专题07 圆锥曲线-备战2018高考高三数学(理)全国各地优质模拟试卷分项精品 含解析

【备战2018高考高三数学全国各地优质模拟试卷分项精品】
专题圆锥曲线
一、选择题
1．【2018河南洛阳市联考】设双曲线：的右焦点为，过作渐近线的垂线，垂足分别为，，若是双曲线上任一点到直线的距离，则的值为（）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】B
2．【2018浙江温州一模】正方形的四个顶点都在椭圆上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设正方体的边长为，椭圆的焦点在正方形的内部，，又正方形的四个顶点都在椭圆上，，，
，故选B.
【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.本题是利用椭圆的焦点在正方形的内部，
构造出关于的不等式，最后解出的范围.
3．【2018吉林百校联盟联考】已知抛物线C ： 2
2(0)y px p =>的焦点F 到其准线l 的距离为2，过焦点且倾斜角为60︒的直线与抛物线交于M ， N 两点，若'MM l ⊥， 'NN l ⊥，垂足分别为'M ， 'N ，则''M N F ∆的面积为（ ） A.
43 B. 83 C. 163 D. 323
【答案】B
4．【2018辽宁省八中模拟】已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点为1F 、2F ，
在双曲线上存在点P 满足12122PF PF F F +≤u u u v u u u u v u u u u v
,则此双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）
A. 12e <≤
B. 2e ≥
C. 12e <≤2e ≥【答案】B
【解析】因为OP 为12PF F ∆的边12F F 的中线，可知()
1212
PO PF PF =
+u u u v
u u u
v u u u u v ，双曲线上存在
点P 满足
12122PF PF F F +≤u u u v u u u u v ，则42PO c ≤u u u v ，由PO a ≥u u u v
，可知42a c ≤，则2e ≥，选B.
5．【2018湖南两市九月调研】如图，过抛物线2
2(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于点A B 、，交其准线l 于点C ，若点F 是AC 的中点，且4AF =，则线段AB 的长为（ ）
A. 5
B. 6
C. 163
D. 20
3
【答案】C
由点F 是AC 的中点，有： 22AF MF p ==. 所以24p =.解得2p =. 抛物线2
4y x = 设()()1122,,,A x y B x y ，则11142
p
AF x x =+
=+=.所以13x =. (()3,23,1,0A F . 23
3AF k =
=
AF : ()y 31x =-.与抛物线24y x =联立得： 231030x x -+=.
12103
x x +=
. 121016233
AB x x p =++=
+=. 故选C.
6．【2018辽宁辽南协作校一模】设F 1和F 2为双曲线(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，
若F 1，F 2，(0,2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（ ） A. y=±
3
3
x B. y=±x C. y=±
21x D. y=±21x 【答案】B
7．【2018广东省海珠区一模】已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线均与圆
22650x y x +-+=相切，且双曲线的右焦点为该圆的圆心，则C 的离心率为（ ）
A.
63 B. 62 C. 355 D. 5
2
【答案】C
【解析】双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线方程为b
y x a =±，即0bx ay ±=，圆
22:650C x y x +-+=化为标准方程()()2
234,3,0x y C -+=∴，半径为2， Q 双曲线
()22
2210,0x y a b a b
-=>>的两条渐近线均和圆22:650C x y x +-+=相切， 22222
32,944b b b a b a ∴
=∴=++， ()222222224,54b a b c a c a a ∴==-∴-=Q ，
223595,5c a c e a ∴=∴=
=， ∴双曲线离心率对于35
5
，故选C. 【 方法点睛】本题主要考查双曲线的渐近线及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．本题中，根据点到直线距离公式可以建立关于焦半径和焦距的关系．从而找出,a c 之间的关系求出离心率e 的．
8．【2018广西柳州市一模】若双曲线22
221x y a b
-= (0,0)a b >>上存在一点P 满足以OP
为边长的正方形的面积等于2ab （其中O 为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. 51,
⎛
⎤ ⎥ ⎝⎦ B. 71,⎛⎤
⎥ ⎝⎦ C. 5,⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭ D. 7,⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭
【答案】C
考点：双曲线的离心率．
9．【2018广西柳州市一模】已知点P 是以12,F F 为焦点的椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>上一
点，若1221,2PF PF PF F ⊥∠=，则椭圆的离心率e =（ ）
A.
53 B. 13 C. 23 D. 12
【答案】A
【解析】∵点P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆22x a +2y
b
=1（a ＞b ＞0）上一点，PF 1⊥PF 2，tan ∠
PF 2F 1=2， ∴
12
PF PF =2，设|PF 2|=x ，则|PF 1|=2x ，由椭圆定义知x+2x=2a ，∴x=
23a ，∴|PF 2|=23
a ，则|PF 1|==
43
a ，由勾股定理知|PF 2|2+|PF 1|2=|F 1F 2|2
，∴解得c=5a ，
∴e=
c
a =53
． 点睛：本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的灵活运用．
10．【2018湖南省永州市一模】已知点P 为双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>右支上一点，
12,F F 分别为双曲线的左右焦点，点I 为12PF F ∆的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有
12121
2
IPF IPF IF F S S S ∆∆∆-≥
成立，则双曲线的离心率取值范围为（ ） A. (]1,2 B. ()1,2 C. (]0,2 D. (]
2,3
【来源】【全国市级联考】湖南省永州市2018届高三上学期第一次模拟考试数学（理）试题 【答案】A
【解析】
2r 得1212121211
,22
PF PF F F PF PF F F =+∴-=，根据双曲线定义，得12122,2PF PF a F F c -==， 2a c ∴≥⇒离心率为2c
e a
=≤，双曲线的离心率取值范
围为(]
1,2，故选A.
11．【2018广东珠海市九月摸底】已知抛物线 C ：y 2
=4x ，过点 P (-2 ，0) 作直线 l 与 C 交于 A B 两点，直线 l 的斜率为 k ，则 k 的取值范围是
A. 22,00,⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
B. 22,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
C. 22,22⎛⎫-
⎪ ⎪⎝⎭ D. 22,00,22⎡⎫⎛⎤
-⋃⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦
【答案】A
12．【2018陕西西工大附中六模】已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两条渐近线与抛物
线2
8y x =-的准线分别交于,A B 两点， O 为坐标原点，若ABO ∆的面积为3
曲线的离心率为( ) A.
7
2
B. 2
C. 13
D. 4 【答案】B
【解析】y 2
=−8x 的准线方程为l :x=2，
∵双曲线()222210,0x y a b a b
-=>>的两条渐进线与抛物线y 2
=−8x 的准线分别交于A,B 两
点,△ABO 的面积为43， ∴
142432b a
⨯⨯=， ∴b=3a ， ∴c=2a， ∴2c
e a
=
=. 本题选择B 选项.
点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a
=
； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2
＝c 2
－a 2
转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2
转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)． 二、填空题
13．【2018浙江温州一模】已知直线：
与圆：
交于，两
点（其中是坐标原点），则圆心到直线的距离为__________，点的横坐标为__________． 【答案】 1 3
14．【2018广西三校联考】双曲线的焦距为________ .
【答案】8
【解析】双曲线
22
1 25k9
x y
k
+=
--
,即由题意(25−k)(9−k)<0，
∴9<k<25，
∴2c=25−k+k−9=16，
∴c=4，
∴2c=8，
故答案为8
15．【2018吉林百校联盟联考】已知双曲线C：
22
22
1(0)
x y
a b
a b
-=>>的左、右焦点分别
为
1
F，
2
F，过点
1
F且与双曲线C的一条渐进线垂直的直线l与C的两条渐进线分别交于
M，N两点，若
11
2
NF MF
=，则双曲线C的渐进线方程为__________.
【答案】
3
3
y x
=±
联立直线方程与渐近线方程：
()
{
a
y x c
b
b
y x
a
=-+
=-
，
解方程组可得交点N的坐标为：
2
2222
,
a c abc
N
b a a b
⎛⎫
- ⎪
--
⎝⎭
，
结合
11
2
NF MF
=和两点之间距离公式可得：
22
2ab abc
c a b
-=
-
，
据此有：
2
2
1
3
a
b
=，
则双曲线C的渐进线方程为
3
3
y x =±.
点睛：在双曲线的几何性质中，涉及较多的为离心率和渐近线方程．
(1)求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立e的关系式求e或e的范围；另一种是建立a，b，c的齐次关系式，将b用a，e表示，令两边同除以a或a2化为e的关系式，进而求解．
(2)求曲线()
22
22
10,0
x y
a b
a b
-=>>的渐近线的方法是令
22
22
x y
a b
-=，即得两渐近线方程.
16．【2018湖南两市九月调研】已知F为双曲线
22
22
1(0,0)
x y
a b
a b
-=>>的左焦点，定点A
为双曲线虚轴的一个端点，过,F A两点的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为B，若3
AB FA
=
u u u r u u u r
，则此双曲线的离心率为__________．
【答案】
4
3
联立两直线：{
b
y x b
c
b
y x
a
=+
=
，消去x得：y
B
bc
c a
=
-
.
由3
AB FA
=
u u u r u u u r
，得y4?
B
b
=，所以4?
bc
b
c a
=
-
.
解得离心率
4
e
3
=.
17．【2018海南省八校联考】已知F是抛物线2
:16
C y x
=的焦点，过F的直线l与直线310
x y
+-=垂直，且直线l与抛物线C交于A，B两点，则AB=__________．
【答案】
643
【解析】F 是抛物线2
:16C y x =的焦点，∴()4,0F ，又过F 的直线l 与直线
310x y +-=垂直
∴直线l 的方程为： ()y 34x =-，带入抛物线2
:16C y x =，易得： 2340480x x -+=
设()11A x y =，， ()22B x y =，， 121240
163
x x x x +=
=， ()
2
12126413
43
AB x x x x =++-=。

故答案为： 64
3
三、解答题
18．【2018河南洛阳尖子生联考】如图，点是抛物线：（
）的焦点，点是抛物线上的定点，且，点，是抛物线上的动点，直线
，
斜率分别为，
．
（1）求抛物线的方程； （2）若，点是抛物线在点，处切线的交点，记
的面积为，证明为
定值． 【答案】（1）
（2）
试题解析：
（1）设，由题知，所以，
所以代入（）中得，即，
所以抛物线的方程是．
（2）过作轴平行线交于点，并设，，
由（1）知，
所以，
又，所以，
直线：，直线：，解得
因直线方程为，将代入得，
所以．
点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.
19．【2018浙江温州一模】已知抛物线：（），焦点为，直线交抛物线于，两点，为的中点，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）若，求的最小值．
【答案】（1）；（2）.
果.
试题解析：（1）根据抛物线的定义知，，
∵，
∴，
∴．
（2）设直线的方程为，代入抛物线方程，得，
∵，即，
∴，即，
∴，
∴
，
，
，
，
∴，
令，，则．
【方法点晴】本题主要考查待定系数法求抛物线方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求解的.
20．【2018广西三校九月联考】已知椭圆方程C 为： 22221x y a b
+=， (0)a b >>椭圆的右
焦点为()1,0，离心率为1
2
e =
，直线l ： y kx m =+与椭圆C 相交于A 、B 两点，且3
4
OA OB k k ⋅=-
（1）椭圆的方程及求AOB ∆的面积；
（2）在椭圆上是否存在一点P ，使OAPB 为平行四边形，若存在，求出OP 的取值范围，若不存在说明理由.
【答案】（1）22
143
x y +=， S 3=（2）不存在P
试题解析： （1）由已知1
1,
2
c c a == 2a ∴= 2223b a c ∴=-= ∴椭圆方程为： 22
143
x y += 设A(11,)x y ，B ()22,x y ，则A , B 的坐标满足22
1
{ 43
x y y kx m
+==+ 消去y 化简得， ()
2223484120k x kmx m +++-=， 122
834km
x x k
+=-
+ 2122
41234m x x k
-=+， 0>n 得22430k m -+> ()()()212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++,
2222
2
222
4128312343434m km m k k km m k k k --⎛⎫=+-+= ⎪+++⎝⎭
. 34OA OB K K ⋅=-Q ， 121234y y x x -=，即12123
4
y y x x -=
22222
3123412
34434m k m k k ---∴=
++即
2
2
243m k -=,(
)
()(
)
()()
222
2
2
12122
24843
AB 14134k m k
x x x x k k -+⎡⎤=
++-=
+⎣⎦
+Q n
=
(
)()
(
)2
22
2
2
2
481241342
3434k k k
k k +++=
++n .
O 到直线y kx m =+的距离2
d 1m k
=
+
(
)(
)22
2
2
2
2
2
24124111
1
223421341AOB k k m
m
S d AB k k k k ++∴==
=++++V n ,
22
13424
32234k k +==+n . （2）若存在平行四边形OAPB 使P 在椭圆上，则OP OA OB =+u u u v u u u v u u u v
，设()00P x y ，，
则0122834km x x x k =+=-+,0122
634m
y y y k =+=+,由于P 在椭圆上，所以2200143x y +=，从而化简得
()()
22
2
2
2
22
161213434k m m k k +
=++
化简得 22434m k =+ ①， 由3
4
OA OB K K ⋅=-
，知 22243m k -= ② 联立方程①②知0m =，故不存在P 在椭圆上的平行四边形.
点睛：直线和圆锥曲线的位置关系往往都是联立，韦达定理，弦长公式，最主要是计算一定要细心.
21．【2018河南中原名校质检二】已知椭圆
的离心率为，以原点
为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切.
(1)求椭圆的方程： (2)设
，
是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点
，证明直线
与轴相交于定点.
【答案】（1）（2）
(1)
，即
，
又 ，既 故椭圆的方程为.
(2)由题意知，直线的斜率存在，设其为，则直线的方程为
由可得，
设点，则，①，②
由于直线的方程为
所以令，可得
①②带入到上式既可解得， 所以直线与轴相交于定点.
点睛：椭圆是重要的圆锥曲线的代表之一，也是高考重点考查的重要内容之一。

求解本题的第一问时，依据题设题设中的已知条件，建立方程组，然后通过解方程组从而使得问题获解；解答本题的第二问时，先建立直线的方程，后与椭圆方程联立，然后借助坐标之间的关系分析推证，从而证得直线过定点，并求出了定点分的坐标使得问题获证。

22．【2018吉林百校联盟九月联考】已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12
，
且过点(23,3-， A ， B 是椭圆C 上异于长轴端点的两点. （1）求椭圆C 的方程；
（2）已知直线l ： 8x =，且1AA l ⊥，垂足为1A ， 1BB l ⊥，垂足为1B ，若()3,0D ，且11A B D ∆的面积是ABD ∆面积的5倍，求ABD ∆面积的最大值.
【答案】(1)
2
2
11612
x y +=；(2)3. 后结合对勾函数的性质可得ABD ∆面积的最大值是3. 试题解析：
（1）依题意222221,2123
{1, ,
c a a b
a b c =+==+解得4,{23, 2,
a b c ===
故椭圆C 的方程为
22
11612
x y +=. （2）设直线AB 与x 轴相交于点(),0R r 1
32
ABD A B S r y y ∆=
-⋅-， 11111
52
A B D A B S y y ∆=⨯⨯-，
由于115A B D ABD S S ∆∆=且11A B A B y y y y -=-， 得553r =⨯-， 4r =（舍去）或2r =， 即直线AB 经过点()2,0F ，
设()11,A x y ， ()22,B x y ， AB 的直线方程为： 2x my =+， 由22
2,
{
3448,
x my x y =++=即()
223412360m y my ++-=， 1221234m y y m -+=+， 122
36
34
y y m -=+， ()
2
12121211422
ABD
S y y y y y y ∆=-=+-()
22
2
1
12
34m m
+=+()21
311
m m +=++， 令2
11t m =+≥，所以21212
1
313ABD t S t t t
∆=
=
++，
因为
1
13 33
t t
t t
⎛⎫
⎪
+=+
⎪
⎪
⎝⎭
，所以
1
3t
t
+在
1
,
3
⎡⎫
+∞⎪
⎢⎪
⎣⎭
上单调递增，所以在[)
1,
t∈+∞上单调递增，
所以
1
34
t
t
+≥，所以3
ABD
S
∆
≤（当且仅当211
t m
=+=，即0
m=时“=”成立），
故
ABD
S
∆
的最大值为3.
23．【2018湖南两市九月调研】已知动圆P经过点()
1,0
N，并且与圆()22
:116
M x y
++=
相切.
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）设(),0
G m为轨迹C内的一个动点，过点G且斜率为k的直线l交轨迹C于A B
、两点，当k为何值时？22
||
GA GB
ω=+是与m无关的定值，并求出该值定值.
【答案】（1）
22
1
43
x y
+=；（2）见解析.
试题解析：
（1）由题设得：4
PM PN
+=，所以点P的轨迹C是以M N
、为焦点的椭圆，
22
24,22,3,
a c
b a c
==∴=-=∴
Q椭圆方程为
22
1
43
x y
+=.
（2）设()()()
1122
,,,,,0(22)
A x y
B x y G m m
-<<，直线()
:l y k x m
=-，
由
()
22
{
1
43
y k x m
x y
=-
+=
得()22222
3484120
k x k mx k m
+-+-=，2
22
1212
22
8412
,
4343
mk k m
x x x x
k k
-
+=⋅=
++
()()()
1212122
6
2
43
mk
y y k x m k x m k x x km
k
∴+=-+-=+-=
+
.
()()()
()
22
22222
121212122
34
43
k m
y y k x m x m k x x k m x x k m
k
-⋅=--=-++=
+
.
()()
22
2222
1122
||
GA GB x m y x m y
∴+=-++-+
()()()
22
2
1212121212
2222
x x x x m x x m y y y y
=+--++++-
()
()()
()
222
2
2
2
643243
1
43
m k k
k
k
--++
=+
+
22
||
GA GB
ω=+
Q的值与m无关，2
430
k
∴-=，
解得
3
k=±.此时22
||7
GA GB
ω=+=.
（方法2：①当20
k=时，…；②当0
k≠时，设直线:l x k y m
'
=+，…；可以减少计算量.）
24．【2018辽宁省辽南协作校一模】已知抛物线2
:2
C y x
=，直线:2
l y kx
=+交C于A B
、两点，M是AB的中点，过M作x轴的垂线交C于N点.
（1）证明：抛物线C在N点处的切线与AB平行；
（2）是否存在实数k，使以AB为直径的圆M经过N点？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)见解析;(2) 存在实数2
k=±使以AB为直径的圆M经过N点.
因为()
22'4x x =，所以抛物线在N 点处的切线斜率为k ，故该切线与AB 平行. （2）假设存在实数k ，使以AB 为直径的圆M 经过N 点，则1
2
MN AB =
. 由（1）知()121
2M y y y =+= ()21214224k kx kx ++=
+，又因为MN 垂直于x 轴， 所以216
|8M N k MN y y +=-=，
而2121AB x x k =-+221
1?162
k k =
++ 222
1161?1624k k k +++=，解得2k =±. 所以，存在实数2k =±使以AB 为直径的圆M 经过N 点.
25．【2018广东省海珠区一模】已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的焦距为26且过点
()2,1A .
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若不经过点A 的直线:l y kx m =+与C 交于,P Q 两点，且直线AP 与直线AQ 的斜率之和为0，证明：直线PQ 的斜率为定值.
【答案】（1）22182x y +=；（2）1
2
试题解析：（1）因为椭圆C 的焦距为26，且过点()2,1A ，所以
22
41
1,226c a b +==.因为2
2
2
a b c =+，解得2
2
8,2a b ==，所以椭圆C 的方程为22
182
x y +=. （2）设点()()1122,,,P x y Q x y ，则1122,y kx m y kx m =+=+，由2
2
,
{ 1,82
y kx m x y =++=消去y 得(
)
2
22
418480k x kmx m +++-=，
（*）则2121222848,4141
km m x x x x k k -+=-=++，因为0PA PQ k k +=，即
121211
22
y y x x --=---，化简得()()12211212240x y x y x x y y +-+-++=.即
()()1212212440
kx x m k x x m +--+-+=.
（
**
）
代
入
得
(
)()2222488124404141
k m km m k m k k -----+=++，整理得()()21210k m k -+-=，所以
1
2
k =
或12m k =-.若12m k =-，可得方程（*）的一个根为2，不合题意，所以直线PQ 的斜率为定值，该值为1
2
.
【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系和过两点的斜率公式，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程
()222210x y a b a b +=>>或22
221x y b a
+= ()0a b >>；③找关系：根据已知条件，建立关于a 、b 、c 的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.
26．【2018江西省红色七校联考】已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于
12
，它的一个顶点恰好是抛物线2
83x y =的焦点。

（1）求椭圆C 的标准方程。

（2）已知点()()2,,2,(0)P t Q t t ->在椭圆C 上，点A 、B 是椭圆C 上不同于P 、Q 的两个动点，且满足： APQ BPQ ∠=∠。

试问：直线AB 的斜率是否为定值？请说明理由。

【答案】（1）
2211612x y += （2）12
试题解析：
（1）∵椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，∴设椭圆标准方程为22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0），
∵椭圆离心率等于
12
，它的一个顶点恰好是抛物线2
83x =的焦点． 283x =焦点为3)，
31分）e=c a =12
，a 2﹣b 2=c 2
， ∴解得a 2
=16，b 2
=12
∴椭圆C 的标准方程
22
11612
x y +=． （2）直线 x=﹣2与椭圆22
11612
x y +=交点P （﹣2，3），Q （﹣2，﹣3）或P （﹣2，﹣3），Q （﹣2，3），∴|PQ|=6，设A （x 1，y 1 ），B （ x 2，y 2）， 当∠APQ=∠BPQ 时直线PA ，PB 斜率之和为0． 设PA 斜率为k ，则PB 斜率为﹣k ．
当P （﹣2，3），Q （﹣2，﹣3）时， PA 的直线方程为y ﹣3=k （x+2）
与椭圆联立得（3+4k 2
）x 2
+8k （2k+3）x+4（2k+3）2
﹣48=0
∴()12x +-=22
162434k k k --+
; 同理 ()2221624234k k
x k -++-=+
∴ 2
122
121634k x x k -+=+ 1224834k x x k --=
+ , y 1﹣y 2=k （x 1+2）+3﹣[﹣k （x 2+2）+3]=
2
2434k
k -+ 直线AB 斜率为
12121
2
y y x x -=-
点睛：本题考查椭圆的性质以及抛物线的性质，直线与椭圆的综合问题，解答的关键是认真审题，理清问题与题设的关系，建立合理的方程求出面积函数以及表示出AB 的斜率，此类题有一特点即为将直线与椭圆联立，解答中要注意运用直线方程统一变量，最后消掉出定值.
27．【2018广西柳州市一模】已知椭圆()2222:10x y C a b a b
+=>>的离心率为22， 12
F F 、为椭圆的左右焦点， P 为椭圆短轴的端点， 12PF F ∆的面积为2. （1）求椭圆C 的方程；
（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，试判断直线AB 与圆2
2
2x y +=的位置关系，并证明你的结论.
【答案】(1) 22
142
x y +=,(2)直线AB 与圆222x y +=相切.
d =
=
=
解析：（1）由题意，
222
2
1{22 2
c a c b a b c =⨯⨯==+
，解得2,a b c ===
所以椭圆C 的方程为22
142
x y +=. （2）直线AB 与圆2
2
2x y +=相切.证明如下： 设点,A B 的坐标分别为()()00,,,2x y t ，其中00x ≠. 因为OA OB ⊥，
所以0OA OB ⋅=，即0020tx y +=，解得0
2y t x =-
. 当0x t =时， 2
02
t y =-，代入椭圆C
的方程，得t =，
故直线AB
的方程为x = 圆心O 到直线AB
的距离d =
此时直线AB 与圆2
2
2x y +=相切. 当0x t ≠时，直线AB 的方程为()002
2y y x t x t
--=
--. 即()()0000220y x x t y x ty ---+-=.
d =
又2
2
000
224,y x y t x +==-
，故
d =
=
=
此时直线AB 与圆2
2
2x y +=相切.
点睛：利用向量垂直关系得两点的坐标关系，再求圆心到直先得距离恰为半径．。