08-集合的势解读
集合与集合的势
希尔伯特旅馆
我们再设想一个有无限房间旅馆,各个房间也都住满了客人. 这时又来了无穷多位要求订房间的客人.“好的，先生们请 等一会儿.”旅馆主人说.
解决问题方案：第n号房间的客人移到2n号房间
希尔伯特旅馆
这样继续下去,原来的客人都住进了双号房间,所有的单号 房间都腾出来了,新来的无穷多位客人可以住进单号房间， 问题就解决了！
例2 f ( x) loga x
y loga x x a y , x与y互换得y a x ,所以f 1( x) a x
特别当a e, f ( x) ln x f 1( x) e x
例3 f ( x) sin x,( / 2, / 2) y sin x x arcsin( y), x与y互换得y arcsin( x),所以f 1( x) arcsin( x)
集合映射基本术语
映射丼例
(1) sin x : (, ) [1,1]
(2) tan x : ( 2, 2) (, )
(3) arctan x : (, ) ( 2, 2)
(4) e x :
(, ) (0, )
(5) ln x : (0, ) (, ) (6) 数列{an }可看成是N *到R的映射
集合映射基本术语
定义2 相等映射 设f : A B,g : A B,若对x A,都有
f (x) g(x) 则称映射f 和 g相等,记为f g.
定义3 复合映射
设f : B C ,g : A B,当x A,定义映射
( f g)( x) f (g( x)) 为映射f 与g的复合映射. 注：复合映射的定义域要匹配
复合丼例2 y arccos(ln(| sin x | 1))
08-集合的势
我们怎么比较集合的大小
“数得清”的我们就数元素个数。 “无数”的怎么办？
– “常识”不一定经得起追问。
集合的等势关系
等势关系的定义：
– 如果存在从集合A到集合B的双射，则称集合A与B等 势。
– 集合A与B等势记为：AB, 否则A≉B – AB意味着：A，B中的元素可以“一一对应”。
– 要证明AB，找出任意一个从A到B的双射即可。
传递性：单射的复合仍然是单射
因此，集合优势关系是偏序关系
– 其实，优势关系是全序
优势关系的反对称性用于证明等势
有时候找双射不太容易
– 证明实数集的两个子集(0,1)和[0,1]。
关键是如何安排在[0,1]中但不在(0,1)中的0和1。
想等一象势种那的证个子“集法宇(一：宙定旅有f 馆()x{”a)1,。a2我,a2123们12,.可..}以, “腾取出(0,”1)的前一两个个xx与位0自置1 然安数排集0和合1
集合B优势于集合A 记为 A≼•B
如果集合B优势于集合A，且B与A不等势，则称
“集合B真优势于集合A”，记为A≺•B
实数集合真优势于自然数集 例子：对任意集合A，A的幂集真优势于集合A
集合优势关系的性质
自反性：恒等函数 若A≼•B，且B≼•A，则AB
(Cantor-Bernstein定理)
... <0,0> <1,0> <2,0> <3,0> <4,0>
... <0,1> <1,1> <2,1> <3,1> ... <0,2> <1,2> <2,2> ... <0,3> <1,3>
离散数学第八讲
离散数学：第八讲
提要
集合的大小 无限集合 等势与优势关系 集合计数 容斥原理
自然数与无穷集合
回顾：无穷公理
回顾：从集合构造自然数
自然数的Peano公理系统
有关自然数的若干命题
我们怎么比较集合的大小
“数得清”的我们就数元素个数。
“无数”的怎么办？
“常识”不一定经得起追问。
1
一种证法：
f
(
x)
2 1
22
1
2n 2 x
x0
x 1
x
1 2n
,
n
1,2,3...
x为其它值
优势关系的反对称性用于证明等势 (续)
证明实数集的两个子集(0,1)和[0,1]等势。
分别找两个一对一的映射往往比找一个双射 容易
f : (0,1) [0,1] : f (x) x g : [0,1] (0,1) : g(x) 1 x
集合优势关系的性质
自反性：恒等函数 若A≼•B，且B≼•A，则AB (比较:反对称性)
(Cantor-Bernstein定理)
传递性：单射的复合仍然是单射
优势关系的反对称性用于证明等势
有时候找双射不太容易
证明实数集的两个子集(0,1)和[0,1]等势。
关键是如何安排在[0,1]中但不在(0,1)中的0和1。 想象那个“宇宙旅馆”。我们可以取(0,1)的一个与自然数集合 等势的子集(一定有){a1,a2 ,a3 ,...}, “腾出”前两个位置安排0和1
=|A|+|B|+|C|-|AB|-|AC|-|BC|+|ABC|
集合的大小称为集合的“势” (cardinality)
集合S的势记为|S|
函数与集合的势解读
例2证明在小于或等于2n 的任意 n+1个整数中， 存在两个正整数，使得它们是互质的。
证明：先构造n个“鸽巢”： R1存放1，2； R2存放3，4； …； Rn 存放2n-1，2n。 在1到2n中(包括1和2n)任选n+1个正整数，相当 于从R1，R2，…，Rn 个“鸽巢”中选取 n+1只 “鸽 子”，一定有一个“鸽巢”中取了两只 “鸽子”，即 取了两个正整数，且这两个正整 数是相继的。
f(d1)=f(d2)=…=f(d)。若这件事实不存在，那么对于S中每一元素，最多是D中i-1 个元素的象，则D中最多有元素|S|(i-1)，即|D|≤|S|(i-1)。而 由i的定义知，|D|>|S|(i-1)。矛盾！ 注意：这里，[x]表示不小于x的最小整数, 而通常它被定义为 不大于x的最大整数。
由于奇数与奇数之差是偶数， 故 a1－b1，a2－b2 中至少有一个是偶数。 若a1，a2这两个数同是偶数，结果也是对的，因 偶数与偶数之差也是偶数。
例设x1,x2,…,xn是任意n个整数的一个排列, 求证：其 中存在连续的若干项，它们的和是n的倍数。
证明： 设 ai=x1+x2+…+xi
若诸ai中有n的倍数，则命题成立。
第八章 函数与集合的势
8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 函数的基本概念 函数的复合和可逆函数 无限集 集合势大小的比较 鸽巢原理
鸽巢原理
任意取出3个自然数，至少有两个数是同奇偶的 任意11个人各自写出一个幸运数字，则至少有两 人写出的幸运数字相同。 任意13个人说出自己的生日星座，则至少有两人 的生日星座相同。
例证明：在 n2+1个不同的整数的序列中，或者存 在一个长度为 n+1的递增子序列，或者存 在一个长度为n+1 的递减子序列。
分析第二章第二节集合的势
第二章 函数、函数的极限与函数的连续性第二节 集合的势（集合中元素个数的计数法，阵势，架势，形势）一 、 集之间等势的概念及性质设A 与B 是两个集合，如果存在一个由A 到B 上的一对一的映射，我们就称集A 与B 有相同的势，或者说A 与B 等价，用B A ~来表示。
这就在某些集之间建立了一种关系。
例如 正整数集*N ，正偶数集A ，正奇数集B ，显然有A N ~*，B N ~* 。
很明白，刚才定义的关系具有下列性质：自反性：A A ~；对称性：B A ~，则A B ~； 传递性：若B A ~且C B ~， 则C A ~ 。
二 集中元素个数的计数法我们给出如下的定义：定义 2.8 令*N 是正整数的全体，且},,2,1{n N n（1）如果存在一个正整数n ，使得n N A ~，那么A 叫做有限集。
空集也被认为是有限集。
（2）如果集A 不是有限集，称A 为无限集。
（3）若*~N A ，则称A 为可数集（或可列集）。
（4）若A 既不是有限集，也不是可数集，则称A 为不可数集。
（5）若A 是有限集或者A 是可数集，则称A是至多可数的。
对于两个有限集A与B，显然，A与B有相等的势的充分必要条件是它们的元素个数相同。
但是，对于无限集而言，“元素个数相同”这样的话就变得十分含混。
而一一对应的概念是明确的、毫不含糊的。
在有限集之间，利用一一对应可以完全决定出元素个数的多寡。
设想在一个大礼堂中，恰有2000个座位，在一次演出中所有座位都有观众坐着，并且还有人站着，我们立刻知道到场的观众多于2000；如果不但没人站着而且还有位子空着，便知道到场的人数不足2000。
只有当既没有空着的位子又没有站着的人的时侯，观众的人数正好是2000。
由此可见，集合的势是有限集中“元素个数”这一概念的推广，并且“势”是一切互相等价的集合中惟一共有的属性。
利用一一对应可以完全决定出元素个数的多寡在社会生活中的智慧闪现。
在原始社会或现在一些地方部落，没有更大数的概念（也不会数数），但他们在大量的物对物的交换中，仍能使交换顺利进行，他们是用了一个物对另一个物的一次次交换。
集合的势_可数集与不可数集
但对于无限集 0,1)而言, 对x (0,1), 数x后面紧挨着 ( 的数是谁我们根本清楚 ，即(0,1)中的元素是无法数的， 即(0,1)是不可数的由此看来用数数的方法 . 确定无限集 元素个数是完全行不通 . 的
也许你会说，无限集根 本不用数，它的元素个 数 就是无穷“ ” .那么下面的无限集
11
“”由A的元素可排成无穷序列 .设 A {a1, a2 ,, an ,}, 令 f : A N an f (an ) n 则f是A到N的一一对应，从而 为可数集 A .
定理1.2.3 : A为无限集 A a.
分析：若存在可数集A0 A，则A A0 a. 证明:由A为无限集知， a1 A, 且A {a1}仍为无限集； 于是a2 A {a1}, 且A {a1，a2}仍为无限集 ； , 同理an A {a1，a2 ,, an 1} .令 : ，
A1 {a11 , a12 , a13 , , a1n , } A2 {a21 , a22 , a23 , , a2 n , } A3 {a31 , a32 , a33 , , a3n , } An {an1 , an 2 , an 3 , , ann , }
则 A A ，B B ， A ~ B .
I I
(5).传递性 : A B， C ; 则 A C ; B (6).伯恩斯坦定理 : A B， B; 则 A B; A
(7).三歧性 : A, B是任意二集，则A B， B, A B A 三者必居其一，且仅居 其一.
于是 Ai {a11 , a12 , a21 , a13 , a22 , a31 , , }可数 .
集合的势
集合的势集合：两个条件①所有满足条件的元素都在集合里②集合里的所有元素都满足条件（当然这是朴素集合论的定义）映射f:A→B，要求集合A里的任一元素都有集合B中的一个元素与之对应（若x∈A，则f(x)∈B）单射f:A→B，要求首先是映射，其次不存在A的两个元素映射到B的一个元素（任意x,y∈A，有f(x)≠f(y)）满射f:A→B，要求首先是映射，其次A的元素映射完了B的所有元素（任意z∈B，存在x∈A，有f(x)=z）双射f:A→B，要求又是单射又是满射（双射又叫一一映射）【####】朴素集合论当时几乎所有的数学都是基于简单集合论，但这么简单的定义一看就不靠谱。
果然，有一年罗素说:令A={x|x不属于x}，问A∈A的真假？我随便解释一下：①假设A不属于A，那么显然满足“x不属于x”的条件，A应该属于A的②但如果A属于A了，那么集合内的元素应该得满足“x不属于x”的条件，A又被A排斥出去了回归正题，罗素悖论彻底把数学大厦撼动了，引发了第三次数学危机，至今没完全化解。
现在做的较好的是ZF公理系统配合选择公理（这两个合在一起叫ZFC公理系统）选择公理：最后一条公理总是饱受争议的（大概吧）选择公理的内容是：设C为一个由非空集合所组成的集合。
那么，我们可以从每一个在C中的集合中，都选择一个元素和其所在的集合组成有序二元组来组成一个新的集合这么说吧，假设你的显示屏可以设置亮度、对比色等等内容。
那么这个设置集合是：{亮度集合,对比色集合,…}，亮度集合是：{亮度0,亮度0.1,…}，对比色集合也类似。
现在轮到你设置了，你设置亮度为50，对比色为50，那么这个选择集合变成了：{(亮度集合,亮度50),(对比色集合,对比色50),…}。
我们在各个集合中拿取元素的事情天天发生，很难想象这是错误的。
不过，一些数学家主张废除它，因为由它可以推出一系列匪夷所思的结论比如巴拿赫－塔斯基分球定理：将一个球分成几个部分，经过旋转和平移后，变成两个和原来相同的完整的球这些乱七八糟的东西只是违反常识而已（常识是质量守恒），并不能造成数学的矛盾，数学危机更谈不上了【势】集合大小的评判依据：势（A的势记作card A）我们都知道有限集合之间比大小，太容易了比如 A={1,2} B={1,2,3}card A=2card B=33 > 2，于是B比A大但是无限集合呢？不能都比较一下吗？其实可以，用的方法是——满射！（或单射）假设A营的每个士兵都只打出一发子弹，就干掉了B营的所有士兵这说明什么？说明A营人多啊！但又不能排除A营人与B营人一样多的情况所以：★A满射B等价于card A≥card B同样：★B单射A等价于card A≥card B那么双射是什么情况？card A又不比card B小，又不比card B大就只能card A=card B了★A双射B等价于card A=card B【阿列夫数】数学上用阿列夫数来表示无限集合的势（阿列夫是一个符号，我打不出来所以请网上查一下吧……是一个看起来像N的符号）把这些势从小到大依次排好：阿列夫0是自然数集的势阿列夫1是实数集的势阿列夫2是所有曲线组成的集合的势……估计会有人问阿列夫3、阿列夫4是什么，用一下康托尔定理就可以回答：阿列夫3是所有曲线组成的集合的子集组成的集合的势，阿列夫4是blablabla的子集组成的集合的势（康托尔定理在后面会讲到）我接下来讲的东西，是读者看到这里可能产生的疑问，其中有：·自然数集是最小的无限集吗？Alef 0和Alef 1之间什么都没有吗？为什么自然数集的潜力小于实数集的潜力？·以及康托尔定理·以及一些常见的集合的双射方法【####】无穷大读者可能会有这样的疑问:无穷大和Alev数有什么关系？两个看起来都很大甚至会认为，阿列夫0是无穷大，阿列夫1是更加大的无穷大，……其实，这两个概念没什么交集，无穷大为了描述一个要多大有多大的数，而阿列夫数描述的是无限集的势，而且阿列夫数是集合间相互比较（厮杀）产生的无穷大是怎么样的一个概念呢？比如a=1,2,3,4,5,…，a永远不会趋近于某个值，而且可以到达距离原点极远的地方（要多远有多远，你说的任意一个数都可以超越），这就是无穷大代表无穷大的a，是可以参与一切数字运算的，比如a/a=1（如果b=2a，显然b也是无穷大，那么b/a=2），那么你说阿列夫1/阿列夫0是多少？在我看来，无穷大描述的是“大”，而阿列夫数描述的是“多”，就是描述集合里元素的多少再强调一遍，无穷大和阿列夫数没关系【正偶数集和正整数集的双射】显然把正偶数除以2就可以了(2,4,6,8,10,…)除以2变成(1,2,3,4,5,…)%%%引用自百度百科：希尔伯特旅馆（我觉得有道理才引用的，whatever it is）希尔伯特在谈到“无限大数”的奇怪而美妙的性质时说到：我们设想有一家旅馆，内设有限个房间，而所有的房间都已客满。
集合的势,你了解吗~
集合的势,你了解吗~布于 2021-09-06 23:42写在前⾯我的好朋友们，⼤家好哎~ 好久没有更新啦，所以今天xia写⼀些东西，谈⼀下⾃⼰对集合的认识，代表我还在呢！^-^ 反正最近就是去外边⼲项⽬了，⼜学了⼀堆奇奇怪怪的知识，也发⽣了许多神奇的事情~~~摘要: 本⽂的相关内容主要取⾃本学年开设的泛函分析课程，对集合的势理论做了深⼊的分析与思考，其中还涉及了映射关系、集合势的意义、⽆穷⼤与阿列夫数以及⼀些看起来的悖论命题等部分。
1引⾔初次接触泛函分析，⼼⾥还是怀着激动的⼼情，毕竟⼏年都没有接触数学⽅⾯的知识，对于这门课在⾃⼰后⾯的科研学习中到底有多⼤的作⽤，暂时我还不能得知，但隐隐约约感到这⼀门课程将会影响我的数学思维，给我带来潜移默化的影响。
相信⼤多数⼈对于数学的直观感受就是晦涩难懂，尤其是像泛函分析这种纯理论推理证明的课程，有这些感受我认为是很正常的，⾄少当初⾃⼰也是这么认为的，但总的来讲正是有了这些⾼度抽象的理论，才让我们发现了宇宙的奥妙以及事物的本质，⽐如海王星的发现，光的波粒⼆象性等等，⽆不涉及数学。
⽽相⽐数学中的那些定理公式，我更喜欢那些定理公式后有趣的数学故事，⽐如像希尔伯特的"旅馆"、⽜顿的"苹果"等，因为每⼀个故事背后都蕴含着深刻的理论，通过这些故事更能深⼊地理解那些理论，也会使得数学显得不在那么枯燥乏味，尤其是像泛函分析这类纯理论推理证明的课程。
说是应⽤泛函分析课程，倒不如说是预备知识课程，因为学习泛函分析需要掌握众多的基础理论知识，像集合、映射、势、测度以及距离空间等⼀系类的预备知识。
本来打算要写对测度理论的理解与分析，由于测度⾃⼰学的还不够深⼊，想了想还是写写⾃⼰⽐较感兴趣的集合这个专题，本⽂将主要围绕集合的势进⾏展开，分享⼀下⾃⼰的所学所想。
2集合⾥的映射关系映射作为集合中常见的⼀种对应关系，算是⽐较重要的概念。
映射关系在⽇常⽣活当中，也是⾮常的普遍，⽐如在⼀定年龄段，你的⾝⾼总是与体重呈现某种关系，这是⼀种简单的映射。
集合的基数
所以， g：{0,1}N→[0,1) 是单射的。
根据定理9.3，有{0,1}N≈[0,1)。
总结
N ≈ Z ≈ Q ≈ N×N R ≈ [a,b] ≈ (c,d) ≈ {0,1}N ≈ P(N) 其中[a,b]，(c,d)代表任意的实数闭区间和开区间。 {0,1}A ≈ P(A)
N ＜·R
A ＜·P(A)
2 集合的基数
上一节我们只是抽象地讨论了集合的等势与优势。 本节将进一步研究度量集合的势的方法。 最简单的集合是有穷集。尽管前面已经多次用到“有穷集 ”这一概念，当时只是直观地理解成含有有限多个元素的 集合，但一直没有精确地给出有穷集的定义。为解决这个 问题我们需要先定义自然数和自然数集合。
复习
B={x| x∈A∧g(x)=1}
则BA，且B=g，即B∈P(A)，使得f(B)=g。 所以 f 是满射的。 由等势定义得P(A)≈{0,1}A。
等势的性质
定理1 设A，B，C是任意集合， （1）A≈A。
（2）若A≈B，则B≈A。
（3）若A≈B，B≈C，则A≈C。
证明 （1） IA是从A到A的双射，因此A≈A。
(2) 定义函数g：{0,1}N→[0,1)。 g的映射法则恰好与 f 相反， 即
t∈{0,1}N，t：N→{0,1}，g(t)=0.x1x2…, 其中xn+1=t(n)。
但不同的是，将0.x1x2…看作数x的十进制表示。 例如t1，t2∈{0,1}N，且g(t1)＝0.0111…，g(t2)＝0.1000…， 若将g(t1)和g(t2)都看成二进制表示，则g(t1)＝g(t2)； 但若看成十进制表示，则g(t1)≠g(t2)。
N ≤·N
N ≤·R A ≤·P(A)
第七讲：集合的势
据此，还不能确定归纳集是否存在。大多数人 认为宇宙是无穷的（ Hilbert 则否）为了保证
归纳集的存在，引入无穷公理
自然数与无穷集合 7
无穷公理
无穷公理（Axiom of Infinity，无穷性原则）： ∃������ ∅ ∈ ������ ∧ ∀������ ∈ ������ ������ + ∈ ������
等势关系的性质
自反性：������������ : ������ 对称性：������: ������
������−������,������������������������
������
−������
������−������,������������������������
������ ⇒ ������
⑵ 令ℕ∗ = {0,11 , 22 , 33 , 44 , 55 , ⋯ }，易见ℕ ≈ ℕ∗
18
有穷集与无穷集
关于无穷集的讨论：等势与集合相等（续）
Hilbert 佯谬： ������, ������, ������, ⋯ ≈ ������, ������, ������, ⋯
有穷集与无穷集
������，记为������ ≈ ������（或������~������）
12
有穷集与无穷集
有穷集与无穷集
定义（有穷集,无穷集,可列集）：������为集合，
⑴若有自然数������使得������ ≈ ������，则称������为有穷集，
且记������的势（或称基数，cardinal）为 ������ = ������
10
自然数与无穷集合
第八章函数与集合的势-PPT精品
例5
设 A={x∊R│0<x<1}，则|A|=|R|， 其中R 是实数集。 解：令 g:A→R，
∀x∊A，g(x)=cot(πx)。 则 g是一个双射， 故有 |R|=|A|。
注意: cot(0)与cot(π)没有定义, 书上有误.
例6
设A={x∊R│0 ≤ x ≤ 1}，B={x∊R│0 ≤ x < 1} 求证： |A|=|B|。
规定用 |A|
来表示一个集合A所含有的不同元素的多少， 称为集合A的势(或称基数)。
显然， | Ø |=0
注意： 一般规定card(A)表示集合A的势，而在A是 有限集时用|A|表示，本书有限集情况较多， 为统一起见用|A| 表示。
|A|=|B|
定义1 A，B是两个集合， 若存在f:A→B，且 f是双射函数， 则称集合A与集合B的势相等，记为 |A|=|B|
k=1+max{g(0), g(1), ⋯,g(n-1)}， 显然，k∊N，但对于任意的x∊{0, 1, 2, ⋯, n-1}，
g(x) ≠k， 因此g不是满射函数，与 g是双射函数矛盾。 矛盾说明不存在n，使得|N|=| {0, 1, 2, ⋯, n-1} |。 所以，N不是有限集, N是无限集。
28
反证法证明 |A|≠|2A|
下面我们来看一个矛盾现象， a是一个元素， M 是一个集合，按我们约定：a∊M或者a∉M，二者 有一种且仅有一种可能出现。 若a∊M，因为φ(a)=M，所以 a∊φ(a)，但由M的 定义知 a∉M，矛盾。所以 a∊M不成立。 若a∉M，因为φ(a)=M，所以 a∉φ(a)，但由M的 定义知 a∊M, 又出现矛盾。所以a∉M也不成立。 出现这种矛盾现象说明假设有问题， 即不存在A到2A的双射函数，所以|A|≠|2A|。
集合的势-可数集与不可数集
证明：.(1).设Q2 （ { x, y）x, y Q},则Q2中元素（ x, y）
由两个记号 x、y所决定，且x、y各自跑遍可数集 Q,
由定理1.2.6知，Q2可数. (2).对任意正整数 n，Pn (x) a0 a1x a2x2 an xn
定理1.2.3: A为无限集 A a.
分析：若存在可数集A0 A，则A A0 a.
证明:由A为无限集知， a1 A, 且A {a1}仍为无限集； 于是a2 A {a1}, 且A {a1，a2}仍为无限集 ,； 同理an A {a1，a2,, an1}，.令 :
A0 {a1，a2,, an，}，可数集A0 A，故A A0 a.
记A1 A A0, 则如图
A0
即A1 A0 , B1 f ( A1), A2 g(B1),
A1
fg f
A2
A3
g
f
B2 f ( A2),
B1
B2
B3
A B
{ An }, {Bn }互不相交 .
B0
由于B 11 A0 A,所以A2 g(B1) A0，即A1 A2 ,
此时必有B1 B2 , 否则，若y B1 B2, 则
x1 A1, x2 A2, 使得f (x1) y, f (x2) y, 于是
x1 f 1( y) x2, 这与A1 A2 矛盾.
由Bn ~ An (n 1,2,), 及拼合原则得 Bn ~ An.
从而B
(
i 1
Bi
)
(B
i 1
Bi )
~
(
i 1
Ai )
n 1
集合的映射和势
§2.1
集合的映射
一 、映射定义
A
x
f
B
y
1.定义 给定两集合 A ,B ,
中一个元素 y , 记为 f(x ) , 称 f 是 A 到 B 的映射 .
如果对 x A , 按规则 f,都唯一对应于 B
f : A B
A 叫做 f 的定义域 , f(x )称为 x 在f 下的像（值 .
{ x [ n ,n 1 ):x 是有理数 }.
依定理2.2，R中全体有理数是可数的.
定理2.4：[0，1]上的全体实数是不可数的 证明：反证法 “用Cantor三分法+闭区间套定理”
设 [ 0 , 1 ] 上全体实数为 x ,x ,..., x ,..., 1 2 n
将 [0 ， 1] 三等分，取不含 x 的区间为 I , 1 1
如此有 I ， , I , ， 并且 I 有性质 2 n n
“ I 不含有 x , x , , x ” . n 1 2 n
n 1
* * I x 存在唯一， x x , x ,... x ,... n 1 2 n
“矛盾”
另证：反证法. 若[0,1]上实数可数，则[0,1)上实 数也可数. 将[0,1)排成
1
s
f ( a ) n , n N . k n
*
定理2.2： En ---至多可数集列, 则
S En至 多 可.数
(可数集的可列并是可数集) 证明：设对于 nN*，E { x , x , , x , }, n n 1 n 2 nk 考虑如下的无穷陈列：
n1
x 11 , x 12 , x 13 , x 14 , x 21 , x 22 , x 23 , x 24 , x 31 , x 32 , x 33 , x 34 , x 41 , x 42 , x 43 , x 44 ,
-集合的势
康托尔悖论：不存在“一切集合的集合”。
集合的“大小”
N1
N2
N0 点 曲线
可列
有限
我们能感觉 到的世界
我们能想象 到的世界
？
还有什么
“家家有本难念的经”
大脚，他有许多许多的儿子， 但他最多只能数到3。
康托尔，他有许多许多 的数，但才用了3个, 就 没有东西可以数了。
数学史上的“三次危机”
习题
p.178
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2 5 6 11
康托尔(Georg Cantor 1845-1918)
“无限！再没有其它问题如此深刻地打动过人类的心灵。”
- 戴维。希尔伯特
“由康托尔在1874-1895年创造地集合论的引起争论的题目，象征着19 世纪有先见之明的预言家们认为是从物理科学到民主政府的一切事物中， 极其合理的原则的总崩溃，这些预言家们预见到了一切，只是没有预见 到这场大崩溃。” “悖论和自相矛盾开始同时出现，这些可能最终是康托尔的理论注定要 对数学做出的最大贡献，因为它们就在围绕无穷的逻辑和数学推理的基 础中意想不到地存在，是现在整个演绎推论中批判运动地直接启迪。我 们希望从这里能得出一个…更丰富、更“真实”—摆脱了不一致—的数 学。
我们怎么比较集合的大小
“数得清”的我们就数元素个数。 “无数”的怎么办？
–
“常识”不一定经得起追问。
集合的等势关系
等势关系的定义：
– – – –
如果存在从集合A到集合B的双射，则称集合A与B等 势。 集合A与B等势记为：AB, 否则A≉B AB意味着：A，B中的元素可以“一一对应”。 要证明AB，找出任意一个从A到B的双射即可。
空集和势的概念
空集和势的概念空集和势的概念是数学中一个非常重要的概念,与概率和函数的概念一样重要。
在数学中,空集和势的概念是处理一些复杂的问题时必须要用到的。
理解空集和势的概念对于深入理解数学,乃至理解我们日常生活中所遇到的问题都具有重要意义。
空集是指一个集合中没有任何元素的集合。
虽然空集本身没有元素,但它却可以被视为一个“有意义的集合”,因为它可以被看作是包含所有“可能元素”的集合。
空集在数学中起到了一个非常重要的作用,它标志着一些问题的“起点”,为我们提供了一个开始解决这个问题的视角。
势的概念是指一个集合中元素的数量。
势的概念与空集的概念有一些相似之处,但它更具体一些。
势的概念不仅仅涉及到一个集合中的元素数量,它还涉及到这些元素在集合中的位置,以及这些元素对于整个集合的影响。
势的概念可以被看作是一个“有序集合”,因为它涉及到元素之间的顺序。
空集和势的概念在数学中有着广泛的应用。
在集合论中,空集和势的概念是用来描述集合的。
空集和势的概念帮助我们理解集合中元素的数量和位置,以及它们之间的关系。
空集和势的概念也应用到概率论和统计学中,用来描述随机事件的发生概率以及数据的分布情况。
空集和势的概念还可以应用到我们日常生活中所遇到的问题中。
例如,在我们的日常生活中,我们经常会遇到一些需要“分类”或者“筛选”信息的问题。
空集和势的概念就可以用来帮助我们理解和处理这些问题。
通过空集和势的概念,我们可以将复杂的问题转化为更加简单的问题,并且能够更加准确地找到问题的关键点。
空集和势的概念是数学中一个非常重要的概念。
通过理解空集和势的概念,我们可以更好地理解数学,甚至能够更好地理解我们日常生活中所遇到的问题。
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可列集(无穷可数集)
与自然数集等势的集合称为可列集
–
直观上说：集合的元素可以按确定的顺序线性排列， 所谓“确定的”顺序是指对序列中任一元素，可以说 出：它“前”、“后”元素是什么。
整数集(包括负数)与自然数集等势 0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, ......
自然数集的笛卡儿积是可列集
所有的整数对构成的集合与自然数集等势 <0,0> <1,0> <2,0> <3,0> <4,0> <0,1> <1,1> <2,1> <3,1> <0,2> <1,2> <2,2> <0,3> <1,3> <0,4>
...
类似的图形显示： 可列个可列集的并 集仍然是可列集合
...
...
...
<0,0>, <0,1>, <1,0>, <0,2>, <1,1>, <2,0>, <0,3>, ......
关键是如何安排在[0,1]中但不在(0,1)中的0和1。 1 想象那个“宇宙旅馆”。我们可以取 (0,1)的一个与自然数集合 x 0 等势的子集(一定有){a1,a2 ,a2 3 ,...}, “腾出”前两个位置安排0和1
1 2 x 1 一种证法： f ( x) 2 1 1 2 n 2 x 2 n , n 1,2,3... x x为其它值
集)
令S’=S-{a1}，可以定义ƒ:SS’如下： 对于任意xM, ƒ(ai)= ai+1； 对于任意xS-M, ƒ(x)= x 显然这是双射，即S与其真子集S’等势 假设S是有限集，令|S|=n, 则给S任意的真子集S’, 若 |S’|=m，必有m<n, 因此从S ’到S的任一单射不可能是 满射。
–
直线上的点集与平面上的点集等势
0.a1a2a3.......
0.b1b2b3......
0.a1b1a2b2a3b3.....
这实际上意味着直线上的点与 任意有限维空间的点“一样 多”！
康托尔定理
任何集合与其幂集不等势 即：A≉(A)
证明要点： 设g是从A到(A)的函数，构造集合B如下： B={x| xA, 但xg(x)} 则B(A)，但不可能存在xA，能满足g(x)=B，因为，如果有这 样的x, 则xB iff. xB。 因此，g不可能是满射。
优势关系的反对称性用于证明等势 (续)
证明实数集的两个子集(0,1)和[0,1]。 分别找两个一对一的映射往往比找一个双射容易
f : (0,1) [0,1] : f ( x) x 1 x g : [0,1] (0,1) : f ( x) 2 4
1 3 注意： f ([0,1]) [ , ] 2 4
上述两段摘自 E.T.贝尔：《数学精英》
“宇宙旅馆”
啊？客满啦？ 没关系，我让现 在住在 k 号房间 的客人移到 k+1 号。你就住进第 1号房间吧！
证明无限集等势的例子
(0,1)与整个实数集等势 – 双射：f : (0,1)R : f (x) =tg(x- ) 2 对任意不相等的实数a,b(a<b), [0,1]与[a,b]等势 – 双射： f : [0,1][a,b]: f (x) =(b-a)x+a
(这实际上意味着：任意长的线段与任意短的线段等势)
实数集不是可列集
注意：(0,1)与实数集合等势 (0,1)不是可列集
“对角线证明法” 假设(0,1)中的元素可以线性排列： 0.b11b12b13b14… 0.b21b22b23b24… 0.b31b32b33b34… 0.b41b42b43b44… ⋮ 则0. b1b2b3b4…（bi≠bii）不含在上述序列中
集合优势关系的性质
自反性：恒等函数 若A≼•B，且B≼•A，则AB
(Cantor-Bernstein定理)
传递性：单射的复合仍然是单射 因此，集合优势关系是偏序关系
–
其实，优势关系是全序
优势关系的反对称性用于证明等势
有时候找双射不太容易
–
证明实数集的两个子集(0,1)和[0,1]。
1 mn (m n)(m n 1) l (m,n) i (m 1) (m 1) 2 i1 2
有穷与无穷：差别不仅是数量
伽利略悖论：
– –
传统公理：“整体大于部分” 伽利略发现：{1,2,3,…}与{12,22,32,…}一一对应。
有限集与无限集
S是有限集合，iff. 存在自然数n，使得S与{1,2,…n}等势 S不是有限集合(即：无限集)，iff. 存在S的真子集S’，使 得S与S’等势 S一定包含一个与自然数集合等势的子集M = {a1,a2,a3,…} (这实际上意味着：自然数集是“最小的”无限
第一次危机
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芝诺悖论(关于运动的四个悖论，如“飞箭不动”)， 导致数学真正严谨性的开始(公理化) 微积分悖论(无穷小量等于零吗？“那逝去的量的鬼 魂”)，导致极限论的诞生 有关一切集合的集合的悖论，导致集合论公理化。
第二次危机
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第三次危机
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集合的优势关系
如果存在从集合A到集合B的单射，则称“集合 B优势于集合A” 集合B优势于集合A 记为 A≼•B 如果集合B优势于集合A，且B与A不等势，则称 “集合B真优势于集合A”，记为A≺•B 实数集合真优势于自然数集 例子：对任意集合A，A的幂集真优势于集合A
集合的等势与优势
离散数学：第8讲
上一讲内容回顾
函数的定义 像与完全原像 几种特殊的函数
–
满射、单射(一对一的)、双射(一一对应的)
集合的特征函数 自然映射 函数的复合 反函数 鸽巢原理
集合的等势与优势
集合的等势关系 与自然数集合等势的集合-可列集 有穷与无穷 等势关系是等价关系 康托尔定理 优势关系 优势关系的性质
习题
p.178
– – – –
2 5 6 11
康托尔(Georg Cantor 1845-1918)
“无限！再没有其它问题如此深刻地打动过人类的心灵。”
- 戴维。希尔伯特
“由康托尔在1874-1895年创造地集合论的引起争论的题目，象征着19 世纪有先见之明的预言家们认为是从物理科学到民主政府的一切事物中， 极其合理的原则的总崩溃，这些预言家们预见到了一切，只是没有预见 到这场大崩溃。” “悖论和自相矛盾开始同时出现，这些可能最终是康托尔的理论注定要 对数学做出的最大贡献，因为它们就在围绕无穷的逻辑和数学推理的基 础中意想不到地存在，是现在整个演绎推论中批判运动地直接启迪。我 们希望从这里能得出一个…更丰富、更“真实”—摆脱了不一致—的数 学。
“等势”的集合就被认为是“一样大”
等势关系是等价关系
自反性：ƒ:AA, ƒ(x)=x 对称性：如果ƒ:AB是双射，则存在ƒ的反函数 ƒ-1:BA，也是双射。 传递性：如果ƒ:AB，g:BC均是双射，则 ƒ°g是从A到C的双射。 例子：所有与自然数集等势的集合构成一个等价 类。
我们怎么比较集合的大小
“数得清”的我们就数元素个数。 “无数”的怎么办？
–
“常识”不一定经得起追问。
集合的等势关系
等势关系的定义：
– – – –
如果存在从集合A到集合B的双射，则称集合A与B等 势。 集合A与B等势记为：AB, 否则A≉B AB意味着：A，B中的元素可以“一一对应”。 要证明AB，找出任意一个从A到B的双射即可。
–
康托尔悖论：不存在“一切集合的集合”。
集合的“大小”
N1
N2
N0 点 曲线
可列
有限
我们能感觉 到的世界
我们能想象 到的世界
？
还有什么
“家家有本难念的经”
大脚，他有许多许多的儿子， 但他最多只能数到3。
康托尔，他有许多许多 的数，但才用了3个, 就 没有东西可以数了。
数学史上的“三次危机”