006第六讲：一元一次不等式
第6讲 一元一次不等式的应用八年级数学下册同步讲义(北师大版)
第6讲一元一次不等式的应用目标导航2．能够利用观察一次函数图象直接求出不等式的解.3．有关一元一次不等式与一次函数的实际应用方案问题，必须熟练掌握.知识精讲知识点01 由实际问题抽象出一元一次不等式用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系．【知识拓展1】（2020秋•海曙区期末）海曙区禁毒知识竞赛共有20道题，每一题答对得5分，答错或不答都扣2分，小明得分要超过80分，他至少要答对多少道题？如果设小明答对x道题，则他答错或不答的题数为20﹣x，根据题意得（）A．5x﹣2（20﹣x）≥80B．5x﹣2（20﹣x）≤80C．5x﹣2（20﹣x）＞80D．5x﹣2（20﹣x）＜80【即学即练1】（2021春•高新区期末）一次环保知识竞赛共有20道选择题，答对一题得5分；答错或不答，每题扣1分．要使总得分不少于88分，则至少要答对几道题？若设答对x道题，可列出的不等式为（）A．5x﹣（20﹣x）＞88B．5x﹣（20﹣x）＜88C．5x﹣x≥88D．5x﹣（20﹣x）≥88【即学即练2】（2021春•宜州区期末）在“建党百年”知识抢答赛中，共有20道题，对于每一题，答对得10分，答错或不答扣5分，则至少答对多少题，得分才不低于95分？设答对x题，则可列不等式为（）A．10x﹣5（20﹣x）≥95B．10x+5（20﹣x）≥95C．10x﹣5（20﹣x）＞95D．10x+5（20﹣x）＞95【即学即练3】（2021•桂林模拟）某次数学竞赛共有16道题，评分办法是：每答对一道题得6分，每答错一道题扣2分，不答的题不扣分也不得分．已知某同学参加了这次竞赛，成绩超过了60分，且只有一道题未作答．设该同学答对了x道题，根据题意，下面列出的不等式正确的是（）A．6x﹣2（16﹣1﹣x）≥60B．6x﹣2（16﹣1﹣x）＞60C．6x﹣2（16﹣x）≥60D．6x﹣2（16﹣x）＞60知识点02 一元一次不等式的应用（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．②根据题中的不等关系列出不等式．③解不等式，求出解集．④写出符合题意的解．【知识拓展1】（2021秋•西湖区校级期中）为鼓励居民使用天然气，某市天然气公司采用一种收费办法．若整个小区每户都安装，收整体初装费10000元，再对每户收费500元，某小区住户按这种收费方法全部安装天然气后，每户平均支付不足1000元，则这个小区的住户数（）A．至少20户B．至多20户C．至少21户D．至多21户【即学即练1】（2021•梁园区校级一模）某学校为响应政府号召，需要购买一批分类垃圾桶，分为蓝色（可回收），绿色（易腐），红色（有害垃圾）和黑色（其他）四类，学校打算买其中蓝色和黑色共100个（两种都得有），黑色的50元/个，蓝色的60元/个，总费用不超过5060元，则不同的购买方式有（）A．6种B．7种C．8种D．9种【即学即练2】（2021秋•虎林市期末）某次知识竞赛共有20道题，答对一题得10分，答错或不答均扣5分，小玉得分超过95分，他至少要答对（）道题．A．12B．13C．14D．15【即学即练3】（2021秋•永定区期末）某商店为了促销一种定价为3元的商品，采取下列方式优惠销售：若一次性购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分按原价八折付款．如果小明有30元钱，那么他最多可以购买该商品（）A．9件B．10件C．11件D．12件【知识拓展2】（2021秋•盐田区校级期末）超市要到厂家采购甲、乙两种工艺品共100个，付款总额不超（1）最多可采购甲种工艺品多少个？（2）若把100个工艺品全部以零售价售出，为使利润不低于2580元，则最少采购甲种工艺品多少个？【即学即练1】（2021秋•道里区期末）某班班主任对在某次考试中取得优异成绩的同学进行表彰．到商场购买了甲、乙两种文具作为奖品，若购买甲种文具12个，乙种文具18个，共花费420元；若购买甲种文具16个，乙种文具14个，共花费460元；（1）求购买一个甲种、一个乙种文具各需多少元？（2）班主任决定购买甲、乙两种文具共30个，如果班主任此次购买甲、乙两种文具的总费用不超过500元，求至多需要购买多少个甲种文具？【即学即练2】（2021秋•澧县期末）2021年冬季即将来临，德强学校准备组织七年级学生参观冰雪大世界．参观门票学生票价为160元，冰雪大世界经营方为学校推出两种优惠方案，方案一：“所有学生门票一律九折”；方案二：“如果学生人数超过100人，则超出的部分打八折”．（1）求参观学生为多少人时，两种方案费用一样．（2）学校准备租车送学生去冰雪大世界，如果单独租用45座的客车若干辆，则有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆，且其余客车恰好坐满，求我校七年级共有多少学生参观冰雪大世界？（司机不占用客车座位数）（3）在（2）的条件下，学校采用哪种优惠方案购买门票更省钱？【知识拓展3】（2021秋•上城区校级期中）我市某初中举行“八荣八耻”知识抢答赛，总共50道抢答题，抢答规定，抢答对1题得3分，抢答错1题扣1分，不抢答得0分，小军参加了抢答比赛，只抢答了其中的20道题，要使最后得分不少于50分，那么小军至少要答对（）道题？A．17B．18C．19D．20【即学即练1】（2021秋•滨江区校级期中）某种商品进价为700元，标价1100元，由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于10%，则至多可以打（）折．A．9B．8C．7D．6【即学即练2】（2021•嵊州市模拟）随看科技的进步，我们可以通过手机APP实时查看公交车到站情况．小明想乘公交车，可又不想静静地等在A站．他从A站往B站走了一段路，拿出手机查看了公交车到站情况，发现他与公交车的距离为720m（如图），此时有两种选择：（1）与公交车相向而行，到A公交站去乘车；（2）与公交车同向而行，到B公交站去乘车．假设小明的速度是公交车速度的，若要保证小明不会错过这辆公交车，则A，B两公交站之间的距离最大为（）A．240m B．300m C．320m D．360m知识点03 一次函数与一元一次不等式（1）一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）．当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜；当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞．【知识拓展1】（2021秋•瑶海区期末）如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点A（﹣3，2），则关于x的不等式kx+b＜2解集为（）A．x＞﹣3B．x＜﹣3C．x＞2D．x＜2【即学即练1】（2021秋•蜀山区期末）一次函数y＝kx+b（k，b为常数且k≠0）的图象如图所示，且经过点（﹣2，0），则关于x的不等式kx+b＞0的解集为．【即学即练2】（2021秋•槐荫区期末）如图，一次函数y＝2x+8的图象经过点A（﹣2，4），则不等式2x+8＞4的解集是（）A．x＜﹣2B．x＞﹣2C．x＜0D．x＞0【即学即练3】（2021秋•龙凤区期末）一次函数y＝mx﹣n（m，n为常数）的图象如图所示，则不等式mx ﹣n≥0的解集是（）A．x≥2B．x≤2C．x≥3D．x≤3【即学即练4】直线y＝kx+b交坐标轴于A（﹣2，0），B（0，3）两点，则关于x的不等式kx+b＜0的解集是．【知识拓展2】（2021•滨江区校级三模）一次函数y1＝ax﹣a+1（a为常数，且a≠0）．（1）若点（﹣1，3）在一次函数y1＝ax﹣a+1的图象上，求a的值；（2）若a＞0，当﹣1≤x≤2时，函数有最大值5，求出此时一次函数y1的表达式；（3）对于一次函数y2＝kx+2k﹣4（k≠0），若对任意实数x，y1＞y2都成立，求k的取值范围．【即学即练1】（2021•龙岩模拟）对于平面直角坐标系xOy中第一象限内的点P（x，y）和图形W，给出如下定义：过点P作x轴和y轴的垂线，垂足分别为M，N，若图形W中的任意一点Q（a，b）满足a≤x 且b≤y，则称四边形PMON是图形W的一个覆盖，点P为这个覆盖的一个特征点．例：若M（1，3），N（4，3），则点P（5，4）为线段MN的一个覆盖的特征点．已知A（1，4），B（4，1），C（2，4），求解下列问题：（1）在P1（2，4），P2（4，4），P3（5，5）中，是△ABC的覆盖特征点的有P2，P3；（2）若在一次函数y＝mx+6（m≠0）的图象上存在△ABC的覆盖的特征点，求m的取值范围．【即学即练2】（2020秋•丰都县期末）问题：探究函数y＝|x+1|﹣2的图象和性质．小华根据学习函数的方法和经验，进行了如下探究，下面是小华的探究过程，请补充完整：（1）下表是y与x的几组对应值，请将表格补充完整：x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣10123…y…21m n﹣2﹣1012…表格中m的值为，n的值为．（2）如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图象；（提示：先用铅笔画图，确定后用签字笔画图）（3）进一步探究：观察函数的图象，可以得出此函数的如下结论：①当自变量时，函数y随x的增大而增大；②当自变量x的值为时，y＝3；③解不等式|x+1|﹣2＜0的结果为．能力拓展例1．（2020·黑龙江哈尔滨市·九年级一模）2020年初武汉爆发新冠肺炎疫情，使得口罩成为人们生活的必需品．爱民药店库存一批N95和普通医用两种类型口罩，N95口罩进价是普通医用口罩进价的5倍，药店把N95口罩和普通医用口罩在进价基础上分别加价40%、50%做为零售价．某人在爱民药店用84元购买一种口罩，发现买普通医用口罩的数量恰好比买N95口罩的数量4倍还多4个．（1）求两种口罩的进价分别是多少元?（2）随着疫情的进一步恶化，爱民药店的口罩很快被抢购一空．该药店再去厂家进货时发现，由于原材料上涨，N95口罩进价上涨20%，普通医用口罩进价上涨了30%．爱民药店购进这两种口罩共1500个，在零售时，N95口罩保持原售价不变，而普通医用口罩在原售价基础上上调20%，该药店要想在这批口罩全部售出后的利润不少于2000元（不考虑其它因素），则这次至少购进N95口罩多少个?例2．（2020·黑龙江哈尔滨市·九年级三模）某加工厂甲、乙二人制造同一种机械零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙作60个所用的时间相等．（1）求甲、乙每小时各做多少个机械零件．（2）该加工厂急需甲、乙二人制造该种机械零件228个，由于乙另有其它任务，所以先由甲工作若干小时后再由甲、乙共同完成剩余的任务，工厂要求必须不超过10小时完成任务，请你求出乙至少工作多少小时？【变式1】（2020·长沙市雅礼实验中学八年级月考）“四书五经”是中国的“圣经”，“四书五经”是《大学》、《中庸》、《论语》和《孟子》（四书）及《诗经》、《尚书》、《易经》、《礼记》、《春秋》（五经）的总称，这是一部被中国人读了几千年的教科书，包含了中国古代的政治理想和治国之道，是我们了解中国古代社会的一把钥匙．某学校计划分阶段引导学生读这些书，先购买《论语》和《孟子》供学生阅读．已知购进《孟子》和《论语》，已知一本《孟子》的进价与一本《论语》的进价的和为40元，用90元购进《孟子》的本数与用150元购进《论语》的本数相同．（1）求每本《孟子》、每本《论语》的进价分别是多少元？（2）今年《孟子》和《论语》的单价和去年相比保持不变，该学校计划购进《孟子》和《论语》共100本，但花费总额不超过1800元，求最少购进《孟子》多少本？【变式2】（2020·沙坪坝区·重庆八中八年级月考）受疫情影响，口罩价格不断走高.3月20日当天口罩的价格是年初的1.5倍；3月20日当天，王老师购买4盒口罩比年初多花了48元.（1）那么3月20日当天口罩的价格为每盒多少元？（2）3月20日，按照（1）中的口罩价格，某售卖点共卖出1000盒口罩.3月21日，政府决定投入储备口罩并规定其销售价在3月20日的基础上下调0.7%a出售.该售卖点按规定价出售一批储备口罩和非储备口罩，该售卖点的非储备口罩仍按3月20日的价格出售，3月21日当天的两种口罩总销量比3月20日增加了20%，且储备口罩的销量占总销量的56，两种口罩销售的总金额比3月20日至少提高了1%10a，求a的最大值.【变式3】（2020·和平县实验初级中学七年级月考）某班为了开展乒乓球比赛活动，准备购买一些乒乓球和乒乓球拍，通过去商店了解情况，甲乙两家商店出售同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价48元，乒乓球每盒定价12元，经商谈，甲乙两家商店给出了如下优惠措施：甲店每买一副乒乓球拍赠送一盒乒乓球，乙店全部按定价的9折优惠．现该班急需乒乓球拍5副，乒乓球x盒（不少于5盒）．（1）请用含x的代数式表示：去甲店购买所需的费用；去乙店购买所需的费用．（结果要求化简）（2）当需要购买40盒乒乓球时，通过计算，说明此时去哪家商店购买较为合算；（3）试探究，当购买乒乓球的盒数x取什么值时，去哪家商店购买更划算？【变式4】（2020·浙江省杭州市萧山区高桥初级中学八年级期中）某商场计划经销A、B两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价、售价如表所示：（2）在每种台灯销售利润不变的情况下，若该商场销售这批台灯的总利润不少于1400元，问至少购进B 种台灯多少盏？【变式5】（2020·舟山市第一初级中学八年级期中）在抗击新冠肺炎疫情期间，我校购买酒精和消毒液两种消毒物资，供师生使用．第一次购买酒精和消毒液若干，酒精每瓶10元，消毒液每瓶5元，共花费了350元；第二次又购买了与第一次相同数量的酒精和消毒液，由于恰逢商城打折，酒精和消毒液每瓶价格分别打7折和8折，此次只花费了260元．（1）求每次购买的酒精和消毒液分别是多少瓶？（2）若按照第二次购买的价格再一次购买，根据需要，购买的酒精数量是消毒液数量的2倍，现有购买资金200元，则最多能购买消毒液多少瓶？【变式6】（2019·山西八年级期末）山西民间的雕刻艺术源远流长，主要以古代传统吉祥纹样为素材，以石雕、木雕砖雕等形式，来体现主人的高尚情操和文化修养以及人们的美好愿望.某木雕经销商购进“木象”和“木马”两种雕刻艺术品，购“木象”艺术品共用了2000元，“木马”艺术品共用了2400元已知“木马”每件的进价比“木象”每件的进价贵8元，且购进“木象”“木马”的数量相同.()1求每件“木象”、“木马”艺术品的进价；()2该经销商将购进的两种艺术品进行销售，“木象”的销售单价为60元，“木马”的销售单价为88元，销售过程中发现“木象”的销量不好，经销商决定:“木象”销售一定数量后，将剩余的“木象”按原销售单价的七折销售；“木马”的销售单价保持不变要使两种艺术品全部售完后共获利不少于2460元，问“木象”按原销售单价应至少销售多少件？题组A 基础过关练1．如图，一次函数y ＝kx+b （k ，b 为常数，且k ≠0）的图象过点A （0，﹣1），B （1，1），则不等式kx+b ＞1的解集为（ ）A ．x ＞0B ．x ＜0C ．x ＞1D ．x ＜12．如图，直线y ＝kx+b 与直线y ＝3x ﹣2相交于点（12，﹣12），则不等式3x ﹣2＜kx+b 的解为（ ）A ．x ＞12B ．x ＜12C ．x ＞﹣12D ．x ＜﹣123．如图，一次函数y kx b =+（,k b 为常数，且0k ≠）的图像经过点(3,2)-，则关于x 的不等式2kx b +<的解集为（ ）A ．3x >-B ．3x <-C ．2x >D ．2x <分层提分4.如图，射线1l反映了某棉业有限公司的加工销售收入与销售量的之间的函数关系，射线2l反映了该公司的加工成本与销售量之间的关系，当该公司盈利时，销售量应为（）A．大于3t B．等于4t C．小于6t D．大于6t5．（2021秋•澧县期末）目前新冠变异毒株“奥密克戎”肆虐全球，疫情防控形势严峻．体温T超过37.3℃的必须如实报告，并主动到发热门诊就诊．体温“超过37.3℃”用不等式表示为（）A．T＞37.3℃B．T＜37.3℃C．T≤37.3℃D．T≤﹣37.3℃6．（2020秋•海曙区期末）海曙区禁毒知识竞赛共有20道题，每一题答对得5分，答错或不答都扣2分，小明得分要超过80分，他至少要答对多少道题？如果设小明答对x道题，则他答错或不答的题数为20﹣x，根据题意得（）A．5x﹣2（20﹣x）≥80B．5x﹣2（20﹣x）≤80C．5x﹣2（20﹣x）＞80D．5x﹣2（20﹣x）＜807．（2021春•龙华区期末）某校拟用不超过2600元的资金在新华书店购买党史和改革开放史书籍共40套来供学生借阅，其中党史每套72元，改革开放史每套60元，那么学校最多可以购买党史书籍多少套？设学校可以购买党史书籍x套，根据题意得（）A．72x+60（40﹣x）≤2600B．72x+60（40﹣x）＜2600C．72x+60（40﹣x）≥2600D．72x+60（40﹣x）＝26008．（2021秋•西湖区校级期中）为鼓励居民使用天然气，某市天然气公司采用一种收费办法．若整个小区每户都安装，收整体初装费10000元，再对每户收费500元，某小区住户按这种收费方法全部安装天然气后，每户平均支付不足1000元，则这个小区的住户数（）A．至少20户B．至多20户C．至少21户D．至多21户9．（2021•梁园区校级一模）某学校为响应政府号召，需要购买一批分类垃圾桶，分为蓝色（可回收），绿色（易腐），红色（有害垃圾）和黑色（其他）四类，学校打算买其中蓝色和黑色共100个（两种都得有），黑色的50元/个，蓝色的60元/个，总费用不超过5060元，则不同的购买方式有（ ）A ．6种B ．7种C ．8种D ．9种．10.（2021•集美区模拟）小军到水果店买水果，他身上带的钱恰好可以购买15个苹果或21个橙子，若小军先买了9个苹果，则他身上剩下的钱最多可买橙子（ ）A ．7个B ．8个C ．9个D ．10个11．（2021春•无棣县期末）某种商品的进价为40元，出售时标价为60元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（ ）折．A ．7B ．6C ．8D ．512.已知一次函数y kx b =+的图像如图所示，则关于x 的不等式320kx b ->的解集为_____．13．（2021秋•温州期中）全国文明城市创建期间，某校组织开展“垃圾分类”知识竞赛，共有25道题．答对一题记4分，答错（或不答）一题记﹣2分．小明参加本次竞赛得分要超过60分，他至少要答对 道题．14．（2021春•老河口市期末）某种商品的进价为1000元，出售时标价为1500元，由于该商品积压，商店决定打折出售，但要保证利润率不低于20%，则至多可打 折．15．（2021春•平罗县期末）在某次篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场扣1分，某队预计在2019﹣2020赛季全部32场比赛中最少得到48分，才有希望进入季后赛，则这个队至少胜 场才有希望进入季后赛．16．（2021春•榆阳区期末）为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购A 、B 两种型号的一体机共1100套，已知去年每套A 型一体机1.2万元每套、B 型一体机1.8万元，经过调查发现，今年每套A 型一体机的价格比去年上涨25%，每套B 型一体机的价格不变，若购买B 型一体机的总费用不低于购买A 型一体机的总费用，则该市最多可以购买 套A 型一体机．17．某工厂计划生产A，B两种产品共10件，其生产成本和利润如表．（1）若工厂计划获利14万元，则A，B两种产品应分别生产多少件？（2）若工厂计划投入资金不多于44万元，且生产A产品x件，请列出不等式．18．（2021•福建模拟）疫情期间为了满足测温的需求，某学校决定购进一批额温枪．经了解市场，购买A 种品牌的额温枪每支300元，B种品牌的额温枪每支350元．经与商家协商，A种品牌的额温枪降价15%，B种品牌的额温枪打八折销售．若购买两种品牌的额温枪共50支且总费用不超过13000元，则至少要购买A种品牌的额温枪多少支？19．（2021春•淮阳区校级期末）某市要创建“全国文明城市”．其小区为了响应号召，计划购进A，B两种树苗共23棵．已知A种树苗每棵100元，B种树苗每棵80元．（1）若购进A，B两种树苗共花费了2100元，问购进A，B两种树苗各多少棵？（2）若购进A种树苗的数量不少于B种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．题组B 能力提升练1．如图，一次函数y ＝kx ＋b(k ≠0)的图象经过点A(－2，4)，则不等式kx ＋b ＞4的解集是( )A ．x ＜－2B ．x ＞－2C ．x ＜0D ．x ＞02．如图，若一次函数y ＝－2x ＋b 的图象与两坐标轴分别交于A ，B 两点，点A 的坐标为(0，3)，则不等式－2x ＋b ＞0的解集为( )A ．x ＞32B ．x ＜32C ．x ＞3D ．x ＜33.若一次函数y ＝kx ＋b(k ，b 为常数，且k ≠0)的图象经过点A(0，－1)，B(1，1)，则不等式kx ＋b ＞1的解集为( )A ．x ＜0B ．x ＞0C ．x ＜1D ．x ＞14．如图，直线y ＝kx ＋b(k ≠0)经过点(－1，3)，则不等式kx ＋b ≥3的解集为( )A ．x ＞－1B ．x ＜－1C ．x ≥3D ．x ≥－15.如图，直线y＝kx－b与横轴、纵轴的交点分别是(m，0)，(0，n)，则关于x的不等式kx－b≥0的解集为( )A．x≥m B．x≤mC．x≥n D．x≤n6.如图，直线y＝kx＋b(k、b是常数k≠0)与直线y＝2交于点A(4，2)，则关于x的不等式kx＋b＜2的解集为___．7.如图，直线y＝x＋2与直线y＝ax＋c相交于点P(m，3)，则关于x的不等式x＋2≤ax＋c的解集为____.8.一次函数y＝ax＋b与正比例函数y＝kx在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则关于x的不等式ax ＋b≥kx的解集为___．9．已知一次函数y1＝kx＋b与y2＝x＋a的图象如图所示，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③b＜0；④关于x的方程kx＋b＝x＋a的解为x＝3；⑤x＞3时，y1＜y2.其中正确的结论是____．(只填序号)10．在坐标系中作出函数y ＝2x ＋6的图象，利用图象解答下列问题：(1)求方程2x ＋6＝0的解；(2)求不等式2x ＋6＞－2的解集；(3)若2≤y ≤6，求x 的取值范围．11.如图，一次函数1: 22l y x =-的图像与x 轴交于点D ；一次函数2: l y kx b =+的图像与x 轴交于点A ，且经过点()3,1B ，两函数图像交于点(),2C m ．（1）求m ，k ，b 的值；（2）根据图象，直接写出122kx b x <+<-的解集．12.某单位要制作一批宣传材料，甲公司提出：每份材料收费25元，另收2 000的设计费；乙公司提出：每份材料收费35，不收设计费．(1)请用含x 代数式分别表示甲乙两家公司制作宣传材料的费用；(2)试比较哪家公司更优惠？说明理由．13.为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A ，B 两种树苗共17棵，已知A 种树苗每棵80元，B 种树苗每棵60元．(1)若购进A ，B 两种树苗刚好用去1 220元，问购进A ，B 两种树苗各多少棵？(2)若购买B 种树苗的数量少于A 种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．14.如图，一次函数y kx b =+的图象经过点()1,5A -，与x 轴交于点B ，与正比例函数3y x =的图象交于点C ，点C 的横坐标为1（1）求AB 的函数表达式；（2）若点D 在y 轴负半轴，且满足13COD BOC S S =△△，求点D 的坐标； （3）若3kx b x +<，请直接写出x 的取值范围．题组C 培优拔尖练一．填空题（共6小题）1．一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，现在要比原计划至少提前两天完成任务，请列出以后几天平均每天至少要完成的土方数x 应满足的不等式为 ． 2．（2021秋•江北区校级期中）据了解，受国庆节期间火爆上映的六部影片的影响，而其相关著作也受到广大书迷朋友的追捧．已知某网上书店《长津湖》的销售单价与《我和我的父辈》相同，《铁道英雄》的销售单价是《五个扑水的少年》单价的3倍，《长津湖》与《五个扑水的少年》的单价和大于50元且不超过60元；若自电影上映以来，《长津湖》与《五个扑水的少年》的日销售量相同，《我和我的父辈》的日销售量为《铁道英雄》日销售量的3倍，《长津湖》与《铁道英雄》的日销售量和为450本，且《长津湖》的日销售量不低于《铁道英雄》的日销售量的且小于230本，《长津湖》与《铁道英雄》的日销售额之和比《我和我的父辈》、《五个扑水的少年》的日销售额之和多2205元，则当《长津湖》、《铁道英雄》这两部小说日销售额之和最多时，《长津湖》的单价为 元．3．（2021春•许昌期末）为了提高学校的就餐效率，巫溪中学实践小组对食堂就餐情况进行调研后发现：在单位时间内，每个窗口买走午餐的人数和因不愿长久等待而到小卖部的人数各是一个固定值，并且发现若开一个窗口，45分钟可使等待的人都能买到午餐，若同时开2个窗口，则需30分钟．还发现，若能在15分钟内买到午餐，那么在单位时间内，去小卖部就餐的人就会减少80%．在学校总人数一定且人人都要就餐的情况下，为方便学生就餐，总务处要求食堂在10分钟内卖完午餐，至少要同时开多少 个窗口．4．（2019春•沙坪坝区校级期末）为迎接建国70周年，某商店购进A，B，C三种纪念品共若干件，且A，B，C三种纪念品的数量之比为8：7：9．一段时间后，根据销售情况，补充三种纪念品后，库存总数量比第一次多200件，且A，B，C三种纪念品的比例为9：10：10．又一段时间后，根据销售情况，再次补充三种纪念品，库存总数量比第二次多170件，且A，B，C三种纪念品的比例为7：6：6．已知第一次三种纪念品总数量不超过1000件，则第一次购进A种纪念品件．5．（2019•沙坪坝区校级二模）临近端午，某超市准备购进某品牌的白粽、豆沙粽、蛋黄粽，三种品种的粽子共1000袋（每袋均为同一品种的粽子），其中白粽每袋12个，豆沙粽每袋8个，蛋黄粽每袋6个．为了推广，超市还计划将三个品种的粽子各取出来，拆开后重新组合包装，制成A、B两种套装进行特价销售：A套装为每袋白粽4个，豆沙粽4个；B套装为每袋白粽4个，蛋黄粽2个，取出的袋数和套装的袋数均为正整数．若蛋黄粽的进货袋数不低于总进货袋数的，则豆沙粽最多购进袋．6．（2020秋•东阳市期末）已知直线y＝x+2与函数y＝图象交于A，B两点（点A在点B 的左边）．（1）点A的坐标是；（2）已知O是坐标原点，现把两个函数图象水平向右平移m个单位，点A，B平移后的对应点分别为A′，B′，连接OA′，OB′．当m＝时，|OA'﹣OB'|取最大值．二．解答题（共7小题）7．一次普法知识竞赛共有30道题，规定答对一题得4分，答错或不答倒扣1分，在这次竞赛中，小明获得80分以上，则小明至少答对多少道题？设小明答对x道题，用不等式表示题目中的不等关系．8．若一件商品的进价为500元，标价为750元，商店要求以利润率不低于5%的售价打折出售，问售货员最低打几折出售此商品设打x折，用不等式表示题目中的不等关系．。
《一元一次不等式》说课稿(精选5篇)
《一元一次不等式》说课稿（精选5篇）《一元一次不等式》说课稿1一、教学内容的分析1、教材的地位和作用(1)本节内容、是在学习了用方程思想解决实际问题和一元一次不等式的性质及其解法等知识的基础上、把实际问题和一元一次不等式结合在一起、既是对已学知识的运用和深化、又为今后用不等式组解决实际问题以及更广泛的应用数学建模的思想方法奠定基础、具有在代数学中承上启下的作用;(2)通过本节的学习、学生将继续经历把生活中的数和数量关系转化为数学符号的体验过程、体会不等式和方程一样都是刻画现实世界数量关系的重要模型。
(3)在列不等式解决实际问题的探索过程中、引导学生注意估算意识、体会算式结果所对应的实际意义、渗透建立数学模型、分类讨论等数学思想、对提升学生应用数学意识思考和解决问题的能力起到积极的作用。
2、教学的重点和难点对于用不等式解决实际问题、学生容易出现的认知困难主要有两个方面：①哪类的实际问题需要用一元一次不等式来解决;②如何将实际问题转化为一元一次不等式并加以解决。
根据以上的分析和《数学课程标准》对本课内容的教学要求、本节课的教学重点是：一元一次不等式在决策类实际问题中的应用;难点是：如何将实际问题中的数量关系符号化、并根据解集和结合实际情况分类讨论得出合理结论。
二、教学目标的确定根据本课教材的特点、《数学课程标准》对本节课的教学要求以及学生的认知水平、我从三个方面确定了以下教学目标：1、能进一步熟练的解一元一次不等式、能从实际问题中抽象出不等关系的数学模型、并结合解集解决简单的实际问题。
2、通过观察、实践、讨论等活动、积累利用一元一次不等式解决实际问题的经验、提高分类考虑、讨论问题的能力、感知方程与不等式的内在联系、体会不等式和方程同样都是刻画现实世界数量关系的重要模型。
3、在积极参与数学学习活动的过程中、体会实事求是的态度和从数学的角度思考问题的习惯;学会在解决困难时、与其他同学交流、相互启发、培养合作精神。
一元一次不等式
一元一次不等式一元一次不等式是高中数学中常见的题型，也是学习代数的基础内容之一。
它是由一个一次式与一个数的关系构成的，其中包含了未知数x的不等式。
本文将介绍一元一次不等式的基本概念、解法和应用。
一、一元一次不等式的基本概念一元一次不等式的一般形式为ax + b < c（或ax + b > c），其中a、b、c为给定的实数，且a ≠ 0。
在解一元一次不等式时，需要找出使不等式成立的x的取值范围。
二、一元一次不等式的解法1. 移项法通过移项可以将一元一次不等式转化为形如x < d（或x > d）的不等式，其中d为一个实数。
移项的过程如下：（1）如果不等式中含有加法或减法运算，可以通过加减法逆元的变换，将不等式转化为x < d或x > d的形式。
（2）如果不等式中含有乘法或除法运算，可以通过乘除法的变换，将不等式转化为形如ax < b（或ax > b）的形式。
注意乘除的时候需要考虑a的正负性。
2. 分情况讨论法当一元一次不等式中存在绝对值、分数等特殊情况时，可以采用分情况讨论法来求解。
需要根据不同情况的实际意义，分别列出对应的不等式并求解。
三、一元一次不等式的应用一元一次不等式在实际问题中有着广泛的应用。
下面以两个典型问题为例，介绍一元一次不等式的应用。
1. 生活中的应用假设某市公交车票价为2元，同时发行了一种优惠卡，每次乘车只需支付1元。
现假设一人每月乘坐公交车次数不少于12次，求这人每月乘坐公交车所需的费用范围。
解：设这人每月乘坐公交车的次数为x次，则有不等式x ≥ 12。
因为每次乘车需支付的费用范围为1元至2元，所以还可得出不等式1 ≤ x ≤ 2。
因此，这人每月乘坐公交车的费用范围为12元至24元。
2. 经济学中的应用某的家庭年收入I万元，每年花费C万元。
已知为了正常生活，家庭应至少储蓄S万元。
写出家庭年收入与花费的不等关系，并求解I的范围。
解：根据题目可以得出不等式 I - C ≥ S。
一元一次不等式组及其应用课件
根据不等式关系，建立数学方程。
建立不等式组解决实际问题
解不等式组
通过解不等式组，确定变量的取值范围。
确定最优解
在解集范围内，确定最优解。
实际应用
将解集或最优解应用于实际问题，解决问题。
常见的实际问题案例
最大利润问题
通过建立不等式组，确定获得最大利润的变量取值范围。
最短路径问题
在地图上找到两点之间的最短路径，通过不等式组表示并解决 。
同小取小
如果不等式组中所有不等 式的解集都是非正数，那 么不等式组的解集也是非 正数。
大小小大中间找
如果不等式组中有的不等 式的解集是负数，有的不 等式的解集是正数，那么 不等式组的解集是0。
不等式组解集的概念
不等式组的解集是指能够使不等式组中所有不等式都成立的未知数的取值范围。
不等式组的解集用符号表示为“[a, b]”（a和b表示解集的上下限，不一定是整数 ）。
非线性不等式组的解法
导入实例
通过具体实例展示非线性不等 式组的应用背景。
建立数学模型
将不等式组转化为非线性规划问 题，利用迭代法、梯度下降法等 数值方法求解。
解题步骤总结
总结非线性不等式组解法的步骤， 包括建立不等式组、确定初始解、 迭代求解和结果分析等环节。
不等式组的无解情况
导入实例
通过具体实例展示不等式组无 解的情况。
一元一次不等式组及其应用 课件
2023-11-06
目 录
• 一元一次不等式组的概念与性质 • 一元一次不等式组的解法 • 一元一次不等式组的应用 • 一元一次不等式组的几何意义与图像表示 • 一元一次不等式组的特殊情况与技巧 • 一元一次不等式组的实际应用案例分析
微专题六 一元一次不等式(组)的解法及其应用
B品牌运动服/件
30
累计采购款/元
10 200
(1)A,B两种品牌运动服的进货单价各是多少元?
解:(1)设 A,B 两种品牌运动服的进货单价分别为 x 元和 y 元.
根据题意,得
+ = ,
= ,
解得
= ,
+ = ,
∴A,B 两种品牌运动服的进货单价分别为 240 元和 180 元.
①有哪几种购买方案?
②若每包儿童口罩8元,每包成人口罩25元,哪种方案总费用最少?
解:(2)①设购买儿童口罩 m 包,则购买成人口罩(5-m)包.
+ (-) ≥ ,
根据题意,得
解得 2≤m≤3.
+ (-) ≤ ,
∵m 为整数,∴m=2 或 m=3.∴共有两种购买方案:
-
解不等式 x-4<
,得 x<2,
则不等式组的解集为-3≤x<2,
∴不等式组的所有负整数解为-3,-2,-1.
一元一次不等式的应用
6.某商城的运动服装专柜,对A,B两种品牌的运动服分两次采购试销后,效益可观,计划继续采购进行
销售.已知这两种服装过去两次的进货情况如表所示:
进货批次
第一次
A品牌运动服/件
故此商场至少需购进6件A种商品.
一元一次不等式组的应用
8.小明网购了一本课外书,同学们想知道书的价格,小明让他们猜.甲说:“至少25元”.乙说:“至多
22元,”丙说:“至多20元,”小明说:“你们三个人都说错了”.则这本书的价格x(元)所在的范围为(
)
B
A.20<x<22
B.22<x<25
一元一次不等式(公开课优秀课件)
预算管理
使用不等式来控制开销，在 有限预算内实现最大化利用。
运动训练
通过不等式来设定目标和限 制，实现效果最优的运动训 练计划。
投资决策
运用不等式进行资产配置和 投资决策，最大化回报并保 持风险可控。
一元一次不等式的综合应用
实际问题求解
强化练习题目演练
完成总结和回顾
运用所学不等式解决实际问题， 如最优化、限制条件下的优化等。
减法法
2
பைடு நூலகம்
未知数的系数为1。
通过逐步减去等式两边的数值来求解不
等式，使得未知数的系数为1。
3
乘法法
通过逐步乘以一个合适的数来求解不等
分类讨论法
4
式，使得未知数的系数为1。
通过将不等式条件分为不同情况进行讨 论，求解得到最终解集。
一元一次不等式的生活应用
发现不等式在生活中的实际应用，从解决日常问题到优化方案，学习如何将数学知识运用于实际场景。
一元一次不等式(公开课 优秀课件)
在本课中，我们将探索一元一次不等式的基本概念、解决方法和实际应用。 通过丰富的例子和图像，让我们一起追寻这个有趣的数学领域。
一元一次不等式的基本概念
了解一元一次不等式的定义和解集，并探索不等式的性质。通过实例分析和图像解释，深入理解这一重要概念。
不等式的定义
一元一次不等式是一个包含一个 未知数的线性不等式，用于表示 数值之间的不等关系。
通过大量练习题和实例分析，提 高对一元一次不等式的运用能力。
总结所学知识，回顾解题思路， 巩固对一元一次不等式的理解和 应用。
不等式的解集
解集是满足给定不等式条件的所 有数值的集合。
不等式的性质
不等式具有传递性、加法性和乘 法性等性质，我们将一一探究它 们。
一元一次不等式
一元一次不等式一．基本概念1．不等式用表示不等关系的式子，叫做不等式．2．不等式的解和不等式的解集(1)不等式的解：与方程类似，使不等式成立的叫做不等式的解．(2)不等式的解集：一个含有未知数的不等式的，组成这个不等式的解集．它可以用最简单的不等式表示，也可以用数轴表示．3．解不等式求不等式的解集的过程，叫做．4．不等式的基本性质性质1 不等式的两边加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．性质2 不等式两边都乘以(或除以)同一个数，不等号的方向不变．性质3 不等式两边都乘以(或除以)同一个数，不等号的方向改变．不等式的其他性质：(1)若a＞b，则b＜a；(2)若a＞b，b＞c，则a＞c；(3)若a≥b，b≥a，则a＝b；(4)若a2≤0，则a＝0．5．一元一次不等式类似于一元一次方程，含有个未知数，未知数的次数是的不等式叫做一元一次不等式．它的一般形式为ax＋b＞0(a≠0)或ax＋b＜0(a≠0)．6．一元一次不等式的解法类似于一元一次方程的解法，但要特别注意不等式两边都乘以(或除以) 同一个数时，不等号的方向改变．二．例题例1．用不等式表．用不等式表示：(1)m－3是正数______；(2)y＋5是负数______；(3)x不大于2______；(4)a是非负数______；(5)a的2倍比10大______；(6)y的一半与6的和是负数______；(7)x的3倍与5的和大于x的______；(8)m的相反数是非正数____例2．如图，在数轴上表示的解集对应的是( )．(A)－2＜x＜4 (B)－2＜x≤4(C)－2≤x＜4 (D)－2≤x≤4例3．a、b是有理数，下列各式中成立的是( )．(A)若a＞b，则a2＞b2(B)若a2＞b2，则a＞b(C)若a≠b，则｜a｜≠|b|(D)若｜a｜≠|b|，则a≠b例4．解关于x的不等式(1)ax＞b(a≠0)．(2) mx＋1< m＋2x例5．求不等式361336x x--->-的非负整数例6．已知关于x的方程2233x m xx---=的解是非负数，m是正整数，求m的值．例7．已知方程组⎧⎨⎩2x+y=1+3m,x+2y=1-m的解满足x＋y＜0，求m的取值范围．例8．(1)已知x＜a的解集中的最大整数为3，则a的取值范围是______；(2)已知x＞a的解集中最小整数为－2，则a的取值范围是______．例9. 适当选择a的取值范围，使1.7＜x＜a的整数解：(1)x只有一个整数解；(2)x一个整数解也没有．。
一元一次不等式和一元一次不等式组讲义
一元一次不等式和一元一次不等式组知识点一：不等式1、 不等式的基本性质性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不改变。
若a>b ，则a+c>b+c （a-c>b-c ）。
性质2：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变。
若a>b 且c>0，则ac>bc 。
性质3：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变。
若a>b 且c<0，则ac<bc 。
2、同解不等式：如果几个不等式的解集相同，那么这几个不等式称为同解不等式。
知识点二：一元一次不等式1、定义：像276x x -<，39x ≤等只含有一个未知数，且含未知数的式子是整式，未知数的次数是1，系数不为0，这样的不等式叫做一元一次不等式。
2、一元一次不等式的标准形式： 0ax b +>（0a ≠）或0ax b +<（0a ≠）。
3、一元一次不等式组的解集确定：若a>b则（1）当⎩⎨⎧>>b x a x 时，则a x >，即“大大取大” （2）当⎩⎨⎧<<bx a x 时，则b x <，即“小小取小”（3）当⎩⎨⎧><b x a x 时，则a x b <<，即“大小小大取中间”（4）当⎩⎨⎧<>b x a x 时，则无解，即“大大小小取不了” 知识点三：一元一次不等式组由含有同一未知数的几个一元一次不等式组合在一起，叫做一元一次不等式组。
如：， 。
要点诠释： 在理解一元一次不等式组的定义时，应注意两点：(1)不等式组里不等式的个数并未规定，只要不是一个，两个、三个、四个等都行；(2)在同一不等式组中的未知数必须是同一个，不能在这个不等式中是这个未知数，而在另一个不等式中是另一个未知数。
知识点四：一元一次不等式组的解集组成一元一次不等式组的几个不等式的解集的公共部分叫做一元一次不等式组的解集.(1)求几个一元一次不等式的解集的公共部分，通常是利用数轴来确定的，公共部分是指数轴上被各个不等式解集的区域都覆盖的部分。
一元一次不等式的应用ppt课件
5
探究新知
应用一元一次不等式可以刻画和解决很多实际生活
中的有关数量不等关系的问题.
6
6ห้องสมุดไป่ตู้
探究新知
列不等式解应用题的一般步骤:
审题
1
检验解的合理性
列出不等式
2
设未知数
3
4
解不等式
5
6
作答
7
7
探究新知
例1 有一家庭工厂投资2万元购进一台机器，生产某种商品.这种
商品每个的成本是3元，出售价是5元，应付的税款和其他费
＞1 000
卡费，设按标价累计购物金额为x元，当x_______时，办理购
物“金卡”省钱.
解析：在办理购物“金卡”省钱时，
满足的关系式为：标价x－标价×0.9＞购卡费.
即：x－0.9x＞100，解得x＞1 000.
14
14
探究新知
例5
一水果店进了某种水果1吨，进价是7元/千克，售价定为10元/千克.
3. 初步体会一元一次不等式的应用价值，形成严谨的学习态
度和独立思考的习惯.
2
2
新课导入
复习回顾
你还记得应用一元一次方程解实际问题的步骤吗？
审题
1
列出方程
2
设未知数
3
检验解的合理性
4
解方程
5
6
作答
我们能用列方程的方法解决一些现实生活中数量相
等关系的问题. 实际上，现实生活中还存在着许多数量
之间不相等的关系.这些问题应该如何来解决呢？
步骤类似，可概括为：“审、设、列、解、验、答”六步，
其不同点是方程是找相等关系，不等式是找不等关系．
11
一元一次不等式知识点及典型例题
一元一次不等式 考点一、不等式的概念 1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。
例 判断如下各式是否是一元一次不等式？ word-x≥5 2x-y＜02x 34x 5x22 x532、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数二 不等式的解 ：的值，都叫做这个不等式的解。
三 不等式的解集：3、对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简 例 判断如下说法是否正确，为什么？称这个不等式的解集。
X=2 是不等式 x+3＜2 的解。
X=2 是不等式 3x＜7 的解。
不等式 3x＜7 的4、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
解是 x＜2。
X=3 是不等式 3x≥9 的解5、用数轴表示不等式的方法四 一元一次不等式：考点二、不等式根本性质例 判断如下各式是否是一元一次不等式1、不等式两边都加上〔或减去〕同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
2、不等式两边都乘以〔或除以〕同一个正数，不等号的方向不变。
－ｘ＜５ ２ｘ－ｙ＜０2x 3x22 x 5 ≥３ｘ3、不等式两边都乘以〔或除以〕同一个负数，不等号的方向改变。
例 五．不等式的根本性质问题4、说明：①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运 例 1 指出如下各题中不等式的变形依据算改变。
②如果不等式乘以 0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的 数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的1〕由 3a>2 得 a> 2 32) 由 3+7>0 得 a>-7数就不等为 0，否如此不等式不成立； 考点三、一元一次不等式3〕由-5a<1 得 a>- 1 54)由 4a>3a+1 得 a>11、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是 1， 例 2 用>〞或<〞填空，并说明理由且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。
一元一次不等式组课件(公开课)
医学研究
在医学研究中，如何确定药物剂量 范围，以确保治疗效果且不产生副 作用。
经济学
在经济学中，如何确定市场供需平 衡点，以实现市场稳定和资源优化 配置。
04
一元一次不等式组的变种问题
含参数的一元一次不等式组问题
总结词
这类问题涉及含有参数的不等式组，需要讨论参数的不同取值范围对不等式组解的影响 。
分段函数与一元一次不等式组结合的问题
总结词
这类问题涉及分段函数和一元一次不等式组的结合，需要分析函数在不同区间的性质和不等式的解。
详细描述
分段函数与一元一次不等式组结合的问题通常涉及一个或多个分段函数，每个分段具有不同的表达式。解决这类 问题时，需要分析函数在不同区间的性质，并根据这些性质求解不等式组。此外，还需要特别注意分段点处的连 续性和可导性。
THANK YOU
一元一次不等式组课件(公开课)
汇报人：可编辑
2023-12-23
contents
目录
• 一元一次不等式组的基本概念 • 解一元一次不等式组的方法 • 一元一次不等式组的实际应用 • 一元一次不等式组的变种问题 • 一元一次不等式组的综合练习
01
一元一次不等式组的基本概念
一元一次不等式组的定义
总结词
详细描述
一元一次不等式组的解集是满足所有不等式的未知数的取值 范围的集合。解集的确定需要综合考虑所有不等式的约束条 件，通过逻辑推理和数学计算得出。
一元一次不等式组的性质
总结词
一元一次不等式组具有传递性、可加性、可乘性和同向可加性等性质。
详细描述
一元一次不等式组具有多种性质，包括传递性、可加性、可乘性和同向可加性等 。这些性质在解决一元一次不等式组问题时具有重要的作用，可以帮助我们简化 问题，提高解题效率。
一元一次不等式知识点总结
一元一次不等式知识点一：不等式的概念1. 不等式：用“＜”(或“≤”)，“＞”(或“≥”)等不等号表示大小关系的式子，叫做不等式.用“≠”表示不等关系的式子也是不等式.要点诠释：(1)不等号的类型:①“≠”读作“不等于”，它说明两个量之间的关系是不等的，但不能明确两个量谁大谁小；②“＞”读作“大于”，它表示左边的数比右边的数大；③“＜”读作“小于”，它表示左边的数比右边的数小；④“≥”读作“大于或等于”，它表示左边的数不小于右边的数；⑤“≤”读作“小于或等于”，它表示左边的数不大于右边的数；(2) 等式与不等式的关系：等式与不等式都用来表示现实世界中的数量关系，等式表示相等关系，不等式表示不等关系，但不论是等式还是不等式，都是同类量比较所得的关系，不是同类量不能比较。
(3) 要正确用不等式表示两个量的不等关系，就要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语的含义。
2．不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
要点诠释：由不等式的解的定义可以知道，当对不等式中的未知数取一个数，若该数使不等式成立，则这个数就是不等式的一个解，我们可以和方程的解进行对比理解，要判断一个数是否为不等式的解，可将此数代入不等式的左边和右边利用不等式的概念进行判断。
3．不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
求不等式的解集的过程叫做解不等式。
如：不等式x－4＜1的解集是x＜5. 不等式的解集与不等式的解的区别:解集是能使不等式成立的未知数的取值范围,是所有解的集合,而不等式的解是使不等式成立的未知数的值.二者的关系是:解集包括解,所有的解组成了解集。
要点诠释：不等式的解集必须符合两个条件：(1)解集中的每一个数值都能使不等式成立；(2)能够使不等式成立的所有的数值都在解集中。
知识点二：不等式的基本性质基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变。
一元一次不等式组课件(公开课)
总结词
通过代数运算求解一元一次不等式组的方法 。
详细描述
代数运算是一元一次不等式组的基本解题技 巧。通过合并同类项、移项、去分母等代数 运算，可以将不等式组化简为一元一次不等
式，从而求解出解集。
逻辑推理在解一元一次不等式组中的应用
总结词
通过逻辑推理判断不等式组的解集的方法。
详细描述
逻辑推理是一种基于逻辑推理和数学归纳法的解题技巧 。通过逻辑推理，可以判断不等式组的解集是否存在， 以及解集的范围。这种方法适用于一些较为复杂的一元 一次不等式组。
05
一元一次不等式组的解题技 巧
观察法在解一元一次不等式组中的应用
总结词
通过观察不等式组的特性，直接得出解集的方法。
详细描述
观察法是一种基于经验和直观的解题技巧，适用于一些简单的一元一次不等式组。通过 观察不等式的性质，如不等式的符号、变量的系数和常数项，可以快速判断不等式的解
集。
代数运算在解一元一次不等式组中的应用
感谢观看
THANKS
04
一元一次不等式组的变种问 题
含参数的一元一次不等式组问题
总结词
这类问题涉及含有未知参数的不等式，需要结合参数的取值范围进行不等式的求解。
详细描述
含参数的一元一次不等式组问题通常涉及到含有未知参数的不等式，这些参数会在特定的范围内取值 。解决这类问题时，需要先确定参数的取值范围，然后根据参数的不同取值分别求解不等式，最后综 合所有情况得出不等式的解集。
总结词
这类问题涉及不等式中的系数变化，需要分 析系数变化对不等式解集的影响。
详细描述
在一元一次不等式组中，如果某个系数的取 值发生变化，会导致不等式的解集发生变化 。解决这类问题时，需要分析系数变化对不 等式解集的影响，并确定在不同系数取值下 不等式的解集如何变化。通过对比不同情况 下的解集，可以得出最终的解。
第6讲-一元一次不等式(组)
第6讲┃ 一元一次不等式(组)
12． [2013· 黄冈 ] 为支援四川雅安地震灾区，某市民政局组织募 捐了 240 吨救灾物资，现准备租用甲、乙两种货车，将这批 救灾物资一次性全部运往灾区，它们的载货量和租金如下表： 甲种货车 载货量 (吨 /辆 ) 租金 (元 /辆 ) 45 400 乙种货车 30 300
第6讲┃ 一元一次不等式(组)
一元一次 不等式组
x>b， x<a x<b， x>a
解集在数轴 上的表示
解集
语言叙述 大小小大中间找 大大小小是空集
b<x<a ________ 无解 ________
说明：在数轴上表示解集时，要注意“空心圆圈”和“实心 圆点”的区别．
[中考点金] 利用不等式( 组) 解决方案设计问题，应先根据题意列 出不等式 (组 )，求出不等式( 组) 的解集，再由解集确定其 正整数解，一般有几个整数解，就有几种方案．此时，应 注意不等号是否含有等于，防止遗漏．
第6讲┃ 一元一次不等式(组)
变式题 [2013· 莱芜 ] 某学校将周三“阳光体育”项目定为跳 绳活动，为此学校准备购置长、短两种跳绳若干．已知长跳绳的单 价比短跳绳单价的两倍多 4 元， 且购买 2 条长跳绳与购买 5 条短跳 绳的费用相同． (1)两种跳绳的单价各是多少元？ (2)若学校准备用不超过 2000 元的现金购买 200 条长、 短跳绳， 且短跳绳的条数不超过长跳绳的 6 倍， 问学校有几种购买方案可供 选择？
m
( A ) 5 B．m＜ 3 5 D． m≥ 3
第6讲┃ 一元一次不等式(组)
探究二
利用不等式(组)进行方案设计
例 2 某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共 10 辆， 其中轿车至少要购买 3 辆，轿车每辆 7 万元，面包车每辆 4 万元，公司可投入的购车款不超过 55 万元． (1)符合公司要求的购买方案有几种？请说明理由； (2)如果每辆轿车的日租金为 200 元， 每辆面包车的日租 金为 110 元，假设新购买的这 10 辆车每日都可租出，要使 这 10 辆车的日租金不低于 1500 元， 那么应选择以上哪种购 买方案？
人教版七年级数学第二学期第六章一元一次不等式和一元一次不等式组
第六章一元一次不等式和一元一次不等式组教学要求1．使学生了解不等式、不等式的解集和解不等式等概念，理解不等式的解集与方程的解的区别，并会在数轴上表示不等式的解集；2．使学生掌握不等式的三条基本性质，并会用它们解一元一次不等式；3．使学生了解一元一次不等式的概念，掌握利用不等式的基本性质解一元一次不等式的方法；4．使学生了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的解集的概念，理解一元一次不等式组与一元一次不等式的区别和联系；5．使学生掌握一元一次不等式组的解法，会用数轴确定一元一次不等式组的解集；6．使学生能够利用一元一次不等式和一元一次不等式组的知识，解答比较简单的应用问题；7．通过对一元一次不等式和一元一次不等式组的学习，培养学生的运算能力和逻辑推理能力，领会数形结合、分类讨论的数学思想方法，并逐步形成应用意识．主要内容及其地位作用本章首先引入不等式的概念和不等式的三条基本性质，接着研究不等式的解、解集及其在数轴上的表示法，然后讲述了一元一次不等式的解法，最后介绍了一元一次不等式组的解法．本章主要研究含有未知数的不等式，并且以解不等式为主要课题．因此，本章在引入不等式的概念之后，就结合具体例子给出了不等式成立的概念；研究有没有未知数的值使不等式成立，如果有的话，把它们求出来，这就引出了不等式的解集和解不等式的问题；研究有没有未知数的值使几个不等式都成立，如果有的话，把它们求出来，这就引出了不等式组的解集和解不等式组的问题．可以采取与解一元一次方程相类似的步骤，把不等式逐步变形，求得一元一次不等式的解集，这些变形的依据是不等式的三条基本性质和移项法则（本来应按照不等式的同解原理来解不等式，但这一内容初一的学生不易理解，本章只在“读一读”里安排了这一内容）．解不等式组的基础是独立地解其中每一个不等式，在解的过程中，各不等式彼此不发生关系，“组”的作用在最后，即在每一个不等式的解集都求出来之后，才利用数轴从“公共部分”的角度去求“组”的解集．本章是在学生掌握了有理数大小比较、等式及其性质和解一元一次方程的基础上学习的．本章中不等式知识体系的安排大体与方程知识体系的安排相同，并使其相对应的内容在各自的范围内处于同等的地位．因此，不等式与方程的意义，不等式与等式的性质，不等式的解集与方程的解以及解一元一次不等式与解一元一次方程等都可以对比着进行讲解．根据这一特点，本章从内容的安排到有关概念的叙述，都注意照应方程的有关内容，并在本章的“小结与复习”中，对不等式与等式的性质，以及一元一次不等式与一元一次方程的解法步骤和解的情况，列表进行了对比．应当注意的是，在进行对比时，既要说明它们的相同点，更要指出它们的不同点，揭示各自的特殊性．只有这样，才能有助于学生了解不等式的有关知识，同时避免与方程的有关知识混淆．数量关系中的不等和相等是事物运动和平衡的反映．量的不等是普遍的、绝对的，而量的相等是局部的、相对的，这一对立面的双方还会在一定条件下相互转化．研究数量的不等关系，可以更好地认识和掌握事物运动和变化的规律．一元一次不等式是表示不等关系的最基本的工具，又是学习其他不等式的基础（例如解一元一次不等式组就要首先解这个不等式组中的各个一元一次不等式）；同时，在不少数学问题（例如一元二次方程的根的判别、函数自变量的取值范围的确定）中，也常有直接或间接的应用．另外，在许多问题中，需要同时考虑几个一元一次不等式，也就要用到一元一次不等式组的知识．例如，求由几个基本初等函数组成的初等函数的定义域、值域，就常常需要解一元一次不等式组．重点、难点和关键本章的重点是一元一次不等式的解法．引入不等式的基本性质，研究不等式的解集及其在数轴上的表示法，都是为讲解一元一次不等式的解法作准备的．学会了一元一次不等式的解法，又可以进一步学习一元一次不等式组的解法．因此，一元一次不等式的解法不仅是本章的重点，还起着承上启下的作用．本章的难点是了解不等式的解集和不等式组的解集，以及运用不等式基本性质3．难点的形成与学生学完一元一次方程后，对于方程的两边都可以乘以或除以任何一个正数或负数，一元一次方程的解是一个数留有深刻印象有关．由于不等式与方程的相同点较多，学生容易忽视它们的不同点．因而在解不等式时，当不等式两边都乘以或除以同一个负数时，常常忘记改变不等号的方向；对于求出的不等式的解集，也往往不能真正了解它的含义．另外，解不等式组会出现无解的情况，学生不容易掌握．本章的关键也正在于弄清不等式与方程的不同点，使学生明确不等式的解集和不等式组的解集的含义，以及正确运用不等式基本性质3．教学注意事项（1）由于教材编写过程中注意到以“问题解决”为知识展开的主要线索，揭示获取知识的思维过程，所以教学中要注意以教材为依托，展现知识的发生、发展和形成的过程，引导学生在思维上深层次地参与，在观察、比较、分析、综合、类比、对比、抽象、概括等思维过程中，透彻地掌握数学知识，领会蕴含其中的数学思想方法，学会分析问题解决问题的方法．所以，在教学中要结合实际，精心设计教学过程，给学生创设参与教学活动的空间和时间，这样把教法改革与教材改革结合起来，才能最大限度地提高课堂教学的效益．（2）培养类比和对比的思维方法．类比与对比运用的是比较的逻辑方法，比较就是在思维中确定这一事物与另一事物的相同点与不同点的方法．在数学教学中，运用比较可以调动学生积极思考问题，自觉主动地去获取知识．把两个（或两类）不同的数学对象进行比较，如果发现它们在某些方面有相同或类似之处，那么，就推断它们在其他方面也可能有相同或类似之处，这种推理形式就是类比；如果发现它们在某些方面有什么不同之处，从而推出新的结论，这种推理形式就是对比．从教学方法上说，类比是指出新旧知识的相同点，利用学生已有的知识来认识新知识；而对比则是指出新旧知识的相异点，进一步加深对新知识的理解，从而得到比较全面的认识．正反两个方面，相辅相成，揭示新旧知识的本质．本章教材内容为培养学生比较、类比、对比的思维方法提供了很好的素材，而正确运用这些思维方法也是熟练、透彻掌握这部分知识的基础．在教学中要注意与方程的类比与对比．由于不等式与方程的相同点比较多，学生容易受多年来等式性质及等式运算思维定势的影响，而不注意两者的区别，产生了负迁移．因此，在不等式的概念、不等式的解集及其在数轴上的表示、不等式的基本性质和同解原理、一元一次不等式的解法、不等式的应用等各个环节的教学，都要在类比和对比上下功夫，通过类比找到相同点，通过对比找到区别，通过教学搭好学生认知的桥梁，就可以克服教学中的难点．（3）“化归、转化”思想是解各类不等式题目的指导思想．这种数学思想在解一元一次方程时已经进行了渗透，在本章教学中要进一步让学生领会：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化成1都是为了完成这个转化过程，直到求出不等式的解，但转化是有条件的，这就是不等式的同解原理，尤其在去分母和把系数化成1的过程中，如果系数或除数是负数，要把不等号改变方向．（4）在本章教学中，除去“化归、转化”的数学思想以外，还要注意渗透数形结合、分类讨论等数学思想．不等式的问题通过数轴可以转化为形的问题，得到直观的启示；反之，有些形的问题，通过数轴又可转化为不等式．因此，这部分教学内容为渗透数形结合的思想提供了很好的机会．由于教材中增加了一些含有字母系数的不等式和可以转化为不等式组的题目，更有利于向学生渗透分类讨论的思想．在教学中，我们要增强数学思想方法教学的意识，但又要从学生的实际出发，侧重渗透，掌握好深度，以克服学习中的困难．（5）培养学生的逻辑推理能力不仅是几何教学的任务，在代数教学中也同样可以进行．解不等式或不等式组是一种运算，在培养运算能力的过程中，注意引导学生搞清解法根据，做到言必有据，有利于培养学生的逻辑思维能力．（6）在列一元一次方程解应用题的教学中，学生已经完成了由列算术式的思维模式到列方程思维模式的过渡．现在进行的通过列一元一次不等式或一元一次不等式组解应用题，打破了列方程的思维模式，但又强化了把应用问题转化为数学问题，然后再回到应用问题的思维模式．这对于提高学生的应用意识，提高分析问题解决问题的能力是有益的．下面的框图有助于学习理解和掌握这一思维模式：在适当时机，可以对此加以介绍，并与列方程解应用题进行比较．第21课不等式和它的基本性质教学目标1．使学生理解不等式的概念，初步掌握不等式的三条基本性质；2．培养学生对比以及观察、分析问题的能力，并初步领会对比的思想方法．教学重点和难点重点：不等式的三条基本性质．难点：不等式的基本性质3．课堂教学过程设计一、引言1．先看两个例子．①两个天平秤物都不平衡的图片；②某天的气温最低是－5℃，最高是10℃．教师引导学生得出：①说明天平两边所放物体重量不相等；②说明气温不相等．2．在此基础上，教师指出，在实际生活中，同类量之间具有一种不相等的关系．这种不相等的关系是大量存在的，是普遍的，本章将从了解表示不相等关系的不等式的意义开始，研究不等式的性质，一元一次不等式和它的解法，一元一次不等式组和它的解法．本节课我们首先来学习不等式的概念及其基本性质．二、从学生原有的认知结构提出问题1．什么叫等式？等式的性质是什么？(注意强调等式两边都乘以或都除以(除数不为零)同一个数，所得到的仍是等式)2．当x取何值时，等式x＋2=6成立？当x取何值时，等式x＋2=6不成立？3．用“＜”或“＞”号填空：(1)－7____－5；(2)(－3)4____34；(3)(－4)2____(－3)2；(4)|－0.5|____|－1000|；(5)3＋4____1＋4；(6)5＋3____12－5；(7)6×3____4×3；(8)6×(－3)____4×(－3)．(注意追问理由，要求用有理数比较大小的法则回答)4．c一定是正数吗？－a一定是负数吗？(以上各题均用投影仪陆续打在屏幕上)三、引导学生通过观察实例，讨论不等式的概念1．观察下列式子：(投影)－7＜－5；3＋4＞1＋4；5＋3≠12－5； a≠0；a＋2＞a＋1；x＋2＜6．针对上述各式，提出如下问题：①上述各式都是表示怎样的关系的式子？②什么叫不等式？(若学生回答有困难，教师应提醒学生仿照等式的定义来回答)此时，教师应指出：前面复习提问中的第(3)题中的各小题的式子都叫不等式．而我们只研究用小于号“＜”，大于号“＞”表示的不等式．2．研究不等式x＋2＜6(1)这是用小于号连接代数式x＋2和6所成的不等式，这里x表示未知数．(2)若未知数x取某一个值(如x=2)，使代数式x＋2小于6，我们说当x=2时，不等式x＋2＜6成立；若当x取另一个数值(如x=4)代数式x＋2的值不小于6，我们说当x=4时，不等式x＋2＜6不成立．(3)提问：①当x=－1.5时，不等式x＋2＜6是否成立？当x=0呢？当x=5呢？②说出几个使不等式成立的x的值．说出几个使不等式不成立的x的值．(引导学生回答，使不等式x＋2＜6成立的未知数x的取值不仅有正整数，还有零、负整数，小数)练习(投影)1．用不等式表示：(1)a是正数；(2)a是负数；(3)a与b的和小于5；(4)x与2的差大于－1；(5)x的4倍大于7；(6)y的一半小于3．2．当x=2时，不等式x＋3＞4成立吗？当x=1.5时呢？当x=－1时呢？(请学生回答，并订正)四、运用对比的方法，引导学生猜想出不等式的三条基本性质，并通过实例加以验证首先，让学生用“＞”或“＜’号填空：(1)7＋3＿4＋3；(2)7＋(－3)＿4＋(－3)；(3)7×3＿4×3；(4)7×(－3)＿4×(－3)．然后，启发学生由上面第(1)、(2)小题猜想出与等式的基本性质类似的不等式的性质．并请学生叙述不等式的基本性质1．此时，教师应抓住学生叙述中的问题予以纠正．即不能笼统地说“仍是不等式”，要改为书中所说的“不等号的方向不变”．对比等式中关于两边都乘以或除以同一个数的性质，让学生思考不等式类似的性质．引导学生观察上述第(3)、(4)小题，并将题中的3换成5，－3换成－5，按题中的要求再做一遍，并猜想出结论．然后让学生试着叙述所得到的不等式的基本性质．(在观察上述练习题时，引导学生注意不等号的方向，并用彩色粉笔标出来，并问原因是什么？当学生在叙述不等式的基本性质感到困难时，教师应作适当的引导，启发．并依次板书这几条基本性质)不等式基本性质：1．不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．2．不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．3．不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．然后，让学生用不等式－2＜4两边都分别加上5，－6，两边都分别乘以3，－3来验证上述不等式的三条基本性质．问题：(1)在不等式－2＜6两边都乘以m后，结论将会怎样？(当字母m的取值不明确时，需对m分情况讨论)(2)比较等式性质与不等式的基本性质的异同．(问这两个问题的目的在于，强化学生对不等式基本性质的理解，特别是对不等式基本性质3的理解)巧记不等式的性质同加或减同一数，不等式号还如故．同乘除以同一数，要看此数正与负．只有负数才变号，是零还要分乘除．乘零两边变相等，数零不能做除数。
2024年一元一次不等式组课件(公开课)
一元一次不等式组课件(公开课)一、引言一元一次不等式组是数学中一个重要的概念，它是解决实际问题的重要工具。
在本课件中，我们将介绍一元一次不等式组的基本概念、解法和应用。
通过学习本课件，学生将能够理解和运用一元一次不等式组解决实际问题，并培养逻辑思维和解决问题的能力。
二、一元一次不等式组的基本概念1.不等式：不等式是数学中表示两个量之间大小关系的符号。
常见的不等式有大于(>)、小于(<)、大于等于(≥)和小于等于(≤)。
2.一元一次不等式：一元一次不等式是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的不等式。
例如，x>3和2x5≤7都是一元一次不等式。
3.一元一次不等式组：一元一次不等式组是由多个一元一次不等式组合而成的集合。
例如，{x>3,2x5≤7}就是一个一元一次不等式组。
三、一元一次不等式组的解法1.图解法：图解法是通过在坐标轴上绘制不等式的解集，然后找到它们的交集来解决一元一次不等式组的方法。
具体步骤如下：a.将每个不等式转换为等式，并在坐标轴上绘制对应的直线。
b.根据不等式的符号确定直线上下部分的解集。
c.找到所有不等式解集的交集，即为不等式组的解。
2.代数法：代数法是通过将不等式组中的不等式进行变形和运算，然后求解得到不等式组的解的方法。
具体步骤如下：a.将不等式组中的每个不等式进行变形，使其形式统一。
b.将变形后的不等式进行运算，得到一个新的不等式。
c.求解新的不等式，得到不等式组的解。
四、一元一次不等式组的应用1.购物问题：假设一个人有100元，需要购买水果和蔬菜。
水果的价格是每千克3元，蔬菜的价格是每千克5元。
问他最多可以购买多少千克的水果和蔬菜？解答：设水果的重量为x千克，蔬菜的重量为y千克。
根据题意，可以列出不等式组：3x+5y≤100,x≥0,y≥0。
通过解这个不等式组，可以得到他最多可以购买的水果和蔬菜的重量。
2.工程问题：假设一个工程需要10天完成，每天需要8个人工作。
一元一次不等式课件
等式同样 适用
-3
-2 -1
0
1
2
3
4
5
6
例1.解不等式3-x<2x+6，并把它的解集表示 在数轴上。
解一元一次不等式大致要分五个步骤进行： （1）去分母； （2）去括号； （3）移项； （4）合并同类项；（5）系数化1。 注意:在（1）和（5）中，如果乘数或除数是 负数，要把不等号的方向改变。
x -2
例2.解不等式 2 表示在数轴上。
≥
7-x
3
，并把它的解集
解：去分母，得：3(x-2) ≥2(7-x) 去括号，得：3x-6≥14-2x
移项、合并同类项，得：5x≥20 两边都除以5，得：x≥4 这个不等式的解集在数轴上表示如下
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
随堂练习
解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示：
(1)5x<200; (3)x-4≥2(x+2)
(2) (x +1) <3
2
(4) x -1 < 4x - 5
2
3
1、通过本节课的学习，你学到了那 些知识？
2、你学会了哪些数学方法 ? 3、你觉得在解一元一次不等式的步骤中， 应该注意些什么问题？
课后作业
必做：习题1.4 NO：1、2、 选做：习题1.4 NO：3、
3、 x - 3 > y + 4
4、 2x + 3 < 8
例一
例1.解不等式3-x ＜ 2x+6，并把它的解集 表示在数轴上。
1、你能利用不等式的基本性质解决吗？ 试一试。
2、在解不等式的过程中是否有与解一 元一次方程类似的步骤？能否归纳解一元 一次不等式的基本步骤？
第6课时一元一次不等式组及其应用
第6课时一元一次不等式（组）及其应用班级姓名学号学习目标1.能够按照具体问题中的数量关系，列出不等式（组），体会不等式（组）是刻画现实世界的一个有效的数学模型。
2. 会解一元一次不等式（组）。
3. 能按照具体问题的实际意义，查验结果是不是合理。
学习难点利用一元一次不等式（组）解决实际问题教学进程【典型例题】【例1】解不等式（组），并将它的解集在数轴上表示出来：（1）«Skip Record If...»（2）«Skip Record If...»◆解一元一次不等式的步骤：①去；②去；③移；④归并；⑤系数化为1.◆求不等式（组）的解集的方式：（1）利用数轴来求（数形结合）（2）利用口诀（同大取大，同小取小；大小小大，解在中间；大大小小，无解可找。
）【例2】(1) 代数式«Skip Record If...»值为正数，«Skip Record If...»的范围是.(2) 不等式组«Skip Record If...»的整数解的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个（3）关于的方程«SKIP RECORD IF...»两实根之和为m，«SKIP RECORD IF...»，关于y 的不等于组«SKIP RECORD IF...»有实数解，则k的取值范围是_________________．（4）若是不等式组2223x a x b ⎧+⎪⎨⎪-<⎩≥的解集是01x <≤，那么a b +的值为 ．（5）若不等式组220x a b x ->⎧⎨->⎩的解集是11x -<<，则2009()a b += ． （6）已知关于x 的不等式组0521x a x -⎧⎨->⎩≥，只有四个整数解，则实数a 的取值范围是 ．【例3】（1）已知三角形的两边长别离为4cm 和9cm ，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（ ）A ．13cmB ．6cmC ．5cmD ．4cm（2）如图，直线y kx b =+通过(21)A ，， (12)B --，两点，则不等式122x kx b >+>-的解集为 ． （3）若方程组«Skip Record If...»的解是负数，那么a 的取值范围是 ．【例4】1. 从2008年12月1日起，国家开始实施家电下乡计划，国家依照农人购买家电金额的13％予以政策补助，某商场计划购进A 、B 两种型号的彩电共100台，已知该商场所筹购买的资金很多于222000元，但不超过222800元，国家规定这两种型号彩电的进价和售价如下表：（1）农人购买哪一种型号的彩电取得的政府补助要多些？请说明理由；（2）该商场购进这两种型号的彩电共有哪些方案？其中哪一种购进方案取得的利润最大？请说明理由．（注：利润=售价-进价）。
06第六节 一元一次不等式组
第六节 一元一次不等式组一元一次不等式组—目标导引1.了解不等式组及其解集的意义.2.能熟练利用数轴，直观形象的求不等式组的解集.3.能运用不等式组解决简单的实际问题.激发、培养学生的学习热情●内容全解1.不等式组的定义关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一元一次不等式组. 如：⎩⎨⎧<+>-⎪⎩⎪⎨⎧><>73251,2153x x x x x 等都是一元一次不等式组.像⎩⎨⎧><76y x 就不是一元一次不等式组.因为它不是“同一未知数”组成.2.一元一次不等式组的解集一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集.3.解不等式组求不等式组解集的过程叫做解不等式组. 4.利用数轴求不等式组解集分以下四种情况. 并设a ＞b ，阴影即公共部分.(1)不等式组⎩⎨⎧>>b x a x ,的解集为x ＞a.图1－43(2)不等式组⎩⎨⎧<<bx a x 的解集为x ＜b .图1－44(3)不等式组⎩⎨⎧><b x a x .的解集为b ＜x ＜a图1－45(4)不等式组⎩⎨⎧<>b x ax 的解集为无解.图1－46第八课时●课 题§1.6.1 一元一次不等式组（一） ●教学目标（一）教学知识点1.理解一元一次不等式组，一元一次不等式组的解集，解不等式组等概念.2.会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集. （二）能力训练要求通过由一元一次不等式，一元一次不等式的解集，解不等式的概念来类推地学习一元一次不等式组，一元一次不等式组的解集，解不等式组这些概念，发展学生的类比推理能力.（三）情感与价值观要求一方面要培养学生独立思考的习惯，同时也要培养大家的合作交流意识. ●教学重点1.理解有关不等式组的概念.2.会解有两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集. ●教学难点 在数轴上确定解集.●教学方法 合作类推法就是让学生共同讨论，并用类比推理的方法学习. ●教具准备 投影片两张第一张：（记作§1.6.1 A ） 第二张：（记作§1.6.1 B ） ●教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课［师］在第四节我们学习了一元一次不等式，知道了一元一次不等式的有关概念，今天我们要学习一元一次不等式组，大家能否从字面上来推断一下它们之间是否存在一定的关系呢？请交流后发表自己的见解.［生］所谓“组”，就不是唯一的，而是由两个以上的元素组成的，也就是说一元一次不等式组是由几个一元一次不等式组成的集合.［师］大家同意这位同学的说法吗？ ［生］同意.［师］好，下面我们就来验证一下大家的猜想是否正确. Ⅱ.新课讲授1.一元一次不等式组的有关概念 投影片（§1.6.1 A ）用哪一个知识点来解决问题，即把实际问题转换为数学模型，从而求解.［生］已知条件有：取暖时间为4个月，未知量是计划每月烧煤的数量（x ）当每月比原计划多烧5吨煤时，每月实际烧煤（x +5）吨，这时总量4（x +5）＞100；当每月比原计划少烧5吨煤时，实际每月烧（x －5）吨煤，有4（x －5）＜68.解：设该校计划每月烧煤x 吨，根据题意，得 4（x +5）＞100（1）且4（x －5）＜68 （2） 未知数x 同时满足（1）（2）两个条件，把（1）（2）两个不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组，记作⎩⎨⎧<->+68)5(4100)5(4x x ［师］这位同学的分析和解答非常精彩，从上面的形式中，大家能否根据一元一次不等式组的有关概念来类推一元一次不等式的有关概念呢？请互相讨论.［生］可以.一般地，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组（s y stem of linear inequalities with one unknown ）.［师］定义中的几个是指两个或两个以上.大家能猜想一下这个一元一次不等式组中的x 的值吗？［生］既然不等式组是几个不等式的组合，所以x 的值应是每个不等式的解集的组合.即每个不等式的解集相加而得，如解不等式（1），（2）得x ＞20,x ＜22,所以不等式组的解集为x ＜22加x ＞20,即为全体实数再加上20~22之间的数.［师］大家同意他的观点吗？ ［生］不同意， 不等式组的解集不是每个不等式的解集的相加，而是每个不等式的解集的公共部分.［师］非常正确，请大家用类比推理的方法叙述其他有关概念.［生］一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集.求不等式组解集的过程，叫做解不等式组. 2.例题讲解 解不等式组： ⎪⎩⎪⎨⎧<->-32112x x x . ［师］既然不等式组的解集是每个不等式解集的公共部分，首先必须求出每个不等式的解集，然后才能求它们的公共部分.在这里求公共部分是重点，而求解不等式的解集在上一节课中我们已做了练习，因此没有必要把求解不等式的解集的过程全部写出来.［生］解：解不等式(1)，得x ＞31,解不等式(2)，得x ＜6,在同一条数轴上表示不等式的解集为：图1－27因此，原不等式组的解集为31＜x ＜6.Ⅲ.课堂练习 1.随堂练习解下列不等式组： （1）⎩⎨⎧<->0312x x （2）⎩⎨⎧<+->-81312x x解：（1）解不等式2x ＞1,得x ＞21,解不等式x －3＜0,得x ＜3.在同一条数轴上表示不等式的解集为：图1－28因此，原不等式组的解集为21＜x ＜3.解:（2）⎩⎨⎧<+->-81312x x )2()1(解不等式（1），得x ＞1, 解不等式（2），得x ＜37，在同一条数轴上表示不等式（1）、（2）的解集为：图1－29因此，原不等式组的解集为1＜x ＜37.2.补充练习投影片（§1.6.1 B ）本节课学习了如下内容：1.理解有关不等式组的有关概念.2.会解有两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组，并会用数轴确定解集. Ⅴ.课后作业 习题1.8Ⅵ.活动与探究 解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+>+-<-+<+x x x x xx 36271435243 )3()2()1( 解：解不等式（1），得x ＞－1 解不等式（2），得x ＜2 解不等式（3），得x ＜1在同一条数轴上表示不等式（1）（2）（3）的解集为：图1－32 所以，原不等式组的解集为－1＜x ＜1. ●板书设计参考练习 一、填空题1.不等式2x －4＜0的解集是__________.2.不等式组⎩⎨⎧≤-->021x x 的解集是__________.3.不等式组⎩⎨⎧<->4832x x 的解集是__________.4.不等式组⎩⎨⎧<-≥+4232x x 的解集是__________.5.不等式组⎩⎨⎧->-≥+3132x x x 的解集是__________.二、选择题1.若a －b ＜0，则下列各式中一定正确的是A.a ＞bB.ab ＞0C.ba ＜0 D.－a ＞－b2.不等式组⎩⎨⎧>-<-0302x x 的正整数解是 A.0和1B.2和3C.1和3D.1和23.不等式组⎩⎨⎧<->+42532x x 的解集是A.x ＞13B.x ＜6C.1＜x ＜6D.x ＜1或x ＞64.不等式组⎩⎨⎧>+≤-0201x x 的解集是 A.－2＜x ＜1B.－2＜x ≤1C.x ≤1D.x ＞－25.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≤-->x x x 28432的最小整数解为 A.－1 B.0 C.1 D.4参考答案：一、1.x ＜2 2.－1＜x ≤2 3.2＜x ＜4 4.x ≥1 5.x ＞－3 二、1.D 2.D 3.C 4.B 5.B第九课时●课 题§1.6.2 一元一次不等式组（二） ●教学目标（一）教学知识点1.进一步巩固解一元一次不等式组的过程.2.总结解一元一次不等式组的步骤及情形. （二）能力训练要求通过总结解一元一次不等式组的步骤，培养学生全面系统的总结概括能力. （三）情感与价值观要求1.加强运算的熟练性与准确性.2.培养思维的全面性. ●教学重点巩固解一元一次不等式组.●教学难点讨论求不等式解集的公共部分中出现的所有情况，并能清晰地阐述自己的观点. ●教学方法自主与讨论相结合的方法即让学生自己解不等式组，然后讨论解中出现的所有情况. ●教具准备 投影片三张第一张：（记作§1.6.2 A ） 第二张：（记作§1.6.2 B ） 第三张：（记作§1.6.2 C ） ●教学过程Ⅰ.创设问题情境，导入新课［师］上节课我们已经学习了如何解由两个一元一次不等式组成的不等式组的解法，本节课我们将继续加强解法的熟练性和准确性，同时还要全面地对所有解的情况进行总结.Ⅱ.新课讲授 1.例题投影片（§1.6.2 A ）等式组的解集的步骤.［生］解一元一次不等式的步骤为：去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化成1.要注意的是在去分母和系数化成1这两步中不等号方向是否改变.解一元一次不等式组的步骤为：分别求出两个一元一次不等式的解集，在数轴上确定它们的公共部分，从而得出不等式组的解集.［师］好.下面我们先自己独立完成这四个不等式组的求解.（让四个同学在黑板上板书过程）.［生甲］（1）⎪⎩⎪⎨⎧<->+xx x 987121)2()1(解：解不等式（1），得x ＞1 解不等式（2），得x ＞－4.在同一条数轴上表示不等式（1），（2）的解集如图1－33：图1－33所以，原不等式组的解集是x ＞1［生乙］（2）⎩⎨⎧+>++<-145123x x x x )2()1(解：解不等式（1），得x＜23解不等式（2），得x ＜34在同一条数轴上表示不等式（1），（2）的解集.如图1－34：图1－34所以，原不等式组的解集是x ＜34［生丙］（3）⎪⎩⎪⎨⎧-≤-+>-xx x x 237121)1(325 )2()1( 解：解不等式（1），得x ＞25解不等式（2），得x ≤4.在同一条数轴上表示不等式（1），（2）的解集，如图1－35：图1－35所以，原不等式组的解集为25＜x ≤4.［生丁］（4）⎩⎨⎧<>-621113x x)2()1(［解］解不等式（1），得x ＞4. 解不等式（2），得x ＜3.在同一条数轴上表示不等式（1），（2）的解集如图1－36：图1－36所以，原不等式组的解集为无解.［师］大家做得非常棒，下面大家认真观察一下这四组解，你发现了什么？ 2.讨论解的情况［师］我们从每个不等式的解集，到这个不等式组的解集，认真观察，互相交流，找出规律.（1）由⎩⎨⎧->>41x x 得x ＞1;（2）由343423<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<x x x 得;（3）由⎪⎩⎪⎨⎧≤>425x x 得25＜x ≤4;（4）由⎩⎨⎧<>34x x 得，无解.［生］由（1）得，两个不等式的解集中不等号的方向都是大于号，在数字1和－4中取大数1，不等号取大于号.由（2）得，两个不等式的解集中不等号的方向都是小于号，在不等式组的解集中不等号的方向取小于，而数字取比较小的数字34.由（3）得，两个不等式的解集中不等号的方向有大于也有小于，数字25＜4，并且是x ＞25,x ≤4，最后的结果中是x 取大于小数小于大数，即25＜x ≤4.由（4）得，两个不等式的解集中不等号的方向有大于也有小于，并且是x ＞4,x ＜3,因为4＞3，即x 应取大于4而小于3的数，而这样的数根本不存在，所以原不等式组的解集为无解.［师］大家分析得非常精彩.基本上说明了情况，下面我再系统地给大家作一总结： 投影片（§1.6.2 B ）［师］这是用式子表示，也可以用语言简单表述为： 同大取大；同小取小； 大于小数小于大数取中间； 大于大数小于小数无解. Ⅲ.课堂练习 1.随堂练习 解下列不等式组 （1）⎩⎨⎧>-<+81353x x（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+>-<+523)1(212x x x x［解］（1）⎩⎨⎧>-<+81353x x)2()1(解不等式（1），得x ＜2 解不等式（2），得x ＞3在同一数轴上表示不等式（1）、（2）的解集，如图1－37：图1－37所以，原不等式组无解.（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+>-<+523)1(212x x x x)2()1(解：解不等式（1），得x ＞2解不等式（2），得x ＞3在同一数轴上表示不等式（1），（2）的解集，如图1－38：图1－38 所以，原不等式组的解集为x＞3.2.补充练习投影片（§1.6.2 C）Ⅳ.课时小结本节课我们学习了如下内容. 1.练习了解一元一次不等式组.2.总结了由两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集的四种情况. Ⅴ.课后作业 习题1.9 ●板书设计参考练习解下列不等式组 1.⎩⎨⎧-<->+xx x x 4109154652.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<-+<21512512x x x x 3.⎩⎨⎧>+-+<+xx x x 28)2(35)2(24.⎩⎨⎧+≥--+<-)1(46)1(5)3(62x x x x5.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+>--<+4233225351x x x xx 参考答案1.x ＞12.－7＜x ＜32 3.－2＜x ＜1 4.x ≥15 5.无解第十课时●课题§1.6.3 一元一次不等式组（三）●教学目标（一）教学知识点能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式组解决简单的问题.（二）能力训练要求通过例题的讲解，让学生初步学会从数学的角度提出问题、理解问题、并能综合运用所学的知识解决问题，发展应用意识.（三）情感与价值观要求通过解决实际问题，让学生初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用.●教学重点用一元一次不等式组的知识去解决实际问题.●教学难点审题，根据具体信息列出不等式组.●教学方法启发诱导式教学.●教具准备投影片两张第一张：例题（记作§1.6.3 A）第二张：练习题（记作§1.6.3 B）●教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课［师］同学们，我现在问大家一个问题，大家来学校的目的是什么？［生］是为了学知识，学知识是为了以后更好地工作.［师］非常正确，大家来学习的目的是为了解决实际工作中的问题，那么我们学习了一元一次不等式组能解决哪些实际问题呢？本节课我们将进行探索.Ⅱ.新课讲授1.做一做投影片（§1.6.3 A）［生］解：设乙骑车的速度为x km/h，根据题意，得⎪⎩⎪⎨⎧⨯≥⨯≤41354535x x )2()1( 解不等式组得13≤x ≤15因此乙骑车的速度应当控制在13≤x ≤15内. 2.例题讲解.一群女生住若干间宿舍，每间住4人，剩19人无房住；每间住6人，有一间宿舍住不满.（1）设有x 间宿舍，请写出x 应满足的不等式组； （2）可能有多少间宿舍、多少名学生？［师］解一元一次不等式组的应用题，实际上和列方程解应用题的步骤相似，因此我们有必要先回忆一下列方程解应用题的步骤，大家还记得吗？［生］记得.有审题，设未知数；找相等关系；列方程；解方程；写出答案. ［师］很好.大家能不能猜想出解不等式组应用题的步骤呢？［生］可以.有审题，设未知数；找不等关系；列不等式组；解不等式组；写出答案. ［师］大家非常聪明，下面我们就大家的猜想进行验证.请大家互相讨论. ［生］解：（1）设有x 间宿舍，则有（4x +19）名女生，根据题意，得⎩⎨⎧+<-+>194)1(61946x x x x （2）解不等式组，得 9.5＜x ＜12.5因为x 是整数，所以x =10,11,12.因此有三种可能，第一种，有10间宿舍，59名学生；第二种，有11间宿舍，63名学生；第三种，有12间宿舍，67名学生.3.运用不等式组解决实际问题的基本过程.［师］认真观察刚才的例题，请大家总结一下用不等式组解决实际问题的基本过程. ［生］基本过程大致为： 1.审题、设未知数； 2.找不等关系； 3.列不等式组；4.解不等式组；5.根据实际情况，写出答案.［师］总结得非常好，下面我们就按这样的过程来做一些练习. Ⅲ.课堂练习投影片（§1.6.3 B ）运用不等式组解决实际问题的基本过程. Ⅴ.课后作业习题1.101.解:设个位数字为x ，则十位数字为x +1,根据题意，得⎩⎨⎧>++>++42)1(1030)1(10x x x x 解不等式组，得1120＜x ＜1132因为x 为整数，所以x 为2.因此这个两位数为32.2.解:设该公司明年应安排生产甲种产品x 件，则乙种产品为（20－x ）件，根据题意，得1100＜45x +75（20－x ）＜1200 这个式子实际等价于不等式组⎩⎨⎧<-+>-+1200)20(75451100)20(7545x x x x )2()1( 解不等式组，得 10＜x ＜340因为x 是整数，所以x =11,12,13. 因此有三种方案：第一种：生产甲种产品11件，乙种产品9件； 第二种：生产甲种产品12件，乙种产品8件； 第三种：生产甲种产品13件，乙种产品7件. Ⅵ.活动与探究火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，现计划用50节A 、B 两种型号的车厢将这批货物运至北京，已知每节A 型货厢的运费是0.5万元，每节B 节货厢的运费是0.8万元；甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节A 型货厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B 型货厢，按此要求安排A 、B 两种货厢的节数，共有哪几种方案？请你设计出来；并说明哪种方案的运费最少？解：设A 型货厢用x 节，则B 型货厢用（50－x ）节，根据题意，得⎩⎨⎧≥-+≥-+1150)50(35151530)50(2535x x x x 解不等式组，得 28≤x ≤30因为x 为整数，所以x 取28，29，30. 因此运送方案有三种.（1）A 型货厢28节，B 型货厢22节； （2）A 型货厢29节，B 型货厢21节； （3）A 型货厢30节，B 型货厢20节；设运费为y 万元，则y =0.5x +0.8（50－x ）=40－0.3x 当x =28时，y =31.6当x =29时，y =31.3 当x =30时，y =31因此，选第三种方案，即A 型货厢30节，B 型货厢20节时运费最省. ●板书设计一、数学建模思想18世纪，数学大师欧拉成功地解决了“哥尼斯堡七桥问题”.在东普鲁士的小城镇哥尼斯堡，有一条小河从市中心穿过，河中有小岛A和D，河上有连接这两个岛和河的两岸B、C的桥，如图1－41所示，问一个人能否将每座桥既无重复也无遗漏地通过一次？图1－41为了解决这个问题，欧拉并没有亲自去哥尼斯堡，而是把问题作了数学化的处理.他把两岸和小岛都抽象成点，把桥化为边，两个点之间有边相连接，当且仅当这两点所代表的地区有桥相连接，于是这个问题的解就相当于下面的图能否一笔画成.1736年，欧拉在文章《哥尼斯堡的七桥问题》中，用他找到的一笔画的数学模型，以否定的方式漂亮地解决了这个问题.他在文章中写到，如果从某一点出发，到某一点终止，若全图可以一笔画出，那么中间每经过的一点，总有画进画出的各一条线，所以除了起点和终点外，图形中的每一个点都应该和偶数条线相连.但我们从第二个图中可以看到.每一个点都与奇数条线相连，所以这个图形不可能一笔画出，也就不可能一次既无重复也无遗漏地通过每一座桥.图1－42从这个问题的解决的过程里，我们可以体会到，欧拉为解决七桥问题所建立的数学模型——“一笔画的图形判别模型”，不仅可以清楚直观地抓住问题的实质，而且很容易推广应用于解决其他多桥问题或者最短路程问题.数学建模思想是指从实际问题中，发现、提出、抽象、简化、解决、处理问题的思维过程，它包括对实际问题进行抽象、简化，建立数学模型，求解数学模型，解释验证等步骤.数学建模思想已广泛地体现在初中数学知识体系中，与其有关的中考题型已成为命题热点.初中数学中常见的不等式（组）模型体现在方案设计，最佳优化等问题中.数学建模的关键是善于通过对实际问题的分析，抓住其实质，联想相应的数学知识，建立数学表达式，并应用性质找到解决问题的途径.二、综合应用类［例1］（2001聊城）若方程组⎩⎨⎧=++=+3313y x k y x 的解为x 、y ，且2＜k ＜4,则x －y 的取值范围是A.0＜x －y ＜21 B.0＜x －y ＜1C.－3＜x －y ＜－1D.－1＜x －y ＜1解析：不等式中的未知数k 隐含在方程组中，因此应从解方程组入手；同时，考虑要确定x －y 的取值范围，故不能简单地求出k 值，而需采用整体的方法去解.两方程相减，得2x －2y =k －2, 即k =2（x －y +1） 由2＜k ＜4，可知2＜2（x －y +1）＜4, 即0＜x －y ＜1，所以，选B.［例2］（2001安徽）恩格尔系数表示家庭日常饮食开支占家庭经济总收入的比例，它反映了居民家庭的实际生活水平，各种类型家庭的恩格尔系数如下表所示：则用含n 的不等式表示小康家庭的恩格尔系数为__________.解析：恩格尔系数对考生来说应是个新名词，但只要观察表中“小康家庭”一栏，即可表示出：40%≤n ≤49%.［例3］（2001陕西）乘某城市的一种出租车起价是10元（即行驶路程在5 km 以内都需付费10元），达到或超过5 km 后，每增加1 km 加价1.2元（不足1 km 部分按1 km 计），现在某人乘这种出租车从甲地到乙地，支付车费17.2元，从甲地到乙地的路程大约是多少？解：设甲地到乙地的路程大约是x km，据题意，得16＜10+1.2（x－5）≤17.2,10＜x≤11.即从甲到乙路程大于10 km，小于或等于11 km.第十一课时●课题§1.7 回顾与思考●教学目标（一）教学知识点1.不等式的基本性质.2.解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集.3.利用一元一次不等式解决实际问题.4.一元一次不等式与一次函数.5.一元一次不等式组及其应用.（二）能力训练要求通过回顾本章内容，培养学生归纳总结能力，以及用数学知识解决实际问题的能力.（三）情感与价值观要求利用不等式及不等式组的知识去解决实际问题，让学生体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进学生对数学的理解和学好数学的信心.●教学重点掌握本章所有知识.●教学难点利用本章知识解决实际问题.●教学方法教师指导学生自己归纳总结法.●教具准备投影片五张第一张：（记作§1.7 A）第二张：（记作§1.7 B）第三张：（记作§1.7 C）第四张：（记作§1.7 D）第五张：（记作§1.7 E）●教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课［师］我们已经学完了本章的全部内容，这节课大家一起来进行回顾.Ⅱ.新课讲授［师］1.首先，大家来简要概括一下本章的知识点有哪些？［生］由现实生活中的不等关系推导出不等式的意义，并能根据条件列出不等式；类比等式的性质，推导不等式的有关性质以及等式性质与不等式性质的异同；根据不等式的性质求解不等式，并能利用不等式解决实际问题；一元一次不等式与一次函数；一元一次不等式组及其应用.［师］很好.这位同学对本章知识掌握得如此熟悉，大家应该向他学习.下面我们分别详细地回顾总结.2.重点知识讲解（1）不等式的基本性质：［生］不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变.不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.［师］不等式的基本性质与等式的基本性质有哪些异同点？［生］不等式的基本性质有三条，等式的基本性质有两条；两个性质中在两边都加上（或都减去）同一个整式时，结果相似；在两边都乘以（或除以）同一个正数时，结果相似；在两边都乘以（或除以）同一个负数时，结果不同.［师］很好.两个性质可以对比如下：投影片（§1.7 A）投影片（§1.7 B）［师］解一元一次不等式的步骤有哪些？［生］解一元一次不等式的步骤有：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化成1.［师］很好.下面我们对比地学习解一元一次不等式与解一元一次方程的异同.投影片（§1.7 C）投影片（§1.7 D）“同大取大，同小取小，大于小数小于大数居中间，大于大数小于小数无解”（4）说一说运用不等式解决实际问题的基本过程.［师］大家还可以用类比的方法，比较列方程解应用题的步骤，猜想出用不等式解决实际问题的步骤.投影片（§1.7 E）［师］大家能总结一下基本过程吗？［生］可以.①审题，设未知数；②找不等关系；③列不等式；④解不等式；⑤写出答案.（5）一元一次不等式与一次函数.［生］如函数y=2x－5,当y＞0时，有2x－5＞0,当y＜0时，有2x－5＜0.Ⅲ.课堂练习解下列不等式或不等式组：（1）3（2x +5）＞2（4x +3）; （2）10－4（x －3）≤2（x －1）; （3）5623+>-x x ;（4）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+>+>+33222)4(21x x x解：（1）去括号，得6x +15＞8x +6 移项、合并同类项，得2x ＜9 两边都除以2，得x ＜29.（2）去括号，得10－4x +12≤2x －2移项、合并同类项，得6x ≥24 两边都除以6，得x ≥4.（3）去分母，得5（x －3）＞2（x +6） 去括号，得5x －15＞2x +12 移项、合并同类项，得3x ＞27 两边都除以3，得x ＞9（4）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+>+>+33222)4(21x x x )2()1(解不等式（1），得x ＜0 解不等式（2），得x ＞0这两个不等式的解集在同一数轴上表示为：图1－47所以，原不等式组的解集为无解. Ⅳ.课时小结回顾本章的知识点，并进行有关练习. Ⅴ.课后作业 复习题A 组 Ⅵ.活动与探究某化工厂2000年12月在判定2001年某种化肥的生产计划时，收集到了如下信息： 1.生产该种化肥的工人数不超过200人；2.每个工人全年工作时数不得多于2100个；3.预计2001年该化肥至少可销售80000袋；4.每生产一袋该化肥需要工时4个；5.每袋该化肥需要原料20千克；6.现库存原料800吨，本月还需用200吨，2001年可以补充1200吨. 请你根据以上数据确定2001年该种化肥的生产袋数的范围. 解：设2001年可生产该化肥x 袋.根据题意得 ⎪⎩⎪⎨⎧≥⨯+-≤⨯≤800001000)1200200800(2020021004x x x 解得80000≤x ≤90000且x 为整数.［答］2001年该化肥产量应确定在8万到9万袋之间. ●板书设计●迁移发散 迁移1.求不等式组－3≤2x －1＜5的自然数解.点拨：应先求出不等式组的解集，后在解集范围内找自然数解. 解：这个不等式组即为：⎩⎨⎧<--≥-512312x x解不等式①得:x ≥－1 解不等式②得:x ＜3.∴这个不等式组的解集为：－1≤x ＜3. ∴不等式组的自然数解是0，1，2.2.三个连续的自然数的和小于10，这样的自然数组共有多少？把它们分别写出来. 点拨：连续三个自然数相互之间差1，所以可设中间一数为x ，则三个连续的自然数① ②可表示为x －1，x ，x +1.解：设中间一数为x ，则三个连续自然数分别是x －1，x ，x +1.由题意得x －1+x +x +1＜10 3x ＜10，x ＜331.∵x 取整数，而自然数最小为0. ∴x 只能取0，1，2，3.∴这样的自然数有三组，分别是0，1，2；1，2，3；2，3，4.3.某次数学测验共15道题(满分100分).评分办法是：答对一道给6分，答错一道扣2分，不答不给分.某学生有一道未答.那么他至少答对几道才算及格.解：设他至少答对x 道题，则答错(15－x )道. 由题意得:6x －2(15－x )≥60. 解得x ≥1141.∵x 只能取正整数，∴x 至少是12. 答：他至少答对12道才能及格.4.把一篮苹果分给几个学生，如果每人分4个，则剩3个；如果每人分6个，则最后一个学生最多可得2个.则学生数和苹果数分别是多少？点拨：由第一种分法可设学生数为x 人.得到苹果总数为(4x +3)个.即人数与苹果数总的关系.第二种分法，前(x －1)人是每人6个，也就是苹果总数与前(x －1)人分的苹果数的差不超过2个，即分完前(x －1)人后剩余的苹果不超过2个.0≤(4x +3)－6(x －1)≤2.解：由题意得，设学生有x 人. 则苹果有(4x +3)个.由题意得：0≤(4x +3)－6(x －1)≤2. 解这个不等式组得：27≤x ≤29.∵x 只能取正整数.∴x =4. 答：有4名学生，17个苹果.5.某人拿100元钱到商场买一些饮料.用去60元后，他又买了4千克香蕉，每千克3元；买了5千克苹果，付钱后尚有剩余，如果他买6千克香蕉和6千克苹果，则所带钱款不够用.求苹果的价格是多少元. 解：设苹果每千克x 元.由题意得⎩⎨⎧-≥+⨯-≤+⨯6010063660100543x x解得311＜x ＜528.。
06第六节 一元一次不等式组
第六节 一元一次不等式组一元一次不等式组—目标导引1.了解不等式组及其解集的意义.2.能熟练利用数轴，直观形象的求不等式组的解集.3.能运用不等式组解决简单的实际问题.激发、培养学生的学习热情●内容全解1.不等式组的定义关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一元一次不等式组.如：⎩⎨⎧<+>-⎪⎩⎪⎨⎧><>73251,2153x x x x x 等都是一元一次不等式组.像⎩⎨⎧><76y x 就不是一元一次不等式组.因为它不是“同一未知数”组成. 2.一元一次不等式组的解集一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集.3.解不等式组求不等式组解集的过程叫做解不等式组. 4.利用数轴求不等式组解集分以下四种情况. 并设a ＞b ，阴影即公共部分.(1)不等式组⎩⎨⎧>>b x a x ,的解集为x ＞a.图1－43(2)不等式组⎩⎨⎧<<b x ax 的解集为x ＜b .图1－44(3)不等式组⎩⎨⎧><b x a x .的解集为b ＜x ＜a图1－45(4)不等式组⎩⎨⎧<>b x ax 的解集为无解.图1－46第八课时●课 题§1.6.1 一元一次不等式组（一） ●教学目标（一）教学知识点1.理解一元一次不等式组，一元一次不等式组的解集，解不等式组等概念.2.会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集. （二）能力训练要求通过由一元一次不等式，一元一次不等式的解集，解不等式的概念来类推地学习一元一次不等式组，一元一次不等式组的解集，解不等式组这些概念，发展学生的类比推理能力.（三）情感与价值观要求一方面要培养学生独立思考的习惯，同时也要培养大家的合作交流意识. ●教学重点1.理解有关不等式组的概念.2.会解有两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集. ●教学难点在数轴上确定解集.●教学方法 合作类推法就是让学生共同讨论，并用类比推理的方法学习. ●教具准备 投影片两张 第一张：（记作§1.6.1 A ） 第二张：（记作§1.6.1 B ） ●教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课［师］在第四节我们学习了一元一次不等式，知道了一元一次不等式的有关概念，今天我们要学习一元一次不等式组，大家能否从字面上来推断一下它们之间是否存在一定的关系呢？请交流后发表自己的见解.［生］所谓“组”，就不是唯一的，而是由两个以上的元素组成的，也就是说一元一次不等式组是由几个一元一次不等式组成的集合.［师］大家同意这位同学的说法吗？ ［生］同意.［师］好，下面我们就来验证一下大家的猜想是否正确. Ⅱ.新课讲授1.一元一次不等式组的有关概念用哪一个知识点来解决问题，即把实际问题转换为数学模型，从而求解.［生］已知条件有：取暖时间为4个月，未知量是计划每月烧煤的数量（x ）当每月比原计划多烧5吨煤时，每月实际烧煤（x +5）吨，这时总量4（x +5）＞100；当每月比原计划少烧5吨煤时，实际每月烧（x －5）吨煤，有4（x －5）＜68.解：设该校计划每月烧煤x 吨，根据题意，得 4（x +5）＞100 （1） 且4（x －5）＜68 （2） 未知数x 同时满足（1）（2）两个条件，把（1）（2）两个不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组，记作⎩⎨⎧<->+68)5(4100)5(4x x ［师］这位同学的分析和解答非常精彩，从上面的形式中，大家能否根据一元一次不等式组的有关概念来类推一元一次不等式的有关概念呢？请互相讨论.［生］可以.一般地，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组（s y stem of linear inequalities with one unknown ）.［师］定义中的几个是指两个或两个以上.大家能猜想一下这个一元一次不等式组中的x 的值吗？［生］既然不等式组是几个不等式的组合，所以x 的值应是每个不等式的解集的组合.即每个不等式的解集相加而得，如解不等式（1），（2）得x ＞20,x ＜22,所以不等式组的解集为x ＜22加x ＞20,即为全体实数再加上20~22之间的数.［师］大家同意他的观点吗？［生］不同意， 不等式组的解集不是每个不等式的解集的相加，而是每个不等式的解集的公共部分.［师］非常正确，请大家用类比推理的方法叙述其他有关概念.［生］一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集.求不等式组解集的过程，叫做解不等式组. 2.例题讲解 解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧<->-32112x x x . ［师］既然不等式组的解集是每个不等式解集的公共部分，首先必须求出每个不等式的解集，然后才能求它们的公共部分.在这里求公共部分是重点，而求解不等式的解集在上一节课中我们已做了练习，因此没有必要把求解不等式的解集的过程全部写出来.［生］解：解不等式(1)，得x ＞31, 解不等式(2)，得x ＜6,在同一条数轴上表示不等式的解集为：图1－27因此，原不等式组的解集为31＜x ＜6. Ⅲ.课堂练习 1.随堂练习解下列不等式组： （1）⎩⎨⎧<->0312x x （2）⎩⎨⎧<+->-81312x x解：（1）解不等式2x ＞1,得x ＞21, 解不等式x －3＜0,得x ＜3.在同一条数轴上表示不等式的解集为：图1－28因此，原不等式组的解集为21＜x ＜3. 解:（2）⎩⎨⎧<+->-81312x x )2()1(解不等式（1），得x ＞1, 解不等式（2），得x ＜37， 在同一条数轴上表示不等式（1）、（2）的解集为：图1－29因此，原不等式组的解集为1＜x ＜37. 2.补充练习Ⅳ.课时小结本节课学习了如下内容：1.理解有关不等式组的有关概念.2.会解有两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组，并会用数轴确定解集. Ⅴ.课后作业 习题1.8Ⅵ.活动与探究 解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+>+-<-+<+x x x x xx 36271435243 )3()2()1( 解：解不等式（1），得x ＞－1 解不等式（2），得x ＜2 解不等式（3），得x ＜1在同一条数轴上表示不等式（1）（2）（3）的解集为：图1－32 所以，原不等式组的解集为－1＜x ＜1.参考练习 一、填空题1.不等式2x －4＜0的解集是__________.2.不等式组⎩⎨⎧≤-->021x x 的解集是__________.3.不等式组⎩⎨⎧<->4832x x 的解集是__________.4.不等式组⎩⎨⎧<-≥+4232x x 的解集是__________.5.不等式组⎩⎨⎧->-≥+3132x x x 的解集是__________.二、选择题1.若a －b ＜0，则下列各式中一定正确的是 A.a ＞bB.ab ＞0C.ba＜0 D.－a ＞－b2.不等式组⎩⎨⎧>-<-0302x x 的正整数解是A.0和1B.2和3C.1和3D.1和23.不等式组⎩⎨⎧<->+42532x x 的解集是A.x ＞13B.x ＜6C.1＜x ＜6D.x ＜1或x ＞64.不等式组⎩⎨⎧>+≤-0201x x 的解集是A.－2＜x ＜1B.－2＜x ≤1C.x ≤1D.x ＞－25.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≤-->xx x 28432的最小整数解为 A.－1 B.0 C.1 D.4参考答案：一、1.x ＜2 2.－1＜x ≤2 3.2＜x ＜4 4.x ≥1 5.x ＞－3 二、1.D 2.D 3.C 4.B 5.B第九课时●课 题§1.6.2 一元一次不等式组（二） ●教学目标（一）教学知识点1.进一步巩固解一元一次不等式组的过程.2.总结解一元一次不等式组的步骤及情形. （二）能力训练要求通过总结解一元一次不等式组的步骤，培养学生全面系统的总结概括能力. （三）情感与价值观要求 1.加强运算的熟练性与准确性. 2.培养思维的全面性. ●教学重点巩固解一元一次不等式组. ●教学难点讨论求不等式解集的公共部分中出现的所有情况，并能清晰地阐述自己的观点. ●教学方法自主与讨论相结合的方法即让学生自己解不等式组，然后讨论解中出现的所有情况. ●教具准备 投影片三张 第一张：（记作§1.6.2 A ） 第二张：（记作§1.6.2 B ） 第三张：（记作§1.6.2 C ） ●教学过程Ⅰ.创设问题情境，导入新课［师］上节课我们已经学习了如何解由两个一元一次不等式组成的不等式组的解法，本节课我们将继续加强解法的熟练性和准确性，同时还要全面地对所有解的情况进行总结.Ⅱ.新课讲授 1.例题投影片（§1.6.2 A ）［师］在做这组练习题之前，我们先回忆一下求一元一次不等式的解集和一元一次不等式组的解集的步骤.［生］解一元一次不等式的步骤为：去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化成1.要注意的是在去分母和系数化成1这两步中不等号方向是否改变.解一元一次不等式组的步骤为：分别求出两个一元一次不等式的解集，在数轴上确定它们的公共部分，从而得出不等式组的解集.［师］好.下面我们先自己独立完成这四个不等式组的求解.（让四个同学在黑板上板书过程）.［生甲］（1）⎪⎩⎪⎨⎧<->+xx x 987121 )2()1(解：解不等式（1），得x ＞1解不等式（2），得x ＞－4.在同一条数轴上表示不等式（1），（2）的解集如图1－33：图1－33所以，原不等式组的解集是x ＞1［生乙］（2）⎩⎨⎧+>++<-145123x x x x )2()1(解：解不等式（1），得x ＜23解不等式（2），得x ＜34 在同一条数轴上表示不等式（1），（2）的解集.如图1－34：图1－34所以，原不等式组的解集是x ＜34［生丙］（3）⎪⎩⎪⎨⎧-≤-+>-x x x x 237121)1(325 )2()1( 解：解不等式（1），得x ＞25 解不等式（2），得x ≤4.在同一条数轴上表示不等式（1），（2）的解集，如图1－35：图1－35所以，原不等式组的解集为25＜x ≤4. ［生丁］（4）⎩⎨⎧<>-621113x x )2()1( ［解］解不等式（1），得x ＞4.解不等式（2），得x ＜3.在同一条数轴上表示不等式（1），（2）的解集如图1－36：图1－36所以，原不等式组的解集为无解.［师］大家做得非常棒，下面大家认真观察一下这四组解，你发现了什么？ 2.讨论解的情况［师］我们从每个不等式的解集，到这个不等式组的解集，认真观察，互相交流，找出规律.（1）由⎩⎨⎧->>41x x 得x ＞1;（2）由343423<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<x x x 得; （3）由⎪⎩⎪⎨⎧≤>425x x 得25＜x ≤4;（4）由⎩⎨⎧<>34x x 得，无解. ［生］由（1）得，两个不等式的解集中不等号的方向都是大于号，在数字1和－4中取大数1，不等号取大于号.由（2）得，两个不等式的解集中不等号的方向都是小于号，在不等式组的解集中不等号的方向取小于，而数字取比较小的数字34. 由（3）得，两个不等式的解集中不等号的方向有大于也有小于，数字25＜4，并且是 x ＞25,x ≤4，最后的结果中是x 取大于小数小于大数，即25＜x ≤4. 由（4）得，两个不等式的解集中不等号的方向有大于也有小于，并且是x ＞4,x ＜3,因为4＞3，即x 应取大于4而小于3的数，而这样的数根本不存在，所以原不等式组的解集为无解.［师］大家分析得非常精彩.基本上说明了情况，下面我再系统地给大家作一总结： 投影片（§1.6.2 B ）［师］这是用式子表示，也可以用语言简单表述为： 同大取大；同小取小；大于小数小于大数取中间； 大于大数小于小数无解. Ⅲ.课堂练习 1.随堂练习解下列不等式组 （1）⎩⎨⎧>-<+81353x x（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+>-<+523)1(212x x x x［解］（1）⎩⎨⎧>-<+81353x x )2()1(解不等式（1），得x ＜2解不等式（2），得x ＞3在同一数轴上表示不等式（1）、（2）的解集，如图1－37：图1－37所以，原不等式组无解.（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+>-<+523)1(212x x x x)2()1(解：解不等式（1），得x ＞2 解不等式（2），得x ＞3在同一数轴上表示不等式（1），（2）的解集，如图1－38：图1－38 所以，原不等式组的解集为x＞3.2.补充练习投影片（§1.6.2 C）Ⅳ.课时小结本节课我们学习了如下内容. 1.练习了解一元一次不等式组.2.总结了由两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集的四种情况. Ⅴ.课后作业 习题1.9参考练习解下列不等式组 1.⎩⎨⎧-<->+xx xx 4109154652.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<-+<21512512x x x x3.⎩⎨⎧>+-+<+xx x x 28)2(35)2(24.⎩⎨⎧+≥--+<-)1(46)1(5)3(62x x x x 5.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+>--<+4233225351x x x xx 参考答案1.x ＞12.－7＜x ＜323.－2＜x ＜14.x ≥155.无解第十课时●课题§1.6.3 一元一次不等式组（三）●教学目标（一）教学知识点能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式组解决简单的问题.（二）能力训练要求通过例题的讲解，让学生初步学会从数学的角度提出问题、理解问题、并能综合运用所学的知识解决问题，发展应用意识.（三）情感与价值观要求通过解决实际问题，让学生初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用.●教学重点用一元一次不等式组的知识去解决实际问题.●教学难点审题，根据具体信息列出不等式组.●教学方法启发诱导式教学.●教具准备投影片两张第一张：例题（记作§1.6.3 A）第二张：练习题（记作§1.6.3 B）●教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课［师］同学们，我现在问大家一个问题，大家来学校的目的是什么？［生］是为了学知识，学知识是为了以后更好地工作.［师］非常正确，大家来学习的目的是为了解决实际工作中的问题，那么我们学习了一元一次不等式组能解决哪些实际问题呢？本节课我们将进行探索.Ⅱ.新课讲授1.做一做［生］解：设乙骑车的速度为x km/h，根据题意，得⎪⎩⎪⎨⎧⨯≥⨯≤41354535x x )2()1( 解不等式组得13≤x ≤15因此乙骑车的速度应当控制在13≤x ≤15内. 2.例题讲解.一群女生住若干间宿舍，每间住4人，剩19人无房住；每间住6人，有一间宿舍住不满.（1）设有x 间宿舍，请写出x 应满足的不等式组； （2）可能有多少间宿舍、多少名学生？［师］解一元一次不等式组的应用题，实际上和列方程解应用题的步骤相似，因此我们有必要先回忆一下列方程解应用题的步骤，大家还记得吗？［生］记得.有审题，设未知数；找相等关系；列方程；解方程；写出答案. ［师］很好.大家能不能猜想出解不等式组应用题的步骤呢？［生］可以.有审题，设未知数；找不等关系；列不等式组；解不等式组；写出答案. ［师］大家非常聪明，下面我们就大家的猜想进行验证.请大家互相讨论. ［生］解：（1）设有x 间宿舍，则有（4x +19）名女生，根据题意，得⎩⎨⎧+<-+>194)1(61946x x x x （2）解不等式组，得 9.5＜x ＜12.5因为x 是整数，所以x =10,11,12.因此有三种可能，第一种，有10间宿舍，59名学生；第二种，有11间宿舍，63名学生；第三种，有12间宿舍，67名学生.3.运用不等式组解决实际问题的基本过程.［师］认真观察刚才的例题，请大家总结一下用不等式组解决实际问题的基本过程. ［生］基本过程大致为： 1.审题、设未知数； 2.找不等关系； 3.列不等式组； 4.解不等式组；5.根据实际情况，写出答案.［师］总结得非常好，下面我们就按这样的过程来做一些练习. Ⅲ.课堂练习投影片（§1.6.3 B ）Ⅳ.课时小结运用不等式组解决实际问题的基本过程. Ⅴ.课后作业 习题1.101.解:设个位数字为x ，则十位数字为x +1,根据题意，得⎩⎨⎧>++>++42)1(1030)1(10x x x x 解不等式组，得1120＜x ＜1132 因为x 为整数，所以x 为2.因此这个两位数为32.2.解:设该公司明年应安排生产甲种产品x 件，则乙种产品为（20－x ）件，根据题意，得1100＜45x +75（20－x ）＜1200 这个式子实际等价于不等式组⎩⎨⎧<-+>-+1200)20(75451100)20(7545x x x x )2()1( 解不等式组，得 10＜x ＜340因为x 是整数，所以x =11,12,13. 因此有三种方案：第一种：生产甲种产品11件，乙种产品9件； 第二种：生产甲种产品12件，乙种产品8件； 第三种：生产甲种产品13件，乙种产品7件. Ⅵ.活动与探究火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，现计划用50节A 、B 两种型号的车厢将这批货物运至北京，已知每节A 型货厢的运费是0.5万元，每节B 节货厢的运费是0.8万元；甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节A 型货厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B 型货厢，按此要求安排A 、B 两种货厢的节数，共有哪几种方案？请你设计出来；并说明哪种方案的运费最少？解：设A 型货厢用x 节，则B 型货厢用（50－x ）节，根据题意，得⎩⎨⎧≥-+≥-+1150)50(35151530)50(2535x x x x 解不等式组，得 28≤x ≤30因为x 为整数，所以x 取28，29，30. 因此运送方案有三种.（1）A 型货厢28节，B 型货厢22节； （2）A 型货厢29节，B 型货厢21节； （3）A 型货厢30节，B 型货厢20节；设运费为y 万元，则y =0.5x +0.8（50－x ）=40－0.3x 当x =28时，y =31.6 当x =29时，y =31.3 当x =30时，y =31因此，选第三种方案，即A 型货厢30节，B 型货厢20节时运费最省. ●板书设计●备课资料一、数学建模思想18世纪，数学大师欧拉成功地解决了“哥尼斯堡七桥问题”.在东普鲁士的小城镇哥尼斯堡，有一条小河从市中心穿过，河中有小岛A和D，河上有连接这两个岛和河的两岸B、C的桥，如图1－41所示，问一个人能否将每座桥既无重复也无遗漏地通过一次？图1－41为了解决这个问题，欧拉并没有亲自去哥尼斯堡，而是把问题作了数学化的处理.他把两岸和小岛都抽象成点，把桥化为边，两个点之间有边相连接，当且仅当这两点所代表的地区有桥相连接，于是这个问题的解就相当于下面的图能否一笔画成.1736年，欧拉在文章《哥尼斯堡的七桥问题》中，用他找到的一笔画的数学模型，以否定的方式漂亮地解决了这个问题.他在文章中写到，如果从某一点出发，到某一点终止，若全图可以一笔画出，那么中间每经过的一点，总有画进画出的各一条线，所以除了起点和终点外，图形中的每一个点都应该和偶数条线相连.但我们从第二个图中可以看到.每一个点都与奇数条线相连，所以这个图形不可能一笔画出，也就不可能一次既无重复也无遗漏地通过每一座桥.图1－42从这个问题的解决的过程里，我们可以体会到，欧拉为解决七桥问题所建立的数学模型——“一笔画的图形判别模型”，不仅可以清楚直观地抓住问题的实质，而且很容易推广应用于解决其他多桥问题或者最短路程问题.数学建模思想是指从实际问题中，发现、提出、抽象、简化、解决、处理问题的思维过程，它包括对实际问题进行抽象、简化，建立数学模型，求解数学模型，解释验证等步骤.数学建模思想已广泛地体现在初中数学知识体系中，与其有关的中考题型已成为命题热点.初中数学中常见的不等式（组）模型体现在方案设计，最佳优化等问题中.数学建模的关键是善于通过对实际问题的分析，抓住其实质，联想相应的数学知识，建立数学表达式，并应用性质找到解决问题的途径.二、综合应用类［例1］（2001聊城）若方程组⎩⎨⎧=++=+3313y x k y x 的解为x 、y ，且2＜k ＜4,则x －y 的取值范围是A.0＜x －y ＜21B.0＜x －y ＜1C.－3＜x －y ＜－1D.－1＜x －y ＜1解析：不等式中的未知数k 隐含在方程组中，因此应从解方程组入手；同时，考虑要确定x －y 的取值范围，故不能简单地求出k 值，而需采用整体的方法去解.两方程相减，得2x －2y =k －2, 即k =2（x －y +1） 由2＜k ＜4，可知2＜2（x －y +1）＜4, 即0＜x －y ＜1，所以，选B. ［例2］（2001安徽）恩格尔系数表示家庭日常饮食开支占家庭经济总收入的比例，它反映了居民家庭的实际生活水平，各种类型家庭的恩格尔系数如下表所示：则用含n 的不等式表示小康家庭的恩格尔系数为__________.解析：恩格尔系数对考生来说应是个新名词，但只要观察表中“小康家庭”一栏，即可表示出：40%≤n ≤49%.［例3］（2001陕西）乘某城市的一种出租车起价是10元（即行驶路程在5 km 以内都需付费10元），达到或超过5 km 后，每增加1 km 加价1.2元（不足1 km 部分按1 km 计），现在某人乘这种出租车从甲地到乙地，支付车费17.2元，从甲地到乙地的路程大约是多少？解：设甲地到乙地的路程大约是x km，据题意，得16＜10+1.2（x－5）≤17.2,10＜x≤11.即从甲到乙路程大于10 km，小于或等于11 km.第十一课时●课题§1.7 回顾与思考●教学目标（一）教学知识点1.不等式的基本性质.2.解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集.3.利用一元一次不等式解决实际问题.4.一元一次不等式与一次函数.5.一元一次不等式组及其应用.（二）能力训练要求通过回顾本章内容，培养学生归纳总结能力，以及用数学知识解决实际问题的能力.（三）情感与价值观要求利用不等式及不等式组的知识去解决实际问题，让学生体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进学生对数学的理解和学好数学的信心.●教学重点掌握本章所有知识.●教学难点利用本章知识解决实际问题.●教学方法教师指导学生自己归纳总结法.●教具准备投影片五张第一张：（记作§1.7 A）第二张：（记作§1.7 B）第三张：（记作§1.7 C）第四张：（记作§1.7 D）第五张：（记作§1.7 E）●教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课［师］我们已经学完了本章的全部内容，这节课大家一起来进行回顾.Ⅱ.新课讲授［师］1.首先，大家来简要概括一下本章的知识点有哪些？［生］由现实生活中的不等关系推导出不等式的意义，并能根据条件列出不等式；类比等式的性质，推导不等式的有关性质以及等式性质与不等式性质的异同；根据不等式的性质求解不等式，并能利用不等式解决实际问题；一元一次不等式与一次函数；一元一次不等式组及其应用.［师］很好.这位同学对本章知识掌握得如此熟悉，大家应该向他学习.下面我们分别详细地回顾总结.2.重点知识讲解（1）不等式的基本性质：［生］不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变.不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.［师］不等式的基本性质与等式的基本性质有哪些异同点？［生］不等式的基本性质有三条，等式的基本性质有两条；两个性质中在两边都加上（或都减去）同一个整式时，结果相似；在两边都乘以（或除以）同一个正数时，结果相似；在两边都乘以（或除以）同一个负数时，结果不同.［师］很好.两个性质可以对比如下：例题讲解（2）解一元一次不等式和解一元一次方程有什么异同？［师］解一元一次不等式的步骤有哪些？［生］解一元一次不等式的步骤有：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化成1.［师］很好.下面我们对比地学习解一元一次不等式与解一元一次方程的异同.（3）举例说明在数轴上如何表示一元一次不等式（组）的解集. 投影片（§1.7 D）［师］解一元一次不等式组求公共部分时要记住：“同大取大，同小取小，大于小数小于大数居中间，大于大数小于小数无解”（4）说一说运用不等式解决实际问题的基本过程.［师］大家还可以用类比的方法，比较列方程解应用题的步骤，猜想出用不等式解决实际问题的步骤.［师］大家能总结一下基本过程吗？［生］可以.①审题，设未知数；②找不等关系；③列不等式；④解不等式；⑤写出答案.（5）一元一次不等式与一次函数.［生］如函数y=2x－5,当y＞0时，有2x－5＞0,当y＜0时，有2x－5＜0.Ⅲ.课堂练习解下列不等式或不等式组：（1）3（2x +5）＞2（4x +3）; （2）10－4（x －3）≤2（x －1）; （3）5623+>-x x ; （4）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+>+>+33222)4(21x x x解：（1）去括号，得6x +15＞8x +6移项、合并同类项，得2x ＜9 两边都除以2，得x ＜29. （2）去括号，得 10－4x +12≤2x －2移项、合并同类项，得6x ≥24 两边都除以6，得x ≥4.（3）去分母，得5（x －3）＞2（x +6） 去括号，得5x －15＞2x +12 移项、合并同类项，得3x ＞27 两边都除以3，得x ＞9（4）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+>+>+33222)4(21x x x )2()1(解不等式（1），得x ＜0 解不等式（2），得x ＞0这两个不等式的解集在同一数轴上表示为：图1－47所以，原不等式组的解集为无解. Ⅳ.课时小结回顾本章的知识点，并进行有关练习. Ⅴ.课后作业 复习题A 组 Ⅵ.活动与探究某化工厂2000年12月在判定2001年某种化肥的生产计划时，收集到了如下信息： 1.生产该种化肥的工人数不超过200人；2.每个工人全年工作时数不得多于2100个；3.预计2001年该化肥至少可销售80000袋；4.每生产一袋该化肥需要工时4个；5.每袋该化肥需要原料20千克；6.现库存原料800吨，本月还需用200吨，2001年可以补充1200吨. 请你根据以上数据确定2001年该种化肥的生产袋数的范围. 解：设2001年可生产该化肥x 袋.根据题意得⎪⎩⎪⎨⎧≥⨯+-≤⨯≤800001000)1200200800(2020021004x x x 解得80000≤x ≤90000且x 为整数.［答］2001年该化肥产量应确定在8万到9万袋之间. ●板书设计●迁移发散 迁移1.求不等式组－3≤2x －1＜5的自然数解.点拨：应先求出不等式组的解集，后在解集范围内找自然数解. 解：这个不等式组即为：⎩⎨⎧<--≥-512312x x解不等式①得:x ≥－1 解不等式②得:x ＜3.∴这个不等式组的解集为：－1≤x ＜3. ∴不等式组的自然数解是0，1，2.2.三个连续的自然数的和小于10，这样的自然数组共有多少？把它们分别写出来. 点拨：连续三个自然数相互之间差1，所以可设中间一数为x ，则三个连续的自然数① ②可表示为x －1，x ，x +1.解：设中间一数为x ，则三个连续自然数分别是x －1，x ，x +1. 由题意得x －1+x +x +1＜103x ＜10，x ＜331. ∵x 取整数，而自然数最小为0. ∴x 只能取0，1，2，3.∴这样的自然数有三组，分别是0，1，2；1，2，3；2，3，4.3.某次数学测验共15道题(满分100分).评分办法是：答对一道给6分，答错一道扣2分，不答不给分.某学生有一道未答.那么他至少答对几道才算及格.解：设他至少答对x 道题，则答错(15－x )道. 由题意得:6x －2(15－x )≥60.解得x ≥1141. ∵x 只能取正整数，∴x 至少是12. 答：他至少答对12道才能及格.4.把一篮苹果分给几个学生，如果每人分4个，则剩3个；如果每人分6个，则最后一个学生最多可得2个.则学生数和苹果数分别是多少？点拨：由第一种分法可设学生数为x 人.得到苹果总数为(4x +3)个.即人数与苹果数总的关系.第二种分法，前(x －1)人是每人6个，也就是苹果总数与前(x －1)人分的苹果数的差不超过2个，即分完前(x －1)人后剩余的苹果不超过2个.0≤(4x +3)－6(x －1)≤2.解：由题意得，设学生有x 人. 则苹果有(4x +3)个.由题意得：0≤(4x +3)－6(x －1)≤2.解这个不等式组得：27≤x ≤29. ∵x 只能取正整数.∴x =4.答：有4名学生，17个苹果.5.某人拿100元钱到商场买一些饮料.用去60元后，他又买了4千克香蕉，每千克3元；买了5千克苹果，付钱后尚有剩余，如果他买6千克香蕉和6千克苹果，则所带钱款不够用.求苹果的价格是多少元. 解：设苹果每千克x 元.由题意得⎩⎨⎧-≥+⨯-≤+⨯6010063660100543x x解得311＜x ＜528.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
典型例题讲解：
9
中小学上门、在线教学领导品牌
一元一次不等式-基础与提高
典型例题讲解：
10
中小学上门、在线教学领导品牌
一元一次不等式-基础与提高
典型例题讲解：
11
中小学上门、在线教学领导品牌
一元一次不等式-基础与提高
典型例题讲解：
12
中小学上门、在线教学领导品牌
一元一次不等式-基础与提高
典型例题讲解：
中小学上门、在线教学领导品牌
一元一次不等式-基础与提高
典型例题讲解：
1
中小学上门、在线教学领导品牌
一元一次不等式-基础与提高
典型例题讲解：
2
中小学上门、在线教学领导品牌
一元一次不等式-基础与提高
典型例题讲解：
3
中小学上门、在线教学领导品牌
一元一次不等式-基础与提高
典型例题讲解：
4
中小学上门、在线教学领导品牌
4、学生听课状况了解；
21
பைடு நூலகம்
中小学上门、在线教学领导品牌
THANK YOU
T h a n k s f o r wa t c h i n g
一元一次不等式-基础与提高
习题精练：
18
中小学上门、在线教学领导品牌
一元一次不等式-基础与提高
习题精练：
19
中小学上门、在线教学领导品牌
一元一次不等式-基础与提高
习题精练：
20
中小学上门、在线教学领导品牌
一元一次不等式-基础与提高
课堂总结：
1、基础知识掌握情况；
2、解题技巧掌握情况；
3、教师授课进度情况；
13
中小学上门、在线教学领导品牌
一元一次不等式-基础与提高
典型例题讲解：
14
中小学上门、在线教学领导品牌
一元一次不等式-基础与提高
典型例题讲解：
15
中小学上门、在线教学领导品牌
一元一次不等式-基础与提高
习题精练：
16
中小学上门、在线教学领导品牌
一元一次不等式-基础与提高
习题精练：
17
中小学上门、在线教学领导品牌
一元一次不等式-基础与提高
典型例题讲解：
5
中小学上门、在线教学领导品牌
一元一次不等式-基础与提高
典型例题讲解：
6
中小学上门、在线教学领导品牌
一元一次不等式-基础与提高
典型例题讲解：
7
中小学上门、在线教学领导品牌
一元一次不等式-基础与提高
典型例题讲解：
8
中小学上门、在线教学领导品牌
一元一次不等式-基础与提高