高三第一次调研考试数学试题1
河北省邯郸市2024届高三上学期第一次调研监测数学试题(解析版)
邯郸市2024届高三年级第一次调研监测数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考场号､座位号､考生号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.参考公式：锥体的体积公式13V Sh=（其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高）.棱台的体积公式()13V h S S'=+（其中S '，S 分别为棱台的上､下底面面积，h 为棱台的高）.一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{}1A =<，{}220B x xx =+≤，则A B ⋃=（）A.(]1,2- B.{}0 C.[)2,1- D.(),1-∞【答案】C 【解析】【分析】先求一元二次不等式得{20}B xx =-≤≤∣，再根据集合运算法则求解A B ⋃即可.【详解】{}{}2{1}{01},2020A x x B x x x x x =<=≤<=+≤=-≤≤∣∣∣，则{21}A B xx ⋃=-≤<∣.故选：C.2.已知命题p ：[)0,x ∞∀∈+，e 1x ≥，则p ⌝为（）A.(),0x ∃∈-∞，e 1x ≥B.[)0,x ∃∈+∞，e 1x <C.(),0x ∀∈-∞，e 1x <D.[)0,x ∞∀∈+，e 1x <【答案】B 【解析】【分析】利用含有全称量词的命题的否定判断.【详解】因为命题:[0,),e 1x p x ∞∀∈+≥，所以:[0,),e 1x p x ⌝∃∈+∞<.故选：B.3.已知i 是虚数单位，若复数z 满足：()31i 1i z -=-，则z z +=（）A.0B.2C.2iD.2i-【答案】A 【解析】【分析】根据复数的运算法则，求得i z=-，得到i z =，即可求解.【详解】由复数()31i 1i z -=-，可得()()()231i 1i 1i i 1i 1i 1i 1i z ---====--++-，则iz =，所以i i 0z z +=-+=.故选：A.4.设函数()()ln f x x a =+在1x =处的切线与直线12xy =+平行，则=a （）A.2- B.2C.1- D.1【答案】D 【解析】【分析】由条件，根据导数的几何意义及两平行直线的斜率关系列方程求a .【详解】函数()()ln f x x a =+的定义域为(),a -+∞，由已知1a >-，故1a >-，函数()()ln f x x a =+的导函数()1f x x a'=+，所以()111f a'=+，因为函数()()ln f x x a =+在1x =处的切线与直线12xy =+平行，所以1112a =+，所以1a =，经验证，此时满足题意.故选：D .5.设1F ，2F 是双曲线()222104x y b b-=>的左､右焦点，过1F 的直线l 交双曲线的左支于A ，B 两点，若直线2y x =为双曲线的一条渐近线，22AB b =，则22AF BF +的值为（）A.11B.12C.14D.16【答案】C 【解析】【分析】根据双曲线的标准方程可得2a =,再由双曲线的定义可得212124,24AF AF a BF BF a -==-==，得到()22118AF BF AF BF +-+=,再根据||6AB =得到答案.【详解】根据双曲线的标准方程2221(0)4x y b b -=>，得2a =,由直线2y x =为双曲线的一条渐近线，得2b a =,解得b =,得2||26AB b ==.由双曲线的定义可得2124AF AF a -==①，2124BF BF a -==②，①+②可得()22118AF BF AF BF +-+=,因为过双曲线的左焦点1F 的直线l 交双曲线的左支于A ,B 两点,所以11||6AF BF AB +==,得22||86814AF BF AB +=+=+=.故选：C.6.有一种钻头，由两段组成，前段是高为3cm ､底面边长为2cm 的正六棱锥，后段是高为1cm 的圆柱，圆柱的底面圆与正六棱锥底面的正六边形内切，则此钻头的体积为（）A.()33cm π B.()33cm πC.)33cm π+ D.33cm 2π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】根据棱锥和圆柱的体积公式即可得到答案.【详解】由题意，钻头的前段正六棱锥的体积)311133226cm 322V =⨯⨯⨯⨯⨯=，因为圆柱的底面圆与正六棱锥底面的正六边形内切，作出以下图形，所以圆柱的底面圆的半径2sin 60r ︒==，所以圆柱的体积()2321π3πcm V =⨯⨯=，所以此钻头的体积为()3123πcm V V +=.故选：B.7.甲口袋中有3个红球，2个白球，乙口袋中有4个红球，3个白球，先从甲口袋中随机取出1球放入乙口袋，分别以1A ，2A 表示从甲口袋取出的球是红球､白球的事件；再从乙口袋中随机取出1球，以B 表示从乙口袋取出的球是红球的事件，则()2P A B =（）A.823B.623 C.1740D.58【答案】A 【解析】【分析】分别求出()2P A ，()2P B A ，再根据全概率公式求出()P B ，再根据条件概率公式即可得解.【详解】()()()()()1122352423585840P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=，()225P A =，()24182P B A ==，()()()()()()222221852232340P A P B A P A B P A B P B P B ⨯====.故选：A.8.设函数()f x 的定义域为R ，()1f x -为奇函数，()1f x +为偶函数，当()1,1x ∈-时，()e x f x =-，A.()31f =-B.()21f -=-C.()6f x +为奇函数D.()()228f x f x =+【答案】D 【解析】【分析】由题意可得()()11f x f x --=--，()()11f x f x -+=+，结合()1,1x ∈-时，()e xf x =-，可判断AB ；求出函数的周期，进而可判断CD .【详解】因为()1f x -为奇函数，所以()()11f x f x --=--，即()()2f x f x =---，则()()11f f -=--，所以()10f -=，因为()1f x +为偶函数，所以()()11f x f x -+=+，即()()2f x f x =-+，则()()310f f =-=，故A 错误；由当()1,1x ∈-时，()e xf x =-，得()01f =-，则()()201f f -=-=，故B 错误；()()22f x f x -+=---，则()()4f x f x +=-，所以()()()84f x f x f x +=-+=，所以()()228f x f x =+，故D 正确；对于C ，由()()8f x f x +=，得()()62f x f x +=-，若()6f x +为奇函数，则()2f x -也为奇函数，令()()2g x f x =-，则()g x 为奇函数，则()00g =，又()()0210g f =-=≠，矛盾，所以()()2g x f x =-不是奇函数，即()6f x +不是奇函数，故C 错误.故选：D .【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论：（1）若函数()f x 的图象关于直线x a =和x b =对称，则函数()f x 的周期为2T a b =-；（2）若函数()f x 的图象关于点(),0a 和点(),0b 对称，则函数()f x 的周期为2T a b =-；（3）若函数()f x 的图象关于直线x a =和点(),0b 对称，则函数()f x 的周期为4T a b =-.二､选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.设a ，b是两个非零向量，且a b a b +<+ ，则下列结论中正确的是（）A.a b a b-≤+ B.a b a b-<+ C.a ，b的夹角为钝角 D.若实数λ使得a b λ=成立，则λ为负数【答案】AD 【解析】【分析】根据平面向量的模、线性运算的概念即可判断.【详解】对A ，当,a b 不共线时，根据向量减法的三角形法则知||||||a b a b -<+，当,a b 反向共线时，||||||a b a b -=+r r r r ，故a b a b -≤+，A 正确；对B ，若a b ⊥，则以,a b 为邻边的平行四边形为矩形，且a b + 和a b - 是这个矩形的两条对角线长，则a b a b +=-，故B 错误；对C ，若,a b 的夹角范围为π0,2⎛⎤⎥⎝⎦，根据向量加法的平行四边形法则知：||||||a b a b +<+r r r r ，故C 错误；对D ，若存在实数λ，使得a b λ=成立，则,a b 共线，由于||||||a b a b +<+r r r r ，则,a b反向共线，所以λ为负数，故D 正确.故选：AD.10.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为2的等差数列，则（）A.数列{}n a 为递减数列B.22n S n n=-C.43n a n =- D.数列{}n n a S +是等差数列【答案】BC 【解析】【分析】根据等差数列的通项即可判断B ；根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项，即可判断C ；由1n n a a +-的符号即可判断A ；根据等差数列的定义即可判断D.【详解】由题意21nS n n=-，所以22n S n n =-，故B 正确；当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，()()221221143n n n a S S n n n n n -=-=---+-=-，当1n =时，上式也成立，所以43n a n =-，故C 正确；因为140n n a a +-=>，所以数列{}n a 为递增数列，故A 错误；2233n n n a S n =++-，因为()22119a S a S +-+=，()332213a S a S +-+=，所以数列{}n n a S +不是等差数列，故D 错误.故选：BC .11.已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象过点()0,1，最小正周期为π2，则（）A.()f x 在π5π,66⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B.()f x 的图象向右平移π6个单位长度后得到的函数为偶函数C.函数()f x 在()0,π上有且仅有4个零点D.函数()f x 在区间π5π,412⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值无最大值【答案】BCD 【解析】【分析】根据给定条件，求出ω与ϕ，再逐项分析求解，判断作答.【详解】依题意，(0)2sin 1f ϕ==，即1sin 2ϕ=，而π2ϕ<，则()ππ,2sin 66f x x ϕω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.由最小正周期为2π，得22T ππω==，得4ω=，则()π2sin 46f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，由π5π,66x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，得π5π7π4,662x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则()f x 在π5π,66⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，A 不正确；对于B ，()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得函数()πππ2sin 42sin 42cos 4662f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-=- ⎪ ⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，是偶函数，B 正确；对于C ，当0πx <<时，πππ44666x π<+<+，则π4π,2π,3π,4π6x +=，则5π11π17π23π,,,24242424x =，可得()f x 在()0,π上有且仅有4个零点，C 正确；对于D ，当π5π412x <<时，7ππ11π4666x <+<，当π3π462x +=，解得π3x =时，()f x 取得最小值2-，无最大值，D 正确.故选：BCD.12.已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，R ，E ，F 分别是AB ，11AD ，1CC 的中点，连接RE ，EF ，RF ，记R ，E ，F 所在的平面为α，则（）A.a 截正方体所得的截面为五边形 B.1B D α⊥C.点D 到平面αD.α截正方体所得的截面面积为【答案】BCD 【解析】【分析】根据平面的性质先做出截面可判定A 、D ，再利用线线垂直可判定线面垂直得B 项正误，由正六棱锥的体积判定C .【详解】如上左图所示取111AA BC C D 、、中点分别为H G J 、、，连接EH HR RG GF FJ JE 、、、、、，易知HR FJ RG EJ GF HE ，，，HR FJ RG EJ GF HE ===，，，即六边形HRGFJE 为正六边形，平面HRGFJE 即过R ，E ，F 三点的平面α，故A 错误；由正方体的棱长为2，可得截面HRGFJE 的面积为2364S =⨯⨯=D 正确；如上右图所示，连接11AC BD BC B C 、、、，由正方体的性质可得1,AC BD BB ⊥⊥面ABCD ，AC ⊂面ABCD ，所以1,BB AC ⊥又11,BD BB B BD BB ⋂=⊂、面1BDB ，所以AC ⊥面1BDB ，1DB ⊂面1BDB ，所以1AC DB ⊥，而AC RG ，所以1RG DB ⊥，同理可得1FG DB ⊥，,FG RG G FG RG α⋂=⊂、，故1DB α⊥，即B 正确；分别连接1D B ，与截面HRGFJE 的六个顶点可得两个正六棱锥，设点D 到平面α的距离为h ，易知211128862162323D HRGFJE A HRD HRGFJE V V V h S h --=-=-⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⇒=正方体六边形，故C 正确.故选：BCD.三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.()841x x-的展开式的常数项是___________.【答案】70【解析】【分析】利用通项公式求解，84(1)x x-的展开式中常数项由8(1)x -的展开式的4次方项确定，求解即可.【详解】8(1)x -的展开式的通项公式为818C (1)r rr r T x-+=-，当84r -=时，44584,C r T x ==，所以84(1)x x-的展开式的常数项为48C 70=.故答案：70.14.写出函数()cos 1sin xf x x=-的一个对称中心：___________.【答案】π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】首先化简函数得()πtan 24x f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭,再根据正切函数的对称中心公式求解.【详解】222cos sin cos sincos 2222()1sin cos sinsin cos 2222x x x x x f x x x x x x -+===-⎛⎫-- ⎪⎝⎭π1tantan tan π224tan π241tan 1tan tan 224x x x x x ++⎛⎫===+ ⎪⎝⎭--，令1ππ24x k +=或()212ππ,242x k k k π+=+∈Z ，则1π2π2x k =-+或()212π2π,2x k k k =+∈Z ，令20k =，则π2x =，所以函数()f x 的一个对称中心是π,02⎛⎫⎪⎝⎭.故答案：π,02⎛⎫⎪⎝⎭(答案不唯一，横坐标符合π2π2x k =±(k ∈Z )即可)15.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线W ：214y x =+.若等腰直角三角形ABC 三个顶点均在W 上且直角顶点B 与抛物线顶点重合，则ABC 的面积为___________.【答案】1【解析】【分析】根据等腰直角三角形与二次函数的性质，建立不等式，可得答案.【详解】由题意可作图如下：设()()11221,,0,,,4A x y B C x y ⎛⎫⎪⎝⎭，其中120x x <<，则直线AB 与直线BC 的斜率分别为1114y x -，2214y x -，由AB BC ⊥，则121211441y y x x --⋅=-，由AB BC =，则222211221144x y x y ⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将21114y x =+，22214y x =+代入121211441y y x x --⋅=-，可得121x x =-，将21114y x =+，22214y x =+代入222211221144x y x y ⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得24241122x x x x +=+，将121x x =-代入24241122x x x x +=+，可得()()6222110x x -+=，解得21x =，则5151,,0,,1,444A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，==AB BC ，112ABC S AB BC =⋅⋅=V .故答案为：1.16.过圆O ：222x y +=上一点P 作圆C ：()()22442x y -+-=的两切线，切点分别为Q ，R ，设两切线的夹角为θ，当PQ PR +取最小值时，sin θ=___________.【答案】9【解析】【分析】易得,,,2PQ PR CPQ CPR CQ PQ CR PR θ=∠=∠=⊥⊥，从而可得2P PQ P Q R ==+，求出PC 取得最小值时，sin θ的值即可.【详解】由题意可得,,,2PQ PR CPQ CPR CQ PQ CR PR θ=∠=∠=⊥⊥，圆O 的圆心()0,0O ，半径1r =，圆C 的圆心()4,4C ，半径2r =则2PQ Q R P P ===+，当PQ PR +取最小值时，则PC 取得最小值，1min PC OC r =-=此时1sinsin23CPQ θ=∠==，又2θ为锐角，所以22cos 23θ=，所以12242sin 2339θ=⨯⨯=，即当PQ PR +取最小值时，sin 9θ=.故答案为：429.【点睛】关键点点睛：由圆的切线的性质将所求转化为求PC 的最小值是解决本题的关键.四､解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，0n a >，且满足126a a +=，430S =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设()1n n b n a =-⋅，{}n b 的前n 项和为n T ，求使196n T ≤成立的n 的最大值.【答案】（1）2n n a =（2）5【解析】【分析】（1）求首项、公比，从而求得n a ；（2）利用错位相减求和法求得n T ，解不等式196n T ≤.【小问1详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意，0n a >，则0q >.1246,30a a S +==，则12346,24a a a a +=+=，得234122446a a q a a +===+，所以2q =，所以116a aq +=，所以12a =，所以2n n a =.【小问2详解】由（1）得(1)(1)2nn n b n a n =-⋅=-⋅，得231222(1)2n n T n =⨯+⨯++-⋅ ，得34121222(1)2n n T n +=⨯+⨯++-⋅ ，两式相减得23412222(1)2nn n T n +-=++++--⋅ ()112122(1)2(2)2412n n n n n ++-=-+--⋅=--⋅--，所以1(2)24n n T n +=-⋅+.由196n T ≤，得11(2)24196(2)2192n n n n ++-⋅+≤⇒-⋅≤，当5n =时，左边632192=⨯=，当5n >时，1(2)2192n n +->，所以n 的最大值为5.18.暑假期间，儿童溺水现象屡有发生，防溺水工作十分重要.现从某社区随机抽取100名居民，对他们的防溺水认识程度进行了测评，经统计，这100名居民的测评成绩全部在40至100之间，将数据按照[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100分成6组，制成如图所示的频率分布直方图.（1）估计这100名居民成绩的中位数（保留一位小数）；（2）在这100名居民中用分层随机抽样的方法从成绩在[)40,50，[)50,60，[)60,70的三组中抽取12人，再从这12人中随机抽取3人，记ξ为3人中成绩在[)50,60的人数，求ξ的分布列和数学期望.【答案】（1）79.3（2）分布列见解析，()1E ξ=【解析】【分析】（1）根据在频率分布直方图中中位数的求法计算即可；（2）写出随机变量ξ的所有取值，求出对应概率，即可得出分布列，再根据期望公式求期望即可.【小问1详解】因为()100.0040.0080.0120.24⨯++=，0.24100.0280.52+⨯=，所以中位数在区间[)70,80内，设为x ，则()()100.0040.0080.0120.028700.5x ⨯+++-=，解得79.3x ≈，即估计这100名居民成绩的中位数为79.3；【小问2详解】成绩在[)40,50有0.0041220.0040.0080.012⨯=++人，成绩在[)50,60有0.0081240.0040.0080.012⨯=++人，成绩在[)60,70有0.0121260.0040.0080.012⨯=++人，则ξ可取0,1,2,3，()38312C 140C 55P ξ===，()1248312C C 281C 55P ξ===，()2148312C C 122C 55P ξ===，()34312C 11C 55P ξ===，所以分布列为ξ123P145528551255155所以()14281210123155555555E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.19.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2sin 2cos c a C c A =-.（1）求sin 2A ；（2）若2a =，求ABC 面积的最大值.【答案】（1）34（2）273+【解析】【分析】（1）利用正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，化简整理可求得sin co 1s 2A A -=，平方进而求得sin 2A ；（2）利用余弦定理表示出22b c +，根据三角形面积公式和基本不等式求得最值.【小问1详解】因为2sin 2cos c a C c A =-，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，得sin 2sin sin 2sin cos C A C C A =-，因为()0,,sin 0C C ∈π∴≠，所以sin co 1s 2A A -=，所以21(sin cos )4A A -=，得1312sin cos 2sin cos 44A A A A -=⇒=，即3sin 24A =.【小问2详解】由（1）知13sin cos ,2sin cos 24A A A A -==，()0,A π∈，所以0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得sin 0,cos 0A A >>，与22sin cos 1A A +=联立，有221sin cos 2sin cos 1A A A A ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，解得17sin 471cos 4A A ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，得1117sin 224ABC S bc A ==⨯ ，由余弦定理得，22271cos 24b c a A bc+-==，所以227142b c bc -+=+，得2271422b c bc bc -+=+≥，当且仅当b c =时等号成立，即4(59bc ≤=+，得1142(52493ABC S +≤⨯⨯+=，得最大值为23+.20.如图，几何体由四棱锥B AEFC -和三棱台EFG ACD -组合而成，四边形ABCD 为梯形，//AD BC 且2AD BC =，AD CD ⊥，2CD FG =，DG ⊥平面ABCD ，2DA DC ==，平面EBC 与平面ABCD 的夹角为45°.（1）求证：平面BCE ⊥平面CDGF ；（2）求三棱台EFG ACD -的体积.【答案】（1）证明见解析（2）73【解析】【分析】（1）利用线面垂直的性质和平行的性质得BC CD ⊥，再利用面面垂直的判定即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，设DG h =，求出相关平面法向量，利用面面角的空间向量求法得到方程，解出h ，再利用棱台体积公式即可得到答案.【小问1详解】因为DG ⊥平面,ABCD BC ⊂平面ABCD ，所以DG BC ⊥，因为//,AD BC AD CD ⊥，所以BC CD ⊥，由GD CD D = ，,GD CD ⊂平面CDGF ，得BC ⊥平面CDGF ，由BC ⊂平面BCE ，得平面BCE ⊥平面CDGF .【小问2详解】因为DG ⊥平面ABCD ，,AD CD ⊂平面ABCD ，所以,DG AD DG CD ⊥⊥，又因为AD CD ⊥，所以,,DG AD CD 两两互相垂直，所以以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DG 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图.设DG h =，由题可知，(0,0,0),(2,0,0),(1,2,0),(0,2,0),(1,0,),(0,1,),(0,0,)D A B C E h F h G h ，易知平面ABCD 的一个法向量为(0,0,)DG h = ，设平面EBC 的法向量为(,,)n x y z =，(1,0,0),(0,2,)CB BE h ==- ，故得0n CB n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x y zh =⎧⎨-+=⎩，不妨令1y =，则20,1,,cos ,2||||DG n n n DG h DG n ⋅⎛⎫=〈〉==⎪⎝⎭ ，解得2h =，所以三棱台EFG ACD -的体积为1117222113223V ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.21.已知函数()2ln 2xf x a x =⋅-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0a >时，证明：不等式()12ln f x a a≤+有实数解.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，再分0a ≤和0a >两种情况讨论即可；（2）要证不等式()12ln f x a a ≤+有实数解，只需证明()min 12ln f x a a≤+即可，由（1）求出()min f x ，进而得证.【小问1详解】()()ln 22ln 2ln 221x x f x a a '=⋅-=⋅-，当0a ≤时，()0f x '<，则函数()f x 在(),-∞+∞上单调递减，当0a >时，21log x a <时，()0f x '<，21log x a>时，()0f x ¢>，所以函数()f x 在21,log a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在21log ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，综上所述，当0a ≤时，函数()f x 在(),-∞+∞上单调递减；当0a >时，函数()f x 在21,log a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在21log ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；【小问2详解】要证不等式()12ln f x a a ≤+有实数解，只需证明()min12ln f x a a≤+即可，由（1）得()21log 22min11log 2ln 2log 1ln a f x f a a a a ⎛⎫==⋅-⨯=+ ⎪⎝⎭，则只要证明11ln 2ln a a a+≤+即可，即证1ln 10a a+-≥，令()()1ln 10h a a a a =+->，则()22111a h a a a a-'=-=，当01a <<时，()0h a '<，当1a >时，()0h a '>，所以函数()h a 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()()10h a h ≥=，即1ln 10a a+-≥，所以当0a >时，不等式()12ln f x a a≤+有实数解.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.22.已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的焦点分别为()11,0F -和()21,0F ，离心率为12.不过2F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于A ，M 两个不同的点，直线2AF 与椭圆的另一交点为点B .（1）求椭圆E 的方程；（2）①若直线MB 交x 轴于点N ，求以ON 为直径的圆的方程；②若过2F 与AB 垂直的直线交椭圆E 于D ，G 两个不同的点，当22AB DG +取最小值时，求直线AB 的方程.【答案】（1）22143x y +=（2）①22(2)4x y -+=；②1y x =-或1y x =-+.【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义，可求其方程；（2）①联立直线AB 与椭圆方程，表示出直线BM 的方程，再由根与系数的关系求出N 点坐标，即可求出圆的方程；②根据弦长公式可求AB 长度,进而得DG 长度，根据不等式即可求解最值，得直线AB 的方程.【小问1详解】由题意可知，11,2c c e a ===，得2a =，由222a b c =+，得23b =，所以椭圆E 的方程为22143x y +=.【小问2详解】①显然直线AB 的斜率必存在，且0AB k ≠，则设直线AB 的方程为()()1122(1)(0),,,,y k x k A x y B x y =-≠，则()11,M x y -，联立有22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()22224384120k x k x k +-+-=，所以221212228412,4343k k x x x x k k -+==++，直线BM 的方程为()211121,y y y y x x x x ++=-- 令0y =可得N 点的横坐标为()()()()1211212211112112121222N k x x x x x x x x x x y x x y y k x x x x ---+-=+=+=++-+-22222241282434348243k k k k kk -⨯-++==-+.所以N 为一个定点，其坐标为(4,0)，则圆心坐标为()2,0，半径为2，则以ON 为直径的圆的方程为22(2)4x y -+=.②根据①可进一步求得:21||AB x =-=()2212143k k +=+，第21页/共21页因为AB DG ⊥,所以1DG k k =-,则()22121||34k DG k +=+,由()()()()()22222222221211212881||2243344334k k k AB DG AB DG k k k k ++++≥⋅=⨯⨯=++++()22222288111524943342k k k +≥=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，当且仅当224334k k +=+时取等号，即1k =±时，22||||AB DG +取得最小值115249，此时直线AB 的方程为1y x =-或1y x =-+.【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是采用设线法，设直线AB的方程为(1)(0)y k x k =-≠，将其与椭圆方程联立得到韦达定理式，再去计算出N 点的横坐标为定值，则可得到圆的方程，再利用弦长公式和基本不等式则可得到22||||AB DG +的最小值.。
湖南省长沙市2024-2025学年高三上学期调研考试(一)数学试题(解析版)
2025届高三第一次调研考试数学（答案在最后）本试题卷共4页.时量120分钟，满分150分.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}320,20A x x xB x x x =-==--<∣∣，则A B = （）A.{}0,1 B.{}1,0- C.{}0,1,2 D.{}1,0,1-【答案】A 【解析】【分析】由因式分解分别求出高次方程和二次不等式的解集，再由集合的运算得出两个集合的交集。
【详解】∵()()3110x x x x x -=+-=∴{}1,0,1A =-∵()()22210x x x x --=-+<∴()1,2B =-∴{}0,1A B = 故选：A2.已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则m ∥α的一个充分条件是（）A.m ∥,n n ∥αB.m ∥,βα∥βC.,,m n n m αα⊥⊥⊄D.,m n A n ⋂=∥,m αα⊄【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由空间中线面关系以及线面平行的判定定理逐一判断，即可得到结果.【详解】对于A ，由m ∥,n n ∥α可得m α⊂或m ∥α，故A 错误；对于B ，由m ∥,βα∥β可得m α⊂或m ∥α，故B 错误；对于C ，由,,m n n m αα⊥⊥⊄可得m ∥α，故C 正确；对于D ，由,m n A n ⋂=∥,m αα⊄可得,m α相交或m ∥α，故D 错误；故选：C3.20252x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项是（）A.第673项B.第674项C.第675项D.第676项【答案】D 【解析】【分析】根据题意，求得展开式的通项公式，结合通项公式，即可求解.【详解】由二项式20252x ⎫-⎪⎭的展开式为20253202521202520252C ()(2)C rrrr r rr T x x--+=-=-⋅，令202530r -=，解得675r =，此时()67567567620252C T =-⋅，所以二项式20252x ⎫⎪⎭的展开式的常数项为第676项.故选：D.4.铜鼓是流行于中国古代南方一些少数民族地区的礼乐器物，已有数千年历史，是作为祭祀器具和打击乐器使用的.如图，用青铜打造的实心铜鼓可看作由两个具有公共底面的相同圆台构成，上下底面的半径均为25cm ，公共底面的半径为15cm ，铜鼓总高度为30cm.已知青铜的密度约为38g /cm ，现有青铜材料1000kg ，则最多可以打造这样的实心铜鼓的个数为（）（注：π 3.14≈）A .1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】先根据圆台的体积公式计算求解铜鼓的体积，然后根据材料体积求解即可.【详解】依题意圆台的上底面半径为15cm ，下底面半径为25cm ，高为15cm ，所以铜鼓的体积()221215251525π153V =⨯⨯++⨯⨯≈38465()3cm，又10000003.25384658≈⨯，故可以打造这样的实心铜鼓的个数为3.故选：C5.已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()()1f x x f x <-'（()f x '为()f x 的导函数），且()10f =，则（）A.()22f <B.()22f >C.()33f <D.()33f >【答案】D 【解析】【分析】由已知可得()()21xf x f x x x ->'，令()()ln f x g x x x=-，可得()g x 在(0,)+∞上单调递增，进而可得()n 33l 3f >，()n 22l 2f >，可得结论.【详解】由题意可得()()xf x f x x '->，即()()21xf x f x x x->'，令()()ln f x g x x x=-，则()()()210xf x f x g x x x-'=->'，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，因为()10f =，所以()()11ln10g f =-=，所以()()310g g >=，所以()3ln 303f ->，所以()3ln 333f >>，所以()()210g g >=，所以()2ln 202f ->，所以()n 22l 2f >，又2ln 22<，故()2f 与2的大小关系不确定.故选：D.6.已知过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 且倾斜角为π4的直线交C 于,A B 两点，M 是AB 的中点，点P 是C 上一点，若点M 的纵坐标为1，直线:3230l x y ++=，则P 到C 的准线的距离与P 到l 的距离之和的最小值为（）A.26 B.26C.13D.26【答案】D 【解析】【分析】首先联立AB 与抛物线方程，结合已知、韦达定理求得p ，进一步通过抛物线定义、三角形三边关系即可求解，注意检验等号成立的条件.【详解】由题得C 的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设倾斜角为π4的直线AB 的方程为2p y x =-，与C 的方程22(y px =联立得2220y py p --=，设1,1,2,2，则1222,1y y p p +===，故C 的方程为212,,02y x F ⎛⎫=⎪⎝⎭.由抛物线定义可知点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，联立抛物线2:2C y x =与直线:3230l x y ++=，化简得291090x x ++=，由Δ1004992240=-⨯⨯=-<得C 与l 相离.,,Q S R 分别是过点P 向准线、直线:3230l x y ++=以及过点F 向直线:3230l x y ++=引垂线的垂足，连接,FP FS ，所以点P 到C 的准线的距离与点P 到直线l 的距离之和PQ PS PF PS FS FR +=+≥≥,等号成立当且仅当点P 为线段FR 与抛物线的交点，所以P 到C 的准线的距离与P 到l 的距离之和的最小值为点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭到直线:323l x y ++=0的距离，即26FR ==.故选：D.7.已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭，对于任意的x ∈R ，ππ1212f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()π02f x f x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭都恒成立，且函数()f x 在π,010⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的值为（）A.3B.9C.3或9D.【答案】A 【解析】【分析】根据正弦型函数的单调性先确定周期的取值范围，从而缩小ω的取值范围，结合正弦型三角函数的对称性可得符合的ω的取值为3ω=或9，分类讨论验证单调性即可得结论.【详解】设函数()f x 的最小正周期为T ，因为函数()f x 在π,010⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以π0102T⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，得2ππ5T ω=≥，因此010ω<≤．由ππ1212f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知()f x 的图象关于直线π12x =对称，则11πππ,122k k ωϕ⋅+=+∈Z ①．由()π02f x f x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭知()f x 的图象关于点π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，则22ππ,4k k ωϕ⋅+=∈Z ②．②-①得()2112πππ,,62k k k k ω⋅=--∈Z ，令21k k k =-，则63,k k ω=-∈Z ，结合010ω<≤可得3ω=或9．当3ω=时，代入①得11ππ,4k k ϕ=+∈Z ，又π2ϕ<，所以π4ϕ=，此时()π2sin 34f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为πππ32044x -<+<，故()f x 在π,010⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，符合题意；当9ω=时，代入①得1ππ4k ϕ=-+，1k ∈Z ，又π2ϕ<，所以π4ϕ=-，此时()π2sin 94f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为23πππ92044x -<-<-，故()f x 在π,010⎛⎫-⎪⎝⎭上不是单调递增的，所以9ω=不符合题意，应舍去．综上，ω的值为3．故选：A .8.如图，已知长方体ABCD A B C D -''''中，2AB BC ==，AA '=，O 为正方形ABCD 的中心点，将长方体ABCD A B C D -''''绕直线OD '进行旋转．若平面α满足直线OD '与α所成的角为53︒，直线l α⊥，则旋转的过程中，直线AB 与l 夹角的正弦值的最小值为（）（参考数据：4sin535︒≈，3cos535︒≈）A.310B.410- C.310+ D.310+【答案】A 【解析】【分析】求出直线OD '与C D ''的夹角，可得C D ''绕直线OD '旋转的轨迹为圆锥，求直线OD '与l 的夹角，结合图形可知，当l 与直线D E '平行时，C D ''与l 的夹角最小，利用三角函数知识求解即可.【详解】在长方体ABCD A B C D -''''中，//AB C D ''，则直线AB 与l 的夹角等于直线C D ''与l 的夹角．长方体ABCD A B C D -''''中，2AB BC ==，AA '=，O 为正方形ABCD 的中心点，则2OD OC ==''，又2C D ''=，所以OC D '' 是等边三角形，故直线OD '与C D ''的夹角为60︒．则C D ''绕直线OD '旋转的轨迹为圆锥，如图所示，60C D O ∠=''︒．因为直线OD '与α所成的角为53︒，l α⊥，所以直线OD '与l 的夹角为37︒．在平面C D O ''中，作D E '，D F '，使得37OD E OD F '∠=∠='︒．结合图形可知，当l 与直线D E '平行时，C D ''与l 的夹角最小，为603723C D E ∠=︒-︒=''︒，易知603797C D F ∠=︒+︒=''︒．设直线C D ''与l 的夹角为ϕ，则2390ϕ︒≤≤︒，故当23ϕ=︒时sin ϕ最小，而()sin23sin 6037sin60cos37cos60sin37︒=︒-︒=︒︒-︒︒433sin60sin53cos60cos5310-=︒︒-︒︒≈，故直线AB 与l 的夹角的正弦值的最小值为43310-.故选：A【点睛】关键点点睛：解题中在平面C D O ''中，作D E '，D F '，使得37OD E OD F '∠=∠='︒，结合图形可知，当l 与直线D E '平行时，C D ''与l 的夹角最小，为603723C D E ∠=︒-︒=''︒是关键.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某机械制造装备设计研究所为推进对机床设备的优化，成立,A B 两个小组在原产品的基础上进行不同方向的研发，A 组偏向于智能自动化方向，B 组偏向于节能增效方向，一年后用简单随机抽样的方法各抽取6台进行性能指标测试（满分：100分），测得A 组性能得分为：91,81,82,96,89,73，B 组性能得分为：737096799488，，，，，，则（）A.A 组性能得分的平均数比B 组性能得分的平均数高B.A 组性能得分的中位数比B 组性能得分的中位数小C.A 组性能得分的极差比B 组性能得分的极差大D.B 组性能得分的第75百分位数比A 组性能得分的平均数大【答案】AD 【解析】【分析】根据计算公式分别计算,A B 两个小组的平均数、中位数、极差、第75百分位数，再对各选项逐一判断即可.【详解】由题意可得A 组性能得分的平均数为91818296897385.36+++++≈，B 组性能得分的平均数为73709679948883.36+++++≈，所以A 组性能得分的平均数比B 组性能得分的平均数高，A 说法正确；A 组性能得分738182899196，，，，，的中位数为828985.52+=，B 组性能得分707379889496，，，，，的中位数为798883.52+=，所以A 组性能得分的中位数比B 组性能得分的中位数大，B 说法错误；A 组性能得分的极差为967323-=，B 组性能得分的极差为967026-=，所以A 组性能得分的极差比B 组性能得分的极差小，C 说法错误；B 组性能得分707379889496，，，，，共6个数据，60.75 4.5⨯=，所以B 组性能得分的第75百分位数为94，比A 组性能得分的平均数大，D 说法正确；故选：AD10.嫁接，是植物的人工繁殖方法之一，即把一株植物的枝或芽，嫁接到另一株植物的茎或根上，使接在一起的两个部分长成一个完整的植株.已知某段圆柱形的树枝通过利用刀具进行斜辟，形成两个椭圆形截面，如图所示，其中,AC BD 分别为两个截面椭圆的长轴，且,,,A C B D 都位于圆柱的同一个轴截面上，AD 是圆柱截面圆的一条直径，设上､下两个截面椭圆的离心率分别为12,e e ，则能够保证CD ≥的12,e e 的值可以是（）A.12,32e e == B.121,25e e == C.12340,27e e == D.1232,34e e ==【答案】AD 【解析】【分析】根据勾股定理，结合离心率公式可得22222212111,1r r e n e m -=-=，即可根据n ≥得222111211e e -≥-，逐一代入即可求解.【详解】设2,2,2,AD r AB m CD n ===且n ≥，故BD AC ===故12e e ==，故22222212111,1r r e n e m-=-=，由于n ≥，故222n m ≥，故222222222111211r e n m r m e n -==≥-，即222111211e e -≥-，对于A，12,32e e ==，满足2221112211e e -=≥-，故A 正确，对于B，121,25e e ==，22211142131e e -=<-，故B 错误，对于B，12,27e e ==，2221112721401e e -=<-，故C 错误，对于D，12,34e e ==，22211172121e e -=>-，故D 正确，故选：AD11.对于任意实数,x y ，定义运算“⊕”x y x y x y ⊕=-++，则满足条件a b b c ⊕=⊕的实数,,a b c 的值可能为（）A.0.5log 0.3a =-，0.30.4b =，0.5log 0.4c =B.0.30.4a =，0.5log 0.4b =，0.5log 0.3c =-C.0.09a =，0.10.1b =e ，10ln 9c =D.0.10.1e a =，10ln 9b =，0.09c =【答案】BD 【解析】【分析】由a b b c ⊕=⊕，可得a b a b b c b c -++=-++，可得,b a b c ≥≥，故只需判断四个选项中的b 是否为最大值即可，利用函数函数0.5log y x =为减函数，0.4x y =为减函数可判断AB ；构造函数()()[)1e ,0,1x f x x x =-∈，利用单调性可得0.10.10.09e <，进而再构造函数()()[)ln 1,0,1ex x h x x x =+-∈，求导可得()()()21e e 1x xx h x x --'=-，再构造函数()()21e xx x ω=--，利用单调性可判断CD ．【详解】由a b b c ⊕=⊕，可得a b a b b c b c -++=-++，即a b b c c a ---=-，若,a b c b ≤≤，可得a b b c c a ---=-，符合题意，若,a b c b ≤>，可得2a b b c b a c ---=--，不符合题意，若,a b c b >≤，可得a b b c a c ---=-，不符合题意，若a b c b >>,，可得2a b b c c a b ---=+-，不符合题意，综上所述0a b -≤，0b c -≥，可得,b a b c ≥≥，故只需判断四个选项中的b 是否为最大值即可．对于A ，B ，由题知0.50.50.510log 0.3log log 103-=<=，而0.3000.40.41<<=，0.50.5log 0.4log 0.51>=，所以0.30.50.5log 0.30.4log 0.4-<<．（点拨：函数0.5log y x =为减函数，0.4x y =为减函数），对于A ，a b c <<；对于B ，c a b <<，故A 错误，B 正确．对于C ，D ，()0.10.10.10.090.9e 10.1e 0.1e ==-，（将0.9转化为10.1-，方便构造函数）构造函数()()[)1e ,0,1x f x x x =-∈，则()e xf x x '=-，因为[)0,1x ∈，所以()()0,f x f x '≤单调递减，因为()01f =，所以()0.11f <，即0.10.9e 1<，所以0.10.10.09e <．（若找选项中的最大值，下面只需判断0.10.1e 与10ln 9的大小即可）()10.10.10.10.10.1100.190.190.1ln ln ln ln 10.1e 9e 10e 10e -⎛⎫-=-=+=+- ⎪⎝⎭，构造函数()()[)ln 1,0,1e x x h x x x =+-∈，则()()()21e 11e 1e 1x x xx x h x x x ---=--'=-，因为[)0,1x ∈，所以()e 10xx ->，令()()21e x x x ω=--，则()()21e xx x ω=---'，当[)0,1x ∈时，()()0,x x ωω'<单调递减，因为()00ω=，所以()0x ω≤，即()()0,h x h x '≤单调递减，又()00h =，所以()0.10h <，即()0.10.1ln 10.10e+-<，所以0.10.110ln e 9<．综上，0.10.1100.09ln e 9<<．对于C ，a b c <<；对于D ，c a b <<，故C 错误，D 正确．（提醒：本题要比较0.09与10ln 9的大小关系的话可以利用作差法判断，即()11090.09ln 0.10.9ln 10.90.9ln0.9910-⎛⎫-=⨯-=-⨯+ ⎪⎝⎭，构造函数()()(]1ln ,0,1g x x x x x =-+∈，则()()()221112112x x x x g x x x x x+-+-++='=-+=，因为(]0,1x ∈，所以()()0,g x g x '≥单调递增，因为()10g =，所以()0.90g <，即100.09ln 09-<，所以100.09ln 9<）故选：BD.【点睛】方法点睛：本题考查定义新运算类的题目，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，构造函数，利用函数的单调性与最值比较数的大小.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在复平面内，复数z 对应的点为()1,1，则21zz-=+______．【答案】13i 55-【解析】【分析】根据复数的几何意义可得1i z =+，即可由复数除法运算求解.【详解】由于复数z 对应的点为()1,1，所以1i z =+，故()()()()1i 2i 21i 13i 13i12i 2i 2i 555z z -----=+++-===-，故答案为：13i55-13.写出一个同时满足下列条件①②③的数列的通项公式n a =______.①m na a m n--是常数，*,m n ∈N 且m n ≠；②652a a =；③的前n 项和存在最小值.【答案】4n -（答案不唯一）【解析】【分析】根据等差数列的特征，不妨选择等差数列，然后根据题目条件利用等差基本量的运算求解通项公式，即得解.【详解】由题意，不妨取数列为等差数列，设其首项为1a ，公差为d ，由②可知()61515224a a d a a d =+==+，则13a d =-，又m na a d m n-=-是常数，满足①，由③的前n 项和存在最小值，故等差数列单调递增，取1d =，则13a =-，故4n a n =-，此时当3n =或4n =时，的前n 项和取到最小值为6-，所以同时满足条件①②③的数列的一个通项公式4n a n =-.故答案为：4n -（答案不唯一）14.清代数学家明安图所著《割圆密率捷法》中比西方更早提到了“卡特兰数”（以比利时数学家欧仁･查理･卡特兰的名字命名）.有如下问题：在n n ⨯的格子中，从左下角出发走到右上角，每一步只能往上或往右走一格，且走的过程中只能在左下角与右上角的连线的右下方（不能穿过，但可以到达该连线），则共有多少种不同的走法？此问题的结果即卡特兰数122C C nn n n --.如图，现有34⨯的格子，每一步只能往上或往右走一格，则从左下角A 走到右上角B 共有__________种不同的走法；若要求从左下角A 走到右上角B 的过程中只能在直线AC 的右下方，但可以到达直线AC ，则有__________种不同的走法.【答案】①.35②.14【解析】【分析】根据题意，由组合数的意义即可得到结果，结合卡特兰数的定义，即可得到结果.【详解】从左下角A 走到右上角B 共需要7步，其中3步向上，4步向右，故只需确定哪3步向上走即可，共有37C 35=种不同的走法；若要求从左下角A 走到右上角B 的过程中只能在直线AC 的右下方（不能穿过，但可以到达该连线），则由卡特兰数可知共有4388C C 14-=种不同的走法，又到达右上角D 必须最后经过B ，所以满足题目条件的走法种数也是14.故答案为：35；14四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知M 为圆229x y +=上一个动点，MN 垂直x 轴，垂足为N ，O 为坐标原点，OMN 的重心为G .（1）求点G 的轨迹方程；（2）记（1）中的轨迹为曲线C ，直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，点(0,1)Q ，若点)3,0H 恰好是ABQ的垂心，求直线l 的方程.【答案】（1）()22104x y xy +=≠（2）1635y x =-【解析】【分析】（1）设()()00,,,G x y M x y ，根据G 为OMN 的重心，得00233x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入22009x y +=，化简即可求解.（2）根据垂心的概念求得l k =l 方程，与椭圆联立韦达定理，利用AH BQ ⊥得2211y x -=-，将韦达定理代入化简即可求解.【小问1详解】设()()00,,,G x y M x y ，则()0,0N x ，因G 为OMN 的重心，故有：00233x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得003,32x x y y ==，代入22009x y +=，化简得2214x y +=，又000x y ≠，故0xy ≠，所以G 的轨迹方程为()22104x y xy +=≠.【小问2详解】因H 为ABQ 的垂心，故有,AB HQ AH BQ ⊥⊥，又33HQ k ==-，所以l k =，故设直线l的方程为()1y m m =+≠，与2214x y +=联立消去y得：2213440++-=x m ，由2Δ208160m =->得213m <，设()()1122,,,A x y B x y，则2121244,1313m x x x x --+==，由AH BQ ⊥2211y x -=-，所以()211210x x mm -+++-=，所以)()21212410x x m x x m m +-++-=，所以()()()22444241130m m m m m ---+-=，化简得2511160m m +-=，解得1m =（舍去）或165m =-（满足Δ0>），故直线l 的方程为165y =-.16.如图，四边形ABDC 为圆台12O O 的轴截面，2AC BD =，圆台的母线与底面所成的角为45°，母线长，E 是 BD的中点．（1）已知圆2O 内存在点G ，使得DE ⊥平面BEG ，作出点G 的轨迹（写出解题过程）；（2）点K 是圆2O 上的一点（不同于A ，C ），2CK AC =，求平面ABK 与平面CDK 所成角的正弦值．【答案】（1）答案见解析（2）47035【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，过B 作下底面的垂线交下底面于点G ，过G 作BE 的平行线，交圆2O 于1G ，2G ，即可求出结果；（2）建立空间直角坐标系，根据条件，求出平面ABK 和平面CDK ，利用面面角的向量法，即可求出结果.【小问1详解】E 是 BD的中点，DE BE ∴⊥．要满足DE ⊥平面BEG ，需满足DE BG ⊥，又DE ⊂ 平面BDE ，∴平面BEG ⊥平面BDE 如图，过B 作下底面的垂线交下底面于点G ，过G 作BE 的平行线，交圆2O 于1G ，2G ，则线段12G G 即点G 的轨迹．【小问2详解】易知可以2O 为坐标原点，2O C ，21O O 所在直线分别为y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系2O xyz -，，母线与底面所成角为45°，2AC BD =，22O A ∴=，11O B =，121O O =，取K 的位置如图所示，连接2O K，2CK AC = ，260CO K ∴∠=︒，即230xO K ∠=︒，则)K，()0,2,0A -，()0,1,1B -，()0,2,0C ，()0,1,1D ，则)AK =，)2,1BK =-，)1,0CK =-，)1DK =-．设平面ABK 的法向量为()111,,n x y z =，则00n AK n BK ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111113020y y z +=+-=，令1x =11z =，11y =-，)1,1n ∴=-．设平面CDK 的法向量为()222,,m x y z =，则00m CK m DK ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222200y z -=-=，令2x =，则23z =，23y =，)m ∴=．设平面ABK 与平面CDK 所成的角为θ，则cos 35n mn mθ⋅===⋅ ，470sin 35θ∴==．17.素质教育是当今教育改革的主旋律，音乐教育是素质教育的重要组成部分，对于陶冶学生的情操、增强学生的表现力和自信心、提高学生的综合素质等有重要意义．为推进音乐素养教育，培养学生的综合能力，某校开设了一年的音乐素养选修课，包括一个声乐班和一个器乐班，已知声乐班的学生有24名，器乐班的学生有28名，课程结束后两个班分别举行音乐素养过关测试，且每人是否通过测试是相互独立的．（1）声乐班的学生全部进行测试．若声乐班每名学生通过测试的概率都为p （01p <<），设声乐班的学生中恰有3名通过测试的概率为()fp ，求()f p 的极大值点0p ．（2）器乐班采用分层随机抽样的方法进行测试．若器乐班的学生中有4人学习钢琴，有8人学习小提琴，有16人学习电子琴，按学习的乐器利用分层随机抽样的方法从器乐班的学生中抽取7人，再从抽取的7人中随机抽取3人进行测试，设抽到学习电子琴的学生人数为ζ，求ζ的分布列及数学期望．【答案】（1）18（2）分布列见解析，()127E ζ=【解析】【分析】（1）根据独立重复试验求出概率，再利用导数求极值；（2）先借助分层抽样确定随机变量ζ的所有可能取值，求出其分布列，最后求期望.【小问1详解】24名学生中恰有3名通过测试的概率()()213324C 1f p p p =⋅-，则()()()()()212020323322424C 31211C 3118f p p p p p p pp '⎡⎤=---=⋅--⎣⋅⎦，01p <<，令()0f p '=，得18p =，所以当108p <<时，()0f p '>，()f p 单调递增；当118p <<时，()0f p '<，()f p 单调递减，故()f p 的极大值点018p =．【小问2详解】利用分层随机抽样的方法从28名学生中抽取7名，则7名学生中学习钢琴的有1名，学习小提琴的有2名，学习电子琴的有4名，所以ζ的所有可能取值为0，1，2，3，()3337C 10C 35P ζ===，()213437C C 121C 35P ζ===，()123437C C 182C 35P ζ===，()3437C 43C 35P ζ===，则随机变量ζ的分布列为ζ0123P13512351835435()112184120123353535357E ζ=⨯+⨯+⨯+⨯=．18.已知数列为等比数列，为等差数列，且112a b ==，858a a =，48a b =.（1）求，的通项公式；（2）数列()1122241n n b ππ⎤⎛⎫-+ ⎪⎥⎝⎭⎦⎧⎫-⋅⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，集合*422N n n n S b A nt n n a ++⎧⎫⋅⎪⎪=≥∈⎨⎬⋅⎪⎪⎩⎭，共有5个元素，求实数t 的取值范围；（3）若数列{}n c 中，11c =，()22log 2114nn n a c n b =≥-，求证：1121231232n c c c c c c c c c c +⋅+⋅⋅++⋅⋅< .【答案】（1）2n n a =，2n b n =（2）147(25,]4.（3）证明见解析【解析】【分析】（1）设数列的公比为q ，数列的公差为d ，由已知易得38q =，82716b d =+=，可求n a ，n b ；（2）设数列()1122241n nn d b ππ⎤⎛⎫-+ ⎪⎥⎝⎭⎦=-⋅，可求得441424312848n n n n d d d d n ---+++=-，4nS =(6416)n n +，进而可得422(328)(2)2n n nn S b n n na ++++= ，可得(1)(2)(3)(4)()f f f f f n <>>>> ，可求t 的取值范围为147(25,]4.（3）123n c c c c ⋅⋅ 112[]!(1)!n n =-+，进而计算可得不等式成立.【小问1详解】设数列的公比为q ，数列的公差为d ，则由858a a =，38q =，所以2q =，所以112n nn a a q -==，416a =，即82716b d =+=，所以2=d ，所以1(1)2(1)22n b b n d n n =+-=+-⨯=；【小问2详解】设数列()1122241n nn d b ππ⎤⎛⎫-+ ⎪⎥⎝⎭⎦=-⋅，则22224414243441424312848n n n n n n n n d d d d b b b b n ------+++=+--=-，所以412344342314(1284880)()()2n n n n n n n S d d d d d d d d ----+=++++++++=(6416)n n =+，4222(6416)2(2)(328)(2)22n n n nn S b n n n n na +++++++== ，令(328)(2)()2n n n f n ++=，1(3240)(3)(328)(2)(1)()22n nn n n n f n f n ++++++-=-()22144113288822n nn n n n +--+---==，可得(1)(2)(3)(4)()f f f f f n <>>>> ，故当2n =时，()f n 最大，且147(1)60(5)(6)254f f f ===，，所以147254t <≤，即t 的取值范围为147(25,4.【小问3详解】由11,c =222log (2)11(1)(1)14n n n a n nc n n n n b ===≥-+--，则当2n ≥时，()()()1232311324113451n n n c c c c n n n n ⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯⨯+ 211112[]2[](1)!(1)!!(1)!n n n n n n +-===-+++，当1n =时，11c =也满足上式，所以12*3112[](N )!(1)!n n n c n c c c =-⋅⋅∈+ ，1121231231111112[1]222!2!3!!(1)!(1)!n c c c c c c c c c c n n n =-+-++-=-⋅<++⋅+⋅⋅+⋅++ ，所以原不等式成立.19.设有n 维向量12n a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭ ，12n b b b b ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭ ，称1122,n n a b a b a b a b ⎡⎤=++⋅⋅⋅+⎣⎦ 为向量a 和b 的内积，当,0a b ⎡⎤=⎣⎦ ，称向量a 和b 正交．设n S 为全体由1-和1构成的n 元数组对应的向量的集合．（1）若1234a ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，写出一个向量b ，使得,0a b ⎡⎤=⎣⎦．（2）令[]{},,n B x y x y S =∈．若m B ∈，证明：m n +为偶数．（3）若4n =，()4f 是从4S 中选出向量的个数的最大值，且选出的向量均满足,0a b ⎡⎤=⎣⎦ ，猜测()4f 的值，并给出一个实例．【答案】（1）1110b ⎛⎫⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭（答案不唯一）（2）证明见解析（3）()44f =，答案见解析.【解析】【分析】（1）根据定义写出满足条件的即可；（2）根据,n x y S ∈，结合定义，求出[],x y ，即可得证；（3）利用反证法求证.【小问1详解】由定义，只需满足13420234b b b b +++=，不妨取1110b ⎛⎫⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭（答案不唯一）．【小问2详解】对于m B ∈，1i =，2，⋅⋅⋅，n ，存在12n x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭ ，{}1,1i x ∈-，12n y y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，{}1,1i y ∈-，使得[],x y m = ．当=i i x y 时，1i i x y =；当≠i i x y 时，1=-i i x y ．令1,0,i i i ii x y x y λ=⎧=⎨≠⎩，1λ==∑n i i k ．所以[]()1,2n i i i x y x y k n k k n ===--=-∑ ．所以22+=-+=m n k n n k 为偶数．【小问3详解】当4n =时，可猜测互相正交的4维向量最多有4个，即()44f =．不妨取11111a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，21111a -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭ ，31111a -⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，41111a ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，则有[]12,0a a = ，[]13,0a a = ，[]14,0a a = ，[]23,0a a = ，[]24,0a a = ，[]34,0a a = ．若存在5a ，使[]15,0a a = ，则51111a -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ 或1111⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭或1111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭．当51111a -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭时，[]45,4a a =- ；当51111a ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭时，[]25,4a a =- ；当51111a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭时，[]35,4a a =- ，故找不到第5个向量与已知的4个向量互相正交．。
江苏省海门中学2025届高三上学期第一次调研考试数学试题(含答案)
2024/2025学年度高三第一次调研测试数学2025．09 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．命题“x∈N,x2＞0”的否定为A.x∈N,x2≤0B.x∈N,x2≤0C.x∈N,x2＞0D.x∈N,x2＜02．已知集合A＝{x||x|＜2,x∈Z},B＝{x|y＝ln(3x－x2)}，则A∩B＝A.{x|0＜x＜2}B.{x|－2＜x＜3}C.{1}D.{0,1,2} 3．已知点P(3,－4)是角α终边上一点，则cos2α＝A.B.－C.D.－4．已知函数f(x)＝在R上单调递减，则实数a的取值范围为A.a＜0B.a＞－C.－＜a＜0D.0≤a＜5．已知函数f(x)部分图象如图所示，则其解析式可能为A.f(x)＝x2(e x－e－x)B.f(x)＝x2(e x＋e－x)C.f(x)＝x(e x－e－x)D.f(x)＝x(e x＋e－x)6．过点(3,1)作曲线y＝ln(x－1)的切线，则这样的切线共有A.0条B.1条C.2条D.3条7．锐角α、β满足sin β＝cos(α＋β)sin α，若tan α＝，则cos(α＋β)＝A.B.C.D.－8．若函数f(x)＝sin2ωx－2cos2 ωx＋ (ω＞0)在(0,)上只有一个零点，则ω的取值范围为A.(，］B.［，）C.(,］D.［，)二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．己知0＜a＜1－b＜1，则A.0＜b＜1B.a＞bC.a－b＜1D.ab＜10．已知x1,x2,x3是函数f(x)＝x3－a2x＋1的三个零点(a＞0，x1＜x2＜x3)，则A.a3＞B.x1＜0＜x2C.f’(x1)＝f’(x3)D.11．若定义在R上的函数f(x)的图象关于点(2,2)成中心对称，且f(x＋1)是偶函数，则A.f(x)图象关于x＝0轴对称B.f(x＋2)－2为奇函数C.f(x＋2)＝f(x)D.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。
2025届泸州市泸县五中高三数学上学期第一次模拟考试卷及答案解析
泸县五中高2022级高三上期第一次诊断性考试数学试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.第I 卷1至2页，第II 卷3至4页.共150分.考试时间120分钟.第I 卷（选择题 共58分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1. 已知全集U =R ，集合{|11}A x x =-<，{|1B x x =<或4}x ³，则()U A B =U ð（ ）A. {|12}x x <<B. {|04}x x <<C. {|12}x x £<D. {|04}x x <£【答案】B 【解析】【分析】根据并集、补集的定义进行计算得出结果.【详解】由{|1B x x =<或4}x ³得{|14}U B x x =£<ð，又{{|11}|02}A x x x x =-<=<<，所以(){|04}U x A x B =<<U ð.故选：B.2. 命题“(),1x $Î-¥，3210x x +-<”的否定是（ ）A. [1,]x $Î+¥，3210x x +-≥ B. (),1x $Î-¥，3210x x +-≥C. [1,]x "Î+¥，3210x x +-≥ D. (),1x "Î-¥，3210x x +-≥【答案】D 【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得：命题“(),1x $Î-¥，3210x x +-<”的否定是“(),1x "Î-¥，3210x x +-≥”.故选：D.3. 已知sin 4πsin 3aa =æö-ç÷èø，则tan a =（ ）A. -B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】由正弦展开式和三角函数化简求值得出.【详解】sin 4πsin 3a a ==æö-ç÷èø，4=，所以tan 2tan a a =，解得tan a =故选：D4.已知tan q =，则cos2q =（ ）A. 89-B.89C. 79-D.79【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用二倍角公式，结合正余弦齐次式法计算即得.【详解】由tan q =，得22222222cos sin 1tan 7cos2cos sin cos sin 1tan 9q q q q q q q q q --=-===-++.故选：C5. 将函数()cos3f x x =的图象向右平移π6个单位，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的一条对称轴方程是（ ）A. π2x =B. π3x =C. π9x = D. π18x =【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的图象变换及诱导公式结合三角函数的性质即可判定.【详解】由题意得()ππcos 3cos 3sin 362g x x x x éùæöæö=-=-=ç÷ç÷êúèøèøëû显然由()()πππ3πZ Z 263k x k k x k =+ÎÞ=+Î，当1k =时，π2x =是其一条对称轴，而B 、C 、D 三项，均不存在整数k 满足题意.故选：A6. {}n a 为等差数列，若11100a a +<，1190a a +>，那么n S 取得最小正值时，n 的值（ ）A. 11 B. 17C. 19D. 21【答案】C 【解析】【分析】由等差数列的性质可得10110,0a a ><，从而得0d <，由1()2n n n a a S +=，结合条件得到19200,0S S ><，即可求解．【详解】因为11100a a +<，1191020a a a +=>，所以10110,0a a ><，故等差数列{}n a 的公差0d <，又1()2n n n a a S +=，又11120100a a a a +=+<，1191020a a a +=>，得到1202020()02a a S +=<，1191919()02a a S +=>，所以n S 取得最小正值时，n 的值为19，故选：C.7. 如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，P 是以AB 为直径的半圆弧上任意一点，设(,)AE xAD y AP x y =+ÎR uuu r uuu r uuu r，则2x y +的最小值为（ ）A. 1-B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，设00(,)P x y ，利用坐标法将,x y 用P 点坐标表示，即可求出2x y +的最小值.【详解】以A 点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设2AB =，00(,)P x y ，则(0,0)A ，(0,2)D ，(2,1)E ，半圆的方程为22(1)1(0)x y y -+=³，所以(2,1)AE =uuu r ，(0,2)AD =uuu r ，00(,)AP x y =uuu r，因为(,)AE xAD y AP x y =+ÎR uuu r uuu r uuu r，即00(2,1)(0,2)(,)x y x y =+，所以00212yx x yy =ìí=+î，即0002221y x y x x ì=ïïíï=-ïî，所以01212y x y x -+=+×，又00(,)P x y 是半圆上的任意一点，所以01cos x θ=+，0sin y q =，[0,]q p Î，所以1sin 2121cos θx y θ-+=+×+，所以当2pq =时，2x y +取得最小值1.故选：B【点睛】关键点点睛：本题主要考查二元变量的最值求法，关键是根据已知把几何图形放在适当的坐标系中，把有关点与向量用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.8. 已知函数ln ,0()ln(),0ax x x f x ax x x ->ì=í+-<î，若()f x 有两个极值点12,x x ，记过点11(,())A x f x ，22(,())B x f x 的直线的斜率为k ，若02e k <£，则实数a 的取值范围为（ ）A. 1,e e æùçúèûB. 1,2eæùçúèûC. (e,2e]D. 12,2eæ+ùçúèû【答案】A【解析】【分析】当0x >时，求导，根据()f x 有两个极值点可得0a >，由奇函数的定义可得()f x 为奇函数，不妨设210x x =->，则有21x a =，所以1,1ln B a a æö+ç÷èø，()1,1ln A a a æö--+ç÷èø.由直线的斜率公式k 的表达式，可得1(1ln ),e k a a a =+>，令1()(1ln ),e h a a a a =+>，利用导数可得()h a 在1,e æö+¥ç÷èø上单调递增，又由10,(e)2e e h h æö==ç÷èø，根据单调性可得实数a 的取值范围.【详解】当0x >时，函数()ln f x ax x =-的导数为()11ax f x a x x-¢=-=，由函数()f x 由两个极值点得0a >.当10x a<<时，()0f x ¢<，()f x 单调递减；当1x a>时，()0f x ¢>，()f x 单调递增.故当0x >时，函数()f x 的极小值点为1x a=.当0x <时，则0x ->，则()()()()()ln ln f x a x x ax x f x -=---=-+-=-éùëû，同理当0x >时，也有()()f x f x -=-，故()f x 为奇函数.不妨设210x x =->，则有21x a =，所以1,1ln B a a æö+ç÷èø，可得()1,1ln A a a æö--+ç÷èø，由直线的斜率公式可得2121()()(1ln ),0f x f x k a a a x x -==+>-，又0,1ln 0k a >+>，所以1e >a 设()1(1ln ),eh a a a a =+>，得()2ln 1(1ln )0h a a a =+=++>¢，所以()h a 在1,eæö+¥ç÷èø上单调递增，又由10,(e)2e e h h æö==ç÷èø，.由02e k <<，得()1()e e h h a h æö<£ç÷èø，所以1e ea <£.故选:A.【点睛】对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()(),12,-¥+¥U ，则（）A. 0a >且0c >B. 不等式0bx c +>的解集是23x x ìü>íýîþC. 0a b c -+>D. 不等式20cx bx a ++<的解集为1,12æöç÷èø【答案】ACD 【解析】【分析】由题意可知a >0且1和2是方程ax 2+bx +c =0的两个根,根据韦达定理可得3,2b a c a =-=，由此易判断A,将b c 、替换成a ，由此可求B 、D ，结合二次函数的图象可以判断C.【详解】Q 关于的的不等式20ax bx c ++>的解集为()(),12,¥¥-È+,0a \>且1和2是方程ax 2+bx +c =0的两个根,12123,2b cx x x x a a\+=-===，3,2b a c a \=-=对A,0,20a c a >\=>Q ，故A 正确.对B,3,2,0b a c a bx c =-=\+>Q 可化为320ax a -+>0320a x >\-+>Q ,解的23x <,\不等式0bx c +>的解集为23x x ìü<íýîþ，故B 错误.对C,0a >Q ，1和2是方程ax 2+bx +c =0的两个根,且二次函数y =ax 2+bx +c 开口向上,\当x =―1时，0y >，即0a b c -+>，故C 正确.对D ，不等式20cx bx a ++<可化为2230ax ax a -+<,202310a x x >\-+<Q ,即()()2110x x --<，解得112x <<，\不等式20cx bx a ++<的的集为1{1}2x x <<∣，故D 正确.故选：ACD10. 已知函数2()log (1)f x x =-，若12x x ＜，12()()f x f x =，则（ ）A. 122x x ＜＜ B. 122x x ＜＜ C.12111x x +=D. 1223x x ++＞【答案】ACD 【解析】【分析】作出函数2()log (1)f x x =-的图象，根据12x x ＜，12()()f x f x =，结合函数图象逐项判断.【详解】作出函数2()log (1)f x x =-的图象，如图所示：因为12x x ＜，12()()f x f x =，由图象可知：12122,x x <＜＜，故A 正确；B 错误；由12()()f x f x =，得2122log (1)log (1)x x -=-，即2122log (1)log (1)x x --=-，所以12(1)(1)1x x --=，即1212x x x x =+，所以12111x x +=，故C 正确；因为121223(1)2(1)x x x x +=-+-³=-12(1)2(1)x x -=-时，等号成立，因12x x ＜，所以122(1)12(1)x x x -<-<-，所以取不到等号，故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题关键是将12()()f x f x =转化为12(1)(1)1x x --=而得解.11. 已知数列{}n a 满足11a =，211n n a a +=+，则（ ）A. 2n a n³ B. 12n n a -³C. 12161n n a -³+ D. 122log 4n n a -³【答案】BCD 【解析】【分析】先证明{}n a 是递增数列，且各项均为正，由递推公式求得234,,a a a 发现A 错误，然后由递推关系利用基本不等式变成不等式2n n a a ³，让n 依次减1进行归纳得出B 正确，由递推式适当放缩得222421()n n n n a a a a ++>>=，这样对2n a 进行归纳得出21444222242()()()n n n n a a a a --->>>>L 142n -=，此不等式两边取以2为底的对数可证明选项D ，对142n -由指数幂运算法则变形为1244216n n --=，然后证明241n n ->-，再结合{}n a 是正整数可得证C ．【详解】221131()024n n n n n a a a a a +-=-+=-+>，∴1n n a a +>，{}n a 是递增数列，又11a =，所以0n a >，22a =，35a =，426a =，233a <，A 显然错误；2211112222n n n n n n a a a a a +-=+³³³³=L ，∴12n n a -³，B 正确；对选项C ，222421()n n n n a a a a ++>>=，∴244442222424()()n n n n a a a a --->>=，依此类推：21444222242()()()n n n n a a a a --->>>>L 142n -=，1244216n n --=，下证241n n -³-，1n =时，140-³，2n =时，0411=³，3n =时，242>，假设n k =时，241k k -³-成立，2k >，为则1n k =+时，1224444(1)(1)1k k k k +--=׳->+-，所以对任意不小于3的正整数n ，241n n ->-，所以24121616n n n a --=>，又2n a 是正整数，所以12161n n a -³+，C 正确；对选项D ，由选项C 得1422n n a -³，所以141222log log 24n n n a --³=， D 正确．故选：BCD ．第II 卷（非选择题共92分）注意事项：（1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效.（2）本部分共8个小题，共92分.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.12. 已知函数()2log ,02,12,2,2x x f x x x ì<£ï=í-+>ïî则()()3f f =______.【答案】1【解析】【分析】结合分段函数解析式，由内向外计算即可.【详解】由题意得()1133222f =-´+=，211log 122f æö==ç÷èø.所以((3))1f f =，故答案为：1.13. 计算：14cos10tan10-=o o____________【解析】【分析】切化弦，通分后结合二倍角和两角和差正弦公式可化简求得结果.【详解】1cos10cos104sin10cos10cos102sin 204cos104cos10tan10sin10sin10sin10---=-==o o o o o o o oo o o o()cos102sin 3010sin10--====o o o o.14. 已知函数2()(1)ln 2x f x mx x mx =-+-，函数()()g x f x ¢=有两个极值点12,x x ．若110,e x æùÎçúèû，则()()12g x g x -的最小值是______.【答案】4e【解析】【分析】求导后可知12,x x 是方程210x mx ++=在()0,¥+上的两根，结合韦达定理可得211x x =，111a x x æö=-+ç÷èø；将()()12g x g x -化为11111112ln 2x x x x x æöæö-++-ç÷ç÷èøèø，令()11122ln 0e h x x x x x x x æöæöæö=--+<£ç÷ç÷ç÷èøèøèø，利用导数可求得()min h x ，从而得到结果.【详解】因为2()(1)ln 2x f x mx x mx =-+-，令()()g x f x ¢=()11ln ln 0mx m x x m m x x x x x-=++-=+->，因为()222111m x mx g x x x x++=++=¢，()g x 有两个极值点12,x x ，所以12,x x 是方程210x mx ++=在()0,¥+上的两根，所以12x x m +=-，121x x =，所以211x x =，111m x x æö=-+ç÷èø，所以()()1211221211ln ln g x g x m x x m x x x x -=+---+111111*********ln ln 2ln 2m x x m x x x x x x x x x æöæö=+-+-+=-++-ç÷ç÷èøèø，设()11122ln ,0e h x x x x x x x æöæöæö=--+<£ç÷ç÷ç÷èøèøèø，则()()()222221122122ln 21ln x x h x x x x x x x +-æöæö¢=+---+=-ç÷ç÷èøèø，所以当10,ex æùÎçúèû时，()0h x ¢<，所以()h x 在10,e æùçúèû上单调递减，所以()min 11142e 2e e e e eh x h æöæöæö==-++=ç÷ç÷ç÷èøèøèø，即()()12g x g x -的最小值为4e .故答案为：4e.【点睛】思路点睛：本题考查利用导数求解函数最值的问题；本题求解最值的基本思路是将多个变量统一为关于一个变量的函数的形式，通过构造函数将问题转化为函数最值的求解问题.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知函数()()sin f x x w j =+（其中0w >，π02j <<）的最小正周期为π，且___________.①点π,112æöç÷èø在函数()y f x =的图象上；②函数()f x 的一个零点为π6-；③()f x 的一个增区间为5ππ,1212æö-ç÷èø.请你从以上三个条件选择一个（如果选择多个，则按选择的第一个给分），补充完整题目，并求解下列问题：（1）求()f x 的解析式；（2）用“五点作图法”画出函数()f x 一个周期内的图象.【答案】（1）无论选哪个条件，函数()f x 的解析式均为()πsin 23f x x æö=+ç÷èø. （2）答案见解析【解析】【分析】（1）若选①，则ππsin 211212f j æöæö=´+=ç÷ç÷èøèø，若选②，则ππsin 063f j æöæö-=-+=ç÷ç÷èøèø，若选③，则5ππππ,,6622j j æöæö-++=-ç÷ç÷èøèø，由此求出分别求出j 即可得解.（2）直接用“等距法”按照五点画图的步骤作图即可.【小问1详解】由题意最小正周期为2ππ,>0T w w==，解得2w =，所以()()sin 2f x x j =+，若选①，则ππsin 211212f j æöæö=´+=ç÷ç÷èøèø，所以ππ2π,Z 62k k j +=+Î，又π02j <<，所以π0,3k j ==，所以函数()f x 的解析式为()πsin 23f x x æö=+ç÷èø；若选②，则ππsin 063f j æöæö-=-+=ç÷ç÷èøèø，所以ππ,Z 3k k j -+=Î，又π02j <<，所以π0,3k j ==，所以函数()f x 的解析式为()πsin 23f x x æö=+ç÷èø；若选③，即()f x 的一个增区间为5ππ,1212æö-ç÷èø，当5ππ,1212x æöÎ-ç÷èø时，5ππ2,66t x j j j æö=+Î-++ç÷èø，又π02j <<，由复合函数单调性可知，只能5ππππ,,6622j j æöæö-++=-ç÷ç÷èøèø，π3j =，所以函数()f x 解析式为()πsin 23f x x æö=+ç÷èø；综上所述，无论选哪个条件，函数()f x 的解析式均为()πsin 23f x x æö=+ç÷èø.【小问2详解】列表如下：xπ6-π12π37π125π6π23t x =+π2π3π22π()πsin 23f x x æö=+ç÷èø0101-0的描点、连线（光滑曲线）画出函数()f x 一个周期内的图象如图所示：16. 已知定义在R 上的函数1()1xxa f x a-=+（0a >且1a ¹）.（1）判断函数奇偶性，并说明理由；（2）若1(1)2f =-，试判断函数()f x 的单调性并加以证明；并求()10f x m +-=在[2,3]-上有解时，实数m 的取值范围.【答案】（1）()f x 为奇函数，理由见解析 （2）()f x 为减函数，证明见解析；51914,m éùÎêúëû【解析】【分析】（1）先判断函数的奇偶性，再利用定义证明即可.（2）求出参数值得到原函数，再转化为交点问题求解参数范围即可.【小问1详解】()f x 为奇函数对任意x ÎR ，都有R x -Î，且该函数的定义域为R ，显然关于原点对称，可得1111()()01111x x x x x x xx a a a a f x f x a a a a ------+-=+=+=++++.()f x \为奇函数.【小问2详解】当1(1)2f =-时，可得2111a a -+=-，解得3a =，此时13()13xxf x -=+在R 上为严格减函数，证明如下：任取21x x >，且12,R x x Î，则()()21212113131313x x x x f x f x ---=-++的()()()()()12121122123(13)(13)(13)(13)2131313133x x x x x x x x x x -+--++++=+-=，21x x >Q ，21330x x >>，()()210f x f x \-<，()f x \在R 上为严格减函数，而413(2),(4)513f f -=-=-，13()13xxf x -\=+在[2,3]-上的值域为13,5414éù-êúëû，要使()10f x m +-=在[2,3]-上有零点，此时等价于y m =与()1y f x =+在[2,3]-上有交点，而当[2,3]x Î-时，可得()1,,51914f x éù+Îêúëû故51914,m éùÎêúëû.17. 在ABCV 中，已知)tan tan tan tan 1A B A B +=-.（1）求C ；（2）记G 为ABC V 的重心，过G 的直线分别交边,CA CB 于,M N 两点，设,CM CA CN CB l m ==uuuu r uuu r uuu r uuu r .（i ）求11lm+的值；（ii ）若CA CB =，求CMN V 和ABC V 周长之比的最小值.【答案】（1）π3C = （2）（i ）3（ii ）23【解析】【分析】（1）借助三角形内角关系及两角和的正切公式化简并计算即可得；（2）（i ）设D 为AB 的中点，结合重心的性质及向量运算可得1133CG CM CN l m=+uuu r uuuu r uuu r，再利用三点共线定理即可得解；（ii ）由题意可得ABC V 为等边三角形，可设其边长为1，则可用,l m 表示两三角形周长之比，结合（i ）中所得与基本不等式即可得解.【小问1详解】由题可知()()tan tan tan tan πtan 1tan tan A BC A B A B A B+=--=-+=-=-又()0,πC Î，所以π3C =；【小问2详解】（i ）设D 为AB 的中点，则1122CD CA CB =+uuu r uuu r uuu r，又因为23CG CD =uuu r uuu r，所以11113333CG CA CB CM CN l m=+=+uuu r uuu r uuu r uuuu r uuu r ，因,,M G N 三点共线，所以11133l m +=，所以113l m+=；（ii ）由CA CB =，π3C =，可得ABC V 为等边三角形，设ABC V 的边长为1，CMN V 与ABC V 周长分别为12,C C ，则23C =，MN =，所以1C l m =+所以12C C =由113lm+=可得，3lm l =+，解得49lm ³，易知函数y x =4,9éö+¥÷êëø上单调递增，所以12C C lm =³所以CMN V 和ABC V 的周长之比的最小值为23.18. 已知等比数列{}n a 的各项均为正数，5462,,4a a a 成等差数列，且满足2434a a =，等差数列数列{b n }的前n 项和244,6,10n S b b S +==.（1）求数列{}n a 和{b n }的通项公式；（2）设{}*252123,,n n n n n n b d a n d b b +++=ÎN 的前n 项和n T ，求证：13n T <．（3）设()()n n n n b n c a b n ìï=í×ïî为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和.【答案】（1）1()2nn a =；n b n =（2）证明见解析 （3）2868994nn n ++-×【解析】为【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，等差数列{b n }的公差为d ，根据题意，列出方程组，分别求得11,,,a q b d 的值，即可求得数列{}n a 和{b n }的通项公式；（2）由（1）求得111(21)2(23)2[]2n n n d n n +-=+×+×，结合裂项法求和，求得数列{}n d 的前n 项和113(23)2n nT n =-+×，即可得证；（3）根据题意，求得数列{}n c 的通项公式，结合等差数列的求和公式和乘公比错位法求和，即可求解.【小问1详解】解：由等比数列{}n a 的各项均为正数，设公比为(0)q q >，因为5462,,4a a a 成等差数列，且满足2434a a =，可得4562432244a a a a a =+ìí=î，即()3451112321124a q a q a q a q a q ì=+ïí=ïî，即211214q q a q ì=+í=î，解得111,22a q ==，所以1111((222n nn a -=×=，设等差数列{b n }的公差为d ，因为2446,10b b S +==，可得112464610b d b d +=ìí+=î，解得11b d ==，所以1(1)1n b n n =+-´=，即数列{b n }的通项公式为n b n =.【小问2详解】证明：由（1）知1()2nn a =，n b n =，可得252123125111()(21)(23[)2(21)2(23)22n n n n n n n n b d a b b n n n n n +++++=×-+++×+×=，则()()11111111123254547878916212232n n n T n n +éùæöæöæöæö=-+-+-++-êúç÷ç÷ç÷ç÷ç÷××××××+×+×èøèøèøêúèøëûL 111112[]6(23)23(23)2n nn n +=×-=-+×+×，因为10(23)2n n >+×，所以1113(23)23n n -<+×，故13nT <.【小问3详解】解：因为()()n n n n b n c a b n ìï=í×ïî为奇数为偶数，可得,1,2n n n n c n n ìï=íæö×ïç÷èøî为奇数为偶数，则数列{}n c 的前2n 项和2111(1321)(2424162n n M n n =+++-+×+×++×L L ，令()2(121)13212n n n U n n +-=+++-==L ，令21112424162n n V n =×+×++×L ，则221111242416642n n V n +=×+×++×L ，两式相减得21222211(1)3111111242214283222214n n n n n n n -++×-=++++-×=-×-L 21212141112341()3222332n n n n n ++++=×--×=-×，所以8681868994994n n nn n V ++=-×=-×，所以数列{}n c 的前2n 项和2868994n n n nn M U V n +=+=+-×.19. 已知函数()()()ln 3cos 2f x x x =-+-的图象与()g x 的图象关于直线1x =对称.（1）求函数()g x 的解析式；（2）若()1g x ax -£在定义域内恒成立，求a 的取值范围；（3）求证：()2*11ln 2ni n g n n i =+æö<+Îç÷èøåN .【答案】（1）()()ln 1cos g x x x =++ （2）1 （3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据两函数关于1x =对称求解析式即可；（2）先探求1a =时成立，再证明当1a =时恒成立，证明过程利用导数求出函数极大值即可；（3）根据（2）可得111g i i æö£+ç÷èø，转化为211111112212ni n g n i n n n n =+æöæö£+++++ç÷ç÷++-èøèøåL ，再由()11ln ln 1ln 1n n n n n+<=+-+，累加相消即可得证.【小问1详解】设()g x 图象上任意一点00(,)P x y ，则其关于直线1x =的对称点为00(2,)P x y ¢-，由题意知，P ¢点在函数()f x 图象上，所以()()()000002ln 1cos y g x f x x x ==-=++，所以()()ln 1cos g x x x =++.【小问2详解】不妨令()()1ln(1)cos 1(1)h x g x ax x x ax x =--=++-->-，则()0≤h x 在(1,)-+¥上恒成立，注意到(0)0h =且()h x 在(1,)Î-+¥x 上是连续函数，则0x =是函数()h x 的一个极大值点，所以(0)0h ¢=，又()1sin 1h x x a x ¢=--+，所以()010h a =¢-=，解得 1.a =下面证明：当1a =时，()0≤h x 在()1,x ¥Î-+上恒成立，令()()()ln 11x x x x j =+->-，则()1111x x x x j -=-=¢++，当(1,0)x Î-时，()0x j ¢>，()j x 单调递增；当(0,)x Î+¥时，()0,()x x j j ¢<单调递减，所以()(0)0x j j £=，即ln(1)x x +£在(1,)Î-+¥x 上恒成立，又cos 10x -£，所以()0≤h x ，综上，1a =.【小问3详解】由（2）知，()1g x x -£，则111g i iæö-£ç÷èø，111g i iæö\£+ç÷èø，211111112212ni n g n i n n n n =+æöæö\£+++++ç÷ç÷++-èøèøåL ，又由（2）知：ln(1)x x +£在(1,)-+¥恒成立，则ln 1£-x x 在(0,+∞)上恒成立，当且仅当1x =时取等号，则令()*0,1,N 1nx n n =ÎÎ+，则1<1ln 1n n n +-+，()11ln ln 1ln .1n n n n n +\<=+-+()()()()()111ln 1ln ln 2ln 1ln 2ln 21ln 2.122n n n n n n n n n\+++<+-++-+++--=++L L()2*11ln 2ni n g n n i =+æö\<+Îç÷èøåN ，证毕.【点睛】关键点点睛：在证明第（3）问时，关键应用（2）后合理变形，得到211111112212ni n g n i n n n n =+æöæö£+++++ç÷ç÷++-èøèøåL ，再令()*0,1,N 1n x n n =ÎÎ+，利用（2）中式子得()11ln ln 1ln 1n n n n n+<=+-+，能够利用累加相消是证明的关键.。
广东省肇庆市高要区第一中学2025届高三第一次调研测试数学试卷含解析
广东省肇庆市高要区第一中学2025届高三第一次调研测试数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的23，且球的表面积也是圆柱表面积的23”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为24π，则该圆柱的内切球体积为( ) A ．43π B ．16πC ．163π D ．323π 2．在等差数列{}n a 中，若244,8a a ==，则7a =（ ） A ．8B ．12C ．14D ．103．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为,F O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与双 曲线C 的一条渐近线交于点O 及点32A ⎛⎝⎭，则双曲线C 的方程为（ ） A ．2213y x -=B ．22126x y -=C ．2213x y -=D ．22162x y -=4．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中(0,)2πϕ∈，若,()6x R f x f π⎛⎫∀∈≤ ⎪⎝⎭恒成立，则函数()f x 的单调递增区间为（ ） A ．,()36k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．2,()33k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C ．2,()33k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．2,()3k k k Z πππ⎡⎤+⎢⎥⎣∈⎦5．若()()()32z i a i a R =-+∈为纯虚数，则z ＝（ ） A ．163i B ．6i C ．203i D ．206．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线24y x =上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值为（ ）A ．1B ．12C ．22D ．527．在正项等比数列{a n }中，a 5-a 1=15，a 4-a 2 =6，则a 3=（ ） A ．2B ．4C ．12D ．88．如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠=== 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为 （ ）A ．2116B ．32C ．2516D ．39．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案种数是( ) A ．18种B ．36种C ．54种D ．72种10．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，又称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（1）），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的图形，它是由6个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个大正六边形，设A F F A 2'''=，若在大正六边形中随机取一点，则此点取自小正六边形的概率为（ ）A ．21313B ．413C 27D ．4711．已知平面α，β，直线l 满足l α⊂，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件12．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3C π=，若()6,m c a b =--，(),6n a b c =-+，且//m n ，则ABC ∆的面积为（ ） A ．3B ．932C ．332D ．33二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省南京市2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题(含答案)
南京市2025届高三年级学情调研数学2024.09注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分.2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.{x x -3>01.已知集合A =}{2x -5x +4>，B x =0）A.(-∞,1)}，则A B =（C.(3,+∞B.(-∞,3))D.(4,+∞)2.已知a x=4，log a 3=y ，则a x +y=（）A.5B.6C.7D.12|3.已知|a = ，|b |=1.若(a +2b )⊥a，则cos a ,b =（）3A.2-3B.3-C.3D 3.32{a }n 为等差数列，前n 项和为S n .若S 3=6，S 6=3，则S 9=（4.已知数列A.-18B.-9）D.1C.985.若α是第二象限角，4sin 2α=tan α，则tan α=（A.7B.7-C.）7D 76.甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛，已决出了第1名到第4名（没有并列名次）.甲、乙、丙三人向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻”，对丙说：“很遗憾，你没有得到第1名”.从这个回答分析，4人的名次排列情况种数为（）A.4B.6C.8D.127.若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为（）A.24B.32C.96D.1288.已知抛物线C :y 2=8x 的焦点为F ，准线为l ，点P 在C 上，点Q 在l 上.若PF =2QF ，PF ⊥QF ，则△PFQ 的面积为（）A.25 B.245 C.55D.525二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分.9.已知复数z ，下列命题正确的是（A.若z +1∈R ，则z ∈R C.若|z |=1，则z =±）1B.若z +i ∈R ，则z 的虚部为-1D.若z 2∈R ，则z ∈R210.对于随机事件A ，B ，若P (A )=53，P (B )=51(，4P B A )=，则（）3A.P (AB )=21(B.6P A B )=9C.P (A +B )=11D.P (2AB )=18x |11.设函数f (x )=|si s x |n +|co ，则（）A.f (x )的定义域为π2k x ⎧x ≠⎨⎬⎩,k ∈Z ⎭⎫πB.f (x )的图象关于x 4=对称C.f (x )的最小值为D.方程f (x )=12在(0,2π)上所有根的和为8π三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上112.x ⎛⎫+ ⎪⎝展开式中的常数项是___________⎭.13.与圆柱底面成45°角的平面截圆柱得到如图所示的几何体，截面上的点到圆柱底面距离的最大值为4，最小值为2，则该几何体的体积为___________.14.已知椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为B ，直线BF 2与C 相交于另一点A .当cos ∠F 1AB 最小时，C 的离心率为___________.四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）小王早晨7：30从家出发上班，有A ，B 两个出行方案供其选择，他统计了最近100天分别选择A ，B 两个出行方案到达单位的时间，制成如下表格：8点前到（天数）8点或8点后到（天数）2A 方案8123B 方案30（1）判断并说明理由：是否有95%的把握认为在8点前到单位与方案选择有关；（2）小王准备下周一选择A 方案上班，下周二至下周五选择B 方案上班，记小王下周一至下周五这五天中，(X =3)8点前到单位的天数为随机变量X .若用频率估计概率，求P .n (ad -bc )2附：χ2=，其中n =a +b +c +d (a +b )(c +d )(a +c )(b +d )，)(χ≥x P 00.100.050.0250.0100.011x 02.7063.8415.0246.63510.82816.（本小题满分15分）如图，在四面体ABCD 中，△ACD 是边长为3的正三角形，△ABC是以AB 为斜边的等腰直角三角形，E ，F 分别为线段AB ，BC 的中点，AM =2MD ，CN =2ND .（1）求证：EF //平面MNB ；（2）若平面ACD ⊥平面ABC ，求直线BD 与平面MNB 所成角的正弦值.17.（本小题满分15分）{a 已知数列}n {b ，}n {b ，a n =(-1)n +2n ，b n =a n +1-λa n (λ>0)，且}n 为等比数列.（1）求λ的值；{b （2）记数列n }的前n 项和为T ⋅n 2n (i ∈N .若T i ⋅T i +2=15T i +1*)，求i 的值.18.（本小题满分17分）2222x y ab-=1(a >0,b >0)的左、右焦点，F 1F 2=点T (已知F 1，F 2是双曲线C :（1）求C 的方在C 上.程（2）设直线l 过点D (1,0)，且与C 交于A ，B 两点.①若DA =3DB ，求△F 1F 2A 的面积；②以线段AB为直径的圆交x轴于P，Q两点，若|PQ|=2，求直线l的方程.19.（本小题满分17分）已知函数f(x)=e x-a+ax2-3ax+1，a∈R.（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在x=1处切线的方程；（2）当a>1时，试判断f(x)在[1,+∞)上零点的个数，并说明理由；（3）当x≥0时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围.南京市2025届高三年级学情调研数学参考答案2024.09一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.12345678DDABACCB二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分.91011ABBCDACD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.13.312.240π14.33四、解答题：本大题共5小题，共77分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）解：（1）假设H 0:8点前到单位与方案选择无关，100⨯(28⨯30-12⨯30)2则χ2=40⨯60⨯42⨯58.800≈3.94>3.841203=，所以有95%的把握认为8点前到单位与路线选择有关.（2）选择A 方案上班，8点前到单位的概率为0.7，选择B 方案上班，8点前到单位的概率为0.5.当X =3时，则分两种情况：1①若周一8点前到单位，则P 1=0.7⨯C 24(1-0.5)2⨯0.52=802.6（2）若周一8点前没有到单位，则P 2=(1-0.7)⨯C 43(1-0.5)⨯0.53=8.27综上，P (X =3)=P 1+P 2=08.16.（本小题满分15分）解：（1）因为E ，F 分别为线段AB ，BC 中点，所以EF //AC .因为AM =2MD ，CN =2ND ，即1D 3M DN DA DC =，所以MN //AC ，所以EF //MN =.又MN ⊂平面MNB ，EF ⊄平面MNB ，所以EF //平面MNB .（2）取AC 中点O ，连接DO ，OE 因为△ACD 为正三角形，所以DO ⊥AC .因为平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD 平面ABC =AC ，DO ⊂平面ACD ，所以DO ⊥平面ABC .因为O ，E 分别为AC ，AB 中点，则OE //BC .又因为AC ⊥BC ，所以OE ⊥AC .以O 为坐标原点，OE ，OC ，OD 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，330,0,2⎛⎫则D ⎪⎪⎝⎭33,，B 2⎛,0⎫ ⎪⎝⎭1，M 2⎛0,- ⎝10,，N 2⎛ ⎝， 故BM =(-3,-2 333,22⎫，MN =(0,1,0)，BD =-3,- ⎪ ⎪⎝⎭⎛.=(x ,y ,z )，直线BD 与平面MNB 所成角为θ设平面MNB 的法向量为n ，BM ⎧=0,则⎪⎨ ⎩⎪n n ⋅ ⋅MN =0,即30.x ⎧-y 2y -+=0,⎪⎨=⎪⎩ =取n 0,3).33cos BD ,n BD nBD ⋅n 则sin θ===82，所以BD 与平面MNB 所成角的正弦值为28.17.（本小题满分15分）解：（1）因为a n =(-1)n+2n，则a 1=1，a 2=5，a 3=7，a 4=17.又b n =a n +1-λa n ，则b 1=a 2-λa 1=5-λ，b 2=a 3-λa 2=7-5λ，b 3=a 4-λa 3=17-7λ.{b 因为}n 为等比数列，则b 22=b 1⋅b 3，所以(7-5λ)2=(5-λ)(17-7λ)，整理得λ2-λ-2=0，解得λ=-1或2.因为λ>0，故λ=2.当λ=2时，b n =a n +1-2a n =(-1)n +1+2n +1-2⎡⎣(-1)n +2n⎤⎦=(-1)⨯(-1)n +2n +1-2⨯(-1)n -2n +1=-3⨯(-1)n .n b -3⨯(-1)n +b 1则n +1={b =-1，-3⨯(-1)n故}n 为等比数列，所以λ=2符合题意.（2）b ⋅n 2=-3⨯(-1)n ⋅n n 2当n 为偶数时，T n =-3⨯⎡⎣-12+22-32+42-52+62- -(n -1)2+n 2⎦⎤3=-3⨯(1+2+ +n )=n (n +12)-332当n 为奇数时T n =T n +1-b n +1(n +1)2=2-(n +1)(n +2)+3(n +1)2=n (n +1). ,3⎧.3⎪⎪⎨综上，T n =2⎪-n (n +1),n ⎪n (n +1),n ⎩2为奇数为偶数因为T i ⋅T i +2>0，又T i ⋅T i +2=15T i +1，故T i +1>0，所以i 为偶数.33322所以2⎡⎡i (i +1)-⎤⋅(i +2)(i +3)-⎤=15⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣(i +1)(i +2)⎦，整理得i 2+3i -10=0，解得i =2或i =-5（舍），所以i =2.18.（本小题满分17分），点T 在C 上，根据双曲线的定义可解：（1）由题意可知c =知TF 1TF 2=2a -，即2a =-则b 2=c 2-a 2=2，所以C 的方程为2242x y =4，所以a =2，=1-.)(x （2）①设B 0,y 0(x ，DB 0 -1,y 0=).(3x )0因为DA =3DB ，所以DA = -3,3y 0，(3x 所以A 点坐标为)0-2,3y 0，())02224221,4⎧x 02(3y 2y -=⎪因为A ，B 在双曲线C 上，所以⎪⎨3x 0-1,⎪-=⎪⎩10解得x 0=3，y 0=2±，所以A点坐标为2⎛7,± ⎝⎭，121122y 2A F 1F 2⨯=⨯⨯=所以S △F F A =②当直线l 与y 轴垂直时，此时PQ =4不满足条件.)(x 设直线l 的方程为x =ty +1，A 1,y 1)(x ，B 2,y 2),0(x ，P P ,0(x ，Q Q ).242x ⎧y 2=1-,直线l 与C 联立⎪⎨⎪(t 消去x ，⎩x =ty +1,得2)y 2-2+2ty -3=0，2t 所以y 1+y 2=-2t -3，y 1y 2=-t 2-2.21222(t 0.t 2⎧=∆42-+2由⎪⎨≠⎩t ⎪-3)>0,，得t 22且t 2≠2>.(x -x 以AB 为直径的圆方程为1)(x -x 2)+(y -y 1)(y -y 2)=0，(x 1令y =0，可得x 2-)x +x +x 21x 2+y 1y 2=0，则x P ，x Q 为方程的两个根，所以x P +x Q =x 1+x 2，x P x Q =x 1x 2+y 1y 2，所以PQ =x P -x Q ========2.5解得t 2=-2（舍）或t 23=15，即t =3±，所以直线l 的方程为：3x ±19.（本小题满分17分-3=0.）解：（1）当a =1时，f (x )=ex -1+x 2-3x +1，则f (x )=e x -1+2x -3，所以曲线y =f (x )在x =1处切线的斜率k =f '(1)=0.又因为f (1)=0，所以曲线y =f (x )在x =1处切线的方程为y =0.(x )=e x -（2）f (1)=e1-a-2a +1，f 'a +2ax -3a ，则f '(1)=e 1-a -a ，(x )=e x -当a >1时，f ''a(x )+2a >0，则f '在(1,+∞)上单调递增.因为f '(1)=e1-a-a <e 1-1-1=0，f '(a )=1+2a 2-3a =(2a -1)(a -1)>0，(x 0)=0所以存在唯一的x 0∈(1,a )，使得f '.(1,x )0(x )<0，所以f (x )时，f '在[1,x )0上单调递减；当x ∈当x (x )0∈(x )>0，所以f (x )时，f ,+∞'在(x )0,+∞上单调递增.(x 又因为f (1)=e1-a-2a +1<e 0-2+1=0，所以f 0)<f (1)<0.又因为f (3)=e3-a+1>0，所以当a >1时，f (x )在[1,+∞)上有且只有一个零点.（3）①当a >1时，f (1)=e 1-a-2a +1<e 0-2+1=0，与当x ≥0时，f (x )≥0矛盾，所以a >1不满足题意.②当a ≤1时，f (0)=e-a+1>0，(x )=e x -f 'a (x )=e x -+2ax -3a ，f ''a +2a ，f ''(0)=e -a +2a .记函数q (x )=e -x+2x ，x ≤1，则q '(x )=-e-x+2，当x ∈(-ln 2,1)时，q '(x )>0，所以q (x )在(-ln 2,1)单调递增；当x ∈(-∞,-ln 2)时，q '(x )<0，所以q (x )在(-∞,-ln 2)单调递减，所以q (x )≥q (-ln 2)=2-2ln 2>0，所以f ''(0)>0.(x )又因为f ''在[0,+∞)上单调递增，(x )≥f ''(0)>0，所以f (x 所以f '')'在[0,+∞)上单调递增.（i ）若f '(0)=e-a-3a ≥0，(x )≥f '(0)≥0，所以f (x )在[0,+∞)上单调递增则f '，则f (x )≥f (0)>0，符合题意；（ii ）若f '(0)=e-a-3a <0，可得a >0，则0<a ≤1.(x -)因为f '(1)=e 1a-a ≥0，且f '在[0,+∞)上单调递增，(x 1)=0所以存在唯一的x 1∈(0,1]，使得f '.(0,x )1(x )<0，所以f (x )时，f '在(0,x )1上单调递减，当x ∈当x (x )1∈(x )>0，所以f (x )时，f ,+∞'在(x )1,+∞上单调递增，其中x 1∈(0,1]，且e x 1-a +2ax 1-3a =0.(x 1)=e x 1-所以f (x )≥f a+ax 12-3ax 1+1(x 12)+1-5x 1+3，=3a -2ax 1+ax 12-3ax 1+1=ax 12-5ax 1+3a +1=a 因为x 1∈(0,1]，所以x 12-5x 1+3∈[-1,3).(x 1又因为a ∈(0,1]，所以a 2)≥-1-5x 1+3，所以f (x )≥0，满足题意.结合①②可知，当a ≤1时，满足题意.综上，a 的取值范围为(-∞,1].。
福建省达标校2024学年高三5月第一次调研考试数学试题
福建省达标校2024学年高三5月第一次调研考试数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()()212*111N ()n n n S S S n ++++=+∈，121,2a a ==，则n S =( )A ．()12n n + B ．12n + C ．21n - D ．121n ++2．某几何体的三视图如图所示，若侧视图和俯视图均是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积为A ．83B ．433C ．1D ．23．已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和如图所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为A ．240，18B ．200，20C ．240，20D ．200，184．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A ．B ．C ．D ．5．设P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R}，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R}，则 A ．P ⊆Q B ．Q ⊆P C ．R C P ⊆QD ．Q ⊆R C P6．已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，,l α⊄,l β⊄则 （ ）A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l7．已知函数()2()2ln (0)f x a e x x a =->，1,1D e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦若所有点(,())s f t ，(,)s t D ∈所构成的平面区域面积为2e 1-，则a =（ ）A ．eB ．1e 2- C ．1 D ．2e e - 8．若不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则a 的最小值是 （ ）A ．0B ．2-C ．52-D ．3-9．已知函数()2ln 2xx f x ex a x=-+-（其中e 为自然对数的底数）有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．21,e e⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦B ．21,e e ⎛⎫-∞+⎪⎝⎭ C ．21,e e⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．21,e e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭10．已知函数()()2sin 1f x x ωϕ=+-（0>ω，0ϕπ<<）的一个零点是3π，函数()y f x =图象的一条对称轴是直线6x π=-，则当ω取得最小值时，函数()f x 的单调递增区间是（ ）A ．3,336k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） B ．53,336k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） C ．22,236k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） D ．2,236k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） 11．设椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的右顶点为A ，右焦点为F ，B 、C 为椭圆上关于原点对称的两点，直线BF交直线AC 于M ，且M 为AC 的中点，则椭圆E 的离心率是（ ） A ．23B ．12C ．13D ．1412．已知复数z 满足i i z z ⋅=+,则z 在复平面上对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省南通市2023-2024学年高三第一次调研测试数学(解析版)
南通市2024届高三第一次调研测试数学2024.01.24注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效。
3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{0，1，2，3}，则A∩B＝A．{－2，－1} B．{0，1} C．{0，1，2} D．{0，1，2，3}2．已知z＋z＝8，z－z＝6i，则z z＝A．25 B．16 C．9 D．53．若向量a＝(λ，4)，b＝(2，μ)，则“λμ＝8”是“a∥b”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．设{a n}为等比数列，a2＝2a4＋3a6，则a4－a7 a2－a5＝A．19B．13C．3 D．95．从正方体的八个顶点中选择四个顶点构成空间四面体，则该四面体不可能A．每个面都是等边三角形B．每个面都是直角三角形C．有一个面是等边三角形，另外三个面都是直角三角形D．有两个面是等边三角形，另外两个面是直角三角形6．已知直线y＝x－1与抛物线C：x2＝2py(p＞0)相切于M点，则M到C的焦点距离为A．1 B．2 C．3 D．4直线与抛物线相切，则4p2－8p＝0，7．已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为(0，＋∞)，若xf′(x)＜2f(x)，则A．4e2f(2)＜16f(e)＜e2f(4) B．e2f(4)＜4e2f(2)＜16f(e)C．e2f(4)＜16f(e)＜4e2f(2) D．16f(e)＜e2f(4)＜4e2f(2)8．某中学开展劳动实习，学生制作一个矩形框架的工艺品．要求将一个边长分别为10cm 和20cm的矩形零件的四个顶点分别焊接在矩形框架的四条边上，则矩形框架周长的最小值为A．202cm B．305cm C．405cm D．602cm二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省实验中学2024届高三第一次诊断考试数学试题(解析版)
山东省实验中学2024届高三第一次诊断考试数学试题2023.10第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的注意事项：1．答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形码．2．本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部．3．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．4．非选择题的作答：用0.5mm 黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．．1.已知集合{}24x A x =<，{}1B =≤，则A B = （）A.()0,2 B.[)1,2 C.[]1,2 D.()0,1【答案】B 【解析】【分析】化简集合A 和B ，即可得出A B ⋂的取值范围.【详解】解：由题意在{}24xA x =<，{}1B =≤中，{}2A x x =<，{}12B x x =≤≤∴{}12A B x x ⋂=≤<故选：B.2.已知复数z 满足i 2i z =-，其中i 为虚数单位，则z 为（）A .12i-- B.12i + C.12i-+ D.12i-【答案】C 【解析】【分析】计算12i z =--，再计算共轭复数得到答案.【详解】()()()2i i 2i 12i i i i z -⨯--===--⨯-，则12i z =-+.故选：C3.“()0,4b ∈”是“R x ∀∈，210bx bx -+>成立”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由R x ∀∈，210bx bx -+>成立求出b 的范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】由R x ∀∈，210bx bx -+>成立，则当0b =时，10>恒成立，即0b =，当0b ≠时，2040b b b >⎧⎨-<⎩，解得04b <<，因此R x ∀∈，210bx bx -+>成立时，04b ≤<，因为(0,4)[0,4)，所以“()0,4b ∈”是“R x ∀∈，210bx bx -+>成立”的充分不必要条件.故选：A4.设随机变量X ，Y 满足：31Y X =-，12,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则()D Y =（）A.4 B.5 C.6D.7【答案】A 【解析】【分析】二项分布与n 次独立重复试验的模型．先利用二项分布的数学期望公式求出()D X ，再利用方差的性质求解即可．【详解】解：因为12,3X B ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，则()11421339D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，又31Y X =-，所以()()()224313349D Y D X D X =-==⨯=．故选：A ．5.设数列{}n a 为等比数列，若2342a a a ++=，3454a a a ++=，则数列{}n a 的前6项和为（）A.18B.16C.9D.7【答案】C【解析】【分析】由已知条件求出等比数列{}n a 的首项和公比，再利用等比数列的求和公式可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()()223412234511214a a a a q q q a a a a q q q ⎧++=++=⎪⎨++=++=⎪⎩，解得1172a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，因此，数列{}n a 的前6项和为()61127912-=-.故选：C.6.已知函数()(),023,0x a x f x a x a x ⎧<⎪=⎨-+≥⎪⎩满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则a 的取值范围是（）A.()0,1 B.()2,+∞ C.10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D.3,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】【分析】首先判断函数的单调性，再根据分段函数单调性的定义，列式求解.【详解】∵()f x 满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，∴()f x 在R 上是减函数，()00120203a a a a a ⎧<<⎪∴-<⎨⎪-⨯+≤⎩，解得103a <≤，∴a 的取值范围是10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.故选：C ．7.已知函数()f x 为R 上的奇函数，()1f x +为偶函数，则（）A.()()20f x f x --+=B.()()1f x f x -=+C.()()22f x f x +=-D.()20230f =【答案】C 【解析】【分析】根据题意，利用函数的奇偶性和对称性，逐项分析、判定选项，即可求解.【详解】对于A 中，函数()1f x +为偶函数，则有()()11f x f x +=-，可得()()2f x f x +=-，又由()f x 为奇函数，则()()()()22,f x f x f x f x --=-+-=-，则有()()2f x f x --=--，所以()()2f x f x ---=-，即()()2=fx f x --，所以A 错误；对于B 中，函数()1f x +为偶函数，则有()()11f x f x +=-，所以B 不正确；对于C 中，由()()()2+==f x f x f x --，则()()()42f x f x f x +=-+=，所以()f x 是周期为4的周期函数，所以()()22f x f x +=-，所以C 正确；对于D 中，由()f x 是周期为4的周期函数，可得()()()()150********f f f f =-+⨯=-=-，其中结果不一定为0，所以D 错误.故选：C.8.已知OA ，OB ，OC 均为单位向量，满足12OA OB ⋅= ，0OA OC ⋅≥ ，0OB OC ⋅≥，OC xOA yOB =+ ，则3x y +的最小值为（）A.14-B.3-C.14-D.-1【答案】B 【解析】【分析】首先确定向量,OA OB 的夹角，从而构建单位圆，确定向量,,OA OB OC的坐标，并利用三角函数表示3x y +，并利用三角函数求最小值.【详解】1cos ,2OA OB OA OB OA OB ⋅==，所以π,3OA OB =，根据0OA OC ⋅≥ ，0OB OC ⋅≥，则π,0,2OA OC ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ ,π,0,2OB OC ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦,如图，建立平面直角坐标系，设()1,0A，1,22B ⎛ ⎝⎭，()cos ,sin C θθ，ππ,62θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，由OC xOA yOB =+，可知，cos 2sin 2y x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得cos sin 3x θθ=-，sin 3y θ=，()33cos sin cos 333x y θθθθθϕ⎛⎫+=-==+⎪⎪⎭，其中cos tan ϕϕϕ===，所以π0,6ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则ππ,62θϕϕϕ⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦，所以当π2θ=时，所以3x y +的最小值是33-.故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.在研究成对数据的相关关系时，线性相关关系越强，相关系数r 越接近于1B.样本数据：27，30，37，39，40，50的第30百分位数与第50百分位数之和为68C.已知随机变量()2~,X N μσ，若()()151P X P X ≥-+≥=，则2μ=D.将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为12x x 和21s ，22s ，若12x x =，则总体方差()2221212s s s =+【答案】ABC 【解析】【分析】A 由相关系数的实际意义判断；B 由百分位数定义求出对应分位数判断；C 根据正态分布对称性判断；D 由分层抽样中样本、总体间的均值、方差关系判断.【详解】A ：由成对数据相关性中相关系数实际意义知：相关系数r 越接近于1，线性相关关系越强，反之也成立，对；B ：由630% 1.8,650%3⨯=⨯=，则第30百分位数与第50百分位数分别为373930,382+=，故和为68，对；C ：由()()()()151151P X P X P X P X ≥-+≥=≥-+-<=，故()()15P X P X ≥-=<，根据正态分布对称性：1522μ-+==，对；D ：由题意，总体均值为12x x x ==，若两层样本容量依次为,m n ，则()()2222222112212··m n m n s s x x s x x s m n m n m n m n ⎡⎤⎤⎡=+-++-=+⎢⎥⎥⎢++++⎦⎣⎣⎦，当且仅当m n =时()2221212s s s =+，错.故选：ABC 10.若110a b<<，则（）A.22a b < B.2ab b < C.()()ln ln a b ->- D.a b a b+>+【答案】AB 【解析】【分析】首先由条件得0b a <<，再根据不等式的性质，以及函数的单调性，即可判断选项.【详解】由110a b<<，得0b a <<，则0b a ->->，所以22b a >，故A 正确；0b a <<，0b <，则2b ab >，故B 正确；由0b a ->->，则()()ln ln b a ->-，故C 错误；由0b a <<，则a b a b +=+，故D 错误.故选：AB11.已知函数()1sin sin f x x x=-，则（）A.()y f x =的图象关于原点对称B.()f x 的最小正周期为πC.()y f x =的图象关于直线π2x =对称 D.()f x 的值域为R【答案】ACD【解析】【分析】根据奇函数的定义即可判断A ，根据周期的定义即可判断B ，根据()()()πf x f x f x +=-=-即可判断C ，根据奇偶性以及单调性即可判断D.【详解】令sin 0π,Z x x k k ≠⇒≠∈,故()1sin sin f x x x=-的定义域为{}π,Z x x k k ≠∈，关于原点对称，有()()()()11sin sin sin sin f x x x f x x x-=--=-+=--为奇函数，A 正确，()()()()11πsin πsin sin πsin f x x x f x x x +=+-=-+≠+，π不是()f x 的周期，故B 错误，()()()11πsin πsin sin πsin f x x x x x +=+-=-++，由于()()()πf x f x f x +=-=-，故π2x =是()f x 的一条对称轴，故C 正确，令[)(]sin 1,00,1t x =∈- ，()1f t t t=-在(]0,1t ∈单调递增，故()1f t t t=-在(]0,1t ∈上的范围为(],0-∞，由于()1f t t t =-为奇函数，所以()1f t t t=-在[)1,0t ∈-上的范围为[)0,∞+，故()f x 的值域为R ，D 正确，故选：ACD12.在平面直角坐标系xOy 中，将函数()y f x =的图象绕坐标原点逆时针旋转()090αα︒<≤︒后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称()f x 为“α旋转函数”，则（）A.存在“90°旋转函数”B.“70°旋转函数”一定是“80°旋转函数”C.若()1g x ax x=+为“45°旋转函数”，则1a =D.若()ex bxh x =为“45°旋转函数”，则2e 0b -≤≤【答案】ACD 【解析】【分析】对A ，举例说明即可；对B ，举反例判断即可；根据函数的性质，结合“α旋转函数”的定义逐个判断即可；对CD ，将45︒旋转函数转化为函数与任意斜率为1的函数最多一个交点，再联立函数与直线的方程，分析零点个数判断即可．【详解】对于A ，如y x =，旋转90°后为y x =-满足条件，故A 正确；对于B ，如倾斜角为10︒的直线是70︒旋转函数，不是80︒旋转函数，故B 错误；对与C ，若1()g x ax x=+为45︒旋转函数，则根据函数的性质可得，1()g x ax x=+逆时针旋转45︒后，不存在与x 轴垂直的直线，使得直线与函数有1个以上的交点．故不存在倾斜角为45︒的直线与1()g x ax x=+的函数图象有两个交点．即(R)y x b b =+∈与1()g x ax x=+至多1个交点．联立1y ax x y x b⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，可得2(1)10a x bx --+=．当1a =时，10bx -+=最多1个解，满足题意；当1a ≠时，2(1)10a x bx --+=的判别式24(1)b a ∆=--，对任意的a ，都存在b 使得判别式大于0，不满足题意，故1a =．故C 正确；对与D ，同C ，()e xbxh x =与(R)y x a a =+∈的交点个数小于等于1，即对任意的a ，e x bx a x =-至多1个解，故()e x bx g x x =-为单调函数，由()()()11,110e xb x g x g -=-=-'<'，故(1)()10exb x g x --'=≤恒成立，即e (1)xb x ≥--恒成立．即e x y =图象在(1)y b x =--上方，故0b -≥，即0b ≤．当e x y =与(1)y b x =--相切时，可设切点00(,e )x x ，对e xy =求导有e xy '=，故00e e 1x x x =-，解得02x =，此时02e e x b =-=-，故2e 0b -≤≤．故D 正确．故选：ACD．【点睛】数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若π1cos 43θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2θ=______．【答案】79【解析】【分析】根据二倍角公式以及辅助角公式即可求解.【详解】由π1cos 43θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得2ππ17cos 22cos 1212499θθ⎛⎫⎛⎫+=+-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故77sin 2sin 299θθ-=-⇒=，故答案为：7914.已知平面向量a ，b 为单位向量，且0a b ⋅=，若2c a =+ ，则cos ,a c = ______．【答案】23【解析】【分析】代入向量数量积的夹角公式，即可求解.【详解】()2222a c a a a b ⋅=⋅+=+⋅=，3c == ，所以22cos ,133a c a c a c ⋅===⨯.故答案为：2315.二项式()20235x +展开式的各项系数之和被7除所得余数为______．【答案】6【解析】【分析】利用赋值法可得系数和为()20232023516+=，进而根据二项式定理展开式的特征可得余数.【详解】令1x =得()20232023516+=，由于()202320231223320232023202320236171C 7C 7C 77=-+=-+-+++ ，由于()202320231223320231223320232023202320232023202320236171C 7C 7C 7767C 7C 7C 77=-+=-+-+++=-+-+++ ，1223320232023202320237+C 7C 7C 77--+++ 均能被7整除，所以余数为6，故答案为：616.若函数()()2sin cos 1f x x ω=-在区间()0,2π恰有2个零点，则ω的取值范围是______．【答案】π5π5ππ,,6666⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【解析】【分析】利用三角函数的性质计算即可.【详解】在()0,2πx ∈时，[)cos 1,1x ∈-，此时cos y x =的图象关于直线πx =对称，若0ω>，则[)cos ,x ωωω∈-，易知()πcos 2πZ 6x k k ω=+∈或()5πcos 2πZ 6x k k ω=+∈时，()()2sin cos 10f x x ω=-=，因为恰有两个零点，故5ππ66ω>>，此时cos x ω只能取到π6，如下图所示，符合题意；若0ω<，则(]cos ,x ωωω∈-，同上，有π5π66ω->>-，此时cos x ω只能取到π6，如下图所示，符合题意；综上π5π5ππ,,6666ω⎛⎫⎛⎫∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .故答案为：π5π5ππ,,6666⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .【点睛】本题关键在于对ω符号的讨论，还需要考虑到cos y x ω=的对称性，取零点时通过数形结合注意端点即可.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知120A =︒，1b =，2c =．（1）求sin B ；（2）若D 为BC 上一点，且90BAD ∠=︒，求ADC △的面积．【答案】（1）14（2）10【解析】【分析】（1）根据余弦定理求解a ，即可由三边求解cos B ，进而可求正弦值，（2）根据面积公式即可求解.公众号：高中试卷君【小问1详解】由余弦定理可得：22222cos 14221cos1207BC a b c bc A ==+-=+-⨯⨯⨯︒=，则BC =，222cos214a c b B ac +-===，()0,πB∈,所以sin14B===．【小问2详解】由三角形面积公式可得1sin90241sin302ABDACDAB ADSS AC AD⨯⨯⨯︒==⨯⨯⨯︒△△，则11121sin12055210 ACD ABCS S⎛⎫==⨯⨯⨯⨯︒=⎪⎝⎭△△．18.已知数列{}n a的前n项和为n S，且2nS n n=+．（1）求{}n a的通项公式；（2）若数列{}n b满足2,2,nnana nbn⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n b的前2n项和2n T．【答案】（1）2na n=（2）124423nn+-+【解析】【分析】（1）根据1n n na S S-=-即可求解，（2）根据分组求和，结合等差等比数列的求和公式即可求解.【小问1详解】当2n≥时，()()221112n n na S S n n n n n-=-=+----=，当1n=时，112a S==，因为1a也符合上式．所以2na n=．【小问2详解】由（1）可知2,2,n n n n b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，所以()()246222610422222n n T n =+++⋅⋅⋅+-++++⋅⋅⋅+()()124142424422143n n n n n +-+--=+=+-．19.如图，某公园拟在长为8（百米）的道路OP 的一侧修建一条运动跑道，跑道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数()sin 0,0y A x A ωω=>>，[]0,4x ∈的图象，且图象的最高点为(3,S ，跑道的后一部分为折线段MNP ．为保证跑步人员的安全，限定120MNP ∠=︒．（1）求A ，ω；（2）求折线段跑道MNP 长度的最大值．【答案】（1）A =6π=ω（2）3百米【解析】【分析】（1）由图象即可得A 和函数的周期，继而求得ω；（2）解法一，由（1）的函数解析式，即可求得M 点坐标，求出MP 的长，在MNP △中利用余弦定理结合基本不等式即可求得答案；解法二，在MNP △中利用正弦定理求得NP MN +的表达式，结合三角恒等变换化简，即可求得答案.【小问1详解】依题意，有A =34T =，则12T =，又2πT ω=，∴6π=ω；【小问2详解】由（1）知，π6y x =．当4x =时，2π33y ==，∴()4,3M ．又()8,0P ，∴5MP ==．解法一：在MNP △中，120MNP ∠=︒，5MP =，由余弦定理得2222cos MN NP MN NP MNP MP +-⋅⋅∠=．故()22252MN NP MN NP MN NP +⎛⎫+-=⋅≤ ⎪⎝⎭，从而()23254MN NP +≤，即3MN NP +≤，当且仅当3MN NP ==时等号成立．故折线段赛道MNP 最长为3百米．解法二：在MNP △中，120MNP ∠=︒，5MP =．设PMN θ∠=，则060θ︒<<︒．由正弦定理得()sin120sin sin 60MP NP MN θθ==︒︒-，∴sin 3NP θ=，()103sin 603MN θ=︒-．故()sin 6033NP MN θθ+=+︒-()1sin cos 603223θθθ⎛⎫=+=+︒ ⎪ ⎪⎝⎭．∵060θ︒<<︒，∴当30θ=︒时，()sin 603θ+︒取到最大值3，即折线段赛道MNP 最长，故折线段赛道MNP 最长为1033百米．20.已知()f x 、()g x 分别为定义域为R 的偶函数和奇函数，且()()e x f x g x +=.（1）求()f x 的单调区间；（2）对任意实数x 均有()()230g x af x +-≥成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的增区间为()0,∞+，减区间为(),0∞-（2）(,-∞【解析】【分析】（1）对于()()e x f x g x +=将x 换成x -结合奇偶性求出()f x 、()g x 的解析式，在利用导数求出函数的单调区间；（2）设e e x xt -=+，则问题转化为243042t t a -+-⋅≥在2t ≥时恒成立，参变分离可得82a t t ≤+，再利用基本不等式求出8t t +的最小值，即可求出a 的取值范围.【小问1详解】因为()()e x f x g x +=①，()f x 、()g x 分别为定义域为R 的偶函数和奇函数，所以()()f x f x -=，()()g x g x -=-，所以()()e x f x g x --+-=，即()()e x f x g x --=②，①②解得()()1e e 2x x f x -=+，()()1e e 2x x g x -=-，所以()()1e e 2x x f x -'=-，()()1e e 02x x g x -=+'>，所以()f x '（()g x ）在定义域R 上单调递增，又()()0010e e 02f '=-=，所以当0x >时()0f x ¢>，即()f x 的单调递增区间为()0,∞+，当0x <时()0f x '<，即()f x 的单调递减区间为(),0∞-.【小问2详解】公众号：高中试卷君设e e x x t -=+，因为e e 2-+≥=x x ，当且仅当0x =时取等号，所以2t ≥，不等式()()230g x af x +-≥恒成立，转化为243042t t a -+-⋅≥在2t ≥时恒成立，分离参数得82a t t ≤+在2t ≥时恒成立，由均值不等式8t t +≥=当且仅当t =时取等号，故8t t+的最小值为，所以2a a ≤⇒≤，故实数a 的取值范围为(,-∞.21.某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会．已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为27；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为12，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为13．记该顾客第n 次摸球抽中奖品的概率为n P ．（1）求2P 的值，并探究数列{}n P 的通项公式；（2）求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程．【答案】（1）1942，1311776n n P -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（2）第二次，证明见解析【解析】【分析】（1）根据全概率公式即可求解2P ，利用抽奖规则，结合全概率公式即可由等比数列的定义求解，（2）根据1311776n n P -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，即可对n 分奇偶性求解.【小问1详解】记该顾客第()*N i i ∈次摸球抽中奖品为事件A ，依题意，127P =，()()()()()22121121212119||1737242P P A P A P A A P A P A A ⎛⎫==+=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭．因为()11|3n n P A A -=，()11|2n n P A A -=，()n n P P A =，所以()()()()()1111||n n n n n n n P A P A P A A P A P A A ----=+，所以()111111113262n n n n P P P P ---=+-=-+，所以1313767n n P P -⎫⎛-=-- ⎪⎝⎭，又因为127P =，则131077P -=-≠，所以数列37n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为17-，公比为16-的等比数列，故1311776n n P -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．【小问2详解】证明：当n 为奇数时，131319776742n n P -=-<<⋅，当n 为偶数时，131776n n P -=+⋅，则n P 随着n 的增大而减小，所以，21942n P P ≤=．综上，该顾客第二次摸球抽中奖品的概率最大．22.已知函数()ln a f x x x =+的最小值为1．（1）求a ；（2）若数列{}n x 满足()10,1x ∈，且()1n n x f x +=，证明：1322n n n x x x ++++>．【答案】（1）1a =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）首先求函数的导数，并讨论0a ≤和0a >两种情况讨论函数的单调性，并求函数的最小值，即可求实数a 的取值；（2）由（1）的结果可知，11n x +>，*N n ∈，并设()()1ln g x f x x x x x=-=+-，1x ≥，利用导数判断函数的单调性，根据()()21n n g x g x ++>，即可证明.【小问1详解】()221a x a f x x x x-'=-+=，0x >．①若0a ≤，()0f x ¢>恒成立，可得()f x 在()0,∞+上单调递增，()f x 没有最小值，不符合题意；②若0a >，令()0f x '=，得x a =，当0x a <<时，()0f x '<，当x a >时，()0f x ¢>，所以()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增，所以()()min 1ln 1f x f a a ==+=，所以1a =．【小问2详解】证明：由（1）可得，()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，则有()()11f x f ≥=，因为()10,1x ∈，所以()211x f x =>，()()32111n n x f x x x f +>⋅⋅⋅=>=．令()()1ln g x f x x x x x=-=+-，1x ≥，()2222131240x x x g x x x ⎛⎫--- ⎪-+-⎝⎭'==<，所以()g x 在区间[)1,+∞上单调递减，且()10g =，所以()()1110n n n g x f x x +++=-<，而()21n n x f x ++=，所以21n n x x ++<，所以()()21n n g x g x ++>，即()()2211n n n n f x x f x x ++++>--，即3221n n n n x x x x ++++->-，所以1322n n n x x x ++++>．【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的最值以及不等式的综合应用问题，第二问是本题的难点，关键是构造函数()()1ln g x f x x x x x=-=+-，1x ≥，并结合()1n n x f x +=，即可求解.。
河北省邯郸市2025届高三第一次调研考试数学试题(含答案)
河北省邯郸市2025届高三第一次调研考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知a =(x,−1)，b =(2,1)，若(a−2b )//b ，则x = ( )A. −2B. −1C. 1D. 22.若z +1z−1=2i ，则z = ( )A. 45−35iB. 35−45iC. 35+45iD. 45+35i3.已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且S 13S 9=269，则a 7a 5= ( )A. 3B. 2C. 43D. 234.已知正三棱台ABC−A′B′C′的体积为1423，若AB =2，A′B′=4，则该正三棱台的高为( )A. 263B. 14615 C. 14627D. 4335.已知sin (α−β)=13，tan α=3tan β，则sin (α+β)= ( )A. 16B. 13C. 12D. 236.在第33届夏季奥运会期间，中国中央电视台体育频道在某比赛日安排甲、乙、丙、丁4个人参加当天A ，B ，C 三个比赛场地的现场报道，且每个场地至少安排一人，甲不在A 场地的不同安排方法数为( )A. 32B. 24C. 18D. 127.已知函数f(x)=(x−1)2−sin x x 2+1，g(x)=ax +1(a ≠0)，若y =f(x)和y =g(x)图象存在3个交点(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，(x 3,y 3)，则y 1+y 2+y 3= ( )A. 1B. 2C. 3D. 48.设双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线C 上，过点P 作两条渐近线的垂线，垂足分别为D ，E ，若PF 1⋅PF 2=0，且3|PD||PE|=S △PF 1F 2，则双曲线C 的离心率为( )A. 233B.2 C.3 D. 2二、多选题：本题共3小题，共18分。
南通市2023届高三第一次调研测试数学试题解析版
南通市2023届高三第一次调研测试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∩B＝（）A．（2，3]B．[1，4）C．（﹣∞，4）D．[1，+∞）【解答】解：A∩B＝{x|2＜x≤3}＝（2，3]．故选：A．2．（5分）已知向量满足，则＝（）A．﹣2B．﹣1C．0D．2【解答】解：根据题意可得，故选：C．3．（5分）在复平面内，复数z1，z2对应的点关于直线x﹣y＝0对称，若z1＝1﹣i，则|z1﹣z2|＝（）A．B．2C．D．4【解答】解：z1＝1﹣i对应的点为（1，﹣1），其中（1，﹣1）关于x﹣y＝0的对称点为（﹣1，1），故z2＝﹣1+i，故．故选：C．4．（5分）2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”遨游苍穹．太空中飞船与空间站的对接，需要经过多次变轨．某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地点（长轴端点中离地面最远的点）距地面S1，近地点（长轴端点中离地面最近的点）距地面S2，地球的半径为R，则该椭圆的短轴长为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意得a+c＝S1+R，a﹣c＝S2+R，∴b2＝a2﹣c2＝（S1+R）（S2+R），故，∴，故选：D．5．（5分）已知，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵＝sinα+cosα＝sin（α+）＝，∴＝1﹣2＝1﹣2×＝，故选：B．6．（5分）已知随机变量X服从正态分布N（1，σ2），有下列四个命题：甲：P（X＞m+1）＞P（X＜m﹣2）；乙：P（X＞m）＝0.5；丙：P（X≤m）＝0.5；丁：P（m﹣1＜X＜m）＜P（m+1＜X＜m+2）．如果只有一个假命题，则该命题为（）A．甲B．乙C．丙D．丁【解答】解：命题乙，丙同真假，由题意可知，四个命题只有一个为假命题，故乙，丙均为真命题，所以μ＝m，P（X＞m+1）＝P（X＜m﹣1）＞P（X＜m﹣2），故甲正确，P（m﹣1＜X＜m）＝P（m＜X＜m+1）＞P（m+1＜X＜m+2），故丁错．故选：D．7．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，且f（2x+1）为偶函数，f（x）＝f（x+1）﹣f（x+2），若f（1）＝2，则f（18）＝（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【解答】解：因为f（2x+1）为偶函数，所以f（2x+1）＝f（﹣2x+1），所以f（x+1）＝f（﹣x+1），则f（x）关于x＝1对称，设，，关于x＝1对称，＝＝.，所以f（x+1）＝f（x）+f（x+2），即符合条件，所以．故选：A．8．（5分）若过点P（t，0）可以作曲线y＝（1﹣x）e x的两条切线，切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2的取值范围是（）A．（0，4e﹣3）B．（﹣∞，0）∪（0，4e﹣3）C．（﹣∞，4e﹣2）D．（﹣∞，0）∪（0，4e﹣2）【解答】解：设切点，则切线方程为，又切线过（t，0），∴，x0﹣1＝﹣x0（t﹣x0），∴有两个不相等实根x1，x2，其中，∴t＞1或t＜﹣3，，令g（t）＝（1﹣t）e t+1，t＞1或t＜﹣3，g'（t）＝﹣te t+1，当t＜﹣3时，g'（t）＞0，当t＞1时，g'（t）＜0，∴函数g（x）在（﹣∞，﹣3）上递增，在（1，+∞）上递减，又g（﹣3）＝4e﹣2，g（1）＝0，当t→﹣∞时，g（t）→0，当t→+∞时，g（t）→+∞，∴g（t）∈（﹣∞，0）∪（0，4e﹣2），即．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高三第一次调研考试数学试题
高三第一次调研考试数学试题一、选择题：本大题共12小题；每小题5分；共60分．在每小题给出的四个选项中；只有一项是符合题目要求的．⒈已知全集R U =；集合}0)1)(2(|{>-+=x x x A ；}01|{<≤-=x x B ；则)(B C A U 为A.}12|{>-<x x x 或B.}02|{≥-<x x x 或C.}01|{≥-<x x x 或D.}11|{>-<x x x 或⒉设0<a <1；实数x ,y 满足x +y a log =0；则y 关于x 的函数的图象大致形状是A B C D ⒊条件21:>+x p ；条件131:>-xq ；则p ⌝是q ⌝的⒋已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及其所在平面内一点P ；满足AB PC PB PA =++；则点P 与△ABC 的关系为A. P 在△ABC 内部B. P 在△ABC 外部C. P 在边AB 所在的直线上D. P 是AC 边的一个三等分点⒌设10<<<a b ；则下列不等式成立的是A.12<<b abB.0log log 2121<<a bC.222<<a bD.12<<ab a⒍将奇函数)(x f y =的图象沿x 轴的正方向平移2个单位；所得的图象为C ；又设图象C '与C 关于原点对称；则C '对应的函数为 A.)2(--=x f y B.)2(-=x f y C.)2(+-=x f y D.)2(+=x f y⒎函数x x x x x f cos sin cos sin )(--+=是 ππ的偶函数ππ的偶函数⒏（文）设A 、B 是锐角三角形ABC 的两个内角；则有A.A B B A sin cos ,sin cos <<且B.A B B A sin cos ,sin cos >>且C.A B B A sin cos ,sin cos ><且D.A B B A sin cos ,sin cos <>且 （理）已知],0[πθ∈；)sin(cos )(θθ=f 的最大值为a ；最小值为b ；)cos(sin )(θθ=g 的最大值为c ；最小值为d ；则a 、b 、c 、d 从小到大的顺序为A.b ＜d ＜a ＜cB.d ＜b ＜c ＜aC.b ＜d ＜c ＜aD.d ＜b ＜a ＜c ⒐计算机是将信息转换成二进制进行处理的；所谓二进制即“逢二进一”；如(1101)2表示二进制的数；将它转换成十进制数的形式是1×23+1×22+0×21+1×20=13；那么将二进制数216)111(位转换成十进制数是 17161615－1⒑（文）若函数)24lg(x a y ⋅-=的定义域为}1|{≤x x ；则实数a 的取值范围是 A.),0(+∞ B.)2,0( C.)2,(-∞ D.)0,(-∞ （理）不等式1)32(log 2-≤+-x x a 在R x ∈上恒成立；则实数a 的取值范围是 A.[2；+)∞B.]2,1(C.)1,21[ D.]21,0(⒒某地每年消耗木材约20万3m ；每3m 价480元；为了减少木材消耗；决定按%t 征收木材税；这样每年的木材消耗量减少t 25万3m ；为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于180万元；则t 的范围是 A.[1；3] B.[2；4]C.[3；5]D.[4；6]⒓已知数列}{n a 满足11-+-=n n n a a a )2(≥n ；a a =1；b a =2；设n n a a a S +++= 21；则下列结论正确的是A.a a -=100,a b S n -=2B.b a -=100,a b S n -=2C.b a -=100,a b S n -=D.a a -=100,a b S n -=二、填空题：本大题共４小题；每小题４分；共16分．把答案填在题中横线上． ⒔在△ABC 中；已知60=∠C ；a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边；则ac bc b a +++的值等于 .⒕（文）等差数列}{n a 中；21=a ；公差不为零；且1a 、3a 、11a 恰好成等比数列；那么该等比数列公比的值等于 ．（理）等比数列}{n a 中,5121=a ,公比21-=q ；用n A 表示它的前n 项之积：n n a a a A ⋅⋅⋅= 21；则1A ；2A ；…中最大的是 ．⒖光线透过一块玻璃板；其强度要减弱101；要使光线的强度减弱到原来的31以下；至少有这样的玻璃板 块；（参考数据：)4771.03lg ,3010.02lg ==⒗给出下列四个命题： ① 函数c bx x x x f ++=)(为奇函数的充要条件是c =0； ②函数)0(2>=-x y x 的反函数是)10(log 2<<-=x x y ；③若函数)lg()(2a ax x x f -+=的值域是R ；则4-≤a 或0≥a ；④ 若函数)1(-=x f y 是偶函数；则函数)(x f y =的图象关于直线0=x 对称。
高三第一次调研考试数学试题
高三第一次调研考试数学试题高三第一次调研考试数学试题说明:本卷第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟.题号一二三总分1_1213_16171819202122得分第Ⅰ卷(选择题共60分)一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.得分评卷人1．集合A中有3个元素,集合B中有2个元素,映射f:A→B使得B中有且只有一个元素在A中的原象为2个,这样的映射f的个数为( )A．3 B．5 C．6 D．82．已知的值为 ( )A．B．C．D．3．下列判断错误的是( )A．命题〝若q则p〞与命题〝若则〞互为逆否命题B．〝am2_lt;bm2〞是〝a_lt;b〞的充要条件C．〝矩形的两条对角线相等〞的否命题为假D．命题〝〞为真(其中为空集)4．若实数a.b满足ab_lt;0,则有( )A．a－b_lt;a－b B．a－b_lt;a+bC．a+b_gt;a－b D．a+b_lt;a －b5．若的展开式第二项的值大于1000,则实数_的取值范围为( )A．__lt;－10或__gt;10 B． C．D．__gt;106．图中阴影部分可用哪一组二元一次不等式表示( )A．B．C．D．7．生物学指出:生态系统中,在输入一个营养级的能量中,大约10%的能量能够流到下一个营养级.在H1→H2→H3这个生物链中,若能使H3获得10kj的能量,则需H1提供的能量为( )A．105kj B．104kj C．103kj D．102kj8．函数y=_3－3_在[－1,2]上的最小值为( )A．2 B．－2 C．0 D．－49．给定两个向量,则_的等于( )A．－3 B．C．3D．－10．若某等差数列{an}中,a2+a6+a16为一个确定的常数,则其前n项和Sn中也为确定的常数的是( )A．S17 B．S15 C．S8 D．S711．方程所表示的曲线图形是( )12．将一张画了直角坐标系且两轴的长度单位相同的纸折叠一次,使点(2,0)与点(－2,4)重合,若点(7,3)与点(m ,n)重合,则m+n的值为A．4 B．－4 C．10 D．－10第Ⅱ卷(非选择题,共90分)得分评卷人二.填空题:本大题共4小题,共16分,把答案填在题中横线上.13．某校高一.高二.高三三个年级的学生数分别为1500人.1200和1000人,现采用按年级分层抽样法了解学生的视力状况,已知在高一年级抽查了75人,则这次调查三个年级共抽查了人.14．已知.15．在一个水平放置的底面半径为的圆柱形量杯中装有适量的水,现放入下个半径为R的实心铁球,球完全浸没于水中且无水溢出,若水面高度恰好上升R,则R=.16．设函数,则方程的解为.三.解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.得分评卷人17．(本小题满分12分)袋中有大小相同的5个白球和3个黑球,从中任意摸出4个,求下列事件发生的概率.(1)摸出2个或3个白球(2)至少摸出一个黑球.得分评卷人18．(本小题满分12分)如图,在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,AA1=AB,点E.M分别为A1B.C1C的中点,过点A1,B,M三点的平面A1BMN交C1D1于点N.(Ⅰ)求证:EM∥平面A1B1C1D1;(Ⅱ)求二面角B—A1N—B1的正切值.得分评卷人19．(本小题满分12分)已知函数(Ⅰ)将f(_)写成的形式,并求其图象对称中心的横坐标;(Ⅱ)如果△ABC的三边a.b.c满足b2=ac,且边b所对的角为_,试求_的范围及此时函数f(_)的值域.得分评卷人20．(本小题满分12分)设数列{an}和{bn}满足a1=b1=6, a2=b2=4,a3=b3=3, 且数列{an+1－an }(n∈N_)是等差数理,数列{bn－2}(n∈N_)是等比数列.(Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式;(Ⅱ)是否存在k∈N_,使ak－bk∈(0,)?若存在,求出k;若不存在,说明理由.得分评卷人21．(本小题满分12分)已知椭圆的一条准线方程是其左.右顶点分别是A.B;双曲线的一条渐近线方程为3_－5y=0.(Ⅰ)求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率;(Ⅱ)在第一象限内取双曲线C2上一点P,连结AP交椭圆C1于点M,连结PB并延长交椭圆C1于点N,若. 求证:得分评卷人22．(本小题满分14分)已知函数:(Ⅰ)证明:f(_)+2+f(2a－_)=0对定义域内的所有_都成立.(Ⅱ)当f(_)的定义域为[a+,a+1]时,求证:f(_)的值域为[－3,－2];(Ⅲ)设函数g(_)=_2+(_－a)f(_),求g(_) 的最小值 .参考答案第Ⅰ卷(选择题,共60分)一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个最符合题目要求的.题号123456789101112答案CDBDDCCBABDC第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二.填空题:本大题4个小题,共16分)13．185 14．15．16．_=0,2或－三.解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17．解:(Ⅰ)设摸出的4个球中有2个白球.3个白球分别为事件A.B,则∵A.B为两个互斥事件∴P(A+B)=P(A)+P(B)=即摸出的4个球中有2个或3个白球的概率为…………6分(Ⅱ)设摸出的4个球中全是白球为事件C,则P(C)=至少摸出一个黑球为事件C的对立事件其概率为………………12分18．(A)(Ⅰ)证明:取A1B1的中点F,连EF,C1F∵E为A1B中点∴EF∥BB1…………2分又∵M为CC1中点∴EF∥ C1M∴四边形EFC1M为平行四边形∴EM∥FC1……4分而EM 平面A1B1C1D1 . FC1平面A1B1C1D1 .∴EM∥平面A1B1C1D1………………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)EM∥平面A1B1C1D1 EM平面A1BMN平面A1BMN∩平面A1B1C1D1=A1N ∴A1N// EM// FC1∴N为C1D1 中点过B1作B1H⊥A1N于H,连BH,根据三垂线定理BH⊥A1N∠BH B1即为二面角B—A1N—B1的平面角……8分设AA1=a, 则AB=2a, ∵A1B1C1D1为正方形∴A1H=又∵△A1B1H∽△NA1D1∴B1H=在Rt△BB1H中,tan∠BHB1= 即二面角B—A1N—B1的正切值为……12分(B)(Ⅰ)建立如图所示空间直角坐标系,设AB=2a,AA1=a(a_gt;0),则A1(2a,0,a),B(2a, 2a , 0), C(0,2a,0),C1(0,2a,a)……2分∵E为A1B的中点,M为CC1的中点∴E(2a , a , ),M(0,2a, )∴EM// A1B1C1D1…………6分(Ⅱ)设平面A1BM的法向量为=(_, y , z )又=(0,2a , －a ) 由,得…………9分而平面A1B1C1D1的法向量为.设二面角为,则又:二面角为锐二面角,……11分从而………………12分19．(I)解:…3分由=0即即对称中心的横坐标为…………6分(Ⅱ)由已知b2=ac即的值域为综上所述,值域为…………12分20．解:(I)由已知a2－a1=－2, a3－a2=－1, －1－(－2)=1 ∴an+1－an=(a2－a1)+(n－1)·1=n－3n≥2时,an=(an－an－1)+( an－1－an－2)+…+( a3－a2)+(a2－a1)+ a1=(n－4)+(n－5) +…+(－1)+(－2)+6=n=1也合适. ∴an=(n∈N_) ……………………3分又b1－2=4.b2－2=2 .而∴bn－2=(b1－2)·()n－1即bn=2+8·()n…6分∴数列{an}.{bn}的通项公式为:an= ,bn=2+()n－3(II)设当k≥4时为k的增函数,－8·()k也为k的增函数,而f(4)=∴当k≥4时ak－bk≥………………10分又f(1)=f(2)=f(3)=0 ∴不存在k, 使f(k)∈(0,)…………12分21．(I)由已知………………3分∴椭圆的方程为,双曲线的方程.又∴双曲线的离心率…………………………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)A(－5,0),B(5,0) 设M得m为AP的中点∴P点坐标为将m.p坐标代入c1.c2方程得消去y0得解之得由此可得P(10,………………9分当P为(10, 时 PB: 即代入MN⊥_轴即…………12分22．(Ⅰ)证明:∴结论成立……………………………………4分(Ⅱ)证明:当即…………9分(Ⅲ)解:(1)当如果即时,则函数在上单调递增如果当时,最小值不存在…………………………11分(2)当如果如果…13分当综合得:当时g(_)最小值是当时g(_)最小值是当时g(_)最小值为当时g(_)最小值不存在………………14分。
高考数学第一次调研试卷含答案
泰州市高三第一次调研测试数学第Ⅰ卷（共60分）一、填空题1.函数的最小正周期为．2设集合,,,则 .3.复数,其中为虚数单位,则的实部为．4.口袋中有若干红球,黄球和篮球,从中摸出一只球.已知摸出红球的概率为0.48,摸出黄球的概率为0.35,则摸出篮球的概率为．5.如图是一个算法的流程图,则输出的的值是．6.若实数,满足则的最大值为．7.抽样统计甲乙，两名学生的5次训练成绩（单位：分），结果如下：则成绩较为稳定（方差较小）的那位学生成绩的方差为．8.如图，在正四棱柱中，，，则三棱锥2sin(3)3y xπ=-{1,3}A={2,5}B a=+{3}A B=A B=2(12)z i=+i znx y24,37,0,0,x yx yxy+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩32z x y=+1111ABCD A B C D-3AB cm=11AA cm=的体积为 ．9.在平面直角坐标系中，直线为双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为 ．10.（九章算术）中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为 升．11.在中，若，则的值为 ． 12.已知两曲线，，相交点，若两曲线在点处的切线互相垂直，则实数的值为 ．13.已知函数，则不等式的解集用区间表示为 ．14.在平面直角坐标系中，已知，为圆上两点，点，且，则线段的长的取值范围为第Ⅱ卷（共90分）二、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.如图，在平面直角坐标系中，以轴正半轴为始边作锐角，其终边与单位圆交于点.以为始边作锐角,其终边与单位圆交于点,. 11D A BD -3cm xOy 20x y +=22221(0,0)x y a b a b-=>>ABC ∆2BC BA AC AB CA CB ⋅+⋅=⋅sin sin AC()2sin f x x =()cos g x a x =(0,)2x π∈P Pa ()|||4|f x x x =+-2(2)()f x f x +>xOy B C 224x y +=(1,1)A AB AC ⊥BC xOy x αA OA βB AB =(1)求的值;(2)若点的横坐标为,求点的坐标. 16. 如图,在四棱锥中,四边形为平行四边形, 相交于点,点为的中点, .求证:（1）直线平面； （2）平面平面.17.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，焦点到相应准线的距离为1. cos βA 513B p ABCD -ABCD ,AC BD OE PC ,OP OC PA PD =⊥//PA BDE BDE ⊥PCD xOy 22221(0,0)x y a b a b -=>>2（1）求椭圆的标准方程；（2）若为椭圆上一点，过点作的垂线交直线于点，求得值.18. 如图某机械长要将长6m,宽2m 的长方形铁皮进行剪裁,已知点为的中点,点在边上,裁剪时先将四边形沿直线翻折到处 (点,分别落在直线下方点处, 交边于点),在沿直线裁剪. (1)当时,是判断四边形的形状,并求其面积.(2)若使裁剪得到的四边形面积最大,请给出裁剪方案,并说明理由.19. 已知函数, (1)当时,求函数的最小值; P OOP y =Q 2211OP OQ +ABCD F AD E BC CDEF FE MNEF ,C D BC ,M N FN BC P 4EFP π∠=MNPEMNPE 2()ln ,f x ax x x a R =--∈38a =()f x(2)若,证明:函数有且只有一个零点. (3)若函数有两个零点,求实数的取值范围.20.已知等差数列的公差不为0,且成等比数列公比为.(1)若, ,求的值. (2)当为何值时，数列为等比数列. (3)如数列为等比数列,且对于任意,不等式恒成立,求的取值范围.10a a -≤≤()f x ()f x a {}n a 1,212,...,(......)k k kn n a a a k k k <<<<q 1231,3,8k k k ===1a d1a d{}n k {}n k *n N ∈2n kn n a a k +>1a泰州市高三第一次调研测试数学学科参考答案试卷答案一、填空题 1.【答案】2.【答案】3. 【答案】-34.【答案】0.175.【答案】56.【答案】77. 【答案】208.【答案】9.10.【答案】11.12.13.【答案】14.【答案】15.【解】 (1)在中，由余弦定理得，，所以23π{1,3,5}321322(,2)(2,)-∞-+∞AOB ∆2222cos AB OA OB OA OB AOB =+-⋅∠即 （2）因为, 所以， 因为点的横坐标为，由三角函数定义可得, 因为为锐角，所以 所以 所以点 16.【证明】（1）连结，因为为平形四边对角线的交点，所以为中点，又因为为的中点， 所以有因为平面,平面 所以直线平面（2）因为，，所以 因为，为的中点，所以 又因为平面，所以平面,所以平面222cos 2OA OB AB AOB OA OB+-∠=⋅22211352115+-==⨯⨯3cos 5β=3cos 5β=(0,)2πβ∈4sin 5β===A 5135cos 13α=α12sin 13α===5312433cos()cos cos sin sin 13513565αβαααβ+=-=-⨯⨯⨯=-1235456sin()sin cos cos sin 13513565αβαααβ+=+=⨯⨯⨯=3356(,),6565B -OE O ABCD O AC E PC //OE PA OE ⊂BDE PA ⊄BDE //PA BDE //OE PA PA PD ⊥OE PD ⊥OP OC =E PC OE PC ⊥PD ⊂PCD PC ⊂PCD PC PD P =OE ⊥PCD又因为平面,所以平面平面17. 【解】（1）由题意得， 解得,所以椭圆的方程为 （2）由题意知的斜率存在， 当的斜率为0时，所以当的斜率不为0时，设直线方程为由得，解得，所以 所以因为所以直线的方程为 由得，所以 所以 综上，可知18. 【解】（1）当时，有条件得所以，所以.四边形为矩形,所以四边形的面积OE ⊂BDE BDE ⊥PCD 2,12c a c a c===1,1a b ===2212x y +=OPOP OP OQ ==22111OP OQ +=OP OP y kx =2212x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩22(21)2k x +=22221x k =+222221k y k =+2222221k OP k +=+OP OQ ⊥OQ 1y x k=1y y xk ⎧=⎪⎨=⎪⎩x =2222OQ k =+222221121112222k OP OQ k k ++=+=++22111OP OQ +=4EFP π∠=4EFP EFD EFP π∠=∠=∠=2FPE π∠=FN BC ⊥MNPE MNPE(2)解法一:设,由条件,知所以由,得. 所以四边形面积为当且仅当,即,时取此时, 成立.22S PN MN M =⋅=(0)2EFD πθθ∠=<<EFP EFD EFP θ∠=∠=∠=22sin(2)sin 2PF πθθ==-23sin 2NP NF θ==23ME tan θ=-230sin 223002tan θθπθ⎧->⎪⎪⎪->⎨⎪⎪<<⎪⎩2sin 232302tan θθπθ⎧>⎪⎪⎪>⎨⎪⎪<<⎪⎩()•MNPE 1()2S NP ME MN =+122(3)(3)22sin 2tan θθ⎡⎤=-+-⨯⎢⎥⎣⎦226sin 2tan θθ=--2222(sin cos )6tan 2sin cos θθθθθ+=--36(tan +)tan θθ=-≤3tan =tan θθtan θ=3πθ=“”•（）答:当时,沿直线裁剪,四边形面积最大,最大值为.解法二:设,则 因为,所以,即 所以 由得所以四边形面积为 当且仅当,即时取”” 此时成立.答:当点距点时,沿直线裁剪,四边形面积最大,最大值为.19. 【解】(1)当时,. 所以. 令,得,当时,当;当时，， 所以函数在上单调递减,在上单调递增. 所以当时, 有最小值 (2)由,得 所以当时, 3EFD π∠=38a =23()ln 8f x x x x =--31(32)(2)()1,(0)44x x f x x x x x+-=--=>()0f x =2x =(0,2)x ∈(0f x ）<(2+)x ∈∞，(0f x ）>(f x ）(0,2)(2,)+∞2x =(f x ）1(2)ln 22f =--2()ln f x ax x x =--22121()21,(0)ax xf x ax x x x--=--=>0a ≤221()0ax xf x x--=<函数在上单调递减.所以当时,函数在上最多有一个零点.因为当时,， 所以当时,函数在上有零点. 综上,当时,函数有且只有一个零点.(3)解法一:有(2)知,当时,函数在上最多有一个零点. 因为函数有两个零点,所以,由，得,令， 因为.所以函数在上只有一个零点,设为当时,当时, 所以函数在上单调递减;在上单调递增. 要使得函数在上有两个零点, 只需要函数的极小值,即 又因为,所以,又因为函数在上是增函数,且,所以,得. 又由,得, 所以,以下验证当时,函数有两个零点.()f x (0,)+∞0a ≤()f x (0,)+∞10a -≤≤221(1)10,()e e af a f e e-+=-<=10a -≤≤()f x (0,)+∞10a -≤≤()f x 0a ≤()f x (0,)+∞()f x 0a >2()ln f x ax x x =--221(),(0)ax xf x x x--=>2()21g x ax x =--(0)10,20g a =-<>()g x (0,)+∞0x 0(0,)x x ∈()0,()0g x f x <<；0(+)x x ∈∞，()0,()0g x f x >>；()f x 0(0,)x 0(+)x ∞，()f x 0(+)x ∞，()f x 0()0f x <2000ln 0ax x x --<200()210g x ax x =--=2002ln 10x x +->200()2ln 1h x x x =+-0(+)x ∞，(1)0h =0x >1101x<<20002ln 0ax x x --=22000111112()()24a x x x =+=+-01a <<01a <<()f x当时, 所以 因为.且 所以函数在上有一个零点.因为（因为），且所以函数在有一个零点所以当时,函数在内有两个零点. 综上,实数的取值范围为(0,1). 下面证明:.设,所以 令,得当时,当时，.所以函数在上单调递减,在上单调递增. 所以当时, 有最小值. 所以,得成立.解法二:由(2)知当 时,函数在上最多有一个零点,因为函数有两个零点,所以.由,得关于的方程有两个不等实数解. 又因为,01a <<21211()10a a g a a a a-=--=>011x a<<222112()10a e e f e e e e-+=-+=>0()0f x <()f x 01(,)x e2242222()ln (1)10a f a aa a a a =--=≥--=>ln 1x x ≤-0()0f x <()f x 02(,)x a01a <<()f x 12(,)e aa ln 1x x ≤-()1ln t x x x =--'11()1,(0)x t x x x x-=-=>'()0t x =1x =(0,1)x ∈'()0t x <(1,)x ∈+∞'()0t x >()t x (0,1)(1,)+∞1x =()t x (1)0t =()1ln t x x x =--ln 1x ≤-0a ≤()f x (0,)+∞()f x 0a >2()ln 0f x ax x x =--=x 2ln ,(0)x xa x x+=>ln 1x x ≤-所以 因为时，,所以.又当时，,即关于的方程有且只有一个实数。
高三数学第一次调研考试试题
卜人入州八九几市潮王学校2021年兴仁高三数学第一次调研考试第I 卷(选择题一共60分)参考公式：假设事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)假设事件A 、B 互相HY ，那么P(A+B)=P(A)·P (B)假设事件二在二获击验中。
发生的概率是P ，那么n 次HY 重复试验中恰好发生k 次的概率 正棱锥、圆锥的侧面积公式cl S 21=锥体侧其中c 表示底面周长，l 表示斜高或者母线长 球的体积公式334R V π=球其中R 表示球的半径 一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的．1．集合A ＝{0，2，4}，B ＝{x ｜x ＝ab ，a ，A b ∈，a ≠b }，那么集合B 的子集的个数为〔〕．A ．4B ．8C ．16D ．152．设3a =4，3b =12，3c=36，那么数列a ，b ，c A ．是等差数列但不是等比数列B ．是等比数列但不是等差数列C ．既是等差数列又是等比数列D ．既不是等差数列也不是等比数列3．种植两株不同的花卉，假设它们的存活率分别为p 和q ，那么恰有一株存活的概率为A ．p+q －2pqB ．p+q －pqC ．p+qD ．pq4．函数)2cos(3)2sin()(ϕϕ+++=x x x f 图像关于原点对称的充要条件是 A ．Z k k ∈-=,62ππϕB ．Z k k ∈-=,6ππϕC ．Z k k ∈-=,32ππϕD ．Z k k ∈-=,3ππϕ 5．将棱长为3的正四面体的各棱三等份，经过分点将原正四面体各顶点附近均截去一个棱长为1的小正四面体，那么剩下的多面体的棱数E 为A ．16B ．17C ．18D ．196．设f(x)=x 2+ax+b ，且1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，那么点〔a ，b 〕在aOb 平面上的区域的面积是 A ．21B ．1 C ．2D ．29 7．向量OP=〔2，1〕，OA=〔1，7〕，OB=〔5，1〕，设X 是直线OP 上的一点〔O 为坐标原点〕，那么XA ·XB 的最小值是A ．－16B ．－8C ．0D ．48．直线134=+y x 与椭圆191622=+y x 相交于A 、B 两点，椭圆上的点P 使△PAB 的面积等于12，这样的点P 一共有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．函数y=f(x)与y=g(x)有一样的定义域，且都不是常数函数，对定义域中任何x ，有f(x)+f(－x)=0，g(x)g(－1)=1，且当x ≠0时，g(x)≠1，那么)(1)()(2)(x f x g x f x F +-= A ．是奇函数但不是偶函数B ．是偶函数但不是奇函数C ．即是奇函数又是偶函数D ．即不是奇函数也不是偶函数10．当x ∈[0，2]时，函数f(x)=ax 2+4(a －1)x －3在x=2时获得最大值，那么a 的取值范围是 A ．),21[+∞-B ．[1，+∞)C ．(0，+∞)D ．),32[+∞ 11．直线ax+by+1=0中的a ，b 是取自集合{－3，－2－1，0，1，2}中的2个不同的元素，并且直线的倾斜角大于60°，那么符合这些条件的直线一共有A ．8条B ．11条C ．13条D ．16条12．方程x 3－6x 3+9x －10=0的实根个数是 A ．3B ．2 C ．1D ．0第II 卷(非选择题一共90分)二、填空题：本大题一一共4小题；每一小题4分，一共16分．把答案填在题中横线上13．某一共有学生4500名，其中初中生1500名，高中生3000名，用分层抽样法抽取一个容量为300的样本，那么初中生应抽取___________名。
高三上学期数学第一次调研试卷真题
高三上学期数学第一次调研试卷一、单项选择1. 已知集合M={x|x2﹣6x+5＜0，x∈Z}，N={1，2，3，4，5}，则M∩N=（）A . {1，2，3，4}B . {2，3，4，5}C . {2，3，4}D . {1，2，4，5}2. 已知全集U=R，集合A={x|y=lg（x﹣1）}，集合，则A∩B=（）A . ∅B . （1，2]C . [2，+∞）D . （1，+∞）3. 已知集合A={﹣1，1}，B={x|mx=1}，且A∪B=A，则m的值为（）A . 1B . ﹣1C . 1或﹣1D . 1或﹣1或04. 集合A={y|y=﹣x2+4，x∈N，y∈N}的真子集的个数为（）A . 9B . 8C . 7D . 65. 下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）A . y=lnxB . y=x2C . y=cosxD . y=2﹣|x|6. 函数y=（a2﹣4a+4）ax是指数函数，则a的值是（）A . 4B . 1或3C . 3D . 17. 已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f （x）=2x2，则f（7）=（）A . 2B . ﹣2C . ﹣98D . 988. 已知a= ，b= ，c= ，则（）A . b＜a＜cB . a＜b＜cC . b＜c＜aD . c＜a＜b9. 函数y=e﹣|x﹣1|的图象大致形状是（）A .B .C .D .10. 函数f（x）=2x2﹣mx+2当x∈[﹣2，+∞）时是增函数，则m的取值范围是（）A . （﹣∞，+∞）B . [8，+∞）C . （﹣∞，﹣8]D . （﹣∞，8]11. 已知f（x）是定义在R上的奇函数，对任意x∈R，都有f（x+4）=f（x），若f（﹣1）=2，则f（2013）等于（）A . 2012B . 2C . 2013D . ﹣212. 设定义在R上的奇函数y=f（x），满足对任意t∈R都有f（t）=f（1﹣t），且x 时，f（x）=﹣x2，则f（3）+f（﹣的值等于（）A . ﹣B . ﹣C . ﹣D . ﹣二、填空题13. 函数f（x）= 的定义域是________．14. 已知函数f（x）=ax﹣1+2，a＞0 且a≠1，则f（x）必过定点________．15. 若函数f（x）=（x﹣a）（x+3）为偶函数，则f（2）=________．16. 已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）=f（x）对x∈R恒成立，当x∈[0，1]时，f（x）=2x，则f（﹣log224）=________．三、解答题17. 计算化简题：计算题（1）计算：（﹣）0+8 + ．（2）化简：log3 ．18. 已知A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，B⊆A，求m的取值范围．19. 已知函数f（x）=log2（3+x）﹣log2（3﹣x），（1）求函数f（x）的定义域，并判断函数f（x）的奇偶性；（2）已知f（sinα）=1，求α的值．20. 已知奇函数y=f（x）定义域是R，当x≥0时，f（x）=x（1﹣x）．（1）求出函数y=f（x）的解析式；（2）写出函数y=f（x）的单调递增区间．（不用证明，只需直接写出递增区间即可）21. 已知函数为奇函数．（1）求a的值；（2）判断函数f（x）的单调性，并根据函数单调性的定义证明．22. 设函数，a为常数，且f（3）=（1）求a值；（2）求使f（x）≥4的x值的取值范围；（3）设g（x）=﹣x+m，对于区间[3，4]上每一个x值，不等式f（x）＞g（x）恒成立，求实数m的取值范围．。
高三数学第一次调研考试试题_1
2021届高三数学第一次调研考试试题制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日全卷满分是150分，时间是120分钟． 2021.07 考前须知：1．在答题之前，所有考生必须将本人的姓名、准考证号、座位号、、班级等考生信息填写上在答题卡上。
2．答题单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目之答案信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在套本套试卷上无效。
3．非选择题必须用黑色字迹签字笔答题，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在套本套试卷上无效。
一、单项选择题：此题一共10小题，每一小题满分是5分，一共50分。
在每一小题给出的四个选项里面，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分。
1．设集合2{|560}M x x x =-+<，集合{}0N x x =>, 那么=N M 〔 〕.A ．{}0x x > B ．{|3}x x < C ．{|2}x x < D ．{}23x x <<2．复数z 满足(1)=1i z i +⋅-+，其中i 为虚数单位，那么复数z =〔 〕.A ．1i +B ．1i -C ．iD ．i - 3．2sin 3α=，那么()cos 2α-=〔 〕.A ．19 B ．19-C ．3D ．4．向量(),3k =a ，向量()1,4=b ，假设⊥a b ，那么实数k =〔 〕.A ．12B ．12-C ．43 D ．43- 5．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，那么直线1DA 与直线AC 所成角的余弦值 为〔 〕.A ．12-B．2C ．12 D．2 6．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线平行于直线:250l x y ++=，那么双曲线的离心率为〔 〕. A ．12BCD7．?张丘建算经?是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-485年间。
高三数学第一次学情调研考试试题卷(含参考答案)
高三数学第一次学情调研考试试题卷（考试时间120分钟，总分160分）一、填空题1． 已知集合{124}{234}，，，，，A B ==，则A B =I ▲ ．2．在复平面内，复数2i1+iz =（i 为虚数单位）对应点的坐标是 ▲ ．3．已知5个正整数，它们的平均数是4，众数是35，，则这5个数的方差为 ▲ ．4．根据如图所示的伪代码，则输出的S 的值为 ▲ ．5．已知双曲线22221(00)y x a b a b-=>>，则该双曲线的渐近线方程为 ▲ ． 6．甲约乙下中国象棋，若甲获胜的概率为0.6，甲不输的概率为0.9，则甲乙和棋的概率为 ▲ ．7．各棱长都为2的正四棱锥与正四棱柱的体积之比为m ，则m 的值为 ▲ ． 8．已知等比数列{}n a 的公比为()q q ∈Z ，若1418a a +=，且2312a a +=，则1a 的值为▲ .9．已知02παβ<<<，若tan tan 2αβ=，且1sin sin 3αβ=，则βα-的值为 ▲ ．10．已知函数()(){2ln 030x a x f x x ax a x +≤=-+>，，有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ▲ .11．设正实数，a b 满足11b a b+=，则2a b +的最小值为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xoy 中，已知圆22:9C x y +=，点A 是圆C 与x 正半轴的交点，点P是圆C 上异于点A 的任意一点，若直线:2l y kx =+恰有一点B 满足2AB BP =，则实数S ← 0For i From 1 To 5 Step 2 ()sin 6i S S π←+（第4题）k 的所有值为 ▲ ．13. 已知平面向量，，a b c 满足1=a ，12⋅=a b ，2⋅=a c ，且22-=b c ，求⋅b c 的最小值为 ▲ ．14. 在锐角三角形ABC 中，AD 是边BC 上的中线，且AD AB =，则tan tan tan A B C 的最小值 ▲ ． 二、解答题15. （本小题满分14分）已知△ABC 中，1tan 4A =，3tan 5B =，AB ．求：（1）角C 的大小；（2）△ABC 中最小边的边长．16. （本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 是矩形，PA AB =，E 为PB 的中点． （1）若过，，C D E 的平面交PA 于点F ，求证：F 为P A 的中点；PBEF（2）若平面PAB⊥平面PBC，求证：BC PA．17. （本小题满分14分）如图是一块地皮OAB，其中OA，AB是直线段，曲线段OB是抛物线的一部分，且点O 是该抛物线的顶点，OA所在的直线是该抛物线的对称轴．经测量，2OA=km，AB =，π4OAB?．现要从这块地皮中划一个矩形CDEF 来建造草坪，其中点C 在曲线段OB 上，点D ，E 在直线段OA 上，点F 在直线段AB 上，设CD a =km ，矩形草坪CDEF 的面积为()f a km 2． （1）求()f a ，并写出定义域；（2）当a 为多少时，矩形草坪CDEF 的面积最大？18. （本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知12F F ，分别为椭圆()222210y x a b a b+=>>的左，右 B(第17题)AC FOED焦点，且椭圆经过点()20A ，和点()13e ，，其中e 为椭圆的离心率． （1）求椭圆的标准方程；（2）过点A 的直线交椭圆于另一点B ，点M 在直线上，且OM MA =．若12MF BF ⊥，求直线的斜率．19. （本小题满分16分）已知函数()ln f x x x a =+，()ln g x x ax =-，a ∈R . （1）求函数()f x 的极值；l l l（2）若函数()g x 有两个零点，求实数a 取值范围；（3）若当()1，x ∈+∞时，()()0f x g x +>恒成立，求实数a 的最大值．20. (本小题满分16分)已知数列{}n a 、{}n b 、{}n c ，对于给定的正整数k ，记n n n k b a a +=-，n n n k c a a +=+()n *∈N .若对任意的正整数n 满足：1n n b b +≤，且{}n c 是等差数列，则称数列{}n a 为“()H k ”数列.（1）若数列{}n a 的前n 项和为2n S n =，证明：{}n a 为()H k 数列；（2）若数列{}n a 为()1H 数列，且112115a b c ==-=，，，求数列{}n a 的通项公式； （3）若数列{}n a 为()2H 数列，证明：{}n a 是等差数列 ．数学Ⅱ（附加题）（考试时间30分钟，总分40分）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ． [选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）若点()12，P 在矩阵11a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 对应的变换作用下得到点()54，P '，求矩阵A 和矩阵 A 的特征值．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）已知点P 是曲线2cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，2≤≤ππθ）上一点，O 为原点．若直线OP 的倾斜角为π4，求点P 的直角坐标．C ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知1x ，2x ，3x 为正实数，若1231x x x ++=，求证：2223211231x x x x x x ++≥【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1=AB =AC =2，AB ⊥AC ，M 是棱BC 的中点，点P 在线段A 1B 上．（1）若P 是线段A 1B 的中点，求直线MP 与直线AC 所成角的大小；（2）若N 是1CC 的中点，直线1A B 与平面PMN ，求线段BP 的长度．23．（本小题满分10分）设整数3n ≥，集合{}123，，，，P n =，，A B 是P 的两个非空子集，，记n a 为所有满足AB ≠∅的集合对()，A B 的个数． （1）求3a ；（2）求n a ．高三数学模拟训练答案【填空题答案】 1.{}24，2. ()11，3. 454. 25. 22133y x -= 6. 0.38. 2 9. 3π10. 4a >11. 4+ 12. {}403， 13. 5814.二、解答题15. 解：（1）在△ABC 中，()()()tan tan tan C A B A B π=-+=-+ ………2分 13tan tan 4511tan tan 13145A B A B ++=-=-=---⋅ …………………2分又0C π<<,所以34C π=． ……………2分（2）因为tan tan A B <，知A 为最小角， ……………2分 又因为sin 1tan cos 4A A A ==，22sin cos 1A A +=，所以sin A …………2分由正弦定理知，sin sin BC AB A C =,3sin 4π=, ……………2分所以，最小边BC =． …………………2分 16. 解：（1）因为ABCD 是矩形，所以，∥CD AB ，又平面AB PAB ⊂，平面CD PAB ⊄，所以∥平面CD PAB ， …………………2分又平面CD CDEF ⊂，平面平面CDEF PAB EF =，所以∥CD EF ， …………………2分所以∥AB EF ，又在△PAB 中，E 为PB 的中点，所以，F 为PA 的中点． …………………2分 （2）因为PA AB =，E 为PB 的中点，所以⊥AE PB ， …………………2分平面AE PAB ⊂ 又平面PAB ⊥平面PBC ，平面PAB ⊥平面PBC PB =，所以⊥平面AE PBC ， …………………2分 平面B C P B C ⊂，所以⊥AE BC ，又ABCD 是矩形，所以⊥AB BC ，AEAB A =，，平面AB AE PAB ⊂，所以，⊥平面BC PAB ，…………………2分平面PA PAB ⊂，所以BC PA ⊥． …………………2分17.（本小题满分14分）（1）以O 为原点，OA 边所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 过点B 作BG OA ^于点G ， 在直角ABC △中，AB =π4OAB?所以1AG BG ==，又因为2OA =， 所以1OG =，则(1,1)B ，设抛物线OCB 的标准方程为22y px =， 代入点B 的坐标，得12p =，所以抛物线的方程为2y x =．因为CD a =，所以AE EF a ==，则22DE a a =--， 所以2()(2)f a a a a =--322a a a =--+，定义域为(01)，．（2）2'()322f a a a =--+，令'()0f a =，得a =当0a <<'()0f a >，()f a在上单调增；1a <时，'()0f a <，()f a在上单调减．所以当a =时，()f a 取得极大值，也是最大值．答：（1）32()2f a a a a =--+，定义域为(0,1)；（2）当a =时，矩形草坪CDEF 的面积最大．18.解：18． 解：（1）因为椭圆经过点和点， 所以 ……………………………2分解得， 所以椭圆的方程为． ………………５分 （2）解法一：由（1）可得， 设直线的斜率为，则直线的方程为．由方程组消去，整理得，解得或，所以点坐标为． ………………… 8分由知，点在的中垂线上，又在直线上，所以点坐标为． …………… 10分(20)A ，(13)e ，22222219144a c b b c a ⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎩，，，21a b c ===，13422=+y x 12(10)(10)F F -，，，l k l )2(-=x k y 22(2)143y k x y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，y 0121616)34(2222=-+-+k x k x k 2=x 346822+-=k k x B 22286124343k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，MA OM =M OA 1=x M l M ),1(k -所以，． 若，则． …………… 14分 解得，所以，即直线的． ………………………… 16分解法二：由（1）可得， 设（），则①，……8分直线， 由知，点在的中垂线上，又在直线上，所以点坐标为． ……………… 10分所以，，若，则， 所以②，……12分由①②可得，即，所以或(舍)，．所以， 即直线的斜率． ………………… 16分19. 解：（1）()ln 1f x x '=+，令()0f x '=，得1x e=， …………1分1(2)F M k =-，()()222222286124912143434343k k k k F B k k k k ----=-=++++，，21BF MF ⊥222122228181220180434343k k k F M F B k k k --⋅=+==+++1092=k 10103±=k l 10103±12(10)(10)F F -，，，),(00y x B 20≠x 12432020=+y x )2(2:00--=x x y y l MA OM =M OA 1=x M l M ()012y x --，()1022y F M x -=-，200(1)F B x y =-，21BF MF ⊥220000120002(1)(2)2(1)022y x x y F M F B x x x ---⋅=--==--)2)(1(20020--=x x y 042411020=+-x x 0)2)(211(00=--x x 1120=x 20=x 111060±=y 002l y k x ==-l 10103±所以，()f x 有极小值1a e -，没有极大值； …………2分（2）1()g x a x'=-，①0a ≤时，()0g x '>，在()0，+∞单调递增，此时()g x 至多有一个零点，这与题意不符； …………1分②0a >，令()0g x '=，得1x a=，因为函数()g x 有两个零点，所以()11ln 10g a a =->，得10a e<< ………2分 ()10g a =-<，()()110g g a ⋅<，又()g x 在()11，a 上单调，且图象连续不间断， 所以()g x 在()11，a 上有一个零点； …………2分 ()2211111ln 2ln ga a aa a =-=-，()()2ln t t t t e ϕ=-> ()2210t t t tϕ-'=-=<，所以()t ϕ在()，e +∞单调减，所以()()20t e e ϕϕ<=-<，所以，()210ga <，()()2110g g a a⋅<，又()g x 在()211，a a 上单调，且图象连续不 间断，所以()g x 在()211，a a 上有一个零点； …………2分 综上，实数a 取值范围为10a e<<；（3）记()()()()()()1ln 11F x f x g x x x a x x =+=+-->()1ln x F x x a x +'=+-，令1ln x y x a x +=+-，221110x y x x x-'=-=> 所以，2y a >- ， …………2分 ①2a ≤时，()0F x '>，()F x 在()1，+∞上单调增，所以()0F x >，符合题意； …………1分②2a >时，()110a aF e e'=+>，()()10a F e F ''<，又()F x '在()1，+∞上单调增， 所以，()01，x ∃∈+∞，使得()00F x '=则当()01，x x ∈时，()0F x ≤，这与()0F x >恒成立不符，…………2分 综上，实数a 的最大值为2 ． …………1分20. 解：（1）当2≥n 时，12)1(221-=--=-=-n n n S S a n n n ……………2分当1=n 时，111==S a 符合上式， 则)1(12≥-=n n a n224,2--=-=∴k n c k b n n则4,11=-≤++n n n n c c b b对任意的正整数n 满足1+≤n n b b ，且}{n c 是公差为4的等差数列，}{n a ∴为)(k H 数列.………4分（2）21,1211=∴-==a b a由数列}{n a 为)1(H 数列，则}{n c 是等差数列，且5,321==c c 12+=∴n c n 即121+=++n a a n n ……………6分n a n a n n -=+-∴+)1(1则}{n a n -是常数列 n a a n =∴=-011 ……………9分验证：11-=-=+n n n a a b ，1+≤∴n n b b 对任意正整数n 都成立 n a n =∴……………10分附：121+=++n a a n n 3221+=+++n a a n n-得： 22=-+n n a akk a a k k a a k k 2)1(2,12)1(222112=-+=-=-+=∴-n a n =∴（3）由数列}{n a 为)2(H 数列可知：}{n c 是等差数列，记公差为dd b b a a a a c c n n n n n n n n 2)()(22422=--=+-+=-∴+++++ d b b n n 231=--∴++ 则022)()(321=-=-+-+++d d b b b b n n n n 又1+≤n n b b 1+=∴n n b b……………13分∴数列}{n b 为常数列，则12b a a b n n n =-=+122b a a a c n n n n -=+=∴+由2)(2111da a d a a c c n n n n n n =-∴=-=-+++……………16分 }{n a ∴是等差数列.高三数学模拟训练答案数学Ⅱ（附加题）A ． [选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）解：因为115124a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得12524a b +=⎧⎨+=⎩，解得22a b =⎧⎨=⎩，所以1221⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ， …………4分 ()12021f λλλ--==--，得()2140λ--=， 解得， 1231，λλ==- …………5分 所以1221⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，矩阵A 的特征值为31，-． …………1分B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）解：曲线C 直角坐标方程：()22014≤x y y +=， …………2分 直线OP 的方程为：0x y -=， …………2分联立方程组220140≤x y x y y ⎧+=⎪⎪-=⎨⎪⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， …………5分 所以P的直角坐标为()． …………1分C ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）因为2223211231231232()2x x x x x x x x x x x x +++++≥=++=， 当且仅当12313x x x ===时取“=”，所以，2223211231x x x x x x ++≥. …10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．以1{}AB AC AA ，，为正交基建立如图所示的空间直角坐标系，则(000)A ，，，(200)B ，，，(020)C ，，，1(002)A ，，，(110)M ，，．（1）若P 是线段A 1B 的中点，则(101)P ，，，(011)MP =-，，，(020)AC =，，． 所以cos MP AC MP AC MP AC⋅<>==-⋅，．又[0π]MP AC <>∈，，，所以3π4MP AC <>=，．所以直线MP 与直线AC 所成的角的大小为π4．（2）由(021)N ，，，得(111)MN =-，，． 设()P x y z ，，，1BP BA λ=，01λ≤≤， 则(2)(202)x y z λ-=-，，，，，所以2202x y z λλ=-⎧⎪=⎨⎪=⎩，，，所以(2202)P λλ-，，，所以(1212)MP λλ=--，，． 设平面PMN 的法向量(,,)x y z =n ， 则MN ⊥n ，MP ⊥n ，所以0,(12)20,x y z x y z λλ-++=⎧⎨--+=⎩取11(1,,1)22λλ=+n ．因为1(202)BA =-，，，设直线1A B 与平面PMN 所成角为θ． 由111sin cos (1BA BA BA θ⋅=<>===⋅，n n n 14λ=．A 1 C 1B 1PACB M第22题xyz N所以114BP BA =，所以114BP BA ==．23． 解：（1）集合对()，A B 共()()33212149--=个，先考虑A B =∅的情况：{}1=A 时，，{}2=B ，{}3=B ，{}23=，B ， {}2=A 时，，{}1=B ，{}3=B ，{}13=，B ， {}3=A 时，，{}1=B ，{}2=B ，{}12=，B {}12=，A 时，，{}3=B ，{}13=，A 时，，{}2=B ， {}23=，A 时，{}1=B ． 所以A B ≠∅的集合对()，A B 的个数为37，即337a =． …………3分（2）集合对()，A B 共()()()2212121n n n --=-个，先考虑A B =∅的情况：当A 中有k 个元素时，共有k n C 种选法，则B 中不能包括这k 个元素中任何一个，只能从包含剩余n k -个元素的集合中选取非空子集，共有21n k --种选法，故此时有()21kn k n C --种， …………2分所以，()111111212n n n kn kk n kkn n n k k k C C C -----===⋅-=⋅-∑∑∑ ()()000222nnkn kn nk n nnnn n n k k C C C C C C -==⎡⎤=⋅-⋅+⋅--+⎢⎥⎣⎦∑∑ ()()()1212112nnn ⎡⎤=+-+-+-⎣⎦()131222321n n n n n +⎡⎤=-+--=-+⎣⎦…………3分 所以，()212132143n n n n n n a +=---+=-． …………2分。
湖南省岳阳市2023届高三上学期教学质量监测(一)数学试题(1)
一、单选题二、多选题1. 已知命题：复数在复平面内所对应的点位于第四象限；命题：，，则下列命题中为真命题的是A．B．C．D．2.已知函数，则不等式的解集为（ ）A．B．C．D．3.双曲线：的右焦点为，和为双曲线上关于原点对称的两点，且在第一象限.连结并延长交双曲线于点，连结，若是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．4. 在中，D 为BC 的中点，设，，则（ ）A．B．C．D．5. 已知扇形弧长为，圆心角为2，则该扇形面积为（ ）A．B．C．D ．16. 函数的图象大致为（ ）A．B．C．D．7. 集合的真子集的个数是（ ）A．B．C．D．8. 已知函数，现给出如下结论：①是奇函数；②是周期函数；③在区间上有三个零点；④的最大值为.其中所有正确结论的编号为（ ）A ．①③B ．②③C ．②④D ．①④9. 若定义在上的函数同时满足：①；②对，成立；③对，，，成立；则称为“正方和谐函数”，下列说法正确的是（ ）A ．，是“正方和谐函数”B．若 为“正方和谐函数”，则C ．若为“正方和谐函数”，则在上是增函数D ．若为“正方和谐函数”，则对，成立湖南省岳阳市2023届高三上学期教学质量监测(一)数学试题(1)湖南省岳阳市2023届高三上学期教学质量监测(一)数学试题(1)三、填空题四、解答题10.已知双曲线的方程为，则（ ）A．渐近线方程为B．焦距为C．离心率为D ．焦点到渐近线的距离为811. 某商户收集并整理了其在2023年1月到8月线上和线下收入的数据，并绘制如图所示的折线图，则下列结论正确的是（）A ．该商户这8个月中，月收入最高的是7月B ．该商户这8个月的线上总收人低于线下总收入C ．该商户这8个月中，线上、线下收入相差最小的是7月D ．该商户这8个月中，月收入不少于17万元的频率是12. 对两个变量与进行线性相关性和回归效果分析，得到一组样本数据:，则下列说法不正确的是（ ）A ．若所有样本点都在直线上，则两个变量的样本相关系数为B ．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C ．若越大，则变量与的线性相关性越强D ．若越小，则变量与的线性相关性越强13. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式为 ．14.如图所示，在长方中，，点E是棱上的一个动点，若平面交棱于点F ，则四棱锥的体积为___________，截面四边形的周长的最小值为___________.15.已知函数的定义域为R ，且同时满足下列三个条件：①奇函数，②，③，则____________．16. 树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占.现从参与调查的人群中随机选出人，并将这人按年龄分组：第组，第组，第组第组第组得到的频率分布直方图如图所示：（1）求的值（2）求这人年龄的样本平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数(精确到小数点后一位)；（3）现在要从年龄较小的第组中用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人进行问卷调查，求第组恰好抽到人的概率.17. 第二十二届世界杯在卡塔尔举办，世界杯是全世界足球迷的盛宴，为全世界奉献精彩的比赛，世界上优秀的球员大部分在欧洲足球五大联赛踢球，其中以英格兰足球超级联赛（简称英超）和西班牙足球甲级联赛（简称西甲）最吸引球迷，2000~2021年22个赛季英超和西甲冠军球队积分的茎叶图和2000～2011年12个赛季英超和西甲冠军球队积分的统计表如下．年份2000年2001年2002年2003年2004年2005年2006年2007年2008年2009年2010年2011年英超808783909591898790868089西甲8075787784827685879996100(1)求2012~2021年10个赛季中英超和西甲冠军球队积分的平均数；(2)若某赛季冠军球队的积分超过86分，就认为该赛季夺冠是“困难的”．从2008~2011年英超的7个赛季中随机抽取2个，求只有1个赛季夺冠是“困难的”的概率．18. 已知函数．（1）讨论函数的单调区间；（2）当时，求证：．19. 据新华社北京2月26日报道，中国航天全年预计实施100次左右发射任务，有望创造新的纪录，我国首个商业航天发射场将迎来首次发射任务，多个卫星星座将加速组网建设；中国航天科技集团有限公司计划安排近70次宇航发射任务，发射290余个航天器，实施一系列重大工程任务.由于航天行业拥有广阔的发展前景，有越来越多的公司开始从事航天研究，某航天公司研发了一种火箭推进器，为测试其性能，对推进器飞行距离与损坏零件数进行了统计，数据如下：飞行距离x （kkm ）5663717990102110117损坏零件数y （个）617390105119136149163参考数据：，，，(1)建立y 关于x 的回归模型，根据所给数据及回归模型，求y 关于x 的回归方程（精确到0.1，精确到1）；(2)该公司进行了第二项测试，从所有同型号推进器中随机抽取100台进行等距离飞行测试，对其中60台进行飞行前保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的推进器占比30%，请根据统计数据完成2×2列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为推进器是否报废与保养有关？保养未保养合计报废20未报废合计60100附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，，；0.250.10.050.0250.010.0011.3232.7063.841 5.024 6.63510.82820.已知抛物线E：的焦点为F，为抛物线E上一点，且（O为坐标原点）的面积为．(1)求抛物线E的方程；(2)已知A，B，C，D是抛物线E上的动点，且，直线AB恒过点Q，点P关于点Q的对称点为M，直线CD过点M，证明：以CD为直径的圆过点P．21. 某村共有100户农民，且都从事蔬菜种植，平均每户的年收入为2万元．为了调整产业结构，该镇政府决定动员部分农民从事蔬菜加工．据估计，若能动员户农民从事蔬菜加工，则剩下的继续从事蔬菜种植的农民平均每户的年收入比上一年提高，而从事蔬菜加工的农民平均每户的年收入为万元．（1）在动员户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的总年收入不低于动员前100户农民的总年收入，求的取值范围；（2）在（1）的条件下，要使这100户农民中从事蔬菜加工的农民的总年收入始终不高于从事蔬菜种植的农民的总年收入，求的最大值．。
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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
高三第一次调研考试数学试题说明：本卷第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120第Ⅰ卷（选择题共60分）1．集合A 中有3个元素，集合B 中有2个元素，映射f:A →B 使得B 中有且只有一个元素 在A 中的原象为2个，这样的映射f 的个数为 （ ）A ．3B ．5C ．6D ．8 2．已知βαβαβαcos cos ,31)cos()cos(则=-++的值为（ ）A ．21 B ．31 C ．41 D ．61 3．下列判断错误的是（ ）A ．命题“若q 则p ”与命题“若p 则q ”互为逆否命题B ．“am 2<bm 2”是“a<b ”的充要条件C ．“矩形的两条对角线相等”的否命题为假D ．命题“}2,1{4}2,1{∈⊂或φ”为真（其中φ为空集）4．若实数a 、b 满足ab<0，则有（ ）A ．|a －b|<|a|－|b|B ．|a －b|<|a|+|b|C ．|a+b|>|a －b|D ．|a+b|<|a －b|5．若5)2(+x 的展开式第二项的值大于1000，则实数x 的取值范围为 （ ）A ．x <－10或x >10B ．345>xC ．4625>x D ．x >106．图中阴影部分可用哪一组二元一次不等式表示 （ ）A ．⎩⎨⎧≥+--≥0221y x yB ．⎩⎨⎧≤+--≥0221y x yC ．⎪⎩⎪⎨⎧≥+--≥≤02210y x y xD ．⎪⎩⎪⎨⎧≤+--≥≤02210y x y x7．生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一 个营养级.在H 1→H 2→H 3这个生物链中，若能使H 3获得10kj 的能量，则需H 1提供的能 量为（ ）A ．105kjB ．104kjC ．103kjD ．102kj 8．函数y=x 3－3x 在[－1，2]上的最小值为 （ ）A ．2B ．－2C ．0D ．－49．给定两个向量)()(),1,2(),4,3(x -⊥+==若，则x 的等于 （ ）A ．－3B ．23 C ．3 D ．－23 10．若某等差数列{a n }中，a 2+a 6+a 16为一个确定的常数，则其前n 项和S n 中也为确定的常数 的是 （ ）A ．S 17B ．S 15C ．S 8D ．S 7 11．方程0)1lg(122=-+-y x x 所表示的曲线图形是（ ）12．将一张画了直角坐标系且两轴的长度单位相同的纸折叠一次，使点（2，0）与点（－2， 4）重合，若点（7，3）与点（m ,n ）重合，则m+n 的值为A ．4B ．－4C ．10D ．－10二、填空题：本大题共4小题，共16分，把答案填在题中横线上. 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）13．某校高一、高二、高三三个年级的学生数分别为1500人、1200和1000人，现采用按年级分层抽样法了解学生的视力状况，已知在高一年级抽查了75人，则这次调查三个年级共抽查了 人. 14．已知=++=-)1(),1lg()(12f x x x f 则 .15．在一个水平放置的底面半径为3的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入下个半径为R的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升R ，则R= .16．设函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1)(x x x x f ，则方程)()12(1x f x x -=+的解为 . 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率.（1）摸出2个或3个白球 （2）至少摸出一个黑球.18．（本小题满分12分）如图，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=21AB ，点E 、M 分别为A 1B 、C 1C 的中点，过点A 1，B ，M 三点的平面A 1BMN 交C 1D 1于点N. （Ⅰ）求证：EM ∥平面A 1B 1C 1D 1； （Ⅱ）求二面角B —A 1N —B 1的正切值.19．（本小题满分12分）已知函数.3cos33cos3sin)(2xxxxf+=（Ⅰ）将f(x)写成)sin(φω+xA+B的形式，并求其图象对称中心的横坐标；（Ⅱ）如果△ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f(x)的值域.20．（本小题满分12分）设数列{a n }和{b n }满足a 1=b 1=6, a 2=b 2=4, a 3=b 3=3, 且数列{a n+1－a n }（n ∈N*）是等差数理，数列{b n －2}(n ∈N*)是等比数列. （Ⅰ）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （Ⅱ）是否存在k ∈N*，使a k －b k ∈（0，21）？若存在，求出k ；若不存在，说明理由.21．（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是,425=x 其左、右顶点分别是A 、B ；双曲线1:22222=-by a x C 的一条渐近线方程为3x －5y=0.（Ⅰ）求椭圆C 1的方程及双曲线C 2的离心率；（Ⅱ）在第一象限内取双曲线C 2上一点P ，连结AP 交椭圆C 1于点M ，连结PB 并延长交椭圆C 1于点N ，若MP AM =. 求证：.0=∙AB MN22．（本小题满分14分） 已知函数：)(1)(a x R a xa ax x f ≠∈--+=且（Ⅰ）证明：f (x )+2+f (2a －x )=0对定义域内的所有x 都成立. （Ⅱ）当f (x )的定义域为[a +21,a +1]时，求证：f (x )的值域为[－3，－2]； （Ⅲ）设函数g(x )=x 2+|(x －a )f (x )| ,求g(x ) 的最小值 .参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题4个小题，共16分） 13．185 14．2099 15．23 16．X=0，2或－4171+ 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．解：（Ⅰ）设摸出的4个球中有2个白球、3个白球分别为事件A 、B ，则73)(,73)(481325482325=⋅==⋅=C C C B P C C C A P ∵A 、B 为两个互斥事件 ∴P （A+B ）=P （A ）+P （B ）=76即摸出的4个球中有2个或3个白球的概率为76…………6分 （Ⅱ）设摸出的4个球中全是白球为事件C ，则P （C ）=1414845=C C 至少摸出一个黑球为事件C 的对立事件其概率为14131411=-………………12分 18．（A ）（Ⅰ）证明：取A 1B 1的中点F ，连EF ，C 1F∵E 为A 1B 中点∴EF ∥21BB 1…………2分 又∵M 为CC 1中点 ∴EF ∥ C 1M∴四边形EFC 1M ∴EM ∥FC 1 ……4分 而EM ⊄平面A 1B 1C 1D 1 . FC 1⊂平面A 1B 1C 1D 1 . ∴EM ∥平面A 1B 1C 1D 1………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）EM ∥平面A 1B 1C 1D 1 EM ⊂平面A 1BMN 平面A 1BMN ∩平面A 1B 1C 1D 1=A 1N ∴A 1N// EM// FC 1 ∴N 为C 1D 1 中点过B 1作B 1H ⊥A 1N 于H ，连BH ，根据三垂线定理 BH ⊥A 1N ∠BHB 1即为二面角B —A 1N —B 1的平面角……8分 设AA 1=a ， 则AB=2a ， ∵A 1B 1C 1D 1为正方形 ∴A 1H=a 5 又∵△A 1B 1H ∽△NA 1D 1 ∴B 1H=54522a aa a =⋅在Rt △BB 1H 中，tan ∠BHB 1=455411==a a H B BB 即二面角B —A 1N —B 1的正切值为45……12分 （B ）（Ⅰ）建立如图所示空间直角坐标系，设AB=2a ，AA 1=a(a>0)，则A 1（2a ，0，a ），B （2a, 2a , 0）,C （0，2a ，0），C 1（0，2a ，a ）……2分∵E 为A 1B 的中点，M 为CC 1的中点 ∴E （2a , a , 2a ），M （0，2a, 2a） ∴EM// A 1B 1C 1D 1 …………6分（Ⅱ）设平面A 1BM 的法向量为=（x, y , z ）又A 1=（0，2a , －a ） )2,0,2(aa BM -=由A ⊥⊥,1，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-24,02202z y z x azax az ay ),2,4(a aa n =∴…………9分而平面A 1B 1C 1D 1的法向量为)1,0,0(1=n .设二面角为θ，则214||||cos |11==n n θ又：二面角为锐二面角 214cos =∴θ，……11分从而45tan =θ………………12分 19．（I ）解：23)332sin(2332cos 2332sin 21)32cos 1(2332sin 21)(++=++=++=πx x x x x x f …3分 由)332sin(π+x =0即z k k x z k k x ∈-=∈=+πππ213)(332得即对称中心的横坐标为z k k ∈-π213…………6分（Ⅱ）由已知b 2=a c231)332sin(31)332sin(3sin |295||23|9533239301cos 21212222cos 22222+≤+<∴≤+<∴->-≤+<≤<<≤∴=-≥-+=-+=πππππππππππx x x x x ac ac ac ac ac c a ac b c a x 分 即)(x f 的值域为]231,3(+ 综上所述，]3,0(π∈x )(x f 值域为]231,3(+ …………12分 20．解：（I ）由已知a 2－a 1=－2, a 3－a 2=－1, －1－(－2)=1∴a n+1－a n =(a 2－a 1)+(n －1)·1=n －3n ≥2时，a n =( a n －a n －1)+( a n －1－a n －2)+…+( a 3－a 2)+( a 2－a 1)+ a 1=(n －4)+(n －5) +…+(－1)+(－2)+6=21872+-n n n=1也合适. ∴a n =21872+-n n (n ∈N*) ……………………3分 又b 1－2=4、b 2－2=2 .而2142= ∴b n －2=（b 1－2）·(21)n －1即b n =2+8·(21)n …6分 ∴数列{a n }、{b n }的通项公式为：a n =21872+-n n ，b n =2+(21)n －3 （II ）设k k k k k k k b a k f )21(887)27(21)21(872721)(22⋅-+-=⋅-+-=-= 当k ≥4时87)27(212+-k 为k 的增函数，－8·(21)k 也为k 的增函数，而f (4)= 21 ∴当k ≥4时a k －b k ≥21………………10分 又f(1)=f(2)=f(3)=0 ∴不存在k ， 使f(k)∈（0，21）…………12分 21．（I ）由已知⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-===435:534252222c b a b a c a b c a 解之得………………3分 ∴椭圆的方程为192522=+y x ，双曲线的方程192522=-y x .又34925=+='C ∴双曲线的离心率5342=e …………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）A （－5，0），B （5，0） 设M MP AM y x =则由),(00得m 为AP 的中点 ∴P 点坐标为)2,52(00y x + 将m 、p 坐标代入c 1、c 2方程得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=+1925)52(19252002020y x y x 消去y 0得02552020=-+x x 解之得)(52500舍或-==x x 由此可得P （10，)33………………9分当P 为（10，)33 时 PB ：)5(51033--=x y 即)5(533-=x y 代入)(525025152:1925222舍或得==+-=+x x x y x M N N x x x =∴=∴25 MN ⊥x 轴 即0=⋅…………12分 22．（Ⅰ）证明：xa a a x a x a a x x a f x f +--+-++--+=-++21221)2(2)( 01221121=--+--+-+=-+-++--+=x a x a x a a x a x x a x a a x ∴结论成立 ……………………………………4分 （Ⅱ）证明：xa x a x a x f -+-=-+--=111)()( 当112,211211121-≤-≤--≤-≤---≤-≤--+≤≤+xa x a a x a a x a 时 2113-≤-+-≤-xa 即]2,3[)(--值域为x f …………9分 （Ⅲ）解：)(|1|)(2a x a x x x g ≠-++=（1）当a x a x x x g a x a x -++=-++=≠-≥43)21(1)(,122时且 如果211-≥-a 即21≥a 时，则函数在),(),1[+∞-a a a 和上单调递增 2min )1()1()(-=-=a a g x g 如果a g x g a a a -=-=-≠<-<-43)21()(,2121211min 时且即当 当21-=a 时，)(x g 最小值不存在…………………………11分 （2）当45)21(1)(122-+-=+--=-≤a x a x x x g a x 时如果45)21()(23211min -==>>-a g x g a a 时即 如果2min )1()1()()1,()(23211-=-=--∞≤≤-a a g x g a x g a a 上为减函数在时即…13分 当0)21()43()1(210)23()45()1(232222>-=---<>-=--->a a a a a a a a 时当时 综合得：当2121≠<a a 且时 g （x ）最小值是a -43 当2321≤≤a 时 g （x ）最小值是2)1(-a 当23>a 时 g （x ）最小值为45-a 当21-=a 时g （x ）最小值不存在………………14分。