北京市第四中学高二下学期第一次月考数学(理)试题
精品解析：北京市第四中学2020-2021学年高三上学期期中考试数学试题(原卷版)
2020-2021学年度第一学期期中高三年级数学学科数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1. 已知全集U =R ，集合{}21x A x =<，{}20B x x =-<，则()U A B =（ ） A. {|2}x x > B. {}02x x ≤< C. {|02}x x <≤D. {|2}x x ≤ 2. 下列命题中的假命题．．．是（ ）A. ,sin x R x ∃∈=B. ,ln x R x ∃∈=C. 2,0∈≥∀x R xD. ,20x x R ∀∈> 3. 已知向量(5,)a m =，(2,2)b =-，若a b -与b 共线，则实数m =（ ）A. 1-B. 1C. 2D. 5-4. 已知()f x 是R 上的奇函数，当0x >时,()12log f x x =,则()0f x >的解集是（ ）A. ()1,0-B. ()0,1C. ()(),10,1-∞-⋃D. ()()1,00,1- 5. 将函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则()g x =（ ） A. sin 26x B. 2sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭C. cos2xD. cos2x - 6. 若,a b ∈R ，且0ab >，则下列不等式中，恒成立是A. 222a b ab +>B. a b +≥C. 11a b +> D. 2b a a b+≥ 7. 已知三角形ABC ，那么“AB AC AB AC +>-”是“三角形ABC 为锐角三角形”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8. 声音的等级()f x （单位：dB ）与声音强度x （单位：2W /m ）满足12()10lg 110xf x -=⨯⨯. 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB；一般说话时，声音的等级约为60dm，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（）A.105倍 B. 108倍 C. 1010倍 D. 1012倍9. 函数ππ2sin,,22y x x x⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦的图象大致为A. B.C.D.10. 已知函数 给出下列三个结论：① 当2=-a 时，函数()f x 的单调递减区间为(,1)-∞；② 若函数()f x 无最小值，则a 的取值范围为(0,)+∞；③ 若1a <且0a ≠，则b R ∃∈，使得函数()y f x b =-恰有3个零点1x ,2x ,3x ，且1231x x x =-. 其中，所有正确结论的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 函数2y x =-_________. 12. 已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3sin 5α=. 则cos α=_________，tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=_________. 13. 已知非零向量a ，b 满足||||a a b =-，则12a b -与b 的夹角等于_________. 14. 圆2220+-+=x y ax 与直线l 相切于点(3,1)A ，则圆的半径为_________，直线l 的方程为_________. 15. 关于x 的方程()()g x t t R =∈的实根个数记为()f t .若()ln g x x =，则()f t =_________；若2,0,()2,0,x x g x x ax a x ≤⎧=⎨-++>⎩()a R ∈，存在t 使得(2)()f t f t +>成立，则a 的取值范围是_________. 三、解答题（本大题共6小题，共85分）16. 在△ABC 中，a =3，b −c =2，cos B =12-． （1）求b ，c 的值；（2）求sin （B –C ）的值．17. 已知函数()3f x x x =-，()23g x x =-. (1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)求函数()f x 在[]0,2上最大值；(3)求证：存在唯一的0x ，使得()()00f x g x =.18. 已知函数212()2cos sin f x x x ωω=+.(I)求f (0)值；(II)从①121,2ωω==；②121,1ωω==这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数f (x )在[,]26ππ-上的最小值，并直接写出函数f (x )的一个周期.19. 已知：函数()sin cos =-f x x x x .（1）求()f π'；（2）求证：当(0,)2x π∈时，31()3f x x <； （3）若()cos f x kx x x >-对(0,)2x π∈恒成立，求实数k 的最大值.20. 已知O 为平面直角坐标系的原点，过点M （﹣2，0）的直线l 与圆x 2+y 2＝1交于P ，Q 两点． （Ⅰ）若12OP OQ ⋅=-，求直线l 的方程； （Ⅱ）若△OMP 与△OPQ 的面积相等，求直线l 的斜率．21. 对于集合M ，定义函数()1,1,.x MM f x x M -∈⎧=∉⎨⎩对于两个集合M ，N ，定义集合()(){|1}.M N M N x f x f x =⋅=-已知{2,A =4，6，8，10}，{1,B =2，4，8，16}． (Ⅰ)写出()1A f 和()1B f 的值，并用列举法写出集合A B ；(Ⅱ)用()Card M 表示有限集合M 所含元素的个数，求()()Card X A Card X B +的最小值； (Ⅲ)有多少个集合对(),P Q ，满足P ，Q A B ⊆⋃，且()()P A Q B A B =？。
2023-2024学年北京市第四中学高三上学期开学测试数学试卷含详解
北京四中2023-2024学年度第一学期开学测试高三数学考试时间：120分钟试卷满分：150分一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.集合{}{}12,1A x x B x x =-≤≤=<，则R ()A B = ð（）A.{}1x x >B.{}1x x ≥C.{}12x x <≤ D.{}12x x ≤≤2.在6(x 的展开式中，3x 的系数为（）A.-B.C.40- D.403.已知0.10.644,2,log 0.6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A.c<a<bB.c b a <<C.a b c<< D.b a c<<4.有10名学生，其中4名男生，6名女生，从中任选2名学生，其中恰好有1名男生的概率是（）A.815B.625C.215D.4455.已知函数()f x 在R 上可导，其部分图象如图所示，设(2)(1)21f f a -=-，则下列不等式正确的是（）A.(1)(2)f f a ''<<B.(1)(2)f a f ''<<C.(2)(1)f f a ''<<D.(1)(2)a f f ''<<6.给出下面四个命题：①“直线a ，b 不相交”是“直线a ，b 为异面直线”的充分而不必要条件；②“l⊥平面α”是“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件；③“a 平行于b 所在的平面”是“直线//a 直线b ”的充要条件；④“直线a 平行于α内的一条直线”是“直线//a 平面α”的必要而不充分条件.其中正确命题的序号是（）A.①③B.②③C.②④D.③④7.“苏州码子”发源于苏州，在明清至民国时期，作为一种民间的数字符号曾经流行一时，广泛应用于各种商业场合.110多年前，詹天佑主持修建京张铁路，首次将“苏州码子”刻于里程碑上.“苏州码子”计数方式如下：〡1.､〢2.､〣3.､〤4.､〥5.､〦6.､〧7.､〨8.､〩9.､〇0．为了防止混淆，有时要将“〡”“〢”“〣”横过来写.已知某铁路的里程碑所刻数字代表距离始发车站的里程，每隔2公里摆放一个里程碑，若在A 点处里程碑上刻着“〣〤”，在B 点处里程碑刻着“〩〢”，则从A 点到B 点里程碑的个数应为（）A.29B.30C.58D.598.ABC ∆中，22:tan :tan a b A B =，则ABC ∆一定是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形9.已知函数()22,,x ax x af x x a x a⎧-+≥⎪=⎨+<⎪⎩，若对于任意正数k ，关于x 的方程()f x k =都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数a 的个数为（）A.0B.1C.2D.无数10.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y mx =（0m >）与曲线3y x =从左至右依次交于A ，B ，C 三点．若直线l ：30kx y -+=（R k ∈）上存在点P 满足2PA PC +=，则实数k 的取值范围是（）A.(2,2)- B.[-C.(,2)(2,)-∞-+∞ D.(,)-∞-⋃+∞二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.若复数z 满足2i1iz =+，则z 的虚部为______.12.已知向量,a b ,满足：()1,6,2a b a b a ==⋅-= ，则a 与b 的夹角为________．13.角α的终边与单位圆的交点A 位于第一象限，其横坐标为35，那么sin α=__________，点A 沿单位圆逆时针运动到点B ，所经过的弧长为4π，则点B 的横坐标为__________．14.抛物线x 2=2py （p ＞0）的焦点为F ，其准线与双曲线-=1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p=___________.15.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AB AA AD ===，动点,E F 分别在线段AB 和1CC 上.给出下列四个结论：①113D DEF V -=；②1D EF V 不可能是等边三角形；③当1D E DF ⊥时，1D F EF =；④至少存在两组,E F ，使得三棱锥1D DEF -的四个面均为直角三角形.其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题（共6小题，共85分）16.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，60ABC ∠=，对角面11AAC C 是矩形，且平面11AA C C ⊥平面ABCD .（1）证明：侧棱1AA ⊥平面ABCD ：（2）设AC BD O = ，若1AB AA =，求二面角11D OB C --的余弦值.17.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，cos 3sin b a C c A =+.（1）求角A 的大小；（2）从以下三个条件中选择一个作为已知，使得三角形存在且唯一确定，求ABC 的面积.条作①：7a =，8b =条件②：1sin 7B =，7a =条什③：2a b =，8c =注：如果选择的条件不符合要求.第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.18.2022年第24届冬季奥林匹克运动会期间，为保障冬奥会顺利运行，组委会共招募约2.7万人参与赛会志愿服务.赛会共设对外联络服务、竞赛运行服务、文化展示服务等共12类志愿服务.（1）甲、乙两名志愿者被随机分配到不同类志愿服务中，每人只参加一类志愿服务.求甲被分配到对外联络服务且乙被分配到竞赛运行服务的概率；（2）已知来自某高校的每名志愿者被分配到文化展示服务的概率是110，设来自该高校的2名志愿者被分配到文化展示服务的人数为X ，求X 的分布列与数学期望()E X ；（3）已知在2.7万名志愿者中，18~35岁人群占比达到95%，为了解志愿者们对某一活动方案是否支持，通过分层随机抽样获得如下数据：18~35岁人群其他人群支持不支持支持不支持方案90人5人1人4人假设志愿者对活动方案是否支持相互独立.将志愿者支持方案的概率估计值记为0p ，去掉其他人群后志愿者支持方案的概率估计值记为1p ，试比较0p 与1p 的大小.（结论不要求证明）19.设函数()2ln 2x f x k x =-，0k >．（1）求()f x 的单调区间和极值；（2）证明：若()f x 存在零点，则()f x 在区间(上仅有一个零点．20.已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点.21.正实数构成的集合{}()12,,,2n A a a a n =⋅⋅⋅≥，定义{},,i j i j A A a a a a A i j ⊗=⋅∈≠且.当集合A A ⊗中恰有()12n n -个元素时，称集合A 具有性质Ω.（1）判断集合{}11,2,4A =，{}21,2,4,8A =是否具有性质Ω；（2）若集合A 具有性质Ω，且A 中所有元素能构成等比数列，A A ⊗中所有元素也能构成等比数列，求集合A 中的元素个数的最大值：（3）若集合A 具有性质Ω，且A A ⊗中的所有元素能构成等比数列.问：集合A 中的元素个数是否存在最大值?若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.北京四中2023-2024学年度第一学期开学测试高三数学考试时间：120分钟试卷满分：150分一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.集合{}{}12,1A x x B x x =-≤≤=<，则R ()A B = ð（）A.{}1x x >B.{}1x x ≥C.{}12x x <≤ D.{}12x x ≤≤【答案】D【分析】先求出集合B 的补集，再求出()A B R ð【详解】因为{}1B x x =<，所以{}R 1B x x =≥ð，因为{}12A x x =-≤≤，所以R ()A B = ð{}12x x ≤≤，故选：D2.在6(x 的展开式中，3x 的系数为（）A.-B.C.40- D.40【答案】A【分析】利用二项展开式的通项直接求得.【详解】6(x -的展开式的通项公式为(()666216612r rrrrr r r T C x C x ---+==-，要求3x 项，只需令r=3,所以3x 的系数为()636332612=C ----.故选：A【点睛】二项式定理类问题的处理思路：利用二项展开式的通项进行分析．3.已知0.10.644,2,log 0.6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A.c<a<bB.c b a <<C.a b c <<D.b a c<<【答案】A【分析】化简a ，通过讨论函数()2xf x =和()4log g x x =的单调性和取值范围即可得出,,a b c 的大小关系.【详解】解：由题意，0.10.242a ==，在()2xf x =中，函数单调递增，且()0f x >，∴0.20.6022b a <<==，在()4log g x x =中，函数单调递增，且当01x <<时，()0g x <，∴4log 0.60c =<，∴c<a<b ，故选：A.4.有10名学生，其中4名男生，6名女生，从中任选2名学生，其中恰好有1名男生的概率是（）A.815B.625C.215D.445【答案】A【分析】利用古典概型结合组合数计算概率即可.【详解】由题意可得恰有一名男生的概率为：1146210C C 8C 15P ==.故选：A5.已知函数()f x 在R 上可导，其部分图象如图所示，设(2)(1)21f f a -=-，则下列不等式正确的是（）A.(1)(2)f f a ''<<B.(1)(2)f a f ''<<C.(2)(1)f f a ''<<D.(1)(2)a f f ''<<【答案】B【分析】利用直线的斜率公式和导数的几何意义结合图象即可判断.【详解】由图象可知，函数在[0,)+∞上的增长越来越快，故函数图象在点00(,())x f x （0(0,)x ∈+∞）的切线的斜率越来越大，因为(2)(1)21f f a -=-，所以(1)(2)f a f ''<<.故选：B.6.给出下面四个命题：①“直线a ，b 不相交”是“直线a ，b 为异面直线”的充分而不必要条件；②“l⊥平面α”是“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件；③“a 平行于b 所在的平面”是“直线//a 直线b ”的充要条件；④“直线a 平行于α内的一条直线”是“直线//a 平面α”的必要而不充分条件.其中正确命题的序号是（）A.①③ B.②③C.②④D.③④【答案】C【分析】根据空间中直线的位置关系可判断①；根据线面垂直的判定及性质可判断②；根据线面平行的判定及性质可判断③④.【详解】①若直线a ，b 不相交，则//a b 或a ，b 为异面直线；若直线a ，b 为异面直线，则a ，b 不相交，所以“直线a ，b 不相交”是“直线a ，b 为异面直线”的必要而不充分条件，故①错误.②根据线面垂直的判定及性质可知，若l ⊥平面α，则直线l ⊥平面α内所有直线；反之，亦成立，所以“l⊥平面α”是“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件，故②正确.③若a 平行于b 所在的平面，则//a b 或a ，b 为异面直线；若直线//a 直线b ，a 平行于b 所在的平面或a 在b 所在的平面内，所以“a 平行于b 所在的平面”是“直线//a 直线b ”的既不充分也不必要条件，故③错误.④若直线a 平行于α内的一条直线，则//a α或a α⊂；若直线//a 平面α，则能得到直线a 平行于α内的一条直线，所以“直线a 平行于α内的一条直线”是“直线//a 平面α”的必要而不充分条件，故④正确.故选：C.7.“苏州码子”发源于苏州，在明清至民国时期，作为一种民间的数字符号曾经流行一时，广泛应用于各种商业场合.110多年前，詹天佑主持修建京张铁路，首次将“苏州码子”刻于里程碑上.“苏州码子”计数方式如下：〡1.､〢2.､〣3.､〤4.､〥5.､〦6.､〧7.､〨8.､〩9.､〇0．为了防止混淆，有时要将“〡”“〢”“〣”横过来写.已知某铁路的里程碑所刻数字代表距离始发车站的里程，每隔2公里摆放一个里程碑，若在A 点处里程碑上刻着“〣〤”，在B 点处里程碑刻着“〩〢”，则从A 点到B 点里程碑的个数应为（）A.29B.30C.58D.59【答案】B【分析】里程碑上刻着数字依次成等差数列，求出,A B 两处刻的数字，按等差数列的公式求得项数即可．【详解】根据题意A 点处里程碑上刻着数字34，B 点处里程碑刻着数字92，里程碑刻着数字厉等差数列，公差为2，因此里程碑个数为92341302-+=．故选：B ．8.ABC ∆中，22:tan :tan a b A B =，则ABC ∆一定是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形【答案】D【分析】由已知22:tan :tan a b A B =，利用正弦定理及同角的三角函数的基本关系对式子进行化简，然后结合三角函数的性质再进行化简即可判断．【详解】∵22:tan :tan a b A B =，由正弦定理可得，22sin sin tan sin cos sin sin sin tan sin cos cos AA A A BB B B B B A B===，∵sin sin B 0A ≠，∴sin cos sin cos A BB A=，∴sin cos sin cos A A B B =即sin 2sin 2A B =，∵()(),0,,0,A B A B ππ∈+∈，∴22A B =或22A B π+=，∴A B =或2A B π+=，即三角形为等腰或直角三角形，故选D ．【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系及正弦定理的应用，利用正弦定理进行代数式变形是解题的关键和难点．9.已知函数()22,,x ax x af x x a x a ⎧-+≥⎪=⎨+<⎪⎩，若对于任意正数k ，关于x 的方程()f x k =都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数a 的个数为（）A.0B.1C.2D.无数【答案】B【分析】分0a =、0a >、a<0三种情况讨论，作出函数()f x 的图象，根据已知条件可得出关于实数a 的等式与不等式，进而可求得实数a 的取值.【详解】当0a =时，()22,0,0x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩，作出函数()f x的图象如下图所示：由图可知，当02k <<时，关于x 的方程()f x k =有且只有一个实根，不合乎题意；当0a >时，()22,,,x ax x af x x a a x a x a x a ⎧-+≥⎪=+-<<⎨⎪--≤-⎩，如下图所示：函数()f x 在(),a -∞-上单调递减，在(),a a -上单调递增，在(),a +∞上单调递增，由题意可得22222a a a a -+==，解得1a =；若a<0，则()22,,x ax x af x x a x a ⎧-+≥=⎨--<⎩，如下图所示：函数()f x 在(),a -∞单调递减，在,2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，由题意可得2222280a a aa ⎧-+=-⎨∆=-≥⎩，此时a 无解.综上所述，1a =.故选：B.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.10.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y mx =（0m >）与曲线3y x =从左至右依次交于A ，B ，C 三点．若直线l ：30kx y -+=（R k ∈）上存在点P 满足2PA PC +=，则实数k 的取值范围是（）A.(2,2)- B.[22,22]-C.(,2)(2,)-∞-+∞ D.(,2][22,)-∞-⋃+∞【答案】D【分析】根据直线y mx =与曲线3y x =都关于原点对称，得到A ，C 关于点B 对称，则2PA PC += ，即为1PB =，然后将问题转化为点B 到直线30kx y -+=的距离不大于1求解.【详解】因为直线y mx =与曲线3y x =都关于原点对称，且都过原点，所以B 为原点，A ，C 关于点B 对称，因为直线l ：30kx y -+=（R k ∈）上存在点P 满足2PA PC +=，所以1PB =，则点B 到直线30kx y -+=的距离不大于1，1≤，解得k ≤-或k ≥所以实数k 的取值范围是(,)-∞-⋃+∞.故选：D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.若复数z 满足2i1iz =+，则z 的虚部为______.【答案】1【分析】利用复数除法的法则，结合复数的虚部定义进行求解即可.【详解】因为()()()i 1i i i i i i 221111z -===+++-，所以z 的虚部为1，故答案为：112.已知向量,a b ,满足：()1,6,2a b a b a ==⋅-= ，则a 与b的夹角为________．【答案】π3【分析】先根据()2a b a ⋅-= 求出a b ⋅ ，利用夹角公式可得答案.【详解】因为()2a b a ⋅-= ，1a = ，所以3a b ⋅=；所以31cos ,62a b a b a b ⋅===，因为[],0,πa b ∈ ，所以π,3a b = .故答案为：π3.13.角α的终边与单位圆的交点A 位于第一象限，其横坐标为35，那么sin α=__________，点A 沿单位圆逆时针运动到点B ，所经过的弧长为4π，则点B 的横坐标为__________．【答案】①.45②.10-【分析】利用三角函数的定义求出cos α的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得sin α，由三角函数的定义可知点B 的横坐标为cos 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭，利用两角和的余弦公式可求得结果.【详解】由三角函数的定义可得3cos 5α=，由已知可知α为第一象限角，则4sin 5α=，将点A 沿单位圆逆时针运动到点B ，所经过的弧长为4π，则点B 的横坐标为2cos cos cos sin sin 44410πππααα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭.故答案为：45；10-.14.抛物线x 2=2py （p ＞0）的焦点为F ，其准线与双曲线-=1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p=___________.【答案】6【详解】因为抛物线x 2=2py 的准线2py =-和双曲线-=1相交交点横坐标为, 6.2x p p =∴=由等边三角形得解得考点：本题主要考查抛物线的概念、标准方程、几何性质，考查分析问题解决问题的能力.15.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AB AA AD ===，动点,E F 分别在线段AB 和1CC 上.给出下列四个结论：①113D DEF V -=；②1D EF V 不可能是等边三角形；③当1D E DF ⊥时，1D F EF =；④至少存在两组,E F ，使得三棱锥1D DEF -的四个面均为直角三角形.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】①②④【分析】根据长方体的特征，利用等体积法确定①，根据特殊情况分析三角形边长可判断②，利用向量法可判断③，根据长方体中的特殊位置找出满足条件三棱锥判断④.【详解】由题意，在长方体中，E 到平面CC 1D 1D 的距离为1，F 到边1DD 的距离为2，所以11111112323D DEFE DDF V V --==⨯⨯⨯⨯=，故①正确；由图可知，1D F 的最小值为2，若12D E =，则DE ===,则AE ==，若此时2EF =，则EC ===，可得BE ==，则2AE BE AB +=>=，即1D F 取最小值为2时，1,D E EF 不能同时取得2，当1D F 变大时，1,D E EF 不可能同时大于2，故1D EF V 不可能是等边三角形，故②正确；建立空间直角坐标系，如图，则1(0,0,0),(0,0,1)D D ,设(1,,0)(02)E m m ≤≤，(0,2,)(01)F n n ≤≤，1(1,,1),(0,2,)D E m DF n =-= ，由1D E DF ⊥可得1(1,,1)(0,2,)20D E DF m n m n ⋅=-⋅=-=，即2n m =，1D F ===，EF ===，显然1D F 与EF 不恒相等，只有0m n ==时才成立，故③错误；当E 为AB 中点，F 与C 重合时，如图，此时，1D D DE ⊥，1D D DC ⊥，又2DE EC ==2DC =，故222DE EC DC +=，所以DE EC ⊥，因为113,2,5D E EC D C ===22211D E EC D C +=,所以1D E EC ⊥，即三棱锥1D DEF -的四个面均为直角三角形，当E 与B 重合，F 与C 重合时，如图，显然1D D DB ⊥，1D D DC ⊥，CB DC ⊥，1CB D C ⊥，故三棱锥1D DEF -的四个面均为直角三角形，综上可知，至少存在两组,E F ，使得三棱锥1D DEF -的四个面均为直角三角形，故④正确.故答案为：①②④【点睛】关键点点睛：本题四个选项比较独立，①的关键在于转化顶点，得出高及底面积为定值；②分析三边中1D F 的最小值为2，此时其余两边不能同时等于2;③利用向量得出两点的关系，在此关系下不一定能推出两边长相等；④考虑特殊位置寻求满足条件的位置是解题关键.三、解答题（共6小题，共85分）16.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，60ABC ∠=，对角面11AAC C 是矩形，且平面11AA C C ⊥平面ABCD .（1）证明：侧棱1AA ⊥平面ABCD ：（2）设AC BD O = ，若1AB AA =，求二面角11D OB C --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）25719【分析】（1）利用面面垂直的性质来进行证明即可；（2）以O 为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.【小问1详解】四边形11AA C C 是矩形，1AA AC ∴⊥，又平面11AA C C ⊥平面ABCD ，平面11AA C C 平面ABCD AC =，1AA ⊂平面11AA C C ，1AA ∴⊥平面ABCD .【小问2详解】四边形ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥，以O 为坐标原点，,OB OC正方向为,x y 轴，平行于1AA 的直线为z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，设12AB AA ==，则()0,0,0O，)13,0,2B ，()10,1,2C ，)13,0,2OB ∴=，()10,1,2OC =，设平面11OB C 的法向量(),,n x y z =，则1132020OB n x z OC n y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令2x =，解得：23y =3z =，(2,3,3n ∴= ；平面1OB D y ⊥轴，∴平面1OB D 的一个法向量()0,1,0m =，257cos ,19m n m n m n⋅∴==⋅ ，二面角11D OB C --为锐二面角，∴二面角11D OB C --的余弦值为25719.17.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，cos sin b a C A =+.（1）求角A 的大小；（2）从以下三个条件中选择一个作为已知，使得三角形存在且唯一确定，求ABC 的面积.条作①：7a =，8b =条件②：1sin 7B =，7a =条什③：a =，8c =注：如果选择的条件不符合要求.第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）π6A =（2）答案见解析【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换知识可求得tan A ，由此可得A ；（2）若选①，利用余弦定理构造方程求得c ，知三角形不唯一，不合题意；若选②，利用正弦定理可求得b ，再利用余弦定理求得c ，代入三角形面积公式即可；若选③，利用余弦定理可构造方程求得b ，代入三角形面积公式即可.【小问1详解】由正弦定理得：sin sin cos sin B A C C A =+，又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，cos sin sin A C C A ∴=，()0,πC ∈ ，sin 0C ∴>，cos A A =，即tan 3A =，()0,πA ∈ ，π6A ∴=.【小问2详解】若选条件①，由余弦定理得：22222cos 6449a b c bc A c =+-=+-=，即2150c -+=，解得：2c =或2c +=，∴三角形不唯一，不合题意；若选条件②，由正弦定理得：sin 121sin 2a Bb A===，由余弦定理得：22222cos 449a b c bc A c =+-=+-=，即2450c --=，解得：c =-（舍）或c =，∴满足题意的三角形唯一，满足题意；此时11153sin 22222ABC S bc A ==⨯⨯= ；若选条件③，由余弦定理得：222222cos 642a b c bc A b b =+-=+-=，即2640b +-=，解得：b =--b =-，∴满足题意的三角形唯一，满足题意；此时(111sin 8222ABC S bc A ==⨯-⨯⨯=- .18.2022年第24届冬季奥林匹克运动会期间，为保障冬奥会顺利运行，组委会共招募约2.7万人参与赛会志愿服务.赛会共设对外联络服务、竞赛运行服务、文化展示服务等共12类志愿服务.（1）甲、乙两名志愿者被随机分配到不同类志愿服务中，每人只参加一类志愿服务.求甲被分配到对外联络服务且乙被分配到竞赛运行服务的概率；（2）已知来自某高校的每名志愿者被分配到文化展示服务的概率是110，设来自该高校的2名志愿者被分配到文化展示服务的人数为X ，求X 的分布列与数学期望()E X ；（3）已知在2.7万名志愿者中，18~35岁人群占比达到95%，为了解志愿者们对某一活动方案是否支持，通过分层随机抽样获得如下数据：18~35岁人群其他人群支持不支持支持不支持方案90人5人1人4人假设志愿者对活动方案是否支持相互独立.将志愿者支持方案的概率估计值记为0p ，去掉其他人群后志愿者支持方案的概率估计值记为1p ，试比较0p 与1p 的大小.（结论不要求证明）【答案】（1）1132（2）分布列见解析，15（3）01p p <【分析】（1）利用古典概型计算即可；（2）根据离散型随机变量的分布列和期望公式计算即可；（3）由表格可计算得01,p p 判定大小即可.【小问1详解】甲、乙两名志愿者被随机分配到不同类志愿服务中，每人只参加一类志愿服务的基本事件空间Ω有212A 1211132=⨯=个基本事件，记事件A ：“甲被分配到对外联络服务且乙被分配到竞赛运行服务”，即包含1个基本事件，则1()132P A =；【小问2详解】由题知，0,1,2X =，1~(2,)10X B 22181(0)C 110100P X ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，12119(1)C 1101050P X ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭，22211(2)C 10100P X ⎛⎫===⎪⎝⎭，则X 的分布列：X012P811009501100X 的数学期望()81911012100501005E X =⨯+⨯+⨯=；【小问3详解】易知019019190189051410090519p p +==<==++++.19.设函数()2ln 2x f x k x =-，0k >．（1）求()f x 的单调区间和极值；（2）证明：若()f x 存在零点，则()f x 在区间(上仅有一个零点．【答案】（1）单调递减区间是(，单调递增区间是)+∞；极小值()1ln 2k k f-=；（2）证明详见解析.【详解】试卷分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、函数零点问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.（Ⅰ）先对()f x 求导，令()0f x '=解出x ，将函数的定义域断开，列表，分析函数的单调性，所以由表格知当x =时，函数取得极小值，同时也是最小值；（Ⅱ）利用第一问的表，知f 为函数的最小值，如果函数有零点，只需最小值(1ln )02k k -≤，从而解出k e ≥，下面再分情况分析函数有几个零点.试卷解析：（Ⅰ）由()2ln 2x f x k x =-，（0k >）得2()k x kf x x x x-=-='.由()0f x '=解得x =()f x 与()f x '在区间(0,)+∞上的情况如下：所以，()f x 的单调递减区间是，单调递增区间是)+∞；()f x 在x=(1ln )2k k f -=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为(1ln )2k k f -=.因为()f x 存在零点，所以(1ln )02k k -≤，从而k e ≥.当k e =时，()f x 在区间上单调递减，且0f =，所以x =()f x 在区间上的唯一零点.当e k >时，()f x 在区间上单调递减，且1(1)02f =>，02e kf -=<，所以()f x 在区间上仅有一个零点.综上可知，若()f x 存在零点，则()f x 在区间上仅有一个零点.考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值、函数零点问题.20.已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点.【答案】（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）见解析.【分析】(Ⅰ)由题意确定a ,b 的值即可确定椭圆方程；(Ⅱ)设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程确定OM ,ON 的表达式，结合韦达定理确定t 的值即可证明直线恒过定点.【详解】（Ⅰ）因为椭圆的右焦点为(1,0)，所以1225；因为椭圆经过点(0,1)A ,所以1b =，所以2222a b c =+=，故椭圆的方程为2212xy +=.（Ⅱ）设1122(,),(,)P x y Q x y 联立2212(1)x y y kx t t ⎧+=⎪⎨⎪=+≠⎩得222(12)4220k x ktx t +++-=，21212224220,,1212kt t x x x x k k -∆>+=-=++，121222()212t y y k x x t k +=++=+，222212121222()12t k y y k x x kt x x t k -=+++=+.直线111:1y AP y x x --=，令0y =得111x x y -=-，即111x OM y -=-；同理可得221x ON y -=-.因为2OM ON =,所以1212121212211()1x x x x y y y y y y --==---++；221121t t t -=-+，解之得0=t ，所以直线方程为y kx =，所以直线l 恒过定点(0,0).【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21.正实数构成的集合{}()12,,,2n A a a a n =⋅⋅⋅≥，定义{},,i j i j A A a a a a A i j ⊗=⋅∈≠且.当集合A A ⊗中恰有()12n n -个元素时，称集合A 具有性质Ω.（1）判断集合{}11,2,4A =，{}21,2,4,8A =是否具有性质Ω；（2）若集合A 具有性质Ω，且A 中所有元素能构成等比数列，A A ⊗中所有元素也能构成等比数列，求集合A 中的元素个数的最大值：（3）若集合A 具有性质Ω，且A A ⊗中的所有元素能构成等比数列.问：集合A 中的元素个数是否存在最大值?若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）1A 具有性质Ω；2A 不具有性质Ω.（2）3（3）存在，4【分析】（1）将集合1A ，2A 进行计算，得出集合中的元素个数即可知1A 具有性质Ω；2A 不具有性质Ω.（2）利用等比数列性质和集合性质Ω的定义，即可得集合A 中的元素个数最大值为3；（3）根据集合具有的性质Ω的定义，对集合中的元素个数进行分类讨论，再由集合元素的互异性得出矛盾即可求出A 中的元素个数最大值是4.【小问1详解】1A 具有性质Ω；2A 不具有性质Ω.若{}11,2,4A =，则{}112,4,8A A ⊗=，恰有()33132-=个元素，所以1A 具有性质Ω；若{}21,2,4,8A =，{}222,4,8,16,32A A ⊗=，有5个元素，()44152-≠，2A 不具有性质Ω.【小问2详解】当A 中的元素个数4n ≥时，因为A 中所有元素能构成等比数列，不妨设元素依次为12,,,n a a a 构成等比数列，则121n n a a a a -=，其中121,,,n n a a a a -互不相同.于是这与A 具有性质Ω，A A ⊗中恰有()21C 2n n n -=个元素，即任取A 中两个不同元素组成组合的两个数其积的结果互不相同相矛盾.当A 中的元素个数恰有3个时，取{1,2,4}A =时满足条件，所以集合A 中的元素个数最大值为3.【小问3详解】因为0(1,2,,)i a i n >= ，不妨设1231n n a a a a a -<<<<< ，所以121321n n n n a a a a a a a a --<<<< .（1）当5n >时，121321,,,,n n n n a a a a a a a a -- 构成等比数列，所以131122n n n na a a a a a a a --== ，即2132n n a a a a --=，其中2132,,,n n a a a a --互不相同.这与A A ⊗中恰有()21C 2n n n -=个元素，即任取A 中两个不同元素组成组合的两个数其积的结果互不相同相矛盾.（2）当5n =时，12133545,,,,a a a a a a a a 构成等比数列，第3项是23a a 或14a a .①若第3项是23a a ，则132345121335a a a a a a a a a a a a === ，即324213a a a a a a === ，所以2314a a a a =，与题意矛盾.②若第3项是14a a ，则134514121335a a a a a a a a a a a a === ，即344233a a a a a a === ，所以234,,a a a 成等比数列，设公比为q ，则A A ⊗中等比数列的前三项为：121314,,a a a a a a ，其公比为q ，第四项为312a a q ，第十项为912a a q .(ⅰ)若第四项为23a a ，则12332a a a a q =，得221a a q =，又94512a a a a q =，得751a a q =，此时A 中依次为234711111,,,,a a q a q a q a q 显然1534a a a a =，不合题意.(ⅱ)若第四项为15a a ，则31512a a a a q =，得352a a q =，又94512a a a a q =，得421a a q =，此时A 中依次为456711111,,,,a a q a q a q a q ，显然2534a a a a =，不合题意.因此，4n ≤.取{1,2,4,16}A =满足条件.所以A 中的元素个数最大值是4.【点睛】方法点睛：对于“新定义”的题目关键在于充分理解定义的本质，把新定义与高中已学内容建立联系，灵活运用类比、归纳、分类讨论等数学思想才能将问题解决.。
2023-2024学年北京市朝阳区北京工业大学附属中学高二上学期10月月考数学试卷含详解
2023-2024学年度第一学期第一次月考高二年级数学学科试卷（考试时间90分钟，总分150分）一、单选题（本大题共11小题，每小题5分，共55分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1.直线l 经过点(0,1)A -，(1,1)B ，则直线l 的斜率是（）A.2B.2- C.12D.12-2.直线50x ++=的倾斜角为（）A.30︒B.60︒C.120︒D.150︒3.在空间直角坐标系O xyz -中，(111)A ---,,，(111)B ,,，那么AB 等于（）A.2B.C. D.4.设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为b，若0a b ⋅=，则（）A.//l αB.l ⊂α C.l α⊥ D.l ⊂α或//l α5.已知(2,1,3)a =- ，(4,1,)b t =- ，且a b ⊥，则实数t 的值为（）A.3- B.3C.4D.66.已知直线0Ax By C ++=不经过第一象限，且A ，B ，C 均不为零，则有（）．A.0C < B.0C > C.0BC > D.0BC <7.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 和BD 的交点，若AB a = ，AD b = ，1AA c =，则下列式子中与1MB相等的是（）A.1122-+ a b c B.1122a b c+-C.1122a b c-++D.1122--+a b c8.已知直线1l ：()2140x a y +-+=，2l ：340ax y --=，则“3a =”是“12l l ∥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.已知两点()2,3A -，()3,2-B ，直线l 过点()1,1P 且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（）A.144k -≤≤-B.4k ≤-或14k ≥-C.344k -≤≤D.344k -≤≤10.若直线l：y kx =2360x y +-=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（）A.ππ,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B.ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭C.ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭D.ππ,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭11.已知点()P x y ，在直线10x y --=上的运动，则()()2222x y -+-的最小值是（）A.12B.2C.14D.34二、多选题（本大题共1小题，每小题5分，共5分.在每小题给出的四个选项中，请选出所有符合题意的选项，如有错选不得分）12.己知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为4，EF 是棱AB 上的一条线段，且EF =1，点Q 是棱A 1D 1的中点，点P 是棱C 1D 1上的动点，则下面结论中正确的是（）A.PQ 与EF 一定不垂直B.平面PEF 与平面EFQ 夹角的正弦值是1010C.三角形PEF的面积是D.点P 到平面QEF 的距离是定值三、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）13.已知点()1,1A ，()1,5B -，则线段AB 中点C 的坐标为______.14.若1,,02a x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（0x >）是单位向量，则x =__________.15.已知向量()2,3,1a =-- ，()2,0,3b = ，()0,0,2c = ，则6a b c +- 的坐标为______.16.已知直线1:10l ax y ++=，2:10l x ay ++=.若12l l ⊥，则实数=a ___________.17.直线1:l y kx k =-+过定点为_____．18.设()()121,2,2,2,3,2v v =-=-分别是空间两直线12,l l 的方向向量，则直线1l ，2l 所成角的大小为___________.19.两个非零向量a ，b ，定义||||||sin ,a b a b a b ⨯=〈〉 ．若(1,0,1)a = ，(0,2,2)b = ，则a b ⨯=___________．20.平行六面体1111ABCD A B C D -中，12AB AA ==，1AD =，1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠=︒，动点P 在直线CD 上运动，则PA PC ⋅的最小值为_________.四、解答题（本大题共3个小题，共50分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21.分别求满足下列条件的直线方程：（1）过点(3,1)且与直线31y x =-垂直的直线方程；（2）过点(1,2)且与直线2100x y +-=平行的直线方程；（3）求过点(0,2)A -，斜率是直线61y x =--的斜率的14的直线方程；（4）求过点(1,3)A -，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的直线方程.22.如图，在四棱锥P ABCD -中，24PD AD ==，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，M ，N 分别为AD ，PD 的中点.（1）求证：//PA 平面MNC ；（2）求直线PB 与平面MNC 所成角的正弦值.23.如图，在三棱锥-P ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，8AC =，5PA PC ==，O 为AC 中点，H 为PBC 内的动点（含边界）.（1）求证：PO 平面ABC；（2）求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值；OH平面PAB，求直线PH与平面ABC所成角的正弦值的取值范围.（3）若//2023-2024学年度第一学期第一次月考高二年级数学学科试卷（考试时间90分钟，总分150分）一、单选题（本大题共11小题，每小题5分，共55分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1.直线l 经过点(0,1)A -，(1,1)B ，则直线l 的斜率是（）A.2B.2- C.12D.12-【答案】A【分析】运用斜率公式计算即可.【详解】由题意知，1(1)210k --==-，即直线l 的斜率为2.故选：A.2.直线50x ++=的倾斜角为（）A.30︒B.60︒C.120︒D.150︒【答案】D【分析】求出直线的斜率，然后根据斜率的定义即可求得倾斜角.【详解】直线50x +=可化为35333y x =--，则斜率tan 3k α==-，又倾斜角α，满足0180α≤<︒，所以倾斜角为150︒.故选：D3.在空间直角坐标系O xyz -中，(111)A ---,,，(111)B ,,，那么AB 等于（）A.2 B.C. D.【答案】D【分析】根据空间中两点之间的距离公式即可求解.【详解】根据空间中两点之间的距离公式可得AB =,故选:D4.设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为b，若0a b ⋅=，则（）A.//l αB.l ⊂αC.l α⊥D.l ⊂α或//l α【答案】D【分析】依题意可得a b ⊥，即可判断.【详解】∵直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为b 且0a b ⋅=，即a b ⊥ ，∴l ⊂α或//l α.故选：D5.已知(2,1,3)a =- ，(4,1,)b t =- ，且a b ⊥，则实数t 的值为（）A.3-B.3C.4D.6【答案】B【分析】运用空间向量垂直的坐标公式计算即可.【详解】因为a b ⊥，所以2(4)1130t ⨯--⨯+=，解得3t =.故选：B.6.已知直线0Ax By C ++=不经过第一象限，且A ，B ，C 均不为零，则有（）．A.0C <B.0C > C.0BC > D.0BC <【答案】C【分析】根据给定条件，求出直线的斜率、纵截距，再列不等式求解作答.【详解】依题意，直线0Ax By C ++=的斜率为AB -，纵截距为BC -，又该直线不经过第一象限，因此0A B -<，且0CB-<，即0AB >，0BC >，选项A ，B 不一定正确，D 不正确，C 正确.故选：C ．7.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 和BD 的交点，若AB a = ，AD b = ，1AA c =，则下列式子中与1MB相等的是（）A.1122-+ a b c B.1122a b c+-C.1122a b c-++D.1122--+a b c【答案】A【分析】根据空间向量的加减运算，表示出向量1MB，即得答案.【详解】111111()22MB MB BB DB AA AB AD AA =+=+=-+1122a b c =-+ ,故选;A8.已知直线1l ：()2140x a y +-+=，2l ：340ax y --=，则“3a =”是“12l l ∥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【分析】利用充要条件的定义判断.【详解】解：当3a =时，直线1l ：20x y -+=，2l ：3340x y --=，则12l l ∥，当12l l ∥时，()()()23102440a a a ⎧⨯---⨯=⎪⎨⨯--≠⎪⎩，即26020a a a ⎧--=⎨+≠⎩，解得3a =，故“3a =”是“12l l ∥”的充要条件，故选：C9.已知两点()2,3A -，()3,2-B ，直线l 过点()1,1P 且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（）A.144k -≤≤- B.4k ≤-或14k ≥-C.344k -≤≤D.344k -≤≤【答案】B【分析】数形结合法，讨论直线l 过A 、B 时对应的斜率，进而判断率k 的范围.【详解】如下图示，当直线l 过A 时，31421k --==--，当直线l 过B 时，211314k -==---，由图知：4k ≤-或14k ≥-.故选：B10.若直线l：y kx =2360x y +-=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（）A.ππ,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B.ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭C.ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭D.ππ,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【分析】联立两直线方程得到交点坐标，然后根据交点位于第一象限得到633023623023k k k⎧+>⎪⎪+⎨-⎪>⎪+⎩，解方程得到33k >，最后根据斜率与倾斜角的关系得到倾斜角的范围.【详解】联立2360y kx x y ⎧=⎪⎨+-=⎪⎩得6332362323x k k y k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，所以633023623023k k k⎧+>⎪⎪+⎨-⎪>⎪+⎩，解得33k >，所以直线l 的倾斜角的范围为ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭.故选：B.11.已知点()P x y ，在直线10x y --=上的运动，则()()2222x y -+-的最小值是（）A.12B.22C.14D.34【答案】A【分析】()()2222x y -+-表示点()P x y ，与()22，距离的平方，求出()22，到直线10x y --=的距离，即可得到答案.【详解】()()2222x y -+-表示点()P x y ，与()2,2距离的平方，因为点()2,2到直线10x y --=的距离2d ==，所以()2,2的最小值为212d =．故选：A二、多选题（本大题共1小题，每小题5分，共5分.在每小题给出的四个选项中，请选出所有符合题意的选项，如有错选不得分）12.己知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为4，EF 是棱AB 上的一条线段，且EF =1，点Q 是棱A 1D 1的中点，点P 是棱C 1D 1上的动点，则下面结论中正确的是（）A.PQ 与EF 一定不垂直B.平面PEF 与平面EFQ 夹角的正弦值是1010C.三角形PEF的面积是D.点P 到平面QEF 的距离是定值【答案】BCD【分析】根据点P 和点1D 重合时，PQ EF ⊥判断A 选项；根据二面角平面角的定义得到1QAD ∠为平面PEF 与平面EFQ 的夹角，然后求正弦值判断B 选项；根据四边形11ABC D 为矩形得到P 到EF 的距离和1AD 相等，然后求三角形面积即可判断C 选项；根据线面平行的判定定理得到11D C ∥平面QEF ，然后结合线面平行的性质得到点P 到平面QEF 的距离为定值即可判断D 选项.【详解】当点P 和点1D 重合时，PQ EF ⊥，故A 错；取11B C 中点H ，连接QH ，AQ ，1AD ，BH ，1BC ，因为1111ABCD A B C D -为正方体，所以11D C AB ∥，QH AB ∥，AB ⊥平面11AA D D ，所以平面PEF 即平面11ABC D ，平面EFQ 即平面ABHQ ，因为1,AQ AD ⊂平面11AA D D ，所以AB AQ ⊥，1AB AD ⊥，因为平面11ABC D ⋂平面ABHQ AB =，所以1QAD ∠为平面PEF 与平面EFQ 的夹角，由题意得，AQ ==，1AD ==2QD =，所以2221111310cos 210QA AD QD QAD QA AD +-∠===⋅⋅，因为()10,QAD ∠∈π，所以110sin QAD ∠==，故B 正确；由题意得四边形11ABC D 为矩形，所以P 到EF 的距离和1AD 相等，所以112EFP S =⨯⨯=V C 正确；因为11D C AB ∥，即11D C EF ∥，11D C ⊄平面QEF ，EF ⊂平面QEF ，所以11D C ∥平面QEF ，又11P D C ∈，所以点P 到平面QEF 的距离为定值，故D 正确.故选：BCD.三、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）13.已知点()1,1A ，()1,5B -，则线段AB 中点C 的坐标为______.【答案】(0,3)【分析】利用中点坐标公式直接求解作答.【详解】点()1,1A ，()1,5B -，所以线段AB 中点C 的坐标为(0,3).故答案为：(0,3)14.若1,,02a x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（0x >）是单位向量，则x =__________.【答案】2【分析】运用单位向量的定义及空间向量模长公式计算即可.【详解】由题意知，||1a =r1=，解得32x =或32x =-，又因为0x >，所以x =.故答案为：32.15.已知向量()2,3,1a =-- ，()2,0,3b = ，()0,0,2c = ，则6a b c +- 的坐标为______.【答案】()10,3,17-【分析】直接利用向量的运算法则计算即可.【详解】向量()2,3,1a =-- ，()2,0,3b = ，()0,0,2c =，则()()()()2,0,30,0,210,3,1762,3,16a b c +-=--+-=- .故答案为：()10,3,17-.16.已知直线1:10l ax y ++=，2:10l x ay ++=.若12l l ⊥，则实数=a ___________.【答案】0【分析】利用两直线的位置关系求解.【详解】因为直线1:10l ax y ++=，2:10l x ay ++=，且12l l ⊥，所以110a a ⨯+⨯=，解得0a =，故答案为：017.直线1:l y kx k =-+过定点为_____．【答案】()1,1【分析】先把直线化为点斜式，从而可确定定点.【详解】直线l 可化为点斜式()11y k x -=-，所以直线1:l y kx k =-+过定点()1,1.故答案为：()1,1.18.设()()121,2,2,2,3,2v v =-=- 分别是空间两直线12,l l 的方向向量，则直线1l ，2l 所成角的大小为___________.【答案】90︒##π2【分析】空间中直线与直线所成的角，与其对应的方向向量夹角相同，直接利用空间向量的夹角公式计算即可.【详解】因为121212cos ,0v v v v v v ⋅==⋅ ，所以1v 与2v 的夹角为90︒，即直线1l ，2l 所成角的大小为90︒.故答案为：90︒.19.两个非零向量a ，b ，定义||||||sin ,a b a b a b ⨯=〈〉 ．若(1,0,1)a = ，(0,2,2)b = ，则a b ⨯= ___________．【答案】【分析】根据新定义及向量夹角公式计算即可.【详解】因为a b ==== 2a b →→⋅=，所以21cos ,42a b a b a b ⋅===⋅ ，故sin ,2a b == ，所以2a b ⨯== ，故答案为：20.平行六面体1111ABCD A B C D -中，12AB AA ==，1AD =，1160BAD BAADAA ∠=∠=∠=︒，动点P 在直线CD 上运动，则PA PC ⋅ 的最小值为_________.【答案】14-【分析】设1PC D C λ=uu u r uuu r ，然后根据空间向量的线性运算和数量积的运算律得到211224PA PC λ⎛⎫⋅=-- ⎪⎝⎭uu r uu u r ，最后求最小值即可.【详解】设1PC D C λ=uu u r uuu r，()PA PC PC CB BA PC ⋅=++⋅uu r uu u r uu u r uu r uu r uu u r ()11D C AD AB D Cλλ=--⋅uuu r uuu r uu u r uuu r ()11A B AD AB A Bλλ=--⋅uuu r uuu r uu u r uuu r ()()11AB AA AD AB AB AA λλλλ=---⋅-uu u r uuu r uuu r uu u r uu u r uuu r ()()2222111111AB AA AB AD AB AB AA AA AD AA λλλλλλλλ=--⋅-⋅--⋅++⋅uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r uuu r uuu r ()()222211112AB AA AB AD AB AA AD AA λλλλλλλ=---⋅-⋅++⋅uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r uuu r uuu r ()()221424cos 602cos 6042cos 60λλλλλλλ=-⨯--⨯︒-⨯︒++⋅︒242λλ=-21112244λ⎛⎫=--≥- ⎪⎝⎭，当且仅当14λ=时等号成立，所以PA PC ⋅ 的最小值为14-.故答案为：14-.四、解答题（本大题共3个小题，共50分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21.分别求满足下列条件的直线方程：（1）过点(3,1)且与直线31y x =-垂直的直线方程；（2）过点(1,2)且与直线2100x y +-=平行的直线方程；（3）求过点(0,2)A -，斜率是直线61y x =--的斜率的14的直线方程；（4）求过点(1,3)A -，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的直线方程.【答案】（1）360x y +-=（2）240x y +-=（3）3240x y ++=（4）30x y +=或20x y +-=【分析】（1）由两直线垂直可得所求直线的斜率，结合点斜式方程求解即可.（2）由两直线平行可得所求直线的斜率，结合点斜式方程求解即可.（3）由已知可得所求直线的斜率，结合点斜式方程求解即可.（4）分别研究截距为0与截距不为0时直线方程即可.【小问1详解】因为31y x =-的斜率为3，所以所求直线的斜率为13k =-，所以由点斜式方程可得11(3)3y x -=--，即360x y +-=.【小问2详解】因为2100x y +-=的斜率为2-，所以所求直线的斜率为2k =-，所以由点斜式方程可得22(1)y x -=--，即240x y +-=.【小问3详解】因为61y x =--的斜率为6-，所以所求直线的斜率为13642k =-⨯=-，所以由点斜式方程可得32(0)2y x +=--，即3240x y ++=.【小问4详解】①当截距为0时，设直线方程为y kx =，因为直线过点(1,3)A -，所以3k =-，即3k =-，所以直线方程为3y x =-，即30x y +=.②当截距不为0时，设直线方程为1x y a a+=（0a ≠），因为直线过点(1,3)A -，所以131a a -+=，解得2a =，所以直线方程为221x y +=，即20x y +-=.综述：所求直线方程为30x y +=或20x y +-=.22.如图，在四棱锥P ABCD -中，24PD AD ==，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，M ，N 分别为AD ，PD 的中点.（1）求证：//PA 平面MNC ；（2）求直线PB 与平面MNC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）16【分析】（1）利用中位线定理证得//PA MN ，结合线面平行的判定定理证明即可.（2）建立空间直角坐标系，运用空间向量夹角的坐标公式计算即可.【小问1详解】证明：因为M ，N 分别为AD ，PD 的中点，所以//PA MN ，又因为PA ⊄平面MNC ，MN ⊂平面MNC ，所以//PA 平面MNC .【小问2详解】由题意知，以点D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则(0,0,4)P ，(2,2,0)B ，(1,0,0)M ，(0,0,2)N ，(0,2,0)C ，所以(2,2,4)PB =- ，(0,2,2)NC =- ，(1,0,2)MN =- ，设平面MNC 的法向量为(,,)n x y z =，则00n NC n MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即22020y z x z -=⎧⎨-+=⎩，取1z =，则2x =，1y =，所以(2,1,1)n = ，设直线PB 与平面MNC 所成角为θ，则222222|||222141|21sin |cos ,|6||||26622(4)211PB n PB n PB n θ⋅====⨯++-⨯++ ，故直线PB 与平面MNC 所成角的正弦值为16.23.如图，在三棱锥-P ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，8AC =，5PA PC ==，O 为AC 中点，H 为PBC 内的动点（含边界）.（1）求证：PO ⊥平面ABC ；（2）求平面PAB 与平面PBC 夹角的余弦值；（3）若//OH 平面PAB ，求直线PH 与平面ABC 所成角的正弦值的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）817（3）3317[,]517【分析】（1）运用面面垂直的性质定理即可证明.（2）建立空间直角坐标系，运用面面夹角的坐标公式计算即可.（3）设点H 坐标，由//OH 平面PAB ，PH ⊂面PBC 可表示H 坐标，结合线面角坐标公式计算可得31122sin x α⎛⎫+ ⎪=02x ≤≤），运用换元法求此函数的值域即可.【小问1详解】证明：因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =，PO AC ⊥，PO ⊂平面PAC ，所以PO ⊥平面ABC .【小问2详解】在三棱锥-P ABC 中，连接OB ，因为O 为AC 中点，ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，则OB OC ⊥，由（1）知，PO ⊥平面ABC ，所以以O 为原点，分别以OB 、OC 、OP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，由题意知，4OB OA OC ===，又5PA PC ==，则3OP =，则(0,0,3)P ，(0,4,0)-A ，(4,0,0)B ，(0,4,0)C ，所以(0,4,3)PA =-- ，(4,0,3)PB =- ，(0,4,3)PC =- ，设平面PAB 的法向量为111(,,)n x y z =，则1111430430n PA y z n PB x z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取13x =，则13y =-，14z =，则(3,3,4)n =- ，设平面PBC 的法向量为222(,,)m x y z = ，则2222430430m PB x z m PC y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取23x =，则23y =，24z =，则(3,3,4)m = ，设平面PAB 与平面PBC 夹角为θ，则||168cos |cos ,|3417||||n m n m n m θ⋅===== ，即平面PAB 与平面PBC 夹角的余弦值为817.【小问3详解】如（2）建系及图可知，平面PAB 的法向量为(3,3,4)n =- ，平面PBC 的法向量为(3,3,4)m =，(0,0,3)P ，设(,,)H x y z ，则(,,)OH x y z = ，(,,3)PH x y z =- ，因为//OH 平面PAB ，PH ⊂面PBC ，所以3340334(3)0n OH x y z m PH x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=++-=⎪⎩ ，解得33(,2,)24H x x -，所以33(,2,)24PH x x =-- ，又因为OP ⊥平面ABC ，所以(0,0,1)p =是平面ABC 的一个法向量，设直线PH 与平面ABC 所成角为α，则3331|||1|2422sin |cos ,|x x p PH α--+== 又H 为PBC 内的动点（含边界），所以04330324x x ≤≤⎧⎪⎨≤-≤⎪⎩，解得02x ≤≤，所以31122sin x α⎛⎫+ ⎪=（02x ≤≤），令112t x =+，则2(1)x t =-，（12t ≤≤），所以3322sin 31t t α=⨯33==（12t ≤≤），因为12t ≤≤，所以1112t ≤≤，所以21110()24t ≤-≤，所以2111732()17252t ≤-+≤，所以117517≤≤，即33173517≤，所以直线PH 与平面ABC 所成角的正弦值的取值范围为3317[,]517.。
高二数学(理)下学期第二次月考试题(含答案)
上学期第二次月考高二数学卷（理）考试时间：120分钟 满分：150一、选择题（每小题5分，共12题）1、已知全集{,,,,}U a b c d e =，{,,}M a c d =，{,,}N b d e =，则N M C U ⋂)( = （ ）A ．{}bB ．{}dC ．{,}b eD ．{,,}b d e2、 5()a x x +（x R ∈）展开式中3x 的系数为10，则实数a 等于（ ）A ．-1B ．12 C ．1 D ．23、某公司新招聘8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一部门，则不同的分配方案共有（ ）A. 24种B. 36种C. 38种D. 108种4、计算888281808242C C C C ++++ ＝（ ）A 、62B 、82C 、83 D 、63 5、一个盒子里有6只好晶体管,4只坏晶体管,任取两次,每次取一只,每次取后不放回,则若已知第一只是好的,则第二只也是好的概率为( ) A.23 B.512 C.59 D.796、已知△ABC 的重心为P ，若实数λ满足：AB AC AP λ+=，则λ的值为A ．2B ．23C ．3D ．67、在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一或最后一步，程序B 和C 在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有 （ ）A ．34种B ．48种C ．96种D ．144种8、35(1(1+的展开式中x 的系数是（A ）4- （B ）2- （C ）2 （D ）49、某体育彩票规定: 从01到36共36个号码中抽出7个号码为一注，每注2元 某人想先选定吉利号18，然后再从01到17中选3个连续的号，从19到29中选2个连续的号，从30到36中选1个号组成一注，则此人把这种要求的号买全，至少要花( )A.1050元B. 1052元C. 2100元D. 2102元10、9件产品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，现在要从中抽出4件产品来检查，至少有两件一等品的种数是（ ）A.2524C C ⋅ B.443424C C C ++ C.2524C C + D.054415342524C C C C C C ⋅+⋅+⋅11、已知,)(为偶函数x f x x f x x f x f 2)(,02),2()2(=≤≤--=+时当，若*,(),n n N a f n ∈=则2011a = ( )A ．1B ．21C ． 14D ．1812、如图，在A 、B 间有四个焊接点，若焊接点脱落，而可能导致电路不通，如今发现A 、B 之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有 （ ）A ．10B ．13C ．12D ．15二、填空题（每小题5分，共4小题）13、已知(1-2x)n的展开式中，二项式系数的和为64，则它的二项展开式中，系数最大的是第_____________项.14、乒乓球比赛采用7局4胜制，若甲、乙两人实力相当，获胜的概率各占一半，则打完5局后仍不能结束比赛的概率等于_.15、同时投掷三颗骰子，至少有一颗骰子掷出6点的概率是_____________ (结果要求写成既约分数）.16、用5种不同颜色给图中的A 、B 、C 、D 四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，共有_______种不同的涂色方案。
2024-2025学年北京市海淀区清华大学附属中学高三上学期第一次月考数学试题(含答案)
2024-2025学年清华大学附属中学高三上学期第一次月考数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x∣1<3x≤9},B={x∈Z∣x≥1}，则A∩B=( )A. (1,2]B. {1,2}C. [1,2]D. {1}2.已知复数z=1+2i2−i，则z的共轭复数z=( )A. −12B. 2+iC. −iD. i3.已知a<b，则( )A. a2<b2B. e−a<e−bC. ln(|a|+1)<ln(|b|+1)D. a|a|<b|b|4.已知f(x)=sinωx(ω>0)，f(x1)=−1，f(x2)=1，|x1−x2|min=π4，则ω=( )A. 1B. 2C. 3D. 45.如图，在▵ABC中，点D，E满足BC=2BD，CA=3CE.若DE=x AB+y AC(x,y∈R)，则x+y=( )A. −12B. −13C. 12D. 136.若α是第二象限角，且tan(π−α)=12，则cos(π2+α)=( )A. 32B. −32C. 55D. −557.已知数列{a n}为无穷项等比数列，S n为其前n项和，a1>0，则“{S n}存在最小项”是“S2≥0”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.若过点(a,b)可以作曲线y=e x的两条切线，则( )A. e b<aB. e a<bC. 0<a<e bD. 0<b<e a9.血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度，药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，不正确的是A. 首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用B. 每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒C. 每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用D. 首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒10.数列{a n}满足a4n−3=−1，a4n−1=1，a2n=a n，该数列的前n项和为S n，则下列论断中错误的是( )A. a31=1B. a2024=−1C. ∃非零常数T，∀n∈N∗，使得a n+T=a nD. ∀n∈N∗，都有S2n=−2二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
数学-高二下学期第一次月考模拟卷(原卷版)
2023-2024学年高二数学下学期第一次月考模拟卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．（22-23高二下·湖北恩施·期中）已知函数（是的导函数），则（ ）A ．1B ．2C ．D ． 2．（23-24高二上·辽宁朝阳·期末）如图，已知每条线路仅含一条通路，当一条电路从处到处接通时，不同的线路可以有（ ）A ．5条B ．6条C ．7条D ．8条3．（23-24高二下·广西·开学考试）曲线在点处的切线的斜率为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．84．（23-24高二下·江苏南京·开学考试）设，若函数有极值点，则的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ． 5．（23-24高三上·山西运城·期末）第33届夏季奥运会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增2个竞赛项目和3个表演项目．现有三个场地A ，B ，C 分别承担这5个新增项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有（ ）A ．150种B ．300种C ．720种D ．1008种6．（23-24高二上·福建福州·期末）已知是函数的导数，且，则不等式的解集为（ ）A ．B ．C ．D ． 7．（23-24高二下·安徽宿州·开学考试）已知，则的值为（ ）A ．-66B ．-65C ．-63D ．-628．（23-24高二上·湖南长沙·期末）若，则（ ） A ． B ． C ． D ．()()2131ln 2f x f x x x ='-++()f x '()f x ()1f =1212-M N 27ln y x x x =-++()1,6R a ∈()e 21x f x ax =++a a<02a >-102a -<<12a <-()f x '()()f x x ∈R ()(),1,32x f x f >'∀∈=R ()1f x x >-(),2-∞()2,+∞(),3-∞()3,+∞()()627012712x x a a x a x a x -+=++++ 01357a a a a a ++++11221ln ,ln ,4433e abc ===-c b a <<b c a <<c a b <<b a c <<二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．（23-24高二下·河北·开学考试）下列求导运算正确的是（ ）A ．若，则B ．C ．D ． 10．（22-23高二下·江苏连云港·阶段练习）身高各不相同的六位同学站成一排照相，则说法正确的是（ ）A ．A 、C 、D 三位同学从左到右按照由高到短的顺序站，共有120种站法B ．A 与同学不相邻，共有种站法C ．A 、C 、D 三位同学必须站在一起，且A 只能在C 与D 的中间，共有144种站法D ．A 不在排头，B 不在排尾，共有504种站法11．（23-24高二上·浙江杭州·期末）设定义在上的函数的导函数分别为，若且为偶函数，则下列说法中正确的是（ ）A ．B ．C ．的图象关于对称D ．函数为周期函数，且周期为4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（23-24高二上·河南焦作·期末）已知为正整数，且，则 .13．（23-24高二上·山东青岛·期末）的展开式中的系数为 ．（用数字作答）． 14．（23-24高三下·江苏南通·开学考试）已知a ，b ，c 为某三角形的三边长，其中，且a ，b 为函数的两个零点，若恒成立，则M 的最小值为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）（23-24高二上·山东青岛·期末）已知展开式中，第三项的系数与第四项的系数比为． （1）求的值；（2）求展开式中有理项的系数之和．（用数字作答）()1ln =+y x x 1ln 1y x x '=++()cos sin ππ'=-()2122ln 211x x x x x '⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭+()1ln 22'=x xA B C D E F 、、、、、C 5424A A ⋅R (),()f x g x (),()f x g x ''(2)(2)2,()(2)f x g x f x g x ''++-==+(1)y g x =+(1)0g '=(2)(3)(4)0g g g ++=()g x '3x =()f x n 2414A C n n n -=n =81()y x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭26x y a b <2()f x ax bx c =-+M a b c >+-2(n x 65n16．（15分）（23-24高二上·江苏南通·期末）已知函数． （1）求函数的极值点；（2）记曲线在处的切线为，求证，与有唯一公共点．17．（15分）（23-24高二下·江西·开学考试）某班共有团员14人，其中男团员8人，女团员6人，并且男、女团员各有一名组长，现从中选6人参加学校的团员座谈会．（用数字做答）（1）若至少有1名组长当选，求不同的选法总数；（2）若至多有3名女团员当选，求不同的选法总数；（3）若既要有组长当选，又要有女团员当选，求不同的选法总数．18．（17分）（23-24高二上·安徽·期末）已知函数． （1）若在上单调递增，求的取值范围；（2）试讨论函数的单调性．19．（17分）()2e xx x f x +=()f x ():C y f x =0x =l l C ()()222e x f x x x a =-+()f x []2,7a ()f x（23-24高二下·广西·阶段练习）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程为，其中为参数．当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数．它们与正、余弦函数有许多类似的性质．（1）类比正、余弦函数导数之间的关系，，，请写出，具有的类似的性质（不需要证明）；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；（3）求的最小值．e e 2x x c c c y -⎛⎫+ ⎪⎝⎭=c 1c =()e e ch 2x x x -+=()e e sh 2x xx --=()sin cos x x '=()cos sin x x '=-()sh x ()ch x 0x >()sh x ax >a ()()2ch cos f x x x x =--。
2022-2023学年北京市人大附中高二年级下册学期第一次月考数学试题【含答案】
2022-2023学年北京市人大附中北京经济技术开发区学校高二下学期第一次月考数学试题一、单选题1．同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数小于4”为事件A ，“两颗骰子的点数之和等于7”为事件B ，则（ ）()|P B A =A ．B ．C ．D ．12131416【答案】D【分析】求出事件和事件所含基本事件的个数，然后可计算出概率．A AB 【详解】由题意，，∴．()3618n A =⨯=()3n AB =()31(|)()186n AB P B A n A ===故选：D ．【点睛】本题考查条件概率，掌握求条件概率的方法是解题基础．2．已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格60%40%率是，乙厂产品的合格率是，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是（ ）95%90%A ．B ．C ．D ．0.920.930.940.95【答案】B【分析】利用全概率公式可求得所求事件的概率.【详解】从某地市场上购买一个灯泡，设买到的灯泡是甲厂产品为事件，买到的灯泡是乙厂产品A 为事件，B 则，，()0.6P A =()0.4P B =记事件从该地市场上买到一个合格灯泡，则，，:C ()0.95P C A =()0.9P C B =所以，()()()()()()()0.60.950.40.9P C P AC P BC P A P C A P B P C B =+=+=⨯+⨯.0.93=故选：B.3．已知随机变量的分布列为，则（ ）X ()()1,2,3,410kP X k k ===()13P X <≤=A ．B ．C ．D ．310351215【答案】C【分析】根据所给的离散型随机变量的分布列，可以写出等3和2时的概率，本题所求的概率包括两个数字的概率，利用互斥事件的概率公式把结果相加即可.【详解】随机变量的分布列为X ()()1,2,3,410kP X k k ===，2(2)10P X ∴==3(3)10P X ==231(13)10102P X ∴<=+= 故选：C.【点睛】本题解题关键是掌握互斥事件的概率公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.4．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若表示取到次品的个数，则等于( )ξ()E ξA ．B ．C ．D ．1358151415【答案】A【分析】依题意的可能取值为，，，求出所对应的概率，即可求出数学期望；ξ012【详解】解：由题意知的可能取值为，，，它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式，ξ012所以，，．27210C 7(0)C 15P ξ===1173210C C 7(1)C 15P ξ⋅===23210C 1(2)C 15P ξ===所以．()77130121515155E ξ=⨯+⨯+⨯=故选：A ．5．掷两颗骰子，观察掷得的点数；设事件A 为：至少一个点数是奇数；事件B 为：点数之和是偶数；事件A 的概率为，事件B 的概率为；则是下列哪个事件的概率（ ）()P A ()P B ()1P A B -⋂A ．两个点数都是偶数B ．至多有一个点数是偶数C ．两个点数都是奇数D ．至多有一个点数是奇数【答案】D【分析】由题意，根据交事件的运算，结合概率与事件的关系，可得答案.【详解】由题意，事件为：两个点数都为奇数，A B ⋂由概率指的是事件的对立事件的概率，()1P A B -⋂A B ⋂则事件的对立事件为：至少有一个点数为偶数，或者至多有一个点数为奇数.A B ⋂故选：D.6．如图，一个质地均匀的正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，设该数字为.若设事件“为奇数”，事件“为偶数”，事x A =x B =x 件“为3的倍数”，事件“”，其中是相互独立事件的是（ ）C =xD =3x ≤A ．事件与事件B ．事件与事件A B BC C ．事件与事件D ．事件与事件A D C D【答案】B【分析】分别写出，，， 包含的样本空间，根据相互独立事件满足的乘法公式，即可判A B C D 断.【详解】由题意可得，3，5，，，4，6，，,，,{1A =7}{2B =8}{3C =6}{}1,2,3D = ,{}{}{},6,1,3,3AB BC AD CD =∅===由古典概型概率公式可得：,()()()()1113,,,2248P A P B P C P D ====()()()()1110,,,848P AB P BC P AD P CD ====所以，，,，()()()P AB P A P B ≠()()()P BC P B P C =()()()P AD P A P D ≠()()()P CD P C P D ≠故ACD 错误，B 正确．故选：B7．随机变量的分布列是X X-212Pab12若，则（ ）A ．0B ．2C ．3D ．4()336E X +=()D X =【答案】B【解析】由于分布列的概率之和为1，以及，列出关于的方程，再根据方差公式()336E X +=,a b 即可求出．()D X【详解】由题意可知，，()111621321363a a b a b b ⎧⎧=⎪++=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪-+++==⎩⎪⎩又，所以；()()33336E X E X +=+=()1E X =所以.()()()()2221112111212632D X =--⨯+-⨯+-⨯=故选：B.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列的性质、期望公式和方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题．8．已知是两个具有线性相关的两个变量，其取值如下表：,x y x12345y4m 9n11其回归直线过点的一个充分不必要条件是（ ）A ．B ．ˆˆˆy bx a =+()37，5m n ==6m n ==C ．D ．11+=m n 56m n ==，【答案】D【分析】由回归直线过可求，结合充分、必要条件即可求解.()37，11+=m n 【详解】若回归直线过点，由题知，故为样本中心，所以ˆˆˆy bx a =+()37，5115,3i i x x ===∑()37，，，所以的一个充分不必要条件可以是.491135m n ++++=11+=m n 11+=m n 56m n ==，故选：D9．若数列{an }满足，则的值为（ ）1112,1nn n a a a a ++==-2020a A ．2B ．－3C ．D ．12-13【答案】D 【解析】分别求出，得到数列是周期为4的数列，利用周期性即可得出结果.23456,,,,a a a a a {}n a 【详解】由题意知，，，，，，…，212312a +==--3131132a -==-+411121312a -==+51132113a +==-612312a +==--因此数列是周期为4的周期数列，{}n a ∴.20205054413a a a ⨯===故选D.【点睛】本题主要考查的是通过观察法求数列的通项公式，属于基础题.10．已知随机变量的分布列为：ξξx y Pyx则下列说法正确的是（ ）A ．存在x ，，B ．对任意x ，，(0,1)y ∈1()2E ξ>(0,1)y ∈1()4E ξ≤C ．对任意x ，，D ．存在x ，，(0,1)y ∈()()D E ξξ≤(0,1)y ∈1()4D ξ>【答案】C【分析】对A 、B ：根据期望的计算公式结合二次函数分析运算；对C ：先求，利用作差法比()D ξ较大小；对D ：换元令，结合二次函数求的取值范围.t xy =()D ξ【详解】由题意可得：，且，即，()1,,0,1x y x y +=∈11,22x y ≠≠1y x =-对A 、B ：由题意可得：，()2()22122E xy yx xy x x x x ξ=+==-=-∵开口向下，对称轴，，()222f x x x=-12x =110,,122x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 则，故，()()11010,22f f f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭10()2f x <<即，()102E ξ<<不存在x ，，，A 错误；(0,1)y ∈1()2E ξ>例如，则，即存在x ，，，B 错误；12,33x y ==()4194E ξ=>(0,1)y ∈1()4E ξ>对C ：，[][]()()222222()()()224D x E y y E x x xy y y xy x xy x y ξξξ=-⨯+-⨯=-+-=-则，2222()()440D E xy x y xy x y ξξ-=--=-<故对任意x ，，则，C 正确；(0,1)y ∈()()D E ξξ<对D ：令，()110,24t xy E ξ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭则开口向下，对称轴，且，()24g t t t=-18t =()11100,4816g g g ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故，即，()1016g t <≤10()16D ξ<≤不存在x ，，，D 错误；(0,1)y ∈1()4D ξ>故选：C.二、填空题11．已知随机变量X 服从正态分布，若，，则()2,N μσ()260.6P X <<=()60.2P X ≥=______．μ=【答案】4【分析】先求出的概率，然后根据正态分布的特征求解即可.()2P X ≤【详解】解：由题意得：∵()()()()2162610.60.20.26P X P X P X P X ≤=-≥-<<=--==≥∴与关于对称26x μ=∴．4μ=故答案为：412．已知随机变量，则___________.23,3B ξ⎛⎫⎪⎝⎭～()31D ξ-=【答案】6【分析】先根据二项分布求出，再按照公式求即可.()D ξ()31D ξ-【详解】由随机变量可得，则.23,3B ξ⎛⎫⎪⎝⎭～()22231333D ξ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭()()23136D D ξξ-==故答案为：6.13．袋子中有6个大小相同的黑球，5个同样大小的白球，现从中任取4个球，取出一个黑球记0分，取出一个白球记1分，表示取出的4个球的得分之和，求的数学期望______（数字作答）ξξ【答案】2011【分析】由题意，服从超几何分布，求出的所有可能取值对应的概率，利用期望公式即可求解.ξξ【详解】解：由题意，的所有可能取值为0,1,2,3,4，ξ，，，，()46411C 10C 22P ξ===()3165411C C 101C 33P ξ===()2265411C C 52C 11P ξ===()1365411C C 23C 11P ξ===，()45411C 14C 66P ξ===所以的数学期望，ξ()1105212001234223311116611E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=故答案为：.201114．北京市某银行营业点在银行大厅悬挂着不同营业时间段服务窗口个数的提示牌，如图所示．设某人到达银行的时间是随机的，记其到达银行时服务窗口的个数为X ，则______.()E X =【答案】##3.56255716【分析】列出随机变量的分布列求解.【详解】由题意银行营业时长为8小时，可得到达银行时服务窗口的个数X 的分布列为X 54342P183165161418则.13511()54342 3.56258161648E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=故答案为：3.562515．已知x ，y ，，且，记随机变量为中的最大值，则__________.*z ∈N 10x y z ++=ξ,,x y z ()E ξ=【答案】173【分析】求出可能取值，求出相应的概率，得出的分布列，即可求出期望.ξξ【详解】由题意可得：的可能取值为，ξ4,5,6,7,8用隔板法可求得：事件总情况为种，29C 36=若，三个正整数为或，则有种，故；4ξ=3,3,42,4,41133C C 6+=()614366P ξ===若，三个正整数为或，则有种，故；5ξ=1,4,52,3,53333A A 12+=()1215363P ξ===若，三个正整数为或，则有种，故；6ξ=1,3,62,2,63133A C 9+=()916364P ξ===若，三个正整数为，则有种，故；7ξ=1,2,733A 6=()617366P ξ===若，三个正整数为，则有种，故；8ξ=1,1,813C 3=()3183612P ξ===故的分布列为：ξξ45678P16131416112故.1111117()456786346123E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=故答案为：.173三、解答题16．有三个同样的箱子，甲箱中有只红球，只白球，乙箱中有只红球，只白球，丙箱中有2664只红球，只白球.35（1）随机从甲、乙、丙三个箱子中各取一球，求三球都为红球的概率；（2）从甲，乙、丙中随机取一箱，再从该箱中任取一球，求该球为红球的概率.【答案】（1）；（2）.916049120【分析】（1）根据独立事件概率的乘法公式求解；（2）结合条件概率公式以及概率的加法公式求解.【详解】解:（1）记从甲箱中取一球为红球，从乙箱中取一球为红球，从丙箱中取一球1:A 2:A 3:A 为红球，取得的三球都为红球，且事件相互独立，:B 123,,A A A 所以，()()()1231339()458160P B P A P A P A =⋅⋅=⨯⨯=所以三球都为红球的概率为9.160（2）记该球为红球，取甲箱，取乙箱，取丙箱:C 1:D 2:D 3:D 因为()()()123133,,,458P C D P C D P C D ===所以()()()()()()112233()P C P D P C D P D P C D P D P C D =⋅+⋅+⋅11131349,343538120=⨯+⨯+⨯=所以该球为红球的概率为49.12017．地区期末进行了统一考试，为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．[)[)[)[)[)[]40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100(1)求频率分布直方图中的值；m (2)在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在的三组中抽取了11人，再[)[)[]70,80,80,90,90,100从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在的人数，求的分布列和数学期望；ξ[)80,90ξ(3)转化为百分制后，规定成绩在的为A 等级，成绩在的为B 等级，其它为C 等[]90,100[)70,90级．以样本估计总体，用频率代替概率．从所有参加考试的同学中随机抽取3人，求获得等级的B 人数不少于2人的概率.【答案】(1)；0.012(2)分布列见解析，数学期望为；911(3).0.352【分析】（1）根据频率和为列方程计算求解；（2）由分层抽样判断得抽取的成绩在1的三组人数为，根据超几何分布计算取对应的概率，从而写[)[)[]70,80,80,90,90,1007,3,1ξ0,1,2,3出分布列并计算期望；（3）根据频率分布直方图判断出成绩为A ,B ,C 等级的频率分别为，可判断出从所有参加考试的同学中随机抽取3人，获得B 等级的人数服从二项分布，0.04,0.4,0.56利用二项分布计算获得B 等级的人数不少于2人的概率.【详解】（1）由频率和为可得，120.004100.022100.03100.02810101m ⨯⨯+⨯+⨯+⨯+=解得.0.012m =（2）由频率分布直方图可得，成绩在的三组人数比为，[)[)[]70,80,80,90,90,1007:3:1根据分层抽样抽取的成绩在的三组人数为，[)[)[]70,80,80,90,90,1007,3,1所以的可能取值为.ξ0,1,2,3，，()38311C 560C 165P ξ===()2183311C C 281C 55P ξ===，()1283311C C 82C 55P ξ===()33311C 10C 165P ξ===所以的分布列为ξξ123P5616528558551165()28819123555516511E ξ∴=⨯+⨯+⨯=（3）由题意，成绩为A ,B ,C 等级的频率分别为，0.04,0.4,0.56设从所有参加考试的同学中随机抽取3人，获得B 等级的人数为，η则服从二项分布，η()~3,0.4B η所以获得B 等级的人数不少于2人的概率为223333C 0.40.6C 0.40.352P =⨯⨯+⨯=18．海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了个网箱，100测量各箱水产品的产量（单位：），其频率分布直方图如下：kg（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记表示事件“旧养殖法的箱产量低于，新养殖法A 50kg 的箱产量不低于”，估计的概率；50kg A （2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为箱产量与养殖方法有关；99%箱产量50kg<箱产量50kg≥旧养殖法新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到）．0.01附：()2P K k ≥0.0500.0100.001k3.841 6.63510.828.()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】（1）；（2）列联表见解析，有的把握认为箱产量与养殖方法有关；（3）0.409299%．52.35kg 【解析】（1）记表示事件“旧养殖法的箱产量低于”，表示事件“新养殖法的箱产量不低于B 50kg C ”，利用频率分布直方图计算出、的估计值，再利用独立事件的概率乘法公式可求50kg ()P B ()P C 得事件的概率；A（2）根据频率分布直方图可完善列联表，计算出的观测值，对比临界值表，由此可得出结22⨯2K 论；（3）在新养殖法对应的频率分步直方图中，利用中位数左边的直方图的面积之和为可求得中位0.5数的值.【详解】（1）记表示事件“旧养殖法的箱产量低于”，表示事件“新养殖法的箱产量不低于B 50kg C ”．50kg 由题意知．()()()()P A P BC P B P C ==⋅旧养殖法的箱产量低于的频率为，50kg ()0.0120.0140.0240.0340.0450.62++++⨯=故的估计值为.()P B 0.62新养殖法的箱产量不低于的频率为，50kg ()0.0680.0460.010.00850.66+++⨯=故的估计值为.()P C 0.66因此，事件的概率估计值为；A ()()()0.620.660.4092P A PB PC =⋅=⨯=（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表：箱产量50kg<箱产量50kg ≥旧养殖法6238新养殖法3466，()222006266343815.70510010096104K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯由于，故有的把握认为箱产量与养殖方法有关；15.705 6.635>99%（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于的直方图面积为，50kg ()0.0040.020.04450.340.5++⨯=<箱产量低于的直方图面积为，55kg ()0.0040.020.0440.06850.680.5+++⨯=>故新养殖法产量的中位数为，则，解得.x ()0.34500.0680.5x +-⨯=()0.165052.350.068x kg =+≈因此，新养殖法箱产量的中位数的估计值为.52.35kg 19．如图，在三棱柱中，平面，，是的中点，111ABC A B C -1BB ⊥ABC 90BAC ∠=︒E BC．12AC AB AA ===（1）求异面直线与所成的角的大小；AE 1A C （2）若为中点，求二面角的余弦值．G 1C C C AG E --【答案】（1）；（260 【分析】（1）以分别为轴建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式，1,,AB AC AA ,,x y z 1,AE AC 求得夹角的余弦值，然后求得夹角的大小.（2）通过计算平面和平面的法向量，利用空CAG EAG 间向量夹角公式，计算得二面角的余弦值.【详解】解：在三棱柱中，平面ABC ，，()1111ABC A B C -1BB ⊥90BAC ∠=E 是BC 的中点，．12AC AB AA ===以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，为z 轴，建立空间直角坐标系，1AA 0，，0，，2，，1，，0，，(0,A 0)(2,B 0)(0,C 0)(1,E 0)1(0,A 2)1，，2，，(1,AE = 0)1(0,A C = 2)-设异面直线AE 与所成的角为，1A C θ则，111cos 2AE A C AE A C θ⋅===⋅，60θ∴= 异面直线AE 与所成的角为．∴1A C 602，，2，，()2(0,G 1)(0,AG =1)设平面AGE 的法向量y ，，(,m x = )z 则，取，得，020m AE x y m AG y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 1x =()1,1,2m =- 平面ACG 的法向量0，，(1,n = 0)设二面角的平面角为，C AG E --α．cos m n m n α⋅===⋅二面角．∴C AG E --【点睛】本小题主要考查利用空间向量的方法计算异面直线所成角、计算二面角的余弦值，属于中档题.20．已知椭圆C :在椭圆C 上，O为坐标原点．22221(0)x y a b a b +=>>A （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线与椭圆C 有且仅有一个公共点，且与圆的相交于不在坐标轴上的两点l l 225x y +=，，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值．1P 2P 1OP 2OP1k 2k 12k k ⋅【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析．2214x y +=【分析】（I ）根据椭圆的离心率和椭圆上的一点，列方程组，求解出点的值，从而求得椭圆,,a b c 方程；（II ）分斜率斜率存在和不存在讨论，当直线斜率存在时，设出直线的方程，联立直线方程和椭圆方程，利用判别式为零求得参数的相互关系，联立直线方程和圆的方程，写出韦达定理，由此计算出的值，即得.12k k ⋅【详解】Ⅰ由已知得：，解得：，，()221314c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2a =c =1b =所以椭圆C 的方程为：；2214x y +=Ⅱ当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为，()2x =±易得直线，的斜率之积，1OP 2OP 1214k k =-当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为，y kx m =+由方程组，得：，2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222418440k x kmx m +++-=因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以，即，()()222(8)441440km k m ∆=-+-=2241m k =+由方程组，得，225y kx m x y =+⎧⎨+=⎩()2221250k x kmx m +++-=设，，则，，()111,P x y ()222,P x y 12221km x x k -+=+212251m x x k -=+所以()()()221212121212121212kx m kx m k x x km x x m y y k k x x x x x x +++++=⋅==，222222222252511551m km k km m m k k k m m k --+⋅+-++==--+将代入上式，得，2241m k =+212211444k k k k -+==--综上，为定值．12k k 14-21．已知集合.对集合A 中的任意元素，(){}1234,,,,,1,2,3,4i A x x x x x N i αα==∈=()1234,,,x x x x α=定义，当正整数时，定义（约定()12233441(),,,α=----T x x x x x x x x 2n ≥()1()()αα-=n n T T T ）.1()()αα=T T (1)若，求；(2,0,2,1)α=4()αT (2)若满足，且，求的所有可能结果；()1234,,,x x x x α={}0,1(1,2,3,4)i x i ∈=2()(1,1,1,1)α=T α(3)是否存在正整数n 使得对任意都有?若存()()12341243,,,α=∈≥≥≥x x x x A x x x x ()(0,0,0,0)α=n T在，求出n 的所有取值；若不存在，说明理由.【答案】(1)4()(0,0,0,0)T α=(2)、、、(1,0,0,1)(0,1,1,0)(1,1,0,0)(0,0,1,1)(3)存在，*{N |6}n n ∈≥【分析】（1）根据定义写出即可得结果.(),{1,2,3,4}n T n α∈（2）由题设有或，再依据定义确定的所有可能结果；()T α(1,0,1,0)(0,1,0,1)α（3）由定义得，依次写出直到即可判断12234314()(,,,)T x x x x x x x x α=----()n T α()(0,0,0,0)α=n T 存在性，并确定n 的所有取值.【详解】（1）由题意，，，，()(2,2,1,1)T α=2()(0,1,0,1)T α=3()(1,1,1,1)T α=4()(0,0,0,0)T α=（2）由且，2()(1,1,1,1)α=T {0,1}(i 1,2,3,4)ix ∈=①，12232334344141121111x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧---=⎪⎪---=⎪⎨---=⎪⎪⎪---=⎩当或1时，，10x =411224||||||||1x x x x x x ---=-=同理，或1时，，20x =122313||||||||1x x x x x x ---=-=或1时，，30x =233424||||||||1x x x x x x ---=-=或1时，，40x =344113||||||||1x x x x x x ---=-=所以①等价于，则，，132411x x x x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩13x x ≠24x x ≠当，，则为满足；10x =20x =α(0,0,1,1)当，，则为满足，10x =21x =α(0,1,1,0)当，，则为满足，11x =20x =α(1,0,0,1)当，，则为满足，11x =21x =α(1,1,0,0)综上，的所有可能结果、、、.α(1,0,0,1)(0,1,1,0)(1,1,0,0)(0,0,1,1)（3）存在正整数n 使且，理由如下：()(0,0,0,0)α=n T *{N |6}n n ∈≥由，则，()()12341243,,,α=∈≥≥≥x x x x A x x x x 12234314()(,,,)T x x x x x x x x α=----所以，21322413424()(|2|,,|2|,)T x x x x x x x x x x α=+--+--若，，132|2|a x x x =+-134|2|b x x x =+-所以，324242424()(||,||,||,||)T x x a x x b x x b x x a α=--------若，则，，，2424||||||c x x a x x b =-----4()(,0,,0)T c c α=5()(,,,)T c c c c α=6()(0,0,0,0)T α=所以，对都有，()()12341243,,,α=∈≥≥≥x x x x A x x x x 6()(0,0,0,0)T α=当时，恒成立，7n ≥()(0,0,0,0)α=n T 综上，n 所有取值为使成立.*{N |6}n n ∈≥()(0,0,0,0)α=n T 【点睛】本题解题关键是理解清楚集合定义，按照所给定义结合已知分析推理即可.。
高二数学第一次月考试卷及答案
高二数学月考试卷答案(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某公共汽车上有15位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有() A．515种B．155种C．50种D．50625种【解析】每位乘客都有5种不同的下车方式，根据分步乘法计数原理，共有515种可能的下车方式，故选A.【答案】A2．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有() A．6种B．12种C．18种D．24种【解析】种植黄瓜有3种不同的种法，其余两块地从余下的3种蔬菜中选一种种植有3×2＝6种不同种法．由分步乘法计数原理知共有3×6＝18种不同的种植方法．故选C.【答案】C3．(1－x)6展开式中x的奇次项系数和为()A．32B．－32C．0D．－64【解析】(1－x)6＝1－C16x＋C26x2－C36x3＋C46x4－C56x5＋C66x6，所以x的奇次项系数和为－C16－C36－C56＝－32，故选B.【答案】B4．甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达到标准的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人中至少有一人达标的概率是()A．0.04B．0.16C．0.24D．0.96【解析】三人都不达标的概率是(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.04，故三人中至少有一人达标的概率为1－0.04＝0.96.【答案】D5．正态分布密度函数为f(x)＝122πe－x－128，x∈R，则其标准差为()A．1B．2C．4D．8【解析】根据f(x)＝1σ2πe－x－μ22σ2，对比f(x)＝122πe－x－128知σ＝2.【答案】B6．随机变量X的分布列如下表，则E(5X＋4)等于()X024P0.30.20.5A.16B．11C．2.2D．2.3【解析】由表格可求E(X)＝0×0.3＋2×0.2＋4×0.5＝2.4，故E(5X＋4)＝5E(X)＋4＝5×2.4＋4＝16.故选A.【答案】A7．三名教师教六个班的数学，则每人教两个班，分配方案共有()A．18种B．24种C．45种D．90种【解析】不妨设三名教师为甲、乙、丙．先从6个班中任取两个班分配甲，再从剩余4个班中，任取2个班分配给乙，最后两个班分给丙．由乘法计数原理得分配方案共C26·C24·C22＝90(种)．【答案】D8．在(x2＋3x＋2)5的展开式中x的系数为()A．140B．240C．360D．800【解析】由(x2＋3x＋2)5＝(x＋1)5(x＋2)5，知(x＋1)5的展开式中x的系数为C45，常数项为1，(x＋2)5的展开式中x的系数为C45·24，常数项为25.因此原式中x的系数为C45·25＋C45·24＝240.【答案】B9．设随机变量ξ～B(n，p)，若E(ξ)＝2.4，D(ξ)＝1.44，则参数n，p 的值为()【导学号：97270066】A．n＝4，p＝0.6B．n＝6，p＝0.4C．n＝8，p＝0.3D．n＝24，p＝0.1【解析】由二项分布的均值与方差性质得＝2.4，1－p＝1.44，＝6，＝0.4，故选B.【答案】B10．小明同学在网易上申请了一个电子信箱，密码由4位数字组成，现在小明只记得密码是由2个6,1个3,1个9组成，但忘记了它们的顺序．那么小明试着输入由这样4个数组成的一个密码，则他恰好能输入正确进入邮箱的概率是()A.16B.18C.112D.124【解析】由2个6,1个3,1个9这4个数字一共可以组成A44A22＝12种不同的密码顺序，因此小明试着输入由这样4个数组成的一个密码，他恰好能输入正确进入邮箱的概率是P＝1 12 .【答案】C11．利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是()自然状况概率方案盈利(万元)S i PiA1A2A3A4S10.255070－2098S20.3065265282S30.45261678－10A.A1B．A2C．A3D．A4【解析】利用方案A 1，期望为50×0.25＋65×0.30＋26×0.45＝43.7；利用方案A 2，期望为70×0.25＋26×0.30＋16×0.45＝32.5；利用方案A 3，期望为－20×0.25＋52×0.30＋78×0.45＝45.7；利用方案A 4，期望为98×0.25＋82×0.30－10×0.45＝44.6；因为A 3的期望最大，所以应选择的方案是A 3，故选C.【答案】C12.如图12，用五种不同的颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ，F 六个不同的点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共()A．264种B．360种C．1240种D．1920种【解析】由于A 和E 或F 可以同色，B 和D 或F 可以同色，C 和D 或E 可以同色，所以当五种颜色都选择时，选法有C 13C 12A 55种；当五种颜色选择四种时，选法有C 45C 13×3×A 44种；当五种颜色选择三种时，选法有C 35×2×A 33种，所以不同的涂色方法共C 13C 12A 55＋C 45C 13×3×A 44＋C 35×2×A 33＝1920.故选D.【答案】D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．某科技小组有女同学2名、男同学x 名，现从中选出3名去参加展览．若恰有1名女生入选时的不同选法有20种，则该科技小组中男生的人数为________．【解析】由题意得C12·C2x＝20，解得x＝5.【答案】514．已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(a＋a2＋a4)·(a1＋a3＋a5)的值等于________．【解析】令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，①再令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝25＝32，②①＋②得a0＋a2＋a4＝16，①－②得a1＋a3＋a5＝－16，故(a0＋a2＋a4)·(a1＋a3＋a5)的值等于－256.【答案】－25615．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.9的3次方×0.1；③他至少击中目标1次的概率是1－0.1的4次方.其中正确结论的序号是________(写出所有正确结论的序号)．解析：②中恰好击中目标3次的概率应为C34×0.93×0.1＝0.93×0.4，只有①③正确．答案：①③16.抽样调查表明，某校高三学生成绩(总分750分)X近似服从正态分布，平均成绩为500分．已知P(400<X<450)＝0.3，则P(550<X<600)＝________.【解析】由下图可以看出P(550<X<600)＝P(400<X<450)＝0.3.【答案】0.3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10x n ＝C 2xn ，x ＋1n ＝113C x －1n，试求x ，n 的值.【解】∵C x n ＝C n －x n ＝C 2xn ，∴n －x ＝2x 或x ＝2x (舍去)，∴n ＝3x .由C x ＋1n ＝113C x －1n ，得n ！x ＋1！n －x －1！＝113·n ！x －1！n －x ＋1！，整理得3(x －1)！(n －x ＋1)！＝11(x ＋1)！(n －x －1)！，3(n －x ＋1)(n －x )＝11(x ＋1)x .将n ＝3x 代入，整理得6(2x ＋1)＝11(x ＋1)，∴x ＝5，n ＝3x ＝15.18．18．(本小题满分12分)要从两名同学中挑出一名，代表班级参加射击比赛，根据以往的成绩记录同学甲击中目标的环数为X 1的分布列为X 15678910P 0.030.090.200.310.270.10同学乙击目标的环数X 2的分布列为X 256789P 0.010.050.200.410.33(1)请你评价两位同学的射击水平(用数据作依据)；(2)如果其它班参加选手成绩都在9环左右，本班应派哪一位选手参赛，如果其它班参赛选手的成绩都在7环左右呢？（1）利用期望和方差公式求出两变量的期望和方差；（2）根据第（1）问的结论选择水平高的选手解：（1）EX 1＝，EX 2＝=8DX 1=1.50DX 2=0.8两位同学射击平均中靶环数是相等的，同学甲的方差DX1大于同学乙的方差DX2，因此同学乙发挥的更稳定。
2020-2021学年高二数学下学期4月月考试题
2020-2021学年高二数学下学期4月月考试题一．选择题：（每小题5分，共计60分）1．已知集合A ＝{1，2，4}，则集合B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A }中元素的个数为( ) A ．9 B ．8 C ．6 D ．32．若焦点在x 轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为12，则m = （ ） A. 3 B.32 C. 83 D. 233．若命题“∃x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－1，3] B ．(－1，3) C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)4．设z ＝11＋i ＋i ，则|z |＝( )A. 2 B ．32 C. 22 D ．125．根据如下样本数据x 3 4 5 6 7 8y 4．0 2．5 －0．5 0．5 －2．0 －3．0A ．a ＞0，b ＞0B ．a ＞0，b ＜0C ．a ＜0，b ＞0D ．a ＜0，b ＜06．设变量,x y 满足10,30,230,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则目标函数23z x y =+的最小值为( ) A ．7 B ．8 C ．22 D ．237．当5n =时，执行如图所示的程序框图， 输出的S 值为 ( ).2A .4B .7C .11D8．若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(0，34]B ．[0，34)C ．[0，34]D ．(0，34)9．设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( ) A ．－5 B ．5 C ．4i -+ D ．4i -- 10．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面均相切，已知这个球的体积是323π，那么这个三棱柱的体积是( )A. 963B. 163C. 243D. 48311．直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33C ．[－3，3]D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，0 12．过点M (2，－2p )作抛物线x 2＝2py (p ＞0)的两条切线，切点分别为A ，B ，若线段AB 的中点的纵坐标为6，则p 的值是（ ）．A ．1 B.2 C.1或2 D.-1或2 二、填空题（每小题5分，共20分） 13．()211111= ()1014．已知向量(1,)a m =，(,2)b m =, 若a //b , 则实数m 等于15．某程序框图如右图所示,该程序运行后, 输出的x 值为31,则a 等于__ ___ 16.以下三个关于圆锥曲线的命题中：①设,A B 为两个定点，k 为非零常数，若PA PB k -=，则动点P 的轨迹是双曲线。
2020-2021学年高二数学下学期第一次月考试题理[1]
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2020-2021学年高二数学下学期第一次月考试题理本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.（1）已知集合{1,2,}M zi =，i 为虚数单位，{3,4}N =，{4}MN =，则复数z ＝（A ）2i - （B ）2i （C ）4i - （D ）4i （2）已知函数()y f x =的图象在点(1,(1))M f 处的切线方程是122y x =+,则()()11f f +'的值等于（A ）1 （B ）52 （C ）3 （D ）0 （3）已知函数52()ln 33f x x x =-，则0(1)(1)limx f f x x∆→-+∆=∆ （A ）1 （B ）1- （C ）43- （D ）53-（4）某班数学课代表给全班同学出了一道证明题.甲说：“丙会证明.”乙说：“我不会证明.”丙说：“丁会证明.”丁说：“我不会证明.”以上四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题.根据以上条件，可以判定会证明此题的人是 （A ）甲 （B ）乙 （C ）丙 （D ）丁 （5）已知,x y R ∈， i 为虚数单位，若()123xi y i +=--，则x yi +=（A ）10 （B ）3 （C ）5 （D ）2 （6）函数()()3e xf x x =-的单调递增区间是（A ）()0,3 （B ）()1,4 （C ）()2,+∞ （D ）(),2-∞（7）函数32()23f x x x a =-+的极大值为6，那么a 的值是（A ）6 （B ）5 （C ）1 （D ）0（8）以正弦曲线sin y x =上一点P 为切点得切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是（A ）30,,424πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ （B ）[)0,π （C ）3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（D ）30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭（9）在复平面内，若2(1)(4)6z m i m i i =+-+-所对应的点位于第二象限，则实数m 的取值范围是（A ）(0,3) （B ）(,2)-∞- （C ）(2,0)- （D ）(3,4)（10）设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，错误．．的是（11）若函数()2(0)xf x a x a=>+在[)1,+∞上的最大值为33，则a ＝ （A ）31- （B ）34 （C ）43（D ）31+ （12）已知()f x 是定义在区间(0)+∞，上的函数，其导函数为()f x '，且不等式()2()x f x f x '<恒成立，则（A ）4(1)(2)f f < （B ）4(1)(2)f f > （C ）(1)4(2)f f < （D ）(1)4(2)f f '<第II 卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分. （13）若函数321()(1)3f x x f x x '=-⋅+，则(1)f '=__________． （14）由曲线xy e x =+与直线0,1,0x x y ===所围成图形的面积等于__________． （15）观察下列各式： 1a b +=， 223a b +=， 334a b +=， 447a b +=， 5511a b +=，…，则1010a b +=（16）若直线y kx b =+是曲线ln 1y x =+的切线，也是曲线ln(2)y x =+的切线，则k =_______.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）已知复数()()227656z a a a a i a R =-++--∈，求a 分别为何值时，（1）z 是实数； （2）z 是纯虚数； （3）当106za =-时，求z 的共轭复数.（18）（本小题满分10分） 已知数列{}n a 满足)(1,111++∈+==N n a a a a nnn (1)分别求234,,a a a 的值；（2）猜想{}n a 的通项公式n a ，并用数学归纳法证明.（19）（本小题满分12分）已知函数32()f x x ax bx =++在23x =-与1x =处都取得极值． (1)求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在区间[2,2]-的最大值与最小值．（20）（本小题满分12分）已知函数f (x )＝ln xx.(1)判断函数()f x 的单调性；(2)若y ＝xf (x )＋1x的图象总在直线y ＝a 的上方，求实数a 的取值范围．（21）（本小题满分12分）某商场为了获得更大的利润，每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查，每年投入广告费t （百万元），可增加的销售额为25t t -+（百万元）03t ≤≤（）. （1）若该商场将当年的广告费控制在三百万元以内，则应投入多少广告费，才能使公司由广告费而产生的收益最大？（注：收益=销售额-投入费用）（2）现在该商场准备投入三百万元，分别用于广告促销和技术改造.经预算，每投入技术改造费x （百万元），可增加的销售额约为32133x x x -++（百万元），请设计一个资金分配方案，使该商场由这两项共同产生的收益最大.（22）（本小题满分12分） 已知函数()ln m f x x x=+（其中m R ∈），()161x g x e x +=-+（其中e 为自然对数的底数）.（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线2450x y -+=垂直，求()f x 的单调区间和极值；（2）若对任意11,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在[]22,3x ∈使得()()312120f x g x e -+-≥成立，求实数m 的取值范围.xx 第二学期第一次考试 高二年级理科数学试题参考答案一、 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CCBBACADDDAB（1）【答案】C 【解析】由M ∩N ＝{4}，知4∈M ，故z i ＝4，故z ＝4i ＝4i i 2＝－4i.（2）【答案】C 【解析】由导数的几何意义得()()1151,112.222k f f ===⨯+=' 所以()()11f f +'=15+=322，故选C. （3）【答案】B（4）【答案】B 【解析】如果甲会证明，乙与丁都说了真话，与四人中只有一人说了真话相矛盾，不合题意；排除选项A ；如果丙会证明，甲乙丁都说了真话，与四人中只有一人说了真话相矛盾，不合题意，排除选项C ；如果丁会证明，丙乙都说了真话，与四人中只有一人说了真话相矛盾，不合题意，排除选项D ，故选B. （5）【答案】A 【解析】()123xi y i +=-- 21{3y x -=⇒=- 3{1x y =-⇒=，则10x yi +=. （6）【答案】C 【解析】()()()e 3e e2xxxf x x x '=+-=-，令()()e 20x f x x '=->，解得2x >，所以函数()f x 的单调增区间为()2,+∞．故选C ． （7）【答案】A 【解析】()()322()23,6661f x x x a f x x x x x '=-+∴=-=-，令()0,f x '=可得0,1x =，容易判断极大值为()06f a ==.故选A. （8）【答案】D 【解析】由题得cos y x '=，设切线的倾斜角为α，则][3tan cos 1tan 10,,44k x ππαααπ⎡⎫==∴-≤≤∴∈⋃⎪⎢⎣⎭，故选D.（9）【答案】D 【解析】整理得22(4)(6)z m m m m i =-+--对应的点位于第二象限，则224060m m m m ⎧-<⎪⎨-->⎪⎩，解得34m <<. （10）【答案】D 【解析】经检验，A ：若曲线为原函数图象，先减后增，则其导函数先负后正，正确；B ：若一直上升的函数为原函数图象，单调递增，则其导函数始终为正，正确；C:若下方的图象为原函数图象，单调递增，则其导函数始终为正，正确；D ：若下方的函数为原函数，则其导函数为正，可知原函数应单调递增，矛盾；若上方的函数图象为原函数图象，则由导函数可知原函数应先减后增，矛盾.故选D. （11）【答案】A②当1a ≤，即1a ≤时， ()f x 在[)1,+∞上单调递减，故()()max 111f x f a ==+． 令1313a =+，解得31a =-，符合题意． 综上31a =-．（12）【答案】B 【解析】设函数2()()f x g x x=(0)x >， 则243()2()()2()()0x f x xf x xf x f x g x x x''--'==<， 所以函数()g x 在(0,)+∞上为减函数，所以(1)(2)g g >，即22(1)(2)12f f >， 所以4(1)(2)f f >，故选B. 二、填空题 （13）【答案】23【解析】∵f (x )＝13x 3－f ′(1)·x 2+x ，∴f ′(x )＝x 2－2f ′(1)·x +1， ∴f ′(1)＝1－2f ′(1)+1，∴f′(1)＝23. （14）【答案】e －12 【解析】由已知面积S ＝10⎰(e x＋x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫e x ＋12x 210|＝e ＋12－1＝e －12.（15）123（16）【答案】12【解析】设直线y kx b =+与曲线ln 1y x =+和ln(2)y x =+的切点分别为()11,x kx b +，()22,x kx b +.由导数的几何意义可得12112k x x ==+，得122x x =+，再由切点也在各自的曲线上，可得1122ln 1,(),ln 2kx b x kx b x +=++=+⎧⎨⎩联立上述式子解得12k =. 三、解答题（17）解：（1）Z 是实数， 2560a a --=，得61a a ==-或（2）Z 是纯虚数， 2760a a -+=，且2560a a --≠，得1a = （3）当106za =-时， ()()1110a a i -++=， 得()()221110a a -++=，得2a =± 当2a =时， 412z i =--,得412Z i =-+； 当2a =-时， 248z i =+,得248Z i =-(18) 解： (1）3111,2112121223112=+=+==+=a a a a a a ，41113131334=+=+=a a a (2）猜想)(1+∈=N n na n ①当n =1时命题显然成立②假设)(+∈=N k k n 命题成立，即ka k 1= 当11111111+=+=+=+=+k a a ，ak n kk k k k 时 1+=∴k n 时命题成立综合①②，当+∈N n 时命题成立（19）解：(1) 2()32f x x ax b '=++，由题意2()03(1)0f f ⎧'-=⎪⎨⎪'=⎩即44033320ab a b ⎧-+=⎪⎨⎪++=⎩ 解得122a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，经检验符合题意，321()22f x x x x ∴=--(2)由(1)知2()3()(1)3f x x x '∴=+-， 令()0f x '=，得122,13x x =-=， 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x －2⎝⎛⎭⎪⎫－2，－23 －23 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1 1 (1,2) 2f ′(x )＋0 －0 ＋f (x ) －6极大值2227极小值－322由上表知f max (x )＝f (2)＝2，f min (x )＝f (－2)＝－6. （20）解：(I) 21ln ()xf x x-'=当0x e << 时，()0f x '>，()f x 为增函数； 当x e >时，()0f x '<，()f x 为减函数． (2)依题意得，不等式1ln a x x<+对于0x >恒成立．令1()ln g x x x =+，则22111()x g x x x x-'=-=. 当(1,)x ∈+∞时，21()0x g x x -'=>，则()g x 是(1,)+∞上的增函数； 当(0,1)x ∈时，()0g x '<，则()g x 是(0,1)上的减函数． 所以()g x 的最小值是(1)1g =， 从而a 的取值范围是(,1)-∞．（21）解：（1）设投入广告费t （百万元）后由此增加的收益为()f t （百万元），则()2254f t t t t t t =-+-=-+ ()224t =--+， 03t ≤≤.所以当2t =时， ()max 4f t =，即当商场投入两百万元广告费时，才能使商场由广告费而产生的收益最大.（2）设用于技术改造的资金为x （百万元），则用于广告促销的费用为()3x -（百万元），则由此两项所增加的收益为()()23213[33g x x x x x =-+++-- ()3153]3433x x x +--=-++.()2'4g x x =-+，令()2'40g x x =-+=，得2x =或2x =-（舍去）.当02x <<时， ()'0g x >，即()g x 在[)0,2上单调递增； 当23x <<时， ()'0g x <，即()g x 在(]2,3上单调递减， ∴当2x =时， ()()max 2523g x g ==. 故在三百万资金中，两百万元用于技术改造，一百万元用于广告促销，这样商场由此所增加的收益最大，最大收益为253百万元. （22）（2）由()161x g x ex +=-+， ()1'6x g x e +=-，当[]2,3x ∈时， ()'0g x >， ()g x 单调递增，故()g x 有最小值()3211g e =-，因为对任意11,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在[]22,3x ∈使得()()312120f x g x e -+-≥，即()()31212f x e g x +-≥成立，所以对任意11,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()3311211f x e e +-≥-，即()11f x ≥， 也即11ln 1m x x +>成立，从而对任意11,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有111ln m x x x ≥-成立， 构造函数()ln x x x x ϕ=- 1,22x ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则()'ln x x ϕ=-，令()'0x ϕ=，得1x =，当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()'0x ϕ>， ()x ϕ单调递增；当()1,2x ∈时， ()'0x ϕ<， ()x ϕ单调递减，∴()x ϕ的最大值为()11ϕ=，∴1m ≥，综上，实数m 的取值范围为[)1,+∞.【感谢您的阅览，下载后可自由编辑和修改，关注我 每天更新】。
2021-2022年高二数学下学期第一次月考(4月)试题 理
2021-2022年高二数学下学期第一次月考（4月）试题理一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．从2,4中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为A．6 B．12 C．18 D．242.已知随机变量服从正态分布,则A.0.21B. 0.58C. 0.42D. 0.293.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中最多命中一次的概率为，则该队员的每次罚球命中率为A. B. C. D.4.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为，得2分的概率为，不得分的概率为（、、），已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它得分情况），则的最大值为A．B．C．D．5.某公共汽车上有10名乘客，沿途有5 个车站，乘客下车的可能方式有A：种 B：种 C：50 种 D：以上都不对6.在(｜x ｜+-2)3的展开式中的常数项是( ) A.12 B.-12 C.-20 D.207.在(1-x)11的展开式中，x 的奇次幂的项的系数之和是( )A.-211B.-210C.211D.210-18.从10名女学生中选2名，40名男生中选3名，担任ABCDE 五种不同的职务，规定女生不担任B 职务，不同的分配方案有( )A.A 102A 403B.C 102A 31A 44C 403C.C 152C 403A 55D.C 102C 4039.某学习小组共12人，其中有五名是“三好学生”，现从该小组中任选5人参加竞赛，用表示这5人中“三好学生”的人数，则下列概率中等于的是（ ）A. B. C. D.10.在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施个程序，其中程序只能出现在第一或最后一步， 程序和在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有（ ）A ． 种B ．种C ．种D ．种11. 以平行六面体的任意三个顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．12.设a,b ∈｛1,2,3,4,5,6｝，则有不同离心率的椭圆，(a ＞b)的个数为（ ）Ａ．30 Ｂ．15 Ｃ．11Ｄ．6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知随机变量满足=2,则___________14.设函数则导函数的展开式项的系数为______________15．4个男生，3个女生排成一排，其中有且只有两个女生相邻排在一起的排法总数___________.16．已知的展开式中的常数项为，是以为周期的偶函数，且当时，，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.连续6次射击，把每次命中与否按顺序记录下来。
最新高二下学期4月月考数学试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}20,0,1,2,3x A x B x -⎧⎫=|≤=⎨⎬⎩⎭，则A B ⋂=（ ） A. {}1,2 B. {}0,1,2 C. {}1 D. {}1,2,3 2.设复数z 满足()11i z i +=-，则z =（ ） A.1 B.2 C.3 D.43.对于独立性检验，下列说法正确的是（ ） A. 2 3.841K >时，有95%的把握说事件A 与B 无关 B. 2 6.635K >时，有99%的把握说事件A 与B 有关 C. 2 3.841K ≤时，有95%的把握说事件A 与B 有关 D. 2 6.635K >时，有99%的把握说事件A 与B 无关4.等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若231n n S nT n =+，则33a b 的值为（ ） A .35 B. 47 C. 58 D. 12195.设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()f x 单调递增，若数列{}n a 是等差数列，且30a >，则()()()()()12345f a f a f a f a f a ++++的值（ ） A.恒为正数 B.恒为负数 C.恒为0 D.可正可负6.使不等式14x +≤成立的一个必要不充分条件是（ ） A. 23x ≤≤ B. 63x -≤≤ C. 53x -≤≤ D. 62x -≤≤7.已知变量,x y 满足约束条件2902x y y --≤⎧⎨≤⎩，若使z ax y =+取得最小值的最优解有无穷多个，则实数a 的取值集合是（ ）A. {}2,0-B. {}1,2-C. {}0,1D. {}2,0,1- 8.已知23,,23In In In a b c ππ===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. a b c << B. c b a << C. a c b << D. b c a <<9.在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”，四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是（ ） A.丁 B.乙 C.丙 D.甲10.已知函数()()3242x x f x x x e e -=-+-，若()()25230f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 21,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C. 2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 12,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11.已知椭圆2215y x +=与抛物线2x ay =有相同的焦点为,F O 原点，点P 是抛物线准线上一动点，点A 在抛物线上，且4AF =，则PA PO +的最小值为（ ）A. 12.已知函数()21f x kx x e e ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，与函数()21xg x e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，若()f x 与()g x 的图象上分别存在点,M N ，使得MN 关于直线y x =对称，则实数k 的取值范围是（ ） A. 1,e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. 2,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. 2,2e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ D. 3,3e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
北京市第四十三中学2020_2021学年高二数学下学期第一次月考试题
市第四十三中学2020-2021学年高二数学下学期第一次月考试题总分：150分 答题时间：90分钟一、选择题（共8小题；共40分） 1. 已知全集 ，集合，那么集合A. B.C. D.2. 已知复数113iz i-=+ ，则复数 的虚部是A. B. C. D.3. 若，，则 等于A. B. C. D.4. 已知等比数列 满足 ，，则 等于A. B.C.D.5. 在等差数列 中，若 ，则A. B. C. D.6. 等差数列的首项为 ，公差不为 ，若 ，， 成等比数列，则前项的和为A. B.C.D.7. 直线 被圆截得的弦长为 ，则A. B.C. D.8. 如图，点是正方体的棱的中点，点，分别在线段，（不包含端点）上运动，则A. 在点的运动过程中，存在B. 在点的运动过程中，不存在C. 四面体的体积为定值D. 四面体的体积不为定值二、填空题（共6小题；共30分）9. 已知平行四边形的顶点，，，则顶点的坐标为．10. 在展开式中，常数项为．（用数值表示）11. 投篮测试中，每人投次，至少投中次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为，且每次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为．12. 已知双曲线：的一个焦点是抛物线的焦点，且双曲线的离心率为，那么双曲线的方程为．13. 已知数列的前项和，则．14. 已知数列中，，，则．三、解答题（共6小题；共80分）15. 设是等差数列，，且，，成等比数列．（1）. 求的通项公式．（2）. 记的前项和为，求的最小值．（3）. 记{ |a n| }的前项和为T n，求T n的表达式。
16. 已知等差数列满足，．（1）求的通项公式．（2）设等比数列满足，；问：与数列的第几项相等．17. 已知，是椭圆的左、右焦点．（1）求椭圆的焦点坐标和离心率；（2）过椭圆的左顶点作斜率为的直线，与椭圆的另一个交点为，求的面积．18. 一个不透明的袋子中，放有大小相同的个小球，其中个黑球，个白球．如果不放回的依次取出个球．回答下列问题：（1）第一次取出的是黑球的概率；（2）第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率；（3）在第一次取出的是黑球的条件下，第二次取出的是白球的概率．19. 一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为、、、、的个红球与编号分别为、、、的个白球，从中任意取出个球．（1）求取出的个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率；（2）求取出的个球中恰有个球编号相同的概率；（3）记为取出的个球中编号的最大值，求的分布列与数学期望．20. 如图，在三棱柱中，，，，，分别为，，，的中点，，．（1）求证：；（2）求二面角的余弦值；（3）证明：直线与平面相交．答案第一部分1. D2. C【解析】，所以的虚部为．3. B【解析】由条件概率公式得．4. D【解析】因为为等比数列，所以，即，所以．故选D．5. B【解析】由题可知：，又，所以．6. B【解析】在等差数列中，记公差为，因为，且，，成等比数列，所以有，即，解得或（舍），所以，所以．7. A8. C【解析】A选项：易知直线与平面相交，点在线段上运动，且在平面内，所以，所以与直线不可能平行，故A错误；B选项：如图，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设正方体边长为，则，，，，，设，则，所以，则，又，且，所以，即，解得，故在上存在点，当是靠近的三等分点时，，故B错误；C选项：因为，且点在线段上运动，所以点到平面的距离为定值，又的面积为定值，所以四面体的体积为定值，故C正确；D选项：因为，，所以，点在线段上运动，所以点到平面的距离为定值，又的面积为定值，所以四面体的体积为定值，故D错误．第二部分9.【解析】设，则由，得，即解得10.11.【解析】该同学通过测试的概率．12.13.【解析】因为，，所以．14.【解析】因为，所以，所以，故是以为首项，为公差的的等差数列，所以，所以，填．第三部分15 (1) 因为是等差数列，，且，，成等比数列，所以，所以，解得，所以当． (2) 由，，得：所以或时，取最小值． (3)略16. （1）设公差为，首项为，则解得所以，．（2）设等比数列的公比为，首项为，由（）知，，，则解得所以，，时，，得，所以与的第项相等．17. （1）因为椭圆方程为，所以焦点坐标分别为，，离心率．（2）椭圆的左顶点为，直线的方程为，由消去，整理可得：，解这个方程得，，所以点坐标为，所以．18. （1）依题意，设事件表示“第一次取出的是黑球”，设事件表示“第二次取出的是白球”．黑球有个，球的总数为个，所以．（2）第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率为．（3）在第一次取出的是黑球的条件下，第二次取出的是白球的概率为．19. （1）设"取出的个球颜色相同且编号是三个连续整数"为事件，则因此，取出的个球的编号恰好是个连续的整数，且颜色相同的概率为．（2）设"取出的个球中恰有两个球编号相同"为事件，则因此，取出的个球中恰有两个球编号相同的概率为．（3）的取值为，，，，则从而的分布列为因此，的数学期望为20. （1）由题意可知：因为，，分别为，的中点．所以，所以，因为，所以，又因为，为中点．所以，，所以．（2）由题意可知，以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立直角坐标系．，，，，，，，．易知，所以设面的法向量为，设面的法向量为，，，令，．记二面角的平面角为，可知为钝角．，所以．（3），，，由（）可知面的法向量为，所以记与面所成的角为，则，所以与面相交．。
北京市第四中学2022高二物理上学期期中试题(含解析)
B. 电子的电势能将增大
C. 电子运动的加速度恒定
D. 电子运动的加速度先减小后增大
【答案】AD
【解析】
【详解】由图看出，电势逐渐升高，则电场线方向沿 负方向，电子所受的电场力沿 正方向，则电子将沿 正方向运动，A正确；由静止释放后，电场力对电子做正功，电子的电势能减小，B错误。 图象的斜率大小等于电场强度，由几何知识得知，斜率先减小后增大，则电场强度先减小后增大，所以电子的加速度先减小后增大，C错误，D正确。
【答案】A
【解析】
A、当用带电玻璃棒与电容器a板接触，由于静电感应，从而在b板感应出等量的异种电荷，从而使电容器带电，故选项A正确；
B、根据电容器的决定式： ，将电容器b板向上平移，即正对面积S减小，则电容C减小，根据 可知，电量Q不变，则电压U增大，则静电计指针的张角变大，故选项B错误；
C、根据电容器的决定式： ，只在极板间插入有机玻璃板，则介电系数 增大，则电容C增大，根据 可知，电量Q不变，则电压U减小，则静电计指针的张角减小，故选项C错误；
B．沿电场线电势降低，可知P点电势高于Q点电势，选项B正确；
CD．将电子从P点移动到Q点，电场力做负功，电势能增大，选项C错误，D正确；
11.如图A、B板平行放置，A板中间有一小孔，B板接地，A板的电势变化如图所示，最大值为0，板间距离为d，设带正电的粒子从A板的小孔无处速度的进入电场。粒子重力不计，则下列说法正确的是
A.M点的电场强度大于N点的电场强度
B.M点的电场强度等于N点的电场强度
C.M点的电势低于N点的电势
D.M点的电势等于N点的电势
【答案】C
【解析】
【详解】AB．因为N点处等势面比M处等势面密集，可知M点的电场强度小于N点的电场强度，选项AB错误；
北京市第四中学2023-2024学年七年级下学期月考数学试题
北京市第四中学2023-2024学年七年级下学期月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．4的平方根是（）A．2 B．2-C．16 D．2±2．下列式子中正确的是（）A3±B2=-C4-D23．）A．2 B．3 C．4 D．54．将边长分别为2和4的长方形如图剪开，拼成一个正方形，则该正方形的边长最接近整数（）A．1 B．2 C．3 D．45．如图所示是一个数值转换器，若输入某个正整数值x后，输出的y值为4，则输入的x值可能为（）A．1 B．6 C．9 D．106．根据表中的信息判断，下列语句中正确的是（）A1.59B ．235的算术平方根比15.3小C ．只有3个正整数n满足15.515.6<D ．根据表中数据的变化趋势，可以推断出216.1将比256增大3.197．已知2431849=，2441936=，2452025=，2462116=．若n 为整数，且1n n <+，则n 的值为（ ） A ．43B ．44C ．45D ．468 1.228= 2.645） A ．122.8B ．12.28C ．264.5D ．26.459 3.1415，237，1.101001000100001……，π中无理数个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．实数a 在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b满足a b a -<<，则b 的值可以是（ ）A ．2-B ．C D二、填空题11．写出一个比3大且比4小的无理数：． 1213．若x x =. 14．下列命题中正确的是；①一个有理数与一个无理数的和一定是无理数 ②两个无理数的和一定是无理数 ③一个有理数与一个无理数的积一定是无理数 ④两个无理数的积一定是无理数15．把下列各数填入相应的集合：1-π、 3.14-0.7&． （1）有理数集合{…}； （2）无理数集合{…}； （3）正实数集合{…}； （4）负实数集合{…}．16．比大小（填写“>”，“<”或“=”），2-1317=． 18．（1）已知228x =，则x =； （2）已知212360x -=，则x =； （3）已知()22118x -=，则x =；19．如图，在长方形ABCD 内，两个小正方形的面积分别为分别为 1，2，则图中阴影部分的面积等于．20．一个正数的两个平方根分别是1a -和3a +，则这个数为． 21．依据图中呈现的运算关系，可知a ＝，b ＝．三、解答题 22．计算：223．已知正实数x 的平方根是m 和m b +． (1)当8b =时，求m ；(2)若()228m m b ++=，求m 与b 的值．24．小芳制作了一张面积为2100cm 的正方形贺卡，现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为5:3，面积为2150cm ，小芳能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明你的判断．25．据说我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出，得到正确答案．邻座乘客十分惊讶，忙问其中奥妙．华罗庚对乘客的提示如下四个步骤：（1）由3101000=，31001000000=________；（2）已知59319的个位上的数字是9________；（3）如果划掉59319的后面三位319，得到59，而由3327=，3464=十位上的数字是________；（4= ________；。
2021年高二下学期4月月考数学试题含答案
一、选择题(每小题5分)1．如图所示是一患黑白相间排列的珠子，按这种规律往下排列，那么第36颗珠子的颜色是( )A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大2.下面使用类比推理正确的是（）.A.“若,则”类推出“若,则”B.“若”类推出“”C.“若”类推出“（c≠0）”D.“”类推出“5．要证明3＋7＜25可选择的方法有以下几种，其中最合理的是( )A．综合法B．分析法 C．类比法D．归纳法6.用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（）A.假设至少有一个钝角B. 假设至少有两个钝角C. 假设没有一个钝角D. 假设没有一个钝角和假设至少有两个钝角7．若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为( )A．1 B．2 C．1或2 D．－18．在复平面内，复数z＝sin 2＋icos 2对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限 C．第三象限D．第四象限9．若x－2＋y i和3x－i互为共轭复数，则实数x与y的值是( )A．x＝3，y＝3 B．x＝5，y＝1 C．x＝－1，y＝－1 D．x＝－1，y＝1 10．的值是( )A． B． C． D．11．已知且，则实数的值等于（）A．B．C．D．12. 函数在区间上的最大值是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分）三、解答题17.（10分）已知数列{a n}，a1＝1，a n＋1＝a n1＋2a n(n＝1,2,3，…)．(1)求a2，a3，a4；(2)归纳猜想通项公式a n.18.（12分）如果是不全相等的实数，若成等差数列，求证：不成等差数列。
20．(12分)已知复数z＝1－i2＋31＋i2－i.(1)求复数z；(2)若z2＋az＋b＝1－i，求实数a，b的值．21、（12分）已知在时有极大值6，在时有极小值，求的值；并求在区间[－3，3]上的最大值和最小值.22、（12分）已知二次函数f(x)满足：①在x=1时有极值； ②图象过点(0,-3)，且在该点处的切线与直线2x+y=0平行. （1） 求f(x)的解析式；（2）求函数g(x)=f(x 2)的单调递增区间.2021年高二下学期4月月考数学试题含答案20、解： (1)z ＝－2i ＋3＋3i 2－i ＝3＋i 2－i ＝3＋i 2＋i5＝1＋i ；(2)把z ＝1＋i 代入得(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝1－i ， 即a ＋b ＋(2＋a )i ＝1－i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝12＋a ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝4.21、解：（1）由条件知.38,21,31.6448)2(,0223)1(,02412)2(===⎪⎩⎪⎨⎧=+++-=-=-+='=--=-'c b a c b a f b a f b a f 解得（2）,2)(,3822131)(223-+='+-+=xxxfxxxxfx －3 (－3,－2) －2 (－2,1) 1 (1,3) 3＋0 －0 ＋↗ 6 ↘↗由上表知，在区间[－3，3]上，当时，时，$27417 6B19 欙j36178 8D52 赒21974 55D6 嗖25100 620C 戌+033945 8499 蒙1D25993 6589 斉40365 9DAD 鶭35816 8BE8 诨35369 8A29 訩。
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1北京四中 高二年级下学期第一次月考卷理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2018·咸阳期末]“1a <”是“ln 0a <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不是充分条件也不是必要条件2．[2018·九江一中]已知函数()e sin xf x x x x =+⋅，则()f x '=（ ）A ．()()2e 1sin cos xx f x x x x -'=++ B ．()()2e 1sin cos x x f x x x x x -'=++C ．()()2e 1sin cos x x f x x x x x -'=+- D ．()()2e 1sin cos x x f x x x x -'=+-3．[2018·林州一中]设椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，以12F F 为直径的圆与直线y b =相切，则该椭圆的离心率为（ ）A ．34 B ．32 C ．22 D ．124．[2018·咸阳期末]在长方体1111ABCD A BC D -中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B =a ，11A D =b ，1A A =c ，则下列向量与1B M 相等的是（ ）A ．1122-++a b cB ．1122++a b cC ．1122-+a b cD ．1122--+a b c 5．[2018·阜城中学辽宁期末]设函数()b f x ax x =-，曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为74120x y --=，则实数a ，b 的值为（ ） A ．1a =，3b = B ．3a =，1b = C ．2356a =，914b = D ．118a =，32b = 6．[2018·闽侯八中]已知圆()22:3100C x y ++=和点()3,0B ，P 是圆上一点，线段BP 的垂直平分线交CP 于M 点，则M 点的轨迹方程是（ ） A ．26y x = B ．2212516x y += C ．2212516x y -= D ．2225x y += 7．[2018·长春外国语]曲线e x y =在点()22,e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A ．29e 4 B ．22e C ．2e D ．2e 2 8．[2018·孝义期末]P 是双曲线2213664x y -=的右支上一点，M ，N 分别是圆()22101x y ++=和()22104x y -+=上的点，则PM PN -的最大值为（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．15 9．[2018·林州一中]函数()ln x f x kx x =-在()0,+∞上是增函数，则实数k 的取值范围是（ ） A ．320,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．32e ,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ．31,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ D ．31,2e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ 10．[2018·淮北一中]抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，A 、B 是抛物线上的两个动点，且满足π3AFB ∠=．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则MN AB 的最大值是（ ） A ．2 B ．83 C ．4 D ．1 11．[2018·滁州期末]已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，()()xf x f x '>，若()20f =，则不等式()0f x x >的解集为（ ）2A ．{|20x x -<<或}02x <<B ．{|2x x <-或}2x >C ．{|20x x -<<或}2x >D ．{|2x x <-或}02x <<12．[2018·荆州中学]对*n ∈N ，设n x 是关于x 的方程320nx x n +-=的实数根，()1n n a n x ⎡⎤=+⎣⎦，()2,3n =⋅⋅⋅（符号[]x 表示不超过x 的最大整数）．则2320182017a a a ++⋅⋅⋅+=（ ）A ．1010B ．1012C ．2018D ．2020第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2018·东城期末]定积分()112sin x x dx -+⎰的值为_________．14．[2018·张家口期末]已知曲线2ln y x x =-的一条切线的斜率为1，则切点的纵坐标为__________．15．[2018·烟台期末]长方体1111ABCD A BC D -中，3AB =，12AA =，1AD =，E ，F 分别是1AA ，1BB 的中点，G 是DB 上的点，2DG GB =，若平面1EBC 与平面11A ADD 的交线为l ，则l 与GF 所成角的余弦值为__________．16．[2018·洛阳期末]若函数()()320h x ax bx cx d a =+++≠图象的对称中心为()()00,M x h x ，记函数()h x 的导函数为()g x ，则有()00g x '=，设函数()3232f x x x =-+，则12403240332017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．[2018·江南中学]已知函数()243f x ax ax b =-+，()12f =，()11f '=；（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在()1,2处的切线方程．18．[2018·临沂十八中]求由直线2x =-，2x =，0y =及曲线2y x x =-所围成的图形的面积．19．[2018·扬州期末]某地环保部门跟踪调查一种有害昆虫的数量．根据调查数据，该昆虫的数量y （万只）与时间x （年）（其中*x ∈N ）的关系为2e x y =．为有效控制有害昆虫数量、保护生态环境，环保部门通过实时监控比值21ay M x x =-+（其中a 为常数，且0a >）来进行生态环境分析． （1）当1a =时，求比值M 取最小值时x 的值； （2）经过调查，环保部门发现：当比值M 不超过4e 时不需要进行环境防护．为确保恰．好．3年不需要进行保护，求实数a 的取值范围．（e 为自然对数的底，e 2.71828=⋅⋅⋅）320．[2018·闽侯四中]如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点． （1）证明：//PB 平面AEC （2）已知1AP =，3AD =，2AB =求二面角D AE C --的余弦值．21．[2018·咸阳期末]已知椭圆()222:103x y M a a +=>的一个焦点为()1,0F -，左、右顶点分别为A 、B ，经过点F 且斜率为k 的直线l 与椭圆M 交于()11,C x y ，()22,D x y 两点．（1）求椭圆M 的方程；（2）记ABD △与ABC △的面积分别为1S 和2S ，求12S S -关于k 的表达式，并求出当k 为何值时12S S -有最大值．22．[2018·滁州期末]已知函数()()22ln f x x x a x a =-+∈R ． （1）当4a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有两个极值点1x ，212()x x x <，不等式()12f x mx ≥恒成立，求实数m 的取值范围．理科数学答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B 【解析】由ln 0a <可得01a <<，所以当01a <<成立时可得到1a <成立，反之不成立，所以1a <是ln 0a <的必要不充分条件，选B ．2．【答案】B 【解析】因为()esin xf x x x x =+⋅， 所以()()22e 1e e sin cos sin cos x x xx x f x x x x x x x x x --'=++=++，故选B ．3．【答案】C【解析】由题意，得以12F F 为直径的圆222(0)x y c c +=>与直线y b =相切，则b c =，2a c =，即该椭圆的离心率为22c e a ==．故选C ．4．【答案】B【解析】由向量的三角形法则可得1112B M B B BD =+，即()11111222B M A A BA BC =++=-+c a b ，故选A ．5．【答案】 A 【解析】函数()b f x ax x =-的导数为()2bf x a x '=+，可得()y f x =在点()()2,2f 处的切线斜率为4ba +，切点为2,22b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由切线方程74120x y --=，可得744b a +=，1222b a -=，解得1a =，3b =．故选：A ． 6．【答案】B 【解析】由圆的方程可知，圆心()3,0C -，半径等于10，设点M 的坐标为(),x y ，BP 的垂直平分线交CP 于点M ，MB MP ∴=．又10MP MC +=， 10MC MB BC ∴+=>．依据椭圆的定义可得，点M 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆，且210a =，3c =，4b ∴=，故椭圆方程为2212516x y +=，故选B ． 7．【答案】D 【解析】依题意得e x y '=，因此曲线e x y =在点()22,e A 处的切线的斜率等于2e ，相应的切线方程是()22e e 2y x -=-，当0x =时，2e y =-，当0y =时，1x =， ∴切线与坐标轴所围成的三角形的面积为：221e e 122S =⨯⨯=，故答案为D ． 8．【答案】D 【解析】双曲线2213664x y -=中，6a =，8b =，10c =，()110,0F ∴-，()210,0F ， 12212PF PF a -==，11MP PF MF ∴+≤，22PN PF NF +≥， 22PN PF NF ∴--+≤，所以1122121215PM PN PF MF PF NF -+-+=++=≤，故选D ． 9．【答案】C 【解析】()21ln 0x f x k x =-'-≥在()0,+∞上恒成立，所以2min 1ln x k x -⎛⎫ ⎪⎝⎭≤，令21ln x y x -=，()324321ln 32ln 0e x x x x y x x x ----+∴===⇒='，所以当32e x =时，min 333112e 2e y -==-，即312e k -≤，选C ． 10．【答案】D 【解析】设AF a =，BF b =，连接AF 、BF ，由抛物线定义，得AF AQ =，BF BP =，在梯形ABPQ 中，2MN AQ BP a b =+=+． 由余弦定理得，222222cos 60AB a b ab a b ab =+︒+-=-，配方得，()223AB a b ab +=-，又22a b ab +⎛⎫ ⎪⎝⎭≤，()()()()222233144a b ab a b a b a b --=∴++++≥，得到()12AB a b +≥，1MNAB ∴≤，即MNAB 的最大值为1．故选：D ．11．【答案】C【解析】设()()f x g x x =，则()()()()2f x xf x f xg x x x ''⎡⎤-'==⎢⎥⎣⎦，由题可知，当0x >时()()0xf x f x ->'，即函数()g x 在区间()0,+∞上是增函数，由题()f x 是定义在R 上的偶函数，故()()f xg x x =是R 上的奇函数，则函数()g x 在区间(),0-∞上是增函数，而()20f =，()20f -=；即()20g =，()20g -=，当0x >时，不等式()0f x x >等价于()0g x >，由()()2g x g >得2x >；当0x <时，不等式()0f x x >等价于()0g x >，由()()2g x g >-，得20x -<<，故所求的解集为{|20x x -<<或}2x >．故选C ．12．【答案】A 【解析】设()1t n x =+，则1tx n =+，332211t tnx x n n n n n ⎛⎫∴+-=⋅+⋅- ⎪++⎝⎭，记()3211t tg t n n n n ⎛⎫=⋅+⋅- ⎪++⎝⎭，*n ∈N ， 当2n ≥，()g t 是增函数，方程()0g t =只有一个实根n t ，()120g n +=>，()()()23101n n n g n n +-=+<，1n n t n <∴<+，即()11n n n x n +<+<，()1n n a n x n ⎡⎤∴=+=⎣⎦， ()23201822018201711010201720172a a a +⨯+++∴=⨯=．故选A ． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】0 【解析】()()()()12112sin cos 1cos11cos101x x dx x x -+=-=---=-⎰． 14．【答案】2 【解析】∵2ln y x x =-，∴12y x '=-，设切点的坐标为()000,2ln x x x -，则001|2x x y x ==-'，由条件可得0121x -=，解得01x =， ∴切点的纵坐标为002ln 2y x x =-=． 15．【答案】76565 【解析】以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设AD 中点为M ，则l EM =． 所以1,0,12EM ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，13,,133GF ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，77656cos ,6551323EM GF --∴<>==⋅， 因此l 与GF 所成角的余弦值为76565． 16．【答案】0 【解析】由题意得，()()2360g x f x x x '==-=，()660g x x -'==解得1x =，()10f =，因为()()()()()()323211*********f x f x x x x x ⎡⎤⎡⎤++-=+-+++---+=⎣⎦⎣⎦，即函数()f x 的图象关于点()1,0对称， 则124032403314033201720172017201720172017f f f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()2403220162018102017201720172017f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故答案为0．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）()235222f x x x =-+；（2）10x y -+=．【解析】（1）()423f x ax a '=-．由已知得()()412134123f a a f a a b ⎧'=-=⎪⎪⎨⎪=-+=⎪⎩．····3分 解得3252a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴()235222f x x x =-+．········6分（2）函数()f x 在()1,2处的切线方程为21y x -=-，即10x y -+=．····10分18．【答案】173【解析】由20x x -=，得到0x =或1x =，············3分 则()()()012222201S x x dx x x dx x x dx -=---+-⎰⎰⎰············6分323232012111111201323232x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭81181117020********⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=------+---= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．········12分19．【答案】（1）M 在2x =时取最小值；（2）137e 22⎛⎤⎥⎝⎦，．【解析】（1）当1a =时，()22e 11x M x x x =>-+，∴()()()22212e1xx x M x x --'=-+； (2)分列表得： x ()1,2 2 ()2,+∞()f x ' － 0 ＋()f x 单调减 极小值 单调增∴M 在()1,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增， ∴M 在2x =时取最小值；··········6分 （2）∵()()()22212e (0)1x a x x M a x x --'=>-+根据（1）知：M 在()1,2上单调减，在()2,+∞上单调增；············8分 ∵确保恰好．．3年不需要进行保护，∴()()()4344412e e 2e 3e 72e 4e 13M a M a M ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=>⎪⎩≤≤，············10分 解得137e 22a <≤，即实数a 的取值范围为137e 22⎛⎤ ⎥⎝⎦，．············12分 20．【答案】（1）证明见解析；（2）6611． 【解析】（1）以点A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB a =，AD b =，AP c =， 由几何关系有：()0,0,P c ，(),0,0B a ，()0,,0D b ，()0,0,0A ，0,,22b c E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),,0C a b ， 则直线PB 的方向向量为：(),0,PB a c =-，0,,22b c AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(),,0AC a b =， 设平面AEC 的法向量(),,m x y z =，则：0220b c m AE y z m AC ax by ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩， 据此可得：平面AEC 的一个法向量为(),,m bc ac ab =-， 结合0PB m abc abc ⋅=-=可知：PB m ⊥，据此可得：//PB 平面AEC ．····6分（2）结合（1）的结论可知：2a =，3b =，1c =， 则平面AEC 的一个法向量为()(),,3,2,6m bc ac ab =-=-．········8分 由AB ⊥平面DAE 可知平面DAE 的一个法向量为：()0,0,2n AB ==，····10分 据此可得：23m n ⋅=，32611m =++=，2n =， 则2366cos ,11112m n m n m n ⋅<>===⨯⨯，观察可知二面角D AE C --的平面角为锐角，故二面角D AE C --的余弦值为6611．············12分21．【答案】（1）椭圆M 的方程为22143x y +=；（2）121234S S k k -=+当32k =±时，12S S -有最大值3． 【解析】（1）∵椭圆M 的焦点为()1,0F -，∴1c =，········1分 又3b =，∴2a =，············2分∴椭圆M 的方程为22143x y +=．············3分（2）依题意知0k ≠，设直线方程为()1y k x =+，由()221143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得：()22223484120k x k x k +++-=，∵直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点，∴()()()()22222843441214410k k k k ∆=-+-=+>，且2122834k x x k +=-+，212241234k x x k -=+，············6分 由题意得1212121·422S S y y y y -=-=+ ()()()12212122112234k k x k x k x x k k =+++=++=+，············9分 ∵212121233342124k k k k ==++≤，当且仅当34k k =，即32k =±时等号成立， ∴当32k =±时，12S S -有最大值3．············12分 22．【答案】（1）()f x 的单调增区间为[)2+∞，，单调减区间为[]02，；（2）3ln22m --≤．【解析】（1）4a =-时，()224ln f x x x x =--，定义域为()0+∞，， ()()()()222212422x x x x f x x x x x --+-=--=='．············2分 ∴02x <<时：()0f x '<，2x >时，()0f x '>， ∴()f x 的单调增区间为[)2+∞，，单调减区间为[]02，．········4分 （2）函数()f x 在()0+∞，上有两个极值点， ()22222(0)a x x a f x x x x x -+=-'+=>． 由()0f x '=．得2220x x a -+=，············6分 当480a ∆=->，12a <时，121x x +=，············7分 11122a x --=，21122a x +-=， 由10x >，∴0a >． ∴102a <<，可得1102x <<，2112x <<，········8分 ()()2221111111111112221222ln 2ln 112ln 1x x x x x f x x x a x x x x x x x x -+--+===-++-，··9分 令()1112ln 012h x x x x x x ⎛⎫=-++<< ⎪-⎝⎭，则()()2112ln 1h x x x '=-+-，因为102x <<．1112x -<-<-，()21114x <-<，()21411x -<-<--，又2ln 0x <． 所以()0h x '<，即102x <<时，()h x 单调递减， 所以()3ln22h x >--，即()123ln22f x x >--， 故实数m 的取值范围是3ln 22m --≤．············12分。