河北省衡水中学2020届高三上学期期中考试数学(文)试题 PDF版含答案
河北省衡水中学2020届高三上学期期中考试数学(文)试题 Word版含解析
2019-2020学年河北省衡水中学高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题）1.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是A. B. C. D.2.等差数列的前n项和为，已知，且，则等于A. 100B. 50C. 0D.3.已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为A. B. C. 1 D. 44.在中，D是AB边上一点，，且，则的值为A. B. C. D.5.已知双曲线的离心率，且与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为A. B. C. D.6.已知角满足，则A. B. C. D.7.已知函数的部分图象如图所示，则A.B.C.D.8.已知各项不为0的等差数列满足，数列是等比数列且，则等于A. B. C. D.9.已知点P为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点I是的内心三角形内切圆的圆心，若恒有成立，则双曲线的离心率取值范围是A. B. C. D.10.函数向右平移个单位后得到，若在上单调递增，则的取值范围是A. B. C. D.11.已知函数，若当时，有解，则m的取值范围为A. B. C. D.12.在平面直角坐标系xOy中，已知圆：，圆：，点，若点A，B分别为圆和圆上的动点，且，N为线段AB的中点，则MN的最小值为A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题）13.己知向量，，则在方向上的投影为______．14.若函数只有一个极值点，则k的取值范围为______．15.已知抛物线E：的焦点为F，准线为，过F的直线m与E交于A，B两点，过A作，垂足为M，AM的中点为N，若，则______16.数列为1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，，首先给出，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是，，然后再复制前面所有的项1，1，2，再添加2的后继数3，于是，，，，接下来再复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，再添加4，，如此继续，则______．三、解答题（本大题共6小题）17.己知的面积为，且且．求角A的大小；设M为BC的中点，且，的平分线交BC于N，求线段AN的长度．18.已知等差数列前n项和，等比数列前n项和为，，，．若，求数列的通项公式；若，求．19.已知点F为抛物线E：的焦点，点在抛物线E上，且．求抛物线E的方程；已知点，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．20.已知数列的各项均为正数，它的前n项和满足，并且，，成等比数列．求数列的通项公式；设，为数列的前n项和，求．21.已知函数，．Ⅰ求函数的单调区间；Ⅱ令两个零点，，证明：．22.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的焦距为4，且过点．求椭圆C的方程设椭圆C的上顶点为B，右焦点为F，直线l与椭圆交于M、N两点，问是否存在直线l，使得F为的垂心，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数的单调性，奇偶性，是基础题．根据函数单调性，奇偶性，对选项逐一判断即可．【解答】解：对于A，函数满足，定义域关于原点对称，且在上单调递增，故A正确；对于B，，定义域关于原点对称，函数为偶函数，但在上单调递减，故B错；对于C，函数不是偶函数，故C错；对于D，，定义域关于原点对称，函数为偶函数，但在上不是增函数，故D错；故选A．2.【答案】C【解析】解：设等差数列的公差为d，又，，解得，，故选：C．由题意可得公差d的方程，解得d值代入等差数列的求和公式计算可得．本题考查等差数列的性质和求和公式，求出公差是解决问题的关键，属基础题．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线垂直的条件，化简运算能力，属于基础题．求得的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件可得a的方程，解方程可得所求值．【解答】解：的导数为，可得在点处的切线斜率为，由切线与直线垂直，可得，即．故选：C．4.【答案】D【解析】解：由在中，D是AB边上一点，，则，即，故选：D．由平面向量的线性运算可得：，即，得解．本题考查了平面向量基本定理及向量的线性运算，属中档题．5.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查椭圆，双曲线的基本元素之间的关系问题，同时双曲线、椭圆的相应知识也进行了综合性考查．先根据椭圆的方程求出焦点坐标，得到双曲线的c值，再由离心率求出a的值，最后根据得到b的值，可得到渐近线的方程．【解答】解：椭圆的焦点为，故双曲线中的，且满足，故，，所以双曲线的渐近线方程为故选C．6.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了诱导公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．由已知利用诱导公式可求，根据诱导公式，二倍角公式化简所求即可计算得解．【解答】解：，．故选D．7.【答案】C【解析】解：由函数的部分图象，可得，由，求得．再根据五点法作图，可得，，，，故选：C．由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式，从而求得的值．本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：由，得，即，即，，，则．故选：C．由条件利用等差数列的性质可得，求得的值，再根据计算．本题考查等差数列、等比数列的性质，求出是解题的关键，属于中档题．9.【答案】D【解析】解：设的内切圆半径为r，则，，，，，由双曲线的定义可知：，，，即．又，双曲线的离心率的范围是故选：D．根据条件和面积公式得出a，c的关系，从而得出离心率的范围．本题考查了双曲线的性质，考查直线与双曲线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．10.【答案】D【解析】解：函数向右平移个单位后得到，令，整理得，由于在上单调递增，所以，解得，由于，所以．同理，解得，由于，所以．故：的取值范围是故选：D．首先利用三角函数关系式的平移变换的应用求出的关系式，进一步利用函数的单调性和子集间的关系的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应用，三角函数的图象的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．11.【答案】C【解析】解：，令，解得，当时，，当时，0'/>，在上递减，在上递增，当时，，又，，，，，故选：C．先求导，判断出函数的单调性，可得函数值的情况，即可求出m的取值范围．本题考查了导数和函数单调性和最值的关系，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．12.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查直线和圆的位置关系，两点间的距离公式，圆的标准方程，属于中档题．设、，由已知条件可得设AB中点为，则，利用线段的中点公式求得，再由的范围求得的范围，则的最小值可求．【解答】解：设、，则，，，即，，设AB中点，则，，，即，点的轨迹是以为圆心、半径等于的圆，的取值范围是，，的范围为，则的最小值为1．故选：A．13.【答案】1【解析】解：向量，，，，在方向上的投影为，．故答案为：1．根据，，得在上的投影为，，求出，代入投影的公式计算即可．本题考查了平面向量的坐标运算，属于基础题．14.【答案】【解析】解：函数只有一个极值点，，若函数只有一个极值点，只有一个实数解，则：，从而得到：，当时，成立．当时，设，，如图：当两函数相切时，，此时得到k的最大值，但时不成立．故k的取值范围为：综上：k的取值范围为：故答案为：．利用函数求导函数，只有一个极值点时只有一个实数解有，设新函数设，，等价转化数形结合法即可得出结论，本题考查了利用导数研究函数的极值点、考查了不等式问题的等价转化方法，数形结合法，考查了推理能力，属于中档题．15.【答案】16【解析】【分析】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，是中档题．由题意画出图形，得到直线AB的斜率，进一步求得直线AB的方程，与抛物线方程联立求解即可得答案．【解答】解：由题意画出图形如图，，N为AM的中点，且，，则直线AB的倾斜角为，斜率为．由抛物线，得，则直线AB的方程为．联立，得．则，．故答案为16．16.【答案】1【解析】解：由数列的构造方法可知，，，，可得，即，故．故答案为：1．由数列的构造方法可知，，，，可得，即，进而得出结论．本题考查了数列递推关系、归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：由题可得：；的面积为，；；又；．如图在中，AM为中线，；由知；，；由余弦定理得．；；又因为，，；；．【解析】根据已知条件求出角的正切值，再结合角的范围即可求解；先根据条件求出b，c，a；再借助于面积之间的关系求出CN，BN之间的比例关系，结合题中条件即可求解．本题主要考查向量的数量积的应用以及三角形中的有关计算，属于中档题目．．18.【答案】解：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由，，，，得，解得．；由，，得，即或．当时，，此时，，；当时，，此时，，．综上，或5．【解析】设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由已知列关于d和q的方程组，求得q，可得数列的通项公式；由，列式求得q，然后分类求解．本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前n项和的应用，考查计算能力，是中档题．19.【答案】解：由抛物线定义可得：，解得．抛物线E的方程为；解法一：证明：点在抛物线E上，，解得，不妨取，又因为，则可得直线AF的方程：，联立，化为，解得或，从而．又，，，，轴平分，因此点F到直线GA，GB的距离相等，以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．解法二：证明：点在抛物线E上，，解得，不妨取，由，可得直线AF的方程：，联立，化为，解得或，从而．又，可得直线GA，GB的方程分别为：，，故点到直线GA的距离，同理可得点到直线GB的距离．因此以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．【解析】本小题主要考查抛物线、直线与抛物线及与圆的位置关系及其性质、点到直线的距离公式等基础知识，属于中档题．由抛物线定义可得：，解得即可得出抛物线E的方程．解法一：由点在抛物线E上，解得m，不妨取，，可得直线AF的方程，与抛物线方程联立化为，解得又，计算，，可得，，即可证明以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．解法二：由点在抛物线E上，解得m，不妨取，，可得直线AF的方程，与抛物线方程联立化为，解得又，可得直线GA，GB的方程，利用点到直线的距离公式可得：点到直线GA、GB的距离，若相等即可证明此以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．20.【答案】解：对任意，有当时，有当并整理得，而的各项均为正数，所以．当时，有，解得或2，当时，，此时成立；当时，，此时不成立；舍去．所以，，．【解析】根据可类比的得到，然后两式相减得到，再由的各项均为正数，可得到，再由等差数列的通项公式法可得到答案．先根据，可得到，再由等差数列的前n项和公式可得到答案．本题主要考查数列递推关系式的应用和等差数列的求和公式的应用．考查综合运用能力．21.【答案】Ⅰ解：由题可知，，单调递增，且，当时，，当时，；因此在上单调递减，在上单调递增．Ⅱ证明：由有两个零点可知由且可知，当时，，当时，；即的最小值为，因此当时，，可知在上存在一个零点；当时，，可知在上也存在一个零点；因此，即．【解析】本小题考查函数与导数的相关知识．函数的单调性以及函数的最值的求法，零点判断定理的应用，是难题．Ⅰ求出函数的导数，利用导函数的符号判断函数的单调性，求出单调区间；Ⅱ求出的导数，求解函数的最小值，通过零点判断定理，转化两个零点，，所在位置，即可证明：．22.【答案】解：由已知可得，解得，，所以椭圆C的方程为．由已知可得，，，，，可设直线l的方程为，代入椭圆方程整理，得．设，，则，，，，即．，，，即．，或．由，得．又时，直线l过B点，不合要求，，故存在直线l：满足题设条件．【解析】由已知列出关于a，b，c的方程组，解得a，b，c，写出结果即可；由已知可得，，所以，因为，所以可设直线l的方程为，代入椭圆方程整理，得设，，由根与系数的关系写出两根之和和两根之积的表达式，再由垂心的性质列出方程求解即可．本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的关系，三角形的垂心等概念，属于中档题．。
河北省衡水市衡水中学2020届高三上学期二调考试数学(文)试题 Word版含解析
2019—2020学年度上学期高三年级二调考试数学（文科）试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第I 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．第I 卷一．选择题（从每小题给出的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑）1.若集合}{12A x x =-≤≤，{}10B x x =-<，则A B U =( ). A. }{1x x <B. }{11x x -≤<C. {}2x x ≤D.{}21x x -≤<【答案】C 【解析】 【分析】直接根据并集的定义求解即可.【详解】因为}{12A x x =-≤≤，{}{}101B x x x x =-<=<， 所以，根据并集的定义：A B ⋃是属于A 或属于B 的元素所组成的集合， 可得{}2A B x x ⋃=≤，故选C.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 或属于集合B 的元素的集合.2.设30.2a =，2log 0.3b =，3log 2c =，则（ ） A. a b c >> B. a c b >>C. b a c >>D. c a b >>【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的单调性，并结合取中间值法即可判断大小.【详解】由于300.20.2<<，22log 0.3log 10<=， 331log 2log 32>=， 则323log 0.30.2log 2<<，即c a b >>.故选D.【点睛】本题主要考查对数与对数函数和指数与指数函数，利用函数的单调性比较大小是常用手段，属基础题.3.函数()2ln 11y x x =-+-的图象大致为( )A B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】利用对称性排除A ，C ；利用单调性排除D ，从而得到结果.【详解】由于2ln y x x =+为偶函数，所以()2ln 11y x x =-+-关于直线x 1=轴对称，从而可排除A ，C ；2ln y x x =+在()0∞+，上为增函数，所以()2ln 11y x x =-+-在()1∞+，上为增函数，排除D; 故选B【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象. 4.在ABC ∆中，角AB C 的对边分别为a,b,c,且sin 22,1,,1cos 26c b B c π===- 则a 的值为( )A.31- B. 232C. 232D.62【答案】D 【解析】 【分析】由sin211cos2c c =-得到角C ，又6B π=，故A=712π，利用正弦定理即可得到结果.【详解】由sin211cos2c c =-可得：2212sinCcosC sin C =,即tanC=1,故C=,4πA=712π由正弦定理：a b sinA sinB = 可得：7126a bsin sin ππ=, ∴7a 4s?6212in π==故选D【点睛】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键． 5.已知1sin()62πθ-=，且02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则cos()3πθ-=( ) A. 0 B.12C. 13【答案】C 【解析】 【分析】解法一：由题意求出θ的值，然后代入求出结果；解法二：由两角差的余弦公式求出结果 【详解】解法一：由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，π3θ=，代入πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭得， πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭=cos01=，故选C ．解法二：由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，π3cos 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以πππππππcos cos cos cos sin sin 13666666θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选C ． 【点睛】本题考查了运用两角差的余弦公式来求出三角函数值，较为基础6.已知锐角△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,23cos 2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b 等于( ) A. 10 B. 9C. 8D. 5【答案】D 【解析】【详解】由题意知,23cos 2A+2cos 2A-1=0, 即cos 2A=125, 又因△ABC 为锐角三角形, 所以cosA=15. △ABC 中由余弦定理知72=b 2+62-2b×6×15,即b 2-125b-13=0, 即b=5或b=-135(舍去),故选D.【此处有视频，请去附件查看】7.已知奇函数()f x 满足()()4f x f x =+，当()0,1x ∈时，()4xf x =，则()4log 184(f =)A. 3223-B.2332C.34D. 38-【答案】A【解析】 【分析】 根据函数的周期性结合奇偶性推导出()()44442332log 184log 18443223f f f log flog ⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用()0,1x ∈时，()4x f x =能求出结果．【详解】Q 奇函数()f x 满足()()4f x f x =+，()()44423log 184log 184432f f f log ⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭因为4231032log -<<， 所以442332013223log log <-=< 所以444233232322323f log f log f log ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又因为当()0,1x ∈时，()4xf x =，所以432log 23432423f log ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭3223=-,故选A ． 【点睛】本题考查对数的运算法则，考查函数的奇偶性、周期性等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．解答函数周期性、奇偶性、解析式相结合的问题，通常先利用周期性与奇偶性转化自变量所在的区间，然后根据解析式求解. 8.已知1cos sin 5αα-=，则cos 22πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=( ).A. 2425-B. 45- C. 2425D.45【答案】C 【解析】 【分析】 将1cos sin 5αα-=两边平方，求出24sin 225α=，利用诱导公式可得结果.【详解】因为1cos sin 5αα-=， 所以22cos 2sin cos sin 1sin 2ααααα-+=-=125， 所以24sin 225α=，cos 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭24sin 225α=，故选C.【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．9.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2cos ,4,cos a c Cb b B-==则ABC ∆的面积的最大值为（ ） A. 43 B. 23 C. 23【答案】A 【解析】 【分析】由已知式子和正弦定理可得B ，再由余弦定理和基本不等式可得ac ≤16，代入三角形的面积公式可得最大值． 【详解】∵在△ABC 中，2cos cos a c Cb B-= ∴（2a ﹣c ）cos B ＝b cos C ， ∴（2sin A ﹣sin C ）cos B ＝sin B cos C ，∴2sin A cos B ＝sin C cos B +sin B cos C ＝sin （B +C ）＝sin A ，约掉sin A 可得cos B ＝12，即B ＝3π，由余弦定理可得16＝a 2+c 2﹣2ac cos B ＝a 2+c 2﹣ac ≥2ac ﹣ac ， ∴ac ≤16，当且仅当a ＝c 时取等号， ∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B 3≤3故选A ．【点睛】本题考查解三角形，涉及正余弦定理和基本不等式以及三角形的面积公式，属中档题．10.已知函数()()xxf x x e e-=-，对于实数a b ，，“0a b +>”是“()()0f a f b +>”的( ). A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先判断出函数为奇函数，且为R 的单调增函数，结合单调性与奇偶性利用充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】因为()()()()xx x x f x x e e x e e f x ---=--=--=-，所以()f x 为奇函数，0x >时，()1xxf x x e e ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()f x 在()0,∞+上递增， 所以函数()f x 在R 上为单调增函数， 对于任意实数a 和b ，若0a b +>，则()(),a b f a f b >-∴>-，Q 函数()f x 为奇函数，()()f a f b ∴>-，()()0f a f b ∴+>，充分性成立；若()()0f a f b +>，则()()()f a f b f b >-=-，Q 函数在R 上为单调增函数，a b ∴>-，0a b ∴+>，必要性成立，∴对于任意实数a 和b ，“0a b +>”，是“()()0f a f b +>”的充要条件，故选C.【点睛】本题主要考查函数的单调性与奇偶性以及充分条件与必要条件的定义，属于综合题. 判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.11.如图是函数()sin y x ωϕ=+0,02πωϕ⎛⎫><< ⎪⎝⎭在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像，将该图像向右平移()0m m <个单位长度后，所得图像关于直线4x π=对称，则m 的最大值为（ ）．A. 12π-B. 6π-C. 4π-D. 3π-【答案】B 【解析】 【分析】由函数图像可得函数解析式为：sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由三角函数图像的平移变换可得平移后的解析式为sin 223y x m π⎛⎫=-+⎪⎝⎭，再结合三角函数图像的对称性可得,26k m k Z ππ=-+∈，再求解即可. 【详解】解：由题意可知，25()66T ππππω==--=，所以2ω=， 根据五点作图法可得2()06πϕ⨯-+=，解得3πϕ=，所以sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将该函数图像向右平移()0m m <个单位长度后，得到sin 223y x m π⎛⎫=-+⎪⎝⎭的图像， 又sin 223y x m π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图像关于直线4x π=对称，所以22432m k ππππ⨯-+=+，即,26k m k Z ππ=-+∈， 因为0m <，所以当0k =时，m 取最大值6π-， 故选B.【点睛】本题考查了由函数图像求解析式及三角函数图像的平移变换，重点考查了三角函数图像的对称性，属基础题. 12.若函数2()(1)(0)f x ln x ax a x=-+->恰有一个零点，则实数a 的值为( ) A.12B. 2C.1eD. e【答案】A 【解析】 【分析】先将函数零点转化为直线与曲线相切问题，再利用导数求切点即得切线斜率，即得a 的值. 【详解】函数的定义域为()1,+∞，若函数()()21(0)f x ln x ax a x =-+->恰有一个零点， 等价为()()210f x ln x ax x=-+-=恰有一个根，即()21ln x ax x-+=只有一个根，即函数()21y ln x x=-+和y ax =的图象只有一个交点，即当0a >时，y ax =是函数()21y ln x x=-+的切线,设()()21g x ln x x =-+，切点为(),m n ，则()21ln m n m-+=，因为()222122201x 1x x g x x x x -+=-=>--'，切线斜率()212'1k g m a m m ==-=-，则切线方程为()2121y n x m m m ⎛⎫-=--⎪-⎝⎭，Q 切线过原点()2122101m ln m m mm ⎛⎫∴--+-+= ⎪-⎝⎭， 即()4101m ln m m m -+-=-， 因为()()()()()()()2222224111111m m m m mln m m m m m m m m --+--+-≤---=--- 所以2m =，此时21212111121422a m m =-=-=-=--， 故选A ．【点睛】本题考查函数零点以及导数几何意义，考查综合分析求解能力，属中档题.第II 卷（非选择题共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知3sin()(0)25πααπ-=-<<，则sin 2α=__________． 【答案】2425- 【解析】 【分析】由题意求出sin α和cos α，然后再利用倍角公式求解． 【详解】∵3sin cos (0)25παααπ⎛⎫-==-<<⎪⎝⎭，∴2415sin cos αα=-=， ∴342422sin cos 2()5525sin ααα==⨯-⨯=-．故答案为2425-． 【点睛】本题考查同角三角函数关系及倍角公式，解题时容易出现的错误是忽视函数值的符号，属于简单题．14.将函数()sin cos (,R,0)f x a x b x a b a =+∈≠的图象向左平移6π个单位长度，得到一个偶函数图象，则ba=________． 3 【解析】 【分析】根据平移后关于y 轴对称可知()f x 关于6x π=对称，进而利用特殊值()03f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭构造方程，从而求得结果. 【详解】()f x Q 向左平移6π个单位长度后得到偶函数图象，即关于y 轴对称 ()f x ∴关于6x π=对称 ()03f f π⎛⎫∴= ⎪⎝⎭即：31sincos 332a b b bππ+=+= 3b a ∴= 3【点睛】本题考查根据三角函数的对称轴求解参数值的问题，关键是能够通过平移后的对称轴得到原函数的对称轴，进而利用特殊值的方式来进行求解. 15.设定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式()()121x e f x f x -<-的解集为__________． 【答案】(1,)+∞ 【解析】 【分析】根据条件构造函数F （x ）()xf x e =，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．【详解】设F （x ）()xf x e =，则F ′（x ）()()'xf x f x e-=，∵()()f x f x '>，∴F ′（x ）＞0，即函数F （x ）在定义域上单调递增． ∵()()121x ef x f x -<-∴()()2121xx f x f x ee--＜，即F （x ）＜F （2x 1-）∴x 2x 1-＜，即x ＞1 ∴不等式()()121x ef x f x -<-的解为()1,+∞故答案为()1,+∞【点睛】本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键． 16.设ABC ∆的内角A B C ，，的对边长a b c ，，成等比数列，()1cos cos 2A CB --=，延长BC 至D ，若2BD =，则ACD ∆面积的最大值为__________. 3【解析】 【分析】由()1cos cos 2A C B --=，可得1cos cos 4A C =，由,,a b c 成等比数列，结合正弦定理 可得2sin sin sinB AC =，两式相减，可求得3B π=，从而得ABC ∆为正三角形，设正三角形边长为a ，ACD S ∆ ()32a =-，利用基本不等式可得结果. 【详解】()cos cos A C B --Q ()()1cos cos 2A C A C =-++=， 1cos cos 4A C ∴=，① 又,,a b c Q 成等比数列，2b ac ∴=，由正弦定理可得2sin sin sin B A C =，② ①-②得21sin cos cos sin sin 4B AC A C -=- ()cos cos A C B =+=-，21cos 1cos 4B B ∴+-=-，解得1cos ,23B B π==， 由()1cos cos 2A C B --=，得()1cos cos 12A C B -=+=，0,A C A B -==，ABC ∆为正三角形，设正三角形边长为a ， 则2CD a =-，1sin1202ACD S AC CD o ∆=⋅ ()()13322224a a a a =-⨯=- ()22334a a ⎡⎤+-⎣⎦≤=，1a =时等号成立． 即ACD ∆33【点睛】本题主要考查对比中项的应用、正弦定理的应用以及基本不等式求最值，属于难题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.三．解答题（共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.将函数()sin2f x x =的图象向左平移6π个单位后得到函数()g x 的图像，设函数()()()h x f x g x =-.（Ⅰ）求函数()h x 的单调递增区间；（Ⅱ）若163g πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求()h α的值.【答案】(Ⅰ) ()5 1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，(Ⅱ) 13- 【解析】 【分析】(Ⅰ)由已知可得()sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()sin2sin 2sin 233h x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由 222232k x k πππππ-+≤-≤+，解不等式即可得结果；(Ⅱ)由163g πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭得21sin 2sin 26333πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，从而可得()21 sin 22333h sin ππααα⎛⎫⎛⎫=-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【详解】(Ⅰ)由已知可得()sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 则()sin2sin 23h x x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭1322sin 2223sin x cos x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭. 令222232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，，解得51212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，. ∴函数()h x 的单调递增区间为()51212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，.(Ⅱ)由163g πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭得21sin 2sin 26333πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∴221sin 2223333sin sin πππααπα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()13h α=-. 【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换以及三角函数的单调性，属于中档题.函数sin()y A x ωϕ=+的单调区间的求法：若0,0A ω>>,把x ωϕ+看作是一个整体，由22k x ππωϕ+≤+≤()322k k Z ππ+∈求得函数的减区间，2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+求得增区间.18.已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且5b =，()a b +()sin 2sin A b A C =+．（1）证明：ABC V 为等腰三角形．（2）设点D 在AB 边上，2AD BD =，17CD =AB 的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）6 【解析】 【分析】 （1）由正弦定理sin sin a b A B=，化角为边可得()22a a b b +=，再运算可得证； （2）设BD x =222217217x x =⨯⨯⨯⨯.【详解】（1）证明：因为()()sin 2sin 2sin a b A b A C b B +=+=，所以由正弦定理sin sin a b A B=，可得()22a a b b +=，整理可得()()20a b a b +-=． 因为20a b +>，所以a b =，ABC V 为等腰三角形，得证． （2）解：设BD x =，则2AD x =，由余弦定理可得2cos 2217CDA x ∠=⨯⨯2cos 217CDB x ∠=⨯⨯．因为CDA CDB π∠=-∠，222217217x x =⨯⨯⨯⨯2x =，所以6AB =．【点睛】本题考查了正弦定理及余弦定理，重点考查了解斜三角形及运算能力，属中档题. 19.已知函数2()f x x xlnx =-．（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若2()2x f x k ->在(1,)+∞上恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）0x y -=；（2）1(,]2-∞.【解析】 【分析】（1）对()f x 求导得到()f x '，代入切点横坐标1x =得到斜率，再写出切线方程；（2）令()()2222x x g x f x xlnx =-=-，证明其导函数在()1,+∞上恒为正，即()g x 在()1,+∞上恒增，而k 要满足()k g x <在()1,+∞上恒成立，从而得到k 的取值范围【详解】（1）()2f x x xlnx =-Q ，()'21f x x lnx ∴=--，'f （1）1=，又f （1）1=，即切线的斜率1k =，切点为()1,1， ∴曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程0x y -=；（2）令()()2222x x g x f x xlnx =-=-，()1,x ∈+∞，则()'1g x x lnx =--，令()1h x x lnx =--，则()11'1x h x x x-=-=． 当()1,x ∈+∞时，()'0h x >，函数()h x 在()1,+∞上为增函数，故()h x h >（1）0=； 从而，当()1,x ∈+∞时，()''g x g >（1）0=． 即函数()g x 在()1,+∞上为增函数，故()g x g >（1）12=． 因此，()22x f x k ->在()1,+∞上恒成立，必须满足12k …．∴实数k 的取值范围为(-∞，1]2．【点睛】本题考查利用导数求函数在某一点的切线，利用导数研究函数的单调性，恒成立问题，属于常规题. 20.已知()ln 1mf x n x x =++（m ，n 为常数），在1x =处的切线方程为20x y +-=． （Ⅰ）求f （x)的解析式并写出定义域； （Ⅱ）若1,1x e⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，使得对1,22t ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦上恒有32)22f x t t at ≥--+（成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若2()()()1g x f x ax a R x =--∈+有两个不同的零点12,x x ，求证：212x x e ⋅>. 【答案】（Ⅰ）21()ln 12f x x x =-+，x∈（0，+∞）；（Ⅱ）5[,)4+∞；（Ⅲ）详见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用导数的几何意义意义求得m ，n 的值，根据对数函数的定义得到函数定义域； （Ⅱ）f （x ）在[1e ，1]上的最小值为f （1）＝1，只需t 3﹣t 2﹣2at +2≤1，即212a t t t≥-+对任意的122t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立，构造函数m （t ），利用导数求出m （t ）的最大值，即可求得结论；（Ⅲ）不妨设x 1＞x 2＞0，得到g （x 1）＝g （x 2）＝0，根据相加和相减得到12112122x x x lnx lnx ln x x x ++=-，再利用分析法，构造函数，求出函数单调性和函数的最小值，问题得以证明．【详解】解：（Ⅰ）由f （x ）=1m x ++nlnx 可得()()21m n f x x x +'=-+， 由条件可得()114mf n =-+=-'，把x=-1代入x+y =2可得，y =1， ∴()112m f ==，∴m=2，12n =-，∴()21ln 12f x x x =-+，x∈（0，+∞）， （Ⅱ）由（Ⅰ）知f （x ）在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴f （x ）在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为f （1）=1， 故只需t 3-t 2-2at +2≤1，即212a t t t≥-+对任意的1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，令()21m t t t t =-+，()()2221112t 122112t m t t t t t t +⎛⎫=--=-+-=-+ ⎝'⎪⎭易求得m （t ）在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，[1，2]上单调递增，而1724m ⎛⎫=⎪⎝⎭，()522m =，∴2a≥m （t ）max=g （2），∴54a ≥，即a 的取值范围为5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（Ⅲ）∵()1ln 2g x x ax =--，不妨设x 1＞x 2＞0， ∴g （x 1）=g （x 2）=0， ∴111ln 2x ax -=，221ln 2x ax -=，相加可得()()12121ln ln 2x x a x x -+=+，相减可得()()12121ln ln 2x x a x x --=-， 由两式易得：12112122ln ln ln x x x x x x x x ++=-；要证212x x e >，即证明12ln ln 2x x +>，即证：121122ln 2x x x x x x +>-，需证明112212ln 2x x x x x x ->+成立，令12xt x =，则t ＞1，于是要证明()21ln 1t t t ->+，构造函数()()21ln 1t t t t ϕ-=-+，∴()()()()222114011t t t t t t ϕ-=-=+'>+，故ϕ（t ）在（1，+∞）上是增函数， ∴ϕ（t ）＞ϕ（1）=0，∴()21ln 1t t t ->+，故原不等式成立．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了利用已经证明的结论证明不等式的方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.21.已知函数()()11ln x f x ea x x -=--+ (a R ∈，e 是自然对数的底数).（1）设()g x =()f x ' (其中()f x '是()f x 的导数)，求()g x 的极小值； （2）若对[)1,x ∈+∞，都有()1f x ≥成立，求实数a 的取值范围．【答案】(Ⅰ) 2a -(Ⅱ) (] 2-∞，【解析】 【分析】(Ⅰ)求出()g x '，分别令()'0g x >求得x 的范围，可得函数()g x 增区间，()'0g x <求得x 的范围，可得函数()g x 的减区间，结合单调性可求得函数的极值；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，()f x '在()1+∞，上单调递增，在(0，1)上单调递减，()()12f x f a ''≥=-.讨论当2a ≤时，当2a >时两种情况，分别利用对数以及函数的单调性，求出函数最值，从而可筛选出符合题意的实数a 的取值范围.【详解】(Ⅰ)()()()110x g x f x ea x x -=+-'=>，()121x g x e x--'=. 令()()()1210x x g x e x x ϕ-=-'=>，∴()1320x x e xϕ-'=+>，∴()g x '在()0+∞，上为增函数，()10g '=. ∵当()01x ∈，时，()0g x '<；当()1x ∈+∞，时，()0g x '>， ∴()g x 的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为()1+∞，， ∴()()12g x g a ==-极小.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，()f x '在()1+∞，上单调递增，在(0，1)上单调递减， ∴()()12f x f a ''≥=-.当2a ≤时，()0f x '≥，()f x 在[)1+∞，上单调递增，()()11f x f ≥=，满足条件； 当2a >时，()120f a ='-<. 又∵()ln 11ln 10ln 1ln 1af a ea a a +=-+=>++'，∴()01ln 1x a ，∃∈+，使得()00f x '=，此时，()01x x ∈，，()0f x '<；()0ln 1x x a ∈+，，()0f x '>， ∴()f x 在()01x ，上单调递减，()01x x ∈，，都有()()11f x f <=，不符合题意. 综上所述，实数a 的取值范围为(]2-∞，. 【点睛】本题主要考查利用导数求函数的极值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.22.已知函数()221ln 2x f x x ax e e x=-++-（e为自然对数的底数）． （1）当a e =时，求曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线方程；（2）证明：当a e ≤时，不等式32212ln x ax x e x e ⎛⎫-≥-+ ⎪⎝⎭成立． 【答案】（1）0y = （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求函数的导函数为()'21ln 22xfx x e x -=--，再由导数的几何意义可得，所求切线的斜率即为()0f e '=，再求切线方程即可； （2）先构造函数()2212g x x ex e e =-++，()()ln 0x h x x x=>，结合导数的应用判断函数的单调性求出函数()g x 的最小值，函数()h x 的最大值，再比较大小即可得证. 【详解】（1）解：由题意知，当a e =时，()221ln 2xf x x ex e e x=-++-，解得()0f e =， 又()'21ln 22xfx x e x-=--， 所以()0k f e '==．则曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线方程为0y =． （2）证明：当a e ≤时，得2222ax ex -≥-， 要证明不等式32212ln x ax x e x e ⎛⎫-≥-+ ⎪⎝⎭成立，即证32212ln x ex x e x e ⎛⎫-≥-+ ⎪⎝⎭成立，即证22ln 12x x ex e x e ⎛⎫-≥-+ ⎪⎝⎭成立， 即证221ln 2xx ex e e x-++≥成立， 令()2212g x x ex e e =-++，()()ln 0x h x x x =>，易知()()1g x g e e≥=，由()21ln xh x x -'=，知()h x 在区间()0,e 内单调递增，在区间()0,∞+内单调递减，则()()1h x h e e≤=， 所以()()g x h x ≥成立．即原不等式成立．【点睛】本题考查了导数的几何意义及利用导数证明不等式，重点考查了函数与不等式的相互转化，属综合性较强的题型.。
河北省衡水中学2020届高三年级八调考试数学(文)试题及答案
河北省衡水中学2020届高三年级八调考试数学试卷（文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1．答卷Ⅰ前，考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上． 2．答卷Ⅰ时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．一、选择题（每小题5分，共60分．下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．设全集为R ，集合{}2|20A x x x =-<，集合{|||1}B x x =<，则A B =I （） A ．(1,1)-B ．(1,2)-C ．(0,1)D ．(0,2) 2．已知复数2000(1)z ii =⋅+，则z 的模||z =（）A ．1B．43．在2019年的国庆假期中，重庆再次展现“网红城市”的魅力，吸引了3000多万人次的客流．北京游客小李慕名而来，第一天打算游览“洪崖洞”，“解放碑”，“朝天门”．如果随机安排三个景点的游览顺序，则最后游览“朝天门”的概率为（）A ．16B ．56C ．13D ．234．已知非零向量,a b r r 满足：(1,1)a =r ，||1b =r ，()a b b -⊥r r r ，则向量,a b r r的夹角大小为（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 5．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，其内切球与外接球的表面积分别为12,S S ，则12S S =（） A ．1 B ．12C ．13D ．146．已知tan 2θ=-，则sin sin 2πθθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（） A ．25B ．25-C ．35D ．457．如图所示的一个算法的程序框图，则输出d 的最大值为（）A ．2B ．2C ．12+D ．122+8．已知()f x 是定义在[0,)+∞的函数，满足(3)()f x f x +=-，当[0,3)x ∈时，()2xf x =，则()2log 192f =（）A ．12B ．13C ．2D ．39．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的体积为（）A ．11223πB ．44113πC ．4411πD ．1122π 10．已知函数(2),1,()||1,11,f x x f x x x ->⎧=⎨--<⎩„关于x 的方程()log (1)a f x x =+恰有5个解，则a 的取值范围为（） A ．1175a <„B ．1175a <<C ．1164a <<D ．1164a <„11．已知抛物线24x y =的焦点为F ，过直线2y x =-上任一点引抛物线的两条切线，切点为,A B ，则点F 到直线AB 的距离（）A ．无最小值B ．无最大值C ．有最小值，最小值为1D 5 12．已知函数22()(21)(31)(2)(2)xx f x a a e a x e x =---+++有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为（）A ．1,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,22e +⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,1(1,)2e ⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭D ．11,11,22e +⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设,x y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则2x y -的最小值是______．14．对于三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，定义：设()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称()()00,x f x 为函数()f x 的拐点．某同学经过探索发现任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心设函数32115()33212g x x x x =-+-，则122020202120212021g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ______；202011(1)2021i i i g -'=⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑_______．（第一空2分，第二空3分）15．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点为12,F F ，以12F F 为直径的圆与双曲线C 的渐近线在第一象限交于点P ，线段2PF 与双曲线的交点M 为2PF 的中点，则双曲线C 的离心率为______． 16．已知数列{}n a 满足()*1(1)2n n na n a n N +--=∈，{}n a 的前n 项和为n S ，对任意的*n N ∈，当5n ≠时，都有5n S S <，则5S 的取值范围为_____．三、解答题（共6个小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是一个等差数列，且22a =，145a a +=，数列{}n b 是各项均为正数的等比数列，且满足：112b =，24164b b ⋅=．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）求证：11222n n b a b a a b ++⋯+<． 18．（本小题满分12分）如图，已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD PA =，E 点为AD 的中点，PE CD ⊥．（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）若正方形的边长为4，求D 点到平面PEC 的距离． 19．（本小题满分12分）2019年双十一落下帷幕，天猫交易额定格在268（单位：十亿元）人民币（下同），再创新高，比去年218（十亿元）多了50（十亿元），这些数字的背后，除了是消费者买买买的表现，更是购物车里中国新消费的奇迹，为了研究历年销售额的变化趋势，一机构统计了2010年到2019年天猫双十一的销售额数据y （单位：十亿元），绘制如下表1：表1年份 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 编号x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 销售额y0.98.722.4416594132.5172.5218268根据以上数据绘制散点图，如图所示．（1）把销售额超过100（十亿元）的年份叫“畅销年”，把销售额超过200（十亿元）的年份叫“狂欢年”，从2010年到2019年这十年的“畅销年”中任取2个，求至少取到一个“狂欢年”的概率；（2）根据散点图判断，y a bx =+与2y cx d =+哪一个适宜作为销售额y 关于x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（3）根据（2）的判断结果及下表中的数据，建立y 关于x 的回归方程，并预测2020年天猫双十一的销售额．（注：数据保留小数点后一位）参考数据：2i i t x =，参考公式：对于一组数据(),i i u v ，()22,u v，…，(),n n u v ，其回归直线µµvu αβ=+$的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为µ1221ni ii n i i u vnuvu nuβ==-=-∑∑，µµv u αβ=-． 20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点为12,F F ，焦距为:1l y x =-与椭圆C 相交于,A B 两点，31,44P ⎛⎫- ⎪⎝⎭为弦AB 的中点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于不同的两点,M N ，(0,)Q m ，若3OM ON OQ λ+=u u u u r u u u r u u u r（O 为坐标原点），求m 的取值范围．21．（本题满分12分）已知函数()xf x e ax =-．（1）若函数()f x 在1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上有2个零点，求实数a 的取值范围．（注319e >） （2）设2()()g x f x ax =-，若函数()g x 恰有两个不同的极值点12,x x ，证明：12ln(2)2x x a +<． 请考生在第22、23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，做答时请写清题号． 22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 在直角坐标系xOy 中，曲线122cos ,:2sin ,x C y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线22:4sin 3C ρρθ=-，曲线1C 与曲线2C 相交于,M N 两点． （1）求曲线2C 的直角坐标方程与直线MN 的一般方程；（2）点3,04P ⎛⎫-⎪⎝⎭，求||||PM PN +． 23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()|1||22|f x x x a =-++. （1）若1a =，求不等式()4f x …的解集；（2）证明：对任意x ∈R ，2()|2|||f x a a +-…．文科数学八调参考答案1．(0,2)A =，(1,1)B =-，所以(0,1)A B =I ，故选C ． 2．已知1(1)1z i i =⋅+=+，所以||2z =，故选B ．3．2163P ==，故选C ． 4．由（()a b b -⊥r r r ，有20ab b -=r r r ，则2||||cos a b b θ=r r r ，有2cos ||2b a b θ==r r r ‖，故选B ．5．内切球的半径112r =，外接球的半径232r =，所以表面积之比为2112213S r S r ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故选C ．6．222cos sin tan 22sin sin cos sin 2cos sin 1tan 145πθθθθθθθθθθ-⎛⎫+=⋅====- ⎪+++⎝⎭，故选B ． 7．C 8．(3)()(6)()f x f x f x f x +=-⇒+=，6T =，()()22log 192log 643f f =⨯()26log 3f =+()2log 32log 323f ===，故选D ．9．B 由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥A BCD -，F 为BD 的中点，外接球球心O 在过CD 的中点E 且垂直于平面BCD 的直线l 上，又点O 到,,A B D 的距离相等，所以O 又在过左边正方体一对棱的中点,M N 所在直线上，在OEN V 中，由NF MF NE OE =，即223OE=，得3OE =，所以三棱锥A BCD -外接球的球半径22223(2)11R OE BE =+=+=，44113V π=．10．B1l ．设()11,A x y ，()22,B x y ，则以A 为切点的切线方程为()1112x y y x x -=-，即112xy x y =-①；同理，以B 为切点的切线方程为222x y x y =-②，()00,P x y 代入①，②得100120022,2,x y x y x y x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以直线AB 的方程为002x y x y =-，即002x y x y =-，又002y x =-，即0122x y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，AB 过定点(2,2)P ，当PF AB ⊥时，(0,1)F ∴到l=AB 过点F 时，距离的最小值为0，故选D ．12．由()0f x =，得e (2)(21)e (2)0x xa x a x ⎡⎤⎡⎤-+--+=⎣⎦⎣⎦，即2e xx a +=，221e xx a +-=，2()e x x g x +=，(1)()ex x g x '-+=，()01g x x '>⇒<-，()01g x x '>⇒>-，()g x 在(,1)-∞-上单调递增，在(1,)-+∞上单调递减．(2)0g -=，max ()(1)g x g e =-=，当2x >-，()0g x >．x →-∞，()g x →-∞，x →+∞，()0g x +→．要使方程有4个不同的零点，则0e,11e 021e,2221a a a a a<<⎧+⎪<-<⇒<<⎨⎪-≠⎩，1a ≠，故选D ．13．3- 14．2020 032115()33212g x x x x =-+-Q ，2()3g x x x '∴=-+，()21g x x ''=-，令()0g x ''=，得12x =，又112g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，三次函数()y g x =图象的对称中心坐标为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，即()(1)2g x g x +-=，所以，122020101022020202120212021g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ， 2221212212(1)(1)2021202120212021n n n n n n g g g g -'-'''--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q222212122202243320212021202120212021n n n n n ⎡⎤---⎛⎫⎛⎫=-+--+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 因此，202010101222111212(1)(1)(1)202120212021i n n i n i n n g g g -'-'-'==-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑10102211010(11010)202210104202242020212021n n=⨯+⨯-⨯-===∑． 15．222,,,,x y c x a b y b y x a ⎧+==⎧⎪⇒⎨⎨==⎩⎪⎩(,)P a b ∴，2(,0)F c ，,22a c b M +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，代入双曲线方程得222240240c ac a e e +-=⇒+-=，1e =-±1e >，所以1e =．16．由1(1)2n n na n a +--=，令1n =，得12a =．由1(1)2n n na n a +--=①，得12(1)2n n n a na +++-=②，①-②得212n n n a a a +++=，{}n a 为等差数列．又120a =>，5S 最大，则只0d <，50a >，60a <，即240,1225025d d d +>⎧⇒-<<-⎨+<⎩，又51010(5,6)S d =+∈． 17．（本小题满分12分）（1）解：{}n a Q 为等差数列，设公差为d ，1112,35,a d a a d +=⎧∴⎨++=⎩11,1,a d =⎧∴⎨=⎩ 1(1)n a a n d n ∴=+-=．3分{}n b Q 为等比数列，0n b >，设公比为q ，则0q >，2243164b b b ∴⋅==，23118b b q ==， 12q ∴=，1111222n nn b -⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 6分 （2）证明：令112233n n n T a b a b a b a b =++++L ，23111111123(1)22222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，2311111112(1)22222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ， 9分23111112211111111222222212nn n n n T n n ++⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭∴=++++-⨯=-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-L ，1112222n nn T n -⎛⎫⎛⎫∴=--⨯< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 12分18．（本小题满分12分）（1）证明：由PD PA =，E 点为AD 的中点，可知PE AD ⊥，再已知PE CD ⊥，且,AD CD 相交于D ， 则PE ⊥平面ABCD ．又PE ⊂平面ADP ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ． 6分 （2）解：由（1）知PE ⊥平面ABCD ， 则平面PEC ⊥平面ABCD ，相交于EC ．作DH EC ⊥，可知DH 为D 点到平面PEC 的距离，且5DH ==． 19．（本小题满分12分）解：（1）畅销年个数：4，其中的狂欢年个数：2，记畅销年中不是狂欢年为,a b ；狂欢年为,A B ，则总共有(,)a b ，(,)a A ，(,)b A ，(,)a B ，(,)b B ，(,)A B 则5()6P A =． 4分 （2）由题意2y cx d =+更适宜． 6分（3）1011022110677701038.5102285005702.725380148301055021110i ii i t yt ybt t==--⨯⨯====≈--∑∑$， 8分$102 2.738.5 2.0ay bt =-=-⨯≈-$， 10分 $22.7 2.0y x ∴=-，当11x =时，$324.7y =（十亿元）， ∴预测2020年双十一的销售额为324.7十亿元． 12分20．（本小题满分12分） 解：（1）c =，设()11,A x y ，()22,B x y ，1232x x +=，1212y y +=-， 2222221122222222,,b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩()()()()22121212120b x x x x a y y y y ∴+-++-=， 2分()()22121222121231AB b x x y y b k x x a y y a+-∴==-==-+，223a b ∴=． 4分222a b c -=Q ，223,1,a b ⎧=∴⎨=⎩∴椭圆的标准方程为2213x y +=． 5分（2）,,M Q N Q 三点共线，133OQ OM ON λ=+u u u r u u u u r u u u r，1133λ∴+=，2λ=．设()11,M x y ，()22,N x y ，则1212033x x +=，122x x ∴=-． 7分()22222,13633033y kx m k x kmx m x y =+⎧⇒+++-=⎨+=⎩，220310k m ∆>⇒-+>①，122613kmx x k +=-+，21223313m x x k -=+．代入122x x =-，22613km x k ∴=+，222233213m x k --=+，()222222363321313k mm k k -∴-⨯=++，即()2229131m k m -⋅=-．9分 2910m -≠Q ，219m ≠，22213091m k m -∴=-…②， 代入①式得22211091m m m --+>-， 即()22211091m m m -+->-，()()2221910m m m ∴--<，11分2119m ∴<<满足②式，113m ∴<<或113m -<<-． 12分 21．（1）1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由()0f x =得x e a x =，令2(1)()()x x e e x h x h x x x '-=⇒= 112x ∴≤<时，()0h x '<，12x <≤时，()0h x '>， ()h x ∴在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，在(1,2)上是增函数． 又122h e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2(2)2e h =，(1)h e =()344161640444e e e e e e ---==>， 1(2)2h h ⎛⎫∴> ⎪⎝⎭，()h x ∴的大致图像：利用()y h x =与y a =的图像知()a e e ∈． 4分（2）由已知2()x g x e ax ax =--，()2x g x e ax a '∴=--，因为12,x x 是函数()g x 的两个不同极值点（不妨设12x x <），易知0a >（若0a ≤，则函数()f x 没有或只有一个极值点，与已知矛盾），且()10g x '=，()20g x '=．所以1120x e ax a --=，2220xe ax a --=． 两式相减得31122x x e e a x x -=-， 7分 于是要证明12ln(2)2x x a +<，即证明1212212x x x x e e e x x +-<-，两边同除以2x e ， 即证12122121x x x x e e x x ---<-，即证()12122121x x x x x x e e --->-，即证()121221210x x x x x x e e ----+>， 令12x x t -=，0t <．即证不等式210tt te e -+>，当0t <时恒成立．设2()1t t t te e ϕ=-+，则222221()11222t t t t t t t t t t te t e e e e e e ϕ'⎤⎡⎫⎛⎫=+⋅⋅-=+-=--+⎥⎪ ⎪⎢⎝⎭⎣⎭⎦． 设2()12t t h t e =--，则22111()1222t t h t e e '⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 当0t <时，()0h t '<，()h t 单调递减，所以()(0)0h t h >=，即2102tt e ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，所以()0t ϕ'<， 所以()t ϕ在0t <时是减函数．故()t ϕ在0t =处取得最小值(0)0ϕ=．所以()0t ϕ>得证．所以12ln(2)2x x a +<． 12分22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】解：（1）221:(2)4C x y -+=，2240x x y -+=． 2分222:43C x y y +=-， 4分:4430MN l x y ∴-+-=，4430x y ∴-+=． 5分（2）3:4MN l y x =+，3,04P ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭在MN l 上，直线MN的参数方程为3,42x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入221:(2)4C x y -+=，7分整理得257016t -+=，12t t ∴+=，125716t t =，10t ∴>，20t >， 9分12||||4PM PN t t +=+=． 10分23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】（1）解：当1a =时，()|1||22|f x x x =-++；①当1x -„时，()1224f x x x =---…，得53x -„；②当11x -<<时，()12234f x x x x =-++=+…，得1x …，x ∴∈∅；③当1x ≥时，()122314f x x x x =-++=+…，得1x …， 5,[1,)3x ⎛⎤∴∈-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦． 5分 （2）证明：2()2(|1|||||)2(|1|||)2(|1|||)f x x x a x a x x a x a a x a =-++++---++=+++… 2|1||22||2|||a a a a +=++-厖． 10分。
2020届衡水中学高三数学试卷
2020届衡水中学高三数学试卷数 学本试卷为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分160分.考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（填空题共70分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在相应位置. 1．已知集合{}11M =-，，11242x N x x +⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭Z ，，则M N =__ ▲ ．2．复数ii4321+-在复平面上对应的点位于第 __ ▲ 象限． 3．根据表格中的数据，可以判定方程20x e x --=的一个零点所在的区间为))(1,(N k k k ∈+，则k 的值为__ ▲ ．4. 若x , y 满足条件4104320,10200x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪+⎨≥⎪⎪≥⎩则的最大值等于 ▲ ． 5．设31sin (), tan(),522πααππβ=<<-=则tan ()βα-的值等于__ ▲ ．6．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，32)(-=xx f ，则=-)2(f __▲___． 7．在△ABC 中，BC=1，3π=∠B ，当△ABC 的面积等于3时，=C tan __ ▲ ．8．若曲线4()f x x x =-在点P 处的切线平行于直线3x －y ＝0，则点P 的坐标为 ▲ ． 9．设)(x f y =是一次函数，1)0(=f ，且)13(),4(),1(f f f 成等比数列，则++)4()2(f f …=+)2(n f _ ▲ ．x－1 0 1 2 3 x e0.37 1 2.72 7.39 20.09 2x +1234510．函数1)1(log +-=x y a (01)a a >≠且，的图象恒过定点A ，若点A 在一次函数n mx y +=的图象上，其中,0m n >，则12m n+的最小值为__ ▲ ． 11．设O 是△ABC 内部一点，且AOC AOB OB OC OA ∆∆-=+与则,2的面积之比为__▲ ． 12．若函数)(x f 是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x>0,y>0满足)()()(y f x f xy f +=，则不等式)4(2)()6(f x f x f <++的解集为__ ▲ ．13．第29届奥运会在北京举行.设数列n a =)2(log 1++n n *)(N n ∈，定义使k a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅321为整数的实数k 为奥运吉祥数，则在区间[1，2008]内的所有奥运吉祥数之和为____▲____． 14．给出定义：若1122m x m -<≤+（其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x ，即 {}x m =. 在此基础上给出下列关于函数|}{|)(x x x f -=的四个命题： ①函数)(x f y =的定义域是R ，值域是[0，21]； ②函数)(x f y =的图像关于直线2kx =(k ∈Z)对称； ③函数)(x f y =是周期函数，最小正周期是1； ④ 函数()y f x =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是增函数； 则其中真命题是__ ▲ ．第Ⅱ卷（解答题 共90分）二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知向量()x x x a cos sin ,2sin 1-+=→，()x x b cos sin ,1+=→，函数()f x a b =⋅．（1）求()f x 的最大值及相应的x 的值； （2）若58)(=θf ，求πcos 224θ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．16．(本题满分14分) 已知m ∈R ，设P ：不等式2|53|3m m --≥；Q ：函数6)34()(23++++=x m mx x x f 在(－∞,+∞)上有极值．求使P 正确且Q 正确的m 的取值范围．17．(本题满分14分)已知函数1()log (0,1)1amx f x a a x -=>≠-的图象关于原点对称．(1) 求m 的值；(2)判断函数)(x f 在区间()+∞,1上的单调性并加以证明； (3)当)(,),(,1x f a t x a 时∈>的值域是),1(+∞，求a 与t 的值.18．（本小题满分16分）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22n n b S =-；数列{}n a 为等差数列，且145=a ，207=a . (1)求数列{}n b 的通项公式；(2)若,1,2,3,n n n c a b n =⋅=，n T 为数列{}n c 的前n 项和. 求证：72n T <.19．(本题满分16分) 徐州、苏州两地相距500千米，一辆货车从徐州匀速行驶到苏州，规定速度不得超过100千米/小时．已知货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v (千米/时)的平方成正比，比例系数为0.01；固定部分为a 元(a >0)．（1）把全程运输成本y （元）表示为速度v （千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域； （2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？20．（本题满分16分）已知2()ln ,()3f x x x g x x ax ==-+-．(1) 求函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值；(2) 对一切(0,)x ∈+∞，2()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； (3) 证明: 对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln x x e ex>-成立．参考答案 一、填空题：1. {}1-2. 三3. 14. 255. 112-6. -17. 3-8. (1,0)9. )32(+n n 10. 8 11. 1 12. （0，2） 13. 2026 14. ①②③ 二、解答题：15. 解：（1）因为(1sin 2,sin cos )a x x x =+-，(1,sin cos )b x x =+，所以22()1sin2sin cos1sin2cos2f x x x x x x=++-=+-…………………………4分π214x⎛⎫-+⎪⎝⎭……………………………………………………..6分因此，当ππ22π42x k-=+，即3ππ8x k=+（k∈Z）时，()f x1；…8分（2）由()1sin2cos2fθθθ=+-及8()5fθ=得3sin2cos25θθ-=，两边平方得91sin425θ-=，即16sin425θ=．……………………………………………12分因此，ππ16cos22cos4sin44225θθθ⎛⎫⎛⎫-=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．……………………………14分16.解：由已知不等式得2533m m--≤-①或2533m m--≥②不等式①的解为不等式②的解为1m≤-或6m≥…………………………………………………4分因为，对1m≤-或05m≤≤或6m≥时，P是正确的………………………..6分对函数6)34()(23++++=xmmxxxf求导3423)('2+++=mmxxxf…8分令0)('=xf，即034232=+++mmxx当且仅当∆>0时，函数f(x)在(－∞,+∞)上有极值由0161242>--=∆mm得1m<-或4m>，因为，当1m<-或4m>时，Q是正确的………………………………………………12分综上，使P正确且Q正确时，实数m的取值范围为(-∞,-1)⋃),6[]5,4(+∞⋃……….14分17.解：（1）因为函数1()log(0,1)1amxf x a ax-=>≠-的图象关于原点对称，所以0)()(=+-xfxf即())1)(1(1)1(log11log11log=---+-=--+--+xxmxmxxmxxmxaaa，()1)1)(1(1)1(=---+-xxmxmx，得1,12==mm或1-=m……………………………………….2分当1=m 时，0111<-=--x mx舍去； 当1-=m 时，1111-+=--x x x mx ，令011>-+x x，解得1-<x 或1>x .所以符合条件的m 值为-1 …………………………………………………………………4分 （2）由（1）得11log )(-+=x x x f a，任取211x x <<， 11log 11log )()(112212-+--+=-x x x x x f x f a a()()()()1111log 1212+--+=x x x x a ……………………6分211x x << ∴()()()()0)(21111211212<-=+---+x x x x x x ，∴()()()()1111101212<+--+<x x x x ………………………………………………………………….8分∴当10<<a 时，()()()()01111log 1212>+--+x x x x a即0)()(12>-x f x f ，此时)(x f 为增函数；当1>a 时，()()()()01111log 1212<+--+x x x x a即0)()(12<-x f x f ，此时)(x f 为减函数…10分（3）由（2）知，当1>a 时)(x f 在),1(+∞上为减函数；同理在)1,(--∞上也为减函数 当)1,(),(--∞⊆a t 时，0)()()(<<<t f x f a f 与已知矛盾，舍去；………………12分 当),1(),(+∞⊆a t 时，因为函数)(x f 的值域为),1(+∞∴1)(=a f 且011=-+t t ，解得1-=t ，21+=a ……………………………………14分 18.解：（1）由22n n b S =－，令1n =，则1122b S =-，又11S b =，所以123b =.21222()b b b =-+，则229b =. …………………………………………………………………………………….2分 当2≥n 时，由22n n b S =－，可得n n n n n b S S b b 2)(211-=--=---. 即113n n b b －＝..6分 所以{}n b 是以123b =为首项，31为公比的等比数列，于是n n b 312⋅=. ……8分（2）数列{}n a 为等差数列，公差751() 3 2d a a ==－,可得13-=n a n . ….10分从而n n n n n b a c 31)13(2⋅-=⋅=. ……………………………………………..12分 ∴2311112[258(31)]3333n n T n =⋅+⋅+⋅++-⋅=1771722332n n n --⋅-<……….16分 19.解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为v500，全程运输成本为v va v v v a y 550050001.05002+=⋅+⋅= ……………………………………….4分故所求函数及其定义域为]100,0(,5500∈+=v v vay ………………………….6分(2)依题意知a ，v 都为正数，故有a v va1005500≥+当且仅当,5500v va=．即a v 10=时上式中等号成立………………………...8分（1）若10010≤a ，即1000≤<a 时则当a v 10=时，全程运输成本y 最小.10分 （2）若10010>a ，即100>a 时，则当]100,0(∈v 时，有55002+-='vay 0)100(522<-=v a v . 上单调递减在函数]100,0(∈∴v y 。
【20套试卷合集】河北省衡水市衡水中学2019-2020学年数学高三上期中模拟试卷含答案
2019-2020学年高三上数学期中模拟试卷含答案一选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1设集合A=122x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭,B={}21x x ≤，则A ∪B= （ ）A ．{}12x x ≤< B ．112x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭C ．{}2x x <D ．{}12x x -≤<2复数31ii--等于 （ ） A ．i 21+ B.12i - C.2i - D.2i +3下列命题错误的是 ( ) A ．命题“若0232=+-x x ，则1=x ”的逆否命题为“若1≠x ，则0232≠+-x x ” B ．若q p ∧为假命题，则q p 、均为假命题;C ．命题p ：存在R x ∈0,使得01020<++x x ，则p ⌝：任意R x ∈,都有012≥++x x D ．“2>x ”是“0232>+-x x ”的充分不必要条件4已知一个几何体的三视图如图所示, 则该几何体的表面积为( )A. 24＋6πB. 24＋4πC. 28＋6πD. 28＋4π5已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线n m 、，有下列 四个命题 ①若α⊥m n m ,//，则α⊥n ②若βαβα//,,则⊥⊥m m③若βαβα⊥⊂⊥则,,//,n n m m ④若n m n m //,,,//则=βαα其中正确命题的个数是 ( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6在△ABC 中，角A 、B 均为锐角，且cosA>sinB ，则△ABC 的形状是 ( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形7已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝b a +λ，AC →＝b a μ+，λ，μ∈R ，那么A 、B 、C 三点共线的充要条件为 ( )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝18已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 4＋a 5＋a 6＝π4，则cosS 9的值为( )A.12B.22 C ．－12 D ．－229 若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解, 则a 的取值范围是 ( )A. (－235, ＋∞)B. [－235, 1] C. (1, ＋∞)D. (－∞, －235]10设定义在R 的函数)(x f 同时满足以下条件：①0)()(=-+x f x f ；②)2()(+=x f x f ； ③当10<≤x 时，12)(-=x x f 。
河北省衡水中学高三上学期期中考试数学(文)试题(有答案)
上学期高三期中考试 数学（文科）试卷第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1.复数321iz i i =+-（i 为虚数单位）的共轭复数为（ ） A ．12i - B ．12i + C ．1i - D ．1i - 2.已知集合{}0,1A =，{},,B z z x y x A y A ==+∈∈，则B 的子集个数为（ ） A ．8 B ．3 C ．4 D ．7 3.已知平面直角坐标系内的两个向量(1,2),(,32)a b m m ==-，且平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成c a b λμ=+（,λμ为实数），则m 的取值范围是（ ） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(,)-∞+∞ D ．(,2)(2,)-∞+∞4.将函数()cos f x x x =-的图象向左平移m 个单位(0)m >，若所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是（ ） A ．23π B ．3π C ．8π D ．56π5.已知等比数列{}n a 中，3462,16a a a ==，则101268a a a a --的值为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．166.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．3272π-B ．3182π- C ．273π- D ．183π-7.如图，偶函数()f x 的图象如字母M ，奇函数()g x 的图象如字母N ，若方程(())0f g x =，(())0g f x =的实根个数分别为m 、n ，则m n +=（ ）A ．12B ．18C ．16D ．14 8.函数2)(1-=-x ax f )1,0(≠>a a 的图象恒过定点A ，若点A 在直线01=--ny mx 上，其中0,0>>n m ，则nm 21+的最小值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．223+9.三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面,,1,ABC AC BC AC BC PA ⊥===，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．5πBC ．20πD ．4π 10.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是（ ） A ．3024 B ．1007 C ．2015 D ．201611.已知函数32()3f x x x x =-+的极大值为m ，极小值为n ，则 m+n=( )A.0B.2C.-4D.-212.某实验室至少需要某种化学药品10kg ，现在市场上出售的该药品有两种包装，一种是每袋3kg ，价格为12元；另一种是每袋2kg ，价格为10元.但由于保质期的限制，每一种包装购买的数量都不能超过5袋，则在满足需要的条件下，花费最少为（ ）元A ．56B ．42C ．44D ．54第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.与直线10+-=x 垂直的直线的倾斜角为 14.若函数(21)1()1a x f x x x++=++为奇函数，则a =________．15．已知22:12,:210,(0)p x q x x a a -≤-+-≥>，若p ⌝是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ．16．如图，在三棱锥A BCD -中，BC DC AB AD ===2BD =，平面ABD ⊥平面BCD ，O 为BD 中点，点,P Q 分别为线段,AO BC 上的动点（不含端点），且AP CQ =，则三棱锥P QCO -体积的最大值为________．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
河北省衡水市衡水中学2020届高三上学期二调考试数学(文)试题 Word版含解析
2019—2020学年度上学期高三年级二调考试数学（文科）试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第I 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．第I 卷一．选择题（从每小题给出的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑）1.若集合}{12A x x =-≤≤，{}10B x x =-<，则A B U =( ). A. }{1x x <B. }{11x x -≤<C. {}2x x ≤D.{}21x x -≤<【答案】C 【解析】 【分析】直接根据并集的定义求解即可.【详解】因为}{12A x x =-≤≤，{}{}101B x x x x =-<=<， 所以，根据并集的定义：A B ⋃是属于A 或属于B 的元素所组成的集合， 可得{}2A B x x ⋃=≤，故选C.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 或属于集合B 的元素的集合.2.设30.2a =，2log 0.3b =，3log 2c =，则（ ） A. a b c >> B. a c b >>C. b a c >>D. c a b >>【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的单调性，并结合取中间值法即可判断大小.【详解】由于300.20.2<<，22log 0.3log 10<=， 331log 2log 32>=， 则323log 0.30.2log 2<<，即c a b >>.故选D.【点睛】本题主要考查对数与对数函数和指数与指数函数，利用函数的单调性比较大小是常用手段，属基础题.3.函数()2ln 11y x x =-+-的图象大致为( )A B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】利用对称性排除A ，C ；利用单调性排除D ，从而得到结果.【详解】由于2ln y x x =+为偶函数，所以()2ln 11y x x =-+-关于直线x 1=轴对称，从而可排除A ，C ；2ln y x x =+在()0∞+，上为增函数，所以()2ln 11y x x =-+-在()1∞+，上为增函数，排除D; 故选B【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象. 4.在ABC ∆中，角AB C 的对边分别为a,b,c,且sin 22,1,,1cos 26c b B c π===- 则a 的值为( )A.1-B. 2C. 2D.【答案】D 【解析】 【分析】由sin211cos2c c =-得到角C ，又6B π=，故A=712π，利用正弦定理即可得到结果.【详解】由sin211cos2c c =-可得：2212sinCcosC sin C =,即tanC=1,故C=,4πA=712π由正弦定理：a b sinA sinB = 可得：7126a bsin sin ππ=,∴7a 4s?12in π==故选D【点睛】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键． 5.已知1sin()62πθ-=，且02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则cos()3πθ-=( ) A. 0 B.12C. 1【答案】C 【解析】 【分析】解法一：由题意求出θ的值，然后代入求出结果；解法二：由两角差的余弦公式求出结果 【详解】解法一：由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，π3θ=，代入πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭得， πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭=cos01=，故选C ．解法二：由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，πcos 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以πππππππcos cos cos cos sin sin 13666666θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选C ． 【点睛】本题考查了运用两角差的余弦公式来求出三角函数值，较为基础6.已知锐角△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,23cos 2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b 等于( ) A. 10 B. 9C. 8D. 5【答案】D 【解析】【详解】由题意知,23cos 2A+2cos 2A-1=0, 即cos 2A=125, 又因△ABC 为锐角三角形, 所以cosA=15. △ABC 中由余弦定理知72=b 2+62-2b×6×15,即b 2-125b-13=0, 即b=5或b=-135(舍去),故选D.【此处有视频，请去附件查看】7.已知奇函数()f x 满足()()4f x f x =+，当()0,1x ∈时，()4xf x =，则()4log 184(f =)A. 3223-B.2332C.34D. 38-【答案】A【解析】 【分析】 根据函数的周期性结合奇偶性推导出()()44442332log 184log 18443223f f f log flog ⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用()0,1x ∈时，()4x f x =能求出结果．【详解】Q 奇函数()f x 满足()()4f x f x =+，()()44423log 184log 184432f f f log ⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭因为4231032log -<<， 所以442332013223log log <-=< 所以444233232322323f log f log f log ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又因为当()0,1x ∈时，()4xf x =，所以432log 23432423f log ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭3223=-,故选A ． 【点睛】本题考查对数的运算法则，考查函数的奇偶性、周期性等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．解答函数周期性、奇偶性、解析式相结合的问题，通常先利用周期性与奇偶性转化自变量所在的区间，然后根据解析式求解. 8.已知1cos sin 5αα-=，则cos 22πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=( ).A. 2425-B. 45- C. 2425D.45【答案】C 【解析】 【分析】 将1cos sin 5αα-=两边平方，求出24sin 225α=，利用诱导公式可得结果.【详解】因为1cos sin 5αα-=， 所以22cos 2sin cos sin 1sin 2ααααα-+=-=125， 所以24sin 225α=，cos 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭24sin 225α=，故选C.【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．9.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2cos ,4,cos a c Cb b B-==则ABC ∆的面积的最大值为（ ）A.B. C. 2【答案】A 【解析】 【分析】由已知式子和正弦定理可得B ，再由余弦定理和基本不等式可得ac ≤16，代入三角形的面积公式可得最大值． 【详解】∵在△ABC 中，2cos cos a c Cb B-= ∴（2a ﹣c ）cos B ＝b cos C ， ∴（2sin A ﹣sin C ）cos B ＝sin B cos C ，∴2sin A cos B ＝sin C cos B +sin B cos C ＝sin （B +C ）＝sin A ，约掉sin A 可得cos B ＝12，即B ＝3π，由余弦定理可得16＝a 2+c 2﹣2ac cos B ＝a 2+c 2﹣ac ≥2ac ﹣ac ， ∴ac ≤16，当且仅当a ＝c 时取等号， ∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ≤故选A ．【点睛】本题考查解三角形，涉及正余弦定理和基本不等式以及三角形的面积公式，属中档题．10.已知函数()()xxf x x e e-=-，对于实数a b ，，“0a b +>”是“()()0f a f b +>”的( ). A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先判断出函数为奇函数，且为R 的单调增函数，结合单调性与奇偶性利用充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】因为()()()()xx x x f x x e e x e e f x ---=--=--=-，所以()f x 为奇函数，0x >时，()1x x f x x e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 在()0,∞+上递增，所以函数()f x 在R 上为单调增函数， 对于任意实数a 和b ，若0a b +>，则()(),a b f a f b >-∴>-，Q 函数()f x 为奇函数，()()f a f b ∴>-，()()0f a f b ∴+>，充分性成立；若()()0f a f b +>，则()()()f a f b f b >-=-，Q 函数在R 上为单调增函数，a b ∴>-，0a b ∴+>，必要性成立，∴对于任意实数a 和b ，“0a b +>”，是“()()0f a f b +>”的充要条件，故选C.【点睛】本题主要考查函数的单调性与奇偶性以及充分条件与必要条件的定义，属于综合题. 判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理. 11.如图是函数()sin y x ωϕ=+0,02πωϕ⎛⎫><<⎪⎝⎭在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像，将该图像向右平移()0m m <个单位长度后，所得图像关于直线4x π=对称，则m 的最大值为（ ）．A. 12π-B. 6π-C. 4π-D. 3π-【答案】B 【解析】 【分析】由函数图像可得函数解析式为：sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，由三角函数图像的平移变换可得平移后的解析式为sin 223y x m π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再结合三角函数图像的对称性可得,26k m k Z ππ=-+∈，再求解即可. 【详解】解：由题意可知，25()66T ππππω==--=，所以2ω=， 根据五点作图法可得2()06πϕ⨯-+=，解得3πϕ=，所以sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，将该函数图像向右平移()0m m <个单位长度后， 得到sin 223y x m π⎛⎫=-+⎪⎝⎭的图像，又sin 223y x m π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图像关于直线4x π=对称，所以22432m k ππππ⨯-+=+，即,26k m k Z ππ=-+∈， 因为0m <，所以当0k =时，m 取最大值6π-， 故选B.【点睛】本题考查了由函数图像求解析式及三角函数图像的平移变换，重点考查了三角函数图像的对称性，属基础题. 12.若函数2()(1)(0)f x ln x ax a x=-+->恰有一个零点，则实数a 的值为( ) A.12B. 2C.1eD. e【答案】A 【解析】 【分析】先将函数零点转化为直线与曲线相切问题，再利用导数求切点即得切线斜率，即得a 的值. 【详解】函数的定义域为()1,+∞，若函数()()21(0)f x ln x ax a x =-+->恰有一个零点， 等价为()()210f x ln x ax x=-+-=恰有一个根，即()21ln x ax x-+=只有一个根，即函数()21y ln x x=-+和y ax =的图象只有一个交点，即当0a >时，y ax =是函数()21y ln x x=-+的切线,设()()21g x ln x x =-+，切点为(),m n ，则()21ln m n m-+=，因为()222122201x 1x x g x x x x -+=-=>--'，切线斜率()212'1k g m a m m ==-=-， 则切线方程为()2121y n x m m m ⎛⎫-=--⎪-⎝⎭，Q 切线过原点()2122101m ln m m mm ⎛⎫∴--+-+= ⎪-⎝⎭， 即()4101mln m m m -+-=-， 因为()()()()()()()2222224111111m m m m mln m m m m m m m m --+--+-≤---=--- 所以2m =，此时21212111121422a m m =-=-=-=--， 故选A ．【点睛】本题考查函数零点以及导数几何意义，考查综合分析求解能力，属中档题.第II 卷（非选择题共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知3sin()(0)25πααπ-=-<<，则sin 2α=__________． 【答案】2425- 【解析】 【分析】由题意求出sin α和cos α，然后再利用倍角公式求解．【详解】∵3sin cos (0)25παααπ⎛⎫-==-<< ⎪⎝⎭， ∴2415sin cos αα=-=， ∴342422sin cos 2()5525sin ααα==⨯-⨯=-． 故答案为2425-． 【点睛】本题考查同角三角函数关系及倍角公式，解题时容易出现的错误是忽视函数值的符号，属于简单题．14.将函数()sin cos (,R,0)f x a x b x a b a =+∈≠的图象向左平移6π个单位长度，得到一个偶函数图象，则ba=________．【解析】 【分析】根据平移后关于y 轴对称可知()f x 关于6x π=对称，进而利用特殊值()03f f π⎛⎫=⎪⎝⎭构造方程，从而求得结果. 【详解】()f x Q 向左平移6π个单位长度后得到偶函数图象，即关于y 轴对称 ()f x ∴关于6x π=对称 ()03f f π⎛⎫∴=⎪⎝⎭即：1sincos332a b b b ππ+=+= b a ∴=【点睛】本题考查根据三角函数的对称轴求解参数值的问题，关键是能够通过平移后的对称轴得到原函数的对称轴，进而利用特殊值的方式来进行求解. 15.设定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式()()121x e f x f x -<-的解集为__________． 【答案】(1,)+∞ 【解析】 【分析】根据条件构造函数F （x ）()xf x e=，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．【详解】设F （x ）()xf x e =，则F ′（x ）()()'xf x f x e -=，∵()()f x f x '>，∴F ′（x ）＞0，即函数F （x ）在定义域上单调递增． ∵()()121x ef x f x -<-∴()()2121xx f x f x ee--＜，即F （x ）＜F （2x 1-）∴x 2x 1-＜，即x ＞1 ∴不等式()()121x ef x f x -<-的解为()1,+∞故答案为()1,+∞【点睛】本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键． 16.设ABC ∆的内角A B C ，，的对边长a b c ，，成等比数列，()1cos cos 2A CB --=，延长BC 至D ，若2BD =，则ACD ∆面积的最大值为__________.【解析】 【分析】由()1cos cos 2A C B --=，可得1cos cos 4A C =，由,,a b c 成等比数列，结合正弦定理 可得2sin sin sinB AC =，两式相减，可求得3B π=，从而得ABC ∆为正三角形，设正三角形边长为a ，ACD S ∆ ()2a =-，利用基本不等式可得结果. 【详解】()cos cos A C B --Q ()()1cos cos 2A C A C =-++=， 1cos cos 4A C ∴=，① 又,,a b c Q 成等比数列，2b ac ∴=， 由正弦定理可得2sin sin sin B A C =，②①-②得21sin cos cos sin sin 4B AC A C -=- ()cos cos A C B =+=-，21cos 1cos 4B B ∴+-=-，解得1cos ,23B B π==， 由()1cos cos 2A C B --=，得()1cos cos 12A C B -=+=，0,A C A B -==，ABC ∆为正三角形，设正三角形边长为a ， 则2CD a =-，1sin1202ACD S AC CD o ∆=⋅()()1222a a a =-=- ()22444a a ⎡⎤+-⎣⎦≤=，1a =时等号成立．即ACD ∆【点睛】本题主要考查对比中项的应用、正弦定理的应用以及基本不等式求最值，属于难题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.三．解答题（共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.将函数()sin2f x x =的图象向左平移6π个单位后得到函数()g x 的图像，设函数()()()h x f x g x =-.（Ⅰ）求函数()h x 的单调递增区间； （Ⅱ）若163g πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求()h α的值. 【答案】(Ⅰ) ()5 1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，(Ⅱ) 13-【解析】 【分析】(Ⅰ)由已知可得()sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()sin2sin 2sin 233h x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由 222232k x k πππππ-+≤-≤+，解不等式即可得结果；(Ⅱ)由163g πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭得21sin 2sin 26333πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，从而可得()21 sin 22333h sin ππααα⎛⎫⎛⎫=-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【详解】(Ⅰ)由已知可得()sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 则()sin2sin 23h x x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭122sin 2223sin x cos x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭. 令222232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，，解得51212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，. ∴函数()h x 的单调递增区间为()51212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，.(Ⅱ)由163g πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭得21sin 2sin 26333πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∴221sin 2223333sin sin πππααπα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()13h α=-. 【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换以及三角函数的单调性，属于中档题.函数sin()y A x ωϕ=+的单调区间的求法：若0,0A ω>>,把x ωϕ+看作是一个整体，由22k x ππωϕ+≤+≤()322k k Z ππ+∈求得函数的减区间，2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+求得增区间.18.已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且5b =，()a b +()sin 2sin A b A C =+．（1）证明：ABC V 为等腰三角形．（2）设点D 在AB 边上，2AD BD =，CD =AB 的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）6 【解析】 【分析】 （1）由正弦定理sin sin a b A B=，化角为边可得()22a a b b +=，再运算可得证； （2）设BD x =22=.【详解】（1）证明：因为()()sin 2sin 2sin a b A b A C b B +=+=，所以由正弦定理sin sin a b A B=，可得()22a a b b +=，整理可得()()20a b a b +-=． 因为20a b +>，所以a b =，ABC V 为等腰三角形，得证． （2）解：设BD x =，则2AD x =，由余弦定理可得2cosCDA ∠=2cos CDB ∠=．因为CDA CDB π∠=-∠，22=2x =，所以6AB =．【点睛】本题考查了正弦定理及余弦定理，重点考查了解斜三角形及运算能力，属中档题. 19.已知函数2()f x x xlnx =-．（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若2()2x f x k ->在(1,)+∞上恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）0x y -=；（2）1(,]2-∞. 【解析】【分析】（1）对()f x 求导得到()f x '，代入切点横坐标1x =得到斜率，再写出切线方程；（2）令()()2222x x g x f x xlnx =-=-，证明其导函数在()1,+∞上恒为正，即()g x 在()1,+∞上恒增，而k 要满足()k g x <在()1,+∞上恒成立，从而得到k 的取值范围【详解】（1）()2f x x xlnx =-Q ，()'21f x x lnx ∴=--，'f （1）1=，又f （1）1=，即切线的斜率1k =，切点为()1,1， ∴曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程0x y -=；（2）令()()2222x x g x f x xlnx =-=-，()1,x ∈+∞，则()'1g x x lnx =--，令()1h x x lnx =--，则()11'1x h x x x-=-=． 当()1,x ∈+∞时，()'0h x >，函数()h x 在()1,+∞上为增函数，故()h x h >（1）0=； 从而，当()1,x ∈+∞时，()''g x g >（1）0=． 即函数()g x 在()1,+∞上为增函数，故()g x g >（1）12=． 因此，()22x f x k ->在()1,+∞上恒成立，必须满足12k …．∴实数k 的取值范围为(-∞，1]2．【点睛】本题考查利用导数求函数在某一点的切线，利用导数研究函数的单调性，恒成立问题，属于常规题. 20.已知()ln 1mf x n x x =++（m ，n 为常数），在1x =处的切线方程为20x y +-=． （Ⅰ）求f （x)的解析式并写出定义域； （Ⅱ）若1,1x e⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，使得对1,22t ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦上恒有32)22f x t t at ≥--+（成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若2()()()1g x f x ax a R x =--∈+有两个不同的零点12,x x ，求证：212x x e ⋅>.【答案】（Ⅰ）21()ln 12f x x x =-+，x∈（0，+∞）；（Ⅱ）5[,)4+∞；（Ⅲ）详见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用导数的几何意义意义求得m ，n 的值，根据对数函数的定义得到函数定义域； （Ⅱ）f （x ）在[1e ，1]上的最小值为f （1）＝1，只需t 3﹣t 2﹣2at +2≤1，即212a t t t≥-+对任意的122t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立，构造函数m （t ），利用导数求出m （t ）的最大值，即可求得结论；（Ⅲ）不妨设x 1＞x 2＞0，得到g （x 1）＝g （x 2）＝0，根据相加和相减得到12112122x x x lnx lnx ln x x x ++=-，再利用分析法，构造函数，求出函数单调性和函数的最小值，问题得以证明．【详解】解：（Ⅰ）由f （x ）=1m x ++nlnx 可得()()21m n f x x x +'=-+， 由条件可得()114mf n =-+=-'，把x=-1代入x+y =2可得，y =1， ∴()112m f ==，∴m=2，12n =-，∴()21ln 12f x x x =-+，x∈（0，+∞）， （Ⅱ）由（Ⅰ）知f （x ）在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴f （x ）在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为f （1）=1，故只需t 3-t 2-2at +2≤1，即212a t t t ≥-+对任意的1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，令()21m t t t t =-+，()()2221112t 122112t m t t t t t t +⎛⎫=--=-+-=-+ ⎝'⎪⎭易求得m （t ）在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，[1，2]上单调递增，而1724m ⎛⎫=⎪⎝⎭，()522m =，∴2a≥m （t ）max=g （2），∴54a ≥，即a 的取值范围为5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（Ⅲ）∵()1ln 2g x x ax =--，不妨设x 1＞x 2＞0， ∴g （x 1）=g （x 2）=0，∴111ln 2x ax -=，221ln 2x ax -=，相加可得()()12121ln ln 2x x a x x -+=+，相减可得()()12121ln ln 2x x a x x --=-， 由两式易得：12112122ln ln ln x x x x x x x x ++=-；要证212x x e >，即证明12ln ln 2x x +>，即证：121122ln 2x x x x x x +>-，需证明112212ln 2x x x x x x ->+成立，令12xt x =，则t ＞1，于是要证明()21ln 1t t t ->+，构造函数()()21ln 1t t t t ϕ-=-+，∴()()()()222114011t t t t t t ϕ-=-=+'>+，故ϕ（t ）在（1，+∞）上是增函数， ∴ϕ（t ）＞ϕ（1）=0，∴()21ln 1t t t ->+，故原不等式成立．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了利用已经证明的结论证明不等式的方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.21.已知函数()()11ln x f x ea x x -=--+ (a R ∈，e 是自然对数的底数).（1）设()g x =()f x ' (其中()f x '是()f x 的导数)，求()g x 的极小值； （2）若对[)1,x ∈+∞，都有()1f x ≥成立，求实数a 的取值范围．【答案】(Ⅰ) 2a -(Ⅱ) (] 2-∞，【解析】 【分析】(Ⅰ)求出()g x '，分别令()'0g x >求得x 的范围，可得函数()g x 增区间，()'0g x <求得x 的范围，可得函数()g x 的减区间，结合单调性可求得函数的极值；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，()f x '在()1+∞，上单调递增，在(0，1)上单调递减，()()12f x f a ''≥=-.讨论当2a ≤时，当2a >时两种情况，分别利用对数以及函数的单调性，求出函数最值，从而可筛选出符合题意的实数a 的取值范围.【详解】(Ⅰ)()()()110x g x f x ea x x -=+-'=>，()121x g x e x--'=.令()()()1210x x g x e x x ϕ-=-'=>，∴()1320x x e x ϕ-'=+>， ∴()g x '在()0+∞，上为增函数，()10g '=. ∵当()01x ∈，时，()0g x '<；当()1x ∈+∞，时，()0g x '>， ∴()g x 的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为()1+∞，， ∴()()12g x g a ==-极小.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，()f x '在()1+∞，上单调递增，在(0，1)上单调递减， ∴()()12f x f a ''≥=-.当2a ≤时，()0f x '≥，()f x 在[)1+∞，上单调递增，()()11f x f ≥=，满足条件； 当2a >时，()120f a ='-<. 又∵()ln 11ln 10ln 1ln 1af a ea a a +=-+=>++'，∴()01ln 1x a ，∃∈+，使得()00f x '=，此时，()01x x ∈，，()0f x '<；()0ln 1x x a ∈+，，()0f x '>， ∴()f x 在()01x ，上单调递减，()01x x ∈，，都有()()11f x f <=，不符合题意. 综上所述，实数a 的取值范围为(]2-∞，. 【点睛】本题主要考查利用导数求函数的极值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.22.已知函数()221ln 2x f x x ax e e x=-++-（e为自然对数的底数）． （1）当a e =时，求曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线方程； （2）证明：当a e ≤时，不等式32212ln x ax x e x e ⎛⎫-≥-+ ⎪⎝⎭成立． 【答案】（1）0y = （2）证明见解析【解析】 【分析】（1）先求函数的导函数为()'21ln 22xfx x e x-=--，再由导数的几何意义可得，所求切线的斜率即为()0f e '=，再求切线方程即可； （2）先构造函数()2212g x x ex e e =-++，()()ln 0x h x x x=>，结合导数的应用判断函数的单调性求出函数()g x 的最小值，函数()h x 的最大值，再比较大小即可得证. 【详解】（1）解：由题意知，当a e =时，()221ln 2xf x x ex e e x=-++-，解得()0f e =， 又()'21ln 22xfx x e x -=--， 所以()0k f e '==．则曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线方程为0y =． （2）证明：当a e ≤时，得2222ax ex -≥-， 要证明不等式32212ln x ax x e x e ⎛⎫-≥-+ ⎪⎝⎭成立，即证32212ln x ex x e x e ⎛⎫-≥-+ ⎪⎝⎭成立，即证22ln 12x x ex e x e ⎛⎫-≥-+ ⎪⎝⎭成立， 即证221ln 2xx ex e e x-++≥成立， 令()2212g x x ex e e =-++，()()ln 0x h x x x =>，易知()()1g x g e e≥=，由()21ln xh x x-'=，知()h x 在区间()0,e 内单调递增， 在区间()0,∞+内单调递减， 则()()1h x h e e≤=， 所以()()g x h x ≥成立．即原不等式成立．【点睛】本题考查了导数的几何意义及利用导数证明不等式，重点考查了函数与不等式的相互转化，属综合性较强的题型.。