概率统计2估计量的评价标准(PPT课件)
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概率论与数理统计第7章参数估计PPT课件
5
a1(1, ,k )=v1
1 f1(v1, ,vk )
假定方程组a2(1, ,k ) v2 ,则可求出2 f2(v1, ,vk )
ak (1, ,k ) vk
k fk (v1, ,vk )
则x1 xn为X的样本值时，可用样本值的j阶原点矩Aj估计vj，其中
Aj
1 n
n i1
xij ( j
L(x1, ,xn;ˆ)maxL(x1, ,xn;)，则称ˆ(x1, ,xn)为
的一种参数估计方法 .
它首先是由德国数学家
高斯在1821年提出的 ,然而， 这个方法常归功于英国统
Gauss
计学家费歇（Fisher） . 费歇在1922年重新发现了
这一方法，并首先研究了这
种方法的一些性质 .
Fisher
10
极大似然估计是在已知总体分布形式的情形下的 点估计。
极大似然估计的基本思路：根据样本的具体情况
注：估计量为样本的函数，样本不同，估计量不 同。
常用估计量构造法：矩估计法、极大似然估计法。
4
7.1.1 矩估计法
矩估计法是通过参数与总体矩的关系，解出参数， 并用样本矩替代总体矩而得到的参数估计方法。 （由大数定理可知样本矩依概率收敛于总体矩， 且许多分布所含参数都是矩的函数）
下面我们考虑总体为连续型随机变量的情况：
n
它是的函数，记为L(x1, , xn; ) f (xi , ), i 1
并称其为似然函数，记为L( )。
注：似然函数的概念并不仅限于连续随机变量 ，
对于离散型随机变量，用 P {Xx}p(x,)
替代f ( x, )
即可。
14
设总体X的分布形式已知，且只含一个未知参数，
a1(1, ,k )=v1
1 f1(v1, ,vk )
假定方程组a2(1, ,k ) v2 ,则可求出2 f2(v1, ,vk )
ak (1, ,k ) vk
k fk (v1, ,vk )
则x1 xn为X的样本值时，可用样本值的j阶原点矩Aj估计vj，其中
Aj
1 n
n i1
xij ( j
L(x1, ,xn;ˆ)maxL(x1, ,xn;)，则称ˆ(x1, ,xn)为
的一种参数估计方法 .
它首先是由德国数学家
高斯在1821年提出的 ,然而， 这个方法常归功于英国统
Gauss
计学家费歇（Fisher） . 费歇在1922年重新发现了
这一方法，并首先研究了这
种方法的一些性质 .
Fisher
10
极大似然估计是在已知总体分布形式的情形下的 点估计。
极大似然估计的基本思路：根据样本的具体情况
注：估计量为样本的函数，样本不同，估计量不 同。
常用估计量构造法：矩估计法、极大似然估计法。
4
7.1.1 矩估计法
矩估计法是通过参数与总体矩的关系，解出参数， 并用样本矩替代总体矩而得到的参数估计方法。 （由大数定理可知样本矩依概率收敛于总体矩， 且许多分布所含参数都是矩的函数）
下面我们考虑总体为连续型随机变量的情况：
n
它是的函数，记为L(x1, , xn; ) f (xi , ), i 1
并称其为似然函数，记为L( )。
注：似然函数的概念并不仅限于连续随机变量 ，
对于离散型随机变量，用 P {Xx}p(x,)
替代f ( x, )
即可。
14
设总体X的分布形式已知，且只含一个未知参数，
高三数学二轮复习建议——专题二：概率统计 PPT课件 图文
概率与统计
目目 录录
CCOONNTTEENNTTSS
1 历年高考分析 22 重点、热点分析 3 复习目标、方案专题 4 命题预测、优题展示
一 高考试题分析
1.1 2012——2017年高考考查内容分析
2 道 小 题
1 道 大 题
年份 题号
理科 考查 内容
题号
文科 考查 内容
2017 年
2016 年 2015 年 2014 年 2013 年 2012 年
T1 9
相关系数、统计、均值、方差、3 σ原则、概率的意义
T14 二项式定理
2016 年
T4 几何概型
T3 古典概型
从文科高考试题看，解答题一般以工农业生产和生活中的实 频数分布、频率与概率、事件的
频数分布、频率与概率、事件的
T19 独立性、互斥事件、分布列、概 T19 独立性、互斥事件、分布列、概
√√
√
古典概型
几何概型 率 随机模拟
√√√ √ √
随机变量间的函数关系
√
√
二 重点、热点分析
重点、热点、规律方法（一）二项式定理
例
1.（1）（2017▪全国卷Ⅰ理科▪T6）
(1
1 x2
)(1
x)6
展开式中
x2
的系数为
A.15
B.20
C.30
D.35
（2）（2016▪全国卷Ⅰ理科▪T14） (2x x )5 的展开式中，x3 的系数是
T1 8
分步乘法计数原理、组合
正态分布、对立事件
T3
函数、频率与概率、分布列、期 望、方差、概率的意义
T 18
数字特征及其意义 几何概型
相关系数、统计、均值、方差、3 σ原则、概率的意义
目目 录录
CCOONNTTEENNTTSS
1 历年高考分析 22 重点、热点分析 3 复习目标、方案专题 4 命题预测、优题展示
一 高考试题分析
1.1 2012——2017年高考考查内容分析
2 道 小 题
1 道 大 题
年份 题号
理科 考查 内容
题号
文科 考查 内容
2017 年
2016 年 2015 年 2014 年 2013 年 2012 年
T1 9
相关系数、统计、均值、方差、3 σ原则、概率的意义
T14 二项式定理
2016 年
T4 几何概型
T3 古典概型
从文科高考试题看，解答题一般以工农业生产和生活中的实 频数分布、频率与概率、事件的
频数分布、频率与概率、事件的
T19 独立性、互斥事件、分布列、概 T19 独立性、互斥事件、分布列、概
√√
√
古典概型
几何概型 率 随机模拟
√√√ √ √
随机变量间的函数关系
√
√
二 重点、热点分析
重点、热点、规律方法（一）二项式定理
例
1.（1）（2017▪全国卷Ⅰ理科▪T6）
(1
1 x2
)(1
x)6
展开式中
x2
的系数为
A.15
B.20
C.30
D.35
（2）（2016▪全国卷Ⅰ理科▪T14） (2x x )5 的展开式中，x3 的系数是
T1 8
分步乘法计数原理、组合
正态分布、对立事件
T3
函数、频率与概率、分布列、期 望、方差、概率的意义
T 18
数字特征及其意义 几何概型
相关系数、统计、均值、方差、3 σ原则、概率的意义
统计学完整ppt课件完整版
假设检验的基本思想：小概率事件原 理
假设检验中的两类错误：第一类错误 、第二类错误
假设检验的步骤：建立假设、选择检 验统计量、确定拒绝域、计算p值、 作出决策
假设检验的实例分析：单样本t检验 、双样本t检验等
方差分析（ANOVA）方法介绍
方差分析的基本原理：F分布与 方差分析的关系
多因素方差分析的实现方法： 析因设计、随机区组设计等
通过观察数据的峰度，判 断是否存在尖峰或平峰分 布
03
推论性统计方法
参数估计原理及应用
01
参数估计的基本概念： 点估计、区间估计
02
估计量的评价标准：无 偏性、有效性、一致性
03
参数估计的方法：矩估 计法、最大似然估计法
04
参数估计的应用：总体 均值的区间估计、总体 比例的区间估计等
假设检验流程与实例分析
ABCD
数据筛选与排序
介绍如何使用Excel进行数据筛选和排序，以便 更好地查看和分析数据。
函数与公式应用
分享一些常用的Excel函数和公式，以便更高效 地处理和分析数据。
案例分享：使用统计软件解决实际问题
案例一
使用SPSS进行市场调研数据分析，包 括描述性统计、交叉表分析、回归分析
等。
案例三
使用Python进行电商数据分析，包 括用户行为分析、销售预测、推荐系
据的科学。
统计学的作用
描述数据特征
推断总体参数 预测未来趋势
评估决策效果
数据类型与来源
数据类型 定量数据（连续型与离散型）
定性数据（分类数据与顺序数据）
数据类型与来源
01
数据来源
02
03
04
观察数据（实验数据与观测数 据）
假设检验中的两类错误：第一类错误 、第二类错误
假设检验的步骤：建立假设、选择检 验统计量、确定拒绝域、计算p值、 作出决策
假设检验的实例分析：单样本t检验 、双样本t检验等
方差分析（ANOVA）方法介绍
方差分析的基本原理：F分布与 方差分析的关系
多因素方差分析的实现方法： 析因设计、随机区组设计等
通过观察数据的峰度，判 断是否存在尖峰或平峰分 布
03
推论性统计方法
参数估计原理及应用
01
参数估计的基本概念： 点估计、区间估计
02
估计量的评价标准：无 偏性、有效性、一致性
03
参数估计的方法：矩估 计法、最大似然估计法
04
参数估计的应用：总体 均值的区间估计、总体 比例的区间估计等
假设检验流程与实例分析
ABCD
数据筛选与排序
介绍如何使用Excel进行数据筛选和排序，以便 更好地查看和分析数据。
函数与公式应用
分享一些常用的Excel函数和公式，以便更高效 地处理和分析数据。
案例分享：使用统计软件解决实际问题
案例一
使用SPSS进行市场调研数据分析，包 括描述性统计、交叉表分析、回归分析
等。
案例三
使用Python进行电商数据分析，包 括用户行为分析、销售预测、推荐系
据的科学。
统计学的作用
描述数据特征
推断总体参数 预测未来趋势
评估决策效果
数据类型与来源
数据类型 定量数据（连续型与离散型）
定性数据（分类数据与顺序数据）
数据类型与来源
01
数据来源
02
03
04
观察数据（实验数据与观测数 据）
医学统计学PPT课件
验结果,每次都有如此好的吻合. 的概率约10万分之4。 6
绪论 Introduction
讲授内容：
一、医学统计学的意义
二、统计学中的几个基本概念
三、统计资料的类型
四、医学统计工作的基本步骤
五、学习医学统计学应注意的问题
.
7
一、医学统计学的意义
• 1.统计学（statistics）:应用数学的原理与 方法,研究数据的搜集、整理与分析的科 学，对不确定性数据作出科学的推断。
例如：某药治疗高血压患者30名
样本含量（n）为30
.
21
二、统计学中的几个基本概念
• 4、参数（parameter）和统计量（statistic）
• （1）参数（parameter）：根据总体个体 值统 计计算出来的描述总体的特征量。
• 一般用希腊字母表示
• （2）、统计量（statistic）：根据样本个体值统 计计算出来的描述样本的特征量。
（120.2cm,118.6cm,121.8cm,…)
研究某人群性别构成 变量值：男、女。
.
15
二、统计学中的几个基本概念
• 2、同质（homogeneity）和变异 （variation）
• （1）、同质（homogeneity）：根据研究 目的给研究单位确定的相同性质。
• 研究长沙市2004年7岁 男孩身高的正常值范围？
.
27
二、统计学中的几个基本概念
• （3）、抽样误差（sampling error）：由 于抽样所造成的样本统计量与总体参数 的差别。
• 例如：=120.0cm
n=100
•
N=5万 → X =118.6cm
• 特点:1)不可避免性
概率论与数理统计--- 估计量的评选标准
15
例3 设总体 X 的均值和方差均存在 ,nX1, „, Xn 是总体 X 的样本, C1 , C2 ,„ ,Cn 为不全相同且满足 C i 1 的任一组常数,
证明: (1) 样本的线性函数 Ci X i 是总体均值 的无偏估计量 ; i 1 n n 1 X 较 C X 有效. (2) 总体均值的无偏估计量 X n i i i i 1 i 1 n n n 证(1) E ( C i X i ) C i EX i C i
24
譬如，在估计湖中鱼数的问题中, 若我们根据一个 实际样本得到鱼数 N 的极大似然估计为 1000 条.
但实际上, N 的真值可能大于 1000 条, 也可能小于1000条. 若我们能给出一个区间, 在此区间内我们合 理地相信 N 的真值位于其中, 这样对鱼数的估计就有 把握多了.
也就是说, 我们希望确定一个尽可能小的区间, 使我们能以 • 比较高的可靠程度相信它包含真参数值.
i 1 j 1
n
m
解:(1) E(T)=an+bm =(na+mb) 当na+mb=1时, E(T)=
此时,T是的无偏估计
(2) D(T)=a2n+b24m
1 na 2 na 4m( ) m 2 4(1 na ) 2 na m 8n(1 na ) dD 0 0 2na 令 m da 4 (4n+m)a=4 a 4n m D(a)>0 此时D(T)最小,即T最有效 4 1 a , b 4n m 4n m
定义:设ˆ (X1,X2,…,Xn)为的估计量,若E(ˆ) 存在,且有 ˆ E ( ) , 则称ˆ 为的无偏估计量
第六章《概率论与数理统计教程》课件
1
例5. 设X服从[0,λ]区间上的均匀分布,参数
λ>0,求λ的最大似然估计. 1 解:由题意得: X ~ f ( x; )
1 L( x1 , x 2 ,..., x n ; ) n 0
0 x
0 其它 0 x1 , x 2 ,..., x n
dL n n1 0 d
其它
无解.
应用最大似然估计基本思想: L越大,样本观察值越可能出现 取 max( x1 , x 2 ,..., x n ) 此时,L取值最大, 所以,所求最大似然估计为 max( x1 , x 2 ,..., x n )
考虑L的取值,要使L取值最大,λ应最小, 0 x1 , x 2 ,..., x n
例2 设总体 X ~ N ( , 2 ) ,其中 及 2 都是未知参数，如
果取得样本观测值为 x1 ,, x n , 求 及 2 的矩估计值。
解： 因为总体X的分布中有两个未知参数，所以应考虑一、二阶 原点矩，我们有 v1 ( X ) E ( X )
v 2 ( X ) E( X 2 ) D( X ) [ E( X )]2 2 2
e
e
1 2
2
2
( x )2 2 2
e
L( x1 , x 2 ,..., x n ; , )
2
i 1
1 2
2
( xi )2
(
2
1 2
2
1 2 2
) e
n
i 1
n
( xi )2
1 n 2 n 1 n 2 2 ) 2 ( x i ) ln 2 ln L n ln( ( xi ) 2 i 1 2 2 2 n 2 2 i 1 1 ln L 1 n Xi X 2 ( xi ) 0 n i 1 i 1 1 n 2 1 n n ln L n 1 ( xi )2 ( xi X )2 2 2 4 ( x i ) 0 n i 1 n i 1 2 2 2 i 1
概率论与数理统计课件讲解7-2 估计量的评价标准
n 1 2 n
ˆ 为 的 相合估计量(或一致 概率收敛于 , 则称 n 估计量). , 样本k (k 1) 阶矩是 例如 由第五章第一节知
总体 X 的 k 阶矩 k E ( X k )的相合估计量 ,
例6 试证 : (1) 样本均值 X 是总体均值 的相合估计
量;
*2 ( 2) 修正样本方差 Sn
三、有效性
ˆ 和 ˆ , 如果 比较参数 的两个无偏估计量 1 2 ˆ 的观察值较 ˆ更 在样本容量 n相同的情况下, 1 2 ˆ 较 ˆ 理想. 密集在真值 的附近, 则认为 1 2
ˆ 关于 换句话说，对参数 的无偏估计量
的波动越小，即方差 ˆ ) E[ ˆ E ( ˆ )]2 D(
是来自总体 X 样本， ˆ 2 X 和修正的最大似 (1) 试证明：的矩估计量 1 n1 ˆ 然估计量 2 X ( n ) 均是 的无偏估计； n ˆ 和 ˆ 哪一个更有效？ ( 2) 问： 1 2
ˆ ) E (2 X ) 2 E ( X ) 2 E ( X ) (1) 证 E ( 1
5 2 1 2 ˆ3 ) , D( ˆ 2 ) , D( 9 2
D( ˆ 2 ) D( ˆ 3 ) D( ˆ1 )
ˆ 2最有效.
可用求条件 极值的拉格 朗日乘数法 证明
例5 设总体 X ~ U [0, ], 参数 0, ( X 1 , X 2 ,, X n )
ˆ )2 E (
ˆ) ) ( E (
越小越好.
定义
ˆ ˆ ( X , X ,, X )， ˆ ˆ ( X , X ,, X ) 设 1 1 1 2 n 2 2 1 2 n
ˆ ) D( ˆ ), D( 1 2
ˆ 为 的 相合估计量(或一致 概率收敛于 , 则称 n 估计量). , 样本k (k 1) 阶矩是 例如 由第五章第一节知
总体 X 的 k 阶矩 k E ( X k )的相合估计量 ,
例6 试证 : (1) 样本均值 X 是总体均值 的相合估计
量;
*2 ( 2) 修正样本方差 Sn
三、有效性
ˆ 和 ˆ , 如果 比较参数 的两个无偏估计量 1 2 ˆ 的观察值较 ˆ更 在样本容量 n相同的情况下, 1 2 ˆ 较 ˆ 理想. 密集在真值 的附近, 则认为 1 2
ˆ 关于 换句话说，对参数 的无偏估计量
的波动越小，即方差 ˆ ) E[ ˆ E ( ˆ )]2 D(
是来自总体 X 样本， ˆ 2 X 和修正的最大似 (1) 试证明：的矩估计量 1 n1 ˆ 然估计量 2 X ( n ) 均是 的无偏估计； n ˆ 和 ˆ 哪一个更有效？ ( 2) 问： 1 2
ˆ ) E (2 X ) 2 E ( X ) 2 E ( X ) (1) 证 E ( 1
5 2 1 2 ˆ3 ) , D( ˆ 2 ) , D( 9 2
D( ˆ 2 ) D( ˆ 3 ) D( ˆ1 )
ˆ 2最有效.
可用求条件 极值的拉格 朗日乘数法 证明
例5 设总体 X ~ U [0, ], 参数 0, ( X 1 , X 2 ,, X n )
ˆ )2 E (
ˆ) ) ( E (
越小越好.
定义
ˆ ˆ ( X , X ,, X )， ˆ ˆ ( X , X ,, X ) 设 1 1 1 2 n 2 2 1 2 n
ˆ ) D( ˆ ), D( 1 2
概率论与数理统计(王明慈第二版)第6章参数区间估计2,3节
第三节 正态总体参数的区间估计
基本内容： 一、区间估计的概念 二、正态总体均值的区间估计 三、正态总体方差的区间估计
一、区间估计的概念
定义 设总体 X 的分布中含有未知参数，对于 给定的概率 1- (0 < < 1), 若存在两个统计量 ˆ1(X1, X2, , Xn )与ˆ2(X1, X2, , Xn ), 使得
即
P
i
n 1
tα/
2
(n
-
1),
x
s n
tα/
2(n
1)
得到的95%的置信区间为
(14.92-0.138, 14.92+0.138) 即(14.782, 15.058) (mm)
三、正态总体方差 2 的区间估计
1. 已知均值= 0的正态总体 X, 求未知参数 2 1- 的置信区间
解：设总体 X ~ N( , 2), 有
k 1,2,L ,m
第三步: 解含m个参数ˆ1，ˆ2，L的，mˆ个m 方程组, 得
ˆk ˆk X1, X2, , Xn k 1,2, ,m
以ˆk作为参数 的k 估计量.
第四步:将 θˆk中的X1 , X2 , , Xn换成x1 , x2 , , xn, 便得到θk的矩估计值θˆk ( x1 , x2 , , xn ).
例3. 设X1，X2，X3是来自总体X的样本, 且
总体均值E(X)= 未知, 则下列4个关于 的
统计量中哪个更有效？( C )
A. X1 X 2 3X 3 ; 55 5
C. X1 X 2 X3 ; 333
B. X1 X 2 X 3 ; 424
D. X1 X 2 X 3 . 362
分析：利用P181的7题结论，可选C.
统计学ppt课件贾俊平完整版
时间序列预测的评价指标
平均误差、均方误差、均方根误差和平均绝 对误差等。
08
统计计算与软件应用
统计计算基础
描述性统计
计算数据的中心趋势（ 均值、中位数、众数） 和离散程度（方差、标 准差、四分位距）。
概率论基础
理解概率、期望、方差 等基本概念，掌握常见 概率分布（如正态分布 、t分布、F分布等）。
数据分布的图形表示
介绍直方图、箱线图等图形表示方法 ，用于直观展示数据的分布形态。
03
概率论基础
随机事件与概率
随机事件
在一定条件下，并不 总是发生，也不总是 不发生的事件。
概率
描述随机事件发生的 可能性大小的数值。
பைடு நூலகம்
概率的性质
非负性、规范性、可 加性。
条件概率
在给定另一事件发生 的条件下，某一事件 发生的概率。
专注于数据管理和统计分析，提供丰富的计量经济学方法，适 合经济学和金融学等领域。
开源且易学的编程语言，拥有强大的数据处理和可视化库（如 pandas、matplotlib等），适合数据科学和机器学习领域。
R语言在统计学中的应用实例
数据清洗和整理
使用R中的dplyr等包进行数据清洗、 筛选和变换。
02
统计学的研究方法
描述统计方法
描述统计方法是统计学中最基础 的方法，它通过对数据进行整理 、概括和可视化，帮助我们了解
数据的基本情况和分布特征。
推断统计方法
推断统计方法是统计学中更高级 的方法，它基于概率论和数理统 计的理论，通过对样本数据的分 析来推断总体数据的特征和规律
。
实验设计方法
实验设计方法是统计学中用于研 究因果关系的方法，它通过设计 和实施实验来控制和观察各种因 素的变化，从而揭示出因素之间
《概率论与数理统计》课件第七章 参数估计
添加标题
03
若存在, 是否惟一?
添加标题
1
2
3
4
5
6
对于同一个未知参数,不同的方法得到的估计量可能不同,于是提出问题
应该选用哪一种估计量? 用何标准来评价一个估计量的好坏?
常用标准
(1)无偏性
(3)一致性
(2)有效性
7.2 估计量的评选标准
无偏性
一致性
有效性
一 、无偏性
定义1 设 是未知参数θ的估计量
09
则称 有效.
10
比
11
例4 设 X1, X2, …, Xn 是X 的一个样本,
添加标题
问那个估计量最有效?
添加标题
解 ⑴
添加标题
由于
添加标题
验证
添加标题
都是
添加标题
的无偏估计.
都是总体均值
的无偏估计量.
故
D
C
A
B
因为
所以
更有效.
例5 设总体 X 的概率密度为
关于一致性的两个常用结论
1. 样本 k 阶矩是总体 k 阶矩的一致性估计量.
是 的一致估计量.
由大数定律证明
用切比雪夫不 等式证明
似然函数为
其中
解得参数θ和μ的矩估计量为
2
时
3
令
1
当
6
，故
5
，表明L是μ的严格递增函数，又
4
第二个似然方程求不出θ的估计值，观察
添加标题
所以当
01
添加标题
从而参数θ和μ的最大似然估计值分别为
03
添加标题
时L 取到最大值
02
添加标题
03
若存在, 是否惟一?
添加标题
1
2
3
4
5
6
对于同一个未知参数,不同的方法得到的估计量可能不同,于是提出问题
应该选用哪一种估计量? 用何标准来评价一个估计量的好坏?
常用标准
(1)无偏性
(3)一致性
(2)有效性
7.2 估计量的评选标准
无偏性
一致性
有效性
一 、无偏性
定义1 设 是未知参数θ的估计量
09
则称 有效.
10
比
11
例4 设 X1, X2, …, Xn 是X 的一个样本,
添加标题
问那个估计量最有效?
添加标题
解 ⑴
添加标题
由于
添加标题
验证
添加标题
都是
添加标题
的无偏估计.
都是总体均值
的无偏估计量.
故
D
C
A
B
因为
所以
更有效.
例5 设总体 X 的概率密度为
关于一致性的两个常用结论
1. 样本 k 阶矩是总体 k 阶矩的一致性估计量.
是 的一致估计量.
由大数定律证明
用切比雪夫不 等式证明
似然函数为
其中
解得参数θ和μ的矩估计量为
2
时
3
令
1
当
6
，故
5
，表明L是μ的严格递增函数，又
4
第二个似然方程求不出θ的估计值，观察
添加标题
所以当
01
添加标题
从而参数θ和μ的最大似然估计值分别为
03
添加标题
时L 取到最大值
02
添加标题
概率论与数理统计ppt课件
注：P( A) 0不能 A ； P( B) 1不能 B S .
2。 A1 , A2 ,...,An , Ai Aj , i j, P( P(
n n i 1
Ai ) P( Ai )
i 1
n
证：令 Ank (k 1, 2,...), Ai Aj , i j, i, j 1, 2,....
•
5.1 大数定律 5.2 中心极限定理
•
第六章 数理统计的基本概念
• • 6.1 总体和样本 6.2 常用的分布
4
第七章 参数估计
• • • 7.1 参数的点估计 7.2 估计量的评选标准 7.3 区间估计
第八章 假设检验
• • • • • • • 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 假设检验 正态总体均值的假设检验 正态总体方差的假设检验 置信区间与假设检验之间的关系 样本容量的选取 分布拟合检验 秩和检验
A B 2 A＝B B A
B A
S
例： 记A={明天天晴}，B={明天无雨} B A
记A={至少有10人候车}，B={至少有5人候车} B
A
一枚硬币抛两次，A={第一次是正面}，B={至少有一次正面}
BA
13
事件的运算
A与B的和事件，记为 A B
8
§1 随机试验
确定性现象
自然界与社会Βιβλιοθήκη 活中的两类现象不确定性现象
确定性现象：结果确定 不确定性现象：结果不确定
例：
向上抛出的物体会掉落到地上 ——确定 ——不确定 明天天气状况 ——不确定 买了彩票会中奖
2024全新统计学ppt课件(2024)
非平稳时间序列转换方法
01
02
03
转换后时间序列建模与 预测
对转换后序列进行平稳 性检验
选择合适模型进行建模 与预测
2024/1/29
33
组合预测模型应用
2024/1/29
组合预测模型原理
综合多个单一模型预测结果，提高预测精度和 稳定性。 组合预测模型构建步骤
34
组合预测模型应用
选择合适的单一预测模型
单侧检验与双侧检验
介绍单侧检验与双侧检验的概 念，根据实际问题选择合适的 检验类型。
常见的假设检验方法
列举并介绍常见的Z检验、t检 验、F检验和χ²检验等方法，阐 述其适用条件和计算步骤。
假设检验的注意事项
讨论假设检验中可能犯的第一 类错误和第二类错误，阐述样
本容量对假设检验的影响。
17
04
方差分析与回归分析应用举例
数据输入与格式设置
快速输入数据、设置数据格式、使用数据验 证等技巧。
数据可视化
创建图表、修改图表样式、添加数据标签等 可视化操作。
2024/1/29
数据整理与清洗
利用筛选、排序、查找替换等功能进行数据 清洗。
数据分析工具
使用Excel内置的数据分析工具进行描述性 统计、回归分析等。
38
SPSS软件操作界面简介
分布函数与概率密度函数
02
定义分布函数，介绍离散型随机变量的概率分布列及连续型随
机变量的概率密度函数。
常见的随机变量分布
03
列举并介绍常见的离散型（如二项分布、泊松分布）和连续型
（如正态分布、指数分布）随机变量分布。
15
参数估计方法
2024/1/29
《概率统计GT》课件
贝叶斯网络
01
贝叶斯网络是一种基于概率的图 形化模型，用于表示随机变量之 间的概率依赖关系。
02
贝叶斯网络可以用于分类、聚类 、异常检测和因果推理等多种任 务，在人工智能、机器学习和数 据挖掘等领域有广泛的应用。
04
大数定律与中心极限定理
大数定律
01
02
03
定义
大数定律是指在大量重复 实验中，某一事件发生的 频率将趋近于其发生的概 率。
THANKS
性质
马尔科夫链具有无后效性、齐次性、可分解性等 性质。
应用
马尔科夫链在预测、决策、优化等领域有广泛的 应用。
马尔科夫链蒙特卡洛方法
1 2 3
定义
马尔科夫链蒙特卡洛方法是一种基于马尔科夫链 的统计模拟方法，用于求解复杂的数学问题。
原理
通过构造一个马尔科夫链，使其平稳分布为目标 分布，然后通过迭代该马尔科夫链来近似求解目 标分布的数学期望。
离散型随机变量
离散型随机变量的取值是离散的，其 概率分布可以用概率质量函数描述。
02
统计推断
参数估计
参数估计的概念
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过 程，包括点估计和区间估计两种方法。
点估计
点估计是对总体参数的一个近似值，通过样 本统计量（如样本均值、样本比例等）来计 算。
区间估计
区间估计是根据一定的置信水平，估计总体 参数可能落入的区间范围，通常以置信区间 表示。
回归分析的类型
包括线性回归、多项式回归、逻辑 回归等。
回归分析的步骤
包括确定因变量和自变量、建立数 学模型、进行模型拟合和评估、进 行预测或解释等。
03
贝叶斯统计
贝叶斯定理与贝叶斯决策
高数二概率统计
极大似然估计
如泊松分布总体X~P(λ): 如泊松分布总体
= λ ∑
x
i i= 1
极大似然估计
P ( X 1 = x 1 , X 2 = x 2 ,K , X n = x n ) = n
∏
i=1
n
λ e−λ xi!
xi
∏
n
e x i!
− nλ
= L (x
1
,x
2
,K , x
n
;λ )
i= 1
取对数 ln L =
2 2
n
σ ∑σ = n i= 1
n 2
2 2
2
∴E X = D + (E ) = σ + µ X X 2 2 σ 2 2 EX = DX + (EX) = +µ n
2 1 1 2 2 ES = E ∑(xi − x) = E( ∑xi − x ) n i=1 n i=1 2 n
估计的无偏性
n n
矩法估计
大夫会问腹泻的病人吃过什 么？中国足球队与巴西比赛 结果4： ；张三与李昌镐中 结果 ：0；张三与李昌镐中 盘决出胜负……。有几种可 盘决出胜负 。有几种可 能发生时人们总往可能性最 大的一种想。
极大似然估计
步骤：写出与概率有关的“ 步骤：写出与概率有关的“似 然函数”通常是联合分布列 然函数” 或联合概率密度函数，求其 对数，再求偏导数令它为0， 对数，再求偏导数令它为 ， 求出能使似然函数获极大值 的未知参数的值。
如正态总体X 如正态总体X～N(μ,σ2): 记τ=σ2
2
极大似然估计
n i =1
L(x1 , x2 ,K, xn ;µ, σ ) = p(x1 , x2 ,K, xn )
电子科大概率论C7_2 估计量的优良性准则
1. X 2. X 1 3. X 1 X 2 4. 0.1 X 1 0.2 X 2 0.7 X 3
电子科技大学
估计量的优良性准则
19.2.10
可见，一个参数的无偏估计可以有很多.
无偏估计只能保证估计无系统误差：
ˆ ) 0 E (
θ
ˆ 的取值在θ及其附近越密集越好， 希望 θ
其方差应尽量小.
2)
3 2 D(Y ) E (Y ) E (Y ) , 80 3 2 2 2 D( Z ) E ( Z ) E ( Z ) , 80 4 D( Y ) D(4 Z ) 3
2 2
4 即 max X i 比 2 4 min X i 的方差小 . 3 1 i 3 1 i 3
19.2.10
证明 S2 是σ2 的无偏估计量
例1 设总体的方差 D(X)=σ2 >0，则样本方差S2
是σ2的无偏估计. 证
( n 1) S ( X i X ) X i nX 2
2 2 2 i 1 i 1 n n
( n 1) E ( S 2 ) E ( X i 2 ) nE ( X 2 )
估计量的优良性准则
19.2.10
§7.2 估计量的优良性准则 对于总体的一个参数，可用各种不同的方法去 估计它，因此一个参数的估计量不唯一. 如 X~U(0,θ) ,θ的矩法估计量为 2 X ， 极大似然估计量为 max{ X i }
1 i n
在众多的估计量中选哪一个更好？
选取的标准是什么？ 三个常用准则：无偏性、有效性、相合性.
1 n 2 D X i n 1 n 2 P X i 2 i 1 2 n i 1
电子科技大学
估计量的优良性准则
19.2.10
可见，一个参数的无偏估计可以有很多.
无偏估计只能保证估计无系统误差：
ˆ ) 0 E (
θ
ˆ 的取值在θ及其附近越密集越好， 希望 θ
其方差应尽量小.
2)
3 2 D(Y ) E (Y ) E (Y ) , 80 3 2 2 2 D( Z ) E ( Z ) E ( Z ) , 80 4 D( Y ) D(4 Z ) 3
2 2
4 即 max X i 比 2 4 min X i 的方差小 . 3 1 i 3 1 i 3
19.2.10
证明 S2 是σ2 的无偏估计量
例1 设总体的方差 D(X)=σ2 >0，则样本方差S2
是σ2的无偏估计. 证
( n 1) S ( X i X ) X i nX 2
2 2 2 i 1 i 1 n n
( n 1) E ( S 2 ) E ( X i 2 ) nE ( X 2 )
估计量的优良性准则
19.2.10
§7.2 估计量的优良性准则 对于总体的一个参数，可用各种不同的方法去 估计它，因此一个参数的估计量不唯一. 如 X~U(0,θ) ,θ的矩法估计量为 2 X ， 极大似然估计量为 max{ X i }
1 i n
在众多的估计量中选哪一个更好？
选取的标准是什么？ 三个常用准则：无偏性、有效性、相合性.
1 n 2 D X i n 1 n 2 P X i 2 i 1 2 n i 1
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f
(
x;
)
1
x
e
,
0,
x 0, 其他.
其中参数 0,又设X1, X2,, Xn是来自总体X的
样本, 试证X 和nZ n[min(X1, X2,, Xn)]都是
的无偏估计.
证明 因为 E(X)E(X),
所以 X是的无偏估 . 计量
12
而 Z mX i1,n X 2, (,X n )服从 n 的 参指 数 ,
总X 体 的 k阶矩 kE(Xk)的相合 , 估计 进而若待 g(估 1,2, 参 ,n)数 其 , g中 为连 函,则 数 的矩估 ˆg(计 ˆ1,ˆ2,量 ,ˆn)g(A 1,A 2, ,A n)是 的相合 . 估计量
又设X1, X2,, Xn是X的一个样本，试证论明不
总体服从什么,分k阶 布样本矩 Ak
1n n i1
Xik
是k
阶总体矩 k 的无偏估.计
证 因 X 1 ,为 X 2 , ,X n 与 X 同分布，
故E 有 (X ik)E (X k) k ,i 1 ,2 , ,n .
即E(Ak)n 1i n1E(Xik) k.
证明
由D (于 ˆ1 ) 4 D (X )n4D(X)
2 ,
3n
D(ˆ2)Dnn 1Xhnn12DXh,
又因 E(X 为 h)nn 1,
16
E(Xh2)0
nnxn1dx
n
n
2
2
,
D (X h ) E (X h 2 ) [E (X h )2]
(n1)n2(n2)2,
故D(ˆ2)n(n12)2,
2
二、无偏性
若 X 1,X 2, ,X n 为X 总 的体 一个
是包含在 X的 总分 体布中的, 待估 (是的取值)范围
若估计 ˆ量 (X1,X2,,Xn)的数学期 E(ˆ)存,在 且对于 任 有 意 E(ˆ), 则称 ˆ是的无偏.估计量
无偏估计的实际意义: 无系统误差.
3
例1 设总体X的k 阶矩k E(Xk)(k 1)存在,
的样本 2， 的试 无求 偏 . 估计量
解 由定理二知
n 21S2~2(n1),
E n1S
0
xn1 22
1
x n11
e2x2 dx
n1
2n211n21
2
x n1
2
e 2x2 dx
0
n
2
n
2 1
,
8
E(S)
n21 n n221,
故S不是 的无偏估 , 计量
n21nn221S是的无偏估. 计量
又 n 2 ,所 D ( ˆ 2 ) 以 D ( ˆ 1 ), ˆ2较 ˆ1有.效
17
四、相合性（一致性）
若ˆˆ(X1,X2,,Xn)为参的 数估计 , 量 若对于 任 ,当 意 n时,ˆ(X1,X2,,Xn) 依概率收 ,则 敛称 ˆ于 为的相合估 . 计量
例如 由第六章 ,样 第 k本 (k二 1)阶 节矩 知是
概率密 fmi(n 度 x;) nenx,
0,
x0, 其.他
故知 E(Z), E(n)Z,
n
所以 nZ也是 的无偏估 . 计量
由以上两例可知,一个参数可以有不同的无 偏估计量.
13
三、有效性
比较参 的数两个无偏 ˆ1和 估ˆ2计 ,如量 果 在样本n容 相量 同的情 ,ˆ1况 的下 观察值在真 的附近 ˆ2更 较密,则 集认ˆ1为 较ˆ2 有效 .
证明 由D 于 (X)2, 故有D(X)2,
n
又因D 为 (Z)n22,
故D 有 (n)Z 2,
当n1时, D (n)Z D (X),
故 的无偏X估 较 n计 Z 有.量 效
15
例7 (续例4) 在例 4中已证 ˆ1明 2X
和ˆ2 nn1maxX1{,X2,,Xn}都是 的无偏估
计量 ,现证n当 2时, ˆ2较ˆ1有效 .
由于方差是随机变量取值与其数学期望的 偏离程度, 所以无偏估计以方差小者为好.
设 ˆ1ˆ1(X1,X2, ,Xn)与 ˆ2ˆ2(X1,X2, ,Xn) 都是 的无偏 , 若 估D 有 (计 ˆ1)D 量 (ˆ2), 则ˆ称 1较 ˆ2有.效
14
例6 (续例5)
试证 n1时 当 ,的无偏 X 较 n估 有 Z.计 效量
9
例4 设 总 体 X在[0,]上 服 从 均 匀 分 布 ,参 数 0,
X1,X2, ,Xn是 来 自 总 体 X的 样 本 ， 试 证 明 2X和
证nn 1因 max(X1 E ,X ( 为 2 2X , ), X2 nE )都 (X 是 )的 2E 无 (偏 X估 )计 2. ,
2
所以 2X是的无偏估 . 计量
n
若以n 乘ˆ2,所得到的估计 偏量 的 . 就是
n1 (这种方法称为无偏化).
E nn 1ˆ2 nn 1E (ˆ2)2.
因为 nn 1ˆ2S2n11in1(Xi X2),
即S2是2的无偏,估 故计通S常 2作 取 2的估.计
7
例3（略）设 X1,X2, ,Xn是来自N 正 (, 态 2) 总
第三节 估计量的评选标准
1
一、问题的提出
从前一节可以看到, 对于同一个参数, 用不 同的估计方法求出的估计量可能不相同, 矩估计、 极大似然估计、Bayes估计等. 而且, 很明显, 原 则上任何统计量都可以作为未知参数的估计量. 问题 (1)对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好? (2)评价估计量的标准是什么? 下面介绍几个常用标准.
因 X h 为 mX a 1 ,X 2 x , ,(X n )的概率密
nxn1
f(x) n ,
0x,
0,
其他
10
所以 E (X h)0 xnn n x 1d x
n ,
n1
故有 Enn 1Xh,
故 nn 1maX1x ,X (2, ,Xn)也是 的无偏 . 估
11
例5 设总体X服从参数为的指数分布, 概率密度
是有偏(即 的不是无)偏 . 估计
证
ˆ2
1 n ni1
Xi2
X2A2X2,
因E ( 为 A 2)222,
又E ( 因 X 2 ) D (X 为 ) [ E (X )2 ] 2 2,
n
所 E (ˆ 以 2 ) E (A 2 X 2 )E (A 2)E (X 2)
6
n12 2, 所以 ˆ2是有偏 . 的
4
故 k阶样 A k是 k 本 阶矩 总 k的 体 无 .矩 偏
特别的: 不论总体 X 服从什么分布, 只要它的数学期望存在,
X 总是 X 的 总数 体 1 学 E (X 期 )的望 无偏
估计 . 量
5
例2 对于均 ,方 值差 20都存在的 ,若总体
, 2均为未 ,则知 2的估计 ˆ2量 n 1in1(Xi X)2