高二数学上册 期末终结性测试题 新人教A版选修1-1
新课标人教版高二数学选修1-1综合测试卷(word文档有答案)
新课标人教版高二数学选修1-1综合测试卷一．选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)1. “21sin =A ”是“︒=30A ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件 2. “0<mn ”是“方程122=+ny mx 表示焦点在y 轴上的双曲线”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ． 必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．命题“对任意的3210x x x ∈-+R ，≤”的否定是（ ） A ．不存在3210x R x x ∈-+，≤ B ．存在3210x R x x ∈-+，≤ C ．存在3210x R x x ∈-+>， D ．对任意的3210x R x x ∈-+>， 4．双曲线121022=-y x 的焦距为（ ） A ．22 B ．24 C ．32 D ．34 5. 设x x x f ln )(=，若2)(0='x f ，则=0x （ ） A ． 2e B ． e C ． ln 22 D ．ln 2 6. 若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．47．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）A ．2B ．3C ．12D ．138．已知两点)0,1(1-F 、)0,1(F ，且21F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则动点P 的轨迹方程是( ）A ．191622=+y xB ．1121622=+y xC ．13422=+y xD ．14322=+y x 9．设曲线2ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=a （ ）A ． 1B ．21C ． 21- D ． 1- 10．抛物线281x y -=的准线方程是 ( ) A ． 321=x B ．2=y C ． 321=y D ．2-=y 11．双曲线19422-=-y x 的渐近线方程是（ ） A ．x y 32±= B ．x y 94±= C ．x y 23±= D ．x y 49±= 12．已知对任意实数x ，有()(),()()f x f x g x g x -=--=，且0>x 时'()0,'()0f x g x >>，则0<x 时（ ）A ．'()0,'()0f x g x >>B ．'()0,'()0f x g x ><C ．'()0,'()0f x g x <>D ．'()0,'()0f x g x <<二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．函数1)(23+++=mx x x x f 是R 上的单调函数，则m 的取值范围为 .14. 已知F 1、F 2为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，若1222=+B F A F ，则AB = _____________15．已知双曲线11222-=-+ny n x n ＝ . 16．命题p ：若10<<a ，则不等式0122>+-ax ax 在R 上恒成立，命题q ：1≥a 是函数xax x f 1)(-=在),0(+∞上单调递增的充要条件；在命题①“p 且q ”、②“p 或q ”、③“非p ”、④“非q ”中，假命题是 ，真命题是 . 三．解答题(本大题共5小题，共40分)17(本小题满分8分)已知函数8332)(23+++=bx ax x x f 在1x =及2x =处取得极值．(1)求a 、b 的值；(2)求()f x 的单调区间.18(本小题满分10分) 求下列各曲线的标准方程(1)实轴长为12，离心率为32，焦点在x 轴上的椭圆；(2)抛物线的焦点是双曲线14491622=-y x 的左顶点.19(本小题满分10分) 已知椭圆193622=+y x ，求以点)2,4(P 为中点的弦所在的直线方程.20(本小题满分10分)统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：)1200(880312800013≤<+-=x x x y .已知甲、乙两地相距100千米. （1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？21(本小题满分10分)已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点为)0,2(1-F 、)0,2(2F 点)7,3(P 在双曲线C 上. (1)求双曲线C 的方程；(2)记O 为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，若△OEF 的面积为求直线l 的方程.参考答案一．选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)1-6 BBCDBD 7-12 ACABCB二．填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13． ),31[+∞ 14． 8 15. 12-或24 16． ①、③, ②、④． 三．解答题（本大题共5小题，共48分）17（本小题满分8分）解：（1）由已知b ax x x f 366)(2++='因为)(x f 在1=x 及2=x 处取得极值，所以1和2是方程0366)(2=++='b ax x x f 的两根 故3-=a 、4=b（2）由（1）可得81292)(23++-=x x x x f )2)(1(612186)(2--=+-='x x x x x f 当1<x 或2>x 时，0)(>'x f ，)(x f 是增加的；当21<<x 时，0)(<'x f ，)(x f 是减少的。
高中数学(人教A版)选修1-1全册综合测试题(含详解)
综合测试(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法正确的是( )A ．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B ．语句“当a >1时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”不是命题C ．命题“矩形的对角线互相垂直且平分”是真命题D ．命题“当a >4时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”是假命题 答案 D2．如果命题“綈p 且綈q ”是真命题，那么下列结论中正确的是( ) A ．“p 或q ”是真命题 B ．“p 且q ”是真命题 C ．“綈p ”为真命题 D ．以上都有可能解析 若“綈p 且綈q ”是真命题，则綈p ，綈q 均为真命题，即命题p 、命题q 都是假命题，故选C.答案 C3．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±2xC ．y ＝±4xD ．y ＝±14x解析 由椭圆的离心率e ＝c a ＝32，可知c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴b a ＝12，故双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，选A.答案 A4．若θ是任意实数，则方程x 2＋y 2sin θ＝4表示的曲线不可能是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线D ．圆解析 当sin θ＝1时，曲线表示圆． 当sin θ<0时，曲线表示的双曲线． 当sin θ>0时，曲线表示椭圆． 答案 C5．曲线y ＝x 3＋1在点(－1,0)处的切线方程为( ) A ．3x ＋y ＋3＝0 B ．3x －y ＋3＝0 C ．3x －y ＝0D ．3x －y －3＝0解析 y ′＝3x 2，∴y ′| x ＝－1＝3，故切线方程为y ＝3(x ＋1)，即3x －y ＋3＝0. 答案 B6．下列命题中，正确的是( )A ．θ＝π4是f (x )＝sin(x －2θ)的图像关于y 轴对称的充分不必要条件 B ．|a |－|b |＝|a －b |的充要条件是a 与b 的方向相同 C ．b ＝ac 是a ，b ，c 三数成等比数列的充分不必要条件D ．m ＝3是直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与mx －6y ＋5＝0互相垂直的充要条件答案 A7．函数f (x )＝x 2＋a ln x 在x ＝1处取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．4D ．－4解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)， 又f ′(x )＝2x ＋a x ，∴由题可知，f ′(1)＝2＋a ＝0，∴a ＝－2. 当a ＝－2时，f ′(x )＝2x －2x ＝2(x －1)(x ＋1)x ， 当0<x <1时，f ′(x )<0. 当x >1时，f ′(x )>0， ∴f (x )在x ＝1处取得极值． 故选B. 答案 B8．设P 是椭圆x 29＋y 24＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则cos ∠F 1PF 2的最小值是( )A ．－19B ．－1 C.19D.12解析 由椭圆方程a ＝3，b ＝2，c ＝5，∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 1|22|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－|F 1F 2|2－2|PF 1||PF 2|2|PF 1|·|PF 2|＝(2a )2－(2c )2－2|PF 1||PF 2|2|PF 1|·|PF 2|＝162|PF 1|·|PF 2|－1.∵|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝9， ∴cos ∠F 1PF 2≥162×9－1＝－19，故选A.答案 A9．给出下列三个命题： ①若a ≥b >－1，则a 1＋a ≥b1＋b；②若正整数m 和n 满足m ≤n ，则m (n －m )≤n2；③设P (x 1，y 1)为圆O 1：x 2＋y 2＝9上任一点，圆O 2以Q (a ，b )为圆心且半径为1.当(a －x 1)2＋(b －y 1)2＝2时，圆O 1与圆O 2相切．其中假命题的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析 考查不等式的性质及其证明，两圆的位置关系．显然命题①正确，命题②用“分析法”便可证明其正确性．命题③：若两圆相切，则两圆心间的距离等于4或2，二者均不符合，故为假命题．故选B.答案 B10．如图所示是y ＝f (x )的导数图像，则正确的判断是( ) ①f (x )在(－3,1)上是增函数； ②x ＝－1是f (x )的极小值点；③f (x )在(2,4)上是减函数，在(－1,2)上是增函数； ④x ＝2是f (x )的极小值点． A ．①②③ B ．②③ C ．③④D ．①③④解析 从图像可知，当x ∈(－3，－1)，(2,4)时，f (x )为减函数，当x ∈(－1,2)，(4，＋∞)时，f (x )为增函数，∴x ＝－1是f (x )的极小值点， x ＝2是f (x )的极大值点，故选B. 答案 B11．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是直线l ：x ＝a 2c (c 2＝a 2＋b 2)上一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|＝4ab ，则双曲线的离心率是( )A. 2B. 3C. 2D. 3解析 设直线l 与x 轴交于点A ，在Rt △PF 1F 2中，有|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|·|P A |，则|P A |＝2ab c ，又|P A |2＝|F 1A |·|F 2A |，则4a 2b 2c 2＝(c －a 2c )·(c ＋a 2c )＝c 4－a 4c 2，即4a 2b 2＝b 2(c 2＋a 2)，即3a 2＝c 2，从而e ＝ca ＝ 3.选B.答案 B12．设p ：f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q ：m ≥8x x 2＋4对任意x >0恒成立，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 f (x )在(－∞，＋∞)内单调递增，则f ′(x )≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即3x 2＋4x ＋m ≥0对任意x ∈R 恒成立，故Δ≤0，即m ≥43；m ≥8xx 2＋4对任意x >0恒成立，即m ≥(8x x 2＋4)max ，因为8x x 2＋4＝8x ＋4x ≤2，当且仅当x ＝2时，“＝”成立，故m ≥2.易知p 是q 的必要不充分条件．答案 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．解析 ∵双曲线y 212－x 24＝1的焦点坐标为(0，±4)，顶点坐标为(0，±23)， ∴椭圆的顶点坐标为(0，±4)，焦点坐标为(0，±23)，在椭圆中a ＝4，c ＝23，b 2＝4.∴椭圆的方程为x 24＋y 216＝1. 答案 x 24＋y 216＝114．给出下列三个命题：①函数y ＝tan x 在第一象限是增函数；②奇函数的图像一定过原点；③函数y ＝sin2x ＋cos2x 的最小正周期为π，其中假．命题的序号是________．解析 ①不正确，如x ＝π4时tan x ＝1，当x ＝9π4时tan x ＝1，而9π4>π4，所以tan x 不是增函数；②不正确，如函数y ＝1x 是奇函数，但图像不过原点；③正确．答案 ①②15．若要做一个容积为324的方底(底为正方形)无盖的水箱，则它的高为________时，材料最省．解析 把材料最省问题转化为水箱各面的面积之和最小问题，然后列出所用材料和面积关于边长a 的函数关系式．设水箱的高度为h ，底面边长为a ，那么V ＝a 2h ＝324，则h ＝324a 2，水箱所用材料的面积是S ＝a 2＋4ah ＝a 2＋1296a ，令S ′＝2a －1296a 2＝0，得a 3＝648，a ＝633， ∴h ＝324a 2＝324(633)2＝333，经检验当水箱的高为333时，材料最省． 答案 33316．设m ∈R ，若函数y ＝e x ＋2mx (x ∈R)有大于零的极值点，则m 的取值范围是________．解析 因为函数y ＝e x ＋2mx (x ∈R)有大于零的极值点，所以y ′＝e x ＋2m ＝0有大于0的实根．令y 1＝e x ，y 2＝－2m ，则两曲线的交点必在第一象限．由图像可得－2m >1，即m <－12.答案 m <－12三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a ，b ，c 的值．解 本题涉及了3个未知量，由题意可列出三个方程即可求解． ∵y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)， ∴a ＋b ＋c ＝1.①又∵在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切， ∴4a ＋2b ＋c ＝－1.②∴y ′＝2ax ＋b ，且k ＝1. ∴k ＝y ′| x ＝2＝4a ＋b ＝1， ③联立方程①②③得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－11，c ＝9.18．(12分)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，直线l ：y ＝－x ＋22与以原点为圆心、以椭圆C 1的短半轴长为半径的圆相切．求椭圆C 1的方程．解 ∵e ＝63，∴e 2＝c2a 2＝a 2－b 2a 2＝23，∴a 2＝3b 2.∵直线l ：y ＝－x ＋22与圆x 2＋y 2＝b 2相切， ∴222＝b ，∴b ＝2.∴b 2＝4，a 2＝12.∴椭圆C 1的方程是x 212＋y 24＝1.19．(12分)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax (a >0)，设F (x )＝f (x )＋g (x )． (1)求函数F (x )的单调区间；(2)若以函数y ＝F (x )(x ∈(0,3])图像上任意一点P (x 0，y 0)为切点的切线的斜率k ≤12恒成立，求实数a 的最小值．解 (1)F (x )＝f (x )＋g (x )＝ln x ＋a x (x >0)，则F ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax 2(x >0)， ∵a >0，由F ′(x )>0，得x ∈(a ，＋∞)，∴F (x )在(a ，＋∞)上单调递增； 由F ′(x )<0，得x ∈(0，a )， ∴F (x )在(0，a )上单调递减．∴F (x )的单调递减区间为(0，a )，单调递增区间为(a ，＋∞)．(2)由(1)知F ′(x )＝x －a x 2(0<x ≤3)，则k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12(0<x 0≤3)恒成立，即a ≥(－12x 20＋x 0)max ，当x 0＝1时，－12x 20＋x 0取得最大值12， ∴a ≥12，∴a min ＝12.20．(12分)已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆圆心为点C .(1)求动点C 的轨迹方程；(2)过点F 的直线l 2交轨迹于两点P ，Q ，交直线l 1于点R ，求RP →·RQ →的最小值．解 (1)由题设知点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离， ∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线． ∴所求轨迹的方程为x 2＝4y .(2)由题意知，直线l 2的方程可设为y ＝kx ＋1(k ≠0)，与抛物线方程联立消去y 得x 2－4kx －4＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.又易得点R 的坐标为(－2k ，－1)．∴RP →·RQ →＝(x 1＋2k ，y 1＋1)·(x 2＋2k ，y 2＋1)＝(x 1＋2k )(x 2＋2k )＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(1＋k 2)x 1x 2＋(2k ＋2k )(x 1＋x 2)＋4k 2＋4 ＝－4(1＋k 2)＋4k (2k ＋2k )＋4k 2＋4 ＝4(k 2＋1k 2)＋8. ∵k 2＋1k 2≥2，当且仅当k 2＝1时取等号，∴RP →·RQ →≥4×2＋8＝16，即RP →·RQ →的最小值为16.21．(12分)已知函数f (x )＝x 2－8ln x ，g (x )＝－x 2＋14x .(1)求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，求a 的取值范围；(3)若方程f (x )＝g (x )＋m 有唯一解，试求实数m 的值．解 (1)因为f ′(x )＝2x －8x ，所以切线的斜率k ＝f ′(1)＝－6，又f (1)＝1，故所求的切线方程为y －1＝－6(x －1)，即y ＝－6x ＋7.(2)因为f ′(x )＝2(x ＋2)(x －2)x， 又x >0，所以当x >2时，f ′(x )>0；当0<x <2时，f ′(x )<0.即f (x )在(2，＋∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减．又g (x )＝－(x －7)2＋49，所以g (x )在(－∞，7)上单调递增，在(7，＋∞)上单调递减，欲使函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，则⎩⎨⎧ a ≥2，a ＋1≤7，解得2≤a ≤6.故a 的取值范围是[2,6](3)原方程等价于2x 2－8ln x －14x ＝m ，令h (x )＝2x 2－8ln x －14x ，则原方程即为h (x )＝m .因为当x >0时原方程有唯一解，所以函数y ＝h (x )与y ＝m 的图像在y 轴右侧有唯一的交点．又h ′(x )＝4x －8x －14＝2(x －4)(2x ＋1)x，且x >0， 所以当x >4时，h ′(x )>0；当0<x <4时，h ′(x )<0.即h (x )在(4，＋∞)上单调递增，在(0,4)上单调递减，故h (x )在x ＝4处取得最小值，从而当x >0时原方程有唯一解的充要条件是m ＝h (4)＝－16ln2－24.22．(12分)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为32，且经过点M (4,1)，直线l ：y ＝x ＋m 交椭圆于A ，B 两点．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l 不过点M ，试问直线MA ，MB 与x 轴能否围成等腰三角形？解 (1)根据题意，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，因为e ＝32，a 2－b 2＝c 2，所以a 2＝4b 2.又椭圆过点M (4,1)，所以16a 2＋1b 2＝1，则可得b 2＝5，a 2＝20，故椭圆的方程为x 220＋y 25＝1.(2)将y ＝x ＋m 代入x 220＋y 25＝1并整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－20＝0，Δ＝(8m )2－20(4m 2－20)>0，得－5<m <5. 设直线MA ，MB 的斜率分别为k 1和k 2， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8m 5，x 1x 2＝4m 2－205. k 1＋k 2＝y 1－1x 1－4＋y 2－1x 2－4＝(y 1－1)(x 2－4)＋(y 2－1)(x 1－4)(x 1－4)(x 2－4). 上式分子＝(x 1＋m －1)(x 2－4)＋(x 2＋m －1)·(x 1－4) ＝2x 1x 2＋(m －5)(x 1＋x 2)－8(m －1)＝2(4m 2－20)5－8m (m －5)5－8(m －1)＝0， 即k 1＋k 2＝0.所以直线MA，MB与x轴能围成等腰三角形．。
人教A版高中数学选修一-高二上学期期末考试.docx
高中数学学习材料唐玲出品贵州省册亨县民族中学2011-2012学年高二上学期期末考试数学(文)一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的. 1．若运行右图的程序，则输出的结果是 A ．4 B ．13 C ．9 D ．22 2．两直线A 1x+B 1y+C 1=0,A 2x+B 2y+C 2=0垂直的充要条件是A ．2121B B A A = -1 B ．A 1A 2-B 1B 2=0C ．A 1A 2+B 1B 2=0D ．12121=A A BB3．过点P(0,1)与圆22230x y x +--=相交的所有直线中,被圆截得的弦最长时的直线方程是A ．0x =B ．10x y +-=C ．1y =D ．10x y -+=4．如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于A .12B ．13C . 14D ． 235．阅读以下流程图：A=9 A= A+13 PRINT A END如果输入4x =，则该程序的循环体执行的次数是A .1次 B.2次 C .3次 D ． 4次6．某商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关，则其回归方程可能是A . 10200y x =-+B ． 10200y x =+C . 10200y x =--D ． 10200y x =-7．命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定．．是 A ．所有不能被2整除的数都是偶数 B ．所有能被2整除的数都不是偶数 C ．存在一个不能被2整除的数是偶数 D ．存在一个能被2整除的数不是偶数 8．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是 A ．91.5和91.5 B ．91.5和92 C ．91和91.5 D ．92和92 9．下列命题中错误的是A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB ．如果平面α垂直于平面β，那么平面α内一定存在直线垂直于平面βC ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ⋂=，那么l ⊥平面γD ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β10．若p 是真命题，q 是假命题，则A ．p ∧q 是真命题B ．p ∨q 是假命题C ．﹁q 是真命题D ．﹁p 是真命题 11．到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是A ．x-y=0B ．|x|-|y|=0C ．|x|-y=0D ．x+y=012．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴， 直线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是A ．32 B ．12 C ．13D ．22二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.PDA13．在空间直角坐标系中,点(3,4,1)-关于y 轴对称的点的坐标是 . 14．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名。
高中数学人教A版选修1-1一二章测试题及答案
高中数学人教A 版选修1-1学业水平测试试题全卷满分150分，用时120分钟。
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）在每小题给出的选项中只有一项符合题目要求。
1.下列命题是真命题的为（ ）A.若yx 11=，则x =y B.若12=x ，则x =1 C.若x =y ，则y x = D.若x <y ，则22y x <2. 使不等式x 2－3x <0成立的必要不充分条件是（ ）A.0<x <3B. 0<x <4C. 0<x <2D. x <0或x >33.“m >n >0”是“方程mx 2+ny 2=1表示焦点在y 轴上的椭圆”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.设命题P:x >2是x 2>4的充要条件，命题q:若22cb c a >，则a >b ，那么（ ） A.“p 或q”为真 B.“p 且q”为真C.p 真q 假D.p 、q 均为假命题5.已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为21，它的长轴长等于圆x 2+y 2－2x －15=0的半径，则椭圆的标准方程是（ ） A.1121622=+y x B. 1422=+y x C. 141622=+y x D.13422=+y x 6.抛物线y =ax 2的准线方程是y=1，则a 的值为（ ） A.41 B. 41- C.4 D.－4 7.设△ABC 是正三角形，则以A 、B 为焦点且过BC 的中点的双曲线的离心率为（ ） A.1+2 B.1+3 C.221+ D. 231+ 8.过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 作一条直线e 交抛物线于A 、B 两点，以AB 为直径的圆和该抛物线的准线l 的位置关系是（ ）A.相交B.相离C.相切D.不能确定9.已知定点A （1，1）和直线l ：x +y －2=0，那么到定点A 的距离和到定直线l 的距离相等的点的轨迹（ ）A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.直线10.已知P 是椭圆192522=+y x 上一点，F 为椭圆左焦点，2=，若)(21+=，则为（ ） A.2 B.3C.4D.5二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.已知P ：x +y =2010;Q:x =2000且y =10，则P 是Q 的_____________条件。
新课标人教版高二数学选修1-1综合测试卷(word文档有答案)
新课标人教版高二数学选修1-1综合测试卷(word文档有答案)新课标人教版高二数学选修1-1综合测试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1.“sinA=1/2”是“A=30°”的（）。
A。
充分而不必要条件B。
必要而不充分条件C。
充分必要条件D。
既不充分也不必要条件2.“mn<0”是“方程mx^2+ny^2=1表示焦点在y轴上的双曲线”的（）。
A。
充分而不必要条件B。
必要而不充分条件C。
充分必要条件D。
既不充分也不必要条件3.命题“对任意的x∈R，x-x+1≤32”的否定是（）。
A。
不存在x∈R，x-x+1≤32B。
存在x∈R，x-x+1≤32C。
存在x∈R，x-x+1>32D。
对任意的x∈R，x-x+1>324.双曲线x^2/102-y^2/22=1的焦距为（）。
A。
2√22B。
4√22C。
2√10D。
4√105.设f(x)=xlnx，若f'(x)=2，则x=（）。
A。
eB。
e^2C。
ln2D。
26.若抛物线y=2px的焦点与椭圆x^2/36+y^2/4=1的右焦点重合，则p的值为（）。
A。
-2B。
2C。
-4D。
47.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（）。
A。
√3/2B。
2/3C。
1/2D。
1/38.已知两点F1(-1,0)、F2(1,0)，且F1F2是PF1与PF2的等差中项，则动点P的轨迹方程是（）。
A。
x^2/9+y^2=1B。
x^2/4+y^2=1C。
x^2+y^2/9=1D。
x^2+y^2/4=19.设曲线y=ax^2在点（1，a）处的切线与直线2x-y-6=0平行，则a=（）。
A。
1B。
1/2C。
-1/2D。
-110.抛物线y=-x^2的准线方程是（）。
A。
x=11/8B。
y=2C。
y=-2D。
y=-11/811.双曲线x^2/49-y^2/39=1的渐近线方程是（）。
A。
y=±x/7B。
y=±3x/7C。
人教A版高中数学选修1上学期高二期末考试.docx
湖北省武汉市部分重点中学2012-2013学年度上学期高二期末考试数 学 试 卷 （文）命题人：武汉四十九中 唐宗保 审题人：武汉中学 王玉珍 全卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在复平面内，复数12z i=+对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．“2<a ”是“022<-a a ”的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3． 如果椭圆13610022=+y x 上一点P 到焦点1F 的距离等于6，那么点P 到另一焦点2F 的距离是 A. 14 B. 16 C.4 D 64．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是 A ．能被3整除的整数，一定能被6整除 B ．不能被3整除的整数，一定不能被6整除 C ．不能被6整除的整数，一定不能被3整除 D ．不能被6整除的整数，不一定能被3整除5． 已知ABC ∆中， 30=∠A ， 60=∠B ，求证b a <．证明：B A B A ∠<∠∴=∠=∠,60,30 ，b a <∴，画线部分是演绎推理的A ．大前提B ．结论C ．小前提D ．三段论 6．有如下四个命题：①命题“若2320x x -+=，则1x =“的逆否命题为“若21,320x x x ≠-+≠则” ②若命题2:R,10p x x x ∃∈++=，则10p x R x x ⌝∀∈++≠2为:,③若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题 ④“2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件其中错误．．命题的个数是 A ．0个 B. 1个 C.2个 D.3个7．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A 、B 两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r 与残差平方和m 如下表：甲 乙 丙 丁 r 0.82 0.78 0.69 0.85 m106115124103则哪位同学的试验结果体现A 、B 两变量有更强的线性相关性 A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 8．设x y R ∈、则“x ≥2且y ≥2”是“22x y +≥4”的A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D.即不充分也不必要条件9．若三角形内切圆半径为r ，三边长分别为c b a ,,，则三角形的面积为)(21c b a r s ++=，根据类比思想，若四面体内切球半径为R ，四个面的面积分别为4321,,,S S S S ，则这个四面体的体积为A.)(614321S S S S R v +++=B.)(414321S S S S R v +++= C.)(314321S S S S R v +++= D.)(214321S S S S R v +++=10.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，,M N 是椭圆上关于原点对称的两点，P 是椭圆上任意一点，且直线PM PN 、的斜率分别为12k k 、，若1214k k =，则椭圆的离心率为A.12B. 22C. 32 D ．23第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题:本大题共7小题，每小题5分，共35分.11．z 1＝m (m －1)＋(m －1)i 是纯虚数．则实数m 的值 。
人教A版高中数学选修一高二上学期期末考试(理)试题 (4).docx
第Ⅰ卷（60分）一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的）1.已知命题p ：x R ∀∈，||0x ≥，那么命题p ⌝为（ ）A ．,0x R x ∃∈≤B ．,0x R x ∀∈≤ C. ,0x R x ∃∈<D ．,0x R x ∀∈<2. 已知a b >,则下列不等关系正确的是（ ）A ．22a b >B ．22ac bc >C ．22a b >D ．22log log a b >3. 设直线::(0)l y kx m m =+?,双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>,则“b k a=-”是“直线l 与双曲线C 恰有一个公共点“的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分条件D ．既不充分也不必要条件4. 有下列四个命题：(1)已知A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则0AB BC CD DA +++=；(2)若两个非零向量AB CD 与满足0AB CD ＋＝,则AB ‖CD ；(3)分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量； (4)对于空间的任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP xOA yOB zOC =++(,,)x y z R ∈,则P,A,B,C 四点共面。
其中正确命题的个数是（ ） A.3 B.2C.1D.05.设变量x,y 满足约束条件222200x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则目标函数2z x y =-+的最大值是（ ） A.4B.2C.1D. 23-6. 空间四边形OABC 中，OA a =,OB b =, OC c =,点M 在OA 上，且2OM OA =，N 为BC 中点，则MN =（ ）A ．121-232a b c +B ．211322a b c -++C ．112-223a b c +D ．221-332a b c +7.已知数列{}n a 是等比数列，其前n 项和为n S ，若612369,S SS S ==则（ ） A.9B.18C.64D.658.已知双曲线22145x y -=的右焦点与抛物线2y ax =的焦点重合，则该抛物线的准线被双曲线所截的线段长度为（ ） A.4 B.5C.52D.529.定义12...nnp p p +++为n 个正数12,,...,n p p p 的“均倒数”.若已知正数数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121n +,又14n n a b +=,则12231011111...b b b b b b +++= ( )A.111 B.112C.1011D.111210.已知P 是抛物线x y 42=上的一个动点,Q 是圆()()22311x y -+-=上的一个动点,)0,1(N 是一个定点,则PQ PN +的最小值为（ ） A.3B.4C.5D. 21+11.已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各棱长均为1,棱BB 1所在直线上的动点M 满足1BB BM λ=,AM 与侧面BB 1C 1C所成的角为θ,若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,22λ,则θ的取值范围是( )A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,12ππB. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,6ππ C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,4ππ D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡125,3ππ12.已知双曲线22221(0,0),,x y a b M N a b-=>>是双曲线上关于原点对称的两点，P 是双曲线上的动点，直线PM ，PN 的斜率分别为1212,(0)k k k k ⋅≠，若12k k +的最小值为1，则双曲线的离心率为（ ）A. 2B. 52C. 32D.32第Ⅱ卷（90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13. 若(1,1,0),(1,0,2),a b a b ==-+则与同方向的单位向量是________________ 14. 已知数列121,,,9a a 是等差数列，数列1231,,,,9b b b 是等比数列，则212b a a +的值为 _______ . 15. 平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为2，且两两夹角为60°，则1DB 和11C A 所成角大小为____________.16. 若0,y 0x >>,且1322x y x y+=++,则65x y +的最小值为___________. 三、解答题（共6小题，共70分。
人教版数学高二选修1-1人教A版习题 章末评估验收(三)
章末评估验收(三)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若函数f(x)＝α2－cos x，则f′(α)等于()A．sin αB．cos αC．2α＋sin αD．2α－sin α解析：f′(x)＝(α2－cos x)′＝sin x，当x＝α时，f′(α)＝sin α.答案：A2．曲线y＝f(x)＝x3－3x2＋1在点(2，－3)处的切线方程为() A．y＝－3x＋3 B．y＝－3x＋1C．y＝－3 D．x＝2解析：因为y′＝f′(x)＝3x2－6x，则曲线y＝x3－3x2＋1在点(2，－3)处的切线的斜率k＝f′(2)＝3×22－6×2＝0，所以切线方程为y －(－3)＝0×(x－2)，即y＝－3.答案：C3．函数f(x)＝x3－3x＋1的单调递减区间是()A．(1，2) B．(－1，1)C．(－∞，－1) D．(－∞，－1)，(1，＋∞)解析：f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＜0，可得－1＜x＜1.答案：B4．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，在x＝－3时取得极值，则a等于()A．2 B．3 C．4 D．5解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋3.由f(x)在x＝－3时取得极值，即f′(－3)＝0，即27－6a＋3＝0，所以a＝5.答案：D5．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，归纳可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝()A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x)解析：观察可知，偶函数f(x)的导函数g(x)是奇函数，所以g(－x)＝－g(x)．答案：D6．若函数f(x)＝13x3－f′(1)·x2－x，则f′(1)的值为() A．0 B．2 C．1 D．－1解析：f′(x)＝x2－2f′(1)·x－1，则f′(1)＝12－2f′(1)·1－1，解得f′(1)＝0.答案：A7．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．设该商品零售价定为P元，销售量为Q件，且Q与P有如下关系：Q＝8 300－170P－P2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)() A．30元B．60元C．28 000元D．23 000元解析：设毛利润为L(P)元，由题意知L(P)＝PQ－20Q＝Q(P－20)＝(8 300－170P －P 2)(P －20)＝－P 3－150 P 2＋11 700 P －166 000，所以L ′(P )＝－3P 2－300P ＋11 700.令L ′(P )＝0，解得P ＝30或P ＝－130(舍去)．当20≤P ＜30时，L ′(P )＞0，L (P )为增函数；当P ＞30时，L ′(P )＞0，L (P )为减函数，故P ＝30为L (P )的极大值点，也是最大值点，此时L (30)＝23 000，即最大毛利润为23 000元．答案：D8．设函数f (x )＝13x －ln x (x ＞0)，则y ＝f (x )( )A ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1(1，e)内均有零点B ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1(1，e)内均无零点 C ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点D ．在区间⎝⎛⎭⎪⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点解析：由题意得f ′(x )＝x －33x ，令f ′(x )＞0得x ＞3；令f ′(x )＜0得0＜x ＜3；f ′(x )＝0得x ＝3，故知函数f (x )在区间(0，3)上为减函数，在区间(3，＋∞)为增函数，在点x ＝3处有极小值1－ln 3＜0；又f (1)＝13＞0，f (e)＝e3－1＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝13e＋1＞0. 答案：C9．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有( )A ．f (0)＋f (2)＜2f (1)B ．f (0)＋f (2)≤2f (1)C．f(0)＋f(2)≥2f(1) D．f(0)＋f(2)＞2f(1)解析：当x＜1时，则f′(x)≤0；当x＞1时，f′(x)≥0，故f′(1)＝0.由f(x)的任意性知f(x)在[0，2]上有唯一的极小值f(1)，即f(0)≥f(1)，f(2)≥f(1)，所以f(0)＋f(2)≥2f(1)．答案：C10．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x ＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是()解析：因为f(x)在x＝－2处取得极小值，所以在x＝－2附近的左侧f′(x)＜0，当x＜－2时，xf′(x)＞0；在x＝－2附近的右侧f′(x)＞0，当－2＜x＜0时，xf′(x)＜0.答案：C11．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是()A．0≤a≤21 B．a＝0或a＝7C．a＜0或a＞21 D．a＝0或a＝21解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，令f′(x)＝0，即3x2＋2ax＋7a＝0，对于此方程，Δ＝4a2－84a，当Δ≤0，即0≤a≤21时，f′(x)≥0恒成立，函数不存在极值点．答案：A12．若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9解析：函数的导数为f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，由函数f (x )在x ＝1处有极值，可知函数f ′(x )在x ＝1处的导数值为0，即12－2a －2b ＝0，所以a ＋b ＝6，由题意知a ，b 都是正实数，所以ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取到等号． 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若曲线y ＝x a ＋1(a ∈R)在点(1，2)处的切线经过坐标原点，则a ＝________．解析：由题意，知y ′＝ax a －1，故在点(1，2)处的切线的斜率a ，又因为切线过坐标原点，所以a ＝2－01－0＝2.答案：214．函数f (x )＝ax 4－4ax 2＋b (a ＞0，1≤x ≤2)的最大值为3，最小值为－5，则a ＝________，b ＝________．解析：y ′＝4ax 3－8ax ＝4ax (x 2－2)，令y ′＝0， 解得x 1＝0(舍)，x 2＝2，x 3＝－2(舍)．又f (1)＝a －4a ＋b ＝b －3a ，f (2)＝16a －16a ＋b ＝b ，f (2)＝b －4a .所以 ⎩⎨⎧b －4a ＝－5，b ＝3.所以 a ＝2，b ＝3.答案：2 315．当x ∈[－1，2]时，x 3－x 2－x ＜m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：记f (x )＝x 3－x 2－x ， 所以f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＝0，得x ＝－13或x ＝1.又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527，f (2)＝2，f (－1)＝－1，f (1)＝－1，所以当x ∈[－1，2]时，(f (x ))max ＝2，所以m ＞2. 答案：(2，＋∞)16．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数f (x )＝e x (x ＞0)的图象上的动点，该图象在点P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是________．解析：设P (m ，e m )(m 是变量，且m ＞0)，则在点P 处切线l 的方程为y －e m ＝e m (x －m )，令x ＝0，得y ＝(1－m )e m ，故得M (0，(1－m )e m )． 过点P 作l 的垂线，则该垂线的直线方程为y －e m ＝ －e －m (x －m )，令x ＝0，得y ＝e m ＋m e －m ，故得N (0，e m ＋m e －m )． 所以t ＝12[(1－m )e m ＋e m ＋m e －m ]＝e m ＋12m (e －m －e m )，t ′＝12(e m ＋e －m )(1－m )．令t ′＝0，得到m ＝1.当0＜m ＜1时，t ′＞0； 当m ＞1时，t ′＜0.所以t 在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． 所以t max ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫e ＋1e .答案：12⎝ ⎛⎭⎪⎫e ＋1e三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)偶函数f (x )＝ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 的图象过点P (0，1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求y ＝f (x )的解析式．解：因为f (x )的图象过点P (0，1)，所以 e ＝1. 又f (x )为偶函数，所以 f (－x )＝f (x )．故ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e ＝ax 4－bx 3＋cx 2－dx ＋e ， 所以 b ＝0，d ＝0，所以 f (x )＝ax 4＋cx 2＋1. 因为函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2， 所以 切点为(1，－1)．所以 a ＋c ＋1＝－1.因为f ′(x )＝4ax 3＋2cx ，所以 f ′(x )|x ＝1＝4a ＋2c ， 所以 4a ＋2c ＝1，所以 a ＝52，c ＝－92.所以 函数y ＝f (x )的解析式为f (x )＝52x 4－92x 2＋1.18．(本小题满分12分)设函数y ＝f (x )＝4x 3＋ax 2＋bx ＋5在x ＝32与x ＝－1处有极值．(1)写出函数的解析式； (2)指出函数的单调区间； (3)求f (x )在[－1，2]上的最值．解：(1)y ′＝12x 2＋2ax ＋b ，由题设知当x ＝32与x ＝－1时函数有极值，则x ＝32与x ＝－1满足y ′＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12×⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋2a ·32＋b ＝0，12×（－1）2＋2a ·（－1）＋b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－18，所以 y ＝4x 3－3x 2－18x ＋5.(2)y ′＝12x 2－6x －18＝6(x ＋1)(2x －3)，列表如下： ↗↘↗由上表可知(－∞，－1)和(32，＋∞)为函数的单调递增区间，⎝⎛⎭⎪⎫－1，32为函数的单调递减区间．(3)因为f (－1)＝16，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－614，f (2)＝－11，所以f (x )在[－1，2]上最小值是－614，最大值为16.19．(本小题满分12分)有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是P 万元和Q 万元，它们与投入资金x 万元的关系有经验公式：P ＝x5，Q ＝35x .现有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得的最大利润是多少？解：设对乙种商品投资x 万元，则甲种商品投资为(3－x )万元，总利润为y 万元．根据题意，得y ＝3－x 5＋35x (0≤x ≤3)，y ′＝－15＋310·1x .令y ′＝0，解得x ＝94.由实际意义知x ＝94即为函数的极大值点，也是最大值点，此时3－x ＝34.因此为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元，获得的最大利润为1.05万元．20．(本小题满分12分)若函数f (x )＝4x 3－ax ＋3在[－12，12]上是单调函数，则实数a 的取值范围为多少？解：f ′(x )＝12x 2－a ，若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12上为单调增函数，则f ′(x )≥0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12上恒成立，即12x 2－a ≥0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12上恒成立．所以 a ≤12x 2在[－12，12]上恒成立，所以 a ≤(12x 2)min ＝0.当a ＝0时，f ′(x )＝12x 2≥0恒成立[只有x ＝0时f ′(x )＝0]． 所以 a ＝0符合题意．若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12上为单调减函数，则f ′(x )≤0，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12上恒成立，即12x 2－a ≤0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12上恒成立，所以 a ≥12x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12上恒成立，所以 a ≥(12x 2)max ＝3.当a ＝3时，f ′(x )＝12x 2－3＝3(4x 2－1)≤0恒成立(且只有x ＝±12时f ′(x )＝0.因此，a 的取值范围为a ≤0或a ≥3.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R)．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程；(2)求函数f (x )的极值．解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a x. (1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x(x ＞0)． 所以f (1)＝1，f ′(1)＝－1.所以曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.(2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －a x(x ＞0)知， ①当a ≤0时，f ′(x )＞0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值．②当a ＞0时，由f ′(x )＝0，得x ＝a .当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值．综上可得，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a ＞0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2x 3－3x .(1)求f (x )在区间[－2，1]上的最大值；(2)若过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切，求t 的取值范围；(3)过点A (－1，2)，B (2，10)，C (0，2)分别存在几条直线与曲线y ＝f (x )相切(只需写出结论)?解：(1)由f (x )＝2x 3－3x ，得f ′(x )＝6x 2－3.令f ′(x )＝0，得x ＝－22或x ＝22.因为f (－2)＝ －10，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝－2，f (1)＝1， 所以f (x )在区间[－2，1]上的最大值为f ⎝⎛⎭⎪⎫－22＝ 2. (2)设过点P (1，t )的直线与曲线y ＝f (x )相切于点(x 0，y 0)，则y 0＝2x 30－3x 0，且切线斜率为k ＝6x 20－3，所以切线方程为y －y 0＝(6x 20－3)(x －x 0)，因此t －y 0＝(6x 20－3)(1－x 0)，整理得4x 30－6x 20＋t ＋3＝0.设g (x )＝4x 3－6x 2＋t ＋3，则“过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切”等价于“g (x )有3个不同的零点”．g ′(x )＝12x 2－12x ＝12x (x －1)．当x 变化时，g ′(x )与g (x )的变化情况如下：所以g(0)＝t＋3是g(x)的极大值，g(1)＝t＋1是g(x)的极小值．当g(0)＝t＋3≤0，即t≤－3时，g(x)在区间(－∞，1]和(1，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点．当g(1)＝t＋1≥0，即t≥－1时，g(x)在区间(－∞，0)和[0，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点．当g(0)＞0且g(1)＜0，即－3＜t＜－1时，因为g(－1)＝t－7＜0，g(2)＝t＋11＞0，所以g(x)分别在区间[－1，0]，[0，1)和[1，2)上恰有1个零点．由于g(x)在区间(－∞，0)和(1，＋∞)上单调，所以g(x)分别在区间(－∞，0)和[1，＋∞]上恰有1个零点．综上可知，当过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切时，t 的取值范围是(－3，－1)．(3)过点A(－1，2)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切，过点B(2，10)存在2条直线与曲线y＝f(x)相切，过点C(0，2)存在1条直线与曲线y＝f(x)相切．。
人教A版高中数学选修一第一学期期末综合测试卷.docx
福建大田一中2009—2010学年第一学期期末综合测试卷高 二 年 文 科 数 学 科（范围：必修2、选修1-1、线性规划） 完卷时间：120分钟 满分：150分 命题人：CMK一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.只有一个选项是符合题目要求的） 1．已知a 、b 是异面直线,直线c//a,那么c 与b （ ） A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是相交直线 D.不可能是平行直线２．不等式(5)()0,03x y x y x -++≥⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域是一个（ ）A ．三角形B ．直角三角形C ．梯形D ．矩形３．“直线m y x m l -=++2)1(:1和1624:2-=+my x l 互相平行”的充要条件是“m 的值为（ ）”A.1或2-B. 2-C. 32-D. 1 ４.若三棱锥P-ABC 的三条侧棱与底面所成的角都相等，则点P 在底面ABC 上的射影一定 是∆ABC 的（ ）A. 外心B. 垂心C. 内心D. 重心5.一束光线自点A(3，2，1)发出被xOy 平面反射，到达点B(-3，0，2)被吸收，那么光线自点A 至点B 所走的距离是 （ ）A. 3B. 5C. 41D. 76.设定点F 1（0，－3）、F 2（0，3），动点P 满足条件)0(921>+=+a aa PF PF ，则点P 的轨迹是（ ） A.椭圆 B.线段 C. 椭圆或线段 D. 不存在7.一个几何体的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图及其尺寸如下（单位cm ），则该几何体的表面积为( )A.4(9+23) cm 2B.)3824(+ cm2C.314 cm2D. 318 cm8、经过点)62,62(-M 且与双曲线22134y x -=有共同渐近线的双曲线方程为（ ） A 、22186y x -= B 、22168x y -= C 、22186x y -= D 、22168y x -= 9.椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的两焦点分别为1F 、2F ，以1F 2F 为边作正三角形，若正三角形的第三个顶点恰好是椭圆短轴的一个端点，则椭圆的离心率为 （ ） A 、12 B 、32 C 、22 D. 3310.函数3211513y x x x =--+的单调递增区间是（ ） A 、(,3)-∞- B 、(5,)+∞ C 、(3,5)- D 、(,3)-∞-和(5,)+∞ 11.如图，已知正方形ABCD 的边长为2，沿对角线AC 将三角形ADC 折起，使平面ADC 与平面ABC 垂直，折叠后B 、D 两点的距离是（ ）A.1B.2C. 2D. 22CDA 'B 'C 'D 'CDACD正视图32侧视图俯视图12.如图，在正方体ABCD-A 'B 'C 'D '中，直线A 'B 和直线AC 、CC '、C 'A 所成的角的大小分别是α、β、γ，则α、β、γ的大小关系是（ A ）A. β<α<γB. α<β<γC. α<γ<βD. β<γ<α 二、填空题（每小题4分，共4小题16分）13.以点C(-1，2)为圆心且与x 轴相切的圆的方程为 ； 14.已知三棱柱ABC-A ´B ´C ´所有的棱长均为2，且侧棱与底面垂直，则该三棱柱的体积 是15．若抛物线px y 22=的焦点与双曲线1322=-y x 的左焦点重合，则实数p = ．16. 已知a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，在下列命题①βα⇒⎭⎬⎫βα//a //a //；②βα⇒⎭⎬⎫⊥β⊥α//a a ；③b //a //b //a ⇒⎭⎬⎫αα；④b //a b a ⇒⎭⎬⎫α⊥α⊥中，正确的命题是 （只填序号）.三、解答题：(第17-21题各12分，第22题14分，共74分) 17．已知p ：方程012=++mx x 有两个不等的负实根，q ：方程01)2(442=+-+x m x 无实根．若p 或q 为真，p 且q 为假． 求实数m 的取值范围。
最新-高二数学上册 期末终结性测试题 新人教A版选修1-
第一学期期末终结性测试卷一 选择题（5×12=60`）1.条件:12p x +>，条件:2q x >，则p ⌝是q ⌝的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要不充分条 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要的条件2.抛物线28x y =-的准线方程是 （ ）(A) 132x =（B ）y ＝2 （C ）14x = （D ）y=4 3.双曲线229436x y -=-的渐近线方程是（ ） (A) 23y x =± （B ）32y x =± （C ）94y x =± （D ）49y x =±4．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）. A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++=5.已知双曲线22221(0)x y a b a b -=>>的离心率为2，椭圆22221x y a b =＋的离心率为（ ）(A)12 （B ）3（C ）2（D ）26. 平面内两定点A 、B 及动点P ，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P 的轨迹是以A ．B 为焦点的椭圆”，那么 （ ） A ．甲是乙成立的充分不必要条件 B ．甲是乙成立的必要不充分条件 C ．甲是乙成立的充要条件 D ．甲是乙成立的非充分非必要条件7．若抛物线y 2＝2px (p >0)上一点到准线和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则该点横坐标为A ．10或 1B ．9或 1C ．10或2D ．9或28．将函数x x f y sin )('=的图象向左平移4π个单位，得到函数x y 2sin 21-=的图象，则)(x f 是（ ）A ．x sin 2B ．cosxC ．sinxD ．2cosx9．设.0121:|12:|>--⋅>+x x q a x p 使p 是q 的必要不充分条件的实数a 的范围是（ ）A ．（－∞，0）B ．]2,(--∞C ．[－2，3]D ． （－∞，3]10.已知12,F F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若2ABF ∆是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）A、2CD1 11．设a ,b ∈R ，ab ≠0，则直线ax －y +b =0和曲线bx 2+ay 2=ab 的大致图形是 （ ）12．下列命题正确的是（）①动点M 至两定点A 、B 的距离之比为常数)10(≠>λλλ且．则动点M 的轨迹是圆。
人教a版数学【选修1-1】期末考试综合检测(A)(含答案)
期末考试综合检测(A)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．命题“若A ⊆B ，则A ＝B ”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )A ．0B ．2C ．3D ．42．已知命题p ：若x 2＋y 2＝0 (x ，y ∈R )，则x ，y 全为0；命题q ：若a >b ，则1a <1b .给出下列四个复合命题：①p 且q ；②p 或q ；③綈p ；④綈q .其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．43．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A.x 216＋y 212＝1B.x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝1 4．已知a >0，则x 0满足关于x 的方程ax ＝b 的充要条件是( )A ．∃x ∈R ，12ax 2－bx ≥12ax 20－bx 0B ．∃x ∈R ，12ax 2－bx ≤12ax 20－bx 0C ．∀x ∈R ，12ax 2－bx ≥12ax 20－bx 0D ．∀x ∈R ，12ax 2－bx ≤12ax 20－bx 05．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．圆C ．双曲线的一支D ．线段6．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A ．[0，π4)B ．[π4，π2)C ．(π2，3π4]D ．[3π4，π)7．已知a >0，函数f (x )＝x 3－ax 在区间[1，＋∞)上是单调递增函数，则a 的最大值是( ) A ．1 B ．3 C ．9 D ．不存在8．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |等于( )A ．10B ．8C ．6D ．49．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )A. 6B. 5C.62D.5210．若当x ＝2时，函数f (x )＝ax 3－bx ＋4有极值－43，则函数的解析式为( )A ．f (x )＝3x 3－4x ＋4B ．f (x )＝13x 2＋4C ．f (x )＝3x 3＋4x ＋4D ．f (x )＝13x 3－4x ＋411．设O 为坐标原点，F 1、F 2是x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)的焦点，若在双曲线上存在点P ，满足∠F 1PF 2＝60°，|OP |＝7a ，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．x ±3y ＝0 B.3x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D.2x ±y ＝012．若函数f (x )＝x 2＋ax(a ∈R )，则下列结论正确的是( )A ．∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是增函数B ．∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是减函数C ．∃a ∈R ，f (x )是偶函数D ．∃a ∈R ，f (x )是奇函数 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，那么实数m 的取值范围是 ________________________________________________________________．14．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，则双曲线的方程为________________________________________________________________________．15．若AB 是过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)中心的一条弦，M 是椭圆上任意一点，且AM 、BM 与坐标轴不平行，k AM 、k BM 分别表示直线AM 、BM 的斜率，则k AM ·k BM ＝________.16．已知f (x )＝x 3＋3x 2＋a (a 为常数)在[－3,3]上有最小值3，那么在[－3,3]上f (x )的最大值是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知p ：2x 2－9x ＋a <0，q ：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0x 2－6x ＋8<0，且綈q 是綈p 的必要条件，求实数a 的取值范围．18．(12分)设P 为椭圆x 2100＋y 264＝1上一点，F 1、F 2是其焦点，若∠F 1PF 2＝π3，求△F 1PF 2的面积．19.（12分）已知两点M （－2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →||MP →|＋MN →·NP →＝0，求动点P (x ，y )的轨迹方程．20．(12分)已知函数f (x )＝ax 2－43ax ＋b ，f (1)＝2，f ′(1)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在(1,2)处的切线方程．21.(12分)已知直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1交于A ，B 两点． (1)求a 的取值范围；(2)若以AB 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值．22．(12分)已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1－ax－1(a ∈R )．(1)当a ＝－1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)当a ≤12时，讨论f (x )的单调性．模块综合检测(A) 答案1．B [原命题为假，故其逆否命题为假；其逆命题为真，故其否命题为真；故共有2个真命题．]2．B [命题p 为真，命题q 为假，故p ∨q 真，綈q 真．]3．D [双曲线x 24－y 212＝－1，即y 212－x 24＝1的焦点为(0，±4)，顶点为(0，±23)．所以对椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1而言，a 2＝16，c 2＝12.∴b 2＝4，因此方程为y 216＋x 24＝1.]4．C [由于a >0，令函数y ＝12ax 2－bx ＝12a (x －b a )2－b 22a，此时函数对应的图象开口向上，当x ＝b a 时，取得最小值－b 22a ，而x 0满足关于x 的方程ax ＝b ，那么x 0＝b a ，y min ＝12ax 20－bx 0＝－b 22a，那么对于任意的x ∈R ，都有y ＝12ax 2－bx ≥－b 22a ＝12ax 20－bx 0.]5．A [∵P 为MF 1中点，O 为F 1F 2的中点，∴|OP |＝12|MF 2|，又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，∴|PF 1|＋|PO |＝12|MF 1|＋12|MF 2|＝a .∴P 的轨迹是以F 1，O 为焦点的椭圆．]6．D [∵y ＝4e x ＋1，∴y ′＝－4e x (e x ＋1)2.令e x ＋1＝t ，则e x ＝t －1且t >1，∴y ′＝－4t ＋4t 2＝4t 2－4t .再令1t＝m ，则0<m <1，∴y ′＝4m 2－4m ＝4(m －12)2－1，m ∈(0,1)．容易求得－1≤y ′<0，∴－1≤tan α<0，得34π≤α<π.]7．B [因为函数f (x )在区间[1，＋∞)上单调递增，所以有f ′(x )≥0，x ∈[1，＋∞)，即3x 2－a ≥0在区间[1，＋∞)上恒成立，所以a ≤3x 2.因为x ∈[1，＋∞)时，3x 2≥3，从而a ≤3.] 8．B [由抛物线的定义， 得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.]9．D [由题意知，过点(4，－2)的渐近线方程为y ＝－b a x ，∴－2＝－ba×4，∴a ＝2b ，设b ＝k ，则a ＝2k ，c ＝5k ，∴e ＝c a ＝5k 2k ＝52.]10．D [因为f (x )＝ax 3－bx ＋4， 所以f ′(x )＝3ax 2－b .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(2)＝12a －b ＝0f (2)＝8a －2b ＋4＝－43，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13b ＝4，故所求函数解析式为f (x )＝13x 3－4x ＋4.]11．D [如图所示，∵O 是F 1F 2的中点，PF 1→＋PF 2→＝2PO →，∴（PF 1→＋PF 2→)2＝(2PO →)2.即 |PF 1→|2＋|PF 2→|2＋2|PF 1→|·|PF 2→|·cos 60°＝4|PO →|2. 又∵|PO |＝7a ，∴ |PF 1→|2＋|PF 2→|2＋|PF 1→||PF 2→|＝28a 2. ① 又由双曲线定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴(|PF 1|－|PF 2|)2＝4a 2.即|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝4a 2. ② 由①－②得|PF 1|·|PF 2|＝8a 2， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝20a 2.在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos 60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|，∴8a 2＝20a 2－4c 2.即c 2＝3a 2. 又∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝2a 2. 即b 2a 2＝2，ba＝ 2. ∴双曲线的渐近线方程为2x ±y ＝0.]12．C [f ′(x )＝2x －ax2，故只有当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上才是增函数，因此A 、B不对，当a ＝0时，f (x )＝x 2是偶函数，因此C 对，D 不对．]13．[3,8)解析 因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0， 即m ≥3.又因为p (2)是真命题，所以4＋4－m >0， 即m <8.故实数m 的取值范围是3≤m <8. 14.x 24－y 212＝1 解析 由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝3x 得ba＝3，∴b ＝3a .∵抛物线y 2＝16x 的焦点为F (4,0)，∴c ＝4. 又∵c 2＝a 2＋b 2，∴16＝a 2＋(3a )2， ∴a 2＝4，b 2＝12.∴所求双曲线的方程为x 24－y 212＝1.15．－b 2a2解析 设A (x 1，y 1)，M (x 0，y 0)， 则B (－x 1，－y 1)，则k AM ·k BM ＝y 0－y 1x 0－x 1·y 0＋y 1x 0＋x 1＝y 20－y 21x 20－x 21＝⎝⎛⎭⎫－b 2a 2x 20＋b 2－⎝⎛⎭⎫－b 2a 2x 21＋b 2x 20－x 21＝－b 2a 2. 16．57解析 f ′(x )＝3x 2＋6x ，令f ′(x )＝0， 得x ＝0或x ＝－2.又∵f (0)＝a ，f (－3)＝a ， f (－2)＝a ＋4，f (3)＝54＋a ，∴f (x )的最小值为a ，最大值为54＋a . 由题可知a ＝3，∴f (x )的最大值为57.17．解 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0x 2－6x ＋8<0，得⎩⎨⎧1<x <32<x <4，即2<x <3.∴q ：2<x <3.设A ＝{x |2x 2－9x ＋a <0}，B ＝{x |2<x <3}，∵綈p ⇒綈q ，∴q ⇒p ，∴B ⊆A . 即2<x <3满足不等式2x 2－9x ＋a <0. 设f (x )＝2x 2－9x ＋a ，要使2<x <3满足不等式2x 2－9x ＋a <0， 需⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)≤0f (3)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧8－18＋a ≤018－27＋a ≤0. ∴a ≤9.故所求实数a 的取值范围是{a |a ≤9}． 18．解 如图所示，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则S △F 1PF 2＝12mn sin π3＝34mn . 由椭圆的定义知 |PF 1|＋|PF 2|＝20，即m ＋n ＝20. ① 又由余弦定理，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos π3＝|F 1F 2|2，即m 2＋n 2－mn ＝122. ②由①2－②，得mn ＝2563.∴S △F 1PF 2＝6433.19．解 设 P ＝(x ，y )，则 MN →＝(4,0)，MP →＝(x ＋2，y )， NP →＝(x －2，y )．∴ |MN →|＝4，|MP →|＝(x ＋2)2＋y 2， MN →·NP →＝4(x －2)，代入 |MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0， 得4(x ＋2)2＋y 2＋4(x －2)＝0， 即(x ＋2)2＋y 2＝2－x ， 化简整理，得y 2＝－8x .故动点P (x ，y )的轨迹方程为y 2＝－8x .20．解 (1)f ′(x )＝2ax －43a ，由已知得⎩⎨⎧f ′(1)＝2a －43a ＝1f (1)＝a －43a ＋b ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝32b ＝52，∴f (x )＝32x 2－2x ＋52.(2)函数f (x )在(1,2)处的切线方程为 y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0.21．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋1，3x 2－y 2＝1消去y ，得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧3－a 2≠0，Δ>0，即－6<a <6且a ≠±3.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2a3－a 2，x 1x 2＝－23－a 2.∵以AB 为直径的圆过原点，∴OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，即x 1x 2＋(ax 1＋1)(ax 2＋1)＝0， 即(a 2＋1)x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋1＝0.∴(a 2＋1)·－23－a 2＋a ·2a3－a 2＋1＝0，∴a ＝±1，满足(1)所求的取值范围． 故a ＝±1.22．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝ln x ＋x ＋2x－1，x ∈(0，＋∞)，所以f ′(x )＝x 2＋x －2x 2，x ∈(0，＋∞)，因此f ′(2)＝1，即曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为1. 又f (2)＝ln 2＋2，所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为 y －(ln 2＋2)＝x －2，即x －y ＋ln 2＝0.(2)因为f (x )＝ln x －ax ＋1－ax －1，所以f ′(x )＝1x －a ＋a －1x 2＝－ax 2－x ＋1－a x 2，x ∈(0，＋∞)．令g (x )＝ax 2－x ＋1－a ，x ∈(0，＋∞)．①当a ＝0时，g (x )＝－x ＋1，x ∈(0，＋∞)， 所以当x ∈(0,1)时，g (x )>0，此时f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，g (x )<0，此时f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． ②当a ≠0时，由f ′(x )＝0，即ax 2－x ＋1－a ＝0，解得x 1＝1，x 2＝1a－1.a ．当a ＝12时，x 1＝x 2，g (x )≥0恒成立，此时f ′(x )≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．b ．当0<a <12时，1a－1>1，x ∈(0,1)时，g (x )>0，此时f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；x ∈⎝⎛⎭⎫1，1a －1时，g (x )<0， 此时f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；x ∈⎝⎛⎭⎫1a －1，＋∞时，g (x )>0， 此时f ′(x )<0，函数f (x )单调递减．c ．当a <0时，由于1a－1<0.x ∈(0,1)时，g (x )>0，此时f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； x ∈(1，＋∞)时，g (x )<0，此时f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． 综上所述：当a ≤0时，函数f (x )在(0,1)上单调递减， 在(1，＋∞)上单调递增；当a ＝12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当0<a <12时，函数f (x )在(0,1)上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1，1a －1上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a －1，＋∞上单调递减．。
高中数学人教a版高二选修1-1_章末综合测评2 有答案
高中数学人教a 版高二选修1-1_章末综合测评2 有答案(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．抛物线y ＝－18x 2的准线方程是( )A ．x ＝132B ．y ＝2C ．y ＝132D ．y ＝－2【解析】 将y ＝－18x 2化为标准形式为x 2＝－8y ，故准线方程为y ＝2.【答案】 B2．下列双曲线中，渐近线方程为y ＝±2x 的是( )A ．x 2－y24＝1B.x 24－y 2＝1 C ．x 2－y22＝1D.x 22－y 2＝1 【解析】 法一 由渐近线方程为y ＝±2x ，可得y2＝±x ，所以双曲线的标准方程可以为x 2－y 24＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫或y 24－x 2＝1，舍去.法二 A 中的渐近线方程为y ＝±2x ；B 中的渐近线方程为y ＝±12x ；C 中的渐近线方程为y ＝±2x ；D 中的渐近线方程为y ＝±22x .故选A.【答案】 A3．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73B.54C.43D.53【解析】 由双曲线的渐近线过点(3，－4)知b a ＝43，∴b 2a 2＝169. 又b 2＝c 2－a 2，∴c 2－a 2a 2＝169，即e 2－1＝169，∴e 2＝259，∴e ＝53.【答案】 D4．抛物线y 2＝14x 关于直线x －y ＝0对称的抛物线的焦点坐标是( )A ．(1,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116 C ．(0,1)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫116，0 【解析】 ∵y 2＝14x 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫116，0，∴关于直线y ＝x 对称后抛物线的焦点为⎝⎛⎭⎪⎫0，116.【答案】 B5．设F 1，F 2是双曲线x 23－y 2＝1的两个焦点，P 在双曲线上，当△F 1PF 2的面积为2时，PF 1→·PF 2→的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．6【解析】 设P (x 0，y 0)，又F 1(－2,0)，F 2(2,0)， ∴PF 1→＝(－2－x 0，－y 0)，PF 2→＝(2－x 0，－y 0)．|F 1F 2|＝4. S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y 0|＝2，∴|y 0|＝1.又x 203－y 20＝1，∴x 20＝3(y 20＋1)＝6，∴PF 1→·PF 2→＝x 20＋y 20－4＝6＋1－4＝3. 【答案】 B6．有一个正三角形的两个顶点在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上，另一个顶点在原点，则该三角形的边长是( )A ．23pB ．43pC ．63pD ．83p【解析】 设A 、B 在y 2＝2px 上，另一个顶点为O ，则A 、B 关于x 轴对称，则∠AOx ＝30°，则OA 的方程为y ＝33x .由⎩⎨⎧y ＝33x ，y 2＝2px ，得y ＝23p ，∴△AOB 的边长为43p .【答案】 B7．已知|A B →|＝3，A ，B 分别在y 轴和x 轴上运动，O 为原点，O P →＝13O A →＋23O B →，则动点P 的轨迹方程是( )A.x 24＋y 2＝1 B ．x 2＋y 24＝1C.x 29＋y 2＝1 D ．x 2＋y29＝1【解析】 设P (x ，y )，A (0，y 0)，B (x 0,0)，由已知得(x ，y )＝13(0，y 0)＋23(x 0,0)，即x ＝23x 0，y ＝13y 0，所以x 0＝32x ，y 0＝3y .因为|A B →|＝3，所以x 20＋y 20＝9，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋(3y )2＝9，化简整理得动点P 的轨迹方程是x 24＋y 2＝1.【答案】 A8．AB 为过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的中心的弦F 1为一个焦点，则△ABF 1的最大面积是(c 为半焦距)( )A ．acB ．abC ．bcD ．b 2【解析】 △ABF 1的面积为c ·|y A |，因此当|y A |最大， 即|y A |＝b 时，面积最大．故选C. 【答案】 C9．若F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为( )A ．7 B.72 C.74D.752【解析】 |F 1F 2|＝22，|AF 1|＋|AF 2|＝6， 则|AF 2|＝6－|AF 1|，|AF 2|2＝|AF 1|2＋|F 1F 2|2－2|AF 1|·|F 1F 2|cos 45° ＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8，即(6－|AF 1|)2＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8， 解得|AF 1|＝72，所以S ＝12×72×22×22＝72.【答案】 B10．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A ．±12B ．±22C ．±1D ．±2【解析】 由题设易知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a . ∵A 1B ⊥A 2C ，∴b 2a c ＋a ·－b 2a c －a ＝－1，整理得a ＝b . ∵渐近线方程为y ＝±ba x ，即y ＝±x ，∴渐近线的斜率为±1. 【答案】 C11．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积是( )A ．3 2B ．2 2 C. 2D.322【解析】 如图所示，由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1,0)，又|AF |＝3，由抛物线定义知：点A 到准线x ＝－1的距离为3，∴点A 的横坐标为2.将x ＝2代入y 2＝4x 得y 2＝8，由图知点A 的纵坐标y ＝22， ∴A (2,22)，∴直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．联立直线与抛物线的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，解之得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2 2. 由图知B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2，∴S △AOB ＝12|OF |·|y A －y B |＝12×1×|22＋2|＝32 2.【答案】 D12．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝132B ．a 2＝13C ．b 2＝12D ．b 2＝2【解析】 由题意，知a 2＝b 2＋5，因此椭圆方程为(a 2－5)x 2＋a 2y 2＋5a 2－a 4＝0，双曲线的一条渐近线方程为y ＝2x ，联立方程消去y ，得(5a 2－5)x 2＋5a 2－a 4＝0，∴直线截椭圆的弦长d ＝5×2a 4－5a 25a 2－5＝23a ，解得a 2＝112，b 2＝12，故选C.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知(2,0)是双曲线x 2－y2b2＝1(b >0)的一个焦点，则b ＝________.【解析】 由题意得，双曲线焦点在x 轴上，且c ＝2.根据双曲线的标准方程，可知a 2＝1.又c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝3.又b >0，所以b ＝ 3.【答案】314．设F 1，F 2为曲线C 1：x 26＋y 22＝1的焦点，P 是曲线C 2：x 23－y 2＝1与C 1的一个交点，则△PF 1F 2的面积为________．【解析】 由题意知|F 1F 2|＝26－2＝4，设P 点坐标为(x ，y )． 由⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1，x 23－y 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±322，y ＝±22.则S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y |＝12×4×22＝ 2.【答案】215.如图1，已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点恰好是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的右焦点F ，且两条曲线的交点连线也经过焦点F ，则该椭圆的离心率为________．图1【解析】由条件知，c＝p 2，∴其中一个交点坐标为(c,2c)，∴c2a2＋4c2b2＝1，∴e4－6e2＋1＝0，解得e2＝3±22，∴e＝±(2±1)．又0<e<1，故e＝2－1.【答案】2－116．已知双曲线C1、C2的顶点重合，C1的方程为x24－y2＝1，若C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍，则C2的方程为________．【解析】因为C1的方程为x24－y2＝1，所以C1的一条渐近线的斜率k1＝12，所以C2的一条渐近线的斜率k2＝1，因为双曲线C1、C2的顶点重合，即焦点都在x轴上，设C2的方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，所以a＝b＝2，所以C2的方程为x24－y24＝1.【答案】x24－y24＝1三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知双曲线与椭圆有共同的焦点F1(0，－5)，F2(0,5)，点P(3,4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求双曲线与椭圆的方程．【解】由共同的焦点F1(0，－5)，F2(0,5)，可设椭圆方程为y2a2＋x2a2－25＝1，双曲线方程为y2b2－x225－b2＝1(b>0)．点P(3,4)在椭圆上，则16a2＋9a2－25＝1，得a2＝40，双曲线过点P(3,4)的渐近线方程为y＝b25－b2x，即4＝b25－b2×3，得b2＝16.所以椭圆方程为y 240＋x 215＝1，双曲线方程为y 216－x 29＝1.18．(本小题满分12分)已知直线l ：y ＝x ＋m 与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点， (1)若|AB |＝10，求m 的值； (2)若OA ⊥OB ，求m 的值． 【解】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，(1)⎩⎨⎧y ＝x ＋m ，y 2＝8x⇒x 2＋(2m －8)x ＋m 2＝0 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(2m －8)2－4m 2＞0，x 1＋x 2＝8－2m ，x 1x 2＝m 2.|AB |＝2|x 1－x 2|＝ 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10，得m ＝716，∵m ＜2，∴m ＝716.(2)∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0. x 1x 2＋(x 1＋m )(x 2＋m )＝0， 2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝0， 2m 2＋m (8－2m )＋m 2＝0， m 2＋8m ＝0，m ＝0或m ＝－8. 经检验m ＝－8.19．(本小题满分12分)已知双曲线过点P ()－32，4，它的渐近线方程为y ＝±43x .(1)求双曲线的标准方程；(2)设F 1和F 2为该双曲线的左、右焦点，点P 在此双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|＝41，求∠F 1PF 2的余弦值．【解】 (1)由渐近线方程知，双曲线中心在原点，且渐近线上横坐标为－32的点P ′的纵坐标的绝对值为4 2.∵42>4，∴双曲线的焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2－y 2b 2＝1.∵双曲线过点P (－32，4)，∴18a 2－16b 2＝1.① 又b a ＝43，② 由①②，得a 2＝9，b 2＝16， ∴所求的双曲线方程为x 29－y 216＝1.(2)设|PF 1|＝d 1，|PF 2|＝d 2，则d 1·d 2＝41.又由双曲线的几何性质知，|d 1－d 2|＝2a ＝6.由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝d 21＋d 22－|F 1F 2|22d 1d 2＝(d 1－d 2)2＋2d 1d 2－|F 1F 2|22d 1d 2＝941.20．(本小题满分12分)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB .【解】 (1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，13b ，又k OM ＝510，从而b 2a ＝510. 进而a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)证明：由N 是AC 的中点知，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－b 2，可得NM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 6，5b 6.又AB→＝(－a ，b )， 从而有AB →·NM→＝－16a 2＋56b 2＝16(5b 2－a 2)． 由(1)的计算结果可知a 2＝5b 2， 所以AB →·NM→＝0，故MN ⊥AB .21．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 及点A (0，b )，原点O 到直线F A 的距离为22b . (1)求椭圆C 的离心率e ；(2)若点F 关于直线l ：2x ＋y ＝0的对称点P 在圆O ：x 2＋y 2＝4上，求椭圆C 的方程及点P 的坐标．【解】 (1)由点F (－ae,0)，点A (0，b )，及b ＝1－e 2a ，得直线F A 的方程为x －ae＋y 1－e 2a＝1，即1－e 2x －ey ＋ae 1－e 2＝0.因为原点O 到直线F A 的距离为 22b ＝ae 1－e 2， 所以221－e 2·a ＝ae 1－e 2，解得e ＝22. (2)设椭圆C 的左焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，0关于直线l ：2x ＋y ＝0的对称点为P (x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 0x 0＋22a＝12，2·x 0－22a2＋y 02＝0，解得x 0＝3210a ，y 0＝225a . 因为P 在圆x 2＋y 2＝4上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫3210a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫225a 2＝4.所以a 2＝8，b 2＝(1－e 2)a 2＝4. 故椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1，第- 11 -页 共11页 点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫65，85. 22．(本小题满分12分)已知经过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p >0)相交于B ，C ，当直线l 的斜率是12时，A C →＝14A B →. (1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的垂直平分线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．【解】 (1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，由已知，当k l ＝12时，l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x ＝2y －4.由⎩⎨⎧x 2＝2py ，x ＝2y －4，得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0， 所以⎩⎨⎧ y 1y 2＝4，y 1＋y 2＝8＋p 2，又因为A C →＝14A B →， 所以y 2＝14y 1或y 1＝4y 2. 由p >0得：y 1＝4，y 2＝1，p ＝2，即抛物线方程为x 2＝4y .(2)设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 中点坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎨⎧x 2＝4y ，y ＝k (x ＋4)， 得x 2－4kx －16k ＝0.①所以x 0＝x 1＋x 22＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k . 所以BC 的中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1k (x －2k )， 所以BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ＝2k 2＋4k ＋2＝2(k ＋1)2，对于方程①由Δ＝16k 2＋64k >0得k >0或k <－4.所以b ∈(2，＋∞)．。
高中数学人教A版选修1-1 章末综合测评1 Word版含答案.doc
章末综合测评(一)常用逻辑用语(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．“经过两条相交直线有且只有一个平面”是()A．全称命题B．特称命题C．p∨q形式D．p∧q形式【解析】此命题暗含了“任意”两字，即经过任意两条相交直线有且只有一个平面．【答案】 A2．(2015·湖南高考)设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】由于函数f(x)＝x3在R上为增函数，所以当x>1时，x3>1成立，反过来，当x3>1时，x>1也成立．因此“x>1”是“x3>1”的充要条件，故选C.【答案】 C3．(2014·湖北高考)命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是()A．∀x∉R，x2≠x B．∀x∈R，x2＝xC．∃x∉R，x2≠x D．∃x∈R，x2＝x【解析】全称命题的否定，需要把全称量词改为特称量词，并否定结论．【答案】 D4．全称命题“∀x∈Z,2x＋1是整数”的逆命题是()A．若2x＋1是整数，则x∈ZB．若2x＋1是奇数，则x∈ZC．若2x＋1是偶数，则x∈ZD．若2x＋1能被3整除，则x∈Z【解析】易知逆命题为：若2x＋1是整数，则x∈Z.【答案】 A5．已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；q：x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是()A．p∧¬q B．¬p∧qC．¬p∧¬q D．p∧q【解析】命题p为真命题，命题q为假命题，所以命题¬q为真命题，所以p∧¬q为真命题，故选A.【答案】 A6．(2015·皖南八校联考)命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是()A．全等三角形的面积不一定都相等B．不全等三角形的面积不一定都相等C．存在两个不全等三角形的面积相等D．存在两个全等三角形的面积不相等【解析】命题是省略量词的全称命题．易知选D.【答案】 D7．原命题为“若a n＋a n＋12＜a n，n∈N＋，则{a n}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是() A．真，真，真B．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假【解析】 从原命题的真假入手，由于a n ＋a n ＋12＜a n ⇔a n ＋1＜a n ⇔{a n }为递减数列，即原命题和逆命题均为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，则逆命题、否命题和逆否命题均为真命题，选A.【答案】 A8．给定两个命题p ，q .若¬p 是q 的必要而不充分条件，则p 是¬q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 q ⇒¬p 等价于p ⇒¬q ，¬pD ⇒/ q 等价于¬qD ⇒/ p .故p 是¬q 的充分而不必要条件．【答案】 A9．一元二次方程ax 2＋4x ＋3＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )A ．a ＜0B ．a ＞0C ．a ＜－1D ．a ＞1【解析】 一元二次方程ax 2＋4x ＋3＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根⇔3a ＜0，解得a ＜0，故a ＜－1是它的一个充分不必要条件．【答案】 C10．设集合U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，A ＝{(x ，y )|2x －y ＋m ＞0}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －n ≤0}，那么点P (2,3)∈A ∩(∁U B )的充要条件是( )【导学号：26160027】A ．m ＞－1，n ＜5B ．m ＜－1，n ＜5C ．m ＞－1，n ＞5D ．m ＜－1，n ＞5【解析】 ∵P (2,3)∈A ∩(∁U B )，∴满足⎩⎪⎨⎪⎧ 2×2－3＋m ＞0，2＋3－n ＞0，故⎩⎪⎨⎪⎧m ＞－1，n ＜5. 【答案】 A11．下列命题中为真命题的是( )A ．∃x 0∈R ，e x 0≤0B ．∀x ∈R,2x >x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是a b ＝－1D ．a >1，b >1是ab >1的充分条件【解析】 对于∀x ∈R ，都有e x >0，故选项A 是假命题；当x ＝2时，2x ＝x 2，故选项B 是假命题；当a b ＝－1时，有a ＋b ＝0，但当a ＋b ＝0时，如a ＝0，b ＝0时，a b 无意义，故选项C 是假命题；当a >1，b >1时，必有ab >1，但当ab >1时，未必有a >1，b >1，如当a ＝－1，b ＝－2时，ab >1，但a 不大于1，b 不大于1，故a >1，b >1是ab >1的充分条件，选项D 是真命题．【答案】 D12．下列命题中真命题的个数为( )①命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题；②设α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则“α<β ”是“tan α<tan β ”的充要条件； ③命题“自然数是整数”是真命题；④命题“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1<0”的否定是“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0.”A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 ①命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”为真命题，所以其逆否命题为真命题；②因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2 时，正切函数y ＝tan x 是增函数，所以当α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，α<β⇔tan α<tan β，所以“α<β”是“tan α<tan β”的充要条件，即②是真命题；③命题“自然数是整数”是全称命题，省略了“所有的”，故③是真命题；④命题“∀x ∈R ，x 2＋x＋1<0”的否定是“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1≥0”，故④是假命题．【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．设p ：x ＞2或x ＜23；q ：x ＞2或x ＜－1，则¬p 是¬q 的________条件．【解析】 ¬p ：23≤x ≤2.¬q ：－1≤x ≤2.¬p ⇒¬q ，但¬qD ⇒/ ¬p .∴¬p 是¬q 的充分不必要条件．【答案】 充分不必要14．若命题“对于任意实数x ，都有x 2＋ax －4a >0且x 2－2ax ＋1>0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．【解析】 若对于任意实数x ，都有x 2＋ax －4a >0，则Δ＝a 2＋16a <0，即－16<a <0；若对于任意实数x ，都有x 2－2ax ＋1>0，则Δ＝4a 2－4<0，即－1<a <1，故命题“对于任意实数x ，都有x 2＋ax －4a >0且x 2－2ax ＋1>0”是真命题时，有a ∈(－1,0)．而命题“对于任意实数 x ，都有x 2＋ax －4a >0且x 2－2ax ＋1>0”是假命题，故a ∈(－∞，－1]∪[0，＋∞)．【答案】 (－∞，－1]∪[0，＋∞)15．给出下列四个命题：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b ≤－1，则关于x 的方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实数根”的逆否命题；④若sin α＋cos α>1，则α必定是锐角．其中是真命题的有________．(请把所有真命题的序号都填上)．【解析】 ②可利用逆命题与否命题同真假来判断，易知“相似三角形的周长相等”的逆命题为假，故其否命题为假．④中α应为第一象限角．【答案】 ①③16．已知p ：－4＜x －a ＜4，q ：(x －2)(3－x )＞0，若¬p 是¬q 的充分条件，则实数a 的取值范围是________．【解析】 p ：a －4＜x ＜a ＋4，q ：2＜x ＜3，∵¬p 是¬q 的充分条件(即¬p ⇒¬q )，∴q ⇒p ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3，∴－1≤a ≤6. 【答案】 [－1,6]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)指出下列命题的构成形式，并写出构成它的命题：(1)36是6与18的倍数；(2)方程x2＋3x－4＝0的根是x＝±1；(3)不等式x2－x－12>0的解集是{x|x>4或x<－3}．【解】(1)这个命题是p∧q的形式，其中p：36是6的倍数；q：36是18的倍数．(2)这个命题是p∨q的形式，其中p：方程x2＋3x－4＝0的根是x ＝1；q：方程x2＋3x－4＝0的根是x＝－1.(3)这个命题是p∨q的形式，其中p：不等式x2－x－12>0的解集是{x|x>4}；q：不等式x2－x－12>0的解集是{x|x<－3}．18．(本小题满分12分)写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)全等三角形一定相似；(2)末位数字是零的自然数能被5整除．【解】(1)逆命题：若两个三角形相似，则它们一定全等，为假命题；否命题：若两个三角形不全等，则它们一定不相似，为假命题；逆否命题：若两个三角形不相似，则它们一定不全等，为真命题．(2)逆命题：若一个自然数能被5整除，则它的末位数字是零，为假命题；否命题：若一个自然数的末位数字不是零，则它不能被5整除，为假命题；逆否命题：若一个自然数不能被5整除，则它的末位数字不是零，为真命题．19．(本小题满分12分)写出下列命题的否定并判断真假：(1)所有自然数的平方是正数；(2)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；(3)∀x ∈R ，x 2－3x ＋3>0；(4)有些质数不是奇数．【解】 (1)所有自然数的平方是正数，假命题；否定：有些自然数的平方不是正数，真命题．(2)任何实数x 都是方程5x －12＝0的根，假命题；否定：∃x 0∈R,5x 0－12≠0，真命题．(3)∀x ∈R ，x 2－3x ＋3>0，真命题；否定：∃x 0∈R ，x 20－3x 0＋3≤0，假命题．(4)有些质数不是奇数，真命题；否定：所有的质数都是奇数，假命题．20．(本小题满分12分)(2016·汕头高二检测)设p ：“∃x 0∈R ，x 20－ax 0＋1＝0”，q ：“函数y ＝x 2－2ax ＋a 2＋1在x ∈[0，＋∞)上的值域为[1，＋∞)”，若“p ∨q ”是假命题，求实数a 的取值范围．【解】 由x 20－ax 0＋1＝0有实根，得Δ＝a 2－4≥0⇒a ≥2或a ≤－2.因为命题p 为真命题的范围是a ≥2或a ≤－2.由函数y ＝x 2－2ax ＋a 2＋1在x ∈[0，＋∞)上的值域为[1，＋∞)，得a ≥0.因此命题q 为真命题的范围是a ≥0.根据p ∨q 为假命题知：p ，q 均是假命题，p 为假命题对应的范围是－2<a <2，q 为假命题对应的范围是a <0.这样得到二者均为假命题的范围就是⎩⎨⎧－2<a <2，a <0⇒－2<a <0. 21．(本小题满分12分)(2016·惠州高二检测)设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0；命题q ：实数x 满足x 2－5x ＋6≤0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．【解】 (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0，得(x －3a )·(x －a )<0，又a >0，所以a <x <3a ，当a ＝1时，1<x <3，即p 为真命题时，实数x 的取值范围是1<x <3，由x 2－5x ＋6≤0得2≤x ≤3，所以q 为真时，实数x 的取值范围是2≤x ≤3.若p ∧q 为真，则2≤x <3，所以实数x 的取值范围是[2,3)．(2)设A ＝{x |a <x <3a }，B ＝{x |2≤x ≤3}，由题意可知q 是p 的充分不必要条件，则B A ，所以⎩⎨⎧0<a <2，3a >3⇒1<a <2，所以实数a 的取值范围是(1,2)． 22．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋x ，对任意x ∈[0,1]，|f (x )|≤1恒成立，试求实数a 的取值范围. 【导学号：26160028】【解】 由f (x )＝ax 2＋x 是二次函数，知a ≠0.|f (x )|≤1⇔－1≤f (x )≤1⇔－1≤ax 2＋x ≤1，x ∈[0,1]，①当x ＝0，a ≠0时，①式显然成立；当x ∈(0,1]时，①式化为－1x 2－1x ≤a ≤1x 2－1x ，当x ∈(0,1]时恒成立．设t ＝1x ，则t ∈[1，＋∞)，所以－t 2－t ≤a ≤t 2－t .令f (t )＝－t 2－t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋14，t ∈[1，＋∞)， 所以f (t )max ＝－2.令g (t )＝t 2－t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－14，t ∈[1，＋∞)， 所以g (t )min ＝0.所以只需－2≤a ≤0.综上所述，实数a 的取值范围是[－2,0)．。
人教a版选修1-1综合质量评估数学试卷有答案-(高二)AKqKAK
综合质量评估第一至第三章(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.“x>3”是“不等式x2-2x>0”的( )A.充分不必要条件B.充分必要条件C.必要不充分条件D.非充分必要条件【解析】选A.解不等式x2-2x>0得x<0或x>2,故“x>3”是“不等式x2-2x>0”的充分不必要条件.2.(2016·临沂高二检测)命题:“∀x∈R,都有x2-x+1>0”的否定是( )A.∀x∈R,都有x2-x+1≤0B.∃x0∈R,使-x0+1>0C.∃x0∈R,使-x0+1≤0D.∃x0∈R,使x2-x0+1<0【解析】选C.全称命题的否定是特称命题.3.函数y=f(x)的图象如图1所示,则y=f′(x)的图象可能是( )【解析】选D.由函数y=f(x)的图象可知当x<0时,函数单调递增,故f′(x)>0,当x>0时,函数单调递减,故f′(x)<0.4.(2016·河南南阳高二期末)若函数f(x)=x3+ax2+3x-9在x=-1时取得极值,则a 等于( )A.1B.2C.3D.4【解析】选C.f′(x)=3x2+2ax+3.由题意知f′(-1)=0,解得a=3.5.设曲线y=ax2在点(1,a)处的切线与直线2x-y-6=0平行,则a的值为( )A.1B.C.-D.-1【解析】选A.y′=2ax,于是曲线y=ax2在点(1,a)处切线的斜率为2a,由题意得2a=2,解得a=1.6.已知点P是双曲线-=1(a>0)上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF1|=3,则|PF2|等于( ) A.7 B.6 C.5 D.3【解题指南】先根据渐近线方程求出a,再根据双曲线的定义求|PF2|.【解析】选A.由双曲线方程得渐近线方程为3x±ay=0,则a=2,双曲线中c=,b=3,由|PF1|=3知P为双曲线左支上一点,则|PF2|=|PF1|+4=7.7.椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,则双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为( )A. B. C. D.【解析】选B.由题意知=,得a2=4b2,又a>b>0,所以a=2b.所以双曲线的离心率e===.【补偿训练】设双曲线-=1的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为( )A. B.5 C. D.【解析】选D.设双曲线的渐近线方程为y=kx,这条直线与抛物线y=x2+1相切,联立方程得整理得x2-kx+1=0,则Δ=k2-4=0,解得k=±2,即=2,故双曲线的离心率e====.8.(2016·青岛高二检测)设函数f(x)=x2-9lnx在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取值范围是( )A.(1,2]B.[4,+∞)C.(-∞,2]D.(0,3]【解析】选A.f′(x)=x-=(x>0),令f′(x)≤0得0<x≤3.所以f(x)在(0,3]上单调递减,所以解得1<a≤2.9.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】选B.因为双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,所以F(-6,0)是双曲线的左焦点,即a2+b2=36,又双曲线的一条渐近线方程是y=x,所以=,解得a2=9,b2=27,所以双曲线的方程为-=1.10.(2016·大连高二检测)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,M是抛物线C上的点,若三角形OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36π,则p的值为( )A.2B.4C.6D.8【解析】选D.因为△OFM的外接圆与抛物线C:y2=2px(p>0)的准线相切,所以△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径.因为圆的面积为36π,所以圆的半径为6,又因为圆心在OF的垂直平分线上,|OF|=,所以+=6,p=8.11.(2015·济南二模)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x1处取得极大值,在x2处取得极小值,满足x1∈(-1,0),x2∈(0,1),则的取值范围是( )A.(0,2)B.(1,3)C.[0,3]D.[1,3]【解析】选B.因为f(x)=x3+ax2+bx+c,所以f′(x)=x2+ax+b.因为函数f(x)在区间(-1,0)内取得极大值,在区间(0,1)内取得极小值,所以f′(x)=x2+ax+b=0在(-1,0)和(0,1)内各有一个根,f′(0)<0,f′(-1)>0,f′(1)>0,即在aOb坐标系中画出其表示的区域,如图,=1+2×,令m=,其几何意义为区域中任意一点与点(-2,-1)连线的斜率,分析可得0<<1,则1<<3,所以的取值范围是(1,3).12.(2016·厦门模拟)若点O和点F(-2,0)分别是双曲线-y2=1(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则·的取值范围为( )A.[3-2,+∞)B.[3+2,+∞)C. D.【解析】选B.因为F(-2,0)是已知双曲线的左焦点,所以a2+1=4,即a2=3,所以双曲线方程为-y2=1,设点P(x0,y0)(x0≥),则有-=1(x0≥),解得=-1 (x0≥),因为=(x0+2,y0),=(x0,y0),所以·=x0(x0+2)+=x0(x0+2)+ -1=+2x0-1,此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=-,因为x0≥,所以当x0=时,·取得最小值×3+2-1=3+2,故·的取值范围是[3+2,+∞).二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.函数f(x)=lnx的图象在点(e,f(e))处的切线方程是.【解析】因为f′(x)=,所以f′(e)=,又f(e)=1,所以切线方程为y-1=(x-e),即y=x.答案:y=x14.若命题“∃x0∈R,a+x0+1<0”是假命题,则a的取值范围是.【解析】因为∃x0∈R,a+x0+1<0是假命题,所以∀x∈R,ax2+x+1≥0恒成立,当a=0时,1≥0,命题成立.当a≠0时,即所以a≥,所以a的取值范围为a≥或a=0.答案:a≥或a=015.(2016·临沂高二检测)若直线y=kx是y=f(x)=lnx的一条切线,则k= . 【解析】设切点坐标为(x0,y0).因为y=lnx,所以y′=.所以f′(x0)==k.因为点(x0,y0)既在直线y=kx上,也在曲线y=lnx上,所以把k=代入①式得y0=1,再把y0=1代入②式求出x0=e.所以k==.答案:16.(2016·北京高考)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(,0),则a= ,b= .【解题指南】焦点在x轴的双曲线的渐近线为y=±x,焦点(±c,0).【解析】因为渐近线方程y=-2x,所以=2①.焦点(,0),所以c=.所以a2+b2=c2=5②.由①②联立解得a=1,b=2.答案:1 2三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2016·西安高二检测)命题p:关于x的不等式x2+2ax+4>0对一切x∈R恒成立,q:函数f(x)=(3-2a)x是增函数,若p或q为真,p且q为假,求实数a的取值范围.【解析】设g(x)=x2+2ax+4,若p真,由于关于x的不等式x2+2ax+4>0对一切x∈R恒成立,所以函数g(x)的图象开口向上且与x轴没有交点,故Δ=4a2-16<0,所以-2<a<2.若q真,即函数f(x)=(3-2a)x是增函数,则3-2a>1,所以a<1.又由于p或q为真,p且q为假,所以p和q一真一假,(1)若p真q假,则所以1≤a<2.(2)若p假q真,则所以a≤-2.综上可知,所求实数a的取值范围为(-∞,-2]∪[1,2).【补偿训练】已知p:f(x)=x+在区间 [1,+∞)上是增函数;q:f(x)=x3+ax2+3x+1在R上有极值.若“p∨q”为真,求实数a的取值范围.【解析】若p真,f′(x)=1-.因为f(x)=x+在区间[1,+∞)上是增函数,则f′(x)=1-≥0在[1,+∞)上恒成立,即a≤x2在[1,+∞)上恒成立,所以a≤(x2)min,所以a≤1.p:A={a|a≤1}.若q真,f′(x)=3x2+2ax+3.要使得f(x)=x3+ax2+3x+1在R上有极值,则f′(x)=3x2+2ax+3=0有两个不相等的实数解,Δ=4a2-4×3×3>0,解得a<-3或a>3.q:B={a|a<-3或a>3}.因为“p∨q”为真,所以A∪B={a|a≤1或a>3}.所以所求实数a的取值范围为(-∞,1]∪(3,+∞).18.(12分)(2016·衡水高二检测)已知函数f(x)=x3-x2+bx+c.(1)若f(x)的图象有与x轴平行的切线,求b的取值范围.(2)若f(x)在x=1处取得极值,且x∈[-1,2]时,f(x)<c2恒成立,求c的取值范围. 【解析】(1)f′(x)=3x2-x+b,f(x)的图象上有与x轴平行的切线,则f′(x)=0有实数解.即方程3x2-x+b=0有实数解.所以Δ=1-12b≥0,解得b≤.(2)由题意,得x=1是方程3x2-x+b=0的一个根,设另一个根为x0,则解得所以f(x)=x3-x2-2x+c,f′(x)=3x2-x-2.当x∈时,f′(x)<0;当x∈(1,2]∪时,f′(x)>0.所以当x=-时,f(x)有极大值+c,又f(-1)=+c,f(2)=2+c,所以当x∈[-1,2]时,f(x)的最大值为f(2)=2+c.因为当x∈[-1,2]时,f(x)<c2恒成立.所以c2>2+c,解得c<-1或c>2,所以c的取值范围是(-∞,-1)∪(2,+∞).19.(12分)已知椭圆的两焦点为F1(-,0),F2(,0),离心率e=.(1)求此椭圆的方程.(2)设直线l:y=x+m,若l与此椭圆相交于P,Q两点,且|PQ|等于椭圆的短轴长,求m 的值.【解析】(1)设椭圆方程为+=1(a>b>0),则c=,=,所以a=2,b2=a2-c2=1.所以所求椭圆方程为+y2=1.(2)由消去y,得5x2+8mx+4(m2-1)=0,则Δ=64m2-80(m2-1)>0,得m2<5(*).设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,y1-y2=x1-x2,|PQ|===2.解得m2=,满足(*),所以m=±.20.(12分)已知函数f(x)=-x3+2ax2-3a2x+b(a>0).(1)当f(x)的极小值为-,极大值为-1时,求函数f(x)的解析式.(2)若f(x)在区间[1,2]上为增函数,在区间[6,+∞)上为减函数,求实数a的取值范围.【解析】(1)f′(x)=-x2+4ax-3a2=-(x-a)(x-3a),令f′(x)≥0,得a≤x≤3a,令f′(x)≤0,得x≥3a或x≤a,所以f(x)在(-∞,a]上是减函数,在[a,3a]上是增函数,在[3a,+∞)上是减函数,所以f(x)在x=a处取得极小值,在x=3a处取得极大值.由已知有即解得所以函数f(x)的解析式为f(x)=-x3+2x2-3x-1.(2)由(1)知f(x)在(-∞,a]上是减函数,在[a,3a]上是增函数,在[3a,+∞)上是减函数,所以要使f(x)在区间[1,2]上为增函数,在区间[6,+∞)上是减函数,则必须有解得实数a的取值范围为.21.(12分)(2016·南阳高二检测)如图,已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F 的直线l与抛物线C交于A(x1,y1)(y1>0),B(x2,y2)两点,T为抛物线的准线与x轴的交点.(1)若·=1,求直线l的斜率.(2)求∠ATF的最大值.【解析】(1)由题意得F(1,0),T(-1,0),当直线l与x轴垂直时,A(1,2),B(1,-2),此时·=(2,2)·(2,-2)=0,这与·=1矛盾.故直线l与x轴不垂直.设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y=k(x-1). ①将①代入y2=4x整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.所以x1+x2=,x1x2=1.所以y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=-4,所以·=(x1+1,y1)·(x2+1,y2)=x1x2+(x1+x2)+1+y1y2=1++1-4==1.解得k=±2.(2)因为y1>0,所以tan∠ATF===≤1.当且仅当y1=即y1=2时取等号.故∠ATF的最大值为.22.(12分)已知函数f(x)=-x3+x2-2x(a∈R).(1)当a=3时,求函数f(x)的单调区间.(2)若对于任意x∈[1,+∞)都有f′(x)<2(a-1)成立,求实数a的取值范围. 【解析】(1)当a=3时,函数f(x)=-x3+x2-2x,得f′(x)=-x2+3x-2=-(x-1)(x-2).所以当1<x<2时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;当x<1或x>2时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;所以函数f(x)的单调递增区间为(1,2),单调递减区间为(-∞,1)和(2,+∞).(2)由f(x)=-x3+x2-2x,得f′(x)=-x2+ax-2,因为对于任意x∈[1,+∞)都有f′(x)<2(a-1)成立,所以问题转化为对于任意x ∈[1,+∞)都有f′(x)max<2(a-1).因为f′(x)=-+-2,其图象开口向下,对称轴为x=.①当≤1即a≤2时,f′(x)在[1,+∞)上单调递减,所以f′(x)max=f′(1)=a-3,由a-3<2(a-1),得a>-1,此时-1<a≤2.②当>1即a>2时,f′(x)在上单调减增,在上单调递减,所以f′(x)max=f′=-2,由-2<2(a-1),得0<a<8,此时2<a<8,综上可得,实数a的取值范围为(-1,8).。
人教A版高中数学选修一高二上学期期末考试(理)试题 (10).docx
理 科 数 学满分150分 时间120分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项答在机读卡上） 1.直线230x y -+=在x 轴上的截距为( )A.23-B.32- C.52D.22.命题“∀x ∈R ，x 2－2x ＋4≤0”的否定为( )A ．∀x ∈R ，x 2－2x ＋4≥0B ．∀x ∉R ，x 2－2x ＋4≤0C ．∃x ∈R ，x 2－2x ＋4>0D ．∃x ∉R ，x 2－2x ＋4>03.几何体的三视图如图所示，则此几何体的侧面积是( )A ．26+B ．2C ．210+D ．74.已知110a b<<，则下列结论错误．．的是( )A.22b a <B.2b aa b+> C.2b ab > D.2lg lg()a ab <5.设α表示平面，b a ,表示两条不同的直线，给定下列四个命题： αα⊥⇒⊥b b a a ,//1）（，αα⊥⇒⊥b a b a ,//2）（,αα//,3b b a a ⇒⊥⊥）（ b a b a //,4⇒⊥⊥αα）（其中正确的是( )A.(1)(2)B.(2)(4)C.(3)(4)D.(2)(3) 6.经过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的直线，交双曲线与,A B 两点，交双曲线的渐近线于,P Q 两点，若2PQ AB =，则双曲线的离心率是( ) A.2 B.3 C.322 D.2337.已知2220,0282)0x y y x m m xy >>+-(->，若恒成立，则实数m 的取值范围是 A.24m -<< B.42m -<< C.24m << D.44m -<<8.用一个与圆柱母线成600角的平面截圆柱，截口为一个椭圆，则该椭圆的离心率为（ ） A.22 B.23C.12D.139.光线沿直线y ＝2x ＋1射到直线y ＝x 上，被y ＝x 反射后的光线所在的直线方程为( )A ．y ＝12x －1B ．y ＝12x －12C ．y ＝12x ＋12D ．y ＝12x ＋110.抛物线22y px =（p ＞0）的焦点为F ，已知点A 、B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则||||MN AB 的最大值为 ( ) A.33 B. 1 C. 233D. 2二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请将正确答案写在答题卡上）11.不等式|x ＋3|+|x －2|≥7的解集为_______;12.棱长为3的正方体内有一个球，与正方体的12条棱都相切，则该球的体积为 ;13.在坐标平面内,与点A （1,2）距离为1,且与点B （3,1）距离为2的直线共 有 条;14.已知椭圆22143x y +=上一动点P ，与圆22(1)1x y -+=上一动点Q ，及圆22(1)1x y ++=上一动点R ,则PQ PR +的最大值为 ;15.过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线与其交于M 、N 两点，作平行四边形MONP ， 则点P 的轨迹方程为________.三、解答题（本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.（本小题满分13分）如图将长'33AA =，宽13AA =的矩形沿长的三等分线处折叠成一个三棱柱，如图所示：(1)求异面直线PQ 与AC 所成角的余弦值 (2)求三棱锥1A APQ -的体积17.（本小题满分13分）已知圆x 2+y 2-6x -8y +21=0和直线kx -y -4k +3=0.(1)若直线和圆总有两个不同的公共点，求k 的取值集合(2)求当k 取何值时，直线被圆截得的弦最短，并求这最短弦的长.18.（本小题满分12分）设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0.命题q ：实数x 满足⎩⎨⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)当a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．19.（本小题满分12分）设A 、B 是抛物线y 2=2px (p ＞0)上的两点，满足OA ⊥OB (O 为坐标原点).求证：A 、B 两点的横坐标之积为24p ；(2)直线AB 经过一个定点20.（本小题满分13分）如图，在底面是菱形的四棱锥P ABCD -中，点E 在PD 上，且满足21PE ED =∶∶，2PA AB ==，PA ABCD ⊥底面,060ABC ∠= （1）在棱PC 上是否存在一点F ,使BF AEC 平面,若存在，求出PF 的长度 （2）求二面角P AE C --的余弦值21.（本小题满分12分）以椭圆2222:1(0)y x C a b a b +=>>的中心O 为圆心，以2ab 为半径的圆称为该椭圆的“伴随”. 已知椭圆的离心率为23, 且过点1(,3)2．(1) 求椭圆C 及其“伴随”的方程;(2) 过点()0,P m 作“伴随”的切线l 交椭圆C 于A , B 两点, 记(AOB O ∆为坐标原点)的面积为AOB S ∆, 将AOB S ∆表示为m 的函数, 并求AOB S ∆的最大值.2016级理科数学参考答案一、选择题：ACACB DACBA 二、填空题：11.{43}x x x ≤-≥或| 12.92π 13. 2 14. 6 15.24(2)y x =- 三、解答题：16.解：（1）由已知，三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，1,2PB QC == 在1B B 上取一点D ，使得11B D =,连结11,A D C D ,所以，11112,3A D C D AC ===,在11A C D Δ中，113cos 4A C D ∠= 所以直线PQ 与AC 所成的夹角的余弦值为34（2）11111311133(33)322224A APQ Q A AP A AP A AP V V S S --==⨯==⨯⨯⨯=ΔΔ 17.解：（1）已知圆的方程为（x -3）2+（y -4）2=4，其圆心（3，4）到直线kx -y -4k +3=0的距离为221|1||13443|kk kk k ++=++--.直线和圆总有两个不同的公共点，所以21|1|k k ++＜2，即（k +1）2＜4（1+k 2），即3k 2-2k +3＞0.而3k 2-2k +3=3（k -31）2+38＞0恒成立.所以k 的取值集合为R （方法二：直线过定点（4,3），可以判断点（4,3）在圆的内部，从而确定直线和圆总有两个不同的公共点，所以k 的取值集合为R ）（2）由于当圆心到直线的距离最大时，直线被圆截得的弦最短， 而d =21111211)1(1|1|222222=+++≤++=++=++k k k k k k k k ,当且仅当k =1时，“=”成立，即k =1时，d max =2.故当k =1时，直线被圆截得的弦最短，该最短弦的长为22)2(2222=-（注：由（1）可以确定圆心到直线的距离最大为圆心与点（4,3）的距离，从而确定最短弦;在上面的解法中对k 的分类讨论用对勾函数求解也可.） 18.解 (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0，得a <x <3a (a >0)．当a ＝1时，1<x <3，所以p ：1<x <3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，解得2<x ≤3，所以q ：2<x ≤3. 若p ∧q 为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是{x |2<x <3}．(2)设A ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a >0}＝{x |a <x <3a ，a >0}，B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －6<0，x 2＋2x －8>0＝{x |2<x ≤3}．根据题意可得 B A ⊆ ，则0<a ≤2且3a >3，即1<a ≤2. 故实数a 的取值范围是{a |1<a ≤2}．19.证明:(1)设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2),则y 12=2px 1、y 22=2px 2.∵OA ⊥OB, ∴x 1x 2+y 1y 2=0, y 12y 22=4p 2x 1x 2=4p 2·(-y 1y 2). ∴y 1y 2=-4p 2,从而x 1x 2=4p 2也为定值. (2)∵y 12-y 22=2p(x 1-x 2),∴2121x x y y --=212y y p+.∴直线AB 的方程为y-y 1=212y y p + (x-x 1), 即y=212y y p +x-212y y p+·py 221+y 1,y=212y y p +x+2121y y y y +, 亦即y=212y y p+(x-2p). ∴直线AB 经过定点(2p ,0).20.解：连结,BD AC O O OC x OD 与相交于点以为原点，为轴，为y 轴 建立空间直角坐标系O xyz -则(0,0,0)O ,(1,0,0)A -,(0,3,0)B -,(1,0,0)C ,(0,3,0)D ,(1,0,2)P -.1322232(2,0,2),(,,),(,,),(2,0,0),(0,0,2),333333CP DE AE AC AP =-=--===设棱PC 上一点F ，(01)CF CP λλ=≤≤，所以(12,3,2)BF BC CF λλ=+=-所以F 为PC 的中点时，BF AEC 平面，并且此时2PF =(2)设平面PAE 的法向量为222(,,)n x y z =00(3,1,0){n AP n AE n ==⇒=-1cos ,4n mn m n m==-故二面角P AE C --的余弦值为14-21.解析：(1) 椭圆C 的离心率为32, 则2a b =,设椭圆C 的方程为222214y x b b += ……………2分∵椭圆C 过点1(,3)2，∴1414322=+bb ，∴1=b ，2=a …………….………..4分∴椭圆C 的标准方程为2214y x +=，椭圆C 的“伴随”方程为221x y +=. ………..6分(2) 由题意知，1||≥m .易知切线l 的斜率存在,设切线l 的方程为,y kx m =+ 由22,14y kx m y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(4)240k x k mx m +++-= ………..8分 设A , B 两点的坐标分别为11(,)x y , 22(,)x y , 则12224kmx x k +=-+, 212244m x x k -=+.又由l 与圆221x y +=相切, 所以2||11m k =+, 221k m =-.所以221212||1()4AB k x x x x =++-2222222244(4)43||(1)[](4)43k m m m k k k m -=+-=+++ ……10分223123AOB m S AB m ∆==+, 1m ≥. 23231332AOBS m m m m∆=≤=+(当且仅当3m =±时取等号)所以当3±=m 时，AOB S ∆的最大值为1. ………..12分。
人教A版高中数学选修一高二上学期期末考试(理)试题 (4).docx
第Ⅰ卷（60分）一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的）1.已知命题p ：x R ∀∈，||0x ≥，那么命题p ⌝为（ ）A ．,0x R x ∃∈≤B ．,0x R x ∀∈≤ C. ,0x R x ∃∈<D ．,0x R x ∀∈<2. 已知a b >,则下列不等关系正确的是（ ）A ．22a b >B ．22ac bc >C ．22a b >D ．22log log a b >3. 设直线::(0)l y kx m m =+?,双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>,则“b k a=-”是“直线l 与双曲线C 恰有一个公共点“的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分条件D ．既不充分也不必要条件4. 有下列四个命题：(1)已知A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则0AB BC CD DA +++=u u u r u u u r u u u r u u u r r；(2)若两个非零向量AB CD u u u r u u u r与满足0AB CD u u u r u u u r r ＋＝,则AB u u u r ‖CD uuu r ；(3)分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量；(4)对于空间的任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r(,,)x y z R ∈,则P,A,B,C 四点共面。
其中正确命题的个数是（ ） A.3 B.2C.1D.05.设变量x,y 满足约束条件222200x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则目标函数2z x y =-+的最大值是（ ） A.4B.2C.1D. 23-6. 空间四边形OABC 中，OA a =u u u r r ,OB b =u u u r r , OC c =u u u r r ,点M 在OA 上，且2OM OA =u u u u r u u u r ，N 为BC 中点，则MN u u u u r =（ ）A ．121-232a b c +r r rB ．211322a b c -++r r rC ．112-223a b c +r r rD ．221-332a b c +r r r7.已知数列{}n a 是等比数列，其前n 项和为n S ，若612369,S SS S ==则（ ） A.9B.18C.64D.658.已知双曲线22145x y -=的右焦点与抛物线2y ax =的焦点重合，则该抛物线的准线被双曲线所截的线段长度为（ ） A.4B.5C.529.定义12...nnp p p +++为n 个正数12,,...,n p p p 的“均倒数”.若已知正数数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121n +,又14n n a b +=,则12231011111...b b b b b b +++= ( )A.111B.112C.1011D.111210.已知P 是抛物线x y 42=上的一个动点,Q 是圆()()22311x y -+-=上的一个动点,)0,1(N 是一个定点,则PQ PN +的最小值为（ ） A.3B.4C.5D.111.已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各棱长均为1,棱BB 1所在直线上的动点M 满足1BB λ=,AM 与侧面BB 1C 1C所成的角为θ,若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,22λ,则θ的取值范围是( )A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,12ππB. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,6ππ C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,4ππ D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡125,3ππ 12.已知双曲线22221(0,0),,x y a b M N a b-=>>是双曲线上关于原点对称的两点，P 是双曲线上的动点，直线PM ，PN 的斜率分别为1212,(0)k k k k ⋅≠，若12k k +的最小值为1，则双曲线的离心率为（ ）D.32第Ⅱ卷（90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13. 若(1,1,0),(1,0,2),a b a b ==-+r r r r则与同方向的单位向量是________________14. 已知数列121,,,9a a 是等差数列，数列1231,,,,9b b b 是等比数列，则212b a a +的值为 _______ .15. 平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为2，且两两夹角为60°，则1DB 和11C A 所成角大小为____________.16. 若0,y 0x >>,且1322x y x y+=++,则65x y +的最小值为___________. 三、解答题（共6小题，共70分。
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第一学期期末终结性测试卷一 选择题（5×12=60`）1.条件:12p x +>，条件:2q x >，则p ⌝是q ⌝的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要不充分条 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要的条件2.抛物线28x y =-的准线方程是 （ ）(A) 132x =（B ）y ＝2 （C ）14x = （D ）y=4 3.双曲线229436x y -=-的渐近线方程是（ ） (A) 23y x =± （B ）32y x =± （C ）94y x =± （D ）49y x =±4．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）. A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++=5.已知双曲线22221(0)x y a b a b -=>>的离心率为2，椭圆22221x y a b=＋的离心率为（ ）(A)12（B ）3 （C ）2 （D ）26. 平面内两定点A 、B 及动点P ，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P 的轨迹是以A ．B 为焦点的椭圆”，那么 （ ） A ．甲是乙成立的充分不必要条件 B ．甲是乙成立的必要不充分条件 C ．甲是乙成立的充要条件 D ．甲是乙成立的非充分非必要条件7．若抛物线y 2＝2px (p >0)上一点到准线和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则该点横坐标为A ．10或 1B ．9或 1C ．10或2D ．9或28．将函数x x f y sin )('=的图象向左平移4π个单位，得到函数x y 2sin 21-=的图象，则)(x f 是（ ）A ．x sin 2B ．cosxC ．sinxD ．2cosx9．设.0121:|12:|>--⋅>+x x q a x p 使p 是q 的必要不充分条件的实数a 的范围是（ ）A ．（－∞，0）B ．]2,(--∞C ．[－2，3]D ． （－∞，3]10.已知12,F F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若2ABF ∆是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）AB、2CD1 11．设a ,b ∈R ，ab ≠0，则直线ax －y +b =0和曲线bx 2+ay 2=ab 的大致图形是 （ ）12．下列命题正确的是（）①动点M 至两定点A 、B的距离之比为常数)10(≠>λλλ且．则动点M 的轨迹是圆。
②椭圆c c b e b a by a x (,22)0(12222==>>=+则的离心率为半焦距）。
③双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦点到渐近线的距离为b 。
④知抛物线y 2＝2px 上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)且OA ⊥OB (O 为原点),则y 1y 2＝－p 2。
A ．②③④B ．①④C ．①②③D ．①③二、填空题（4`×4=16`） 13．曲线2ay y x x==和在它们的交点处的两条切线互相垂直，则a 的值是 .14.方程02=++c bx ax 无实根,则双曲线12222=-by a x 的离心率的取值范围为______________.15.已知直线l 与椭圆369422=+y x 相交于B A ,两点,弦AB 的中点坐标为)1,1(,则直线l 的方程为 .16. 给出下列命题：①若“p 或q ”是假命题，则“p ⌝且q ⌝”是真命题；②若实系数关于x 的二次不等式，20ax bx c ++≤的解集为∅，则必有0a >且0△≤； ③ 22||||x y x y >⇔>；④ 2424x x y y xy >+>⎧⎧⇔⎨⎨>>⎩⎩. 其中真命题的是 .三、解答题（74分）17：分别求下面双曲线的标准方程 （1）与双曲线22193x y -=有共同的渐近线，并且经过点4)- （2且过点（4。
18.已知函数()2ln bx x a x f -=图象上一点P （2，f (2)）处的切线方程为22ln 23++-=x y ．求b a ,的值；19．过双曲线116922=-y x 的右焦点F 作倾斜角为π4的直线交双曲线于A 、B 两点，求线段AB 的中点C 到焦点F 的距离20动点P 的轨迹C 的方程为x y 42=，过焦点F 的直线l 与C 相交于B A ,两点， O 为坐标原点。
（1）求⋅的值;（2）设λ=,当三角形OAB 的面积[]5,2∈S 时,求λ的取值范围.21.设椭圆222:1(0)2x y C a a +=>的左右焦点分别为1F 、2F ，A 是椭圆C 上的一点，且2120AF F F ⋅= ，坐标原点O 到直线1AF 的距离为113OF ．（1）求椭圆C 的方程；（2） 设Q 是椭圆C 上的一点，过点Q 的直线l 交x 轴于点(1,0)F -，交y 轴于点M ，=，求直线l 的斜率．22.已知动圆C 过点A(－2，0)，且与圆M ：(x －2)2+x 2=64相内切 (1)求动圆C 的圆心的轨迹方程；(2)设直线l : y=kx+m(其中k ，m ∈Z)与(1)所求轨迹交于不同两点B ，D ，与双曲线22x y 1412-=交于不同两点E ，F ，问是否存在直线l ，使得向量DF BE 0+=，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由.参考答案一 选择题ABBAD BB A AD BC二、填空题134a =±14、（1，2+）；15、4x+9y-13=0；16：①③ 三、解答题17．（Ⅰ）解:由题意可设所求双曲线方程为：()22093x y λλ-=≠ 双曲线经过点4)-∴22(4)593λ-=-=- ∴所求双曲线方程为：2211545y x -= …………… 6分 （2）解：e e ==22a b ∴=设双曲线的标准方程为：222(0)x y a a -=>，把点(4,代入上方程得：26a = 所以所求双曲线的标准方程为22166x y -=。
…………… 12分 18.解：()2af x b x x'=-，()242af b '=-，()2ln 24f a b =-．…………… 5分于是432ab -=-且ln 2462ln 22a b -=-++． …………… 9分解得a ＝2，b ＝1 ……………12分19．解：由已知，AB 的方程为y ＝x －5，将其代入222112217903690.(,),(,)916x y x x A x y B x y -=+-=得设…………6分 则1290.7x x +=-AB 的中点C的坐标为4580(,)77--，于是||7CF ==……………12分20．解：（1）()0,1F ,设直线l 的方程为1+=my x ,将其与C 的方程联立,消去x得0442=--my y . ……… 3分设B A ,的坐标分别为()()4433,,,y x y x ,则443-=y y .1161242343==∴y y x x , ……… 5分故.34343-=+=⋅y y x x OB OA ……… 6分（2）()()4433,1,1,y x y x -=--∴=λλ ， 即⎩⎨⎧=--=-，4343,1y y x x λλλ又3234x y = ,4244x y = . ∴可得.2,234λλ=-=y y ……… 9分故三角形OAB 的面积λλ12143+=-⋅=y y OF S , 因为21≥+λλ恒成立，所以只要解51≤+λλ. 即可解得253253+≤≤-λ. ………12分 21 .解：（Ⅰ）由题设知12(F F a >其中由于2120AF F F ⋅= ，则有212AF F F ⊥ ，A 2)a±……..2分故1AF所在直线方程为1)y a=±+…………3分所以坐标原点O 到直线1AF，又1OF ==2a =.…….5分 所求椭圆的方程为22142x y +=.…………6分（2）由题意可知直线l 的斜率存在，设直线斜率为k ，则直线l 的方程为(1)y k x =+，则有(0,)M k .……7分设11(,)Q x y ，由于Q 、F 、M 三点共线，且2MQ QF =.根据题意得1111(,)2(1,)x y k x y -=±+,解得112x y k =-⎧⎨=-⎩或11233x ky ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.……10分又Q 在椭圆C 上，故22(2)()142k --+=或222()()33142k-+=，解得0,4kk ==±,综上，直线l的斜率为0或4± …………12分22：解：（1）圆M ：(x －2)2+x 2=64，圆心M 的坐标为(2，0)，半径R=8. ∵|AM|=4<R ，∴点A(－2，0)在圆M 内，设动圆C 的半径为r ，圆心为C ，依题意得r= |CA|，且|CM|=R －r ， 即|CM+|CA|=8>|AM|， ……3分∴圆心CD 的轨迹是中心在原点，以A ，M 两点为焦点，长轴长为8的椭圆，设其方程为2222x y 1a b +=(a>b>0)，则a=4，c=2， ∴b 2=a 2－c 2=12，∴所求动圆C 的圆心的轨迹方程为22x y 11612+=.…5分(2)由22y =kx +m x y +=11612⎧⎪⎨⎪⎩消去y 化简整理得：(3+4k 2)x 2+8kmx+4m 2－48=0，设B(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，则x 1+x 2=28km3+4k-. △1=(8km)2－4(3+4k 2) (4m 2－48)>0. ① ……7分由22y =kx +m x y =1412⎧⎪⎨-⎪⎩消去y 化简整理得：(3－k 2)x 2－2kmx －m 2－12=0，设E(x 3，y 3)，F(x 4，y 4)，则x 3+x 4=22km3k -. △2=(－2km)2+4(3－4k 2) (m 2+12)>0. ② ……9分∵DF BE 0+=，∴ (x 4－x 2 )+ (x 3－x 1) =0，即x 1+x 2= x 3+x 4，∴228km 2km 3+4k 3k -=-，∴2km=0或22413+4k 3k -=-， 解得k=0或m=0， ……12分当k=0时，由①、②得<m -<∵m ∈Z ，∴m 的值为－3，－2，－1，0，1，2，3；当m=0时，由①、②得<m <k ∈Z ，∴k=－1，0，1.∴满足条件的直线共有9条. ……14分。