2020-2021学年北师大版高中数学必修一模块综合测评(一)及答案解析
高中数学第1章预备知识3不等式3.2第2课时基本不等式的综合应用学案含解析北师大版第一册
第2课时基本不等式的综合应用学习目标核心素养1.会用基本不等式求函数的最大(小）值问题．（重点）2．能利用基本不等式解决实际应用问题．(难点)1．通过基本不等式求函数最值的应用，提升数学运算素养．2．借助基本不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养．已知x、y都是正数，(1)若x＋y＝s(和为定值），则当x＝y时，积xy取得最大值错误!；（2）若xy＝p（积为定值)，则当x＝y时，x＋y取得最小值2错误!。
上述命题可归纳为：和定积最大，积定和最小．思考：(1）两个非负数的积为定值，它们的和一定可以用基本不等式求最小值吗？（2)两个非负数的和为定值,它们的积一定可以用基本不等式求最大值吗？提示:(1)不一定，例如a2＋2与错误!,它们的积为定值,但等号取不到，因此不能用基本不等式求最小值．(2）不一定，例如1＋a2与1－a2，它们的和为定值，但等号取不到，因此不能用基本不等式求最大值．1．若a＞1，则a＋1a－1的最小值是（）A．2B．a C．错误!D．3D［∵a＞1,∴a－1＞0，∴a＋错误!＝a－1＋错误!＋1≥2 错误!＋1＝3.当且仅当a－1＝错误!，即a＝2时，等号成立．] 2．设x＞0，则y＝3－3x－错误!的最大值是()A．3 B．－3错误!C．3－2错误!D．－1C［∵x＞0，∴y＝3－错误!≤3－2错误!＝3－2错误!。
当且仅当3x＝错误!，且x＞0,即x＝33时，等号成立．］3．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比,如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．5[依题意得y1＝错误!,y2＝错误!x为仓库与车站的距离，∴y1＋y2＝错误!＋错误!≥2错误!＝8,当且仅当x＝5时取等号，所以仓库应建在离车站5千米处．]4．当x<32时，求函数y＝x＋错误!的最大值．[解]y＝错误!（2x－3)＋错误!＋错误!＝－错误!＋错误!，∵当x〈错误!时，3－2x>0，∴3－2x2＋错误!≥2错误!＝4，当且仅当错误!＝错误!，即x＝－错误!时取等号．于是y≤－4＋错误!＝－错误!，故函数有最大值－错误!。
2020-2021学年新教材数学北师大版(2019)必修第一册练测评：8数学建模活动(一)含解析
第八章数学建模活动(一) §1走近数学建模§2数学建模的主要步骤必备知识基础练进阶训练第一层知识点一建立数学模型1.主要是为了保持体温．研究表明，消耗的能量E与通过心脏的血液量Q成正比；并且根据生物学常识知道，动物的体重与体积成正比．血流量Q 是单位时间流过的血量，脉博率f是单位时间心跳的次数；还有一些生物学假设，例如，心脏每次收缩挤压出来的血量q与心脏大小成正比，动物心脏的大小与这个动物体积的大小成正比．动物名体重/g脉搏率/(心跳次数·min－1)鼠25670大鼠200420豚鼠300300兔 2 000205小狗 5 000120大狗30 00085羊50 00070马45000038建立脉搏率与体重的关系，讨论你模型中的假设，并用上表中的数据检验模型．知识点二数学建模的主要步骤2.种纸卷，如图，两种纸具有同样的材质和厚度，纸卷的高度和单价也一样，若预购买这种卫生纸，但不知道哪种纸卷更合算，如果没有带尺子，用什么办法可以确定合算的纸卷？为什么？知识点三数学建模的主要过程3.在意外发生的时候，建筑物内的人员是否能尽快的疏散撤离是人们普遍关心的有关人身安全保障的最大问题．根据学校情况，选一角度并提出问题，完成开题报告．关键能力综合练进阶训练第二层1．下图中的两个图形，哪一个图形能一笔画成，哪个不能？为什么？2．在一摩天大楼里有三根电线从底层控制室通向顶楼，但由于三根电线各处的转弯不同而有长短，因此三根电线的长度均未知．现在工人师傅为了在顶楼安装电气设备，需要知道这三根电线的电阻，如何测量出这三根电线的电阻？3．你是否注意到北方城镇的有些建筑物的窗户是双层的，即窗户上装两层玻璃且中间留有一定空隙，如左图所示，两层厚度为d的玻璃夹着一层厚度为l的空气．据说这样做是为了保暖，即减少室内向室外的热量流失．我们要建立一个模型来描述热量通过窗户的传导(即流失)过程，并将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层玻璃窗(如右图，玻璃厚度为2d)的热量传导进行对比，对双层玻璃窗能够减少多少热量损失给出定量分析结果．模型假设：(1)热量的传播过程只有传导，没有对流．即假定窗户的密封性能很好，两层玻璃之间的空气是不流动的．(2)室内温度T1和室外温度T2保持不变，热传导过程已处于稳定状态，即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数．(3)玻璃材料均匀，热传导系数是常数．在上述假设下热传导过程遵从下面的物理定律：厚度为d的均匀介质，两侧温度差为ΔT，则单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量Q与ΔT成正比，与d成反比，即Q＝k ΔTd，(*)k为热传导系数．从有关资料可知，常用玻璃的热传导系数k1＝4×10－3～8×10－3 J/cm·s·kW·h，不流通、干燥空气的热传导系数k2＝2.5×10－4 J/cm·s·kW·h.4．针对“北京市区道路交通流量随时间变化规律”这一选题进行分析、思考，完成其开题报告．学科素养升级练进阶训练第1．在商场中，我们经常可以看到同一种商品会有多种大小不同的型号，其价格也各不相同．对比型号和价格，我们很容易发现：当商品的“量”增加时，价格也会增加；但是价格的增加与“量”的增加是不成比例的，也就是说你买的商品的“量”越多，商品的平均价格越低，有人认为这是商家的营销策略，买得越多越划算，这样顾客往往倾向于购买大包装的商品．大包装的商品真的是薄利多销吗？就这一问题通过调查、分析、研究，完成选题，开题报告．第八章数学建模活动(一)§1走近数学建模§2数学建模的主要步骤§3数学建模活动的主要过程必备知识基础练1．解析：建模过程如下：(1)因为动物体温通过身体表面散发热量，表面积越大，散发的热量越多，保持体温需要的能量也就越大，所以动物体内消耗的能量E 与身体的表面积S 成正比，可以表示为E ＝p 1S .又因为动物体内消耗的能量E 与通过心脏的血流量Q 成正比，可以表示为E ＝p 2Q .因此得到Q ＝pS ，其中p 1，p 2和p 均为正的比例系数．另一方面，因为体积V 与体重W 成正比，可以表示为V ＝r 1W ；又因为表面积S 大约与体积V 的23次方成正比，可以表示为S ＝r 2V 23，因此得到S ＝rW 23，其中r 1，r 2，r 为正的比例系数．所以可以构建血流量与体重关系的数学模型Q ＝k 1W 23，其中k 1为正的比例系数．(2)根据脉搏率的定义f ＝Qq ，再根据生物学假设q ＝cW (c 为正的比例系数)，最后得到f ＝Q q ＝k 1W 23cW ，也就是f ＝kW －13，其中k 为正的待定系数．脉搏率与体重关系的数学模型说明，恒温动物体重越大，脉搏率越低；脉搏率与体重的13次方成反比，表中的数据基本上反映了这个反比例的关系．右图是以ln W 和ln f 为坐标的散点图．可以看出，数据取对数之后基本满足线性关系，因此得到体重和脉搏率的对数线性模型，可以把这个模型表达为ln f ＝ln k －ln W3.2．解析：合算就是纸的量多，因为纸卷的高度和单价一样，我们只要比较两种纸卷截面的面积，取较大的就合算，为此可以各取一个纸卷，令无芯纸卷截面的圆心压在有芯纸卷截面的芯(即小圆)上，如右图，然后看无芯纸卷截面上与有芯纸卷截面的芯相切的直径端点，若端点在有芯纸卷截面的大圆上，则两种纸卷的量相等；若在其内则买有芯纸卷合算；若在其外则买无芯纸卷合算．证明：设有芯纸卷截面的内、外半径分别为r，R，大圆内与小圆相切的弦长为d，无芯纸卷截面的直径为D，于是，⎝⎛⎭⎪⎫d22＝R2－r2，当D＝d时，S有芯＝π(R2－r2)＝π⎝⎛⎭⎪⎫d22＝π⎝⎛⎭⎪⎫D22＝S无芯，当D＞d时，S有芯＝π(R2－r2)＝π⎝⎛⎭⎪⎫d22＜π⎝⎛⎭⎪⎫D22＝S无芯．当D＜d时，S有芯＝π(R2－r2)＝π⎝⎛⎭⎪⎫d22＞π⎝⎛⎭⎪⎫D22＝S无芯．要解决的问题在教学楼一楼有一排四间教室，学生可以沿教室外走廊一直走到尽头的出口，试分析学生撤离所用时间选题的原因及意义建立数学模型给出最佳撤离方案，同时就教学楼设计给出合理化建议建模问题的可行性分析教师可在教学楼内组织学生进行多次演习，只需测量几个简单的参数．基本模型、解决问题的大体思路和步骤做出合理假设，列出有关的参数．队列中人与人之间的距离将为常数，记为d，队列行进的速度也是常数v，令第i个教室中的人数为n i＋1人，第i个教室的门口到前一个教室的门口的距离为L i，教室门的宽度为D.疏散时教室内第一个人到达教室门口所用的时间忽略不计．T1,2＝⎩⎪⎨⎪⎧(L1＋L2＋D＋n2d)/v(n1＋1)d≤L2＋D[L1＋(n1＋n2＋1)d]/v(n1＋1)d＞L2＋D预期结果和结果呈现方式建立一个来描述建筑物内人员疏散的最合适的模型，一份有求解过程的文字报告参考文献《数学模型与数学建模》北京师范大学数学科学学院其他说明关键能力综合练1．解析：(1)标点：标出双数点和单数点．(2)判断：第一个只有两个单数点，所以可以一笔画，第二个有4个单数点，所以不能一笔画，2．解析：不妨用a，b，c及a′，b′，c′分别表示三根电线的底端和顶端，并用aa′，bb′，cc′分别表示三根电线，假设x，y，z 分别是aa′，bb′，cc′的电阻，这是三个未知数，电表不能直接测量出这三个未知数．然而我们可以把a′和b′连接起来，在a和b处测量得电阻x＋y为l；然后将b′和c′连接起来，在b和c处测量得y＋z为m，连接a′和c′可测得x＋z为n，这样得三元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x＋y＝ly＋z＝mx＋z＝n.由三元一次线性方程组解出x，y，z即得三根电线的电阻．3．解析：记双层窗内层玻璃的外侧温度是T a，外层玻璃的内侧温度是T b，如图，玻璃的热传导系数为k1，空气的热传导系数为k2，由(*)式单位时间单位面积的热量传导(即热量流失)为Q1＝k1T1－T ad＝k2T a－T bl＝k1T b－T2d，消去T a，T b，可得Q1＝k1(T1－T2)d(s＋2)，s＝h k1k2，h＝ld，对于厚度为2d的单层玻璃窗，容易写出其热量传导为Q2＝k1T1－T22d.二者之比为Q1Q2＝2s＋2，显然Q1＜Q2.为了得到更具体的结果，我们需要k1和k2的数据.16≤k1k2≤32.在分析双层玻璃窗比单层玻璃窗可减少多少热量损失时，我们作最保守的估计，即取k1k2＝16，可得Q1Q2＝18h＋1，h＝ld，比值Q1Q2反映了双层玻璃窗在减少热量损失上的功效，它只与h＝ld有关，我们给出Q1Q2－h的曲线，当h增加时，Q1Q2迅速下降，而当h超过一定值(比如h＞4)后Q1Q2下降变缓，可见h不必选择过大．要解决的问题随着北京城市的不断发展，交通成了饱受关注的话题，那么北京市区主要道路交通流量随时间变化有什么样的规律？学科素养升级练主要过程 成本×(1＋利润率)，所以有y ∝P .而商品的成本主要分为生产成本和包装成本两部分，分别设为P 1和P 2，即有y ∝(P 1＋P 2)．商品的生产成本P 1与商品的质量x 成比例，即P 1∝x ；而商品的包装成本P 2与商品的表面积S 成比例，即P 2∝S ，而S ∝V 23，V ∝x (这里V指商品的体积)，故有P 2∝x 23.从而我们可以假设y ＝ax ＋bx 23. 下面我们用实际数据来检验这一函数表达式的准确性，因为在函数中有两个待定系数，所以我们只需要代入两组(x ，y )值即可求出a ，b 的值． 将(65,14)和(90,17.6)代入y ＝ax ＋bx 23中，可得⎩⎪⎨⎪⎧65a ＋6523b ＝1490a ＋9023b ＝17.6，解得a ≈0.0225，b ≈0.7756，所以y ＝0.0225x ＋0.7756x 23结果检验将x ＝120代入，得y ＝21.57，与实际价格21.60元相差0.03；再将x ＝180代入，得y ＝28.77，与实际价格28.30元相差0.47元．因此，我们推导出来的函数表达式还是比较准确的．这一步得到单位质量价格y ′＝0.0225＋0.7756x －13，由几何画板做出y ′－x 的关系图为可以看出随牙膏质量的增加，单位质量价格的减小量。
2020-2021学年高中新教材北师大版数学必修第一册习题：第一章 1.3 第1课时 交集和并集 W
第一章预备知识§1集合1.3集合的基本运算第1课时交集和并集课后篇巩固提升基础达标练1.设集合A={0,2,4,6,8,10},B={x|2x-3<4},则A∩B=()A.{4,8}B.{0,2,6}C.{0,2}D.{2,4,6}{x|x<3.5},又A={0,2,4,6,8,10},∴A∩B={0,2}.2.已知集合M={-1,0,1,2}和N={0,1,2,3}的关系的Venn图如图所示,则阴影部分所表示的集合是()A.{0}B.{0,1}C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2,3}M∩N={0,1,2},故选C.3.(多选题)(2020山东泰安高一质检)满足{1,3}∪A={1,3,5}的集合A可能是()A.{5}B.{1,5}C.{3}D.{1,3,5}{1,3}∪A={1,3,5},知A⊆{1,3,5},且A中至少有1个元素5.所以A={5}或A={1,5}或A={1,3,5}.4.设集合A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},C={x∈R|-1≤x<2},则(A∪B)∩C=()A.{-1,1}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{2,3,4}5.(2020安徽池州高三期末)已知集合A={(x,y)|x-2y+1=0},B={(x,y)|x-y=0},则A∩B=()A.{x=1,y=1}B.{1,1}C.{(1,1)}D.⌀A表示直线x-2y+1=0的点的集合,集合B表示直线x-y=0的点的集合,所以A∩B表示两条直线的交点,解所以A∩B={(1,1)}.6.(2020广东珠海高一期末)已知集合A={-2,0,2},B={y|y=x2,x∈A},则A∪B=()A.{-4,4,-2,2,0}B.{-2,2,0,4}C.{-4,4,0,2}D.{0,2,4}B={y|y=x2,x∈A}={0,4},A={-2,0,2},所以A∪B={-2,0,2,4}.7.已知集合A={x|x<1,或x>5},B={x|a≤x≤b},且A∪B=R,A∩B={x|5<x≤6},则2a-b=.,可知a=1,b=6,∴2a-b=-4.48.已知关于x的方程3x2+px-7=0的解集为A,方程3x2-7x+q=0的解集为B,若A∩B=.求A∪B.A∩B=,∴-∈A,且-∈B.由-∈A,设3x2+px-7=0的另一根为m.由根与系数的关系得m=-,解得m=7.∴A=,同理B=,∴A∪B=.9.(2020江苏南京师大附中高一月考)已知集合A={x|1≤x≤5},B={x|-2<x<3}.(1)求A∪B;(2)若C={x|x∈A∩B,x∈Z},试写出集合C的所有子集.∵A={x|1≤x≤5},B={x|-2<x<3}.∴A∪B={x|-2<x≤5}.(2)∵A∩B={x|1≤x<3},∵C={x|x∈A∩B,x∈Z},∴C={1,2},集合C的子集有⌀,{1},{2},{1,2}.能力提升练1.(多选题)已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},则使A∪B=A的实数m的取值范围可以是()A.{m|-3≤m≤4}B.{m|-3<m<4}C.{m|2<m<4}D.{m|m≤4}A∪B=A,∴B⊆A.①若B≠⌀,则m+1<2m-1,解得m>2.∵A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},∴m+1≥-2,且2m-1≤7,解得-3≤m≤4.此时2<m≤4.②若B=⌀,则m+1≥2m-1,解得m≤2,符合题意.综上,实数m满足m≤4即可.2.设集合A={x|x为合数},B={x|x为质数},N表示自然数集,若E满足A∪B∪E=N,则这样的集合E中最少含有的元素个数为()A.1B.2C.3D.4设集合A={x|x为合数},B={x|x为质数},N表示自然数集,∴A∪B中只比N中少两个元素:0和1.∵E满足A∪B∪E=N,∴E中的元素一定有0,1,并且还可以有其他自然数.∴集合E中最少含有元素个数为2.3.(2020湖北荆州中学高一期末)定义集合的商集运算为=x x=,m∈A,n∈B,已知集合S={2,4,6},T=x x=-1,k∈S,则集合∪T中的元素个数为()A.5B.6C.7D.8解析∵集合的商集运算为=x x=,m∈A,n∈B,集合S={2,4,6},∴T=x x=-1,k∈S={0,1,2},∴= 0,,1,∴∪T=0,,1,2.∴集合∪T元素的个数为7个.4.(2020江西南康中学高一月考)已知方程x2+px+q=0的两个不相等实根为α,β.若集合A={α,β},B={2,4,5,6},C={1,2,3,4},A∩C=A,A∩B=⌀,求p,q的值.A∩C=A知A⊆C,又A={α,β},则α∈C,β∈C.而A∩B=⌀,故α∉B,β∉B.显然既属于C又不属于B的元素只有1和3.令α=1,β=3.对于方程x2+px+q=0的两根α,β,根据根与系数的关系可得p=-4,q=3.5.已知集合A={x|-2<x<3},B={x|m<x<m+9}.(1)若A∪B=B,求实数m的取值范围;(2)若A∩B≠⌀,求实数m的取值范围.A∪B=B,∴A⊆B,∴解得-6≤m≤-2,∴实数m的取值范围是[-6,-2].(2)当A∩B=⌀时,3≤m,或m+9≤-2,解得m≥3,或m≤-11,∴当A∩B≠⌀时,-11<m<3,∴实数m的取值范围是(-11,3).素养培优练(2020上海育才中学高一月考)设集合A={x|0≤x+a≤1},B={x|a-1≤x≤0},其中a∈R,求A∩B.a-1>0,即a>1时,B=⌀时,A∩B=⌀;当a-1=0,即a=1时,A={x|-1≤x≤0},B={0},则A∩B={0};当a-1<0,即a<1时,1-a>0.若-a>0,即a<0时,如右图所示,A∩B=⌀.若-a=0,即a=0时,如下图所示,A={x|0≤x≤1},B={x|-1≤x≤0},则A∩B={0}.若a-1<-a<0,即0<a<时,如下图所示,A∩B={x|-a≤x≤0}.若-a≤a-1,即≤a<1时,如右图所示,A∩B={x|a-1≤x≤0}.综上所述,当a<0或a>1时,A∩B=⌀;当a=0或a=1时,A∩B={0};当0<a<时,A∩B={x|-a≤x≤0};≤a<1时,A∩B={x|a-1≤x≤0}.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
2020_2021学年新教材高中数学第1章预备知识1集合1.2集合的基本关系学案含解析北师大版必修一
1.2 集合的基本关系学习目标核心素养1.理解集合的包含与相等的含义．(难点) 2．能识别集合的子集、真子集，会判断集合间的关系．(难点、易混点)1．通过对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的学习，培养数学抽象素养．2．借助子集、真子集的应用，培养逻辑推理素养．1．Venn图为了直观地表示集合间的关系，常用平面上封闭曲线的内部表示集合，称为Venn图．2．子集文字叙述对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都属于集合B，即若a∈A，则a∈B，那么称集合A是集合B的子集．符号表示若a∈A⇒a∈B，则A⊆B．图形表示性质(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A．(2)空集是任何集合的子集，即∅⊆A．(3)若A⊆B，B⊆C，则A⊆C．思考1：符号“∈”与“⊆”有何不同？提示：“∈”表示元素与集合的关系，而“⊆”表示集合与集合的关系．3．集合相等对于两个集合A与B，如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，那么称集合A与集合B相等，记作A＝B．思考2：如何证明集合相等？提示：证明这两个集合互为子集．4．真子集对于两个集合A与B，如果A⊆B，且A≠B，那么称集合A是集合B的真子集，记作A B.1．设M＝{}1，2，3，N＝{}1，则下列关系正确的是( )A．N∈M B．N MC ．N ⊆MD ．N ⊇MC [由1∈M ，知N ⊆M .]2．已知集合A ＝{x |x 是平行四边形}，B ＝{x |x 是矩形}，C ＝{x |x 是正方形}，D ＝{x |x 是菱形}，则( )A ．A ⊆B B ．C ⊆B C ．D ⊆CD ．A ⊆DB [根据四边形的定义和分类，可知选B.] 3．集合{}0，1的子集有________个．4 [集合{}0，1的子集分别是∅，{}0，{}1，{}0，1.] 4．已知集合{}16⊆{}a 2，a ＋3，7，求实数a 的值．[解] (1)由已知，得16∈{}a 2，a ＋3，7，所以a 2＝16或a ＋3＝16，解得a ＝－4，4或13，当a ＝4时，a ＋3＝7，集合{}a 2，a ＋3，7的元素不满足互异性，所以，实数a 的值为－4，13.集合间的关系的判断【例1】 判断下列各组中集合间的关系．(1)A ＝{} |x x 是等腰三角形，B ＝{x |x 是等边三角形}； (2)A ＝{} |x x ()x －1＝0，B ＝{}0，1； (3)A ＝{} |x －1<x <4，B ＝{} |x x <5；(4)A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫ |x x ＝n ＋12，n ∈Z ，B ＝{x ⎪⎪⎪x ＝12n ＋1，n ∈Z }．[解] (1)因为等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形，故B A .(2)A ＝B .(3)把集合A 与B 在数轴上表示出来，根据定义易得A B . (4)A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫ |x x ＝2n ＋12，n ∈Z ，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫ |x x ＝n ＋22，n ∈Z ，又{} |x x ＝2n ＋1，n ∈Z {} |x x ＝n ＋2，n ∈Z ，所以AB .判断两集合关系的常用方法(1)化简集合，从元素的属性中寻找两集合间的关系； (2)利用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．提醒：在判断集合间的关系时，要注意数轴及Venn 图的应用，它可以直观地帮助我们发现集合间的关系．[跟进训练] 1．设A ＝{}|x x ＝2n －1，n ∈Z ，B ＝{}|x x ＝2n ＋1，n ∈Z ，C ＝{} |x x ＝4n －1，n ∈Z ，判断它们之间的关系．[解] 因为A ＝{} |x x ＝2n －1，n ∈Z ＝{x |x ＝2()n －1＋1，n ∈Z }⊆B ，B ＝{} |x x ＝2n ＋1，n ∈Z ＝{}x |x ＝2()n ＋1－1，n ∈Z ⊆A ，所以A ＝B .因为C ＝{} |x x ＝4n －1，n ∈Z ＝{x |x ＝2×2n －1，n ∈Z }⊆A ，又－3∈A ，但－3C ，所以C A .综上，C A ＝B .子集个数问题【例2】 已知{}1，2M ⊆{}1，2，3，4，5，试写出满足条件的所有集合M . [思路点拨] 先分析集合M 中元素的特点，然后分类列举．[解] 集合M 含有元素1，2，且含有3，4，5中的至少一个元素，依据集合元素的个数分类列举如下：含有3个元素：{}1，2，3，{}1，2，4，{}1，2，5；含有4个元素：{}1，2，3，4，{}1，2，3，5，{}1，2，4，5； 含有5个元素：{}1，2，3，4，5. 故满足条件的集合M 共有上述7个集合．1．解决此类问题，一般先分析集合元素的特征，然后按集合元素个数分类列举． 2．若一个集合有n 个元素，则它有2n个子集；有2n－1个真子集．[跟进训练]2．已知集合B ＝{}1，2，A ＝{}x |x ⊆B ， (1)写出集合A ；(2)判断B 与A 的关系．[解] (1)集合B 的子集分别是∅，{}1，{}2，{}1，2，所以A ＝{}∅，{}1，{}2，{}1，2；(2)B A .集合间的关系的应用 [探究问题]1．已知{}x |－1≤x ≤1⊆{}x |a ≤x ≤b ，试求a ，b 满足的条件． 提示：a ≤－1且b ≥1.2．已知{}x |a ≤x ≤b ⊆{}x |－1≤x ≤1，试求a ，b 满足的条件． 提示：对集合{}x |a ≤x ≤b 是否为空集讨论， 当{}x |a ≤x ≤b 为空集，即a >b 时，满足题意； 当{}x |a ≤x ≤b 非空时，－1≤a ≤b ≤1， 故a ，b 满足的条件是a >b 或－1≤a ≤b ≤1.【例3】 已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，且B ⊆A ，求实数m 的取值范围．[思路点拨] 将集合间的关系转化为元素间的关系，由于B 可能为空集，故需分B ＝∅与B ≠∅两种情况讨论．[解] 当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，得m ≤2，当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，解得2＜m ≤4.综上得m ≤4.1．对于本例中的集合A ，B ，是否存在实数m 使A ⊆B?[解] 若A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1<－22m －1>7 ，该不等式组无解，故实数m 不存在．2．若将本例中的“A ＝{x |－2≤x ≤7}”改为“A ＝{}x |x ≤－2，或x ≥7”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．[解] 当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，得m ≤2，当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＜2m －1，2m －1≤－2，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＜2m －1，m ＋1≥1，解得m ≥6，综上得x ≤2或m ≥6.1．对于B ⊆A ，在未指明B 非空时，应分B ＝∅与B ≠∅两种情况讨论．2. 对于B ≠∅这种情况，在确定参数的取值时，可借助数轴来完成，将两个集合在数轴上表示出来，分清实心点与空心圈，由集合之间的关系，列出关于参数的不等式，解不等式求出参数的取值范围．1．在判断集合间的关系时，要注意数轴及Venn 图的应用，它可以直观的帮助我们发现集合间的关系，这是数形结合思想的应用．2．若一个集合有n 个元素，则它的有2n个子集；有2n－1个真子集． 3．由集合间的关系求参数的取值范围时，要考虑空集是否符合题意．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)空集是任何集合的真子集．( )(2)任何一个集合不可能是其自身的真子集． ( ) (3)任何一个集合至少有两个子集．( ) (4)若A 不是B 的子集，则A 中至少存在一个元素不属于B . ( )[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√2．集合A ＝{}x ∈N |0≤x <3真子集的个数是( ) A ．3 B ．4 C ．7 D ．8C [因为A ＝{}0，1，2，所以其真子集的个数是23－1＝7.]3．设x ，y ∈R ，A ＝{}()x ，y |y ＝x ，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫()x ，y ⎪⎪⎪y x＝1，则集合A ，B 的关系是________．[答案] B A4．已知集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |1≤x ≤a ，a ≥1}． (1)若A B ，求实数a 的取值范围； (2)若B ⊆A ，求实数a 的取值范围． [解] (1)当A B 时，a >2. (2)当B ⊆A 时，1≤a ≤2.。
2020-2021学年北师大版高中数学必修一模块综合测评(二)及答案解析
最新（新课标）北师大版高中数学必修一模块综合测评(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若集合M ＝{y|y ＝2x}，P ＝{y|y ＝x －1}，则M ∩P ＝( ) A ．{y|y ＞1} B ．{y|y ≥1} C ．{y|y ＞0}D ．{y|y ≥0}【解析】 M ＝{y|y ＝2x }＝{y|y ＞0}， P ＝{y|y ＝x －1}＝{y|y ≥0}． 故M ∩P ＝{y|y ＞0}． 【答案】 C2．(2016·江西南昌二中高一期中)设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，(x ≤1)，log 2x ，(x ＞1).则f(1)＋f(4)＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】 f(1)＋f(4)＝21＋1＋log 24＝5. 【答案】 A3.(2016·天津市南开大附中高一期中)已知幂函数y ＝f(x)的图像经过点⎝⎛⎭⎪⎫2，22，则f(4)的值为( )A ．16B ．2C.12D.116【解析】 设幂函数为y ＝x α，∵幂函数y ＝f(x)的图像经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22，∴22＝2α， 解得α＝－12.y ＝x －12.f(4)＝4－12＝12.故选C.【答案】 C4．(2016·河南南阳市五校高一联考)已知集合A ＝{x|ax 2＋2x ＋a ＝0，a ∈R}，若集合A 有且仅有2个子集，则a 的取值是( )A ．1B ．－1C ．0或1D ．－1,0或1【解析】 由题意可得，集合A 为单元素集，(1)当a ＝0时，A ＝{x|2x ＝0}＝{0}，此时集合A 的两个子集是{0}，∅， (2)当a ≠0时，则Δ＝0解得a ＝±1， 当a ＝1时，集合A 的两个子集是{1}，∅， 当a ＝－1，此时集合A 的两个子集是{－1}，∅. 综上所述，a 的取值为－1,0,1.故选D. 【答案】 D5．(2016·河南南阳市五校高一联考)下列各组函数表示相同函数的是( ) A ．f(x)＝x 2，g(x)＝(x)2 B ．f(x)＝1，g(x)＝x 2C ．f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x ＜0，g(t)＝|t|D ．f(x)＝x ＋1，g(x)＝x 2－1x －1【解析】 A 选项中的两个函数的定义域分别是R 和[0，＋∞)，不相同；B 选项中的两个函数的对应法则不一致；D 选项中的两个函数的定义域分别是R 和{x|x ≠1}，不相同，尽管它们的对应法则一致，但也不是相同函数；C 选项中的两个函数的定义域都是R ，对应法则都是g(x)＝|x|，尽管表示自变量的字母不同，但它们依然是相同函数．故选C.【答案】 C6．(2016·山东滕州市高一期中)令a ＝60.7，b ＝0.76，c ＝log 0.76，则三个数a ，b ，c 的大小顺序是( )A ．b ＜c ＜aB ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a【解析】 a ＝60.7＞60＝1，b ＝0.76＞0且b ＝0.76＜0.70＝1，c ＝log 0.76＜log 0.71＝0.【答案】 D7．(2016·湖南长沙一中高一期中)当a ＞1时，在同一坐标系中，函数y ＝a－x与y ＝log a x 的图像( )A ． B.C ． D.【解析】 ∵函数y ＝a －x可化为y ＝(1a)x，其底数大于0小于1，是减函数，又y ＝log a x ，当a ＞1时是增函数，两个函数是一增一减，前减后增．故选A.【答案】 A8．设函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg x ，则满足f(x)＜0的x 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0,1)C ．(－∞，1)D ．(－∞，－1)∪(0,1)【解析】 由题意f(x)的图像如图所示， 故f(x)＜0的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)． 【答案】 D9．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 3x|(0＜x ≤9)，－x ＋11(x ＞9)，若a ，b ，c 均不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc 的取值范围是( )【导学号：04100087】A ．(0,9)B ．(2,9)C ．(9,11)D ．(2,11)【解析】 作出f(x)的图像：则log 3a ＝－log 3b ， ∴ab ＝1.设f(a)＝f(b)＝f(c)＝t ， 则a ＝3－t ，b ＝3t ， c ＝11－t.由图可知0＜t ＜2， ∴abc ＝11－t ∈(9,11)． 【答案】 C10．(2016·吉林延边州高一期末)函数f(x)＝4x －3·2x ＋3的值域为[1,7]，则f(x)的定义域为( )A ．(－1,1)∪[2,4]B ．(0,1)∪[2,4]C ．[2,4]D ．(－∞，0)∪[1,2]【解析】 设t ＝2x，则t ＞0，且y ＝t 2－3t ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322＋34≥34.∵函数f(x)＝4x －3·2x ＋3的值域为[1,7]， ∴函数y ＝t 2－3t ＋3的值域为[1,7]．由y ＝1得t ＝1或2，由y ＝7得t ＝4或－1(舍去)，则0＜t ≤1或2≤t ≤4，即0＜2x ≤1或2≤2x ≤4，解得x ＜0或1≤x ≤2， ∴f(x)的定义域是(－∞，0]∪[1,2]，故选D. 【答案】 D11．(2016·黑龙江哈尔滨高一期末)已知函数f(x)＝2x －P ·2－x ，则下列结论正确的是( )A ．P ＝1，f(x)为奇函数且为R 上的减函数B ．P ＝－1，f(x)为偶函数且为R 上的减函数C ．P ＝1，f(x)为奇函数且为R 上的增函数D ．P ＝－1，f(x)为偶函数且为R 上的增函数【解析】 当P ＝1时，f(x)＝2x －2－x ，定义域为R 且f(－x)＝2－x －2x ＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．∵2x 是R 上增函数，2－x 是R 的减函数，∴f(x)＝2x －2－x 为R 上的增函数．因此选项C 正确．当P ＝1时，f(x)＝2x ＋2－x ，定义域为R 且f(－x)＝2－x ＋2x ＝f(x)，∴f(x)为偶函数．根据1＜2，f(1)＜f(2)可知f(x)在R 上不是减函数；根据－2＜－1，f(－2)＞f(－1)可知f(x)在R 上不是增函数．因此选项B 、D 不正确．故选C.【答案】 C12．若关于x 的方程⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x|－22－a －2＝0有实数根，则实数a 的取值范围是( )A ．[－2，＋∞)B ．(－1,2]C ．(－2,1]D ．[－1,2)【解析】 令f(x)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x|－22－2，∵0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x|≤1，∴－2<⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x|－2≤－1，则1≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x|－22<4，故f(x)∈[－1,2)．由方程⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x|－22－a －2＝0有实数根，得a ∈[－1,2)．故选D. 【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．(2016·湖南长沙一中高一期中)函数f(x)＝ax 2＋(b ＋13)x ＋3是偶函数，且定义域为[a －1,2a]，则a ＋b ＝__________.【解析】 ∵函数f(x)＝ax 2＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋13x ＋3是偶函数，且定义域为[a －1,2a]，由偶函数的定义域关于原点对称可得(a －1)＋2a ＝0，解得a ＝13，所以函数f(x)＝13x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋13x ＋3.由题意可得f(－x)＝f(x)恒成立，即13(－x)2＋(b＋13)(－x)＋3＝13x2＋⎝⎛⎭⎪⎫b＋13x＋3对任意的实数x都成立，所以有b＋13＝0，解得b＝－13，所以a＋b＝0.【答案】014．(2016·福建龙岩高一期末)函数f(x)＝log 12(x2－2x－3)的单调递增区间为________．【解析】函数f(x)的定义域为{x|x＞3或x＜－1}．令t＝x2－2x－3，则y＝log 1 2 t.因为y＝log 12t在(0，＋∞)单调递减，t＝x2－2x－3在(－∞，－1)单调递减，在(3，＋∞)单调递增，由复合函数的单调性可知函数的单调增区间为(－∞，－1)．【答案】(－∞，－1)15．(2016·安徽合肥八中高一段考)将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为__________. 【导学号：04100088】【解析】设正方形周长为x，则圆的周长为1－x，半径r＝1－x 2π，∴S正＝(x4)2＝x216，S圆＝π·(1－x)24π2，∴S正＋S圆＝(π＋4)x2－8x＋416π(0＜x＜1)，∴当x＝4π＋4时有最小值．【答案】4π＋416．(2016·内蒙古杭锦后旗奋斗中学高一月考)已知定义在实数集R 上的偶函数f(x)在区间(－∞，0]上是单调减函数，则不等式f(－1)＜f(ln x)的解集是________．【解析】 由已知f(x)在区间(－∞，0]上是单调减函数，在区间(0，＋∞)上是单调增函数，当ln x ＞0，f(1)＜f(ln x)，则1＜ln x ，有x ＞e ，当ln x ＜0，f(－1)＜f(ln x)，则－1＞ln x ，有0＜x ＜1e综上，不等式f(－1)＜f(ln x)的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ∪(e ，＋∞)．【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫0，1e ∪(e ，＋∞)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2016·山东滕州市高一期中)计算下列各式的值： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫21412－(－9.6)0－⎝ ⎛⎭⎪⎫338－23＋(1.5)－2 (2)log 34273＋lg25＋lg4＋7log 72.【解】(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫942－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫278－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322×12－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫32－3×23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＝32－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2 ＝12.(2)原式＝log 33343＋lg(25×4)＋2＝log 33－14＋lg102＋2＝－14＋2＋2＝154.18．(本小题满分12分)(2016·江西南昌二中高一期中)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 2≤2x≤16，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | log 3x ＞1.(1)分别求A ∩B ，(∁R B)∪A ；(2)已知集合C ＝{x|1＜x ＜a}，若C ⊆A ，求实数a 的取值范围． 【解】 (1)由已知得A ＝{x|1≤x ≤4}， B ＝{x|x ＞3}，∴A ∩B ＝{x|3＜x ≤4}，∴(∁R B)∪A ＝{x|x ≤3}∪{x|1≤x ≤4}＝{x|x ≤4}． (2)①当a ≤1时，C ＝∅，此时C ⊆A ； ②当a ＞1时，由C ⊆A 得1＜a ≤4. 综上，a 的取值范围为(－∞，4]．19．(本小题满分12分)(2016·河南许昌市四校高一联考)已知函数f(x)＝x －2m 2＋m ＋3(m ∈Z)为偶函数，且f(3)＜f(5)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若g(x)＝log a [f(x)－ax](a ＞0且a ≠1)在区间[2,3]上为增函数，求实数a 的取值范围．【解】 (1)∵f(x)为偶函数， ∴－2m 2＋m ＋3为偶数．又f(3)＜f(5)，∴3－2m 2＋m ＋3＜5－2m 2＋m ＋3，即有⎝ ⎛⎭⎪⎫35－2m 2＋m ＋3＜1，∴－2m 2＋m ＋3＞0，∴－1＜m ＜32.又m ∈Z ，∴m ＝0或m ＝1.当m ＝0时，－2m 2＋m ＋3＝3为奇数(舍去)； 当m ＝1时，－2m 2＋m ＋3＝2为偶数，符合题意． ∴m ＝1，f(x)＝x 2.(2)由(1)知，g(x)＝log a [f(x)－ax]＝log a (x 2－ax)(a ＞0且a ≠1)在区间[2,3]上为增函数．令u(x)＝x 2－ax ，y ＝log a u ，①当a ＞1时，y ＝log a u 为增函数，只需u(x)＝x 2－ax 在区间[2,3]上为增函数，即⎩⎨⎧ a 2≤0，u (2)＝4－2a ＞0，1＜a ＜2；②当0＜a ＜1时，y ＝log a u 为减函数，只需u(x)＝x 2－ax 在区间[2,3]上为减函数，即⎩⎨⎧a 2≥3，u (3)＝9－3a ＞0，a ∈∅，综上可知，a 的取值范围为(1,2)．20．(本小题满分12分)(2016·江西南昌二中高一期中)设函数f(x)＝a x －a －x(a>0且a ≠1)，(1)若f(1)<0，试判断函数单调性并求使不等式f(x 2＋tx)＋f(4－x)<0恒成立的t 的取值范围；(2)若f(1)＝32，g(x)＝a 2x ＋a －2x －2mf(x)且g(x)在[1，＋∞)上的最小值为－2，求m 的值．【解】 (1)f(x)＝a x －a －x (a>0且a ≠1)，∵f(1)<0，∴a －1a <0，又a>0，且a ≠1，∴0<a<1.∵a x 单调递减，a －x 单调递增，故f(x)在R 上单调递减． 不等式化为f(x 2＋tx)<f(x －4)，∴x 2＋tx>x －4，即x 2＋(t －1)x ＋4>0恒成立， ∴Δ＝(t －1)2－16<0，解得－3<t<5.(2)∵f(1)＝32，∴a －1a ＝32，2a 2－3a －2＝0，∴a ＝2或a ＝－12(舍去)，∴g(x)＝22x ＋2－2x －2m(2x －2－x )＝(2x －2－x )2－2m(2x －2－x )＋2. 令t ＝f(x)＝2x －2－x ，由(1)可知f(x)＝2x －2－x 为增函数．∵x ≥1，∴t ≥f(1)＝32，令h(t)＝t 2－2mt ＋2＝(t －m)2＋2－m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ≥32.若m ≥32，当t ＝m 时，h(t)min ＝2－m 2＝－2，∴m ＝2.若m<32，当t ＝32时，h(t)min ＝174－3m ＝－2，解得m ＝2512>32，舍去．综上可知，m ＝2.21．(本小题满分12分)(2016·山东滕州市高一期中)设函数f(x)＝log 3(9x)·log 3(3x)，且19≤x ≤9.(1)求f(3)的值；(2)令t ＝log 3x ，将f(x)表示成以t 为自变量的函数，并由此求函数f(x)的最大值与最小值及与之对应的x 的值. 【导学号：04100089】【解】 (1)f(3)＝log 327·log 39＝3×2＝6.(2)因为t ＝log 3x ，又∵19≤x ≤9，∴－2≤log 3x ≤2，即－2≤t ≤2.由f(x)＝(log 3x ＋2)·(log 3x ＋1)＝(log 3x)2＋3log 3x ＋2＝t 2＋3t ＋2. 令g(t)＝t 2＋3t ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋322－14，t ∈[－2,2]．①当t＝－32时，g(t)min＝－14，即log3x＝－32，则x＝3－32＝39，∴f(x)min ＝－14，此时x＝39；②当t＝2时，g(t)max ＝g(2)＝12，即log3x＝2，x＝9，∴f(x)max＝12，此时x＝9.22．(本小题满分12分)(2016·山东青州市高一期中)已知指数函数y＝g(x)满足：g(3)＝8，定义域为R的函数f(x)＝1－g(x)m＋2g(x)是奇函数．(1)确定y＝f(x)和y＝g(x)的解析式；(2)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明；(3)若对于任意x∈[－5，－1]，都有f(1－x)＋f(1－2x)＞0成立，求x的取值范围．【解】(1)设g(x)＝a x(a＞0且a≠1)，则a3＝8，∴a＝2，∴g(x)＝2x.因为f(x)＝1－2x2x＋1＋m，又f(－1)＝－f(1)，∴1－12m＋1＝1－24＋m⇒m＝2，经检验，满足题意，所以f(x)＝1－2x2＋2x＋1＝－12＋12x＋1.(2)f(x)为减函数，证明如下：由(1)知f(x)＝1－2x2＋2x＋1＝－12＋12x＋1.任取x1，x2∈R，设x1＜x2则f(x2)－f(x1)＝12x2＋1＝12x1＋1＝2x1－2x2(2x1＋1)(2x2＋1)，因为函数y＝2x在R上是增函数且x1＜x2，∴2x1－2x2＜0.又(2x 1＋1)(2x 2＋1)＞0∴f(x 2)－f(x 1)＜0即f(x 2)＜f(x 1)， ∴f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．(3)因f(x)是奇函数，且f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数， 从而由不等式f(1－x)＋f(1－2x)＞0得 f(1－x)＞－f(1－2x)即f(1－x)＞f(2x －1)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＜2x －1，－5≤1－x ≤－1，－5≤1－2x ≤－1，解得2≤x ≤3，即x 的取值范围是[2,3]．。
高中数学第七章概率质量评估卷练测评含解析北师大版第一册
第七章单元质量评估卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列事件中，随机事件的个数是(）①2020年8月18日，北京市不下雨；②在标准大气压下，水在4 ℃时结冰；③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；④x∈R，则｜x｜的值不小于0.A．1 B．2C．3 D．42．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.52，摸出白球的概率是0。
28,那么摸出黑球的概率是（)A．0。
2 B．0.28C．0。
52 D．0.83．若干个人站成一排，其中为互斥事件的是()A．“甲站排头”与“乙站排头” B．“甲站排头”与“乙不站排尾”C．“甲站排头”与“乙站排尾" D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”4．从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人,则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为（）A.错误!B。
错误!C。
错误! D.错误!5．甲邀请乙、丙、丁三人加入了微信群聊“兄弟”，为庆祝兄弟相聚，甲发了一个9元的红包，被乙、丙、丁三人抢完,已知三人均抢到整数元，且每人至少抢到2元,则丙领到的钱数不少于乙、丁的概率是(）A。
错误!B。
错误!C.错误!D.错误!6．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个,有放回地取3次,则下列事件的概率为错误!的是（）A．颜色相同B．颜色不全同C．颜色全不同D．无红球7.如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合图形,现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色,则三个图形颜色不全相同的概率为()A.错误!B.错误!C。
错误!D。
错误!8．设两个独立事件A和B都不发生的概率为错误!，A发生B 不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率P(A)是（）A.错误!B.错误!C。
2020-2021学年北师大版高中数学必修一《集合》单元测试题及答案解析
&知识就是力量 &最新(新课标)北师大版高中数学必修一第一章集合单元测试题(时间： 120 分钟满分 150 分)一、选择题(本大题共 10小题，每小题 5 分，共 50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法正确的是 ( )A．很小的实数可以构成集合B．集合 {y|y＝x2－1}与集合 {(x， y)|y＝ x2－ 1}是同一个集合C．自然数集 N 中最小的数是 1D．空集是任何集合的子集2．已知集合 A＝ {x|0< x< 3}，B＝ {x|1≤ x<2}，则 A∪ B＝( )A．{x|x≤0} B．{x|x≥ 2}C． {x|1≤ x< 3} D． {x|0<x< 2}3．已知集合 M＝{0,1,2}，N＝{x|x＝2a－1，a∈ N+}，则集合 M∩N＝( )A． {0} B． {1,2}C． {1} D． {2}k 1 k 14．已知集合 M＝{x|x＝2＋4，k∈Z}，N＝{x|x＝4＋2，k∈Z}，若 x0∈M，则 x0与 N的关系是 ( )&知识就是力量 &C．x0∈N 或 x0? N D． x0? N225．已知 M＝｛y|y＝x2＋1，x∈R｝，N＝｛y|y＝－ x2＋1，x∈R｝，则 M∩N=( )A．{0,1} B．{(0,1)}C．{1} D．以上都不是6．设全集 U 和集合B，P 满足 A＝? U B，B＝? U P，则 A与 P 的关系是 ( )A，A． A＝ ? U P B．A＝PC． A P D．A P27．已知全集 U＝｛1,2,3,4,5｝，集合 A＝｛x|x2－3x＋2＝0｝，B＝｛x|x＝ 2a，a∈A｝，则集合 ? U(A∪B)中元素的个数是 ( )A． 1 个B．2个C． 3 个D．4 个8.已知集合 A＝｛x|a－1≤x≤a＋2｝，B＝｛x|3<x<5｝，则能使 A? B 成立的实数 a的取值范围是 ( )A． {a|3<a≤ 4} B． {a|3≤a≤ 4}C． {a|3<a<4} D．?9.设集合 A＝｛x||x－a|<1｝，B＝｛x|1<x<5｝，若 A∩B＝? ，则实数 a的取值范围是 ( ) A．{a|0≤a≤6} B． {a|a≤ 2 或 a≥4}C． {a|a≤ 0 或 a≥6} D． {a|2≤ a≤4}10.已知 A，B 均为集合 U＝｛1,3,5,7,9｝的子集，且 A∩B＝｛3｝，(? U B)∩ A＝｛9｝，则 A 等于( )C．{3,5,9}D．{3,9}二、填空题（本大题共 5小题，每小题 5 分，共 25分．把答案填在题中横线上）11.设集合 A＝｛－ 1,1,3｝，B＝｛a＋2，a2＋4｝，A∩ B＝｛3｝，则实数 a＝ .12．如图所示的全集 I 及集合 A，B， C，则阴影部分可用集合的运算表示为___13．设 A＝｛x|－2≤x≤4｝，B＝｛x|x<a｝,若 A∩B＝? ，则实数 a的取值范围是214．已知集合 A＝｛1,3，x｝，B＝｛1，x2｝，设 U 为全集，若 B∪（? U B）＝A，则? U B＝15. 设 U＝｛0,1,2,3｝，A＝｛x∈U|x2＋ mx＝0｝，若 ? U A＝｛1,2｝，则实数 m＝ .三、解答题（本大题共 6小题，共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（ 12分）设集合 A＝｛－2｝，B＝｛x|ax＋1＝0，a∈R｝，若 A∩B＝B，求实数 a 的值．2217．（ 12 分）设 A＝｛x|x2－ 3x＋ 2＝ 0｝， B＝｛x|x2－ ax＋ 2＝0｝，若 A∪B＝A，求由 a 的值组成的集合．18．（ 12分）设 A ｛x|2x2 ax 2 0｝，B ｛x|x2 3x 2a 0｝，且 AI B ｛2｝．（1）求a的值及集合A,B ；（2）设全集U AUB，求（痧U A）U（U B），并写出（痧U A）U（U B）的所有子集．19．（ 12 分）设集合 A ｛x|x2 ax 12 0｝， B ｛x|x2 bx c 0｝，且A B， AUB ｛ 3,4｝，AI B ｛ 3｝，求实数a, b, c的值．20．（13分）已知集合 A ｛x| 3 x 6｝，B ｛x|b 3 x b 7｝，M ｛x| 4 x 5｝，全集UR ．(1)求AI M ；(2)若 BU(e U M) R，求实数 b 的取值范围．21．( 14 分)已知集合 A＝｛x||x－a|＝4｝，集合 B＝｛1,2，b｝．(1)是否存在实数 a，使得对于任意实数 b 都有 A? B？若存在，求出对应的 a；若不存在，试说明理由；(2)若 A? B 成立，求出对应的实数对 (a， b)．参考答案一、选择题1．D 2． D 3． C 4．A 5． C 6．B 7．B8． B 9．C 10．D提示：1.不确定哪个数是很小的数，所以 A错误； B中两个集合描述的对象不同；自然数集N 中最小的数是0，故选 D.2.如图，A∪B＝｛x|0<x<2｝．故选 D.3.N＝｛正奇数｝， M＝｛0,1,2｝，所以 M∩N＝｛1｝．2k＋ 1 k＋24.M＝｛x|x＝，k∈Z｝，N＝｛x|x＝，k∈ Z｝，因为 2k＋1(k∈Z)是一个奇数， k＋ 2(k∈Z)是一个整数，44所以 x0∈M 时，一定有 x0∈N，故选 A.5.M＝｛y|y≥1｝，N＝｛y|y≤1｝，所以 M∩ N＝｛1｝．6.由 A＝? U B，得? U A＝B.又因为 B＝? U P，所以? U P＝? U A.即 P＝ A，故选 B.27.因为 A＝｛x|x2－3x＋2＝0｝＝｛1,2｝，B＝｛x|x＝2a，a∈A｝＝｛2,4｝，所以 A∪B＝｛1,2,4｝，所以 ? U(A∪B)＝｛3,5｝中有 2 个元素．故选 B.8.根据题意可画出下图．a－ 1≤ 3，a＋2≥5.9.已知 A＝｛x|a－1<x<a＋1｝，B＝｛x|1<x<5｝，若 A∩B＝? ，借助于数轴可知应满足 a＋1≤1或a－1≥5，即 a ≤0 或 a≥ 6.10.借助于 Venn 图解，因为 A∩B＝｛3｝，所以 3∈ A，又因为 (? U B)∩A＝｛9｝，所以9∈A，所以选 D.二、填空题11.1 12. B∩(? I A)∩ ( ? I C) 13. ｛a|a≤－ 2｝14.｛－ 3｝或｛ 3｝或｛3｝15. -3提示：11. 因为 A∩ B＝｛3｝，所以 3∈B，因为 a2＋4≥4，所以 a＋ 2＝3，所以 a＝ 1.12.阴影部分位于集合 B 内，且位于集合 A，C的外部，故可表示为 B∩(? I A)∩(? I C)．13.画出数轴，则 a≤－ 2.14.因为 B∪(? U B)＝ A，所以 A＝ U，所以 B? A.(1)当 x2＝3 时， x＝± 3， B＝｛1,3｝， ? U B＝｛ 3｝或｛－ 3｝；(2)当x2＝x时， x＝0或1.当 x＝0时，B＝｛0,1｝，? U B＝｛3｝；而当 x＝1不满足集合元素的互异性，舍去．15.因为 ? U A＝｛1,2｝，所以 A＝｛0,3｝，故 m＝－ 3.三、解答题16.解：因为 A∩B＝ B，所以 B? A.因为 A＝｛－ 2｝≠? ，所以 B＝? 或 B≠ ? .当 B ＝? 时，方程 ax ＋1＝0 无实数解， a ＝ 0.1 当 B ≠? 时， a ≠0，则 B ＝｛－ ｝， a1 1 1所以－ ∈A ，即有－ ＝－ 2，得 a ＝ .a a 21综上，得 a ＝ 0 或 a ＝2.17．解：由 A ∪ B ＝A ，可知 B? A ，而 A ＝｛1,2｝，故 B 可为 ｛1,2｝，｛1｝，｛2｝，或? .当 B ＝｛1,2｝＝A 时，显然有 a ＝3.当 B ＝｛1｝，｛2｝，或? 时，方程 x 2－ax ＋2＝0有等根或无实根， 故Δ≤ 0，即a 2－8≤0，解得－ 2 2≤a ≤2 2.但当 a ＝±2 2时，得到 B ＝｛－ 2｝或｛ 2｝，不能满足 B? A.故所求 a 值的集合为 ｛3｝∪｛a|－ 2 2<a<2 2｝．18．解：(1)因为 A B 2 ，所以 2 A ,即 10+2a=0，解得 a=-5，2 1 2 从而可知 A {x|2x 2-5x 2 0}={2, } ， B {x|x 2 3x 10 0}={2, 5}；1 1 1(2)由( 1)知U AUB = ，2，-5 ，所以e U A= -5，e U B= ，所以(痧U A)U( U B) {1, 5}，2 U U 2 U U2其子集为 ， {1} ， { 5} ， { 1, 5} ．22 将-3 代入方程 x 2 ax 12 0得 a =-1 ，从而 A=｛-3 ， 4｝．又 AUB { 3,4} ，A B,-3 B ，所以 B={-3}．所以由根与系数的关系知( -3 ) +(-3)=-b,(-3)(-3)=c, b=-6,c=919．解：因为 AI B ｛ 3｝,所以 -3 A ．&知识就是力量 &20．解： (1) AI M {x| 3 x 6}I { x| 4 x 5} {x| (2)因为 e U M { x| x 4或x 5} ，又 B {x|b 3 x b 所以 b 3 4 ，解得 2 b 1 ．b75所以实数 b 的取值范围是 2 b 1．21．解： (1) 设存在实数 a ，使得对任意的实数 b ，都有 A? B ． 因为 A ＝{a ＋4，a －4}，b 任意，所以 1，2都是 A 中的元素， 所以这样的实数 a 不存在．(2)因为 A? B 成立， A ＝{a ＋4，a －4}，所以有a －4＝1 a － 4＝2 a －4＝b a －4＝b或或或，a ＋4＝b a ＋ 4＝b a ＋4＝1 a ＋4＝2a ＝5 a ＝ 6 a ＝－ 3 a ＝－ 2解得 或 或 或 ．b ＝ 9 b ＝10 b ＝－ 7 b ＝－ 6所以实数对为 (5,9)，(6,10)，(－3，－7)，(－2，－ 6)． 3 x 5} ．7}， BU(e U M) R ， a ＋4＝2，a 无实数解. a －4＝1。
2020-2021学年北师大版高中数学必修一学业水平模拟测试基础卷及答案解析
最新（新课标）北师大版高中数学必修一 高中数学学业水平测试检测卷1--数学必修1（基础卷）网第Ⅰ卷(选择题共54分)一、选择题：本大题共18小题，每小题3分，共54分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．函数2y x =-的定义域是： （ ）. (2,) . [2,) . (,2) . (,2]A B C D +∞+∞-∞-∞2．全集U ＝｛0,1,3,5,6,8｝,集合A ＝{ 1，5, 8 }, B ={2},则集合)A B =U U （C ： （ ） A ．{0,2,3,6} B ．{ 0,3,6} C ． {2,1,5,8} D ． ∅ 3．已知集合{}{}13,25A x x B x x A B =-≤<=<≤=U ,则： （ ） A. ( 2, 3 ) B. [-1,5] C. (-1,5) D. (-1,5]4.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7}，A={3,4,5},B={1,3,6}，则A ∩(C U B)等于（ ）A ．{4，5} B.{2,4,5,7} C.{1,6} D.{3} 5．设全集U ,图中阴影部分所表示的集合是 （ ） A ．U M ð B.()U N M ⋂ð C.()U N M ⋃ðD.()U N M ⋂ð 6．下列函数是偶函数的是： （ ）A ．x y =B ．322-=x y C ．21x y = D ．]1,0[,2∈=x x y7．化简：2(4)ππ-＋＝： （ ）A ． 4B ． 2 4π－C ．2 4π－或4D ． 4 2π－ 8．下列各组函数是同一函数的是 （ ）①3()2f x x =-与()2g x x x =-；②()f x x =与2()g x x =；③0()f x x =与01()g x x=；④2()21f x x x =--与2()21g t t t =--。
2020-2021学年新教材数学北师大版(2019)必修第一册练测评：4.2.2换底公式含解析
必备知识基础练进阶训练第一层知识点一 利用换底公式求值1.若a b c abc A ．1 B ．2 C ．3 D ．5 2．若log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m ＝________.3．设3x ＝4y＝36，求2x ＋1y 的值．知识点二 利用换底公式计算 4.(log 134)·(log 227)等于( )A .23B .32C ．6D ．－6 5．计算： (1)log 927；(2)log 21125×log 3132×log 513； (3)(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)知识点三 利用换底公式证明6.证明：log an b m ＝mn log a b(a>0，且a ≠1；m ≠0)．7．已知2x ＝3y ＝6z≠1，求证：1x ＋1y ＝1z .关键能力综合练 进阶训练第1.log 29log 23＝( )A .12 B ．2 C .32 D .922．已知log 23＝a ，log 37＝b ，则log 27＝( ) A ．a ＋b B ．a －bC ．abD .ab3．设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( ) A .10 B ．10 C ．20 D ．1004.1log 1419＋1log 1513等于( )A ．lg 3B ．－lg 3C .1lg 3D ．－1lg 3 5．计算：1＋lg 2·lg 5－lg 2·lg 50－log 35·log 259·lg 5＝( ) A ．1 B ．0 C ．2 D ．46．(探究题)若实数a ，b ，c 满足25a ＝404b ＝2 020c ＝2 019，则下列式子正确的是( )A .1a ＋2b ＝2cB .2a ＋2b ＝1cC .1a ＋1b ＝2cD .2a ＋1b ＝2c 7．若log a b·log 3a ＝4，则b 的值为________．8．已知log 32＝m ，则log 3218＝________.(用m 表示) 9．(易错题)计算：(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258)．10．计算：(1)(log 43＋log 83)×lg 2lg 3；(2)log 52×log 79log 513×log 734＋log 4(3＋5－3－5)2.学科素养升级练进阶训练第三层 1a 等的是( )A .1log ba B .lg a lg bC ．log b aD ．log an b n2．已知x ，y ，z 都是大于1的实数，m>0且log x m ＝24，log y m ＝40，log xyz m ＝12，则log z m 的值为________．3．(学科素养—逻辑推理)已知a ，b ，c 是不等于1的正数，且a x＝b y ＝c z，1x ＋1y ＋1z ＝0，求abc 的值．2．2 换底公式 必备知识基础练1．解析：∵log a x ＝1log xa ＝2，∴log x a ＝12.同理log x c ＝16，log x b ＝13.∴log abc x ＝1log x abc ＝1log x a ＋log x b ＋log x c ＝1.答案：A2．解析：由换底公式，得lg 4lg 3×lg 8lg 4×lg m lg 8＝lg mlg 3＝log 416＝2，∴lg m ＝2lg 3＝lg 9，∴m ＝9.答案：93．解析：∵3x ＝36,4y ＝36，∴x ＝log 336，y ＝log 436，由换底公式，得x ＝log 3636log 363＝1log 363，y ＝log 3636log 364＝1log 364，∴1x ＝log 363，1y ＝log 364， ∴2x ＋1y ＝2log 363＋log 364＝log 36(32×4) ＝log 3636＝1.4．解析：(log 134)·(log 227)＝(log 1322)·⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫13－3＝(2log 132)·⎝⎛⎭⎪⎫－3log 213＝－6·lg 2lg 13·lg 13lg 2＝－6.答案：D5．解析：(1)log 927＝log 327log 39＝log 333log 332＝3log 332log 33＝32.(2)log 21125×log 3132×log 513 ＝log 25－3×log 32－5×log 53－1＝－3log 25×(－5log 32)×(－log 53)＝－15×lg 5lg 2×lg 2lg 3×lg 3lg 5＝－15.(3)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3 ＝12＋14＋13＋16＝54.6．解析：证明：log an b m＝lg b m lg a n ＝m lg b n lg a ＝m n log a b . 7．解析：证明：设2x ＝3y ＝6z ＝k (k ≠1)， ∴x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 6k ， ∴1x ＝log k 2，1y ＝log k 3，1z ＝log k 6＝log k 2＋log k 3， ∴1z ＝1x ＋1y . 关键能力综合练1．解析：由换底公式得log 39＝log 29log 23，又∵log 39＝2，∴log 29log 23＝2.答案：B2．解析：log 27＝log 23×log 37＝ab . 答案：C3．解析：∵2a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m .1a ＋1b ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2，∴m 2＝10.又m >0，∴m ＝10，选A. 答案：A4．解析：原式＝log 1914＋log 1315＝log 1312＋log 1315＝log 13110＝log 310＝1lg 3.选C.答案：C5．解析：原式＝1＋lg 2·lg 5－lg 2(1＋lg 5)－lg 5lg 3·2lg 32lg 5·lg 5＝1＋lg 2·lg 5－lg 2－lg 2·lg 5－lg 5＝1－(lg 2＋lg 5)＝1－lg 10＝1－1＝0. 答案：B6．解析：由已知，得52a ＝404b ＝2 020c ＝2 019，得2a ＝log 5 2 019，b ＝log 4042 019，c ＝log 2 0202 019，所以12a ＝log 2 0195，1b ＝log 2 019404，1c ＝log 2 0192 020，而5×404＝2 020，所以12a ＋1b ＝1c ，即1a ＋2b ＝2c ，故选A.答案：A7．解析：log a b ·log 3a ＝lg b lg a ·lg a lg 3＝lg b lg 3＝4，所以lg b ＝4lg 3＝lg 34，所以b ＝34＝81. 答案：818．解析：log 23＝1log 32＝1m ，log 3218＝lg 18lg 32＝lg 2＋2lg 35lg 2＝15＋25log 23＝15＋25m ＝m ＋25m .答案：m ＋25m9．解析：解法一：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 253＋log 225log 24＋log 25log 28⎝ ⎛⎭⎪⎫log 52＋log 54log 525＋log 58log 5125＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3log 25＋2log 252log 22＋log 253log 22⎝⎛⎭⎪⎫log 52＋2log 522log 55＋3log 523log 55＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1＋13log 25·(3log 52)＝13log 25·log 22log 25＝13. 解法二：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 125lg 2＋lg 25lg 4＋lg 5lg 8⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 5＋lg 4lg 25＋lg 8lg 125＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3lg 5lg 2＋2lg 52lg 2＋lg 53lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 5＋2lg 22lg 5＋3lg 23lg 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13lg 53lg 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫3lg 2lg 5＝13. 解法三：原式＝(log 2 53＋log 2252＋log 2351)(log 52＋log 52 22＋log 53 23)＝⎝⎛⎭⎪⎫3log 2 5＋log 25＋13log 2 5(log 5 2＋log 5 2＋log 5 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1＋13log 2 5·3log 5 2＝3×133＝13.10．解析：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8×lg 2lg 3＝lg 32lg 2×lg 2lg 3＋lg 33lg 2×lg 2lg 3 ＝12＋13＝56.(2)原式＝log 52log 513×log 79log 734＋log 4(3＋5－3－5)2＝log 132×log 349＋log 4(3＋5＋3－5－232－5) ＝lg 2lg 13×lg 9lg 413＋log 4(6－2×2) ＝12lg 2－lg 3×2lg 323lg 2＋log 42 ＝－32＋12log 22＝－32＋12＝－1. 学科素养升级练1．解析：1log b a ＝log a b ，lg alg b ＝log b a ，log ba ＝logb a ，log an b n ＝log a b ，故选A 、D. 答案：AD2．解析：∵log x m ＝24，log y m ＝40，log xyz m ＝12，∴log m x ＝124，log m y ＝140，log m xyz ＝112，∴124＋140＋log m z ＝112，解得log m z ＝160，故log z m ＝60.答案：603．解析：解法一：设a x ＝b y ＝c z ＝t ，则x ＝log a t ，y ＝log b t ，z ＝log c t ， ∴1x ＋1y ＋1z ＝1log a t ＋1log b t ＋1log ct ＝log t a ＋log t b ＋log t c ＝log t (abc )＝0，∴abc ＝t 0＝1，即abc ＝1. 解法二：设a x ＝b y ＝c z ＝t ， ∵a ，b ，c 是不等于1的正数，∴t >0且t ≠1，∴x ＝lg t lg a ，y ＝lg t lg b ，z ＝lg tlg c ， ∴1x ＋1y ＋1z ＝lg a lg t ＋lg b lg t ＋lg c lg t ＝lg a ＋lg b ＋lg c lg t ， ∵1x ＋1y ＋1z ＝0，且lg t ≠0，∴lg a ＋lg b ＋lg c ＝lg (abc )＝0，∴abc ＝1.。
2020-2021学年高中新教材北师大版数学必修第一册习题：第一章 4.1 一元二次函数 Word版
第一章预备知识§4一元二次函数与一元二次不等式4.1一元二次函数课后篇巩固提升基础达标练1.将抛物线y=x2+1先向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的新抛物线的表达式为() A.y=(x+2)2+4 B.y=(x-2)2-2C.y=(x-2)2+4D.y=(x+2)2-2一元二次函数解析式为y=x2+1,∴顶点坐标(0,1).将其顶点坐标向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度得到新的顶点坐标为(-2,-2),可设新函数的解析式为y=(x-h)2+k,代入新的顶点坐标得y=(x+2)2-2.2.下列一元二次函数的图象通过平移能与一元二次函数y=x2-2x-1的图象重合的是()A.y=2x2-x+1B.y=x2+2x+1C.y=x2-2x-1D.y=x2+2x+1经过平移后能与一元二次函数y=x2-2x-1的图象重合,∴a=1,观察选项,只有选项B符合题意.3.已知抛物线y=x2-4x+3,当0≤x≤m时,y的最小值为-1,最大值为3,则m的取值范围为()A.[2,+∞)B.[0,2]C.[2,4]D.[-∞,4]y=x2-4x+3=(x-2)2-1,∴当x=2时,y取得最小值,最小值为-1;当y=3时,有x2-4x+3=3,解得x1=0,x2=4,∴当x=0或4时,y=3.又∵当0≤x≤m时,y的最小值为-1,最大值为3,∴2≤m≤4.4.(2020福建厦门双十中学高一月考)设abc>0,一元二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是()abc>0,一元二次函数y=ax2+bx+c,所以可知,在A中,a<0,b<0,c<0,不合题意;B中,a<0,b>0,c>0,不合题意;C中,a>0,c<0,b>0,不合题意,故选D.5.将一元二次函数y=x2-4x+a的图象向左平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度.若得到的函数图象与直线y=2有两个交点,则a的取值范围是()A.(3,+∞)B.(-∞,3)C.(5,+∞)D.(-∞,5)y=x2-4x+a=(x-2)2-4+a,∴将一元二次函数y=x2-4x+a的图象向左平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到的函数的图象的解析式为y=(x-2+1)2-4+a+1,即y=x2-2x+a-2,将y=2代入,得2=x2-2x+a-2,即x2-2x+a-4=0,由题意,得Δ=4-4(a-4)>0,解得a<5.6.已知一元二次函数y=-(x+1)2-1.(1)画出这个函数的图象,指出它的开口方向、对称轴及顶点;(2)抛物线y=-x2经过怎样的变换可以得到抛物线y=-(x+1)2-1?图象如图所示,抛物线y=-(x+1)2-1的开口方向向下、对称轴是x=-1,顶点是(-1,-1);(2)把抛物线y=-x2向下平移1个单位长度,再向左平移1个单位长度,就得到抛物线y=-(x+1)2-1.能力提升练1.(多选题)在平面直角坐标系中,对于一元二次函数y=(x-2)2+1,下列说法中正确的是()A.y的最小值为1B.图象顶点坐标为(2,1),对称轴为直线x=2C.当x<2时,y的值随x值的增大而增大,当x≥2时,y的值随x值的增大而减小D.它的图象可以由y=x2的图象向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到y=(x-2)2+1,a=1>0,∴该函数的图象开口向上,对称轴为直线x=2,顶点为(2,1),当x=2时,y有最小值1,当x≥2时,y的值随x值的增大而增大,当x≤2时,y的值随x值的增大而减小;故选项A、B的说法正确,C的说法错误;根据平移的规律,y=x2的图象向右平移2个单位长度得到y=(x-2)2的图象,再向上平移1个单位长度得到y=(x-2)2+1的图象,故选项D的说法正确.2.(2020江西新余一中高一月考)一元二次函数y=-x2+2tx在[1,+∞)上最大值为3,则实数t=()A.±B.C.2D.2或2+2tx的图象的对称轴x=t,开口向下,①t≤1,则当x=1时,y=-12+2t=3⇒t=2,无解,②t>1,则当x=t时,y=-t2+2t·t=3⇒t=.3.当a≤x≤a+1时,函数y=x2-2x+1的最小值为1,则a的值为()A.-1B.2C.0或2D.-1或2y=1时,有x2-2x+1=1,解得x1=0,x2=2.∵当a≤x≤a+1时,函数有最小值1,∴a=2或a+1=0,∴a=2或a=-1.4.(多选题)(2020重庆一中高一月考)若关于x的方程x2-x-m=0在[-1,1]上有解,则实数m的值可能是() A.- B.1 C. D.4解析题中的方程即x2-x=m,则原问题等价于函数y=m和函数y=x2-x的图象在区间[-1,1]上有交点,一元二次函数y=x2-x的图象开口向上,对称轴为x=,故当x=时,y min=-;当x=-1时,y max=2,则实数m的取值范围是-,2.对照选项可得AB选项满足.5.如图,一元二次函数y=-x2+x+c的图象经过点(-2,2),求c的值及函数的最大值.(-2,2)代入y=-x2+x+c中,得-+c=2,解得c=,所以这个一元二次函数为y=-x2+x+.∵y=-x2+x+=-(x-1)2+5,∴此函数的图象的开口向下,当x=1时,函数有最大值5.素养培优练对于一元二次函数y=x2+4x+6,(1)指出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标;(2)画出它的图象,并说明其图象由y=x2的图象经过怎样平移得来;(3)求函数的最大值或最小值.配方得y=(x+4)2-2可知图象开口向上,对称轴为直线x=-4,顶点坐标为(-4,-2).(2)作图如下.一元二次函数的图象可以看作先将y=x2的图象向左平移4个单位长度,向下平移2个单位长度得到.(3)由图可知,函数在x∈R内没有最大值,当x=-4时,函数有最小值,即y min=-2.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
高中数学 模块综合测评(含解析)北师大版高二选修1-1数学试题
选修1-1 模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法中正确的是( )A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B．“a>b”与“a＋c>b＋c”不等价C．“a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真【解析】否命题和逆命题是互为逆否命题，有着一致的真假性．【答案】 D2．设a，b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“a<b”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】由(a－b)a2<0⇒a≠0且a<b，∴充分性成立；由a<b⇒a－b<0，当0＝a<b时⇒/(a－b)·a2<0，必要性不成立．【答案】 A3．曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )A．－9 B．－3C．9 D．15【解析】y′＝3x2，故曲线在点P(1,12)处的切线斜率是3，故切线方程是y－12＝3(x －1)，令x＝0得y＝9.【答案】 C4．如果命题“﹁p且﹁q”是真命题，那么下列结论中正确的是( )A．“p或q”是真命题 B．“p且q”是真命题C．“﹁p”为真命题 D．以上都有可能【解析】若“﹁p且﹁q”是真命题，则﹁p，﹁q均为真命题，即命题p、命题q都是假命题．【答案】 C5．下列命题的否定为假命题的是( )A．对任意x∈R，都有－x2＋x－1<0成立B．对任意x∈R，都有|x|>x成立C ．对任意x ，y ∈Z ，都有2x －5y ≠12成立D ．存在x ∈R ，使sin 2x ＋sin x ＋1＝0成立【解析】 对于A 选项命题的否定为“存在x ∈R ，使－x 2＋x －1≥0成立”，显然，这是一个假命题．【答案】 A6．抛物线y 2＝12x 的准线与双曲线x 29－y 23＝1的两条渐近线所围成的三角形面积等于( )A ．33B ．2 3C ．2 D. 3【解析】 抛物线y 2＝12x 的准线为x ＝－3，双曲线的渐近线为y ＝±33x ，则准线与渐近线交点为(－3，－3)、(－3, 3)．∴所围成三角形面积S ＝12×3×23＝3 3.【答案】 A7．过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作直线，交抛物线于P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点，若y 1＋y 2＝6，则|P 1P 2|的值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10【解析】 抛物线x 2＝4y 的准线为y ＝－1，因为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点，所以P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点到准线的距离分别是y 1＋1，y 2＋1，所以|P 1P 2|的值为y 1＋y 2＋2＝8.【答案】 C8．已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 23＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点，则|PF 1|·|PF 2|有( )A ．最大值16B ．最小值16C ．最大值4D ．最小值4【解析】 由椭圆的定义知a ＝4，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2×4＝8.由基本不等式知|PF 1|·|PF 2|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝16，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝4时等号成立，所以|PF 1|·|PF 2|有最大值16.【答案】 A9．如图1所示，四图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是( )图1A ．①② B．③④ C．①③ D．②④【解析】 因为三次函数的导函数为二次函数，其图像为抛物线，观察四图，由导函数与原函数的关系可知，当导函数大于0时，其函数为增函数；当导函数小于0时，其函数为减函数，由此规律可判定③④不正确．【答案】 B10．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若在双曲线的右支上存在一点P ，使得|PF 1|＝3|PF 2|，则双曲线的离心率e 的取值X 围为( )A ．[2，＋∞) B．[2，＋∞) C ．(1,2] D ．(1，2] 【解析】 由双曲线的定义知， |PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝3|PF 2|，∴|PF 2|＝a .即双曲线的右支上存在点P 使得|PF 2|＝a . 设双曲线的右顶点为A ，则|AF 2|＝c －a . 由题意知c －a ≤a ， ∴c ≤2a .又c >a ，∴e ＝c a≤2且e >1，即e ∈(1,2]． 【答案】 C11．设f (x )是一个三次函数，f ′(x )为其导函数，如图2所示的是y ＝x ·f ′(x )的图像的一部分，则f (x )的极大值与极小值分别是( )图2A ．f (1)与f (－1)B ．f (－1)与f (1)C ．f (－2)与f (2)D ．f (2)与f (－2)【解析】 由图像知，f ′(2)＝f ′(－2)＝0.∵x >2时，y ＝x ·f ′(x )>0，∴f ′(x )>0， ∴y ＝f (x )在(2，＋∞)上单调递增；同理f (x )在(－∞，－2)上单调递增；在(－2,2)上单调递减．∴y ＝f (x )的极大值为f (－2)，极小值为f (2)，故选C. 【答案】 C12．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )A ．y 2＝±4x B ．y 2＝±8x C ．y 2＝4x D ．y 2＝8x 【解析】a >0时，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，直线l 方程为y ＝2⎝⎛⎭⎪⎫x －a 4，令x ＝0得y ＝－a2.∴S △OAF ＝12·a 4·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－a 2＝4.解得a ＝8.同理a <0时，得a ＝－8. ∴抛物线方程为y 2＝±8x . 【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上)13．若双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)的渐近线方程为y ＝±12x ，则右焦点坐标为________.【解析】 由x 24－y 2b 2＝1得渐近线方程为y ＝±b2x ，∴b 2＝12，b ＝1， ∴c 2＝a 2＋b 2＝4＋1＝5， ∴右焦点坐标为(5，0)． 【答案】 (5，0)14．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________． 【解析】f ′(x )＝3x 2－30x －33＝3(x －11)(x ＋1)， 当x <－1或x >11时，f ′(x )>0，f (x )增加； 当－1<x <11时，f ′(x )<0，f (x )减少． 【答案】 (－1,11)15．已知命题p ：对任意x ∈[0,1]，都有a ≥e x成立，命题q ：存在x ∈R ，使x 2＋4x ＋a ＝0成立，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值X 围是____________.【解析】 因为对任意x ∈[0,1]，都有a ≥e x成立，所以a ≥e.由存在x ∈R ，使x 2＋4x ＋a ＝0成立，可得判别式Δ＝16－4a ≥0，即a ≤4.若命题“p 且q ”是真命题，所以p 、q 同为真，所以e≤a ≤4.【答案】 [e,4]16．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点与抛物线C 2：y 2＝4x 的焦点F 重合，椭圆C 1与抛物线C 2在第一象限的交点为P ，|PF |＝53.则椭圆C 1的方程为________．【解析】 抛物线C 2的焦点F 的坐标为(1,0)，准线为x ＝－1，设点P 的坐标为(x 0，y 0)，依据抛物线的定义，由|PF |＝53，得1＋x 0＝53，解得x 0＝23.因为点P 在抛物线C 2上，且在第一象限，所以y 0＝263.所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，263.因为点P 在椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1上，所以49a 2＋83b 2＝1.又c ＝1，所以a 2＝b 2＋1，联立解得a 2＝4，b 2＝3.所以椭圆C 1的方程为x 24＋y 23＝1.【答案】x 24＋y 23＝1三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)求与⊙C 1：(x ＋1)2＋y 2＝1相外切，且与⊙C 2：(x －1)2＋y 2＝9相内切的动圆圆心P 的轨迹方程．【解】 设动圆圆心P 的坐标为(x ，y )，半径为r ， 由题意得，|PC 1|＝r ＋1，|PC 2|＝3－r ，∴|PC 1|＋|PC 2|＝r ＋1＋3－r ＝4>|C 1C 2|＝2，由椭圆定义知，动圆圆心P 的轨迹是以C 1，C 2为焦点，长轴长为2a ＝4的椭圆，椭圆方程为x 24＋y 23＝1.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx .若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值．【解】f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b .∵曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′1＝g ′1f 1＝g 1，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3＋b a ＋1＝1＋b ＝c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝3.∴a ，b 的值分别为3,3.19．(本小题满分12分)已知命题p ：函数f (x )＝x 3＋ax ＋5在区间(－2,1)上不单调，若命题p 的否定是一个真命题，求a 的取值X 围．【解】 考虑命题p 为真命题时a 的取值X 围，因为f ′(x )＝3x 2＋a ，令f ′(x )＝0，得到x 2＝－a3，当a ≥0时，f ′(x )≥0，函数f (x )在区间(－2,1)上是增加的，不合题意； 当a <0时，由x 2＝－a3，得到x ＝±－a3，要使函数f (x )＝x 3＋ax ＋5在区间(－2,1)上不单调，则－a3<1或－－a3>－2，即a >－12， 综上可知－12<a <0，故命题p 的否定是一个真命题时，a 的取值X 围是a ≤－12或a ≥0.20．(本小题满分12分)某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元．已知该厂制造电子元件过程中，次品率p 与日产量x 的函数关系是：p ＝3x4x ＋32(x ∈N ＋)． (1)将该厂的日盈利额T (元)表示为日产量x (件)的函数； (2)为获最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？【解】 (1)由题意可知次品率p ＝日产次品数/日产量，每天生产x 件，次品数为xp ，正品数为x (1－p )．因为次品率p ＝3x4x ＋32，当每天生产x 件时，有x ·3x4x ＋32件次品，有x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3x 4x ＋32件正品． 所以T ＝200x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3x 4x ＋32－100x ·3x 4x ＋32 ＝25·64x －x2x ＋8(x ∈N ＋)．(2)T ′＝－25·x ＋32x －16x ＋82，由T ′＝0，得x ＝16或x ＝－32(舍去)． 当0<x <16时，T ′>0； 当x >16时，T ′<0； 所以当x ＝16时，T 最大．即该厂的日产量定为16件，能获得最大盈利．21．(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 2－2tx ＋4t 3＋t 2－3t ＋3，其中x ∈R ，t ∈R ，将f (x )的最小值记为g (t )．(1)求g (t )的表达式；(2)讨论g (t )在区间[－1,1]内的单调性；(3)若当t ∈[－1,1]时，|g (t )|≤k 恒成立，其中k 为正数，求k 的取值X 围． 【解】 (1)f (x )＝(x －t )2＋4t 3－3t ＋3，当x ＝t 时，f (x )取得其最小值g (t )，即g (t )＝4t 3－3t ＋3.(2)∵g ′(t )＝12t 2－3＝3(2t ＋1)(2t －1)， 列表如下：t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12－12 ⎝⎛ －12，⎭⎪⎫12 12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 g ′(t ) ＋0 －0 ＋g (t )极大值g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12极小值g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12由此可见，g (t )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－2和⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1上单调递增，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，2上单调递减． (3)∵g (1)＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝4，g (－1)＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2，∴g (t )最大值＝4，g (t )最小值＝2， 又∵|g (t )|≤k 恒成立，∴－k ≤g (t )≤k 恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ≥4，－k ≤2，∴k ≥4.22．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的短轴长为23，右焦点F 与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设A 、B 是椭圆C 上的不同两点，点D (－4,0)，且满足DA →＝λDB →，若λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，12，求直线AB 的斜率的取值X 围．【解】 (1)由已知得b ＝3，c ＝1，a ＝2， 所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)∵DA →＝λDB →，∴D ，A ，B 三点共线，而D (－4,0)，且直线AB 的斜率一定存在，所以设AB 的方程为y ＝k (x ＋4)，与椭圆的方程x 24＋y 23＝1联立得(3＋4k 2)y 2－24ky ＋36k 2＝0，由Δ＝144k 2(1－4k 2)>0，得k 2<14.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，y 1＋y 2＝24k3＋4k 2，y 1·y 2＝36k23＋4k2，①又由DA →＝λDB →得：(x 1＋4，y 1)＝λ(x 2＋4，y 2)， ∴y 1＝λy 2②将②式代入①式得：⎩⎪⎨⎪⎧1＋λy 2＝24k3＋4k2，λy 22＝36k23＋4k2，消去y 2得：163＋4k2＝1＋λ2λ＝1λ＋λ＋2.当λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，12时，h (λ)＝1λ＋λ＋2是减函数， ∴92≤h (λ)≤12124， ∴92≤163＋4k 2≤12124，解得21484≤k 2≤536，又因为k 2<14，所以21484≤k 2≤536，即－56≤k ≤－2122或2122≤k ≤56. ∴直线AB 的斜率的取值X 围是 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－56，－2122∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤2122，56.。
2020-2021学年新教材数学北师大版(2019)必修第一册练测评：2.2.1函数概念含解析
2必备知识基础练进阶训练第一层知识点一 函数关系的判断1.A ．A ⊆R ，B ⊆R ，x 2＋y 2＝1B ．A ＝{－1,0,1}，B ＝{1,2}，f ：x →y ＝|x |＋1C ．A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1x －2D ．A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝2x －12．设M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列四个图形：其中，能表示从集合M 到集合N 的函数关系的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 知识点二 同一函数的判断3.A ．y ＝x 2－xx B ．y ＝(t －1)2C ．y ＝x －x 0D ．y ＝3(t －1)34．下列各组函数中是同一函数的是( )A ．y ＝x ＋1与y ＝x 2－1x －1B ．y ＝x 2＋1与s ＝t 2＋1C ．y ＝2x 与y ＝2x (x ≥0)D 22知识点三 求函数的定义域与值域 5.函数y ＝x ＋1＋x ＋3的定义域为( )A ．{x |x ≥－3且x ≠－1}B ．{x |x >－3且x ≠－1}C ．{x |x ≥－1}D ．{x |x ≥－3}6．已知矩形的周长为1，它的面积S 是其一边长为x 的函数，则其定义域为________(结果用区间表示)．7．求下列函数的值域： (1)y ＝x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； (2)y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)；(3)y ＝2x ＋1x －3；(4)y ＝2x －x －1.关键能力综合练 进阶训练第二层1．下列图象中表示函数图象的是( )2．函数f (x )＝1＋x ＋x1－x的定义域是( ) A ．[－1，＋∞) B ．(－∞，－1)C ．RD ．[－1,1)∪(1，＋∞)3．设函数f (x )＝3x 2－1，则f (a )－f (－a )的值是( ) A ．0 B ．3a 2－1 C ．6a 2－2 D ．6a 24．(易错题)下列各组函数中表示同一函数的是( ) ①f (x )＝－2x 3与g (x )＝x －2x ；②f (x )＝|x |与g (x )＝3x 3；③f (x )＝x 0与g (x )＝1x 0；④f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1.A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④5．若函数f (x )＝x －4mx 2＋4x ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，43 6．(探究题)若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是( )A ．[0,1]B ．[0,1)C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)7．设函数f (x )＝1x ＋2，则f (1)＝________；若f (f (x ))＝13，则x ＝________.8．函数y ＝3－2x －x 2＋14－x 2的定义域为________(用区间表示)．9．函数y ＝1x －2的定义域是A ，函数y ＝x 2＋2x －3的值域是B ，则A ∩B ＝________(用区间表示)．10．已知函数f (x )＝x ＋3＋1x ＋2.(1)求函数的定义域；(2)求f (－3)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23的值；(3)当a >0时，求f (a )，f (a －1)的值．学科素养升级练 进阶训练第三层 1．(多选题)若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数y ＝x 2，x ∈[1,2]与函数y ＝x 2，x ∈[－2，－1]为“同族函数”．下面函数解析式中能够被用来构造“同族函数”的是( )A ．f (x )＝1x 2 B ．f (x )＝|x |C ．f (x )＝1xD ．f (x )＝x ＋1x2．函数y ＝1－x 21＋x 2的值域是________．3．(学科素养—数学抽象)已知函数f (x )＝x 21＋x 2.(1)求f (2)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (3)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13；(2)由(1)中求得的结果，你能发现f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 有什么关系？证明你的发现；(3)求f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋f (2 019)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 019的值．§2 函数 2.1 函数概念 必备知识基础练1．解析：对于A ，x 2＋y 2＝1可化为y ＝±1－x 2，显然对任意x ∈A (x ＝±1除外)，y 值不唯一，故不符合函数的定义；对于B ，符合函数的定义；对于C,2∈A ，在此时对应关系无意义，故不符合函数的定义；对于D ，－1∈A ，但在集合B 中找不到与之相对应的数，故不符合函数的定义．答案：B2．解析：①x ∈[0,1]不符合，②符合，③y ∈[0,3]不符合，④不是函数，所以正确个数为1，选B.答案：B3．解析：A 中的x 不能取0；B 中的t ≥1；C 中的x 不能取0；D 化简以后为y ＝t －1.故选D.答案：D4．解析：对于选项A ，前者定义域为R ，后者定义域为{x |x ≠1}，不是同一函数；对于选项B ，虽然变量不同，但定义域和对应关系均相同，是同一函数；对于选项C ，虽然对应关系相同，但定义域不同，不是同一函数；对于选项D ，虽然定义域相同，但对应关系不同，不是同一函数．答案：B5．解析：要使解析式有意义，需⎩⎨⎧x ＋1≠0，x ＋3≥0，解得x ≥－3且x ≠－1.答案：A6．解析：由实际意义知x >0，又矩形的周长为1，所以x <12，所以定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 7．解析：(1)(观察法)∵x ∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．(2)(配方法)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2， 由x ∈[0,3)，可得函数的值域为[2,6)．(3)(分离常数法)y ＝2x ＋1x －3＝2(x －3)＋7x －3＝2＋7x －3，显然7x －3≠0，∴y ≠2.故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．(4)(换元法)设x －1＝t ，则t ≥0，且x ＝t 2＋1.∴y ＝2(t 2＋1)－t ＝2t 2－t ＋2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋158.∵t ≥0，∴y ≥158.故函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫158，＋∞. 关键能力综合练1．解析：根据函数的定义，对任意的一个x 都存在唯一的y 与之对应，而A ，B ，D 都是一对多，只有C 是多对一．故选C.答案：C2．解析：由⎩⎨⎧1＋x ≥0，1－x ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x ≠1.故定义域为[－1,1)∪(1，＋∞)，故选D.答案：D3．解析：f (a )－f (－a )＝3a 2－1－[3(－a )2－1]＝0. 答案：A4．解析：①中，两函数定义域相同，都是(－∞，0]，但f (x )＝－2x 3＝－x－2x 与g (x )对应关系不同，不是同一函数；②中，两函数定义域相同，都是R ，但g (x )＝3x 3＝x 与f (x )对应关系不同，不是同一函数；③中，定义域相同，对应关系也相同；④中虽然表示自变量的字母不相同，但两函数的定义域和对应关系都相同．故选C.答案：C5．解析：①当m ＝0时，分母为4x ＋3，此时定义域不为R ，故m ＝0不符合题意．②当m ≠0时，由题意，得⎩⎨⎧m ≠0，Δ＝16－4×3m <0，解得m >43.由①②，知实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞. 答案：C6．解析：要使g (x )＝f (2x )x －1有意义，需⎩⎨⎧0≤2x ≤2，x －1≠0，即0≤x ＜1，故g (x )＝f (2x )x －1的定义域为[0,1)，选B.答案：B7．解析：f (1)＝11＋2＝13；由f (f (x ))＝13，即1f (x )＋2＝13，得f (x )＝1，由1x ＋2＝1，解得x ＝－1.故答案为13，－1答案：13 －18．解析：使根式3－2x －x 2有意义的实数x 的集合是{x |3－2x －x 2≥0}即{x |(x ＋3)(x －1)≤0}＝{x |－3≤x ≤1}，使分式14－x 2有意义的实数x 的集合是{x |x ≠±2}，所以函数y ＝3－2x －x 2＋14－x2的定义域是{x |－3≤x ≤1}∩{x |x ≠±2}＝{x |－3≤x ≤1，且x ≠－2}．答案：[－3，－2)∪(－2,1]9．解析：要使函数式y ＝1x －2有意义，只需x ≠2，即A ＝{x |x ≠2}；函数y ＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4≥0，即B ＝{y |y ≥0}，则A ∩B ＝[0,2)∪(2，＋∞)．答案：[0,2)∪(2，＋∞)10．解析：(1)使根式x ＋3有意义的实数x 的集合是{x |x ≥－3}，使分式1x ＋2有意义的实数x 的集合是{x |x ≠－2}，所以这个函数的定义域是{x |x ≥－3}∩{x |x ≠－2}＝{x |x ≥－3，且x ≠－2}．(2)f (－3)＝－3＋3＋1－3＋2＝－1；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝23＋3＋123＋2＝113＋38＝38＋333.(3)因为a >0，故f (a )，f (a －1)有意义．f (a )＝a ＋3＋1a ＋2；f (a －1)＝a －1＋3＋1(a －1)＋2＝a ＋2＋1a ＋1.学科素养升级练1．解析：对于A ，f (x )＝1x 2，当定义域分别为(－1,0)与(0,1)时，值域均为(1，＋∞)，所以f (x )＝1x 2为同族函数，所以A 正确；对于B ，f (x )＝|x |，当定义域分别为[－1,0]与[0,1]时，值域均为[0,1]，所以f (x )＝|x |为同族函数，所以B 正确；对于C ，f (x )＝1x 在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)内，函数图象在第一象限内单调递减，在第三象限内单调递减，不满足定义域不同时，值域相同，所以C 错误；对于D ，f (x )＝x ＋1x 定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，当定义域分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1与[1,2]时，值域均为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52，所以D 正确，综上，故选ABD. 答案：ABD2．解析：∵y ＝1－x 21＋x 2＝－(1＋x 2)＋21＋x 2＝－1＋21＋x 2， 又∵x 2≥0，∴1＋x 2≥1，∴21＋x2∈(0,2]，∴－1＋21＋x2∈(－1,1]． 故函数的值域为(－1,1]． 答案：(－1,1]3．解析：(1)由f (x )＝x 21＋x 2＝1－1x 2＋1， 所以f (2)＝1－122＋1＝45，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－114＋1＝15. f (3)＝1－132＋1＝910，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1－119＋1＝110. (2)由(1)中求得的结果发现f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1.证明如下：f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 21＋x 2＋1x 21＋1x 2＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝1. (3)由(2)知f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1，∴f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1，f (4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1，…，f (2 019)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 019＝1.∴f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋f (2 019)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 019＝2 018.。
2020-2021学年北师大版高中数学必修一《函数2-4-1》课后强化综合检测及答案
最新（新课标）北师大版高中数学必修一第二章 §4 第1课时一、选择题1．将函数y ＝x 2图像上各点的纵坐标扩大为原来的2倍后，(横坐标不变)，所得图像对应的函数解析式为( )A ．y ＝2x 2B ．y ＝4x 2C ．y ＝12x 2D ．y ＝14x 2[答案] A[解析] 由图像变换可知选A.2．已知一次函数y ＝ax ＋c 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，它们在同一坐标系中的大致图像是图中的( )[答案] D[解析] 排除法，A 图中一次函数a>0，二次函数a<0；同理排除C ；在B 图中由直线知c>0，而二次函数中c<0故排除B.选D.3．已知抛物线过点(－1,0)，(2,7)，(1,4)，则其解析式为( ) A ．y ＝13x 2－2x ＋53B ．y ＝13x 2＋2x ＋53C ．y ＝13x 2＋2x －53D ．y ＝13x 2－2x －53[答案] B[解析] 设所求抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，则根据题意得⎩⎨⎧a －b ＋c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝7，a ＋b ＋c ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝2，c ＝53.所以y ＝13x 2＋2x ＋53，故选B.4．已知a ≠0，b<0，一次函数是y ＝ax ＋b ，二次函数是y ＝ax 2，则下列图像中，可以成立的是( )[答案] C[解析] 由b<0，排除B ，D ；A 是抛物线开口向下，a<0，而直线体现了a>0，从而排除A.5．已知f(x)＝2(x －1)2和g(x)＝12(x －1)2，h(x)＝(x －1)2的图像都是开口向上的抛物线，在同一坐标系中，哪个开口最开阔( )A ．g(x)B ．f(x)C ．h(x)D ．不确定[答案] A[解析] 因二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的|a|越小，则二次函数开口越开阔． 6．不论m 取何值，二次函数y ＝x 2＋(2－m)x ＋m 的图像总过的点是( ) A ．(1,3) B ．(1,0) C ．(－1,3) D ．(－1,0)[答案] A[解析] 由题意知x 2＋2x －y ＋m(1－x)＝0恒成立，∴⎩⎨⎧ x 2＋2x －y ＝01－x ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1y ＝3，∴图像总过点(1,3)． 二、填空题7．抛物线y ＝－x 2－2x ＋3与x 轴的两交点为A 、B ，顶点为C ，则△ABC 的面积是________． [答案] 8[解析] y ＝－x 2－2x ＋3＝(－x ＋1)(x ＋3) ＝－(x ＋1)2＋4，由题意得A(－3,0)，B(1,0), C(－1,4)， ∴S △ABC ＝12×4×4＝8.8．已知二次函数的图像经过点(1,4)，且与x 轴的交点为(－1,0)和(3,0)，则该函数的解析式是________．[答案] f(x)＝－x 2＋2x ＋3[解析] 设函数的解析式为f(x)＝a(x ＋1)(x －3)(a ≠0)，将点(1,4)代入，得a ＝－1. 则f(x)＝－(x ＋1)(x －3)＝－x 2＋2x ＋3. 三、解答题9．已知二次函数的图像的顶点坐标是(1，－3)，且经过点P(2,0)，求这个函数的解析式． [解析] 解法1：设所求函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝－3，4a ＋2b ＋c ＝0，－b2a＝1，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝－6，c ＝0.∴函数的解析式为y ＝3x 2－6x.解法2：设所求函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝0，－b 2a＝1，4ac －b 24a ＝－3，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝－6，c ＝0.∴函数的解析式为y ＝3x 2－6x.解法3：设所求函数的解析式为y ＝a(x ＋h)2＋k(a ≠0)，则顶点坐标为(－h ，k)， 已知顶点为(1，－3)，∴h ＝－1，k ＝－3， 即所求的二次函数y ＝a(x －1)2－3. 又∵图像经过点P(2,0)， ∴0＝a ×(2－1)2－3，∴a ＝3，∴函数的解析式为y ＝3(x －1)2－3，即y ＝3x 2－6x. 解法4：设解析式为y ＝a(x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)， 其中x 1，x 2是抛物线与x 轴的两交点的横坐标， 已知抛物线与x 轴的一个交点P(2,0)，对称轴是x ＝1， ∴抛物线与x 轴的另一个交点为(0,0)， ∴x 1＝0，x 2＝2，∴所求的解析式为y ＝a(x －0)(x －2)，又∵顶点为(1，－3)，∴－3＝a ×1×(1－2)，∴a ＝3， ∴所求函数的解析式为y ＝3x 2－6x.一、选择题1．如图所示的是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图像，则|OA|·|OB|等于( )A.c a B ．－c aC ．±c aD ．以上都不对[答案] B[解析] ∵f(x)＝ax 2＋bx ＋c ， ∴f(0)＝c>0，a<0，设ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1，x 2，则x 1·x 2＝c a ，∴|OA|＝－x 1，|OB|＝x 2，∴|OA|·|OB|＝－ca.故正确答案为B.2．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 满足a>b>c ，且a ＋b ＋c ＝0，那么它的图像是下图中的( )[答案] A[解析] 因为a>b>c且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0.故排除B、C，又因为当x＝1时，y ＝a＋b＋c＝0，只有A正确．二、填空题3．若函数y＝x2＋(a＋2)x＋3，x∈[a，b]的图像关于直线x＝1对称，则b＝____________.[答案] 6[解析] 解法1：二次函数y＝x2＋(a＋2)x＋3的图像关于直线x＝1对称，说明二次函数的对称轴为直线x＝1，则－a＋22＝1，∴a＝－4.而该函数是定义在[a，b]上的，即a、b关于x＝1也是对称的，则有a到对称轴的距离与b 到对称轴的距离相等，∴1－a ＝b －1，∴b ＝6.解法2：∵二次函数y ＝x 2＋(a ＋2)x ＋3的图像的对称轴为直线x ＝1，∴该函数可表示为y ＝(x －1)2＋c ，与原二次函数的表达式比较同类项系数，可得a ＋2＝－2，∴a ＝－4.求b 同解法1.4．把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图像的解析式为y ＝x 2－2x ＋1，则b ＝________，c ＝________.[答案] －6 6[解析] 由题意知y ＝x 2＋bx ＋c 的图像可由y ＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2先向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到，即y ＝x 2＋bx ＋c ＝(x －3)2－3＝x 2－6x ＋6.所以b ＝－6，c ＝6.三、解答题5．已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值为8，试确定此二次函数的表达式．[解析] 解法1：设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)． ∵f(2)＝f(－1)＝－1，f(x)最大值是8， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8.解得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数为f(x)＝－4x 2＋4x ＋7. 解法2：设f(x)＝a(x －m)2＋n. ∵f(2)＝f(－1)＝－1，∴对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12，∴m ＝12.又∵函数有最大值为8，∴n ＝8.∴f(x)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8.∵f(2)＝－1，∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解之得a ＝－4. ∴f(x)＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.解法3：由已知f(x)＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f(x)＋1＝a(x －2)(x ＋1)， 即f(x)＝ax 2－ax －2a －1. 且a ≠0，又函数有最大值8，∴4a (－2a －1)－a 24a ＝8，解之得a ＝－4，∴所求二次函数的表达式为f(x)＝－4x 2＋4x ＋7.6．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图所示，试判断点(a ＋b b 2－4ac ，ac b)所在的象限．[解析] 由抛物线开口向上知a>0，∵抛物线与y 轴的交点(0，c)在y 轴负半轴， ∴c<0.又∵对称轴x ＝－b2a 在y 轴左边，∴－b 2a <0.∴b a >0.∴a ，b 同号． ∵a>0，∴b>0.又∵抛物线与x 轴有两个交点， ∴b 2－4ac>0. ∴a ＋b b 2－4ac >0，ac b<0.∴点(a ＋b b 2－4ac ，ac b)在第四象限．7．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)与x 轴有两个不同的交点A(x 1,0)、B(x 2,0)且x 21＋x 22＝269，试问该抛物线由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移几个单位得到？[解析] 由题意可设所求抛物线的解析式为 y ＝－3(x －1)2＋k ，展开得y ＝－3x 2＋6x －3＋k ， 由题意得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝3－k3，所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝269，得4－2(3－k )3＝269，解得k ＝43.所以，该抛物线是由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移43个单位得到的，它的解析式为y ＝－3(x －1)2＋43，即y ＝－3x 2＋6x －53.。
2020-2021学年高一数学北师大版必修1模块综合评估1 Word版含解析
模块综合评估(一)时间：120分钟 满分：150分 一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知集合A ＝{x |x 2－1＝0}，则下列式子表示正确的个数为( C ) ①1∈A ；②{－1}∈A ；③∅⊆A ；④{1，－1}⊆A . A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：集合A ＝{x |x 2－1＝0}＝{－1,1}，则1∈A ，∅⊆A ，{1，－1}⊆A ，即①③④正确．2．函数y ＝3x －1＋lg(1－x )的定义域是( C ) A ．(1,3)B ．[1,3] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1 D ．(1,3]解析：由题意得⎩⎨⎧3x －1≥0，1－x >0，解得13≤x <1.3．已知函数则f [f (－4)]＝( C )A ．－4B ．－14C ．4D ．6解析：本题考查复合函数值的求解．利用函数解析式直接求解．因为f (－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16>0，所以f [f (－4)]＝f (16)＝16 12＝4.4．若幂函数的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，则幂函数增加的区间是( D )A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(－∞，＋∞)D ．(－∞，0)解析：设幂函数为y ＝x α，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14代入得14＝2α，解得α＝－2，于是幂函数为y ＝x －2.所以幂函数增加的区间是(－∞，0)．5．下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( B ) A ．y ＝|lgx |，x ∈(0，＋∞) B ．y ＝log 2|x |，x ∈R 且x ≠0 C ．y ＝e x －e －x2，x ∈RD ．y ＝x 3＋1，x ∈R解析：显然y ＝|lg x |，x ∈(0，＋∞)的定义域关于原点不对称，因此不具有奇偶性；依据y ＝log 2|x |，x ∈R 且x ≠0的图像可得它既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数；y ＝e x －e －x2，x ∈R 是奇函数；y ＝x 3＋1，x ∈R 不具有奇偶性．6．已知f (x )是偶函数，x ∈R ，当x >0时，f (x )为增函数，若x 1<0，x 2>0，且|x 1|<|x 2|，则( B )A ．f (－x 1)>f (－x 2)B ．f (－x 1)<f (－x 2)C ．－f (x 1)>f (－x 2)D ．－f (x 1)<f (－x 2)解析：∵当x >0时，f (x )为增函数，∴当|x 1|<|x 2|时，f (|x 1|)<f (|x 2|)，又∵f (x )是偶函数，∴f (－x 1)<f (－x 2)．7．已知函数f (x )＝(x －a )·(x －b )(其中a >b )，若f (x )的图像如左图所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的图像是( A )。
2020_2021学年高中数学模块综合评估1含解析北师大版必修1
模块综合评估(一)时间：120分钟 满分：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知集合A ＝{x |x 2－1＝0}，则下列式子表示正确的个数为( C ) ①1∈A ；②{－1}∈A ；③∅⊆A ；④{1，－1}⊆A . A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：集合A ＝{x |x 2－1＝0}＝{－1,1}，则1∈A ，∅⊆A ，{1，－1}⊆A ，即①③④正确． 2．函数y ＝3x －1＋lg(1－x )的定义域是( C ) A ．(1,3)B ．[1,3] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1 D ．(1,3]解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3x －1≥0，1－x >0，解得13≤x <1.3．已知函数则f [f (－4)]＝( C )A ．－4B ．－14C ．4D ．6解析：本题考查复合函数值的求解．利用函数解析式直接求解．因为f (－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16>0，所以f [f (－4)]＝f (16)＝16 12＝4.4．若幂函数的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，则幂函数增加的区间是( D ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(－∞，＋∞)D ．(－∞，0)解析：设幂函数为y ＝x α，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14代入得14＝2α，解得α＝－2，于是幂函数为y ＝x －2.所以幂函数增加的区间是(－∞，0)．5．下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( B ) A ．y ＝|lgx |，x ∈(0，＋∞) B ．y ＝log 2|x |，x ∈R 且x ≠0 C ．y ＝e x－e－x2，x ∈RD ．y ＝x 3＋1，x ∈R解析：显然y ＝|lg x |，x ∈(0，＋∞)的定义域关于原点不对称，因此不具有奇偶性；依据y ＝log 2|x |，x ∈R 且x ≠0的图像可得它既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数；y ＝e x－e －x2，x ∈R 是奇函数；y ＝x 3＋1，x ∈R 不具有奇偶性． 6．已知f (x )是偶函数，x ∈R ，当x >0时，f (x )为增函数，若x 1<0，x 2>0，且|x 1|<|x 2|，则( B )A ．f (－x 1)>f (－x 2)B ．f (－x 1)<f (－x 2)C ．－f (x 1)>f (－x 2)D ．－f (x 1)<f (－x 2)解析：∵当x >0时，f (x )为增函数，∴当|x 1|<|x 2|时，f (|x 1|)<f (|x 2|)，又∵f (x )是偶函数，∴f (－x 1)<f (－x 2)．7．已知函数f (x )＝(x －a )·(x －b )(其中a >b )，若f (x )的图像如左图所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的图像是( A )解析：由已知函数的图像结合根的分布知识得⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，b <－1，由于函数g (x )＝a x＋b 的图像是由y ＝a x(0<a <1)向下平移|b |(|b |>1)个单位得到的，故选A.8．函数f (x )＝log 3x －8＋2x 的零点一定位于区间( B ) A ．(5,6) B ．(3,4) C ．(2,3)D ．(1,2)解析：f (3)＝log 33－8＋2×3＝－1<0，f (4)＝log 34－8＋2×4＝log 34>0.又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，所以其零点一定位于区间(3,4)．9．已知a >1，在同一个坐标系中作出两个函数的图像(如图)，则这两个函数可以为( D )A ．y ＝a x 和y ＝log a (－x )B ．y ＝a x和y ＝log a x －1C ．y ＝a －x和y ＝log a x －1D ．y ＝a －x 和y ＝log a (－x )解析：从图中观察可以发现，上面的图像应是底数小于1的指数函数的图像，下面的图像应是底数大于1的对数函数的图像关于y 轴的对称图形，比较四个选项中的函数可知两个函数应为y ＝a －x 和y ＝log a (－x )．10．已知f (x )＝x 2 014＋ax2 013－bx 2 015－8，f (－1)＝10，则f (1)等于( D )A ．10B ．－10C ．－4D ．－24解析：令g (x )＝x2 014＋ax2 013－bx2 015，则g (－1)＝1－a ＋b ＝18，所以b －a ＝17，所以g (1)＝1＋a －b ＝－16，所以f (1)＝g (1)－8＝－24. 11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x－1|，x <2，3x －1， x ≥2，则f (x )的值域是( D )A ．[0，＋∞)B ．[1,3]C ．[1，＋∞)D ．[0,3]解析：本题考查分段函数知识及函数值域的求解．本题可直接求解各段函数的值域然后取并集，也可结合函数图像直观求解，如图，观察图像可知其值域为[0,3]．12．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x >1，2|x |，x ≤1.若关于x 的方程f (x )＝k 有3个不同的实根，则实数k 的取值范围为( D )A ．(0，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(0,2)D ．(1,2]解析：本题考查了函数的零点及图像的问题，体现了数形结合思想的实际应用．函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x >1，2|x |，x ≤1的图像如图所示，当k ∈(1,2]时，直线y ＝k 与函数f (x )的图像有3个不同的交点，即关于x 的方程f (x )＝k 有3个不同的实根，故应选D.二、填空题(每小题5分，共20分)13．如图，函数f (x )的图像是曲线OAB ，其中O ，A ，B 三点的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(1,3)，则f ⎝⎛⎭⎪⎫1f 3的值等于2.解析：本题考查了函数的识图能力．由题意，f (3)＝1，f (1)＝2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f 3＝f (1)＝2.14．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图)，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图阴影部分)备用，则截取的矩形面积的最大值为180.解析：依题意知：20－x x ＝y －824－y ，即x ＝54(24－y )，∴阴影部分的面积S ＝xy ＝54(24－y )y ＝54(－y 2＋24y )，∴当y ＝12时，S 有最大值为180.15．函数y ＝22－2x －3x2的递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞. 解析：令u ＝2－2x －3x 2，y ＝2u，由u ＝－3x 2－2x ＋2知，u 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞上为减函数，而y ＝2u为增函数，所以函数的递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞. 16．下列四个结论中正确的有①②④(填序号)．①函数f (x )＝lg(x ＋1)＋lg(x －1)的定义域是(1，＋∞)； ②若幂函数y ＝f (x )的图像经过点(2,4)，则该函数为偶函数； ③函数y ＝5|x |的值域是(0，＋∞)；④函数f (x )＝x ＋2x在(－1,0)内有且只有一个零点． 解析：对于①，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x －1>0，解得x >1，故①正确；∵f (x )＝x α的图像过点(2,4)，∴2α＝4，∴α＝2，∴f (x )＝x 2，为偶函数，故②正确； ∵|x |≥0，∴y ＝5|x |≥1，∴函数y ＝5|x |的值域是[1，＋∞)，故③不正确；∵f (－1)＝－1＋2－1＝－12<0，f (0)＝0＋20＝1>0，∴f (x )＝x ＋2x在(－1,0)内至少有一个零点，又f (x )＝x ＋2x 为增函数，∴f (x )＝x ＋2x在(－1,0)内有且只有一个零点，故④正确． 三、解答题(写出必要的计算步骤、解答过程，只写最后结果的不得分，共70分) 17．(10分)设U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0}．若(∁U A )∩B ＝∅，求m 的值．解：A ＝{x |x 2＋3x ＋2＝0}＝{－2，－1}，由(∁U A )∩B ＝∅，得B ⊆A . ∵方程x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0的判别式Δ＝(m ＋1)2－4m ＝(m －1)2≥0， ∴B ≠∅.∴B ＝{－1}或B ＝{－2}或B ＝{－1，－2}． ①若B ＝{－1}，则m ＝1.②若B ＝{－2}，则－(m ＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m ＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立．∴B ≠{－2}．③若B ＝{－1，－2}，则－(m ＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m ＝(－1)·(－2)＝2. 由这两式得m ＝2.经检验知m ＝1和m ＝2符合条件．∴m ＝1或2. 18．(12分)设函数f (x )＝lnx ＋1x －1. (1)判断函数f (x )在区间(1，＋∞)上的单调性，并加以证明；(2)对于区间[2,4]上的任意一个x ，不等式f (x )>e x＋m 恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)函数f (x )在区间(1，＋∞)上是单调递减的． 证明：设x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝lnx 1＋1x 1－1－ln x 2＋1x 2－1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1－1·x 2－1x 2＋1＝ln ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1x 2＋x 2－x 1－1x 1x 2＋x 1－x 2－1.由于x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，所以x 1x 2＋(x 2－x 1)－1>x 1x 2＋(x 1－x 2)－1>0， 故x 1x 2＋x 2－x 1－1x 1x 2＋x 1－x 2－1>1，所以ln ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1x 2＋x 2－x 1－1x 1x 2＋x 1－x 2－1>0， 即f (x 1)>f (x 2)，故函数f (x )在区间(1，＋∞)上单调递减．(2)由f (x )>e x ＋m ，得m <f (x )－e x ，依题知m <[f (x )－e x]min ，记g (x )＝f (x )－e x ，由(1)知f (x )在区间[2,4]上是递减的，且y ＝－e x在区间[2,4]上是递减的，所以g (x )＝f (x )－e x 在区间[2,4]上是递减的．所以g (x )min ＝g (4)＝ln 53－e 4.故实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln 53－e 4. 19．(12分)已知函数f (x )＝ax 3－2ax ＋3a －4在区间(－1,1)上有一个零点． (1)求实数a 的取值范围；(2)若a ＝3217，用二分法求方程f (x )＝0在区间(－1,1)上的根．解：(1)若a ＝0，则f (x )＝－4与题意不符，∴a ≠0，∴f (－1)·f (1)＝8(a －1)(a －2)<0，∴1<a <2.(2)若a ＝3217，则f (x )＝3217x 3－6417x ＋2817，∴f (－1)>0，f (1)<0，f (0)＝2817>0，∴零点在(0,1)上．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，∴f (x )＝0的根为12.20．(12分)已知函数f (x )＝lg(1＋x )＋lg(1－x )． (1)求函数f (x )的定义域； (2)判断函数f (x )的奇偶性；(3)若f (x )＝lg[g (x )]，判断函数g (x )在(0,1)内的单调性，并用定义证明．解：(1)要使函数f (x )有意义，须满足⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，1－x >0，解得－1<x <1，故函数f (x )的定义域为(－1,1)． (2)函数f (x )为偶函数．理由如下：由(1)知，函数f (x )的定义域关于原点对称，且f (－x )＝lg(1－x )＋lg(1＋x )＝f (x )，故f (x )为偶函数．(3)函数g (x )在(0,1)内单调递减．证明如下： ∵f (x )＝lg(1－x 2)＝lg[g (x )]，∴g (x )＝1－x 2.对于任意的0<x 1<x 2<1，有g (x 1)－g (x 2)＝(1－x 21)－(1－x 22)＝(x 1＋x 2)(x 2－x 1)>0， 即g (x 1)>g (x 2)．故g (x )在(0,1)内单调递减．21．(12分)某公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这样的产品，还需增加投入0.25万元，经市场调查知这种产品年需求量为500件，产品销售数量为t 件时，销售所得的收入为⎝⎛⎭⎪⎫0.05t －120 000t 2万元． (1)该公司这种产品的年生产量为x 件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x 的函数为f (x )，求f (x )；(2)当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大．解：(1)当0<x ≤500时，f (x )＝0.05x －120 000x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫0.25×x 100＋0.5＝－x 220 000＋19400x －12，当x >500时，f (x )＝0.05×500－120 000×5002－⎝ ⎛⎭⎪⎫0.25×x 100＋0.5＝12－1400x ，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－120 000x 2＋19400x －12，0<x ≤500，12－1400x ，x >500.(2)当0<x ≤500时，f (x )＝－x 220 000＋19400x －12＝－120 000(x －475)2＋34532，故当x ＝475时，f (x )max ＝34532.当x >500时，f (x )＝12－1400x <12－54＝34432<34532， 故当该公司的年产量为475件时，当年获得的利润最大． 22．(12分)已知函数f (x )＝log a 1－mxx －1是奇函数(a >0且a ≠1)．(1)求m 的值；(2)判断f (x )在区间(1，＋∞)上的单调性并加以证明；(3)当a >1，x ∈(1，3)时，f (x )的值域是(1，＋∞)，求a 的值． 解：(1)∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )在其定义域内恒成立， 即log a1＋mx －x －1＝－log a 1－mx x －1，∴1－m 2x 2＝1－x 2恒成立，∴m ＝－1或m ＝1(舍去)，∴m ＝－1.(2)由(1)得f (x )＝log a x ＋1x －1(a >0且a ≠1)， 设t (x )＝x ＋1x －1，任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2.∴t (x 1)－t (x 2)＝x 1＋1x 1－1－x 2＋1x 2－1＝2x 2－x 1x 1－1x 2－1，∵x 1>1，x 2>1，x 1<x 2，∴x 1－1>0，x 2－1>0，x 2－x 1>0. ∴t (x 1)>t (x 2)，即x 1＋1x 1－1>x 2＋1x 2－1，∴当a >1时，log a x 1＋1x 1－1>log a x 2＋1x 2－1，即f (x 1)>f (x 2)； 当0<a <1时，log ax 1＋1x 1－1<log a x 2＋1x 2－1，即f (x 1)<f (x 2)． ∴当a >1时，f (x )在(1，＋∞)上是减函数，当0<a <1时，f (x )在(1，＋∞)上是增函数． (3)当a >1时，f (x )＝log ax ＋1x －1在(1，3)上为减函数，要使f (x )在(1，3)上值域为(1，＋∞)，即log ax ＋1x －1>1，可得x ＋1x －1>a ， 令g (x )＝x ＋1x －1＝1＋2x －1在(1，3)上是减函数，所以g (x )∈(1＋23－1，＋∞)， 所以a ＝1＋23－1＝2＋3，即满足条件，所以a ＝2＋ 3.。
2020_2021学年高中数学模块综合评估1含解析北师大版必修5
模块综合评估(一)时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．数列1,3,7,15，…的通项公式a n 可能是( C ) A ．2n B ．2n ＋1 C ．2n －1 D ．2n －1解析：取n ＝1时，a 1＝1，排除A 、B ，取n ＝2时，a 2＝3，排除D. 2．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x <2}，则A ∩B ＝( A ) A ．[－2，－1] B ．[－1,2) C ．[－1,1] D ．[1,2)解析：由已知，可得A ＝{x |x ≥3或x ≤－1}，则A ∩B ＝{x |－2≤x ≤－1}＝[－2，－1]．故选A.3．在△ABC 中，B ＝135°，C ＝15°，a ＝5，则此三角形的最大边长为( A ) A ．5 2 B ．5 3 C ．2 5 D ．3 5解析：依题意，知三角形的最大边为b .由于A ＝30°，根据正弦定理，得b sin B ＝asin A ，所以b ＝a sin B sin A ＝5sin135°sin30°＝5 2. 4．若f (x )＝－x 2＋mx －1的函数值有正值，则m 的取值范围是( A ) A ．m <－2或m >2 B ．－2<m <2 C ．m ≠±2 D．1<m <3解析：因为f (x )＝－x 2＋mx －1有正值，所以Δ＝m 2－4>0，所以m >2或m <－2. 5．已知c <d ，a >b >0，则下列不等式中必成立的一个是( B ) A ．a ＋c >b ＋d B ．a －c >b －d C ．ad >bc D.a c >bd解析：由不等式的性质可知c <d ，∴－c >－d .又a >b >0，∴a ＋(－c )>b ＋(－d )，即a －c >b －d .6．等差数列{a n }满足a 24＋a 27＋2a 4a 7＝9，则其前10项之和为( D ) A ．－9 B ．－15 C ．15 D ．±15解析：因为a 24＋a 27＋2a 4a 7＝(a 4＋a 7)2＝9，所以a 4＋a 7＝±3，所以a 1＋a 10＝±3，所以S 10＝10a 1＋a 102＝±15.7．某学生用一不准确的天平(两臂不等长)称10 g 药品，他先将5 g 的砝码放在左盘，将药品放在右盘使之平衡；然后又将5 g 的砝码放在右盘，将药品放在左盘使之平衡，则此学生实际所得药品( B )A ．小于10 gB ．大于10 gC ．大于等于10 gD ．小于等于10 g解析：设左、右臂长分别为t 1，t 2(t 1≠t 2)，第一次称的药品为x 1 g ，第二次称的药品为x 2 g ，则有5t 1＝x 1t 2，x 2t 1＝5t 2，所以x 1＋x 2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫t 1t 2＋t 2t 1>5×2＝10，即大于10 g.8．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0，则yx的取值范围是( C )A ．(3,6) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫95，3 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤95，6 D ．(3，＋∞)解析：作出可行域，如图阴影部分所示．目标函数z ＝y x ＝y －0x －0的几何意义是可行域内的点(x ，y )与原点(0,0)间连线的斜率．由图可知k OC ≤z ≤k OB .易求得B (1,6)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，92，因为k OC ＝95，k OB ＝61＝6，所以95≤z ≤6.9．在如图所示的表格中，如果每格填上一个数后，每一行成等差数列，每一列成等比数列，那么x ＋y ＋z 的值为( B )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由题知表格中第三列成首项为4，公比为12的等比数列，故有x ＝1.根据每行成等差数列得第四列前两个数字依次为5，52，故其公比为12，所以y ＝5×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝58，同理z ＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝38，故x ＋y ＋z ＝2. 10．已知x ，y 为正实数，且x ，a 1，a 2，y 成等差数列，x ，b 1，b 2，y 成等比数列，则a 1＋a 22b 1b 2的取值范围是( C )A ．RB ．(0,4]C ．[4，＋∞) D．(－∞，0]∪[4，＋∞)解析：原式＝x ＋y2xy＝x 2＋2xy ＋y 2xy ＝x y ＋y x ＋2，又∵x ，y >0，∴x y ＋y x ＋2≥2x y ·yx＋2＝4，当且仅当x y ＝y x，即x ＝y 时等号成立．11．若x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＋6≥0，2x ＋3y －15≤0，y ≥0当且仅当x ＝y ＝3时，z ＝ax ＋y 取得最大值，则实数a 的取值范围是( C )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，35B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－35∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，23D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫35，＋∞解析：直线3x －5y ＋6＝0和直线2x ＋3y －15＝0的斜率分别为k 1＝35，k 2＝－23，且两直线的交点坐标为(3,3)，作出可行域如图所示，当且仅当直线z ＝ax ＋y 经过点(3,3)时，z 取得最大值，则直线z ＝ax ＋y 的斜率－a 满足－23<－a <35，解得－35<a <23，故选C.12．在各项均为正数的等比数列{a n }中，公比q ∈(0,1)．若a 3＋a 5＝5，a 2·a 6＝4，b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，则当S 11＋S 22＋…＋S nn取最大值时，n 的值为( C ) A ．8 B ．9 C ．8或9 D ．17解析：因为a 2·a 6＝a 3·a 5＝4，且a 3＋a 5＝5，所以a 3，a 5是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根．又因为等比数列{a n }各项均为正数且q ∈(0,1)，所以a 3＝4，a 5＝1.所以q 2＝a 5a 3＝14，所以q ＝12.所以a n ＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3，所以b n ＝log 2a n ＝5－n .所以S n ＝9－n ·n 2，所以S n n ＝9－n2. T n ＝S 11＋S 22＋…＋S n n ＝14(－n 2＋17n )＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1722＋2894.所以当n ＝8或9时，T n 取得最大值．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上) 13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，c＝3，C ＝π3，则A＝π6. 解析：由正弦定理，得a sin A ＝c sin C ⇒sin A ＝a sin C c ＝323＝12，所以A ＝π6.14．若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝(－2)n －1.解析：当n ＝1时，由已知S n ＝23a n ＋13，得a 1＝23a 1＋13，即a 1＝1；当n ≥2时，由已知得到S n －1＝23a n －1＋13，所以a n ＝S n －S n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n ＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n －1＋13＝23a n －23a n －1，所以a n ＝－2a n －1，所以数列{a n }为以1为首项，以－2为公比的等比数列，所以a n ＝(－2)n －1.15．如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A ，B ，灯塔B 位于灯塔A 的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A 的北偏西75°，与A 相距32海里的D 处；乙船位于灯塔B 的北偏西60°方向，与B 相距5海里的C 处，则两艘轮船之间的距离为13海里．解析：如图，连接AC ，由题意知，AB ＝BC ＝5，∠ABC ＝60°，所以△ABC 为等边三角形，则AC ＝5，在△ACD 中，AD ＝32，∠DAC ＝45°，由余弦定理得CD ＝13.16．若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是①③④(写出所有正确不等式的编号)．①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④1a ＋1b≥2.解析：两个正数，和为定值，积有最大值，即ab ≤a ＋b24＝1，当且仅当a ＝b 时取等号，故①正确；(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝2＋2ab ≤4，当且仅当a ＝b 时取等号，得a ＋b ≤2，故②错误；由于a 2＋b 22≥a ＋b24＝1，故a 2＋b 2≥2成立，故③正确；1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b a ＋b2＝1＋a 2b ＋b2a≥1＋1＝2，当且仅当a ＝b 时取等号，故④正确．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题10分)已知方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2.(1)求a ，b 的值； (2)解不等式ax 2＋bx －1>0.解：(1)因为方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2.由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧－12＋2＝－b a，－12×2＝2a ，解得a ＝－2，b ＝3.(2)易知ax 2＋bx －1>0，即2x 2－3x ＋1<0，解得12<x <1.所以不等式ax 2＋bx －1>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <1. 18．(本小题12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝π3，sin B＝3sin C .(1)求tan C 的值；(2)若a ＝7，求△ABC 的面积．解：(1)因为A ＝π3，所以B ＋C ＝2π3，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－C ＝3sin C ， 所以32cos C ＋12sin C ＝3sin C ，即32cos C ＝52sin C ，得tan C ＝35. (2)由b sin B ＝csin C，sin B ＝3sin C ，得b ＝3c . 在△ABC 中，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝9c 2＋c 2－2×(3c )×c ×12＝7c 2，又因为a ＝7，所以c ＝1，b ＝3， 所以△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝334.19．(本小题12分)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . (1)若a ，b ，c 成等差数列，证明sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值． 解：(1)证明：∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b . 由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B .∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )，∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )． (2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时等号成立．∴cos B 的最小值为12.20．(本小题12分)在等差数列{a n }中，已知公差d ＝2，a 2是a 1与a 4的等比中项． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝an n ＋12，记T n ＝－b 1＋b 2－b 3＋b 4－…＋(－1)nb n ，求T n .解：(1)由题意知(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，即(a 1＋2)2＝a 1(a 1＋6)，解得a 1＝2， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)由题意知b n ＝a n n ＋12＝n (n ＋1)，所以T n ＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)nn ·(n ＋1)．因为b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)，可得当n 为偶数时，T n ＝(－b 1＋b 2)＋(－b 3＋b 4)＋...＋(－b n －1＋b n )＝4＋8＋12＋ (2)＝n24＋2n 2＝n n ＋22，当n 为奇数时，T n ＝T n －1＋(－b n )＝n －1n ＋12－n (n ＋1)＝－n ＋122.所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧－n ＋122，n 为奇数，nn ＋22，n 为偶数.21．(本小题12分)某蔬菜基地种植甲、乙两种无公害蔬菜．生产一吨甲种蔬菜需用电力9千瓦时，耗肥4吨，3个工时；生产一吨乙种蔬菜需用电力5千瓦时，耗肥5吨，10个工时，现该基地仅有电力360千瓦时，肥200吨，工时300个．已知生产一吨甲种蔬菜获利700元，生产一吨乙种蔬菜获利1 200元，在上述电力、肥、工时的限制下，问如何安排甲、乙两种蔬菜种植，才能使利润最大？最大利润是多少？解：设种植甲种蔬菜x 吨，乙种蔬菜y 吨，利润为z 元，根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋5y ≤360，4x ＋5y ≤200，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0，目标函数为：z ＝700x ＋1 200y ，作出二元一次不等式组表示的平面区域，即可行域，如图，作直线：700x ＋1 200y ＝0，即7x ＋12y ＝0，平移直线，当直线过A 点时目标函数取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得x ＝20，y ＝24.所以点A 的坐标为(20,24)．所以z max ＝700×20＋1 200×24＝42 800.即种植甲种蔬菜20吨，乙种蔬菜24吨，才能使利润最大，最大利润为42 800元． 22．(本小题12分)设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x的图像上(n ∈N ＋)．(1)证明：数列{b n }为等比数列；(2)若a 1＝1，函数f (x )的图像在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln2，求数列{a n b 2n }的前n 项和S n .解：(1)证明：由已知，b n ＝2a n >0. 当n ≥1时，b n ＋1b n＝2a n ＋1－a n ＝2d. 所以，数列{b n }是首项为2a 1，公比为2d的等比数列．(2)函数f (x )＝2x在(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln2)(x －a 2)，它在x 轴上的截距为a 2－1ln2.由题意，a 2－1ln2＝2－1ln2.解得a 2＝2.所以，d ＝a 2－a 1＝1，a n ＝n ，b n ＝2n ，a n b 2n ＝n ·4n. 于是，T n ＝1×4＋2×42＋3×43＋…＋(n －1)·4n －1＋n ·4n,4T n ＝1×42＋2×43＋…＋(n －1)×4n＋n ·4n ＋1.因此，T n －4T n ＝4＋42＋…＋4n －n ·4n ＋1＝4n ＋1－43－n ·4n ＋1＝1－3n 4n ＋1－43.所以，T n ＝3n －14n ＋1＋49.。
2020_2021学年高中数学模块综合评估2含解析北师大版必修1
模块综合评估(二)时间：120分钟 满分：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．若全集U ＝{1,2,3,4}且∁U A ＝{2}，则集合A 的真子集共有( C ) A ．3个 B ．5个 C ．7个D ．8个解析：由题意知，A ＝{1,3,4}，则A 的真子集共有23－1＝7(个)．2.设U 是全集，M ，P ，S 是U 的三个子集，则阴影部分所示的集合为( D )A ．(M ∩P )∩SB ．(M ∩P )∪(∁U S )C ．(M ∩P )∪SD ．(M ∩P )∩(∁U S )解析：由题图知，阴影部分在集合M 中，在集合P 中，但不在集合S 中，故阴影部分所表示的集合是(M ∩P )∩(∁U S )．3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( D ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |解析：若函数为增函数，其图像为从左向右依次上升；若函数为奇函数，其图像关于原点对称．经分析，A 选项函数的图像不关于原点对称，不是奇函数，排除；B 选项函数的图像从左向右依次下降，为减函数，排除；C 选项函数的图像分别在两个单调区间里从左向右依次下降，为减函数，排除；故选D.其实对于选项D ，我们也可利用x >0，x ＝0，x <0分类讨论其解析式，然后画出图像，经判断符合要求．4．函数f (x )＝4－x ＋lg(x －1)＋(x －2)0的定义域为( B ) A ．{x |1<x ≤4}B ．{x |1<x ≤4，且x ≠2}C ．{x |1≤x ≤4，且x ≠2}D ．{x |x ≥4}解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4－x ≥0，x －1>0，x －2≠0，解得1<x ≤4且x ≠2，故选B .5．使函数y ＝log 12(x 2－5x ＋6)是增加的区间为( D ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞ B ．(3，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，52 D ．(－∞，2)6．如果偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数且最小值是2，那么f (x )在(－∞，0]上是( A )A ．减函数且最小值是2B ．减函数且最大值是2C ．增函数且最小值是2D ．增函数且最大值是2解析：由偶函数图像关于y 轴对称，可知偶函数在原点两侧的对称区间上单调性相反，所以函数f (x )在(－∞，0]上为减函数，且最小值为2.7．若关于x 的方程f (x )－2＝0在(－∞，0)内有解，则y ＝f (x )的图像可以是( D )解析：因为关于x 的方程f (x )－2＝0在(－∞，0)内有解，所以函数y ＝f (x )与y ＝2的图像在(－∞，0)内有交点，观察图像可知只有D 中图像满足要求．8．函数f(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －4，x ≤1x 2－4x ＋3，x >1的图像和函数g(x )＝log 2x 的图像的交点个数是( C )A ．1B ．2C ．3D ．49．若函数f(x )，g(x )分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足f (x )－g (x )＝e x，则f (2)，f (3)，g (0)的大小关系是( C )A ．g (0)<f (3)<f (2)B ．f (2)<f (3)<g (0)C ．g (0)<f (2)<f (3)D ．f (3)<f (2)<g (0)解析：因为f (x )，g (x )分别是R 上的奇函数，偶函数，所以由f (－x )－g (－x )＝e －x，得f (x )＋g (x )＝－e －x.又因为f (x )－g (x )＝e x ，所以f (x )＝12(e x －e －x)，g (x )＝－12(e x ＋e －x )．所以g (0)＝－1，f (x )在区间(0，＋∞)内是增加的，所以f (3)>f (2)>f (0)＝0>－1＝g (0)．10．若函数f (x )＝lg(10x＋1)＋ax 是偶函数，g (x )＝4x－b2x 是奇函数，则a ＋b 的值是( A )A.12 B ．1 C ．－12D ．－1解析：∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即lg(10－x＋1)－ax ＝lg(10x＋1)－(a ＋1)x ＝lg(10x ＋1)＋ax ，∴a ＝－(a ＋1)，a ＝－12.∵g (x )是奇函数，∴g (－x )＝－g (x )，即2－x－b2－x ＝－2x＋b 2x ，∴b ＝1.∴a ＋b ＝12. 11．已知函数f (x )与g (x )＝e x互为反函数，函数y ＝h (x )的图像与y ＝f (x )的图像关于x 轴对称，若h (a )＝1，则实数a 的值为( C )A ．－eB ．－1eC.1eD ．e解析：f (x )＝ln x ，h (x )＝－ln x ，h (a )＝1，∴a ＝1e.12．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]时，f (x )≥0恒成立，则a 的取值范围为( D )A ．－6≤a ≤2B ．－7≤a ≤73C ．－7≤a ≤－4D ．－7≤a ≤2二、填空题(每小题5分，共20分)13．函数y ＝3－2x －x 2的定义域是[－3,1]．解析：要使函数有意义，必须3－2x －x 2≥0，即x 2＋2x －3≤0，∴－3≤x ≤1. 14．函数f (x )对于任意函数x 满足条件f (x ＋2)＝1f x，若f (1)＝－5，则f (f (5))＝－15.解析：由f (x ＋2)＝1f x得f (x ＋4)＝1f x ＋2＝f (x )，所以f (5)＝f (1)＝－5，则f (f (5))＝f (－5)＝f (－1)＝1f－1＋2＝1f 1＝－15.15．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上为增函数，f (2)＝0，则不等式f (|log 2x |)>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14∪(4，＋∞)．解析：由题意得f (|log 2x |)>f (2)．又f (x )在[0，＋∞)上为增函数，所以|log 2x |>2， 即log 2x >2或log 2x <－2.解得x >4或0<x <14.16．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数．当x <0时，f (x )＝e x(x ＋1)，其中e ＝2.718 28…，给出下列命题： ①当x >0时，f (x )＝e x(1－x )； ②函数f (x )有2个零点；③f (x )>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)． 其中所有正确的命题序号是③.解析：由f (x )是奇函数，且x <0，f (x )＝e x(x ＋1)，得x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－[e－x(－x ＋1)]＝e －x(x －1)，①错；当x <0时，函数零点为－1，则x >0时，函数零点为1，又f (x )是R 上的奇函数，因此0也是函数的零点，f (x )有3个零点，②错； 由f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －xx －1，x >0，0， x ＝0，e x x ＋1，x <0，则当x >0时，f (x )>0，得x >1，x <0时，由f (x )>0，得－1<x <0，即③正确．三、解答题(写出必要的计算步骤、解答过程，只写最后结果的不得分，共70分) 17．(10分)计算下列各式的值．(1)lg2＋lg5－lg8lg50－lg40；解：(1)原式＝lg 2×58lg 5040＝lg54lg 54＝1；(2)原式＝·log 5(10－3－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14·log 55＝－14.18．(12分)已知函数f (x )＝ax 2－2x ＋1(a ≠0)． (1)若函数f (x )有两个零点，求a 的取值范围；(2)若函数f (x )在区间(0,1)与(1,2)上各有一个零点，求a 的取值范围．解：(1)函数f (x )有两个零点，即方程ax 2－2x ＋1＝0(a ≠0)有两个不等实根，令Δ>0，即4－4a >0，解得a <1.又因为a ≠0，所以a 的取值范围为(－∞，0)∪(0,1)．(2)若函数f (x )在区间(0,1)与(1,2)上各有一个零点，则0<－－22a <2，即a >12.由f (x )的图像可知，只需⎩⎪⎨⎪⎧f 0>0，f 1<0，f 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧1>0，a －1<0，4a －3>0，解得34<a <1.19．(12分)已知函数f (x )＝2x 2－4x ＋a ，g (x )＝log a x (a >0且a ≠1)． (1)若函数f (x )在[－1,2m ]上不具有单调性，求实数m 的取值范围； (2)若f (1)＝g (1)． ①求实数a 的值；②设t 1＝12f (x )，t 2＝g (x )，t 3＝2x，当x ∈(0,1)时，试比较t 1，t 2，t 3的大小．解：(1)因抛物线y ＝2x 2－4x ＋a 开口向上，对称轴为x ＝1， 所以函数f (x )在(－∞，1]上是减少的，在[1，＋∞)上是增加的， 由函数f (x )在[－1,2m ]上不单调知，由2m >1，得m >12，所以实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. (2)①因f (1)＝g (1)，所以－2＋a ＝0，所以实数a 的值为2. ②因t 1＝12f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，t 2＝g (x )＝log 2x ，t 3＝2x，所以当x ∈(0,1)时，t 1∈(0,1)，t 2∈(－∞，0)，t 3∈(1,2)，即t 2<t 1<t 3.20．(12分)已知f (x )的定义域为(0，＋∞)，且满足f (2)＝1，f (xy )＝f (x )＋f (y )，当x 2>x 1>0时，f (x 2)>f (x 1)．(1)求f (1)，f (4)，f (8)的值；(2)若有f (x )＋f (x －2)≤3成立，求x 的取值范围．解：(1)由题意得，f (1)＝f (1)＋f (1)，f (4)＝f (2)＋f (2)＝1＋1＝2，f (8)＝f (2)＋f (4)＝1＋2＝3.∴f (1)＝0，f (4)＝2，f (8)＝3.(2)∵f (x )＋f (x －2)≤3，∴f [x (x －2)]≤f (8)．又∵对于函数f (x )，当x 2>x 1>0时f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴x (x －2)≤8，且x －2>0，解得2<x ≤4. ∴x 的取值范围为(2,4]．21．(12分)某村电费收取有以下两种方案供农户选择：方案一：每户每月收管理费2元，月用电不超过30度时，每度0.5元；超过30度时，超过部分按每度0.6元收取．方案二：不收管理费，每度0.58元．(1)求方案一收费L (x )元与用电量x (度)间的函数关系．(2)老王家九月份按方案一交费35元，问老王家该月用电多少度？ (3)老王家月用电量在什么范围时，选择方案一比选择方案二更好？ 解：(1)当0≤x ≤30时，L (x )＝2＋0.5x ；当x >30时，L (x )＝2＋30×0.5＋(x －30)×0.6＝0.6x －1.L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋0.5x ，0≤x ≤30，0.6x －1，x >30.(2)当0≤x ≤30时，由L (x )＝2＋0.5x ＝35得x ＝66，舍去．当x >30时，由L (x )＝0.6x －1＝35得x ＝60.∴老王家该月用电60度． (3)设按方案二收费为F (x )元，则F (x )＝0.58x .当0≤x ≤30时，由L (x )<F (x )，得2＋0.5x <0.58x ，∴x >25，∴25<x ≤30. 当x >30时，由L (x )<F (x )，得0.6x －1<0.58x ，∴x <50， ∴30<x <50.综上，25<x <50.故老王家月用电量在25度到50度范围内(不含25度、50度)时，选择方案一比方案二更好．22.(12分)已知函数g (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b (a ≠0，b <1)，在区间[2,3]上有最大值4，最小值1，设f (x )＝g xx.(1)求a ，b 的值；(2)不等式f (2x )－k ·2x≥0在x ∈[－1,1]上恒成立，求实数k 的取值范围． 解：(1)g (x )＝a (x －1)2＋1＋b －a ，当a >0时，g (x )在[2,3]上为增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧ g2＝1，g 3＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4a －4a ＋1＋b ＝1，9a －6a ＋1＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.当a <0时，g (x )在[2,3]上为减函数，故⎩⎪⎨⎪⎧g2＝4，g 3＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧4a －4a ＋1＋b ＝4，9a －6a ＋1＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.∵b <1，∴a ＝1，b ＝0.(2)由(1)知，g (x )＝x 2－2x ＋1，f (x )＝x ＋1x－2. 不等式f (2x )－k ·2x ≥0可化为2x ＋12x －2≥k ·2x，1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－22x ≥k .令12x ＝m ，则k ≤m 2－2m ＋1.∵x ∈[－1,1]，∴m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.记h (m )＝m 2－2m ＋1，则h (m )min ＝0.∴k ≤0.。
同步优化设计2021年高中数学模块综合测评含解析北师大版选择性必修第一册
模块综合测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020某某某某期末)直线kx-y-1=0与直线x+2y-2=0的交点在第四象限,则实数k 的取值X 围为 ()A.-12,12B.-12,0C.12,+∞ D.-∞,-12{kx -y -1=0,x +2y -2=0,解得x=41+2k ,y=2k -11+2k , ∴41+2k>0且2k -11+2k <0, ∴-12<k<12.2.(2020某某某某期末)在空间直角坐标系中,若直线l 的方向向量为a =(1,-2,1),平面α的法向量为n =(2,3,4),则()A.l ∥αB.l ⊥αC.l⊂α或l∥αD.l与α相交但不垂直a·n=2×1+(-2)×3+1×4=0,可知a⊥n.∴l∥α或l⊂α.3.已知圆C1:x2+(y+m)2=2与圆C2:(x-m)2+y2=8恰有两条公切线,则实数m的取值X围是()A.(1,3)B.(-1,1)C.(3,+∞)D.(-3,-1)∪(1,3)圆C1:x2+(y+m)2=2与圆C2:(x-m)2+y2=8恰有两条公切线,∴两圆相交.由圆心C1(0,-m),半径R=√2,圆心C2(m,0),半径r=2√2,则|C1C2|=√2|m|,若两圆相交,则满足r-R<|C1C2|<R+r,即√2<√2|m|<3√2,所以1<|m|<3,解得-3<m<-1或1<m<3.4.2位男生和3位女生共5位同学站成一排,若3位女生中有且只有2位女生相邻,则不同排法的种数是() A.36B.24C.72D.144,分3步进行分析:①把3位女生分为2组,有C32=3种情况,②将2位男生全排列,有A22=2种情况,③2位男生全排列后形成的3个空位,在其中任选2个,安排2个女生组,需要考虑2个女生组内两人之间的顺序,有A32A22=12种情况,故有3×2×12=72种不同排法,故选C.5.椭圆x2m2+1+y2m2=1(m>0)的焦点为F1,F2,上顶点为A,若∠F1AF2=π3,则m=()A.1B.√2C.√3D.2O,由题意可得c=√m2+1-m2=1,b=m,又因为∠F 1AF 2=π3,可得∠F 1AO=π6,可得tan ∠F 1AO=1m =√33,解得m=√3. 6.过双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于A ,若以双曲线C 的右焦点F 为圆心、半径为2的圆经过A ,O 两点(O 为坐标原点),则双曲线C 的离心率为()A .√3B.2C .√5D.3y=±ba x , 所以A (a ,b )或A (a ,-b ),因此|AF|=c=2,即√(2-a)2+b 2=2,整理可得a 2+b 2-4a=0,因为a 2+b 2=c 2=4,解得a=1,所以双曲线的离心率为e=ca =2. 7.(2020某某如皋期末)埃及金字塔之谜是人类史上最大的谜,它的神奇远远超过了人类的想象.在埃及金字塔内有一组神秘的数字142857,因为142857×2=285714,142857×3=428571,142857×4=571428,…,所以这组数字又叫“走马灯数”.该组数字还有如下发现:142+857=999,428+571=999,285+714=999,…,从这组神秘数字中任选3个数字构成一个三位数x ,剩下的三个数字构成另一个三位数y ,若x+y=999,则所有可能的有序实数组(x ,y )的个数为()A.48B.60C.96D.120,数字142857中,两个数字之和为9的组合有1+8=9,2+7=9,4+5=9,共3组,若x+y=999,对于x,其百位数字可以为6个数字中任意1个,假设为1,则y的百位数字必须为8,则x,y 的百位数字有C61种选法,x的十位数字可以为剩下4个数字中任意1个,假设为2,则y的十位数字必须为7,则x,y的十位数字有C41种选法,x的个位数字可以为剩下2个数字中任意1个,y的个位数字为最后1个,则x,y的个位数字有C21种选法,则所有可能的有序实数组(x,y)的个数为C61C41C21=48(个).8.某市为弘扬我国优秀的传统文化,组织全市10万中小学生参加网络古诗词知识答题比赛,总分100分,经过分析比赛成绩,发现成绩X服从正态分布N(82,16),请估计比赛成绩不小于90分的学生人数约为()参考数据:P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.682 6,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.954 4,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.997 4 A.2 280B.3 170C.3 415D.460N(82,16),可得μ=82,σ=4,则P(74<X<90)=P(82-2×4<X<82+2×4)≈0.9544.∴P(X≥90)≈1×(1-0.9544)=0.0228.2估计比赛成绩不小于90分的学生人数约为100000×0.0228=2280.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1,-4),AD⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,2,0),AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,-1).下列结论正确的有()A.AP⊥ABB.AP⊥ADC.AP⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面ABCD的一个法向量⃗⃗⃗⃗⃗⃗D.AP⃗⃗⃗⃗⃗ ∥BDA,AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP⃗⃗⃗⃗⃗ =2×(-1)+(-1)×2+(-4)×(-1)=0,∴AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AP⊥AB,A正确;⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1)×4+2×2+(-1)×0=0,∴AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AD⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AP⊥AD,B正确;对于B,AP⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD⃗⃗⃗⃗⃗ ,得出AP⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面ABCD的一个法向量,C正确;对于C,由AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,且AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AD对于D,由AP⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面ABCD的法向量,得出AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则D错误.10.(2020某某某某模拟)已知ax2+1√xn(a>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,且展开式的各项系数之和为1 024,则下列说法正确的是()A.展开式中奇数项的二项式系数和为256B.展开式中第6项的系数最大C.展开式中存在常数项D.展开式中含x15项的系数为45解析∵ax2+1√xn(a>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,∴4=6,解得n=10.∵展开式的各项系数之和为1024,∴(a+1)10=1024.∵a>0,∴a=1.原二项式为x2+1√x 10,其展开式的通项公式为T r+1=C10r·(x2)10-r·1√xr=C10r x20-52r,展开式中奇数项的二项式系数和为12×1024=512,故A错;因为本题中二项式系数和项的系数一样,且展开式有11项,故展开式中第6项的系数最大,B对;令20-52r=0⇒r=8,即展开式中存在常数项,C对;令20-52r=15⇒r=2,C102=45,D对.11.在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球,4个白球,现从中任取4个小球,设取出的4个小球中白球的个数为X,则下列结论正确的是()A.P(X=2)=37B.随机变量X服从二项分布C.随机变量X服从超几何分布D.E(X)=85X服从超几何分布,故B错误,C正确;随机变量X的所有可能为0,1,2,3,4,P(X=0)=C64C104=114,P(X=1)=C41C63C104=821,P(X=2)=C42C62C104=37,P(X=3)=C43C61C104=435,P (X=4)=C 44C 104=1210, 故E (X )=0×114+1×821+2×37+3×435+4×1210=85,故A,D 正确.故选ACD . 12.(2021某某海安检测)双纽线像数字“8”,不仅体现了数学的对称、和谐、简洁、统一的美,同时也具有特殊的有价值的艺术美,是形成其他一些常见的漂亮图案的基石,也是许多设计者设计作品的重要几何元素.曲线C :(x 2+y 2)2=4(x 2-y 2)是双纽线,如图,则下列结论正确的是()A.曲线C 经过5个整点(横、纵坐标均为整数的点)B.曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2C.曲线C 关于直线y=x 对称的曲线方程为(x 2+y 2)2=4(y 2-x 2)D.若直线y=kx 与曲线C 只有一个交点,则实数k 的取值X 围为(-∞,-1]∪[1,+∞)0时,x 4=4x 2,x=0或2或-2,三个整点(0,0),(2,0),(-2,0),结合图象可知,-2≤x ≤2,令x=±1,得y 2=2√3-3<1,此时无整点解.∴曲线C 经过横、纵坐标均为整数的点,共有3个整点,A 错误;x 2+y 2=4(x 2-y 2)x 2+y 2≤4,曲线C 上任取一点P (x ,y )到原点的距离d=√x 2+y 2≤2,B 正确;曲线C 上任取一点M 关于y=x 的对称点为N ,设N (x ,y ),则M (y ,x ),M 在曲线C 上,∴(x 2+y 2)2=4(y 2-x 2),C 正确.y=kx 与曲线C 一定有公共点(0,0),∵y=kx 与曲线C 只有一个公共点,则x 4(1+k 2)2=4x 2(1-k 2),∴1-k 2≤0,∴k ≥1或k ≤-1,D 正确.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.某校一次高三数学成绩统计中,经过抽样分析,成绩X 近似服从正态分布N (110,σ2),且P (90≤X ≤110)=0.3,该校有1 000人参加此次统考,估计该校数学成绩不低于130分的人数为.X 近似服从正态分布N (110,σ2),且P (90≤X ≤110)=0.3,所以P (90≤X<130)=2P (90≤X ≤110)=0.6,所以P (X ≥130)=12[1-P (90≤X<130)]=12×(1-0.6)=0.2,1000×0.2=200(人),所以估计该校数学成绩不低于130分的人数为200.14.(2021某某某某月考)某种型号的机器使用总时间X (单位:年)(其中X ≥4,X ∈N +)与所需支出的维修总费用Y (单位:万元)的统计数据如表:根据表中数据可得Y 与X 之间的线性回归方程为Y=0.7X+a ^,若该设备维修总费用超过12万元就报废,据此模型预测该设备最多可使用年(填整数).=14×(6+8+10+12)=9,y =14×(2+3+5+6)=4,样本中心为(9,4),代入线性回归方程求得a ^=-2.3,故线性回归方程为Y=0.7X-2.3,当Y=0.7X-2.3≤12⇒X ≤1437,故整数X 最大为20.15.(2020某某某某期末)四棱锥S-ABCD 的底面是平行四边形,SE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +z AS⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x+y+z=.SE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13CS ⃗⃗⃗⃗ ,因为四棱锥S-ABCD 的底面是平行四边形,则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CS ⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AS ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AS ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AS ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,又BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +z AS ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以x=-13,y=23,z=13,故x+y+z=23. 16.已知抛物线的顶点为坐标原点,焦点为F (1,0),过抛物线上的一点A (顶点除外)作切线l ,且切线l 与x 轴交于点B ,则抛物线的标准方程为;若|FA||FB|=k ,则k=.2=4x 1,焦点为F (1,0),可得p=2,所以抛物线的方程为y 2=4x ,因为抛物线关于x 轴对称,所以只研究y=2√x 的情况,设A (m ,2√m ),易知过点A 的切线方程为y-2√m =√m(x-m ),所以B (-m ,0),由两点间距离公式可知|FA|=√(m -1)2+(2√m)2=1+m ,|FB|=1+m ,所以|FA||FB|=1=k ,即k=1.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2020某某某某期末)圆心为C 的圆经过点A (-4,1),B (-3,2),且圆心C 在直线l :x-y-2=0上.(1)求圆C 的标准方程;(2)过点P (3,-1)作直线m 交圆C 于点M ,N 且|MN|=8,求直线m 的方程.解(1)由已知得k AB =1,线段AB 的中点坐标为-72,32,∴AB 的垂直平分线方程为x+y+2=0.则由{x +y +2=0,x -y -2=0,解得{x =0,y =-2,所以圆心C (0,-2),因此半径r=|AC|=5,所以圆C 的标准方程为x 2+(y+2)2=25.(2)由|MN|=8可得圆心C 到直线m 的距离d=√52-42=3,∴当直线m 斜率不存在时,其方程为x=3,当直线m 斜率存在时,设其方程为y+1=k (x-3),则d=√k 2+1=3,解得k=-43,此时m 的方程为4x+3y-9=0,所以直线m 的方程为x=3或4x+3y-9=0.18.(12分)(2020某某某某期末)某校举行高一年级组织“知识竞答”活动.每位参赛者第一关需回答三个问题,第一个问题回答正确得10分,回答错误得0分;第二个问题回答正确得20分,回答错误得-10分;第三个问题回答正确得30分,回答错误得-20分.规定,每位参赛者回答这三个问题的总得分不低于30分就算闯关成功.若某位参赛者回答前两个问题正确的概率都是23,回答第三个问题正确的概率是12,且各题回答正确与否相互之间没有影响.(1)求这位参赛者仅回答正确两个问题的概率;(2)求这位参赛者回答这三个问题的总得分ξ的分布列和期望;(3)求这位参赛者闯关成功的概率.设事件A i 表示“参赛者回答对第i 个问题”,i=1,2,3,则P (A 1A 2A 3)+P (A 1A 2A 3)+P (A 1A 2A 3)=23×23×12+23×13×12+13×23×12=49.(2)ξ=-30,-20,0,10,20,30,50,60,P (ξ=-30)=P (A 1A 2A 3)=118, P (ξ=-20)=P (A 1A 2A 3)=19, P (ξ=0)=P (A 1A 2A 3)=19, P (ξ=10)=P (A 1A 2A 3)=29, P (ξ=20)=P (A 1A 2A 3)=118, P (ξ=30)=P (A 1A 2A 3)=19, P (ξ=50)=P (A 1A 2A 3)=19, P (ξ=60)=P (A 1A 2A 3)=29, ∴ξ的分布列为:E ξ=-30×118-20×19+0×19+10×29+20×118+30×19+50×19+60×29=1959.(3)由(2)得这位参赛者闯关成功的概率为P (ξ=30)+P (ξ=50)+P (ξ=60)=49.19.(12分)如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AD=AA 1=1,AB=2,点E 在棱AB 上移动.(1)证明:D 1E ⊥A 1D ;(2)当E 为AB 的中点时,求异面直线AC 与D 1E 所成角的余弦值;(3)AE 等于何值时,二面角D 1-EC-D 的大小为π4.D 为坐标原点,直线DA ,DC ,DD 1分别为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系,设AE=x ,则A 1(1,0,1),D 1(0,0,1),E (1,x ,0),A (1,0,0),C (0,2,0),D (0,0,0).(1)∵DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,1),D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,x ,-1),∴DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1+0-1=0,∴D 1E ⊥A 1D ;(2)∵E 为AB 中点,则E (1,1,0),从而D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,-1),AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,0), 设AC 与D 1E 所成的角为θ,则cos θ=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5×√3=√1515. (3)设平面D 1EC 的法向量为n =(a ,b ,c ),平面DEC 的一个法向量为DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .∵CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,x-2,0),D 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-1),DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1),由{n ·D 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·CE⃗⃗⃗⃗⃗ =0,有{2b -c =0,a +b(x -2)=0,令b=1,从而c=2,a=2-x ,∴n =(2-x ,1,2),由题意,cos π4=|n ·DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n||DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2=√22. ∴x=2+√3(不合题意,舍去),或x=2-√3.∴当AE=2-√3时,二面角D 1-EC-D 的大小为π4.20.(12分)(2020某某某某期末)某品牌手机厂商推出新款旗舰机型,并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间(X 个月)市场占有率(Y %)的几组相关数据:根据表中的数据完成下列问题:(1)用最小二乘法求出Y 关于X 的线性回归方程;(2)用变量间的相关关系分析该款旗舰机型手机市场占有率的变化趋势,并预测自上市起经过多少个月,该款旗舰机型手机市场占有率能超过49%(精确到月).附:最小二乘法估计分别为b ^=∑i=1n x i y i -nx y∑i=1nx i2-nx 2=∑i=1n(x i -x)(y i -y)∑i=1n(x i -x)2,a ^=y −b ^x ,其中x =3,y =10,∑i=15(x i -x )2=10.∵x =3,y =10,故∑i=15(x i -x )(y i -y )=-2×(-8)+(-1)×(-5)+0×1+1×4+2×8=41,已知∑i=15(x i -x )2=10,∴b ^=∑i=15(x i -x)(y i -y)∑i=15(x i -x)2=4110=4.1,a ^=y −b ^x =10-4.1×3=-2.3,∴Y 关于X 的线性回归方程为Y=4.1X-2.3;(2)由上面的线性回归方程可知,上市时间与市场占有率正相关,即上市时间每增加1个月,市场占有率都增加4.1个百分点,由Y=4.1X-2.3>49,解得X ≥12.5≈13,预测自上市起经过13个月,该款旗舰机型手机市场占有率能超过49%.21.(12分)(2020某某某某月考)某相关部门推出了环境执法力度的评价与环境质量的评价系统,每项评价只有满意和不满意两个选项,市民可以随意进行评价,某工作人员利用随机抽样的方法抽取了200位市民的信息,发现对环境质量满意的占60%,对执法力度满意的占75%,其中对环境质量与执法力度都满意的有80人.(1)是否有99%的把握判断环境质量与执法力度有关?(2)为了改进工作作风,针对抽取的200位市民,对执法力度不满意的人抽取3位征求意见,用ξ表示3人中对环境质量与执法力度都不满意的人数,求ξ的分布列与期望.公式:χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.对环境满意的有200×60%=120(人),对执法力度满意的有200×75%=150(人),对环境质量与执法力度都满意的有80人,填写列联表如下:计算χ2=200×(80×10-40×70)2120×80×150×50=1009>6.635,所以有99%的把握判断环境质量与执法力度有关.(2)由题意知,随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3;计算P (ξ=0)=C 403C 503=247490,P (ξ=1)=C 101·C 402C 503=3998,P (ξ=2)=C 102·C 401C 503=998,P (ξ=3)=C 103C 503=3490.则ξ的分布列为:期望为E ξ=0×247490+1×3998+2×998+3×3490=35.22.(12分)(2020某某某某期末)已知椭圆C :x 2a2+y 2b 2=1(a>b>0)经过点P (2,1),且离心率为√32,直线l与椭圆交于A ,B 两点,线段AB 的中点为M.(1)求椭圆C 的方程;(2)若∠APB 的角平分线与x 轴垂直,求PM 长度的最小值.因为椭圆经过点P (2,1),且离心率为√32,所以{22a2+12b 2=1,ca=√32,其中a 2=b 2+c 2,解得{a 2=8,b 2=2, 所以椭圆的方程为x 28+y 22=1.(2)因为∠APB 的角平分线与x 轴垂直,所以k PA +k PB =0,设直线PA 的斜率为k (k ≠0),则直线PA 的方程为y=k (x-2)+1,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由{y =k(x -2)+1,x 28+y 22=1,得(1+4k 2)x 2+8k (1-2k )x+16k 2-16k-4=0,所以2x 1=16k 2-16k -41+4k 2,即x 1=8k 2-8k -21+4k 2, y 1=k8k 2-8k -21+4k 2-2+1=-4k 2-4k+11+4k 2,即A8k 2-8k -21+4k 2,-4k 2-4k+11+4k 2,同理可得B8k 2+8k -21+4k 2,-4k 2+4k+11+4k 2,则M 在直线x+2y=0上,所以PM 的最小值为P 到直线x+2y=0的距离,即d=|2+2|√5=4√55,此时M65,-35在椭圆内,所以PM 的最小值为4√55.。
2020-2021学年新教材数学北师大版必修第一册模块综合测评 Word版含解析
模块综合测评(时间：120分钟，满分150分）一、单项选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝｛1,2，6｝，B＝{2,4｝，C＝｛x∈R｜－1≤x≤5｝，则（A∪B）∩C＝（）A．｛2} B．{1，2，4}C．{1，2，4，6｝D．{x∈R|－1≤x≤5｝B［由题意知A∪B＝｛1，2,4，6｝，所以(A∪B)∩C＝｛1，2，4}．]2．函数y＝x2－5x－6在区间［2，4］上是( ）A．递减函数B．递增函数C．先递减再递增函数D。
先递增再递减函数C［作出函数y＝x2－5x－6的图象(图略）知图象开口向上，且对称轴为x＝错误!，在［2，4］上先减后增．故选C.]3．函数f (x)＝错误!的定义域为( ）A．（－1，0）∪(0，1] B．(－1,1］C．（－4，－1] D．（－4，0)∪（0，1］A[由错误!得－1<x〈0或0〈x≤1，所以函数f (x）的定义域为(－1，0)∪(0,1］，故选A。
］4．当前，国家正分批修建经济适用房以解决低收入家庭住房紧张问题,已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户，若第一批经济适用房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题，先采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为（ )A ．40B ．30C ．20D ．36A ［由题意,每个个体抽到的概率为错误!＝错误!,其中甲社区有360户低收入家庭，所应从甲社区抽取低收入家庭的户数为360×错误!＝40户．]5．2019年10月1日在庆祝中华人民共和国成立70周年大阅兵的徒步方队中,被誉为“最强大脑”的院校科研方队队员分别由军事科学院、国防大学、国防科技大学三所院校联合抽组,已知军事科学院的甲、乙、丙三名同学被选上的概率分别为13，错误!，错误!,这三名同学中至少有一名同学被选上的概率为（ )A ．错误!B ．错误!C ．错误!D ．错误!C ［由题知三名同学都没有被选上的概率为错误!×错误!×错误!＝错误!，所以这三名同学中至少有一名同学被选上的概率为1－错误!＝712.］ 6．函数y ＝错误!的大致图象是( )A B C DB[当x〈0时，函数的图象是抛物线；当x≥0时，只需把y＝2x 的图象在y轴右侧的部分向下平移1个单位即可,故大致图象为B。
2020-2021高中数学北师大版一课时素养评价 四十六随机事件的运算含解析
2020-2021学年高中数学北师大版新教材必修一课时素养评价四十六随机事件的运算含解析温馨提示:此套题为Word版，请按住Ctrl，滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。
关闭Word文档返回原板块。
课时素养评价四十六随机事件的运算（15分钟30分)1。
学校将5个不同颜色的奖牌分给5个班，每班分得1个,则事件“1班分得黄色的奖牌”与“2班分得黄色的奖牌"是(）A。
对立事件 B.不可能事件C.互斥但不对立事件D。
不是互斥事件【解析】选C。
由题意,1班和2班不可能同时分得黄色的奖牌,因而这两个事件是互斥事件;又1班和2班可能都得不到黄色的奖牌,故这两个事件不是对立事件,所以事件“1班分得黄色的奖牌”与“2班分得黄色的奖牌"是互斥但不对立事件.2.对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹，设A=｛两次都击中飞机｝，B={两次都没击中飞机}，C={恰有一弹击中飞机｝，D=｛至少有一弹击中飞机},下列关系不正确的是() A.A⊆D B.B∩D=∅C.A∪C=DD.A∪B=B∪D【解析】选D。
“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中,一种是两弹都击中,所以A∪B≠B∪D。
3.某人射击一次，设事件A:“击中环数小于4”;事件B:“击中环数大于4”;事件C:“击中环数不小于4"；事件D:“击中环数大于0且小于4",则正确的关系是()A.A和B为对立事件B。
B和C为互斥事件C。
C与D是对立事件D.B与D为互斥事件【解析】选D。
由题意,A项中,事件“击中环数等于4环”可能发生，所以事件A和B不是对立事件；B项中，事件B和C可能同时发生，所以事件B和C不是互斥事件;C项中，事件“击中环数等于0环"可能发生，所以事件C和D不是对立事件；D项中，事件B:“击中环数大于4”与事件D:“击中环数大于0且小于4”，不可能同时发生，所以B与D为互斥事件.4。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
最新（新课标）北师大版高中数学必修一模块综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{3,4,5,6}，C ＝{4,5}，则(A ∩B)∪C 为( ) A ．{3,4} B ．{3,4,5} C ．{4,5,6}D ．{3,4,5,6}【解析】 依题意得，A ∩B ＝{3,4}，所以(A ∩B)∪C ＝{3,4,5}，选B. 【答案】 B2．(2016·浙江瑞安市高一期中)下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是( )A ．y ＝x 12B ．y ＝x 4C ．y ＝x －1D ．y ＝x 3【解析】 选项A 中y ＝x 12＝x 是非奇非偶的函数，选项C 中y ＝x －1是奇函数，对于选项D 中y ＝x 3也是奇函数，均不满足题意；选项B 中y ＝x 4是偶函数，且过点(0,0)(1,1)，满足题意．故选B.【答案】 B3.已知函数f(x)＝1＋x 21－x 2，则有( )A ．f(x)是奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f(x)B ．f(x)是奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝f(x)C ．f(x)是偶函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f(x)D ．f(x)是偶函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝f(x)【解析】 因为f(－x)＝1＋(－x )21－(－x )2＝1＋x 21－x 2＝f(x)，故f(x)为偶函数，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1＋1x21－1x2＝1＋x 2x 2－1＝－f(x)． 【答案】 C 4．若函数f(x)＝log 2(x －1)2－x的定义域为A ，g(x)＝ln (1－x )的定义域为B ，则∁R (A ∪B)＝( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(0,1]∪[2，＋∞)D ．(0,1)∪(2，＋∞)【解析】 由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧x －1>02－x>0⇒1<x<2.∴A ＝(1,2)．⎩⎪⎨⎪⎧1－x>0ln (1－x )≥0⇒x ≤0.∴B ＝(－∞，0]， A ∪B ＝(－∞，0]∪(1,2)， ∴∁R (A ∪B)＝(0,1]∪[2，＋∞)． 【答案】 C5．(2016·湖南长沙一中高一期中)三个数a ＝0.72，b ＝log 20.7，c ＝20.7之间的大小关系是( )A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a【解析】 ∵0＜a ＝0.72＜1，b ＝log 20.7＜0，c ＝20.7＞1.∴b ＜a ＜c.故选C. 【答案】 C6．(2016·辽宁沈阳铁路实验中学高一月考)已知定义域在(－1,1)上的奇函数f(x)是减函数，且f(a －3)＋f(9－a 2)＜0，则a 的取值范围是( )A ．(22，3)B ．(3，10)C ．(22，4)D ．(－2,3)【解析】 由f(a －3)＋f(9－a 2)＜0，得f(a －3)＜－f(9－a 2)；又奇函数满足f(－x)＝－f(x)，得f(a －3)＜f(a 2－9)；因为f(x)是(－1,1)上的减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＜a －3＜1－1＜a 2－9＜1，a －3＞a 2－9解得22＜a ＜3.【答案】 A7．为了得到函数y ＝lg x ＋310的图像，只需把函数y ＝lg x 的图像上所有的点( )A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度【解析】 由y ＝lg x ＋310得y ＝lg(x ＋3)－1，由y ＝lg x 的图像向左平移3个单位，得y ＝lg(x ＋3)的图像，再向下平移一个单位得y ＝lg(x ＋3)－1的图像．故选C.【答案】 C8．已知函数f(x)＝ln(1＋9x 2－3x)＋1，则f(lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12等于( )【导学号：04100084】A ．－1B ．0C ．1D ．2【解析】 f(x)＋f(－x)＝ln(1＋9x 2－3x)＋ln(1＋9x 2＋3x)＋2＝ln(1＋9x 2－9x 2)＋2＝ln 1＋2＝2，由上式关系知f(lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝f(lg 2)＋f(－lg 2)＝2.故选D.【答案】 D9．已知lg a ＋lg b ＝0，函数f(x)＝a x 与g(x)＝－log b x 的图像可能是( )【解析】 由lg a ＋lg b ＝0得ab ＝1，当a>1时，0<b<1，结合选项知B 正确． 【答案】 B10．已知函数f(x)＝2x ＋x ，g(x)＝log 3x ＋x ，h(x)＝x －1x的零点依次为a ，b ，c 则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c【解析】 在同一坐标系下分别画出函数y ＝2x，y ＝log 3x ，y ＝－1x的图像，如图，观察它们与y ＝－x 的交点可知a ＜b ＜c.故选A.【答案】 A11．(2016·兰州高一期末)已知f(x)的定义域为x ∈R 有x ≠1，已知f(x ＋1)为奇函数，当x ＜1时，f(x)＝2x 2－x ＋1，那么，当x ＞1时，f(x)的递减区间是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，＋∞ B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，54C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫74，＋∞ D.⎝⎛⎦⎥⎤1，74【解析】 由题意知，f(x ＋1)为奇函数，则f(－x ＋1)＝－f(x ＋1)． 令t ＝－x ＋1，则x ＝1－t ，故f(t)＝－f(2－t)，即f(x)＝－f(2－x)． 设x ＞1，则2－x ＜1.∵当x ＜1时，f(x)＝2x 2－x ＋1，∴f(2－x)＝2(2－x)2－(2－x)＋1＝2x 2－7x ＋7， ∴f(x)＝－f(2－x)＝－2x 2＋7x －7，∴函数的对称轴x ＝74.故所求的减区间是[74，＋∞)．故选C.【答案】 C12．(2016·河南南阳市五校高一联考)已知函数f(x)＝⎩⎨⎧－x 2－ax －5，(x ≤1)，ax ，(x ＞1)，是R 上的增函数，则a 的取值范围是( )A ．－3≤a ＜0B ．－3≤a ≤－2C ．a ≤－2D ．a ≤0【解析】 ∵函数f(x)＝⎩⎨⎧－x 2－ax －5，(x ≤1)，ax ，(x ＞1)是R 上的增函数，设g(x)＝－x 2－ax －5(x ≤1)，h(x)＝ax(x ＞1)，由分段函数的性质可知，函数g(x)＝－x 2－ax －5在(－∞，1]单调递增，函数h(x)＝ax在(1，＋∞)单调递增，且g(1)≤h(1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a2≥1，a ＜0，－a －6≤a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2，a ＜0，a ≥－3，解得－3≤a ≤－2.故选B.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．化简(a 23b 12)(－3a 12b 13)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 16b 56的结果为________．【解析】 原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－3)÷13a 23＋12－16b 12＋13－56＝－9a.【答案】 －9a14．方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＝3－x 2的实数解的个数是________．【导学号：04100085】【解析】 令f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，g(x)＝3－x 2.作出两函数图像如图由图可知f(x)与g(x)有两个交点． 故方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＝3－x 2的实数解的个数为2.【答案】 215．(2016·天津市南开大附中高一期中)已知(1.40.8)a ＜(0.81.4)a ，则实数a 的取值范围是______．【解析】 ∵1.40.8＞1,0＜0.81.4＜1， 且(1.40.8)a ＜(0.81.4)a ， ∴y ＝x a 为减函数，∴a 的取值范围是(－∞，0)． 【答案】 (－∞，0)16．(2016·宿迁高一期末)关于x 的方程|x 2－1|＝a 有三个不等的实数解，则实数a 的值是______．【解析】 构造函数y 1＝|x 2－1|，y 2＝a ，画出函数的图形，如图所示，则可得关于x 的方程|x 2－1|＝a 有三个不等的实数解时，a ＝1.【答案】 1三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2015·江阴高一检测)计算下列各式的值： (1)(ln 5)0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫94－0.5＋(1－2)2－2log 42.(2)log 21－lg 3·log 32－lg 5.【解】 (1)原式＝1＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫322－0.5＋|1－2|－212＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1＋2－1－2＝23.(2)原式＝0－lg 3·lg 2lg 3－lg 5＝－(lg 2＋lg 5)＝－lg(2×5)＝－1.18．(本小题满分12分)(2016·河南舞钢市一高高一月考)已知集合A ＝{x|0＜ax ＋1≤5}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－12＜x ≤2.(1)若A ⊆B ，求实数a 的取值范围； (2)若A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围；(3)是否存在实数a 使得A ∪B ＝A ∩B ？若存在，求出a 的值；若不存在，试说明理由．【解】 A 中不等式的解应该分三种情况讨论确定： ①当a ＝0时，A ＝R ；②当a ＜0时，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 4a ≤x ＜－1a ； ②若a ＞0，则A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x⎪⎪⎪－1a ≤x ≤4a . (1)若a ＜0，若A ⊆B ，则⎩⎨⎧4a ＞－12，－1a ≤2，⇒a ＜－8.若a ＞0，若A ⊆B ，则⎩⎨⎧4a≤2，－1a ≥－12，⇒a ≥2.故由A ⊆B 得a 的取值范围是{a|a ＜－8，或a ≥2}．(2)由A ∩B ＝B 知，B ⊆A当a ＝0时，显然B ⊆A ；当a ＜0时，若B ⊆A ，则⎩⎨⎧4a ≤－12，－1a＞2，⇒－12＜a＜0.当a ＞0时，若B ⊆A ，则⎩⎨⎧4a≥2，－1a ＜－12，⇒0＜a ≤2.若A ∩B ＝B ，则实数a 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪－12＜a ≤2. (3)由A ∪B ＝A ∩B 得，A ＝B ，即A ⊆B ，B ⊆A ，结合(1)、(2)知，a ＝2. 19．(本小题满分12分)(2016·湖南永顺一中高一期中)设f(x)是定义在R 上的偶函数，当0≤x ≤2时，y ＝x ，当x ＞2时，y ＝f(x)的图像是顶点为P(3,4)，且过点A(2,2)的抛物线的一部分．(1)求函数f(x)在(2，＋∞)上的解析式；(2)在下面的直角坐标系中直接画出函数f(x)的图像； (3)写出函数f(x)的值域及单调增区间．图1【解】 (1)设顶点为P(3,4)且过点A(2,2)的抛物线的方程为y ＝a(x －3)2＋4，将(2,2)代入可得a ＝－2，所以y ＝－2(x －3)2＋4，即x ＞2时，f(x)＝－2x 2＋12x －14.(2)函数f(x)的图像如图：(3)由图像可知，函数f(x)的值域为(－∞，4]，单调增区间为(－∞，－3)，(0,3)20．(本小题满分12分)(2016·湖南株州二中高一期中)已知f(x)＝log21＋x 1－x(1)判断f(x)的奇偶性并证明；(2)判断f(x)的单调性并用单调性定义证明；(3)若f(x－3)＋f(－13)＜0，求实数x的取值范围．【解】(1)f(x)在(－1,1)上为奇函数，证明如下：∵1＋x1－x＞0，∴－1＜x＜1，∴定义域为(－1，1)关于原点对称，又f(－x)＝log21－x1＋x＝log2(1＋x1－x)－1＝－log21＋x1－x＝－f(x)，∴f(x)为(－1,1)上的奇函数．(2)f(x)在(－1,1)上单调递增，证明如下：设－1＜x1＜x2＜1，则f(x1)－f(x2)＝log21＋x11－x1－log21＋x21－x2＝log2(1＋x1)(1－x2)(1－x1)(1＋x2).又－1＜x1＜x2＜1，∴(1＋x 1)(1－x 2)－(1－x 1)(1＋x 2)＝2(x 1－x 2)＜0， 即0＜(1＋x 1)(1－x 2)＜(1－x 1)(1＋x 2)， ∴0＜(1＋x 1)(1－x 2)(1－x 1)(1＋x 2)＜1，∴log 2(1＋x 1)(1－x 2)(1－x 1)(1＋x 2)＜0，∴f(x 1)＜f(x 2)，∴f(x)在(－1,1)上单调递增． (3)∵f(x)为(－1,1)上的奇函数， ∴f(x －3)＜－f(－13)＝f(13)．又f(x)在(－1,1)上单调递增， ∴－1＜x －3＜13，得2＜x ＜103.21．(本小题满分12分)某公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这样的产品，还需增加投入0.25万元，经市场调查知这种产品年需求量为500件，产品销售数量为t 件时，销售所得的收入为⎝ ⎛⎭⎪⎫0.05t －120 000t 2万元．(1)该公司这种产品的年生产量为x 件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x 的函数为f(x)，求f(x)；(2)当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大. 【导学号：04100086】【解】 (1)当0＜x ≤500时，f(x)＝0.05x －120 000x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫0.25×x 100＋0.5＝－x 220 000＋19400x －12， 当x ＞500时，f(x)＝0.05×500－120 000×5002－⎝ ⎛⎭⎪⎫0.25×x 100＋0.5＝12－1400x ，故f(x)＝⎩⎨⎧－120 000x 2＋19400x －12(0＜x ≤500)，12－1400x (x ＞500).(2)当0＜x ≤500时，f(x)＝－x 220 000＋19400x －12＝－120 000(x －475)2＋34532，故当x ＝475时，f(x)max ＝34532.当x ＞500时，f(x)＝12－1400x ＜12－54＝34432＜34532， 故当该公司的年产量为475件时，当年获得的利润最大．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)对任意实数x ，y 都有f(xy)＝f(x)f(y)，且f(－1)＝1，f(27)＝9，当0≤x ＜1时，f(x)∈[0,1)．(1)判断f(x)的奇偶性．(2)判断f(x)在[0，＋∞)上的单调性，并给出证明． (3)若a ≥0且f(a ＋1)≤39，求实数a 的取值范围． 【解】 (1)令y ＝－1， 则f(－x)＝f(x)·f(－1)． 因为f(－1)＝1，所以f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．(2)f(x)在[0，＋∞)上单调递增．证明如下： 设0≤x 1＜x 2， 所以0≤x 1x 2＜1，f(x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2·x 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2·f(x 2)．当x ≥0时，f(x)＝f(x)·f(x)＝[f(x)]2≥0， f(x)不恒为零．因为0≤x ＜1时，f(x)∈[0,1)， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＜1，所以f(x 1)＜f(x 2)．故f(x)在[0，＋∞)上是增函数．(3)因为f(27)＝9，又f(3×9)＝f(3)×f(9)＝f(3)·f(3)2＝[f(3)]3. 所以9＝[f(3)]3， 所以f(3)＝39， 因为f(a ＋1)≤39， 所以f(a ＋1)≤f(3)，因为f(x)在[0，＋∞)上为增函数， 且a ≥0，a ＋1∈[1，＋∞)， 所以a ＋1≤3，即a ≤2， 故0≤a ≤2.。