滚动检测(四)

滚动检测试题(四)(时间:120分钟满分:150分)【选题明细表】一、选择题(每小题5分,共60分)1.(2013厦门高三质检)已知全集U=R,集合A={x|x2≥1},那么∁U A等于( B )(A)(-∞,-1) (B)(-1,1)(C)[-1,1] (D)(1,+∞)解析:A={x|x2≥1}={x|x≥1或x≤-1},所以∁U A={x|-1<x<1},故选B.2.(2013广东十校联考)下列有关命题的说法正确的是( C )(A)命题“若x2=1,则x=1”的否命题为:“若x2=1,则x≠1”(B)“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件(C)命题“若x=y,则sin x=sin y”的逆否命题为真命题(D)命题“∃x∈R使得x2+x+1<0”的否定是:“∀x∈R,均有x2+x+1<0”解析:命题“若x2=1,则x=1”的否命题为:“若x2≠1,则x≠1”,选项A错;“x=-1”是“x2-5x-6=0”的充分不必要条件,选项B错;命题为真命题所以其逆否命题为真命题,选项C正确;命题“∃x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是:“∀x∈R,均有x2+x+1≥0”,选项D错,故选C.3.(2013宁德一中高三下学期第二次联考)如图所示,正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2,动点E、F在BC1上,动点P、Q分别在AD1、CD上,若EF=,AP=x,DQ=y,则三棱锥P EFQ的体积( C ) (A)与x、y都有关(B)与x有关、与y无关(C)与x、y都无关(D)与x无关、与y有关解析:由题知===×××2×=,即三棱锥的体积与x、y都无关.故选C.4.(2013厦门外国语学校模拟)三棱锥D ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示,则棱BD的长为( A )(A)4(B)2 (C)3 (D)4解析:由正视图可知点B在平面ADC上的射影在AC的中点E处,且BE=2,ED=2,所以BD2=BE2+ED2=12+20=32,故BD=4.5.(2013厦门3月质检)函数f(x)=x+sin x(x∈R)( D )(A)是偶函数且为减函数(B)是偶函数且为增函数(C)是奇函数且为减函数(D)是奇函数且为增函数解析:满足f(-x)=-f(x),函数f(x)是奇函数;f′(x)=1+cos x≥0,函数f(x)是R上的增函数.故选D.6.(2013福州三中模拟)若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是( C )(A)5 (B)6 (C)7 (D)8解析:由三视图可知该几何体是棱长为2的正方体截去一个以2和1为直角边的直角三角形为底面,高为1的直三棱柱后的部分,所以体积为23-×2×1×1=7.选C.7.(2013广州高三质检)已知平面向量a=(-2,m),b=(1,),且(a-b)⊥b,则实数m的值为( B )(A)-2(B)2(C)4(D)6解析:∵a-b=(-3,m-),b=(1,),∴(a-b)·b=m-6,又∵(a-b)⊥b,∴m-6=0,得m=2,故选B.8.(2013漳州质检)等比数列{a n}中,其前n项和为S n=3n-1,则+++…+等于( C )(A)(3n-1) (B)3n-1(C)(9n-1) (D)9n-1解析:由已知可得n=1,a1=2,n≥2,a n=S n-S n-1=2·3n-1,故a n=2·3n-1,即数列{a n}是以2为首项,以3为公比的等比数列,故数列{}是以4为首项,以9为公比的等比数列,故++…+==,故选C.9.(2013厦门市高中毕业班适应性考试)已知函数f(x)=2x,g(x)=log2x,h(x)=x2,则( C )(A)它们在定义域内都是增函数(B)它们的值域是(0,+∞)(C)函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称(D)直线y=x-是曲线y=h(x)的切线解析:因为h(x)=x2在定义域内不单调,所以选项A错误;因为g(x)=log2 x的值域是R,所以选项B错误;f(x)=2x与g(x)=log2 x的图象关于y=x对称,所以选项C正确;因为方程x2=x-无解,故直线y=x-与h(x)=x2的图象没有公共点,所以选项D错误,故选C.10.(2013济南市一模)已知变量x,y满足约束条件则目标函数z=2x+y的最大值是( A )(A)6 (B)3 (C)(D)1解析:由z=2x+y得y=-2x+z.作出可行域如图所示,作直线y=-2x,平移直线y=-2x,由图可知,当直线经过点D时,直线y=-2x+z的截距最大,此时z=2x+y有最大值为2×3=6.故选A. 11.(2013山东潍坊市二模)有一平行六面体的三视图如图所示,其中俯视图和侧视图均为矩形,则这个平行六面体的表面积为( C )(A)21(B)6+15(C)30+6(D)42解析:由三视图可知该平行六面体的底面是个矩形,前后两个侧面和底面垂直.其中侧棱AA1=2,底面边长AD=3,平行六面体的高为,BE=2,又AE===1,所以AB=1+2=3.所以平行六面体的表面积为2(3×3+3×+3×2)=30+6,故选C.12.(2013北京西城区一模)如图,正方体ABCD A1B1C1D1中,E是棱B1C1的中点,动点P在底面ABCD内,且PA1=A1E,则点P运动形成的图形是( B )(A)线段(B)圆弧(C)椭圆的一部分(D)抛物线的一部分解析:在正方体AC1中,AA1⊥底面ABCD,连接AP,则AA1⊥AP,由PA1=A1E 知AP=B1E,而动点P在底面ABCD内,所以点P运动形成的图形是圆弧.故选B.二、填空题(每小题4分,共16分)13.已知空间两点A(4,-7,1),B(6,2,z),若|AB|=11,则z= . 解析:由于|AB|==11,即(z-1)2=36,解得z=7或z=-5.答案:7或-514.(2013厦门质检)已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若△ABC的面积为,a=3,B=,则b= .解析:由题意可得S=acsin B,解得c=1,由余弦定理可得b2=a2+c2-2accos B=9+1-3=7,故b=.答案:15.(2013福州质检)一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图所示,则该三棱锥的俯视图的面积为.解析:由正视图、侧视图知,三棱锥的俯视图是底为2,高为1的直角三角形,其面积为×2×1=1.答案:116.(2013云南师大附中月考)已知一几何体的三视图如图,正视图和侧视图都是矩形,俯视图为正方形,在该几何体上任意选择4个顶点,以这4个点为顶点的几何形体可能是.(填序号)①矩形;②有三个面为直角三角形,另一个面为等腰三角形的四面体;③每个面都是直角三角形的四面体.解析:由三视图知几何体的直观图是长方体ABCD A1B1C1D1.如图所示.当选择的四个点为B1、B、C、C1时几何形体符合①;当选择B、A、B1、C时几何体符合②;当选择A、B、D、D1时几何体符合③.答案:①②③三、解答题(共74分)17.(本小题满分12分)(2013广东肇庆市一模)已知函数f(x)=sin(2x-)+cos(2x-)+2cos2x-1,x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)在区间[-,]上的最大值和最小值.解:(1)f(x)=sin 2xcos-cos 2xsin+cos 2xcos+sin 2xsin+cos2x=sin 2x+cos 2x=sin(2x+).所以函数f(x)的最小正周期T==π.(2)x∈[-,]时,2x+∈[-,],因函数y=sin x在[-,]上是增函数,在[,]上是减函数,所以函数f(x)在区间[-,]上是增函数,在区间[,]上是减函数,又f(-)=-1,f()=,f()=1,故函数f(x)在区间[-,]上的最大值为,最小值为-1.18.(本小题满分12分)(2013山东临沂市高三期末)在四棱锥P ABCD中,PD⊥底面ABCD, AB∥CD,AB⊥BC,AB=2BC=2CD,E是PA的中点.(1)求证:DE∥平面PBC;(2)求证:AD⊥PB.证明:(1)法一取PB中点F,连接EF、FC.∵E、F分别是PA、PB的中点,∴EF AB.又CD AB,∴EF CD.∴四边形EFCD为平行四边形,∴DE∥CF.∵CF⊂平面PBC,ED⊄平面PBC,∴DE∥平面PBC.法二取AB的中点G,连接DG、EG,则EG∥PB,∵AB=2DC,AB∥DC,∴DC BG,∴四边形DCBG为平行四边形,∴DG∥BC,又EG∩DG=G,EG⊂平面DEG,DG⊂平面DEG,PB⊂平面PBC,BC⊂平面PBC,PB∩BC=B,∴平面DEG∥平面PBC,又DE⊂平面DEG,∴DE∥平面PBC.(2)∵PD⊥底面ABCD,AD⊂平面ABCD,∴AD⊥PD.设BC=1,则AB=2,CD=1,∵BC=CD,BC⊥CD,∴BD=,∠DBC=45°.∵BC⊥AB,∴∠ABD=45°.在△ABD中,AB=2,BD=,∠ABD=45°.得AD2=AB2+BD2-2·AB·BD·cos=4+2-2×2××=2,∴AD=.由AD2+BD2=AB2,得∠ADB=90°,∴AD⊥BD.∵PD∩BD=D,∴AD⊥平面PBD,又PB⊂平面PBD,∴AD⊥PB.19.(本小题满分12分)(2013广东佛山一检)数列{a n}的前n项和为S n=2n+1-2,数列{b n}是首项为a1,公差为d(d≠0)的等差数列,且b1,b3,b11成等比数列.(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式;(2)设c n=,求数列{c n}的前n项和T n.解:(1)当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n+1-2n=2n,又a1=S1=21+1-2=2=21,也满足上式,所以数列{a n}的通项公式为a n=2n.b1=a1=2,设公差为d,则由b1,b3,b11成等比数列,得(2+2d)2=2×(2+10d),解得d=0(舍去)或d=3,所以数列{b n}的通项公式为b n=3n-1.(2)由(1)可得T n=+++…+=+++…+,2T n=2+++…+,两式相减得T n=2+++…+-,T n=2+-=5-.20.(本小题满分12分)(2013北京大兴区一模)如图,三棱柱ABC A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,△ABC是等边三角形,D是BC的中点.(1)求证:A1D⊥B1C1;(2)判断A1B与平面ADC1的位置关系,并证明你的结论.(1)证明:在三棱柱ABC A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,所以AA1⊥BC,在等边△ABC中,D是BC中点,所以AD⊥BC,因为在平面A1AD中,A1A∩AD=A,所以BC⊥平面A1AD,又因为A1D⊂平面A1AD,所以A1D⊥BC.在三棱柱ABC A1B1C1中,四边形BCC1B1是平行四边形,所以B1C1∥BC, 所以A1D⊥B1C1.(2)解:A1B与平面ADC1平行,理由如下:在三棱柱ABC A1B1C1中,四边形ACC1A1是平行四边形,在平行四边形ACC1A1中连接A1C,交AC1于O,则O为A1C中点,连接DO,在三角形A1CB中,D为BC中点,O为A1C中点,故DO∥A1B.因为DO⊂平面DAC1,A1B⊄平面DAC1,所以A1B∥平面ADC1.21.(本小题满分12分)(2013济南二模)已知梯形ABCD中,BC∥AD,BC=AD=1,CD=,G、E、F 分别是AD、BC、CD的中点,且CG=,沿CG将△CDG翻折到△CD′G.(1)求证:EF∥平面AD′B;(2)求证:平面CD′G⊥平面AD′G.证明:(1)∵E、F分别是BC、CD的中点,即E、F分别是BC、CD′的中点,∴EF为△D′BC的中位线.∴EF∥D′B.又∵EF⊄平面AD′B,D′B⊂平面AD′B,∴EF∥平面AD′B.(2)∵G是AD的中点,BC=AD=1,即AD=2,∴DG=1.又∵CD=,CG=,∴在△DGC中,DG2+GC2=DC2,∴DG⊥GC.∴GC⊥D′G,GC⊥AG.∵AG∩D′G=G,∴GC⊥平面AD′G.又∵GC⊂平面CD′G,∴平面CD′G⊥平面AD′G.22.(本小题满分14分)在如图所示的几何体中,四边形ABCD是正方形,MA⊥平面ABCD, PD∥MA,E、G、F分别为MB、PB、PC的中点,且AD=PD=2MA.(1)求证:平面EFG⊥平面PDC;(2)求三棱锥P MAB与四棱锥P ABCD的体积之比.(1)证明:因为MA⊥平面ABCD,PD∥MA,所以PD⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD,所以PD⊥BC.因为四边形ABCD为正方形,所以BC⊥DC.又PD∩DC=D,所以BC⊥平面PDC.在△PBC中,因为G、F分别为PB、PC的中点,所以GF∥BC,所以GF⊥平面PDC.又GF⊂平面EFG,所以平面EFG⊥平面PDC.(2)解:因为PD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,不妨设MA=1,则PD=AD=2,所以=S 正方形ABCD·PD=.由题意易知DA⊥平面MAB,且PD∥MA,所以DA即为点P到平面MAB的距离,所以=××1×2×2=.所以∶=1∶4.。