运用公式法因式分解
因式分解——运用公式法
因式分解——运用公式法因式分解是一种将多项式表达式表示为若干个更简单的乘积形式的方法。
这种分解有许多不同的方法，其中之一是公式法。
公式法是一种将多项式分解为两个不可约的因子的方法，其中一个因子为公因式，另一个则为多项式的剩余因子。
本文将详细介绍使用公式法进行因式分解的步骤和技巧。
首先，我们需要明确所给多项式的形式，并找出其中的特征和模式。
一般来说，多项式可以表达为如下形式之一：$ax^2 + bx + c$，$ax^3 + bx^2 + cx + d$，或者其它类似形式。
接下来，我们需要寻找多项式的因子。
寻找因子的方法主要有以下几种：1.公因式法：如果多项式的各项都有一个或多个公因子，那么我们可以先将这些公因子提取出来，然后再对剩余的部分进行进一步的分解。
例如，对于多项式$2x^2+4x$，我们可以先提取出公因子2，得到$2(x^2+2x)$，然后再对括号中的部分进行分解。
2.模式法：有些多项式具有特定的模式，我们可以利用这些模式进行因式分解。
例如，多项式$x^2-y^2$具有差平方模式，我们可以将其分解为$(x+y)(x-y)$。
3.公式法：一些多项式可以通过特定的公式直接进行因式分解。
例如，二次三项式可以使用二次公式进行因式分解，三次三项式可以使用三次公式进行因式分解。
下面以一些例子来进一步说明公式法的具体步骤和技巧。
例子1：分解多项式$a^2-b^2$。
这个多项式具有差平方模式，我们可以根据差平方公式进行分解。
差平方公式表示为$(a+b)(a-b)$，其中$a$是一个数，$b$是一个数。
将这个公式应用于我们的多项式，我们可以得到$(a+b)(a-b)$。
所以，多项式$a^2-b^2$可以分解为$(a+b)(a-b)$。
例子2：分解多项式$4x^2-9y^2$。
这个多项式还是具有差平方模式，我们可以将其分解为$(2x)^2-(3y)^2$，再根据差平方公式进行因式分解。
根据差平方公式，我们可以将其分解为$(2x+3y)(2x-3y)$。
因式分解的数学方法
因式分解的数学方法因式分解的数学方法要想能在综合性较强的几何题目中能灵活应用，就必须要熟记啦。
因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法。
店铺为大家整理了数学公式：因式分解的方法，方便大家查阅。
一、换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。
注意:换元后勿忘还元.【例】在分解(x^2+x+1)(x^2+x+2)-12时，可以令y=x^2+x,则原式=(y+1)(y+2)-12=y^2+3y+2-12=y^2+3y-10=(y+5)(y-2)=(x^2+x+5)(x^2+x-2)=(x^2+x+5)(x+2)(x-1).二、运用公式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫运用公式法。
① 平方差公式：a-b=(a+b)(a-b);② 完全平方公式：a±2ab+b=(a±b) ;注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。
③ 立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a-ab+b);④ 立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a+ab+b);⑤ 完全立方公式：a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3.【例】a+4ab+4b =(a+2b)三、分组分解法把一个多项式适当分组后，再进行分解因式的方法叫做分组分解法。
用分组分解法时，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此选择合理选择分组的方法，即分组后，可以直接提公因式或运用公式。
【例】m+5n-mn-5m=m-5m-mn+5n = (m-5m)+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n).四、拆项、补项法这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项)，使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。
因式分解运用公式法
第六节 因式分解（二）运用式法【细心听讲】1．运用公式法：如果把科法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。
2．乘法公式逆变形（1）平方差公式：))((22b a b a b a -+=-（2）完全平方公式：222222)(2,)(2b a b ab a b a b ab a -=+-+=++ 3．把一个多项式分解因式，一般可按下列步骤进行： （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）如果多项式没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解； （3）如果上述方法不能分解，那么可以尝试用。
【大家一起学】例1．把下列各式分解因式： （1）224b a - （2）11622-y x （3）22481916b a +-（4）2916a - （5）36122+-m m （6）2241y xy x +-（7）222y xy x -+-（8）224649b ab a ++例2．把下列多项式分解因式：（1）222224)(b a b a -+（2）502022+-x x（3）424255b m a m - （4）222231212m n m n m +-例3．分解因式（1）9)(6)(222+-+-x x x x （2）22)3()2(--+y x（3）22)2(25)1(16+--x x （4）)()(2x y b y x a -+-（5）)(12)(9422n m m n m m ++++ （6）)()(422m n b n m a -+-例4．已知2=+b a ，利用分解因式，求代数式222121b ab a ++。
例5．已知7,1-==+xy y x ，利用分解因式，求代数式222y xy x +-的值。
例6．已知0136422=+--+b a b a ，求b a +。
例7．利用分解因式计算： （1）433.1922.122⨯-⨯ （2）2298196202202+⨯+【大家一起练】1．分解因式=-x x 2. 2．分解因式=-2225y x 。
用公式法分解因式
用公式法分解因式分解因式是将一个多项式表达式分解为一系列较简单的因式相乘的形式。
常用的方法有公因式法、提取公因式法、分组分解法、差平方公式、三项完全平方公式等。
一、公因式法公因式法也称为提取公因式法，是最常见且最基本的分解因式方法。
它的基本思想是找出多个单项式的公因式，并将其提取出来，使原表达式能够分解为较简单的形式。
例如，对于一个多项式表达式：6x+15y，可以提取公因式3，得到3(2x+5y)。
二、提取公因式法提取公因式法是公因式法的一种特殊情况，适用于一个多项式中的每一项都存在相同的公因式。
例如，对于一个多项式表达式：2x^2-10x，可以提取公因式2x，得到2x(x-5)。
三、分组分解法分组分解法适用于多项式中存在分组的情况，通过合理的分组可以将多项式分解为两个或多个因式相乘的形式。
例如，对于一个多项式表达式：2x^3+6x^2-3x-9，可以将其进行分组，得到(2x^3+6x^2)-(3x+9)，再进行提取公因式操作，得到2x^2(x+3)-3(x+3)，最后得到(x+3)(2x^2-3)。
四、差平方公式与三项完全平方公式差平方公式和三项完全平方公式是两种特殊的分解因式方法。
差平方公式适用于一个二次多项式的形式为a^2-b^2，可以分解为(a+b)(a-b)。
例如，对于一个二次多项式表达式：x^2-16，可以通过差平方公式将其分解为(x+4)(x-4)。
三项完全平方公式适用于一个多项式的形式为a^2 + 2ab + b^2，可以分解为(a + b)^2例如，对于一个多项式表达式：x^2+4x+4，可以通过三项完全平方公式将其分解为(x+2)^2以上仅简单列举了几种常见的分解因式方法，还有其他更复杂的方法适用于特殊的分解因式问题。
在实际应用中，根据具体情况选取合适的方法，可以更有效地进行因式分解。
同时，通过熟练掌握这些方法，可以在解决问题时提高计算的效率，减少出错的可能性。
用公式法进行因式分解“五技巧”
用公式法进行因式分解“五技巧”运用公式法分解因式是一种重要的方法，为帮助大家尽快掌握该方法，下面以基本习题为例，分类说明使用公式法分解因式的几点技巧.一、直接运用公式例1 分解因式：（1）()224n m m +-；（2）4)(4)(2++++y x y x . 分析：把m 2、)(n m +、()y x +作为一个整体处理，直接运用公式分解． 解：（1）原式=()[]()[]n m m n m m +-++22=()()n m n m -+3（2）原式=()22++y x 二、排序后用公式例2 分解因式：（1）2216y x +-； （2）222y x xy ---.分析：初看这二个多项式都不符合公式的特征，但只要重新排序后，就可以直接运用公式分解．解：（1）原式=2216x y -=()()x y x y 44-+（2）原式=222)()2(y x y xy x +-=++-三、指数变换后用公式例3 分解因式：（1）14-x ；（2）4241a a ++. 分析：表面上看不是平方差公式、完全平方公式的形式，但对指数变形后就可以转化为公式形式，进而应用公式直接分解．解：（1）原式=)1)(1)(1()1)(1(1)(22222-++=-+=-x x x x x x（2）原式=()222221212⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⨯+a a =2221⎪⎭⎫ ⎝⎛+a 四、系数变换后用公式例4 分解因式：（1）224169y x -； （2）2)(9)(124y x y x -+--.分析：将系数写成平方的形式，使之符合公式的特征，为运用公式创造条件． 解：（1）原式=)213)(213()2()13(22y x y x y x -+=-；（2）原式=2222)332()](32[)](3[)(3222y x y x y x y x +-=--=-+-⨯⨯-.五、去括号后用公式例5 分解因式： 1)3)(1(+++x x .分析：显然题目既没有公因式可提，也不能运用公式分解，可先把)3)(1(++x x 展开后再解题．解：原式=222)2(44134+=++=+++x x x x x .。
公式法进行因式分解
公式法进行因式分解公式法是一种常用于因式分解的方法。
它通过利用特定公式对给定的表达式进行变形，从而找到其因式分解形式。
公式法涉及的公式主要有"二次差平方公式"、"三角恒等式"、"立方差公式"等等。
下面将详细介绍这些公式及如何应用它们进行因式分解。
一、二次差平方公式：二次差平方公式是因式分解中经常使用的一种公式，它可以将二次多项式分解成两个一次多项式的乘积。
该公式的形式为：a^2-b^2=(a+b)(a-b)例如，给定一个二次多项式x^2-4，我们可以将其因式分解为：x^2-4=(x+2)(x-2)二、三角恒等式：三角恒等式也是一种常用的公式法，它适用于因式分解中出现三角函数的情况。
例如，当出现sin^2(x)时，我们可以利用三角恒等式将其转化为更容易处理的形式。
常用的三角恒等式有：1.三角平方和公式：sin^2(x) + cos^2(x) = 1tan^2(x) + 1 = sec^2(x)cot^2(x) + 1 = csc^2(x)2.三角和差公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinBcos(A ± B) = cos AcosB ∓ sinAsinBtan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)例如，考虑一个包含sin^2(x)的表达式sin^2(x) - 1，我们可以通过应用三角平方和公式将其因式分解为：sin^2(x) - 1 = (sin(x) + 1)(sin(x) - 1)三、立方差公式：立方差公式适用于因式分解中出现立方的情况，它可以将两个立方数的差分解为一次多项式乘以二次多项式。
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)例如，给定一个立方差表达式x^3-1，我们可以利用立方差公式将其因式分解为：x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)除了上述列举的公式，还有很多其他的公式可以用于因式分解，如求和公式、差积公式、分式分解公式等。
因式分解的9种方法
1. 提取公因式：这种方法比较常规、简单，必须掌握。
常用的公式：完全平方公式、平方差公式例一：0322=-x x解：x(2x-3)=0， x1=0,x2=3/2这是一类利用因式分解的方程。
总结：要发现一个规律：当一个方程有一个解x=a 时，该式分解后必有一个(x-a)因式,这对我们后面的学习有帮助。
2. 公式法常用的公式：完全平方公式、平方差公式。
注意：使用公式法前，部分题目先提取公因式。
例二：42-x 分解因式分析：此题较为简单，可以看出4=2 2，适用平方差公式a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) 2解：原式=(x+2)(x-2)3. 十字相乘法是做竞赛题的基本方法，做平时的题目掌握了这个也会很轻松。
注意：它不难。
这种方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数a1,a2的积a1•a2，把常数项c 分解成两个因数c1,c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b ，那么可以直接写成结果例三： 把3722+-x x 分解因式.分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.分解二次项系数(只取正因数)： 2＝1×2＝2×1；分解常数项： 3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).用画十字交叉线方法表示下列四种情况：经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.解 原式=(x-3)(2x-1).总结：对于二次三项式ax^2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c 可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：a1 c1╳a2 c2a1c2+a2c1按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c 的一次项系数b ，即a 1c2+a2c1=b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).这种方法要多实验，多做，多练。
《运用公式法分解因式》
《运用公式法分解因式》分解因式是一个求解多项式的过程，通过将多项式化简为乘积的形式，可以更加方便地进行计算和研究。
运用公式法分解因式是其中一种常用的方法，适用于特定类型的多项式。
公式法是基于代数公式进行因式分解的一种方法。
在这种方法中，我们使用一些常见的代数公式来分解因式。
下面将介绍几种常用的公式以及它们的运用方式。
1.平方差公式：平方差公式是指两个平方数之差的公式。
具体表达式为：a²-b²=(a+b)(a-b)。
这个公式可以用来分解差的平方的因式。
例如，要将多项式x²-4分解因式，可以运用平方差公式：x²-4=(x+2)(x-2)。
2.完全平方公式：完全平方公式是指一个二次多项式的平方是由一或两个二次项的和组成的。
具体表达式为：a² + 2ab + b² = (a + b)²。
这个公式常常用来分解完全平方的因式。
例如，要将多项式x² + 4x + 4分解因式，可以运用完全平方公式：x²+4x+4=(x+2)²。
3.因式分解公式：因式分解公式是将多项式分解为一系列二次因式的公式。
具体表达式为：ax² + bx + c = (px + q)(rx + s)。
其中，p、q、r、s是常数，通过将多项式的系数与这些常数进行匹配，就可以分解因式。
例如，要将多项式2x² + 7x + 3分解因式，可以运用因式分解公式：2x²+7x+3=(2x+1)(x+3)。
除了上述的公式，还有一些其他的公式也可用于因式分解，例如差的立方公式、和的立方公式、四项同乘公式等等。
运用这些公式，我们可以将复杂的多项式分解为简单的因式，从而更加方便地进行计算和分析。
除了公式法，还有其他的方法可以用于分解因式，例如公因式提取法、因式分解法等等。
不同的方法适用于不同类型的多项式，我们需要根据具体的问题选择最合适的方法。
因式分解常用的六种方法详解
因式分解常用的六种方法详解因式分解常用的六种方法详解因式分解是代数式变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学中，并成为解决许多数学问题的有力工具。
因式分解方法灵活，技巧性强，研究这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。
本文将介绍因式分解的方法、技巧和应用。
1.运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：1) $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$；2) $a^2±2ab+b^2=(a±b)^2$；3) $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$；4) $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$。
下面再补充几个常用的公式：5) $a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2$；6) $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$；7) $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+…+ab^{n-2}+b^{n-1})$，其中$n$为正整数；8) $a^n-b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-…+ab^{n-2}-b^{n-1})$，其中$n$为偶数；9) $a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-…-ab^{n-2}+b^{n-1})$，其中$n$为奇数。
在运用公式法分解因式时，需要根据多项式的特点，正确恰当地选择公式，考虑字母、系数、指数、符号等因素。
例如，分解因式：1) $-2x^{5n-1}y^n+4x^{3n-1}y^n+2-2x^{n-1}y^n+4$原式=$-2x^{n-1}y^n(x^{4n-2}-2x^{2n}y^2+y^4)$2x^{n-1}y^n[(x^{2n})^2-2x^{2n}y^2+(y^2)^2]$2x^{n-1}y^n(x^{2n}-y^2)^2$2x^{n-1}y^n(x^n-y)^2(x^n+y)^2$。
运用公式法进行因式分解
运用公式法进行因式分解【知识精读】把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。
主要有：平方差公式a b a b a b 22-=+-()() 完全平方公式a ab b a b 2222±+=±() 立方和、立方差公式 a b a b a ab b 3322±=±⋅+()()补充：欧拉公式：a b c abc a b c a b c ab bc ca 3332223++-=++++---()()=++-+-+-12222()[()()()]a b c a b b c c a 特别地：（1）当a b c ++=0时，有a b c abc 3333++=（2）当c =0时，欧拉公式变为两数立方和公式。
运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。
但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。
用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。
因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。
下面我们就来学习用公式法进行因式分解【分类解析】1. 把a a b b 2222+--分解因式的结果是（ ）A. ()()()a b a b -++22B. ()()a b a b -++2C. ()()a b a b -++2D. ()()a b b a 2222-- 分析：a a b b a a b b a b 22222222212111+--=++---=+-+()()。
再利用平方差公式进行分解，最后得到()()a b a b -++2，故选择B 。
说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。
同时要注意分解一定要彻底。
2. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用 例：已知多项式232x x m -+有一个因式是21x +，求m 的值。
分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出m 的值。
因式分解——运用公式法
因式分解——运用公式法因式分解是将一个多项式化简成一系列乘积的过程。
通常有两种方法用于进行因式分解：公式法和分组法。
公式法可以概括为以下几种常用的因式分解公式：1.a²-b²=(a+b)(a-b)这是平方差公式，用于因式分解差的平方。
例如，我们可以将x²-4分解为(x+2)(x-2)。
2. a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)这是立方和公式，用于因式分解和的立方。
例如，我们可以将x³+8分解为(x+2)(x²-2x+4)。
3. a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)这是立方差公式，用于因式分解差的立方。
例如，我们可以将x³-8分解为(x-2)(x²+2x+4)。
4. a⁴ + b⁴ = (a² + √2ab + b²)(a² - √2ab + b²)这是四次和公式，用于因式分解和的四次方。
例如，我们可以将x⁴+16分解为(x²+4√2x+4)(x²-4√2x+4)。
5. a⁴ - b⁴ = (a² - √2ab + b²)(a² + √2ab + b²)这是四次差公式，用于因式分解差的四次方。
例如，我们可以将x⁴-16分解为(x²-4√2x+4)(x²+4√2x+4)。
除了以上这些常用的因式分解公式外，还有一些其他形式的因式分解公式，以及一些特殊的因式分解技巧。
例如，对于一个二次方程式ax² + bx + c，我们可以使用求根公式x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a 来因式分解。
根据求根公式，我们可以将二次方程ax² + bx + c 分解为两个因式的乘积 (x - x₁)(x - x₂)，其中 x₁和 x₂是由求根公式得到的两个根。
因式分解的常用方法(7种)
因式分解的常用方法(7种）把一个多项式化成几个整式积的形式这种变形叫做把这个多项式因式分解（或分解因式） 因式分解X 2-1 (X+1)(X-1)整式乘法一、提公因式法.：ma+mb+mc = m(a+b+c)如何找公因式？（1）取各项系数的最大公约数；（2）取各项都含有的相同字母；（3）取相同字母的最低次幂．二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1） (a+b)(a-b) = a 2-b 2(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) = a 3-a 2b+ab 2+a 2b-ab 2+b 3= a 3+b 3 (4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3+a 2b+ab 2-a 2b-ab 2-b 3= a 3-b3 下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ac=a 2+2ab+b 2+2ac+2bc+c 2=(a+b) 2+2(a+b)c +c 2=[(a+b)+c]2=(a+b+c)2； (6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a 3+ab 2+ac 2-a 2b-abc-ca 2)+(a 2b+b 3+bc 2-ab 2-b 2c-abc)+(a 2c+b 2c+c 3-abc-bc 2-c 2a) =(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；例.已知a bc ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是（ ） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
因式分解公式法
因 式 分 解类型二、公式法1、利用平方差公式因式分解：()()b a b a b a -+=-22 注意：①条件：两个二次幂的差的形式；②平方差公式中的a 、b 可以表示一个数、一个单项式或一个多项式；③在用公式前，应将要分解的多项式表示成22b a -的形式，并弄清a 、b 分别表示什么。
例如：分解因式：（1）291x -； （2）221694b a -； （3）22)(4)(n m n m --+2、利用完全平方公式因式分解：()2222b a b ab a ±=+± 注意：①是关于某个字母（或式子）的二次三项式；②其首尾两项是两个符号相同的平方形式；③中间项恰是这两数乘积的2倍（或乘积2倍的相反数）；④使用前应根据题目结构特点，按“先两头，后中间”的步骤，把二次三项式整理成 222)(2b a b ab a ±=+±公式原型，弄清a 、b 分别表示的量。
例如：分解因式：（1）2961x x +-； ⑵ 36)(12)(2+---n m n m 1682++x x典型例题：例1 用平方差公式分解因式：（1）22)(9y x x -+-； （2）22331n m - 说明 因式分解中，多项式的第一项的符号一般不能为负；分数系数一般化为整系数。
例2 分解因式：（1）ab b a -5；（2）)()(44n m b n m a +-+. 说明 将公式法与提公因式法有机结合起来，先提公因式，再运用公式.例3 判断下列各式能否用完全平方公式分解因式，为什么？（1）962+-a a ； （2）982+-x x ； （3）91242--x x ； （4）223612y x xy ++-. 说明 可否用公式，就要看所给多项式是否具备公式的特点.例4 把下列各式分解因式：⑴ 442-+-x x ； ⑵ 22914942y x xy -- ⑶ mn n m 4422+-- 说明：在使用完全平方公式时，要保证平方项前的符号为正，当平方项前的符号是负号 时，先提出负号.例5 分解因式：⑴ 22363ay axy ax ++. ⑵ 22222)(624b a b a +-说明 ⑴分解因式时，首先考虑有无公因式可提，当有公因式时，先提再分解. ⑵分解因式必须进行彻底，直至每个因式都不能再分解为止.例6 分解因式：⑴ 22)(9))(2(6)2(n m n m m n n m +++---；⑵ 4224168b b a a +-；⑶ 1)2(2)2(222++++m m m m . ⑷ 63244914b b a a +-⑸ 1)2(6)2(92+---b a b a说明 在运用完全平方公式的过程中，再次体现换元思想的应用，可见换元思想是重 要而且常用思想方法，要真正理解，学会运用.例7 若25)4(22+++x a x 是完全平方式，求a 的值. 说明 根据完全平方公式特点求待定系数a ，熟练公式中的“a 、b ”便可自如求解.例8 已知2=+b a ，求222121b ab a ++的值. 说明 将所求的代数式变形，使之成为b a +的表达式，然后整体代入求值.例9 已知1=-y x ，2=xy ，求32232xy y x y x +-的值. 说明 这类问题一般不适合通过解出x 、y 的值来代入计算，巧妙的方法是先对所求的代数式进行因式分解，使之转化为关于xy 与y x -的式子，再整体代入求值.例10 证明：四个连续自然数的积加1，一定是一个完全平方数.说明 可用字母表示出四个连续自然数，通过因式分解说明结果是完全平方数.例11 已知x 和y 满足方程组⎩⎨⎧=-=+346423y x y x ，求代数式2249y x -的值。
因式分解运用公式法(平方差公式)
例5、说明993-99能被100整除
解：∵993-99 =99(992-1) =99(99+1)(99-1) =99×100×98 ∴993-99能被100整除
本节课小结
本节课我们学习了因式分解的第二
=5050
=100+99+98+97+…+2+1
1 1 1 (3)(1 2 )(1 2 )(1 2 ) 2 3 4
1 1 1 1 1 1 解：原式 (1 )(1 )(1 )(1 )(1 )(1 2 2 3 3 4 4)
1 1 1 2 1 1 2 分析： 1 - 2 1 - 1 - ( ) (1 - )(1 ) 4 2 2 2 2
例3、把下列各式分解因式： (1)x5-x3 解：x5-x3 =x3(x2-1) =x3(x+1)(x-1) (2)x4-y4 解：x4-y4=(x2)2-(y2)2 =(x2+y2)(x2-y2) =(x2+y2)(x+y)(x-y)
注意
多项式有公因式时应该先提取公因
式 因式分解时应分解到每个因式都不 能再分解为止
回忆 一、什么是因式分解？ 二、我们已经学习了哪种因式分解 的方法？ 三、乘法公式： 1、平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2
2、完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
四、整式乘法和因式分解的关系？
因式分解公式：
1、平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)
因式分解的七种常见方法
因式分解的七种常见方法因式分解是代数学中非常重要的一个基本概念，可以帮我们优化计算过程，得到简化的式子。
在因式分解的过程中，需要运用不同的方法来将一个给定的式子分解为若干个简单的乘积，本文将会介绍七种常见的因式分解方法。
1. 公式法公式法是一种较为常见的因式分解方法，它可以应用于一些特定的式子。
公式法常用的公式有两个：（1）$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$该公式被称为"a二次减b二次"公式。
它告诉我们，一个平方数减另一个平方数的结果可以表示为两个因子的乘积，并分别是它们的和与差。
例如：$16-9=7\times5=(4+3)\times(4-3)$（2）$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$该公式被称为"a立方加b立方"公式。
它告诉我们一个立方数加另一个立方数的结果可以表示为两个因子的乘积，并分别是它们的和与差减去它们的积。
例如：$8^3+1^3=513=(8+1)\times(8^2-8+1)$2. 提公因式法提公因式法是一种常用的因式分解方法。
它的主要思想是将式子中的公因式先提出来，再对剩下的部分进行因式分解。
例如：$ax^2+bx=a(x^2+\frac{b}{a}x)$在上述式子中，$a$是公因式，$(x^2+\frac{b}{a}x)$是剩余部分的因式分解。
这样我们就把原始式子分解成了两个因子的乘积。
3. 十字相乘法十字相乘法主要用于二次三项式的因式分解。
该方法基于以下思想：将二次三项式分解为两个一次三项式的乘积，其中每个一次三项式的首项系数积等于原始式子的二次项系数，常数项积等于原始式子的常数项。
例如：$ax^2+bx+c$，首先将它分解为两个一次三项式$(px+q)(rx+s)$，然后进行十字相乘运算$(px+q)(rx+s)=px\times rx+px\times s+qrx+qs$，其中最后两项括号里的$c$是常数项。
12.5.2运用公式法因式分解
用完全平方公式因式分解
(1)m2 2nm n2；（2）1 a a2 4
(3) 4x2 4xy y2；（4）1 9a2 6a (5)(a b)2 4ab；（6） 25y2 20xy 4x2
(7)(a b)2 2(a b) 1
复习： 一、因式分解的定义：
1、 3xy3z 6x2 y2
2、 把 2a(b-c) -3(b-c)分解因式.
二、提公因式的方法：①看系数，找系数 的最大公约数 ②看字母，找所有项的相同字母 ③看指数，找相同字母的最小指数
三、整式的乘法与因式分解有什么关系？
平方差公式 与完全平方公式 1、平方差公式： (a b)(a b) a2 b2
号提出来，或者交换加数 的位置。 （2）有公因式要先提公 因式。 （3看看可不可以运用平 方差公式法 （4）观察结果，看还可 不可以分解。
14x2 64
2 1 b2 9a2
9
325a3 49a 4(2a 3b)2 (3a 2b)2 5a4 81 63x4 y(a b) 27x2 y3(a b)
本节课开始的速算题你现在会做吗？
（1） 20082 4016 2007 20072
解：原式 2008 2 2 2008 2007 2007 2
1 （2008 2007）2
（2） 20082 20072
解：原式 （2008 2007）(2008 2007)
a2-b2=(a+b)(a-b) 四、因式分解的步骤：①首项有“-”，把“-” 提出来 ②有公因式先提，③使用平方差公 式因式分解④检查最后结果是否分解完全。
运用公式法分解因式
运用公式法分解因式一、直接用公式:当所给的多项式是平方差或完全平方式时，可以直接利用公式法分解因式。
分解因式：（1）x 2-9； （2）9x 2-6x+1。
二、提公因式后用公式:当所给的多项式中有公因式时，一般要先提公因式，然后再看是否能利用公式法。
分解因式：（1）x 5y 3-x 3y 5； （2）4x 3y+4x 2y 2+xy 3。
三、系数变换后用公式:当所给的多项式不能直接利用公式法分解因式,往往需要调整系数,转换为符合公式的形式,然后再利用公式法分解.3、 分解因式：(1)4x 2-25y 2; (2)4x 2-12xy 2+9y 4.四、指数变换后用公式:通过指数的变换将多项式转换为平方差或完全平方式的形式,然后利公式法分解因式,应注意分解到每个因式都不能再分解为止.分解因式:(1)x 4-81y 4; (2)16x 4-72x 2y 2+81y 4.五、重新排列后用公式:当所给的多项式不能直接看出是否可用公式法分解时，可以将所给多项式交换位置，重新排列，然后再利用公式。
分解因式：（1）-x 2+(2x-3)2; (2)(x+y)2+4-4(x+y).六、整理后用公式:当所给的多项式不能直接利用公式法分解时，可以先将其中的项去括号整理，然后再利用公式法分解。
6 、分解因式： (x-y)2-4(x-y-1).七、连续用公式:当一次利用公式分解后，还能利用公式再继续分解时，则需要用公式法再进行分解，到每个因式都不能再分解为止。
分解因式：(x 2+4)2-16x 2.选择题1、代数式x 4－81,x 2－9,x 2－6x ＋9的公因式为（ ） A 、x +3 B 、（x +3）2 C 、x －3 D 、x 2+92、若9x 2－m x y ＋16y 2是一个完全平方式，则m=（ ） A 、12 B 、24 C 、±12 D 、±243、若－b ax x -+221分解成)7)(4(21+--x x ，则a 、b 的值为（ ） A 、3或28 B 、3和－28 C 、－23和14 D 、－23和－14 4、下列变形是因式分解的是（ ）A 、x 2+x －1=（x +1）（x －1）+x ,B 、（3a 2－b 2）2=9a 4－6a 2b 2＋b 4C 、x 4－1=（x 2+1）（x +1）（x －1）,D 、3x 2+3x =3x 2（1+x 1） 5、若81－k x 4=（9+ 4x 2）（3+2x ）（3－2x ）,则k 的值为（ ） A 、1 B 、4 C 、8 D 、166、下列多项式不能用完全平方公式分解的是（ ）A 、91a 2+32ab ＋b 2B 、a 2－6a ＋36C 、－4x 2+12x y －9y 2D 、x 2+x ＋41 7、在有理数范围内把y 9－y 分解因式，设结果中因式的个数为n,则n=（ ）， A 、3， B 、4 C 、5 D 、68、下列多项式不含因式a+b 的是（ ） A 、a 2－2ab ＋b 2 B 、a 2－b 2 C 、a 2+b 2 D 、（a+b ）49、下列分解因式错误的是（ ）A 、4x 2－12x y+9y 2=（2x +3y ）2,B 、3x 2y+6x y 2+3y 3=3y （x 2+2x y+y 2）=3y （x +y ）2C 、5x 2－125y 4=5（x －y 2）（x +y 2）D 、－81x 2+y 2=－（9x －y ）（9x +y ）10、下列分解因式正确的是（ ）A 、（x －3）2－y 2=x 2－6x +9－y 2,B 、a 2－9b 2=（a+9b ）（a －9b ）C 、4x 6－1=（2x 3+1）（2x 3－1）,D 、2x y －x 2－y 2=（x －y ）填空题11、已知：x 2－6x +k 可分解为只关于x －3的因式，则k 的值为 。
因式分解运用公式法全面版
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2－2ab+b2=(a－b)2 请看第一题中第4题能否往下做？
x4－y4=x2（x2－y2）=x2(x+y)(x-y)
四、试试看,把下列多项式分解因式 1、25-16x2= (5+4x)(5-4x) 2、9a2-0.25b2= (3a+0.5b)(3a-0.5b) 3、－m2+0.01n2= 0.01n2-m2 =(0.1n+m)(0.1n-m) 4、x2+14x+49= (x+7)2 5、y2-16y+64= (y-8)2 6、4a2-12ab+9b2= (2a-3b)2 7、25x2y2+10xy+1= (5xy+1)2
谢谢指导
只要我们坚持了，就没有克服不了的困难。或许，为了将来，为了自己的发展，我们会把一件事情想得非常透彻，对自己越来越严，要求越来越高，对任何机会都不曾错过，其 目的也只不过是不让自己随时陷入逆境与失去那种面对困难不曾屈服的精神。但有时，“千里之行，始于足下。”我们更需要用时间持久的用心去做一件事情，让自己其中那小 小的浅浅的进步，来击破打破突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域，强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走，向前看，向前进。所有的未来，都是靠脚步去 丈量。没有走，怎么知道，不可能；没有去努力，又怎么知道不能实现？幸福都是奋斗出来的。那不如，生活中、工作中，就让这“幸福都是奋斗出来的”完完全全彻彻底底的 渗入我们的心灵，着心、心平气和的去体验、去察觉这一种灵魂深处的安详，侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏。但，这种聆听，它绝不是仅限于、执着于 “我”，而是观察一种生命状态能够扩展和超脱到什么程度，也就是那“幸福都是奋斗出来的”深处又会是如何？生命不止，奋斗不息！又或者，对于很多优秀的人来说，我们 奋斗了一辈子，拼搏了一辈子，也只是人家的起点。可是，这微不足道的进步，对于我们来说，却是幸福的，也是知足的，因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么，隐隐约 约的感觉到自己的人生正把握在自己手中，并且这一切还是通过我们自己勤勤恳恳努力，去积极争取的!“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。”当我们坦然接受这人生的终局， 或许，这无所皈依的心灵就有了归宿，这生命中觅寻处那真正的幸福、真正的清香也就从此真正的灿烂了我们的人生。一生有多少属于我们的时光？陌上的花，落了又开了，开 了又落了。无数个岁月就这样在悄无声息的时光里静静的流逝。童年的玩伴，曾经的天真，只能在梦里回味，每回梦醒时分，总是多了很多伤感。不知不觉中，走过了青春年少， 走过了人世间风风雨雨。爱过了，恨过了，哭过了，笑过了，才渐渐明白，酸甜苦辣咸才是人生的真味！生老病死是自然规律。所以，面对生活中经历的一切顺境和逆境都学会 了坦然承受，面对突然而至的灾难多了一份从容和冷静。这世上没有什么不能承受的，只要你有足够的坚强！这世上没有什么不能放下的，只要你有足够的胸襟！ 一生有多少 属于我们的时光？当你为今天的落日而感伤流泪的时候，你也将错过了明日的旭日东升；当你为过去的遗憾郁郁寡欢，患得患失的时候，你也将忽略了沿途美丽的风景，淡漠了 对未来美好生活的憧憬。没有十全十美的生活，没有一帆风顺的旅途。波平浪静的人生太乏味，抑郁忧伤的人生少欢乐，风雨过后的彩虹最绚丽，历经磨砺的生命才丰盈而深刻。 见过了各样的人生：有的轻浮，有的踏实；有的喧哗，有的落寞；有的激扬，有的低回。肉体凡胎的我们之所以苦恼或喜悦，大都是缘于生活里的际遇沉浮，走不出个人心里的 藩篱。也许我们能挺得过物质生活的匮乏，却不能抵挡住内心的种种纠结。其实幸福和欢乐大多时候是对人对事对生活的一种态度，一花一世界，一树一菩提，就是一粒小小的 沙子，也有自己精彩的乾坤。如果想到我们终有一天会灰飞烟灭，一切象风一样无影亦无踪，还去争个什么？还去抱怨什么？还要烦恼什么？未曾生我谁是我？生我之时我是谁？ 长大成人方是我，合眼朦胧又是谁？一生真的没有多少时光，何必要和生活过不去，和自己过不去呢。你在与不在，太阳每天都会照常升起；你愁与不愁，生活都将要继续。时
公式法分解因式
公式法分解因式在公式法分解因式中，我们主要使用一些基本的代数公式和恒等式，如和差公式、平方公式、完全平方公式等。
下面我将详细介绍这些公式和恒等式，并给出一些例子来说明如何使用这些公式进行因式分解。
1.和差公式：和差公式是一个重要的代数公式，用于分解两个数的和或差的平方。
(a+b)(a-b)=a^2-b^2例如，要将多项式x^2-4x+4分解因式，我们可以用和差公式将它变形为(x-2)^2、这样，多项式x^2-4x+4就被分解为(x-2)(x-2)。
2.平方公式：平方公式用于分解一个平方差的平方。
a^2-b^2=(a+b)(a-b)例如，要将多项式x^4-16分解因式，我们可以用平方公式将它变形为(x^2+4)(x^2-4)。
这样，多项式x^4-16就被分解为(x^2+4)(x+2)(x-2)。
3.完全平方公式：完全平方公式用于分解一个完全平方差的平方。
a^2 ± 2ab + b^2 = (a±b)^2例如，要将多项式x^2-6x+9分解因式，我们可以使用完全平方公式将它变形为(x-3)^2、这样，多项式x^2-6x+9就被分解为(x-3)(x-3)。
除了这些基本的公式之外，还有一些其他类型的公式也可以用于分解因式，如立方和差公式、四次和差公式等。
这些公式在具体的问题中可能会有不同的应用。
解：根据完全平方公式，我们知道x^2+6x+9可以写成(x+3)(x+3)的形式。
所以多项式x^2+6x+9的因式分解形式为(x+3)(x+3)。
解：根据平方公式，我们知道x^4-16可以写成(x^2+4)(x^2-4)的形式。
进一步变形，我们还可以将x^2-4写成(x+2)(x-2)的形式。
所以多项式x^4-16的因式分解形式为(x^2+4)(x+2)(x-2)。
解：我们知道x^3-8可以写成(x-2)(x^2+2x+4)的形式。
这里的多项式x^2+2x+4不能再进一步分解，所以多项式x^3-8的因式分解形式为(x-2)(x^2+2x+4)。
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运用公式法因式分解一、学习指导1、代数中常用的乘法公式有：平方差公式：(a+b)(a －b)＝a 2－b 2完全平方公式：(a±b)2＝a 2±2ab+b 22、因式分解的公式：将上述乘法公式反过来得到的关于因式公解的公式来分解因式的方法，主要有以下三个公式：平方差公式：a 2－b 2＝(a+b)(a －b)完全平方公式：a 2±2ab+b 2＝(a±b)23、应用公式来分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，也就是要从它们的项数系数，符号等方面掌握它们的特征。
明确公式中字母可以表示任何数，单项式或多项式。
③同时对相似的公式要避免发生混淆，只有牢记公式，才能灵活运用公式。
④运用公式法进行因式分解有一定的局限性，只有符合其公式特点的多项式才能用公式法来分解。
二、例题分析：例1：分解因式：（1）4a 2－9b 2 (2)－25a 2y 4+16b 16解：（1）4a 2－9b 2＝(2a)2－(3b)2＝(2a+3b)(2a －3b)解：（2）－25a 2y 4+16b 16＝16b 16－25a 2y 4＝(4b 8)2－(5ay 2)2＝(4b 8+5ay 2)(4b 8－5ay 2)注：要先将原式写成公式左边的形式，写成(4b 8)2－(5ay 2)2例2:分解因式：（1）36b 4x 8－9c 6y 10 （2）(x+2y)2－(x －2y)2（3）81x 8－y 8 （4）(3a+2b)2－(2a+3b)2分析：（1）题二项式有公因式9应该先提取公因式，再对剩余因式进行分解，符合平方差公式。
（2）题的两项式符合平方差公式，x+2y 和x －2y 分别为公式中的a 和b 。
（3）题也是两项式，9x 4和y 4是公式中的a 和b 。
（4）题也是两项式，3a+2b 和2a+3b 是平方差公式中的a 和b 。
解：（1）36b 4x 8－9c 6y 10＝9(4b 4x 8－c 6y 10)＝9[(2b 2x 4)2－(c 3y 5)2]＝9(2b 2x 4+c 3y 5)(2b 2x 4－c 3y 5)注：解题的第二步写成公式的左边形式一定不要丢。
（2）(x+2y)2－(x －2y)2＝[(x+2y)+(x －2y)][(x+2y)－(x －2y)] ＝(x+2y+x －2y)(x+2y －x+2y) ＝(2x)(4y)＝8xy注：此例可以用乘法公式展开，再经过合并同类项得到8xy ，由本例的分解过程可知，因式分解在某些情况下可以简化乘法与加减法的混合运算。
（3）8188y x＝(9x 4)2－(y 4)2＝(9x 4+y 4)(9x 4－y 4)＝(9x 4+y 4)[(3x 2)2－(y 2)2]＝(9x 4+y 4)[(3x 2+y 2)(3x 2－y 2)]＝(9x 4+y 4)(3x 2+y 2)(3x 2－y 2)注：第一次应用平方差公式后的第二个因式9x 4－y 4还可以再用平方差公式分解②3x 2－y 2在有理数范围内不能分解了，因为3不能化成有理数平方的形式。
（4）(3a+2b)2－(2a+3b)2＝[(3a+2b)+(2a+3b)][(3a+2b)－(2a+3b)] ＝(3a+2b+2a+3b)(3a+2b －2a －3b) ＝(5a+5b)(a －b) ＝5(a+b)(a －b)注：(5a+5b)这个因式里还有5可以再提取，应该再提取出来。
例3、分解因式： (2m －n)2－121(m+n)2 －4(m+n)2+25(m －2n)2分析：（1）题的第二项应写成[11(m+n)]2就可以用平方差公式分解，2m －n 和11(m+n)为公式中的a 和b ，（2）题中将这二项先利用加法交换律后再将每一项写成平方形式就找到公式中的a 和b 分别为5(m －2n)和2(m+n)，再应用平方差公式分解。
解：（1）(2m －n)2－121(m+n)2＝(2m －n)2－[11(m+n)]2＝[(2m －n)+11(m+n)][(2m －n)－11(m+n)] ＝(2m －n+11m+11n)(2m －n －11m －11n) ＝(13m+10n)(－9m －12n) ＝－3(13m+10n)(3m+4n)注： （－9m －12n ）这项应提取公因式－3（2）－4(m+n)2+25(m －2n)2＝25(m －2n)2－4(m+n)2＝[5(m －2n)]2－[2(m+n)]2＝[5(m －2n)+2(m+n)][5(m －2n)－2(m+n)] ＝(5m －10n+2m+2n)(5m －10n －2m －2n) ＝(7m －8n)(3m －12n) ＝3(7m －8n)(m －4n)注：利用平方差分解后的两个因式要进行整式的四则运算，并要注意运算时去括号法则的应用。
例如－2(m+n)＝－2m －2n≠－2m+2n例4.分解因式: (1)5a b －ab (2)a 4(m+n)－b 4(m+n)(3)－16111-++m m a a分析：这三道题都有公因式，应先提取公因式再应用平方差公式。
注意要分解到不能分解为止。
解：（1）a 5b －ab＝ab(a 4－1)＝ab(a 2+1)(a 2－1)＝ab(a 2+1)(a+1)(a －1)注：a 2+1在有理数范围不能分解，a 2－1可以分解。
（2）a 4(m+n)－b 4(m+n)＝(m+n)(a 4－b 4)＝(m+n)(a 2+b 2)(a 2－b 2)＝(m+n)(a 2+b 2)(a+b)(a －b)（3）－16111-++m m a a ＝－1611-m a (a 2－16)＝－1611-m a (a+4)(a －4)注：提取分数公因式－161便于后面用公式法分解。
例5、计算1.22222×9－1.33332×4分析:这是数字的计算问题，若按运算顺序一步步做很繁，我们认真观察，寻求简便算法，发现题中的两项，每一项都可以写成一个数的完全平方，再可以用平方差公式进行因式分解，这样可以使计算简化。
解：1.22222×9－1.33332×4＝(1.2222×3)2－(1.3333×2)2＝(1.2222×3+1.3333×2)(1.2222×3－1.3333×2) ＝(3.6666+2.6666)(3.6666－2.6666) ＝6.3332×1＝6.3332例6、若(248－1)可以被60和70之间的两个数整除，求这两个数。
分析：首先应分析248－1的特殊形式为平方差，由题意248－1能被两个数整除说明248－1能分解成哪两个数与其它因式的积，并将248－1进行因式分解。
并注意这两个整数的取值范围是大于60且小于70。
解：248－1＝(224)2－12＝(224+1)(224－1)＝(224+1)(212+1)(212－1)＝(224+1)(212+1)(26+1)(26－1) 26+1＝65为整数，26－1＝63为整数，224+1和212+1都为整数651248-＝(224+1)(212+1)(26－1)为整数。
631248-＝(224+1)(212+1)(26+1)也为整数。
248－1被60和70之间的两个数整除，这两个数为65和63。
说明：此题虽然题目中没有因式分解的要求，但是248－1是因式分解的平方差公式的基本形式。
将其进行等价转化，逐步地运用平方差公式，直到出现26+1的因式，26+1＝65，及出现26－1＝63。
因为23+1＝9，23－1＝8，这两个数已经不符合本题的要求了。
例9、分解因式：（1）x 2+6ax+9a 2 （2）－x 2－4y 2+4xy（3）9（a －b ）2+6（a －b ）+1分析：这题的三个小题都为三项式，又都没有公因式，可考虑是否能用公式中的完全平方公式。
（1）题的x 2＝（x ）2，9a 2＝（3a ）2，且这两项的符号相同，可写成平方和。
这样x 和3a 就为公式中的a 和b 了。
另外6ax 正好是2（x ）（3a ）即公式中的2ab 项，这样这题就可用和的完全平方公式分解。
解：（1）x 2+6ax+9a 2＝（x ）2+2（x ）（3a ）+（3a ）2＝（x+3a ）2注：再写第一步的三个项的和时实际上先写x 2和（3a ）2项，再写固定的“2”常数再将公式中的a 、b 数即x 和3a 写进二个括号内；计算出来为6ax ，即原题中的中间项。
分析：（2）题中的－x 2－4y 2，这两项符号相同，提取负号后可写成平方和，即－x 2－4y 2＝－[x 2+（2y ）2]，4xy 正好是2（x ）（2y ）是公式中的2ab 项，此题可用完全平方公式。
注意提取负号时4xy 要变号为－4xy 。
解：（2）－x 2－4y 2+4xy＝－（x 2－4xy+4y 2）＝－[x 2－2（x ）（2y ）+（2y ）2]＝－（x －2y ）2分析：（3）题9（a －b ）2+1可写成平方和[3（a －b ）] 2+12，就找到公式中的a 和b 项为3（a －b ）和1，6（a －b ）正好是2×3（a －b ）×1为公式中的2ab 项，符合完全平方公式。
解：（3）9（a －b ）2+6（a －b ）+1＝[3（a －b ）]2+2×3（a －b ）×1+12＝[3（a －b ）+1]2＝（3a －3b+1）2例10、分解因式：（1）a 4x 2－4a 2x 2y+4x 2y 2（2）（x+y ）2－12（x+y ）z+36z 2 （3）（x 2+4x ）2+8（x 2+4x ）+16 （4）21（x 2－2y 2）2－2（x 2－2y 2）y 2+2y 4分析：（1）题有公因式x 2应先提取出来，剩余因式（a 4－4a 2y+4y 2）正好是（a 2－2y ）2解：（1）a 4x 2－4a 2x 2y+4x 2y 2＝x 2（a 4－4a 2y+4y 2）＝x 2[（a 2）2－2（a 2）（2y ）+(2y)2]＝x 2（a 2－2y ）2分析：（2）中可将（x+y ）看作一个整体，那么这个多项式就相当于（x+y ）的二次三项式，并且降幂排列，公式中的a 和b 分别为（x+y ）和（6z ），中间项－2ab 为－2（x+y ）（6z ），正好适合完全平方公式。
解：（x+y ）2－12（x+y ）z+36z 2＝（x+y ）2－2（x+y ）（6z ）+（6z ）2＝（x+y －6z ）2注：此题中的多项式，切不可用乘法公式展开后再分解，而要注意观察、分析，根据多项式本身的形式特点，善于将多项式中的某一项（或一部分）作为整体与因式分解公式中的字母对应起来。