《空间向量运算的坐标表示》说课稿
《2.3.3 空间向量运算的坐标表示》教学案
《2.3.3 空间向量运算的坐标表示》教学案教学目标：1．掌握空间向量加减法运算的坐标表示，掌握空间向量的数量积的坐标表示； 2．空间向量长度与夹角的坐标表示教学过程一、创设情景1、空间直角坐标系中的坐标；2、空间向量的直角坐标运算律；3、平面向量的数量积、夹角、模等概念。
二、建构数学1.复习：空间向量的坐标表示2.新课：（1）向量加减法和数乘的坐标表示(2)、数量积的坐标表示(1)设,是空间两个非零向量，我们把数量><b a b a ,cos ||||叫作向量,的数量积，记作b a ⋅，即 b a ⋅＝><,cos ||||(2)夹角：cos ||||a b a b a b ⋅⋅==⋅ (3)运算律⋅=⋅；)()(a b b a ⋅=⋅λλ；c a b a c b a ⋅+⋅=+⋅)((4)模长公式：若123(,,)a a a a = ，123(,,)b b b b = ，[来源:学科网][来源:Zxxk .C om ]则||a ==||b == ．(5)两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则||AB ，或,A B d =(6)00212121=++⇔=⋅⇔⊥z z y y x x三、数学运用1、例1已知)3,1,3(A ，(1,0,5)B ，求：(1)线段AB 的中点坐标和长度；(2)到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 的坐标,,x y z 满足的条件解：(1)设M 是线段AB 的中点，则)23,3,2()(21=+=． ∴AB 的中点坐标是)23,3,2(， )3,4,2(-=AB 29)3(4)2(||222=-++-=AB ．(2)∵ 点(,,)P x y z 到,A B 两点的距离相等， 则222222)0()5()1()3()1()3(-+-+-=-+-+-z y x z y x ，化简得：07684=++-z y x ，所以，到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 的坐标,,x y z 满足的条件是07684=++-z y x ．点评：到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 构成的集合就是线段AB 的中垂面，若将点P 的坐标,,x y z 满足的条件07684=++-z y x 的系数构成一个向量)6,8,4(-=，发现与)3,4,2(-=共线。
教学设计5：3.1.5空间向量运算的坐标表示
3.1.5空间向量运算的坐标表示教学目标1.知识与技能掌握空间向量的坐标运算规律、平行向量坐标表示．2．过程与方法通过空间坐标系的建立和空间向量坐标运算规律的探索，发展学生的空间想象能力、探究能力，进一步熟悉类比、由一般到特殊、由直觉猜想到推理论证等思维方法，提高学生的科学思维素养．3．情感、态度与价值观通过教师的引导、学生探究，激发学生求知欲望和学习兴趣，使学生经历数学思维全过程，品尝到成功的喜悦．教学重点：体会空间直角坐标系，空间点的坐标，学会空间向量的坐标表示与运算．教学难点：空间向量坐标的确定，掌握空间向量模、夹角等的计算．空间向量线性运算的坐标表示问题导思1．已知向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，如何表示a＋b，a－b，λa?【答案】a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2)，a－b＝(a1－b1，a2－b2)，λa＝(λa1，λa2)．2．如果a∥b(b≠0)，则a、b坐标满足什么关系？【答案】a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2.空间向量线性运算的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则(1)a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；(2)a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；(3)λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)；(4)b≠0，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3.空间向量数量积的坐标表示及夹角公式问题导思1．已知向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，如何用坐标表示a·b?【答案】a·b＝a1b1＋a2b2.2．用向量的数量积运算还能解决向量中的哪些方面的问题？ 【答案】 求向量的模、夹角等． 若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则 (1)a ·b ＝_a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3；(2)|a |＝a ·a ＝a 21＋a 22＋a 23； (3)a ≠0，b ≠0，cos a ，b ＝a ·b|a ||b |＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23 ； (4)a ≠0，b ≠0，a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0. 空间中两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则 (1)AB →＝(a 2－a 1，b 2－b 1，c 2－c 1)； (2)d AB ＝|AB →|＝a 2－a 12＋b 2－b 12＋c 2－c 12.例题解析例1 如图, 在正方体1111ABCD A B C D -中，11B E = 11114A B D F ==，求1BE 与1DF 所成的角的余弦值.解：设正方体的棱长为1，如图建立空间直角坐标系Dxyz ，则13(1,1,0),(1,,1),4B E 11(0,0,0),(0, 1).4D F ，131(1,,1)(1,1,0)(0,,1),44BE =-=-111(0, 1)(0,0,0)(0, 1).44DF =-=，，11111500()11,4416BE DF =⨯+-⨯+⨯=111717||,||.44BE DF == 1111111515cos ,.17||||1744所以BE DF BE DF BE DF <>===⋅ 例2 如图，正方形ABCD -A 1B 1C 1D 1中，EF 分别是BB 1，D 1B 1的中点， 求证EF ⊥DA 1.证明：如图，不妨设正方体的棱长为1，分别以DA ，DC ， 1DD 为单位正交基底，建立空间直角坐标系Dxyz ，则1(1,1,)2E ，11(,,1)22F 所以111(,,)222EF =--.又1(1,0,1)A ，(0,0,0)D ， 所以1(1,0,1)DA = 所以1111(,,)(1,0,1)0222EF DA ⋅=--⋅=， 因此1EF DA ⊥，即1EF DA ⊥. 课堂检测一、选择题1．已知a ＝(1，－2,1)，a －b ＝(－1,2，－1)，则b ＝( ) A ．(2，－4,2) B ．(－2,4，－2)C ．(－2,0，－2)D ．(2,1，－3)【解析】 b ＝a －(－1,2，－1)＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)． 【答案】 A2．设A (3,3,1)，B (1,0,5)，C (0,1,0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |的值为( ) A.534 B.532 C.532 D.132【解析】 AB 的中点M (2，32，3)，∴CM →＝(2，12，3)，故|CM |＝|CM →|＝22＋122＋32＝532. 【答案】 C3．已知向量a ＝(－2，x,2)，b ＝(2,1,2)，c ＝(4，－2,1)，若a ⊥(b －c )，则x 的值为( ) A ．－2B ．2C ．3D ．－3【解析】 ∵b －c ＝(－2,3,1)，a ·(b －c )＝4＋3x ＋2＝0，∴x ＝－2. 【答案】 A4．点A (n ，n －1,2n )，B (1，－n ，n )，则|AB →|的最小值是( ) A.12B.22C ．2D ．不存在【解析】 ∵AB →＝(1－n,1－2n ，－n )， ∴|AB →|2＝(1－n )2＋(1－2n )2＋n 2＝6(n －12)2＋12，当n ＝12时，|AB →|的最小值为22.【答案】 B5．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( ) A ．90° B ．60° C ．45° D ．30°【解析】 a ＋b ＝(cos α＋sin α，2，sin α＋cos α)，a －b ＝(cos α－sin α，0，sin α－cos α)，∴(a ＋b )·(a －b )＝0，∴(a ＋b )⊥(a －b )． 【答案】 A 二、填空题6．已知A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则向量AB →与AC →的夹角为________． 【解析】 ∵AB →＝(0,3,3)，AC →＝(－1,1,0)，∴|AB →|＝32，|AC →|＝2， AB →·AC →＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3， ∴cos AB →，AC →＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝12，∴AB →，AC →＝60°. 【答案】 60°7．已知a ＝(λ＋1,0,2λ)，b ＝(b,2μ－1,2)，且a ∥b ，则λ＋μ＝________. 【解析】 ∵a ∥b ，a ＝t b .于是⎩⎪⎨⎪⎧λ＋1＝6t ，0＝t 2μ－1，2λ＝2t .解之可得⎩⎨⎧λ＝t ＝15，μ＝12.故λ＋μ＝15＋12＝710.【答案】7108．若AB →＝(－4,6，－1)，AC →＝(4,3，－2)，|a |＝1，且a ⊥AB →，a ⊥AC →，则a ＝________.【解析】 设a ＝(x ，y ，z )，由题意有⎩⎪⎨⎪⎧a ·AB →＝0a ·AC →＝0|a |＝1，代入坐标可解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝313y ＝413z ＝1213或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－313y ＝－413z ＝－1213.【答案】 (313，413，1213)或(－313，－413，－1213)三、解答题9．已知3a －2b ＝(－2,0,4)，c ＝(－2,1,2)，a ·c ＝2，|b |＝4，求cos 〈b ，c 〉． 解 (3a －2b )·c ＝3a ·c －2b ·c ＝(－2,0,4)·(－2,1,2)＝12， 又a ·c ＝2，∴b ·c ＝－3，由c ＝(－2,1,2)知|c |＝3.∴cos 〈b ，c 〉＝b ·c |b ||c |＝－34×3＝－14. 10．已知向量a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，点A (－3，－1，4)，B (－2，－2,2)． (1)求|2a ＋b |；(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE →⊥b ？(O 为原点) 解 (1)2a ＋b ＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)， 故|2a ＋b |＝02＋－52＋52＝52.(2)OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋tAB →＝(－3，－1,4)＋t (1，－1，－2)＝(－3＋t ，－1－t,4－2t )， 若OE →⊥b ，则OE →·b ＝0，所以－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0， 解得t ＝95，因此存在点E ，使得OE →⊥b ，E 点坐标为(－65，－145，25)．图3－1－3211．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1用向量法解： (1)求A 1B 和B 1C 的夹角； (2)证明：A 1B ⊥AC 1； (3)求AC 1的长度．解 (1)以D 为原点，DA →，DC →，DD 1→所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Dxyz . 设棱长为1，则A (1,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，B 1(1,1,1)，C (0,1,0)，C 1(0,1,1)， ∴A 1B →＝(0,1，－1)，B 1C →＝(－1,0，－1)， ∴A 1B →·B 1C →＝(0,1，－1)·(－1,0，－1) ＝0＋0＋1＝1.|A 1B →|＝0＋1＋1＝2，|B 1C →|＝1＋0＋1＝ 2.∴cos 〈A 1B →，B 1C →〉＝A 1B →·B 1C →|A 1B →|·|B 1C →|＝12.∵〈A 1B →，B 1C →〉∈[0°，180°]， ∴A 1B 与B 1C 夹角为60°.(2)由(1)知A 1B →＝(0,1，－1)，AC 1→＝(－1,1,1)， ∴A 1B →·AC 1→＝0＋1－1＝0， ∴A 1B ⊥AC 1.(3)∵AC 1→＝(－1,1,1)， ∴|AC 1→|＝1＋1＋1＝ 3. 即AC 1的长度为 3. 课堂小结1．空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算类似，只是多了对竖坐标的运算． 2．利用空间向量的坐标运算可以判断两个向量的平行、垂直；可以求向量的模以及两个向量的夹角．3．几何中的平行和垂直可以利用向量进行判断，利用直线的方向向量的关系可以证明直线的平行和垂直；距离、夹角问题可以借助于空间直角坐标系利用数量积解决．。
空间向量的坐标表示教案
空间向量的坐标表示教案一、教学目标1. 理解空间向量的坐标表示及其意义。
2. 掌握空间向量的坐标运算规则。
3. 能够运用空间向量的坐标表示解决实际问题。
二、教学重点和难点1. 教学重点：空间向量的坐标表示及其意义，坐标运算规则。
2. 教学难点：理解空间向量的坐标表示的实际应用，以及坐标运算规则的运用。
三、教学过程1. 导入新课：通过回顾空间向量的定义和性质，引出空间向量的坐标表示。
2. 新课学习：通过案例分析，引导学生理解空间向量的坐标表示及其意义，掌握坐标运算规则。
3. 巩固练习：通过小组讨论、个人展示等方式，让学生进行思考、计算、推导等活动。
4. 归纳总结：对本节课所学内容进行总结，强调重点和难点。
四、教学方法和手段1. 教学方法：讲解、演示、小组讨论、个人展示等。
2. 教学手段：利用多媒体技术，如PPT、视频等，增强学生对所学内容的直观感受和理解。
五、课堂练习、作业与评价方式1. 课堂练习：通过小组活动和个人展示等方式，让学生进行思考、计算等活动。
2. 作业：布置相关练习题，让学生进一步巩固所学内容。
3. 评价方式：采用多元评价方式，包括学生的自我评价、互相评价、教师评价等，以全面了解学生的学习情况和表现。
六、辅助教学资源与工具1. 教学资源：PPT、教材、教案等。
2. 教学工具：多媒体设备、黑板、粉笔等。
七、结论本节课通过对空间向量的坐标表示的学习，帮助学生理解了空间向量的坐标表示及其意义，掌握了坐标运算规则，并能够运用这些知识解决实际问题。
同时，通过小组讨论和个人展示等活动，也锻炼了学生的思维能力和口头表达能力。
希望学生们在今后的学习中能够继续巩固和拓展这些知识，为后续课程的学习打下坚实的基础。
八、教学反思本节课的教学过程中，我注重学生的参与和互动，尽可能地激发学生的学习兴趣和积极性。
同时，通过案例分析、小组讨论等方式，引导学生主动思考和解决问题，发挥了学生的主体作用。
但在教学过程中，也存在一些不足之处，如对某些细节的讲解不够深入，学生的反应不够积极等。
3.1.5空间向量运算的坐标表示(优秀经典公开课比赛教案)
3.1.5空间向量运算的坐标表示一、教材分析：“3.1空间向量及其运算”包括空间向量的定义、空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算、空间向量的数量积运算、空间向量的正交分解及其坐标表示、空间向量运算的坐标表示等内容。
在学生掌握了空间向量加法运算的基础上，学习空间向量的数乘运算应无困难。
教科书在本小节首先类比平面向量的数乘运算引入空间向量的数乘运算以及数乘运算的分配律和结合律。
进而分别给出了空间向量共线和共面的定义，并进一步研究了空间向量共线和共面的问题。
二、教学目标：1、掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并会用这些公式解决有关问题．2、掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并会用这些公式解决有关问题．3、理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强数学应用意识。
三、教学重点：夹角公式、距离公式．四、教学难点：夹角公式、距离公式的应用． 五、教学准备1、课时安排：1课时2、学情分析：3、教具选择： 六、教学方法： 七、教学过程1、自主导学：2、合作探究 (一)、复习引入1). 向量的直角坐标运算法则：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则⑴a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； ⑵a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； ⑶λa ＝123(,,)a a a λλλ()R λ∈； ⑷a ·b ＝112233a b a b a b ++上述运算法则怎样证明呢？（将a ＝1a i ＋2a j ＋3a k 和b ＝1b i ＋2b j ＋3b k 代入即可）2). 怎样求一个空间向量的坐标呢？（表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．） (二)、新课讲授1) 向量的模：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，求这两个向量的模. ｜a，｜b向量的长度公式．这个公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度． 2) 夹角公式推导：∵ a ·b ＝|a ||b |cos ＜a ,b ＞ ∴1122a b a b++cos ＜a ,b ＞由此可以得出：cos ＜a ,b这个公式成为两个向量的夹角公式．利用这个共识，我们可以求出两个向量的夹角，并可以进一步得出两个向量的某些特殊位置关系：当cos ＜a 、b ＞＝1时，a 与b 同向；当cos ＜a 、b ＞＝－1时，a 与b 反向；当cos ＜a 、b ＞＝0时，a ⊥b ．3) 两点间距离共识：利用向量的长度公式，我们还可以得出空间两点间的距离公式：在空间直角坐标系中，已知点111(,,)A x y z ，222(,,)Bx y z ，则A B d =、A B d 、表示A 与B 两点间的距离． 4) 用向量方法证明：如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行． 例题讲解:课本96页：例5、例63、巩固训练：课本97页：练习4、拓展延伸：5、师生合作总结： （1）向量的模（2）两个向量的夹角公式（3）空间两点间的距离公式八、课外作业：课本97页：习题3.1 A组 10 九、板书设计：。
空间向量运算的坐标表示(公开课教案)
空间向量运算的坐标表示(公开课教案)空间向量运算的坐标表示导语：本节课将介绍空间向量运算的坐标表示方法，帮助学生建立空间向量的运算概念和技巧。
通过本节课的学习，学生将能够准确地进行空间向量的加法、减法和数量乘法运算，并能够将运算结果表示为坐标形式，提高对空间向量运算的理解和应用能力。
一、空间向量的定义及表示方法空间向量是指具有大小和方向的物理量，它可以用有序数对或坐标表示。
在三维空间中，一个向量可以用三个有序实数表示，分别表示向量在x、y、z轴上的投影，即(x,y,z)。
例如，向量AB可以表示为(2,3,4)，其中2表示在x轴上的投影，3表示在y轴上的投影，4表示在z轴上的投影。
二、空间向量的加法运算空间向量的加法运算是将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。
设有向量AB和向量AC，它们的坐标表示分别为(2,3,4)和(1,2,3)，则它们的和向量AD可以通过将对应的分量相加得到，即(2+1,3+2,4+3)=(3,5,7)。
表示向量AD的坐标形式即为(3,5,7)。
三、空间向量的减法运算空间向量的减法运算是将两个向量的对应分量相减得到一个新的向量。
设有向量AB和向量AC，它们的坐标表示分别为(2,3,4)和(1,2,3)，则它们的差向量AD可以通过将对应的分量相减得到，即(2-1,3-2,4-3)=(1,1,1)。
表示向量AD的坐标形式即为(1,1,1)。
四、空间向量的数量乘法运算空间向量的数量乘法运算是将一个向量的每个分量都乘以一个实数得到一个新的向量。
设有向量AB的坐标表示为(2,3,4)，将它与实数k相乘，即可得到数量乘积向量AD，即(2k,3k,4k)，表示向量AD的坐标形式为(2k,3k,4k)。
五、空间向量运算的坐标表示总结空间向量运算的坐标表示方法可以总结如下：1. 加法运算：将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量，表示为(若干表达式)。
2. 减法运算：将两个向量的对应分量相减得到一个新的向量，表示为(若干表达式)。
〖2021年整理〗《空间向量运算的坐标表示》优秀教案
空间向量运算的坐标表示陈菊仙一、教学目标 （一）核心素养本节课是平面向量的坐标运算在空间推广和拓展，通过本节课的学习，让学生经历向量坐标运算由平面向空间推广的全过程，充分体会数学知识的发生和发展，提高学生的空间想象能力、探索能力及科学思维素养，使学生能在空间几何体中借助图形进行空间向量的运算，为运用向量坐标运算解决几何问题奠定知识和方法基础． （二）学习目标1．掌握空间向量加减、数乘、数量积运算的坐标表示． 2．会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直．3．掌握向量的长度公式、夹角公式、空间两点间距离公式；并会应用这些知识解决简单的立体几何问题． （三）学习重点1．空间向量加减、数乘、数量积运算的坐标表示． 2．两个向量共线或垂直的判断．3．向量的长度公式、夹角公式、空间两点间距离公式． （四）学习难点1．向量运算到坐标运算的转化．2．应用空间向量坐标运算解决立体几何问题． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）读一读：阅读教材第95页至第96页，填空：我们知道，向量a 在平面上可用有序实数对),(y x 表示，在空间中则可用有序实数组),,(z y x 表示．类似于平面向量的坐标运算，我们可以得出空间向量的加法、减法、数乘以及数量积运算的坐标表示．设),,(321a a a a =，),,(321b b b b =， 则=+b a ),,(332211b a b a b a +++，=-b a ),,(332211b a b a b a ---，=a λ),,(321a a a λλλ，=⋅b a 332211b a b a b a ++．（2）写一写：类似于平面向量的坐标表示，我们还可以得到：b a b a λ=⇔//⇔332211,,b a b a b a λλλ===)(R ∈λ；⋅⇔⊥b a b a 0332211=++b a b a b aa =||=；,cos b a b a >=<=．在空间直角坐标系中，已知点),,(111c b a A ，),,(222c b a B ，则A ，B 两点间的距离==||AB d AB ．2．预习自测（1）已知向量)0,2,1(-=a ，)2,1,3(-=b ，)1,3,0(-=c ，则向量c b a m -+=的坐标为（ ） A ．)3,6,4(-B ．)1,0,4(C ．)1,4,2(---D ．)1,4,2(【知识点】空间向量加减运算的坐标表示．【解题过程】c b a m -+=)0,2,1(-=)2,1,3(-+)1,3,0(--)120),3(12,031(-+-----+=)1,0,4(=． 【思路点拨】熟练掌握空间向量加减运算的坐标表示． 【答案】B ．（2）已知向量)3,0,1(-=a ，)2,1,0(-=b ，则向量b a 23-的坐标为 ． 【知识点】空间向量线性运算的坐标表示． 【解题过程】b a 23-)3,0,1(3-=2(0,1,2)--)2233),1(203,02)1(3(⨯-⨯-⨯-⨯⨯--⨯=(325)=-，，． 【思路点拨】熟练掌握空间向量线性运算的坐标表示． 【答案】)5,2,3(-．（3）已知向量)3,1,2(-=a ，),1,2(x b --=，且b a ⊥，则=x （ ） A ．1-B ．0C ．1D ．2【知识点】空间向量垂直的坐标表示．【解题过程】∵b a ⊥，∴03)1()1()2(2=+-⨯-+-⨯=⋅x b a ，解得1=x ． 【思路点拨】空间向量的垂直即数量积为0，代入公式计算． 【答案】C ．（4）已知点)2,0,1(-A ，)0,1,4(B ，)1,1,0(-C ，则=∠BAC （ ） A ． 30B ． 45C ． 60D ． 90【知识点】空间向量夹角公式的坐标表示．【解题过程】)2,1,3(=AB ，)1,1,1(-=AC ，01211)1(3=⨯+⨯+-⨯=⋅AC AB ， 故AB ，AC 的夹角为 90，即=∠BAC 90．【思路点拨】空间向量的夹角可转化为数量积的计算． 【答案】D ． 二课堂设计 1．知识回顾（1）空间向量加减、数乘、数量积的运算法则； （2）空间向量平行、垂直、长度、夹角公式； （3）空间向量基本定理． 2．问题探究探究一 由平面向量的坐标运算类比空间向量的坐标运算★ ●活动① 类比提炼概念我们知道，平面内的任意一个向量p 都可以用两个不共线的向量a ，b 来表示，这是平面向量基本定理的核心内容，那么，对于空间任意向量，有没有类似的结论呢？（抢答）同学们，我们知道，向量a 在平面上可用有序实数对),(y x 表示，那么，向量a 在空间中则可用什么来表示呢？（抢答）可用有序实数组),,(z y x 表示．【设计意图】提出类比问题，由学生答出从平面到空间，从有序实数对到有序实数组的过渡，从二维拓展到三维，引出新课概念． ●活动② 巩固理解，深入探究类似于平面向量的坐标运算，我们可以得出空间向量的加法、减法、数乘以及数量积运算的坐标表示．设),,(321a a a a =，),,(321b b b b =，则这几种运算的坐标表达式是什么呢？（抢答） 加法：b a +),,(332211b a b a b a +++=， 减法：b a -),,(332211b a b a b a ---=， 数乘：),,(321a a a a λλλλ=， 数量积：b a ⋅332211b a b a b a ++=．【设计意图】通过学生的抢答，使学生深入探究，更深刻地理解各种运算的坐标表示． ●活动③ 深入探究，证明猜想以上结论中，前三个比较容易证明，我们只对向量的数量积运算加以证明．设i ，j ，k 为单位正交基底，则123a a i a j a k =++，123b b i b j b k =++， 所以123123()()a b a i a j a k b i b j b k ⋅=++⋅++，利用向量数量积的分配率以及1i i j j k k ⋅=⋅=⋅=，0i j j k k i ⋅=⋅=⋅=， 即可得出a b ⋅332211b a b a b a ++=．【设计意图】引导学生进行探究，证明形式最复杂的数量积的坐标表示，让学生的理解更加深刻． 探究二 探究空间向量性质的坐标运算★▲ ●活动① 类比探究，研究性质同学们，类似于平面向量的的性质坐标表示，我们可以得到哪些空间向量的性质？（抢答）平行、垂直、长度、夹角、距离．【设计意图】通过复习平面向量的性质，引出空间向量的性质，并转化为坐标表示，体现重点，突破难点．●活动② 巩固理解，深入探究那刚才我们得到的空间向量的性质应该怎么用坐标来表示呢？（抢答）平行：112233//,,()a b a b a b a b a b R λλλλλ⇔=⇔===∈； 垂直：11223300a b a b a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔++=；长度： 212||a a a a a a =⋅=++ 夹角：21cos ,||||a b a b a b a ⋅<>==+．距离：在空间直角坐标系中，已知点),,(111c b a A ，),,(222c b a B ，则A ，B 两点间的距离212212212)()()(||c c b b a a AB d AB -+-+-==．【设计意图】引导学生进行思考，在深刻理解各性质的同时，将它们的坐标表示由二维拓展到三维，从而加以应用．探究三 探究空间向量坐标运算的具体应用★▲ ●活动① 归纳梳理、理解提升通过前面的学习，空间向量的坐标表示由二维拓展到了三维．在空间中的加法、减法、数乘、数量积等运算和平行、垂直、长度、夹角、距离等关系中，我们可以利用数量的运算关系，解决立体几何中的平行、垂直和长度、角度等问题．【设计意图】归纳知识点和定理，让学生对概念和方法理解更加深入，培养学生对比、归类、整理的意识．●活动② 互动交流、初步实践例1 已知向量(2,1,3)a x =，(1,2,9)b y =-，若a 与b 为共线向量，则（ ） A ．1=x ，1=yB ．21=x ，21-=y C ．61=x ，23-=y D ．61-=x ，23=y【知识点】空间向量平行的坐标表示． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵(2,1,3)a x =，(1,2,9)b y =-共线，∴932112=-=y x ，解得61=x ，23-=y ．【思路点拨】将向量平行转化为坐标成比例． 【答案】C ．同类训练 已知空间中三点)2,0,2(-A ，)2,1,1(-B ，)4,0,3(-C ，设a AB =，b AC =，若向量b a k +与b a k 2-垂直，则k 的值为 ． 【知识点】空间向量的坐标运算，垂直的坐标表示． 【数学思想】转化思想．【解题过程】由题知，a AB =)0,1,1(=，b AC =)2,0,1(-=，则b a k +)2,,1(k k -=，b a k 2-)4,,2(-+=k k ，由⋅-)2,,1(k k )4,,2(-+k k 08)2)(1(2=-++-=k k k ，得01022=-+k k ，解得25-=k 或2=k ．【思路点拨】将向量垂直转化为数量的对应相乘．【答案】25-=k 或2=k ．【设计意图】利用平行和垂直的转化，使学生对空间向量的坐标运算更加熟悉． 活动③ 巩固基础、检查反馈例2 已知空间中三点A3,3,1，B1,0,5，C0,1,0，则AB 的中点M 到C 点的距离是（ ） A ．453 B ．253 C ．253 D ．213 【知识点】空间向量的坐标运算，空间两点的距离公式． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵AB 的中点为)3,23,2(M ，∴||(2MC ==．【思路点拨】先求出中点坐标，再利用距离公式． 【答案】C ．同类训练 设向量)2,,1(λ=a ，)2,1,2(-=b ，a ，b 夹角的余弦值为98，则=λ ．【知识点】空间向量夹角公式的坐标表示． 【数学思想】转化思想． 【解题过程】∵,cos b a b a >=<985362=+-=λλ，∴2-=λ或552=λ． 【思路点拨】利用向量的夹角公式进行计算． 【答案】2-=λ或552=λ． 【设计意图】利用长度和夹角的公式的运算，使学生熟练掌握空间向量的坐标运算． ●活动④ 强化提升、灵活应用例3 在正方体1111D C B A ABCD -中，点E ，F 分别是1BB ，11B D 的中点，求证：1DA EF ⊥． 【知识点】在空间几何体中利用坐标表示解决直线垂直问题．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】不妨设正方体的棱长为1，分别以DA ，DC ，1DD 为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz ，则)21,1,1(E ，)1,21,21(F ，所以)21,21,21(--=EF ，又)1,0,1(1A ，)0,0,0(D ，所以)1,0,1(1=DA ，所以1111(,,)(1,0,1)0222EF DA ⋅=--⋅=，因此1DA EF ⊥，即1DA EF ⊥．【思路点拨】先建立空间直角坐标系，再将EF 和1DA 用坐标表示出来，利用空间向量垂直的坐标表示得到数量积等于0． 【答案】见解题过程．同类训练 在正方体1111D C B A ABCD -中，点E ，F 分别是11B A ，11D C 上的点，且113EB E A =，113FD F C =，求BE 和DF 所成角的余弦值．【知识点】在空间几何体中利用坐标表示解决异面直线所成角问题． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】不妨设正方体的棱长为4，分别以DA ，DC ，1DD 为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz ，则)0,4,4(B ，)4,3,4(E ，)0,0,0(D ，)4,1,0(F ，所以)4,1,0(-=BE ，)4,1,0(=DF ，17||=BE ，17||=DF ，⋅BE )4,1,0()4,1,0(⋅-=DF 15=，所以,cos DF BE DF BE >=<1715171715=⨯=．【思路点拨】先建立空间直角坐标系，再将BE 和DF 用坐标表示出来，利用空间向量夹角公式的坐标表示得到夹角的余弦值． 【答案】见解题过程．【设计意图】在空间直角坐标系中，用向量的坐标解决平行、垂直、长度、角度等问题是立体几何的基本思想方法，需要深刻理解，熟练掌握． 3 课堂总结 知识梳理（1）设),,(321a a a a =，),,(321b b b b =，则①b a +),,(332211b a b a b a +++=，②b a -),,(332211b a b a b a ---=，③),,(321a a a a λλλλ=，④b a ⋅332211b a b a b a ++=．（2）设),,(321a a a a =，),,(321b b b b =，则①b a b a λ=⇔//332211,,b a b a b a λλλ===⇔)(R ∈λ；②0=⋅⇔⊥b a b a 0332211=++⇔b a b a b a ；③a =||232221a a a ++=；④,cos b a b a >=<232221232221332211bb b aa ab a b a b a ++++++=．（3）在空间直角坐标系中，已知点),,(111c b a A ，),,(222c b a B ，则A ，B 两点间的距离212212212)()()(||c c b b a a AB d AB -+-+-==． 重难点归纳（1）熟练掌握空间向量的加法、减法、数乘以及数量积的坐标运算以及平行、垂直、长度、角度、距离的坐标表示．（2）合理选取单位正交基底建立空间直角坐标系是立体几何证明与运算的基础． （三）课后作业 基础型 自主突破1．已知)1,2,3(-A ，)3,5,4(-B ，则与向量AB 平行的一个向量的坐标为（ ）A ．)1,1,31( B ．)1,1,31(--C ．)1,23,21(-D ．)1,23,21(-【知识点】空间向量平行的坐标表示． 【数学思想】转化思想．【解题过程】)2,3,1(-=AB )1,23,21(2-=．【思路点拨】将向量平行转化为坐标成比例．【答案】C ．2．已知向量)2,5,1(-=a ，)2,2,(+=m m b ，若b a ⊥，则m 的值为（ ） A ．6-B ．2C ．6D ．8【知识点】空间向量垂直的坐标表示．【数学思想】转化思想．【解题过程】由题意，有=⋅b a ⋅-)2,5,1()2,2,(+m m 0)2(210=+-+=m m ，解得6=m ． 【思路点拨】利用空间向量垂直的坐标表示列式．【答案】C ．3．已知点)2,1,(x A ，)4,3,2(B ，且62||=BA ，则实数x 的值是（ ）A ．3-或4B ．6-或2C ．3或4-D ．6或2-【知识点】空间两点的距离公式． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵62)42()31()2(||222=-+-+-=x BA ，解得6=x 或2-=x ． 【思路点拨】熟练掌握空间两点的距离公式． 【答案】D ．4．已知向量)3,2,1(=a ，),2,(2y y x x b -+=，并且a ，b 同向，则x ，y 的值分别为 ． 【知识点】向量平行的坐标表示． 【数学思想】转化思想．【解题过程】由题意知b a //，∴32212yy x x =-+=，即⎩⎨⎧=-+=xy x x y 2232，解得⎩⎨⎧-=-=62y x ，或⎩⎨⎧==31y x ．当⎩⎨⎧-=-=62y x 时，a b 2)6,4,2(-=---=，向量a ，b 反向，故舍去．【思路点拨】将向量平行转化为坐标成比例，解出答案后还需验证．【答案】1=x ，3=y ．5．已知向量)1,3,2(--=a ，)4,0,2(=b ，)2,6,4(--=c ，下列结论正确的是（ ） A ．b a //，c a //B ．b a //，c a ⊥C ．b a ⊥，c a //D ．b a ⊥，c a ⊥【知识点】空间向量平行及垂直的坐标表示． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵b a ⋅0410)3(2)2(=⨯+⨯-+⨯-=，∴b a ⊥；∵216342=--=--，∴c a //．【思路点拨】利用空间向量平行及垂直的坐标表示，将几何关系转化为坐标关系．【答案】C ．6．已知)4,2,0(=AB ，)3,1,0(-=BC ，则ABC ∠= ． 【知识点】空间向量夹角的坐标公式． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵)4,2,0(=AB ，)3,1,0(-=BC ，∴101220=+-=⋅BC AB ，52420||222=++=AB ，103)1(0||222=+-+=BC ， ∴><BC AB ,cos BC AB =105210⨯=22=，∴4,π>=<BC AB ， ∴43,π>=<BC BA ，即43π=∠ABC ．【思路点拨】利用向量夹角的坐标公式进行计算，需特别注意所求角和向量夹角的关系．【答案】43π． 能力型 师生共研7．已知)sin ,1,(cos αα=a ，)cos ,1,(sin αα=b ，则向量b a +与b a -的夹角的大小为 ． 【知识点】空间向量数量积的坐标运算． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵b a +)cos sin ,2,sin (cos αααα++=，b a -)cos sin ,0,sin (cos αααα--=，∴⋅+)(b a )(b a -)cos )(sin cos (sin 02)sin )(cos sin (cos αααααααα-++⨯+-+=αααα2222cos sin 0sin cos -++-=0=，∴向量b a +与b a -的夹角的大小为 90． 【思路点拨】将夹角问题转化为用坐标求数量积．【答案】 90．8．已知空间中三点)2,0,2(-A ，)2,1,1(-B ，)4,0,3(-C ，设AB a =，AC b =． （1）若3||=c ，且BC c //，求c ； （2）求a 与b 夹角的余弦值； （3）若)3//()(b a b a k -+，求k 的值．【知识点】空间向量坐标表示的综合应用．【数学思想】转化思想． 【解题过程】（1）∵BC c //，∴BC m c =)2,,2()2,1,2(m m m m --=--=， 则3||3)2()()2(||222==+-+-=m m m m c ，∴1±=m ，即)2,1,2(--=c 或)2,1,2(-=c ；（2）∵)0,1,1(=a ，)2,0,1(-=b ，∴⋅a )2,0,1()0,1,1(-⋅=b 1-=，又2||=a ，5||=b ， ∴,cos ba b a >=<521⨯-=1010-=； （3）∵)2,,1(k k b a k -=+，)6,1,4(3-=-b a ，)3//()(b a b a k -+， ∴62141-==-k k ，∴31-=k ．【思路点拨】牢记空间向量各种运算和性质的坐标表示，再进行坐标的运算． 【答案】（1）)2,1,2(--或)2,1,2(-（2）1010-（3）31-． 探究型 多维突破9．已知空间中三点)3,2,0(A ，)6,1,2(-B ，)5,1,1(-C ．（1）求以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积；（2）若3||=a ，且a 分别与AB ，AC 垂直，求向量a 的坐标．【知识点】空间向量的运算，垂直的坐标表示．【数学思想】转化思想． 【解题过程】（1）由题中条件可知，AB )3,1,2(--=，AC )2,3,1(-=， ∴><AC AB ,cos ACAB =21=，则><AC AB ,sin 23=， 则以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积||||S AB AC =><AC AB ,sin 37=；（2）设),,(z y x a =，由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+--=++023*******z y x z y x z y x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧===111z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=111z y x ，则)1,1,1(=a 或)1,1,1(---=a ．【思路点拨】采用合理的向量公式，再转化成坐标进行运算． 【答案】（1）37；（2）)1,1,1(或)1,1,1(---．10．在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为正方形，⊥PD 底面ABCD ，DC PD =，E ，F 分别是AB ，PB 的中点．（1）求证：CD EF ⊥；（2）在平面PAD 内求一点G ，使⊥GF 平面PCB ．【知识点】用向量的坐标进行空间几何体中的证明及计算．【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】不妨设正方形ABCD 的边长为2，分别以DA ，DC ，DP 为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz ，则)0,0,0(D ，)0,0,2(A ，)0,2,2(B ，)0,2,0(C ，)0,1,2(E ，)1,1,1(F ，)2,0,0(P ，（1）)1,0,1(-=EF ，），02,0(=DC ．∵⋅EF 0=DC ，∴CD EF ⊥； （2）设点),0,(z x G ，则)1,1,1(---=z x FG ，由题意，要使⊥GF 平面PCB ，只需CB FG ⋅)1(2-=x 0=，CP FG ⋅)1(22-+=z 0=，解得1=x ，0=z ，故)0,0,1(G ，即G 为AD 中点．【思路点拨】通过建立空间直角坐标系，将几何性质转化为坐标运算，并由解方程组得到点G 的具体位置．【答案】见解题过程．自助餐1．已知向量)5,0,2(=a ，)1,1,1(--=b ，)2,2,1(-=c ，则=-+c b a 32（ ） A ．)3,5,2(- B ．)3,5,2( C ．)3,5,0(- D ．)3,5,2(-【知识点】空间向量线性运算的坐标表示．【数学思想】转化思想． 【解题过程】=-+c b a 32)1,1,1()10,0,4(--+)6,6,3(--=)3,5,2(．【思路点拨】空间向量线性运算就是将坐标独立地进行相应的运算．【答案】B ．2．已知)5,4,3(A ，)1,2,0(B ，)0,0,0(O ，若OC =C 的坐标是（ ） A ．)58,54,56(--- B ．)58,54,56(-- C ．)58,54,56(-- D ．)58,54,56( 【知识点】空间向量的坐标运算．【解题过程】)4,2,3(---=AB ，则OC ===---)4,2,3(52)58,54,56(---．【思路点拨】熟练掌握空间向量的坐标运算法则． 【答案】A ．3．已知向量)1,0,1(=a ，)1,1,2(--=b ，)0,1,3(=c ，则|2|c b a +-等于（ ）A ．103B ．102C ．10D ．5【知识点】空间向量的坐标运算，长度公式．【数学思想】转化思想． 【解题过程】∵c b a 2+-)0,3,9(=，∴|2|c b a +-103039222=++=【思路点拨】利用空间向量线性运算的坐标公式得到所求向量的坐标，再计算长度． 【答案】A ．4．直三棱柱111C B A ABC -中， 90=∠BCA ，M ，N 分别是11B A ，11C A 的中点，1CC CA BC ==，则BM 和AN 所成角的余弦值为（ ）A ．101B ．52C ．22D ．1030 【知识点】空间向量夹角的坐标公式求异面直线所成角．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】以1C 为原点，11A C ，11B C ，C C 1为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系xyz C -1，不妨设2=CA ，则)2,0,2(A ，)0,0,1(N ，)2,2,0(B ，)0,1,1(M ．∴)2,1,1(--=BM ，)2,0,1(--=AN ，3401=++-=⋅AN BM ，6211||222=++=BM ，5201||222=++=AN ，><AN BM ,cos ANBM =563⨯=1030=，即BM 和AN 所成角的余弦值为1030． 【思路点拨】通过建立空间直角坐标系，将异面直线所成角转化为向量夹角的坐标公式进行计算．【答案】D ．5．已知向量)1,sin ,(cos θθ=a ，)2,1,3(-=b ，则|2|b a -的最大值为 ．【知识点】空间向量的线性运算及长度公式的坐标表示．【解题过程】∵=-b a 2)0,1sin 2,3cos 2(+-θθ， ∴|2|b a -22)1sin 2()3cos 2(++-=θθθθcos 34sin 48-+=)3sin(88πθ-+=488=+≤，即|2|b a -的最大值为4．【思路点拨】熟练掌握空间向量的坐标运算，再使用辅助角公式求出最值．【答案】4．6．在正方体1111D C B A ABCD -中，E ，F ，G ，H 分别是1CC ，BC ，CD ，11C A 的中点．证明：（1）GE AB //1，EH AB ⊥1；（2）⊥G A 1平面EFD ．【知识点】用向量的坐标进行空间几何体中的证明．【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】以A 为原点，AB ，AD ，1AA 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系xyz A -，设正方体棱长为1则)0,0,0(A ，)0,0,1(B ，)0,1,1(C ，)0,1,0(D ，)1,0,0(1A ，)1,0,1(1B ，)1,1,1(1C ，)1,1,0(1D ，∴)21,1,1(E ，)0,21,1(F ，)0,1,21(G ，)1,21,21(H ． （1）)1,0,1(1=AB ，)21,0,21(=GE ，)21,21,21(--=EH ， ∵GE AB 21=，01=⋅EH AB ，∴GE AB //1，EH AB ⊥1；（2）∵)1,1,21(1-=G A ，)0,21,1(-=DF ，)21,0,1(=DE ，∴⋅G A 10=DF ，⋅G A 10=DE ， 即⊥G A 1DF ，⊥G A 1DE ，又DF DE D =，则⊥G A 1平面EFD ．【思路点拨】通过建立空间直角坐标系，将向量关系转化为坐标的运算．【答案】见解题过程．。
〖2021年整理〗《空间向量运算的坐标表示》参考优秀教案
空间向量运算的坐标表示 教案一、教学目标：1．掌握空间向量的夹角的概念，掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律，了解空间向量数量积的几何意义；2．掌握空间向量数量积的坐标形式，会用向量的方法解决有关垂直、夹角和距离问题。
二、教学重点：空间向量的夹角的概念，掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；教学难点：用向量的方法解决有关垂直、夹角和距离；三、教学方法：探究归纳，讲练结合；四、教学过程（一）、创设情景1、空间直角坐标系中的坐标；2、空间向量的直角坐标运算律；3、平面向量的数量积、夹角、模等概念。
（二）、探析新课数量积：（1）设b a ,是空间两个非零向量，我们把数量><b a b a ,cos ||||叫作向量b a ,的数量积，记作b a ⋅，即 b a ⋅＝><b a b a ,cos ||||（2）夹角： 定义：b a ,是空间两个非零向量，过空间任意一点O ，作b OB a OA ==,，则AOB ∠叫做向量a 与向量b 的夹角，记作><b a , 规定：π>≤≤<b a ,0 特别地，如果0,>=<b a ，那么a 与b 同向；如果π>=<b a ,，那么a 与b 反向；如果090,>=<b a ，那么a 与b 垂直，记作b a ⊥。
2cos ||||a b a b a b a ⋅⋅==⋅+ （3）运算律a b b a ⋅=⋅；)()(a b b a ⋅=⋅λλ；c a b a c b a ⋅+⋅=+⋅)(（4）模长公式：若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 则21||a a a a =⋅=+21||b b b b =⋅=+（5）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则2||(AB AB ==，,A B d = （6）00212121=++⇔=⋅⇔⊥z z y y x x b a b a（7）与非零向量a 同方向的单位向量为：}cos ,cos ,{cos },,{1γβα===z y x a a a a a a a 0（三）、知识运用 1、例1已知)3,1,3(A ，(1,0,5)B ，求：（1）线段AB 的中点坐标和长度； （2）到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 的坐标,,x y z 满足的条件解：（1）设M 是线段AB 的中点，则)23,3,2()(21=+=OB OA OM ．∴AB 的中点坐标是)23,3,2(， )3,4,2(-=AB29)3(4)2(||222=-++-=AB ． （2）∵ 点(,,)P x y z 到,A B 两点的距离相等，则222222)0()5()1()3()1()3(-+-+-=-+-+-z y x z y x ,化简得：07684=++-z y x ,所以，到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 的坐标,,x y z 满足的条件是07684=++-z y x ． 点评：到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 构成的集合就是线段AB 的中垂面，若将点P 的坐标,,x y z 满足的条件07684=++-z y x 的系数构成一个向量)6,8,4(-=a ，发现与)3,4,2(-=AB 共线。
《3.1.5 空间向量运算的坐标表示》教学案2
《3.1.5 空间向量运算的坐标表示》教学案2 【学情分析】：平面向量有座标表示，空间向量也有座标表示，在上一节中，单位正交分解就能够完成向量坐标向空间直角坐标系坐标的转化。
现在，通过本节的学习，我们可以将向量的地定性公式定量化，在解题特别是在解决立体几何问题的过程中，可以大大简化问题的难度。
【教学目标】：（1）知识与技能：能用坐标表示空间向量（2）过程与方法：由平面坐标运算类别空间坐标运算，掌握空间向量的坐标运算（3）情感态度与价值观：类比学习，注重类比，运用向量的运算解决问题，培养学生的开拓能力。
【教学重点】：空间向量的坐标运算【教学难点】：空间向量的坐标运算【课前准备】：课件【教学过程设计】：练习与测试： （基础题）1．已知向量b a b a 与则),2,1,1(),1,2,0(--==的夹角为（ ）A ．0°B ．45°C ．90°D ．180°2．已知(1,0,2),(6,21,2),a b λλμ=+=-r r //,a b λμr r若则与的值分别为（ ）A ．21,51 B ．5，2 C ．21,51-- D ．-5，-2（中等题）3.已知)3,1,3(A ，(1,0,5)B ，求： （1）线段AB 的中点坐标和长度；（2）到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 的坐标,,x y z 满足的条件解：（1）设M 是线段AB 的中点，则)23,3,2()(21=+=． ∴AB 的中点坐标是)23,3,2(，)3,4,2(-=AB29)3(4)2(||222=-++-=．（2）∵ 点(,,)P x y z 到,A B 两点的距离相等，则222222)0()5()1()3()1()3(-+-+-=-+-+-z y x z y x , 化简得：07684=++-z y x ,所以，到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 的坐标,,x y z 满足的条件是07684=++-z y x ．点评：到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 构成的集合就是线段AB 的中垂面，若将点P 的坐标,,x y z 满足的条件07684=++-z y x 的系数构成一个向量)6,8,4(-=，发现与)3,4,2(-=AB 共线。
空间向量运算坐标表示说课稿北师大版实用教案
空间向量运算坐标表示说课稿北师大版实用教案《空间向量运算的坐标表示》——讲课稿黑龙江省铁力市第一中学敬爱的各位评委、老师：大家好!李珊珊我是来自*********的数学教师，我叫李珊珊，很有幸能够参加此次的讲课活动，希望各位评委、老师对我的讲课内容提出可贵建议。
今日我讲课的题目是《空间向量运算的坐标表示》，这节课选自人民教育第一版社高二选修，节第一课时，下边我将从教材、教法、学法、教课过程及板书设计五个方面来介绍我对本节课的教课假想。
一、说教材.地位和作用纲领和课标要求掌握空间向量运算的坐标表示，而空间向量运算的坐标表示是在学生学习了空间向量几何形式和基本定理的基础长进一步学习的知识内容，是平面向量坐标运算及其研究方法在空间的推行和拓展，交流了代数与几何的关系，丰富了学生的认知构造。
为学生学习立体几何供给了新的视角、新的看法和新的方法，给学生的思想开发供给了更为广阔的空间。
为运用向量坐标运算解决高考取立体几何问题确定了知识和方法基础。
.教课目的知识与技术：会依据向量坐标，判断两个向量共线与垂直，掌握向量模长公式、两向量夹角公式、空间两点间距离公式，并会应用这些知识解决简单立体几何问题。
过程与方法：在学习本节内容过程中，要多与平面向量的知识、方法类比，进而降低在理解、学习中的难度，在类比中发现差别,防备类比迁徙中的错误。
感情态度与价值观：指引、组织学生踊跃参加到知识、方法的研究、建立的过程中，亲自经历并感悟、体验知识的魅力和学习的乐趣，形成踊跃、主动、勇于研究的个性质量和学致使用的创建精神。
.要点与难点教课要点：空间向量的坐标运算,夹角及距离公式。
教课难点：模长公式、夹角公式、两点间的距离公式及其运用。
二、说教法如何突出要点，打破难点，进而实现教课目的。
我在教课过程中将采纳了“类比”和“启迪研究”的教课方法，依据本课教材的特点和学生的实质状况在教课中要点突出以下两点：()由教材的特点确定类比思想为教课的主线。
2.3.3空间向量运算的坐标表示 教案(北师大版选修2-1)
3.3空间向量运算的坐标表示●三维目标1．知识与技能(1)掌握空间向量线性运算和数量积的坐标表示．(2)能够利用空间向量的坐标运算求空间向量的长度和夹角．2．过程与方法通过坐标运算提高学生的运算能力．3．情感、态度与价值观从平面向量运算的坐标表示到空间向量运算的坐标表示，培养学生的类比、迁移能力．●重点难点重点：空间向量运算的坐标表示及空间向量模与夹角的求法．难点：空间向量的坐标运算在解决简单的立体几何问题中的应用．通过提问让学生类比平面向量的坐标运算去定义空间向量的坐标运算，在获得运算法则后，引导学生比较二者的差异．在比较中，深化学生对空间向量坐标运算的认识．为了突破难点，可设置一组不同层次的问题，引导学生从简单的做起，在求解的过程中，让学生体会空间向量的数字运算方法和空间向量的坐标运算在解决立体几何中的应用．(教师用书独具)●教学建议本节课可采用“启发探究”教学方法，根据本课教材的特点和学生的实际情况在教学中重点突出以下两点：(1)由教材的特点确立类比思维为教学的主线．(2)由学生的特点确立自主探索式的学习方法．在教学中通过创设问题情境，启发引导学生运用科学的思维方法进行自主探索．将学生的独立思考、自主探究、交流讨论等探索活动贯穿于课堂教学的全过程，突出学生的主体地位．●教学流程回顾：平面向量的坐标运算―→类比：空间向量的坐标运算―→体验：空间向量运算的应用―→总结：升华对空间向量运算的认识1．在平面向量中，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b，a－b，λa，a·b分别等于什么？【提示】a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，a·b＝x1x2＋y1y2.2．空间向量的坐标比平面向量的坐标多了一个竖坐标，如何把平面向量运算的坐标表示类比到空间向量运算中？【提示】设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)，λa＝(λx1，λy1，λz1)(λ∈R)，a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.1．空间向量运算的坐标表示设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则：(1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)，即，空间两个向量和的坐标等于它们对应坐标的和．(2)a－b＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)，即，空间两个向量差的坐标等于它们对应坐标的差．(3)λa＝(λx1，λy1，λz1)(λ∈R)，即，实数与空间向量数乘的坐标等于实数与向量对应坐标的乘积．(4)设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.。
空间向量运算的坐标表示 精品教案
空间向量运算的坐标表示【教学目标】1．掌握空间右手直角坐标系的概念，会确定一些简单几何体（正方体、长方体）的顶点坐标； 2．掌握空间向量坐标运算的规律；3．会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直；4．会用中点坐标公式解决有关问题。
【教学重点】空间右手直角坐标系，向量的坐标运算。
【教学难点】空间向量的坐标的确定及运算。
【授课类型】新授课。
【课时安排】1课时。
【内容分析】本节有两个知识点：向量和点的直角坐标及向量的坐标运算、夹角和距离公式这一小节，我们在直角坐标系下，使空间一个向量对应一个三维数组，这样使向量运算更加方便在上一小节已学习向量运算的基础上，把向量运算完全坐标化，对学生已不会感到抽象和困难在第2个知识点中，我们给出空间解析几何两个最基本的公式：夹角和距离公式。
在这个知识点中，作为向量坐标计算的例题，还顺便证明了直线与平面垂直的“性质定理”通过解一些立体几何的应用题，就可为学生今后进一步学习空间解析几何、高维向量和矩阵打下基础。
要求学生理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算，掌握两点的距离公式掌握直线垂直于平面的性质定理。
【教学过程】：一、复习引入：1．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j作为基底任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得j y i x a +=把),(y x 叫做向量a的（直角）坐标，记作),(y x a =其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标， 特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0= 2．平面向量的坐标运算若),(11y x a = ，),(22y x b = ，则b a+),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ= 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x --=3．a ∥b (b≠)的充要条件是x1y2-x2y1=04平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11y x a = ，),(22y x b = ，试用a 和b 的坐标表示b a⋅设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么j y i x a 11+=，j y i x b 22+=所以))((2211j y i x j y i x b a++=⋅2211221221j y y j i y x j i y x i x x +⋅+⋅+=又1=⋅i i ，1=⋅j j ，0=⋅=⋅i j j i ，所以b a⋅2121y y x x +=这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
新人教版高中数学《空间向量基本定理及坐标表示(说课稿)》精品PPT课件
3.n 维欧式空间比较抽象，向量n维推广有没有必要？ 再深入研究有没有必要？
C
五、教学流程
（二）应用举例，加深理解
例 2. 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点
E1, F1 分别是 A1B1,C1D1 的一个四等分点，求直线
BE1 与DD1 zF1E所1 成角C的1 余弦值.
A1
F1
B1
设计意图：通过例2的教学，体
会空间直角坐标系的建立过程，感受
坐标法在求异面直线所成角中的优势
空间向量的正交分解及坐标表示
说课流程
教学过程
教 学 反 思
一、教材分析
教材地位与作用
平面向量基本定理及其坐标表示
承
上
空间向量正交分解及其坐标表示
启
下
立体几何中的向量方法
二、学情分析
平面向量基本定理
认 知 基 平面向量正交分解 础
平面向量坐标表示
最近 发展区
学
习 能
类比、归纳
教师指导
力
情
感
求知欲
六、教学反思
教学特色：
1.以类比解决问题作为教学的主线，学生在类比中 展开探索，体会知识获得过程和向量维度的推广过程
2.以学生已有认知作为教学起点，通过教师、学生、 多媒体多点辐射，带动所有学生的学习积极性与主动性.
六、教学反思
教学困惑： 1.空间向量正交分解与基本定理侧重于哪个？ 先特殊再一般还是先一般再特殊？
互
学习兴趣
动
参与思考
空间向量基本定理 空间向量正交分解 空间向量坐标表示
合作探究
交流意识
三、教学目标
《空间向量运算的坐标表示》说课稿
《空间向量运算的坐标表示》——说课稿各位评委、老师：大家好！今天我说课的内容是《空间向量运算的坐标表示》的第一课时，我将从教材分析、教学目标、学生情况、教法学法分析、教学过程、教学效果及反思六个方面来介绍:一、教材分析（一)地位和作用本节课内容选自人教数学选修2—1第三章，这节课是在学生学习了空间向量几何形式及其运算、空间向量基本定理的基础上进一步学习的知识内容，是在学生已经学过的二维的平面直角坐标系的基础上的推广,是《空间向量运算的坐标表示》的第一课时，是以后学习“立体几何中的向量方法"等内容的基础.它将数与形紧密地结合起来.这节课学完后，如把几何体放入空间直角坐标系中来研究，几何体上的点就有了坐标表示，一些题目如两点间距离、异面直线成的角等就可借助于空间向量来解答，所以，这节课对于沟通高中各部分知识，完善学生的认知结构,起到了很重要的作用。
(二)目标的确定及分析根据新课标和我对教材的理解,结合学生实际水平，从知识与技能；过程和方法；情感态度价值观三个层面出发，我将本课的目标定位以下三个：(1）知识与技能：通过与平面向量类比学习并掌握空间向量加法、减法、数乘、数量积运算的坐标表示以及向量的长度、夹角公式的坐标表示,并能初步应用这些知识解决简单的立体几何问题.（2）过程与方法：①通过将空间向量运算与熟悉的平面向量的运算进行类比，使学生掌握空间向量运算的坐标表示，渗透类比的数学方法;②会用空间向量运算的坐标表示解决简单的立体几何问题，体会向量方法在研究空间图形中的作用，培养学生的空间想象能力和几何直观能力.(3)情感态度价值观：通过提问、讨论、合作、探究等主动参与教学的活动,培养学生主人翁意识、集体主义精神。
（三）重难点的确定及分析本节课的重点是：空间向量运算的坐标表示,应用向量法求两条异面直线所成角及线线垂直问题.本课的难点是：建立恰当的空间直角坐标系，正确求出点的坐标及向量的坐标，把空间向量运算的坐标公式运用到立体几何问题中。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《空间向量运算的坐标表示》——说课稿各位评委、老师：大家好！今天我说课的内容是《空间向量运算的坐标表示》的第一课时，我将从教材分析、教学目标、学生情况、教法学法分析、教学过程、教学效果及反思六个方面来介绍：一、教材分析（一）地位和作用本节课内容选自人教数学选修2-1第三章，这节课是在学生学习了空间向量几何形式及其运算、空间向量基本定理的基础上进一步学习的知识内容，是在学生已经学过的二维的平面直角坐标系的基础上的推广，是《空间向量运算的坐标表示》的第一课时，是以后学习“立体几何中的向量方法”等内容的基础。
它将数与形紧密地结合起来。
这节课学完后，如把几何体放入空间直角坐标系中来研究，几何体上的点就有了坐标表示，一些题目如两点间距离、异面直线成的角等就可借助于空间向量来解答，所以，这节课对于沟通高中各部分知识，完善学生的认知结构，起到了很重要的作用。
（二）目标的确定及分析根据新课标和我对教材的理解，结合学生实际水平，从知识与技能；过程和方法；情感态度价值观三个层面出发，我将本课的目标定位以下三个：（1）知识与技能：通过与平面向量类比学习并掌握空间向量加法、减法、数乘、数量积运算的坐标表示以及向量的长度、夹角公式的坐标表示，并能初步应用这些知识解决简单的立体几何问题。
（2）过程与方法：①通过将空间向量运算与熟悉的平面向量的运算进行类比，使学生掌握空间向量运算的坐标表示，渗透类比的数学方法；②会用空间向量运算的坐标表示解决简单的立体几何问题，体会向量方法在研究空间图形中的作用，培养学生的空间想象能力和几何直观能力。
（3）情感态度价值观：通过提问、讨论、合作、探究等主动参与教学的活动，培养学生主人翁意识、集体主义精神。
（三）重难点的确定及分析本节课的重点是：空间向量运算的坐标表示，应用向量法求两条异面直线所成角及线线垂直问题。
本课的难点是：建立恰当的空间直角坐标系，正确求出点的坐标及向量的坐标，把空间向量运算的坐标公式运用到立体几何问题中。
二、学生情况本课的学习对象高二学生，他们已经掌握了平面向量坐标运算及规律，并学会了空间向量的几何形式及其运算、空间向量基本定理，有了一些基础，本节内容学生应该容易接受，但真正要用空间向量运算的坐标表示去解决具体的立体几何问题还有些难度。
三、教法和学法分析 根据教材的特点和学生的实际情况，本节课采用“启发探究”式的教学方法： 从教材内容来看，空间向量的坐标运算无论是结构还是内容都与平面向量相似，因此在教学中运用类比作为思维的主线进行教学，从空间向量的坐标运算问题提出到空间直角坐标系的建立，从向量坐标的确定到向量坐标运算规律的探索、证明和记忆都与平面向量作类比，让学生经历向量坐标运算由平面向量向空间向量的推广的全过程，充分体会数学知识的发生和发展过程。
从学生的特点确立引导——探索结合的学习方法。
考虑到我教的学生基础还是比较薄弱，如果放手学生自主探索，学生会无从下手，采用教师引导学生探索，引导学生思考，这样既可以避免学生无从下手，又可以让学生积极思考。
把引导探索、交流探讨等活动贯穿于课堂教学的全过程，突出学生的主体地位。
遵循“学为主体”的教育思想，做到学与练紧密结合。
本课运用多媒体展示，三角板直观教具的演示，课堂讨论，合作学习等形式，通过比较分析、实践让学生能更好地理解空间向量运算的坐标表示，并能运用其去解决简单的立体几何问题。
四、教学过程（一）、复习引入：平面向量的坐标运算：设12121122(,),(,),(,),(,)a a a b b b A x y B x y ==，则(1)1122(,)a b a b a b +=++ 1122(,)a b a b a b -=--12(,)()a a a R λλλλ=∈ 1122a b a b a b ⋅=+(2)//(0)a b b a b λ≠⇔=即1122,a b a b λλ==a b ⊥⇔ 0a b ⋅=⇔11220a b a b += (3) 21||a a a =+ 2121(,)AB OB OA x x y y =-=--||(AB d AB x == 21cos ,||||a b a b a b a ⋅==+（注意：,[0,]a b π∈） 师生活动[教师]提出问题。
[学生]思考、并回答。
[教师]在学生回答的基础上补充、总结，并利用多媒体展示设计意图复习平面向量运算坐标表示，为本节课奠定基础。
（二）、新授：空间向量运算的坐标表示：设123123111222(,,),(,,),(,,),(,,)a a a a b b b b A x y z B x y z ==，则(1)112233(,,)a b a b a b a b +=+++ 112233(,,)a b a b a b a b -=---123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈ 122233a b a b a b a b ⋅=++问题：上述法则怎样证明呢？以b a ⋅为例进行证明（将k a j a i a a 321++=和k b j b i b b 321++=代入即可）(2)//(0)a b a b b λ⇔=≠即112233,,a b a b a b λλλ===a b ⊥⇔ 0a b ⋅=⇔1122330a b a b a b ++=(3) 21||a a a =+ 212121(,,)AB OB OA x x y y z z =-=--- 21||()AB d AB x x ==-+21cos ,||||a b a b a b a ⋅==+,[0,]a b π∈） 师生活动[教师]提出问题：你能由平面向量的坐标运算类比得到空间向量的坐标运算吗？它们是否成立？为什么？ [学生]思考、看课本，并尝试回答。
[教师]多媒体展示并讲授，板演推导过程，强调成立条件。
设计意图 培养学生自学能力和类比的方法。
（三）应用举例 例1．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点11,E F 分别是1111,A B C D 的一个四等分点，求直线1BE 与1DF 所成角的余弦值。
师生活动[教师]提出问题：如何运用空间向量运算坐标公式解决问题[学生]交流、讨论、思考，并尝试找出办法。
[教师]分析：选择适当的坐标系后，建系求点坐标，向量坐标，根据夹角公式求出两异面直线上的对应向量夹角的余弦值，从而得到异面直线所成角的余弦值。
多媒体展示并讲授。
解：不妨设正方体的棱长为1，分别以DA ,DC ,1DD 为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz ，)1,41,0(),0,0,0(),1,43,1(),0,1,1(11F D E B )1,41,0()0,1,1()1,43,1(1-=-=∴BE )1,41,0()0,0,0()1,41,0(1=-=DF 161511)4141(0011=⨯+⨯-+⨯=⋅DF BE 4171=BE 4171=DF 17154174171615,111111=⋅=⋅⋅>=<DF BE DF BE DF BE COS 因此，直线1BE 与1DF 所成角的余弦值是1715.设计意图培养学生思考问题和解决问题的能力。
师生活动[教师]提出问题：异面直线上对应向量的夹角与异面直线所成角相等吗？为什么？有何关系？[学生]交流、讨论、思考，尝试作答。
[教师]结论：不一定相等，可能相等或互补。
则111111,cos DF BE DF BE DF BE COS ⋅⋅=><=θ[教师]利用空间向量坐标运算解决简单立体几何问题的一般步骤都有哪些？[学生]共同讨论，总结[教师]利用空间向量坐标运算解决简单立体几何问题的一般步骤：（1）建立适当的空间直角坐标系，并求出相关点的坐标.（建系求点）（2）将空间图形中的元素关系转化为向量关系表示.（构造向量并坐标化）（3）经过向量运算确定几何关系，解决几何问题.（向量运算、几何结论） 设计意图通过问题，引导学生体会解题思路的形成过程并能养成思考的习惯。
例2如右图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点E ，F分别是BB 1，D 1B 1的中点，求证EF DA 1。
师生活动[教师]让学生读题并提出思考：如何将所求证问题转化为向量问题处理？[学生]进一步思考并回答。
[教师]引导学生根据正方形的特殊性，写出相关点及向量的坐标，套用向量运算坐标公式解决此问题。
[学生]根据思路完成该题。
证明：如图，不妨设正方体的棱长为1，分别以DA ，DC ，1DD 为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz ，则E （1,1，21），F （21，21，1），所以)21,21,21(EF --=。
又A 1（1,0,1），D （0,0,0），所以DA 1（1,0,1），所以0)1,0,1(212121DA EF 1=⋅--=⋅），，（ 因此EF 1DA ，即EF DA 1.[教师]评价总结：应用空间向量的坐标运算解决立体几何问题，可使复杂线面关系的论证变得程序化，简单化。
设计意图提高学生应用所学知识解决实际问题的能力。
（四）课堂练习：如图，已知正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AB的中点，求1DB 与CM 所成的角的余弦值。
师生活动[教师]将题目用多媒体投影，布置学生练习。
[学生]通过立体的学习，尽量独立完成。
[教师]在学生完成后，在多媒体上演示解题过程，让学生对比自己的解题过程。
解：设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系Oxyz ，)0,21,1(),0,1,0(),1,1,1(),0,0,0(1M C B D )1,1,1()0,0,0()1,1,1(1=-=∴DB )0,21,1()0,1,0()0,21,1(-=-=CM31=DB 25=CM2101)21(1111=⨯+-⨯+⨯=⋅DB151525321,1=⋅=>=<CMDB DB COS 因此，直线1DB 与CM 所成的角的余弦值是1515。
设计意图让学生及时巩固所学方法，培养学生独立分析解决问题的能力。
（五）课堂小结1.知识:（1）空间向量运算的坐标表示；（2）利用空间向量运算坐标表示解决简单的立体几何问题。
2.方法:（1）类比（2）数形结合师生活动学生总结，老师补充设计意图培养学生总结的习惯，巩固所学（六）布置作业教材第97页 练习题2、3五、板书设计六、教学效果设计及反思本节课从教材内容考虑，通过学习我们要达到两个要求：一、掌握空间向量运算的坐标表示；二、会用空间向量运算的坐标表示解决简单的立体几何问题。
由于空间向量的坐标运算无论是结构还是内容都与平面向量相似，用类比的方法探究学习空间向量运算坐标公式，学生接受起来很容易，甚至通过互相讨论就可以得到运算公式。