山西省朔州市平鲁区李林中学高中数学 空间直线与直线之间的位置关系导学案 新人教A版必修2
高中数学 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系导学案 新人教版必修2
高中数学高一年级必修二第二章 第2.1.2节 ：空间中直线与直线之间的位置关系导学案Ａ．学习目标1、知识与技能（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角定理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
2、过程与方法（1）师生的共同讨论与讲授法相结合；（2）让学生在学习过程不断归纳整理所学知识。
3、情感与价值让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。
Ｂ．学习重点、难点重点：1、异面直线的概念；2、公理4及等角定理。
难点：异面直线所成角的计算。
Ｃ．学法指导学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括，从而较好地完成本节课的教学目标。
D ．知识链接空间中直线与直线的位置关系的讨论。
E ．自主学习 通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
F.合作探究1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如下图：2、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。
在空间中，是否有类似的规律？共面直线组织学生思考：长方体ABCD-A'B'C'D'中，BB'∥AA'，DD'∥AA'，BB'与DD'平行吗？生：平行再联系其他相应实例归纳出公理4公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
人教版高中数学必修2-2.1导学案-空间中直线与直线之间的位置关系
2、1、2 空间中直线与直线之间的位置关系一、【学习目标】1、正确理解空间中直线与直线的位置关系,两直线的异面关系；2、以公理4和等角定理为基础，理解两异面直线所成角概念以及应用；3、培养学生空间想象能力，以及有根有据、实事求是的科学态度和品质.二、【自学内容和要求及自学过程】1、阅读第44页—45页探究上面的内容，回答问题（异面直线）材料一：思考：同一平面内的两条直线有几种位置关系？空间中的两条直线呢？教室内的日光灯管所在直线与黑板左右两侧所在直线，既不相交，也不共面，即它们不同在任何一个平面内；又如天安门广场上，旗杆所在的直线与长安街所在的直线，它们既不相交也不共面，即不能处在同一平面内.如下图：材料二：阅读教材“观察”的内容，如下：<1>根据材料和教材内容，请你总结出什么叫异面直线？<2>学习完异面直线以后，请总结一下空间两条直线的位置关系有几种？结论：<1>异面直线是指.它是以否定的形式给出的，以否定形式给出的问题一般用证明；<2>空间两条直线的位置关系有且只有三种.结合长方体模型，可以得出结论.2、阅读教材第45页例2上面内容，回答问题（公理4）材料三：教材45页观察内容<3>结合材料三，和教材内容，请你总结归纳出公理4.结论：<3>公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.符号表示为：a ∥b, ⇒ca ∥c .强调：公理4实质上是说平行具有 性，在平面、空间这个性质都适用.公理4是判断空间两条直线 的依据，不必证明，可直接应用.3、阅读教材46页内容，回答问题（等角定理、异面直线所成角）<4>请你通过学习总结出等角定理.<5>你能给“两异面直线所成角”下一个定义吗？你能否总结出异面直线所成角的画法？两异面直线所成角的范围是多少？什么叫做两直线垂直？ 结论：<4>空间中如果两个角的两边分别对应 ，那么这两个角相等或者 ；<5>可以把异面直线所成角转化为 所成角表示，如图所示，已知两异面直线a,b ，经过空间内任一点O 做直线 ，我们把''b a 、所成的 (或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）.两条异面直线所成角的范围是 .如果两条异面直线所成的角为 ，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a,b ，记作b a ⊥.三、【练习与巩固】 练习一：请同学们自学教材第例2、例3，检查自己是否完成了这节课的学习目标； 练习二：完成教材第48页练习1、2.四、【作业】1、必做题：教材51页习题2.1A 组第4题<1><2><3>；B 组1<2><3>题；2、选做题：教材第52页习题2.1A 组第8题.。
山西省朔州市平鲁区李林中学高中数学 小结与复习 第二章 点、直线、平面之间的位置关系小结与复习导学案
山西省朔州市平鲁区李林中学高中数学小结与复习第二章点、直线、平面之间的位置关系小结与复习导学案新人教A版必修22.知识点：（1）公理1：公理2：推论1：推论2：推论3：公理3：（2）位置关系：直线与直线的位置关系⎧⎪⎨⎪⎩平行相交异面直线与平面的位置关系⎧⎪⎨⎪⎩在平面内相交平行平面与平面的位置关系⎧⎨⎩平行相交 （3）空间中平行关系的判定：线线平行的判定方法：①线线平行的定义：②公理4：③线面平行的性质定理：④面面平行的性质定理：⑤结论：l αβ=，a ∥α，a ∥β⇒a ∥l⑥线面垂直的性质定理：线面平行的判定方法：①线面平行的定义：②线面平行的判定定理：③面面平行的性质：④结论：α∥β，α⊄a ，β⊄a ，a ∥α⇒a ∥β⑤结论：a ∥b ，α⊄a ，α⊄b ，a ∥α⇒b ∥α⑥结论：a α⊥，a b ⊥，α⊄b ⇒b ∥α面面平行的判定方法：①面面平行的定义：②面面平行的判定定理：③结论：a α⊥，a β⊥⇒α∥β④结论：α∥β，β∥γ⇒α∥γ（4）空间中垂直关系的判定：线线垂直的判定方法：①定义：计算所成角为︒90②线面垂直的定义：线面垂直的判定方法：①线面垂直的定义：②线面垂直的判定定理：③结论：a ∥b ，a α⊥⇒b α⊥④结论：α∥β，a α⊥⇒a β⊥⑤面面垂直的性质定理：⑥结论：l αβ=，αγ⊥，βγ⊥⇒l ∥γ面面垂直的判定方法：①面面垂直的定义：②面面垂直的判定定理：③结论：α∥β，αγ⊥⇒βγ⊥（5）空间平行和垂直关系的相互转化3.典型例题： 1.AB P α=,CD P α=,,A D 与,B C 分别在平面α的两侧,AC Q α=,BD R α=,求证：P 、Q 、R 三点共线.2.空间四边形ABCD 中,E ,F 分别是AB 和BC 的中点,G ,H 分别是CD 和AD 上的点,且CD DG 31=,DA DH 31=. 求证：EH ,BD ,FG 三条直线相交于同一点.线与线平行面与面平行 线与面平行 线与线垂直线与面垂直 面与面垂直3.如图,P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点,N M ,分别是PC AB ,的中点，l PBC PAD =⋂平面平面.①求证：l ∥BC②MN 与平面PAD 是否平行？试证明你的结论.。
山西省朔州市平鲁区李林中学高中数学(人教版)必修二学案空间两直线的位置关系(无答案)
教学目标:了解空间中两条直线的位置关系；理解并掌握公理4；理解并掌握等角定理． 重点难点:公理4及等角定理引入新课1．问题1：在平面几何中，两直线的位置关系如何？问题2：没有公共点的直线一定平行吗？问题3：没有公共点的两直线一定在同一平面内吗？2．异面直线的概念:___________ ________________________________． 34．公理4：（文字语言）____________________________________________________．（符号语言）____________________________________________________．5．等角定理：____________________________________________________________．例题剖析1如图，在长方体1111DC B A ABCD -中，已知F E 、分别是BC AB 、的中点．求证：11//C A EF ．2如图：已知1E E 、分别为正方体1111D C B A ABCD - 的棱11D A AD 、的中点．EA 1CA 1求证：111B E C CEB ∠=∠．巩固练习1．设1AA 是正方体的一条棱，这个正方体中与1AA 平行的棱共有（ ）条． A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．A 是BCD ∆所在平面外一点，N M ，分别是ABC ∆和ACD ∆的重心，若a BD =，则MN =____________________．3．空间三条直线c b a 、、，若c b b a ////，，则由直线 c b a 、、确定________个平面．4．已知111CC BB AA ，，不共面，且11//BB AA ，11BB AA =，11//CC BB ，11CC BB =. 求证：ABC ∆≌111C B A ∆．4．三棱锥BCD A -中，H G F E ，，， 分别是DA CD BC AB ，，，的中点． （1）求证：四边形EFGH 是平行四边形；（2）若BD AC =，求证：四边形EFGH 是菱形； （3）当AC 与BD 满足什么条件时，四边形EFGH 是正方形.A1C 1。
山西省朔州市平鲁区李林中学高中数学 直线的两点式方程导学案 新人教A版必修2
山西省朔州市平鲁区李林中学高中数学 直线的两点式方程导学案 新人教A 版必修2问题2：已知直线l 与x 轴的交点为(,0)A a ，与y 轴的交点为(0,)B b ，其中0,0a b ≠≠， 如何求直线方程？注意：直线与x 轴交点（a ,0）的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距；直线与y 轴交点（0,b ）的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的截距.问题3：哪些直线不能用两点式表示？问题4：a ,b 表示截距，是不是表示直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？3.典型例题例1：已知直线过(1,0),(0,2)A B -,求直线的方程并画出图像。
例2：已知三角形的三个顶点(5,0),(3,3)A B --，(0,2)C ，求BC 边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程.例3：求出下列直线的方程，并画出图形.⑴ 在x 轴上的截距为－5，在y 轴上的截距为6；（2）在x 轴上截距是－3，与y 轴平行；（3）在y 轴上的截距是4，与x 轴平行.例4：求过定点P （2，3）且在 x 轴上的截距为在y 轴上的截距的3倍的直线l 方程。
当堂检测1.过点()()2211,,y x y x 和的直线方程是 （ ）A ．121121x x x x y y y y --=-- B ．()()()()0112112=-----y y x x x x y y C ．212121x x x x y y y y --=-- D ．()()()()0112112=-----y y y y x x x x 2.过点P （3，5）且在x 轴，y 轴上截距相等的直线共有 （ ）A ．一条B ．两条C ．三条D ．四条3.一直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程 （ ）A ．一定可写成两点式或斜截式 B. 一定可写成两点式或截距式C ．一定可写成点斜式或截距式 D. 可以写成点斜式或两点式截距式中的任何一种4.菱形的对角线分别位于X 轴和Y 轴上，其长度分别为8和6，求菱形各边所在直线 的方程5.一根铁棒在40C ︒时长12.506m ，在80C ︒时长12.512m ，已知长度L(m)与温度t(C ︒)的关系可以用直线方程来表示，试用两点式表示这个方程；并根据方程，求铁棒在100C ︒时的长度。
山西省朔州市平鲁区李林中学高中数学 小结与复习 直线
山西省朔州市平鲁区李林中学高中数学 小结与复习 直线与直线的位置关系导学案 新人教A 版必修24．设A ，B ，C ，D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是（ ）A ．若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面B ．若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线C ．若AB=AC ，DB=DC ，则AD ⊥BC D ．若AB=AC ，DB=DC ，则AD=BC5．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是11,AB BC 的中点，则以下结论不成立的是（ ）A ．1,EF BB 垂直 B ．,EF BD 垂直C ．,EF CD 异面 D ．11,EF A C 异面6．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F G H 分别是1111,,,AA AB BB B C 的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于（ ）A ．45oB ．60oC ．90oD ．120o7．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，E 为1AA 的中点，则异面直线BE与1CD 所成角的余弦值为（ ） A 10．15 C 310 D ．358.已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等,1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点D,则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为( ) 3574 D. 349.给出下列命题:①垂直于同一个直线的两条直线一定平行;②已知a,b 是异面直线，c ∥a ,那么b 与c一定是异面直线；③过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行；④过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线垂直；⑤两条直线和第三条直线所成角相等，则这两条直线平行，其中成立的是10.已知,a b 为不垂直的异面直线,α是一个平面,则,a b 在α上的射影可能是 ①两条平行直线;②两条相互垂直的直线;③同一条直线;④一条直线及其外一点11.如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中:①BM 与ED 平行;②CN 与BE 是异面直线;③CN 与BM 成60°,④DM 与BN 垂直; 以上说法正确的是12.对于四面体ABCD,下列命题中正确的是①相对棱AB 和CD 所在的直线异面;②由顶点A 作四面体的高,其垂足是ABC ∆的三条高线的交点;③若分别作ABC ∆和ABD ∆的边 AB 上的高,则这两条高所在的直线异面;④分别作三组相对棱中点的连线,所得的三条线段相交于一点;⑤最长棱必有某个端点,由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱13．在图中，G 、H 、M 、N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH ，MN 是异面直线的图形有14．如图,,,,,E F G H M N 分别为正方体1111ABCD A B C D -的棱 111111,,,,,AA AD A B DC BB B C 的中点，（1）求证：四边形EFHG 为等腰梯形； （2）求异面直线EF 和MN 所成的角;15．如图，正三棱锥S ABC -的侧棱与底边长相等，E ，F 分别是SC ，AB 的中点，求异面直线EF ，SA 所成的角16.如图,已知正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等,M 是侧棱1CC 的中点,求异面直线 1AB 和BM 所成的角的大小。
山西省朔州市平鲁区李林中学高中数学空间两直线的位置关系教案新人教A版必修2
山西省朔州市平鲁区李林中学高中数学空间两直线的位置关系教案新人教A版必修2教学目标：了解空间中两条直线的位置关系；理解并掌握公理 4 ;理解并掌握等角定理. 重点难点：公理4及等角定理引入新课1问题1在平面几何中，两直线的位置关系如何？问题2:没有公共点的直线一定平行吗？问题3:没有公共点的两直线一定在同一平面内吗？2.异面直线的概念：____________ ,__________ -_______________________ .3宀护¥方位置大糸共面情况公共点个数4.公理4:（文字语言）____________________________________________________________（符号语言）________________________________________________________5 •等角定理: 例题剖析1如图，在长方体ABCD A]B1C1D1中,已知E、F分别是AB、BC的中点.求证：EF//A1C1 •2如图：已知E、E1分别为正方体ABCD 的棱AD、A1D1的中点. A1B1C1D1CA B求证： CEB C 1E 1B 1.3.已R G. H 分别是空间四边形四条边厢、呱 CD. ZU 上的点.fi —=—=2, F 、G 分别対RC 、UD 的中钛 求证：四边形FFGH 是梯形. EB HD比已知三棱中』E 〉HS1AB } SC CD,少的中点」EG = 3, FHJ 求 AC 1 + RD 2 ・巩固练习1•设AA i 是正方体的一条棱，这个正方体中与 AA i 平行的棱共有()条.A . 1B. 2C. 3D. 42. A 是 BCD 所在平面外一点， M , N 分别是 ABC 和 ACD 的重心，若BD a , 贝H MN =_____________________ .3.空间三条直 线a 、b 、c ,若a//b , b//c ，则由直线 a 、b 、c 确定4.已知 AA i , BB i , CC i 不共面，且 AA i // BB i ,AA ! BB i , BB i // CC i , BB i CC i .求证：ABC 也 A i B i C i .4.三棱锥 A BCD 中，E , F , G , H 分别是AB , BC , CD , DA 的中点.(1) 求证：四边形 EFGH 是平行四边形；(2) 若AC BD ，求证：四边形 EFGH 是菱形; (3) 当AC 与BD 满足什么条件时，四边形EFGH 是正方形•HB________ 个平面.AD FCG。
山西省朔州市平鲁区李林中学高中数学 直线的一般方程(1)导学案 新人教A版必修2
山西省朔州市平鲁区李林中学高中数学 直线的一般方程（1）导学案 新人教A 版必修2（一）、复习、 直线名称 已知条件 直线方程 使用范围 点斜式 斜截式 两点式 截距式2、过点),(00y x 与x 轴垂直的直线可表示为 。
过点),(00y x 与y 轴垂直的直线可表示为 。
:（二）、新课导学1、直线与二元一次方程的关系问题1：任意一个二元一次方程：0=++C By Ax （A ，B 不同时为0）是否表示一条直线？平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x ，y 的二元一次方程表示吗？ 提示：注意讨论直线的斜率是否存在。
请同学们自学课本100~97P 内容，解决该问题.2、直线的一般方程把关于x ，y 的二元一次方程_____________叫做直线的一般式方程．．．．．，简称一般式．．．，其中系数A ，B 满足____________．问题2：直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？问题3：当0≠B 时，直线0=++C By Ax 的斜率是 ，直线在y 轴上的截距为 .问题4：在方程 0=++c By Ax 中， A 、B 、C 为何值时，方程表示的直线： ①平行于x 轴； ②平行于y 轴；③与x 轴重合； ④与y 轴重合；⑤过原点； ⑥与x 轴、y 轴都相交（重合不算）；（三）、典型例题例1 自学课本98P 例5，体会该题的用意,并写在下列空白处.练习1 初步运用，（1）根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式： ①斜率是21-，经过点 )2,8(-A ； ②经过点)2,4(B ，平行于x 轴； ③斜率为4，在y 轴上的截距为-2； ④在y 轴上的截距为-3，且平行于x 轴；⑤在x 轴和y 轴上的截距分别是3，23-； ⑥经过两点)2,3(1-P , )4,5(2-P 例2 自学课本99P 例6，弄清楚该题的做题方法，将方法写到下面空白处，再去做下面的练习.练习2（1）已知直线02045=++y x ，则此直线在x 轴上的截距是______，在y 轴上的截距是______，直线的斜率为 ，化成斜截式方程为 .（2）求下列直线的斜率和在y 轴上的截距，并画出图形⑴350x y +-=； ⑵145x y -=； ⑶20x y +=； ⑷7640x y -+=； ⑸270y -=.（3）课本100P 练习3三．学习小结1.直线方程的一般式：2.一般式化斜截式的步骤：3.一般式化截距式的步骤：。
山西省朔州市平鲁区李林中学高中数学 直线与平面平行
山西省朔州市平鲁区李林中学高中数学直线与平面平行的性质导学案新人教A版必修2学习过程一、课前准备（预习教材P58~ P60，找出疑惑之处）α平行，那么a和平面α内的直线具有什么样的关系呢？二、新课导学※探索新知探究：直线与平面平行的性质定理问题1：如图7-1，直线a与平面α平行.请在图中的平面α内画出一条和直线a平行的直线b.图7-1问题2：我们知道两条平行线可以确定一个平面，请在图7-1中把直线,a b确定的平面画出来，并且表示为β.问题3：在你画出的图中，平面β是经过直线,a b的平面，显然它和平面α是相交的，并且直线b是这两个平面的交线，而直线a和b又是平行的.因此，你能得到什么结论?请把它用符号语言写在下面.问题4：如图，过直线a再画另外一个平面γ与平面α相交，交线为c.直线a,c平行吗?和你上面得出的结论相符吗?你能不能从理论上加以证明呢?直线与平面平行的性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线都与该直线平行.反思：定理的实质是什么？问题5 这个定理有什么作用？问题6 证明两直线平行的方法有哪些？※ 典型例题例1 如图7-3所示的一块木料中，棱BC 平行于A C ''面.⑴要经过A C ''面内的一点P 和棱BC 将木料锯开,应怎样画线?⑵所画的线与平面AC 是什么位置关系?图7-3例2 如图7-4，已知直线,a b ，平面α，且a ∥b ，a ∥α，,ab 都在平面α外.求证：b ∥α.图7-4小结：运用线面平行的性质定理证题，应把握以下三个条件①线面平行，即a ∥α；②面面相交，即αβI =b ；③线在面内，即b β⊂.※ 动手试试练1. 如图7-5所示，已知a ∥b ，a α⊂，b β⊂，l αβ=I ，求证：a ∥b ∥l .图7-5练2. 求证：如果一条直线和两个相交平面平行，那么这条直线和它们的交线平行.三、总结提升※学习小结1. 直线和平面平行的性质定理运用；2. 体会线线平行与线面平行之间的关系.※知识拓展在证明线线或线面平行的时候，直线和平面平行的判定定理和性质定理在解题时往往交替使用，相互转换，即线面平行问题往往转化为线线平行问题，线线平行问题又转化为线面平行问题，反复运用，直到得出结论.学习评价）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. a、b、c表示直线，M表示平面，可以确定a∥b的条件是（）.A.a∥M,b MB.a∥c,c∥bC.a∥M,b∥MD.a、b和c的夹角相等2. 下列命题中正确的个数有（）.①若两个平面不相交，则它们平行；②若一个平面内有无数条直线都平行与另一个平面，则这两个平面平行；③空间两个相等的角所在的平面平行.A.0个B.1个C.2个D.3个3. 平行四边形EFGH 的四个顶点E 、F 、G 、H 分别在空间四边形ABCD 的四条边AB 、BC 、CD 、AD 上，又EH ∥FG ，则（ ）.A.EH ∥BD ，BD 不平行于FGB.FG ∥BD ，EH 不平行于BDC.EH ∥BD ，FG ∥BDD.以上都不对4. a 和b 是异面直线，则经过b 可作___个平面与直线a 平行.5. 异面直线,a b 都和平面α平行，且它们和平面α内的同一条直线的夹角分别是45°和60°，则a 和b 的夹角为______. 课后作业1. 如图7- 6，在ABC ∆所在平面外有一点P ，D 、E 分别是PB AB 与上的点，过,D E 作平面平行于BC ，试画出这个平面与其它各面的交线，并说明画法的依据.图7-62. 已知异面直线,AB CD 都平行于平面α，且AB 、CD 在α两侧，若,AC BD 与平面α相交于M 、N两点，求证：AM BN MC ND=.。
山西省朔州市平鲁区李林中学高中数学 直线与平面垂直的判定2导学案 新人教A版必修2
山西省朔州市平鲁区李林中学高中数学 直线与平面垂直的判定2导学案 新人教A 版必修2一、课前导学：1. 直线与平面垂直的定义、判定定理；2. 掌握线线垂直与线面垂直之间的转化.二、课堂识真：1.复习回顾：⑴若直线垂直于平面，则这条直线________平面内的任何直线；⑵直线与平面垂直的判定定理为________________________________________. 巩固练习：1.直线a 与直线b 垂直，b ⊥平面α，则a 与α的位置关系2.给出下列四个命题：①若直线垂直于平面内的两条相交直线，则这条直线与平面垂直；②若直线与平面内任意一条直线垂直，则这条直线与平面垂直；③若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线； ④若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线. 其中正确的命题共有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3.如图，PA ⊥面ABC ，︒=∠90ABC ，则图中直角三角形的个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 52.典型例题：例1：如图，l =⋂βα，PA ⊥面α于A ,PB ⊥面β于B .求证：l ⊥面PAB例2：已知PA ⊥圆O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上不同于,A B 的任意一点，过A 作AE ⊥PC 于E ，求证：AE ⊥平面PBC .变式：再增加AF ⊥PB 于F ，求证：PB ⊥平面AEF .例3：如图，ABC ∆中，︒=∠90ACB ，PA ⊥面ABC ,过A 作AE ⊥PC 于E ，过A 作AF ⊥PB 于F .①求证：BC ⊥面PAC ；②求证：PB ⊥面AEF ；例4：如图，矩形ABCD 中，SA ⊥面ABCD ,过A 作AE ⊥SB 于E ，过E 作EF ⊥SC 于F .①求证：AF ⊥SC ；②若平面AEF 交SD 于G ，求证：AG ⊥SD .三、课后见功：1.已知PD ⊥面ABCD ,四边形ABCD 是矩形，N M ,分别是PC AB ,的中点. 求证：MN ⊥CD .2.正方体1111D C B A ABCD -中①求证：1AC ⊥BD ；②求证：1AC ⊥面11D CB四、拾遗补缺： 线线垂直与线面垂直的转化。
山西省朔州市平鲁区李林中学高中数学 直线的一般方程(2)导学案 新人教A版必修2
山西省朔州市平鲁区李林中学高中数学 直线的一般方程（2）导学案 新人教A 版必修2二．知新题型一：求直线的一般方程例1.直线0)11()3()12(=--+--k y k x k ，)(R k ∈所经过的定点是例2.在同一坐标系中，直线0:1=+-b y ax l ，与:2l 题型二：直线方程的五种形式的互化与应用例3.过点)4,5(),1,3(B A -的直线方程的两点式为 ，化成一般式为，化为截距式为 ，斜截式为 变式：直线0423+--y x 的截距式方程是 （ ）1443.=-y x A 42131.=-y x B 1243.=-+y x C 1234.=-+y x D 题型三：利用直线的一般式方程研究平行问题和垂直问题例4.求经过点)2,3(A ，且与直线024=-+y x 平行的直线方程。
变式：已知直线l 与直线0743=-+y x 的倾斜角相等，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，则直线l 的方程为探究：已知直线21,l l 的方程分别是111111,(0:B A C y B x A l =++不同时为0)，222222,(0:B A C y B x A l =++不同时为0)，且02121=+B B A A ，求证21l l ⊥。
例5.求过点)1,2(B 且与直线052=-+y x 垂直的直线l 的方程。
例6.（1）是否存在直线221:(23)()2l m m x m m y m +-+-=与直线2:1l x y -=平行？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由。
（2）若直线1:(1)30l ax a y +-+=与直线2:(1)(23)0l a x a y -++=互相垂直，求a的值题型四：直线方程的五种形式的综合应用例7.已知两直线0111=++y b x a 和0122=++y b x a 都通过点)3,2(P ，求经过两点),(),,(222111b a Q b a Q 的直线方程。
山西省朔州市平鲁区李林中学高中数学 两直线平行与垂直的判定(1)导学案 新人教A版必修2
山西省朔州市平鲁区李林中学高中数学 两直线平行与垂直的判定（1）导学案 新人教A 版必修2二、 课堂识真( 预习教材P86-89,完成以下问题)问题1:在初中平面几何的学习中,我们如何判定两条直线的平行关系呢?问题2:若两条不重合的直线12,l l ,其斜率分别为12,k k ,若12//l l ,那么,1k 与2k 有什么关系呢?若1k =2k ,那么1l 与2l 有怎样的位置关系呢?问题3：两平行直线的斜率一定相等吗？1．两直线平行的判定（1）若1l ，2l 为两条不重合的直线，且斜率分别为1k ，2k ，则12//l l ⇔（2）特别的：当1l ，2l 的斜率都不存在时，两直线 但斜率不相等 问题4：当两直线垂直时，它们的倾斜角有怎样的关系？你能借助于斜率将这种几何特征代数化吗？问题5：当两直线垂直，如果其中一条的斜率不存在时，那么另一条如何呢？2．两直线垂直的判定（1）若1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，则12l l ⊥⇔（2）特别地，若其中一条的斜率不存在，则与它垂直的直线其倾斜角为 ，斜率为问题6：运用斜率判断两直线平行或垂直的关系是否适用于所有直线呢？因此，在研究两直线是否平行或垂直时，需要进行怎样的思考？3．典型例题：例1：已知()2,3A ，()()()4,0,3,1,1,2B P Q ---，试判断直线BA 与PQ 的位置关系，并证明你的结论.例2:已知()()()()6,0,3,6,0,3,6,6A B P Q --,试判断直线AB 与PQ 的位置关系.变式：已知()()()1,1,2,2,3,0A B C -三点，求点D 的坐标，使得,CD AB ⊥且//CB AD .例3：已知四边形ABCD 的四个顶点分别()()0,0,2,1A B -，()()4,2,2,3C D ，试判断四边形ABCD 的形状，并给出证明.例4：已知()()()5,1,1,1,2,3A B C -三点，试判断ABC V 的形状.变式：()()()5,1,1,1,2,A B C m -，问：是否存在正实数m ，使ABC V 为直角三角形？若存在，求m 的所有值；若不存在，说明理由.练习：89页练习 1,2① 总结提升：※学习小结：1.1212//l l k k ⇔=或12,l l 的斜率都不存在且不重合。
高中数学 2.1.3《空间直线与直线的位置关系2》导学案 新人教A版必修2
【学习目标】知识与技能：1.异面直线所成的角的定义2.等角定理，3会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角。
过程与方法：培养空间想象力。
情感态度与价值观：1.提高空间想象能力和作图能力。
、2.增强动态意识，培养观察、对比、分析的思维，通过平移转化渗透数学中的化归及辩证唯物主义思想。
3.通过探究增强学生的合作意识、动脑意识和动手能力。
【重点难点】学习重点：异面直线所成的角学习难点：找出或作出异面直线所成的角【学法指导】通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，从而较好地完成本节课的教学目标。
【知识链接】1.异面直线：2.空间中两条直线的位置关系有三种：3公理4：【学习过程】A 问题1在平面内, 我们可以证明 “ 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补 ”．空间中这一结论是否仍然成立呢？观察：如图所示,长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中, ∠ADC 与∠A 1D 1C 1 ,∠ADC 与∠A 1B 1C 1两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何?A 问题2：（等角定理）：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，（ ） A 问题3：异面直线所成的角的定义：异面直线所成的角的范围：注：如果两条异面直线 a , b 所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直 , 记为a ⊥ b B 问题4： 这个角的大小与O 点的位置有关吗 ? 即O 点位置不同时, 这一角的大小是否改变?注：在求作异面直线所成的角时,O 点常选在其中的一条直线上(如线段的端点,线段的中点等) B 例1.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，（1）哪些棱所在的直线与直线BA 1成异面直线？（2）求直线BA 1和CC 1所成的角的大小。
（3）哪些棱所在的直线与直线A 1B 垂直？B 例2.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，1。
A 1B 1与C 1C 所成的角 2。
山西省朔州市平鲁区李林中学高中数学 直线的两点式方程 2导学案 新人教A版必修2
山西省朔州市平鲁区李林中学高中数学 直线的两点式方程 2导学案 新人教A 版必修2新知：1. 已知三角形ABC 的三个顶点分别为A （0,4），B （-2,6），C （-8,0）， ①求边AC 和AB 所在直线的方程；②求AC 边上的中线BD 所在直线的方程.③求AC 边上的中垂线所在直线的方程.④求AC 边上的高所在直线的方程.2．求过两点()()2,,1,221m P P 的直线l 的方程（其中R m ∈）.3.求过点P （2,3）且在x 轴上的截距与在y 轴上的截距相等的直线l 的方程 .变式：求过点（2,3），且在x 轴上的截距为在y 轴上的截距的3倍的直线l 的方程※ 当堂检测1. 以A(1,3),B(-5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是（ ）A.3x －y －8=0 B .3x +y +4=0 C. 3x －y +6=0 D. 3x +y +2=02.直线l ：163=-y x 与坐标轴围成的三角形的面积为___________ 3. 直线l 1, l 2在x 轴上的截距都是m ，在y 轴上的截距都是n ，则l 1, l 2满足（ ）A ．平行B ．重合C ．平行或重合D ．相交或重合4.已知A(3,2),B(8,12)，a) 求直线AB 的方程.b) 若C(-2，a)在直线AB 上，求实数a 的值 .5.已知直线l 过点P （-5,4），且与两坐标轴正半轴围成三角形的面积为5，求直线l 的方程。
6.经过点A （1,2），并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请写出这些直线的方程.7.如图，某地汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费y （元）与行李重量x (kg)的关系用直线AB 的方程表示，试求：（1）直线AB 的方程；（2）旅客最多可免费携带多少行李？。
山西省朔州市平鲁区李林中学高中数学 小结与复习 异面直线所成的角导学案 新人教A版必修2
山西省朔州市平鲁区李林中学高中数学小结与复习异面直线所成的角导学案新人教A版必修2二、课堂识真：1.复习回顾：复习1：空间任意两条直线的位置关系有_______、___ ___、_______三种.复习2：异面直线是指________________________复习3：平行公理：________________________________；空间等角定理：__________________________________________.2.导入新课：问题：平面内两条直线的夹角是如何定义的?想一想两条异面直线的相对倾斜程度如何描述？3.异面直线所成的角：⑴定义：问题：①作异面直线夹角时，夹角的大小与点O的位置有关吗?点O的位置怎样取才比较简便?②异面直线所成的角的范围是多少?③两条互相垂直的直线一定在同一平面上吗?④异面直线的夹角是通过什么样的方法作出来的?它体现了什么样的数学思想?⑵异面直线所成角的方法------平行平移法⑶求异面直线所成角的步骤：作---证---求.4.典型例题：例1：正方体1111ABCD A B C D -中，求下列异面直线所成的角：①1AA 与11D C ；1AA 与11B C ；②1AA 与1BC ；③1AA 与1BD 所成的角的余弦；④11A C 与1AD ；⑤11A C 与BD ；例2：正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 是中点.求异面直线1BD 与AC 所成的角例3：如图2-5，在三棱锥P ABC -中，PA BC ⊥，E 、F 分别是PC 和AB 上的点，且32PE AF EC FB ==，设EF 与PA 、BC 所成的角分别为,αβ， 求证：90αβ+=°.三、课后见功：1.如图4-4,是正方体的平面展开图,图4-4则在这个正方体中：①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 是异面直线③CN 与BM 成60°角 ④DM 与BN 是异面直线其中正确命题的序号是（ ） A.①②③ B.②④ C.③④ D.②③④2．空间四边形ABCD ,,E F 是AB 与CD 中点，2AD BC ==，3EF =求AD 与BC 所成的角.3.如图，正三棱柱111ABC A B C -中（底面为正三角形，侧棱垂直于底面）中，若12AB BB =，求1AB 与1C B 所成的角.四、拾遗补缺：求异面直线所成的角的方法：①直接平移法；②中位线平移法；③补形平移法.。
山西省朔州市平鲁区李林中学高中数学 小结与复习 直线
山西省朔州市平鲁区李林中学高中数学 小结与复习 直线与平面所成的角导学案 新人教A 版必修2二、课堂识真：1.导入新课：（预习教材P 66找出疑惑之处）2.直线与平面所成的角(1)斜线，斜足底概念：如图，直线PA 和平面α相交但不垂直，PA 叫做平面的斜线，PA 和平面的交点A 叫斜足；（2）射影的概念：PO α⊥，AO 叫做斜线PA 在平面α上的射影.（3）直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条直线和平面所成的角.问题：直线垂直于平面，则它们所成的角是 ； 问题：直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是 .问题：直线与平面所成的角的范围是： 问题：球线面所成的角度步骤：总结：求直线与平面所成的角关键是作出斜线上一点到平面的垂线，找到这点的射影--------垂足的位置。
确定点的射影位置的方法有：（1）斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面内的射影上；（2）若两个面垂直，则一个面上的点在另一面上的射影必在两个平面的交线上；（3）特殊的射影位置：过ABC ∆所在平面α外一点P ，作PO α⊥面,垂足为O ,连接.,,PC PB PA ①若PC PB PA ==，则点O 是ABC ∆的 心；②若PC PB PA ==，︒=∠90C ，则点O 是ABC ∆的 心；③若PA PB ⊥,PB PC ⊥,PC PA ⊥，则点O 是ABC ∆的 心；④一个点到一个角的两边距离相等，则这个点的射影在这个角的角平分线上.3.典型例题例1.在正方体1AC 中，E,F 分别是111,AA A D 的中点，求（1）1D B 与平面AC 所成角的余弦值；O A P α（2）EF 与平面11A C 所成的角.例2. 如图，在正方体中，求直线A B '和平面A B CD ''所成的角.例3:正方体1111ABCD A B C D -中，求1BB 与平面1ACD 所成角的余弦值。
山西省朔州市平鲁区李林中学高中数学 空间几何体的直
山西省朔州市平鲁区李林中学高中数学空间几何体的直观图导学案新人教A版必修2学习重点难点2.水平放置的空间几何体的直观图的画法二．课堂识真1.导入新课：空间几何体除了用三视图表示外，更多的是用直观图来表示.用来表示空间图形的平面图叫空间图形的直观图.要画空间几何体的直观图，先要学会水平放置的平面图形的画法.我们将学习用斜二测画法来画出它们.你知道怎么画吗?探究1水平放置的平面图形直观图的画法 (阅读P16例1,完成以下问题)问题1用斜二测画法画水平放置平面图形的直观图的基本步骤是什么?问题2在用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时,关键是确定多边形的顶点位置,如果多边形的顶点在坐标轴上,你如何确定其位置?如果顶点不在坐标轴上,你又如何确定呢?问题3通过对例1的阅读,你能否知道原图中的平行关系和线段长度关系在直观图中是否发生了变化,若发生了变化,又有什么规律呢?例1 用斜二测画法画水平放置正六边形的直观图探究2空间几何体的直观图画法问题1斜二测画法也能画空间几何体的直观图，和平面图形比较，空间几何体多了一个“高”，你知道画图时该怎么处理吗？其直观图唯一吗?例2(试一试) 用斜二测画法画长4cm、宽3cm、高2cm的长方体的直观图.问题2比较用斜二测画法画平面图形和空间几何体的直观图时有何联系和区别?问题3用斜二测画法画出的直观图是空间几何体在哪一种投影下得到的图形?三视图呢? 例3.如下图，是一个空间几何体的三视图，请用斜二测画法画出它的直观图.练习: 右图是一个几何体的三视图,画出它的直观图.三．课后见功1.利用斜二测画法得到的:①三角形的直观图一定为三角形②正方形的直观图一定为菱形③等腰梯形的直观图可以为平行四边形④菱形的直观图一定是菱形其中正确的是 .2.下列说法①角的水平放置的直观图一定是角②相等的角的直观图也相等③相等的线段的直观图也相等④若两条线段平行,则在直观图中对应的两线段仍平行其中正确的是3.一个三角形一边在x轴上,此边的高在y轴上,采用斜二测画法作出直观图,其直观图的面积是原三角形面积的 .4.如图,四边形ABCD是一个梯形,CD∥AB,CD=AO=OD=1,△AOD为等腰直角三角形,O为AB中点,则梯形ABCD的水平放置的直观图的面积为 .5.如图所示的直观图表示的平面图形是A.锐角三角形B.任意三角形C.直角三角形D.钝角三角形6..课后作业 P 21 4 5四．拾遗补缺※学习小结1.斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤.2.简单组合体直观图的画法；由三视图画直观图.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差五．拓展空间1.用斜二测画法画出的一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的正方形,画出原图.2.如图△A ˊB ˊC ˊ为用斜二测画法画出的水平放置的平面图形△ABC 的直观图,试将其恢复成原图形.。
山西省朔州市平鲁区李林中学高中数学 直线的点斜式方
山西省朔州市平鲁区李林中学高中数学 直线的点斜式方程 （2）导学案 新人教A 版必修25. 已知三角形的三个顶点(2,2),(3,2),(3,0)A B C -，求这个三角形的三边所在的直线方程.二、知新例1.已知直线111222:;:l y k x b l y k x b =+=+，试讨论：（1）1l ∥2l 的条件是什么？（2）12l l ⊥的条件是什么？变式1：判断下列各对直线是否平行或垂直；（1）1211:3,:222l y x l y x =+=- （2）1253:,:35l y x l y x ==- 2.求经过点(1,2)且与直线23y x =-平行的直线方程.3.求经过点（-2，-2），且与直线35y x =-垂直的直线方程例2.求与直线4350x y -+=垂直，且与坐标轴围成面积为24的直线方程变式：直线l 过点(2,3)P -且与x 轴、y 轴分别交于,A B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，求直线l 的方程.三、当堂检测1.直线的方程00()y y k x x -=-（ ）A.可以表示任何直线B.不能表示过原点的直线C.不能表示与y 轴垂直的直线D.不能表示与x 轴垂直的直线2.方程1y ax a=+表示的直线可能是（ ）3.若k<0,b<0,则直线y=kx+b 一定不过（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.已知直线12:,:,l y kx b l y bx k =+=+则可以表示它们的图像的是（ ）5.直线l ：y-3=k(x+1)必经过定点 ；若l 的倾斜角为120°,则l 的纵截距是6.直线l 的倾斜角是直线1y x =+的倾斜角的两倍，且过定点P （3,3），则直线l 的方程为7.k 取不同实数时，方程2kx+y+1-6k=0表示不同的直线，这些直线都过一定点P ，则P 的坐标为8.已知直线l 与直线230x y +=有相同的斜率，且经过点（-1,2），求直线l 的点斜式方程9.已知三角形的三个顶点是A （4,0），B （6,7），C （0,3）求BC 边上的高所在直线的方程10.已知直线l 始终与直线y=2x+3垂直，且与直线y-2=k(x-1)相交，求直线l 的斜截式方程.。
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山西省朔州市平鲁区李林中学高中数学空间直线与直线之间的位置关系导学案新人教A版必修2
1. 正确理解异面直线的定义；
2. 会判断空间两条直线的位置关系；
3. 掌握平行公理及空间等角定理的内容和应用.
二、课堂识真：
1.导入新课：
(预习教材P44~ P47，找出疑惑之处）
问题：同一平面内的两条直线有几种位置关系？空间中的两条直线有几种位置关系？观察：如图在长方体中，直线A B'与CC'的位置关系如何？
2.空间两条直线的位置关系：
共面直线相交直线---
平行直线---
异面直线---
问题：按照是否有公共点，又如何分类？
3.异面直线：
⑴定义：
试试：请在上图的长方体中，再找出3对异面直线.
⑵画法：
问题：作图时，怎样才能表示两条直线是异面的？
⑶异面直线的判定与证明：---（反证法）
例1：异面直线是指（ ）
A.不同在一个平面内的两条直线；
B.分别在某两个平面内的两条直线；
C.既不平行也不相交的两条直线；
D.平面内的一条直线与平面外的一条直线.
例2：⑴直线,a b 是异面直线，,a c 也是异面直线，则直线,b c 的位置关系
⑵直线,,a b c 中，a ∥b ，a 与c 是异面直线，则直线,b c 的位置关系
例3：如图，a αβ⋂=，b β⊂，a b A ⋂=，c α⊂，且a ∥c
求证：,b c 是异面直线.
4. 平行公理及空间等角定理
问题：平面内若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行；空间是否有类似规律?
观察：如图在长方体中，直线C D ''∥A B ''，AB ∥A B ''，那么直线AB 与C D ''平行吗?
公理4：
问题：如图在长方体中,ADC ∠与A D C '''∠,ACD ∠与A C D '''∠的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何?
等角定理：
5.典型例题：
例4：空间四边形ABCD 中，,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 的中点， 求证：四边形EFGH 是平行四边形.
变式：在例4中，如果再加上条件AC BD =，那么四边形EFGH 是什么图形？
6.课堂练习：48页 1①
7.课外作业：习题2.1 A 组 3，5，7，8.
三、课后见功：
1. ,,a b c 为三条直线，如果,a c b c ⊥⊥，则,a b 的位置关系必定是（ ）.
A.相交
B.平行
C.异面
D.以上答案都不对
2. 已知,a b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b （ ）.
A.一定是异面直线
B.一定是相交直线
C.不可能是平行直线
D.不可能是相交直线
3. 已知l αβ= ,,a b αβ⊂⊂，且,a b 是异面直线，那么直线l （ ）.
A.至多与,a b 中的一条相交
B.至少与,a b 中的一条相交
C.与,a b 都相交
D.至少与,a b 中的一条平行
4. 正方体ABCD A B C D ''''-的十二条棱中，与直线AC '是异面直线关系的有__________条.
四、拾遗补缺：
※ 学习小结
1. 异面直线的定义、及简单的判断；
2. 空间直线的位置关系；
3. 平行公理及空间等角定理.
※ 知识拓展
异面直线的判定方法：
①定义法：利用异面直线的定义，说明两直线不平行，也不相交，即不可能在同一个平面内.
②定理法：利用异面直线的判定定理说明.
异面直线的判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线.
如图，,,,a A B B a ααα⊂∉∈∉，则直线AB 与直线α是异面直线.
③反证法(常用)：假设两条直线不异面，则它们一定共面，即这两条直线可能相交，也可能平行，然后根据题设条件推出矛盾.
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
五、拓展空间：
1. 已知,E E '是正方体AC '棱AD ，A D ''的中点，求证：CEB C E B '''∠=∠.。