2011年福建省高考数学理科60天冲刺知识点(2)
福建高考数学(理)60天冲刺训练(2)
2011福建高考数学（理）60天冲刺训练（2）班级______ 姓名_________ 学号_______ 得分_______1．已知集合{}{}|1,|21x M x x N x =<=>，则M N = .2．已知数集{}x lg 10，，中有三个元素，那么x 的取值范围为 ． 3.已知集合{}},12,3,1{,,32--==m B m A 若B A ⊆，则实数m 的值为 . 4．i 是虚数单位，若17(,)2i a bi a b R i+=+∈-，则b a +的值是___ ．5. 函数y =的递增区间为 .6．幂函数()y f x =的图象经过点1(2,)8--，则满足()f x ＝27的x 的值是 ． 7. 函数log (3)x y x =-的定义域为 .8．下列四个命题：①2n n n ∀∈R ，≥； ②2n n n ∀∈<R ，； ③2n m m n ∀∈∃∈<R R ，，； ④n m m n m ∃∈∀∈⋅=R R ，，．其中真命题的序号是___ ．9. 若函数21322y x x =-+的定义域和值域都为[1,]b ,则b 的值为 . 10. 设方程=+-∈=+k k k x x x x 则整数若的根为),21,21(,4200 . 11. 某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km （不超过3km 按起步价付费）；超过3km 但不超过8km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元；现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了_____km. 12. 1.0lg 10lg 5lg 2lg 125lg 8lg ⋅--+= .13．已知下列两个命题：p ：[0,)x ∀∈+∞，不等式1ax 恒成立；q ：1是关于x 的不等式0)1)((≤---a x a x 的一个解．若两个命题中有且只有一个是真命题，则实数a 的取值范围是___ ．14. 如果函数()f x 满足2()()2,2,f n f n n =+≥且(2)1,f =那么(256)f = .参考答案：1．解：{}|21x N x =>即为{}|0N x x =>，∴M N ={}|01x x <<.答案：{}|01x x <<. 2．解：由集合中元素的确定性、互异性知0,lg 0,lg 1,x x x >⎧⎪≠⎨⎪≠⎩解得x 的取值范围为()），（），（，∞+1010110 ． 答案：()），（），（，∞+1010110 ． 3.解：∵B A ⊆，∴A 中元素都是B 的元素，即221m m =-，解得1m =． 答案：1．4．25. 解：由2320x x --≥结合二次函数图像得31x -≤≤,观察图像知道增区间为[3,1].-- 答案：[3,1]--．6．解：设幂函数()a f x x =，则1(2)8a -=-，得3a =-；∴3()f x x -=；故满足()f x ＝27即327x -=，解得x 的值是13. 答案：13． 7. 解：由300(0,1)(1,3).1x x x ->⎧⎪>⋃⎨⎪≠⎩得 答案：(0,1)(1,3)⋃.8．④9. 解：由二次函数图象知:21322b b b -+=,得13,b b ==或又因为1,b >所以 3.b = 答案：3．10. 解：设122,4,x y y x ==-结合图象分析知,仅有一个根013(,)22x ∈，故1k =. 答案：1．11. 解：出租车行驶不超过3km ，付费9元；出租车行驶8km ，付费9+2.15(83)-=19.75元；现某人乘坐一次出租车付费22.6元，故出租车行驶里程超过8km ，且22.619.75 2.85-=，所以此次出租车行驶了8+1=9 km..答案：9．12.3lg 23lg5lg 2lg52(lg 2lg5)411lg10(lg10)22+--+===-⋅--. 答案：－4.13．),1()41,0[+∞⋃14. 解：22(256)(16)(16)2(4)2f f f f ==+=+=2(4)4(2)4f f +=+=(2)6f + 167.=+=答案：7.。
2011高考数学总复习-高考生必读必会
2011高考数学总复习-高考生必读必会D234复习目标:1．掌握分类讨论必须遵循的原则 2．能够合理，正确地求解有关问题 命题分析:分类讨论是一种重要的逻辑方法，也是一种常用的数学方法，这可以培养学生思维的条理性和概括性，以及认识问题的全面性和深刻性，提高学生分析问题，解决问题的能力.因此分类讨论是历年数学高考的重点与热点.而且也是高考的一个难点.这次的一模考试中，尤其是西城与海淀都设置了解答题来考察学生对分类讨论问题的掌握情况.重点题型分析:例1．解关于x 的不等式:)()(232R a x a a a x ∈+<+解:原不等式可分解因式为:(x-a)(x-a 2)<0 （下面按两个根的大小关系分类）（1）当a>a 2⇒a 2-a<0即 0<a<1时，不等式的解为 x ∈(a 2, a).（2）当a<a 2⇒a 2-a>0即a<0或a>1时，不等式的解为:x ∈(a, a 2)（3）当a=a 2⇒a 2-a=0 即 a=0或 a=1时，不等式为x 2<0或(x-1)2<0不等式的解为 x ∈∅.5综上，当 0<a<1时，x ∈(a 2, a)当a<0或a>1时，x ∈(a,a 2) 当a=0或a=1时，x ∈∅. 评述:抓住分类的转折点，此题分解因式后，之所以不能马上写出解集，主要是不知两根谁大谁小，那么就按两个根之间的大小关系来分类.例2．解关于x 的不等式 ax 2+2ax+1>0(a ∈R) 解:此题应按a 是否为0来分类.（1）当a=0时，不等式为1>0, 解集为R. （2）a ≠0时分为a>0 与a<0两类①10)1(0044002>⇒⎩⎨⎧>->⇒⎪⎩⎪⎨⎧>->⇒⎩⎨⎧>>a a a a a a a a ∆时，方程ax 2+2ax+1=0有两根aa a aaaa a a a a x )1(12442222,1-±-=-±-=-±-=. 则原不等式的解为),)1(1())1(1,(+∞-+-----∞aa a aa a . ②101000440002<<⇒⎩⎨⎧<<>⇒⎪⎩⎪⎨⎧<->⇒⎩⎨⎧<>a a a a a a a ∆时，方程ax 2+2ax+1=0没有实根，此时为开口向上的抛物线，则不等式的解为（-∞，+∞）.③ 11000440002=⇒⎩⎨⎧==>⇒⎪⎩⎪⎨⎧=->⇒⎩⎨⎧=>a a a a a a a a 或∆时， 方程ax 2+2ax+1=0只有一根为x=-1，则原不等式的解为(-∞,-1)∪(-1,+∞).6④01000440002<⇒⎩⎨⎧><<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-<⇒⎩⎨⎧><a a a a a a a a 或∆时，方程ax 2+2ax+1=0有两根，aa a aa a a x )1(12)1(22,1-±-=-±-=此时，抛物线的开口向下的抛物线，故原不等式的解为:))1(1,)1(1(a a a a a a ----+-.⑤φ∈⇒⎩⎨⎧≤≤<⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-<⇒⎩⎨⎧≤<a a a a a a a 1000440002∆综上:当0≤a<1时，解集为（-∞，+∞）. 当a>1时，解集为),)1(1())1(1,(+∞-+-----∞aa a a a a . 当a=1时，解集为(-∞,-1)∪(-1,+∞).当a<0时，解集为))1(1,)1(1(a a a a a a ----+-. 例3．解关于x 的不等式ax 2-2≥2x-ax(a ∈R)(西城2003’一模 理科）解:原不等式可化为⇔ ax 2+(a-2)x-2≥0, (1)a=0时，x ≤-1，即x ∈(-∞,-1]. (2)a ≠0时，不等式即为(ax-2)(x+1)≥0.① a>0时， 不等式化为0)1)(2(≥+-x a x ，当⎪⎩⎪⎨⎧->>12aa ，即a>0时，不等式解为),2[]1,(+∞--∞a .7当⎪⎩⎪⎨⎧-≤>120aa ，此时a 不存在.② a<0时，不等式化为0)1)(2(≤+-x a x ，当⎪⎩⎪⎨⎧-<<12a a ，即-2<a<0时，不等式解为]1,2[-a 当⎪⎩⎪⎨⎧-><120a a ，即a<-2时，不等式解为]2,1[a -.当⎪⎩⎪⎨⎧-=<120aa ，即a=-2时，不等式解为x=-1.综上:a=0时，x ∈(-∞,-1).a>0时，x ∈),2[]1,(+∞--∞a .-2<a<0时，x ∈]1,2[-a .a<-2时，x ∈]2,1[a -.a=-2时，x ∈{x|x=-1}.评述:通过上面三个例题的分析与解答，可以概括出分类讨论问题的基本原则为:10:能不分则不分； 20:若不分则无法确定任何一个结果； 30:若分的话，则按谁碍事就分谁.例4．已知函数f(x)=cos 2x+asinx-a 2+2a+5.有最大值2，求实数a 的取值.8解:f(x)=1-sin 2x+asinx-a 2+2a+5.6243)2(sin 22++---=a a a x令sinx=t, t ∈[-1,1].则6243)2()(22++---=a a a t t f (t ∈[-1,1]). (1)当12>a 即a>2时，t=1，2533max=++-=a a y解方程得:22132213-=+=a a 或（舍）.(2)当121≤≤-a 时，即-2≤a ≤2时，2a t =,262432max=++-=a a y,解方程为:34-=a 或a=4（舍）. (3)当12-<a 即a<-2时， t=-1时，y max=-a 2+a+5=2 即 a 2-a-3=0 ∴ 2131±=a , ∵ a<-2, ∴2131±-=a 全都舍去.综上，当342213-=+=a a 或时，能使函数f(x)的最大值为2.例5．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 是其前n 项和，证明:15.025.05.0log 2log log ++>+n n n S S S .证明:（1）当q=1时，S n =na 1从而 0)1()2(2121211212<-=+-+⋅=-⋅++a a n a n na S S S n n n（2）当q ≠1时，qq a S nn--=1)1(1， 从而9.0)1()1()1)(1(2122121221212<-=-----=-⋅++++n n n n n n n q a q q a q q a S S S由（1）（2）得:212++<⋅n n nS S S .∵ 函数xy 5.0log =为单调递减函数.∴ 15.025.05.0log 2log log ++>+n n n S SS . 例6．设一双曲线的两条渐近线方程为2x-y+1=0, 2x+y-5=0，求此双曲线的离心率.分析:由双曲线的渐近线方程，不能确定其焦点位置，所以应分两种情况求解.解:（1）当双曲线的焦点在直线y=3时，双曲线的方程可改为1)3()1(222=---by a x ，一条渐近线的斜率为2=ab， ∴ b=2.∴555222==+==a a a b a c e .（2）当双曲线的焦点在直线x=1时，仿（1）知双曲线的一条渐近线的斜率为2=b a，此时25=e . 综上（1）（2）可知，双曲线的离心率等于255或. 评述:例5，例6，的分类讨论是由公式的限制条件与图形的不确定性所引起的，而例1-4是对于含有参数的问题而对参数的允许值进行的全面讨论.例7．解关于x 的不等式 1512)1(<+--x x a . 解:原不等式 012)1(55<⇔+--x x a100)]2()1)[(2(022)1(012)1(<----⇔<--+-⇔<+--⇔a x a x x a x a x x a⎪⎩⎪⎨⎧>----<-⎪⎩⎪⎨⎧<---->-⎩⎨⎧<--=-⇔0)12)(2(01)3(0)12)(2(01)2(0)21)(2(01)1(a ax x a a a x x a x a 或或由(1) a=1时，x-2>0, 即 x ∈(2,+∞). 由(2)a<1时，012>--a a，下面分为三种情况. ①⎩⎨⎧<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>--<012121a a a a a 即a<1时，解为)12,2(aa--. ②0012121=⇒⎩⎨⎧=<⇒⎪⎩⎪⎨⎧=--<a a a aaa 时，解为∅.③ ⎪⎩⎪⎨⎧<--<2121aa a ⇒ ⎩⎨⎧><01a a 即0<a<1时，原不等式解为:)2,12(aa --.由（3）a>1时，aa --12的符号不确定，也分为3种情况.①⎩⎨⎧≤>⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥-->012121a a a aa ⇒ a 不存在.②⇒⎩⎨⎧>>⇒⎪⎩⎪⎨⎧<-->012121a a aa a 当a>1时，原不等式的解为:),2()12,(+∞---∞ aa. 综上:a=1时，x ∈(2,+∞).a<1时，x ∈)12,2(a a-- a=0时，x ∈∅.0<a<1时，x ∈)2,12(aa-- a>1时，x ∈),2()12,(+∞---∞ aa . 评述:对于分类讨论的解题程序可大致分为以下几个步骤:10:明确讨论的对象，确定对象的全体； 20:确定分类标准，正确分类，不重不漏； 30:逐步进行讨论，获得结段性结记； 40:归纳总结，综合结记. 课后练习:1．解不等式2)385(log 2>+-x x x2．解不等式1|)3(log ||log |3121≤-+x x3．已知关于x 的不等式052<--ax ax 的解集为M. （1）当a=4时，求集合M:（2）若3∈M ，求实数a 的取值范围.4．在x0y 平面上给定曲线y 2=2x, 设点A 坐标为(a,0), a ∈R ，求曲线上点到点A 距离的最小值d ，并写成d=f(a)的函数表达式.参考答案:1. ），（），（∞+235321 2.]4943[， 3. (1) M 为），（），（2452 ∞- (2)),9()35,(+∞-∞∈ a 4. ⎪⎩⎪⎨⎧<≥-==时当时当1||112)(a a a a a f d .2006年高三数学第三轮总复习函数押题针对训练复习重点：函数问题专题，主要帮助学生整理函数基本知识，解决函数问题的基本方法体系，函数问题中的易错点，并提高学生灵活解决综合函数问题的能力。
2011福建省高考数学(理)60天冲刺训练(8)
2011福建高考数学（理）60天冲刺训练（8）班级______ 姓名_________ 学号_______ 得分_______一、填空题（每题5分，共70分）1．设集合A={1，2，3，4}，B={0，1，2，4，5}，全集U=A ∪B ，则集合∁U （A ∩B ）中的元素共有 ____________ 个.2 已知(,0)2x π∈-，4cos 5x =，则=x 2tan ________________.3 在△ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则△ABC 为________________三角形.4．化简)31()3)((656131212132b a b a b a ÷-的结果是________________.5 0000tan 20tan 4020tan 40+=________________.6 函数f x x x x ()cos sin cos =-223的最小正周期是________________.7 已知sincos22θθ+=那么sin θ的值为 ,cos 2θ的值为8 已知cos 23θ=44sin cos θθ+的值为________________. 9 若2009tan 1tan 1-=-+αα则1tan 2cos 2αα+=________________.10 设00sin14cos14a =+，00sin16cos16b =+，2c =，则,,a b c 大小关系________________.11.若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥ ，则向量a 与b 的夹角为________________.12 ABC ∆的三个内角为A 、B 、C ，当A 为 时，cos 2cos2B CA ++取得最大值，且这个最大值为________________.13．已知定义在R 上的奇函数)(x f 的图象关于直线1=x 对称，1)1(=-f ，则++)2()1(f f )2009()3(f f ++ 的值为________________.14．函数x x x f 2)(2-=，∈x ],1[m -图象上的最高点为A ，最低点为B ，A 、B 两点之间的距离是52，则实数m 的取值范围是________________.二、解答题（共90分，写出详细的解题步骤）15.如图A 、B 是单位圆O 上的点，C 是圆O 与x 轴正半轴的交点，点A 的坐标为)54,53(，三角形AOB 为直角三角形．（1）求COA ∠sin ，COA ∠cos ； （2）求线段BC 的长．16．已知幂函数3()p y x p N -+=∈的图象关于y 轴对称，且在),0(+∞上是减函数，求满足33(1)32)p p a a +-<(的a 的取值范围．17．某商店经销一种奥运纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a 元（a 为常数，4＜a ≤5）的税收．设每件产品的日售价为x 元(35≤x ≤41)，根据市场调查，日销售量与xe (e 为自然对数的底数)成反比例．已知每件产品的日售价为40元时，日销售量为10件．（1）求该商店的日利润L （x ）元与每件产品的日售价x 元的函数关系式；（2）当每件产品的日售价为多少元时，该商品的日利润L （x ）最大，并求出L （x ）的最大值．18．如图，点A 、B 、C 都在幂函数12y x =的图像上，它们的横坐标分别是a 、a+1、a+2 又A 、B 、C 在x 轴上的射影分别是A ′、B ′、C ′,记△AB ′C 的面积为f(a)，△A ′BC ′的面积为g(a)(1)求函数f(a)和g(a)的表达式；(2)比较f(a)与g(a)的大小，并证明你的结论19．(1) 设函数)(21)(R x x x g ∈-=，且数列}{n c 满足1c = 1，)(1-=n n c g c (n ∈N ，1>n )；求数列}{n c 的通项公式．(2)设等差数列}{n a 、}{n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且827643b b a b b a +++ 2=，721++=n An T S n n ， 62=S ；求常数A 的值及}{n a 的通项公式． (3)若⎪⎩⎪⎨⎧=)()(为正偶数为正奇数n c n a d n n n ，其中n a 、n c 即为(1)、(2)中的数列}{n a 、}{n c 的第n 项，试求n d d d +++ 21．20．已知函数22)(,ln )(-==x x g x x f ．（1）试判断2()(1)()()F x x f x g x =+-在),1[+∞上的单调性； （2）当0a b <<时，求证函数))((b x a x f ≤≤的值域的长度大于22)(2ba ab a +-（闭区间[m ，n ]的长度定义为n －m ）．参考答案：1、3 ；2、724-； 3、钝角三角形 ； 4、a 9-；5 6、π； 7、17,39； 8、1811； 9、-2009；10、a c b <<； 11、120°； 12、0360,213、1-14、31≤≤m15、解：(1) ∵A 点的坐标为)54,53(，根据三角函数定义可知53=x ，54=y ，1=r ；（２分） ∴54sin ==∠r y COA ，53cos ==∠r x COA ． （6分）(2) ∵三角形AOB 为直角三角形， ∴090=∠AOB ，又由（1）知54sin =∠COA ，53cos =∠COA ； ∴54sin )90cos(cos -=∠-=+∠=∠COA COA COB， （10分） ∴在BOC ∆中，518)54(2112222=-⨯-+=∠⋅⋅-+=BOC COS OB OC OB OC BC ，∴5103=BC ． （14分）16、解：由幂函数3()p y x p N -+=∈在),0(+∞上是减函数，得30p -<，即3p <； 又幂函数3()p y x p N -+=∈的图象关于y 轴对称，∴3p -为偶数，∴正整数p=1. 所以不等式33(1)32)pp a a +-<(即为1133(1)32)a a +<-（；又因为103>， 所以132a a +<-，解得23a <；故a 的取值范围是)32,(-∞．17、解：（1）设日销售量为4040,10,10,.x k k k e e e =∴=40x 10e 则则日售量为件e（3分）则日利润40401030()(30)10x xe x a L x x a e e e --=--=． （6分） （2）'4031()10xa x L x e e +-=， （8分）∵4＜a ≤5时，∴35≤a +31≤36，'()0,31,L x x a ==+令得易知L （x ）在[35，a +31]上为增函数，在[a +31，41]上为减函数； （10分）∴当=x a +31时，L （x ）取最大值为910ae -． （12分）答：（1）所求函数关系式为xea x e x L --=3010)(40； （2）当每件产品的日售价为a +31元时，该商品的日利润L （x ）最大，且L （x ）的最大值为910a e -． （14分）18、解：(1)连结AA ′、BB ′、CC ′，则()AB C AA B CC B f a S S S S '''''''∆∆∆==--梯形AA C C 111)2222AA CC AA CC ''''=+⨯--（ 1)2AA CC ''=+（=21(2++a a ),g(a)=S △A ′BC ′=21A ′C ′·B ′B=B ′1(2)()()2f a g a -=12=-102=<， ∴f(a)<g(a)19、解：(1) 由题意：)1(211-=-n n c c ，变形得：)1(2111+=+-n n c c ， （1分） ∴数列}1{+n c 是以21为公比，211=+c 为首项的等比数列. （3分） ∴1)21(21-⋅=+n n c ，即1)21(2-=-n n c ． （5分）(2) ∵由等差数列}{n a 、}{n b 知：573582642,2a a a b b b b b =+=+=+；∴由52827643=+++b b a b b a 得：5255=b a ， （6分）∴52929255919199==⨯+⨯+=b a b b a a T S ，∵721++=n An T S n n ，∴5279219=+⨯+A ，解得1=A ； （8分）∴)72()1(721++=++=n n n n n n T S n n ，n S 和n T 分别是等差数列}{n a 、}{n b 的前n 项和； ∴可设)72()1(+=+=n kn T n kn S n n ，； ∵62=S ， ∴1=k ，即n n S n +=2.（10分）当1=n 时，211==S a ，当n ≥2时，n n n n n S S a n n n 2)]1()1[(221=-+--+=-=-. 综上得：n a n 2=. （12分） (3)当12+=k n (∈k N *)时，)()(242123121k k n c c c a a a d d d +++++++=++++])21(1[3422])41(1[34)1(2122--+++=--++=n k n n k k（14分）当k n 2= (∈k N *)时，)()(242123121k k n c c c a a a d d d +++++++=+++-])21(1[342])41(1[34222n k n n k k -+-=--+=． （16分）20、解：（1）∵22()(1)()()(1)ln (22)F x x f x g x x x x =+-=+--， （1分）∴xx x x x x x x x F 22)1(ln 221)1(ln 2)(-+=-⋅++='， （3分）∴1>x 时0)(>'x F ，1=x 时0)(='x F ；∴函数)(x F 在),1[+∞上为增函数． （5分） （2）由（1）知1,()(1),(1)0,()0x F x F F F x >>=∴>当时又； （7分）即0)22(ln )1(2>--+x x x ， ∴122ln 2+->x x x （﹡） （9分）令a b x =， ∵0a b <<， ∴1>ab， （11分）∴由（﹡）式得1)(22ln 2+-⋅>ab a b ab ，即为22222ln ln b a a ab a b +->-； （13分）∵函数)(ln )(b x a x x f ≤≤=的值域为]ln ,[ln b a ，∴函数))((b x a x f ≤≤的值域的长度为a b ln ln -， （15分）∴函数))((b x a x f ≤≤的值域的长度大于22)(2ba ab a +-． （16分）。
高考数学(理)考前必记的60个知识点含公式推理推论总结及提醒
高考理科数学考前必记的60个知识点集合(1)集合之间关系的判断方法①A真含于B⇔A⊆B且A≠B，类比于a<b⇔a≤b且a≠b.②A⊆B⇔A真含于B或A＝B，类比于a≤b⇔a<b或a＝b.③A＝B⇔A⊆B且A⊇B，类比于a＝b⇔a≤b且a≥b.(2)集合间关系的两个重要结论①A⊆B包含A＝B和A B两种情况，两者必居其一，若存在x∈B且x∉A，说明A≠B ，只能是A B.②集合相等的两层含义：若A⊆B且B⊆A，则A＝B；若A＝B，则A⊆B且B⊆A.[提醒]1任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.2对于集合A，B，C，如果A⊆B且B⊆C，则有A⊆C.3含有n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．4集合中元素的三大特性：确定性、互异性、无序性．常见关键词及其否定形式关键词等于大于小于是一定是都是至少有一个至多有一个存在否定词不等于不大于不小于不是不一定是不都是一个也没有至少有两个不存在命题(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假性原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假[提醒]1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3在判断一些命题的真假时，如果不容易直接判断，则可以判断其逆否命题的真假．(3)含有一个量词的命题的否定全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，如下所述：命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，非p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M非p(x) 充分、必要条件(1)充分条件与必要条件的相关概念①如果p⇒q，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件．②如果p⇒q，但q⇒/ p，那么p是q的充分不必要条件．③如果p⇒q，且q⇒p，那么p是q的充要条件．④如果q⇒p，且p⇒/ q，那么p是q的必要不充分条件．⑤如果p⇒/ q，且q⇒/ p，那么p是q的既不充分也不必要条件．(2)充分、必要条件与集合的对应关系从逻辑观点看从集合观点看p是q的充分条件(p⇒q)A⊆Bp是q的必要条件(q⇒p)A⊇Bp是q的充分不必要条件(p⇒q，q⇒/ p)A真含于Bp是q的必要不充分条件(q⇒p，p⇒/ q)A真包含Bp是q的充要条件(p⇔q)A＝B函数的定义域及相关的6个结论(1)如果f(x)是整式函数，那么函数的定义域是R.(2)如果f(x)是分式函数，那么函数的定义域是使分母不等于0的实数的集合．(3)如果f(x)是偶次根式函数，那么函数的定义域是使被开方数大于或等于0的实数的集合．(4)如果f(x)是对数函数，那么函数的定义域是使真数大于0的实数的集合．(5)如果f(x)是由几个代数式构成的，那么函数的定义域是使各式子都有意义的实数的集合．(6)如果f(x)是从实际问题中得出的函数，则要结合实际情况考虑函数的定义域．函数的值域求函数值域常用的7种方法(1)配方法：二次函数及能通过换元法转化为二次函数的函数类型．(2)判别式法：分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为x2A(y)＋xB(y)＋C(y)＝0的形式，再利用判别式加以判断．(3)换元法：无理函数、三角函数(用三角代换)等，如求函数y＝2x－3＋13－4x的值域．(4)数形结合法：函数和其几何意义相联系的函数类型，如求函数y＝3－sin x2－cos x的值域．(5)不等式法：利用几个重要不等式及推论求最值，如a2＋b2≥2ab，a＋b≥2ab(a，b为正实数)．(6)有界性法：一般用于三角函数类型，即利用sin x∈[－1，1]，cos x∈[－1，1]等．(7)分离常数法：适用于解析式为分式形式的函数，如求y＝x＋1x－1的值域．指数函数与对数函数(1)指数函数与对数函数的对比区分表解析式y＝a x(a>0且a≠1)y＝log a x(a>0且a≠1)定义域R(0，＋∞)值域(0，＋∞)R图象关系指数函数对数函数奇偶性非奇非偶非奇非偶单调性0<a<1时，在R上是减函数；0<a<1时，在(0，＋∞)上是减函数；a>1时，在R上是增函数a>1时，在(0，＋∞)上是增函数[提醒]直线x＝1与所给指数函数图象的交点的纵坐标即底数，直线y＝1与所给对数函数图象的交点的横坐标即底数．(2)比较幂值大小的方法①若指数相同，底数不同，则考虑幂函数．②若指数不同，底数相同，则考虑指数函数．③若指数与底数都不同，则考虑借助中间量，这个中间量的底数与所比较的一个数的底数相同，指数与另一个数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较大小．(3)常见抽象函数的性质与对应的特殊函数模型的对照表抽象函数的性质特殊函数模型①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)(x∈R，y∈R)；②f(x－y)＝f(x)－f(y)(x∈R，y∈R)正比例函数f(x)＝kx(k≠0)①f (x )f (y )＝f (x ＋y )(x ，y ∈R )； ②f （x ）f （y ）＝f (x －y )(x ，y ∈R ，f (y )≠0) 指数函数f (x ) ＝a x (a >0，a ≠1)①f (xy )＝f (x )＋f (y )(x >0，y >0)；②f (xy)＝f (x )－f (y )(x >0，y >0)对数函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)①f (xy )＝f (x )f (y )(x ，y ∈R )； ②f (x y )＝f （x ）f （y ）(x ，y ∈R ，y ≠0)幂函数f (x )＝x n函数零点的判断方法(1)利用零点存在定理判断法：如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0.这个c 也就是方程f (x )＝0的根．口诀：函数零点方程根，数形本是同根生，函数零点端点判，图象连续不能忘．(2)代数法：求方程f (x )＝0的实数根．(3)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y ＝f (x )的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 导数(1)基本初等函数的导数公式①(sin x )′＝cos x ，(cos x )′＝－sin x .②(ln x )′＝1x (x >0)，(log a x )′＝1x ln a(x >0，a >0，且a ≠1)．③(e x )′＝e x ，(a x )′＝a x ln a (a >0，且a ≠1)． (2)导数的四则运算法则 ①(u ±v )′＝u ′±v ′⇒[f 1(x )＋f 2(x )＋…＋f n (x )]′ ＝f ′1(x )＋f ′2(x )＋…＋f ′n (x )．②(u v )′＝v u ′＋v ′u ⇒(c v )′＝c ′v ＋c v ′＝c v ′(c 为常数)． ③⎝⎛⎭⎫u v ′＝v u ′－v ′u v 2(v ≠0)．[提醒] 1若两个函数可导，则它们的和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．2利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，如(x n )′＝nx n －1中n ∈Q *，(cos x )′＝－sin x . 3注意公式不要用混，如(a x )′＝a x ln a ，而不是(a x )′＝xa x －1.4导数的加法与减法法则，可由两个可导函数推广到任意有限个可导函数的情形，即[u (x )±v (x )±…±w (x )]′＝u ′(x )±v ′(x )±…±w ′(x )．5一般情况下，[f (x )g (x )]′≠f ′(x )g ′(x )，[f (x )·g (x )]′≠f ′(x )＋g ′(x )，⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′≠f ′（x ）g ′（x ），⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′≠f ′(x )－g ′(x )．6。
2011福建省高考数学(理)60天冲刺训练(22)
2011福建高考数学（理）60天冲刺训练（22）班级______ 姓名_________ 学号_______ 得分_______一、填空题（每题5分，共70分）1 ．如图，程序执行后输出的结果为_____．2 ．函数2y x -=的单调递增区间是3 ．夹在两个平面间的三条平行线段相等，则这两个平面间的位置关系是_____________．4 ．计算：2(1)i i +=______5 ．有数学、物理、化学、英语四个课外活动供学生选择，每人任选其中一个，则甲乙两人选择同一课外活动的概率为______________6 ．为了了解某市参加高考体检的学生的体能状况，经抽样调查1000名男生的肺活量（ml ），得到频率分布直方图（如图），根据图形，可得这1000名学生中肺活量在[3000,3600)的学生人数是 .7 ．函数21)32sin(+-=πx A y （0>A ）的最大值是27，最小值是25-，则=A _． 8 ．已知两条相交直线最多有1个交点，三条直线最多有3个交点，四条直线最多有6个交点点，五条直线最多有10个交点．由此可归纳n 条直线最多交点个数为 ．9 ．已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3(,0)4-对称，且满足3()()2f x f x =-+，又(1)1f -=，(0)2f =-，则 (1)(2)(3)(2008)f f f f ++++=________________．10．给出下列三个命题(1)设()f x 是定义在R 上的可导函数，()/fx 为函数()f x 的导函数；()/00f x =是0x 为()f x 极值点的必要不充分条件。
(2)双曲线22221124x y m m-=+-的焦距与m 有关 （3）命题“中国人不都是北京人”的否定是“中国人都是北京人”。
（4）命题“c d若->0,且bc-ad<0,则ab>0a b” 其中正确结论的序号是11．过抛物线22(0)ypx p =>的焦点F 的直线l ,交抛物线于,A B 两点,交其准线于C 点,若3CB BF =,则直线l 的斜率为___________.12．在正四面体ABCD 中，其棱长为a ，若正四面体ABCD 有一个内切球，则这个球的表面积为 13．如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一 个无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的 底面边长为 时，其容积最大.14．设)2,0(πα∈,函数)(x f 的定义域为[0,1],且1)1(,0)0(==f f ,当y x ≥时,有)()sin 1(sin )()2(y f x f y x f αα-+=+,则=α_________,)21(f =_________.二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．如下的三个图，分别是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图以及它的正视图和侧视图（单位：cm ）（1）按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； （2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结BC '，证明：BC '∥面EFG ．E D A C FGB 'C 'D '16．已知点M (2,0)-，⊙22:1O x y +=（如图）；若过点M 的直线1l 交圆于P Q 、两点，且圆孤PQ 恰为圆周的14，求直线1l 的方程．17．数列{a n }是首项a 1=4的等比数列，且S 3，S 2，S 4成等差数列.（1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n =log 2|a n |,T n 为数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅+11n n b b 的前n 项和，求T n .18．已知函数21sin 2()1cos ()2x f x x π-=--（1）求)(x f 的定义域；（2）已知)(,2tan ααf 求-=的值.19．已知函数ln ()x f x x=（1）求函数()f x 的单调区间；（2）设0,a >求函数()f x 在[]2,4a a 上的最小值．20．已知一动圆P 与定圆1)1(22=+-y x 和y 轴都相切，（1）求动圆圆心P 的轨迹M 的方程；（2）过定点)2,1(A ，作△ABC ，使090=∠BAC ，且动点C B ,在P 的轨迹M 上移动（C B ,不在坐标轴上），问直线BC 是否过某定点？证明你的结论。
2011届高考数学考点知识专题总复习函数的性质及应用
2011 届高考数学考点知识专题总复习函数的性质及应用课时考点1函数的性质及应用高考考纲透析：（ 1）认识映照的观点，理解函数的观点。
(2) 认识函数单一性、奇偶性的观点，掌握判断一些简单函数的单一性、奇偶性的方法。
(3) 认识反函数的观点及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数。
(4) 理解分数指数幂的观点，掌握有理指数幂的运算性质 . 掌握指数函数的观点、图像和性质。
(5) 理解对数的观点，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的观点、图像和性质。
(6) 能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题。
高考风向标：映照与函数的观点、函数单一性、奇偶性、周期性、函数的值域与最值、反函数、函数图象、指数函数、对数函数、二次函数、函数的综合应用。
特别是函数的单一性、奇偶性、周期性、反函数复现率较高。
高考试题选：1.若和 g(x) 都是定义在实数集 R 上的函数，且方程有实数解，则不行能是（ A）（ B）（ c）（ D）2. 若函数的定义域和值域都是[0 ， 1] ，则 a=（）(A)(B)(c)(D)23. 函数上的最大值和最小值之和为a，则 a 的值为（）A ．B． c． 2D． 44.设分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当时，且则不等式的解集是（）A．B． c． D．5.已知函数的最大值不大于，又当（1）求 a 的值；（2）设6. 是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数，且在区间（0，6）内解的个数的最小值是（）A ．2B． 3c．4D． 5热门题型1对数函数与二次函数复合而成的复合函数的性质例 1：能否存在实数，使函数在区间上是增函数？假如存在，说明可取哪些值；假如不存在，请说明原因。
解题剖析：解答本题要掌握三点：一是对数的底数对单一性的影响，二是二次函数的张口方向与对称轴对单一性的影响，三是真数在给定区间上要大于 0。
而后利用复合函数的单一性等知识加以解决。
福建高考数学(理)60天冲刺训练(11)
2011福建高考数学（理）60天冲刺训练（11）班级______ 姓名_________ 学号_______ 得分_______一、填空题（每题5分，共70分）1、已知集合{}(1)0P x x x =-≥，Q ={})1ln(|-=x y x ，则P Q = .2、若复数21(1)z a a i =-++(a R ∈)是纯虚数，则z = .3、已知双曲线的中心在坐标原点,一个焦点为(10,0)F ,两条渐近线的方程为43y x =±,则该双曲线的标准方程为 .4、在等比数列｛n a ｝中,若7944,1a a a ⋅==,则12a 的值是 .5、在用二分法．．．求方程3210x x --=的一个近似解时,现在已经将一根锁定在区间(1,2)内,则下一步可断定该根所在的区间为 . （说明:写成闭区间也算对）6、已知向量))(sin 2,cos 2(),1,1(),1,1(R ∈=-==ααα，实数,m n 满足,ma nb c +=则22(3)m n -+的最大值为 .7、对于滿足40≤≤a 实数a ,使342-+>+a x ax x 恒成立的x 取值范围_ _8、扇形OAB 半径为2，圆心角∠AOB ＝60°，点D 是弧AB 的中点，点C 在线段OA 上，且3=OC ．则OB CD ⋅的值为9、已知函数x x f 2sin )(=，)62cos()(π+=x x g ，直线x ＝t （t ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π）与函数f (x )、g (x )的图像分别交于M 、N 两点，则|MN|的最大值是 ．10、对于任意实数x ，符号[x ]表示x 的整数部分，即“[x ]是不超过x 的最大整数” ．在实数轴R （箭头向右）上[x ]是在点x 左侧的第一个整数点，当x 是整数时[x ]就是x ．这个函数[x ]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．那么]1024[log ]4[log ]3[log ]2[log ]1[log 22222+++++ =_________ .11、方程θθcos 2sin =在[)π2,0上的根的个数12、若数列{}n a 的通项公式为)(524525122+--∈⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⎪⎭⎫⎝⎛⨯=N n a n n n ，{}n a 的最大值为第x 项，最小项为第y 项，则x+y 等于13、若定义在R 上的减函数()y f x =,对于任意的,x y R ∈,不等式22(2)(2)f x x f y y -≤--成立；且函数(1)y f x =-的图象关于点(1,0)对称，则当14x ≤≤时,yx的取值范围 .14、已知函数()f x 满足()12f =，()()()111f x f x f x ++=-，则()()()()1232009f f f f ⋅⋅⋅⋅的值为 .二、解答题（共90分，写出详细的解题步骤） 15．（本小题满分14分）求经过直线17810l x y --=：和221790l x y ++=：的交点，且垂直于直线270x y -+=的直线方程16．（本小题满分14分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若.3))((bc a c b c b a =-+++ （1）求角A 的值；（2）在（1）的结论下，若02x π≤≤,求2cos sin sin 2y x A x =+⋅的最值.17．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足（2a －c ）cosB=bcosC. （1）求角B 的大小；（2）设()()()2411m sin A,cos A ,n k,k ,m n ==>⋅且的最大值是5，求k 的值.18．（本小题满分16分）为了立一块广告牌，要制造一个三角形的支架，三角形支架形状如图，要求060=∠ACB ，BC 的长度大于1米，且AC 比AB 长0 5米 为了广告牌稳固，要求AC 的长度越短越好，求AC 最短为多少米？且当AC 最短时，BC 长度为多少米？19．（本小题满分16分）已知数列2}{1=a a n 中，前n 项的和为S n ，且4tS n+1t S t n 8)83(=+-，其中*,3N n t ∈-<；（1）证明数列}{n a 为等比数列；（2）判定}{n a 的单调性，并证明CAB20．（本题满分16分）已知函数()(,,22R x x x x f ∈-=且)2≠x （1）求()x f 的单调区间；（2）若函数()ax x x g 22-=与函数()x f 在[]1,0∈x 时有相同的值域，求a 的值；（3）设1≥a ，函数()[]1,0,5323∈+-=x a x a x x h ，若对于任意[]1,01∈x ，总存在[]1,00∈x ，使得()()10x f x h = 成立，求a 的取值范围参考答案：1、()1,+∞2、23、2213664x y -= 4、45、3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭（说明:写成闭区间也算对） 6、167、),3()1,(+∞⋃--∞ 8、3 9、3 10、8204 11、2 12、313、1[,1]2- 14、215．解：由方程组217907810x y x y ++=⎧⎨--=⎩，解得11271327x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以交点坐标为11132727--（，）. ……………7分 又因为直线斜率为12k =-， 所以求得直线方程为27x +54y +37=0 ………………14分16．解:（1）,cos 2,32)(22222bc A bc bc a c bc b a c b ==-++=-+所以3,21cos π==A A ………………7分 （2）)62sin(212sin 232cos 21212sin sin 22cos 1π++=++=++=x x x x A x y ……10分 因为,1)62sin(21,67626,20,20≤+≤-≤+≤≤≤≤≤ππππππx x x x ……12分 所以,,23)62sin(210≤++≤πx 即23,0max min ==y y ……………14分17．解：（1）∵(2a －c )cos B =b cos C ，∴（2sin A －sin C ）cos B =sin B cos C . 即2sin A cos B =sin B cos C +sin C cos B =sin(B +C ) ………………5分∵A +B +C =π，∴2sin A cos B =sin A ∵0<A <π,∴sin A ≠0.∴cos B =21 ∵0<B <π，∴B =3π………………7分 （2）m n ⋅=4k sin A +cos2A =－2sin 2A +4k sin A +1，A ∈（0，322）………………10分 设sin A =t ，则t ∈]1,0(.则m n ⋅=－2t 2+4kt +1=－2(t －k )2+1+2k 2,t ∈]1,0( ∵k >1，∴t =1时，m n ⋅取最大值.依题意得，－2+4k +1=5，∴k =23………………14分18．解：设BC 的长度为x 米，AC 的长度为y 米，则AB 的长度 为（y －0 5）米 在△ABC 中，依余弦定理得：ACB BC AC BC AC AB ∠•-+=cos 2222 -------（4分）即212)5.0(222⨯-+=-yx x y y ，化简，得41)1(2-=-x x y ∵1>x ，∴01>-x 因此1412--=x x y -----------（8分） 方法一：232)1(43)1(1412+≥+-+-=--=x x x x y -------------- （12分）当且仅当)1(431-=-x x 时，取“=”号，即231+=x 时，y 有最小值2+ ----（16分）方法二：2222/)1(412)1()41()1(2-+-=----=x x x x x x x y x ------------（10分） 解⎪⎩⎪⎨⎧=+->041212x x x ，得231+=x ------------------（13分） ∵当2311+<<x 时，0/<x y ；当231+>x 时，0/>x y∴当231+=x 时，y 有最小值32+ ----------（16分）19．解（1）证明：∵ t S t tS n n 8)83(41=+-+ ① 当n=1时，4t （a 1+a 2）－（3t+8）a 1=8t 而a 1=2 tta 2382+=⇒…………………… 2分 又∵t S t tS n n 8)83(41=+-- ②（n≥2） 由①②得0)83(41=+-+n n a t ta 即)3,2(4831-<∴≥+=+t n tt a a n n ………………… 4分 而tta a t t 438048312+=≠+又 ∴{a n }是等比数列………………………………………8分（2）∵a n =2（)3(0)4831-<>+-t tt n t t t a a n n 2434831+=+=+ ………………… 12分 ∵t ＜－3 ∴)43,121(1∈+n n a a …………………………………………… 14分 则n n nn a a a a <⇔<++111∴{a n }为递减数列…………………………………… 16分20．解: （1）()()[]()4242222222+-+-=-+-=-=x x x x x x x f ， 易得()x f 的单调递增区间为()(),04,-∞+∞，；单调递减区间为()()0,22,4，。
福建省高考数学理科60天冲刺知识点(4)
2011年福建省高考数学<理科>60天冲刺知识点(4)⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z4、已知α是第几象限角，确定()*n nα∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为nα终边所落在的区域．5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lr α=．7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭． 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()0r r =>，则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0yx xα=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ．12、同角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=()2222sin1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()sin 2tan cos ααα= sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭．13、三角函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 口诀：奇变偶不变，符号看象限．14、函数sin y x =的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移ϕω个单位长度，得到函数()siny xωϕ=+的图象；再将函数()siny xωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A倍（横坐标不变），得到函数()siny xωϕ=A+的图象．函数()()sin0,0y xωϕω=A+A>>的性质：错误！未找到引用源。
福建高考数学(理)60天冲刺训练(28)
2011福建高考数学（理）60天冲刺训练（28）班级______ 姓名_________ 学号_______ 得分_______一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1 ．已知全集U={1，2，3，4，5}，且集合A={2，3，4}，集合B={1，2}，那么A∩(C U B)=_____2 ．在角集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z ,43k k Mππαα，终边位于π4-到π2-之间的角为_______3 ．设向量a ＝(2,2m －3,n ＋2)，b ＝(4,2m ＋1,3n －2)，若a ∥b ，则m ＝_______，n ＝_______.4 ．已知等差数列{a n }中，a 4=3,a 6=9，则该数列的前9项的和S 9= ．5 ．若}0)5)(2(|{},034|{2<--∈=<+-∈=x x R x B x x R x A ，则=B A ____ 6 ．下图是一个物体的三视图，根据图中尺寸，它的体积为7 ．已知直线l 的倾斜角115α=，直线1l 与2l 的交点心为A ，把直线2l 绕着点A 按逆时针方向旋转到和直线1l 重合时所转的最小正角为60，则直线2l 的斜率2k =8 ．直线:54x yl t +=与椭圆22:12516x y C +=相切，则t =______________ 9 ．设A 是满足不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤4040y x 的区域，B 是满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤≤444y x y x 的区域；区域A内的点P 的坐标为()y x ,，当R y x ∈,时，则P B ∈的概率为__________10．如图是2008年“隆力奇”杯第13届CCTV 青年歌手电视大奖赛上某一位选手的部分得分的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为 ．左视图俯视图427 98 4 4 4 6 7 9 1 3 611．下图给出一个程序框图，该程序的功能是__________12．已知：}2|1||{<-=x x A ，}11|{+<<-=m x x B ,若B x ∈成立的一个充分不必要条件是A x ∈ ，则实数m 的取值范围_______________13．从1=1，1-4=（1+2）,1-4+9=1+2+3,1-4+9-16=-(1+2+3+4),…,推广到第n 个等式为_____________.14．若函数()23k kh x x x =-+在(1,)+∞上是增函数，则实数k 的取值范围是 ．二、解答题（共90分，写出详细的解题步骤）15．已知向量()x x x acos sin ,2sin 1-+=→，()x x b cos sin ,1+=→，函数()f x a b =⋅．（1）求()f x 的最大值及相应的x 的值； （2）若58)(=θf ，求πcos 224θ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．16．如图，AC 为圆O 的直径，点B 在圆上，SA ⊥平面ABC ，求证：平面SAB ⊥平面SBC17．圆822=+y x 内有一点0(1,2)P -,AB 为过点0P 且倾斜角为α的弦；(1)当43πα=时,求AB 的长； (2)当弦AB 被点0P 平分时,求直线AB 的方程18．有一个容量为100的样本，数据的分组及各组的频数如下：[12.5，15.5﹚，6; [15.5，18.5﹚，16; [18.5，21.5﹚，18; [21.5，24.5﹚，22; [24.5，27.5﹚，20; [27.5，30.5﹚，10; [30.5，33.5﹚，8. （1）列出样本的频率分布表； （2）画出频率分布直方图； （3）估计数据小于30.5的概率.19．数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =且*121()N n n a S n +=+∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）等差数列{}n b 的各项均为正数，其前n 项和为n T ，315T =，又S112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T ．20．已知()()2,ln 23+-+==x ax x x g x x x f ．(1) 如果函数()x g 的单调递减区间为1(,1)3-，求函数()x g 的解析式； (2) 在(Ⅰ)的条件下,求函数y=()x g 的图像在点(1,1)P -处的切线方程；(3) 若不等式2()()2f x g x '≤+的解集为P ，且(0,)P +∞⊆，求实数a 的取值范围．参考答案填空题 1 ．{3，4} 2 ．π413-，π49- 3 ．6,27==n m ； 4 ．545 ．}32|{<<x x6 ．87 ．-1；8 ．2t =±；9 ．21 10．80711．输出a,b,c 中的最大数； 12．),2(+∞；13．)321()1()1(16941121n n n n +⋅⋅⋅+++-=-+⋅⋅⋅+-+-+-14．[2,)-+∞解答题15．解：（1）因为(1sin 2,sin cos )a x x x =+-，(1,sin cos )b x x =+，所以22()1sin 2sin cos 1sin 2cos2f x x x x x x =++-=+-π214x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭因此，当ππ22π42x k -=+，即3ππ8x k =+（k ∈Z ）时，()f x 1； （2）由()1sin 2cos2f θθθ=+-及8()5f θ=得3sin 2cos25θθ-=，两边平方得91sin 425θ-=，即16sin 425θ=．因此，ππ16cos22cos 4sin 44225θθθ⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．16．略17．解:(1)直线AB 的斜率143tan-==πk , ∴直线AB 的方程为)1(2+-=-x y ,即01=-+y x∵圆心)0,0(O 到直线AB 的距离222|1|=-=d ∴弦长3021822||22=-=-=dr AB (2)∵0P 为AB 的中点,∴AB OP ⊥0又201020-=---=op k ,∴21=AB k∴直线AB 的方程为)1(212+=-x y ,即052=+-y x（2（3）数据大于等于30.5的频率是0.08，∴ 数据小于30.5的概率约是0.9219．解答：（1）当2n ≥时，11(21)(21)n n n n a a S S +--=+-+，即有13n n a a +=又21121213a S a =+=+=，{}n a ∴是公比为3的等比数列，且11a =，故13n n a -=．（2）由（1），1231,3,9a a a ===，又312313215,210T b b b b b b =++=∴+==， 依题112233,,a b a b a b +++成等比数列，有131164(1)(9)(1)(19)b b b b =++=+-， 解得13b =或15，因{}n b 的各项均为正数，13,2b d ∴==，故23(1)2n T n n n n n =+-=+．20．解:(1)2()321g x x ax '=+- 由题意01232<-+ax x 的解集是⎪⎭⎫⎝⎛-1,31 即01232=-+ax x 的两根分别是1,31-. 将1=x 或31-代入方程01232=-+ax x 得1-=a . ()223+--=∴x x x x g .(2)由(Ⅰ)知：2()321g x x x '=--，(1)4g '∴-=，∴点(1,1)P -处的切线斜率k =(1)4g '-=， ∴函数y=()x g 的图像在点(1,1)P -处的切线方程为：样本数14(1)y x -=+，即450x y -+=. (3) (0,)P +∞⊆，2()()2f x g x '∴≤+即：123ln 22++≤ax x x x 对()+∞∈,0x 上恒成立可得xx x a 2123ln --≥对()+∞∈,0x 上恒成立设()x x x x h 2123ln --=, 则()()()22'213121231x x x x x x h +--=+-=令()0'=x h ,得31,1-==x x (舍)当10<<x 时,()0'>x h ;当1>x 时, ()0'<x h∴当1=x 时,()x h 取得最大值, ()x h m ax =-2 2-≥∴a . a ∴的取值范围是[)+∞-,2.。
2011年高考数学复习重点知识点90条
的点之间的距离。
（1）公式法：| x | a (a 0) a x a ，| x | a (a 0) x a 或 x a ．
（2）定义法：
x
x x
在考场上坐标法和非坐标法，你会灵活变通吗？
如何建的系你表达清楚了吗？
点的坐标你能求对吗？
盲点指数：100+++）. 基底运算你忘了吗？
用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键.要正确理解
向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点
指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则.在立体几何中要灵活
A
D
xB
y C
n BD
n
DC1
a 2
3 ax 0 2 y bz 0
z
x0 a
2b
y
取
y
1，得
n
(0,1,
a 2b
)
，由
AB1
n
(
3 2
a,
a 2,Βιβλιοθήκη b)(0,1,a 2b
)
0
，得
AB1
n
，即
AB1
//
平面
DBC1
.
证法三：如图所示，记 AB a, AC b, AA1 c ，（建立一组基底）
三点共线的充要条件：P，A，B 三点共线 OP xOA yOB且x y 1；
P，A，B，C 四点共面 OP xOA yOB zOC,且x y z 1 。
（盲点指数：100+++）平面内的一组基底：两个向量一定是不共线的。空间内的一组基底：三个
向量一定不共面。
2011福建省高考数学(理)60天冲刺训练(20)
2011福建高考数学（理）60天冲刺训练（20）班级______ 姓名_________ 学号_______ 得分_______一、填空题（每题5分，共70分）1 ．在复平面中，复数i(i 1iz =+为虚数单位）所对应的点位于第________象限．2 ．用演绎法证明函数3x y=是增函数时的大前提是3 ．43x y =在点Q （16，8）处的切线斜率是___________-．4 ．命题“01,2≥+-∈∀x xR x ”为_____命题（填真、假）5 ．下列关于算法的说法，正确的是①求解某一类问题的算法是唯一的； ②算法必须在有限步操作之后停止；③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊； ④算法执行后一定产生确定的结果6 ．某班5次数学测验中，甲、乙两同学的成绩如下：甲：90 92 88 92 88 乙：94 86 88 90 92 则甲、乙两人成绩相比较，得出结论是______________稳定．7 ．如图，某人向圆内投镖，如果他每次都投中圆内，那么他投中正方形区域的概率为________ （结果用分数表示）8 ．已知圆O:522=+y x和点A(1,2),则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于_____________9 ．一个球的内接长方体的长、宽、高分别为1、2、3，则这个球的表面积是________．10．已知a<0, -1<b<0, 则a, a·b, a·b 2的大小关系为_____________.11．若等差数列{}a n中，公差d =2，且aa a 12100200+++=…，则a a a a 51015100++++…的值是___________12．向量a ,b ,c 满足++=0a b c ,⊥a b ,()-⊥a b c ,M=++a b c bca,则M =________.13．=++o o o o43tan 17tan 343tan 17tan14．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()y f x =的图象关于直线12x =对称，则12f f ++（）（） 345f f f ++=（）（）（） ________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知)2(0,,54sin παα∈=. 试求下列各式的值： （Ⅰ）α2sin ；（Ⅱ）)4sin(πα-．16．如图,在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中.(1)求证:AC ⊥平面B 1 BDD 1 (2)求三棱锥B-ACB 1体积.CDBA17．如图，已知圆心坐标为)1,3(M 的⊙M 与x 轴及直线x y 3=均相切，切点分别为A 、B ，另一个圆⊙N 与⊙M 、x 轴及直线x y 3=均相切，切点分别为C 、D ．（1）求⊙M 和⊙N 的方程；（2）过点B 作直线MN 的平行线l ，求直线l 被⊙N 截得的弦的长度．18．光线通过一块玻璃,其强度要损失10%,把几块这样的玻璃重叠起来,设光线原来的强度为a ,通过x 块玻璃后强度为y .（1）写出y 关于x 的函数关系式；（2）通过多少块玻璃后，光线强度减弱到原来的13以下? ( lg30.4771)≈19．已知数列{}n a 满足412311=-=+a ,a a a n n n 。
2011年高考数学复习重点知识点90条
2011年高考数学复习重点知识点90条1． 已知集合A 、B ，当∅=⋂B A 时，你是否注意到“极端”情况：∅=A 或∅=B ；求集合的子集时是否忘记∅？2． 对于含有n 个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n 2，12-n ，12-n .22-n3． 反演律：B C A C B A C I I I ⋂=⋃)(，B C A C B A C I I I ⋃=⋂)(。
4． “p 且q ”的否定是“非p 或非q ”；“p 或q ”的否定是“非p 且非q ”。
5． 命题的否定只否定结论；否命题是条件和结论都否定。
6． 函数的几个重要性质：①如果函数()x f y =对于一切R x ∈，都有()()x a f x a f -=+，那么函数()x f y =的图象关于直线a x =对称()y f x a =+是偶函数；②若都有()()x b f x a f +=-，那么函数()x f y =的图象关于直线2b a x +=对称；函数()x a f y -=与函数()x b f y +=的图象关于直线2b a x -=对称； ③函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=x 对称；函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=y 对称；函数()x f y =与函数()x f y --=的图象关于坐标原点对称；④若奇函数()x f y =在区间()+∞,0上是增函数，则()x f y =在区间()0,∞-上也是增函数；若偶函数()x f y =在区间()+∞,0上是增函数，则()x f y =在区间()0,∞-上是减函数；⑤函数()a x f y +=)0(>a 的图象是把()x f y =的图象沿x 轴向左平移a 个单位得到的；函数()a x f y +=()0(<a 的图象是把()x f y =的图象沿x 轴向右平移a 个单位得到的；⑥函数()x f y =+a )0(>a 的图象是把()x f y =助图象沿y 轴向上平移a 个单位得到的；函数()x f y =+a )0(<a 的图象是把()x f y =助图象沿y 轴向下平移a 个单位得到的。
2011福建省高考数学(理)60天冲刺训练(17)
2011福建高考数学（理）60天冲刺训练（17）班级______ 姓名_________ 学号_______ 得分_______一、填空题（每题5分，共70分）1 ．(1)(12)i i -+=________．2 ．若函数)(x f y =在点0x 处的导数存在，则它所对应的曲线在点))(,(00x f x 处的切线方程是________．3 ．命题“若a =1, 则a 2=1”的逆命题是______________.4 ．一般来说，一个复杂的流程图都可以分解成_________、_________、__________三种结构；5 ．据新华社2002年3月12日电，1958年到2000年间，我国农村人均居住面积如下图所示，其中，从________到__________年的五年间增长最快．6 ．已知如图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为600颗，则可以估计出阴影部分的面积约为___________7 ．直线2780x y -+=关于直线2760x y --=对称的直线的方程为___________8 ．已知+∈R b a ,，证()b a M +=21，ab N =，ba ab P +=2，则P N M ,,之间的大小关系是____________。
9 ．若三个向量a 、b 、c 恰能首尾相接构成一个三角形，则c b a ++＝ ．10．已知53)4sin(=-x π，则x 2sin 的值为_____________.11．已知函数)(x f y =是偶函数，)(x g y =是奇函数，它们的定义域是],[ππ-，且它们在],0[π∈x 上的图象如图所示，则不等式0)()(<x g x f 的解集是_______________12．在等比数列中，已知910(0)a a a a +=≠，1920a a b +=，则99100a a +=________.13．棱长为1 cm 的小正方体组成如图所示的几何体，那么这个几何体的表面积是______ 2cm .中有一种函数[]x 叫做取整函数（也称高斯函14．在计算机的算法语言数），它表示x 的整数部分，即[x ]是不超过x 的最大整数．例如：[2]2,[3.1]3,[ 2.6]3==-=-．设函数21()122x x f x =-+，则函数[()][()]y f x f x =+-的值域为 _______________二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．如图，四边形ABCD 与ABDE 都是平行四边形，则：（1）与向量AB 共线的向量有哪些？（2）若5.1=GMD 1C 1B 1A 1NDCBA16．如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、G 分别是A 1A ，D 1C ，AD 的中点．求证： （1）MN//平面ABCD ；（2）MN ⊥平面B 1BG ．17．下表是某户今年第一季度煤气用量及支付费用情况：该市付煤气费的方法是：煤气费=基本费+超额费+保险费.如果每月用气量不超过最低额度a 立方米时，只付基本费3元和每户每月额定保险费 c 元；如果每月用气量超过最低额度a 立方米时，超过部分应按b 元/立方米的标准付费.并知道保险费c 不超过5元（a ,b,c>0）.试根据以上提供的资料确定a ,b,c 的值.18．已知椭圆192522=+y x 上三点),(11y x A ，),4(2y B ，),(33y x C 和焦点)0,4(F 的距离 依次成等差数列．①求31x x +；②求证线段AC 的垂直平分线过定点，并求出此定点的坐标．19．设S n 是数列}{n a 的前n 项和，所有项0>n a , 且4321412-+=n n n a a S ， （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式.（Ⅱ）n n n nn b a b a b a T b +++== 2211,2求已知的值.20．已知函数3)(2)()(]1,1[,)31()(2+-=-∈=x af x f x g x x f x ，函数的最小值为).(a h（Ⅰ）求);(a h（Ⅱ）是否存在实数m ，n 同时满足下列条件：①m>n>3； ②当)(a h 的定义域为[n ，m]时，值域为[n 2，m 2]？ 若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由.参考答案填空题1 ．3i +2 ．))(()(000x x x f x f y -'=-3 ．若a 2=1, 则a =14 ．顺序 条件（选择） 循环;5 ．1995，20006 ．367 ．27200x y --= 8 ．M N P ≤≤9 ．0 10．257 11．),3()0,3(πππ-； 12． 98b a13．36. 14．{0,-1} 解答题15．解：①ED 、、、DE 、、、BA ②316．证明：证明：（1）如图，取CD 的中点E ，连NE ，AE ．由N ，E 分别为CD 1与CD 的中点可得：NE ∥D 1D 且NE=12D 1D ，B又AM ∥D 1D 且AM=12D 1D ；∴AM ∥EN 且AM =EN ， ∴四边形AMNE 为平行四边形．∴MN ∥AE ， 又MN ⊄面ABCD,AE ⊂面ABCD ；∴MN ∥面ABCD ．（2）由AG ＝DE ，∠BAG =∠ADE =090，DA ＝AB 得△EDA ≌△GAB ； ∴∠ABG =∠DAE ，又∠DAE+∠AED =090，∠AED =∠BAE ， ∴∠ABG+∠BAE =090．∴BG ⊥AE ，又B 1B ⊥AE,B 1B ⊂面B 1BG, BG ⊂面B 1BG, B 1B BG=B ；∴AE ⊥平面B 1BG ；又MN ∥AE ，∴MN ⊥平面B 1BG ．17．解 设每月的用气量为x 立方米，支付费用为y 元.依题意得：⎩⎨⎧>+-⋅+≤≤+=(*))(303ax ca xb a x cy由于0<c ≤5，可知3+c ≤8.依表中可知第二、三月份的费用均大于8，故第二、三月份的用气量为25立方米、35立六米均应大于最低额度a . 因此可将x =25 及35分别代入（*）式 得：⎩⎨⎧+-+=+-+=ca b ca b )35(319)25(314解得 c a b 23,21+==又由于 将c c x ++-+==)]23(4[2134:(*)4式代入 使得该方程无解，可以推得a ≥4，此时付款方式应为y =3+c 即 3+c=4 故c=1 立即有a =5 因此有.1,21,5===c b a18．①831=+x x ②中垂线方程为02512822=-+ky x ∴过定点)0,2564(19．解（Ⅰ）n = 1时，,43214112111-+==a a s a 解出a 1 = 3 又4s n = a n 2 + 2a n-1－3① 4s n －1 = 21-n a + 2a n －3 (n ≥2)②①－② 4a n = a n 2－21-n a + 2a n －2a n －1 ∴ 0)2)((11=--+--n n n n a a a a2011=-∴>+--n n n n a a a a （2≥n ）}{n a 数列∴是以3为首项，2为公差之等差数列12)1(23+=-+=∴n n a n （4分）（Ⅱ）02)12(252321+⋅+++⨯+⨯=nn n T ③ 又122)12(2)12(2302+++⋅-++⨯+=n n n n n T ④④－③ 13212)12()222(223++++++-⨯-=n n n n T112)12(2286++⋅++⨯-+-=n n n 22)12(1+-=+n n ∴22)12(1+⋅-=+n n n T20．解：（Ⅰ）∵].3,31[)31(],1,1[∈∴-∈xx设2223)(32)(]3,31[,)31(a a t at t t t t x -+-=+-=∈=φ，则当32928)31()(31min a a h y a -===<φ时，； 当2min 3)()(331a a a h y a -===≤≤φ时，； 当.612)3()(3min a a h y a -===>φ时，∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤≤-<-=)3(612)331(3)31(32928)(2a a a a a a a h （Ⅱ）∵m>n>3， ∴)3(,612)(∞+-=在a a h 上是减函数. ∵)(a h 的定义域为[n ，m]；值域为[n 2，m 2]，∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=-②① 612 61222m n n m②－①得：),)(()(6n m n m n m +-=-∵m>n>3， ∴m+n=6，但这与“m>n>3”矛盾. ∴满足题意的m ，n 不存在。
福建高考数学(理)60天冲刺训练(14)
2011福建高考数学（理）60天冲刺训练（14）班级______ 姓名_________ 学号_______ 得分_______一、填空题（每题5分，共70分） 1．复数43i1+2i+的实部是 2．lg 20lg0.717()2⋅=3．若P: 2≥x ,Q: 01)2(≥+-x x ,则P 是Q 的 条件4．已知全集U=R ，集合)(},021|{},1|{N M C x x x N x x M U 则≥-+=≥=等于5．若平面向量a=（1，-2）与b 的夹角是180°，且|b|=b 等于6．在ABC △中，2AB =，3AC =，D 是边BC 的中点，则∙=7．过原点作曲线xy e =的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为8．要得到一个奇函数，只需将函数x x x f cos 3sin )(-=的图象向 平移 个单位9．若函数f (x)满足1(1)()f x f x +=，且(1,1]时,(),x f x x ∈-=则函数y=f(x)的图象与函数3log y x =的图象的交点的个数为10． 已知数列}{n a 的通项公式为)(21log 2+∈++=N n n n a n ，设其前n 项和为n s ，则使n s <-5成立的自然数n 满足11．若方程4(4)240xxa ++⋅+=有解，则实数a 的取值范围是 ;12．锐角∆ABC 中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，设A B 2=，则∈ab13．已知关于x 的函数158)532()(--+-+-=b a x b a x f .如果[]1,1-∈x 时,其图象恒在x 轴的上方,则ab的取值范围是 _.14．有关命题的说法有下列命题：①若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题 ② “x=1”是“x 2-3x+2=0”的充分不必要条件③命题“若x 2-3x+2=0则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x 2-3x+2≠0” ④对于命题p: x R ∃∈,使得x 2+x+1<0,则2:,10p x R x x ⌝∀∈++≥均有 其中所有正确结论的序号是_二、解答题（共90分，写出详细的解题步骤）15、（本题14分）在ABC △中，a b c ，，分别是三个内角A B C ，，的对边．若4π,2==C a ，5522cos=B ，求ABC △的面积S ．16、（本题14分）已知函数2()2sin sin cos f x a x x x b =-⋅+的定义域为[0,]2π，值域为[-5,4]；函数 ()sin 2cos ,g x a x b x x R =+∈.(1) 求函数g (x )的最小正周期和最大值; (2) 当[0,]x π∈, 且g (x ) =5时, 求tan x .17、（本题14分）如图，在矩形ABCD 中，已知AD=2，AB=a (2)a >，E 、F 、G 、H 分别是边AD 、AB 、BC 、CD 上的点，若AE=AF=CG=CH ，问AE 取何值时，四边形EFGH 的面积最大？并求最大的面积。
高考数学 冲刺60天解题策略 专题一 函数第二节 导数
高考数学 冲刺60天解题策略 专题一 函数第二节 导数导数是文科生研究函数的单调性，求函数极（最）值等的重要工具之一，导数是历来高考的必考点.导数对文科生来说，在课标中增加了三角函数，指数，对数函数等的导数，导数在文科高考中必须引起重视. 导数在历来高考中一般在一个小题、一个大题中出现.难度值控制在0.5～0.8之间.考试要求 ①了解导数概念的实际背景,理解导数的概念及其几何意义；②了解函数的单调性与导数的关系,会求函数的极大(小)值及闭区间上的最值；③能求一些初等函数的导数；④了解函数在某点取得极值的充要条件；⑤能够用导数研究函数的单调性,利用导数解决某些实际问题.题型一 初等函数的导数 例1 设函数32sin 332()tan f x x x θθθ=++,其中512[0,]πθ∈，且2)1(='f ，求θ.点拨 看清题目中变量x 和θ，)(x f 的自变量是x ，θ为参变量，因此)(x f 是三次函数；于是先对)(x f求导，再求)1(f '，从而转化为已知三角函数值求角的问题.解 ∵,cos 3sin )(2x x x f ⋅+⋅='θθ∴(1)sin 3 2.f θθ'=+=2sin()32πθ+=， 又512[0,]πθ∈,3334[,]πππθ+∈,∴334ππθ+=,得512πθ=.易错点 ①此题)(x f 中含有两个字母，学生误以为是三角函数，求导数时按三角函数求导法则；.②容易忽略θ的范围.变式与引申1： 设函数32sin 3()tan 32f x x x θθθ=++，其中 512[0,]πθ∈，则导数(1)f '的取值范围是_________.题型二 初等函数的单调区间和极值例2 已知函数32()3f x x bx cx d =+++在(,0)-∞上是增函数，在(0,2)上是减函数，且()0f x =的一个根为b -.（Ⅰ）求c 的值；（Ⅱ）求证：()0f x =还有不同于b -的实根1x 、2x ，且1x 、b -、2x 成等差数列；（Ⅲ）若函数()f x 的极大值小于16，求(1)f 的取值范围. 点拨 第（Ⅰ）问中由已知得出函数的极大值点是0=x ，即可解出c 的值；第（Ⅱ）问要使21,,x b x -成等差数列，必须b x x 221-=+，因此关键是将)(x f 因式分解，再借助韦达定理推出1x 、b -、2x 三者的关系；用函数的思想分析第（Ⅲ）问，将(1)f 看作是关于b 的函数)(b g ，题目即转化为求)(b g 的值域问题.解 （Ⅰ）2()36f x x bx c '=++，0x =是极大值点，(0)0,0f c '==∴.（Ⅱ）令()0f x '=，得0x =或2b -,由()f x 的单调性知22,1b b -≥≤-∴，b -是方程()0f x =的一个根，则323()3()02b b b d d b -+-+==-⇒.∴32322()32()(22)f x x bx b x b x bx b =+-=++-,方程22220x bx b +-=的根的判别式22244(2)120b b b ∆=--=>.又222()2()230b b b b b -+--=-≠，即b -不是方程22220x bx b +-=的根∴()0f x =有不同于b -的根1x 、2x .122x x b +=-，∴1x 、b -、2x 成等差数列.（Ⅲ）根据函数的单调性可知0x =是极大值点,∴3(0)162162f b b <⇒-<>-∴，于是21b -<≤-,令3()(1)231g b f b b ==-++,求导2()63g b b '=-+,21b -<≤-时，()0g b '<,∴()g b 在(2,1]--上单调递减,∴(1)()(2)g g b g -≤<-即0(1)11f ≤<.易错点 在第（Ⅱ）问中学生对)(x f 进行因式分解时易出错或不能因式分解，分解之后易忽视判断“b -不是方程22220x bx b +-=的根”； 第（Ⅲ）问中学生不易从函数的角度分析(1)f 的取值范围.变式与引申2：设函数()sin cos 1,f x x x x =-++02x π<<，求函 数()f x 的单调区间与极值. 题型三 导数与不等式例3 已知函数3213()f x x x ax b =-++的图像在点(0,(0))P f 处的切线方程为.23-=x y (Ⅰ) 求实数b a ,的值；(Ⅱ) 设1)()(-+=x mx f x g 是[2,)+∞上的增函数.求实数m 的 最大值；点拔 ① 过三次函数图像上一点的切线方程可用导数求斜率,再用点斜式求直线方程，从而布列方程组求出b a ,的值；②利用“函数在某区间上递增(递减),其导数在这区间上恒大于(小于)零”转化为不等式恒成立的问题.解 (Ⅰ) 由a x x x f +-='2)(2及题设得⎩⎨⎧-=='.2)0(,3)0(f f 即⎩⎨⎧-==.2,3b a(Ⅱ) 由12331)(23-+-+-=x m x x x x g 得22(1)()23.mx g x x x -'=-+- ∵)(x g 是[2,)+∞上的增函数， ∴0)(≥'x g 在[2,)+∞上恒成立. 即22(1)230m x x x --+-≥在[2,+∞]上恒成立, 设2(1)x t -=.∵[2,)x ∈+∞， ∴[1,)t ∈+∞, 即不等式tmt -+2≥0在[1,)+∞上恒成立. 当0≤m 时，设02≥-+=t mt y 在[1,)+∞上恒成立. 当m ＞0时，设02≥-+=tmt y ，[1,)t ∈+∞.因为21tm y +='＞0，所以函数t mt y -+=2在[1,)+∞上单调递增. 因此.3min m y -=∵,0min ≥y ∴,03≥-m即.3≤m 又0m >, 故03m <≤. 综上，m 的最大值为3.易错点 有些学生错用1)()(-+=x mx f x g 是[2,)+∞上的增函数0)(≥'⇔x g 的解为[2,)+∞.变式与引申3：设函数3()31()f x ax x x R =-+∈，若对于任意的[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 成立，求实数a 的值.题型四 导数与解析几何例4 已知函数c bx ax x x f ++-=23)(．(Ⅰ) 若函数()y f x =的图像上存在点P ，使P 点处的切线与x 轴平行，求实数a ,b 的关系式；(Ⅱ) 若函数)(x f 在1-=x 和3=x 时取得极值，且其图像与x 轴有且只有3个交点，求实数c 的取值范围．点拨 本题的关键是将几何问题转化为代数问题.第(Ⅰ)问中“点P 的存在性问题”转化为“方程0)(='x f 解的存在性问题”；第(Ⅱ)问中“图像与x 轴有且只有3个交点”转化为“)(x f 的极大值大于0，且极小值小于0”.解 (Ⅰ) b x a x x f +-='23)(2, 设切点为),(00y x P ,则曲线)(x f y =在点P 处的切线的斜率b ax x x f k +-='=020023)(,由题意，知023)(0200=+-='b ax x x f 有解，∴ 24120a b ∆=-≥ 即23a b ≥. (Ⅱ)由已知可得1x =-和3x =是方程2()320f x x ax b '=-+=的两根， ∴ 2133a -+=，133b-⨯=，∴ 3a =，9b =-． ∴ ()3(1)(3)f x x x '=+-，∴ ()f x 在1x =-处取得极大值，在3x =处取得极小值．∵ 函数()y f x =的图像与x 轴有且只有3个交点， ∴ (1)0,(3)0.f f ->⎧⎨<⎩又32()39f x x x x c =--+， ∴ 1390,2727270c c --++>⎧⎨--+<⎩解得527c -<<．易错点 有些学生对三次函数图像与x 轴（或平行x 轴的直线）的交点问题难以从整体把握，难以找到几何问题转化为代数问题的切入点. 变式与引申4： 设函数()|1||1|f x x ax ，已知)1()1(f f =-，且R a ∈（R a ∈,且0≠a ），函数32()g x ax bx cx =++（R b ∈，c 为正整数）有两个不同的极值点，且该函数图像上取得极值的两点A 、B 与坐标原点O 在同一直线上.（1）试求a ，b 的值；（2）若0x ≥时，函数()g x 的图像恒在函数()f x 图像的下方，求正整数c 的值.本节主要考查 初等函数的导数；导数的运算；利用导数研究函数的极值、单调性；求切线等数形结合的思想和函数与方程的思想. 点评：求)(x f 在[]b a ,的最值的方法：② 求)(x f 单调区间、极值的方法：③利用导数，求曲线)(x f y =在点()00,y x 处的切线方程，先求)(0x f k '=再求方程).)((000x x x f y y -'=-习题1—21．已知2()3(2),(2)f x x xf f ''=+则=.2. 曲线321xy e x =+-在点（0，1）处的切线方程为 ． 3. 设定函数32()3a f x x bx cx d =+++(a ＞0)，且方程 '()90f x x -=的两个根分别为1，4.（Ⅰ）当=a 3且曲线()y f x =过原点时，求()f x 的解析式； （Ⅱ）若()f x 在(,)-∞+∞无极值点，求a 的取值范围. 4. 已知函数3223()39f x x ax a x a =--+． （Ⅰ）设1a =，求函数()f x 的极值； （Ⅱ）若14a >，且当[14]x a ∈，时，|()|12f x a '≤恒成立，试确定a 的取值范围．5. 设函数32132()af x x x bx c =-++，其中0a >，曲线()y f x =在点(0,(0))P f 处的切线方程为1=y . （Ⅰ）确定c b ,的值;（Ⅱ）设曲线()y f x =在点11(,())x f x 及22(,())x f x 处的切线都过点(0,2).证明：当12x x ≠时，12()()f x f x ''≠；（Ⅲ）若过点(0,2)可作曲线()y f x =的三条不同切线，求a 的取值范围.【答案】变式与引申1： 解 [22]，变式与引申2： 解 由,1cos sin )(++-=x x x x f 0＜x ＜π2，知⎪⎭⎫ ⎝⎛++='4sin 21)(πx x f令0)(='x f ，从而224sin -=⎪⎭⎫⎝⎛+πx ，得,π=x 或,23π=x 当x 变化时，)(),(x f x f '变化情况如下表：x (0,)π π32(,)ππ32π32(,2)ππ)(x f '＋ 0－ 0＋ )(x f单调递增2+π单调递减32π单调递增因此，由上表知)(x f 的单调递增区间是(0,)π与32(,2)ππ，单调递减区间是32(,)ππ，极小值为3322()f ππ=,极大值为2)(+=ππf .变式与引申3： 解法一 若x ＝0，则不论a 取何值，()f x ≥0显然成立；当x ＞0 即[]1,1x ∈-时，()331f x ax x =-+≥0可化为，2331a x x ≥- 设()2331g x x x =-，则()()'4312x g x x -=， 所以()g x 在区间10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此()max 142g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，从而a ≥4；当x ＜0 即[)1,0-时，()331f x ax x =-+≥0可化为a ≤2331x x-，()()'4312x g x x -=0> ()g x 在区间[)1,0-上单调递增，因此()()max 14g x g =-=，从而a ≤4，综上a ＝4. 解法二[1,1]x ∈-时0)(≥x f 恒成立,(1)3102,f a a ∴=-+≥⇒≥而2()33f x ax '=-,由导数性质可知()f x 在区间11(1,),(,1)a a --让分别为增函数,在区间11(,)a a-上为减函数.要使[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 成立,则min [()]0f x ≥,即(1)04414()0f a a a f a -≥⎧≤⎧⎪⇒⇒=⎨⎨≥≥⎩⎪⎩.变式与引申4： 解 （1）)1()1(f f =-，∴121++=-a a ①又)1()1(a f a f =-，∴11211++=-aa ，即121++=-a a a ② 由①②得1a =，故1±=a . 又1=a 时，①、②不成立，故1-=a . ∴32()g x x bx cx =-++，设x 1、x 2是函数()g x 的两个极值点，则x 1、x 2是方程/2()32g x x bx c =-++=0的两个根，24120()b c c ∆=+>为正整数，∴x 1+x 2=23b ，又∵ A 、O 、B 三点共线， 321111x bx cx x -++∴=322222x bx cx x -++，∴1212()[()]x x x x b --++=0，又∵x 1≠x 2，∴b = x 1+x 2=23b，∴b =0. （2）0x ≥时，min ()2f x =，由/2()30g x x c =-+=得3c x =， 可知()g x 在)3c 上单调递增，在(,)3c+∞上单调递减， 2())333333c c c c c c g x g ===极大值 ①由132233c c c ⎧≤⎪⎪⎨⎪<⎪⎩得3,c <c ∴的值为1或2.（∵c 为正整数）13c >时，记()g x 在3c x ∈上切线斜率为2的切点的横坐标为0x ， 则由/2()32g x x c =-+=得023c x -=00()()g x f x <， 32000022,2,2,3c x cx x x c c -∴-+<∴>-∴>-得2,c <与3c >矛盾.（或构造函数()()2h x x g x =-在1x ≥上恒正）综上，所求c 的值为1或2.习题1—21．2-.提示：''()23(2)f x x f =+ ,'''(2)223(2),(2)2f f f ∴=⨯+∴=-. 2. 答案 1y x =+4. 解 (Ⅰ) 当1a =时，对函数()f x 求导数，得2()369f x x x '=--． 令()0f x '=，解得11x =-，23x =． 列表讨论()f x ，()f x '的变化情况：x(,1)--∞1-(1,3)-3(3,)+∞()f x '+ 0-0 +()f x极大值6极小值26-所以，()f x 的极大值是(1)6f -=，极小值是(3)26f =-．(Ⅱ)()f x '22369x ax a =--的图像是一条开口向上的抛物线，关于x a =对称．若141a <≤，则()f x '在[1,4]a 上是增函数，从而()f x '在[14]a ，上的最小值是(1)f '2369a a =--，最大值是2(4)15f a a '=．由|()|12f x a '≤，得221236912a x ax a a -≤--≤，于是有2(1)36912f a a a '=--≥-，且2(4)1512f a a a '=≤．由(1)12f a '≥-得131a -≤≤，由(4)12f a a '≤得450a ≤≤．所以114435(,1][,1][0,]a ∈-，即1445(,]a ∈．若1a >，则2|()|1212f a a a '=>．故当[1,4]x a ∈时|()|12f x a '≤不恒成立． 所以使|()|12([1,4])f x a x a '≤∈恒成立的a 的取值范围是1445(,].())(,22x f x 处的切线都过点)2,0(，则下列等式成立.012322131=+-x a x ………………………… ① 012322232=+-x a x ………………………… ② 222121ax x ax x -=-………………………… ③又21x x ≠∴ ①－②得：0)(2)(3221222121=+-++x x a x x x x ………………………… ④ 由③得：a x x =+21代入④得：.41221a x x =∴ 21,x x 是方程04122=+-a ax x 的两根.∴ 221ax x == 即21x x ≠矛盾.∴ 得证. (Ⅲ) 依题意：方程063423=+-at t 有三个不同的根. 令2,0,0612)(,634)(21223a t t at t t g at t t g ===-='+-= ∵ 6)0()(1==f t f ＞0,∴ 643842)(232+⋅-⋅=⎪⎭⎫⎝⎛=a a a a f t f ＜0, a ＞332.。
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2011年福建省高考数学<理科>60天冲刺知识点(2)一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k tan k α=当[ 90,0∈α时，0≥k ； 当()180,90∈α时，0<k ； 当 90=α时，k 不存在。
②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--= 注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。
②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b③两点式：112121y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x ④截矩式：1x y a b+= 其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b 。
⑤一般式：0=++C By Ax （A ，B 不全为0）注意：○1各式的适用范围 ○2特殊的方程如： 平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）； 平行于y 轴的直线：a x =（a 为常数）；（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系：000=++C y B x A （C 为常数）（二）过定点的直线系（ⅰ）斜率为k 的直线系：()00x x k y y -=-，直线过定点()00,y x ； （ⅱ）过两条直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为 ()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线2l 不在直线系中。
（6）两直线平行与垂直当111:b x k y l +=，222:b x k y l +=时，212121,//b b k k l l ≠=⇔；12121-=⇔⊥k k l l 注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。
（7）两条直线的交点0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 相交交点坐标即方程组⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A 的一组解。
方程组无解21//l l ⇔ ； 方程组有无数解⇔1l 与2l 重合（8）两点间距离公式：设1122(,),A x y B x y ，（）是平面直角坐标系中的两个点，则||AB（9）点到直线距离公式：一点)00,y x P 到直线0:1=++C By Ax l 的距离2200B A C By Ax d +++=（10）两平行直线距离公式在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。
二、圆的方程1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
2、圆的方程（1）标准方程()()222r b y a x =-+-，圆心()b a ,，半径为r ；（2）一般方程022=++++F Ey Dx y x 当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D r 42122-+= 当0422=-+F E D 时，表示一个点； 当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形。
（3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。
确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。
3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离为22B A C Bb Aa d +++=，则有相离与C l r d⇔>；相切与C l r d ⇔=；相交与C l r d ⇔<（2）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为∆，则有相离与C l ⇔<∆0；相切与C l ⇔=∆0；相交与C l ⇔>∆0注：如果圆心的位置在原点，可使用公式200r yy xx =+去解直线与圆相切的问题，其中()00,y x 表示切点坐标，r 表示半径。
(3)过圆上一点的切线方程：①圆x 2+y 2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为200r yy xx =+ (课本命题)．②圆(x-a)2+(y-b)2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)= r 2 (课本命题的推广)．4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。
设圆()()221211:r b y a x C =-+-，()()222222:R b y a x C =-+-两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。
当rRd+>时两圆外离，此时有公切线四条；当rRd+=时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；当rRdrR+<<-时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当rRd-=时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；当rRd-<时，两圆内含；当0=d时，为同心圆。
三、立体几何初步1、柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：用各顶点字母，如五棱柱'''''EDCBAABCDE-或用对角线的端点字母，如五棱柱'AD几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
（2）棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥'''''EDCBAP-几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台'''''EDCBAP-几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。
（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。
（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。
（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。
2、空间几何体的三视图定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。
3、空间几何体的直观图——斜二测画法斜二测画法特点：①原来与x 轴平行的线段仍然与x 平行且长度不变；②原来与y 轴平行的线段仍然与y 平行，长度为原来的一半。
4、柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
（2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，'h 为斜高，l 为母线） ch S =直棱柱侧面积 rh S π2=圆柱侧 '21ch S =正棱锥侧面积 rl S π=圆锥侧面积 ')(2121h c c S +=正棱台侧面积 l R r S π)(+=圆台侧面积 ()l r r S +=π2圆柱表 ()l r r S +=π圆锥表 ()22R Rl rl r S +++=π圆台表 （3）柱体、锥体、台体的体积公式V Sh =柱 2V S h r h π==圆柱 13V S h =锥 h r V 231π=圆锥'1()3V S S h =台 '2211()()33V S S h r rR R h π==++圆台（4）球体的表面积和体积公式：V 球=343R π ； S 球面=24R π 4、空间点、直线、平面的位置关系（1）平面① 平面的概念： A.描述性说明； B.平面是无限伸展的；② 平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC 。