【人教A版】最新版必修三导学案设计(含答案)第二章-2.3

【人教A版】最新版必修三导学案设计(含答案)第二章-2.3最新人教版数学精品教学资料[学习目标] 1.理解两个变量的相关关系的概念.2.会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系.3.会求线性回归方程．知识点一变量间的相关关系1．变量之间常见的关系2.相关关系与函数关系的区别与联系知识点二散点图及正、负相关的概念1．散点图将样本中n个数据点(x i，y i)(i＝1,2，…，n)描在平面直角坐标系中，以表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图．2．正相关与负相关(1)正相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域．(2)负相关：散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域．思考任意两个统计数据是否均可以作出散点图？答可以，不管这两个统计量是否具备相关性，以一个变量值作为横坐标，另一个作为纵坐标，均可画出它的散点图．知识点三回归直线1．回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．2．回归方程与最小二乘法我们用y i－y^i来刻画实际观察值y i(i＝1,2，…，n)与y^i的偏离程度，y i－y^i越小，偏离越小，直线就越贴近已知点．我们希望y i －y ^i 的n 个差构成的总的差量越小越好，这才说明所找的直线是最贴近已知点的．由于把y i －y ^i 这个差量作和会使差量中的正负值相互抵消，因此我们用这些差量的平方和即Q ＝i ＝1n (y i －a －bx i )2作为总差量，回归直线就是所有直线中Q 取最小值的那一条．因为平方又叫二乘方，所以这种使“差量平方和最小”的方法叫做最小二乘法．用最小二乘法求回归方程中的a ^，b ^有下面的公式：⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧ b ^＝i ＝1n (x i －x )(y i －y )i ＝1n (x i －x )2＝∑i ＝1n x i y i －n x y ∑i ＝1n x 2i －n x 2，a ^＝y －b ^x ，其中x＝1n∑i＝1nx i，y＝1n∑i＝1ny i.这样，回归方程的斜率为b^，截距为a^，即回归方程为y^＝b^x＋a^.思考任何一组数据都可以由最小二乘法得出回归方程吗？答用最小二乘法求回归方程的前提是先判断所给数据具有线性相关关系(可利用散点图来判断)，否则求出的回归方程是无意义的．题型一变量间相关关系的判断例1在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系？①正方形边长与面积之间的关系；②作文水平与课外阅读量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系；④降雪量与交通事故的发生率之间的关系．解两变量之间的关系有两种：函数关系与带有随机性的相关关系．①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系．②作文水平与课外阅读量之间的关系不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系．③人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而他们不具备相关关系．④降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．综上，②④中的两个变量具有相关关系．反思与感悟函数关系是一种确定的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系. 函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．跟踪训练1下列两个变量间的关系不是函数关系的是()A．正方体的棱长与体积B．角的度数与它的正弦值C．单产为常数时，土地面积与粮食总产量D．日照时间与水稻的单位产量答案 D解析函数关系与相关关系都是指两个变量之间的关系，但是这两种关系是不同的，函数关系是指当自变量一定时，函数值是确定的，是一种确定性的关系．因为A项V＝a3，B项y＝sin α，C项y＝ax(a＞0，且a为常数)，所以这三项均是函数关系．D项是相关关系．题型二散点图例25名学生的数学和物理成绩(单位：分)如下：判断它们是否具有线性相关关系．解以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，得相应的散点图如图所示．由散点图可知，各点分布在一条直线附近，故两者之间具有线性相关关系．反思与感悟 1.判断两个变量x和y间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果图上发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响．2．画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形过大或偏小，或者是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真，导致得出错误结论．跟踪训练2对变量x，y有观测数据(x i，y i)(i＝1，2，…，10)，得散点图①；对变量u，v有观测数据(u i，v i)(i＝1，2，…，10)，得散点图②.由这两个散点图可以判断()A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关答案 C题型三求回归直线的方程例3某种产品的广告费支出x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：(1)画出散点图；(2)求回归方程．解(1)散点图如图所示．(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算.于是可得，b ^＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x 2＝1 380－5×5×50145－5×52＝6.5，a ^＝y －b ^x ＝50－6.5×5＝17.5.于是所求的回归方程是y ^＝6.5x ＋17.5.反思与感悟 1.求回归方程的步骤(1)列表x i ，y i ，x i y i .(2)计算x ，y ，∑i ＝1n x 2i ，∑i ＝1n y 2i ，∑i ＝1nx i y i .(3)代入公式计算b ^，a ^的值．(4)写出回归方程y ^＝a ^＋b ^x .2．求回归方程的适用条件两个变量具有线性相关性，若题目没有说明相关性，则必须对两个变量进行相关性判断．跟踪训练3 2014年元旦前夕，某市统计局统计了该市2013年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表：(1)如果已知y 与x 是线性相关的，求回归方程；(2)若某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出．(参考数据：∑i ＝110x i y i ＝117.7，∑i ＝110x 2i ＝406)解 依题意可计算得：x ＝6，y ＝1.83，x 2＝36，x y ＝10.98，又∵∑i ＝110x i y i ＝117.7，∑i ＝110x 2i ＝406，∴b^＝∑i＝110x i y i－10x y∑i＝110x2i－10x2≈0.17，a^＝y－b^x＝0.81，∴y^＝0.17x＋0.81.∴所求的回归方程为y^＝0.17x＋0.81.(2)当x＝9时，y^＝0.17×9＋0.81＝2.34(万元)可估计大多数年收入为9万元的家庭每年饮食支出约为2.34万元．数形结合思想例4以下是在某地搜集到的不同楼盘房屋的销售价格y(单位：万元)和房屋面积x(单位：m2)的数据：房屋面积x 1151180135105判断房屋的销售价格和房屋面积之间是否具有线性相关关系．如果有线性相关关系，是正相关还是负相关？分析作出散点图，利用散点图进行判断．解数据对应的散点图如图所示．通过以上数据对应的散点图可以判断，房屋的销售价格和房屋面积之间具有线性相关关系，且是正相关．解后反思判断两个变量x和y是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图．如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就具有线性相关关系．注意不要受个别点的位置的影响．1．炼钢时钢水的含碳量与冶炼时间有() A．确定性关系B．相关关系C．函数关系D．无任何关系答案 B解析炼钢时钢水的含碳量除了与冶炼时间有关外，还受冶炼温度等的影响，故为相关关系．2．设有一个回归方程为y^＝－1.5x＋2，则变量x 增加一个单位时()A．y平均增加1.5个单位 B．y平均增加2个单位C．y平均减少1.5个单位 D．y平均减少2个单位答案 C解析∵两个变量线性负相关，∴变量x增加一个单位，y平均减少1.5个单位．3．某商品的销售量y(单位：件)与销售价格x(单位：元/件)负相关，则其回归方程可能是() A.y^＝－10x＋200 B.y^＝10x＋200C.y^＝－10x－200D.y^＝10x－200答案 A解析结合图象(图略)，知选项B，D为正相关，选项C不符合实际意义，只有选项A正确．4．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i，y i)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y^＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是()A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心(x，y)C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kgD．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg答案 D解析当x＝170时，y^＝0.85×170－85.71＝58.79，体重的估计值为58.79 kg.5．正常情况下，年龄在18岁到38岁的人，体重y(kg)对身高x(cm)的回归方程为y^＝0.72x－58.2，张明同学(20岁)身高178 cm，他的体重应该在________kg左右．答案69.96解析用回归方程对身高为178 cm的人的体重进行预测，当x＝178时，y^＝0.72×178－58.2＝69.96(kg)．1.判断变量之间有无相关关系，简便可行的方法就是绘制散点图．根据散点图，可看出两个变量是否具有相关关系，是否线性相关，是正相关还是负相关．2．求回归直线的方程时应注意的问题(1)知道x与y呈线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进行相关性检验．如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之间的相关关系不显著，即使求出回归方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量也是不可信的．(2)用公式计算a^、b^的值时，要先算出b^，然后才能算出a^.3．利用回归方程，我们可以进行估计和预测．若回归方程为y^＝b^x＋a^，则x＝x0处的估计值为y^0＝b^x0＋a^.1．下列有关线性回归的说法，不正确的是() A．变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B．在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图C．回归方程最能代表观测值x、y之间的线性关系D．任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线答案 D解析只有数据点整体上分布在一条直线附近时，才能得到具有代表意义的回归直线．2．过(3,10)，(7,20)，(11,24)三点的回归方程是()A.y^＝1.75＋5.75xB.y^＝－1.75＋5.75xC.y^＝5.75＋1.75xD.y^＝5.75－1.75x答案 C解析x＝7，y＝18，回归方程一定过点(x，y)，代入A、B、C、D选项可知，选C.3．下图中具有相关关系的是()答案 C解析A中显然任给一个x的值都有唯一确定的y值和它对应，是一种函数关系；B也是一种函数关系；C中从散点图可看出所有点看上去都在某直线附近，具有相关关系，而且是一种线性相关；D中所有的点在散点图中没有显示任何关系，因此变量间是不相关的．故选C.4．已知一组观测值(x i，y i)作出散点图后确定具有线性相关关系，若对于y^＝b^x＋a^，求得b^＝0.51，x＝61.75，y＝38.14，则回归方程为()A.y^＝0.51x＋6.65B.y^＝6.65x＋0.51C.y^＝0.51x＋42.30D.y^＝42.30x＋0.51答案 A解析因为b^＝0.51，a^＝y－b^x≈6.65，所以y^＝0.51x＋6.65.5．某产品的广告费用x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)的统计数据如下表：根据上表可得回归方程y＝b x＋a中的b^为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为()A．63.6万元B．65.5万元C．67.7万元D．72.0万元答案 B解析x＝4＋2＋3＋54＝ 3.5，y＝49＋26＋39＋544＝42.因为回归直线过点(x，y)，所以42＝9.4×3.5＋a^.解得a^＝9.1.故回归方程为y^＝9.4x＋9.1.所以当x＝6时，y^＝6×9.4＋9.1＝65.5.6．工人工资y(元)与劳动生产率x(千元)的相关关系的回归方程为y^＝50＋80x，下列判断正确的是()A．劳动生产率为1 000元时，工人工资为130元B．劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高80元C．劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高130元D．当月工资为250元时，劳动生产率为2 000元答案 B解析因为回归方程斜率为80，所以x每增加1，y平均增加80，即劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高80元．7．已知x与y之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归方程为y^＝b^x＋a^.若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是()A.b^＞b′，a^＞a′B.b^＞b′，a^＜a′C.b^＜b′，a^＞a′D.b^＜b′，a^＜a′答案 C解析 由(1,0)，(2,2)求b ′，a ′.b ′＝2－02－1＝2，a ′＝0－2×1＝－2. 求a ^，b ^时，∑i ＝16x i y i ＝0＋4＋3＋12＋15＋24＝58， x ＝72，y ＝136， ∑i ＝16x 2i ＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91，∴b ^＝58－6×72×13691－6×(72)2＝57， a ^＝136－57×72＝136－52＝－13， ∴b ^＜b ′，a ^＞a ′.二、填空题8．在一定的限度范围内，若施化肥量x (单元：kg/公顷)与水稻产量y (单位：kg/公顷)的回归方程为y^＝5x＋250，当施化肥量为80kg/公顷时，预计水稻产量为________kg/公顷．答案650解析把x＝80代入回归方程y^＝5x＋250，得y^＝650.9．某数学老师身高176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm,170 cm和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________cm.答案185解析因为儿子的身高与父亲的身高有关，所以设儿子的身高为Y(单位：cm)，父亲身高为X(单位：cm)，根据数据列表：由数据列表，得回归系数b＝1，a^＝3.于是儿子身高与父亲身高的关系式为Y＝X＋3. 当X＝182时，Y＝185.故预测该老师的孙子的身高为185 cm.10．期中考试后，某校高三(9)班对全班65名学生的成绩进行分析，得到数学成绩y对总成绩x 的回归方程为y^＝6＋0.4x.由此可以估计：若两个同学的总成绩相差50分，则他们的数学成绩大约相差________分．答案20解析令两人的总成绩分别为x1，x2.则对应的数学成绩估计为y^1＝6＋0.4x1，y^2＝6＋0.4x2，所以|y^1－y^2|＝|0.4(x1－x2)|＝0.4×50＝20. 11．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位：h)与当天投篮命中率y之间的关系：小李这5天的平均投篮命中率为________；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6h篮球的投篮命中率为________．答案0.50.53解析y＝0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.45＝2.55＝0.5，x＝1＋2＋3＋4＋55＝3.由公式，得b^＝0.01，从而a^＝y－b^x＝0.5－0.01×3＝0.47.所以回归方程为y^＝0.47＋0.01x.所以当x＝6时，y^＝0.47＋0.01×6＝0.53.三、解答题12．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑i ＝110x i ＝80，∑i ＝110y i ＝20，∑i ＝110x i y i＝184，∑i ＝110x 2i ＝720.(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ＝b ^x ＋a ^；(2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关； (3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x 2，a ^＝y －b ^x ，其中x ，y 为样本平均值． 解 (1)由题意知n ＝10，x ＝1n ∑i ＝1n x i ＝8010＝8，y ＝1n ∑i ＝1n y i ＝2010＝2，又l xx ＝∑i ＝1nx 2i －n x 2＝720－10×82＝80，l xy ＝∑i ＝1nx i y i －n x y ＝184－10×8×2＝24，由此得b ^＝l xy l xx＝2480＝0.3，a ^＝y －b ^x ＝2－0.3×8＝－0.4，故所求线性回归方程为y ^＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 值的增加而增加(b ^＝0.3＞0)，故x 与y 之间是正相关．(3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ^＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．13．一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些会有缺损，按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如下表所示.(1)作出散点图；(2)如果y与x线性相关，求出回归方程；(3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺损的零件最多为10个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围内？解(1)作出散点图如图所示．(2)由(1)知y与x线性相关．设回归方程为：y^＝b^x ＋a ^.由题意，得x ＝12.5，y ＝8.25，∑i ＝14x 2i ＝660，∑i ＝14x i y i ＝438.∴b ^＝438－4×12.5×8.25660－4×12.52≈0.73， a ^＝8.25－0.73×12.5≈－0.88， ∴y ^＝0.73x －0.88.(3)令0.73x －0.88≤10，解得x ≤15. 故机器的运转速度应控制在15转/秒内．。