理性及其他数学哲学问题的思考．罗素悖论的出现迫使数学家对集合论的严格化．数学中的概念的构成方式以及数学的论证方法重新进行逻辑上哲学上的思考．于是在本世纪之初便产生了一个新的数学领域数学基础形成了对数学基础研究的三大哲学流派最早出现的罗素和怀特海A．N．Whitehead 1861-1913为代表的的逻辑主义继之而起的是以布劳威尔为代表的直觉主义最后兴起的是以希尔伯特为代表的形式主义．他们各自从自己的哲学观点出发解读悖论引起的数学危机从概念的准确性提法的严密性以及推理的合理性等方面加以审查同时对数学的本质数学对象的存在性．数学的真理性以及与数学有关的逻辑问题----对数学是什么这样一个问题进行哲学的思索尽管由于被错误的哲学思考所支配追求所谓完全的严格的数学基础而宣告失败然而现代数学发展史已表明三大流派关于数学基础的辩论对二十世纪数学的发展有着不同程度的推进作用．罗素等人提出的一些逻辑方法为形成新的数学分支数理逻辑奠定了基础．comehead合作试图用逻辑将全部数学推出来经过十年奋战写成了三大卷的《数学原理》principia mathematica 1910-1913这部著作对数理逻辑的发展有着深远的影响．他们所定型的逻辑及其理论至今仍是数理逻辑的主要课题．而符号逻辑的公理化揭示了数学与逻辑之间的关系对当今计算机的研制和人工智能的研究具有巨大的现实意义．布劳威尔强调数学直觉坚持数学对象必须可以构造被视为直觉主义的创始人和代表人物．他com罗素与J-H庞加莱关于数学的逻辑基础的论战极为关注这反映在他的博士论文《论数学基础》1907之中．这时他常反对罗素和D．希尔伯特的观点但又不同意庞加莱关于数学存在性的看法．1912年他被任命为阿姆斯特丹大学教授同年被选为荷兰皇家科学院院士．从此他完全转向数学基础的研究．他强调数学直觉反对GFP康托尔关于实无穷的讨论坚持数学对象必须可以构造并否定排中律的绝对正确性建立构造主义的数学体系包括可构造连续统集合论的构造基础构造的测度论构造的函数论等．直觉主义为推进构造数学的发展作出了重要贡献今天构造数学已成为数学学科的一个重要方向并与计算机科学有着密切联系．1904年希尔伯特着手研究数学基础问题经过多年酝酿于二十年代初提出了如何论证数论集合论或数学分析一致性的方案．他建议从若干形式公理出发将数学形式化为符号语言系统并从不假定实无穷的有穷观点出发建立相应的逻辑系统．然后再研究这个形式语言系统的逻辑性质从而创立了元数学和证明论．希尔伯特的目的是试图对某一形式语言系统的无矛盾性给出绝对的证明以便克服悖论所引起的危机一劳永逸地消除对数学基础以及数学推理方法可靠性的怀疑．然而1930年年青的奥地利数理逻辑学家哥德尔KGdel1906～1978获得了否定的结果证明了希尔伯特方案是不可能实现的．但正如哥德尔所说希尔伯特有关数学基础的方案仍不失其重要性并继续引起人们的高度兴趣．形式主义的方法论对数学的发展影响是很大的希尔伯特的形式主义计划虽然没有可能全部实现但他创立的元数学已经成为一个重要的数学分支．希尔伯特的著作有《希尔伯特全集》三卷其中包括他的著名的《数论报告》《几何基础》《线性积分方程一般理论基础》等与其他合著有《数学物理方法》《理论逻辑基础》《直观几何学》《数学基础》．com悖论的研究推动了数学的发展．为了克服悖论人们试图把集合论公理化用公理对集合加以限制．第一个常用的公理com策com等提出的ZF系统．这个系统中只有一个非逻辑二元关系符号∈非逻辑公理有外延公理空集公理无序对公理并集公理幂集公理无穷公理分离公理模式替换公理模式正则公理．如果加上选择公理就构成ZFC系统．数理逻辑此外证明论和模型论的形成和发展的切近原因近代数学中的类型论多值逻辑公理化集合论的几个重要系统都直接来自悖论的研究被二十世纪数学巨匠．冯．诺伊曼J．Won．Neumonn1903--1957誉为在现代逻辑中的成就是非凡的不朽的他的不朽甚至超过了纪念碑它是一个里程碑在可以望见的未来中永存的纪念碑的歌德尔不完备性定理其直观背景和证明思想也直接来自悖论的分析．1931年奥地利数学家歌德尔K．Godel1906--1978在《数学物理学刊》上发表了一篇题为论《数学原理》和有关系统中的形式不可判命题的论文歌德尔定理具有深刻的数学和哲学意义歌德尔的论文指出了公理化过程的局限性这是人们所始料未及的．他的论文主要影响有四个方面首先它摧毁了数学的所有重要领域能被完全公理化这一强烈的信念再者它扑灭了沿着希尔伯特曾设想的路线证明数学的内部相容性的全部希望．以及它使得人们不得不必须重。
自然辩证法论文-数学悖论促进数学的发展
自然辩证法课程论文数学悖论促进数学的发展XX XXXXXXXXXXXX华中科技大学2010-11-18摘要发现悖论、悖论的解决能促进科学的发展。
数学中的悖论对数学的影响是巨大的，由数学中的悖论直接导致了三次数学危机，以及悖论解决后数学的跨越式发展。
“芝诺悖论”的解决使人们认识到了无理数的存在，“微积分悖论”的解决使得微积分理论获得了坚定的理论基础。
关键词：数学悖论数学的发展“芝诺悖论”“微积分悖论”数学悖论促进数学的发展悖论被大哲学家康德称为“人类理智最奇特的现象”。
悖论是什么？从广义上，凡似是而非或似非而是的论点都叫做悖论。
狭义的悖论是由以下三点定义的：一，悖论是相对于一定的背景知识而言的；二，推导过程合乎逻辑；三，推导后可得到两个相互矛盾命题的等价式。
对于悖论，不能仅从字面上把它理解为“悖理”，简单的斥之为“荒谬”。
因为一个一个理论之所以被认为包含悖论，不是由于它明显的暴露了错误，而是在于看起来它没有问题的，然而却在其中包含了悖论。
悖论的实质是客观事物的辩证性同主观思维的形而上学性以及方法的形式化特性之间矛盾的一种集中反映。
悖论分为两类，第一类：有关前提中包含有直接错误的悖论;第二类：前提中并不包含悖论，或看上去没有问题的悖论。
对于第一类悖论，其积极意义是不言而喻的，通过被悖论引出的逻辑矛盾，有助于揭露推理前提中隐含的错误，检查推理过程中的漏洞，这对于增强思维的严谨性，推动人们的认识的不断发展，无疑是有利的。
对于第二类悖论，其对科学发展的意义就更大了。
悖论对数学发展的影响是深刻的的、巨大的。
“芝诺悖论”引发的第一次数学危机，其促进了数学的严谨性，并促使公理化方法逐步成为希腊数学发展的途径。
2悖论，使得人们把眼光从有理数开拓到了无理数，有力的促进了数学的发展。
“微积分悖论”，即无穷小悖论引发了第二次数学危机，危机的克服、悖论的消除，使得微积分理论获得坚实的理论基础，并且导致了集合论的产生。
康托悖论，即最大基数悖论，该悖论的分析解决，形成了今天大家所熟知的ZF系统。
芝诺悖论对数学界的影响
芝诺悖论对数学界的影响芝诺悖论是古希腊哲学家芝诺提出的一个著名悖论，其内容涉及到了数学、逻辑和哲学等多个领域。
芝诺悖论提出了一种看似合乎逻辑却又不合乎常理的论述，其对数学界产生了深远的影响。
本文将探讨芝诺悖论对数学界的影响，并结合具体案例进行阐述，以便更好地理解其影响。
首先，芝诺悖论对数学界的影响主要体现在逻辑和数学基础的挑战上。
芝诺悖论提出了一种悖论性的思维方式，挑战着人们对事物的直觉理解和逻辑推理。
在数学领域中，逻辑推理是十分重要的，因为数学是一门精密的科学，需要通过严密的逻辑推理来推导出结论。
然而，芝诺悖论却给了人们一个思考的角度，即常理并不总是正确的，有时悖论的思维方式也是值得思考的。
这种挑战对数学家而言是一种激励，使人们不仅仅满足于表面的逻辑推理，而是需要更深入地思考每一个问题。
其次，芝诺悖论对数学界的影响还表现在数学研究方法的改变上。
在数学领域中，传统的数学研究方法主要是通过严格的逻辑推理和数学证明来解决问题。
然而，芝诺悖论却给了人们一个启示，即有些问题可能是悖论的，可能无法通过传统的逻辑推理来解决。
这就促使数学家们开辟了新的研究方向，例如非欧几何、拓扑学等领域的发展，这些领域都是通过对传统逻辑的挑战，形成了独特的研究方法和思维方式。
再次，芝诺悖论对数学教育的影响也是显著的。
在数学教育中，常常会用到芝诺悖论这个经典的悖论来引导学生思考和讨论。
通过芝诺悖论，学生可以了解到逻辑推理的局限性，因此能够更加开阔地看待数学问题，并且培养学生的批判性思维和解决问题的能力。
同时，在教学中引入芝诺悖论也可以激发学生对数学的兴趣，使他们对数学有更深层次的理解和探索。
在实际的数学研究和应用中，芝诺悖论也经常被引用。
比如，拓扑学中的莫比乌斯带就是一个经典的案例。
莫比乌斯带是一个表面只有一个面和一个边的特殊几何体，它在数学和实际生活中都有重要的应用。
这个悖论启发了数学家对不同维度的空间进行研究，拓展了数学领域的研究范围。
朴素集合论和罗素悖论
朴素集合论和罗素悖论在数学发展的历程中，朴素集合论曾经是一个重要的数学分支，它为数学提供了基础的集合理论。
然而，这个看似简单的理论却引发了一个著名的悖论，即罗素悖论。
本文将探讨朴素集合论与罗素悖论之间的关系，分析其产生的原因，并探讨这个悖论对数学发展的影响。
朴素集合论的初衷是为数学提供一个统一的集合理论，以便更好地理解和处理集合的概念。
然而，在深入研究过程中，数学家们发现了一些无法解释的矛盾和问题。
其中最著名的就是罗素悖论。
罗素悖论是由英国数学家伯特兰·罗素提出的，它揭示了朴素集合论的一个重要问题。
罗素悖论描述了一个看似简单的场景：一个集合是否包含它自己的所有元素？如果包含，那么它就不是一个集合，因为它包含了它自己；如果不包含，那么它也不是一个集合，因为它不包含它的所有元素。
这个悖论在当时引起了极大的震撼，因为它挑战了人们对集合的基本理解。
为了解决罗素悖论，数学家们开始重新审视朴素集合论。
他们发现，朴素集合论中的一些基本假设存在问题，导致了悖论的产生。
例如，朴素集合论认为集合是直观上合理的，但实际上这并不总是成立。
在罗素悖论中，问题就出现在对“集合”的定义上。
为了解决罗素悖论，数学家们开始探索新的集合理论。
其中最著名的就是ZF（Zermelo-Fraenkel）集合论。
ZF集合论对集合的定义更加严格和精确，避免了罗素悖论的产生。
同时，它也提供了一种更加严谨的数学基础，使得数学的发展得以继续前进。
罗素悖论的解决对于数学的发展具有重要的意义。
它不仅推动了集合论的发展，也提醒人们对于数学基础的理解需要更加严谨和精确。
此外，罗素悖论也对其他学科产生了影响，例如哲学和逻辑学。
它让人们意识到简单的问题背后可能隐藏着深奥的哲学思考，同时也促使逻辑学更加严谨和精确。
总之，朴素集合论和罗素悖论展示了数学发展中简单与矛盾的交织。
通过对这个悖论的研究和解决，人们不仅深入理解了集合的本质，也推动了数学基础的发展。
数学悖论对数学发展的影响
毕业设计（论文）题目数学悖论对数学发展的影响English Title The Influence of Mathematics Paradoxto Mathematics Development学生姓名朱封文学号04093217指导教师陈火弟职称副教授专业数学与应用数学二00八年六月目录摘要 (I)ABSTRACT (I)第一章数学悖论的概述 (1)1．1 悖论的产生背景及定义 (1)1．2 研究数学悖论的意义 (2)第二章数学史上的三次重要悖论 (4)2.1 毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机 (5)2.1.1第一次数学危机的出现 (5)2.1.2第一次数学危机的解决途径及影响 (5)2.2 贝克莱悖论与第二次数学危机 (7)2.2.1第二次危机的产生 (7)2.2.2第二次危机的解决途径及影响 (10)2.3罗素悖论与第三次数学危机 (11)2.3.1第三次数学危机的出现 (11)2.3.2第三次危机的解决途径及影响 (12)2.4若干其他数学悖论 (15)2.5数学悖论对数学发展的影响 (17)结束语 (20)致谢 (22)参考文献 (23)附录一 (24)附录二 (24)摘要从悖论的产生背景和定义出发，得出数学悖论是由矛盾引起的。
数学悖论对数学发展的影响是深刻的、巨大的。
因而研究悖论的定义、悖论的产生背景、解决方案以及对数学发展的影响也就是非常必要的。
分析了数学悖论的历史和发展，得出数学悖论既引起了著名的三次数学危机，又推动数学的各个分支不断向前发展，并提出研究和解决悖论问题，不但可以丰富数学理论，还可以创造出新的科学观点，促进数学的研究和推动数学的发展。
可见数学中悖论的产生，不单是给数学带来危机和失望，也给数学的发展带来新的生机和希望。
从而说明数学悖论的出现，会引导人们向未知领域进行探索，促进数学的繁荣和发展，具有重要的历史意义。
关键字悖论；数学危机；矛盾；数学发展；意义ABSTRACTFrom the generating backround and the definition of the paradox,we draw a conclusion that the mathematics paradox is caused by the contradiction. It does great and enormous influence to the development of mathematics.Therefore it is essencial to study the definition, generating background of the paradox,and the solution plans for the development of mathematics.Analyzing the history and development of mathematics paradox,we learned that i t not only caused the famous “three mathematics crisis”, pushed forward the branches of Maths, but also proposed to study and solve the paradox.This enriched the Maths theory,created new scientific viewpoints,and promoted the Maths study and development.Th us it’s clear that the production of the paradox not only brings the crisis and disappointment ,but also brings the new life and hope to Maths.Consequently,the appearance of the Maths paradox will guide human to exploit the unknown areas and advanced the prosperity and development of Maths.It has important historical meaning to the world.Keyword Paradox；Mathematical crisis；Contradictions；Mathematical development；Significance第一章数学悖论的概述1．1 悖论的产生背景及定义悖论问题是一个古老而又常新的话题。
悖论对数学发展的积极作用
悖论对数学发展的积极作用悖论并非一无是处。
虽然他们的出现会直接导致“数学危机”的产生，但是悖论的出现逼迫数学家投入最大的热情去解决它们。
而在解决悖论的过程中，着数学本身也得到了发展。
第二次数学危机导源于微积分工具的使用。
微积分这一锐利无比的数学工具问世。
许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如翻掌，从而显示出了它的非凡威力。
但是不管是牛顿、还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。
两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。
因而，微积分一诞生就遭到了一些人的反对与攻击。
其中攻击最猛烈的是英国大主教贝克莱。
贝克莱对牛顿的理论进行了攻击。
他提出的问题在数学史上称为“贝克莱悖论”。
笼统地说，贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为0”的问题。
就无穷小量在当时的实际应用而言，它必须既是0，又不是0。
但从形式逻辑而言，这无疑是一个矛盾。
另外古希腊的大诡辩家芝诺(Zeno)的几个悖论阿基里斯悖论、二分法悖论（运动不存在）、“飞矢不动”悖论也反映出了有限与无限、无穷小与零、零与非零的逻辑矛盾。
这些悖论在当时的数学界引起了一定的混乱，导致了第二次数学危机的产生。
为解决这一悖论，无数人投入了大量的劳动。
法国数学家柯西首先给出了极限的定义；“若代表某变量的一串数值无限地趋向于某一数值时，其差可任意小，则该固定值称为这一串数值的极限”。
柯西之后，魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔各自经过自己独立深入的研究，都将分析基础归结为实数理论，各自建立了自己完整的实数体系。
由此，沿柯西开辟的道路建立起来的严谨的极限理论与实数理论，完成了分析学的逻辑奠基工作。
数学分析的无矛盾性问题归纳为实数论的无矛盾性，从而使微积分学这座人类数学史上空前雄伟的大厦建在了牢固可靠的基础之上。
重建微积分学基础，这项重要而困难的工作就这样经过许多杰出学者的努力而胜利完成了。
微积分学坚实牢固基础的建立，结束了数学中暂时的混乱局面，同时也宣布了第二次数学危机的彻底解决。
罗素集合论悖论
罗素集合论悖论罗素集合论悖论，又称为罗素悖论或罗素悖论悖论，是数理逻辑领域中的一个重要悖论，由英国哲学家、数学家罗素在1901年提出。
该悖论揭示了集合论的一个内在矛盾，引发了对集合论基础的深刻反思，并对数学逻辑的发展产生了深远影响。
我们需要了解集合论的基本概念。
在数学中，集合是由一些确定的对象构成的整体。
集合论的基本假设是：对于任意给定的条件，都存在一个集合，包含满足该条件的所有对象。
然而，罗素集合论悖论却以一种巧妙的方式否定了这个假设。
罗素集合论悖论的表述如下：考虑一个集合R，该集合包含所有不属于自己的集合。
换句话说，R是一个特殊的集合，其中只包含那些不包含自己的集合。
接下来，我们思考这样一个问题：R是否包含自己？如果R包含自己，根据R的定义，它不应该包含自己；而如果R不包含自己，那么根据R的定义，它应该包含自己。
这样的矛盾使得罗素集合论悖论成为了一个无解的问题。
罗素集合论悖论的重要性在于它揭示了集合论的自指问题。
自指是指一个概念引用了自己的情况。
在罗素集合论悖论中，集合R引用了自己，导致了矛盾的产生。
为了解决这个悖论，数学家们提出了多种方法。
其中一种方法是限制集合的形成条件，即不允许引用自身的集合。
这种方法被称为限制公理，它排除了类似于罗素集合论悖论的自指问题，从而确保了集合论的一致性。
另一种方法是引入层次集合论。
层次集合论的基本思想是将集合分层，每一层只包含前一层的子集。
通过这种方式，集合的自指问题被有效地规避，从而避免了悖论的出现。
罗素集合论悖论的出现对于数学逻辑的发展产生了深远的影响。
它促使数学家们重新审视了集合论的基础，提出了一系列新的公理系统，如ZF集合论和GB集合论，以解决集合论的悖论。
这些公理系统成为了现代数学的基石，为数学家们提供了一个严密而一致的工具。
除了对数学的影响外，罗素集合论悖论还引发了对哲学和认识论的思考。
它挑战了人们对于集合的直觉认识，使得人们对于集合的本质和定义产生了更深入的思考。
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悖论及其对数学发展的影响【开场白：一个传说】一个讼师招收徒弟时约定，徒弟学成后第一场官司如果打赢，则交给师傅一两银子，如果打输，就可以不交银子。
后来，弟子满师后却无所事事，迟迟不参与打官司。
老讼师得不到银子，非常生气，告到县衙里，和这位弟子打官司。
这位弟子却不慌不忙地说：“这场官司如果我打赢了当然不给您银子，如果打输了按照约定也不交给您银子，反正我横竖不交银子。
”一句话把老讼师给气死了。
类似的：1)我正在说谎？！！2)鸡与鸡蛋何为先？一、悖论的定义“悖论”（英语：Paradox，俄语：Πарадокс）的字面意思是荒谬的理论，然而其内涵远没有这么简单，它是在一定理论系统前提下的看起来没有问题的矛盾。
关于悖论，目前并没有非常权威性1的定义，以下的解释，在一定程度上是合理的。
通常认为，一个论断，如果不论是肯定还是否定它，都会导出一个与原始判断相反的结论，而要推翻它却又很难给出正当的根据时，这种论断称为悖论；或者，如果一个命题及其否定命题均可以用逻辑上等效的推理加以证明，而其推导又无法明确提出错误时，这种自相矛盾的命题叫做悖论。
这种“定义”，比单纯从字面理解有所细化，也比较容易理解，但仍不够准确。
下述说法是A.A.富兰克尔给出的：如果某种理论的公理及其推理规则看上去是合理的，但在这个理论中却推出了两个互相矛盾的命题，或者证明了这样一个复合命题，它表现为两个矛盾命题的等价式，我们称这个理论包含了一个悖论。
这里强调了悖论是依赖于一定的理论体系的，但是，只是说，某个理论体系包含了悖论，而没有言明什么是悖论。
悖论不同于通常的诡辩或谬论。
诡辩、谬论可以通过已有的理论、逻辑论述其错误的原因，是与现有理论相悖的；而悖论虽感其不妥，但从它所在的理论体系中，不能阐明其错误的原因，是与现有理论相容的。
悖论是（在当时）解释不了的矛盾。
悖论蕴涵真理，但常被人们描绘为倒置的真理；悖论富有魅力，既让您乐在其中，又使您焦躁不安，欲罢不能；数学历史中出现的悖论，为数学的发展提供了契机。
二、悖论的起源起源之一：芝诺悖论（公元前五世纪）芝诺（Zenon Eleates，约公元前490年——约公元前429年）出生于意大利南部的埃利亚（Elea）城，是古希腊埃利亚学派的主要代表人物之一。
他是古希腊著名哲学家巴门尼德（Parmennides）的学生。
他否定现实世界的运动，信奉巴门尼德关于世界上真实的东西只能是“唯一不动的存在”的信条。
在他那个时代，人们对时间和空间的看法有两种截然不同的观点。
一种观点认为，空间和时间无限可分，运动是连续而又平顺的；另一种观点则认为，时间和空间是由一小段一小段不可分的部分组成，运动是间断且跳跃的。
芝诺悖论是针对上述二观点而提出的。
他关于运动的四个悖论，被认为是悖论的起源之一。
其中前两个悖论是针对那种连续的时空观而提出的，后两个悖论则是针对间断时空观提出的。
（1）一物体要从A点到达B点，必先抵达其1/2处之C点；同样，要到达C点，必先抵达其1/4处之D点；而要到达D点，又必先抵达其1/8处之E点。
如此下去，永无止境，因此，运动不可能存在。
据说，在芝诺作关于运动不存在这个悖论的演讲时，当时有一个反对者，在气急之下也只是在听众席前默默地走来走去。
问题：要到达无穷多个位置，是否就需要无限长的时间？（2）阿里斯追不上乌龟阿里斯与乌龟赛跑，阿里斯的速度是乌龟速度的10倍，乌龟先行100米，阿里斯开始追赶；等到阿里斯走过100米时，乌龟又走了10米；等到阿里斯再走过10米时，乌龟又走了1米；…… , 阿里斯永远也追不上乌龟。
问题：无穷多个时间段，是否就是无限长的时间？（3）飞矢不动“飞着的箭静止着”。
飞箭在任一瞬间必然静止在一个确定的位置上，所以，运动就是（无数）静止（的总和）。
问题：什么叫运动？（4）三个物体A,B,C依次等距并行排列，B不动，A以匀速左行，C以同样的速度匀速右行；于是，在B看来，A（相对于B）运动一个长度单位所用的时间等于，在C看来，A（相对于C）运动两个长度单位所用的时间。
悖论：一半时间等于整个时间。
结论：运动是相对的。
起源之二：说谎悖论（约公元前六世纪）说谎悖论是一个语义上的悖论。
多年来通过对它的分析、研究，逐步澄清了语言学在逻辑、语义上存在的混乱和不清，推动了逻辑学、语义学的发展。
说谎悖论产生较早，也被认为是悖论的起源之一。
（1）埃比曼尼德悖论公元前六世纪，克里特岛上的哲学家埃比曼尼德（Epimenides）说：“所有的克里特人都是说谎者。
”（假定说谎者永远说谎，并假定所有克里特人要么都说谎，要么都讲真话。
）如果这句话是“真的”，由于埃比曼尼德本人也是克里特人，他应是说谎者，他说的上述话应该是“假的”。
如果这句话是“假的”，这说明埃比曼尼德本人在说谎，因此所有的克里特人都是说谎者，他说的上述话应该是“真的”。
如果没有前述假定，这句话并不构成悖论。
但在公元前三世纪，欧几里得学派把上述语句修改为“我正在说谎”这倒是一个标准的悖论了。
（2）柏拉图悖论A: 下面B的话是假的；B: 前面A说了真话。
（3）二难论鳄鱼问孩子的母亲：你猜我会不会吃掉你的孩子，猜对了我就不吃，猜错了，我就吃掉他。
母亲说：你是要吃掉我的孩子的。
问题：鳄鱼能否吃掉孩子？三、悖论形成的原因1.认识论方面的因素主观思维的形而上学性与客观事物的辨证性产生矛盾，而矛盾在“极限”情况下表现为“没有出路”的的程度，就出现悖论。
对于具体的悖论，由于科学的不断发展，将在新的理论体系中得到解决，又会在新的情况下出现新的悖论。
2.方法论方面的因素主观思维方法的形式化特性与客观事物的辨证性产生矛盾，而造成悖论。
比如。
Cantor 造集的任意性，就容易产生悖论。
四、悖论对数学发展的影响——三次数学危机从哲学上来看，矛盾无处不在。
即便以确定无疑者著称的数学也不例外。
数学中充满矛盾：正数与负数，实数与虚数，有限与无限，常量与变量，连续与离散，直观与抽象，分析与综合，微分与积分，数与形，加与减等等。
在整个数学发展史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。
而在矛盾激化到涉及到整个数学基础时，就产生数学危机。
要消除矛盾，就要对旧的理论加以审视，找出矛盾根源，建立新的理论体系。
这样当矛盾消除，危机解决时，又往往给数学带来新的内容，新的进展，以致革命性的变化。
在数学发展史上，一般认为从公元前六世纪古希腊的毕达哥拉斯学派算起，到本世纪初的2600年间，经历了三次重大危机。
第一次数学危机发生在公元前470年左右，由无理数的发现所导致；第二次数学危机发生在17世纪，是由于实用但不够严密微积分而产生的；1902年，英国数学家罗素（B. Russell，1872---1970）关于集合的悖论的发表标志着第三次数学危机的到来。
每一次数学危机的出现，都源于数学新思想与传统思想的激烈冲突，因此都是以数学悖论的出现为特征。
而危机的解决则扩大了对数学对象、数学理论与数学方法的认识，从而促进了数学新的发展。
1.第一次数学危机公元前5世纪，无理数的发现，导致了数学的第一次危机。
（1）毕达哥拉斯学派的“万物皆数”学说数学是研究数与形的科学。
远在文字出现之前，人类祖先就已经有了数的概念。
人们最先认识的是1、2、3等自然数。
后来，由于劳动成果的分配问题，而引入了分数（有理数）。
在此后的很长一个时期内，人们认为，有理数就是所有的数了。
到了公元前六世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派坚信：任何一条线段的长度都可以表示为两个整数之比，世界上除了整数和分数（有理数）之外，再也没有别的数了。
这就是“万物皆数”的学说。
毕达哥拉斯学派信奉“万物皆数”这一信条，认为宇宙中的一切现象都能归结为“数”——即有理数。
关于这一信条有两个方面的解释，一个是宗教的，另一个是自然的。
从前者解释，当时他们认为上帝创造了整数“1”，然后由“1”生“2”，由“2”生“3”，以致生出所有的自然数，进而生出所有的（分）数——有理数；再由数生点，由点生线，由线生面，由面生体，由此生出“水、气、火、土”四种元素，最后生出世间万物——物质的和精神的。
“万物皆数”的信条后一种解释是从自然的角度。
他们认为宇宙中的一切现象都能归结为“数”——整数或整数之比。
因此所有的几何量：长度、面积、体积等均可以由整数或整数之比来表示，或者说任何两个量之间都是“可以公度”的——即可以找到一个较小的量去公度它们。
当时他们信奉这一信条是有其“充分”的根据的。
他们已经清楚，有理“数”之全体具有稠密性与和谐性，所谓稠密性是说，任意两个有理数之间，必然存在第三个有理数，从而必然有无穷多个有理数存在，而不管这两个有理数有多么接近。
所谓和谐性是指，有理数之间相处得亲密无间，对任意一个给定的有理数，你永远找不到一个与之最接近的有理数。
因此，毕达哥拉斯学派自然地认为，（有理）数就是所有的量。
（2）无理数的发现与第一次数学危机毕达哥拉斯学派一个最重要的研究成果就是所谓的毕达哥拉斯定理，即勾股定理。
按照这一定理，直角边边长为1的等腰直角三角形的斜边长作为一个几何量也应该是一个分数。
可是，毕达哥拉斯和他的门徒们费了九牛二虎之力也找不到这个分数。
该学派有个成员叫希帕斯(Hippias)，他对这一问题很感兴趣。
希帕斯花费很多时间苦心钻研这类问题，最终发现边长为1的正五边形的对角线的长度，也既不是整数，也不是分数，这是一个人们还没有认识的新数，就是我们现在所说的“无理数”。
像正方形的对角线的长度这样的几何量，却不是一个数（=量），这自然是一个悖论。
这一悖论的出现，动摇了毕达哥拉斯“万物皆数”的信条，推翻了毕达哥拉斯学派的基础，引起了毕达哥拉斯学派的恐慌，直接导致了数学的第一次重大危机。
据说当时毕达哥拉斯学派为了维护该学派的威信，下令严密封锁希帕斯的发现。
希帕斯则由于泄露了这一秘密而被追杀，他因此流浪国外数年。
后来，在地中海的一条海船上，毕达哥拉斯的信徒们发现了希帕斯，他们残忍地把希帕斯扔进海中，结束了希帕斯的生命。
（3）欧多克斯比例理论的建立后来，随着时间的推移，更多的无理数被发现，无理数逐渐被人们所接受。
大约在公元前370年，古希腊数学家、毕达哥拉斯学派的欧多克斯（Eudoxus,公元前408—前355年）建立了新的比例理论，标志着这一悖论的解决，同时无理数得以普遍承认，数学向前推进一大步。