新高等数学 理工科用 第2版 教学课件 方晓华 7 2
《复变函数与积分变换》(华中科技大学第二版)高等教育出版社课件-第一章
2
3、x yi 与 x yi 称为共轭复数， 记为 z 和 z
4、z1 x1 y1i 与 z2 x2 y2i 可以进行 加、减、乘、除等运算
z1 z2 x1 x2 y1 y2 i z1z2 x1 y1i x2 y2i
z1z2 r1ei1r2ei2 r1r2ei12
z1 z2
r1e i1 r2e i2
r1 ei12 r2
于是有：
z1z2 z1
z2
,
z1 z2
z1 z2
Arg z1z2 Arg z1 Arg z2
Arg z1 / z2 Arg z1 Arg z2
一、复数的基本概念
1、z x yi 称为复数，记为 z C 其中 i 称为虚单位满足：i2 1 实数 x 和 y 称为实部和虚部，记为 x Re z, y Im z
2、z1 x1 y1i 与 z2 x2 y2i 相等 当且仅当 x1 x2 , y1 y2
例如：
y x 的复数方程为 z t ti 1 i t y x2 的复数方程为 z t t2i t R
x2 y2 a2 a 0 的复数方程为
z acost iasint aeit t 0,2
或 z a
而圆心在 z0 x0 y0i 的圆复数方程为 z z0 a 或 z aeit z0
例如 w f z z2 x yi 2
x2 y2 2xyi
u x, y x2 y2,v x, y 2xy
w f z ez e x yi e xe yi e x cos y i sin y
高等数学上2_课件2.ppt
达标后的函数值：
f (x) A
2.2.2 x趋于有限值x0时函数的极限
●至此，我们用 N ”、“ X ”、“ ” 的语言定 义了七种极限, 下面将列表类比对照.
极限形式： 接近程度指标：
lim f (x) A
x
实现时刻：
X
实现时刻后的自变量： x X
达标后的函数值：
f (x) A
定义 2.2
＊在定义 2.2 中， 将“ f (x) 在 b, 上有定义”换作 “ f (x) 在 , a上有定义；将“ x X ”换作“ x X ”
lim
x
f
(x)
A或
f
(x)
A(x
)
.
2.2.1 x趋于无穷大时函数的极限
定义 2.3 设 f (x) 在 , a b, (a ≤b) 上有定义，A
推 论 若 在 x0 的 某 去 心 邻 域 内 f (x) ≥ 0 （ 或
f
(
x)
≤
0
）且
lim
xx0
f
(x)
A ，则 A≥0 （ A≤0 ）.
2.2.3 函数极限的性质
● 在 2.2.1，2.2.2 中我们共列举了六种类型的极限：
（1）
lim
x
f
(x) ；
（2）
lim
x
f
(x) ；
（3）
lim
2.2.1 x趋于无穷大时函数的极限
自变量 x 趋向于无穷大有下面三种方式： x ，表示 x 沿 x 轴无限向右推进，趋于正无穷大； x ，表示 x 沿 x 轴无限向左推进，趋于负无穷大； x ，表示 x 沿 x 轴无限向任何一方推进，即 x 趋于 .
《高数Ⅱ》教案
《高数Ⅱ》教案目录•课程介绍与教学目标•教学内容与方法•微分学部分•积分学部分•无穷级数部分•空间解析几何部分•常微分方程部分•总结回顾与拓展延伸01课程介绍与教学目标《高数Ⅱ》课程简介《高数Ⅱ》是大学数学的一门重要课程，主要涵盖了微积分、线性代数、常微分方程等内容，是理工科学生必修的一门数学课程。
通过本课程的学习，学生可以掌握数学分析的基本方法，培养数学思维和解决问题的能力，为后续专业课程的学习打下坚实的基础。
03素质目标提高学生的数学素养和综合素质，培养学生的自主学习和终身学习能力。
01知识目标掌握微积分、线性代数、常微分方程等基本概念、基本理论和基本方法。
02能力目标能够运用所学知识解决实际问题，培养数学思维和创新能力。
教学目标与要求教材及参考书目教材《高等数学》（第二版），同济大学数学系编，高等教育出版社。
参考书目《微积分学教程》（第三卷），菲赫金哥尔茨著，人民教育出版社；《线性代数及其应用》，Lay D.C.著，机械工业出版社；《常微分方程教程》，丁同仁、李承治编，高等教育出版社。
02教学内容与方法0203多元函数的概念、极限与连续偏导数与全微分第一章：多元函数微分学01多元函数的极值与最值第二章：重积分二重积分的概念与性质01二重积分的计算与应用02三重积分的概念与计算03第三章：曲线积分与曲面积分01 02 03第一类曲线积分与曲面积分第二类曲线积分与曲面积分格林公式与高斯公式第四章：无穷级数常数项级数的概念与性质正项级数的审敛法任意项级数的审敛法幂级数与泰勒级数讲授法讨论法案例分析法多媒体辅助教学法教学方法与手段通过教师对知识点的详细讲解，使学生掌握基本概念和理论。
结合具体案例，分析并解决实际问题，提高学生分析问题和解决问题的能力。
鼓励学生提出问题和疑惑，通过课堂讨论或小组讨论的形式，加深学生对知识点的理解。
利用多媒体课件、数学软件等辅助教学手段，提高教学效果和学生的学习兴趣。
重点与难点解析重点多元函数微分学、重积分、曲线积分与曲面积分的基本概念、理论和计算方法。
高等数学第2版课件第3章 导数的应用
cos x
(cos x)
sin x
lim
lim
lim
0
x0 1 x x0 (1 x) x0 1
这显然是一个错误的结果!
第二节 函数的单调性与极值 一、函数单调性的判定
观察下列图形,能否发现其规律性?
f0
f0 f0
f0
函数单调性的判别方法
❖
[例3] 设有一块边长为48cm的正方形铁皮，
知x 2是函数的唯一一个极大值点. 所以函数的最大值即为此极大值，
最大值为f (2) 1.
思考
1.若函数 f (x)在[a,b]上是单调的， 如何求最值 ? 2.若函数 f (x)在[a,b]上是可导的， 且在(a, b)上只有一个极值， 如何求最值 ?
( 二 ) 函数的最值应用举例
在利用导数研究实际应用问题的最值时， 如果在(a,b)内函数f (x) 有唯一的驻点x0, 又从实际问题本身可以知道, 函数f (x)的 最大值或最小值必在区间(a, b)内部取得, 则 f (x0 ) 就是所要求的最大值或最小值.
在书中第九章记载了瑞士数学家约翰‧伯努利发现并在 1694年7月22日告诉他的一个著名定理：洛必达法则， 即求一个分式当分子和分母都趋于零时的极限的法则。 后人误以为是他的发明，故洛必达法则之名沿用至今。
现在，洛必达法则也被叫作伯努利法则 。
回忆极限的四则运算法则:
如果 lim f (x) A, lim g(x) B 且 B 0
[解] 函数f (x)的定义域为(, )
而 f (x) x2 2x 3 (x 1)(x 3)
令 f (x) 0, 得驻点 x1 1, x2 3
高等数学(下册第2版微课版)第8章
1 2m1
1 2m1
1 2
,
故
s2m1
m 1
1 2
m
,
说明部分和数列无界，因此部分和数列 sn 发散，即调和级数(2)发散.
20
二、收敛级数的基本性质
第八章 无穷级数
由于级数的收敛性最终归结为部分和数列的收敛性，所以利用数列极限的运 算法则，容易证明级数的下列性质.
性质 1 若级数 un 收敛，其和为 s ，则对任何常数 k ，级数 kun 收敛，且
标变量，第 un 项称为级数的一般项（通项）.
8
一､常数项级数的概念
第八章 无穷级数
定义 2
对数列 u1,u2 ,u3, un , ，取它的前 n 项的和
n
Sn u1 u2 u3 un ui ， i 1
Sn 称为级数的部分和（前 n 项之和）.
令 n 1, 2,3, ……，得到了由级数部分和所构成的序列（数列）：
然后以这正 12 边形边为底，分别作一个顶点在圆周上的等腰三角形 算 出这
12个等腰三角形面积之和 a3 ， 则 a1 a2 a3 就是正 24 边形的面积，……， 这 样依此类推，a1 、a1 a2 、a1 a2 a3 、……、a1 a2 a3 an 就越来越接近圆
的面积. 即 a1 a2 a3 an n 的极限就是所求圆面积 A . 这 时 ， 和 式
15
一､常数项级数的概念
第八章 无穷级数
例 3 证明级数
1+1+ 12 23
+
n
1 n
1
+
是收敛的.ຫໍສະໝຸດ 1 11证由于 un
nn 1
，因此 n n1
sn
课件高等数学下册同济大学出版社经管类第2版第六章空间解几.ppt
解 由平行的充要条件，得
0 1 ， 2 1
即 0, 1 2 1
解得 0, 1 2
第三节 向量的乘法运算
一数量积
1.数量积的定义
先看一个实例：设有一个物体在常力 F 的作用沿直
线运动，产生了位移 S ，实验证明力 F 所做的功为
W F S cos
F
其中是力 F 与位移 S 的夹角.
向量在数学、物理、力学和工程技术中有广泛 的应用.本章前一部分侧重学习如何用代数的方法表 示向量及怎样用代数的方法进行向量的运算.
空间解析几何这门学科，把代数方程与空间几 何图形联系起来，是数形结合的典范.本章第二部分， 学习一些空间解析几何的基本知识.
第一节 空间直角坐标系
一、 空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系 在空间内取定一点 O，过点 O 作三条具有相同长度单位，且两两互相垂直的 x 轴，y 轴， z 轴，这样就称建立了空间直角坐标系O xyz .点 O 称为
向量a的大小又称为向量的模，记作 a .模为 1 的向 量叫做单位向量；模为零的向量叫做零向量.
两个向量a 和b的大小相同，方向一致，就称向量 a 和b相等，记作a b.
将两个非零向量 a 和 b平移到同一起点，它们所
在射线间的夹角 0 π称为向量 a与 b的夹角
（图
6-5），记作
a,b
.
当
a,b
π
或
a,b
0时，就称
向量 a与 b平行，记作a // b；
当
a,b
π 2
时
，就称
a与b垂
直，记作a b.
a
a
θ b
图6－5
规定零向量 0与任意向量都平行或垂直.
《高等数学(下册)课件》
贝叶斯思想与统计参数 估计
理解贝叶斯思想的背景和内 容，进一步学习常用的参数 估计模型、统计推断方法及 其程序实现。
重积分
1
二元函数图像简析
花式画图分析二元函数图像，并解决其
用二重积分计算几何体积、质量
2
中最常见的高中教学题目。
中心等问题
通过几何示意图展示直立与平行截面、
微元体、微积分算法等内容。
3
重积分计算物理性质
理解重积分在求解质心、转动惯量、流 量等问题中应用的原理与技巧。
曲线与曲面积分
场论中的应用
解析电场和磁场，理解曲线和曲 面积分在场的计算中的基本方法 和意义。
螺旋楼梯
利用曲线积分计算实际场景的长 度、路径等物理量，利用曲面积 分计算重心、质心等参数。
建筑中的应用
在建筑设计中加入曲线和曲面元 素，优化建筑风格并提高场馆整 体性能。
格林公式与斯托克斯公式
1
单元向量积分
介绍微积分中的基础概率已经量的子力学中的应用
学习如何通过格林公式来解决如量子力学中的经典-量子的相关问题。
3
斯托克斯公式在流体力学中的应用
学习如何通过斯托克斯公式来解决如流体寀学中的曲线偏微分方程的相关问题。
广义积分
广义积分的概念及其计 算方法
常系数线性微分方程组
1 线性代数初步
学习线性空间、线性变换、特征值、特征向量，创新性思考代数学习中的数学问 题。
2 微分方程基础
学习理解常微分方程的基本结构和分类、二阶微分方程的特征、解微分方程的方 法。
3 矩阵方法
研究利用矩阵的相关方法解决线性代数初步中的范数问题、二次型问题、方差等 问题。
4 常系数线性微分方程组的解法
高等数学教学课件7.2
y
,
z
)
k
O
j
Ai
x
B y
N
显然 r
r
r
i (1,0,0) j (0,1,0) k (0,0,1)
科学出版社
利用坐标作向量的线性运算
设 a ( a1 , a2 , a3), b (b1 ,b2 ,b3), 为实数，则
a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3)
a ( a1 , a2 , a3)
零向量: 模为 0 的向量,
其无确定的方向
负向量:
模相等, 且方向相反的向量,
记作
ar
r b.
单位向量: 模为 1 的向量. 与 a 同向的单位向量记作 ar 0.
科学出版社
向量的加法
平行四边形法则:
b ab a
向量的减法
三角形法则: a b b
a
a
科学出版社
向量的加法与实数加法一样满足以下性质：
但
uuur
uuur
OP1 (x1, y1, z1), OP2 (x2, y2, z2 )
故 uuur P1P2 (x2 x1, y2 y1, z2 z1)
科学出版社
例3. 设 a = (4, –1, 3)，b = (5, 2, –2), u点uur A (6, –3, 3)， 求: (1) 2a + 3b ; (2) 点 B 坐标, 使 AB 2a
充要条件是
( 为惟一非零实数)
证: 必要性. 设 a∥b , 取 ＝± 当br与ar
正向、反向时分别取正、负号,
且
b
故 •b a. 再证数 的惟一性 . 设又有 b＝ a , 则 ( ) a 0 故 0, 即 .
高等数学上2_课件1.ppt
FFn1
1, F2 Fn1
1 Fn2
,
n2
写出来为
1，1，2，3，5，8，13，….
例 2.3
bn
Fn Fn1
1, 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , . 2 3 5 8 13 21
bn 是按“大—小—大—小…”依次交错排列的，这
样的数列称振荡数列.显然 bn 是有界的，非单调的.
2
等来代替.
2.1.2 数列极限的概念
●关于数列极限的 N 定义，通过以上几个例子，读 者已有初步认识，再作以下几点注释以便加强.
（2） N 的相应性 一般地， N 随 的变小而变大，
因此有时为强调 N 是依赖 的，也把 N 写作 N ( ) .但这并
不意味 N 是由 唯一确定的.比如对给定的 ，当 N 100 时， n N 便有 xn a 成立，则取 N 101或更大时， n N 时必有 xn a .求 N 的目的在于证实 N 的存在
的项的值随 n 增大而增大，且无限增大. ●若当 n 无限增大时， xn 无限趋向于常数 a ，则说，
当 n 趋于无穷大时，xn 以 a 为极限.
记作
lim
n
xn
a
或
x
a
, (n
)
2.1.2 数列极限的概念
●做定量分析
1n
对例 2.4 中 xn f (n) 1 n
n N 随 n 无限增
大而无限接近 1 的过程做定量分析：
n
它是一个有界的
xn
≤
3
2 振荡数列，图像如图
2.2.
我们会发现，随着 n 的无限增大， xn 以 1 为平衡位置振
荡，而振幅越来越小，并且可以任意的小，即 xn 无限接
高等数学第二版(上)2-1精品课件
注: f ( x0 ) f ( x )
x x0
.
4、利用定义求函数的导数 步骤: (1) 求增量 y f ( x0 x ) f ( x0 );
y f ( x0 x ) f ( x0 ) (2) 算比值 ; x x y (3) 求极限 f ( x0 ) lim . x 0 x
例1 设 f ( x ) c，求 f ( x0 ). 解
(1) y c c 0
(3) f ( x 0 ) lim 0 0
函数 f ( x ) 在点 x 0 处可导 左导数 f ( x 0 ) 和右导 结论： 数 f ( x 0 ) 都存在且相等 .
3、导函数 对于任一 x I , 都对应着 f ( x ) 的一个确定的
导数值.这个函数叫做原来函数 f ( x ) 的导函数. dy df ( x ) 记作 y, f ( x ), 或 . dx dx
平均速度
s s(t0 t ) s (t0 ) v t t
当 t 0时, 取极限得瞬时速度
s
o
t0
t0 t
s
s s (t0 t ) s (t0 ) v (t0 ) lim lim t 0 t t 0 t
例2 曲线的切线斜率
如图所示，在曲线上任取两点M,N,作割线MN. 让N沿着曲线趋向M，割线MN的极限位置MT就称为 曲线在点M处的切线.
sin( x x ) sin x x x x sin 2 cos x. limcos( x ) x 0 x 2 2 (sin x ) cos x .
高等数学00022教材
高等数学00022教材高等数学00022教材是一本系统全面、内容丰富的高等数学教材，旨在培养学生的数学分析和解决问题的能力。
本教材分为多个章节，每个章节都涵盖了数学的不同领域和知识点。
下面将对每个章节进行简要介绍。
第一章：函数与极限本章主要介绍了函数的概念和性质，以及极限的定义和性质。
通过学习本章，学生能够了解函数和极限的基本概念，并能够用极限来描述函数的性质和行为。
第二章：导数与微分在本章中，我们将学习导数的概念和性质，以及微分的计算方法和应用。
通过学习本章，学生能够掌握导数和微分的基本概念，并能够运用导数和微分来研究函数的变化规律和解决实际问题。
第三章：微分中值定理与导数的应用本章主要介绍了微分中值定理的概念和应用，以及导数的应用于曲线的几何性质和最值问题。
通过学习本章，学生能够理解微分中值定理和导数的应用原理，并能够运用它们解决曲线相关的问题。
第四章：不定积分在本章中，我们将学习不定积分的概念和计算方法，以及积分的性质和应用。
通过学习本章，学生能够掌握不定积分的基本概念，并能够运用积分求解函数的原函数和解决面积和曲线长度等问题。
第五章：定积分本章主要介绍了定积分的概念和计算方法，以及定积分的性质和应用。
通过学习本章，学生能够理解定积分的定义和意义，并能够运用定积分求解函数的定积分和解决曲线下面积和物理问题等。
第六章：导数的应用在本章中，我们将学习导数的应用于函数的极值和曲线的凸凹性。
通过学习本章，学生能够理解导数应用的基本原理，并能够运用它们解决函数的极值和曲线的凸凹性问题。
第七章：微分方程本章主要介绍了微分方程的概念和解法，以及一阶线性微分方程和高阶线性微分方程的应用。
通过学习本章，学生能够掌握微分方程的基本理论和解法，并能够运用它们解决实际问题。
第八章：多元函数微分学在本章中，我们将学习多元函数的极限、连续性和偏导数，以及多元函数的极值条件和最优化问题。
通过学习本章，学生能够理解多元函数微分学的基本概念和原理，并能够运用它们研究多元函数的性质和解决相关问题。
《应用高等数学(第2版)》(胡桐春)638-6课件 第22课 定积分及其应用(三)
第22课定积分及其应用（三）复习（10 min ）【教师】提前设计好复习题目，并针对学生存在的问题及时讲解【学生】做复习题目复习上节课所学内容，为讲授新课打好基础讲授新课（33 min）【教师】引入课题——定积分的应用定积分实质上是一种特殊形式的极限，是对实际量无限细分后再无限累加，无限就是极限，无限细分就是微分，无限累加就是积分．定积分对于解决非均匀分布的量的累加问题很有效，因此它被广泛应用于天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学的各个分支中，如求不规则图形的面积或几何体体积、产品产量或利润、变速直线运动的路程、物体所做的功、液体的静压力、平均数、概率等问题．引例1现欲修建一道梯形闸门，它的两条底边长分别为6 m和4 m，高为6 m，较长的底边与水面平齐．请计算闸门一侧所受水的压力．分析建立如图3-11所示的坐标系，AB的方程为136y x=-+．由水下压强公式知，在水深x处的压强为()P x gxρ=．在[06]x∈，上任取一子间[d]x x x+，，当d x很小时，在微区间[d]x x x+，上阀门所受水的微压力为d()d dF P x S gxy xρ==319.8103d6x x x⎛⎫=⨯-+⎪⎝⎭，从而所求的压力为663233251139.8103d9.810 4.11610N6182F x x x x x⎛⎫⎛⎫=⨯-+=⨯-+≈⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰．【教师】介绍定积分的微元法我们知道，如图3-12所示的曲边与直线x a=，x b=及x轴围成的图形的面积A为定积分()dbaf x x⎰，而这个定积分的被积表达式()df x x正好是区间[]a b，上的任一子区间[d]x x x+，上以()f x为高、d x为底的小矩形的面积，这个小矩形的面积等于或近似等于学习定积分的微元法，以及定积分在几何上的应用。
边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化图3-11图3-12区间[d ]x x x +，上的小曲边梯形的面积A ∆．当d 0x x ∆=→时，有()d (d )A f x x o x ∆=+，其中(d )o x 是d x 的高阶无穷小量．根据微分的定义有()d d f x x A =，从而得到曲边梯形的面积为d ()d bbaaA A A f x x =∆==∑⎰⎰．因此，求曲边梯形面积A 的方法是：第一步，在[]a b ，上任取一子区间[d ]x x x +，（其中d x 为x 的微元，即无限细分），并求出面积A 的微分d ()d A f x x =，即面积微元；第二步，以微分表达式()d f x x 为被积表达式，在[]a b ，上作定积分d ()d bbaaA A f x x ==⎰⎰，即对面积微元进行无限累加求和．像上述这种处理和解决问题的方法，我们称之为微元法．微元法使用起来非常方便，在解决实际问题方面有极为广泛的应用．【教师】借助实际案例讲解定积分在几何上的应用——利用定积分求平面图形的面积求由抛物线2y x =与曲线y x =所围成图形的面积．解 如图3-13所示，由2y x y x⎧=⎪⎨=⎪⎩，得交点(00)，和(11)，．在关于x 的区间[01]，上任取一子区间[d ]x x x +，，得面积微元为2d ()d A x x x =-．于是，所求图形的面积为13123200211()d 333A x x x x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰．图3-13（例14、例15详见教材）【教师】借助实际案例讲解定积分在几何上的应用——利用定积分求旋转体的体积例13求由抛物线22y x =与直线1x =，0y =所围成的图形分别绕x 轴和y 轴旋转所产生的旋转体的体积．解 如图3-16所示，由221y x x ⎧=⎨=⎩，得交点(12)，．在x 的区间[01]，上任取一子区间[d ]x x x +，，得绕x 轴旋转的体积微元为24d πd 4πd x V y x x x ==．于是，绕x 轴旋转所产生的旋转体的体积为1145004π4π4πd 55x V x x x ===⎰．类似地，绕y 轴旋转的体积微元为d ππd π1d 22y y y V y y ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．于是，绕y 轴旋转所产生的旋转体的体积为222001π1d ππ24y y V y y y ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰．图3-16【学生】理解定积分的微元法，了解定积分在几何上的应用第二节课讲授新课（20 min ）【教师】借助实际案例讲解定积分在经济学中的应用设某产品在时刻t 的总产量的变化率是2()80100.6f t t t =+-(t/h)，求该产品在时间区间[24]，内的总产量．解 设总产量函数为()Q t ，由题意有()()Q t f t '=，所以总产量为214y 学习定积分在经济学和物理学中的应用。