悖论及其对数学发展的影响

悖论及其对数学发展的影响

【开场白：一个传说】一个讼师招收徒弟时约定，徒弟学成后第一场官司如果打赢，则交给师傅一两银子，如果打输，就可以不交银子。后来，弟子满师后却无所事事，迟迟不参与打官司。老讼师得不到银子，非常生气，告到县衙里，和这位弟子打官司。这位弟子却不慌不忙地说：“这场官司如果我打赢了当然不给您银子，如果打输了按照约定也不交给您银子，反正我横竖不交银子。”一句话把老讼师给气死了。

类似的：

1)我正在说谎？！！

2)鸡与鸡蛋何为先？

一、悖论的定义

“悖论”（英语：Paradox，俄语：Πарадокс）的字面意思是荒谬的理论，然而其内涵远没有这么简单，它是在一定理论系统前提下的看起来没有问题的矛盾。

关于悖论，目前并没有非常权威性1

的定义，以下的解释，在一定程度上是合理的。

通常认为，一个论断，如果不论是肯定还是否定它，都会导出一个与原始判断相反的结论，而要推翻它却又很难给出正当的根据时，这种论断称为悖论；或者，如果一个命题及其否定命题均可以用逻辑上等效的推理加以证明，而其推导又无法明确提出错误时，这种自相矛盾的命题叫做悖论。这种“定义”，比单纯从字面理解有所细化，也比较容易理解，但仍不够准确。

下述说法是A.A.富兰克尔给出的：如果某种理论的公理及其推理规则看上去是合理的，但在这个理论中却推出了两个互相矛盾的命题，或者证明了这样一个复合命题，它表现为两个矛盾命题的等价式，我们称这个理论包含了一个悖论。这里强调了悖论是依赖于一定的理论体系的，但是，只是说，某个理论体系包含了悖论，而没有言明什么是悖论。

悖论不同于通常的诡辩或谬论。诡辩、谬论可以通过已有的理论、逻辑论述其错误的原因，是与现有理论相悖的；而悖论虽感其不妥，但从它所在的理论体系中，不能阐明其错误的原因，是与现有理论相容的。悖论是（在当时）解释不了的矛盾。

悖论蕴涵真理，但常被人们描绘为倒置的真理；

悖论富有魅力，既让您乐在其中，又使您焦躁不安，欲罢不能；

数学历史中出现的悖论，为数学的发展提供了契机。

二、悖论的起源

起源之一：芝诺悖论（公元前五世纪）

芝诺（Zenon Eleates，约公元前490年——约公元前429年）出生于意大利南部的埃利亚（Elea）城，是古希腊埃利亚学派的主要代表人物之一。他是古希腊著名哲学家巴门尼德（Parmennides）的学生。他否定现实世界的运动，信奉巴门尼德关于世界上真实的东西只能是“唯一不动的存在”的信条。在他那个时代，人们对时间和空间的看法有两种截然不同的观点。一种观点认为，空间和时间无限可分，运动是连续而又平顺的；另一种观点则认为，时间和空间是由一小段一小段不可分的部分组成，运动是间断且跳跃的。芝诺悖论是针对上述二观点而提出的。他关于运动的四个悖论，被认为是悖论的起源之一。其中前两个悖论是针对那种连续的时空观而提出的，后两个悖论则是针对间断时空观提出的。

（1）

一物体要从A点到达B点，必先抵达其1/2处之C点；同样，要到达C点，必先抵达其1/4处之D点；而要到达D点，又必先抵达其1/8处之E点。如此下去，永无止境，因此，运动不可能存在。

据说，在芝诺作关于运动不存在这个悖论的演讲时，当时有一个反对者，在气急之下也只是在听众席前默默地走来走去。

问题：要到达无穷多个位置，是否就需要无限长的时间？

（2）阿里斯追不上乌龟

阿里斯与乌龟赛跑，阿里斯的速度是乌龟速度的10倍，乌龟先行100米，阿里斯开始追赶；等到阿里斯走过100米时，乌龟又走了10米；等到阿里斯再走过10米时，乌龟又走了1米；…… , 阿里斯永远也追不上乌龟。

问题：无穷多个时间段，是否就是无限长的时间？

（3）飞矢不动

“飞着的箭静止着”。飞箭在任一瞬间必然静止在一个确定的位置上，所以，运动就是（无数）静止（的总和）。

问题：什么叫运动？

（4）

三个物体A,B,C依次等距并行排列，B不动，A以匀速左行，C以同样的速度匀速右行；于是，在B看来，A（相对于B）运动一个长度单位所用的时间等于，在C看来，A（相对于C）运动两个长度单位所用的时间。悖论：一半时间等于整个时间。

结论：运动是相对的。

起源之二：说谎悖论（约公元前六世纪）

说谎悖论是一个语义上的悖论。多年来通过对它的分析、研究，逐步澄清了语言学在逻辑、语义上存在的混乱和不清，推动了逻辑学、语义学的发展。说谎悖论产生较早，也被认为是悖论的起源之一。

（1）埃比曼尼德悖论

公元前六世纪，克里特岛上的哲学家埃比曼尼德（Epimenides）说：“所有的克里特人都是说谎者。”（假定说谎者永远说谎，并假定所有克里特人要么都说谎，要么都讲真话。）如果这句话是“真的”，由于埃比曼尼德本人也是克里特人，他应是说谎者，他说的上述话应该是“假的”。

如果这句话是“假的”，这说明埃比曼尼德本人在说谎，因此所有的克里特人都是说谎者，

他说的上述话应该是“真的”。

如果没有前述假定，这句话并不构成悖论。但在公元前三世纪，欧几里得学派把上述语句修改为

“我正在说谎”

这倒是一个标准的悖论了。

（2）柏拉图悖论

A: 下面B的话是假的；

B: 前面A说了真话。

（3）二难论

鳄鱼问孩子的母亲：你猜我会不会吃掉你的孩子，猜对了我就不吃，猜错了，我就吃掉他。

母亲说：你是要吃掉我的孩子的。

问题：鳄鱼能否吃掉孩子？

三、悖论形成的原因

1.认识论方面的因素

主观思维的形而上学性与客观事物的辨证性产生矛盾，而矛盾在“极限”情况下表现为“没有出路”的的程度，就出现悖论。对于具体的悖论，由于科学的不断发展，将在新的理论体系中得到解决，又会在新的情况下出现新的悖论。

2.方法论方面的因素

主观思维方法的形式化特性与客观事物的辨证性产生矛盾，而造成悖论。比如。Cantor 造集的任意性，就容易产生悖论。

四、悖论对数学发展的影响——三次数学危机

从哲学上来看，矛盾无处不在。即便以确定无疑者著称的数学也不例外。数学中充满矛盾：正数与负数，实数与虚数，有限与无限，常量与变量，连续与离散，直观与抽象，分析与综合，微分与积分，数与形，加与减等等。在整个数学发展史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。而在矛盾激化到涉及到整个数学基础时，就产生数学危机。要消除矛盾，就要对旧的理论加以审视，找出