09 华中科技大学大学物理 静电场0904

+q
q
1）等势面与电场线处处正交 ） 证明：因为将单位正电荷从等势面上M点移到 点移到N点 N 证明：因为将单位正电荷从等势面上 点移到 点， v v 电场力做功为零： 电场力做功为零：dAMN = E dl = Edl cos θ = 0 v dl v π v ∴θ = 而路径不为零 dl ≠ 0 M 5 E 2
E S
Q σ ) = + ( = 2 2ε 0 4πε 0 R 8πε 0 R 2
Q
x轴正方向 轴正方向
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例2.一半径为 、电荷密度为ρ的均匀带电球内有一半径 2.一半径为 一半径为R、 的空腔，两球心相距a。证明空腔内为均匀电场。 为r 的空腔，两球心相距 。证明空腔内为均匀电场。 R
r o' o
V1 V2 < V1
+q
注：等势面是确实存在，并能通过实验测定（容易）。 等势面是确实存在，并能通过实验测定（容易）。
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第6节 电势梯度
梯度：物理量随空间的变化率。 梯度：物理量随空间的变化率。 E与V v V =0 v V P = ∫ E dl
P
描述电场各点性质的物理量
表示E与 的积分关系 的积分关系。 表示 与V的积分关系。 E与V的微分关系 E与V的微分关系？ 的微分关系？ v v v 的两点P 在电场中取相距 dl 的两点 1、P2： VP1 VP2 = E dl v E VP1 VP2 = dV VP2 = VP1 + dV v v dV = E dl = Edl cosθ = E l dl θ P1
电势差、 电势差、电势
任意点的电势值是相对电势零点 电势零点的 任意点的电势值是相对电势零点的：
Va Vb = ∫
b
a
v v E dl
VP = ∫
V =0
P
v v E dl
电势的计算: 电势的计算: 1、按定义求。 、按定义求。 条件：场强分布已知或易求； 条件：场强分布已知或易求；
v 选一条简单路径， 的线积分。 选一条简单路径，计算 E 的线积分。 分段积分
W 2 = qV2
即: 一点电荷 在电场中具有静电势能：W=qV 一点电荷q在电场中具有静电势能 在电场中具有静电势能： 一个电荷在外电场中的电势能是属于 该电荷与产生电场的电荷系所共有。 该电荷与产生电场的电荷系所共有。 点电荷系在电场中具有电势能： 点电荷系在电场中具有电势能：W = ∑ qiVi 或 W = ∫ Vdq 单位：J 或 eV 单位：
点O的电势。 的电势。 解：在任意位置 x 处取 长度元dx, 其带电量 长度元
a
l
x
x
o
λ 0 ( x a )d x 它在O点产生的电势： dV = 它在O点产生的电势： 4πε 0 x
O点总 V = 点总 电势
d q = λ 0 ( x a )d x
dx
∫
a+l
a
λ0 dV = 4πε 0
a+l l a ln a
Eθ
r
v Er
P
电偶极子中垂线上一点的场强： 电偶极子中垂线上一点的场强：
-q
4πε 0 r 3 电偶极子联线上一点的场强： 电偶极子联线上一点的场强： 2p θ = 0, E r = ， Eθ = 0 3 4πε 0 r
θ = π 2,
E r = 0， Eθ =
p
ov θ +q l
r
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第7节 静电势能 节
θ
v E
= qlE cosθ
v v 即： W = p E
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v v W = p E
讨论： 讨论： (1) θ = 0 cosθ = 1 W = pE 能量最低 稳定平衡态 v v π ( 2) θ = cosθ = 0 W = 0 F = 0 M ≠ 0 非平衡态 2 ( 3) θ = π cosθ = 1 W = pE 能量最高 非稳定平衡态 v v 3 ( 4) θ = π cosθ = 0 W = 0 F = 0 M ≠ 0 非平衡态 2 v v v p p v v v v v p p E E E E v v v v F =0 M =0 F =0 M =0 方位时， 当电偶极子从 θ =π，转动到θ = 0方位时， 方位时 电势能增量为： 电场力矩作功 A>0, 电势能增量为： W = W末 W初 = pE pE = 2 pE < 0 13 电场力作功是以电势能减少为代价。 即：电场力作功是以电势能减少为代价。
. ′
Pr
P
ρ o′
r′
. r′′
r ′′
r ρ v 1 dq 0 ΦE =均匀带电球体内 =E 内 = 3 ε r 腔内为均匀电场。 ∫ = ∴ E 0 腔内为均匀电场。 0 ε0 V v v ρ v ρ v E′ = r ′ E ′′ = r ′′ 3ε 0 3ε 0
P点的合场强： 点的合场强： 点的合场强 v v v ρ v ρ v v (r ′ r ′′ ) = 3ε a E = E ′ + E ′′ = 3ε 0 0 即腔内为均匀电场 方向由 0 → 0′
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电场的图示法） （电场的图示法） 3. 等势面 等势面： 等势面：由电场中电势相等 的点组成的面叫做等势面。 的点组成的面叫做等势面。 的空间曲面称为等势面。 即 V ( x , y , z ) = C 的空间曲面称为等势面。 等势面上的任一曲线叫做等势线或等位线。 等势面上的任一曲线叫做等势线或等位线。 两个相邻等势面的电势差相等 等势面的性质： 等势面的性质：
解：补偿法 为半径， 为心的高斯球面 证明：取以 为半径，o'为心的高斯球面 证明： 取以r'为半径 1 2 P 用高斯定理： 用高斯定理： P + P v v ΦE = ∫ E dS+ = ∫ EdS= E 4πr 2 ρ ρ
v p θ
v E
v v v M = p× E
例1.真空中一半径为 的均匀带电球面 1.真空中一半径为 的均匀带电球面(Q>0)，今在 真空中一半径为R的均匀带电球面 ， 球面上挖去一小块面积 （连同电荷），试求: ），试求 球面上挖去一小块面积S（连同电荷），试求 (1) 球心 处的场强 o。 球心O处的场强 处的场强E (2) S处球面外临近球面处的电场 S 。 处球面外临近球面处的电场 处球面外临近球面处的电场E 解: 补偿法 + 场强叠加原理 (1) 球心O处的场强
Q
O
Q σ= 4πR 2
R
r r r E 0 = E完整球面 (σ ) + E S ( σ )
S
x
所产生。 轴正方向 等效为点电荷 σS 所产生。 x轴正方向
r r r (2) E S = E完整球面( σ ) + E S ( σ )
此时小块面积 要近似 此时小块面积 S要近似 无限大平面！ 看成无限大平面！
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2. 电偶极子在均匀外电场中的静电势能： 电偶极子在均匀外电场中的静电势能： v v 在均匀电场E中的电势能 中的电势能。 例3. 求一电偶极子 p = ql 在均匀电场 中的电势能。 解：两电荷的电势能分别是： 两电荷的电势能分别是：
W+ = qV+
W = qV
v p
v v E dl
W = W+ + W = q(V+ V ) = q ∫+ + v + v = q ∫ E dl = q ∫ E cos θdl
v dl
v 即： = dV P2 El l dl v dV 是电势函数V沿 是电势函数 沿 dl 方向的空间变化率 dl
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结论： 结论：
(1) E沿某方向的分量 沿某方向的分量
dV El = dl
电势在此方向 空间变化率的负值
负号表示，场强的方向为指向电势降低的方向。 负号表示，场强的方向为指向电势降低的方向。 (2) 场中任一点，沿不同方向，V的空间变化率一般不等 场中任一点，沿不同方向， 的空间变化率一般不等 (3) 若电势函数用直角坐标表示时：V=V(x, y, z) 若电势函数用直角坐标表示时：
i
q 4πε 0 r+
q 4πε 0 r
P
当r
v q r r+ q l cosθ p r VP = ( )= = 2 4πε0r 2 4πε0 r+ r 4πε0 2 l 2 (r cos θ ) v v 4 p r v v = ql cos θ = ql r = p r 4πε0r 3 3
2. 用叠加法求 用叠加法求V 点电荷的电势： 点电荷的电势： V =
q 4πε 0 r
1）点电荷系的电势：VP = ∑ Vi = ∑ ）点电荷系的电势：
i i
4πε 0 r续带电体的电势： VP = ）连续带电体的电势： ∫
4πε 0 r
dq
例5. 点电荷 1=q2=q3=q4=4×10-9C,放置在一正方形的四个 点电荷q × 放置在一正方形的四个 顶角上，各顶角距中心5cm。 顶角上，各顶角距中心 。 中心o点的电势 求 (1)中心 点的电势 中心 点的电势, (2)将q0=1 ×10-9C从无穷远移到 点，电场力作的功。 从无穷远移到o点 电场力作的功。 将 从无穷远移到 q2 解： (1) 各点电荷在 点处的电势 q1 各点电荷在o点处的电势 o
2) 在同一等势面上移动电荷，电场 在同一等势面上移动电荷， 力的功恒等于0。 力的功恒等于 。 3) 电场线的方向总是指向电势降低的方向 4) 等势面较密集的地方，场强较大。 等势面较密集的地方，场强较大。 等势面较稀疏的地方，场强较小。 等势面较稀疏的地方，场强较小。 电场线图 等势面图 电势的分布 电场强度分布
l r+ = r cos θ 2 l r = r + cos θ 2