【北师大版】九年级数学上册同步练习第四章图形的相似4.4探索三角形相似的条件第3课时相似三角形的判定三

合集下载

北师大版九年级数学上册第四章图形的相似4.4探索三角形相似的条件第3课时相似三角形的判定3同步练习及答案

第3课时相似三角形的判定3知识点由三边成比例判定两三角形相似图4－4－231．教材习题4.7第2题变式题如图4－4－23，每个小正方形的边长均为1，则下列图形(每个小正方形的边长均为1)中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( )图4－4－242．已知AB＝12 cm，AC＝15 cm，BC＝21 cm，A1B1＝16 cm，B1C1＝28 cm，当A1C1＝________ cm时，△ABC∽△A1B1C1.3．已知△ABC的三边长分别为AB＝6 cm，BC＝7.5 cm，AC＝9 cm，△DEF的三边长分别为DE＝4 cm，EF＝5 cm，DF＝6 cm.求证：∠A＝∠D.4．已知△ABC的三边长分别为6 cm，7.5 cm，9 cm，△DEF的一边长为4 cm，当△DEF 的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似( )A．2 cm，3 cm B．4 cm，5 cmC ．5 cm ，6 cmD ．6 cm ，7 cm图4－4－255．如图4－4－25，点A ，B ，C ，D 的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，若以C ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似，则点E 的坐标不可能是( )A ．(6，0)B ．(6，3)C ．(6，5)D ．(4，2)6．如图4－4－26，在△ABC 和△ADE 中，AB AD ＝BC DE ＝ACAE，点B ，D ，E 在一条直线上．求证：△ABD ∽△ACE .图4－4－267．如图4－4－27，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上，P 1，P 2，P 3，P 4，P 5是△DEF 边上的5个格点，请按要求完成下列各题：(1)求证：△ABC 为直角三角形；(2)判断△ABC 和△DEF 是否相似，并说明理由；(3)画一个三角形，使它的三个顶点为P 1，P 2，P 3，P 4，P 5中的3个格点并且与△ABC 相似(要求：不写作法与证明)．图4－4－271．B [解析] 因为每个小正方形的边长均为1，所以已知的三角形的各边长分别为2，2，10，B 选项中的三角形三边长分别为1，2，5，三边与已知三角形的各边对应成比例，故两三角形相似．2．203．证明：∵AB DE ＝64＝32，BC EF ＝7.55＝32，AC DF ＝96＝32，∴AB DE ＝BC EF ＝ACDF，∴△ABC ∽△DEF ，∴∠A ＝∠D .4．C [解析] 设△DEF 的另两边的长分别为x cm ，y cm ，若△DEF 中为4 cm 长的边的对应边为6 cm ，则46＝x 7.5＝y9，解得x ＝5，y ＝6；若△DEF 中为4 cm 长的边的对应边为7.5 cm ，则47.5＝x 6＝y9，解得x ＝3.2，y ＝4.8；若△DEF 中为4 cm 长的边的对应边为9 cm ，则49＝x 6＝y 7.5，解得x ＝83，y ＝103.故选C.5．B6．证明：∵在△ABC 和△ADE 中，AB AD ＝BC DE ＝AC AE， ∴△ABC ∽△ADE ， ∴∠BAC ＝∠DAE ， ∴∠BAD ＝∠CAE . 又∵AB AD ＝AC AE，∴AB AC ＝AD AE， ∴△ABD ∽△ACE .7．解：(1)证明：∵AB 2＝20，AC 2＝5，BC 2＝25，∴AB2＋AC2＝BC2，∴△ABC为直角三角形，且∠BAC＝90°.(2)△ABC和△DEF相似．理由：由(1)中数据得AB＝2 5，AC＝5，BC＝5.由题意易知DE＝4 2，DF＝2 2，EF＝210，∴ABDE＝ACDF＝BCEF＝104，∴△ABC∽△DEF.(3)如图，连接P2P5，P2P4，P4P5.∵P2P5＝10，P2P4＝2，P4P5＝2 2，AB＝2 5，AC＝5，BC＝5，∴P2P5BC＝P4P5AB＝P2P4AC＝105，∴△ABC∽△P4P5P2.。

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《4-4探索三角形相似的条件》同步达标测试题(附答案)

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《4.4探索三角形相似的条件》同步达标测试题（附答案）一．选择题（共12小题，满分48分）1．图形中，每个小网格均为正方形网格，带阴影部分的三角形中与如图△A1B1C1相似的是（）A．B．C．D．2．如图，在△ABC中，D，E两点分别在BC，AC上，且AD平分∠BAC，若∠ABE＝∠C，BE与AD相交于点F，则图中与△ABD相似的是（）A．△ABC B．△ABF C．△BFD D．△AEF3．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE与BC不平行，那么下列条件中，不能判断△ADE∽△ACB的是（）A．∠ADE＝∠C B．∠AED＝∠B C．＝D．＝4．已知△ABC三边长是，，2，与△ABC相似的三角形三边长可能是（）A．1，，B．1，，C．1，，D．1，，5．如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍然不能使△ACD∽△ABC的是（）A．∠ACB＝∠ADC B．∠ACD＝∠ABC C．D．6．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A≠∠B，点P是边AC上一点（不与A、C重合），过P点的一条直线与△ABC的边相交，所构成的三角形与原三角形相似，这样的直线有（）条．A．1B．2C．3D．47．如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，则下列条件中，不一定能使△AED∽△ABC的是（）A．∠2＝∠B B．∠1＝∠C C．D．8．如图：点D在△ABC的边AB上，连接CD，下列条件：①∠ACD＝∠B；②∠ADC＝∠ACB；③AC2＝AD•AB；④AB•CD＝AC•BC．其中能判定△ACD∽△ABC的共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列四个条件中：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③；④AD•BC＝DE•AC，能满足△ADE∽△ACB的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，点P从点B出发以1个单位/s的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位/s的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为（）A．s B．s C．s或s D．以上均不对11．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列五个条件中：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③＝；④AD•BC＝DE•AC；⑤∠ADE＝∠C，能满足△ADE∽△ACB的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．如图，正方形ABCD中，F为AB上一点，E是BC延长线上一点，且AF＝EC，连接EF，DE，DF，M是FE中点，连接MC，设FE与DC相交于点N．则4个结论：①DN ＝DG；②△BFG∽△EDG∽△BDE；③CM垂直BD；④若MC＝，则BF＝2；正确的结论有（）个A．4B．3C．2D．1二．填空题（共4小题，满分20分）13．如图，∠B＝∠D，请你添加一个条件，使得△ABC∽△ADE，这个条件可以是．14．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，DE、AF交于点G，AF的中点为H，连接BG、DH．给出下列结论：①AF⊥DE；②DG＝；③HD∥BG；④△ABG∽△DHF．其中正确的结论有．（请填上所有正确结论的序号）15．如图，在△ABC中，AB≠AC．D、E分别为边AB、AC上的点．AC＝3AD，AB＝3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件：，可以使得△FDB与△ADE 相似．（只需写出一个）16．如图，在△ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC ＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，能满足△APC与△ACB相似的条件是（只填序号）．三．解答题（共8小题，满分52分）17．已知：如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且AC＝1，CD＝2，DB ＝4．求证：△ACP∽△PDB．18．如图，已知∠1＝∠2，∠AED＝∠C，求证：△ABC∽△ADE．19．如图，AB•AE＝AD•AC，且∠1＝∠2，求证：△ABC∽△ADE．20．如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且∠BAC＝∠BDC＝∠DAE．求证：△ABE∽△ACD．21．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，点E是AB上一点，连接DE，BD2＝BC•BE．证明：△BCD∽△BDE．22．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C点以4cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒钟△PBQ与△ABC相似？23．如图，已知AD•AC＝AB•AE．求证：△ADE∽△ABC．24．如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，BC＝，在AC边上截取AD＝BC，连接BD．（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；（2）求∠ABD的度数．参考答案一．选择题（共12小题，满分48分）1．解：因为△A1B1C1中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B，且满足两边成比例夹角相等，故选：B．2．解：在△ABE与△ACB中，∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAB，∴△ABE∽△ACB，∴∠AEB＝∠ABC，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠EAF，∴△ABD∽△AEF．故选：D．3．解：∵∠DAE＝∠CAB，∴当∠ADE＝∠C时，△ADE∽△ACB；当∠AED＝∠B时，△ADE∽△ACB；当＝时，△ADE∽△ACB．故选：C．4．解：∵△ABC三边长是，，2，∴△ABC三边长的比为：2：＝1：：，∴△ABC相似的三角形三边长可能是1，，，故选：A．5．解：A、当∠ACB＝∠ADC时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；B、当∠ACD＝∠ABC时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；C、当＝时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；D、当＝时，无法得出△ACD∽△ABC，故此选项符合题意；故选：D．6．解：如图，过点P作AB的平行线，或作BC的平行线，或作AB的垂线，或作∠CPD＝∠B，共4条直线，故选：D．7．解：∠A＝∠A，A、若添加∠2＝∠B，可利用两角法判定△AED∽△ABC，故本选项错误；B、若添加∠1＝∠C，可利用两角法判定△AED∽△ABC，故本选项错误；C、若添加＝，可利用两边及其夹角法判定△AED∽△ABC，故本选项错误；D、若添加＝，不能判定△AED∽△ABC，故本选项正确；故选：D．8．解：①∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△ABC，②∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，∴△ACD∽△ABC，③∵AC2＝AD•AB，∴，∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，④条件不符合，不能判定△ACD∽△ABC，故选：C．9．解：①∠B＝∠AED，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故①符合题意；②DE∥BC，则△ADE∽△ABC，故②不符合题意，③，且夹角∠A＝∠A，能确定△ADE∽△ACB，故③符合题意；④由AD•BC＝DE•AC可得＝，此时不确定∠ADE＝∠ACB，故不能确定△ADE∽△ACB，故④不符合题意，故选：B．10．解：设运动时间为t秒．BP＝t，CQ＝2t，BQ＝BC﹣CQ＝6﹣2t，当△BAC∽△BPQ，＝，即＝，解得t＝；当△BCA∽△BPQ，＝，即＝，解得t＝，综上所述，当以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为s或s，故选：C．11．解：①∠B＝∠AED，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故①符合题意；②DE∥BC，则△ADE∽△ABC，故②不符合题意，③，且夹角∠A＝∠A，能确定△ADE∽△ACB，故③符合题意；④由AD•BC＝DE•AC可得，此时不确定∠ADE＝∠ACB，故不能确定△ADE∽△ACB；故④不符合题意，⑤∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故⑤符合题意；故选：C．12．解：正方形ABCD中，AD＝CD，在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴∠ADF＝∠CDE，DE＝DF，∴∠EDF＝∠FDC+∠CDE＝∠FDC+∠ADF＝∠ADC＝90°，∴∠DEF＝45°，∵∠DGN＝45°+∠FDG，∠DNG＝45°+∠CDE，∠FDG≠∠CDE，而∠FDG与∠CDE不一定相等，∴∠DGN与∠DNG不一定相等，故判断出①错误；∵△DEF是等腰直角三角形，∵∠ABD＝∠DEF＝45°，∠BGF＝∠EGD（对顶角相等），∴△BFG∽△EDG，∵∠DBE＝∠DEF＝45°，∠BDE＝∠EDG，∴△EDG∽△BDE，∴△BFG∽△EDG∽△BDE，故②正确；连接BM、DM．∵△AFD≌△CED，∴∠FDA＝∠EDC，DF＝DE，∴∠FDE＝∠ADC＝90°，∵M是EF的中点，∴MD＝EF，∵BM＝EF，∴MD＝MB，在△DCM与△BCM中，，∴△DCM≌△BCM（SSS），∴∠BCM＝∠DCM，∴CM在正方形ABCD的角平分线AC上，∴MC垂直平分BD；故③正确；过点M作MH⊥BC于H，则∠MCH＝45°，∵MC＝，∴MH＝＝1，∵M是EF的中点，BF⊥BC，MH⊥BC，∴MH是△BEF的中位线，∴BF＝2MH＝2，故④正确；综上所述，正确的结论有②③④．故选：B．二．填空题（共4小题，满分20分）13．解：∵∠B＝∠D，∴添加∠C＝∠E或∠BAC＝∠DAE或∠BAD＝∠CAE或＝，可证△ABC∽△ADE．故答案为：∠C＝∠E或∠BAC＝∠DAE或∠BAD＝∠CAE或＝．14．解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，∵E和F分别为BC和CD中点，∴DF＝EC＝2，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴∠AFD＝∠DEC，∠F AD＝∠EDC，∵∠EDC+∠DEC＝90°，∴∠EDC+∠AFD＝90°，∴∠DGF＝90°，即DE⊥AF，故①正确；∵AD＝4，DF＝CD＝2，∴AF＝，∴DG＝AD×DF÷AF＝，故②错误；∵H为AF中点，∴HD＝HF＝AF＝，∴∠HDF＝∠HFD，∵AB∥DC，∴∠HDF＝∠HFD＝∠BAG，∵AG＝＝，AB＝4，∴，∴△ABG∽△DHF，故④正确；∴∠ABG＝∠DHF，而AB≠AG，则∠ABG和∠AGB不相等，故∠AGB≠∠DHF，故HD与BG不平行，故③错误；故答案为：①④．15．解：DF∥AC，或∠BFD＝∠A．理由：∵∠A＝∠A，＝＝，∴△ADE∽△ACB，∴①当DF∥AC时，△BDF∽△BAC，∴△BDF∽△EAD．②当∠BFD＝∠A时，∵∠B＝∠AED，∴△FBD∽△AED．故答案为DF∥AC，或∠BFD＝∠A．16．解：前三项正确，因为他们分别符合有两组角对应相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似．故相似的条件是①，②，③．三．解答题（共8小题，满分52分）17．证明：∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD＝∠PDC＝60°，PC＝CD＝PD＝2，∴∠PCA＝∠PDB＝120°，∵AC＝1，BD＝4，∴，＝，∴＝，∴△ACP∽△PDB．18．证明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，即∠DAE＝∠BAC，∵∠AED＝∠C，∴△ABC∽△ADE．19．证明：如图，∵AB•AE＝AD•AC，∴＝．又∵∠1＝∠2，∴∠2+∠BAE＝∠1+∠BAE，即∠BAC＝∠DAE，∴△ABC∽△ADE．20．解：∵∠BAC＝∠BDC，∠AOB＝∠DOC，∴∠ABE＝∠ACD又∵∠BAC＝∠DAE∴∠BAC+∠EAC＝∠DAE+∠EAC∴∠DAC＝∠EAB∴△ABE∽△ACD．21．证明：∵BD平分∠ABC，∴∠DBE＝∠CBD．∵BD2＝BC•BE，∴，∴△BCD∽△BDE．22．解：设在开始运动后第x秒，△BPQ与△BAC相似，由题意得：AP＝2xcm，PB＝（8﹣2x）cm，BQ＝4x，分两种情况考虑：当∠BPQ＝∠C，∠B＝∠B时，△PBQ∽△CBA，∴，即解得：x＝0.8，当x＝0.8秒时，△BPQ与△BAC相似；当∠BPQ＝∠A，∠B＝∠B时，△BPQ∽△BAC，∴，即，解得：x＝2，当x＝2秒时，△BPQ与△BAC相似．综上，当x＝0.8秒或2秒时，△BPQ与△BAC相似．23．证明：∵AD•AC＝AE•AB，∴＝在△ABC与△ADE中∵＝，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADE．24．解：（1）∵AD＝BC，BC＝，∴AD＝，DC＝1﹣＝．∴AD2＝＝，AC•CD＝1×＝．∴AD2＝AC•CD．（2）∵AD＝BC，AD2＝AC•CD，∴BC2＝AC•CD，即．又∵∠C＝∠C，∴△BCD∽△ACB．∴，∠DBC＝∠A．∴DB＝CB＝AD．∴∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC．设∠A＝x，则∠ABD＝x，∠DBC＝x，∠C＝2x．∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴x+2x+2x＝180°．解得：x＝36°．∴∠ABD＝36°．。

【提升版】北师大版数学九年级上册-4.4探索三角形相似的条件-同步练习(含解析)

【提升版】北师大版数学九年级上册 4.4探索三角形相似的条件同步练习一、选择题1．（2019九上·东源期中）如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（）A．B．C．D．2．（2024九上·铜仁期末）“黔绣”的技师擅长在叶脉上飞针走绣，巧妙地将传统刺绣图案与树叶天然纹理完美结合，创作出神奇的“叶脉苗绣”作品．实际上，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点P大致是AB的黄金分割点(AP>PB)，如果AP的长为4cm，那么AB的长约为（）A．(25+2)cm B．(25−2)cm C．(25+1)cm D．(25−1)cm 3．（2024九上·兰州期中）在学习画线段AB的黄金分割点时，小明过点B作AB的垂线BC，取AB 的中点M，以点B为圆心，BM为半径画弧交射线BC于点D，连接AD，再以点D为圆心，DB为半径画弧，前后所画的两弧分别与AD交于E，F两点，最后，以A为圆心，“■■”的长度为半径画弧交AB于点H，点H即为AB的其中一个黄金分割点，这里的“■■”指的是线段（）A．AF B．DF C．AE D．DE4．（2023九上·平山月考）如图，在△ABC中，∠ABC为锐角，BC=8cm，AB=4cm，要在边BC上找一点D，使△DBA∽△ABC，需添加一个条件，下列方案不正确的是（）A．∠BAD=∠C B．CD=6cm C．AD平分∠BAC D．∠ADB=∠BAC 5．（2024九上·杭州月考）如图，在△ABC纸片中，∠A＝72°，∠B＝38°．将△ABC纸片沿某直线剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与△ABC相似的是（）A．①②B．②④C．③④D．①③6．（2024九上·岳阳期末）如图，已知∠DAB=∠CAE，那么添加一个条件后，依然无法判定ΔABC∽ΔADE（）A．∠AED=∠C B．∠D=∠B C．ABAD =ACAED．ADAB=DEBC7．（2023九上·石家庄期中）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足BPAP =APAB，则称点P是AB的黄金分割点，世界上最有名的建筑物中几乎都包含“黄金分割”，若图中AB＝8，则BP的长度是（）A．12−45B．4+45C．45−4D．2 8．下列条件中，能使△ABC和△DEF相似的条件是（）．A．AB=c，AC=b，BC=a，DE=a，EF=b，DF=cB．AB=1，AC=1.5，BC=2，DE=12，EF=8，DF=1C．AB=3，AC=4，BC=6，DE=12，EF=8，DF=6D．AB=2，AC=3，BC=5，DE=6，EF=3，DF=3二、填空题9．（2024九上·织金期末）如图，乐器上的一根弦AB=100cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，C，D之间的距离为 cm．10．（2024九上·兰州期中）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片ABCD如图所示，点N在边AD上，现将矩形折叠，折痕为BN，点A对应的点记为点M，若点M恰好落在边DC上，则图中与△NDM一定相似的三角形是．11．（2023九上·瑶海月考）五角星是我们常见的图形，如图点C，D分别是线段AB的黄金分割点，AB=20cm，则EC+CD= cm．12．（2023九上·宁远期中）如图，在正方形网格上，若使△ABC∽△PBD，则点P应在．13．如图，在△ABC中，AB=8 cm，BC=16 cm．点P从点A出发，沿AB边向点B以2cm/s的速度运动，点Q从点B出发，沿BC边向点C以4 cm/s的速度运动．如果P，Q分别从A，B同时出发，那么运动时间为时，△PBQ与△ABC相似．三、解答题14．（2023九上·萧山月考）如图，矩形ABCD中，BC<2AB，点M是BC的中点，连接AM．将△ABM沿着AM折叠后得△APM，延长AP交CD于E，连接ME．（1）求证：ME平分∠PMC；（2）求证：△EMC∽△MAB.15．如图，AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，且AD=2，BC=6，AB=7．P是线段AB上的一个动点．问：是否存在一点P，使以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似？若存在，求出PA的长；若不存在，请说明理由．16．（2023九上·佛山期中）如图，在4×7的正方形方格纸中（每个小方格的边长均为1）有线段AC 和EF，点A，C，E，F均在方格的格点上．（1）在方格纸中画出一个以AC为对角线的菱形ABCD，点D在直线AC的下方，且点B，D都在方格的格点上；（2）在方格纸中画出以EF为边的正方形EFGH，且点G，H在方格的格点上；（3）连接BD交AC于点O，连线得△OCE和△CHD，请证明△CHD∽△OCE．17．（2019九上·昌平期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8m，BC=6m，点P由C点出发以2m/s的速度向终点A匀速移动，同时点Q由点B出发以1m/s的速度向终点C匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动．（1）经过几秒△PCQ的面积为△ACB的面积的13？（2）经过几秒，△PCQ与△ACB相似？18．（2022九上·哈尔滨月考）在四边形ABCD中，AC为对角线，AC=AB=BC，BE⊥AC于点E，CD=BE=3，AD=1．（1）如图1，求证：∠ADC=90°；（2）如图2，延长BE，交AD边的延长线于点F，交CD边于点G，连接CF，DE，在不添加任何字母和辅助线的条件下，请直接写出图中与△ABF相似，但不全等的三角形．19．（2020九上·江阴期中）如图（1）如图1，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，现以C为圆心、CB长为半径画弧交边AC于D，再以A为圆心、AD为半径画弧交边AB于E.求证：AEAB =5−12.（这个比值5−12叫做AE与AB的黄金比.）（2）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形.请你以图2中的线段AB为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形ABC.（注：直尺没有刻度！作图不要求写作法，但要求保留作图痕迹，并对作图中涉及到的点用字母进行标注）20．（2021九上·常山期中）【问题提出】已知有两个Rt△ABC和Rt△A'B′C'，其中∠C＝∠C′＝90°，∠A ＝60°，∠A′＝45°．（1）如图1，作线段CD，C′D′，分别交AB于点D，交A'B′于点D′，使得∠BCD＝45°，∠B'C′D'＝30°，问△BCD与△B'C′D'，△ACD与△A′C′D′是否相似？并选择其中相似的一对三角形，说明理由．（2）如图2，作线段AD，B'D′，分别交BC于点D，交A'C'于点D，若△ACD与△B′C′D′、△ABD与△A′B'D'均相似，求∠CAD，∠C'B'D′的度数．（3）【拓展思考】已知任意两个不相似的直角三角形，能否分别作一条直线对其进行分割，使其中一个三角形所分割得到的两个三角形与另一个三角形所分割得到的两个三角形分别对应相似？如果可以，请直接画出一种分割示意图；如果不能，请说明理由．答案解析部分1．【答案】A【知识点】勾股定理；相似三角形的判定【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°+45°=135°，AC=2，CB=12+12=2，又∵B、C、D三选项中最大角都小于135°，∴B、C、D都不对，又∵选项A中最大角是135°，且夹边之比=2∶1=2∶2。

北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》4.4 探索三角形相似的条件同步练习及答案

探索三角形相似的条件（一）同步练习班级：_______ 姓名：_______一、请说一说什么是相似三角形答：_______________________________________________________.通过探索和学习，你知道怎样判定两个三角形相似？那么请把你的判定方法写在下面吧.（1）___________________________________________________________________.（2）______________________________________________________________________.（3）_____________________________________________________________________.二、请你填一填（1）如图4—6—1，在△ABC中，DE∥BC，AD=3 cm，BD=2 cm,△ADE与△ABC是否相似________，若相似，相似比是________.图4—6—1 图4—6—2（2）如图4—6—2，D、E分别为△ABC中AB、AC边上的点，请你添加一个条件，使△ADE与△ABC相似，你添加的条件是_____________（只需填上你认为正确的一种情况即可）.（3）如图4—6—3，测量小玻璃管口径的量具ABC中，AB的长是10毫米，AC被分成60等份.如果小管口DE正好对着量具上30份处（DE∥AB），那么小管口径DE的长是_____________毫米.图4—6—3 图4—6—4（4）如图4—6—4，在R t△ABC中，∠ACB=90°，作CD⊥AB于点D，则图中相似的三角形有________对，它们分别是_____________.三、认真选一选（1）下列各组图形中有可能不相似的是（）A.各有一个角是45°的两个等腰三角形B.各有一个角是60°的两个等腰三角形C.各有一个角是105°的两个等腰三角形D.两个等腰直角三角形（2）△ABC 和△A ′B ′C ′符合下列条件，其中使△ABC 和△A ′B ′C ′不相似的是（）A.∠A =∠A ′=45° ∠B =26° ∠B ′=109°B.AB =1 AC =1.5 BC =2 A ′B ′=4 A ′C ′=2 B ′C ′=3C.∠A =∠B ′ AB =2 AC =2.4 A ′B ′=3.6 B ′C ′=3D.AB =3 AC =5 BC =7 A ′B ′=3 A ′C ′=5 B ′C ′=7（3）如图4—6—5，AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点O ，那么在下列比例式中，正确的是（）A.ADOACD AB = B.BC OB OD OA = C.OCOBCD AB = D.ODOBAD BC =图4—6—5 图4—6—6（4）如图4—6—6，D 为△ABC 的边AB 上一点，且∠ABC =∠ACD ，AD =3 cm, AB =4 cm ，则AC 的长为（）A.2 cmB.3 cmC.12 cmD.23 cm四、用数学眼光看世界如图4—6—7，长梯AB 斜靠在墙壁上，梯脚B 距墙80 cm ，梯上点D 距墙70 cm ，量得BD 长55 cm ，求梯子的长.图4—6—7参考答案一、答：对应角相等、对应边成比例的两个三角形是相似三角形判定两个三角形相似的方法详见课本，略. 二、（1）相似 3∶5 （2）∠C =∠ADE （或∠B =∠AED 等）（3）5 （4）三 △ACD ∽△ABC △BCD ∽△BAC △ACD ∽△CBD 三、（1）A （2）D （3）C （4）D 四、解：设梯子的长AB 为x cm （如图）由Rt △ADE ∽Rt △ABC 得：ABADBC DE = ∴xx 558070-= 解得：x =440答：梯子的长是440 cm.探索三角形相似的条件（二）同步练习班级：_______ 姓名：_______一、请你填一填（1）如图4—6—8，在△ABC 中，AC 是BC 、DC 的比例中项，则△ABC ∽________,理由是________.图4—6—8 图4—6—9（2）如图4—6—9，D 、E 、F 分别是△ABC 各边的中点，则△DEF ∽________,理由是________. （3）如图4—6—10，∠BAD =∠CAE ，∠B =∠D ，AB =2AD ，若BC =3 cm,则DE =________cm.图4—6—10 图4—6—11（4）如图4—6—11，正方形ABCD 的边长为2，AE =EB ，MN =1，线段MN 的两端分别在CB 、CD 上滑动，那么当CM =________时，△ADE 与△MN C 相似. 二、认真选一选（1）如图4—6—12，下列条件不能判定△ABC 与△ADE 相似的是（）A.ABACAD AE = B.∠B =∠ADE C.BCDEAC AE = D.∠C =∠AED图4—6—12 图4—6—13（2）在□ABCD 中，E 在BC 边上，AE 交BD 于F ，若BE ∶EC =4∶5，则BF ∶FD 等于（）A.4∶5B.5∶4C.5∶9D.4∶9（3）如图4—6—13，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，CD =2，BD =1，则AD 的长是（）A.1B.2C.2D.4三、开动脑筋哟如图4—6—14，在四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，∠ABD =∠ACD ，试找出图中的相似三角形，并加以证明.图4—6—14四、用数学眼光看世界如图4—6—15，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一点A ，再在河的这一边选定点B 和点C ，使得AB ⊥BC ，然后选定点E ，使EC ⊥BC ，确定BC 与AE 的交点D ，若测得BD =180米，DC =60米，EC =50米，你能知道小河的宽是多少吗？图4—6—15参考答案一、（1）△DAC 这两个三角形的两边对应成比例且夹角相等，这两个三角形相似（2）△ABC 这两个三角形的三边对应成比例，这两个三角形相似（3）1.5 （4）552或55二、（1）C （2）D （3）D三、（1）△AOB ∽△DOC （2）△AOD ∽△BOC证明：（1）∵∠ABD =∠ACD ，∠AOB =∠DOC （对顶角相等） ∴△AOB ∽△DOC（2）由（1）知△AOB ∽△DOC∴OC OBOD OA =， ∴OCODOB OA = 又∵∠AOD =∠BOC ∴△AOD ∽△BOC四、解：∵由已知得∠ABD =∠DCE =90°,∠ADB =∠CDE∴△ABD ∽△ECD ∴DCBDEC AB = 将EC =50，BD =180，DC =60代入上式得：6018050=AB ，∴AB =150 即：小河的宽是150米.探索三角形相似的条件一、选择题:1.下列命题错误的是( )A.两角对应相等的两个三角形相似;B.两边对应成比例的两个三角形相似C.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;D.三边对应成比例的两个三角形相似 2.下面关于直角三角形的相似叙述错误的是( )A.有一锐角对应相等的两个直角三角形相似;B.两直角边对应成比例的两个直角三角形相似C.直角边与斜边对应成比例的两个直角三角形相似;D.两个等腰直角三角形相似 3.使△ABC 和△ABC 不相似的条件是( ) A.∠A=∠A ′=65°,∠B=45°,∠C ′=70°B.AB=1,BC=1.2,AC=1.5,A ′B ′=6,B ′C ′=4,A ′C ′=4.8C.∠A=∠A ′,AB=4,BC=2,A ′B ′=6,B ′C ′=3D.AB=3,BC=4,AC=5,A ′B ′=6,B ′C ′=8,A ′C ′=10 4.有一个角等于40°的两个等腰三角形( )A.全等B.相似C.既不相似也不全等D.无法确定 5.如图1,∠AED=∠B,一定可得 ( )A.AD:AC=AE:ABB.DE:BC=AD:DBC.DE:BC=AE:ACD.AD:AB=AE:ACEDCBACB APEDCBADBA(1) (2) (3) (4) 6.如图2,P 是AB 上一点,补充下列条件①∠ACP=∠B; ②∠APC=∠ACB;③AP ACAC AB=;④AP PCAC BC=,其中一定能使△ACP ∽△ABC 的是( ) A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④ 二、填空题:1.如图3,在Rt △ABC 中,AC ⊥BC,DE ⊥AB,则________∽________.2.P 是Rt △ABC 斜边BC 上异于B 、C 的一点,过点P 作直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC 相似,满足这样条件的直线共有________条.3.如图4,在△ABC 中,点D 在AB 上,请再添一个适当的条件,使△ADC ∽△ACB,•那么要添加的条件是_________.4.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠A=36°,BD 是∠ABC 的平分线,则_______•和______________相似.5.一个直角三角形的两条直角边长分别为8cm 和12cm,另一个直角三角形的两条直角边长分别是6cm 和9cm,这两个直角三角形______相似三角形(填是或不是),理由是_____________.6.一个三角形的三边长分别为8、9、12,另一个三角形的三边长分别为12、272、18,•那么这两个三角形的关系是________,理由是_______. 三、计算题1.如图,根据图形中提供的数据,你能得到三角形相似吗?为什么?31.521EDCB A2.如图,∠A=52°,AB=2.5,AC=5.5,△DEF 中,∠E=52°,DE=7,EF=3,•△ABC•与△EDF 是否相似?为什么?52︒5.52.5C B A52︒37D EF3.如图,在□ABCD 中,E 为BA 延长线上一点,EC 交AD 于F,找出图中相似的三角形,并进行证DCBA明.DFE CBA四、将两块完全相同的等腰直角三角板摆放成如图的样子,试问△ABE ∽△DAE 成立吗?D FECBA G五、已知:如图,D 、E 分别是△ABC 两边AB 、AC 上的点,∠A=60°,∠C=70•°,•∠AED=50°. 试问:AD ·AB=AE ·AC 成立吗?DECA六、如图,△ABC 中,D 为BC 上一点,且∠CAD=∠B,AD=8,AB=10,AC=9,求:DC 的长.•D CB A七、如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,CD ⊥AB.(1)找出图中相似的三角形;(2)设计一种分法,把Rt △ABC 分割成四个小直角三角形,使每个小直角三角形与Rt △ABC 相似.DC BA答案:一、1.B 2.C 3.C 4.D 5.A 6.A二、1.△BDE;△BAC 2.33.∠ADC=∠ACB或其他的4.△ABC;△BDC5.是;两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似6.相似,对应边成比例的两个三角形相似三、1.能:因为11123ADAB==+,1.511.533AEAC==+所以AD AE AB AC=,又因为∠A=∠A所以△ADE∽△ABC2.不相似,因为对应边不成比例3.△EAF∽△EBC;△EAF∽△CDF;△EBC∽△CDF因为 ABCD中,AD∥BC,AB∥CD,所以∠EAF=∠B,∠EFA=∠ECB;∠EAF=∠D,∠E=∠FCD;∠B=∠D, 所以△EAF∽△EBC,•△EAF∽△CDF,△EBC∽△CDF四、成立,△ABC和△AFG都是等腰直角三角形∠B=∠DAE=45°∠ADE=∠B+∠BAD⇒∠ADE=∠DAE+∠BAD=∠BAE⇒△ABE∽△DAE五、成立, ∠A=60°,∠C=70°∴∠B=50°,∠AED=50°,∴∠B=∠AED，∠A=∠A⇒△ADE∽△ACB⇒AD AEAC AB=⇒AD·AB=AE·AC六、∠CAD=∠B,∠C=∠C⇒△ACD∽△BCA⇒CD ADAC AB= ,即8910CD=∴CD=7.2七、(1)△ADC∽△ACB;△ADC∽△CDB;△CDB∽△ACB(2)过点D作DE⊥AC,DF⊥CB即可.。

九年级数学上册第四章《图形的相似》4.4探索三角形相似的条件第4课时黄金分割练习北师大版(2021

九年级数学上册第四章《图形的相似》4.4 探索三角形相似的条件第4课时黄金分割同步练习（新版）北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学上册第四章《图形的相似》4.4 探索三角形相似的条件第4课时黄金分割同步练习（新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为九年级数学上册第四章《图形的相似》4.4 探索三角形相似的条件第4课时黄金分割同步练习（新版）北师大版的全部内容。

第4课时黄金分割知识点 1 对黄金分割的理解1．已知点C把线段AB分成两条线段AC，BC，下列说法错误的是（）A．如果ACAB＝错误!，那么线段AB被点C黄金分割B．如果AC2＝AB·BC,那么线段AB被点C黄金分割C．如果线段AB被点C黄金分割，那么AC与AB的比叫做黄金比D．一条线段有两个黄金分割点2．如图4－4－28,点C是线段AB的黄金分割点(AC＞BC)，下列结论错误的是（）图4－4－28A。

ACAB＝错误!B．BC2＝AB·ACC。

ACAB＝错误!D.错误!≈0。

6183．已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝2，则AC的长为( )A.错误!－1 B．3－错误!C.错误!D．0.6184．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），若AB＝2，则AP－BP ＝________．5．教材习题4.8第1题变式题如图4－4－29，乐器上的一根弦AB＝80 cm,两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点,支撑点D是靠近点A的黄金分割点,求C，D之间的距离．图4－4－29知识点 2 黄金分割的应用6．如图4－4－30所示，扇子的圆心角为α，余下扇形的圆心角为β,α与β的比通常按黄金比来设计，这样的扇子较美观．若取黄金比为0.6，则α为（）A．216° B．135° C．120° D．108°4－4－304－4－317．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时,越给人一种美感．如图4－4－31，某女士的身高为160 cm,下半身长x与身高l 的比值是0。

北师大版九年级上册数学 4.4探索三角形相似的条件同步习题(含解析)

4.4探索三角形相似的条件同步习题
一．选择题
1．如图，已知在△ABC中，P为AB上一点，连接CP，以下条件中不能判定△ACP∽△ABC 的是（）
A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C．D．
2．如图1，能保证使△ACD与△ABC相似的条件是（）
A．AC2＝AD•AB B．CD：AD＝BC：AC
C．AC：CD＝AB：BC D．CD2＝AD•DB
3．下列正方形方格中四个三角形中，与甲图中的三角形相似的是（）
A．B．
C．D．
4．下列说法正确的是（）
A．所有等边三角形都相似
B．有一个角相等的两个等腰三角形相似
C．所有直角三角形都相似
D．所有矩形都相似
5．如图，BE、CD相交于点A，连接BC，DE，下列条件中不能判断△ABC∽△ADE的是（）
A．∠B＝∠D B．∠C＝∠E C．＝D．＝
6．如图，在正方形网格上有5个三角形（三角形的顶点均在格点上）：①△ABC，②△ADE，
③△AEF，④△AFH，⑤△AHG，在②至⑤中，与①相似的三角形是（）
A．②④B．②⑤C．③④D．④⑤
7．如图小明在作业纸上画出①、②两组三角形，每组各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，对于图①、②中的两个三角形而言；下列说法正确的是（）
A．都相似B．都不相似C．只有①相似D．只有②相似8．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，则下列结论正确的有（）。

北师大版九年级上册数学第四章图形的相似第四节探索三角形相似的条件

=
AD AC
C．ABCB
=
CD AB
B．DABB
=
BC AB
D．AACB
=
DB CD
感悟新知
知识点 2 两角分别相等的两个三角形相似
知2－讲
1. 定理两角分别相等的两个三角形相似. 2. 数学表达式如图4-4-3，
在△ABC和△DEF中， ∵∠A=∠D，且∠B = ∠E， ∴△ABC∽△DEF.
感悟新知
知5－练
6-1.已知P是线段AB的黄金分割点，且AB= 5+1，则AP的
长为( C )
A．2
B． 5－1
C．2 或 5－1
D．3－ 5
课堂小结
探索三角形相似的条件
定义
相似三角形
判定方法
应用
黄金分割
角角边角边边边边
学习目标
课后作业
作业1 必做: 请完成教材课后习题作业2 补充:
解：设涂到 x m 高时，才使人感到最舒适．利用黄金比，得x3＝ 52－1，解得 x≈1.85. 所以涂料大约应涂到高为 1.85 m 处．
感悟新知
知5－练
例6 已知线段AB=6，点C为线段AB的黄金分割点，求
AC－BC和AC·BC的值.
解题秘方：紧扣黄金分割点在线段中的两个不同位置解决问题.
知5－练
当AC＜BC时，∵点C为线段AB的黄金分割点，
∴BACB = 5 2－1.又∵ AB=6，∴ BC=3 5－3. ∴ AC=AB－BC=9－3 5. ∴ AC－BC=12－6 5， AC·BC=36 5－72. 综上所述，AC－BC=6 5－12 或12－6 5， AC·BC=36 5－72.
AB A′B′

北师大版九年级上册数学 4.4探索三角形相似的条件同步练习(含答案)]

4.4探索三角形相似的条件同步练习一．选择题1．如图，已知在△ABC中，P为AB上一点，连接CP，以下条件中不能判定△ACP∽△ABC 的是（）A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C．D．2．下列正方形方格中四个三角形中，与甲图中的三角形相似的是（）A．B．C．D．3．下列说法正确的是（）A．所有等边三角形都相似B．有一个角相等的两个等腰三角形相似C．所有直角三角形都相似D．所有矩形都相似4．如图，点M在BC上，点N在AM上，CM＝CN，，下列结论正确的是（）A．△ABM∽△ACB B．△ANC∽△AMB C．△ANC∽△ACM D．△CMN∽△BCA 5．如图，△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，且∠1＝∠2＝∠3，则与△ADE 相似的三角形的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个6．如图，BE、CD相交于点A，连接BC，DE，下列条件中不能判断△ABC∽△ADE的是（）A．∠B＝∠D B．∠C＝∠E C．＝D．＝7．如图，△ABC中，∠A＝60°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的三角形与△ABC不相似的是（）A．B．C．D．8．如图，点A、B、C、D四点共线，△PBC是等边三角形，当△P AB∽△DPC时，∠APD 的度数为（）A．120°B．100°C．110°D．125°9．在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，给出下列条件：其中能判断△ADE∽△ABC的有（）①；②∠AED＝∠B；③；④DE∥BC，A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD边上，EF⊥AE，BH⊥AC于点H，EF与AC交于点M，BH与AE交于点N．则下列结论错误的是（）A．△EFC∽△AEB B．△ECM∽△ABN C．△CFM∽△BEN D．△ANH∽△EFC 二．填空题11．在△ABC中，AB＝10，AC＝5，点M在边AB上，且AM＝2，点N在AC边上．当AN ＝时，△AMN与原三角形相似．12．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6，CD＝4，BD＝14．点P在BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，则PB的长为．13．如图，∠DAB＝∠EAC，请补充一个条件：，使△ADE∽△ABC（只写一个答案即可）．14．如图，矩形ABCD，AD＝2，AB＝5，P为CD边上的动点，当DP＝时，△ADP 与△BCP相似．15．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝5cm，AD＝3cm，BC＝2cm，P是AB 上一点，若以P、A、D为顶点的三角形与△PBC相似，则P A＝cm．三．解答题16．如图，D是△ABC的边AB上的一点，BD＝2，AB＝，BC＝3．求证：△BCD∽△BAC．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在BC、AB上，且∠BDE＝∠CAD．（1）求证：△BDE∽△CAD；（2）求证：△ADE∽△ABD．18．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2＝AB•AD；（2）求证：△AFD∽△CFE．参考答案1．C2．B3．A4．B5．C6．C7．A8．A9．B10．D11．1或412．8.4或2或1213．∠D＝∠B（答案不唯一）．14．1或4或2.515．2或316．解：∵BD＝2，AB＝，BC＝3．∴＝，＝＝，∴＝，而∠CBD＝∠ABC，∴△BCD∽△BAC．17．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵∠BDE＝∠CAD，∴△BDE∽△CAD；（2）证明：∵△BDE∽△CAD，∴∠BED＝∠CDA，∴180°﹣∠BED＝180°﹣∠CDA即∠AED＝∠ADB．又∵∠BAD＝∠DAE，∴△ADE∽△ABD．18．（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB，∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC＝AC：AB，∴AC2＝AB•AD；（2）证明：∵E为AB的中点，∴CE＝BE＝AE，∴∠EAC＝∠ECA，∵∠DAC＝∠CAB，∴∠DAC＝∠ECA，∴CE∥AD，∴△AFD∽△CFE．。

北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》探索三角形相似的条件同步练习(含答案)5

4.4探索三角形相似的条件典型题汇总第1课时三角形相似的判定定理1【学习目标】1．掌握相似三角形的定义、表示法，并能根据定义判断两个三角形是否相似．2．掌握由两角对应相等判定两个三角形相似的方法，并会运用这种判定三角形相似的方法解决简单问题．【学习重点】三角形相似的判定定理1及应用．【学习难点】三角形相似的判定定理1的证明．情景导入生成问题1．各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形；相似多边形对应边的比叫做相似比．2．已知，如图两个四边形相似，则∠α的度数是(A)A．87°B．60°C．75°D．120°自学互研生成能力知识模块一探索三角形相似的判定定理1先阅读教材P89页的内容，然后完成下面的问题：1．相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，如△ABC与△DEF相似，记作△ABC∽△DEF，其中对应顶点要写在相同位置上，如A与D，B与E，C与F相对应．AB∶DE等于BC∶EF．2．两角对应相等的两个三角形相似．探究内容：现有一块三角形玻璃ABC，不小心打碎了，只剩下∠A和∠B比较完整．如果用这两个角去配制一张完全一样的玻璃，能成功吗？问题情景出现后，让学生充分发表自己的想法．1．动手实验：现在，已量出∠A＝60°，∠B＝45°，请同学们当一当工人师傅，在纸上作∠A＝60°，∠B＝45°的△ABC，剪下与同桌所做的三角形比较，研究这两个三角形的关系．你有哪些发现？在小组内交流．学生经过画一画、剪一剪、量一量、算一算、拼一拼，在小组合作基础上，讨论交流，可能得出下面结论：①这样的两个三角形不一定全等；②两个三角形三个角都对应相等；③通过度量后计算，得到三边对应成比例；④通过拼置的方法发现这两个三角形可能相似．此时，教师鼓励学生大胆猜想，得出命题：猜想：两角对应相等，两三角形相似．归纳结论：两角分别相等的两个三角形相似．知识模块二相似三角形判定定理1的应用1．自学自研教材P89页的例1.2．完成教材P90页随堂练习．典例讲解：已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是角平分线，求证：△ABC∽△BDC.分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然∠C是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得．借助于计算也是一种常用的方法．证明：∵∠A＝36°，△ABC是等腰三角形，∴∠ABC＝∠C＝72°，又BD平分∠ABC，则∠DBC＝36°.在△ABC和△BDC中，∠C为公共角，∠A＝∠DBC＝36°，∴△ABC∽△BDC.对应练习：1．如图，E为平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F.若AB＝5，AD＝6，CF＝2，求线段CE的长．解：设CE＝x，证△ABE∽△FCE，由比例式求得CE＝4.2．如图，在边长为4的等边三角形ABC中，D、E分别在线段BC，AC上运动，在运动过程中始终保持∠ADE＝60°，求证：△ABD∽△DCE.证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°.∴∠BAD＋∠ADB＝120°.∵∠ADE＝60°，∴∠ADB＋∠EDC＝120°.∴∠DAB＝∠EDC.∴△ABD∽△DCE.交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一探索三角形相似的判定定理1知识模块二相似三角形判定定理1的应用检测反馈达成目标1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有(C)A．1对B．2对C．3对D．4对2．如图，D是直角三角形ABC直角边AC上的一点，若过D点的直线交AB于E，使得到的三角形与原三角形相似，则这样的直线有(B)A．1条B．2条C．3条D．4条3．如图，在矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C.(1)设Rt△CBD的面积为S1，Rt△BFC的面积为S2，Rt△DCE的面积为S3，则S1＝S2＋S3；(用“＞”“＝”或“＜”填空)(2)写出图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．解：△BCD∽△CFB，△BCD∽△DEC，△CFB∽△DEC.证明△BCD∽△DEC如：证明：∵∠EDC＋∠BDC ＝90°，∠CBD＋∠BDC＝90°，∴∠CBD＝∠EDC.又∵∠BCD＝∠DEC＝90°，∴△BCD∽△DEC.(答案不唯一)课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________第2课时两边一夹角判定两个三角形相似【学习目标】1．理解并掌握三角形相似的判定定理：“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”．2．会运用三角形相似的判定方法解决简单问题．【学习重点】掌握“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定方法．【学习难点】相似三角形判定定理在实际问题中的灵活运用．情景导入生成问题1．两角分别相等的两个三角形相似．2．下列说法中正确的个数是(C)①所有的等腰直角三角形都相似；②有一个角是80°的两个等腰三角形相似；③有一个角是100°的两个等腰三角形相似；④有一个角相等的两个等腰三角形相似．A．4B．3C．2D．13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，D，E分别在AB，AC上，将△ADE沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为(B)A .12B ．2C ．3D ．4 自学互研生成能力知识模块一探索三角形相似的判定定理2先阅读教材P 91页的内容，然后解答下列问题： 1．两角对应相等的两个三角形相似．3．如图，两个三角形中，其边长已在图上标注，那么这两个三角形是(选填“是”或“不是”)相似三角形．根据是有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．1．情境导入问题：(1)相似三角形的定义是什么？三边成比例，三角分别相等的两个三角形相似． (2)判断两个三角形相似，你有哪些方法？方法1：通过定义(不常用)；方法2：通过平行线(条件特殊，使用起来有局限性)；方法3：判定定理1，两角分别相等的两个三角形相似．2．思考探究完成教材P 91页的做一做．归纳结论：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．知识模块二三角形相似判定定理2的应用1．自学自研教材P 91页的例2. 2．完成教材P 92页的随堂练习．典例讲解：如图，已知△ABD ∽△ACE .求证：△ABC ∽△ADE .分析：由于△ABD ∽△ACE ，则∠BAD ＝∠CAE ，因此∠BAC ＝∠DAE ，再进一步证明BA AD ＝CAAE，则问题得证．证明：∵△ABD ∽△ACE ，∴∠BAD ＝∠CAE .又∵∠BAC ＝∠BAD ＋∠DAC ，∠DAE ＝∠DAC ＋∠CAE ，∴∠BAC ＝∠DAE .∵△ABD ∽△ACE ，∴AB AD ＝AC AE .在△ABC 和△ADE 中，∵∠BAC ＝∠DAE ，AB AD ＝ACAE，∴△ABC ∽△ADE .对应练习：1．下列条件不能判定△ABC 与△ADE 相似的是( C )A .AE AD ＝AC AB B ．∠B ＝∠ADEC .AE AC ＝DE BCD ．∠C ＝∠AED2．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为CB 延长线上一点，E 为BC 延长线上一点，且满足AB 2＝DB ·CE .求证：△ADB ∽△EAC .证明：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，∴∠ABD ＝∠ACE .∵AB 2＝DB ·CE ，∴AB CE ＝DB AB ，即AB CE ＝DBAC，∴△ADB ∽△EAC .交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一探索三角形相似的判定定理2 知识模块二三角形相似判定定理2的应用检测反馈达成目标1．下列条件能判断△ABC 和△A ′B ′C ′相似的是( C ) A .AB A′B′＝AC A′C′B .AB A′B′＝AC A′C′且∠A ＝∠C ′ C .AB BC ＝A′B′A′C′且∠B ＝∠A ′ D .AB A′B′＝AC A′C′且∠B ＝∠B ′2．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与右图中△ABC相似的是(B) ,A),B),C) ,D)3．已知：如图，在△ABC中，CE⊥AB，BF⊥AC.求证：△AEF∽△ACB.证明：∵CE⊥AB，BF⊥AC，∴∠BF A＝∠CEA＝90°，∠A＝∠A，∴△AEC∽△AFB，∴AEAC＝AFAB，∴AEAF＝ACAB，又∵∠EAF＝∠CAB，∴△AEF∽△ACB.课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________第3课时三边成比例的两个三角形相似【学习目标】1．掌握三边对应成比例判定两个三角形相似的方法．2．会选择合适的三角形相似的判定方法解决简单问题．【学习重点】掌握相似三角形的判定定理：“三边成比例的两个三角形相似”．【学习难点】会准确运用三角形相似的判定定理来判断、证明及计算．情景导入生成问题1．两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．2．下列说法正确的是(C)A．有一个角相等的两个等腰三角形相似B．所有的直角三角形相似C．有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似D．所有的等腰三角形相似3．已知△ABC如图所示，则与△ABC相似的是图中的(C),),A),B),C),D)自学互研生成能力知识模块一探索三边成比例的两个三角形相似师：我们上两节课学过什么定理？师生共同回忆，在上两节课的探索中，我们知道：三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形相似；两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例及夹角相等的两个三角形相似．师：那么判定三角形相似还有没有其他条件呢？今天我们再次踏上探索之旅途．画△ABC与△A′B′C′，使ABA′B′、BCB′C′和CAC′A′都等于给定的值k.(1)设法比较∠A与∠A′的大小．(2)△ABC与△A′B′C′相似吗？说说你的理由．改变k值的大小，再试一试．生：按照上面的步骤进行，这里的k由自己定，为了节约时间，一个组取一个相同的k值，不同的组取不同的k值．内容：学生根据画出的相似三角形的图形及在画相似三角形中的“发现”进行相互交流，教师给予适当的帮助，后由学生展示、讲解画出来的相似三角形，展示自己探索的过程及自己得出的结论．师：经过大家的亲身参与体会，你们得出的结论是什么呢？生：结论为∠A＝∠A′，△ABC∽△A′B′C′，理由是：∠A＝∠A′，ABA′B′＝CAC′A′.根据“两边成比例及夹角相等的两个三角形相似”可知：△ABC∽△A′B′C′.师：其他组的同学的结论相同吗？生：相同．师：经过大家的探讨，我们又掌握了一种相似三角形的判定方法．师：(演示课件)判定定理3：三条边成比例的两个三角形相似．知识模块二判定定理3的应用1．自学自研教材P94页的例3.2．完成教材P94的随堂练习．师：幻灯片展示：如图，△ABC与△A′B′C′相似吗？你有哪些判断方法？生：先独立思考，然后小组合作交流．解：△ABC ∽△A ′B ′C ′.判断方法有：1.三边成比例的两个三角形相似；2.两角分别相等的两个三角形相似；3.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；4.定义法．目的：巩固对本节知识的理解；并让学生将上两节课：相似三角形的判定定理1、2，与本课知识：相似三角形的判定定理3的内容系统的掌握．对应练习：1．教材P 95页习题4.7第1题．解：∵86＝43，107.5＝43，129＝43.∴86＝107.5＝129，∴这两个三角形相似．2．教材P 95页习题4.7第2题．答：△ABC ∽△EFG .利用判定定理3.交流展示生成新知1．将阅读教材时 “生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一探索三边成比例的两个三角形相似知识模块二判定定理3的应用检测反馈达成目标1．下列条件不能判定△ABC 与△ADE 相似的是( D )A .AE AC ＝ADAB，∠CAE ＝∠BAD B ．∠B ＝∠ADE ，∠CAE ＝∠BAD C .AD AB ＝AE AC ＝DE BC D .DE BC ＝ADAB，∠C ＝∠E2．下列四个三角形，与右图中的三角形相似的是( B ),A ) ,B ),C) ,D)3．网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A，B，C，D，E，F都是格点，试用三边对应成比例的方法说明△ABC∽△DEF.证明：计算得AC＝2，BC＝10，AB＝4，DF＝22，EF＝210，ED＝8，∴ACDF＝BCEF＝ABDE＝2，∴△ABC∽△DEF.课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________。

九年级数学上册第四章图形的相似 4 探索三角形相似的条件典型例题素材北师大版(2021学年)

九年级数学上册第四章图形的相似4 探索三角形相似的条件典型例题素材(新版）北师大版编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望（九年级数学上册第四章图形的相似4 探索三角形相似的条件典型例题素材（新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉,前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步,以下为九年级数学上册第四章图形的相似4 探索三角形相似的条件典型例题素材（新版)北师大版的全部内容。

《探索三角形相似的条件》典型例题例题1 已知:如图,在ABC ∆中，BD A AC AB ,36,︒=∠=是角平分线,试利用三角形相似的关系说明AC DC AD ⋅=2.例题2 如图,下列每个图形中，存不存在相似的三角形,如果存在,把它们用字母表示出来,并简要说明识别的根据.例题3 从下面这些三角形中,选出相似的三角形.例题4 格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由．例题5 根据下列各组条件,判定ABC ∆和C B A '''∆是否相似，并说明理由:（1),cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC ABcm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A .(2)︒='∠︒='∠︒=∠︒=∠35,44,104,35A C B A .(3）︒='∠=''=''︒=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB ．例题６如图，D 点是ABC ∆的边AC 上的一点，过D 点画线段DE ,使点E 在ABC ∆的边上,并且点D 、点Ｅ和ABC ∆的一个顶点组成的小三角形与ABC ∆相似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE 的画法．例题７.如图，在ABC ∆中,︒=∠47A ，cm 5.1=AB ,cm 2=AC ;在DEF ∆中,︒=∠47E ,cm 8.2=DE ,cm 1.2=EF ，试判断这两个三角形是否相似．参考答案例题１分析有一个角是65°的等腰三角形，它的底角是7２°,而BD 是底角的平分线，∴︒=∠36CBD ，则可推出ABC ∆∽BCD ∆，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系．证明 AC AB A =︒=∠,36 ,∴︒=∠=∠72C ABC ．又BD 平分ABC ∠,∴︒=∠=∠36CBD ABD ．∴BC BD AD ==，且ABC ∆∽BCD ∆，∴BC CD AB BC ::=,∴CD AB BC ⋅=2,∴CD AC AD ⋅=2.说明（1)有两个角对应相等,那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边．（2）要说明线段的乘积式cd ab =，或平方式bc a =2,一般都是证明比例式,b dc a =,或c a a b =，再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式．例题2 解答 (1)ADE ∆∽ABC ∆ 两角相等;(2)ADE ∆∽ACB ∆ 两角相等;（３）CDE ∆∽CAB ∆ 两角相等；(4)EAB ∆∽ECD ∆ 两边成比例夹角相等;（5）ABD ∆∽ACB ∆两边成比例夹角相等;(6)ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等．例题3 解答 ①、⑤、⑥相似,②、⑦相似，③、④、⑧相似例题4 分析这两个图如果不是画在格点中,那是无法判断的.实际上格点无形中给图形增添了条件——长度和角度．解答在格点中BC AB EF DE ⊥⊥,，所以︒=∠=∠90B E ,又4,2,2,1====AB BC DE EF .所以21==BC EF AB DE .所以DEF ∆∽ABC ∆．说明遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件,勿使遗漏．例题5 解答（１)因为 7128cm 4cm ,7117.5cm 2.5cm ,7124.5cm 3.5cm ==''==''==''A C CA C B BC B A AB ，所以ABC ∆∽C B A '''∆;(2)因为︒=∠-∠-︒=∠41180B A C ，两个三角形中只有A A '∠=∠，另外两个角都不相等，所以ABC ∆与C B A '''∆不相似;(3)因为12,=''='''∠=∠C B BC B A AB B B ,所以ABC ∆相似于C B A '''∆. 例题6 解答：画法略．例题7．错解8.25.1=DE AB ,1.22=EF AC ∴1.228.25.1≠ ∴EF AC DE AB ≠ ∴ABC ∆与DEF ∆不相似正解在ABC ∆与DEF ∆中,︒=∠=∠47E A又4325.1==AC AB ,438.21.2==ED EF ∴DE EF AC AB = ∴ABC ∆∽EFD ∆说明判定两三角形是否相似,不能依图形的放置方向来考查，而应该按相似三角形的判定方法仔细判定，错解中没有将夹已知角的长边与长边相对应，显然是错误的．以上就是本文的全部内容，可以编辑修改。

北师大版九年级数学上册第四章4.4探索三角形相似的条件同步测试题(含答案)

北师大版九年级数学上册第四章4.4探索三角形相似的条件同步测试题一、选择题（每小题3分，共18分）1．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，且∠ABC＝∠AED.若DE＝2，AE＝3，BC＝4，则AB 的长为( )A．8 B．5 C．6 D．1.52．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝6，AB＝9，则AD的长是( )A．6 B．5 C．4 D．33．如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，BP＝1，CD＝2，则△ABC的边长为( )3A．3 B．4 C．5 D．64．如图，点D是△ABC的边BC上一点，∠BAD＝∠C，BC＝2BA，如果△ACD的面积为15，那么△ABD的面积为( )A ．15B ．10C ．7.5D ．55.如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是BC 的中点，DE 交AC 于点F.若DE ＝12，则DF 的长为( )A ．3B ．4C ．6D ．86.如图，点E ，F 分别在菱形ABCD 的边AB ，AD 上，且AE ＝DF ，BF 交DE 于点G ，延长BF 交CD 的延长线于H.若AF DF ＝2，则HFBG的值为( )A.23B.712C.12D.512二、填空题（每小题3分，共21分）7．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，CB ＝6，在斜边AB 上取一点M ，使MB ＝CB ，过点M 作MN ⊥AB 交AC 于点N ，则MN ＝_______．8．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝15 m ，AC ＝12 m ，AD 是∠BAC 的外角平分线，DE ∥AB 交AC 的延长线于点E ，那么CE ＝_______．9.如图，已知∠ADE＝∠ACB，BD＝8，CE＝4，CF＝2，则DF＝_______．10.如图，在平面直角坐标系中，已知A(－3，－2)，B(0，－2)，C(－3，0)，点M是线段AB上一点，连接CM，过点M作MN⊥MC交y轴于点N，若N(0，－1)，且点M，N在直线y＝kx＋b上，则k的值是_______．11.如图，在边长为9的等边△ABC中，BD＝3，∠ADE＝60°，则AE＝_______．12．如图，O为矩形ABCD的中心，将直角三角板的直角顶点与点O重合，转动三角板使两直角边始终与BC，AB相交，交点分别为M，N.如果AB＝4，AD＝6，OM＝x，ON＝y，那么y 与x的关系是_______．13．如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点．若AG＝1，BF＝2，∠GEF＝90°，则GF的长为_______．三、解答题（共61分）14．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D.(1)请指出图中所有的相似三角形； (2)你能得出AD 2＝BD ·DC 吗？15.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点E 在边BC 上移动(点E 不与点B ，C 重合)，满足∠DEF ＝∠B ，且点D ，F 分别在边AB ，AC 上．(1)求证：△BDE ∽△CEF ；(2)当点E 移动到BC 的中点时，求证：FE 平分∠DFC.16.如图，∠ABC ＝∠DBE ＝90°，C 是DE 的中点．(1)求证：△ABD ∽△AEB ；(2)当AB BC ＝43时，求BDBE的值；17．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，连接AD ，DE ，且∠B ＝∠ADE ＝∠C. (1)求证：△BDA ∽△CED ；(2)若∠B＝45°，BC＝2，当点D在BC上运动时(点D不与B，C重合)，且△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．18.如图，点P是线段BD上一个动点，∠B＝∠D＝90°，AB＝6，CD＝4，BD＝a.(1)当∠APC＝90°，a＝14时，求BP的长度；(2)若∠APC＝90°时，有两个符合要求的点P1，P2，且P1P2＝2，求a的值．19．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是BC延长线上一点，连接AP，分别交BD，CD于点E，F，过点B作BG⊥AP于点G，交线段AC于点H.(1)若∠P＝25°，求∠AHG的大小；(2)求证：AE2＝EF·EP.20．如图，E是矩形ABCD的边BC上的一点，AC是其对角线，连接AE，过点E作EF⊥AE，EF 交AC 于点M ，EF 交DC 于点F ，过点B 作BG ⊥AC 于点G ，BG 交AE 于点H.(1)求证：△ABE ∽△ECF ；(2)求证：AH ·CM ＝BH ·EM ；(3)若E 是BC 的中点，AB BC ＝34，AB ＝6，求EM 的长．参考答案一、选择题：1-6、CCADDB二、填空题：7、3． 8、48_m ．9、4．10、1或12．11、7．12、y ＝32x ．13、3．三、解答题14、解：(1)△BAD ∽△BCA ∽△ACD. (2)AD 2＝BD ·DC. 理由如下： ∵∠BAC ＝90°， ∴∠BAD ＋∠DAC ＝90°. ∵AD ⊥BC ，∴∠DAC ＋∠ACD ＝90°，∠BDA ＝∠ADC ＝90°. ∴∠BAD ＝∠ACD. ∴△BAD ∽△ACD.∴AD CD ＝BD AD，即AD 2＝BD ·DC.15、证明：(1)∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C.∵∠BDE ＝180°－∠B －∠DEB ，∠CEF ＝180°－∠DEF －∠DEB ，且∠DEF ＝∠B ， ∴∠BDE ＝∠CEF. ∴△BDE ∽△CEF.(2)∵△BDE ∽△CEF ，∴BE CF ＝DEEF .∵点E 是BC 的中点，∴BE ＝CE. ∴CE CF ＝DE EF .∴CE DE ＝CF EF. ∵∠DEF ＝∠B ＝∠C ，∴△DEF ∽△ECF. ∴∠DFE ＝∠CFE ，即FE 平分∠DFC.16、解：(1)证明：∵∠ABC ＝∠DBE ＝90°， ∴∠ABC －∠DBC ＝∠DBE －∠DBC ，即∠ABD ＝∠CBE. ∵∠DBE ＝90°，C 是DE 的中点． ∴BC ＝CD ＝CE.∴∠E ＝∠CBE. ∴∠ABD ＝∠E.又∵∠BAD ＝∠EAB ，∴△ABD ∽△AEB. (2)∵AB BC ＝43，∴设AB ＝4k ，BC ＝3k.∴在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝5k. ∵BC ＝CD ＝3k ，∴AD ＝AC －CD ＝5k －3k ＝2k. 由(1)可知△ABD ∽△AEB ， ∴BD BE ＝AD AB ＝2k 4k ＝12，即BD BE 的值为12. 17、解：(1)证明：∵∠B ＝∠ADE ＝∠C ，∠BAD ＝180°－∠ADB －∠B ，∠CDE ＝180°－∠ADB －∠ADE ，∴∠BAD ＝∠CDE. ∴△BDA ∽△CED.(2)∵∠B＝∠C＝45°，BC＝2，∴AB＝AC＝ 2.当AD＝AE时，∴∠ADE＝∠AED＝45°.∴∠DAE＝90°.∴点D与B重合，不合题意，舍去．当EA＝ED时，∴∠EAD＝∠EDA＝45°.∴AD平分∠BAC.∴AD垂直平分BC.∴BD＝1.当DA＝DE时，∵∠EDA＝∠C，∠DAE＝∠CAD，∴△ADE∽△ACD.∴DA∶AC＝DE∶DC.∴DC＝CA＝ 2.∴BD＝BC－DC＝2－ 2.∴综上所述，当△ADE是等腰三角形时，BD的长为1或2－ 2.18、解：(1)∵∠B＝∠D＝90°，∠APC＝90°，∴∠B＝∠APC＝90°，∠A＋∠B＝∠APC＋∠CPD.∴∠A＝∠CPD.∴△ABP∽△PDC.∴BPCD＝ABPD，即BP4＝614－BP.解得BP＝2或12.(2)设BP＝x，则PD＝a－x. ∵△ABP∽△PDC，∴ABPD＝BPCD，即6a－x＝x4.∴x2－ax＋24＝0，设方程的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝a，x1x2＝24，∵P1P2＝2，∴|x1－x2|＝2.∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝4，∴a2－4×24＝4，解得a＝±10(负值舍去)．∴a＝10.19、解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝45°.∵∠ACB＝∠P＋∠CAP，∴∠CAP＝20°.∵BG⊥AP，∴∠AGH＝90°.∴∠AHG＝90°－20°＝70°.(2)证明：连接CE.∵四边形ABCD是正方形，∴A，C关于BD对称，∠ACB＝∠ACD＝45°.∴EA＝EC.∴∠EAC＝∠ECA.∵∠ACB＝∠P＋∠CAE＝45°，∠ECF＋∠ECA＝45°，∴∠ECF＝∠P.∵∠CEF＝∠PEC，∴△CEF∽△PEC.∴ECPE＝EFEC.∴EC2＝EF·EP，∴EA2＝EF·EP.20、解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠ABE ＝∠ECF ＝90°. ∵AE ⊥EF ，∴∠AEB ＋∠FEC ＝90°. ∵∠AEB ＋∠BAE ＝90°， ∴∠BAE ＝∠CEF. ∴△ABE ∽△ECF.(2)证明：∵BG ⊥AC ，∠ABC ＝90°，∴∠ABG ＋∠BAG ＝90°，∠ECM ＋∠BAG ＝90°. ∴∠ABH ＝∠ECM.由(1)知∠BAH ＝∠CEM ，∴△ABH ∽△ECM. ∴AH EM ＝BHCM .∴AH ·CM ＝BH ·EM. (3)作MR ⊥BC ，垂足为R ，∵AB BC ＝34，AB ＝6，∴BC ＝8.∴BE ＝EC ＝4， ∵△ABE ∽△ECF ，∴AB BE ＝EC CF ，即64＝4CF .∴CF ＝83.∵CD ∥RM ∥AB ，∴△ERM ∽△ECF ，△CRM ∽△CBA. ∴RM CF ＝ER EC ，RM AB ＝RCBC，即RM 83＝4－RC 4，RM 6＝RC 8.∴RM ＝2417，RC ＝3217.∴ER ＝EC －RC ＝3617. 在Rt △ERM 中，EM ＝ER ＋RM 2＝121317.。

北师大版九年级数学上册九年级数学上册第四章 4.4 探索三角形相似的条件(一)

北师大版九年级上册九年级上册第四章 4.4 探索三角形相似的条件（一）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题1 . 如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD的中点，AE交BD于点O，若S△DOE=2，则平行四边形ABCD的面积为（）A．8B．12C．16D．242 . 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的顶点O与原点重合，顶点B在x轴上，∠ABO=90°，OA与反比例函数y=的图象交于点D，且OD=2AD，过点D作x轴的垂线交x轴于点C．若S四边形ABCD=10，则k的值为（）A．﹣16B．16C．﹣15D．153 . 在下列四个三角形中，与图中相似的是（）A．B．C．D．4 . 如图所示，四边形ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件：①∠APB＝∠EPC；②∠APE ＝∠APB；③P是BC的中点；④BP∶BC＝2∶3.其中能推出△ABP∽△ECP的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5 . 下列命题是假命题的是（）A．所有矩形都相似B．所有圆都相似C．所有正三角形都相似D．一个角是100°的两个等腰三角形相似6 . 在与’中，有下列条件，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断的共有（）组．①；②；③；④．A．B．C．D．7 . 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，E在AD上，且CE平分∠BCD，BE•平分∠ABC，则下列关系式中成立的有（）①；②；③；④CE2=CD×BC；⑤BE2=AE×BCA．2个B．3个C．4个D．5个8 . 如图，在△ABC中，点D是AB边上一点（不与A，B两点重合），下列条件：①∠ACD＝∠B；②∠ADC＝∠ACB；③AC2＝AD•AB；④，能使△ABC∽△ACD的条件的个数为（）A．1B．2C．3D．49 . 下列五幅图均是由边长为1的16个小正方形组成的正方形网格，网格中的三角形的顶点都在小正方形的顶点上，那么在下列右边四幅图中的三角形，与左图中的△ABC相似的个数有A．1个；B．2个；C．3个；D．4个．10 . 如图，平行于的直线把分成的两部分面积相等，则（）A．B．C．D．11 . 如图，在中，点分别在的边上，如果添加下列其中之一的条件，不一定能使与相似，那么这个条件是（）A．B．C．D．12 . 已知，菱形的周长为20cm，它的锐角正弦值为，则菱形较短对角线长为（）A．5B．4C．6D．二、填空题13 . 如图，在中，E是边AB的中点，EC交BD于点F，则与的面积比为________．14 . D、E分别在△ABC的边AB、AC上，要使△AED∽△ABC，添加一个条件__（只能填一个）即可．15 . 如图于，于交于，则图中相似三角形的对数有________对．16 . 如图，面积为24的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上．若BF ＝，则小正方形的周长为_____．17 . 如图，若不增加字母与辅助线，要得到△ABC∽△ADE，只需要再添加一个条件是_________.18 . 将一副三角板按如图摆放，则△ACD与△BED的周长比__________.19 . 如图，△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，AD：AB=1：3，则△ADE与△ABC的面积之比为______．20 . 如图，点是的边上的一点，过点作一直线，把三角形分成两部分，使截得的三角形与原三角形相似，这种直线最多可作________条．21 . 如图，在中，，，，则的长为________•22 . 如图，除公共角相等外，请你补充一条件，显然该条件应为________，使得．23 . 如图，∠A＝∠D＝80°，∠B＝40°，∠F＝60°，则_______∽_________．24 . 如图，∠C=∠E=90°，AC=3，BC=4，AE=2，则AD=_________ ．三、解答题25 . 如图，在中，点分别在边、上，与相交于点，且，，．（1）求证：；（2）已知，求．26 . 已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC（1）求证：AB=AC；（2）若AB=4，BC=，求CD的长．27 . 如图，在▱ABCD中，E是BC延长线上的一点，AE与CD交于点F．求证：△ADF∽△EBA．28 . 已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC，AC且BD＝CE，AD、BE相交于点M，求证：（1）△AME∽△BAE；（2）BD2＝AD×DM．29 . 木匠黄师傅用长AB=3，宽BC=2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了四种方案：方案一：直接锯一个半径最大的圆；方案二：圆心O1，O2分别在CD，AB上，半径分别是O1C，O2A，锯两个外切的半圆拼成一个圆；方案三：沿对角线AC将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆；方案四：锯一块小矩形BCEF拼接到矩形AEFD下面，并利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆．（1）写出方案一中的圆的半径；（2）通过计算说明方案二和方案三中，哪个圆的半径较大？（3）在方案四中，设CE=（），圆的半径为，①求关于的函数解析式；②当取何值时圆的半径最大？最大半径是多少？并说明四种方案中，哪一个圆形桌面的半径最大？30 . 已知如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠ADC=90°，AD=a，BC=b,AC=，求证：DC⊥BC31 . 如图①，在正方形ABCD和正方形AB'C'D'中，AB＝2，AB'＝，连接CC’（1）问题发现：= ．（2）拓展探究：将正方形AB'C'D'绕点A逆时针旋转，记旋转角为θ，连接BB'，试判断：当0°≤θ＜360°时，的值有无变化？请仅就图②中的情形给出你的证明；（3）问题解决：请直接写出在旋转过程中，当C，C′，D'三点共线时BB′的长．32 . 已知 AB 为⊙O 的直径，BC⊥AB 于 B，且 BC=AB，D 为半圆⊙O 上的一点，连接 BD 并延长交半圆⊙O 的切线 AE 于A．（1）如图 1，若 CD=CB，求证：CD 是⊙O 的切线；（2）如图 2，若 F 点在 OB 上，且CD⊥DF，求的值．33 . 如图，已知抛物线y＝x2﹣x﹣n（n＞0）与x轴交于A，B两点（A点在B点的左边），与y轴交于点C．（1）若AB＝4，求n的值；（2）如图，若△ABC为直角三角形，求n的值；（3）如图，在（2）的条件下，若点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上，是否存在以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求P点的坐标；若不存在，请说明理由．34 . 如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为（20，0）和（0，15），动点P从点A出发在线段AO上以每秒2cm的速度向原点O运动，动直线EF从x轴开始以每秒lcm的速度向上平行移动（即EF∥x轴），分别与y轴、线段AB交于点E、F，连接EP、FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．（1）求t=9时，△PEF的面积；（2）直线EF、点P在运动过程中，是否存在这样的t使得△PEF的面积等于40cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；（3）当t为何值时，△EOP与△BOA相似．35 . 如图为测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为10cm，AC被分为60等份．如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处，且DE∥AB，那么小玻璃管口径DE是多大？参考答案一、单选题1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、二、填空题1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、三、解答题1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、。

北师大版九年级数学上册第四章图形的相似第四节探索三角形相似的条件【答案】

探索三角形相似的条件一、单选题1．如图在正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是（）A ．B ．C ．D ． 2．如图，△ACD ∽△ABC 需具备的条件是（）A ．AC AB CD BC = B ．CD BC AD AC = C ．AC AB AD AC = D ．=CD BD AD CD3．如图，已知∠1=∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC 与△ADE 相似的是（）A ．∠C=∠AEDB ．∠B=∠D C．AB BC AD DE=D ．AB AC AD AE= 4．如图，点D 在ABC 的边AC 上，要判定ADB △与ABC 相似，添加一个条件，不正确的是（）A ．∠ABD ＝∠CB ．∠ADB ＝∠ABC C ．AB BD ＝CB CAD ．AB AD ＝AC AB5．如图，∠1＝∠2，DE∥AC，则图中的相似三角形有（）A．2对B．3对C．4对D．5对6．如图，点E在▱ABCD的边BC延长线上，连AE，交边CD于点F，在不添加辅助线的情况下，图中相似三角形有( )A．1对B．2对C．3对D．4对7．如图，下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是（）A．AE ACAD AB=B．∠B=∠ADE C．AE DEAC BC=D．∠C=∠AED8．如图，在Rt ABC∆中，CD是斜边AB上的高，则图中的相似三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对9．如图，四边形ABCD的对角线,AC BD相交于点O，且将这个四边形分成四个三角形，若::OA OC OB OD=，则下列结论中正确的是（）A ．△AOB ∽△AOD B ．△AOD ∽△BOC C ．△AOB ∽△BOCD ．△AOB ∽△COD10．如图所示，给出下列条件：①B ACD ∠=∠；②ADC ACB ∠=∠；③AC AB CD BC=；④2AC ADAB =⋅；⑤AD CD AC BC= 其中单独能够判定ABC ACD ∽的个数为（） A ．2B ．3C ．4D ．5 二、填空题 11．如图，已知∠ACB ＝∠CBD ＝90°，AC ＝8，CB ＝2，当BD=______时，图中的两个直角三角形相似．12．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝40°，点D 是AC 的动点，当∠BDC ＝___°时，△ABC ∽△BDC ．13．如图，点D 为△ABC 外一点，AD 与BC 边的交点为E ，AE ＝3，DE ＝5，BE ＝4，要使△BDE ∽△ACE ，且点B ，D 的对应点为A ，C ，那么线段CE 的长应等于___．三、解答题14．如图，ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，E 为BC 上一点，90BDE BAD ∠=∠=︒．（1）求证：BE BA BD •=2；（2）若6,8AB BE ==，求CD 的长．15．如图，在正方形ABCD 中，E 是CD 上的一点，F 是BC 的延长线上的一点，且CE=CF ，BE 的延长线交DF 于点G ，求证：△BGF ∽△DCF ．16．如图，E 是□ ABCD 的边BA 延长线上一点，连接EC ，交AD 于点F ．求证：△EBC ∽△CDF ．。

北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》探索三角形相似的条件同步练习(含答案) (5)

北师大版九年级数学上册探索三角形相似的条件同步练习（典型题汇总）1．下列各组三角形中，两个三角形能够相似的是（）A ． △ABC 中，∠A ＝42 o ，∠B ＝118 o ，△A `B `C `中，∠A `＝118 o ，∠B `＝15 oB ． △ABC 中，AB =8，AC =4, ∠A ＝105 o ，△A `B `C `中，A `B `＝16，B `C `＝8，∠A `＝100oC ． △ABC 中，AB =18，BC ＝20，CA ＝35，△A `B `C `中，A `B `＝36，B `C `＝40，C `A `＝70D ． △ABC 和△A `B `C `中，有````C B BC B A AB ，∠C ＝∠C `。

2． △ABC 和△DEF 满足下列条件，其中使△ABC 和△DEF 不相似的是（）A ．∠A ＝∠D ＝45 o 38`，∠C ＝26 o 22`，∠E ＝108 oB ．AB ＝1，AC ＝1.5，BC ＝2，DE ＝12，EF ＝8，DF ＝16C ．BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，DE ＝a ，EF ＝b ，DF ＝cD ．AB ＝AC ，DE ＝DF ，∠A ＝∠D ＝40 o ，3．如图，△ABC 中∠ACB ＝90o ，CD ⊥AB 于D 。

则图中能够相似的三角形共有（）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对4． △ABC 中，D 是AB 上一固定点。

E 是AC 上的一个动点，若使△ABC 和△ADE 相似，则这样的点E 有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．很多5．下列说法①所有等腰三角形都相似；②有一个底角相等的两个等腰三角形相似；③有一个角相等的等腰三角形相似；④有一个角为60 o 的两个直角三角形相似，其中正确的说法是（）A ．②④B ．①③C ．①②④D ．②③④6．如图，若点D 为△ABC 中AB 边上的一点，且∠ABC ＝∠ACD ，AD ＝3cm ，AB ＝4cm ，则AC 的长为（）A ．12cmB ．32cmC ． 3cmD ．2cm7.据有关实验测定，当气温处于人体正常体温（37o C ）的黄金比值时,人体感到最舒适。

北师大版九年级数学上册同步练习《4.4 探索三角形相似的条件》(无答案)

北师大版九年级数学上册同步练习《4.4 探索三角形相似的条件》（无答案）1 / 6 《4.4 探索三角形相似的条件》一、选择题1. 下列两个三角形不一定相似的是A. 两个等边三角形B. 两个全等三角形C. 两个等腰直角三角形D. 有一个角的两个等腰三角形2. 如图，要使 ∽ 只需添加的条件是A.B.C.D.3. 如图，中，D 、E 分别在AB 、AC 上，单独添加下列条件可使 ∽ ，其中错误的是A.B.C.D.4. 如图1，在三角形纸片ABC 中，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有A. B.C. D.第2页，共6页5. 如图，网格中有一个，图中与相似的三角形的个数有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6. 下列条件不能判定与相似的是A.B. ，C. ，D. ，7. 如图，，则图中相似三角形的对数为A. 4对B. 3对C. 2对D. 1对8. 如图，点P 在的边AC 上，要判断 ∽ ，添加一个条件，不正确的是A.B.C.D.9. 如图，已知，，则图中共有相似三角形的对数为A. 2B. 4北师大版九年级数学上册同步练习《4.4 探索三角形相似的条件》（无答案）3 / 6C. 6D. 810. 在等腰和等腰中，与是顶角，下列判断不正确的是A. 时，两三角形相似B. 时，两三角形相似C. 时，两三角形相似D. 时，两三角形相似11. 在中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，联结DE ，那么下列条件中不能判断和相似的是A. B.C. AE ：：ACD. AE ：：BC二、解答题12. 如图，在中，，是BC 的中点，过点A 作AM 的垂线，交CB 的延长线于点求证：∽ ．13.14.第4页，共6页15. 如图，在中，，分别是，上的点，，的平分线AF 交DE 于点G ，交BC 于点F ．试写出图中所有的相似三角形，并说明理由若，求的值．16. 如图，在和中，，．写出图中两对相似三角形不得添加字母和线；请分别说明两对三角形相似的理由．17.18.北师大版九年级数学上册同步练习《4.4 探索三角形相似的条件》（无答案） 5 / 619.20.21. 已知：如图，求证： ∽ ．22.23.24.25.26.27.28. 如图在中，，，，点Q 从B 出发，沿BC 方向以的速度移动，点P 从C出发，沿CA 方向以的速度移动若Q 、P 分别同时从B 、C 出发，试探究经过多少秒后，以点C 、P 、Q 为顶点的三角形与相似？29.30.31.32.第6页，共6页。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

第3课时相似三角形的判定3
知识点由三边成比例判定两三角形相似
图4－4－23
1．教材习题4.7第2题变式题如图4－4－23，每个小正方形的边长均为1，则下列图形(每个小正方形的边长均为1)中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( )
图4－4－24
2．已知AB＝12 cm，AC＝15 cm，BC＝21 cm，A1B1＝16 cm，B1C1＝28 cm，当A1C1＝________ cm时，△ABC∽△A1B1C1.
3．已知△ABC的三边长分别为AB＝6 cm，BC＝7.5 cm，AC＝9 cm，△DEF的三边长分别为DE＝4 cm，EF＝5 cm，DF＝6 cm.求证：∠A＝∠D.
4．已知△ABC的三边长分别为6 cm，7.5 cm，9 cm，△DEF的一边长为4 cm，当△DEF 的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似( )
A．2 cm，3 cm B．4 cm，5 cm
C ．5 cm ，6 cm
D ．6 cm ，7 cm
图4－4－25
5．如图4－4－25，点A ，B ，C ，D 的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，若以C ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似，则点E 的坐标不可能是( )
A ．(6，0)
B ．(6，3)
C ．(6，5)
D ．(4，2)
6．如图4－4－26，在△ABC 和△ADE 中，AB AD ＝BC DE ＝AC
AE
，点B ，D ，E 在一条直线上．求证：△ABD ∽△ACE .
图4－4－26
7．如图4－4－27，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上，P 1，P 2，P 3，P 4，P 5是△DEF 边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
(1)求证：△ABC 为直角三角形；
(2)判断△ABC 和△DEF 是否相似，并说明理由；
(3)画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且与△ABC相似(要求：不写作法与证明)．
图4－4－27
1．B [解析] 因为每个小正方形的边长均为1，所以已知的三角形的各边长分别为2，2，10，B 选项中的三角形三边长分别为1，2，5，三边与已知三角形的各边对应成比例，故两三角形相似．
2．20
3．证明：∵AB DE ＝64＝32，BC EF ＝7.55＝32，AC DF ＝96＝32
，
∴AB DE ＝BC EF ＝
AC
DF
，∴△ABC ∽△DEF ，
∴∠A ＝∠D .
4．C [解析] 设△DEF 的另两边的长分别为x cm ，y cm ，
若△DEF 中为4 cm 长的边的对应边为6 cm ，则46＝x 7.5＝y
9，解得x ＝5，y ＝6；
若△DEF 中为4 cm 长的边的对应边为7.5 cm ，则47.5＝x 6＝y
9，解得x ＝3.2，y ＝4.8；
若△DEF 中为4 cm 长的边的对应边为9 cm ，则49＝x 6＝y 7.5，解得x ＝83，y ＝10
3.故选C.
5．B
6．证明：∵在△ABC 和△ADE 中，AB AD ＝BC DE ＝AC AE
， ∴△ABC ∽△ADE ， ∴∠BAC ＝∠DAE ， ∴∠BAD ＝∠CAE . 又∵AB AD ＝AC AE
，
∴AB AC ＝AD AE
， ∴△ABD ∽△ACE .
7．解：(1)证明：∵AB 2
＝20，AC 2
＝5，BC 2
＝25，
∴AB2＋AC2＝BC2，
∴△ABC为直角三角形，且∠BAC＝90°.
(2)△ABC和△DEF相似．理由：
由(1)中数据得AB＝2 5，AC＝5，BC＝5.
由题意易知DE＝4 2，DF＝2 2，EF＝210，
∴AB
DE
＝
AC
DF
＝
BC
EF
＝
10
4
，
∴△ABC∽△DEF.
(3)如图，连接P2P5，P2P4，P4P5.
∵P2P5＝10，P2P4＝2，P4P5＝2 2，AB＝2 5，AC＝5，BC＝5，
∴P2P5
BC
＝
P4P5
AB
＝
P2P4
AC
＝
10
5
，
∴△ABC∽△P4P5P2.。