等差数列(公开课)
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等差数列的性质课件(公开课)
所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费。
由题意得，
a1=11.2, d=1.2, n=11,
∴a11=11.2+(11－1) ×1.2 =23.2(元)
答:需要支付车费23.2元.
课堂练习
1.等差数列{an}的前三项依次为 a-6，2a -5， -3a +2，则 a 等于（ B )
A . -1
你能得出一般结论吗？
性质二、两项和相等关系 数列{an}是等差数列，m、n、p、 q∈N+，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq. 推广：若m+n=2p，则am+an=2ap.
思考4.性质二反过来是否成立？
练习：判断对错：
(1)a3 + a5 = a1 + a7
(2)a1 + a4 + a6 = a3 + a8
53 2
an a3 (n 3)d
2 3(n 3)
3n 7
∴{an}的通项公式为an=3n-7
思考5. 在等差数列{an}中，若ap=q, aq=p,其中p,q
为正整数，求ap+q
例3. 某市出租车的计价标准是1.2元/km,起步价 为10元，即最初的4km（不含4km)计费10元. 如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目 的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付 多少车费？
等差数列(二)
知识回顾
1.等差数列 的定义： （1）.文字语言：如果一个数列从第2项起， 每一项与它前一项的差等于同一个常数.
（2）.数学语言 ： an1 an d, n N *
2.等差数列 的通项公式： an a1 (n 1)d, n N *
2.2等差数列定义与通项公式省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
20 0 (n 1) 7 n 47 (舍)
2
7
第11页
例2 在等差数列中,已知a5=10,a12=31,
求首项a1与公差d.
解：由题意可知
an a1 (n 1)d
a1 4d 10 a1 11d 31
这是一个以 a1和 为d 未知数二元一次方程 组，解这个方程组，得
a1 2 d 3
A. 1
B. -1
C.- 1 3
5 D. 11
提醒： (-3a-5 )-(a-6)=(-10a-1) -(-3a-5 )
2. 在数列{an}中a1=1，an= an+1+4，则a10= -35 .
提醒： d=an+1- an=-4
3. 在等差数列{an}中a1=83，a4=98，则这个数列有 多少项在300到500之间？ 40
●
an f (n)
4
●
3
2
●
1
●
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
●
第15页
等差数列图象2
10
9 （2）数列：7，4，1，-2，…
8
7
●
6
5
4
●
3
2
●
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
●
第16页
10 等差数列图象3
9 （3）数列：4，4，4，4，4，4，4，… 8
7 6
5
a5 a4 d (a1 3d) d a1 4d
an a1 (n 1)d
n=1时亦适合
第8页
…
等差数列通项公式
a2 a1 d
a3 a2 d
a4 a3 d
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
数学建模
等差数列的前n项和公式也可以用于数学建模，例如在解决一 些实际问题时，可以利用等差数列的前n项和来建立数学模型 ，从而更好地理解和解决这些问题。
在物理中的应用
物理学中的等差数列
在物理学中，有些物理量呈等差数列 分布，例如光的波长、音阶的频率等 ，等差数列的前n项和公式可以用于 计算这些物理量的总和。
物理学中的级数求和
在物理学中，有些级数的求和问题可 以用等差数列的前n项和公式来解决 ，例如在求解一些物理问题的近似解 时，可以利用等差数列的前n项和来 简化计算。
在经济中的应用
金融投资
在金融投资中，有些投资组合的收益 呈等差数列分布，例如定期存款、基 金定投等，等差数列的前n项和公式 可以用于计算这些投资组合的总收益 。
CHAPTER 02
等差数列的前n项和公式
等差数列前n项和的定义
01
02
03
定义
等差数列的前n项和是指 从第一项到第n项的所有 项的和。
符号表示
记作Sn，其中S表示总和 ，n表示项数。
举例
对于等差数列2, 4, 6, ..., 2n，前n项和为Sn = 2 + 4 + 6 + ... + 2n。
等差数列前n项和(公开 课)ppt课件
汇报人：可编辑
2023-12-23
CONTENTS
目录
• 等差数列的概念 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列前n项和的特例 • 等差数列前n项和的应用 • 习题与解答
CHAPTER 01
等差数列的概念
等差数列的定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常
等差数列前n项和的公式推导
推导方法
等差数列的前n项和公式也可以用于数学建模，例如在解决一 些实际问题时，可以利用等差数列的前n项和来建立数学模型 ，从而更好地理解和解决这些问题。
在物理中的应用
物理学中的等差数列
在物理学中，有些物理量呈等差数列 分布，例如光的波长、音阶的频率等 ，等差数列的前n项和公式可以用于 计算这些物理量的总和。
物理学中的级数求和
在物理学中，有些级数的求和问题可 以用等差数列的前n项和公式来解决 ，例如在求解一些物理问题的近似解 时，可以利用等差数列的前n项和来 简化计算。
在经济中的应用
金融投资
在金融投资中，有些投资组合的收益 呈等差数列分布，例如定期存款、基 金定投等，等差数列的前n项和公式 可以用于计算这些投资组合的总收益 。
CHAPTER 02
等差数列的前n项和公式
等差数列前n项和的定义
01
02
03
定义
等差数列的前n项和是指 从第一项到第n项的所有 项的和。
符号表示
记作Sn，其中S表示总和 ，n表示项数。
举例
对于等差数列2, 4, 6, ..., 2n，前n项和为Sn = 2 + 4 + 6 + ... + 2n。
等差数列前n项和(公开 课)ppt课件
汇报人：可编辑
2023-12-23
CONTENTS
目录
• 等差数列的概念 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列前n项和的特例 • 等差数列前n项和的应用 • 习题与解答
CHAPTER 01
等差数列的概念
等差数列的定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常
等差数列前n项和的公式推导
推导方法
等差数列PPT市公开课一等奖省优质课获奖课件
=2n
当n=1时，a1=0
0
(n 1)
an 2n (n 2)
1.若Sn=n2－1，求an 2.若Sn=2n2－3n，求an
an
0 (n 1) 2n 1 (n 2)
an＝4n 5
第15页
在某个活动中，学校为衬托节日气氛， 在200米长校园主干道一侧，从起点开始， 每隔3米插一面彩旗，由近及远排成一列， 迎风飘扬。问最终一面旗子会插在终点处 吗？一共应插多少面旗子？
?
03 6 9
…
200
…
第16页
若从距离起点2米开始，每隔3米插一面 彩旗，则在距离起点80米处是否应该插旗？ 若是，是第几面旗子？
?
2 5 8 11 … 80
第17页
12
3
4 n
↓↓ ↓ ↓
↓
25
8
11
↓↓ ↓ ↓
↓
3 1 3 2 1 3 3 1 3 4 1 3n 1
an 3n 2. 令 3n 1 80 ，得n 27
第8页
已知{an}为等差数列 且 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求公差d. 三数成等差数列，它们和为12，首尾二数 积为12，求此三数.
第9页
例.已知a1
1, an
1
1 an1
(n
2), 写出这个
数列的前5项
解：a1=1,
1
a2
1 1
2
a4
1
2 3
5 3
13 a3 1 2 2
第7页
例题分析
例 .在等差数列{an}中 (1) 已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20 分析：由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12 及 a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10
等差数列_公开课课件
1 11
1．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋3，则 a10 等于(
)
A.15 B.14
1 C.6 D. 以上都不对
【解析】 由 a1＝1，a1n＋1＝a1n＋31得a1n为等差数列．
11
11 2
∴an＝a1＋(n－1)·3＝3n＋3，
1 10 2
1
∴a10＝ 3 ＋3＝4，∴a10＝4.
(2009年海口调研)在等差数列{an}中，已知log2(a5＋a9) ＝3，则等差数列{an}的前13项的和S13＝______.
【思路点拨】 利用等差数列的性质a5＋a9＝a1＋a13再由前n项 和公式可求解．
【自主探究】 ∵log2 (a5＋a9)＝3，∴a5＋a9＝23＝8.
∴S13＝13×(a21＋a13)＝13×(2a5＋a9)＝13× 2 8＝52.
(2)由(1)得xn＝2n＋n，
∴Sn＝x1＋x2＋…＋xn
＝2＋22＋23＋…＋2n＋(1＋2＋3＋…＋n)
＝2n＋1－2＋ n(n＋1) .
2
【方法点评】 1.等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d及前n项
和公式Sn＝
n(a1＋an) 2
＝na1＋n(n2－1) d，共涉及五个量a1，an，d，
【解析】 ∵{an}，{bn}均为等差数列， ∴ST2299＝2299ba1155＝ab1155＝35××1155－－93＝3762＝21.
【答案】1 2
5．已知等差数列{an}中，a9＋a10＝a，a19＋a20＝b， 则a59＋a60＝______. 【解析】 ∵a19＋a20＝a9＋10d＋a10＋10d ＝a9＋a10＋20d， ∴20d＝b－a，∴d＝b－a ，
等差数列公开课课件
n 1
a1 4 d 1 0 a1 1 1 d 3 1
解得：
a1 2 d 3
即这个等差数列的首项是-２，公差是３. 说明：由此可以看到：已知等差数列的两项就 可以确定这个数列.
探究：已知等差数列{ a n }中，公差为d，则 a n 与 a m (n , m ∈ N*) 有何关系？ 解：由等差数列的通项公式知
数学应用
（1）在等差数列a n 中，a n
a
n 1
2
a
n 1
是否
成立？
（2）在数列中 a n中，如果对于任意的正 a a 整数n都有 a ，那么数列 a n 2 一定是等差数列吗？
n 1 n 1 n
例4：(1 )已知数列{ an }的通项公式是 an =3n-1，求证：{an}为等差数列；
1. 求等差数列3，7，11，…的第4，7，10项；
a 7 27 , a 10 39
2. 100是不是等差数列2，9，16，…中的项？
100 2 ( n 1) 7 n 15
3. -20是不是等差数列0，-
7 2
，-7…中的项；
7 47 20 0 ( n 1 ) (舍 ) n 2 7
【小结】 ①数列{ an }为等差数列 an=kn+b k、b是 常数. ②证明一个数列为等差数列的方法是：证明： an+1-an为一个常数.
③证明： a
n
a
n 1
2
a
n 1
例1 (1) 求等差数列8，5，2，…，的第20项。
解： a1
8 , d 5 8 3, n 20 ,
a1 4 d 1 0 a1 1 1 d 3 1
解得：
a1 2 d 3
即这个等差数列的首项是-２，公差是３. 说明：由此可以看到：已知等差数列的两项就 可以确定这个数列.
探究：已知等差数列{ a n }中，公差为d，则 a n 与 a m (n , m ∈ N*) 有何关系？ 解：由等差数列的通项公式知
数学应用
（1）在等差数列a n 中，a n
a
n 1
2
a
n 1
是否
成立？
（2）在数列中 a n中，如果对于任意的正 a a 整数n都有 a ，那么数列 a n 2 一定是等差数列吗？
n 1 n 1 n
例4：(1 )已知数列{ an }的通项公式是 an =3n-1，求证：{an}为等差数列；
1. 求等差数列3，7，11，…的第4，7，10项；
a 7 27 , a 10 39
2. 100是不是等差数列2，9，16，…中的项？
100 2 ( n 1) 7 n 15
3. -20是不是等差数列0，-
7 2
，-7…中的项；
7 47 20 0 ( n 1 ) (舍 ) n 2 7
【小结】 ①数列{ an }为等差数列 an=kn+b k、b是 常数. ②证明一个数列为等差数列的方法是：证明： an+1-an为一个常数.
③证明： a
n
a
n 1
2
a
n 1
例1 (1) 求等差数列8，5，2，…，的第20项。
解： a1
8 , d 5 8 3, n 20 ,
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所以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +10 =25。
04
第二题答案：16；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有4a + 6d = 12，解得a+d=2，所 以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +4 =16。
感谢您的观看
THANKS
习题答案与解析
进阶习题答案与解析
01
输标02入题
第一题答案：42；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有5a + 10d = 25，解得a+d=5， 所以第6项到第10项的和为5a+35d=42。
03
第三题答案：25；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有5a + 20d = 80，解得a+4d=8，
第二题答案：18；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有3a + 3d = 15，解得a+d=5，所以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +3 =18。
习题答案与解析
• 第三题答案：30；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有5a + 45d = 200，解得a+d=5，所以这个等差数 列共有(a+d)×(n-2)/2 +10 =30。
公式5
$S_n - S_{n-1} = a_n$
公式6
$S_n = S_{n-1} + a_n$
公式之间的联系与区别
联系
公式1、2、3都是求等差数列前n项 和的基本公式，而公式4、5、6则是 基于这些基本公式的推导或变种。
区别
公式1和公式2形式较为简洁，而公式 3则更便于观察等差数列的对称性质。 公式4、5、6则更注重于相邻两项和 之间的关系，可以用于求解某些特定 问题。
04
第二题答案：16；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有4a + 6d = 12，解得a+d=2，所 以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +4 =16。
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习题答案与解析
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01
输标02入题
第一题答案：42；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有5a + 10d = 25，解得a+d=5， 所以第6项到第10项的和为5a+35d=42。
03
第三题答案：25；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有5a + 20d = 80，解得a+4d=8，
第二题答案：18；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有3a + 3d = 15，解得a+d=5，所以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +3 =18。
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• 第三题答案：30；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有5a + 45d = 200，解得a+d=5，所以这个等差数 列共有(a+d)×(n-2)/2 +10 =30。
公式5
$S_n - S_{n-1} = a_n$
公式6
$S_n = S_{n-1} + a_n$
公式之间的联系与区别
联系
公式1、2、3都是求等差数列前n项 和的基本公式，而公式4、5、6则是 基于这些基本公式的推导或变种。
区别
公式1和公式2形式较为简洁，而公式 3则更便于观察等差数列的对称性质。 公式4、5、6则更注重于相邻两项和 之间的关系，可以用于求解某些特定 问题。
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例题
• 1、求等差数列3，5，7，9…..旳第10 项和第100项。
例题
例、电影院旳座位排列成扇形，第一排有60 个座位，后来每一排都比前一排多两个座位，共 有50排，请你算出第32排和第50排各有多少个 座位？
第一排：60 第二排：60+2X(2-1)=62 第n排： 60+2X(n-1)=2n+58 第32排：60+2X(32-1)=122 最终一排即第50排：60+2X(50-1)=158
+1 +1 +1 +1 +1 +1
(2)1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,(128 ) …等比数列
×2 ×2 ×2 ×2 ×2 ×2
(3)1, 4， 9， 16,（ 25 ），36，平…方数列
1×1 2×2 3×3
4×4
(4) 1,2，3 ,5，8, 13，21 ，（ 34 ）…斐波拉
契数列
第50项与倒数第50项旳和：50＋51＝101，
于是所求旳和是：
101 100 5050. 2
一、定义：
一般地，假如一种数列从第2项起，后一项与它旳前一项旳
差等于同一种常数，那麽这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列旳公差，公差一般用字母d表达。
公差 = 第二项－首项
例 1： 观察下列数列是否是等差数列：
2
例题
例、求首项为5，末项为155，项数是51旳等差数列旳和。 等差数列旳和 = （首项＋末项）×项数÷2
解：（5＋155）×51÷2 =160×51÷2 =80×51 =4080
例题
例、1＋3＋5＋7＋……＋95＋97＋99 等差数列旳和 = （首项＋末项）×项数÷2 解：1＋3＋5＋7＋……＋95＋97＋99
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
成立。
代数证明
利用等差数列的性质和代数方法 ，通过一系列的推导和变换，证
明前n项和公式的正确性。
图形证明
通过图形证明前n项和公式的正 确性。将等差数列的项表示为坐 标平面上的点，利用梯形的面积
公式推导出前n项和公式。
03
等差数列前n项和的性质
和的最小值和最大值
最小值
等差数列的前n项和的最小值出 现在首项小于0，公差小于0的情 况下，此时最小值为 S_n=a_1×n+d/2×n(n-1)。
等差数列的实例
01
自然数列：1, 2, 3, 4, ...
03
三角数列：1, 3, 6, 10, ...
02
偶数数列：2, 4, 6, 8, ...
04
等差数列的前n项和为Sn=n/2*(2a1+(n-1)d)，其 中a1是第一项，d是公差。
02
等差数列的前n项和公式
前n项和公式的推导
1 2
3
最大值
等差数列的前n项和的最大值出 现在首项大于0，公差大于0的情 况下，此时最大值为 S_n=a_1×n+d/2×n(n-1)。
和的奇偶性
奇数项和
等差数列的奇数项和等于中间项乘 以项数，即S_n=(a_n+a_1)/2×n。
偶数项和
等差数列的偶数项和等于首尾两项的 和乘以项数再除以2，即 S_n=(a_1+a_n)×n/2。
统计学
在统计学中，等差数列的前n项和可 以用于描述一系列数据的分布特征 ，例如测量误差、概率分布等。
在经济中的应用
金融
等差数列的前n项和可以用于计算一 系列金融数据的累加值，例如股票价 格、债券收益、投资回报等。
代数证明
利用等差数列的性质和代数方法 ，通过一系列的推导和变换，证
明前n项和公式的正确性。
图形证明
通过图形证明前n项和公式的正 确性。将等差数列的项表示为坐 标平面上的点，利用梯形的面积
公式推导出前n项和公式。
03
等差数列前n项和的性质
和的最小值和最大值
最小值
等差数列的前n项和的最小值出 现在首项小于0，公差小于0的情 况下，此时最小值为 S_n=a_1×n+d/2×n(n-1)。
等差数列的实例
01
自然数列：1, 2, 3, 4, ...
03
三角数列：1, 3, 6, 10, ...
02
偶数数列：2, 4, 6, 8, ...
04
等差数列的前n项和为Sn=n/2*(2a1+(n-1)d)，其 中a1是第一项，d是公差。
02
等差数列的前n项和公式
前n项和公式的推导
1 2
3
最大值
等差数列的前n项和的最大值出 现在首项大于0，公差大于0的情 况下，此时最大值为 S_n=a_1×n+d/2×n(n-1)。
和的奇偶性
奇数项和
等差数列的奇数项和等于中间项乘 以项数，即S_n=(a_n+a_1)/2×n。
偶数项和
等差数列的偶数项和等于首尾两项的 和乘以项数再除以2，即 S_n=(a_1+a_n)×n/2。
统计学
在统计学中，等差数列的前n项和可 以用于描述一系列数据的分布特征 ，例如测量误差、概率分布等。
在经济中的应用
金融
等差数列的前n项和可以用于计算一 系列金融数据的累加值，例如股票价 格、债券收益、投资回报等。
等差数列教案第一课时市公开课一等奖教案省赛课金奖教案
等差数列教案第一课时一、教学目标：1. 理解等差数列的概念，能够正确地列出等差数列的通项公式；2. 掌握等差数列的求和公式，能够用求和公式计算等差数列的和；3. 能够应用等差数列的概念和公式解决实际问题。
二、教学重点：1. 理解等差数列的概念，能够正确地列出等差数列的通项公式；2. 掌握等差数列的求和公式，能够用求和公式计算等差数列的和。
三、教学难点：能够应用等差数列的概念和公式解决实际问题。
四、教学过程：1. 导入（5分钟）教师可以通过提问的方式导入，例如：“小明种植了一排树木，第一棵树距离大门10米，第二棵树距离第一棵树20米，第三棵树距离第二棵树30米，以此类推，你能发现什么规律？这些数之间有什么特点？”2. 概念解释（15分钟）引导学生讨论并总结出等差数列的概念：“等差数列是指数之间的差值相等的数列。
在等差数列中，我们称这个差值为公差，用d表示。
”教师可以给出示例，如1, 3, 5, 7, ...等，并解释数列中的每个数依次加上公差d就可以得到下一个数。
3. 列出通项公式（15分钟）通过示例引导学生找出等差数列的通项公式。
以示例1, 3, 5, 7, ...为例，学生可以发现每个数都可以表示为a + (n-1)d的形式，其中a为第一个数，n为项数，d为公差。
因此，该等差数列的通项公式为an = a + (n-1)d。
4. 使用通项公式求值（15分钟）教师通过例题演示如何使用通项公式求等差数列中的某一项的值。
例如：“求等差数列1, 3, 5, 7, ...中第10项的值。
”学生可以利用通项公式an = a + (n-1)d，将a设为1，d设为2，n设为10，代入公式计算得到an的值为...5. 求等差数列的和（15分钟）引导学生思考如何求等差数列的和，并给出等差数列求和的公式：Sn = n/2 (2a + (n-1)d)，其中Sn表示等差数列的和。
教师通过例题演示如何使用求和公式计算等差数列的和。
《等差数列》PPT课件(公开课)
13
练一练
在等差数列{an}中，
(1) 已知a4=10, a7=19,求a10.
(2) 已知a3=9, a9=3,求d与a12.
解：(1)由题意知，
a4=10＝a1+3d 解得:
a1=1
a7=19＝a1+6d
d=3
即等差数列的首项为1,公差为3 (2)由题意知，
a3=9＝a1+2d 解得: a9=3＝a1+8d
2
2
2
2
公差d= 1
2H
6
想一想
1、数列6，4，2，0,-2,-4…是否为等差数列？若是，则公差是多少?若
不是，说明理由？
公差是-2
2、常数列a，a，a，…是否为等差数列?若是，则公差是
多少?若不是，说明理由？ 公差是0
3、数列0，1，0，1，0，1是否为等差数列?若是，则公差是多少?若不是，说明理 由？
不是
公差d是每一项（第2项起）与它的前一项的 差，防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可以 是正数，负数，也可以为0
H
7
通项公式的推导一 ：
an－an-1=d
已知等差数列｛an｝的首项是a1，公差是d
a2-a1=d
a2=a1+d
a3-a2=d
a3=a2+d =(a1+d)+d =a1+2d
a4-a3=d a5呢? a9呢?
H
5
等差数列定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个 常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，通常用 字母d表示。
递推公式：an－an－1=d （d是常数，n≥2，n∈N*）
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
实例
总结词
等差数列的实例包括正整数序列、负数序列、斐波那契数列等。
详细描述
正整数序列1, 2, 3, ...是一个等差数列，其中首项a=1，公差d=1；负数序列-1, 2, -3, ...也是一个等差数列，其中首项a=-1，公差d=-1；斐波那契数列0, 1, 1, 2, 3, 5, ...也是一个等差数列，其中首项a=0，公差d=1。
01
求等差数列3, 6, 9, ..., 3n的前n项和。
进阶习题2
02
求等差数列-2, -4, -6, ..., -2n的前n项和。
进阶习题3
03
求等差数列5, 10, 15, ..., 5n的前n项和。
高阶习题
1 2
Байду номын сангаас
高阶习题1
求等差数列-3, -6, -9, ..., -3n的前n项和。
高阶习题2
总结词
等差数列是一种特殊的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常 数。
详细描述
等差数列通常表示为“an”，其 中a是首项，n是项数，d是公差 （任意两个相邻项的差）。
性质
总结词
等差数列的性质包括对称性、递增性、递减性等。
详细描述
等差数列的对称性是指任意一项与它的对称项相等，即a_n=a_(n+2m)，其中 m是整数；递增性是指如果公差d>0，则数列是递增的；递减性是指如果公差 d<0，则数列是递减的。
PART 04
等差数列前n项和的变式 与拓展
REPORTING
变式公式
01
02
03
04
公式1
$S_n = frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d)$
等差数列的概念公开课
本节课主要讲解了等差数列的概念。首先，通过回顾数列的基础知识，包括数列的定义、通项公式和递பைடு நூலகம்公式，为引出等差数列的概念做了铺垫。接着，通过多个实例，如奥运会举行年份、特定规则的数列等，引导学生观察并发现这些数列的共同特点，即从第二项起，每一项与前一项的差都是同一个常数。由此，自然地引出了等差数列的定义，并详细解释了公差的概念。公差是等差数列中任意一项与它的前一项的差，这个差值是恒定的，可以是正数、负数，也可以为零。当公差为零时，数列成为常数列。最后，探讨了如何根据等差数列的首项和公差来求解任意项的问题，通过逐步推导，得出了等差数列的通项公式。整节课内容连贯，逻辑清晰，通过丰富的实例和深入浅出的讲解，使学生对等差数列的概念有了深刻的理解。
《等差数列》课件(公开课)
等差数列的性质
前n项和
等差数列的前n项和可以通过求 和公式来计算。
通项公式
等差数列的通项公式可以帮助 我们快速计算任意项的值。
逆向思维
通过逆向思维，我们可以利用 等差数列的性质解决一些复杂 的问题。
等差数列的应用
1
数学中的应用
等差数列可以用于数学模型和方程的推导和解决。
2
物理中的应用
在物理学中，等差数列可以用于描述物体在等时间间隔内的运动。
同余数列
1 定义
同余数列是指等差数列的 项数与公差均为整数倍的 数列。
2 性质
同余数列具有一些特殊的 性质，在数论和密码学领 域有广泛的应用。
3 应用
同余数列的应用范围广泛， 涵盖了数据加密、随机数 生成等方面。
总结
等差数列的重要性
等差数列在数学和实际生活中起 着重要的作用，帮助我们解决问 题和规划未来。
《等差数列》PPT课件(公 开课)
欢迎来到《等差数列》的公开课！今天我们将深入探讨等差数列的定义、性 质、应用以及解题技巧，让我们一起开启这个数学世界的探索之旅吧！
什么是等差数列
定义
等差数列是指每一项与其前 一项之间的差都是相等的数 列。
表示方式
等差数列可以通过首项和公 差项称为项 数，公差表示相邻两项之间 的差。
3
生活中的应用
等差数列可以帮助我们规划时间、财务预算，甚至管理团队。
如何求解等差数列
求和公式的推导
我们将讲解等差数列求和公式 的推导过程，帮助你理解其原 理。
求出第n项
通过已知的首项和公差计算任 意项的值，我们将演示具体的 计算方法。
求出一般项
通过已知的首项和公差计算通 项公式，帮助你快速计算数列 的任意项。
等差数列课件公开课
an=a1+(n-1)d=4n-1 ∴a4=4×4-1=15,
a10=4×10-1=39.
=7n-5(n≥1)令102=7n-5,得
n=107/7 N
∴102不是这个数列的项。
∴a10=33
数学建模思想
课时小结
• 通过本课时的学习，首先要理解和掌握等差数列的定
义及数学表达式： an+1-an=d(n∈N*);
• 其次要会推导等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d( n ∈N*)
• 本课时的重点是通项公式的灵活应用,知道an,a1,d,n中 任意三个，应用方程的思想，可以求出另外一个。
解得：a1=-4，a2=-1， a3=2，a4=5， a5=8
(2)an an1 1, n N, n 2 ,
a1 3 求前五项
(2)an an1 1, n N, n 2 ,
a1 3
解得： a1=3，
a5=a4+1=7
a2=a1+1=3+1=4，
连州市第二中学 高一(5)班 刘望
复习回顾
数列的定义及简单表示法： 按一定次序排成的一列数叫做数列。
一般写成a1,a2,a3,…,an,…，简记为{an}。
数列有哪几种表示方法？ 通项公式法、列表法、图象法、递推公式.
如果数列{an}的第n项an与n的关系可以用一个公式来表示，
那么这个公式就叫做这个数列·的通项公式。
6000,6500,7000,7500,8000,8500,9000···
n
a -a =d（n=2，3, 22 1 , 23, 23 1 , 24, 24 1 , 25, 25 1 , 26...
等差数列优质说课稿公开课一等奖课件省赛课获奖课件
解：∵an是等差数列，且 1＋17＝13＋5＝2×9， ∴a1＋a17＝a5＋a13＝2a9. ∴a9＝117，∴a3＋a15＝2a9＝234.
课前自主学习 课堂讲练互动 课后智能提升
题型二 等差数列的综合应用
【例
2】
等差数列an
的第
5 项为
5，第
10 项
为－5，问此数列中第一个负数项是第几项？
答案：仍是等差数列
课前自主学习 课堂讲练互动 课后智能提升
预习测评
1．在等差数列an
中，
a3，a9
是方程
2x2－x－7＝0
的两根，则 a6＝
()
1 A.2
1 B.4
C．－72
D．－74
解析：由韦达定理 a3＋a9＝12＝2a6⇒a6＝14，故选 B.
答案：B
课前自主学习 课堂讲练互动 课后智能提升
2．等差数列an中，若 m＋n＝p＋q，则 an＋am＝ ap＋aq(n，m，p，q∈N*)，特别地，若 m＋n＝2p，则 an＋am＝2ap.
特别注意：“数列an中，若 m＝p＋q，则 am＝ap ＋aq”是不一定成立的．
3．等差数列an中，若公差 d＞0，则数列an为递 增数列；等差数列an中，若公差 d＜0，则数列an为递 减数列．
()
A．0 B．1 C．2 D．1或2
解析：由于2b＝a＋c，则4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac
＝(a－c)2≥0，故选D.
答案：D
课前自主学习 课堂讲练互动 课后智能提升
误区解密 注意题目中的隐含条件
【例 3】
等差数列an的首项为
1，且an
从第
9
项开始各项均大于 25，求公差 d 的取值范围．
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题型二 等差数列的综合应用
【例
2】
等差数列an
的第
5 项为
5，第
10 项
为－5，问此数列中第一个负数项是第几项？
答案：仍是等差数列
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预习测评
1．在等差数列an
中，
a3，a9
是方程
2x2－x－7＝0
的两根，则 a6＝
()
1 A.2
1 B.4
C．－72
D．－74
解析：由韦达定理 a3＋a9＝12＝2a6⇒a6＝14，故选 B.
答案：B
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2．等差数列an中，若 m＋n＝p＋q，则 an＋am＝ ap＋aq(n，m，p，q∈N*)，特别地，若 m＋n＝2p，则 an＋am＝2ap.
特别注意：“数列an中，若 m＝p＋q，则 am＝ap ＋aq”是不一定成立的．
3．等差数列an中，若公差 d＞0，则数列an为递 增数列；等差数列an中，若公差 d＜0，则数列an为递 减数列．
()
A．0 B．1 C．2 D．1或2
解析：由于2b＝a＋c，则4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac
＝(a－c)2≥0，故选D.
答案：D
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误区解密 注意题目中的隐含条件
【例 3】
等差数列an的首项为
1，且an
从第
9
项开始各项均大于 25，求公差 d 的取值范围．
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(2) (3)
1，4，7，10，（13 ），16，… 2， 0， -2， -4， -6，（ -8 ）…
它们的共同的规律是？
d=76
( 1 ) 1682，1758，1834，1910，1986，（2062） ( 2) 1，4，7，10，（ 13 ），16，… ( 3 ) 2，0，-2，-4，-6，（ -8 ）,…
5 (n 1) (4)
401 因此，
解得
n 100
练习
1、在等差数列{an}中，a2＝－5，a6＝a4＋6，则 a1等于( ) A．－9 B．－8 B C．－7 D．－4
2、在等差数列{an}中， a1＝2， a2 ＋ a3＝13， 则公差d的值为( ) A．2 B．－2 D C．－3 D．3
n=1时亦适合
等差数列的通项公式
a2 a1 d
a3 a2 d
…
a4 a3 d
an1 an2 d
an an1 d
迭加得 an a1 (n 1)d
an a1 (n 1)d
巩固
例1 (1) 求等差数列8，5，2，…，的第20项。
x,3x,5x, 7 x,9 x, 公差 d= 2x
等差数列的通项公式
如果一个数列
a1 , a2 , a3 , …，an , …
是等差数列，它的公差是d，那么
a2 a1 d
a3 a2 d (a1 d ) d a1 2d a4 a3 d (a1 2d ) d a1 3d a5 a4 d (a1 3d ) d a1 4d an a1 (n 1)d
3、在数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1，
1009
则 a2015＝________.
小结
• 1、等差数列定义； • 2、等差数列通项。
d=3 d=-2
定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等 于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
它们是等差数列吗？
(1)
(2) (3)
1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 10
×
5，5，5，5，5，5，…公差 d=0 常数列
等差数列
在过去的三百 多年里，人们 分别在下列时 间里观测到了 哈雷慧星：
相差76
（1）1682，1758，1834，1910，1986，（ 2062 ）
你能预测出下一次 的大致时间吗？
你能根据规律在（ ） 内填上合适的数吗？
（1）1682，1758，1834，1910，1986，（2062）.
解： a1
an a1 பைடு நூலகம்n 1)d
8 , d 5 8 3, n 20 ,
a20 8 (20 1) (3) 49
(2) 等差数列 -5，-9，-13，…，的第几项是 –401？ 解： a1
5, d 9 (5) 4, an 401 ,