3月30号不等式专题
初中数学方程与不等式25道典型题(含答案和解析)
初中数学方程与不等式25道典型题（含答案和解析）1. 楠楠老师在解方程2x−13＝x ＋a 2−1去分母时，因为手抖发作，将方程右侧的－1漏乘了，因而求得的方程的解为x ＝2，请帮助楠楠老师求出正确的解. 答案：x ＝－3. 解析：漏乘后方程为：2(2X －1)＝3（x ＋a ）－1. 4x －2＝3x ＋3a －1. x ＝3a ＋1 .∵ x ＝2.∴ a ＝13.∴ 原方程去分母后得： 2(2X －1)＝3（x ＋13）－6. 4x －2＝3x ＋1－6. X ＝－3.考点：方程与不等式—一元一次方程—含字母参数的一元一次方程—错解方程.2. 已知关于x 的方程3[x −2（x −a2）]＝4x 与3x ＋a 12−1−5x 8＝1有相同的解，求 a 的值及方程的解.答案：a ＝2711，方程的解为x ＝8177.解析：把a 当作常数，方程3[x −2（x −a2）]＝4x 的解为x ＝37a .方程3x ＋a 12−1−5x 8＝1的解为x ＝27−2a 21.故37a ＝27−2a 21.解得a ＝2711，所以x ＝8177.考点：方程与不等式—一元一次方程—同解方程—同解方程求参数.3. 解方程组.（1）{m ＋n3−n−m4＝24m ＋n 3＝14 （2）{1−0.3(y −2)＝x ＋15y−14＝4x ＋920−1答案：（1）{m ＝185n ＝−65.（2）{x ＝4y ＝2.解析：（1）化简方程组得，{7m ＋n ＝2412m ＋n ＝42，加减消元可解得答案为{m ＝185n ＝−65.（2）化简方程组得，{2x ＋3y ＝144x −5y ＝6，加减消元可解得答案为{x ＝4y ＝2.考点：方程与不等式—二元一次方程组—解二元一次方程组.4. 回答下列小题.（1）当k ＝ 时，方程组{4x ＋3y ＝1kx ＋(k −1)y ＝3的解中，x 与y 的值相等．（2）关于x ，y 的方程组{ax ＋by ＝2cx −7y ＝8，甲正确的解得{x ＝3y ＝−2，乙因为把c 看错了，解得{x ＝−2y ＝2，求a ，b ，c 的值. （3）若方程组{2x ＋3y ＝7ax −by ＝4与方程组{ax ＋by ＝64x −5y ＝3有相同的解，则a ，b 的值为（ ）.A.{a ＝2b ＝1B. {a ＝2b ＝−3C. {a ＝2.5b ＝1D. {a ＝4b ＝−5 答案：（1）11.（2）a ＝4，b ＝5，c ＝－2. （3）C ．解析：（1）因为x 和y 的值相等，所以x ＝y ，代入1式可得x ＝y ＝17，再代入2式可得k ＝11.（2）乙看错了c ，说明乙的解只满足1式；甲是正确的解，说明甲的解满足两个等式．将解代入方程可得{3a −2b ＝23c ＋14＝8−2a ＋2b ＝2，解得a ＝4，b ＝5，c ＝－2.（3）由题中条件：有相同的解可知，这两个方程组可以联立，即{2x ＋3y ＝7ax−by ＝4ax ＋by ＝64x−5y ＝3，由1式和4式可以解得{x ＝2y ＝1，代入2式和3式可得{2a −b ＝42a ＋b ＝6. 解得{a ＝2.5b ＝1，故选C.考点：方程与不等式—二元一次方程组—同解方程组.5. 台湾是中国领土不可分割的一部分，两岸在政治、经济、文化等领域的交流越来越深入，2015年10月10日是北京故宫博物院成立90周年院庆日，两岸故宫同根同源，合作举办了多项纪念活动．据统计北京故宫博物院与台北故宫博物院现共有藏品约245万件，其中北京故宫博物院藏品数量比台北故宫博物院藏品数量的2倍还多50万件，求北京故宫博物院和台北故宫博物院各约有多少万件藏品．答案：北京故宫博物院约有180万件藏品，台北故宫博物院约有65万件藏品． 解析：设北京故宫博物院约有x 万件藏品，台北故宫博物院约有y 万件藏品．依题意，列方程组得：{x ＋y ＝245x ＝2y ＋50.解得{x ＝180y ＝65．答：北京故宫博物院约有180万件藏品，台北故宫博物院约有65万件藏品． 考点：方程与不等式—二元一次方程组—二元一次方程（组）的解.6.如图所示，宽为50cm的长方形图案由10个相同的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为 cm2.答案：400.解析：设一个小长方形的长为x，宽为y，则可列方程组{x＋y＝50x＋4y＝2x.解得{x＝40y＝10．则一个小长方形的面积＝40cm×10cm＝400cm2．考点：方程与不等式—二元一次方程组—二元一次方程（组）的应用.7.高新区某水果店购进800千克水果，进价每千克7元，售价每千克12元，售出总量一半后，发现剩下的水果己经有5﹪受损（受损部分不可出售），为尽快售完，余下的水果准备打折出售．（1）若余下的水果打6折出售，则这笔水果生意的利润为多少元？（2）为使总利润不低于2506元，在余下的水果的销售中，营业员最多能打几折优惠顾客（限整数折，例如：5折、6折等）？答案：（1）这笔水果生意的利润为1936元．（2）营业员最多能打8折优惠顾客．解析：（1）根据题意得：400×12＋（400－400×5﹪）×0.6×12－800×7＝1936（元）.答：这笔水果生意的利润为1936元．（2）设余下的水果应按原出售价打x折出售，根据题意列方程：400×12＋（400－400×5﹪）×0.1x×12－800×7＝2506.解方程得：x＝7.25．答：营业员最多能打8折优惠顾客．考点：方程与不等式—一元一次方程—一元一次方程的应用.打折销售问题—经济利润问题.8. 二轮自行车的后轮磨损比前轮要大，当轮胎的磨损度（﹪）达到100时，轮胎就报废了，当两个轮的中的一个报废后，自行车就不可以继续骑行了．过去的资料表明：把甲、乙两个同质、同型号的新轮胎分别安装在一个自行车的前、后轮上后，甲、乙轮胎的磨损度（﹪）y1、y2与自行车的骑行路程x （百万米）都成正比例关系，如图（1）所示.（1）线段OB 表示的是 （填“甲”或“乙”），它的表达式是 （不必写出自变量的取值范围）．（2）求直线OA 的表达式，根据过去的资料，这辆自行车最多可骑行多少百万米． （3）爱动脑筋的小聪，想了一个增大自行车骑行路程的方案：如图（2），当自行车骑行a百万米后，我们可以交换自行车的前、后轮胎，使得甲、乙两个轮胎在b 百万米处，同时报废，请你确定方案中a 、b 的值． 答案：（1）1．甲.2．y ＝20x. （2）OA 的解析式是y ＝1003x ，这辆自行车最多可骑行3百万米．（3）{a ＝158b ＝154.解析：（1）∵ 线段OB 表示的是甲，设OB 的解析式是y ＝kx.∴ 1.5k ＝30. ∴ 解得：k ＝20. ∴ OB 的表达式是y ＝20x. ∴ 答案是：甲，y ＝20x ．（2）∵ 设直线OA 的表达式为y ＝mx.∴ 根据题意得：1.5m ＝50. ∴ 解得：m ＝1003.∴ 则OA 的解析式是y ＝1003x .∵ 当y ＝100时，100＝1003x .∴ 解得：x ＝3.答：这辆自行车最多可骑行3百万米．（3）∵ 根据题意，得：{1003a ＋20(b −a )＝10020a ＋1003(b −a )＝100. ∴ 解这个方程组，得{a ＝158b ＝154.考点：方程与不等式—二元一次方程组—解二元一次方程组.函数—一次函数—待定系数法求正比例函数解析式—一次函数的应用—一次函数应用题.9. 若关于x 的一元二次方程（x ＋1）2＝1－k 无实根，则k 的取值范围为 ．答案：k ＞1.解析：若方程（x ＋1）2＝1－k 无实根，则1－k ＞0.∴k ＞1.考点：方程与不等式—一元二次方程—一元二次方程的定义—一元二次方程的相关概念.10. 小明在探索一元二次方程2x2－x －2＝0的近似解时作了如下列表计算．观察表中对应的数据，可以估计方程的其中一个解的整数部分是（ ）．A.4B.3C.2D.1答案：D.解析：根据表格中的数据，可知：方程的一个解x的范围是：1＜x＜2.所以方程的其中一个解的整数部分是1．考点：方程与不等式—一元二次方程—估算一元二次方程的近似解.11.已知m、n、p分别是Rt△ABC的三边长，且m≤n＜p．（1）求证：关于x的一元二次方程mx2＋√2px＋n＝0必有实数根．（2）若x＝－1是一元二次方程mx2＋√2px＋n＝0的一个根，且Rt△ABC的周长为√2＋2，求Rt△ABC的面积.答案：（1）证明见解析．（2）1．解析：（1）∵ m、n、p分别是Rt△ABC的三边长，且m≤n＜p．∴ p2＝m2＋n2.∴ b2－4ac＝2p2－4mn＝2(m2＋n2)－4mn＝2(m－n)2≥0.∴关于x的一元二次方程mx2＋√2px＋n＝0必有实数根．（2）∵ x＝－1是一元二次方程mx2＋√2px＋n＝0的一个根.∴ m－√2p＋n＝0 ①.∵ Rt△ABC的周长为2√2＋2.∴ m＋n＋p＝2√2＋2②.由①、②得：m＋n＝2√2，p＝2.∴（m＋n）2＝8.∴ m2＋2mn＋n2＝8.又∵ m2＋n2＝p2＝4.∴ 2mn＝4.∴1＝mn＝1.2∴ Rt△ABC的面积是1．考点：方程与不等式—一元二次方程—根的判别式—判断一元二次方程根的情况.根与系数的关系—韦达定理应用.三角形—三角形基础—三角形面积及等积变换.12.关于x的方程（k－3）x2＋2x＋1＝0有两个不等的实数根，则k的取值范围为．答案：k＜4且k≠3.解析：∵关于x的方程（k－3）x2＋2x＋1＝0有两个不等的实数根.∴ {k−3≠0△＝4−4（k−3）＞0.∴ k＜4且k≠3.考点：方程与不等式—一元二次方程—一元二次方程的定义—根据一元二次方程求参数值.根的判别式—已知一元二次方程根的情况，求参数的取值范围.13.设a、b是方程x2＋x－9＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为．答案：8.解析：∵ a是方程x2＋x－9＝0的根.∴ a2＋a＝＝9.由根与系数的关系得：a＋b＝－1.∴ a2＋2a＋b＝（a2＋a）＋（a＋b）＝9＋（－1）＝8．考点：方程与不等式—一元二次方程—根与系数的关系—韦达定理应用.14.如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12cm的住房墙．另外三边用25cm长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门．（1）所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？（2）能否围成一个面积为100 m2的矩形猪舍？如能，说明了围法；如不能，请说明理由．答案：（1）矩形猪舍的长为10m，宽为8m．（2）不能围成一个面积为100 m2的矩形猪舍．解析：（1）设矩形猪舍垂直于房墙的一边长为xm，则矩形猪舍的另一边长为（26－2x）m.由题意得：x（26－2x）＝80.解得：x1＝5，x2＝8，当x＝5时，26－2x＝16＞12（舍去）.当x＝8时，26－2x＝10＜12.答：矩形猪舍的长为10m，宽为8m．（2）由题意得：x（26－2x）＝100.整理得：x2－13x＋50＝0.∵△＝（－13）2－4×1×50＝－31＜0.∴方程无解.故不能围成一个面积为100 m2的矩形猪舍．考点：方程与不等式—一元二次方程—根的判别式—判断一元二次方程根的情况.一元二次方程的应用.15.某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为 120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．（1）设每件童装降价x元时，每天可销售__________件，每件盈利__________元（用x的代数式表示）．（2）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元．（3）要想每天赢利2000元，可能吗？请说明理由．答案：（1）（20＋2x），（40－x）.（2）20元或10元．（3）不可能，理由见解析．解析：（1）根据题意得：每天可销售（20＋2x）；每件盈利（40－x）.（2）根据题意得：（40－x）（20＋2x）＝1200.解得：x1＝20，x2＝10．答：每件童装降价20元或10元时，平均每天赢利1200元．（3）（40－x）（20＋2x）＝2000.整理得：x2－30x＋600＝0.△＝62－4ac＝（－30）2－4×1×600＝900－2400＜0.∴方程无解．答：不可能做到平均每天赢利2000元．考点：式—整式—代数式.方程与不等式—一元二次方程—一元二次方程的解.根的判别式—判断一元二次方程根的情况—一元二次方程的应用.16.若a＞b，则下列不等式中正确的是．（填序号）① a－2＜b－2 ② 5a＜5b ③－2a＜－2b ④a3＜b3答案：③.解析：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号改变方向．考点：方程与不等式—不等式与不等式组—不等式的基础—不等式的性质.17.解不等式：2−x＋23＞x＋x−12．答案：x＜1.解析：12－2（x＋2）＞6x＋3（x－1）.12－2x－4＞6x＋3x－3.－11x＞－11.X＜1.考点：方程与不等式—不等式与不等式组—解一元一次不等式.18.解不等式组{2x＋4≤5（x＋2）x−1<23x，把它的解集在数轴上表示出来，并求它的整数解．答案：原不等式组的整数解为－2，－1，0，1，2．解析：由2x＋4≤5（x＋2）得x≥－2.由x−1<23x得x＜3．不等式组的解集在数轴上表示如下.∴原不等式组的解集为－2≤x＜3．∴原不等式组的整数解为－2，－1，0，1，2．考点：方程与不等式—不等式与不等式组—在数轴上表示不等式的解集—一元一次不等式组的整数解.19.为执行中央“节能减排，美化环境，建设美丽新农村”的国策，我市某村计划建造A、B两种型号的沼气池共20个，以解决该村所有农户的燃料问题．两种型号沼气池的占地面积、使用农户数及造价见下表.已知可供建造沼气池的占地面积不超过370m2，该村农户共有498户．（1）满足条件的方案共有哪几种？写出解答过程．（2）通过计算判断，哪种建造方案最省钱？造价最低是多少万元？答案：（1）方案共三种：分别是A型6个，B型14个．A型7个，B型13个．A型8个，B型12个．（2）A型建8个的方案最省，最低造价52万元．解析：（1）设A型的建造了x个，得不等式组：{15x＋20（20−x）≤370 18x＋30（20−x）≥498.解得：6≤x≤8.5.三方案：A型6个，B型14个．A型7个，B型13个．A型8个，B型12个．（2）当x＝6时，造价2×6＋3×14＝54.当x＝7时，造价2×7＋3×13＝53.当x＝8时，造价2×8＋3×12＝52.故A型建8个的方案最省，最低造价52万元．考点：方程与不等式—不等式与不等式组—一元一次不等式组的应用—最优化方案.20.服装店准备购进甲乙两种服装，甲种每件进价80元，售价120元；乙种每件进价60元，售价90元，计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件．（1）若购进这100件服装的费用不得超过7500，则甲种服装最多购进多少件？（2）在（1）条件下，该服装店在5月1日当天对甲种服装以每件优惠a（0＜a＜20）元的价格进行优惠促销活动，乙种服装价格不变，那么该服装店应如何调整进货方案才能获得最大利润？答案：（1）甲种服装最多购进75件．（2）当0＜a＜10时，购进甲种服装75件，乙种服装25件.当a＝10时，按哪种方案进货都可以.当10＜a＜20时，购进甲种服装65件，乙种服装35件．解析：（1）设购进甲种服装x件，由题意可知.80x＋60（100－x）≤7500，解得：x≤75．答：甲种服装最多购进75件．（2）设总利润为w元，因为甲种服装不少于65件，所以65≤x≤75.W＝（40－a）x＋30（100－x）＝（10－a）x＋3000.方案1：当0＜a＜10时，10－a＞0，w随x的增大而增大.所以当x＝75时，w有最大值，则购进甲种服装75件，乙种服装25件.方案2：当a＝10时，所有方案获利相同，所以按哪种方案进货都可以.方案3：当10＜a＜20时，10－a＜0，w随x的增大而减小.所以当x＝65时，w有最大值，则购进甲种服装65件，乙种服装35件．考点：方程与不等式—不等式与不等式组—一元一次不等式的应用—一元一次不等式组的应用—最优化方案.21.解答下列问题：（1）计算：2xx＋1−2x＋6x2−1÷x＋3x2−2x＋1．（2）解分式方程：3x＋1＋1x−1＝6x2−1.答案：（1）2x＋1.（2）x＝2．解析：（1）原式＝2xx＋1−2（x＋3）(x＋1)（x−1）÷（x−1）2x＋3．＝2xx＋1−2（x−1）x＋1＝2x＋1.（2）3（x－1）＋x＋1＝6.3x－3＋x＋1＝6.4x＝8.x＝2.检验：当x＝2时，x2＋1≠0.故x＝2是该分式方程的解．考点：式—分式—分式的加减法—简单异分母分式的加减.方程与不等式—分式方程—解分式方程—常规法解分式方程.22.解下列方程：（1）5x−4x−2＝4x＋103x−6−1．（2）x−2x＋2−x＋2x−2＝8x2−4.答案：（1）x＝2是方程的增根，原方程无解．（2）x＝－1.解析：（1）等式两边同乘以3（x－2）得，3（5x－4）＝4x＋10.解得x＝2.检验x＝2时，2（x－2）＝0.∴ x＝2是方程的增根，原方程无解．（2）两边同乘x2－4.得：－8x＝8.X＝－1.经检验x＝－1是原方程的解.考点：方程与不等式—分式方程—解分式方程—常规法解分式方程.分式方程解的情况—分式方程有解—分式方程有增根.23.若分式方程2xx＋1−m＋1x2＋x＝x＋1x产生增根，则m的值为．答案：－2或1.解析：方程两边都乘x（x＋1）.得x2－（m＋1）＝（x＋1）2.∵原方程有增根.∴最简公分母x（x＋1）＝0.解得x＝0或－1.当x＝0时，m＝－2.当x＝－1时，m＝0.故m的值可能是－2或0.考点：方程与不等式—分式方程—分式方程解的情况—根据增根求参数.24.在“春节”前夕，某花店用13000元购进第一批礼盒鲜花，上市后很快销售一空．根据市场需求情况，该花店又用6000元购进第二批礼盒鲜花．已知第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的12，且每盒鲜花的进价比第一批的进价少10元．问第二批鲜花每盒的进价是多少元？答案：第二批鲜花每盒的进价是 120元．解析：设第二批鲜花每盒的进价是x元．依题意有：6000x ＝12×13000x＋10.解得x＝120．经检验：x＝120是原方程的解，且符合题意．答：第二批鲜花每盒的进价是120元．考点：方程与不等式—分式方程—分式方程的应用.25.甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独完成此项任务比乙队单独完成此项任务多用10天，且乙队每天的工作效率是甲队每天工作效率的1.5倍．（1）甲、乙两队单独完成此项任务各需要多少天？（2）若甲、乙两队共同工作4天后，乙队因工作需要停止施工，由甲队继续施工，为了不影响工程进度，甲队的工作效率提高到原来的2倍，如果要完成任务，那么甲队再单独施工多少天？答案：（1）甲队单独完成此项任务需要30天，乙队单独完成此项任务需要20天．（2）甲队再单独施工10天．解析：（1）设乙队单独完成此项任务需要x天，则甲队单独完成此项任务需要（x＋10）天.由题意可得：1x ＝ 1.5x＋10.解得：x＝20.经检验，x＝20是原方程的解.∴x＋10＝30（天）.答：甲队单独完成此项任务需要30天，乙队单独完成此项任务需要20天．（2）设甲队再单独施工a天，由题意可得：(130＋120)×4＋230×a＝1.解得：a＝10.答：甲队再单独施工10天．考点：方程与不等式—一元一次方程—一元一次方程的应用—工程问题.分式方程—分式方程的应用.。
(最新整理)二元一次方程组和不等式应用题专题
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班级姓名二元一次方程组和不等式(二）1。
（2012•湖州）为进一步建设秀美、宜居的生态环境，某村欲购买甲、乙、丙三种树美化村庄，已知甲、乙丙三种树的价格之比为2:2:3，甲种树每棵200元，现计划用210000元资金，购买这三种树共1000棵．（1）求乙、丙两种树每棵各多少元?（2)若购买甲种树的棵树是乙种树的2倍，恰好用完计划资金，求这三种树各能购买多少棵？（3）若又增加了10120元的购树款，在购买总棵树不变的前提下，求丙种树最多可以购买多少棵？2。
某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支,第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支5的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支．4（1)求第一次每支铅笔的进价是多少元?（2）若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元,问每支售价至少是多少元？3。
为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．如表是该市居民“一户一表”生活用水及提示计费价格表的部分信息：(说明:①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费=自来水费用+污水处理费用）已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨,交水费91元．（1）求a 、b 的值；(2)随着夏天的到来，用水量将增加．为了节省开支，小王计划把6月份的水费控制在不超过家庭月收入的2％．若小王家的月收入为9200元，则小王家6月份最多能用水多少吨？4。
专题30代数中的新定义问题-挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘(学生版)
挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）专题30代数中的新定义问题【例1】（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N ，若N 能被它的各数位上的数字之和m 整除，则称N 是m 的“和倍数”．例如：∵247÷（2+4+7）＝247÷13＝19，∴247是13的“和倍数”．又如：∵214÷（2+1+4）＝214÷7＝30……4，∴214不是“和倍数”．（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；（2）三位数A 是12的“和倍数”，a ，b ，c 分别是数A 其中一个数位上的数字，且a ＞b ＞c ．在a ，b ，c 中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F （A ），最小的两位数记为G （A ），若F(A)+G(A)16为整数，求出满足条件的所有数A ．【例2】（2022秋•西城区校级期中）将n 个0或1排列在一起组成了一个数组，记为A ＝（t 1，t 2，…t n ），其中，t 1，t 2，…，t n 都取0或1，称A 是一个n 元完美数组（n ≥2且n 为整数）．例如：（0，1），（1，1）都是2元完美数组，（0，0，1，1），（1，0，0，1）都是4元完美数组，但（3，2）不是任何完美数组．定义以下两个新运算：新运算1：对于x 和y ，x *y ＝（x +y ）﹣|x ﹣y |，新运算2：对于任意两个n 元完美数组M ＝（x 1，x 2，…，x n ）和N ＝（y 1，y 2，…，y n ），M ⊗N =12（x 1*y 1+x 2*y 2+…+x n *y n ），例如：对于3元完美数组M ＝（1，1，1）和N ＝（0，0，1），有M ⊗N =12（0+0+2）＝1．（1）在（0，0，0），（2，0，1），（1，1，1，1），（1，1，0）中是3元完美数组的有： ；（2）设A ＝（1，0，1），B ＝（1，1，1），则A ⊗B ＝ ；（3）已知完美数组M ＝（1，1，1，0）求出所有4元完美数组N ，使得M ⊗N ＝2；（4）现有m 个不同的2022元完美数组，m 是正整数，且对于其中任意的两个完美数组C ，D 满足C ⊗D ＝0；则m 的最大可能值是多少？写出答案，并给出此时这些完美数组的一个构造．【例3】（2022秋•茅箭区校级月考）对x ，y 定义一种新运算T ，规定T （x ，y ）=ax 2+by 2x+y （其中a ，b 是非零常数，且x +y ≠0），这里等式右边是通常的四则运算．如：T （3，1）=a×32+b×123+1=9a+b 3+1，T （m ，﹣2）=am 2+4b m−2． （1）填空：T （4，﹣1）＝ （用含a ，b 的代数式表示）；（2）若T （﹣2，0）＝﹣2，且T （5，﹣1）＝6．①求a 与b 的值；②若T （3m ﹣10，﹣3m ）＝T （﹣3m ，3m ﹣10），求m 的值．【例4】（2022•安顺）在平面直角坐标系中，如果点P 的横坐标和纵坐标相等，则称点P 为和谐点．例如：点（1，1），（12，12），（−√2，−√2），……都是和谐点． （1）判断函数y ＝2x +1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；（2）若二次函数y ＝ax 2+6x +c （a ≠0）的图象上有且只有一个和谐点（52，52）． ①求a ，c 的值；②若1≤x ≤m 时，函数y ＝ax 2+6x +c +14（a ≠0）的最小值为﹣1，最大值为3，求实数m 的取值范围．【例5】（2022•南通）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n （n ≥0）的点叫做这个函数图象的“n 阶方点”．例如，点（13，13）是函数y ＝x 图象的“12阶方点”；点（2，1）是函数y =2x 图象的“2阶方点”．（1）在①（﹣2，−12）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三点中，是反比例函数y =1x 图象的“1阶方点”的有 （填序号）；（2）若y 关于x 的一次函数y ＝ax ﹣3a +1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a 的值；（3）若y 关于x 的二次函数y ＝﹣（x ﹣n ）2﹣2n +1图象的“n 阶方点”一定存在，请直接写出n 的取值范围．一．解答题（共20题）1．（2022•渝中区校级模拟）材料1：若一个数各个数位上数字之和能被9整除，则这个数本身也能被9整除；材料2：如果一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数m 可以被9整除，且m 的百位上的数字比十位上的数字大2，则称m 为“够二数”；将m 的千位数字与个位数字交换，百位数字与十位数字交换，得到的数为m '，F(m)=m−m′+1818999，例如：m ＝8424，∵8+4+2+4＝18＝9×2，4﹣2＝2，∴8424是“够二数”，F(8424)=8424−4248+1818999=6． （1）判断1314，6536是否是“够二数”，请说明理由，如果是“够二数”，请计算F （m ）的值；（2）若一个四位正整数n =abcd 是“够二数”，且c F(n)为5的倍数，请求出所有的“够二数”n 的值．2．（2022•九龙坡区校级模拟）对于任意一个四位数m ，若满足千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m 为“倍和数”、例如：m ＝6132，∵6+2＝2×（1+3），∴6132是倍和数”；m ＝1374，∵1+4≠2×（3+7），∴1374不是“倍和数”；（1）判断1047和4657是否为“倍和数”？并说明理由．（2）当一个“倍和数”m 千位上的数字与个位上的数字不相等，且千位上的数字与个位上的数字之和等于8时，记这个“倍和数”m 的千位上的数字与个位上的数字之差的绝对值为T （m ），记百位上的数字与十位上的数字之差的绝对值为R （m ），令G （m ）=T(m)R(m)，当G （m ）能被3整除时，求出满足条件的所有“倍和数”m ．3．（2022•两江新区模拟）材料一：若一个两位数恰好等于它的各位数字之和的4倍，则称这个两位数为“巧数”．材料二：一个四位数N =abcd 满足各个数位数字都不为0，且它的千位数字与百位数字组成的两位数ab ，以及十位数字与个位数字组成的两位数cd 均为“巧数”，则称这个四位数为“双巧数”．若p =ac −bd ，q =ad −bc ，则记F （N ）＝q ﹣p ．（1）请任意写出两个“巧数”，并证明任意一个“巧数”的个位数字是十位数字的2倍；（2）若s ，t 都是“双巧数”，其中s ＝3010+100x +10y +z ，t ＝1100m +400+10n +2r ，（1≤x ，z ，n ≤9，1≤y ≤8，1≤m ≤5，1≤r ≤4，且x ，y ，z ，m ，n ，r 均为整数），规定K （s ，t ）=F(s)F(t)，当F （s ）+F （t ）＝12时，求K （s ，t ）的最大值．4．（2022•大足区模拟）对任意一个四位正整数m ，如果m 的百位数字等于个位数字与十位数字之和，m 的千位数字等于十位数字的2倍与个位数字之和，那么称这个数m 为“和谐数”．例如：m ＝7431，满足1+3＝4，2×3+1＝7，所以7431是“和谐数”．例如：m ＝6413，满足1+3＝4，但2×1+3＝5≠6，所以6413不是“和谐数”．（1）判断8624和9582是不是“和谐数”，并说明理由；（2）若m 是“和谐数”，且m 与22的和能被13整除，求满足条件的所有“和谐数”m ．5．（2021•北碚区校级模拟）定义一种新运算：对于实数x 、y ，有L （x ，y ）＝ax +by （其中a ，b 均为非零常数），由这种运算得到的数称之为线性数，记为L （x ，y ），其中x ，y 叫做线性数的一个数对，若实数x ，y 都取正整数，称这样的线性数为正格线性数，这时的x ，y 叫做正格线性数的正格数对．（1）若L （x ，y ）＝2x +7y ，则L （3，﹣2）＝ ，L （32，−12）＝ ； （2）已知L （5，13）=503，L （2，25）＝8． ①若L （m ﹣1，m +2）为正格线性数，求满足66＜L （m ﹣1，m +2）＜99的正格数对有哪些？②若正格线性数L （x ，y ）＝55，满足这样的正格数对中，有满足问题①的数对吗，若有，请找出；若没有，请说明理由．6．（2022秋•岳麓区校级期中）对x 定义一种新运算E ，规定E （x ）＝（ax +2）（2bx ﹣3），其中a ，b 是非零常数．如：当a ＝1，b ＝1时，E （x ）＝（x +2）（2x ﹣3）＝2x 2+x ﹣6．（1）当a ，b 满足(a −12)2+|b +6|=0时，计算E （x ）； （2）已知E(2−3x)=32x 2−2x −163，请求出a b 的值； （3）若当a ＝3，b ＝2时，关于x 的不等式组{E(x)−2x(6x +3)≤2k 4E(2+x)−E(2x −1)＜228恰好有5个整数解，求k 的取值范围．7．（2022春•五华区校级期中）阅读材料：对实数a 、b ，定义T （a ，b ）的含义为，当a ＜b 时T （a ，b ）＝a +b ；当a ≥b 时，T （a ，b ）＝a ﹣b ．例如：T （1，3）＝1+3＝4，T （2，﹣1）＝2﹣（﹣1）＝3；根据以上材料，回答下列问题：（1）若T （m 2+1，﹣1）＝6，则m ＝ ；（2）已知x +y ＝8，且x ＞y ，求T （4，x ）﹣T （4，y ）的值．8．（2022春•巴中期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程2x ﹣1＝3和x +1＝0为“美好方程”．（1）请判断方程4x ﹣（x +5）＝1与方程﹣2y ﹣y ＝3是否互为“美好方程”；（2）若关于x 的方程x2+m ＝0与方程3x ﹣2＝x +4是“美好方程”，求m 的值； （3）若关于x 方程12022x ﹣1＝0与12022x +1＝3x +k 是“美好方程”，求关于y 的方程12022（y +2）+1＝3y +k +6的解．9．（2022春•岳麓区校级期末）对a ，b 定义一种新运算T ，规定：T （a ，b ）＝（2a ﹣b ）（ax﹣by ）（其中x ，y 均为非零实数）．例如：T （1，1）＝x ﹣y ．（1）已知关于x ，y 的方程组{T(1，3)=a +3T(2，0)=8a，若a ≤﹣1，求2x ﹣y 的取值范围； （2）在（1）的条件下，已知平面直角坐标系上的点A （x ，y ）落在坐标轴上，将线段OA 沿x 轴向右平移2个单位，得线段O 'A '，坐标轴上有一点B 满足三角形BOA '的面积为15，请直接写出点B 的坐标．10．（2022春•遵义期末）我们规定．关于x ，y 的二元一次方程ax +by ＝c ，若满足a +b ＝c ，则称这个方程为“幸福”方程．例如：方程2x +3y ＝5，其中a ＝2，b ＝3，c ＝5，满足a +b ＝c ，则方程2x +3y ＝5是“幸福”方程，把两个“幸福”方程合在一起叫“幸福“方程组．根据上述规定，回答下列问题，（1）判断方程3x +5y ＝8 “幸福”方程（填“是”或“不是”）；（2）若关于x ，y 的二元一次方程kx +（k ﹣1）y ＝9是“幸福”方程，求k 的值；（3）若{x =p y =q 是关于x ，y 的“幸福”方程组{mx +(m +1)y =n −1mx +2my =n的解，求4p +7q 的值．11．（2022秋•开福区校级期中）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“青一函数”，该点称为“青一点”，例如：“青一函数”y ＝x +1，其“青一点”为（1，2）．（1）①判断：函数y ＝2x +3 “青一函数”（填“是”或“不是”）；②函数y =8x 的图象上的青一点是 ；（2）若抛物线y =(m −1)x 2+mx +14m 上有两个“青一点”，求m 的取值范围；（3）若函数y =x 2+(m −k +2)x +n 4−k 2的图象上存在唯一的一个“青一点”，且当﹣1≤m ≤3时，n 的最小值为k ，求k 的值．12．（2022秋•雨花区期中）2022年10月16日，习近平总书记在中共二十大会议开幕式上作报告发言，在阐述第四个要点“加快构建新发展格局，着力推动高质量发展”时，提出了两个“高水平”，即“构建高水平社会主义市场经济体制”和“推进高水平对外开放”在数学上，我们不妨约定：若函数图象上存在不同的两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）（x 1≠x 2），满足纵坐标相等，即y 1＝y 2，则称点A 、B 为这个函数的一对“高水平点”，称这个函数为“高水平函数”．（1）若点P （2022，p ）和点Q （q ，2023）为“高水平函数”y ＝|x +1|图象上的一对“高水平点”，求p +q 的值；（2）关于x 的函数y ＝kx +b （k 、b 为常数）是“高水平函数”吗？如果是，指出它有多少对“高水平点”，如果不是，请说明理由；（3）若点M （1，m ）、N （3，n ）、P （x 0，y 0）都在关于x 的“高水平函数”y ＝ax 2+bx +c （a 、b 、c 为常数，且a ＞0）的图象上，点M 、P 为该函数的一对“高水平点”，且满足m ＜n ＜c ，若存在常数w ，使得式子：w +13＞−14x 02﹣x 0+2恒成立，求w 的取值范围．13．（2022秋•惠水县期中）九年级数学兴趣小组在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y ＝a 1x 2+b 1x +c 1（a 1≠0，a 1，b 1，c 1是常数）与y ＝a 2x 2+b 2x +c 2（a 2≠0，a 2，b 2，c 2是常数）满足a 1+a 2＝0，b 1＝b 2，c 1+c 2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y ＝2x 2﹣3x +1的“旋转函数”．小组同学是这样思考的，由函数y ＝2x 2﹣3x +1可知，a 1＝2，b 1＝﹣3，c 1＝1，根据a 1+a 2＝0，b 1＝b 2，c 1+c 2＝0，求出a 2，b 2，c 2就能确定这个函数的“旋转函数”．请参照小组同学的方法解决下面问题：（1）函数y ＝x 2﹣4x +3的“旋转函数”是 ；（2）若函数y ＝5x 2+（m ﹣1）x +n 与y ＝﹣5x 2﹣nx ﹣3互为“旋转函数”，求（m +n ）2022的值；（3）已知函数y ＝2（x ﹣1）（x +3）的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点A ，B ，C 关于原点的对称点分别是A 1，B 1，C 1，试求证：经过点A 1，B 1，C 1的二次函数与y ＝2（x ﹣1）（x +3）互为“旋转函数”．14．（2022秋•长沙期中）在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标3倍的点称为“一中点”，例如点（1，3），（2，6），（√3−1，3√3−3），……都是“一中点”．例如：抛物线y ＝x 2﹣4上存在两个“一中点”P 1（4，12），P 2（−1，−3）．（1）在下列函数中，若函数图象上存在“一中点”，请在相应题目后面的括号中打“√”，若函数图象上不存在“一中点”的打“×”．①y ＝2x ﹣1 ；②y ＝x 2−1 ；③y ＝x 2+4 ．（2）若抛物线y ＝−12x 2+（23m +3）x −29m 2﹣m +1上存在“一中点”，且与直线y ＝3x 相交于点A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2），令t ＝x 12+x 22，求t 的最小值；（3）若函数y =14x 2+（b ﹣c +3）x +a +c ﹣2的图象上存在唯一的一个“一中点”，且当﹣1≤b ≤2时，a 的最小值为c ，求c 的值．15．（2022春•雨花区校级月考）定义：若关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两个实数根为x 1，x 2如（x 1＜x 2），分别以x 1，x 2为横坐标和纵坐标得到点M （x 1，x 2），则称点M 为该一元二次方程的衍生点．（1）若方程为x 2﹣3x ＝0，求出该方程的衍生点M 的坐标；（2）若关于x 的一元二次方程为x 2﹣（5m +1）x +5m ＝0的衍生点为M ，过点M 向x 轴和y 轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m 的值；（3）是否存在b ，c ，使得不论k （k ≠0）为何值，关于x 的方程x 2+bx +c ＝0的衍生点M 始终在直线y ＝kx +2（k +3）的图象上？若有，请求出b ，c 的值；若没有，请说明理由．16．（2022秋•如皋市校级月考）定义：一个函数图象上若存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“1倍点”，若存在纵坐标是横坐标的2倍的点，则称该点为这个函数图象的“2倍点”．例如，点（﹣1，﹣1）是函数y ＝4x +3图象的“1倍点”，点（−32，﹣3）是函数y ＝4x +3图象的“2倍点”．（1）函数y ＝x 2﹣8的图象上是否存在“2倍点”？如果存在，求出“2倍点”；（2）若抛物线y ＝ax 2+5x +c 上有且只有一个“1倍点”E ，该抛物线与x 轴交于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧）．当a ＞1时，求：①c 的取值范围；②直接写出∠EMN 的度数．17．（2022秋•开福区月考）在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“立信点”，例如点（﹣1，﹣1），（0，0），（2022，2022）…，都是“立信点”．（1）①函数y ＝﹣2x +1图象上的“立信点”坐标为 ；②函数y ＝x 2+2x −2图象上的“立信点”坐标为 ．（2）若二次函数y ＝x 2+2（k +2）x +k 2的图象上存在A （x 1，x 1），B （x 2，x 2）两个“立信点”和1x 1+1x 2=−1且求k 的值；（3）若二次函数y ＝ax 2+bx +1（a ，b 是常数，a ＞0）的图象上有且只有一个“立信点”，令s ＝b 2+4a ，当t ≤b ≤t +1时，s 有最小值t ，试求t 的值．18．（2022秋•岳麓区校级月考）我们将使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数y ＝x ﹣1，令y ＝0，可得x ＝1，我们就说1是函数y ＝x ﹣1的零点．（1）求一次函数y ＝2x ﹣3的零点；（2）若二次函数y ＝x 2+bx +32b 的零点为x 1，x 2，A ，B 两点的坐标依次A （x 1，0），B （x 2，0），如果AB ＝2，求b 的值；（3）直线y ＝﹣2x +b 的零点为1，且与抛物线y ＝kx 2﹣（3k +3）x +2k +4（k ≠0）交于C 、D 两点，若m +1≤1k ≤m +2时，线段CD 有最小值3√5，求m ． 19．（2022•顺德区校级三模）我们把一个函数图象上横坐标与纵坐标相等的点称为这个函数的不动点．（1）请直接写出函数y ＝2﹣x 的不动点M 的坐标；（2）若函数y =3x+8x+a有两个关于原点对称的不动点A ，B ，求a 的值； （3）已知函数y ＝ax 2+（b +1）x +（b ﹣1），若对任意实数b ，函数恒有两个相异的不动点，请直接写出a 的取值范围．20．（2022春•西城区校级期中）对任意的实数m 有如下规定：用[m ]表示不小于m 的最小整数，例如[52]＝3，[5]＝5，[﹣1.3]＝﹣1，请回答下列问题： （1）①0≤[x ]﹣x ＜1；②[x ﹣2022]＝[x ]﹣2022；③[3x ]＝3[x ]；④[x ]+[y ]＝[x +y ]；⑤若[x ]＝a （a 为整数），则a ﹣1＜x ≤a ．以上五个命题中为真命题的是 （填序号）．（2）关于x 的方程[x ﹣1]＝2x +1的解为 ．（3）某市出租车的起步价是13元（可行驶3千米），以后每多行1千米增加2.3元（不足1千米按1千米收费），现有某同学乘出租车从甲地到乙地共付费36元，如果他从甲地到乙地先步行800米，然后再乘坐出租车，车费也是36元．若该同学乘坐出租车从甲地出发去往乙地，由于突发情况，在距离乙地1公里处掉头原路返回，那么该同学返回甲地后应付费元．。
江苏省扬州市邗江区梅岭中学2023-2024学年七年级下册3月月考数学模拟试题(含解析)
2023-2024学年七年级下学期3月月考数学模拟试题一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题仅有一个答案正确，请把你认为正确的答案填写在答题纸相应位置）1．下列现象是数学中的平移的是（ ）A ．树叶从树上落下B ．电梯从底楼升到顶楼C ．碟片在光驱中运行D ．卫星绕地球运动2．∠1与∠2是内错角，∠1=30°，则∠2的度数为( )A ．30°B ．150°C ．30°或150°D ．不能确定3．下列运算正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．“冠状病毒”是一个大型病毒家族，科学家借助电子显微镜研究发现，某冠状病毒的直径约为0.00000012米，0.00000012用科学记数法表示为（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图，小亮从A 点出发，沿直线前进向左转再沿直线前进，又向左转，照这样走下去，他第一次回到出发地A 点时，一共走了（ ）A ．B ．C ．D ．6．若，，则的值为（ ）A ．13B ．28C ．30D ．757．下列说法中①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③同旁内角互补；④直线外一点到已知直线的垂线段就是点到直线的距离，其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．一张△ABC 纸片，点M 、N 分别是AB 、AC 上的点，若沿直线MN 折叠后，点A 落在AC 边的下面A ′的位置，如图所示．则∠1，∠2，∠A之间的数量关系是（ ）236a a a = ()326a a -=-22423a a a +=632a a a ÷=61.210-⨯71.210-⨯81.210-⨯91.210-⨯10m 30︒10m 30︒100m 110m 120m 130m25x =23y =22x y +A ．∠l ＝∠2+∠AB ．∠l ＝2∠2+∠AC ．∠l ＝∠2+2∠AD ．∠l ＝2∠2+2∠A二．填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请把你认为正确的答案填写在答题纸相应位置）9．计算：a 2• =a 6.10．小明同学在百度搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，引擎搜索耗时0.000175秒，将这个数字用科学记数法表示为 ．11．若一个多边形的每个外角都等于，则这个多边形的边数为 ．12．若，，则的值 .13．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=23°，那么∠2= °．14．已知x 2+mx +16能用完全平方公式因式分解，则m 的值为 ．15．已知，则 （填“”、“”或“”）16．计算： ．17．如图，在中，已知点分别为边的中点，且，则 ．18．如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”，关于“奇妙互余三角形”，有下列结论：①在中，若，，，则是“奇妙互余三角形”；②若是“奇妙互余三角形”，，，则；③“奇妙互余三角形”一定是钝角三角形，其中，结论正确的有 ．（填写序号）三．解答题（本大题共10小题，共96分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请30︒=2m x 5n x =m n x +332a =223b =a b ＞＜=2202320212022⨯-=ABC ,,D E F ,,BC AD CE 2=4cm BEF S ABC S = 2cm αβ290αβ+=︒ABC 130A ∠=︒40B ∠=︒10C ∠=︒ABC ABC 90C ∠>︒60A ∠=︒20B ∠=︒把答案填写在答题纸相应位置）19．计算：(1)(2)20．先化简，再求值，其中．21．完成下面推理填空：如图，已知：于D ，于G ，．求证：AD 平分．解：∵于D ，（已知），∴（____①_____），∴（同位角相等，两直线平行），∴_____②___（两直线平行，同位角相等）∠1＝∠2（____③_____），又∵（已知），∴∠2＝∠3（_____④______），∴AD 平分（角平分线的定义）．22．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上．1201232-⎛⎫+- ⎪⎝⎭243()a a a -⋅÷()3233212a b ab ⎛⎫⋅-+- ⎪⎝⎭21a b =-=，AD BC ⊥EG BC ⊥1E ∠=∠BAC ∠AD BC ⊥EG BC ⊥90ADC EGC ∠=∠=︒EG AD ∥1E ∠=∠BAC ∠ABC(1)将经过平移后得到，图中标出了点的对应点，补全；(2)在图中画出的高；(3)若连接、，则这两条线段之间的关系是______；四边形的面积为______．23．已知的三边长是a ，b ，c.(1)若，，且三角形的周长是小于18的偶数．求c 边的长；(2)化简24．如图，已知∠1＝∠ACB ，∠2＝∠3，FH ⊥AB 于H ，试说明CD 与AB 的位置关系，并证明你的结论．25．规定两数a ，b 之间的一种运算，记作【a ，b 】：如果，那么【a ，b 】．例如：因为，所以【2，8】．(1)根据上述规定，填空：【4，64】＝________，【5，1】＝________，【________，81】．(2)小明在研究这种运算时发现一个现象：【，】＝【3，4】，小明的理由如下：设【，】，则，即，所以，即【3，4】，所以【，】＝【3，4】．请你尝试运用这种方法解决下列问题：①试说明：【7，5】＋【7，9】＝【7，45】；②猜想：【，】＋【，】＝【________，________】．26．综合与实践：问题情境：已知，中，，，点D ，E 分别在BC ，AC 边上，．(1)如图1，若，且恰好平分，则的度数为______°．类比思考：(2)如图2，若，且点是边上的任意一点，小颖发现的度数为定值.求的度数；联系拓广：(3)如图3，将问题情境中的“点D ，E 分别在BC ，AC 边上”改为“点D ，E 分别在BC 、AC 的延长线上”，其余条件不变．ABC A B C ''' B B 'A B C ''' ABC AD AA 'BB 'AA B B ''ABC 4a =6b =a b c c a b+---+c a b =c =328=3=4=3n 4n 3n 4n x =()34x n n =()34n x n =34x =x =3n 4n ()1n x +()1n y -()1n x +()2ny +()1,1x y >->ABC BAC α∠=B C ∠=∠BAD CDE ∠=∠40α=︒AD BAC ∠ADE ∠50α=︒D BC ADE ∠ADE ∠请从下面A ，B 两题中任选一题作答．我选择______题．A ．若，直接写出此时的度数．B ．直接写出的度数（用含的式子表示）．27．【问题背景】太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关，如图，从点O 照射到抛物线上的光线、等反射以后沿着与平行的方向射出．（1）若，则________°；【类比发现】如图1、2、3，把呈抛物线的曲面镜改成两平面镜、，且，点O 在的角平分线上，从点O 照射到平面镜上的光线，经过平面镜与反射若干次．某创新兴趣小组的成员发现，当光线和平面镜的夹角（记为）与反射的总次数n （n 是正整数）满足某种数量关系时，反射光线可以沿着与平行的方向射出．（2）当光线经过平面镜与反射n 次后，沿平行的方向射出，根据反射的次数，填写下表中角的度数：经平面镜反射的总次数n 1次2次3次（3）当光线经过平面镜与反射n 次后，沿平行的方向射出，则与n 的数量关系为________；【拓展延伸】若两平面镜、的夹角（），其他条件不变，当光线经平面镜与反射n 次后，沿着与平行的方向射出时，请直接写出α、θ与n 之间的数量关系为________．50α=︒ADE ∠ADE ∠αOB OC POQ 90QOC ∠=︒DCO ∠=PA PC 32APC ∠=︒APC ∠PQ PA OB PA PC OB PA PBO ∠PBO ∠θPOQ OB PA PC POQ θθOB PA PC POQ θPA PC APC α∠=090α︒︒＜＜OB PA PC POQ28．我们在小学已经学习了“三角形内角和等于”，在三角形纸片中，点D ，E 分别在边上，将沿折叠，点C 落在点的位置．(1)如图1，当点C 落在边上时，若，则________，可以发现与的数量关系是________；(2)如图2，若，，作的平分线，与的外角平分线交于点N ，求的度数；(3)如图3，若点落在内部，作，的平分线交于点，此时，，满足怎样的数量关系？并给出证明过程．180︒AC BC 、C ∠DE C 'BC 62ADC '∠=︒C ∠=ADC '∠C ∠1130∠=︒270Ð=°ABC ∠BN ACB ∠CN BNC ∠1A ABC ABC ∠ACB ∠1A 1∠2∠1BA C ∠参考答案与解析1．B 【分析】若一个图形上的所有点都按照同一方向移动相同的距离，这种变换称为平移，根据此定义即可作出判断．【解答】A 、树叶从树上落下不沿直线运动，不符合平移定义，故错误；B 、电梯从底楼升到顶楼沿直线运动，符合平移定义，故正确；C 、碟片在光驱中运行是旋转，故错误；D 、卫星绕地球运动不按直线运动，故错误．故选：B ．【点拨】本题考查了平移的概念，掌握平移两个相同：同方向同距离是关键．2．D【分析】两直线平行时内错角相等，不平行时无法确定内错角的大小关系，据此分析判断即可得.【解答】内错角只是一种位置关系，并没有一定的大小关系，只有两直线平行时，内错角才相等，故选D ．【点拨】本题考查了三线八角，明确同位角、内错角、同旁内角只是两个角的一种位置关系，而没有一定的大小关系是解此类问题的关键.3．B【分析】利用同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、合并同类项法则、同底数幂的除法法则逐项计算即可判断．【解答】、，故此选项错误，不符合题意；、，故此选项正确，符合题意；、，故此选项错误，不符合题意；、，故此选项错误，不合题意；故选：B ．【点拨】此题考查同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算、合并同类项，熟练掌握各运算法则是解题的关键．4．B【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n 是正整数；当原数的绝对值＜1时，n 是负整数．【解答】解：．故选：B ．【点拨】本题考查了科学记数法表示绝对值较大的数的方法，掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，n 为整数是关键．A 33522a a a a +⋅==B ()()()333226-=-⋅=-a a a C ()22222213a a a a +=+=D 63633a a a a -÷==n 10a ⨯1||10a ≤<70.00000012 1.210-=⨯n 10a ⨯1||10a ≤<5．C【分析】根据多边形的外角和，求出多边形边数，然后再求周长即可．【解答】解：∵多边形的外角和为，∴，∴照这样走下去，他第一次回到出发地A 点时，一共走了，故C 正确．故选：C ．【点拨】本题主要查了多边形的外角和，能熟记多边形的外角和定理是解此题的关键，注意：多边形的外角和等于．6．D【分析】根据同底数幂相乘以及幂的乘方的逆用，求解即可．【解答】解：，故选：D【点拨】此题考查了同底数幂相乘以及幂的乘方的逆用，解题的关键是熟练掌握同底数幂相乘以及幂的乘方的运算法则．7．A【分析】根据平行公理，点到直线距离，垂线的性质逐个判断即可得到答案；【解答】解：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①错误；在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故②正确；两直线平行同旁内角互补，故③错误；直线外一点到已知直线的垂线段长度就是点到直线的距离，故④错误；故选A ；【点拨】本题考查平行公理，点到直线距离，垂线的性质，解题的关键是熟练掌握几个知识点．8．C【分析】本题可根据四边形的内角和为360°及翻折的性质,就可求出∠1＝∠2+2∠A 这一始终保持不变的性质.【解答】 在四边形BCNM 中, ,则(180°－∠A)+(∠ANM-∠2)+（∠1+∠AMN ）=360°变形得：2（180°-∠A ）-∠2+∠1=360°可得,故选C.【点拨】本题主要考查四边形的内角和及翻折的性质特点,解决本题的关键是熟记翻折的性质.9．a 4【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．360︒360︒3601230︒=︒()1210120m ⨯=360︒2222222(2)25375x y x y x y +=⨯=⨯=⨯= 360B C CNM BMN ∠+∠+∠+∠=︒∴122A ∠=∠+∠【解答】解：a 2•a 4=a 6．故答案为：a 4．【点拨】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．10．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n 由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：将数0.000175用科学记数法表示正确的是，故答案为：．【点拨】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．11．12##十二【分析】本题考查多边形的外角．根据多边形的外角和为，列式计算即可．【解答】解：由题意，得：这个多边形的边数为；故答案为：12．12．10【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则化简求出答案．【解答】解：∵xm =2，xn =5，∴xm +n =xm •xn =2×5=10．故答案为：10．【点拨】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．13．67【解答】解：∵∠1=23°，∴∠3=90°-23°=67°.∵a ∥b ,∴∠1=∠3＝67°.14．【分析】利用完全平方公式的结构特征判断，确定出m 的值即可得到答案．【解答】解：∵要使得能用完全平方公式分解因式，41.7510-⨯10n a -⨯41.7510-⨯41.7510-⨯10n a -⨯110a ≤＜360︒3601230︒=︒8±216x mx ++∴应满足，∵，∴，故答案为：．【点拨】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握因式分解的方法、完全平方公式是解本题的关键．15．【分析】求出，可知．【解答】解：由题意可知：∴，故答案为：【点拨】本题考查不等式性质，幂的乘方的逆运算，解题的关键是将式子变形与1比较大小：．16．-1【分析】利用平方差公式进行计算，即可得出结果．【解答】解：，故答案为：．【点拨】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的特点是解决问题的关键．17．【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形中线平分三角形面积进行求解即可．【解答】解：∵F 是的中点，，∴，∵D 为的中点，∴，∵为的中点，()22164x mx x ++=±()224816x x x ±=±+8m =±8±＜118=9a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭＜1a b ＜()()1131133112222281393a b ⎛⎫=== ⎪⎝⎭＜a b ＜＜()()1131133112222281393a b ⎛⎫=== ⎪⎝⎭＜2202320212022⨯-220221202212022=+⨯--（）（）22202212022=--1=-1-16CE 2=4cm BEF S 28cm =BCE BEF S S = △2BC 214cm 2BDE CDE BCE S S S ===△△△E AD∴，∵D 为的中点，∴，故答案为：．18．①③##③①【分析】①由，，而，，，则是“奇妙互余三角形”，可判断①正确；②若是“奇妙互余三角形”，且，则或，而，，所以，，显然与是“奇妙互余三角形”相矛盾，可判断②错误；③三角形为“奇妙互余三角形”的条件是它的两个内角与满足，则，则它的第三个内角一定大于，即“奇妙互余三角形”一定是钝角三角形，可判断③正确．【解答】解：①，，，，，是“奇妙互余三角形”，故①正确；②，，，，，若是“奇妙互余三角形”，只能是或，，，，，，，则作为条件，与是“奇妙互余三角形”相矛盾，故②错误；③三角形为“奇妙互余三角形”，则它的两个内角与满足，，设它的第三个内角为，，一定是钝角，“奇妙互余三角形”一定是钝角三角形，故③正确，故答案为：①③．【点拨】本题重点考查三角形内角和定理及其推论、角平分线的定义、数形结合与分类讨论数学思想的运用、新定义问题的求解等知识与方法，准确地把握新定义的内涵并且正确地画出图形是解题的关键．19．(1)3(2)228cm ABD BDE S S ==△△BC 2216cm ABC ABD S S ==△△16130A ∠=︒50C B ∠+∠=︒40B ∠=︒10C ∠=︒290B C ∠+∠=︒ABC ABC 90C ∠>︒290A B ∠+∠=︒290B A ∠+∠=︒60A ∠=︒20B ∠=︒214090A B ∠+∠=︒≠︒210090B A ∠+∠=︒≠︒ABC αβ290αβ+=︒9090αβα+=︒-<︒90︒130A ∠=︒ 18013050C B ∴∠+∠=︒-︒=︒40B ∠=︒ 10C ∠=︒290B C ∴∠+∠=︒ABC ∴ 90C ∠>︒ 290C A ∴∠+∠≠︒290C B ∠+∠≠︒290A C ∠+∠≠︒290B C ∠+∠≠︒ABC 290A B ∠+∠=︒290B A ∠+∠=︒60A ∠=︒ 20B ∠=︒214090A B ∴∠+∠=︒≠︒210090B A ∠+∠=︒≠︒90C ∴∠>︒60A ∠=︒20B ∠=︒ABC αβ290αβ+=︒90αβα∴+=︒-γ180()180(90)90γαβαα∴=︒-+=︒-︒-=︒+γ∴∴3a【分析】（1）先计算乘方，零指数幂和负整数指数幂，再进行加减运算即可；（2）先算乘方，再根据同底数幂的乘法和除法法则进行计算即可．【解答】（1）（2）【点拨】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，同底数幂乘法法则：，同底数幂除法法则：，零指数幂：，负整数指数幂：，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．20．，【分析】先计算积的乘方，再计算同底数幂乘法，接着合并同类项化简，最后代值计算即可．【解答】解：当时，原式．【点拨】本题主要考查了整式的化简求值，熟知相关计算法则是解题的关键．21．垂直的定义；∠E =∠3；两直线平行，内错角相等；等量代换【分析】根据平行线的判定与性质进行解答即可．【解答】解：∵AD ⊥BC 于D ，EG ⊥BC （已知），∴∠ADC =∠EGC =90°（垂直的定义），∴EG ∥AD （同位角相等，两直线平行），∴∠E =∠3（两直线平行，同位角相等）∠1=∠2（两直线平行，内错角相等），又∵∠E =∠1（已知），∴∠2=∠3（等量代换），1201232-⎛⎫+- ⎪⎝⎭412=+-3=()243a a a -⋅÷243a a a =⋅÷63a a =÷3a =m n m n a a a +⋅=m n m n a a a -÷=()010a a =≠()10p pa a a -=≠3678a b 7-()3233212a b ab ⎛⎫⋅-+- ⎪⎝⎭363618a b a b =⋅-3678a b =⋅21a b =-=，()3672178=⨯-⨯=-∴AD 平分∠BAC （角平分线的定义）．故答案为：垂直的定义；∠E =∠3；两直线平行，内错角相等；等量代换．【点拨】本题考查的是平行线的判定与性质，用到的知识点为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等，同位角相等．22．(1)见解析(2)见解析(3)平行且相等，14【分析】本题主要考查了平移作图、平移的性质、不规则图形的面积，画三角形的高等知识点，掌握几何图形平移的特征以及运用割补法求面积成为解答本题的关键．（1）根据网格结构找出点的位置，然后顺次连接即可；（2）根据三角形的高线的定义，利用网格的特点作出即可；（3）根据平移的性质，对应点的连线互相平行且相等解答；利用割补法即可求出四边形的面积．【解答】（1）解：如图：为所求；（2）解：的高如图所示，（3）解：由平移的性质可得：与关系是平行且相等；解：四边形的面积为：． ；故答案为：平行且相等，14．A C ''、AAB B ''A BC ''' ABC AD AA 'BB 'AA B B ''11116423142314142222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=23．(1)4或6(2)【分析】（1）先根据三角形三边关系确定c 边的范围，再根据三角形的周长是小于18的偶数确定c 边的长；（2）根据三角形三边关系确定，再根据绝对值的意义，化简绝对值的即可．【解答】（1）解：∵的三边长是a ，b ，c ，，，∴，即，∵三角形的周长是小于18的偶数，∴或；（2）解：∵的三边长是a ，b ，c ，∴，∴，，∴．【点拨】本题主要考查了三角形的三边关系，化简绝对值，解题的关键是熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．24．CD ⊥AB ，见解析【分析】根据∠1＝∠ACB ，得，从而得到∠2＝∠DCB ，结合∠2＝∠3，得∠3＝∠DCB ，得，根据FH ⊥AB ，得证CD ⊥AB ．【解答】CD 与AB 的位置关系是CD ⊥AB ，理由如下：因为∠1＝∠ACB ，所以，所以∠2＝∠DCB ，因为∠2＝∠3，所以∠3＝∠DCB ，所以，因为FH ⊥AB ，所以CD ⊥AB ．222a b c+-a b c +>ABC 4a =6b =6464c -<<+210c <<4c =6c =ABC a b c +>0a b c +->0c a b --<a b c c a b+---+()a b c c a b ⎡⎤=+-+---⎣⎦()a b c c a b =+----a b c c a b=+--++222a b c =+-DE BC ∥FH DC ∥DE BC ∥FH DC ∥【点拨】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．25．(1)，，(2)①证明见解析；②，【分析】（1）根据乘方的意义即可得出答案；（2）①模仿题目中例子的证明方法设【7，5】，【7，9】，再根据乘方的意义即可得出答案；②根据【，】＝【3，4】和【7，5】＋【7，9】＝【7，45】的证明过程和结论猜想证明即可．【解答】（1）∵，∴【4，64】．∵，∴【5，1】．∵，∴【，81】．故答案是，，；（2）①设【7，5】，【7，9】，则，，∴．∴【7，45】．∴【7，5】＋【7，9】＝【7，45】．②设【，】，则，即，∴，即【，】．∴【，】【，】．同理可得：【，】【，】，∴【，】＋【，】【，】＋【，】．设【，】，【，】，则，，∴．∴【，】．∴【，】＋【，】【，】．302±()1x +()()12y y -+x =y =3n 4n 3464=3=051=0=()4281±=2±4=302±x =y =75x =79y =75945x y +=⨯=x y =+()1n x +()1n y -m =()()11m n n x y ⎡⎤+=-⎣⎦()()11nm n x y ⎡⎤+=-⎣⎦()11mx y +=-()1x +()1y -m =()1n x +()1ny -=()1x +()1y -()1n x +()2ny +=()1x +()2y +()1n x +()1n y -()1n x +()2ny +=()1x +()1y -()1x +()2y +()1x +()1y -a =()1x +()2y +b =()11a x y +=-()12b x y +=+()()()112a b x y y ++=-+()1x +()()12y y -+a b =+()1n x +()1n y -()1n x +()2ny +=()1x +()()12y y -+故答案是，．【点拨】本题主要考查了乘方的灵活运用，观察和猜想能力，正确理解题中规定的新的运算是解题的关键．26．(1)(2)(3)A ．；B ．【分析】（1）根据等腰三角形的判定与性质结合三角形内角和定理进行求解即可；（2）根据等腰三角形的判定与性质结合三角形内角和定理进行求解即可（3）A ．根据等腰三角形的性质可得，然后根据，进而得出答案；B ．由A 得．【解答】（1）解：∵，且恰好平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，故答案为：；（2）∵，∴，∵，∴；（3）A ．∵，∴，∵，∴()1x +()()12y y -+7065ADE ∠=︒115︒1902ADE α∠=︒+65ABC ACB ∠=∠=︒ADE ADC CDE ∠=∠+∠ACB BAC =∠+∠ADE ADC CDE ∠=∠+∠1902α=︒+40α=︒AD BAC ∠20BAD CAD ∠∠︒==B C ∠=∠AB AC =AD BC ⊥90ADC ∠=︒20BAD CDE ∠=∠=︒902070ADE ADC CDE ∠=∠-∠=︒-︒=︒7050α=︒18050652B C ︒-︒∠=∠==︒BAD CDE ∠=∠65ADE ADC CDE B BAD CDE B ∠=∠-∠=∠+∠-∠=∠=︒50α=︒18050652ABC ACB ︒-︒∠=∠==︒BAD CDE ∠=∠ADE ADC CDE∠=∠+∠ACB CAD BAD=∠-∠+∠=ACB CAD BAC CAD∠-∠+∠+∠ACB BAC=∠+∠，故答案为：；B ．由A 得．【点拨】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握相关基础知识是解本题的关键．27．（1）；（2）；（3）；【分析】（1）根据两直线平行同旁内角互补，计算即可．（2）利用两直线平行，同位角相等，三角形外角性质，光的反射原理，依次计算即可．（3）根据（2）中的计算结果，探索出其中蕴含的基本规律即可；将探索的规律一般化即可．【解答】（1）∵，∴，∵，∴．故答案为：．（2）如图1，当一次反射平行时，∵，∴，根据反射角等于入射角，∴．∵，点O 在的角平分线上，6550=︒+︒115=︒115︒ADE ADC CDE∠=∠+∠ACB CAD BAD=∠-∠+∠=ACB CAD BAC CAD∠-∠+∠+∠ACB BAC=∠+∠1802αα︒-=+1902α=︒+90︒16,48,80︒︒︒()θ=-⨯︒2116n αθα=-2n DC PQ 180QOC DCO ∠+∠=︒90QOC ∠=︒90DCO ∠=︒90︒POQ BN PQ ABN APQ ∠=∠ABN PBO APQ ∠=∠=∠32APC ∠=︒APC ∠PQ∴．∴．如图2，当二次反射平行时，∵，∴，根据反射角等于入射角，∴．∵，点O 在的角平分线上，∴，∴，根据反射角等于入射角，∴．如图3，当三次反射平行时，∵，∴，根据反射角等于入射角，∴．1162APQ APC ∠=∠=︒16PBO ∠=︒POQ DE PQ ∥CDE CPQ ∠=∠CDE PDB CPQ ∠=∠=∠32APC ∠=︒APC ∠PQ 1162CDE PDB CPQ APC ∠=∠=∠=∠=︒163248ABD PDB APC ∠=∠+∠=︒+︒=︒48PBO ABD ∠=∠=︒POQ EF PQ ∥HEF APQ ∠=∠HEF PED APQ ∠=∠=∠∵，点O 在的角平分线上，∴，∴，根据反射角等于入射角，∴．∴，根据反射角等于入射角，∴．故答案为：．（3）根据（2）得，当时，；当时，；当时，；故当时，，故答案为：．∵，且∴故答案为：．【点拨】本题考查了跨学科综合，平行线的性质，三角形外角性质，光的反射原理即反射角等于入射角，规律探索，熟练掌握三角形外角性质，光的反射原理即反射角等于入射角，规律探索是解题的关键．28．(1)，(2)(3)，理由见解析【分析】（1）根据折叠的性质和三角形外角的性质即可推出结论；（2）根据折叠的性质和三角形内角和定理求出，再根据角平分线定义和三角形内角和定理求出；（3）先根据折叠的性质和三角形内角和定理求出，再根据角平分线定义和三角形内角和定理求出，即可得出．【解答】（1）由折叠的性质可知：，32APC ∠=︒APC ∠PQ 16HEF PED APQ ∠=∠=∠=︒163248CDE PED APC ∠=∠+∠=︒+︒=︒48CDE PDB ∠=∠=︒483280ABD PDB APC ∠=∠+∠=︒+︒=︒80PBO ABD ∠=∠=︒16,48,80︒︒︒1n =()1621116θ=︒=⨯-⨯︒2n =()4822116θ=︒=⨯-⨯︒3n =()8023116θ=︒=⨯-⨯︒n n =()θ=-⨯︒2116n ()θ=-⨯︒2116n 1162APC ︒=∠APC α∠=()112122n n θααα=-⨯=-12n θαα=-31︒12C ADC '∠=∠15︒1124360BAC +=-︒∠∠∠30A ∠=︒1152BNC A ∠=∠=︒122A ∠+∠=∠12180A BA C ∠=∠-︒11224360A BA C ∠+∠=∠=∠-︒C CC D '∠=∠∵，∴．故答案是，；（2）由折叠的性质可知：，，∵，∴．∵，∴．∴．∵的平分线，与的外角平分线交于点N ，∴，．∴．（3），理由如下：由折叠的性质可知：，，∴，．∴．∵，的平分线交于点，，∴，．∴．∴．∴．∴．【点拨】本题主要考查了折叠的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟知三角形内角和定理和三角形外角的性质是解题的关键．62ADC C CC D ''∠=∠+∠=︒1312C ADC ∠'=∠=︒31︒12C ADC '∠=∠1ADE A DE ∠=∠1AED A ED ∠=∠1130∠=︒()111801252ADE A DE ∠=∠=︒-∠=︒1180218070250AED A ED ∠+∠=︒+∠=︒+︒=︒1125AED A ED ∠=∠=︒18030A ADE AED ∠=︒-∠-∠=︒ABC ∠BN ACB ∠CN 12NBC ABC ∠=∠12NCH ACH ∠=∠()111522BNC NCH NBC ACH ABC A ∠=∠-∠=∠-∠=∠=︒1124360BAC +=-︒∠∠∠1ADE A DE ∠=∠1AED A ED ∠=∠111801802ADE A DE ADE ∠=︒-∠-∠=︒-∠121801802AED A ED AED ∠=︒-∠-∠=︒-∠()()12360236021802ADE AED A A ∠+∠=︒-∠+∠=︒-︒-∠=∠ABC ∠ACB ∠1A 112A BC ABC ∠=∠112A CB ACB ∠=∠()()11111111809022222A BC ACB ABC ACB ABC ACB A A ∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒-∠=︒-∠()11111180180909022BA C A BC A CB A A ⎛⎫∠=︒-∠+∠=︒-︒-∠=︒+∠ ⎪⎝⎭12180A BA C ∠=∠-︒()11122221804360A BAC BAC ∠+∠=∠=∠-︒=∠-︒。
2023北京首都师大附中初三3月月考数学(教师版)
2023北京首都师大附中初三3月月考数 学一、选择题（本题共16分，每小题2分）1. 如图的几何体是由一些小正方体组合而成的，则这个几何体的左视图是（ ）A. B. C. D.2. 党的二十大报告中指出，我国全社会研发经费支出从一万亿元增加到二万八千亿元，居世界第二位，研发人员总量居世界首位．将2800 000 000 000用科学记数法表示为（ ） A. 130.2810⨯B. 112.810⨯C. 122.810⨯D. 112810⨯3. 如图，120,30,AOC AOB OD ∠=︒∠=︒平分BOC ∠，则AOD ∠=（ ）A. 75°B. 80°C. 45°D. 90°4. 一个n 边形的每个外角都是45°，则这个n 边形的内角和是（ ） A. 1080°B. 540°C. 2700°D. 2160°5. 布袋中装有2个红球、3个白球、5个黑球，它们除颜色外均相同，则从袋中任意摸出一个球是白球的概率是（ ） A.310B. 12C.15D.166. 实数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如图所示．若b +d ＝0，则下列结论正确的是（ ）A. b +c >0B.a c>1 C. ad >bc D. |a |>|b |7. 如图，平行四边形ABCD 中，E 为DC 的中点，AC 与BE 交于点F ．则△EFC 与△BF A 的面积比为（ ）A. 1B. 1：2C. 1：4D. 1：88. 某函数的图象如图所示，当0x a ≤≤时，在该函数图象上可找到n 个不同的点11,x y ，()22,x y ，……，(),n n x y ，使得1212nny y y x x x ===，则n 的取值不可能为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. x 的取值范围是_________．10. 分解因式：3222a a b ab −+=_________________． 11. 若n 为整数，且1<<+n n ，则n 的值为________________．12. 分式方程32122x x x =−−−的解x =________． 13. 如图，PA ，PB 是O 圆的两条切线，切点分别为A B ，，连接OA ，AB ，若35OAB ∠=︒，则ABP ∠=______°．14. 在平面直角坐标系中，一次函数y = 6x 与反比例函数y =kx（k >0）的图象交于A （11,x y ），B （22,x y ）两点，则12y y +的值是 _____．15. 如图，线段AB 的端点B 在直线MN 上，过线段AB 上的一点O 作MN 的平行线，分别交ABM ∠和ABN ∠的平分线于点C，D，连接AC ，AD ．添加一个适当的条件：当______时，四边形ACBD 为矩形．16. 某生产基地有五台机器设备，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作获得的效益值如下表所示．若每台机器只完成一项工作，则完成五项工作的效益值总和的最大值为________．三、解答题（共68分，第题，每题5分，第21题6分，第22-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）17. 04cos45(1−︒+−．18. 解不等式组()2112323x xx x⎧−≤+⎪⎨++≥⎪⎩．19. 已知2320x x−−=，求代数式()()()221132x x x x+−−++的值．20. 已知关于x的一元二次方程210x mx m−+−=．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于4−，求m的取值范围．21. 如图，四边形ABCD是平行四边形，AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，连接OE，过点E 作EF BC⊥于点F，过点O作OG BC⊥于点G．（1）求证：四边形EFGO 是矩形；（2）若四边形ABCD 是菱形，10AB =，16BD =，求OG 的长． 22. 在平面直角坐标系xOy 中，一次函数()0y kx b k =+≠的图象是由函数y x =−的图象平移得到，且经过点()0,1．（1）求这个一次函数的表达式；（2）当1x <−时，对于x 的每一个值，函数()0y mx m =≠的值小于一次函数y kx b =+的值，直接写出m 的取值范围．23. 某校七、八年级各有学生600人，为了解这两个年级普及安全教育的情况，进行了抽样调查，过程如下：选择样本，收集数据从七、八年级各随机抽取20名学生，进行安全教育测试，测试成绩（百分制）如下：（单位：分） 七年级 85 79 89 83 89 98 68 89 79 5999 87 85 89 97 86 89 90 89 77八年级 71 94 87 92 55 94 98 78 86 9462 99 94 51 88 97 94 98 85 91（1）分组整理，描述数据按如下频数分布直方图整理、描述这两组样本数据，请补全七年级20名学生安全教育频数分布直方图．（说明：成绩90分及以上为优秀，80~89分为良好，80分以下为不合格）分析数据，计算填空 （2）两组样本数据的平均数、中位数、众数、优秀率如表所示，请补充完整，（3）分析数据，解决问题请估计该校七、八年级成绩优秀学生共有________人． （4）整体成绩较好的年级为________，理由为________． 24. 如图，AC 为O 的直径，BD 为O 的一条弦，过点A 作直线AE ，使EAB D ∠=∠．（1）求证：AE 为O 的切线；（2）若30ABD ∠=︒，2AB =，6BC =，求BD 的长．25. “城市轨道交通是现代大城市交通的发展方向，发展轨道交通是解决大城市病的有效途径．”如图，北京地铁（BeijingSubway ）是中华人民共和国北京市的城市轨道交通系统，规划于1953年，始建于1965年，运营于1969年，是中国第一个地铁系统．小华了解到列车从慈寿寺站开往花园桥站时，在距离停车线256米处开始减速．他想知道列车从减速开始，经过多少秒停下来，以及最后一秒滑行的距离．为了解决这个问题，小华通过建立函数模型来描述列车离停车线的距离s （米）与滑行时间t （秒）的函数关系，再应用该函数解决相应的问题．（1）建立模型 ①收集数据为了观察s （米）与t （秒）的关系，建立如图所示的平面直角坐标系．③描点连线请在平面直角坐标系中将表中未描出的点补充完整，并用平滑的曲线依次连接． ④选择函数模型观察这条曲线的形状，它可能是________函数的图象． ⑤求函数解析式解：设()20s at bt c a =++≠，因为0=t 时，256s =，所以256=c ，则2256=++s at bt ．请根据表格中的数据，求a ，b 的值．验证：把a ，b 的值代入2256=++s at bt 中，并将其余几对值代入求出的解析式，发现它们都满足该函数解析式． （2）应用模型列车从减速开始经过________秒，列车停止；最后一秒钟，列车滑行的距离为________米．26. 在平面直角坐标系xOy 中，点()0,m ，()1,a n −，是抛物线222y ax a x =−上的点，01x a ≠−． （1）当02x =，m n =时，求a 和n 的值； （2）若043x −≤≤−时，0mn <，求a 的取值范围．27. 在等边ABC 中，点D 为BC 的中点，点E 为AD 上一点（不与A 、D 重合），连接EB 、EC ．（1）将线段EB 绕点E 顺时针旋转至EF ，使点F 落在BA 的延长线上，在图1中补全图形： ①求CEF ∠的度数；②探究线段AC ，AE ，AF 之间的数量关系，并加以证明；（2）将线段EC 绕点E 旋转，在旋转过程中与边AB 交于点H ，连接CH ，若5AB =，当AE BH =时，请直接写出CH CE +的最小值．28. 在平面直角坐标系xOy 中，将图形W 上除原点O 外的每一点P 变换为射线OP 上的点P '，使4OP OP '⋅=，称点P '是点P 的“对应点”，P '构成的图形是图形W 的“反形”．已知点S 是满足OS r =的动点，以点S 为圆心作过点O 的S ．点T 在半径为4的O 上运动，过点T 作O 的切线l ．（1）如图，当2r =时，对于()2,0S ，在图中画出S 上的点()14,0P ，()22,2P 的“对应点”1P'，2P '；（2）当点T 运动至点()0,4时，设Q '为切线l 上一点的“对应点”，试求OQ '的最大值； （3）如果存在点S 与点T ，使S 的“反形”中存在一点M '，切线l 的“反形”中存在一点N '，满足1M N ''≤，直接写出r 的取值范围．参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）1. 【答案】B 【解析】【分析】根据左视图是从左面看得到的图形，可得答案．【详解】解：从左边看，上面一层是一个正方形，下面一层是两个正方形， 故选B【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左面看得到的图形是左视图，掌握三视图的有关定义是解题的关键． 2. 【答案】C 【解析】【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为10n a ⨯，其中1||10a ≤<，n 为整数． 【详解】解：122800 000 000 000 2.810=⨯． 故选：C ．【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原来的数，变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10≥时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数，确定a 与n 的值是解题的关键． 3. 【答案】A 【解析】【分析】先计算出∠BOC=90°，再根据角平分线的定义求出∠BOD=45°，即可求出∠AOD ． 【详解】解：因为∠AOC=120°，∠AOB=30°， 所以∠BOC=∠AOC-∠AOB=120°-30°=90°， 因为OD 平分∠BOC ， 所以∠BOD=12∠BOC=45°， 所以∠AOD=∠AOB+∠BOD=75°． 故选：A ．【点睛】本题考查了角的计算，理解角平分线的定义是解题关键． 4. 【答案】A 【解析】【分析】根据多边形外角和及内角和可直接进行求解． 【详解】解：由一个n 边形的每个外角都是45°，可得：360845n ︒==︒，∴这个多边形的内角和为：()821801080−⨯︒=︒， 故选A ．【点睛】本题主要考查多边形的内角和及外角和，熟练掌握多边形的内角和及外角和是解题的关键． 5. 【答案】A 【解析】【分析】一般地，对于一件事情，所有可能出现的结果数为,m 其中满足某个条件的事件A 出现的结果数为,n 那么事件A 发生的概率为：(),nP A m=根据概率公式直接计算即可. 【详解】解：∵布袋中装有2个红球，3个白球，5个黑球，共10个球，从袋中任意摸出一个球共有10种结果，其中出现白球的情况有3种可能， ∴从袋中任意摸出一个球是白球的概率是310． 故选：A ．【点睛】本题考查的是简单随机事件的概率，掌握“简单随机事件的概率公式”是解题的关键. 6. 【答案】D 【解析】【分析】根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得a ＜b ＜0＜c ＜d ，根据有理数的运算，可得答案．【详解】解：∵b +d ＝0，由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得a ＜b ＜0＜c ＜d ， A 、∵b +d ＝0， ∴b +c ＜0， 故A 不符合题意； B 、ac＜0， 故B 不符合题意； C 、ad ＜bc ＜0， 故C 不符合题意； D 、|a |＞|b |＝|d |， 故D 正确； 故选：D ．【点睛】本题考查了实数与数轴，有理数的运算，利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大得出a ＜b ＜0＜c ＜d 是解题关键． 7. 【答案】C 【解析】【分析】利用平行四边形的性质得出AB ∥DC ，AB ＝DC ，再利用相似三角形的判定与性质得出即可． 【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴DC ∥AB ，DC =AB ， ∴△ECF ∽△BAF ， ∵点E 是CD 中点，∴CE =12CD =12AB ，CE ：AB =1：2， ∴△EFC 与△BF A 的面积比=1：4， 故选C ．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，得出△CEF ∽△ABF 是解题关键． 8. 【答案】D 【解析】【分析】()12120nny y y k k x x x ====≠，判断出点11,x y ，()22,x y ，……，(),n n x y 在正比例函数y kx =上，根据图象判断出正比例函数y kx =的图象与某函数的图象最多有5个交点，不可能有6个交点，即可得到答案． 【详解】解：设()12120nny y y k k x x x ====≠， 则112233,,,y kx y kx y kx ===……，n n y kx =，即点11,x y ，()22,x y ，……，(),n n x y 在正比例函数y kx =上，如图，正比例函数y kx =的图象与某函数的图象最多有5个交点，不可能有6个交点．故选：D【点睛】此题考查了正比例函数的图象和性质，根据题意构造正比例函数，利用数形结合是解题的关键．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 【答案】x ≥5 【解析】【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x 的取值范围即可．∴x −5⩾0，解得x ⩾5． 故答案为：x ≥5有意义的条件是被开方数a ⩾0，同时也考查了解一元一次不等式．10. 【答案】()2a a b −【解析】【分析】首先提公因式，原式可化为()222a a ab b−+，再利用公式法进行因式分解可得结果()2a a b −． 【详解】解：()()23222222a a b ab a a ab ba ab −+=−+=−， 故答案为：()2a a b −．【点睛】本题主要考查的是因式分解的运算，掌握因式分解运算的顺序“一提，二套，三分组，十字相乘做辅助”，利用合适方法进行因式分解，注意分解要彻底．11. 【答案】4【解析】n 的值．【详解】解：∵16＜21＜25，∴4＜5．∴n ＝4．故答案为：4．【点睛】本题主要考查的是估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键．12. 【答案】76##116 【解析】【分析】先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解． 【详解】解：32122x x x =−−−， 去分母得：()23222x x =−−， 解得：76x =， 检验：当76x =时，220x −≠， ∴原方程的解为76x =． 故答案为：76【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤，并注意验根是解题的关键． 13. 【答案】55【解析】【分析】根据切线的性质得到OA PA ⊥，OB PB ⊥，根据AOB 为等腰三角形，即35OAB OBA ∠=∠=︒，进而可得903555ABP OBP OBA ∠=∠−∠=︒−︒=︒．【详解】解：∵PA ，PB 是O 的两条切线，切点分别为A B ，，∴OA PA ⊥，OB PB ⊥，即90OAP OBP ∠=∠=︒，∵AOB 为等腰三角形，∴35OAB OBA ∠=∠=︒，∴903555ABP OBP OBA ∠=∠−∠=︒−︒=︒．故答案为：55．【点睛】此题主要考查了切线的性质，等腰三角形性质，解题关键是掌握切线的性质．14. 【答案】0【解析】【分析】根据正比例函数的图象、反比例函数图象的性质得出交点A 与交点B 关于原点对称，进而得出其纵坐标互为相反数，得出答案．【详解】由一次函数y =6x 与反比例函数y =k x（k >0）的图象和性质可知，其交点A （11,x y ），B （22,x y ）两点关于原点对称，∴120y y +=，故答案为：0．【点睛】本题考查一次函数、反比例函数图象的交点，理解正比例函数、反比例函数图象的对称性是正确判断的前提．15. 【答案】O 是AB 的中点【解析】【分析】先证∠OCB =∠OBC ，则OC =OB ，同理OD =OB ，再由OA =OB ，证出四边形ACBD 是平行四边形，然后证AB =CD ，即可得出结论．【详解】解：添加条件为：O 是AB 的中点，理由如下：∵CD ∥MN ，∴∠OCB =∠CBM ，∵BC 平分∠ABM ，∴∠OBC =∠CBM ，∴∠OCB =∠OBC ，∴OC =OB ，同理可证：OB =OD ，∴OB =OC =OD ，∵O 是AB 的中点，∴OA =OB ，∴四边形ACBD 是平行四边形，∵CD =OC +OD ，AB =OA +OB ，∴AB =CD ，∴平行四边形ACBD 是矩形，故答案为：O 是AB 的中点．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、等腰三角形的判定以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．16. 【答案】79【解析】【分析】由表知道，五项工作后获得的效益值总和最大为172314111580++++=，但不能同时取得，再分类讨论，能求出完成五项工作后获得的效益值总和最大值．【详解】解：由表知道，五项工作后获得的效益值总和最大为172314111580++++=，但不能同时取得．要使总和最大，甲可以承担第二或四项工作，丙只能承担第三项工作，则丁不可以承担第三项工作，所以丁承担第五项工作；乙若承担第二项工作，则甲承担第四项工作，戊承担第一项工作，此时效益值总和为：172314111378++++=；乙若不承担第二项工作，则乙承担第一项工作，甲承担第二项工作，则戊承担第四项工作，此时效益值总和为：172214111579++++=．∴完成五项工作后获得的效益值总和最大是79．故答案为：79．【点睛】本题考查完成五项工作后获得的效益值总和最大值的求法，考查简单的合情推理等基础知识，考查推理论证能力等．三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）17. 【答案】1【解析】【分析】由题知，对根式和三角函数值、绝对值等进行化简，然后应用实数的运算法则，即可．【详解】解：原式412=−⨯+1=−1=．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值、实数的运算，重点在熟练掌握运算和化简法则．18. 【答案】03x ≤≤【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【详解】解：()2112323x x x x ⎧−≤+⎪⎨++≥⎪⎩①②， 解不等式①，得3x ≤，解不等式②，得0x ≥，∴原不等式的解集为03x ≤≤．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键． 19. 【答案】22610x x −−，－6【解析】【分析】原式利用平方差公式，完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．【详解】解：原式()2221692x x x x =−−+++， 222216922610x x x x x x =−−−−+=−−，∵2320x x −−=，∴232x x −=，原式()2231022104106x x =−−=⨯−=−=−．20. 【答案】（1）见解析 （2）3m <−【解析】【分析】（1）计算方程根的判别式，判断其符号即可；（2）求方程两根，结合条件则可求得m 的取值范围．【小问1详解】解：()()()b ac m m m −=−−⨯⨯−=−22244112 ()m −≥220∴方程总有两个实数根；【小问2详解】解：原方程可化为：()()x x m −−+=11010x ∴−= 或x m −+=10解得：11x = ，21x m =−由题意可得：m −<−14解得：3m <−【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．21. 【答案】（1）见详解 （2）245 【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得////OE AD BC ，再由EF BC ⊥，OG BC ⊥即可求证； （2）有勾股定理可求AO ，再由2ABCD S OA BD BC OG =⋅=⋅即可求解；【小问1详解】证明：在ABCD 中，∵OB OD =，点E 是AB 的中点，∴////OE AD BC ，∵EF BC ⊥，OG BC ⊥，∴90FEO EOG ∠=∠=︒，∴四边形EFGO 是矩形．【小问2详解】∵四边形ABCD 是菱形， ∴182BO BD ==， ∵10AB =，90AOB ∠=︒，∴6AO ===，∵2ABCD S OA BD BC OG =⋅=⋅， ∴6162422105OA BD OG BC ⋅⨯===⨯． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、菱形的性质、勾股定理，掌握矩形的性质、菱形的性质并灵活应用是解题的关键．22. 【答案】（1）1y x =−+（2）0m >或10m −≤<【解析】【分析】（1）由一次函数y kx b =+的图象是由函数y x =−的图象平移得到，可得1k =−，再把点()0,1代入，即可求解；（2）分两种情况，分别画出图象即可求得．【小问1详解】解：一次函数y kx b =+的图象是由函数y x =−的图象平移得到，1k ∴=−，y x b ∴=−+，一次函数y kx b =+的图象经过点()0,1，1b ∴=，1y x ∴=−+；【小问2详解】解：当0m >时，如图：当1x <−时，对于x 的每一个值，函数y mx =的值小于一次函数1y x =−+的值；当10m −≤<时，如图：当1x <−时，对于x 的每一个值，函数y mx =的值小于一次函数1y x =−+的值，综上，当0m >或10m −≤<时，当1x <−时，对于x 的每一个值，函数y mx =的值小于一次函数y kx b =+的值．【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，分两种情况，画出图象，利用函数图象解决问题是解决本题的关键．23. 【答案】（1）见解析 （2）88（3）450（4）八年级；八年级的中位数、众数、优秀率都比七年级的高【解析】【分析】（1）根据已知数据补全统计图即可求解．（2）将七年级的20名学生的成绩从小到大排列后，求得在第10、11位的两个数的平均数即可； （3）根据样本估计总体即可求解；（4）根据八年级成绩的中位数、众数、优秀率都比七年级的高，即可求解．【小问1详解】解：统计七年级各个分数段的人数，补全频数分布直方图，【小问2详解】将七年级的20名学生的成绩从小到大排列后处在第10、11位的两个数的平均数为8789882+=， 因此中位数是88；故答案为：88，填写表格如下：330450+=（名），答：该校七、八年级成绩优秀学生共有450名【小问4详解】整体成绩较好的是八年级，故答案为：八年级；八年级的中位数、众数、优秀率都比七年级的高．【点睛】本题考查了求中位数，画频数分布直方图，样本估计总体，根据中位数，众数作决策，从统计图表中获取信息是解题的关键．24. 【答案】（1）证明见解析；（23．【解析】【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得到ACB ADB ，进而得到EAB ACB ∠=∠，再利用直径所对的圆周角是直角和三角形内角和定理，得到90ACB CAB ∠+∠=︒，即可推出90CAE ∠=︒，证明结论；（2）连接CD ，过点A 作AF BD ⊥，根据直径所对的圆周角是直角得到90ABC ADC ∠=∠=︒，由勾股定理得AC =，再根据同弧所对的圆周角相等得到30ABD ACD ∠∠==︒，然后利用30度角所对的直角边等于斜边一半，得到AD =，1AF =，由勾股定理求得BF =3DF =，即可求出BD 的长．【小问1详解】证明：AB AB =，ACB ADB ∴∠=∠，EAB ADB ∠=∠，EAB ACB ∴∠=∠， AC 为O 的直径，90ABC ∴∠=︒，90ACB CAB ∴∠+∠=︒，90CAE CAB EAB CAB ACB ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒,AE ∴为O 的切线；【小问2详解】解：连接CD ，过点A 作AF BD ⊥于点F ， AC 是直径，90ABC ADC ∴∠=∠=︒，2AB =，6BC =，在Rt ABC △中，AC ===AD AD =，30ACD ABD ∴∠=∠=︒，12AD AC ∴==， AF BD ⊥，90AFB AFD ∠∴==∠︒，30ABF ∠=︒，2AB =，112AF AB ∴==，由勾股定理得：BF ===3DF ==，3BD BF DF ∴=+=．【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的切线的判定，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，30度角所对的直角边等于斜边一半等知识，熟练掌握圆的相关性质是解题关键．25. 【答案】（1）③见解析；④二次；⑤14a =，16b =− （2）32，14【解析】【分析】（1）③根据题意连线即可求解；④根据曲线判断函数图象为二次函数图象；⑤待定系数法求解析式即可求解；（2）根据二次函数的解析式，当0s =时，解得32t =，进而求得31t =时的函数值，即可求解．【小问1详解】解：③如图．④可能是二次函数图象，故答案为：二次；⑤设()20s at bt c a =++≠， 因为0=t 时，256s =，所以256=c ，则2256=++s at bt ．把()4,196和()8,144代入可得，196164256144648256a b a b =++⎧⎨=++⎩， 解得：14a =，16b =−， 21162564s t t =−+， 【小问2详解】应用模型：当0s =时，210162564t t =−+， 解得32t =，当31t =时，14s =； 当32t =时，0s =，()11044m −=． 故答案为：32，14． 【点睛】本题考查了列表、描点、连线，画二次函数图形，待定系数法求解析式，根据二次函数的性质求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．26. 【答案】（1）1a =，0n =（2）312a −<<−或1a > 【解析】【分析】（1）根据抛物线上的点的特点列出关于a 和n 的方程组求解即可；（2）由点()0,x m ，()1,a n −是抛物线222y ax a x =−上的点，可得()()()()220000222221211m ax a x x a x a n a a a a a a ⎧=−=−⎪⎨=−−−=−⎪⎩，进而得到()()200210x a a x a a ⋅⎡⎤−⎡⎤⎣⎣⎦−<⎦，然后分类讨论即可解答．【小问1详解】解：∵点()0,x m ，()1,a n −是抛物线222y ax a x =−上的点，02x =，m n =∴点()2,n ，()1,a n −是抛物线222y ax a x =−上的点，0a ≠∴ ()()22244121210n a a n a a a a a a ⎧=−⎪⎪=−−−⎨≠−⎪⎪≠⎩，解得：10a n =⎧⎨=⎩． 【小问2详解】解：∵点()0,x m ，()1,a n −是抛物线222y ax a x =−上的点，∴()()()()220000222221211m ax a x x a x a n a a a a a a ⎧=−=−⎪⎨=−−−=−⎪⎩ ∵0mn <∴()()200210x a a x a a ⋅⎡⎤−⎡⎤⎣⎣⎦−<⎦①当()210a a −<时， ()0002x x a a >−a .当a<0时，210a −>，即10a −<<∵043x −≤≤−∴00x <∴00x a >∴020x a −>，即02a x <∵043x −≤≤−∴23a <−，即32a <−∴没有满足条件的a ；b .当0a >时，210a −<，即1a >∵043x −≤≤−∴00x <∴00x a <∴020x a −<，即02a x >∵043x −≤≤−∴23a >−，即32a >−∴1a >；②当()210a a −>时， ()0002x x a a <− a .当a<0时，210a −<，即1a <−∴1a <−∵043x −≤≤−∴00x <∴00x a >∴020x a −<，即02a x >∵043x −≤≤−∴23a >−，即32a >−∴312a −<<−；b .当0a >时，210a −>，即01a <<∵043x −≤≤−∴00x <∴00x a <∴020x a −>，即02a x <∵043x −≤≤−∴23a <−，即32a <− ∴没有满足条件的a ． 综上，a 的取值范围为312a −<<−或1a >． 【点睛】本题主要考查了抛物线的特点、方程组的应用、不等式的应用等知识点，掌握分类讨论思想成为解答本题的关键．27. 【答案】（1）图见解析，①120°；②AC AF =，证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）①如图，以E 为圆心，EB 为半径作圆，与BA 的延长线交点即为F ，延长BE 与AC 交于点G ，连接EF ，FG ，在等边ABC 中，点D 为BC 的中点，可得AD 垂直平分BC ，结合题意可得∠=∠EBD ECD ，AEB F ∠=∠由三角形外角可得2FEG ABE ∠=∠，2CEG EBD ∠=∠，最后由CEF FEG CEG ∠=∠+∠可求解；②如图，在BA 上截取BG AF =，过E 作EM AB ⊥于M ，连接EG ，可得AM GM =，在Rt EAM 中，解三角形可求得2AM AE =即AG =，等量代换即可求证；（2）如图，将AC 绕点A 顺时针旋转90︒至AN ，连接NE ，连接CN ，证()SAS NAE CBH ≌，得到CH EN =，可知CH CE NE EC CN +=+≥，当N 、E 、C 三点共线时NE EC +最小，在等腰直角CAN △中求解即可．【小问1详解】解：①如图，以E 为圆心，EB 为半径作圆，与BA 的延长线交点即为F ，延长BE 与AC 交于点G ，连接EF ，FG ，在等边ABC 中，点D 为BC 的中点，AD ∴垂直平分BC ，30BAD CAD ∴∠=∠=︒，60ABC ACB ∠=∠=︒，BE CE ∴=即∠=∠EBD ECD ，AEB ACE ∴∠=∠，由旋转可知EB EF =，AEB F ∴∠=∠，2FEG AEB F ABE ∴∠=∠+∠=∠，2CEG EBD ECD EBD ∴∠=∠+∠=∠，CEF FEG CEG ∴∠=∠+∠22ABE EBD =∠+∠()2ABE EBD =∠+∠2120ABC =∠=︒，120CEF ∴∠=︒；②证明：如图，在BA 上截取BG AF =，过E 作EM AB ⊥于M ，连接EG ，BE FE =，EM AB ⊥，BM FM ∴=，BG AF =，AM GM ∴=，30EAM ∠=︒，12ME AE ∴=，2AM AE ∴==，2AG AM MG AM ∴=+==，AB BG AG =+，BG AF =，AC AB =，AB BG AG AF ∴=+=，AC AF ∴=；【小问2详解】如图，将AC 绕点A 顺时针旋转90︒至AN ，连接NE ，连接CN则9060NAE CAD ∠=︒−∠=︒，5AN AC BC ===，60NAE CBH ∴∠=∠=︒，又AE BH =，()SAS NAE CBH ∴≌，CH EN ∴=，CH CE NE EC CN ∴+=+≥，当N 、E 、C 三点共线时NE EC +最小，在等腰直角CAN △中：CN ==CH CE ∴+的最小值为【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等边对等角，三角形的外角，全等三角形的证明和性质，勾股定理解直角三角形等；解题的关键是合理做出辅助线，进行转换证明．28. 【答案】（1）见解析 （2）1（3）1r ≥【解析】【分析】（1）根据新定义了得出()11,0P '，()21,1P '，描点即可求解；（2）当点T 运动至点()0,4时，直线l 为：4x =，当P 与T 重合时，OP 取得最小值，即4OP OT ==，根据新定义即可求解；（3）如图所示， 在l 上任取一点N ，根据定义，得出4OT OT ON ON ''⋅=⋅=，N OT TON ''∠=∠，证明ON T OTN ''∽，进而得N '在半径为1的圆上运动；当M 在S 上运动时，在S 上任取一点P ，同理可得OPM OM P ''∽，进而得出当M 在半径为r 的S 上运动时，M '在半径为2r的圆上运动，根据1M N ''≤，即可求解． 【小问1详解】解：∵14OP =，根据定义可得1414OP '==，且1P '在射线1OP 上， ∴()11,0P '，∵()22,2P ，则2OP ==根据定义可得2OP '==2P '在射线2OP 上，∴()21,1P '，如图所示，【小问2详解】解：如图所示，∵4OP OQ '⋅=∴4OQ OP'=， 当OP 取得最小值时，OQ '取得最大值，当点T 运动至点()0,4时，直线l 为：4x =，∴当P 与T 重合时，OP 取得最小值，即4OP OT ==，∴OQ '的最大值为1；【小问3详解】解：如图所示， 在l 上任取一点N ，∵4OT OT ON ON ''⋅=⋅=， ∴ON OT OT ON''=， 又∵N OT TON ''∠=∠，∴ON T OTN ''∽，∴ON T OTN ''∠=∠，∵点T 在半径为4的O 上运动，过点T 作O 的切线l ．∴OT TN ⊥，∴90OTN ∠=︒，∴90ON T OTN '∠=∠=︒，∴N '在OT '为直径的圆上运动，∵4OT =，则1OT '=，当点T 在O （半径为4）上运动时，∴N '在半径为1的圆上运动，如图所示，如图所示，当M 在S 上运动时，在S 上任取一点P ，同理可得OPM OM P ''∽，∵OP 是S 直径，∴90OMP ∠=︒，∴90OP M OMP ''∠=∠=︒，∵2OP r =，则422OP r r '== 当M 在半径为r 的S 上运动时，M '在半径为2r 的圆上运动， ∵1M N ''≤， ∴2OM '≤, ∴22r≤ ∴1r ≥【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，直径所对的圆周角是直角，切线的性质，坐标与图形，勾股定理，理解新定义是解题的关键．。
专题15：不等式与不等式组(简答题专练)(解析版)
专题15：不等式与不等式组（简答题专练）一、解答题1．某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A 、B 两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本） （1）求A 、B 两种型号的电风扇的销售单价；（2）若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A 种型号的电风扇最多能采购多少台？（3）在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．【答案】（1）A 、B 两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元；（2）超市最多采购A 种型号电风扇37台时，采购金额不多于7500元；（3）在（2）的条件下超市能实现利润超过1850元的目标．相应方案有两种：当a ＝36时，采购A 种型号的电风扇36台，B 种型号的电风扇14台；当a ＝37时，采购A 种型号的电风扇37台，B 种型号的电风扇13台．【分析】（1）设A 、B 两种型号电风扇的销售单价分别为x 元、y 元，列二元一次方程组，解方程组即可得到答案；（2）设采购A 种型号电风扇a 台，则采购B 种型号电风扇（50﹣a ）台，利用超市准备用不多于7500元，列不等式160a +120（50﹣a ）≤7500，解不等式可得答案；（3）由超市销售完这50台电风扇实现利润超过1850元，列不等式（200﹣160）a +（150﹣120）（50﹣a ）＞1850，结合（2）问，得到a 的范围，由a 为非负整数，从而可得答案． 【解答】解：（1）设A 、B 两种型号电风扇的销售单价分别为x 元、y 元， 依题意得：341200561900x y x y +=⎧⎨+=⎩①②，①5⨯-②3⨯得：2300,y =150,y ∴=把150y =代入①得：200,x =解得：200150x y =⎧⎨=⎩，答：A 、B 两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元．（2）设采购A 种型号电风扇a 台，则采购B 种型号电风扇（50﹣a ）台． 依题意得：160a +120（50﹣a ）≤7500，401500,a ∴≤解得：a ≤1372． 因为：a 为非负整数，所以：a 的最大整数值是37.答：超市最多采购A 种型号电风扇37台时，采购金额不多于7500元． （3）根据题意得：（200﹣160）a +（150﹣120）（50﹣a ）＞1850， 10a ∴＞350， 解得：a ＞35， ∵a ≤1372， 35∴＜a 1372≤,a 为非负整数，36a =或37.a =∴在（2）的条件下超市能实现利润超过1850元的目标．相应方案有两种： 当a ＝36时，采购A 种型号的电风扇36台，B 种型号的电风扇14台； 当a ＝37时，采购A 种型号的电风扇37台，B 种型号的电风扇13台．【点评】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式，一元一次不等式组的应用的方案问题，掌握以上知识是解题的关键．2．解不等式组1(1)1212x x ⎧-≤⎪⎨⎪-⎩＜并写出该不等式组的所有整数解.【答案】解集是－1<x≤3;整数解是0，1，2，3【分析】分别解出每个不等式的解集，确定不等式组的解集,然后在解集中确定所有整数解即可. 【解答】解不等式1(1)12x -≤得：x≤3 解不等式12x -＜得：x ＞-1 所以不等式组的解集是－1<x≤3.大于－1而小于或等于3的所有整数有0，1，2，3， ∴该不等式组的所有整数解为0，1，2，3.【点评】本题考查了解不等式组，解决本题的关键是先计算出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集.3．（1）解不等式413x x -> （2）解不等式组()()315121531123x x x x ⎧-+-⎪⎨-+-⎪⎩【答案】(1)1x >; (2)13x ≥. 【分析】（1）移项、合并同类项即可；（2）分别求出两个不等式的解集，再根据同大取大即可确定不等式组的解集. 【解答】解：（1）移项得：431x x ->合并同类项得：1x >（2）()()315121531123x x x x ⎧-+-⎪⎨-+-⎪⎩①②解不等式①得3x ≥-， 解不等式②得13x ≥, 不等式组的解集为: 13x ≥【点评】本题考查了解一元一次不等式（组），熟练掌握解不等式的基本步骤是解决此题的关键.在利用不等式的性质同乘或除时，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向改变.在确定不等式组的解集时需注意：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 4．若关于x 的方程2x 3m 2m 4x 4-=-+的解不小于7183m--，求m 的最小值. 【答案】14-【分析】首先求解关于x的方程2x−3m＝2m−4x＋4，即可求得x的值，根据方程的解的解不小于7183m--，即可得到关于m的不等式，即可求得m的范围，从而求解．【解答】由54 232446546mx m m x x m x+ -=-+=+=，得，即.根据题意，得5471683m m+-≥-，解得14m,≥-所以m的最小值为1 4 -.【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．5．我们用[a]表示不大于a的最大整数,例如:[2.5]＝2,[3]＝3,[－2.5]＝－3;用＜a＞表示大于a的最小整数,例如:＜2.5＞=3,＜4.5＞=5,＜－1.5＞=－1.解决下列问题.（1）[－4.5]＝_____ ;＜3.5＞=________;（2）若[x]＝2,则x的取值范围是________;若＜y＞=－1，则y的取值范围是_______ .（3）若[]21 3x x=-，则x为_________.（4）已知x、y满足方程组[][]32336x yx y⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩＜＞＜＞，求x、y的取值范围.【答案】（1）-5; 4，（2）2≤x＜3；-2≤y＜-1,；（3）x=-3（4）x，y的取值分别为-1≤x＜0,2≤y＜3. 【分析】（1）根据新定义与不等式的性质即可求解；（2）根据[a]表示不大于a的最大整数与＜a＞表示大于a的最小整数与不等式的性质求解；（3）根据[]21 3x x=-得到关于x的方程即可求解；（4）先求出[x]、＜y＞的值，再根据新定义即可求解. 【解答】（1）依题意得[－4.5]＝-5;＜3.5＞=4，（2）∵[x]＝2,则x的取值范围是2≤x＜3；∵＜y＞=－1，则y的取值范围是-2≤y＜-1,；（3）∵[x]≤x,[]21 3x x=-化为213x x=-，解得x=-3，符合题意，故x=-3（4）∵[][]323326x y x y ⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩＜＞＜＞，解得[]13x y ⎧=-⎨=⎩＜＞ ∴x ，y 的取值分别为-1≤x ＜0,2≤y ＜3.【点评】此题主要考查不等式的应用，解题的关键是熟知不等式的性质. 6．求不等式()()2130x x -+>的解集。
不等式组应用题类型及解答包含各种题型
一元一次不等式组应用题类型及解答1.分配问题1、一堆玩具分给若干个小朋友,若每人分3件,则剩余4件,若前面每人分4件,则最后一人得到的玩具最多3件,问小朋友的人数至少有多少人;3、把若干颗花生分给若干只猴子;如果每只猴子分3颗,就剩下8颗；如果每只猴子分5颗,那么最后一只猴子虽分到了花生,但不足5颗;问猴子有多少只,有多少颗4、把一些书分给几个学生,如果每人分3本,那么余8本；如果前面的每个学生分5本,那么最后一人就分不到3本;问这些书有多少本学生有多少人5、某中学为八年级寄宿学生安排宿舍,如果每间4人,那么有20人无法安排,如果每间8人,那么有一间不空也不满,求宿舍间数和寄宿学生人数;6、将不足40只鸡放入若干个笼中,若每个笼里放4只,则有一只鸡无笼可放；若每个笼里放5只,则有一笼无鸡可放,且最后一笼不足3只;问有笼多少个有鸡多少只7、用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物,若每辆汽车只装4吨,则剩下20吨货物；若每辆汽车装满8吨,则最后一辆汽车不满也不空;请问：有多少辆汽车8、一群女生住若干家间宿舍,每间住4人,剩下19人无房住；每间住6人,有一间宿舍住不满;1如果有x间宿舍,那么可以列出关于x的不等式组：2可能有多少间宿舍、多少名学生你得到几个解它符合题意吗二、比较问题1、某校王校长暑假将带领该校市级三好学生去北京旅游;甲旅行社说如果校长买全票一张,则其余学生可享受半价优惠,乙旅行社说包括校长在内全部按全票价的6折优惠按全票价的60％收费,且全票价为1200元①学生数为x,甲旅行社收费为y甲,乙旅行社收费为y乙,分别计算两家旅行社的收费写出表达式②当学生数是多少时,两家旅行社的收费一样③就学生数x讨论哪家旅行社更优惠;③就学生数x讨论哪家旅行社更优惠;2、李明有存款600元,王刚有存款2000元,从本月开始李明每月存款500元,王刚每月存款200元,试问到第几个月,李明的存款能超过王刚的存款;3、暑假期间,两名家长计划带领若干名学生去旅游,他们联系了报价为每人500元的两家旅行社,经协商,甲旅行社的优惠条件是：两名家长全额收费,学生都按七折；乙旅行社的优惠条件是：家长,学生都按八折收费;假设这两位家长至带领多少名学生去旅游,他们应该选择甲旅行社三、行程问题1、抗洪抢险,向险段运送物资,共有120公里原路程,需要1小时送到,前半小时已经走了50公里后,后半小时速度多大才能保证及时送到2、爆破施工时,导火索燃烧的速度是s,人跑开的速度是5m/s,为了使点火的战士在施工时能跑到100m以外的安全地区,导火索至少需要多长3、王凯家到学校千米,现在需要在18分钟内走完这段路;已知王凯步行速度为90米/分,跑步速度为210米/分,问王凯至少需要跑几分钟四、车费问题1、出租汽车起价是10元即行驶路程在5km以内需付10元车费,达到或超过5km后,每增加1km加价元不足1km部分按1km计,现在某人乘这种出租,汽车从甲地到乙地支付车费元,从甲地到乙地的路程超过多少km2、某种出租车的收费标准是：起步价7元即行驶距离不超过3km都需要7元车费,超过3km,每增加1km,加收元不足1km按1km计;某人乘这种出租车从A地到B地共支付车费19元;设此人从A地到B地经过的路程最多是多少km五、积分问题1、某次数学测验共20道题满分100分;评分办法是：答对1道给5分,答错1道扣2分,不答不给分;某学生有1道未答;那么他至少答对几道题才能及格2、在一次竞赛中有25道题,每道题目答对得4分,不答或答错倒扣2分,如果要求在本次竞赛中的得分不底于60分,至少要答对多少道题目3、一次知识竞赛共有15道题;竞赛规则是：答对1题记8分,答错1题扣4分,不答记0分;结果神箭队有2道题没答,飞艇队答了所有的题,两队的成绩都超过了90分,两队分别至少答对了几道题4、在比赛中,每名射手打10枪,每命中一次得5分,每脱靶一次扣1分,得到的分数不少于35分的射手为优胜者,要成为优胜者,至少要中靶多少次5.有红、白颜色的球若干个,已知白球的个数比红球少,但白球的两倍比红球多,若把每一个白球都记作数2,每一个红球都记作数3,则总数为60,求白球和红球各几个六、销售问题1、商场购进某种商品m件,每件按进价加价30元售出全部商品的65%,然后再降价10%,这样每件仍可获利18元,又售出全部商品的25%;1试求该商品的进价和第一次的售价；2为了确保这批商品总的利润率不低于25%,剩余商品的售价应不低于多少元2.水果店进了某中水果1t,进价是7元/kg;售价定为10元/kg,销售一半以后,为了尽快售完,准备打折出售;如果要使总利润不低于2000元,那么余下的水果可以按原定价的几折出售3.“中秋节”期间苹果很热销,一商家进了一批苹果,进价为每千克元,销售中有6%的苹果损耗,商家把售价至少定为每kg多少元,才能避免亏本4、某电影院暑假向学生优惠开放,每张票2元;另外,每场次还可以售出每张5元的普通票300张,如果要保持每场次票房收入不低于2000元,那么平均每场次至少应出售学生优惠票多少张5、某中学需要刻录一批电脑光盘,若到电脑公司刻录,每张需8元包括空白光盘费；若学校自刻,出租用刻录机需120元外,每张光盘还需成本4元包括空白光盘费;问刻录这批电脑光盘,该校如何选择,才能使费用较少6.某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人,甲、乙两种工种的工人月工资分别为600元和1000元.现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍,问甲、乙两种工种各招聘多少人时,可使得每月所付的工资最少7.学校图书馆准备购买定价分别为8元和14元的杂志和小说共80本,计划用钱在750元到850元之间包括750元和850元,那么14元一本的小说最少可以买多少本七、数学问题1.有一个两位数,其十位上的数比个位上的数小2,已知这个两位数大于10且小于30,求这个两位数;八、方案设计题1．某厂有甲、乙两种原料配制成某种饮料,已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表：现配制这种饮料10千克,要求至少含有4200单位的维生素C,并要求购买甲、乙两种原料的费用不超过72元,1设需用x千克甲种原料,写出x应满足的不等式组;2按上述的条件购买甲种原料应在什么范围之内2、红星公司要招聘A、B两个工种的工人150人,A、B工种的工人的月工资分别为600和1000元,现要求B工种的人数不少于A工种人数的2倍,那么招聘A工种工人多少时,可使每月所付的工资最少此时每月工资为多少元3、某工厂接受一项生产任务,需要用10米长的铁条作原料;现在需要截取3米长的铁条81根,4米长的铁条32根,请你帮助设计一下怎样安排截料方案,才能使用掉的10米长的铁条最少最少需几根4.某校办厂生产了一批新产品,现有两种销售方案,方案一：在这学期开学时售出该批产品,可获利30000元,然后将该批产品的投入资金和已获利30000元进行再投资,到这学期结束时再投资又可获利％;方案二:在这学期结结束时售出该批产品,可获利35940元,但要付投入资金的％作保管费,问：1当该批产品投入资金是多少元时,方案一和方案二的获利是一样的2按所需投入资金的多少讨论方案一和方案二哪个获利多;5.某园林的门票每张10元,一次使用,考虑到人们的不同需要,也为了吸引更多的游客,该园林除保留原来的售票方法外,还推出了一种“购买年票”的方法;年票分为A、B、C三种：A年票每张120元,持票进入不用再买门票；B类每张60元,持票进入园林需要再买门票,每张2元,C类年票每张40元,持票进入园林时,购买每张3元的门票;1如果你只选择一种购买门票的方式,并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上,试通过计算,找出可使进入该园林的次数最多的购票方式;2求一年中进入该园林至少多少时,购买A类年票才比较合算;6.某城市平均每天处理垃圾700吨,有甲和乙两个处理厂处理,已知甲每小时可处理垃圾55吨,需要费用550元,乙厂每小时可处理垃圾45吨,需要费用495员;如果规定该城市每天用于处理垃圾的费用不得超过7370元,甲厂每天处理垃圾至少要多少吨九、浓度问题1、在1千克含有40克食盐的海水中,再加入食盐,使他成为浓度不底于20%的食盐水,问：至少加入多少食盐十、增减问题1、某人点燃一根长度为25㎝的蜡烛,已知蜡烛每小时缩短5㎝,几个小时以后,蜡烛的长度不足10㎝部分答案一、分配问题1、解：小朋友的人数至少有x人,依题意可得1≤3x+4-4x-1≤3解得：5≤x≤7∵X取最小整数;∴x=5答：小朋友的人数至少有5人3、解：设猴子有X只,则花生有3x+8人,依题意可得1≤3x+8-5x-1＜5解得：4＜X≤6∵X取整数;∴x=5或6答：当x=5,猴子有5只;花生有3x+8=23颗当x=6,猴子有6只;花生有3x+8=26颗, 4、设学生有x人,这些书本有3x+8本,依题意可得1≤3x+8－5x－1＜3解得：5≤x＜6 ∵X取整数;∴x=6答“学生有6人,这些书本有3x+8＝26本5、方法一：解：设有x间宿舍,则住宿男生有4x+20人依题意,得8x＞4x+208x-1＜4x+20解这个不等式组得解集为：5＜x＜7因为宿舍间数为整数,所以x=6,4x+20=44答：宿舍间数有6间,住宿男生有44人．方法二：设宿舍有x间,则人数为4x+20人1≤4x+20－8﹙x－1﹚＜8解得：5＜x≤∵X取整数;∴x=66、方法一解：设笼有x个．4x+1＞5x-24x+1＜5x-2+3解得：8＜x＜11x=9时,4×9+1=37x=10时,4×10+1=41舍去．故笼有9个,鸡有37只．方法二：6、设有笼x个,则有鸡﹙4x+1﹚只4x+1＜40……①1≤4x+1-5﹙x－2﹚＜3……②解①②得：8＜x＜∵X取整数;∴x=9故笼有9个,鸡有37只7、解：设有x辆车,则有4x+20吨货物．由题意,得0＜4x+20-8x-1＜8,解得5＜x＜7．∵x为正整数,∴x=6．∴4x+20=44．答：有6辆车,44吨货物8、解：设有x间宿舍．0＜4x+19-6x-1＜6,＜x＜∴x可取10、11或12,∴学生数为59或63或67人．答：有10间宿舍59名学生或11间宿舍,63名学生或12间宿舍,67名学生．二、比较问题优惠问题1、解：1学生数为x,甲旅行社收费为y甲,乙旅行社收费为y乙,分别计算两家旅行社的收费写出表达式y甲=1200+1200×50%×x=1200+600xy乙=x+1×1200×60%=720x+1=720x+72021200+600x=720x+720120x=480x=4答：当学生数为4人时,两家旅行社的收费一样3当学生人数少于4人时,乙旅行社更优惠；当学生人数等于4人时,两个旅行社一样优惠；当学生人数多于4人时,甲旅行社更优惠2、解：设x个月李明的存款超过王刚的存款600+500x＞2000+200x300x＞1400x＞14/3因为x为整数,所以x=53、解：甲旅行社收费y=5002+50070%x=1000+350x乙旅行社收费y'=50080%2+x=800+400xy=y'1000+350x=800+400x解得x=4所以x<4时,乙旅行社便宜；x=4,甲乙旅行社一样便宜；x>4,甲旅行社便宜三、行程问题1、解：设后半小时的速度至少为x千米/小时50+1-1/2x≥12050+1/2x≥1201/2x≥70解得x≥140答：后半小时的速度至少是140千米/小时2、解：设至少XcmX/>100/5 X>16所以至少16CM3、解：设王凯至少要跑X分;可列不等式：9018-X+210X≥21001620-90X+210X≥2100120X≥2100-1620 120X≥480解得X≥4所以王凯至少要跑4分如果改为等号就是求那个时间点,也就是跑4分钟剩下用走,正好用18分钟；如果跑的大于四分钟,也就可以不用18分钟,更快的到达学校;所以等号表示正好到达的时间点,大于等于表达了题意至少的意思四、车费问题1、解：设甲地到乙地的路程大约是xkm,据题意,得解之,得10<x≤11即从甲地到乙地路程大于10km,小于或等于11km因为不足1km部分按1km计,元对应的最大路程是11千米,那么最小路程就要大于10千米,实质是减去了一个1千米的价钱2、解：方法一、3km后收费：19-7=12超过3km后的行驶距离：12/=5km从甲地到乙地所经过的路程最多是3+5=8km方法二、设从甲地到乙地所经过的路程最多是x,由题意,得x-3+7=19解得x=8五、积分问题1、解：设答对x题,则答错20-1-x=19-x题;5x-19-x1>=80解得x>=因为题数是整数,所以x=17答：至少要答对17题;2、解：设至少需要做对x道题x为自然数;4x－2×25－x≥604x－50＋2x≥606x≥110解得X≥19答：至少需要做对19道题3、解：设神箭队答对x题;则答错15-2-x,即13-x题8x-413-x>90解得x>71/6所以至少答对12道题设飞艇队答对x题;则答错15-x题8x-415-x>90解得x>25/2所以至少答对13道题4、解：设命中X次,脱靶10-X次5x-10-x>=356x>=45因为X为整数,所以X=85、设红球x个,白球y个,由题意,得y<x<2y 2y+3x=60 x=60-2y/3则y<60-2y/3<2y解得<y<12又因为x为整数,则y应为3的倍数;y=9x=14所以,白球9个,红球14个;六、销售问题1、解：1设进价是x元一件商品1-10%×x+30=x+18解得：x=90第一次的售价x+30=90+30=120答：该商品的进价和第一次的售价分别是90元和120元2设剩余商品售价应不低于y元,90+30×m×65%+90+18×m×25%+y×m×1-65%-25%≥90×1+25%×m解得：y≥75答：剩余商品的售价应不低于75元2、解：方法一：设按原价的x折出售,所以：1000×1/2×10+1000×1/2×10×x/10>=7×1000+20005000+500x>=9000解得：5x>=40即x>=8所以至多打8折方法二：货款：1000=元已销售产生的利润：500-500=元剩余商品需要产生的利润：=元产生利润需要的单价：+500/500=8元需要在10元基础上打折：8/10=,也就是八折3、解：设这批苹果有a千克,商家把售价至少定为每千克x元则a1-6%×x≥a×解得：x≥4、解：设这批电脑光盘有x张,根据题意：到电脑公司刻录的费用为8x,学校自刻的费用为：120+4x1若8x=4x+120,解这个方程得x=30,当您刻录的光盘数等于30张光盘时花钱是一样的；2若8x＞4x+120解得x＞30;当您刻录的光盘数多于30张时,学校自刻合算38x＜4x+120解得x＜30;当您刻录的光盘数少于30张,到电脑公司刻录合算4、解：设平均每场次至少要出售学生优惠票x张列出不等式2x＋5×300≥2000解得x≥250答：平均每场次至少应出售学生优惠票250张;6、解,根据题意,设甲种工人有x人,则乙种工种的人数为：150-x,由乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍,可得关系式150-x≥2x,即x≤50x的取值范围是：0≤x≤50设每月所付的工资最少为y元y=600x+150-x1000=150000-400x因为此函数是随着x的增大而减小,所以当x=50时,y取最小值,最小值为y=150000-40050=130000元7、解：设14元一本的小说可以买x本,则8元一本的小说可以买80-x本;根据题意,有：750≤14x+880-x≤850解得：≤x≤21,取整数x=19、20、21则可得知：14元一本的小说最少可以买19本,最多可以买21本;七、数学问题解：设个位数为x,则十位数字为x-2,由题意,得这个两位数为10x-2+x10＜10x-2+x＜30解得：30/11＜x＜60/11因为x取整数,所以x=3或x=4当x=3时10x3-2+3=13当x=4时10x4-2+3=23答：这个两位数为13或23。
专题1.数与式(解析版)
2019年中考数学典题精选系列专题01 数与式1．3月30日，我区航空经济产业功能区2019年一季度重大项目集中开工仪式在电子科大产业园四期项目用地举行．参加此次集中开工仪式项目共计71个，总投资超过249亿元，未来随着这一波又一波项目的建成投产，必将为双流航空经济插上腾飞之翼，助力双流打造中国航空经济之都．用科学记数法表示249亿元为（）A．249×108元B．24.9×109元C．2.49×1010元D．0.249×1011元【答案】C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】将249亿用科学记数法可表示为2.49×1010．故选C．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把﹣a，﹣b，0按照从小到大的顺序排列，正确的是（）A．﹣a＜0＜﹣b B．0＜﹣a＜﹣b C．﹣b＜0＜﹣a D．0＜﹣b＜﹣a【答案】C.3．按如图所示的运算程序运算，能使输出的结果为7的一组x，y的值是（）A．x＝1，y＝2 B．x＝﹣2，y＝1 C．x＝2，y＝1 D．x＝﹣3，y＝1【答案】C【解析】【分析】将各项中的x与y代入程序计算，即可得到结果．【详解】A、当x＝1，y＝2时，原式＝2﹣2＝0，不符合题意；B、当x＝﹣2，y＝1时，原式＝8+1＝9，不符合题意；C、当x＝2，y＝1时，原式＝8﹣1＝7，符合题意；D、当x＝﹣3，y＝1时，原式＝18+1＝19，不符合题意，故选：C．【点睛】本题考查代数式求值，熟练掌握运算法则是解题关键．4．下列整数中，比小的数是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】可根据有理数大小比较的方法：正数＞0＞负数，两个负数比较大小，绝对值越大的反而越小．通过比较直接得出．【详解】∵-3＞-π，0＞-π，1＞-π，-4＜-π故选D．【点睛】本题考查有理数比大小，深刻理解有理数中正数＞0＞负数，两个负数比较大小，绝对值越大的反而越小．5．已知23ab=，则代数式a ba+的值为（）A．52B．53C．23D．32【答案】B【解析】由23ab=得到：a=23b，则代入可得2533b ba bb b++==．故选：B．6．下列运算正确的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】根据合并同类项法则，有理数的混合运算，负整数指数幂，二次根式的混合运算求出每个式子的值，再根据结果判断即可．【详解】A 、与不是同类项，故本选项错误；B 、，故本选项错误；C 、，故本选项正确；D 、，故本选项正确．故选D．【点睛】本题考查了合并同类项法则，有理数的混合运算，负整数指数幂，二次根式的混合运算等知识点，主要考查学生的计算能力和辨析能力，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．7．一列数a1，a2，a3，…，其中a1=，a n =（n为不小于2的整数），则a100=（）A ．B．2 C．﹣1 D．﹣2【答案】A【解析】根据表达式求出前几个数后发现：每三个数为一个循环组．用100除以3，根据商和余数的情况确定a100的值即可．解：根据题意得，a 2==2，a 3==﹣1，a 4==，a 5==2，…，依此类推，每三个数为一个循环组依次循环， ∵100÷3=33…1，∴a 100是第34个循环组的第一个数，与a 1相同， 即a 100=．故选A ．8．已知a ﹣b=3，则代数式a 2﹣b 2﹣6b 的值为（ ） A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 【答案】C ．【解析】由a ﹣b=3，得到a=b+3，则原式=（b+3）2﹣b 2﹣6b=b 2+6b+9﹣b 2﹣6b=9．故选C ．学科*网 9．我们知道，一元二次方程21x =-没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1，若我们规定一个“新数”，使其满足(即方程有一个根为i )，并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有，从而对任意正整数n ，我们可得到同理可得那么， 23420162017••••••i i i i i i ++++++。
不等式、因式分解及分式
5、若关于 x 的不等式组
A．m＜8
B．m＞8
C．m≤8
的解满足不等式 C． ＞-1 C．a>1
D．m≥8
＞0，则 的取值范围是（ ）
6、关于 x、y 的二元一次方程组 A． ＜-1 A．a<0 B． ＜1 B．a<-1
D． ＞1 D．a>-1
7、如果关于 x 的不等式(a+1)x>a+1 的解集为 x<1，则 a 的取值范围是（ ） 8、若关于 x 的一元一次不等式组
13、在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．经测算：甲队单独完成这项工程需 要 60 天；若由甲队先做 20 天，剩下的工程由甲、乙合做 24 天可完成． （1）乙队单独完成这项工程需要多少天？ （2）甲队施工一天，需付工程款 3.5 万元，乙队施工一天需付工程款 2 万元．若该工程计划在 70 天 内完成， 在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲乙两队全程合 作完成该工程省钱？
3
.
6.若 m n 2 ，求
m2 n2 mn 的值= 2 1 3 1 a b a 2b 2 ab 3 的值= 2 2
(2)
7、若 a b 3 ， ab 1 ，求
8.分解因式：(1)-4x3+16x2-26x
1 2 1 a (x-2a)2- a(2a-x)3 2 4
6.要使 三、解答题（共 60 分） 1.（7 分）计算（
x x 4x ） ; x2 x2 x2
2.（7 分）化简
a2 b2 a2 b2 ; 2 ab ab
3.（8 分）化简：
2 x 3 x 1 。 x 1 x 1
北师大版八年级下册数学《不等关系》一元一次不等式和一元一次不等式组研讨说课复习课件
4. 用“＜”或“＞”号填空．
(1)－2_＜___2；
(2)－3_＜___－2；
(3)12_＞___6；
(4)0__＞__－8；
(5)－a__＜__a (a＞0)； (6)－a__＞__a(a＜0)．
5.用不等式表示下列问题中数量之间的关系．
(1)小陈的体重（x）至少100斤. x≥100
(2)这支铅笔的价钱（y）至多3元. y≤3
(3)一辆轿车在某公路上的行驶速度是 x km/h，已知 x≤100 这辆轿车在该公路上行驶的速度不超过100 km/h. (4)一块正方形的苗圃地，边长为y(m),周长不少于 36 m . 4y≥36 (5)某隧道限速为60km/h，一辆车在隧道中行驶 的速度为v(km/h)的轿车因超速被交警处罚. v＞60 (6)山亭3月8日最低气温1oC，最高气温是 13oC，薛城这一天某一时刻的气温是toC . 1oC ≤ toC ≤ 13oC
探究新知
不等式的概念：
观 察 由 上 述 问 题 得 到 的 关 系 式 ： x>50 ， s>60x ， s<100x,a+b+c≤160 ，6+3x＞30，它们有什么共同的特点？
结论
一般地，用不等号“>”（或“≥”），“<”（或
“≤”）连接的式子叫做不等式.
探究新知
不等号：
不等号
＞
读作
大于
＜
第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组
不等关系
课件
情景导入
找出下列材料中的不等关系.
不等式经典题型专题练习(含答案)-
不等式经典题型专题练习（含答案）姓名：__________ 班级：___________一、解答题1．解不等式组： ()13x 2x 11{ 25233x x-+≤-+≥-，并在数轴上表示不等式组的解集． 2．若不等式组21{ 23x a x b -<->的解集为-1<x<1，求(a+1)(b-1)的值.3．已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=+=+3135y x m y x 的解为非负数，求整数m 的值．4．由方程组212x y x y a +=⎧⎨-=⎩得到的x 、y 的值都不大于1，求a 的取值范围． 5．解不等式组：并写出它的所有的整数解．6．已知关于x 、y 的方程组52111823128x y a x y a +=+⎧⎨-=-⎩的解满足x ＞0，y ＞0，求实数a 的取值范围．6．求不等式组x 20x 1x 32->⎧⎪⎨+≥-⎪⎩的最小整数解． 7．求适合不等式﹣11＜﹣2a ﹣5≤3的a 的整数解．8．已知关于x 的不等式组的整数解共有5个，求a 的取值范围． 9．若二元一次方程组2{ 24x y kx y -=+=的解x y > ，求k 的取值范围.10．解不等式组5134122x x x x ->-⎧⎪⎨--⎪⎩≤并求它的整数解的和．11．已知x ，y 均为负数且满足：232x y m x y m +=-⎧⎨-=⎩①②，求m 的取值范围． 12．解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+-+≤+12312)2(352x x x x ，把不等式组的解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的非负整数集. 14．若方程组2225x y m x y m +=+⎧⎨-=-⎩的解是一对正数，则： （1）求m 的取值范围（2）化简：42m m -++15．我市一山区学校为部分家远的学生安排住宿，将部分教室改造成若干间住房. 如果每间住5人，那么有12人安排不下；如果每间住8人，那么有一间房还余一些床位，问该校可能有几间住房可以安排学生住宿？住宿的学生可能有多少人？16．某宾馆一楼客房比二楼少5间，某旅游团有48人，如果全住一楼，若按每间4人安排，则房间不够；若按每间5人安排，则有的房间住不满5人．如果全住在二楼，若按每间3人安排，则房间不够；若按每间4人安排，则有的房间住不满4人，试求该宾馆一楼有多少间客房?17．3个小组计划在10天内生产500件产品（计划生产量相同），按原先的生产速度，不能完成任务；如果每个小组每天比原先多生产一件产品，就能提前完成任务。
不等式与不等式组备战2023年中考数学考点微专题
考向2.5 不等式与不等式组例 1、（2021·山东济南·中考真题）解不等式组：3(1)25,32,2x x x x -≥-⎧⎪⎨+<⎪⎩①②并写出它的所有整数解．解：3(1)25,32,2x x x x -≥-⎧⎪⎨+<⎪⎩①② 解不等式①得：2x ≥- 解不等式②得：1x <∴不等式组的解集为：21x它的所有整数解为：2,1,0--解一元一次不等式组步骤： 1、标序号：每个不等式写上序号； 2、解每一个不等式解集；3、把每一个不等式的解集标在数轴上；4、在数轴上画出解集公共部分；5、写出解集。
例 2、（2021·四川泸州·中考真题）关于x 的不等式组23023x x a 恰好有2个整数解，则实数a 的取值范围是_________．解：23023xx a ①② 解①得32x >， 解②得32x a <+， 不等式组的解集是3322xa ．∵不等式组只有2个整数解，∴整数解是2，3． 则3324a , ∴102a <≤ 故答案是：102a <≤例 3、（2021·湖北荆州·中考真题）若关于x 的方程21322x m x x x+-+=--的解是正数，则m 的取值范围为_____________．解：由21322x m x x x +-+=--，得：72m x +=且x ≠2， ∵关于x 的方程21322x m x x x+-+=--的解是正数， ∴702m +>且722m +≠，解得：m ＞-7且m ≠-3， 故答案是：m ＞-7且m ≠-3．解一元一次不等式（组）注意点： 6、去分母时不要漏乘；7、系数化为1时，如果系数是负数，不等号方向要变向；3求解集时画数轴求公共部分是最佳选择；充分利用数形结合思想。
中考真题）某工艺厂为商城制作甲、乙两种木制工艺品，甲种工艺品不少于400 件，乙种工艺品不少于680件．该厂家现准备购买A 、B 两类原木共150根用于工艺品制作，其中，1根A 类原木可制作甲种工艺品4件和乙种工艺品2件，1根B 类原木可制作甲种工艺品2件和乙种工艺品6件．（1）该工艺厂购买A 类原木根数可以有哪些？（2）若每件甲种工艺品可获得利润50元，每件乙种工艺品可获得利润80元，那么该工艺厂购买A 、B 两类原木各多少根时获得利润最大，最大利润是多少？解：（1）设工艺厂购买A 类原木x 根， B 类原木（150-x ）根由题意可得42(150)40026(150)680x x x x +-≥⎧⎨+-≥⎩，可解得5055x ≤≤， ∵x 为整数，∴50x =，51，52，53，54，55．答：该工艺厂购买A 类原木根数可以是：50、51、52、53、54、55．（2）设获得利润为y 元，由题意，()()50421508026150y x x x x =+-++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 即22087000y x =-+． ∵2200-<，∴y 随x 的增大而减小，∴50x =时，y 取得最大值76000．∴购买A 类原木根数50根，购买B 类原木根数100根，取得最大值76000元．利用不等式解应用题的关键：审题，找出建立不等关系的关键词（如不大于、不小于、低于、高于等等 ），从而建立不等关系；中考应用题往与函数相结合，充分利用增减性求最值；一、单选题1．（2021·贵州铜仁·中考真题）不等式组930725x x ->⎧⎨-≤⎩的解集在以下数轴表示中正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．2．（2021·广西河池·中考真题）一个关于x 的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是（ ）A ．x ＞1B ．x≥1C ．x ＞3D ．x≥33．（2021·山东日照·中考真题）若不等式组643x x x m +<-⎧⎨>⎩的解集是3x >，则m 的取值范围是（ ） A ．3m >B ．3m ≥C ．3m ≤D ．3m <4．（2021·贵州遵义·中考真题）小明用30元购买铅笔和签字笔，已知铅笔和签字笔的单价分别是2元和5元，他买了2支铅笔后，最多还能买几支签字笔？设小明还能买x 支签字笔，则下列不等关系正确的是（ ） A ．5×2+2x ≥30B ．5×2+2x ≤30C ．2×2+2x ≥30D ．2×2+5x ≤305．（2021·山东淄博·中考真题）设m =，则（ ） A ．01m <<B ．12m <<C ．23m <<D ．34m <<6．（2021·内蒙古呼和浩特·中考真题）已知关于x 的不等式组2311142x x a --≥⎧⎪⎨--≥⎪⎩无实数解，则a的取值范围是（ ） A ．52a ≥-B ．2a ≥-C ．52a >-D ．2a >-7．（2021·黑龙江·中考真题）已知关于x 的分式方程3121m x +=-的解为非负数，则m 的取值范围是（ ） A ．4m ≥-B ．4m ≥-且3m ≠-C ．4m >-D ．4m >-且3m ≠-8．（2021·内蒙古·中考真题）定义新运算“⊗”，规定：2a b a b ⊗=-．若关于x 的不等式3x m ⊗>的解集为1x >-，则m 的值是（ ）A ．1-B ．2-C ．1D ．2二、填空题9．（2021·辽宁丹东·中考真题）不等式组213x x m -<⎧⎨>⎩无解，则m 的取值范围_________．10．（2021·黑龙江·中考真题）关于x 的一元一次不等式组20345x a x ->⎧⎨-<⎩有解，则a 的取值范围是______．11．（2021·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，若点()1,52P m m --在第二象限，则整数m 的值为_________．12．（2021·陕西·中考真题）若()11,A y ，()23,B y 是反比例函数2112m y m x -⎛⎫=< ⎪⎝⎭图象上的两点，则1y 、2y 的大小关系是1y ______2y （填“>”、“=”或“<”）13．（2021·浙江丽水·中考真题）有意义，则x 可取的一个数是__________．三、解答题 14．（2021·江苏南京·中考真题）解不等式()1213x +-≤，并在数轴上表示解集．15．（2021·江苏镇江·中考真题）（1）解方程：3x ﹣22x -＝0；（2）解不等式组：311442x x x x -≥+⎧⎨+<-⎩．16．（2021·贵州毕节·中考真题）x 取哪些正整数值时，不等式()5231x x +>-与213136x x -+≤都成立?17．（2021·辽宁本溪·中考真题）某班计划购买两种毕业纪念册，已知购买1本手绘纪念册和4本图片纪念册共需135元，购买5本手绘纪念册和2本图片纪念册共需225元． （1）求每本手绘纪念册和每本图片纪念册的价格分别为多少元？（2）该班计划购买手绘纪念册和图片纪念册共40本，总费用不超过1100元，那么最多能购买手绘纪念册多少本？18．（2021·湖北武汉·中考真题）解不等式组214101x x x x ≥-⎧⎨+>+⎩①②请按下列步骤完成解答．（1）解不等式①，得_____________； （2）解不等式②，得_____________；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；（3）原不等式组的解集是_____________．19．（2021·福建·中考真题）某公司经营某种农产品，零售一箱该农产品的利润是70元，批发一箱该农产品的利润是40元．（1）已知该公司某月卖出100箱这种农产品共获利润4600元，问：该公司当月零售、批发这种农产品的箱数分别是多少？（2）经营性质规定，该公司零售的数量不能多于总数量的30%．现该公司要经营1000箱这种农产品，问：应如何规划零售和批发的数量，才能使总利润最大？最大总利润是多少？一、单选题1．（2021·台湾·模拟预测）美美和小仪到超市购物，且超市正在举办摸彩活动，单次消费金额每满100元可以拿到1张摸彩券．已知美美一次购买5盒饼干拿到3张摸彩券；小仪一次购买5盒饼干与1个蛋糕拿到4张摸彩券．若每盒饼干的售价为x 元，每个蛋糕的售价为150元，则x 的范围为下列何者？（ ） A ．5060x ≤<B ．6070x ≤<C ．7080x ≤<D ．8090x ≤<2．（2021·云南丽江·一模）若关于x 的不等式组30223x a x x -≥⎧⎪+⎨-≤⎪⎩无解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a >－3B ．a ≥3C ．a <－3D ．a ≤33．（2021·福建省福州屏东中学二模）喜迎建党100周年，某校举行党史知识竞赛，共30道题，每道题都给出4个答案，其中只有一个答案正确，选对得4分，不选或选错扣2分，得分不低于85分得奖，那么得奖至少应选对的题数是（ ） A ．23B ．24C ．25D ．264．（2021·重庆·西南大学附中模拟预测）若关于x 的二次函数21y x ax =-+，当2x -≤时，y 随着x 的增大而减小，且关于x 的分式方程11222ax x x -=+--有正数解，那么所有满足条件的整数a 的值有（ ） A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个5．（2021·重庆八中二模）若数a 使关于x 的不等式组3124(2)53x x x a -≤-⎧⎨-<⎩有且仅有4个整数解，且使关于y 的分式方程31222y a y y++--＝1有正整数解，则满足条件的a 的个数是（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题6．（2021·山东莱芜·一模）若关于x 的分式方程244m xx x-=--的解为非负数，则m 的取值范围是__________．7．（2021·黑龙江佳木斯·二模）若关于x 的不等式组38124x x a -≥⎧⎨-<⎩有且只有3个整数解，则a的取值范围为_____ ．8．（2021·山东诸城·二模）在实数范围内规定新运算“”，规则是：2a b a b =-，若不等式3x k ≥△的解集在数轴上如图表示，则k 的值是______．9．（2021·河南永城·二模）不等式组10,26x x x +≥⎧⎨-<-⎩的解集为_____________．10．（2021·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知关于x的不等式组()()32121232x a xx x⎧-≥-⎪⎨-≤-⎪⎩有5个整数解，则a的取值范围是___________．三、解答题11．（2021·福建·厦门市湖滨中学二模）解不等式组：53 4352 xx x+>⎧⎪-⎨≥⎪⎩12．（2021·黑龙江·哈尔滨市第十七中学校二模）毕业考试结束后，班主任罗老师预购进甲乙两种奖品奖励学生，若购进甲种奖品3件和乙种奖品2件共需要40元；若购进甲种奖品2件和乙种奖品3件共需要55元．（1）求购进甲、乙两种奖品每件分别需要多少元？（2）班主任罗老师决定购进甲、乙两种奖品共20件，且用于购买这20件奖品的资金不超过160元，则最多能购进乙种奖品多少件？13．（2021·重庆·字水中学一模）全面奔小康，关键在农村，经济林是振兴农村经济，实现小康目标的重要途径．在读农林经济学的大学生林可利用知识优势，鼓励家人大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，主打种植大樱桃和小樱桃，今年风调雨顺，大樱桃和小樱桃双双增产．（1）林可家今年大樱桃和小樱桃共2400千克，其中大樱桃的产量不超过小樱桃产量的5倍，求今年林可家收获小樱桃至少多少千克？（2）林可家把今年收获的两种樱桃的一部分运往市场销售，已知他家去年大樱桃的市场销售量为1000千克，销售均价为30元/千克，今年大樱桃的市场销售量比去年减少了23 m%（0m≠），销售均价与去年相同，他家去年小樱桃的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年小樱桃的市场销售量比去年增加了2m%，销售均价也比去年提高了2m%，结果林可家今年运往市场销售的这两种樱桃的销售总金额与他家去年销售这两种樱桃的市场销售总金额相同，求m的值．一、单选题1．（2021·山东泰安·中考真题）已知关于x 的一元二次方程标()22120kx k x k --+-=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．14k >-B ．14k <C ．14k >-且0k ≠D ．14k <0k ≠ 2．（2021·重庆·中考真题）若关于x 的一元一次不等式组()322225x x a x ⎧-≥+⎨-<-⎩的解集为6x ≥，且关于y 的分式方程238211y a y y y+-+=--的解是正整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．5B ．8C ．12D ．153．（2021·福建·中考真题）二次函数()220y ax ax c a =-+>的图象过1234()()3,,1,,2(),,)4,(A y B y C y D y --四个点，下列说法一定正确的是（ ）A ．若120y y >，则340y y >B ．若140y y >，则230y y >C ．若240y y <，则130y y <D ．若340y y <，则120y y <4．（2021·广西来宾·中考真题）定义一种运算：,,a a b a b b a b ≥⎧*=⎨<⎩，则不等式(21)(2)3x x +*->的解集是（ ） A ．1x >或13x <B ．113x -<<C ．1x >或1x <-D ．13x >或1x <-5．（2021·四川遂宁·中考真题）不等式组20112x x ->⎧⎪⎨-≥-⎪⎩的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题6．（2021·四川遂宁·中考真题）已知关于x ，y 的二元一次方程组235423x y ax y a +=⎧⎨+=+⎩满足0x y ->，则a 的取值范围是____．7．（2021·黑龙江大庆·中考真题）三个数3，1,12a a --在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则a 的取值范围为______8．（2021·内蒙古通辽·中考真题）若关于x 的不等式组32125x x a -≥⎧⎨-<⎩，有且只有2个整数解，则a 的取值范围是__________．9．（2021·青海·中考真题）已知点()25,62A m m --在第四象限，则m 的取值范围是______． 10．（2021·湖南常德·中考真题）刘凯有蓝、红、绿、黑四种颜色的弹珠，总数不超过50个，其中16为红珠，14为绿珠，有8个黑珠．问刘凯的蓝珠最多有_________个．11．（2021·黑龙江绥化·中考真题）某学校计划为“建党百年，铭记党史”演讲比赛购买奖品．已知购买2个A 种奖品和4个B 种奖品共需100元；购买5个A 种奖品和2个B 种奖品共需130元．学校准备购买,A B 两种奖品共20个，且A 种奖品的数量不小于B 种奖品数量的25，则在购买方案中最少费用是_____元．三、解答题12．（2021·江苏宿迁·中考真题）解不等式组105212x x x -<⎧⎪⎨+≥-⎪⎩，并写出满足不等式组的所有整数解．13．（2021·四川成都·下简称《条例》）于2021年3月1日起正式施行．某区域原来每天需要处理生活垃圾920吨，刚好被12个A 型和10个B 型预处置点位进行初筛、压缩等处理．已知一个A 型点位比一个B 型点位每天多处理7吨生活垃圾． （1）求每个B 型点位每天处理生活垃圾的吨数；（2）由于《条例》的施行，垃圾分类要求提高，现在每个点位每天将少处理8吨生活垃圾，同时由于市民环保意识增强，该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少10吨．若该区域计划增设A 型、B 型点位共5个，试问至少需要增设几个A 型点位才能当日处理完所有生活垃圾？14．（2021·四川广元·中考真题）为增强学生体质，丰富学生课余活动，学校决定添置一批篮球和足球．甲、乙两家商场以相同的价格出售同种品牌的篮球和足球，已知篮球价格为200元/个，足球价格为150元/个．（1）若学校计划用不超过3550元的总费用购买这款篮球和足球共20个，且购买篮球的数量多于购买足球数量的23．学校有哪几种购买方案？（2）若甲、乙两商场各自推出不同的优惠方案：甲商场累计购物超过500元后，超出500元的部分按90%收费；乙商场累计购物超过2000元后，超出2000元的部分按80%收费．若学校按（1）中的方案购买，学校到哪家商场购买花费少？1．B【分析】分别解不等式，然后将解集表示出来即可求解．解：由题意可知：930725x x ->⎧⎨-≤⎩①②，解①得：3x <， 解②得：1≥x ，故不等式组的解集为：13x ≤<， 故选：B ．【点拨】本题考查不等式组的解法，属于基础题，计算过程中细心即可求解． 2．C试题解析：一个关于x 的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图， 则该不等式组的解集是x ＞3． 故选C ．考点：在数轴上表示不等式的解集． 3．C【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 解：解不等式643x x +<-，得：3x >，x m >且不等式组的解集为3x >，3m ∴，故选：C ．【点拨】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 4．D【分析】设小明还能买x 支签字笔，则小明购物的总数为22+5x ⨯元，再列不等式即可. 解：设小明还能买x 支签字笔，则：22530,x ⨯+≤故选：.D【点拨】本题考查的是一元一次不等式的应用，确定购物的总金额不大于所带钱的数额这个不等关系是解题的关键.5．A【分析】根据无理数的估算可直接进行求解．解：∵459，∴23<<，∴112<，∴12<<1； 故选A ．【点拨】本题主要考查无理数的估算及一元一次不等式的性质，熟练掌握无理数的估算及一元一次不等式的性质是解题的关键．6．D【分析】首先解出两个不等式，根据题目该不等式组无实数解，那么两个解集没有公共部分，列出关于a 的不等式，即可求解．解：解不等式231x --≥得，2x -≤， 解不等式1142x a --≥得， 22x a ，∵该不等式组无实数解，∴222a ，解得：2a >-，故选：D ．【点拨】本题考查了不等式的解法和不等式组解集的确定，解题关键是熟练掌握不等式解集的确定，即“大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”．7．B【分析】根据题意先求出分式方程的解，然后根据方程的解为非负数可进行求解． 解：由关于x 的分式方程3121m x +=-可得：42m x +=，且12x ≠， ∵方程的解为非负数， ∴402m +≥，且4122m +≠， 解得：4m ≥-且3m ≠-，故选B ．【点拨】本题主要考查分式方程的解法及一元一次不等式的解法，熟练掌握分式方程的解法及一元一次不等式的解法是解题的关键．8．B【分析】题中定义一种新运算，仿照示例可转化为熟悉的一般不等式，求出解集，由于题中给出解集为1x >-，所以与化简所求解集相同，可得出等式231m +=-，即可求得m ． 解：由2a b a b ⊗=-，∴23x m x m =->，得：23x m >+，∵3x m >解集为1x >-，∴231m +=-∴2m =-，故选：B ．【点拨】题目主要考查对新运算的理解、不等式的解集、一元一次方程的解等，难点是将运算转化为所熟悉的不等式．9．2m ≥【分析】先求出每个不等式的解集，再根据已知得出关于m 的不等式，求出不等式的解集即可．解：213x x m -<⎧⎨>⎩①② 解不等式①得：2x <由②式知：x m >∵不等式组无解∴2m ≥故答案为：2m ≥【点拨】本题主要考查了解一元一次不等式组，能够根据不等式的解集和已知得出关于m 的不等式是解题的关键．10．6a <【分析】先求出一元一次不等式组的解集，然后再根据题意列出含参数的不等式即可求解．解：由关于x 的一元一次不等式组20345x a x ->⎧⎨-<⎩可得：32a x <<， ∵不等式组有解， ∴32a <， 解得：6a <；故答案为6a <．【点拨】本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．11．2【分析】根据第二象限的点的横坐标小于0，纵坐标大于0列出不等式组，然后求解即可．解：由题意得：10520m m -<⎧⎨->⎩， 解得：512m <<， ∴整数m 的值为2，故答案为：2．【点拨】记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．12．<【分析】先根据不等式的性质判断2-10m <，再根据反比例函数的增减性判断即可． 解：∵12m < ∴1222m <⨯ 即2-10m <∴反比例函数图像每一个象限内，y 随x 的增大而增大∵1<3∴1y <2y故答案为：<．【点拨】本题考查反比例函数的增减性、不等式的性质、熟练掌握反比例函数的性质是关键．13．如4等（答案不唯一，3x ≥）【分析】根据二次根式的开方数是非负数求解即可．解：∵式子3x -有意义，∴x ﹣3≥0，∴x ≥3，∴x 可取x ≥3的任意一个数，故答案为：如4等（答案不唯一，3x ≥．【点拨】本题考查二次根式、解一元一次不等式，理解二次根式的开方数是非负数是解答的关键．14．2x ≤，数轴上表示解集见解析【分析】按照解一元一次不等式的一般步骤，直接求解即可．解：()1213x +-≤去括号：1223x +-≤移项：2312x ≤-+合并同类项：24x ≤化系数为1：2x ≤解集表示在数轴上：【点拨】本题考查了一元一次不等式的解法，数轴上表示不等式的解集的方法，一元一次不等式的解法和一元一次方程的解法相似，注意最后一步化系数为1的时候，不等号是否要改变方向；正确的计算和在数轴上表示出解集是解题关键．15．（1）x ＝6；（2）x ＞2【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集即可．解：（1）3x ﹣22x -＝0 去分母得：3（x ﹣2）﹣2x ＝0，去括号得：3x ﹣6﹣2x ＝0，解得：x ＝6，检验：把x ＝6代入得：x （x ﹣2）＝24≠0，∴分式方程的解为x ＝6；（2）311?442?x x x x -≥+⎧⎨+<-⎩①②， 由①得：x ≥1，由②得：x ＞2，则不等式组的解集为x ＞2．【点拨】此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握分式方程的解法以及不等式组的解法是解本题的关键．16．1、2、3【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而得出满足条件的x 的整数．解：解不等式()5231x x +>-得：5233x x +>-52x >- 解不等式213136x x -+≤得： 2(21)31x x -≤+4231x x -≤+3x ≤ ∴532x -<≤ ∴符合条件的正整数值有1、2、【点拨】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 17．（1）每本手绘纪念册35元，每本图片纪念册25元；（2）最多能购买手绘纪念册10本．【分析】（1）设每本手绘纪念册x 元，每本图片纪念册y 元，根据题意列出二元一次方程组，求解即可；（2）设购买手绘纪念册a 本，则购买图片纪念册()40a -本，根据题意列出不等式，求解不等式即可．解：（1）设每本手绘纪念册x 元，每本图片纪念册y 元，根据题意可得：413552225x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得3525x y =⎧⎨=⎩，答：每本手绘纪念册35元，每本图片纪念册25元；（2）设购买手绘纪念册a 本，则购买图片纪念册()40a -本，根据题意可得：()3525401100a a +-≤，解得10a ≤，∴最多能购买手绘纪念册10本．【点拨】本题考查二元一次方程组的应用、不等式的实际应用，根据题意列出方程组和不等式是解题的关键．18．（1）1x ≥-；（2）3x >-；（3）见解析；（4）1x ≥-【分析】（1）根据不等式的基本性质解不等式；（2）根据不等式的基本性质解不等式；（3）在数轴上表示解集；（4）根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．解：（1）21x x ≥-21x x -≥-1x ≥-（2）4101x x +>+4110x x ->-39x >-3x >-（3）如下图所示（4）取1x ≥-和3x >-的公共部分，即1x ≥-．【点拨】本题主要考查解一元一次不等式组．根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．19．（1）该公司当月零售农产品20箱，批发农产品80箱；（2）该公司应零售农产品300箱、批发农产品700箱才能使总利润最大，最大总利润是49000元【分析】（1）设该公司当月零售农产品x 箱，批发农产品y 箱，利用卖出100箱这种农产品共获利润4600元列方程组，然后解方程组即可；（2）设该公司零售农产品m 箱，获得总利润w 元，利用利润的意义得到7040(1000)3040000w m m m =+-=+，再根据该公司零售的数量不能多于总数量的30%可确定m 的范围，然后根据一次函数的性质解决问题．解：（1）设该公司当月零售农产品x 箱，批发农产品y 箱．依题意，得70404600,100,x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得20,80.x y =⎧⎨=⎩所以该公司当月零售农产品20箱，批发农产品80箱．（2）设该公司零售农产品m 箱，获得总利润w 元．则批发农产品的数量为(1000)m -箱， ∵该公司零售的数量不能多于总数量的30%∴300m ≤依题意，得7040(1000)3040000,300w m m m m =+-=+≤．因为300>，所以w 随着m 的增大而增大，所以300m =时，取得最大值49000元，此时1000700m -=．所以该公司应零售农产品300箱、批发农产品700箱才能使总利润最大，最大总利润是49000元．【点拨】本题考查了一次函数的应用：建立一次函数模型，利用一次函数的性质和自变量的取值范围解决最值问题；也考查了二元一次方程组．1．B【分析】首先根据题意可知，拿到3张摸彩卷的意思即是消费金额大于等于300小于400，拿到4张摸彩卷的意思即是消费金额大于等于400小于500，根据题意列出不等式组，解不等式组即可．【详解】解：美美拿到3张彩卷说明消费金额达到了300，但是不足400，小仪拿到了4张彩卷说明消费金额达到了400，但是不足500，因此可得，30054004005150500x x ≤<⎧⎨≤+<⎩， 解得，6070x ≤<，故选：B ．【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，确定消费金额与彩卷数量的不等关系是解题的关键． 2．C【分析】先求出每个一元一次不等式的解集，再根据不等式组的解集确定a 的取值范围即可．【详解】 解：对于不等式组30223x a x x -≥⎧⎪⎨+-≤⎪⎩①②， 解①得：x ≥3，解②得：x ≤6+a ，∵该不等式组无解，∴6+a ＜3，∴a ＜﹣3，故选：C ．【点睛】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法，会根据解集正确得出a 的取值范围是解答的关键．3．C【分析】设选对x 道题，则不选或错选(30)x -道题，列出42(30)85x x --≥，求解取整数即可．【详解】解：设选对x 道题，则不选或错选(30)x -道题，依题意得：42(30)85x x --≥， 解得：1456x ≥， x 只能取整数，∴要得奖至少应选对25道题，故选：C ．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意列出不等式进行求解． 4．B 【分析】先解分式方程求出22x a=-，关于x 的分式方程有正数解满足2﹣a ＞0利用二次函数21y x ax =-+，当x ≤﹣2时，y 随x 的增大而减小，求出对称轴x ＝﹣-2a ≥﹣2，求出a 的范围﹣4≤a ＜2，且a ≠1即可．【详解】解：∵11222ax x x --=-- ∴1+1﹣a x ＝2（2﹣x ）∴（2﹣a）x＝2∴22xa =-关于x的分式方程有正数解∴22a-＞0∴2﹣a＞0∴a＜2但该分式方程当x＝2时显然是增根，故当a＝1时不符合题意，舍去．∵二次函数21y x ax=-+，当x≤﹣2时，y随x的增大而减小∴其对称轴x＝﹣-2a≥﹣2∴a≥﹣4∴﹣4≤a＜2，且a≠1符合条件的整数a的值有﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0，共5个故选B．【点睛】本题考查分式方程的解法，抛物线的增减性，不等式的解法，掌握分式方程的解法，抛物线的性质，会求抛物线的对称轴，会利用分式方程的解为正数构造不等式，结合函数的增减性解决问题．5．B【分析】不等式组变形后，a的范围，再表示出分式方程的解，由分式方程有整数解，确定出满足条件a的值．【详解】解：解不等式组3124(2) 53x xx a-≤-⎧⎨-<⎩，解得：435xax≥-⎧⎪+⎨<⎪⎩，∵不等式组3124(2)53x xx a-≤-⎧⎨-<⎩有且仅有4个整数解，∴﹣1＜35a+≤0，∴﹣8＜a≤﹣3．解分式方程31222y ay y++--＝1，得y＝102a+，∵y＝102a+≠2为整数，∴a≠﹣6，∴所有满足条件的只有﹣4，故选：B．【点睛】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的方法是解题的关键．6．8m≥-且4m≠-【分析】把分式方程的解求出来，排除掉增根，根据方程的解是非负数列出不等式，最后求出m的范围．【详解】解：方程两边都乘以（x﹣4）得：m+x＝2（x﹣4），解得：x＝m+8．∵x﹣4≠0，∴m+8﹣4≠0，∴m≠﹣4；∵分式方程的解为非负数，∴m+8≥0，∴m≥﹣8．故答案为：m≥﹣8且m≠﹣4．【点睛】本题考查了分式方程的解，根据条件列出不等式是解题的关键，分式方程一定要检验．7．68a<≤【分析】先求出不等式组的解集（含有字母a），利用不等式组有三个整数解，逆推出a的取值范围即可．【详解】解：解不等式381x-≥得：x≥3，解不等式2x﹣a＜4得：x＜42a +∴不等式组的解集为：3≤x＜42a+，∵不等式组38124xx a-≥⎧⎨-<⎩有且只有3个整数解，∴三个整数解为：3，4，5，∴5＜42a +≤6， 解得：6＜a ≤8，故答案为：6＜a ≤8．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解的应用，解此题的关键就是根据整数解的个数求出关于a 的不等式组．8．-5【分析】先根据运算法则变形不等式，然后再进行计算即可．【详解】解：3x k ≥△2x-k≥3 x≥32k + ∵x≥-1 ∴32k +=-1，解得k=-5． 故填-5．【点睛】本题考查了在教轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式等知识点，区分在表示解集时 “空心”和“实心”是解答本题的关键．9．﹣1≤x ＜2【分析】先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分即可求解．【详解】解：1026x x x +≥⎧⎨-<-⎩①②， 解①得x ≥﹣1，解②得x ＜2．故不等式组的解集是﹣1≤x ＜2．故答案为：﹣1≤x ＜2．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．10．103a -<≤ 【分析】解两个不等式得到不等式组的解集为3a -2≤x ≤2，则可确定不等式组的整数解为2，。
平顶山市鲁山县第一高级中学2019_2020学年高二数学3月月考试题理含解析
对于④，取 ，则 ,但 ，故④错；
故选：A．
(方法二)对于①，由于 ,则 ，而 ，但 的符号不确定，故①错;
对于②,由于 ,则 ,则 和 同号，但 的符号不确定，则 的符号也不确定,故②错；
对于③，由于 ，则 ，而 ，但 的符号不确定，故③错；
对于④，由于 ，则 ,而 ，但 的符号不确定,故④错；
20.已知Rt△ABC的顶点A(－3，0），直角顶点B（－1，－ ),顶点C在x轴上．
（1）求点C的坐标;
（2）求斜边上的中线的方程．
【答案】（1）C(3,0)；（2)y＝2 x.
【解析】
【分析】
（1）由垂直得kAB·kBC＝－1,设 ，即可得．
（2）求出 中点坐标,得中线斜率,从而得直线方程．
【详解】(1）∵AB⊥BC，故kAB·kBC＝－1.
，故选A．
【点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．
12.如图， 为 的外心, 为钝角, 是边 的中点,则 的值为（ )
A. 4B。 C. D.
【答案】B
【解析】
外心 在 上的投影恰好为它们的中点，分别设为 ，所以 在 上的投影为 ，而 恰好为 中点，故考虑 ,所以
点睛:和三角形外心有关的，多联系投影的应用，式子两边点击向量，出模长．
【详解】如图，
, 。
直线l的斜率k的取值范围为 。
故答案为A.
【点睛】本题考查了直线的斜率,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.
10.设函数 ，若对于任意 , 恒成立,则实数 的取值范围为( ）
A。 B. C。 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
恒成立问题，利用分离参数法得到m＜ ,转为求函数 在 的最小值，从而可求得m的取值范围．
第4章一元一次不等式(组)单元测试卷24-2025学年八年级数学上册同步学与练(湘教版)[含答案]
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一元一次不等式（组）单元测试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，合计30分）1．下列式子中，①27x =；②34x y +；③32-<；④230a -³；⑤1x >；⑥1a b ->．不等式的有( )．A ．5个B ．4个C ．3个D ．1个2．若a b <，则下列各式正确的是（ ）A ．3>3a bB ．7>7a b --C ．3>3a b --D ．99a b >3．甲，乙两市出租车收费标准如表：起步价(元)3千米后(元/千米)甲102乙8 2.5某人分别在两市乘坐出租车各行驶x 千米(其中3)x >，若甲市的收费高于乙市，则x 的值（ ）A ．大于3小于7B ．大于3C ．大于10D ．大于3小于104．若关于x ，y 的方程组24232x y x y m +=ìí+=-+î的解满足32x y ->-，则m 的最小整数解为（ ）A ．﹣3B ．﹣2C ．﹣1D ．05．若方程组2321x y a x y a +=+ìí+=--î的解满足x y <，则a 的取值范围是（ ）A ．2a <-B ．2a <C ．2a >-D ．2a >6．已知817x x +<，则下列变形正确的是（ ）A ．151x <-B ．1x <C ．1x <-D ．>1x -7．关于x ，y 的二元一次方程组3=3=54x y a x y a---ìíî的解满足x ＜y ，则a 的取值范围是（ ）A ．a ＞35B ．a ＜13C ．a ＜53D ．a ＞538．若关于x 的不等式组2242332x x x x a--ì>ïíï->--î的解集是2x <，则a 的取值范围是（ ）A ．2a ³B ．2a <-C ．2a >D ．2a £9．小丽同学准备用自己节省的零花钱购买一台学生平板电脑，她已存有750元，并计划从本月起每月节省30元，直到她至少存有1080元，设x 个月后小丽至少有1080元，则可列计算月数的不等式为（ ）A ．307501080x +>B ．307501080x -≥C ．307501080x -≤D ．307501080x +≥10．足球比赛的计分规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一个队进行了14场比赛，得分不低于20分，那么该队至少胜了几场（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题（共8小题，每小题3分，合计24分）11．关于x 的不等式()>0n m x -，其中m n >，则其解集为 ．12．不等式组21,390x x >-ìí-+³î的所有整数解的和 ；13．如果0a b <<，那么23b - 23a -．（填“<”或“>”）14．若关于x 的不等式组,5x m x <ìí<î的解集是5x <，则m 的取值范围为 ．15．不等式组51350x x -<ìí-³î的解集是 ．16．若不等式组0122x a x x +³ìí--î＞有解，则a 的取值范围是 ．17．有10名菜农，每人可种甲种蔬菜3公顷或乙种蔬菜2公顷，已知甲种蔬菜每公顷可收入0.5万元，乙种蔬菜每公顷可收入0.8万元，若要使总收入不低于15.6万元，则至多安排 人种甲种蔬菜．18．某商品进价是1000元，售价为1500元．为促销，商店决定降价出售，但保证利润率不低于5%，则商店最多降 元出售商品．三．解答题（共8小题，合计66分）19．解下列不等式，并在数轴上表示解集：（1）2(1)3+<x ；（2）22123x x +-³．20．解不等式组．2x 53(x 2)13x 2x 12+£+ìïí+-<ïî把不等式组的解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的非负整数解．21．如果关于x 的方程243a x a -=-的解大于关于x 的方程()()12a x x a --＝的解，求a 的取值范围．22．阅读下面解题过程，再解题．已知a b >，试比较20171a -+与20171b -+的大小．解：因为a b >，①所以2017>2017a b --，②所以20171>20171a b -+-+ ．③问：(1)上述解题过程中，从第________步开始出现错误；(2)错误的原因是什么？(3)请写出正确的解题过程．23．求不等式()()2130x x -+>的解集．解：根据“同号两数相乘，积为正”可得：①21030x x ->ìí+>î或②21030x x -<ìí+<î解①得12x >，解②得3x <-．∴不等式的解集为12x >或3x <-．请你仿照上述方法求不等式()()2310x x -+<的解集．24．用若干辆载重量为8t 的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4t ，则剩下20t 货物；若每辆汽车装满8t ，则最后一辆汽车不满也不空．请你算一算：有多少辆汽车运这批货物．25．某电器商场销售A ，B 两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元.，商场销售5台A 型号和1台B 型号计算器，可获利润76元；销售6台A 型号和3台B 型号计算器，可获利120元．（1）求商场销售A ，B 两种型号计算器的销售价格分别是多少元？（利润=销售价格﹣进货价格）（2）商场准备用不多于2500元的资金购进A ，B 两种型号计算器共70台，问最少需要购进A型号的计算器多少台？26．某商场计划购进A，B两种型号的手机，已知每部A型号手机的进价比每部B型号手机进价多500元，每部A型号手机的售价是2500元，每部B型号手机的售价是2100元．（1）若商场用50000元共购进A型号手机10部，B型号手机20部，求A、B两种型号的手机每部进价各是多少元？（2）为了满足市场需求，商场决定用不超过7.5万元采购A、B两种型号的手机共40部，且A型号手机的数量不少于B型号手机数量的2倍．①该商场有哪几种进货方式？②该商场选择哪种进货方式，获得的利润最大？1．B【分析】根据不等式的定义：用不等号连接而成的式子，即可作出判断．【详解】解：不等式有：③32-<；④230a -³；⑤1x >；⑥1a b ->，共4个．故选B ．【点睛】本题考查了不等式的识别，掌握不等式的定义是关键．2．B【分析】根据不等式的基本性质逐一分析即可．【详解】解：A ．∵a b <，∴33a b <，故本选项不符合题意；B ．∵a b <，∴7>7a b --，故本选项符合题意；C ．∵a b <，∴33a b -<-，故本选项不符合题意；D ．∵a b <，∴99a b <，故本选项不符合题意．故选B ．【点睛】本题考查的是不等式的性质，熟知不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解答此题的关键．3．A【分析】根据车费=起步价´（行程3-）即可列出代数式，根据甲市的收费高于乙市即可列出不等式，解出不等式即可求得答案．【详解】解：由题意得，甲市的收费：102(3)24(3)x x x +-=+>，乙市的收费：8 2.5(3) 2.50.5(3)x x x +-=+>，由甲市的收费高于乙市，则24 2.50.5x x +>+，解得7x <，∴37x <<故选：A ．【点睛】本题考查了行程计费的实际问题、利用题意列代数式及不等式，用数字、字母正确列出代数式及解出不等式的解集是解题的关键．4．C【分析】方程组中的两个方程相减得出x -y =3m +2，根据已知得出不等式，求出不等式的解【详解】解：24232x y x y m +ìí+-+î＝①＝②，①-②得：x -y =3m +2，∵关于x ，y 的方程组24232x y x y m ＝＝+ìí+-+î的解满足x -y ＞-32，∴3m +2＞-32，解得：m ＞76-，∴m 的最小整数解为-1，故选C ．【点睛】本题考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组、二元一次方程组的解、一元一次不等式的整数解等知识点，能得出关于m 的不等式是解此题的关键．5．A【分析】将方程组中两方程相减，表示出x y -，代入0x y -<中，即可求出a 的范围．【详解】解：2321x y a x y a +=+ìí+=--î①②，-①②得：42x y a -=+，x y <Q ，0x y \-<，420a \+<，2\<-a ．故选：A ．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，以及解一元一次不等式，表示出x y -是解本题的关键．6．C【分析】先移项，再合并同类项，最后把未知数的系数化“1”即可得到答案．【详解】解：∵817x x +<，∴871x x -<-，∴1x <-；【点睛】本题考查的是不等式的解法，熟练的解一元一次不等式是解本题的关键．7．D【分析】把a 看成是已知数，解出x ，y ，根据x <y 列不等式求a 的范围．【详解】解：解方程组3=3=54x y a x y a ---ìíî得75=81315=8a x a y --ìïïíïïî． 因为x <y ，所以758a -＜13158a -，解得：a >53．故选：D ．【点睛】本题考查了解二次一次方程组，解一元一次不等式，根据二次一次方程组中的两个未知数的不等关系，求字母系数的范围时，可先将字母系数看成是已知数，解出原方程组的解，再根据题中所给的不等关系列不等式求解．8．A【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每个不等式的解集，根据不等式组的解集为2x <可得关于a 的不等式，解之可得．【详解】解：解不等式22423x x -->，得：2x <，解不等式32x x a ->--，得：x a <，∵不等式组的解集为2x <，∴2a ³，故选：A ．9．D【详解】解：由题意可得：307501080x +≥．故选D ．10．A【分析】根据题意设胜了x 场，平了y 场，负了z 场，根据不低于20分，列方程与不等式求解即可．【详解】解：设这个队胜了x 场，平了y 场，负了z 场，320x y +³；14y x z =--，∴31420x x z +--³，∴132x z ³+，当0z =时，3x ³，∴该队至少胜了3场；故选A【点睛】本题考查的是不等式的应用，三元一次方程的应用，理解题意，确定相等关系与不等关系列方程与不等式是解本题的关键．11．0x <【分析】先判断0n m -<，再根据不等式的性质解不等式即可．【详解】解：∵m n >，∴0n m -<，而()>0n m x -，∴0x <，故答案为：0x <．【点睛】本题考查的是不等式的解法，熟练的利用不等式的性质解不等式是解本题的关键．12．6【分析】先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分，然后从解集中找出所有的整数相加即可.【详解】解：21390x x >-ìí-+³î①②，解①得，12x >-，解②得，x ≤3,∴不等式组的解集是：132x -<£，∴其中的整数有：0,1,2,3，∴0+1+2+3=6.故答案为：6.【点睛】本题考查了不等式组的解法，先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分.不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解.13．＜【分析】根据不等式的性质分析即可．【详解】解析：由0a b <<，可知：0a <，0b <，则a b ->-，∴33a b ->-，所以2323b a -<-．故答案为：＜．【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．14．5m ³【分析】根据不等式组的解集，可判断m 与5的大小．【详解】解：∵关于x 的不等式组,5x m x <ìí<î的解集是5x <，，∴5m ³，即m 的取值范围是5m ³，故答案为：5m ³．【点睛】此题考查求不等式组的解集，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．15．563x <…【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【详解】解：解不等式51x -<，得：6x <，解不等式350x -…，得：53x …，则不等式组的解集为563x <…，故答案为：563x <…．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．16．a ＞－1【分析】先求出每个不等式的解集，根据已知得出关于a 的不等式，求出即可．【详解】∵由0x a +³得x ≥－a ；由122x x --＞得x ＜1．∴0122x a x x +³ìí--î＞∴－a ≤x ＜1．∵原不等式组有解，∴－a ＜1，即a ＞－1．∴a 的取值范围是a ＞－1．【点睛】本题考查了解一元一次不等式，不等式组的解集，解一元一次不等式组的应用，解此题关键是能得出关于a 的不等式．17．4【分析】设最多安排x 人种甲种蔬菜，根据有10名菜农，每人可种甲种蔬菜3公顷或乙种蔬菜2公顷，已知甲种蔬菜每公顷可收入0.5万元，乙种蔬菜每公顷可收入0.8万元，若要使收入不低于15.6万元，可列不等式求解．【详解】解：设安排x 人种甲种蔬菜，3x ×0.5+2（10﹣x ）×0.8≥15.6，解得：x ≤4．所以最多安排4人．故答案为：4．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，关键设出种植甲的人数，以总收入作为不等量关系列不等式求解．18．450【分析】设商店降x %出售商品，根据“进价是1000元，售价是1500元，利润率不低于5%”即可列不等式求解.【详解】解：设商店降x %出售商品，由题意得15001100x æö´-ç÷èø≥1000×（1+5%）解得x ≥30则商店最多降30%出售商品．∴商店最多降150030%450´=元出售商品．故答案为：450．【点睛】本题考查一元一次不等式的应用．解题的关键是读懂题意，找到不等关系，正确列不等式求解.19．（1）12x <，数轴见解析；（2）8x £，数轴见解析【分析】（1）去括号，移项，合并同类项，系数化成1，再在数轴上表示出来即可；（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1，再在数轴上表示出来即可．【详解】解：（1）去括号，得223+<x ．移项，得232x <-．合并同类项，得21x <．系数化为1，得12x <．这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．（2）去分母，得3(2)2(21)+³-x x ．去括号，得6342x x +³-．移项，得3426x x -³--．合并同类项，得8x -³-．系数化为1，得8x £．这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．【点睛】此题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，能正确求出不等式的解集是解此题的关键．20．数轴见解析，不等式组的非负整数解为2，1，0．【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）．最后找出解集范围内的非负整数即可．不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．【详解】解：()2532132<12x x x x ì+£+ïí+-ïî①②，解不等式①得：x ≥﹣1，解不等式②得：x ＜3，∴不等式组的解集为：﹣1≤x ＜3．在数轴上表示为：不等式组的非负整数解为2，1，0．21．12a >【分析】先求出两个方程的解，然后列出不等式，求解不等式即可．【详解】解：解方程243a x a -=-，得：x ＝223a -．解方程()()12a x x a --＝，得：x ＝2a ．由题意得：2232a a ->解得：12a >．【点睛】本题考查了解一元一次不等式和解一元一次方程，解答本题的关键是掌握不等式的22．(1)②；(2)错误地运用了不等式的基本性质3(3)见解析【分析】（1）由不等式的性质可得第②步开始出现错误；（2）由不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向要改变可得错误原因；（3）正确的运用不等式的性质解题即可得到答案．【详解】（1）解：上述解题过程中，从第②步开始出现错误；（2）错误地运用了不等式的基本性质3，即不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变；（3）∵a b >，∴20172017a b -<-，∴2017120171a b -+<-+；【点睛】本题考查的是不等式的基本性质的应用，熟记不等式的基本性质是解本题的关键．23．115x -<<.．【分析】根据“异号两数相乘，积为负”可得两个关于x 的不等式组，解之即可.【详解】解：根据“异号两数相乘，积为负”可得：①23010x x ->ìí+<î或②23010x x -<ìí+>î解①得其无解，解②得115x -<<.．∴不等式的解集为115x -<<.【点睛】本题考查了不等式组的解法，属于模仿题型，正确理解题意是解题的关键.24．有6辆汽车运这批货物【分析】设有x 辆车，则有()420x +吨货物．根据若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空，列出不等式组，再求解，又因为车必须是整数，进而可得出结论．【详解】解：设有x 辆车，则有()420x +吨货物．由题意，得()()0420818x x <+--<，解得57x <<．x Q 为正整数，答：有6辆汽车运这批货物．【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，根据题意列出代数式和不等式组是解题的关键．25．（1）A型号计算器售价为42元，B型号计算器售价为56元；（2）最少需要购进A型号计算器30台．【分析】（1）首先设A种型号计算器的销售价格是x元，A种型号计算器的销售价格是y元，根据题意可等量关系：①5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；②销售6台A 型号和3台B型号计算器，可获利润120元，根据等量关系列出方程组，再解即可；（2）根据题意表示出所用成本，进而得出不等式求出即可．【详解】解：（1）设A型号计算器售价为x元，B型号计算器售价为y元由题意可得:()() ()() 5304076 630340120 x yx yì-+-=ïí-+-=ïî解得:4256 xy=ìí=î答：A型号计算器售价为42元，B型号计算器售价为56元．（2）设购进A型号计算器a台，则B型号计算器（70-a）台由题意可得：30a+40（70-a）≤2500解得：a≥30答：最少需要购进A型号计算器30台．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的知识，解答此题的关键是仔细审题得到等量关系，根据等量关系建立方程；还考查了不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．26．（1）A、B两种型号的手机每部进价各是2000元、1500元；（2）①有4种购机方案：方案一：A种型号的手机购进27部，则B种型号的手机购进13部；方案二：A种型号的手机购进28部，则B种型号的手机购进12部；方案三：A种型号的手机购进29部，则B种型号的手机购进11部；方案四：A种型号的手机购进30部，则B种型号的手机购进10部；②购进A种型号的手机27部，购进B种型号的手机13部时获利最大．【分析】（1）设A、B两种型号的手机每部进价各是x元、y元，根据每部A型号手机的进价比每部B型号手机进价多500元以及商场用50000元共购进A型号手机10部，B型号手机20部列出方程组，求出方程组的解即可得到结果；（2）①设A种型号的手机购进a部，则B种型号的手机购进（40-a）部，根据花费的钱数不超过7.5万元以及A型号手机的数量不少于B型号手机数量的2倍列出不等式组，求出不等式组的解集的正整数解，即可确定出购机方案；②设A种型号的手机购进a部时，获得的利润为w元．列出w关于a的函数解析式，根据一次函数的性质即可求解．【详解】解：（1）设A、B两种型号的手机每部进价各是x元、y元，根据题意得：500 102050000x yx y+ìí+î＝＝，解得：20001500xyìíî＝＝，答：A、B两种型号的手机每部进价各是2000元、1500元；（2）①设A种型号的手机购进a部，则B种型号的手机购进（40-a）部，根据题意得：()() 200015004075000 240a aa aì+-£ïí³-ïî，解得：803≤a≤30，∵a为解集内的正整数，∴a=27，28，29，30，∴有4种购机方案：方案一：A种型号的手机购进27部，则B种型号的手机购进13部；方案二：A种型号的手机购进28部，则B种型号的手机购进12部；方案三：A种型号的手机购进29部，则B种型号的手机购进11部；方案四：A种型号的手机购进30部，则B种型号的手机购进10部；②设A种型号的手机购进a部时，获得的利润为w元．根据题意，得w=500a+600（40-a）=-100a+24000，∵-10＜0，∴w随a的增大而减小，∴当a=27时，能获得最大利润．此时w=-100×27+24000=21300（元）．因此，购进A种型号的手机27部，购进B种型号的手机13部时，获利最大．答：购进A种型号的手机27部，购进B种型号的手机13部时获利最大．【点睛】此题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，找出满足题意的等量关系与不等关系是解本题的关键．。
沪科版七年级下3月月考数学试卷含答案
2018-2019学年度第二学期3月月考七年级数学试卷满分：120分 时间：90分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的A 、B 、C 、D 的四个选项中，只有一项是符合题意的，请将正确的字母代号填在题后的括号内）1. 9的平方根是 （ ）.（A ）±3 （B ）±13（C ）3 （D ）-32. 若代数式1(1)2a -的值不大于-1，则a 的取值范围是 （ ）． （A ）2a ≤ （B ）1a ≤- （C ）2a ≤- （D ）3a ≥-3. 已知关于x 的不等式(2)3a x ->的解集为32x a<-，则a 的取值范围是 （ ）.（A ）0a > （B ）2a > （C ）0a < （D ）2a <4.下列说法中，不正确的是 （ ）. （A ）10（B ）－2是4的一个平方根 （C ）49的平方根是23（D ）0.01的算术平方根是0.1 5. 不等式组432 4 x x +>⎧⎨≤⎩的解集是 （ ）.（A ）12x <≤ （B ）12x -<≤ （C ）1x >- （D ）14x -<≤ 6.如图，数轴上的A 、B 、C 、D四点中，与数表示的点最接近的是 （ ）. （A ）点A （B ）点B （C ）点C （D ）点D7. 阅读理解：我们把a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦称作二阶行列式，规定它的运算法则为a b ad bc c d ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，例如131423224=⨯-⨯=-，如果2301xx->，则x 的取值范围是 （ ）． （A ）1x > （B ）1x <- （C ）3x > （D ）3x <- 8. 某市出租车的收费标准是：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都需付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收1.5元（不足1千米按1千米计）.某人从甲地到乙地经过的路程是x 千米，出租车费为15.5元，那么x 的最大值是 （ ）.（A ）11 （B ）8 （C ）7 （D ）59. 若不等式组有实数解，则实数m 的取值范围为 （ ）．（A ）m ≤（B ）m ＜（C ）m ＞ （D ）m ≥ 10.已知,m n 为常数，若0mx n +>的解集为13x <，则0nx m -<的解集为 （ ）． （A ）3x > （B ） 3x < （C ） 3x >- （D ）3x <-二、填空题（本大题共8题,每题3分，计24分） 11.2的相反数为 ，绝对值为 .12. 若关于x 的方程12kx x -=的解为正数，则k 的取值范围是 ． 13. 如果一个非负数的平方根是21a -和5a -，则这个非负数为 ． 14. 关于x 的不等式组2131x a x +>⎧⎨->⎩的解集为13x <<，则a 的值为 ．15.某种商品的进价为15元，出售时标价是22.5元．由于市场不景气销售情况不好，商店准备降价处理，但要保证利润率不低于10%，那么该店最多降价 元出售该商品.16.若关于x ，y 的二元一次方程组的解满足，则a 的取值范围为 ．17.如右图，数轴上表示1A 、B ，点B 、点C 与点A 的距离相等，则C 点所对应的数是 ．18.对于任意实数m 、n ，定义一种运算m #n =mn -m -n +3，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：3#5＝3×5－3－5+3＝10．请根据上述定义解决问题：若a < 2#x < 7，且解集中有两个整数解，则a 的取值范围是 . 三、解答题（本题共6大题,计66分） 19.（12分）计算（1（2）22--20.（12分）解下列不等式（1）32(1)1x --<； （2）13132x x ---≥.⎩⎨⎧≥-≥-0035m x x 353535353133x y ax y +=+⎧⎨+=⎩2x y +＜21. （8分）解不等式组并把解集在数轴上表示出来43(2) 1 23x x x x+≤+⎧⎪⎨-<⎪⎩①②22.（10分）阅读理解23<<，∴112<.1的整数部分为12. 解决问题：已知a3的整数部分，b3的小数部分，求32()(4)a b -++的平方根.23.（12分）若方程组323x y x y a +=⎧⎨-=-⎩的解x 、y 都是正数，求a 的取值范围．24.（12分）为了提倡低碳经济，某公司为了更好得节约能源，决定购买节省能源的10台新机器.现有甲、乙两种型号的设备供选择，其中每台的价格、工作量如下表：（1）经预算：该公司购买的节能设备的资金不超过110万元，请列式解答有几种购买方案可供选择；（2）在（1）的条件下，若每月要求产量不低于2040吨，为了节约资金，请你设计一种最省钱的购买方案.参考答案：一、选择题二、填空题11.22 12.2k > 13.9 14.415.6 16.4a < 17.2-18.45a ≤< 三、解答题19. （1）－1 （2）820. （1）2x > （2）1x ≤21. 不等式组的解集为13x -≤<，在数轴上表示略. 22.由题意，得1a =，4b =所以3232()(4)(1)44)16a b -++=-++= 即32()(4)a b -++的平方根为4±.23. 解方程组323x y x y a +=⎧⎨-=-⎩，得3363a x a y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，因为x 、y 都是正数，所以303603aa +⎧>⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩，解得-3＜a ＜6.24. （1）设购买甲型设备x 台，则1210(10)110x x +-≤，解得5x ≤， 因为x 取非负整数，所以x =0、1、2、3、4、5所以，共有6种购买方案；（2）由题意，得240180(10)2040x x +-≥，解得4x ≥，所以x =4或5 当4x =时，购买资金为：124106108⨯+⨯=（万元） 当5x =时，购买资金为：125105110⨯+⨯=（万元）所以，是省钱的购买方案为：应购买甲型设备4台，乙型设备6台.。
不等式应用题
一、专题精讲专题1解已知总量不等式（组）应用题的方法⑴找关键词——不等量⑵找对比（两种情况），设未知数⑶找总量⑷总量已知：两种情况各自与总量比较（两个不等式）例1（一元一次不等式组）一本英语书98页,张力读了7天(一周)还没读完,而李永不到一周就读完了.李永平均每天比张力多读3页,张力每天读多少页?触类旁通某旅游团有48人到某宾馆住宿，若全安排住宾馆的底层，每间住4人，房间不够；每间住5人，有一个房间没有住满5人。
问该宾馆底层有客房多少间?专题2解总量未知不等式(组）应用题的方法⑴找关键词——不等量⑵找对比（两种情况），设未知数⑶找总量⑷总量未知：两种情况相互比较（其中一种情况可计算总量，另一种情况有上下限）例1用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空。
请问：有多少辆汽车？触类旁通把若干颗花生分给若干个猴子，如果每只猴子分3颗，就剩下8颗，如果每只猴子分5颗，那么最后一只猴子得不到5颗，但分得到花生．那么猴子有多少只？花生有多少颗？专题3解两种“方案比较”应用题的方法⑴找出两种方案的，设未知数⑵分别列出两种方案的费用⑶分情况讨论（结合人数）【例4】2012年我市某县筹备20周年县庆，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．种造型的成本是960元，试说明（2）若搭配一个种造型的成本是800元，搭配一个（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？三、学法提炼1、专题特点：主要是了解不等式的运用特点，能够根据题意列出合适的表达式，并能进行讨论分析，得出合理结果2、解题方法:主要是根据题意列出不等式关系，最终结合实际情况进行取值3、注意事项：在解题实际问题中，主要是考虑到取值的合理性，例如小数不能取，一般在正整数范围内进行取值。
2021年3月新高考数学复习资料§2.1不等式及其解法试题及参考答案
专题二不等式【考情探究】课标解读考情分析备考指导主题内容一、不等式及其解法1.了解生活中的不等关系,会从实际问题中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.1.考查内容:从近几年高考的情况看,本专题内容考查的重点是不等式的性质与解法,基本不等式及不等式的综合应用.常与导数、函数零点等知识结合,常用到数形结合、分类讨论、化归与转化等数学思想方法.2.不等式是常考的内容,在选择题、填空题中,常考查不等式的性质、解法及应用基本不等式求最值;在解答题中,常与导数结合研究与函数相关的大小关系.1.不等式的性质及不等式的解法难度较小,对于含有参数的一元二次不等式的求解要学会分类讨论(特别是二次项系数、判别式符号均不确定的问题).2.对于利用基本不等式求最值的问题,要学会配凑方法,将之表示成“和定”或“积定”的形式,对于多次使用基本不等式求最值的问题,要保证每次的等号均能同时取到.3.对于不等式恒成立问题,不能停留在具体的求解方法(比如分离参数法等)上,而是将较难的、生疏的问题经过分析、转化为基本的研究函数单调性的问题,积累具体分析、转化的经验.二、基本不等式与不等式的综合应用了解基本不等式的证明过程,会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.【真题探秘】§2.1 不等式及其解法 基础知识专题固本夯基【基础训练】考点一 不等式的性质1.若a>b>0,c<d<0,则一定有( ) A.a c >bdB.a c <b dC.a d >b cD.a d <b c【参考答案】D 2.已知实数a ＝ln22,b ＝ln33,c ＝ln55,则a,b,c 的大小关系是( )A.a<b<cB.c<a<bC.c<b<aD.b<a<c 【参考答案】B 3.若a<0,b<0,则p ＝b 2a +a 2b与q ＝a+b 的大小关系为 .【参考答案】p ≤q考点二 不等式的解法4.不等式x 2+2x-3≥0的解集为( )A.{x|x ≤-3或x ≥1}B.{x|-1≤x ≤3}C.{x|x ≤-1或x ≥3}D.{x|-3≤x ≤1} 【参考答案】A5.已知函数f(x)＝x 3+ax 2+bx+c,且0<f(-1)＝f(-2)＝f(-3)≤3,则( ) A.c ≤3 B.3<c ≤6 C.6<c ≤9 D.c>9 【参考答案】C6.若关于x 的不等式ax 2+bx-1>0的解集是{x|1<x<2},则不等式bx 2+ax-1<0的解集是( ) A.{x |-1<x <23} B.{x |x <-1或x >23} C.{x |-23<x <1} D.{x |x <-23或x >1} 【参考答案】C综合篇知能转换【综合集训】考法一 不等式性质的应用1.(2019新疆昌吉教育共同体联考,3)若a<b<0,则下列不等式关系中,不能．．成立的是( ) A.1a >1bB.1a >1a -bC.a 23>b 23 D.1a 2>1b2【参考答案】D2.(2018河北衡水中学十五模)已知c 3a <c 3b<0,则下列选项中错误的是( )A.|b|>|a|B.ac>bcC.a -b c>0 D.ln a b>0【参考答案】D3.(2018豫北名校4月联考,10)已知函数f(x)＝e 1+x+e 1-x,则满足f(x-2)<e 2+1的x 的取值范围是( ) A.x<3 B.0<x<3 C.1<x<e D.1<x<3 【参考答案】D考法二 不等式的解法4.(2018辽宁庄河高级中学、沈阳第二十中学第一次联考,8)不等式ax 2+bx+2>0的解集为{x|-1<x<2},则不等式2x 2+bx+a>0的解集为( )A.{x |x <-1或x >12}B.{x|-1<x <12} C.{x|-2<x<1} D.{x|x<-2或x>1} 【参考答案】A5.(2019广东梅州3月模拟,6)关于x 的不等式x 2-(m+2)x+2m<0的解集中恰有3个正整数,则实数m 的取值范围为( ) A.(5,6] B.(5,6) C.(2,3] D.(2,3) 【参考答案】A6.(2015山东,5,5分)不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是( ) A.(-∞,4) B.(-∞,1) C.(1,4) D.(1,5) 【参考答案】A7.(2019新疆昌吉教育共同体联考,13)不等式1x -1+2≥0的解集为 .【参考答案】{x|x >1或x ≤12}【5年高考】考点一 不等式的性质1.(2019课标Ⅱ,6,5分)若a>b,则( ) A.ln(a-b)>0 B.3a<3bC.a 3-b 3>0 D.|a|>|b| 【参考答案】C2.(2018课标Ⅲ,12,5分)设a ＝log 0.20.3,b ＝log 20.3,则( ) A.a+b<ab<0 B.ab<a+b<0 C.a+b<0<ab D.ab<0<a+b 【参考答案】B3.(2017山东,7,5分)若a>b>0,且ab ＝1,则下列不等式成立的是( ) A.a+1b <b 2a <log 2(a+b) B.b 2a <log 2(a+b)<a+1bC.a+1b<log 2(a+b)<b 2a D.log 2(a+b)<a+1b <b 2a 【参考答案】B4.(2016北京,5,5分)已知x,y ∈R ,且x>y>0,则( )A.1x -1y>0 B.sin x-sin y>0C.(12)x -(12)y <0 D.ln x+ln y>0 【参考答案】C考点二 不等式的解法5.(2018北京,8,5分)设集合A ＝{(x,y)|x-y ≥1,ax+y>4,x-ay ≤2},则( ) A.对任意实数a,(2,1)∈AB.对任意实数a,(2,1)AC.当且仅当a<0时,(2,1) AD.当且仅当a ≤32时,(2,1) A【参考答案】D6.(2019天津,10,5分)设x ∈R ,使不等式3x 2+x-2<0成立的x 的取值范围为 . 【参考答案】(-1,23)7.(2015广东,11,5分)不等式-x 2-3x+4>0的解集为 .(用区间表示) 【参考答案】(-4,1)教师专用题组考点一 不等式的性质1.(2014四川,5,5分)若a>b>0,c<d<0,则一定有( ) A.a d >b c B.a d <b cC.a c >b dD.a c <b d【参考答案】B2.(2016浙江,8,5分)已知实数a,b,c.( ) A.若|a 2+b+c|+|a+b 2+c|≤1,则a 2+b 2+c 2<100 B.若|a 2+b+c|+|a 2+b-c|≤1,则a 2+b 2+c 2<100 C.若|a+b+c 2|+|a+b-c 2|≤1,则a 2+b 2+c 2<100 D.若|a 2+b+c|+|a+b 2-c|≤1,则a 2+b 2+c 2<100 【参考答案】D3.(2015湖北,10,5分)设x ∈R ,[x]表示不超过x 的最大整数.若存在实数t,使得[t]＝1,[t 2]＝2,…,[t n]＝n 同时成立····,则正整数n 的最大值是( )A.3B.4C.5D.6 【参考答案】B4.(2013课标Ⅱ,12,5分)若存在正数x 使2x(x-a)<1成立,则a 的取值范围是( ) A.(-∞,+∞) B.(-2,+∞) C.(0,+∞) D.(-1,+∞) 【参考答案】D考点二 不等式的解法5.(2014大纲全国,3,5分)不等式组{x(x +2)>0,|x|<1的解集为( )A.{x|-2<x<-1}B.{x|-1<x<0}C.{x|0<x<1}D.{x|x>1} 【参考答案】C6.(2013重庆,7,5分)关于x 的不等式x 2-2ax-8a 2<0(a>0)的解集为(x 1,x 2),且x 2-x 1＝15,则a ＝( ) A.52B.72C.154D.152【参考答案】A7.(2014课标Ⅰ,9,5分)不等式组{x +y ≥1,x -2y ≤4的解集记为D.有下面四个命题:p 1:∀(x,y)∈D,x+2y ≥-2,p 2:∃(x,y)∈D,x+2y ≥2, p 3:∀(x,y)∈D,x+2y ≤3,p 4:∃(x,y)∈D,x+2y ≤-1. 其中的真命题是( )A.p 2,p 3B.p 1,p 2C.p 1,p 4D.p 1,p 3 【参考答案】B【三年模拟】一、单项选择题(每题5分,共40分)1.(2020届湖南衡阳一中第一次月考,1)设集合A ＝{x|-1≤2x+1≤3},B ＝{x |x+1x≤0}, ( )A.(0,1]B.[-1,0]C.[-1,0)D.[0,1] 【参考答案】D2.(2020届黑龙江哈尔滨六中第一次调研,3)已知3a＝e,b ＝log 35-log 32,c ＝2ln √3,则a,b,c 的大小关系为( )A.a>c>bB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a 【参考答案】C3.(2020届四川绵阳南山中学9月月考,7)已知a,b,c,d 是实数,且c>d,则a>b 是ac+bd>bc+ad 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【参考答案】C4.(2019福建厦门一模,4)已知a>b>0,x ＝a+be b,y ＝b+ae a,z ＝b+ae b,则( ) A.x<z<y B.z<x<y C.z<y<x D.y<z<x 【参考答案】A5.(2018江西吉安一中、九江一中等八所重点中学联考,4)若a>1,0<c<b<1,则下列不等式不正确的是( ) A.log a 2 018>log b 2 018 B.log b a<log c a C.(c-b)c a>(c-b)b aD.(a-c)a c>(a-c)a b【参考答案】D6.(2019云南曲靖一中质检(三),1)已知集合A ＝{x|2x -1x -2<0},B ＝N ,则A ∩B ＝( )A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{1}D.{-1,0} 【参考答案】C7.(2019湖南湘潭3月联考,4)若不等式4x 2+ax+4>0的解集为R ,则实数a 的取值范围是( ) A.(-16,0) B.(-16,0] C.(-∞,0) D.(-8,8) 【参考答案】D8.(2019河南新乡一模,10)定义:区间[a,b],(a,b],(a,b),[a,b)的长度均为b-a,若不等式1x -1+2x -2≥54的解集是互不相交区间的并集,则该不等式的解集中所有区间的长度之和为( ) A.512B.125C.√2095D.5√209209【参考答案】B二、多项选择题(每题5分,共15分)9.(2020届山东潍坊期中,11)若x ≥y,则下列不等式中一定正确的是( ) A.2x ≥2y B.x+y2≥√xy C.x 2≥y 2D.x 2+y 2≥2xy 【参考答案】AD10.(2020届山东青岛五十八中期中)下列命题为真命题的是( ) A.若a>b>0,则ac 2>bc 2B.若a<b<0,则a 2>ab>b 2C.若a>b>0,且c<0,则c a 2>c b2 D.若a>b,则1a <1b【参考答案】BC11.(2020届山东德州期中,11)对于实数a,b,c,下列命题中正确的是( ) A.若a>b,则ac<bc B.若a<b<0,则a 2>ab>b 2C.若c>a>b>0,则a c -a >bc -bD.若a>b,1a >1b,则a>0,b<0【参考答案】BCD三、填空题(每题5分,共10分)12.(2020届上海复旦大学附中9月综合练,5)不等式ax 2+bx+c>0的解集是(-12,3),则不等式cx 2+bx+a<0的解集为 . 【参考答案】(-2,13)13.(2018河南中原名校联考,13)已知f(x)是定义在R 上的奇函数.当x>0时, f(x)＝x 2-2x,则不等式f(x)>x 的解集用区间表示为 . 【参考答案】(-3,0)∪(3,+∞)四、解答题(共10分)14.(2019河南中原名校期中,17)解关于x 的不等式ax 2-2≥2x-ax(a ∈R ). 【试题解析】原不等式可化为ax 2+(a-2)x-2≥0.①当a ＝0时,原不等式化为x+1≤0,解得x ≤-1.②当a>0时,原不等式化为(x -2a)(x+1)≥0,解得x ≥2a或x ≤-1.③当a<0时,原不等式化为(x -2a)(x+1)≤0.当2a>-1,即a<-2时,解得-1≤x ≤2a;当2a＝-1,即a ＝-2时,解得x ＝-1;当2a<-1,即-2<a<0时,解得2a≤x ≤-1.综上所述,当a ＝0时,不等式的解集为{x|x ≤-1};当a>0时,不等式的解集为{x|x≥2或x≤-1};a当-2<a<0时,不等式的解集为{x|2≤x≤-1};a当a＝-2时,不等式的解集为{-1};当a<-2时,不等式的解集为{x|-1≤x≤2}.a。
30 求一元一次不等式解的最值(解析版)初中数学
专题30 求一元一次不等式解的最值一、单选题1．某闹市区新建一个小吃城，设计一个进口和一个出口，内设n 个摊位，预估进口和出口的客流量都是每分钟10人，每人消费25元，摊位的毛利润为40%，若平均每个摊位一天（按10个小时计）的毛利润不低于1000元，则n 的最大值为( )A ．30B ．40C ．50D ．60【答案】D【分析】由每日的总消费额及平均每个摊位一天的毛利润不低于1000元，即可得出关于n 的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论．【详解】 依题意，得：10001060102540%n ⨯⨯⨯， 解得：60n ．故选：D ．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 2．满足不等式x +3＜0的最大整数解是（ ）A ．﹣3B ．﹣4C ．3D ．4【答案】B【解析】【分析】先解不等式，求出不等式的解集，再找出解集中的最大整数即可.【详解】解：由不等式x +3＜0，解得：x ＜﹣3，则不等式的最大整数解为﹣4，故选：B ．【点睛】本题考查了解不等式和不等式的解的概念，属于基础题型，正确的求解不等式是解题的关键. 3．不等式13x -<的最大整数为a ，不等式1x ≥-中的最小整数解为b ，则3a b +的值是（ ） A ．0 B ．1 C ．3 D ．4【解析】【分析】先求不等式的解集，再分别确定a、b的值，然后代入求解即可.【详解】解：∵不等式13x-<的解集为x＜4，a是解集中的最大整数，∵a=3，∵不等式1x≥-中的最小整数解为b，∵b=－1，∵a+3b=3+3×(－1)=0.故选A.【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的解集，属于基础题，解答的关键是认真审题，把握x的取值范围.二、填空题4．不等式8-3x>0的最大整数解为______________．【答案】2【分析】先解出不等式的解集，再求其最大整数解．【详解】解：∵8-3x≥0，∵-3x≥－8，∵x≤83，∵不等式8-3x≥0的最大整数解是2．故答案为：2．【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可．5．不等式3(x﹣1)＞2﹣x的最小整数解是_______．【答案】2．根据解一元一次不等式的基本步骤，去括号、移项、合并同类项、化系数为1，依次计算求得x 的范围，据此可得．【详解】去括号，得：3x ﹣3＞2﹣x ，移项，得：3x +x ＞2+3，合并同类项，得：4x ＞5，系数化为1，得：54x >，则不等式组的最小整数解为2．故答案为：2．【点睛】本题考查了解一元一次不等式的基本步骤，去括号、移项、合并同类项、化系数为1．6．不等式3x -7≥2的最小整数解是____________．【答案】3【分析】解不等式即可找到最小整数解．【详解】解不等式：372x -≥移项：32+7x ≥，整理得：39x ≥，解得：3x ≥所以不等式的最小整数解为3∵【点睛】本题属于基础题，熟练的掌握解不等式的方法步骤即可．7．不等式3224x x <-的最大整数解为_________．【答案】3【分析】先求出不等式的解集，再找最大的整数解即可．【详解】解：3224x x <-722x <，227x <， ∵不等式的最大整数解为3，故答案为：3．【点睛】本题考查解不等式及不等式的整数解，解题的关键是求出不等式的解集．8．已知非负实数x y 、、z 满足123234x y z ---==，记23M x y z =++．则M 的最大值减去最小值的差为________． 【答案】283． 【分析】 设123234x y z k ---===，将x y 、、z 用k 表示出来，由x y 、、z 均为非负实数得关于k 的不等式组，求出k 取值范围，再将23M x y z =++转化为k 的代数式，由k 的范围即可确定M 的最大值和最小值，从而即可求差．【详解】 设123234x y z k ---===， ∵21x k =+，23y k =-，43z k =+，∵0x ≥，0y ≥，0z ≥，∵210230430k k k +≥⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩， 解不等式组得1223k -≤≤， ∵23M x y z =++，∵()()()21238142343M k k k k =+++=+-+， ∵58108143k ≤+≤,即58103M ≤≤， M 的最大值为583，最小值为10， M 的最大值减去最小值的差58281033=-=，故答案为：283． 【点睛】 本题主要考查了不等式的性质的应用，解题关键是设比例式值为k ，通过已知确定k 的取值范围． 9．设[)x 表示大于x 的最小整数，如[)34=，[)1.21-=-，下列4个结论：∵[)00=；∵[)x x -的最小值是0；∵[)x x -的最大值是1； ∵存在实数x ，使[)0.5x x -=成立．其中正确的是______________．（填序号）【答案】∵∵【分析】利用题中的新定义判断即可．【详解】[0）＝1，故∵错误； [)11x x x x -≤+-=，所以[)x x -有最大值，最大值为1，无最小值，故∵错误，∵正确；如0.5x =时，[)1,[)10.50.5x x x =-=-=，故∵正确；故答案为：∵∵．【点睛】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．已知1a <-，10c -≤≤，a b c <<，则1a b c b c a c ++-----的最小值为__________，最大值为__________．【答案】1-； 2【分析】根据已知条件求得0010a b c b c a c ++<-<--<，，，化简131a b c b c a c c ++-----=--，根据10c -≤≤，解不等式组即可得到结论．【详解】∵1a <-，10c -≤≤，a b c <<，∵0010a b c b c a c ++<-<--<，，， ∵1a b c b c a c ++-----()()()1a b c c b c a =-++----+1a b c c b c a =----+-+-31c =--，∵10c -≤≤，∵330c -≤≤，∵033c ≤-≤，∵1312c -≤--≤，∵最小值为1-；最大值为2，故答案为：1-，2．【点睛】本题主要考查了整式的加减，一次不等式的运算，数轴，以及绝对值，弄清题意是解本题的关键． 11．不等式3x∵1∵7的最大整数解是_____∵【答案】x=2【解析】【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据不等式的解集求出符合的整数解即可∵【详解】3x∵1∵7∵3x∵7+1∵3x∵8∵ x∵83∵ 即不等式3x∵1∵7的最大整数解是2∵故答案为x=2【点睛】本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式，不等式的整数解的应用，解此题的关键是求出不等式的解集．12．不等式2x -1≥5的最小整数解为__________∵【答案】3【解析】解不等式2x ∵1≥5得x≥3∵所以最小整数解为3，故答案为3.13．已知x≥5的最小值为a∵x≤∵7的最大值为b ，则ab∵____∵【答案】-35【解析】根据题意求得a=5∵b=-7，所以ab 的值为-35.故答案为-35.14．一元一次不等式－x ≥2x ∵3的最大整数解是________∵【答案】∵1【解析】解不等式23x x -≥+得：1x ≤-∵∵小于或等于-1的最大整数是-1∵∵不等式23x x -≥+的最大整数解是-1.即答案为：-1.15．不等式23x ->的最大整数解是__________∵【答案】-2【解析】∵-2x >3,32x ∴<- , ∵最大整数解是-216．不等式2x 14-<的最大．．整数解是______∵ 【答案】2.【解析】214x -< ∵52x < ∵∵不等式的最大整数解是2.三、解答题17．已知a 、b 是整数，关于x 的不等式2x b a +>的最小整数解是8，关于x 的不等式3192x b a -+<的最大整数解为8．（1）求a 、b 的值；（2）若m b m b -=-，m a a m ->-，求m 的取值范围．【答案】（1）112a b =⎧⎨=⎩；（2）11m >． 【分析】 （1）根据已知条件得到a -2b 、2a+3b -19也是整数，解方程组即可得到结论；（2）根据题意得不等式组00m b a m -≥⎧⎨-<⎩，代入a 、b 的值解不等式组可得到结论． 【详解】解:（1）∵为a 、b 是整数，∵a -2b 、2a+3b -19也是整数，由x+2b ＞a 解得：x ＞a -2b ，由x -3b+19＜2a 解得：x ＜2a+3b -19， 于是，由题意可得：218231918a b a b -+=⎧⎨+--=⎩解得：112a b =⎧⎨=⎩. （2）由题意得：00m b a m -≥⎧⎨-<⎩ 即： 20110m m -≥⎧⎨-<⎩ 解得211m m ≥⎧⎨>⎩ ∵ m 的取值范围是：11m >【点睛】考查了对解一元一次不等式（组），一元一次不等式的整数解，解二元一次方程组的应用，关键是根据题意得出关于a 、 b 的方程组．18．已知关于x 、y 的方程组325233x y a x y a -=-⎧⎨+=+⎩的解满足03x y <+≤． （1）求a 的取值范围；（2）已知4a b +=，且23z a b =-，求z 的最大值．【答案】（1）112a -<≤;（2）-7 【分析】（1）先利用加减消元法解二元一次方程组,用a 表示的x 、y,根据方程组的解满足不等式03x y <+≤可得关于a 的不等式,解不等式即可．（2）根据4a b +=,得4b a =-,即可用a 表示z , 512z a =-,由（1）问a 的范围,利用等式的基本性质求出5a -12的范围,即可求出z 的范围．【详解】 解：（1）由题12x a y a =-⎧⎨=+⎩, 由03x y <+≤有0213a <+≤得112a -<≤． （2）由题4b a =-,则()234512z a a a =--=-, 由112a -<≤有2951272a -<-≤-． 所以z 的最大值为7-． 【点睛】本题考查二元一次方程组,解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法以及不等式组的解法． 19．已知关于x ，y 的二元一次方程组21310x my x ny -=⎧⎨+=⎩． （1）若该方程组的解是31x y =⎧⎨=⎩，求关于x ，y 的二元一次方程组2()()13()()10x y m x y x y n x y +--=⎧⎨++-=⎩的解． （2）若y <0，且m ≤n ，求x 的最小值．【答案】（1）21x y =⎧⎨=⎩；（2）2.2． 【分析】 （1）根据两个方程组中各项系数的对应关系可知31x y x y +=⎧⎨-=⎩，解出此方程组的解即可； （2）先分别求出m 和n 的值，再根据m n ≤可得不等式21103x x y y --≤，然后解不等式即可得结论．【详解】（1）∵二元一次方程组21310x my x ny -=⎧⎨+=⎩的解是31x y =⎧⎨=⎩，∵31x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得：21x y =⎧⎨=⎩； （2）21310x my x ny -=⎧⎨+=⎩①②， 由∵得：21x m y -=， 由∵得：103x n y-=， ∵m n ≤， ∵21103x x y y--≤， 又∵0y <，∵21103x x -≥-，解得： 2.2x ≥，故x 的最小值是2.2．【点睛】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式等知识点，熟练掌握方程组和不等式的解法是解题关键． 20．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”；数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，代数式2x -的几何意义是数轴上x 所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为()+=--x 1x 1，所以1x +的几何意义就是数轴上x 所对应的点与1-所对应的点之间的距离∵ ∵. 发现问题：代数式12x x ++-的最小值是多少？∵. 探究问题：如图，点,,A B P 分别表示的是-1,2,x ，3AB =∵∵12x x ++-的几何意义是线段PA 与PB 的长度之和∵当点P 在线段AB 上时，+=PA PB 3;当点点P 在点A 的左侧或点B 的右侧时 +>PA PB 3 ∵12x x ++-的最小值是3∵∵.解决问题： ∵.-++x 4x 2的最小值是 ；∵.利用上述思想方法解不等式：314x x ++->∵.当a 为何值时，代数式++-x a x 3的最小值是2∵【答案】∵6；∵3x <-或1x >；∵1a =-或5a =-【分析】(3)∵根据绝对值的几何意义可知，变成数轴上的点到-2的距离和到4的距离之和的最小值；∵根据题意画出相应的图形，确定出所求不等式的解集即可；∵根据原式的最小值为2，得到3左边和右边，且到3距离为2的点即可．【详解】解：(3)∵设A 表示的数为4，B 表示的数为-2，P 表示的数为x ，∵|4|x -表示数轴上的点P 到4的距离，用线段PA 表示，|2||(2)|+=--x x 表示数轴上的点P 到-2的距离，用线段PB 表示，∵|4||2|x x -++的几何意义表示为PA+PB ，当P 在线段AB 上时取得最小值为AB ，且线段AB 的长度为6，∵|4||2|x x -++的最小值为6.故答案为：6.∵设A 表示-3，B 表示1，P 表示x ，∵线段AB 的长度为4，则，|3||1|x x ++-的几何意义表示为PA+PB ，∵不等式的几何意义是PA+PB ＞AB ，∵P 不能在线段AB 上，应该在A 的左侧或者B 的右侧，即不等式的解集为3x <-或1x >．故答案为：3x <-或1x >．∵设A 表示-a ，B 表示3，P 表示x ，则线段AB 的长度为3a --，++-x a x 3的几何意义表示为PA+PB ，当P 在线段AB 上时PA+PB 取得最小值， ∵32a --=∵32a +=或32a +=-，即1a =-或5a =-；故答案为：1a =-或5a =-.【点睛】此题考查了解一元一次不等式，数轴，绝对值，以及数学常识，掌握绝对值的几何意义，学会分类讨论是解决本题的关键．21．最近，受气温变暖趋势及频繁的大风影响，全球正在进人新一轮的森林火灾高发期，3月30日西昌泸山森林突发火灾，火势迅速向四周蔓延．直接威胁马道街道办事处和西昌城区安全有关部门紧急部署，疏散附近居民．并且组织了一批救灾帐篷和食品以备居民使用．已知帐篷和食品共680件，且帐篷比食品多200件．（1）求帐篷和食品各多少件．（2）现计划租用A ，B 两种货车共16辆，一次性将物资送往灾区，已知A 种货车可装帐篷40件和食品10件，B 种货车可装帐篷20件和食品20件，请设计一下，共有几种租车方案？（3）在（2）的条件下，A 种货车每辆需运费800元，B 种货车每辆需运费720元，怎样租车才能使总运费最少？最少运费是多少元？【答案】（1）帐篷有440件，食品有240件；（2）有3种方案：A 种车分别为6，7，8辆，B 种车对应为10，9，8辆；（3）当a ＝6时，即租用A 种货车6辆，B 种货车10辆，总运费最少，最少运费是12000元【分析】（1）首先设帐篷有x 件，食品有y 件，根据已知条件可以列出方程组，解方程组即可求解；（2）设租用A种货车a辆，则租用B种货车（16-a）辆，根据已知条件可以列出不等式组，解不等式组即可求解；（3）设总费用为W元，则根据已知条件列出函数解析式W=800a+720（16-a）=80a+11520，然后利用一次函数的性质和（2）的结论即可求解．【详解】解：（1）设帐篷有x件，食品有y件．则680200x yx y，解得440240xy，答：帐篷有440件，食品有240件（2）设租用A种货车a辆，则租用B种货车（16﹣a）辆，则402016440 102016240a aa a，解得6≤a≤8．故有3种方案：A种车分别为6，7，8辆，B种车对应为10，9，8辆（3）设总费用为W元，则W＝800a+720（16﹣a）＝80a+11520，k＝80＞0，W随a的增大而减少，所以当a＝6时，即租用A种货车6辆，B种货车10辆，总运费最少，最少运费是12000元．【点睛】此题主要考查了一次函数的应用、二元一次方程的应用及一元一次不等式的应用，熟悉相关性质是解题的关键．22．已知二元一次方程x+2y=-5．当x取什么值时，y的值是大于-1的负数？【答案】当-5＜x＜-3时，y的值是大于-1的负数【分析】先用x表示y，从而得到-1＜-12x-52＜0，然后解不等式组即可．【详解】∵x+2y=-5．∵y=-12x-52，而-1＜y＜0，∵-1＜-12x-52＜0，解得-5＜x＜-3，∵当-5＜x＜-3时，y的值是大于-1的负数．【点睛】本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤．23．若2a+b=12，其中a≥0，b≥0，又P=3a+2b．试确定P的最小值和最大值．【答案】当a=0时，P有最大值，最大值为p=24;当a=6时，P有最小值，最小值为P=18．【分析】由2a+b=12，其中a≥0，b≥0，可知0≤a≤6，由2a+b=12得；b=12-2a，然后代入P=3a+2b得；p=24-a，最后根据a的范围即可求得p的范围．【详解】∵2a+b=12，a≥0，b≥0，∵2a≤12．∵a≤6．∵0≤a≤6．由2a+b=12得；b=12﹣2a，将b=12﹣2a代入P=3a+2b得：p=3a+2（12﹣2a）=24﹣a．当a=0时，P有最大值，最大值为p=24．当a=6时，P有最小值，最小值为P=18．【点睛】本题主要考查的解一元一次不等式和整式的加减，由已知条件确定出a的范围以及得出p=24-a是解题的关键．。
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倒计时：六十九！
等是不等的边界！
1.不等关系 了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式的实际背景。 2.一元二次不等式 （1）会从实际情景中抽象出一元二次不等式模型， （2）通过函数图像了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的联系， （3）会解一元二次不等式。 3.基本不等式 （1）了解基本不等式的证明过程及使用条件， （2）会用基本不等式解决简单的最值问题。
行有不得，反求诸己。
考纲解读
1.不等式的考查难度以中档题为主，题型以选填为主， 2.不等式的解法主要以一元二次不等式为主，兼顾其它（如 分式不等式，绝对值不等式，指对数不等式，与分段函数有 关的不等式等）， 3.基本不等式的主要作用是求最值，一般不能求范围。 4.不等式恒成立问题也应重视。
一、常见不等式及其应用
有关分式的性质
2.一元二次不等式恒成立的条件
ax2+bx+c>0恒成立的条件是 (
) 小于0恒成立（
）
3 .解含参数的一元二次不等式思路一般为:
若二次项系数为常数,可先考虑分解因式,再根据两根的大小对参数进行讨论;若 不易分解因式,则可对判别式进行讨论;
若二次项系数为参数,应先讨论二次项系数为零,及不为零时的正负情况.
和积互化
在ABC 中，A ，a 2,
3 (1)求周长的最大值； (2)求面积的最大值。
a2 b2 c2 2bc cos A, (1)4 b2 c2 bc (b c)2 3bc (b c)2 ;
4 (2)4 b2 c2 bc bc
本节课内容结束，感谢大家的聆听！
B
(3,2) (3,)
（0,8）
(1,9)
(, 1) 3
a2
真题演练
主参互换
令g(a) (x 2)a (x2 4x 4)，只需
gg((11))00可得x x2源自25x 3x6 2
0 0
得x 1或x 3
三、基本不等式
m<-1或m>4 2 22
2
1.和定积最大，积定和最小。 2.注意配凑积或和的定值。
若a b 0, m 0,则 b b m ; b b m (a m 0)； a am a am
如何证明？形式有何特点？
b b m (ba bm) (ab am) m(a b)
a am
a(a m)
a(a m)
试比较
2 与1 310 -1 39
的大小, log5
3与log 5
2
D B B
1 x 3
2
4
比较大小的方法 1.作差（作商）法。 2.介值法。 3.特殊值法。 4.函数单调性法。
作差（作商）是最基本的方法！
C C
抽象函数不等式
(0,2)
C
分段函数不等式
D
A
二、一元二次不等式
1. 三个二次的关系
二次函数的零点对应一元二次方程的根，对应一元二次不等式的临界点。
2
3 的大小。 2
指对不等式
1，掌握指对的运算特点，同底的对数指数才可以运算，所以常 见思路是化为同底来处理； 2，解决指对不等式问题时，注意底数的范围，判断函数的单调 性。 3，指数永远大于 0；对数的真数永远要大于 0； 对数 ，a，x 范围相同时为正，范围不同时为负。
4.解不等式：log 1 (2x 1) 1