关于“直角投影定理”的综述与证明
直角投影定理及推广的证明
证 毕
已知 ：Ａ Ｂ∥日面 ，／ ＿ Ａ Ｂ Ｃ是 直角 。
求证 ： ａ ｂ ｃ 仍是直角 。 证 明 ：Ａ Ｂ／ ／Ｈ 面 ，舶 上Ｈ 面 ，． ・ ．
ＡＢ 上 Ｂｂ 。
三 、结束语
直 角投 影 定 理 虽 然 只是 “ 机 械 制
ｌ
Ｌ
直 角投 影定理及 推广 的证 明
卢 元
（ 广 西 纺 织 工 业 学 校 ，广 西 南 宁 ５ ３ ０ ０ ０ ７ ）
直 角投 影 定 理 在 “ 机械 制 图 ” 中
的点 、线 、面 的 内 容是 一个 很 重 要 的 定
面 ，则此夹角必 为直 角 （ 如 图 １所示 ） 。
空 间 交 叉 两 直 线 在 投 影 面 上 的投 影
相互垂直 ，且其 中有一条平行 于该投影 面时 ，则两直线在空间呈交 叉垂直状 态
（ 如 图 ２所 示 ） 。 ４ ． 定 理 推 论 之 逆 的 证 明 已知 ：两交 叉 直 线 Ａ Ｂ、Ｃ Ｄ 在 面
由 已知 ｏ ６ 上６ ｃ ，又 由 于 正 投 影 而 知
－
． ．
已知 ：空间交叉垂直的两直线 Ａ Ｂ上 Ｃ Ｄ， Ａ Ｂ ７ Ｈ面
求 证 ：０ ６ 上ｃ ｄ 。
这样对于解题才能达到纲举 目张 、举一 反三 、得心应手 的熟练程 度。学生在 学 习过程 中不断得到这种 多方面 、多角 度 去理解 问题 的训练 ，对 于他 们养成全 面 看 问题 的思维 习惯是 大有 帮助 的 ，这有 助 于学生 目后 的学习或工作。
射面 Ｂ Ｃ ｃ ｂ 。
‘ ．
’
Ａ Ｂ ／ ／ Ｈ 面 ，ａ ｂ ／ Ｉ Ａ Ｂ 。
直角的投影
问题：在什么情况下，直角的投影仍然是直角？
三种情况： 1、两直角边均平行于同一投影面 ——在该投影面上的投影仍然是直角 2、两直角边均不平行于同一投影面 ——在该投影面上的投影一定不是直角 3、两直角边之一平行于同一投影面 ——
？
空间分析： 已知：AB ⊥BC, BC∥P ap与bp 之间的关系？ 证明： 因为 BC⊥AB, 且 BC⊥BbP, 故 BC ⊥ ABbpcp 平面 故 BC ⊥ apbp
故 apbp ⊥ Cpbp
直角投影定理： 如果空间两直线垂直（相交或交叉）； ——条件1 且其中有一条平行于某投影面； ——条件2 则，两直线在该投影面上的投影垂直。 ——结论
直角投影定理主要解决如何过点作直线的垂线 ——即从空间到投影面的垂直作图问题。
ห้องสมุดไป่ตู้
直角投影逆定理： 如果两直线在某投影面上的投影垂直； ——条件1 且，其中有一条平行于该投影面； ——条件2 则，两直线在空间垂直（相交或交叉） ——结论
直角投影逆定理主要解决如何根据投影判 断两直线在空间是否垂直 ——即从投影到空间的垂直判断问题。
直角投影定理及推广的证明
直⾓投影定理及推⼴的证明2019-04-14直⾓投影定理在“机械制图”中的点、线、⾯的内容是⼀个很重要的定理。
之所以重要，是由于其在解决点、线、⾯在空间中的相对位置以及度量问题⽅⾯，起到了很关键的作⽤。
⽽画法⼏何中此类内容所占的分量⼜很⼤，所以熟练掌握该定理，也就抓住了画法⼏何中的关键点。
下⾯就直⾓投影定理及其推⼴定理的证明作详细介绍。
⼀、直⾓投影定理及逆定理的证明 1直⾓投影定理⼀边平⾏于某⼀投影⾯的直⾓，在该投影⾯上的投影仍是直⾓。
2定理的证明如图1所⽰：图1 已知：AB∥H⾯，∠ABC是直⾓。
求证：∠abc仍是直⾓。
证明：AB∥H⾯，BbH⾯，ABBb。
⼜ABBC，ABBb，AB投射⾯BCcb。
AB//H⾯，ab// AB。
由于ab∥AB，AB投射⾯BCcb，即得ab投射⾯BCcb。
abbc，即∠abc仍是直⾓。
证毕。
由以上定理可以得到其反⽅向的推断，称为逆定理。
3直⾓投影定理的逆定理⼀夹⾓的两边在投影⾯上的投影是直⾓，且夹⾓的其中⼀边平⾏于该投影⾯，则此夹⾓必为直⾓（如图1所⽰）。
4逆定理的证明已知：H⾯上投影abbc，且AB∥H⾯。
求证：ABBC。
证明：由正投影原理可知：投射⾯BbcCH⾯。
由已知abbc，⼜由于正投影⽽知BbH⾯，Bbab，abBbcC。
由题知AB∥ab，ABBbcC，ABBC。
证毕。
以上两条定理是表征⼀直⾓的状态，即两条相交直线的状态，把它们作推⼴，可以应⽤到两条异⾯垂直（即交叉垂直）的直线状态上，其推⼴得到的结论，称为定理推论。
⼆、定理推论及其证明1定理推论空间交叉垂直的两直线，当其中有⼀条直线平⾏于投影⾯时，则两直线在该投影⾯的投影仍相互垂直（如图2所⽰）。
2定理推论的证明如图2所⽰：图2 已知：空间交叉垂直的两直线ABCD，且AB∥H⾯。
求证：abcd。
证明：⾸先作⼀条辅助线，如图2（a）所⽰，过AB直线上任⼀点（取B点）作直线BE∥CD，则有BEAB。
由直⾓投影定理可知：beab。
直角投影定理
直角投影定理
1 垂直投影定理
垂直投影定理是指两个平面或空间的垂直投影的距离的平方等于
两点之间的距离的平方。
他可以用于计算任意物体以及它在任意角度
上的投影。
垂直投影定理是很有用的，有时可以用来确定某个物体在
空间中的大小或位置。
垂直投影定理可用于求解三维空间中物体的面积和体积。
例如，
假设有一个三角形的三条边，每条边的长度都已知，我们可以用垂直
投影定理来确定这个三角形的面积。
如果想估算一个物体的投影大小，可以根据垂直投影定理来计算。
即将物体的长度或宽度的平方乘以它和投影平面间的角度的余弦。
例如，如果一个矩形的长度是5米，宽度是2米，距离投影平面20度，
则可以用垂直投影定理估算它在投影平面上的大小。
垂直投影定理也经常用于地图制作，即将三维地形数据转换为二
维地图。
它可以帮助分析一些特定问题，例如，它可以计算山谷的宽度，求出不同山峰之间的距离，或者确定河流的流向等。
2 总结
垂直投影定理是一个非常强大的定理，不仅可以用于计算三维物
体的大小和面积，还可以用于估算投影大小，以及在制作地图时对三
维地形数据的转换。
它给我们提供了一种快速的方式来处理复杂的数学问题，给我们开拓了新的思维方式。
直角投影定理
垂直两直线的投影
直角投影定理：当两直线成直角，且其中一条直线为某投影面平行线时，则两直线在该投影面上的投影仍成直角。
如图1所示（图1a为立体图，图1b为投影图）。
图1 直角的投影
上述定理不仅适用于垂直相交两直线，而且也适用于垂直交叉两直线。
反之，若空间两直线在某一投影面上的投影成直角，且其中有一条直线为该投影面的平行线时，则此两直线在空间必定成直角。
例1:已知直线AB∥V面，过点C作一直线与AB垂直相交，如图2a。
解：因为直线AB为正平线，所以根据直角投影定理，过点C与AB垂直相交的直线在正面上的投影与a’b’垂直。
作图步骤为(见图2b)：
（1）过c’作c’k’⊥a’b’，交a’b’于k’。
（2）过k’作X轴的垂线交ab于k。
（1）连ck，ck、c’k’即为所求。
图2 例1
例2:已知菱形ABCD的对角线BD的两个投影和另一对角线AC的一个端点A的水平投影a，求作菱形的两面投影图，如图3a。
解：菱形的对角线必互相垂直平分且对边互相平行。
根据BD为正平线和直角投影定理及平行两直线的投影必平行,作图步骤如下(见图3b):
（1）过a和bd的中点k作对角线AC的水平投影ac,且使ak=kc。
（2）由k得k’,过k’作b’d’的垂直平分线。
（3）由a得a’，由c得c’，a’c’即为对角线AC的正面投影。
（4）依次连接a、b、c、d和a’、b’、c’、d ,即得菱形ABCD的两面投影。
图3 例6。
直角投影定理
★★★★★§2—5 直角投影定理两直线的相对位置除上述情况之外，还有一种情况有必要讨论因为它是处理一自然风光垂直问题睥基础作图经常会遇到，即一边平行投影面的直角投影定理。
一、直线平行投影面的垂直相交两直线的投影垂直相交的两直线，当其中一条直线为投影面平行线时，则两直线在该投影同上的投影也必定互相垂直。
反之，若相交两直线在某一投影面上的投影互相垂直且其中有一条直线为该投影面的平行线，则这两直线在空间也必定互相垂直。
如图2—26a 、b 所示，设相交两直线AB ⊥AC 且AB ∥H 面。
显然，直线AB 垂直于ca AC （因为AC AB Aa AB ⊥⊥,）。
今ab ∥AB ，则ab ⊥平面AacC,因此，ab ⊥ac,亦即∠bac= 90。
[例2—5] 如图2—27所示，已知一菱形ABCD 的一条对角线AC ，以及菱形的一边AB 位于直线AE 上，求该菱形的投影。
分析 菱形的两对角线互相垂直，且交点平分对角线的线长度。
作图步骤（如图2—27b 、c 所示）：（1）在对角线AC 上取中点K ，K 点也必定是另一对角线的中点。
（2）AC 是正平线，故另一对角线的正面投影垂直于c a ''。
先过k '作c a b k ''⊥''，并与e a ''交于b '，由b k '求出kb.（3）在对角线KB 的延长线上取一点D ，使KB=KD （b k d k ''=''，kd=kb ）,则d b ''和bd 即为另一对角线的投影。
连接各顶点A 、B 、C 、D 的同面投影，即得菱形ABCD 的两面投影。
二、一直线平行投影面的交叉垂直两直线的投影上述定理可推广到交叉成直角的两直线的投影情况。
垂直交叉的两直线，当其中一条直线为投影面平行线时，则两直线在该投影面上的投影也必定互相垂直。
3直角定理
H
Kk
AB ⊂ P, KL⊂ P ⊂ AB//H KL⊥AB ⊥
KL为平面内对 面的最大斜度线。 KL为平面内对H面的最大斜度线。 为平面内对H 最大斜度线
投影特性
A
P
L B
a
α1 α
l
b
H
Kk
ab(直角投影定理 直角投影定理） kl ⊥ ab(直角投影定理） KL与 面的倾角α即为平面P KL与H面的倾角α即为平面P与 H面的倾角 KL是平面内对H面倾角最大的直线 KL是平面内对H 倾角最大的直线 是平面内对
C
B
c′
AB
c
b
|yA-yB|
a
§ 2、平面的投影
b' a' b a b' a' b a a' c' c a b
1.用几何元素表示平面 1.用几何元素表示平面
b' c' c a b' a' a' b b' c' c
c' c a b
c' c
2. 平面的迹线表示法
PV
PV P
PH QV
PH QV
Q QH QH
[例题 求M点到直线 的距离 例题4] 点到直线AB的距离 例题 点到直线
分析：求距离 分析：求距离——作垂线 作垂线 已知AB是水平线 已知 是水平线 ——>在水平面过 点 在水平面过m点 在水平面过 作ab垂直线 垂直线 a' m' ⊿Z n' b'
作图： 作图：
a MN实长？ 实长？ 实长 n m 实长 ⊿Z b
V A b' B X a b H O D C e b d c X e' a' f' d' c'
投影定理知识点归纳总结
投影定理知识点归纳总结一、定理描述投影定理描述了三角形中一个顶点的投影与这个点到对边的距离之间的关系。
具体来说，对任意一个点P在一个三角形ABC的一个边a上的投影M，有如下等式成立：AP / AB = AM / AC其中，AP、AB 和 AM、AC 分别表示向量 AP 和向量 AB，向量 AM 和向量 AC 的模。
这个等式表示了在三角形中，包含这个点的两条边上的投影之间的距离比等于这个点到对边的距离比。
二、应用范围投影定理的应用范围非常广泛，它可以用于解决各种三角形相关的计算和证明问题。
具体来说，投影定理可以被用于以下几个方面的问题：1. 计算三角形的面积：通过投影定理可以得到三角形的面积与边长和高之间的关系，进而可以用来计算三角形的面积。
2. 求解三角形的边长和角度：通过投影定理，可以得到三角形的边长和角度之间的关系，从而可以用来求解三角形的边长和角度。
3. 证明三角形的性质和定理：通过投影定理可以得到一些关于三角形的重要性质和定理，进而可以用来证明一些三角形相关的问题。
三、推导过程投影定理的推导过程主要是通过正弦定理得到的。
在一个三角形ABC中，假设点P在边BC上，投影为M，那么有如下等式成立：sinA = AM / APsinC = CM / CP由于sinA = sinC，所以有：AM / AP = CM / CP又因为 AP = AM + MP， CP = CM + MP，所以有：AM / (AM + MP) = CM / (CM + MP)化简得到：AP / AB = AM / AC这样就得到了投影定理的推导过程，从而可以得到投影定理的结论。
四、性质和应用投影定理有以下几个性质和应用：1. 面积计算：通过投影定理可以得到三角形的面积与边长和高之间的关系，进而可以用来计算三角形的面积。
2. 边长和角度求解：通过投影定理，可以得到三角形的边长和角度之间的关系，从而可以用来求解三角形的边长和角度。
投影定理和射影定理
投影定理和射影定理在线性代数中，投影定理和射影定理是两个重要的定理。
它们在矩阵论、向量空间和函数空间等领域都有广泛的应用。
本文将介绍这两个定理的概念、证明和应用。
一、投影定理投影定理是指，对于一个向量空间V中的任意向量x，如果存在一个子空间W，则x可以唯一地分解为两个向量y和z的和，其中y 属于W，z属于W的补空间W⊥，即x=y+z，且y是x在W上的投影，z是x在W⊥上的投影。
证明：设W是向量空间V的一个子空间，x是V中的任意向量。
由于W和W⊥的交集只有零向量，因此x可以唯一地分解为y和z 的和，其中y属于W，z属于W⊥。
我们只需要证明y是x在W 上的投影，z是x在W⊥上的投影即可。
y是x在W上的投影，当且仅当y属于W且x-y属于W⊥。
因为y属于W，所以x-y属于W⊥。
又因为W和W⊥的交集只有零向量，所以x-y=0，即x=y。
z是x在W⊥上的投影，当且仅当z属于W⊥且x-z属于W。
因为z属于W⊥，所以z属于W的补空间。
又因为x=y+z，所以x-z=y属于W。
因此，z是x在W⊥上的投影。
投影定理的应用非常广泛，例如在线性回归中，我们可以将自变量x分解为因变量y在自变量空间上的投影和在自变量空间上的误差，从而得到最小二乘估计。
二、射影定理射影定理是指，对于一个向量空间V中的任意向量x，如果存在一个子空间W，则V可以唯一地分解为两个子空间W和W⊥的直和，即V=W⊕W⊥，且x可以唯一地分解为y和z的和，其中y属于W，z属于W⊥，即x=y+z。
证明：设W是向量空间V的一个子空间，x是V中的任意向量。
由于W和W⊥的交集只有零向量，因此V可以唯一地分解为W和W⊥的直和。
我们只需要证明x可以唯一地分解为y和z的和，其中y属于W，z属于W⊥即可。
y和z的存在性是显然的，因为x可以分解为W和W⊥中的向量之和。
其次，我们需要证明y和z的唯一性。
假设存在另外两个向量y'和z'，满足x=y'+z'，其中y'属于W，z'属于W⊥。
应用立体几何中的投影定理
应用立体几何中的投影定理立体几何是几何学的一个重要分支，研究的是三维空间内的物体形状、体积、投影等问题。
在应用立体几何的学习中，投影定理是一个非常基础且实用的原理。
本文将从投影定理的定义、应用和实例等方面进行介绍。
一、投影定理的定义投影定理是立体几何中一个重要的基本定理，它指出：在平面上由不同位置或方向对立体进行投影，得到的结果是一样的。
换句话说，不同视角下的投影是相等的。
二、投影定理的应用1. 建筑设计中的投影定理应用在建筑设计中，投影定理被广泛运用于投影效果的展示。
建筑师可以通过立体模型的投影，快速展示出建筑结构在不同角度下的外观，使人们更好地理解设计意图。
2. 工程测量中的投影定理应用工程测量中，投影定理也是一项重要的应用技术。
通过立体几何的投影定理，工程师可以精确测量出建筑物或地形上的各种参数，从而为工程设计和实施提供准确的数据支持。
3. 艺术绘画中的投影定理应用在绘画创作中，投影定理被广泛运用于透视绘画。
艺术家可以通过投影定理准确地捕捉到立体物体的透视关系，使作品更加真实、立体感更强。
三、实例分析为了更好地理解投影定理的应用，下面以建筑设计为例进行具体分析。
假设一个建筑师需要设计一栋高楼大厦的外观，他需要根据建筑的立体模型制作相应的投影。
首先，建筑师可以选择一个具有适当比例的平面作为投影面，然后将建筑的模型放置在投影面上。
通过适当的位置调整和角度选择，建筑师可以得到多个不同视角下的投影图。
在投影定理的应用中，建筑师还可以通过投影模型来计算出建筑物在不同视角下的高度、宽度等参数。
这些参数将为建筑师提供重要的设计参考，使其能够更好地进行建筑设计。
四、总结通过以上对投影定理的定义、应用和实例的介绍，我们可以看出在立体几何中，投影定理是一个非常重要和实用的原理。
不仅在建筑设计、工程测量和艺术绘画等领域有着广泛的应用，还可以为我们提供准确的数据支持和更好的视觉效果。
在学习应用立体几何中的投影定理时，我们需要深入理解其定义和原理，并能够熟练掌握其应用方法。
九年级数学投影知识点人教
九年级数学投影知识点人教投影是数学中一个重要的概念，它在几何学和代数学中都有广泛的应用。
九年级学生在数学课上也会接触到一些有关投影的知识点，包括投影的概念、投影的性质以及投影在实际问题中的运用等。
下面，我们就来一起探讨一下九年级数学中的投影知识点。
首先，让我们来了解一下投影的概念。
在几何学中，投影是指由一个点沿着特定方向所射出的线或影子在另一个平面上的映射。
投影可以是平行于一个平面的，也可以是垂直于一个平面的。
而在代数学中，投影则是指一个向量在另一个向量上的映射。
这个概念的理解对于后面的学习非常重要。
接下来，我们来探讨一下投影的性质。
首先，投影是单射的，也就是说每一个点或向量都对应唯一一个投影。
其次，投影还有一些重要的特殊情况。
当投影的方向与投影面平行时，投影就是本身。
当投影的方向与投影面垂直时，投影等于零向量。
除了以上的基本性质，投影还有一些重要的运算规则。
例如，对于两个向量的和，它们在一个向量上的投影的和等于它们分别在这个向量上的投影的和。
另外，对于两个向量的数量积，它们在一个向量上的投影的数量积等于它们分别在这个向量上的投影的数量积。
在实际问题中，我们可以运用投影的知识解决一些几何和物理问题。
例如，在测量一个斜坡的高度时，我们可以利用光的投影原理，通过测量斜坡顶部和投影面上的两个点之间的距离，以及光源和测量仪器的距离，计算出斜坡的高度。
又如，在计算斜坡的弧长时，我们可以运用投影的概念，将斜坡的弧长投影到斜坡的高度上，再计算出实际的弧长。
除了上述例子，投影在现实中还有很多应用。
在建筑设计中，我们可以利用投影的概念来绘制三维建筑模型的平面图。
在航空航天领域中，我们可以利用投影的原理，计算卫星轨道的位置和对地面的影响。
总之，投影是数学中一个重要的概念，它在几何和代数学中都有广泛的应用。
九年级学生需要掌握投影的概念、性质和运算规则，并能够将其应用到解决实际问题中。
通过学习投影，学生不仅可以提高数学思维和解决问题的能力，还可以增加对数学的兴趣和理解。
投影数学知识点高一
投影数学知识点高一投影是在几何学中经常涉及的一个概念，它在数学中的应用非常广泛。
投影是指从一个空间到另一个空间的映射过程，其中一个空间被称为源空间，另一个空间被称为目标空间。
在高一的数学学习中，我们需要了解一些基本的投影数学知识点，下面将对这些知识点进行介绍。
1. 点在直线上的投影在平面几何中，我们经常遇到点在直线上的投影问题。
点在直线上的投影可以通过垂直于直线的线段来确定，该线段与直线和点构成一个直角三角形。
我们可以利用几何关系来求解点在直线上的投影。
2. 点在平面上的投影与点在直线上的投影类似，点在平面上的投影也可以通过垂直于平面的线段来确定。
该线段与平面和点构成一个直角三角形。
我们可以使用空间向量的方法来求解点在平面上的投影。
3. 直线的投影直线的投影是指一个直线在另一个平面上的投影形成的线段。
我们可以利用平行四边形法则来求解直线的投影。
首先，我们需要找到直线在投影平面上的两个点，并连接这两个点得到一个向量。
然后，我们可以使用平行四边形法则来得到直线的投影向量。
4. 面的投影面的投影是指一个面在另一个平面上的投影形成的区域。
与直线的投影类似，我们可以利用平行四边形法则来求解面的投影。
首先，我们需要找到面在投影平面上的四个点，并连接这四个点得到一个平行四边形。
然后，我们可以使用平行四边形法则来得到面的投影向量。
5. 空间中的投影在空间中，我们也可以进行投影运算。
空间中的投影可以通过垂直于投影面的线段来确定。
与平面中的投影类似，我们可以使用向量的方法来求解空间中的投影。
总结：投影是数学中一个重要的概念，它在几何学和向量运算中有广泛的应用。
在高一的数学学习中，我们需要掌握点在直线、点在平面、直线的投影、面的投影以及空间中的投影等基本知识点。
通过学习这些知识，我们可以更好地理解和应用投影概念，提升我们的数学能力。
这些知识点对于进一步学习解析几何以及其他数学分支都至关重要，建议同学们认真学习和理解。
直角坐标系投影公式
直角坐标系投影公式直角坐标系投影公式这玩意儿，在数学里可有着挺重要的地位。
咱先别被这高大上的名字给吓住，其实它没那么难理解。
就说我有次监考吧，那是一场数学考试，有个小同学盯着一道涉及直角坐标系投影公式的题，抓耳挠腮，眉头皱得能夹死苍蝇。
我在旁边看着，心里那个着急呀，真想上去点拨点拨他。
可监考的规矩在那，我只能干瞪眼。
直角坐标系投影公式，简单来说，就是在直角坐标系中，一个向量在另一个向量上的投影长度的计算方法。
假设咱有两个向量 A(x₁, y₁) 和 B(x₂, y₂)，那么向量 A 在向量 B 上的投影长度就可以通过公式来算。
这公式就像一把神奇的钥匙，能帮咱们解决好多实际问题。
比如说，建筑工人要确定大楼的某个部分在水平方向或者垂直方向上的长度，这时候直角坐标系投影公式就能派上用场啦。
想象一下，一个建筑师拿着图纸，嘴里念叨着这公式，计算着每一根柱子、每一面墙在不同方向上的投影长度，以确保建筑的结构稳定和美观。
要是算错了，那可就麻烦大了，说不定楼就歪歪斜斜的，成了个“危楼”。
再比如，在物理课上研究力的分解和合成时，也会用到这个公式。
力是有方向和大小的，就像向量一样。
通过直角坐标系投影公式，咱们能清楚地知道一个力在某个方向上的分量有多大，这对于解决力学问题那可是至关重要的。
还记得我上学那会儿，刚开始学这公式的时候，也是一头雾水。
看着那些数字和字母，感觉它们就像一群调皮的小精灵，在我眼前蹦来蹦去，就是不让我抓住它们的规律。
后来，经过老师一遍又一遍耐心地讲解，再加上我自己不断地做题、总结，终于把这公式给拿下了。
现在的教材把这部分内容讲得越来越清晰明了啦。
通过各种生动的例子和详细的推导过程，让同学们能更好地理解和掌握。
老师们也会想尽各种办法，比如通过多媒体课件，把抽象的概念变得形象直观，让同学们更容易接受。
不过，就算教材再好，老师教得再棒，自己不努力也不行。
学习这公式啊，就得像盖房子，一砖一瓦都得自己用心去垒。
画法几何直线直线的相对位置直角投影定理直角三角性法
b
2.投影面平行线
1) 正平线（投影面V的平行线AB）
Z
V
b'
Z
b'
b''
a'
B b''
X
A
αγ
W
0 a''
a' αγ X
a''
0
YW
ab
a
b
投影特性：
Y
YH
1. a"b" // OZ ， a b// OX；
2. a' b' = A B；
3.正面投影反映α、γ角的真实大小。
2) 水平线（投影面H的平行线AB）
A
b' X
a'' W
b'
b''
0
x
o
YW
b''
B
a(b)
Y
a(b)
YH
投影特性：1、 a b 积聚成一点
2、 a' b' ⊥ox,a'' b'' ⊥oyw 3、 a' b' = a'' b'' = AB
3) 侧垂线
V
Z
a'
b'
(投影面 W 的垂直线AB)
a'
b' Z
a''(b'')
A
B
W a''(b'')
a' A a'' W
X b' β αγ 0
第2章 投影理论2(直角投影定律、平面、平面的倾角)
名称 铅垂面 （H）
立体图
投影图
投影特性
1)H投影为斜直 线，有积聚性， 且反映、大小； 2)V、W投影不是 实形，但有相仿 性 1)V投影为斜直 线，有积聚性， 且反映、大小； 2)H、W投影不是 实形，但有相仿 性 1)W投影为斜直 线，有积聚性， 且反映、 大 小； 2)H、V投影不是 实形，但有相仿 性
空间两直线平行，则其各同面投影必相互 平行，反之亦然。
相交两直线
若空间两直线相交，则其同面投影必相交， 且交点的投影必符合空间一点的投影规律。 反之亦然。
交叉两直线
若两直线既不平行又不相交，则它们是交叉直线。
同面投影可能相交，但交点不符合空间一 个点的投影规律。
两种特殊情况：
1） 当两直线有两 个投影均互相平行， 且又同时平行于第 三个投影面时，一 般应观察该两直线 所平行的那个投影 面上的投影来判断 两直线是否平行。
4、平面的倾角 P56图2-38
平面上和某 投影面倾角最大 的直线，称为该 平面对某投影面 的最大斜度线。 在ABC平面上，过A点所作的直线中，以垂直 于水平线的直线AK对H面的倾角最大。 直线AK就是ABC平面对H 面的最大斜度线， 而角α 是ABC平面和H面构成的二面角的平面角， 也就是ABC平面对H面的倾角。
2.投影轴上点:空间点的坐标值有两个为零。
X 轴上点 （X、0、0） Y 轴上点 （0、Y、0） Z 轴上点 （0、0、Z） 3.原点上的点: （0、0、0）
名称
立体图
投影图
投影特性
(1)H 投影为一点， 有积聚性； (2)abOX,
3 、 投 影 面 垂 直 线
铅垂线 （H ）
abOYW ； (3)ab=ab =AB
直角投影定理9
d' D
Z f' E
投影图
d'
c'
X
e'
c'
O F X
e'
f' O
C
d (e )
c
d (e 1 已知AB∥V，试过点E 作直线EK 与AB 垂直相交。
k’ a’ a b’
分析： AB 为正平线， 正面投影反映垂直 关系。 作图过程：
e’ k
b
e
解题完毕
直角的投影
例2 过点A 作与直线垂直于CD 。
c’
分析： 有无数解。
e'
a’ x c a
f’
f
d’ o e d
能图示出垂直关系的 有两条：一条水平线， 一条正平线。 作图：作正平线AE ， 使a’e’ ⊥c’ d’ ，ae∥OX 。 作水平线AF ， 使af ⊥cd ，a’f’∥OX 。 解题完毕
例3：已知直线BC和直线外一点A的两面投影， 求A点到直线BC的距离。
●
a
距离
b
c
●
c
b
●
a
例4：试过定点A作直线垂直于已知直线EF。
f a
●
e
●
e
a f
例5：已知线段AC为正方形ABCD的一对角线，另一 对角线BD为侧平线，试作正方形的投影。
AC实
长
a
X
b
c
Z
b a
O
.
c d
Y
中点
d b c
a
d
Y
求点K到直线AB的距离L，从下面的图中将正确的找出来
∠bac 仍为直角
直角投影定理
初中数学直角三角形射影定理记住它解题快捷方便
初中数学直角三角形射影定理记住它解题快捷方便
说起欧几里德定理，估计大家都很陌生，但是提到射影定理，估计大家都晓得。
射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：
BD²=AD·CD
AB²=AC·AD
BC²=CD·AC
此结论由被称为“几何之父”古希腊著名数学家欧几里得提出，他活跃于托勒密一世（公元前323年－公元前283年）时期的亚历山大里亚。
他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书。
射影定理是数学图形计算的重要定理。
在解决一些直角三角形线段长度时，用到的非常广泛。
希望大家去记住他。
至于推导过程，根据三角形相似就可以了。
下面的视频可以看看。
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关于“直角投影定理”的综述与证明
作者：余敏
来源：《教师·下》2015年第12期
摘要：直角投影定理是“机械制图”中点、线、面投影内容的一个重要理论基础，对解决点、线、面的投影以及在空间中的相对位置、度量等问题起着非常重要的作用。
本文通过例题讲解对直角投影定理进行一个总体论述。
关键词：直角投影定理；垂直；交错
“直角投影定理”在解决“机械制图”中的点、线、面的投影以及在空间中的相对位置、度量等问题方面，起到了关键作用。
因此，直角投影定理是“机械制图”中的点、线、面投影内容的一个重要理论基础。
理解和把握直角投影定理，有利于实现“实物表象—模型表象—图形表象”之间的转换，对于培养学员组合体三视图、零件图、装配图的读图和绘图能力起着重要作用。
一、直角投影定理及其逆定理
各版本《机械制图》或《画法几何》教材对“直角投影定理”的叙述大体相同。
定理：垂直相交的两直线，若其中一直线平行于某投影面，则两直线在该投影面上的投影仍然垂直。
逆定理：若相交两直线在某一投影面上的投影垂直，且其中一条直线平行于该投影面，则该两直线在空间必相互垂直。
1. 直角投影定理的证明
已知：BC⊥AB，BC∥H面，ab、bc分别是AB、BC在H面上的投影，如图1所示。
求证：bc⊥ab。
证明：因为BC∥H面，Bb⊥H面，所以BC⊥Bb；
又BC⊥AB，所以BC⊥投射面BAab；
又因BC∥H面，bc∥BC，所以bc⊥投射面BAab。
根据立体几何定理可知bc垂直于平面BAab上的所有直线，故bc⊥ab。
2.直角投影定理逆定理的证明
已知：ab、bc 分别是AB、BC在H面上的投影，bc⊥ab，BC∥H面，如图1所示。
求证：BC⊥AB。
证明：因为 bc⊥ab，bc⊥Bb，所以 bc⊥投射面BAab；又题知 BC∥bc，所以BC⊥投射面BAab，故BC⊥AB。
二、直角投影定理及其逆定理的分析
直角投影定理（综述）：两条垂直（相交或交错）直线，若其中一直线平行于某投影面，则两直线在该投影面上的投影仍然垂直。
直角投影定理逆定理（综述）：若两条直线在某投影面上的投影垂直，则该两条直线垂直（相交或交错）的充分必要条件是至少有一条直线平行于该投影面。
1.直角投影定理（综述）的证明
以下就“两条垂直（交错）直线”情况证明。
如图2所示。
已知：AB和CD异面，AB⊥CD，且CD∥H面。
求证：ab⊥cd。
证明：在直线CD上任取一点，如取D点，过D点作直线ED∥AB，则ED⊥CD，根据图1所证则有 ed⊥cd；
又因ED∥AB，所以ed∥ab，所以ab⊥cd。
2. 直角投影定理逆定理（综述）的证明
几何法证明充分性。
关于结论“两条直线垂直（相交）”情况，在图2中已经证明。
以下仅证明结论“两条直线垂直（交错）”情况。
如图2所示。
已知：AB和CD异面，ab⊥cd，且CD∥H面。
求证：AB⊥CD。
证明：在直线CD上任取一点，如取D点，过D点作直线ED∥AB，则ed∥ab，又
ab⊥cd，所以 ed⊥cd，而CD∥H面，根据直角投影定理逆定理则有ED⊥CD；又因
ED∥AB，所以AB⊥CD。
直角投影定理虽然只是“机械制图”课程中的一小部分内容，但它却有着多方面的延伸。
该定理在解决线与线、线与面、面与面之间相互垂直的问题上是一个很重要的理论依据。
在学习直角投影定理内容的时候，若能够从以上进行全方位理解，对于分析解决问题才能达到纲举目张、举一反三、得心应手的程度。
参考文献：
[1]卢元.直角投影定理及推广的证明[J].教师，2013（32）：50.
[2] 董金华，程军，闫利文.直角投影定理逆定理的研究与推论[J].河北科技大学学报，2003（01）：51—53.
（作者单位：海军蚌埠士官学校）。