九年级数学上册18相似形相似三角形的性质课后作业
九年级数学上册 18《相似形》相似三角形的性质课后作
相似三角形的性质（答题时间：30分钟）一、选择题1. 如图，△ABC 中，DE ∥BC ，DE ＝1，AD ＝2，DB ＝3，则BC 的长是（ ） A. 12B. 32C. 52D. 72*2. 如图所示，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 为OD 的中点，连接AE 并延长交DC 于点F ，则DF ：FC ＝（ ）A. 1：4B. 1：3C. 2：3D. 1：2**3. 如图所示，AD ∥BC ，∠D ＝90°，DC ＝7，AD ＝2，BC ＝3。
若在边DC 上有点P 使△PAD 与△PBC 相似，则这样的点P 有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个ABCDP**4. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝a ，BC ＝b （a ＞b ）。
在△ABC 内依次作∠CBD ＝∠A ，∠DCE ＝∠CBD ，∠EDF ＝∠DCE 。
则EF 等于（ ）A. b 3a 2 B. a 3b 2 C. b 4a 3 D. a 4b3二、填空题5. 在平行四边形ABCD 中，E 在DC 上，若DE ：EC ＝1：2，则BF ：BE ＝__________。
6. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 在AB 上，CE 、BD 交于F ，若AE ：BE ＝4：3，且BF ＝2，则DF ＝__________。
*7. 如图，在边长为9的正三角形ABC 中，BD ＝3，∠ADE ＝60°，则AE 的长为__________。
*8. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长为__________。
ABCDE三、解答题*9. 如图，在平行四边形ABCD 中，∠ABC 的平分线BF 分别与AC 、AD 交于点E 、F 。
（1）求证：AB ＝AF ；（2）当AB ＝3、BC ＝5时，求AE AC的值。
相似三角形的性质和判定作业及答案
相似三角形的性质和判定（作业）1.在下面的两组图形中，各有一对相似三角形，则x= ，y= ，m= ，n= ．2.将三角形纸片△ABC 按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B′，折痕为EF，AB=AC=4，BC=5，若以点B′，F，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，则CF= ．第2 题图第3 题图3.如图，在△ABC 中，点P 为边AB 上一点，则下列四个条件：①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB；③ AC2 =AP ⋅AB ；④AB ⋅CP =AP ⋅CB ．其中能判定△APC 和△ACB 相似的是．4.下列4×4 的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是（）A.B．C．D．5. 如图，在梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，对角线 AC ，BD 交于 点 O ， AD = 1 ， 若 OA =1 ， OD = 3 ， 则 OB = ，BC 3 2OC = ．6. 如图，在△ABC 中，CD =CE ，∠A =∠ECB ．求证：CD 2=AD ·BE ．7. 如图，在 Rt △ABC 中，AB =3cm ，AC =6cm ．动点 M 从点 A出发沿 AB 方向以 1cm/s 的速度向点 B 匀速运动；同时动点N 从点 C 出发沿 CA 方向以 2cm/s 的速度向点 A 匀速运动， 当一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动．是否存在时刻 t ，使以 A ，M ，N 为顶点的三角形与△ABC 相似？ 若存在，求 t 的值；若不存在，请说明理由．【参考答案】1. 32； 15 ；70；6022. 25 或 5 9 23. ①②③4. B5. 9 ；326. 证明略（提示：证明△ADC ∽△CEB ）7. 当△MAN ∽△BAC 时，t = 3 ；2当△MAN ∽△CAB 时，t = 12 5。
初中数学北师大九年级上册(2023年修订) 图形的相似相似三角形性质
课题：相似三角形的性质（2）Ⅱ.新课讲解一．相似三角形周长比等于相似比问题：图中(1)(2)(3)分别是边长为1，2，3的等边三角形,它们都相似吗？(1)与(2)的相似比=______,(1)与(3)的相似比=______,(1)与(2)的周长比=______，(1)与(3)的周长比=______.结论：相似三角形的周长比等于______。
（1）（2）（3）想一想：怎么证明这一结论呢？求证：相似三角形的周长比等于相似比.归纳总结：相似三角形周长的比等于相似比.二．相似三角形的面积比等于相似比的平方问题：图中(1)(2)(3)分别是边长为1，2，3的等边三角形,回答以下问题：(1)与(2)的相似比=______,(1)与(2)的面积比=______(1)与(3)的相似比=______,(1)与(3)的面积比=______结论：相似三角形的面积比等于__________．想一想：怎么证明这一结论呢？归纳总结：相似三角形面积的比等于相似比的平方.1.已知ΔABC与ΔA′B′C′的相似比为2：3，则对应边上中线之比_______，面积之比为__________．2. 如果两个相似三角形的面积之比为1:9，周长的比为______ .典例精析：例1：将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分的面积是△ABC的面积的一半.已知BC=2，求△ABC平移的距离. 使学生建立从特殊到一般的思想。
要求学生能用相似多边形的对应周长和对应面积比的性质来解决生活中的实际问题。
让学生亲历问题发现的过程，对知识从初步的印象上升到理论探求，证明的高度今后在记忆和应用上会更加深刻。
学生在相似多边形性质的证明过程中对性质已经有了全面的认识，通过上面两个问题的回答，进一步完善了对相似多边形性质的理解和认识。
在对相似三角形对应周长的比等于相似比的探究基础上，进一步运用转化的思想解决面积的比的问题，从一维到二维，让学生深入体会相似比的应用．．进一步巩固两三角形相似的判定方法，初步学会运例2： 如图，在 △ABC 和 △DEF 中，AB = 2 DE ，AC = 2 DF ，∠A = ∠D. 若 △ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 125，求 △DEF 的边 EF 上的高和面积.练一练：如果两个相似三角形的面积之比为 2 : 7，较大三角形一边上的高为 7，则较小三角形对应边上的高为______.例3： 如图，D ，E 分别是 AC ，AB 上的点，已知△ABC 的面积为100 ,53,c 2==AB AD AC AE m 且 求四边形 BCDE 的面积.例4：如图，△ABC 中，点 D 、E 、F 分别在 AB 、AC 、BC 上，且 DE ∥BC ，EF ∥AB. 当 D 点为 AB 中点时，求 S 四边形BFED : S △ABC 的值.用新知求三角形的对应线段的长度和面积．Ⅲ.课堂练习1. 判断：(1) 一个三角形的各边长扩大为原来的 5 倍，这个 三角形的周长也扩大为原来的 5 倍 ( )(2) 一个四边形的各边长扩大为原来的 9 倍，这个 四边形的面积也扩大为原来的 9 倍 ( )2. 在 △ABC 和 △DEF 中，AB ＝2 DE ，AC ＝2 DF ，∠A结合三角形相似的判定，考查“相似三角形周长的比等于相似比”和“相似三角＝∠D，AP，DQ 是中线，若AP＝2，则DQ 的值为( )A．2 B．4 C．1 D.213.连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______，面积比等于_____.4.两个相似三角形对应的中线长分别是6 cm 和18 cm，若较大三角形的周长是42 cm，面积是12 2cm，则较小三角形的周长____cm，面积为____2c m.5.如图，这是圆桌正上方的灯泡(点A) 发出的光线照射桌面形成阴影的示意图，已知桌面的直径为米，桌面距离地面为 1 米，若灯泡距离地面3 米，则地面上阴影部分的面积约为多少(结果保留两位小数)？6.△ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE 和△EFC 的面积分别为4 和9，求△ABC 的面积.7.如图，△ABC 中，DE∥BC，DE 分别交AB、AC 于点D、E，S△ADE＝2 S△DCE，求S△ADE ∶S△ABC. 形面积的比等于相似比的平方”的运用．对三角形对应线段的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方进行了巩固运用．题难度有所加大，要让学生找相似三角形，再通过周长的比、面积的比与相似比的关系解决．Ⅳ.课时小结本节课主要根据相似三角形的性质和判定推导出了相似三角形的性质：相似三角形的周长的比都等于相似比.相似三角形的面积的比都等于相似比的平方。
初中数学初三数学上册《相似三角形的性质及其应用》教案、教学设计
3.引导学生回顾已学的全等三角形的性质和判定方法，为新课的学习做好铺垫。
4.揭示本节课的主题——相似三角形的性质及其应用，激发学生的学习兴趣。
（二）讲授新知
在这一环节中，我将系统地讲授相似三角形的性质和判定方法：
-以小组为单位，共同完成一道具有挑战性的相似三角形综合应用题，要求小组成员分工合作，共同讨论解题策略。
-每个小组将解题过程和答案进行整理，并在下一节课上进行汇报，分享学习成果。
4.思考与反思：
-结合本节课的学习，反思自己在解决相似三角形问题时遇到的困难和挑战，分析原因，并总结经验教训。
-撰写一篇学习心得，谈谈自己对相似三角形性质及其应用的认识和理解。
4.学会运用相似三角形的性质解决与实际生活相关的问题，如测量物体的高度、求解线段长度等。
（二）过程与方法
1.通过自主探究、合作交流等形式，引导学生主动发现相似三角形的性质及其应用。
2.培养学生运用几何直观和逻辑推理解决问题的能力，提高学生的几何思维能力。
3.引导学生运用类比、归纳等方法，从特殊到一般，发现几何图形的性质，培养学生发现问题和解决问题的能力。
5.预习与拓展：
-预习下一节课要学习的相似多边形的性质及其应用，为新课的学习做好准备。
-探索相似三角形与其他数学分支（如代数、平面几何等）的联系，拓展知识面。
3.培养学生的几何直观和逻辑推理能力，提高学生解决几何问题的策略和方法。
4.激发学生的学习兴趣，增强学生对数学学科的情感态度，提升学生的数学素养。
（二）教学设想
1.创设情境，引入新课
-通过展示实际生活中的相似图形，如建筑物的立面图、摄影中的缩放效果等，引起学生对相似三角形性质的兴趣。
九年级数学第二十七章《相似三角形的性质》同步练习(含答案)
九年级数学第二十七章《相似三角形的性质》同步练习（含答案）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果△ABC ∽△DEF ，A 、B 分别对应D 、E ，且AB ：DE =1：2，那么下列等式一定成立的是 A ．BC ：DE =1：2B ．△ABC 的面积：△DEF 的面积=1：2 C ．∠A 的度数：∠D 的度数=1：2D ．△ABC 的周长：△DEF 的周长=1：2 【答案】D2．如图，AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，且AB =1，CD =3，那么EF 的长是A ．13B ．23 C ．34D ．45【答案】C【解析】∵AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，∴AB ∥CD ∥EF ， ∴△DEF ∽△DAB ，△BEF ∽△BCD ，∴EF DF AB DB =，EF BF CD BD =，∴EF EF DF BFAB CD DB BD+=+=1． ∵AB =1，CD =3，∴13EF EF +=1，∴EF =34．故选C ．3．已知：如图，在ABCD中，AE：EB=1：2，则FE：FC=A．1：2 B．2：3 C．3：4 D．3：2 【答案】B【解析】在ABCD中，AB=CD，AB∥CD，∵BE=2AE，∴BE=23AB=23CD，∵AB∥CD，∴EFFC=BEDC=23，故选B．4．已知：如图，E是ABCD的边AD上的一点，且32AEDE=，CE交BD于点F，BF=15cm，则DF的长为A．10cm B．5cmC．6cm D．9cm【答案】C【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，点E在边AD上，∴DE∥BC，且AD=BC，∴∠DEF=∠BCF；∠EDF=∠CBF，∴△EDF∽△CBF，∴BC BF ED DF=，∵32AEDE=，∴设AE=3k，DE=2k，则AD=BC=5k，52BC BFED DF==，∵BF=15cm，∴DF=25BF═6cm．故选C．5．已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则△DEF与△ABC的面积之比为A．9：1 B．1：9C．3：1 D．1：3【答案】B【解析】∵△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，∴△ABC与△DEF的相似比为3，∴△DEF与△ABC的相似比为1：3，∴△DEF与△ABC的面积之比为1：9，故选B．6．如图，△ABC∽△AB'C'，∠A=35°，∠B=72°，则∠AC'B'的度数为A．63°B．72°C．73°D．83°【答案】C【解析】∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=35°，∠B=72°，∴∠C=180°–35°–72°=73°，∵△ABC∽△AB'C'，∴∠AC′B′=∠C=73°，故选C．7．如图，△ABC中，E为AB中点，AB=6，AC=4.5，∠ADE=∠B，则CD=A．32B．1C．12D．23【答案】C【解析】∵E为AB中点，∴AE=12AB，∵∠ADE=∠B，∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC，∴AE ADAC AB，∴12AB2=AD•AC，∴AD=4，∴CD=AC–AD=0.5，故选C．二、填空题：请将答案填在题中横线上．8．两个三角形相似，相似比是12，如果小三角形的面积是9，那么大三角形的面积是__________．【答案】36【解析】∵两个三角形相似，相似比是12，∴两个三角形的面积比是14，∵小三角形的面积是9，∴大三角形的面积是36，故答案为：36．9．矩形ABCD中，AB=6，BC=8．点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为__________．【答案】65或310．如图，在△ABC纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是__________．【答案】3≤AP<4【解析】如图所示，过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB，此时0<AP<4；如图所示，过P作∠APF=∠B交AB于F，则△APF∽△ABC，此时0<AP≤4；如图所示，过P作∠CPG=∠CBA交BC于G，则△CPG∽△CBA，此时，△CPG∽△CBA，当点G与点B重合时，CB2=CP×CA，即22=CP×4，∴CP=1，AP=3，∴此时，3≤AP<4；综上所述，AP长的取值范围是3≤AP<4．故答案为：3≤AP<4．11．如图，点A、B、C、D的坐标分别是（1，7）、（1，1）、（4，1）、（6，1），且△CDE与△ABC相似，则点E的坐标是__________．【答案】（6，0），（6，5），（6，2），（4，2）、（4，5）、（4，0）．【解析】在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2．①当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC；②当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，则AB：BC=DE：CD，△EDC∽△ABC；③当点E的坐标为（6，2）时，∠ECD=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC；同理，当点E的坐标为（4，2）、（4，5）、（4，0），故答案为：（6，0），（6，5），（6，2），（4，2）、（4，5）、（4，0）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．12．求证：相似三角形面积的比等于相似比的平方．（请根据题意画出图形，写出已知，求证并证明）【解析】已知：如图，已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，△ABC 和△A 1B 1C 1的相似比为k ．求证：111ABC A B C S S △△=k 2；证明：作AD ⊥BC 于D ，A 1D 1⊥B 1C 1于D 1，∵△ABC ∽△A 1B 1C 1，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应， ∴∠B =∠B 1，∵AD 、A 1D 1分别是△ABC ，△A 1B 1C 1的高线， ∴∠BDA =∠B 1D 1A 1，∴△ABD ∽△A 1B 1D 1，∴11AD A D =11ABA B =k ， ∴111ABC A B C S S △△=11111212BC AD B C A D ⋅⋅⋅⋅=k 2．13．如图所示，Rt △ABC ∽Rt △DFE ，CM 、EN 分别是斜边AB 、DF 上的中线，已知AC =9cm ，CB =12cm ，DE =3cm ．（1）求CM 和EN 的长； （2）你发现CMEN的值与相似比有什么关系？得到什么结论？【解析】（1）在Rt △ABC 中，AB =22AC CB +=22912+=15，∵CM 是斜边AB 的中线， ∴CM =12AB=7.5， ∵Rt △ABC ∽Rt △DFE ， ∴DE DF AC AB =，即319315DF==， ∴DF =5，∵EN 为斜边DF 上的中线，∴EN =12DF =2.5； （2）∵7.532.51CM EN ==，相似比为9331AC DE ==，∴相似三角形对应中线的比等于相似比．14．如图，点C 、D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形，且△ACP ∽△PDB ．（1）求∠APB 的大小．（2）说明线段AC 、CD 、BD 之间的数量关系．15．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图1，在△ABC 中，∠A =48°，CD 是△ABC 的完美分割线，且AD =CD ，则∠ACB =__________°． （2）如图2，在△ABC 中，AC =2，BC 2，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 是以CD 为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．【解析】（1）当AD=CD时，如图，∠ACD=∠A=48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．（2）由已知得AC=AD=2，∵△BCD∽△BAC，∴BCBA=BDBC，设BD=x2）2=x（x+2），∵x＞0，∴x3–1，∵△BCD∽△BAC，∴CD BDAC BC=32，∴CD 312-×62．故答案为：96．。
九年级数学相似三角形的性质及其应用3
B
C
3、相似三角形的周长之比等于相似比； 4、相似三角形的面积之比等于相似比的平方。
讲解新课
校园里有一棵大铁树，要测量树的高度，你有什么方法？
A
C B
D
E
把一小镜子放在离树（AB）8米的点E处，然后 沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢 顶点A，再用皮尺量得DE=2.8m，观察者目高 CD=1.6m。这时树高多少？你能解决这个问题吗？
A
C D B
把长为2.40m的标杆CD直立在地面上，量出树的 影长为2.80m，标杆的影长为1.47m。这时树高多少？ 你能解决这个问题吗？
例2
如图，屋架跨度的一半OP=5m，高度OQ=2. 25 m。现要在屋顶上开一个天窗，天窗高度 AC=1. 20 m ，AB在水平位置。求AB的长度。（结果保留3个 有效数字） Q A B C P O
CF
A
E
F
B D C
• 已知：如图， △ABC∽ △A’B’C’, △ABC与 △A’B’C’ 的相似比是k,AD、 A’D’是对应高。求
S△ABC ———— S△A’B’C’
A
B
D
C A’
=?
B’ D’ C’
解：
S△ABC ———— S△A’B’C’
k2
1 / 2· BC · AD BC AD · ' k· k ' ' ' ' ' 1 / 2· BC · A D B' C A' D
根据相似三角形的定义我们可 以知道哪些性质？
对应角相等，对应边成比例。
• 我们来研究其它性质
J我们把对应边的比值称为相似比 猜想EQ相似三角形对应高的比是 否等于相似比
数学北师大版九年级上册相似三角形性质(一)课时作业
《相似三角形的性质（1）》课时作业1．[2016·兰州] 已知△ABC ∽△DEF ，若△ABC 与△DEF 的相似比为34，则△ABC 与△DEF 对应角平分线的比为( )A .34B .43C .916D .1692．如图4－7－1，△ABC ∽△A′B′C′，AD ，BE 分别是△ABC 的高和中线，A ′D ′，B ′E ′分别是△A′B′C′的高和中线，且AD ＝4，A ′D ′＝3，BE ＝6，则B′E′的长为( )图4－7－1A .32B .52C .72D .923．已知△ABC ∽△A′B′C′，AD 和A′D′是它们的对应角平分线，已知AD ＝8 cm ，A ′D ′＝3 cm ，则△ABC 与△A′B′C′的对应高的比为________．4．已知△ABC ∽△A′B′C′，BD 和B′D′是它们的对应中线，已知AC A′C′＝32，B ′D ′＝4，则BD 的长是________．5．如图4－7－2所示，某校宣传栏后面2 m 处种了一排树，每隔2 m 一棵，共种了6棵，小勇站在距宣传栏中间位置的垂直距离3 m 处，正好看到这排树两端的树干，其余的4棵均被挡住，那么宣传栏的长为________m ．(不计宣传栏的厚度)图4－7－26．已知△ABC ∽△A′B′C′且相似比为13，△A ′B ′C ′∽△A ″B ″C ″且相似比为43，则△ABC 与△A″B″C″的相似比为( )A .14B .94C .49D .94或497．[2016·安顺] 如图4－7－3，矩形EFGH 内接于△ABC ，且边FG 落在BC 上，若AD ⊥BC ，BC ＝3，AD ＝2，EF ＝23EH ，则EH 的长为________．图4－7－38．如图4－7－4是一个照相机成像的示意图，如果底片AB 宽40 mm ，焦距是60 mm ，求所拍摄的2 m 外景物的宽CD.图4－7－49．某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图4－7－5所示．其中BA ＝CD ，BC ＝20 cm ，BC ，EF 平行于地面AD 且到地面AD 的距离分别为40 cm ，8 cm ，为使板凳两腿底端A ，D 之间的距离为50 cm ，那么横梁EF 应为多长？(材质及其厚度等暂忽略不计)图4－7－510．如图4－7－6，△ABC 是一张锐角三角形的硬纸片，AD 是边BC 上的高，BC ＝40 cm ，AD ＝30 cm ，从这张硬纸片上剪下一个长HG 是宽HE 的2倍的矩形EFGH ，使它的一边EF 在BC 上，顶点G ，H 分别在AC ，AB 上，AD 与HG 的交点为M.(1)求证：AM AD ＝HG BC； (2)求矩形EFGH 的周长．图4－7－611．如图4－7－7所示，有一侦察员在距敌方200 m 的地方A 处发现敌人的一座建筑物DE ，但不知其高度，又不能靠近建筑物测量，机灵的侦察员将食指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好能将建筑物遮住．若此时眼睛到食指的距离约为40 cm ，食指的长约为8 cm ，你能根据上述条件计算出敌方建筑物DE 的高度吗？请写出你的推理过程．图4－7－712．一块直角三角板的一条直角边AB的长为1.5 m，面积为1.5 m2，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面，甲、乙两位同学的加工方法如图4－7－8(1)(2)所示，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好．(加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留)图4－7－8。
九年级数学第6讲：相似三角形的性质-教师版
相似三角形的性质是九年级数学上学期第一章第三节的内容，本讲主要讲解相似三角形的3个性质定理．重点是灵活应用相似三角形的性质，难点是相似三角形的性质与判定的互相结合．1、相似三角形性质定理1相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．相似三角形的性质内容分析知识结构模块一：相似三角形性质定理1知识精讲【例1】 已知ABC ∆∽111A B C ∆，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，1132AB A B =，BE 、 B 1E 1分别是它们的对应中线，且6BE =．求B 1E 1的长． 【难度】★ 【答案】4．【解析】解：111ABC A B C ∆∆Q ∽，BE 、11B E 分别是对应中线，1111AB BE A B E B ∴=即11362E B =，114E B ∴= 【总结】本题考查相似三角形对应中线的比等于相似比．【例2】 已知ABC ∆∽111A B C ∆，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，12AC =，119AC =,1A ∠的平分线A 1D 1的长为6，求A ∠的平分线的长． 【难度】★ 【答案】8．【解析】解：111ABC A B C ∆∆Q ∽，AD 、11A D 分别是A ∠、1A ∠的平分线，1111AC AD AC A D ∴=即1296AD=，8AD ∴=即A ∠的平分线的长为8． 【总结】本题考查相似三角形对应角平分线的比等于相似比．【例3】 求证：相似三角形对应高的比等于相似比． 【难度】★★ 【答案】略【解析】已知：如图，111ABC A B C ∆∆∽，且相似比为k ，AD 、11A D 分别是BC 、11B C 的高．求证：11ADk A D =． 证明：111ABC A B C ∆∆Q ∽，1B B ∴∠=∠，11ABk A B =； 又Q AD 、11A D 分别是BC 、11B C 的高， 11190BDA B D A ∴∠=∠=o ，111ABD A B D ∴∆∆∽，1111AB ADk A B A D ∴==． 【总结】本题考查相似三角形的判定和性质．例题解析【例4】 求证：相似三角形对应中线的比等于相似比． 【难度】★★ 【答案】略【解析】已知：如图，111ABC A B C ∆∆∽，且相似比为k ，AD 、11A D 分别是边BC 、11B C 的中线． 求证：11ADk A D =． 证明：111ABC A B C ∆∆Q ∽， 1B B ∴∠=∠，1111AB CBk A B C B ==； 又Q AD 、11A D 分别是边BC 、11B C 的中线，12BD BC ∴=，111112B D BC =，∴11DB k D B =，1111AB BD A B B D ∴=，111ABD A B D ∴∆∆∽，1111AB AD k A B A D ∴==． 【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的运用．【例5】 求证：相似三角形对应角平分线的比等于相似比． 【难度】★★ 【答案】略【解析】已知：如图，111ABC A B C ∆∆∽，且相似比为k ，AD 、11A D 分别是BAC ∠、111B AC ∠的角平分线．求证：11ADk A D =．证明：111ABC A B C ∆∆Q ∽， 1B B ∴∠=∠，111BAC B AC ∠=∠，11ABk A B =； 又Q AD 、11A D 分别是BAC ∠、111B AC ∠的角平分线，11111111,22BAD BAC B A D B AC ∴∠=∠∠=∠，111BAD BA D ∴∠=∠，111ABD A B D ∴∆∆∽，1111AB ADk A B A D ∴==．【总结】本题考查相似三角形的判定和性质．ABEA 1E 1D 1 C 1B 1 ABCDEF 【例6】 如图，ABC ∆和111A B C ∆中，AD 和BE 是ABC ∆的高，11A D 和11B E 是111A B C ∆的高，且1C C ∠=∠，1111AD ABA D AB =． 求证：1111AD BEA DB E =【难度】★★ 【答案】略 【解析】 证明：1111AB ADA B A D =Q ，又Q 111ADB A D B ∠=∠，111ABD A B D ∴∆∆∽， 111ABD A B D ∴∠=∠，又Q 1C C ∠=∠，111ABC A B C ∴∆∆∽，又Q BE 、11B E 分别是ABC ∆、111A B C ∆的高，1111BE AB E B A B ∴=，1111BE ADE B A D ∴=． 【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的综合运用．【例7】 如图，D 是ABC ∆的边BC 上的点，BAD C ∠=∠，BE 是ABC ∆的角平分线，交AD 于点F ，1BD =，3CD =，求BF ：BE ． 【难度】★★【答案】12．【解析】 解：Q BE 是ABC ∆的角平分线，∴ABF EBC ∠=∠，又Q BAD C ∠=∠，ABF CBE ∴∆∆∽，AB BFCB BE∴=，又Q BAD C ∠=∠，ABD ABC ∠=∠ BAD BCA ∴∆∆∽，AB BD BC BA ∴=，14AB AB ∴=，2AB ∴=，12AB BC ∴=，1:2BF BE ∴=． 【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的综合运用．AB CDEF GHKAB CE FGDH P【例8】 如图，在ABC ∆中，矩形DEFG 的一边DE 在BC 边上，顶点G 、F 分别在AB 、AC 边上，AH 是BC 边上的高，AH 与GF 交于点K ．若32AH cm =，48BC cm =，矩 形DEFG 的周长为76cm ，求矩形DEFG 的面积． 【难度】★★ 【答案】2360cm ．【解析】解：设DG xcm =，()38FG x cm =-Q 矩形DEFG ，//90GF BC GDB ∴∠=o ，， GF AGBC AB∴=,又Q AH 是高，90AHB ∴∠=o ， GDB AHB ∴∠=∠//DG AH ∴, DG BG AH AB ∴=，1DG GFAH BC∴+=,3813248x x -∴+=，20x ∴=，∴20DG cm =，18FG cm =，2360DEFG S cm ∴=矩形． 【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的周长面积等知识．【例9】 如图，矩形DEFG 的边EF 在ABC ∆的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，AH 为BC 边上的高，AH 交DG 于点P ，已知3AH =，5BC =，设DG 的长为x ，矩形DEFG 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式及其定义域． 【难度】★★★【答案】()233055y x x x =-+<<．【解析】解：Q 矩形DEFG ，//,90GD BC DEC ∴∠=o ，GD ADBC AB∴=，又Q AH 是高，90AHC ∴∠=o ， DEC AHC ∴∠=∠,//DE AH ∴, DE BD AH AB ∴=，1DG DEBC AH∴+=，153x DE ∴+=，又Q DEFG S y x DE ==•矩形，20x ∴=，∴y DE x =，153x y x ∴+=，∴()233055y x x x =-+<<． 【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的面积等知识．【例10】 一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5m ，面积为1.5m 2，现需把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学设计加工方案，甲设计方案如图（1），乙设计方案如图（2）．你认为哪位同学设计的方案较好？请说明理由（加工损耗忽略不计，计算结果中可保留分数）．【难度】★★★【答案】甲同学方案好，理由略．【解析】解：211.52ABC S AB BC m ∆=•=,又Q 1.5AB m =，2CB m ∴= ∴在Rt ABC ∆中， 2.5AC m =．① 按甲的设计：设DE x =，Q 正方形DEFB ，//,//ED BF EF CB ∴， DE CE AB CA ∴=,EF AE CB AC =，1DE EF BA CB ∴+=，11.52x x∴+=，67x m ∴=，23649DEFB S m ∴=正；②按乙的设计：过点B 作BH AC ⊥交AC 于点H ，得//DG BH ，DG ADBH AB∴=, 设DE x =，则DG x =，Q 正方形DGFE ，//ED AC DE DG ∴=，，DE BD AC BA ∴=，1DE DGCA HB∴+=，Q 1122ABC S AB BC AC BH ∆=•=•，65BH m ∴=，162.55x x ∴+=， 3037x m ∴=，29001369DGFE S m ∴=正； 综上，甲设计方案好．【总结】本题考查了三角形一边的平行线，正方形的面积等知识，本题考查了最优化问题．BCDEF1、相似三角形性质定理2相似三角形周长的比等于相似比．【例11】若ABC ∆∽DEF ∆，ABC ∆与DEF ∆的相似比为1:2，则ABC ∆与DEF ∆的周长比为( ) （A ）1:4（B ）1:2（C ）2:1（D ）1:2【难度】★ 【答案】B 【解析】略【总结】相似三角形的周长比等于相似比．【例12】 ABC ∆∽111A B C ∆，它们的对应的中线比为2:3，则它们的周长比是．【难度】★ 【答案】2:3 【解析】略【总结】相似三角形对应中线的比等于相似比，周长比等于相似比．模块二：相似三角形性质定理2知识精讲例题解析AD EF【例13】已知ABC ∆∽111A B C ∆，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，它们的周长分别为48和60，且12AB =，1125B C =，求BC 和A 1B 1的长．【难度】★【答案】112015BC A B ==，． 【解析】解：111ABC A B C ∆∆Q ∽，1111111ABC A B C C AB CBC A B C B ∆∆∴==； 又Q111484605ABC A B C C C ∆∆==，∴1120,15BC A B ==． 【总结】本题考查相似三角形的性质．【例14】如果两个相似三角形的最长边分别为35厘米和14厘米，它们的周长相差60厘米，那么大三角形的周长是．【难度】★★ 【答案】100cm ．【解析】两三角形的相似比为5:2，则周长比为5:2，设大三角形周长为5acm ，小三角形周长为2acm ，则5260a a -=，所以20a =，所以大三角形的周长为100cm ． 【总结】相似三角形的周长比等于相似比．【例15】如图，在ABC ∆中，12AB =，10AC =，9BC =，AD 是BC 边上的高．将ABC∆沿EF 折叠，使点A 与点D 重合，则DEF ∆的周长为． 【难度】★★ 【答案】312．【解析】由折叠得EF 垂直平分AD ，Q AD 是BC 上的高，//EF BC ∴，AEF ABC ∴∆∆∽，12AEF ABC C C ∆∆∴=，9101231ABC C ∆=++=Q ，312AEF C ∆∴=． 【总结】本题考查相似三角形的性质和判定．A BCD PACP Q 【例16】 如图，梯形ABCD 的周长为16厘米，上底3CD =厘米，下底7AB =厘米，分别延长AD 和BC 交于点P ，求PCD ∆的周长．【难度】★★【答案】152cm ．【解析】解：Q 梯形ABCD ，//CD AB ∴，AEF ABC ∴∆∆∽，37PDC PAB C CD C AB ∆∆∴==，即327PDC PDC ABCD C C C CD ∆∆=+-梯形，31667PDC PDC C C ∆∆∴=+-，152PDC C cm ∆∴=．【总结】本题考查相似三角形的性质和判定．【例17】如图，在ABC ∆中，=90C ∠︒，5AB =，3BC =，点P 在AC 上（与点A 、C不重合），点Q 在BC 上，PQ //AB ．当PQC ∆的周长与四边形P ABQ 的周长相等时，求CP 的长． 【难度】★★ 【答案】247．【解析】解：Q CPQ PABQ C C ∆=四边形，CP CQ PQ BQ PQ AP AB ∴++=+++， CP CQ BC CQ AC CP AB ∴+=-+-+，5AB =Q ，3BC =，90C ∠=o ，4AC ∴=，345CP CQ CQ CP ∴+=-+-+，6CP CQ ∴+=，//PQ AB Q ，CP CQCA CB∴=， ∴643CP CP -=，247CP =． 【总结】本题考查了三角形一边的平行线性质，主要考查了学生的推理能力．ACDEF【例18】 如图，等边三角形ABC 边长是7厘米，点D 、E 分别在AB 和AC 上，且43AD AE =，将ADE ∆沿DE 翻折，使点A 落在BC 上的点F 上． （1）求证：BDF ∆∽CFE ∆； （2）求BF 的长． 【难度】★★★【答案】（1）略；（2）5．【解析】（1）证明：ADE ∆翻折成FDE ∆．ADE FDE ∴∆≅∆，A EFD ∴∠=∠，Q ABC ∆是等边三角形，60A B C ∴∠=∠=∠=o ，60EFD B C ∴∠=∠=∠=o ，DFC DFE EFC ∠=∠+∠Q ，DFC B BDF ∠=∠+∠， EFC BDF ∴∠=∠， BDF CFE ∴∆∆∽．（2）由（1）知BDF CFE ∆∆∽，BDF CFE C DFC EF∆∆∴=，又ADE FDE ∆≅∆Q ， AD DF AE EF ∴==，，43BDF CFE C AD C AE ∆∆∴==，43BF BD DF BF AB CE FC EF CF AC +++∴==+++， 74773BF BF +∴=-+，5BF ∴=．【总结】本题考查相似三角形的性质及判定，轴对称的性质，应用相似三角形周长比等 于相似比是解决本题的关键．模块三：相似三角形性质定理3知识精讲1、相似三角形性质定理3：相似三角形的面积的比等于相似比的平方．例题解析【例19】（1）如果把一个三角形的三边的长扩大为原来的100倍，那么这个三角形的面积扩大为原来的倍；（2）如果一个三角形保持形状不变但面积扩大为原来的100倍，那么这个三角形的边长扩大为原来的倍．【难度】★【答案】（1）10000；（2）10．【解析】略【总结】相似三角形的面积比等于相似比的平方．【例20】两个相似三角形的面积分别为5cm2和16cm2，则它们的对应角的平分线的比为（）（A）25:256（B）5:16（C）5:4（D）以上都不对．【难度】★【答案】C【解析】相似三角形对应角平分线的比等于相似比，对应面积的比等于相似比的平方．【总结】本题考查相似三角形的性质．AB CD EAB CD EAB CD【例21】 如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 和AC 上，DE //BC ，6DE =，9BC =，16ADE S ∆=．求ABC S ∆的值．【难度】★ 【答案】36．【解析】解：//DE BC Q ，ADE ABC ∴∆∆∽，226499ADE ABC S DE S BC ∆∆⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，36ADE S ∆∴=． 【总结】本题考查相似三角形的判定及性质．【例22】如图，在ABC ∆中，D 是AB 上一点，若B ACD ∠=∠，4AD cm =，6AC cm =，28ACD S cm ∆=，求ABC ∆的面积．【难度】★ 【答案】218cm ．【解析】解：B ACD ∠=∠Q ，A A ∠=∠，ACD ABC ∴∆∆∽，222439ACD ABC S AD S AC ∆∆⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又28ACD S cm ∆=Q ，218ABC S cm ∆∴=． 【总结】本题考查相似三角形的判定及性质． 【例23】如图，在ABC ∆中，点D 、E 在AB 、AC 上，DE //BC ，ADE ∆和四边形BCED的面积相等，求AD :BD 的值． 【难度】★★1．【解析】解：//DE BC Q ，ADE ABC ∴∆∆∽，2ADE ABC S AD S AB ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，ADE BCED S S ∆=Q 四边形， 12ADE ABC S S ∆∆∴=，AD AB ∴=1AD DB ∴=． 【总结】本题考查相似三角形的判定及性质．A BCEF【例24】 如图，在正三角形ABC 中，D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AB 上的点，DE AC ⊥，EF AB ⊥，FD BC ⊥，则DEF ∆的面积与ABC ∆的面积之比等于（） （A ）1:3 （B ）2:3 （C2 （D【难度】★★ 【答案】A【解析】解：Q ABC ∆是等边三角形，60A B C ∴∠=∠=∠=o ，又DE AC ⊥Q ，EF AB ⊥，FD BC ⊥， 90AFE FDB DEC ∴∠=∠=∠=o ， 30AEF BFD EDC ∴∠=∠=∠=o ， 60EFD FDE FED ∴∠=∠=∠=o，12BD BD BF DF ==， ∴FDE ∆是等边三角形，AFE BDF ∴∆≅∆， AF BD ∴=， FDE ABC ∴∆∆∽，2DEF ABC S DF S AB ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭， 设AF x =，则BD x =，2BF x =，DF =，DF AB ∴=13DEF ABC S S ∆∆∴=．【总结】本题考查相似三角形的性质及判定，直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识．AB CDF【例25】 如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥，BE AC ⊥，D 、E 分别为垂足．若60C ∠=︒，1CDE S ∆=，求四边形DEAB 的面积．【难度】★★ 【答案】3．【解析】解：AD BC BE AC ⊥⊥Q ，，90CDA BEC ∴∠=∠=o ． 90CDA BEC ∴∠=∠=o ，CBE CAD ∴∆∆∽，CD CACE CB∴=．90CDA BEC ∴∠=∠=o ，CBE CAD ∴∆∆∽，CD CACE CB∴=，DCE ACB ∴∆∆∽，2DCE ACB S CD S CA ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，又60C ∠=oQ ，30CBE CAD ∴∠=∠=o ，12CD CA =，14DCE ACB S S ∆∆∴=，13DCE BDEA S S ∆∴=四边形，1CDE S ∆=Q ，3DEAB S ∴=四边形．【总结】本题考查相似三角形的性质及判定，直角三角形的性质等知识．【例26】 如图，BE 、CD 是ABC ∆的边AC 、AB 上的中线，且相交于点F ，联结DE ．求ADE BFC SS ∆∆的值．【难度】★★ 【答案】43． 【解析】分别过点A 、F 作AH BC ⊥、FG BC ⊥，交BC 分别于点H 、G ，得//FG AH ，FG KFAH AK=． 联结AF 并延长交BC 于点K ．CD Q 、BE 是ABC ∆的中线，//DE BC ∴，12DE BC =， F Q 是重心，13KF AK ∴=，13GF AH ∴=． 11113322444ADES DE AH DE AH DE FG DE FG ∆====Q g g g g ， 11222BFC S BC FG DE FG DE FG ∆===g g g ，34ADE BFC S S ∆∆∴=．【总结】本题考查三角形一边的平行线，重心的意义，三角形中位线及三角形的面积等．A BCDEF OA BCDEFG【例27】 如图，在矩形ABCD 中，AB = 2cm ，BC = 4cm ，对角线AC 与BD 交于点O ，点E 在BC 边上，DE 于AC 交于点F ，EDC ADB ∠=∠．求：（1）BE 的长； （2）CEF ∆的面积．【难度】★★【答案】（1）3cm ；（2）215cm ．【解析】解：（1）Θ矩形ABCD ，2AB DC cm ∴==，且//AD BC ，ADB DBC ∴∠=∠，EDC ADB ∠=∠Q ，EDC DBC ∴∠=∠，CDE CBD ∴∆∆∽，CD CECB CD∴=，242CE∴=，1CE cm ∴=，3BE cm ∴=； （2）//AD BC Q ，∴4AD DFEC EF ==，5DCE CFES DE S EF ∆∆∴==，又11212CDE S ∆=⨯⨯=Q ，215CFE S cm ∆∴=． 【总结】本题考查相似三角形的判定及性质，矩形的性质，同高三角形的面积比等于底边的比等知识．【例28】 如图，Rt ABC ∆中，点D 是BC 延长线上一点，直线EF //BD 交AB 于点E ，交AC 于点G ，交AD 于点F ，若13AEG EBCG S S ∆=四边形，求CF AD 的值．【难度】★★ 【答案】21． 【解析】解：//EF BD Q ，AEG AEC ∴∆∆∽，AE AFAB AD∴=，2AEG ABC S AE S AB ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，13AEGEBCG S S ∆=Q 四边形，14AEG ABC S S ∆∆∴=，12AE AF AB AD ∴==，Rt ABC ∆Q ，90ACD ACB ∴∠=∠=o ，CF ∴是中线，12CF AD ∴=,12CF AD ∴=． 【总结】本题考查相似三角形的性质，直角三角形的性质，三角形一边的平行线等知识．ABCDEOABC DEF 【例29】 如图，在ABC ∆中，BD AC ⊥于点D ，CE AB ⊥于点E ，EC 和BD 相交于点O ，联结DE ．若16EOD S ∆=，36BOC S ∆=，求AEAC 的值．【难度】★★★ 【答案】23． 【解析】解：BD AC CE AB ⊥⊥Q ，， 90BEO CDO ∴∠=∠=o ，A A ∠=∠Q ,AEC ADB ∴∆∆∽，AE ADAC AB∴=， ADE ABC ∴∆∆∽，AE DEAC BC∴=．EOB DOC ∠=∠Q ，EOB DOC ∴∆∆∽，EO BOOD OC∴=，EOD BOC ∠=∠Q ，EOD BOC ∴∆∆∽，2164369EOD BOC S ED S CB ∆∆⎛⎫∴=== ⎪⎝⎭，23ED BC ∴=，23AE AC ∴=． 【总结】本题考查相似三角形的性质及判定知识． 【例30】 如图，90ACB ∠=︒，DF AB ⊥于点F ，45EF BE =，14DCE BFE S S ∆∆=，且CE = 5，求：（1）BC 的长；（2）CEF S ∆．【难度】★★★【答案】（1）352；（2）15．【解析】解：（1）FD AB ⊥Q ，90EFB ∴∠=o ， 90ACB ∠=o Q ，90BCD ∴∠=o ，EFB BCD ∴∠=∠，FEB CED ∠=∠Q ，BFE DCE ∴∆∆∽，2BFE DCE S EF S CE ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，又14DCE BFE S S ∆∆=Q ，2FE CE ∴=，45FE BE =Q ，25CE BE ∴=．5CE =Q ，252BE ∴=，352BC ∴=； （2）45FE BE =Q，10EF ∴=，152BF =，17522BEF S BF EF ∆∴==g ， 又52BFE FEC S EB S CE ∆∆==Q ，15FEC S ∆∴=．【总结】本题考查相似三角形的性质及判定，直角三角形的性质等知识．【习题1】 已知ABC ∆∽'''A B C ∆，AD 、''A D 分别是ABC ∆和'''A B C ∆的角平分线，且3''2AD A D =，9AB =，则''A B =． 【难度】★ 【答案】6．【解析】解：'''ABC A B C ∆∆Q ∽，AD 、''A D 分别是对应角平分线，''''32AB AD A B A D ∴==，9AB =Q ，''6A B ∴=．【总结】本题考查相似三角形对应角平分线的比等于相似比．【习题2】 若一个三角形三边之比为3:5:7，与它相似的三角形的最长边的长为21厘米，则其余两边长的和为．【难度】★ 【答案】24．【解析】解：设三角形的三边长为3a ，5a ，7a ，由题知，721a =，3a ∴=， 35824a a a ∴+==．【总结】本题考查相似三角形的性质．【习题3】 两个相似三角形的周长分别为5cm 和16cm ，则它们的对应角的平分线的比为（）（A ）25:256（B ）5:16（C ）5:4（D ）以上都不对【难度】★ 【答案】B 【解析】略【总结】本题考查相似三角形对应周长的比、对应角平分线的比都等于相似比．随堂检测【习题4】 已知：D 、E 、F 分别是ABC ∆的边BC 、CA 、AB 的中点．求证：=4ABC DEF S S ∆∆． 【难度】★★ 【答案】略．【解析】解：D Q 、E 、F 分别是ABC ∆的边BC 、CA 、AB 的中点，12DF EF DE AC BC AB ∴===，DEF ABC ∴∆∆∽，214DEF ABC S DF S AC ∆∆⎛⎫∴== ⎪⎝⎭，4ABC DEF S S ∆∆∴=．【总结】本题考查三角形中位线，相似三角形的性质及判定知识．【习题5】 如图，DE 是ABC ∆的中位线，N 是DE 的中点，CN 的延长线交AB 于点M ，若ABC S ∆= 24，求AMNE S 四边形．【难度】★★ 【答案】略．【解析】解：联结AN ．DE Q 是ABC ∆的中位线， //DE BC ∴，12DE BC =，ADE ABC ∴∆∆∽， 164ADE ABC S S ∆∆∴== ，N Q 是DE 的中点， 132ADN ADE S S ∆∆∴==，//DE BC Q ，14DN BC =，14DM BM ∴=，1133DM BD AD ∴==，113DMN ADN S S ∆∆∴==错误!未找到引用源。
九年级数学相似三角形知识点总结及例题讲解
1. 平行线分线段成比例定理
例.
已知 l 1∥ l 2∥ l 3,
A Dl
B El
: 三条平行线截两条直线
1 2
, 所得的 对应线段成比 .
C
Fl
可得 AB
DE AB 或
DE 等.
BC EF AC DF
2. 推论 : 平行于三角形一边的直线截其它两边
3
( 或两边的延长线 ) 所得的对应线段成比例 .
注意 ：(1) 此性质的证明运用了“设 k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．
(2) 应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．
(3)
可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．
知识点三：黄金分割
1） 定义 ：在线段 AB 上，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC（AC＞BC ），如果 AC AB
ad bc
（两外项的积等于两内项积）
2. 反比性质：
ac bd
bd a c ( 把比的前项、后项交换 )
3. 更比性质 ( 交换比例的内项或外项 ) ：
ac bd
a b ，(交换内项 ) cd d c ，(交换外项 ) ba d b ．(同时交换内外项 ) ca
4. 合比性质
a
：
c
bd
ab b
cd （分子加（减）分母 , 分母不变）
例 4、矩形 ABCD 中， BC=3AB ， E、F，是 BC 边的三等分点，连结 AE 、 AF 、AC ，问图中是否存在非全 等的相似三角形？请证明你的结论。
二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式
例 5、△ ABC 中，在 AC 上截取 AD ，在 CB 延长线上截取 BE ，使 AD=BE ，求证： DF AC=BC FE
九年级数学上册《相似三角形的性质及其应用》教案、教学设计
6.课后布置综合性、实践性作业，让学生将所学知识应用于实际情境，提高学生的几何建模和解决问题的能力。
-例如，让学生设计一幅利用相似三角形原理的图案，或解决生活中的实际问题。
7.开展课后辅导和个性化教学，关注学生的个体差异，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
（2）学生通过观察、分析，总结相似三角形的性质，如对应角相等、对应边成比例等。
（3）教师引导学生运用相似三角形的性质解决实际问题，如求线段长度、角度大小等。
（4）教师讲解相似三角形判定方法，如AA、SAS、SSS等，并结合实例进行分析。
（三）学生小组讨论
1.教学内容：相似三角形性质的应用问题。
2.教学活动设计：
-对于学习困难的学生，教师可以提供针对性的辅导，帮助他们克服难点，提高学习效果。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动设计：通过展示实际生活中含有相似三角形元素的图片，如建筑物的立面图、艺术作品等，引发学生对相似三角形的关注。
教师引导学生观察这些图片，并提出问题：“这些图片中有什么共同特征？它们在几何学中有什么特别之处？”
（1）学生分享本节课的收获，教师点评并补充。
（2）教师强调相似三角形在实际生活中的重要性，激发学生学习兴趣。
（3）教师布置课后作业，巩固所学知识。
（4）教师鼓励学生继续探索相似三角形的相关知识，为后续学习打下基础。
五、作业布置
为了巩固学生对相似三角形性质的理解和应用，以及培养学生的几何思维和问题解决能力，特布置以下作业：
（二）教学难点
1.相似三角形性质的推导和应用，尤其是相似三角形面积比等于相似比的平方这一结论的理解。
初中数学几何练习(18)相似三角形的性质
初中数学几何练习十八：相似三角形的性质相似三角形的性质1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例2、相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比3、相似三角形的周长比等于相似比4、相似三角形的面积比等于相似比的平方一、选择题１、若ABC ∆∽'''C B A ∆，则相似比k 等于（ ）A 、''B A ：AB B 、A ∠：'A ∠C 、ABC S ∆：'''C B A S ∆D 、ABC C ∆：'''C B A C ∆ ２、如果两个等腰直角三角形斜边比是1：2，那么它们的面积比是（ ）A 、1：1B 、1：2C 、1：2D 、1：4３、如图，在ABC ∆中，D 为AC 边上一点，A DBC ∠=∠，BC=6，AC=3，则CD 的长为（ ）A 、1B 、23 C 、2 D 、25 ４、如图，O 是ABC ∆内任意一点，CO CF BO BE AO AD 31,31,31===，则ABC ∆与DEF ∆的周长比是（ ）A 、1：3B 、3：2C 、3：1D 、2：3５、如图，DE//FG//BC ，且DE 、FG 把ABC ∆的面积三等分，若BC=12，则FG 的长是（ ）A 、8B 、6C 、64D 、34６、如图，正方形ABCD 的边BC 在等腰直角三角形PQR 的底边QR 上，其余两个顶点A 、D 在PQ 、PR 上，则PA ：AQ 等于（ ）A 、1：2B 、1：2C 、1：3D 、2：3７、如图，矩形ABCD ，AB=8厘米，AD=6厘米，EF 是对角线BD 的垂直平分线，则EF 的长为（ ）A 、415 厘米B 、315厘米C 、215厘米D 、8厘米 ８、如图，ABC ∆中，DE//BC ，面积DBCE ABC S S 梯形=∆，则DE ：BC 为（ ）A 、21B 、22 C 、41 D 、32 二、填空题９、两个相似三角形的面积之比为4：9，则这两个三角形的周长之比为________10、两个相似三角形的相似比为1:3,则它们对应高比为______11、已知ABC ∆∽'''C B A ∆,且BC ： ''C B =3:2, ABC ∆的周长为24,则'''C B A ∆的周长为_________12、一个三角形周长为a,三边中点连线所组成的三角形的周长是__________13、已知ABC ∆的三边之比为3:4:6,且ABC ∆∽'''C B A ∆,若'''C B A ∆中最长边为10厘米,则它的最短边为_________厘米14、如果两个相似三角形的对应边的比是4:5,周长的和为18厘米,那么这两个三角形的周长分别是_______________15、ABC ∆中,BC=54厘米,CA=45厘米,AB=63厘米,另一个与它相似的三角形的最短边为15,则周长为____________16、已知,如图,D 是ABC ∆的边AB 上的一点,过D 作DE//BC 交AC 于E,AD:BD=3:2,则_______________:=∆BCED AD E S S 四边形三、简答题17、已知正方形ABCD,过C 的直线分别交AD 、AB 的延长线于E 、F ，且AE=15，AF=10 求（1）正方形ABCD 的边长；（2）若BE 交CD 于G ，则CG 的长为多少？18、已知矩形ABCD 中，AB=4，BC=12，点F 在AD 边上，AF ：FD=1：3，BF CE ⊥于点E ，交AD 于点G ，求BCE ∆的周长19、如图，在ABC ∆中，,900=∠C D 是AC 上一点，AB DE ⊥于E ，若AB=10，BC=6，DE=2，求四边形DEBC 的面积。
九年级数学上册18相似形相似三角形的性质应用课后作业新版北京课改版
相似三角形的性质、应用课后作业1、如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥A C，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：252、如图，△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段AC的长为（）A．4 B．42 C．6 D．433、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E是AB上一点，且DE⊥CE．若AD=1，BC=2，CD=3，则CE与DE的数量关系正确的是（）A．CE=3DE B．CE=2DE C．CE=3D E D．CE=2DE4、如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，则△ADE的面积与四边形BCED的面积的比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：15、如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠B=30°，CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于点D，连接AE，则S△ADE：S△CDB的值等于（）A．1：2 B．1：3 C．1：2 D．2：36、如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC=FG；②S△FAB：S四边形CBFG=1：2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ•AC，其中正确的结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47、如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，若S△DEC=3，则S△BCF= ．8、如图，正方形ABCD边长为3，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，FA⊥AE，交CB延长线于点F，则EF的长为．9、如图，DE⊥AB于E，AF⊥BC于F，若BD=6，AB=8，则DE：AF=10、如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F．（1）求证：△ACD∽△BFD；（2）当tan∠ABD=1，AC=3时，求BF的长．11、如图，△ABC中，AB=AC，E在BA的延长线上，AD平分∠CAE．（1）求证：AD∥BC；（2）过点C作CG⊥AD于点F，交AE于点G，若AF=4，求BC的长．12、如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．（1）求证：△AEH∽△ABC；（2）求这个正方形的边长与面积．参考答案1、解析：根据相似三角形的判定定理得到△DOE ∽△COA ，根据相似三角形的性质定理得到 DE:AC=1:5， BE:BC=DE:AC=1:5，结合图形得到 BE:EC=1:4，得到答案．解：∵DE ∥AC ，∴△DOE ∽△COA ，又S △DOE ：S △COA =1：25， ∴DE:AC=1:5， ∵DE ∥AC ，∴BE:BC=DE:AC=1:5， ∴BE:EC=1:4∴S △BDE 与S △CDE 的比是1：4， 故选：B2、解析：根据AD 是中线，得出CD=4，再根据AA 证出△CBA ∽△CAD ，得出 AC:BC=CD:AC ，求出AC 即可．解：∵BC=8， ∴CD=4，在△CBA 和△CAD 中， ∵∠B=∠DAC ，∠C=∠C ， ∴△CBA ∽△CAD ， ∴AC:BC=CD:AC ， ∴AC 2=CD•BC=4×8=32， ∴AC=42； 故选B ．3、解析：过点D 作DH ⊥BC ，利用勾股定理可得AB 的长，利用相似三角形的判定定理可得△ADE ∽△BEC ，设BE=x ，由相似三角形的性质可解得x ，易得CE ，DE 的关系．解：过点D 作DH ⊥BC ， ∵AD=1，BC=2， ∴CH=1，DH=AB=222213-=-CH CD =22，∵AD ∥BC ，∠ABC=90°， ∴∠A=90°， ∵DE ⊥CE ，∴∠AED+∠BEC=90°， ∵∠AED+∠ADE=90°， ∴∠ADE=∠BEC ， ∴△ADE ∽△BEC ， ∴AD:BE=AE:BC=DE:CE ， 设BE=x ，则AE=22−x ， 即1:x=(22-x):2， 解得x=2，∴AD:BE=DE:CE=1: 2， ∴CE=2DE ， 故选B4、解析：证明DE 是△ABC 的中位线，由三角形中位线定理得出DE ∥BC ，DE=21BC ，证出△ADE ∽△ABC ，由相似三角形的性质得出△ADE 的面积：△ABC 的面积=1：4，即可得出结果．解：∵D 、E 分别为△ABC 的边AB 、AC 上的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线， ∴DE ∥BC ，DE=21BC ， ∴△ADE ∽△ABC ，∴△ADE 的面积：△ABC 的面积=（21）2=1：4， ∴△ADE 的面积：四边形BCED 的面积=1：3； 故选：B5、解析：由AB 是⊙O 的直径，得到∠ACB=90°，根据已知条件得到 AC:BC=3:3，根据三角形的角平分线定理得到AC:BC=AD:BD=3:3，求出AD=333+ AB ，BD=333+ AB ，过C 作CF ⊥AB 于F ，连接OE ，由CE 平分∠ACB 交⊙O 于E ，得到OE ⊥AB ，求出OE=21AB ，CF=43 AB ，根据三角形的面积公式即可得到结论．解：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠B=30°， ∴AC:BC=3:3，∵CE 平分∠ACB 交⊙O 于E ， ∴AC:BC=AD:BD=3:3，∴AD=333+AB ，BD=333+AB ，过C 作CF ⊥AB 于F ，连接OE ， ∵CE 平分∠ACB 交⊙O 于E ， ∴弧AE=弧BE ， ∴OE ⊥AB ，∴OE=21AB ，CF=43AB ，∴S △ADE ：S △CDB =（21AD•OE）：（21BD•CF）=（21×333+AB •21AB ）：（21×333+AB •43AB ）=2：3．故选D6、解析：由正方形的性质得出∠FAD=90°，AD=AF=EF ，证出∠CAD=∠AFG ，由AAS 证明△FGA ≌△ACD ，得出AC=FG ，①正确；证明四边形CBFG 是矩形，得出S △FAB =21FB•FG=21S 四边形CBFG ，②正确； 由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出∠ABC=∠ABF=45°，③正确； 证出△ACD ∽△FEQ ，得出对应边成比例，得出D•FE=AD 2=FQ•AC，④正确． 解：∵四边形ADEF 为正方形， ∴∠FAD=90°，AD=AF=EF ， ∴∠CAD+∠FAG=90°， ∵FG ⊥CA ， ∴∠C=90°=∠ACB ， ∴∠CAD=∠AFG ，在△FGA 和△ACD 中，∠G ＝∠C ，∠AFG ＝∠CAD ，AF ＝AD ， ∴△FGA ≌△ACD （AAS ）， ∴AC=FG ，①正确； ∵BC=AC ， ∴FG=BC ，∵∠ACB=90°，FG ⊥CA ， ∴FG ∥BC ，∴四边形CBFG 是矩形， ∴∠CBF=90°，S △FAB =21FB•FG=21S 四边形CBFG ，②正确； ∵CA=CB ，∠C=∠CBF=90°， ∴∠ABC=∠ABF=45°，③正确； ∵∠FQE=∠DQB=∠ADC ，∠E=∠C=90°，∴△ACD ∽△FEQ ， ∴AC ：A D=FE ：FQ ，∴AD•FE=AD 2=FQ•AC ，④正确； 故选：D ．7、解析：根据平行四边形的性质得到AD ∥BC 和△DEF ∽△BCF ，由已知条件求出△DEF 的面积，根据相似三角形的面积比是相似比的平方得到答案．解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD=BC ， ∴△DEF ∽△BCF ， ∴EF:CF=DE:BC ， S △DEF :S △BCF =(DE:BC ）2， ∵E 是边AD 的中点，∴DE=21AD=21BC ， ∴EF:CF=DE:BC=21，∴△DEF 的面积=31S △DEC =1，∴S △DEF :S △BCF =1:4， ∴S △BCF =4； 故答案为：4．8、解析：利用正方形的性质和勾股定理可得AC 的长，由角平分线的性质和平行线的性质可得∠CAE=∠E ，易得CE=CA ，由FA ⊥AE ，可得∠FAC=∠F ，易得CF=AC ，可得EF 的长．解：∵四边形ABCD 为正方形，且边长为3， ∴AC=32， ∵AE 平分∠CAD ， ∴∠CAE=∠DAE ， ∵AD ∥CE ， ∴∠DAE=∠E ， ∴∠CAE=∠E ，∴CE=CA=32，∵FA⊥AE，∴∠FAC+∠CAE=90°，∠F+∠E=90°，∴∠FAC=∠F，∴CF=AC=32，∴EF=CF+CE=32+32=62，故答案为：629、解析：要求DE：AF的值，又已知BD=6，AB=8且DE、AF、BD、AB分别是两个直角三角形△BED 和△BFA中的边，所以只要证明△BED∽△BFA即可，根据相似三角形的性质；DE:AF=BD:AB = 6:8=3:4 解：∵DE⊥AB，AF⊥BC∴∠BED=∠BFA又∵∠B=∠B∴△BED∽△BFA∴DE:AF=BD:AB = 6:8=3:4．即：DE：AF=3：410、解析：（1）由∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，推出∠DBF=∠DAC，由此即可证明．（2）先证明AD=BD，由△ACD∽△BFD，得AC:BF=AD:BD=1，即可解决问题．（1）证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°，∴∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，∴∠DBF=∠DAC，∴△ACD∽△BFD．（2）∵tan∠ABD=1，∠ADB=90°∴AD:BD=1∴AD=BD，∵△ACD∽△BFD，∴AC:BF=AD:B D=1，∴BF=AC=3．11、解析：（1）由AB=AC ，AD 平分∠CAE ，易证得∠B=∠DAG=21∠CAG ，继而证得结论； （2）由CG ⊥AD ，AD 平分∠CAE ，易得CF=GF ，然后由AD ∥BC ，证得△AGF ∽△BGC ，再由相似三角形的对应边成比例，求得答案．（1）证明：∵AD 平分∠CAE ， ∴∠DAG=21∠CAG ， ∵AB=AC ， ∴∠B=∠ACB ， ∵∠CAG=∠B+∠ACB ， ∴∠B=21∠CAG ， ∴∠B=∠DAG ， ∴AD ∥BC ；（2）解：∵CG ⊥AD ， ∴∠AFC=∠AFG=90°，在△AFC 和△AFG 中，∠CAF ＝∠GAF, AF ＝AF, ∠AFC ＝∠AFG ∴△AFC ≌△AFG （ASA ）， ∴CF=GF ， ∵AD ∥BC ， ∴△AGF ∽△BGC ， ∴GF ：GC=AF ：BC=1：2， ∴BC=2AF=2×4=812、解析：（1）根据EH ∥BC 即可证明．（2）如图设AD 与EH 交于点M ，首先证明四边形EFDM 是矩形，设正方形边长为x ，再利用△AEH ∽△ABC ，得 EH:BC=AM:AD ，列出方程即可解决问题．（1）证明：∵四边形EFGH 是正方形， ∴EH ∥BC ，百度文库- 让每个人平等地提升自我11 ∴∠AEH=∠B，∠AHE=∠C，∴△AEH∽△ABC．（2）解：如图设AD与EH交于点M．∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°，∴四边形EFDM是矩形，∴EF=DM，设正方形EFGH的边长为x，∵△AEH∽△ABC，∴EH:BC=AM:AD∴x:40=(30-x):30，∴x=7120，∴正方形EFGH的边长为7120cm，面积为4914400cm2．。
九年级数学上册 18《相似形》相似三角形的判定(一)课
相似三角形的判定（一）课后作业1、如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有（）A．0个B．1个C．2个D．3个2、如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的P点共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3、如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果DE∥BC，且∠DCE=∠B，那么下列说法中，错误的是（）A．△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACD C．△ADE∽△DCB D．△DEC∽△CDB4、如图所示，图中共有相似三角形（）A．5对B．4对C．3对D．2对5、已知图（1）、（2）中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图（2）中AB、CD交于O点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（）A．只有（1）相似B．只有（2）相似C．都相似D．都不相似6、如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（）A．∠AED=∠B B．∠A DE=∠C C．AD:AE=AC:AB D.AD:AB=AE:AC7、如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（0，1）和( 3，0)，若在第四象限存在点C，使△OBC和△OAB相似，则点C的坐标是8、如图，在平面直角坐标系中有两点A（4，0），B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合）当点C的坐标为时，使得△BOC∽△AOB．9、如图，在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，直线l经过C，且l∥AB，P为l上一个动点，若△ABC 与△PAC相似，则PC=10、如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，点P在BD上由点B向点D方向移动，当点P移到离点B多远时，△APB和△CPD相似？11、已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点．求证：△ADQ∽△QCP．12、已知：如图，△ABC中，AD=DB，∠1=∠2．求证：△ABC∽△EAD．参考答案1、解析：直接利用平行四边形的性质得出AD ∥BC ，AB ∥DC ，再结合相似三角形的判定方法得出答案．解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴A D ∥BC ，AB ∥DC ，∴△AEF ∽△CBF ，△AEF ∽△DEC ， ∴与△AEF 相似的三角形有2个．故选：C ．设AP=x ，则有PB=AB-AP=7-x ，分两种情况考虑：三角形PDA 与三角形CPB 相似；2、解析：三角形PDA 与三角形PCB 相似，分别求出x 的值，即可确定出P 的个数．解：设AP=x ，则有PB=AB-AP=7-x ，当△PDA ∽△CPB 时，DA:AF=PB:BC ，即2:x=(7-x)3， 解得：x=1或x=6，当△PDA ∽△PCB 时，AD:BC=AP:PB ，即2:3=x:(7-x)， 解得：x=514， 则这样的点P 共有3个， 故选C ．3、解析：由相似三角形的判定方法得出A 、B 、D 正确，C 不正确；即可得出结论． 解：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∠BCD=∠CDE ，∠ADE=∠B ，∠AED=∠ACB ， ∵∠DCE=∠B ， ∴∠ADE=∠DCE ， 又∵∠A=∠A ， ∴△ADE ∽△ACD ；∵∠BCD=∠CDE ，∠DCE=∠B ， ∴△DEC ∽△CDB ； ∵∠B=∠ADE ，但是∠BCD ＜∠AED ，且∠BCD≠∠A ， ∴△ADE 与△DCB 不相似；正确的判断是A、B、D，错误的判断是C；故选：C．4、解析：可以运用相似三角形的判定方法进行验证．解：共四对，分别是△ABE∽△ADC、△DEF∽△BCF、△BDF∽△CEF、△ABD∽△AEC．故选B5、解析：对于图（1），先利用三角形内角和计算出第三个角，然后根据两个三角形中有两组角对应相等的三角形相似；对于（2）图，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行判断．解：对于图（1）：180°-75°-35°=70°，则两个三角形中有两组角对应相等，所以（1）图中的两个三角形相似；对于（2）图：由于4:3=8:6，∠AOC=∠DOB，所以△AOC∽△DOB．故选C．6、解析：由于两三角形有公共角，则根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对A、B选项进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对C、D选项进行判断．解：∵∠DAE=∠CAB，∴当∠AED=∠B或∠ADE=∠C时，△ABC∽△AED；当AD:AC=AE:AB时，△ABC∽△AED．故选D．7、解析：先根据题意得出OA，OB的长，再分△BOC∽△OBA，△BCO∽△OAB，△CBO∽△OBA，△CBO∽△OAB四种情况进行分类讨论，由直角三角形的性质即可得出结果．解：∵A（0，1）、B（3，0），∴OA=1，OB=3，∴AB=22OB OA =2，∠ABO=30°． 当∠OBC=90°时，如图1，①若△BOC ∽△OBA ，则∠C=∠ABO=30°，BC=OA=1，OB=3， ∴C （3，-1）；②若△BCO ∽△OAB ，则∠BOC=∠BAO=30°，BC=3OB=3，OB=3， ∴C （3，-3）当∠OCB=90°时，如图2，过点C 作CP ⊥OB 于点P ，①当△CBO ∽△OBA 时， ∠OBC=∠ABO=30°，∴OC=21OB=23，同理：OP=21OC=43，∴PC=3OP=43， ∴C （43，-43）； ②当△CBO ∽△OAB 时， ∠BIC=∠ABO=30°，∴BC=21OB=23，同理：BP=21BC=43，∴PC=3BP=43，OP=OB-BP=433，∴C （433，-43）； 8、解析：根据△BOC ∽△AOB ，得出BC:AC=OC:OB ，再根据A 、B 点的坐标，即可得出答案． 解：∵△BOC ∽△AOB ， ∴BC:AC=OC:OB ， ∴2:4=OC:2， ∴OC=1， ∵点C 在x 轴上，∴点C 的坐标为（1，0）或（-1，0） 故答案为：（1，0）或（-1，0）．9、解析：先利用勾股定理求出AB 的长，若△ABC 与△PAC 相似，则PC 可以和AB 对应也可以AC 对应，所以要分两种情况分别讨论，求出PC 的值即可．解：∵在Rt △ABC 中，AC=8，BC=6， ∴AB=2268 =10， 当△ABC ≌△PCA 时，则 AB ：PC=AC ：AC ， 即10：PC=8：8， 解得：PC=10， 当△ABC ∽ACP △时，则 AB ：AC=AC ：PC ， 即10：8=8：PC ， 解得：PC=6.4．综上可知若△ABC 与△PAC 相似，则PC=6.4或10． 故答案为：6.4或10．10、解析：由题意得出∠B=∠D=90°，根据相似三角形的判定得出当 AB:DP=BP:CD 或 AB:CD=BP:DP 时，△PAB 与△PCD 是相似三角形，代入求出即可．解：∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ， ∴∠B=∠D=90°，∴当AB:DP=BP:CD 或AB:CD=BP:DP 时，△PAB 与△PCD 是相似三角形， ∵AB=3，CD=8，BD=10，∴3:(10-BP)=BP:8或3:8=BP:(10-BP)， 解得：BP=6或4或1130， 即PB=6或4或1130时，△PAB 与△PCD 是相似三角形 11、解析：利用两边及其夹角法即可作出证明．证明：∵四边形ABCD 是正方形，BP=3PC ，Q 是CD 的中点， ∴QC=QD=21AD ，CP=41AD ， ∴AD:QC=DQ:CP ， 又∵∠ADQ=∠QCP ， ∴△ADQ ∽△QC12、解析：根据相似三角形的判定，解题时要认真审题，选择适宜的判定方法． 证明：∵AD=DB ， ∴∠B=∠BAD ．∵∠BDA=∠1+∠C=∠2+∠ADE ， 又∵∠1=∠2， ∴∠C=∠ADE ． ∴△ABC ∽△EAD ．。
九年级数学上册 18《相似形》平行相似的应用课后作业
平行相似的应用课后作业1、如图，D为△ABC的BC边的中点，E为AC边上的一点，AC=3CE，BE和AD交于G 点，则AG：GD=（）A. 2B. 3C. 3或4D. 42、如图，在△ABC中，M是AC的中点，P，Q是BC的三等分点．AP、AQ分别交BM于D、E两点，则BD：DE：EM=（）A. 3：2；1B. 4：2：lC. 5：2：1D. 5：3：23、如图，D，E为△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC，若AD：DB=1：3，AE=2，则AC的长是（）A．10 B．8 C．6 D．44、如图，△ABC中，D、F在AB边上，E、G在AC边上，DE∥FG∥BC，且AD：DF：FB=3：2：1，若AG=15，则CE的长为（）A．9 B．15 C．12 D．65、如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C ，直线DF 分别交l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F ，已知AB=2，AC=5，DF=6，则DE 的长是（ ）A ．3B ．512 C ．518 D ．256、如图，△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 中点，在BA 的延长线上取一点E ，使得ED=EC ，ED 与AC 交于点F ，则AF:CF 的值为（ ）A ．21 B ．31 C ．52 D ．527．如图，在△ABC 中，点D 为AC 上一点，且CD:AD ＝1:2，过点D 作DE ∥BC 交AB 于点E ，连接CE ，过点D 作DF ∥CE 交AB 于点F ．若AB=15，则EF=8、如图，在△ABC 中，D 为边BC 上一点，已知DC:BC=3:7，E 为AD 的中点，延长BE 交AC 于F ，则 AF:FC 的值是9、如图，在△ABC 中，AM ：MD=4，BD ：DC=2：3，则AE ：EC10．如图，△ABC的顶点A是线段PQ的中点，PQ∥BC，连接PC、QB，分别交AB、AC于M、N，连接MN，若MN=1，BC=3，求线段PQ的长．11、对于平行线，我们有这样的结论：如图1，AB∥CD，AD，BC交于点O，则AO:DO=BC:CO．请利用该结论解答下面的问题：如图2，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC，求AC的长．12、如图所示，已知D为△ABC的边AC上的一点，E为CB的延长线上的一点，且EF:FD=AC:BC．求证：AD=EB．平行相似的应用课后作业参考答案1. 解析：首先过点D作DF∥AC，交BE于F，由D为△ABC的BC边的中点，根据平行线分线段成比例定理，即可得DF:CE=BD:BC=1:2，又由AC=3CE，即可得A G:GD=AE:DF=4 解：过点D作DF∥AC，交BE于F，∵D为△ABC的BC边的中点，∴BD=CD，∴DF:CE=BD:BC=1:2，∵AC=3CE，∴AE=2CE，∴DF:AE=1:4，∴AG:GD=AE:DF=4故选D2．解析：过A作AF∥BC交BM延长线于F，设BC=3a，则BP=PQ=QC=a；根据平行线间的线段对应成比例的性质分别求出BD、BE、BM的长度，再来求BD，DE，EM三条线段的长度；最后再求它们的长度比解：过A作AF∥BC交BM延长线于F，设BC=3a则BP=PQ=QC=a；∵AM=CM，AF∥BC，∴AF：BC=AM：CM=1，∴AF=BC=3a，∴BD ：DF=BP ：AF=1：3， ∴BD=BF:4， 同理可得：BE=2BF:5，BM=BF:2；∴DE=BE-BD=3BF:20，EM=BM-BE=BF:10， ∴BD ：DE ：EM=101:203:41=5：3：2． 故选D ．3.解析：根据平行线分线段成比例定理可得AE:AC=AD:AB ，然后求解即可． 解：∵DE ∥BC ，∴AE:AC=AD:AB=1:4． ∵AE=2，∴AC=8 故选B4. 解析：根据平行线分线段成比例定理得到AF:DB=AG:EC ，再利用比例性质由AD ：DF ：FB=3：2：1得AF:DB=5:3，则15:EC=5:3，然后把AG=15代入计算即可．解：∵DE ∥FG ∥BC ， ∴AF:DB=AG:EC而AD ：DF ：FB=3：2：1， ∴AF:DB=5:3， ∴15:EC=5:3， ∴EC=9． 故选A ．5. 解析：根据平行线分线段成比例定理得到比例式，求出DE 的长． 解：∵l 1∥l 2∥l 3， ∴AB:AC=DE:DF ，即2:5=DE:6， 解得，DE=512， 故选：B ．6. 解析：过点D 作DG ∥AC ，交EB 于点G ，连接AD ，则G 为AB 的中点，∠EAC=∠DGE ，得出DG 是△ABC 的中位线，由三角形中位线定理得出AC=2DG ，由等腰三角形和三角形的外角性质证出∠ACE=∠EDG ，由AAS 证明△ACE ≌△GED ，得出AE=DG ，由等腰三角形得性质和直角三角形斜边上的中线性质得出DG=21AB=AG=BG ，得出AE=AG ，由平行线分线段成比例定理得出DG =2AF ，因此AC=4AF ，即可得出结果．解：过点D 作DG ∥AC ，交EB 于点G ，连接AD ，如图所示：∵D 为BC 中点，DG ∥AC ， ∴G 为AB 的中点，∠EAC=∠DGE ， ∴DG 是△ABC 的中位线， ∴AC=2DG ， ∵AB=AC ，ED=EC ，∴∠B=∠ACB ，∠EDC=∠ECD ，∵∠EDC=∠B+∠DEG ，∠ECD=∠ACB+∠ACE ， ∴∠ACE=∠EDG ，在△ACE 和△GED 中，∠EAC ＝∠DGE, ∠ACE ＝∠EDG, EC ＝ED∴△ACE ≌△GED （AAS ）， ∴AE=DG ，∵AB=AC ，D 为BC 中点， ∴AD ⊥BC ， ∴∠ADB=90°， ∴DG=21AB=AG=BG ， ∴AE=AG ， ∵DG ∥AC ，∴AF ：DG=AE ：GE=1：2， 即DG=2AF ， ∴AC=4AF ， ∴AF:CF=31； 故选：B7、解析：由DE 与BC 平行，由平行得比例求出AE 的长，再由DF 与CE 平行，由平行得比例求出EF 的长即可．解：∵DE ∥BC ， ∴AD:AC=AE:AB ， ∵CD:AD=1:2，∴AD:AC=2:3，即AE:AB=2:3， ∵AB=15， ∴AE=10， ∵DF ∥CE ，∴AF:AE=AD:AC ，即AF:10=2:3，解得：AF=320， 则EF=AE-AF=10-320=310， 故答案为：3108．解析：作EH ∥AC 交BC 于H ，根据三角形的中位线定理得到EH=21AC ，DH=HC ，再根据平行线分线段成比例定理和比例的性质即可得出结果．证明：作EH ∥AC 交BC 于H ，如图所示：∵E 为AD 的中点， ∴DH=HC ，EH=21AC ， ∵EH ∥AC ，DC:BC=3:7， ∴EH:FC=BH:BC=11:14， ∴AF:FC=8:14=4:79. 解析：如图，过点D 作DF ∥BE 交AC 于点F ．由平行线分线段成比例和比例的性质求得EF ：FC=BD ：DC=2：3．AM ：MD=AE ：EF=4：1，由此求得AE ：EC=8：5．解：如图，过点D 作DF ∥BE 交AC 于点F ． ∴EF ：FC=BD ：DC ，AM ：MD=AE ：EF ． ∵BD ：DC=2：3， ∴EF ：FC=BD ：DC=2：3． 设EF=2a ，则CF=3a ． ∵AM ：MD=AE ：EF ， ∵AM ：MD=4：1 ∴AE ：EF=4：1 ∴AE=8a∴AE ：EC=8a ：5a=8：5． 故答案是：8：5．10. 解析：根据PQ ∥BC 可得 AM:AB=MN:BC ，进而得出AP:BC=AM:BM ，再解答即可． 解：∵PQ ∥BC ，∴PA:BC ＝AM:MB ，AQ:BC=AN:NC ， ∴MN ∥BC ，∴AN:AC=AM:AB=MN:BC=1:3， ∴A M:BM=1:2，∴AF:BC=AM:BM=1:2，AP ＝21BC ＝23， ∵AP=AQ ， ∴PQ=311. 解析：过点C 作CE ∥AB 交AD 的延长线于E ，根据平行线分线段成比例定理得到BD:DC=AD:DE ，由已知代入求出DE 的长，证明△ACE 为等腰三角形即可．解：过点C作CE∥AB交AD的延长线于E，则BD:DC=AD:DE，又BD=2DC，AD=2，∴DE=1，∵CE∥AB，∴∠E=∠BAD=75°，又∠CAD=30°，∠ACE=75°，∴AC=AE=3．12.解析：如图，作辅助线；运用平行线分线段成比例定理式，结合已知条件得到EB:BG=AD:BG，即可解决问题．证明：如图，过点D作DG∥AB于点G；则EF:FD=EB:BG、AC:BC=AD:BG，∵EF:FD=AC:BC，∴EB:BG=AD:BG，∴AD=EB．。
九年级数学上册 18《相似形》平行相似课后作业 (新版)
平行相似课后作业1、如图，已知在△ABC 中，点D 、E 、F 分别是边AB 、AC 、BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD ：DB=3：5，那么CF ：CB 等于（ ）A. 5：8B. 3：8C. 3：5D. 2：52、如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 与直线a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E 、B 、D 、F ，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=（ ）A. 7B. 7.5C. 8D. 8.53、如图，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为AD 上一点，EF 交AC 于G ，AF=2cm ，DF=4cm ，AG=3cm ，则AC 的长为（ ）A. 9cmB. 14cmC. 15cmD. 18cm4、AD 是△ABC 的高，E 为AB 的中点，EF ⊥BC ，如果DC=31BD ，那么FC ：BF 等于（ ）A.35B. 34C. 23D. 325、如图，AB ∥DE ，BC ∥EF ，则①OA:OD=OB:OE ；②OC:OF=OB:OE ；③AC ∥DF ，上述结论正确的是（ ）A. ①B. ②C. ①②D. ①②③6、如图，在△AB C 中，AD=DE=EF=FB ，AG=GH=HI=IC ，已知BC=2，则DG+EH+FI 的长是（ ）A.25 B.3 C.23D.4 7、如图，AB ∥GH ∥CD ，点H 在BC 上，AC 与BD 交于点G ，AB=2，CD=3，则GH 的长为8、如图，已知点D 为△ABC 中AC 边的中点，AE ∥BC ，ED 交AB 于点G ，交BC 的延长线于点F ，若BG:GA=3，BC=8，则AE 的长为9、如图，点A1，A2，A3，…，点B1，B2，B3，…，分别在射线OM，ON上．OA1=1，A1B1=2OA1，A1A2=2OA1，A2A3=3OA1，A3A4=4OA1，…．A1B1∥A2B2∥A3B3∥A4B4∥…．则A2B2= ，A n B n= （n为正整数）10、已知：AB∥EG∥CD，EG分别交AC于E，BC于F，AD于G，若AE=2EC，AB=9，CD=12．求：EF与FG的长．11、如图，四边形ABCD中，点E、F、G分别在边AB、AC、AD上，连接EF，FG．如果EF∥BC，且AE•AD=AG•AB．求证：FG∥CD．12、如图，已知在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，AE=2CE，AB=6，BC=9．求：（1）求BF和BD的长度．（2）四边形BDEF的周长．平行相似课后作业参考答案1、解析：先由AD ：DB=3：5，求得BD ：AB 的比，再由DE ∥BC ，根据平行线分线段成比例定理，可得CE ：AC=BD ：AB ，然后由EF ∥AB ，根据平行线分线段成比例定理，可得CF ：CB=CE ：AC ，则可求得答案．解：∵AD ：DB=3：5， ∴B D ：AB=5：8， ∵DE ∥BC ，∴CE ：AC=BD ：AB=5：8， ∵EF ∥AB ，∴CF ：CB=CE ：AC=5：8． 故选A2、解析：由直线a ∥b ∥c ，根据平行线分线段成比例定理，即可得AC:CE=BD:DF ，又由AC=4，CE=6，BD=3，即可求得DF 的长，则可求得答案．解：∵a ∥b ∥c ， ∴AC:CE=BD:DF ， ∵AC=4，CE=6，BD=3， ∴4:6=3:DF ，解得：DF=29， ∴BF=BD+DF=3+29=7.5．故选B ．3、解析：延长FG 交CB 的延长线于点H ．根据平行四边形的性质，得BC=AD=6cm ，BC ∥AD ．根据AAS 可以证明△AFE ≌△BHE ，则BH=AF=2cm ，再根据BC ∥AD ，得AG:CG=AF:CH ，求得CG 的长，从而求得AC 的长．解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴BC=AD=6cm ，BC ∥AD ． ∴∠EAF=∠EBH ，∠AFE=∠BHE ， 又AE=BE ， ∴△AFE ≌△BHE ， ∴BH=AF=2cm ． ∵BC ∥AD ，∴AG:CG=AF:CH ，即3:CG=2:8， 则CG=12，则AC=AG+CG=15（cm ）． 故选C4、解析：由AD 是△ABC 的高，EF ⊥BC ，即可证得AD ∥EF ，又由E 为AB 的中点，根据平行线分线段成比例定理，可得BF=DF=21BD ，又由DC=31BD ，即可求得FC ：BF 的值．解：∵AD 是△ABC 的高，EF ⊥BC ， ∴EF ∥AD ， ∵E 为AB 的中点， ∴BF=DF=21BD ， ∵DC=31BD ， ∴FC=FD+CD=65BD ，∴FC ：BF=65BD ：21BD=35．故选A ．5、解析：由AB ∥DE ，BC ∥EF ，根据平行线分线段成比例定理，即可证得①OA:OD=OB:OE ；②OC:OF=OB:OE ；正确，则可得②OA:OD=OC:OF ；，继而证得AC ∥DF 正确．解：∵AB ∥DE ，BC ∥EF ，∴OA:OD=OB:OE ，故①正确；OC:OF=OB:OE ，故②正确； ∴OA:OD=OC:OF ，∴AC ∥DF ，故③正确． 故选D6、解析：由于D 、E 、F 和G 、H 、I 分别是AB 、AC 的四等分点，则DG ∥EH ∥FI ，根据平行线分线段成比例定理，即可求出DG 、EH 、FI 和BC 的比例关系，由此可求出DG+EH+FI 的长．解：∵AD=DE=EF=FB ，AG=GH=HI=IC ，∴DG ∥EH ∥FI ；∴AD:AB=DG:BC=1:4，即DG=41BC ； 同理可得：EH=21BC ，FI=43BC ； ∴DG+EH+FI=41BC+21BC+43BC=23BC=3；故选B7、解析： 根据平行线分线段成比例定理，由AB ∥GH ，得出GH:AB=CH:BC ，由GH ∥CD ，得出GH:CD=BH:BC ，将两个式子相加，即可求出GH 的长．解：∵AB ∥GH ，∴GH:AB=CH:BC ，即GH:2=CH:BC ①， ∵GH ∥CD ，∴GH:CD=BH:BC ，即GH:3=BH:BC ②，①+②，得BCBCBC BH BC CH GH GH =+=+32=1 ∴132=+GH GH解得GH=56．故答案为568、解析：由AE ∥BC ，可得△AEG ∽△BFG ，△AED ∽△CFD 推出AE:BF=AG:BG =1:3，又有BC 的值，再由AE:CF=AD:CD=1，得出AE=CF ，代入即可求解AE 的长．解：∵AE ∥BC ，∴△AEG ∽△BFG ，△AED ∽△CFD ，∴AE:BF=AG:BG=1:3，AE:CF=AD:CD=1即AE=CF，又BC=8，∴AE 8+AE)=1:3AE=4．故答案为：4．9、解析：根据OA1=1，求出A1A2、A2A3、A3A4的值，推出A n A n-1的值，根据平行线分线段成比例定理得出OA1: OA2=A1B1:A2B2，代入求出A2B2=6=2×（2+1），A3B3=12=3×（3+1），A4B4=20=4（4+1），推出A n B n=n（n+1）即可．解：∵OA1=1，∴A1A2=2×1=2，A2A3=3×1=3，A3A4=4，…A n-2A n-1=n-1，A n-1A n=n，∵A1B1∥A2B2∥A3B3∥A4B4∥…，∴OA1: OA2=A1B1:A2B2，∴1:(1+2) =2: A2B2，，∴A2B2=6=2×（2+1），A3B3=12=3×（3+1），A4B4=20=4（4+1），…∴A n B n=n（n+1），故答案为：6，n（n+1）．10、解析：根据平行线分线段成比例得，EF:AB=CE:AC,EG:CD=AE:AC，又由AE=2EC得，CE:AC=1:3，AE:AC=2:3，代入即可求出．解：∵AB∥EG∥CD，∴EF:AB=CE:AC, EG:CD=AE:AC，∵AE=2EC，∴CE:AC=1:3，AE:AC=2:3，又∵AB=9，CD=12，∴EF:9=1:3，EG:12=2:3，解得，EF=3，EG=8，、∴FG=EG-EF=8-3=511、解析：根据平行线分线段成比例定理由EF∥BC得到AE：AB=AF：AC，而AE•AD=AG•AB，即AE：AB=AG：AD，则AF：AC=AG：AD，然后根据平行线分线段成比例的逆定理即可得到结论．证明：∵EF∥BC，∴AE：AB=AF：AC，又∵AE•AD=AG•AB，∴AE：AB=AG：AD，∴AF：AC=AG：AD，∴FG∥AB．12、解析：（1）由平行线分线段成比例得出比例式，即可得出结果；（2）先证明四边形BDEF是平行四边形，得出对应边相等，即可得出结果．解：（1）∵AE=2CE，∴CE:AE=1:2，∵EF∥AB∴AE:AC=BF:BC=2:3，∵BC=9，∴BF=6，∵DE∥BC∴BC:AB=CE:AC=1:3，∵AB=6，∴BD=2；（2）∵EF∥AB，DE∥BC∴四边形BDEF是平行四边形，∴BD=EF=2，DE=BF=6，∴四边形BDEF的周长2（2+6）=16．。
初中数学相似三角形的性质含答案
相似三角形的性质--巩固练习【巩固练习】一、选择题1．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（）A．只有1个 B．可以有2个C．有2个以上，但有限 D．有无数个2. 若平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF 的长为（）．A．1.8 B．5 C．6或4 D．8或23. 如图，已知D、E 分别是的AB、 AC 边上的点，且那么等于（）A．1：9 B．1：3 C．1：8 D．1：2B C4．如图G是△ABC的重心，直线过A点与BC 平行.若直线CG分别与AB、交于D、E两点，直线BG与AC交于 F点，则△AED的面积：四边形ADGF的面积=( )A．1：2 B．2：1 C．2：3 D．3：25.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD，CD于点G，H，则下列结论错误的是（）A．=B．=C．=D．=6．如图，在□ABCD 中，E 为CD 上一点，DE ：CE=2：3，连结AE 、BE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，则S △DEF ：S △EBF ：S △ABF 等于( )A.4：10：25B.4：9：25C.2：3：5D.2：5：25二、填空题7．将一副三角板按图叠放，则△AOB 与△DOC 的面积之比等于 ．8.如图，△ABC 中，点D 在边AB 上，满足∠ADC=∠ACB,若AC=2，AD=1，则DB=_________.B9.如图，在△PAB 中，M 、N 是AB 上两点，且△PMN 是等边三角形，△BPM ∽△PAN ，则∠APB 的度数是_______________.10.如图，△ABC 中，DE ∥BC 、BE,CD 交于点F ，且S △EFC =3S △EFD ，则S △ADE ：S △ABC =______________.11.如图，锐角△ABC 中，AD,CE 分别为BC,AB 边上的高，△ABC 和△BDE 的面积分别等于18和2，DE=2，则AC 边上的高为______________.12. 如图，点M 是△ABC 内﹣点，过点M 分别作直线平行于△ABC 的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是1，4，9．则△ABC 的面积是 ．三、解答题13.如图所示，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是线段BC 延长线上一点，过点A 作AF∥BC 交ED 的延长线于点F ，连接AE ，CF ．求证：（1）四边形AFCE 是平行四边形；（2）FG•BE=CE•AE．14.（1）阅读下列材料，补全证明过程：已知：如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，OE⊥BC于E，连结DE交OC于点F，作FG⊥BC于G．求证：点G是线段BC的一个三等分点．证明：在矩形ABCD中，OE⊥BC，DC⊥BC，∴OE∥DC．∵＝，∴＝＝．∴＝．……（2）请你仿照（1）的画法，在原图上画出BC的一个四等分点（要求保留画图痕迹，可不写画法及证明过程）．15. 已知如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点E自A点出发，以每秒1cm的速度向D点前进，同时点F从D点以每秒2cm的速度向C点前进，若移动的时间为t，且0≤t≤6．（1）当t为多少时，DE=2DF；（2）四边形DEBF的面积是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由．（3）以点D、E、F为顶点的三角形能否与△BCD相似？若能，请求出所有可能的t的值；若不能，请说明理由．【答案与解析】一．选择题1.【答案】B.【解析】x 可能是斜边，也可能是直角边.2.【答案】A.3.【答案】B.4.【答案】D.5.【答案】C.【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥BF，BE∥DC，AD=BC ，∴，，，故选C ．6.【答案】 A.【解析】 □ABCD 中，AB ∥DC ，△DEF ∽△ABF ，(△DEF 与△EBF 等高，面积比等于对应底边的比)，所以答案选A.二、填空题7.【答案】1：3.【解析】∵∠ABC=90°，∠DCB=90°∴AB∥CD，∴∠OCD=∠A，∠D=∠ABO，∴△AOB∽△COD；又∵AB：CD=BC ：CD= 1：∴△AOB 与△DOC 的面积之比等于1：3．8.【答案】3.【解析】 ∵∠ADC=∠ACB ，∠DAC=∠BAC,∴△ACD ∽△ABC, ∴,AC AD AB AC =AB=22241AC AD ==， ∴BD=AB-AD=4-1=3.9. 【答案】120°.【解析】∵ △BPM ∽△PAN ，∴ ∠BPM ＝∠A ，∵ △PMN 是等边三角形，∴ ∠A+∠APN ＝60°，即∠APN+∠BPM ＝60°，∴ ∠APB ＝∠BPM+∠MPN+∠APN ＝60°+60°=120°．10.【答案】1:9【解析】∵EFC S △=3EFD S △，∴FC:DF=3:1，又∵DE ∥BC,∴△BFC ∽△EFD,即BC ：DE=FC:FD=3:1，由△ADE ∽△ABC ，即ADE S △：ABC S △=1:9.11.【答案】 6.【解析】∵AD,CE 分别为BC,AB 边上的高,12.【答案】36.【解析】因为△1、△2、△3的面积比为1：4：9，所以他们对应边边长的比为1：2：3，又因为四边形BDMG与四边形CEMH为平行四边形，所以DM=BG，EM=CH，设DM为x，则ME=2x，GH=3x，所以BC=BG+GH+CH=DM+GH+ME=x+2x+3x=6x，所以BC：DM=6x：x=6：1，由面积比等于相似比的平方故可得出：S△ABC：S△FDM=36：1，所以S△ABC=36×S△FDM=36×1=36．三、解答题13.【解析】（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFD=∠DEC，∵∠FDA=∠CDE，D是AC的中点，∴△ADF≌△EDC，∴AF=CE，∵AF∥BC，∴四边形AFCE是平行四边形；（2）证明：∵四边形AFCE是平行四边形，∴∠AFC=∠AEC，AF=CE，∵AF∥BC，∴∠FAB=∠ABE，∴△AFG∽△BEA，∴，∴FG•BE=AF•AE，∴FG•BE=CE•AE．14.【解析】（1）补全证明过程:∵FG⊥BC，DC⊥BC，∴FG∥DC．∴＝＝．∵AB＝DC，∴＝．又FG∥AB，∴＝＝．∴点G是BC的一个三等分点．（2）如图，连结DG交AC于点H，作HI⊥BC于I，则点I是线段BC的一个四等分点.15.【解析】故当t=3或1.2时，以点D、E、F为顶点的三角形与△BCD相似．。
九年级数学上册18相似形相似三角形的综合课后作业新版北京课改版
∴△AEH≌△BEC（ASA），
∴AH=BC=2CD，②正确；
∵∠BAD=∠CBE，∠ADB=∠CEB，
∴△ABD～△BCE，
∴BC:AB=BE:AD，即BC•AD=AB•BE，
∵ AE2=AB•AE=AB•BE，BC•AD=AC•BE=AB•BE，
（2）由（1）得：∠FBC=∠FCB，由圆周角定理得出∠FAB=∠FBC，由公共角∠BFA=∠BFD，证出△AFB∽△BFD，得出对应边成比例求出BF，得出FD、AD的长，由圆周角定理得出∠BFA=∠BCA=90°，由三角函数求出∠FBA=30°，再由三角函数求出CD的长即可．
（1）证明：∵四边形AFBC内接于圆，
（3）若是原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，如此，此矩形零件的两条边长就不能确信，但那个矩形面积有最大值，求达到那个最大值时矩形零件的两条边长．
参考答案
一、解析：直接依照射影定理对各选项进行判定．
解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，
∴AC2=AD•AB，CD2=DA•DB，BC2=BD•BA．
故答案为：6
八、解析：依照题意写出AB、AC、CD的长，依照相似三角形的性质取得比例式，计算即可．
解：
由题意得，AB=15里，AC=4.5里，CD=3.5里，
△ACB∽△DEC，
∴DE:AC=DC:AB，即DE:4.5=3.5:15，
解得，DE=1.05里=315步，
∴走出南门315步恰好能望见这棵树，
∴BC•AD= AE2；③正确；
∵F是AB的中点，BD=CD，∴
S△ABC=2S△ABD=4S△ADF．④正 确；
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9. 解： （1）证明：如图，在平行四边形 ABCD 中，AD∥BC，∴∠2＝∠3。∵BF 是∠ABC 的平分线， ∴∠1＝∠2。∴∠1＝∠3。∴AB＝AF。 （2）∵∠AEF＝∠CEB，∠2＝∠3，∴△AEF∽△CEB，∴ ＝ 3 AE 3 ＝ ，∴ ＝ 。 5 AC 8 10. 解： （1）证明：在平行四边形 ABCD 中 AB∥CD，AD∥BC，∴∠C＋∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC。
D
P
C
**4. 如图， 在△ABC 中， AB＝AC＝a， BC＝b （a＞b） 。 在△ABC 内依次作∠CBD＝∠A， ∠DCE＝∠CBD， ∠EDF＝∠DCE。则 EF 等于（ A. ） C.
b3 a2
B.
a3 b2
b4 a3
D.
a4 b3
1
二、填空题 5. 在平行四边形 ABCD 中，E 在 DC 上，若 DE：EC＝1：2，则 BF：BE＝2）如图 2，在等边△ABC 中，点 M 是 BC 延长线上的任意一点（不含端点 C），其它条件不变， （1）中结论∠ABC＝∠ACN 还成立吗？请说明理由。 【拓展延伸】 （3）如图 3，在等腰△ABC 中，BA＝BC，点 M 是 BC 上的任意一点（不含端点 B、C），连结 AM， 以 AM 为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN＝∠ABC。连结 CN。试探究∠ABC 与∠ACN 的数量关系，并说 明理由。
AB DC 9 6 ∴△ABD∽△DCE，则 ＝ ，即 ＝ ，解得：CE＝2，故 AE＝AC－CE＝9－2＝7。 BD CE 3 CE
8. 7 5 AB BE 解析：在 Rt△ABC 中，∵BC＝3，AC＝4，∴AB＝5，BD ＝ 。易知△ABC∽△EBD，∴ ＝ ， 6 2 BC BD
5 BE 25 25 7 即 ＝ ，∴BE＝ ，∴CE＝BE－BC＝ －3＝ 。 3 2.5 6 6 6
AB＝AC ∴∠BAM＝∠CAN， ∵在△BAM 和△CAN 中， ∴△BAM≌△CAN （SAS） ， ∴∠ABC＝∠ACN。 ∠BAM＝∠CAN， AM＝AN
（2）解：结论∠ABC＝∠A CN 仍成立。理由如下：∵△ABC、△AMN 是等边三角形，∴AB＝AC，AM＝
AB＝AC AN， ∠BAC＝∠MAN＝60°， ∴∠BAM＝∠CAN， ∵在△BAM 和△CAN 中， ∴△ BAM≌△CAN ∠BAM＝∠CAN， AM＝AN
PD PC x 7－x 14 ，即 ＝ ，解之得 x＝ ； （ 2）若 AD BC 2 3 5
PD BC x 3 ，即 ＝ ，解之得 x1＝1，x2＝6。综上所述，存在三个点 P，使△PAD AD PC 2 7－x
AB BC CD DE EF DE b2 △ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，∴ ＝ ， ＝ ， ＝ ，且 BD＝BC，CE＝CD，解得：CD＝ ， BC CD BD CD DE CE a b3 b4 DE＝ 2，EF＝ 3。故选 C。 a a
AD·CD 6 3×8 ＝ ＝12。 在 Rt△ADE 中， 由勾股定理得： AE＝ DE2－AD2＝ 122－（6 3）2＝6。 AF 4 3
11. 解： （1）证明： ∵AC 平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB，∵∠ADC＝∠ACB＝90°， ∴△ADC∽△ACB， 1 2 ∴AD：AC＝AC：AB，∴AC ＝AB•AD； （2）证明：∵E 为 AB 的中点，∴CE＝ AB＝AE，∴∠EAC＝∠ECA， 2 ∵∠DAC＝∠CAB，∴∠DAC＝∠ECA，∴CE∥AD； （3）解：∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴AD：CE＝ 1 1 4 AF AC 7 AF：CF，∵CE＝ AB，∴CE＝ ×6＝3，∵AD＝4，∴ ＝ ，∴ ＝ 。 2 2 3 CF AF 4 12. 解：（1）证明：∵△ABC、△AMN 是等边三角形，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，
DC 于点 F，则 DF：FC＝（
A. 1：4
） C. 2：3 D. 1：2
B. 1：3
**3. 如图所示，AD∥BC，∠D＝90°，DC＝7，AD＝2，BC＝3。若在边 DC 上有点 P 使△PAD 与△
PBC 相似 ，则这样的点 P 有（
A. 1 个 B. 2 个
） C. 3 个 D. 4 个
B A
4
相似三角形的性质
1. C
解析：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，则
AD AB ＝ ，∵DE＝1，AD＝2，DB＝3，∴AB＝AD＋DB DE BC
5×1 5 ＝5，∴BC＝ ＝ 。故选 C。 2 2 2. D 解析：在平行四边形 ABCD 中， AB∥DC，则△DFE∽△BAE，∴ ＝ ，∵O 为对角线的交点， 1 ∴DO＝BO，又∵E 为 OD 的中点，∴DE＝ DB，则 DE ：EB＝1：3，∴DF：AB＝1：3，∵DC＝AB，∴DF： 4
A
D
B
C
E
2
三、解答题 *9. 如图，在平行四边形 ABCD 中，∠ABC 的平分线 BF 分别与 AC、AD 交于点 E、F。 （1）求证：AB＝AF； （2）当 AB＝3、BC＝5 时，求 的值。
AE AC
**10. 如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 A 作 AE⊥BC，垂足为 E，连接 DE，F 为线段 DE 上一点， 且∠AFE＝∠B。 （1）求证：△ADF∽△DEC； （2）若 AB＝8，AD＝6 3，AF＝4 3，求 AE 的长。
相似三角形的性质
（答题时间：30 分钟） 一、选择题 1. 如图，△ABC 中，DE ∥BC，DE＝1，AD＝2，DB＝3 ，则 BC 的长 是（ A. 1 2 B. 3 2 C. 5 2 D. 7 2 ）
*2. 如图所示，在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，E 为 OD 的中点，连接 AE 并延长交
DF DE AB EB
DC＝1：3，∴DF：FC＝1：2。故选 D。
3. C 解析：设 PD＝x，则（1）若△APD∽△PBC，则 ＝ △PAD∽△BPC，则 ＝ 与△PBC 相似。 4. C 解析：∵AB ＝ AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，又∵∠CBD ＝∠A ，∴△ABC∽△BDC ，同理可得：
7，∴BE：CD＝3：7。∵AB∥CD，∴△BEF∽△DCF，∴BF：DF＝BE：CD＝3：7，即 2：DF＝3：7，∴DF ＝ 14 。 3 7. 7 解析： ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°， AB＝BC； ∴CD＝BC－BD＝9－3＝6； ∴∠BAD ＋∠ADB＝120°， ∵∠ADE＝60°， ∴∠ADB＋∠EDC＝120°， ∴∠DAB＝∠EDC， 又∵∠B＝∠C＝60°，
（SAS），∴∠ABC ＝∠ACN。（3）解：∠ABC＝∠ACN。理由如下：∵BA＝BC，MA＝MN，顶角∠ABC ＝∠AMN，∴底角∠BAC＝∠MAN，∴△ABC∽△AMN ，∴
AB AC ＝ ，又∵∠BAM＝∠BAC－∠MAC，∠CAN AM AN
＝∠MAN－∠MAC，∴∠BAM＝∠CAN，∴△BAM∽△CAN，∴∠ABC＝∠ACN。
5. 3：5 解析：∵DE：EC＝1：2，∴EC：CD＝2：3 即 EC：AB＝2：3，∵AB∥CD，∴△ABF∽△CEF， ∴BF：EF＝AB：EC＝3：2。∴BF：BE＝3：5。 6. 14 解析：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵AE：BE＝4：3，∴BE：AB＝3： 3
**11. 如图，四边形 ABCD 中，AC 平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E 为 AB 的中点， （1）求证：AC ＝AB•AD； （2）求证：CE∥AD； （3）若 AD＝4，AB＝6，求
2
AC 的值。 AF
**12. 【提出问题】 （1）如图 1，在等边△ABC 中，点 M 是 BC 上的任意一点（不含端点 B、C），连结 AM，以 AM 为 边作等边△AMN，连结 CN。求证：∠ABC＝∠ACN。 【类比探究】
6. 如图，在平行四边形 ABCD 中，E 在 AB 上，CE、BD 交于 F，若 AE：BE＝4：3，且 BF＝2，则 DF ＝__________。
*7. 如图，在边长为 9 的正三角形 ABC 中，BD＝3，∠ADE＝60°，则 AE 的长为__________。
*8. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB 的垂直平分线 DE 交 BC 的延长线于 点 E，则 CE 的长为__________。
∠AFD＝∠C ∵∠AFD＋∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，∴∠AFD＝∠C。在△ADF 与△DEC 中， ， ∠ADF＝∠DEC
AE AF EC BC
∴△ADF∽△DEC。 （2）解：∵平行四边形 ABCD，∴CD＝AB＝8。由（1）知△ADF∽△DEC，∴ ＝ ， ∴DE＝
AD AF DE CD