华东师大版八年级数学上册《乘法公式》教案(精品教学设计)
八年级数学上册 12.3 乘法公式 1《两数和乘以这两数的差》教案1 (新版)华东师大版
两数和乘以这两数的差【教学目标】：知识与技能：1．学生会推导两数和乘以它们的差公式，并能运用公式进行简单的计算。
2．了解两数和乘以它们的差公式的几何背景。
过程与方法：让学生经历“观察概括——探索验证——应用实践”的过程，发展学生的归纳概括能力，让学生体会“数形结合”及“从特殊到一般”的数学思想。
情感与态度观：形成自主、探究意识，树立良好的学风，体验知识的严密性，发展数感。
【教学重点】：对两数和乘以它们的差公式的理解，掌握两数和乘以它们的差公式的结构特征，熟练运用两数和乘以它们的差公式进行简单计算。
【教学难点】：理解两数和乘以它们的差公式的几何意义及特点，理解公式中字母的广泛含义，代数推理能力的培养。
【教学过程】：一、设疑自探（一）创设情境，提出问题小林到商店去买饼干，售货员告诉她：共4.2千克，每千克3.8元。
正当售货员还在用计算器计算时，小林马上说出了共15.96元。
售货员很惊奇地问：你怎么比计算器算的还快呢？小林很得意地告诉她：这是一个秘密。
提问：同学们，你能帮售货员揭开小林快速口算出4.2×3.8的秘密吗？师：经过本课的学习，我们就能揭开这一秘密了。
下面，请同学们计算这两道题目，并思考下列问题：（1）(a＋b)(a－b);（2）（x＋3）(x－3)1、等式左边的两个多项式有什么特点？2、等式右边的多项式有什么规律？3、你能用一句话归纳出上述等式的规律吗？4、你能用一个数学等式来反映这种规律吗？二、解疑合探（一）学生活动：解决问题学生根据教师交给的问题，分组讨论，由小组长做好记录。
学生反馈问题：每组自告奋勇回答，把解决问题的过程和结果向教师和全班同学汇报。
并提出自己小组存在的问题。
学生提出：（1）为什么两数和乘以它们的差公式是对的？（2）可以用两数和乘以它们的差公式完成吗？（3）怎样形状的多项式相乘可以用两数和乘以它们的差公式？]（当然，我们的学生还可能会问出许多我们事先不曾预料到的问题）由此得出两数和乘以它们的差公式的基本特征：两个二项式相乘，一项相同，一项相反，且相同的写在前面。
最新华东师大版八年级数学上册《乘法公式》教学设计-评奖教案
12.3 乘法公式1.两数和乘以这两数的差【教学目标】知识与技能1.掌握两数和乘以这两数的差公式,会推导两数和乘以它们的差的公式,并能运用公式进行简单的计算.2.了解两数和乘以这两数的差的公式的几何背景.过程与方法1.培养学生独立思考的能力,集体协作的能力,组织归纳的能力及积极探索问题的能力.2.经历探索两数和乘以这两数的差的公式的过程,进一步发展学生的符号感和推理能力.情感、态度与价值观通过学生解决问题的过程,激发学生的创新思维,培养学生学习的主动性和坚韧不拔的、勇于探索的品质.【重点难点】重点对两数和乘以这两数的差的公式的理解,掌握两数和乘以这两数的差的公式的结构特征,熟练运用两数和乘以这两数的差的公式进行简单计算.难点理解两数和乘以这两数的差的公式的几何意义及特点,理解公式中字母的广泛含义,代数推理能力的培养.【教学过程】一、创设情景,导入新课街心花园有一块边长为a米的正方形草坪,经统一规划后,南北向要加长2米,而东西向要缩短2米.问改造后的长方形草坪的面积是多少?【学生活动】(a+2)(a-2)=a2-4二、师生互动,探究新知【教师活动】你观察式子左边有什么特征?右边的结果又有什么特征?这种发现具有一般性吗?请同学们再列举几个验证一下.你能得出什么规律性结论?请用字母表示.【教师活动】在学生发言基础上归纳:(a+b)(a-b)=a2-b2.这就是说,两数之和与两数之积,等于这两数的平方差.简称平方差公式.请同学们结合图形进行面积验证.P31【教师活动】请同学们给出几个平方差的式子,并让同伴计算.三、随堂练习,巩固新知1.(5x+2)(5x-2)= ,(7+m)(-7+m)= .2.(a-3)( )=a2-9,(-a )(-b )=b2-a23.(a+1)(a-1)(a2+1)= .【答案】1.25x2-4,m2-49.2.a+3,-b,+a.四、典例精析,拓展新知【例】利用平方差公式计算(1)59.8×60.2;(2)(5+1)(52+1)(54+1)(58+1)(516+1)+.【分析】(1)可转化为(60-0.2)(60+0.2);(2)先将前面部分乘以(5-1)构造平方差公式,再除以4.【答案】(1)3 599.96(2)【教学说明】第(2)小题可能大多数同学不会做,教师抓住这困惑,是思维的起点,帮助分析如何构造平方差公式?(52+1)与谁构成平方差,同时注意代数式恒等的要求.五、运用新知,深化理解1.计算(y+x)(y-x)(x2+y2)(x4+y4)2.计算(1)2 0132-2 012×2 014(2)3×(4+1)(42+1)+1【答案】略【教学说明】如何转化构造平方差公式,教师巡视并对学困生给予指导. 六、师生互动,课堂小结这一节课你学到了什么?有何收获?有何困惑?与同伴交流,在学生交流发言的基础上教师归纳总结.【教学反思】本节课重在应用平方差公式计算,而应用公式的关键是掌握平方差公式的特征,在学生合作探索平方差公式后,教师要求学生构造具有平方差公式的习题,并计算,具有开放性,大大调动了学生的积极性与学习激情.在典例精析中第(2)小题学生思维受阻时,让学生由式子特征联想知识模型、构造平方差公式,再解决相应数学问题是数学创造性表现!2.两数和(差)的平方【教学目标】知识与技能理解两数和(差)的平方的公式,掌握公式的结构特征,并熟悉地应用公式进行计算.过程与方法经历探索两数和(差)的平方公式的过程,进一步发展学生的符号感和推理能力.情感、态度与价值观培养学生探索能力和概括能力,体会数形结合的思想.【重点难点】重点对两数和(差)的平方公式的理解,熟练运用完全平方公式进行简单的计算.难点对公式(a ±b)2=a 2±2ab+b 2的理解,包括它的推导过程,结构特点,语言表述,几何解释.【教学过程】一、创设情景,导入新课王老汉开辟了一个正方形的菜园,它的边长是(a+b),则它的面积是多少?【学生活动】(a+b)2=a 2+2ab+b 2(用多项式乘以多项式算得)【教师活动】有没有更简洁的方法?回答是有的,今天将给大家一个满意的回答.二、师生互动,探究新知【教师活动】请同学们自学教材P 32~P 33内容.回答下列问题:1.计算(a+b)2=2.这个公式的左边和右边各有什么特点?用文字叙述.3.你会用(a+b)2=a2+2ab+b2计算(a-b)2吗?图形验证吗?4.你会结合P33【学生活动】学生小组内合作、交流、并汇报探究结果,回答上述问题.【教师活动】在学生发言的基础上归纳:两个乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2文字叙述:两数和(或差)的平方,等于这两数的平方,加上(减去)这两数的积的2倍.口诀“首平方,尾平方,二倍乘积中间放.”三、随堂练习,巩固新知计算:(1)(x-3y)2;(2)(-a+2b)2.【答案】(1)(x-3y)2=x2-2x·3y+9y2=x2-6xy+9y2.(2)(-a+2b)2=(2b-a)2=(2b)2-2(2b)·a+a2=4b2-4ab+a2.四、典例精析,拓展新知【例】已知x+y=4,xy=2,求(1)x2+y2;(2)3x2-xy+3y2;(3)x-y.【分析】(1)x2+y2=(x+y)2-2xy;(2)3x2-xy+3y2=3(x+y)2-7xy;(3)(x-y)2=(x+y)2-4xy.【答案】(1)12;(2)34;(3)x-y=±.【教学说明】x+y、xy、x2+y2是一组典型对称式,注意指导学生灵活进行公式变形.(x+y)2=(x-y)2+4xy五、运用新知,深化理解1.已知:x2+y2=6,xy=5.求x+y;2.已知a、b满足,(a+b)2=1,(a-b)2=25,试求a2+b2+ab的值.【答案】1.x+y=±4;2.a2+b2+ab=7【教学说明】本题是结合典例精析中公式变形后的变式训练,对公式变形不熟练学生给予有效指导.六、师生互动、课堂小结这节课你学到了什么?有何困惑?与同伴交流,在学生交流发言的基础上教师归纳总结.1.这两个公式是多项式乘法的特殊情况,熟记它们的特点.2.公式中字母可以是数也可以是单项式或多项式.3.在解决具体问题时,要先考查题目是否符合公式条件,若不符合,需要先进行变形,使变形后的式子符合公式的条件,然后再应用公式计算.4.要特别注意一些易出现的错误,如:(a±b)2=a2±b2.【教学反思】本节课在初中数学中占有重要地位,特别是公式应完全掌握,教学时为防止类比平方差公式,出现(a+b)2=a2+b2的错误,教师给出了口诀,相信同学们都能掌握该公式的结构特征.教材中将两数和的平方与两数差的平方分开推导,本节课考虑到换元思想将两数和与两数差的平方用两数和来推导,进一步体现转化思想,也加深了对两数和的平方公式的理解.本节课中的公式恒等变形较灵活,逻辑性较强,对学困生以更多指导与关心.。
2019—2020年华东师大版八年级数学上册《乘法公式》教案(精品教案).doc
《乘法公式》教案教学目标1、经历探究两数和乘以这两数的差的过程来推导平方差公式，理解平方差公式的结构特征，并能有意识地用平方差公式进行简单的运算；了解平方差公式的几何背景；2、在探究平方差公式的过程中，发展学生的符号感和推理、概括能力；通过平方差公式的几何背景的了解，体会代数与几何的内在统一；3、学生通过推导两数和的平方公式，了解公式的几何背景，理解并掌握公式的结构特征，并能进行简单的计算，能用文字、字母表达两数和的平方公式；4、学生通过推导两数差的平方公式，了解公式的几何背景，理解并掌握公式的结构特征，并能进行简单的计算，能用文字、字母表达两数差的平方公式.教学重点平方差公式的应用；两数和、两数差的平方的公式.教学难点（1）平方差公式的结构特征及其有效地应用；（2）平方差公式的几何意义；（3）对公式中字母a、b的广泛含义的理解与正确应用. 教学过程【一】活动一竞赛激智，建立模型，揭示公式问题1看谁能又快又准地回答下面4个小题的计算结果.(5＋3)(5－3)﹦(0.5＋0.3)(0.5－0.3)﹦(5＋0.3)(5－0.3)﹦(0.5＋3)(0.5－3)﹦（全部结果出来后）追问：你是如何计算的？设计意图：以通过竞赛为载体，以自主参与为教学形式，使学生从计算的快慢中产生疑惑：总是那几个算得快，我怎么也能象他们那样？进而激发学生的求知的热情.问题2：请计算下列多项式的积：(1)(x＋1)(x－1)﹦(2)(m＋2)(m－2)﹦(3)(2x＋1)(2x－1)﹦（全部结果正确后）追问1：你们的计算结果有什么规律吗？追问2：你发现这些多项式的乘积的表达形式有什么规律吗？学生总结：（1）计算的结果都是两项的平方差，与以往两项乘以两项的结果大多是三项或四项不同；（2）这些两项乘以两项中，有一项是完全相同，另一项又是互为相反的；（3）结果是两项的平方差，并且是完全相同项的平方减区互为相反项的平方.师生互动：（a＋b）（a－b）﹦a2－b2两个数的和与这两个数的差的记，等于这两个数的平方差.教师：（1）这个公式叫做（乘法的）平方差公式.（2）公式中的字母可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式；（3）只要是符合公式的结构特征，都可以用公式进行计算.学生练习：1、下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的有A(x＋1)(1－x) B (a＋b)(b－a) C (－a＋b)(a－b)D(x2－y)( x＋y2) E (－a－b)(a－b) F (c2－d2)(d2＋c2)2、下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？(1)（x＋2）（x－2）﹦x2－2；(2)(－3a－2)(3a －2)﹦9a2－4.设计意图：以学生熟悉的多项式的积为载体，以全部参与讨论、归纳总结为教学形式，由于计算的结果与以往的结果在表现的形式上有大的差异，以及平方差公式的发生过程的探究，体会到从一般到特殊的数学思想方法；通过选择、填空等的练习让学生了理解、掌握平方差公式的结构特征，从心里感受这种一般到特殊的数学思想方法的魅力.活动二师生互动、感知代数、几何的统一师：请同学们将准备的正方形纸板拿出：（1）设它的边长为a（图1），大家都知道它的面积为a2；（2）请同学们按图2剪去一个边长为b的小正方形，大家都知道剩下部分的面积为（a2－b2）；（3）请同学们将剩下的图形剪成（沿图2的虚线）两个长方形，并将一边长为b的小长方形拼到一边长为a的长方形后得图3；同学们都知道图3的一边长为（a＋b），另一边长为（a－b），面积为（a＋b）（a－b）；（4）同学们比较图2和图3不难发现它们面积的关系.生：它们的面积相等，即（a＋b）（a－b）﹦a2－b2.aba＋b图(1) 图(2)图(3)师：我们通过拼图游戏给出了平方差公式的一种几何解释.这说明平方差公式具有直观的几何意义，也说明代数不只是计算，还有美妙的几何意义，这实际就是数学魅力.设计意图：通过学生拼图游戏，学生直观体验了平方差公式的几何意义，感受代数不只是计算，还有美妙的几何意义，亲身经历了数学魅力所在.活动三例题分析、指导应用、巩固理解例1运用平方差公式计算：(1)(a＋3)(a－3)(2)(2a＋3b)(2a－3b)(3)(1＋2c)(1－2c)(4)(－2x－y)(2x－y)分析：（1）在(1)中，可以把3看成b，即：(a＋3)(a－3)﹦a2－32(a＋b)(a－b)﹦a2－b2（2）将(2)调整成平方差公式形式计算.（3）（4）自主计算.例2：运用平方差公式计算：1998×2002设计意图：通过一则平方差公式简单的例题分析及应用，巩固理解了公式结构特征，让学生进一步感受到这种一般到特殊的数学思想方法的魅力.活动四拓展分析、提升能力计算(1)102×98；(2)(y＋2)(y－2)－(y－1)(y＋5).分析：只有符合公式要求的乘法，才能用公式简化计算，其余的乘法运算仍按乘法法则计算.学生练习：运用平方差公式计算：（1）51×49；（2）（3x＋4）（3x－4）－（2x＋3）（3x－2）设计意图：这是平方差公式的拓展例题分析及应用，使学生进一步体会平方差公式的结构特征，能进一步灵活运用乘法公式、法则进行计算.活动5小结：平方差公式你学会了吗？【二】知识回顾学生活动：计算：（1）(x+3) (x+3) （2）(x-3) (x-3) （3）(a+b)(a+b) （4）(a-b)(a-b)教学活动说明：通过复习反馈旧知，为新知作铺垫，体现知识的连续性.创设情景提出问题，引入课题小组活动素材：有一位老爷爷非常喜欢孩子，每当有孩子到他家作客时，老爷爷都要拿出糖果招待他们.来一个孩子就给这个孩子一块糖，来两个孩子就给每个孩子两块糖，来三个孩子就给每个孩子三块糖……（1）地一天有a个小男孩一起去了老爷爷家，老爷爷一共给了他们_______块糖；（2）第二天有b个小女孩一起去了老爷爷家，老爷爷一共给了她们_______块糖；（3）第三天这(a+b)个小孩子一起去了老爷爷家，老爷爷一共给了他们_______块糖；（4）这些孩子第三天得到的糖果总数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？教学活动说明：学生分组讨论，从有趣的分糖情景中理解(a+b)2与a2+b2的关系.可激发学生学习的欲望，体现循序渐进的原则，利于运用所学知识解决实际问题从而引出课题.探究(a+b)2的几何意义1、（两人合作探究）：请同学们用自制长方形、正方形卡片拼出一个大正方形.按以下要点思考：（1）大正方形的边长是多少？（2）写出每一块卡片的面积.（3）用不同的形式表示正方形的总面积，并进行比较，你发现了什么？(a+b) 2= a2+ 2ab+ b2教学活动说明：由于正方形的总面积有多种表示方式，学生通过自己动手操作，观察、对比、猜想，了解(a+b)2=a2+2ab+b2的几何背景，对此公式有了一个直观的认识.2、（学生猜想）：(a-b) 2=？教学活动说明：学生在直观认识的基础上，从代数角度推导公式，可以进一步理解算理.鼓励学生自己探索，鼓励算法多样化.知识归纳交流活动（学生活动）：用自己所理解的语言叙述公式.理解并掌握公式的结构特征.教学活动说明：有意识培养学生有条理的思考和语言表达能力，在交流的氛围中分享同学的想法.公式的运用（师生合作学习）：两数和（差）的平方公式计算第一题组（1）（a +1）2；（2）（a +3）2；（3）（2a +3b）2；（4）（2a + b）2；第二题组（1）（x-1）2；（2）（x-3）2；（3）（2x-3 y）2；（4）（2x - y）2；第三题组（1）（-2m+n）2；（2）（-2m-n）2；（3）10012；（4）9992.(教学活动说明)：帮助学生理解公式中字母的广泛性，在练习的过程中掌握书写的格式.体会公式的应用价值.六、学生反馈练习（学生四大组竞赛活动）：（1）（2x+y）2；（2）（5a +4b）2；（3）972；（1）（2x-y）2；（2）（5a -4b）2；（3）2022；（1）（x+2y）2；（2）（4a +5b）2；（3）1012；（1）（x-2y）2；（2）（4a -5b）2；（3）992.(教学活动说明)：由每个组的组长抽题交给本组成员，限定每人只能做一题然后传给下一个同学，比速度、比合作、比准确，通过学生的共同努力完成任务.在巩固知识的同时培养团队精神和荣誉感.七、知识的小结和延伸教学活动说明：本节课理解掌握了两数和的平方公式，利用公式计算时首先确定将哪个数或者式看作a，哪个数或者式看作b，然后再按公式展开.我们还可以运用所学的知识和方法去探索(a+b+c) 2的结论.只要求感兴趣的同学去探索.。
华师大版数学八年级上册12.3《乘法公式》教学设计
华师大版数学八年级上册12.3《乘法公式》教学设计一. 教材分析“乘法公式”是华师大版数学八年级上册12.3节的内容，主要包括平方差公式和完全平方公式的引入、推导、应用和巩固。
本节内容在学生已掌握有理数的乘法、完全平方根等知识的基础上进行，为后续学习函数、不等式等知识打下基础。
平方差公式和完全平方公式是初中数学中的重要公式，掌握它们对于解决实际问题和进一步学习高中数学具有重要意义。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和运算能力，对于新知识有一定的接受能力。
但部分学生在学习过程中可能会觉得乘法公式较为抽象，难以理解和记忆。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习困难，引导学生通过自主学习、合作交流等方式理解和掌握乘法公式。
三. 教学目标1.理解平方差公式和完全平方公式的含义，掌握其推导过程。
2.能够灵活运用平方差公式和完全平方公式进行计算和解决问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和运算能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.教学重点：平方差公式和完全平方公式的推导过程，以及它们的运用。
2.教学难点：平方差公式和完全平方公式的理解和记忆，以及在实际问题中的运用。
五. 教学方法1.引导探究法：通过引导学生自主探究、发现乘法公式的规律，培养学生的独立思考能力。
2.案例分析法：通过分析实际问题，让学生学会将乘法公式应用于解决实际问题。
3.合作交流法：鼓励学生之间相互讨论、交流，提高学生的合作意识和沟通能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作乘法公式的课件，包括平方差公式和完全平方公式的推导过程、应用实例等。
2.练习题：准备一些有关乘法公式的练习题，用于课堂巩固和课后作业。
3.教学素材：收集一些实际问题，用于引导学生运用乘法公式解决问题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用数学故事引入平方差公式和完全平方公式的概念，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）展示平方差公式和完全平方公式的推导过程，让学生理解和掌握公式的来源。
2019-2020学年华师大版八年级上册数学教案设计：12.3 乘法公式
课题 1.两数和乘以这两数的差课时1课时上课时间教学目标1.知识与技能(1)理解两数和乘以这两数的差的公式.(2)能熟练进行两数和乘以这两数的差的运算.2.过程与方法(1)通过探索两数和乘以这两数的差的公式,让学生体会数形结合的思想方法和总结归纳的数学能力.(2)在进行两数和乘以这两数的差的运算中培养学生的观察分析和计算能力.3.情感、态度与价值观(1)在学生自主探究中,感受成功的乐趣,增强自信心,培养创新意识和能力.(2)在分组交流中提高学生的协作意识,养成独立思考和合作结合的习惯.教学重难点重点:掌握两数和乘以这两数的差的公式,会进行两数和乘以这两数的差的运算.难点:探究两数和乘以这两数的差的公式的思维过程.教学活动设计二次设计课堂导入思考下面的问题:1.多项式与多项式相乘的方法?2.计算:(1)(x+3y)(x-3y);(2)(x+2)(x-2).3.长方形的长为a+b,宽为a-b,你可以求出它的面积吗?探索新知合作探究自学指导1.根据多项式乘以多项式的法则计算:(a+b)(a-b)= ,2.观察算式的特点: ,观察结果的特征: .3.归纳两数和乘以这两数的差的公式: .4.(a+3)(a-3)中分别是哪两个数的和与差,根据公式应写成什么形式?(-2x-y)(2x-y)中怎样运用加法交换律整理为两数和乘以这两数的差的形式?结合例1学习两数和乘以这两数的差的公式的运用方法.5.计算教材图12.3.1中图形面积,进一步体会公式.6.自学课本P30~32,用公式表示两数和乘以这两数的差的运算方法.学生看书,教师巡视,老师督促每一位学生认真、紧张的自学,鼓励学生质疑问难.合作探究1.讨论小组讨论自学指导中出现疑问的地方.2.组织学生根据多项式与多项式相乘的运算法则推理归纳两数和乘以这两数的差的公式.3.运用数形结合的方法探索验证两数和乘以这两数的差的公式.4.结合例1组织学生探索两数和乘以这两数的差的公式的运用及注意问题.5.结合例2组织学生学习公式在简便计算中的运用.6.结合例3组织学生学习公式在实际问题中的运用.续表探索新知合作探究教师指导1.易错点:(1)对于不满足条件的乘法算式误用两数和乘以这两数的差的公式.(2)运用公式时忘记整理,误以为谁在前面谁就是第一个数.2.归纳小结:两数和乘以这两数的差的公式:(a+b)(a-b)=a2-b2.3.方法规律:(1)两数和乘以这两数的差的公式:算式特点:两个多项式的项数相同,既有完全相同的项又有相反的项;结果:相同项的平方减去相反项的平方.(2)两数和乘以这两数的差的公式运用:1理(整理为两数和与差的积的形式),2套(套用公式展开),3计算(算出最后结果).当堂训练1.下列各式中,能用平方差公式计算的是( )①(7ab-3b)(7ab+3b);②73×94;③(-8+a)(a-8);④(-15-x)(x-15).(A)①③(B)②④(C)③④(D)①④2.根据图①到图②的变化过程可以写出一个整式的乘法公式,这个公式是.3.计算:(a+2b)(a-2b)= .4.计算:(1)2 0172-2 016×2 018;(2)(-1-2a)(2a-1);(3)(m+2)(m-2)-m(m-3).板书设计两数和乘以这两数的差1.两数和乘以这两数的差公式:(a+b)(a-b)=a2-b22.例题教学反思课题 2.两数和(差)的平方课时1课时上课时间教学目标1.知识与技能(1)理解两数和(差)的平方的公式.(2)能熟练进行两数和(差)的平方的运算.2.过程与方法(1)通过探索两数和乘以这两数的差的公式,让学生体会从一般到特殊的基本思想和数形结合的基本方法.(2)在进行两数和(差)的平方的运算中提高学生的观察分析和计算能力.3.情感、态度与价值观(1)在学生自主探究中,感受成功的乐趣,使学生充满自信充满阳光.(2)在分组交流中提高学生的协作意识,养成合作学习的习惯,体会团队的价值.教学重难点重点:掌握两数和(差)的平方的公式,会进行两数和(差)的平方的运算.难点:探究两数和(差)的平方公式的思维过程.教学活动设计二次设计课堂导入思考下面的问题:1.多项式与多项式相乘的方法?2.计算:(1)(x+3y)(x+3y);(2)(x-2)(x-2).3.正方形的边长为a+b,你可以求出它的面积吗?探索新知合作探究自学指导1.(a+b)2是2个相乘,(a+b)2=( )( ).根据多项式乘以多项式的法则计算:(a+b)2= .2.观察算式的特点:左边是,观察结果的特征:右边是.3.归纳两数和的平方公式: .4.根据教材图12.3.2分别计算图形的面积,可以得到什么关系?5.例4中,(2x+3y)2和2a+2是否符合两数和的平方公式?分别对应公式中的a,b这两个数是多少?怎样根据公式计算?6.把(a-b)2整理为[a+(-b)]2后,你可以根据两数和的平方公式进行计算吗?根据多项式乘以多项式进行计算看结果是否相同.7.根据自己计算的结果总结两数差的平方公式: .。
八年级数学上册12.3乘法公式1《两数和乘以这两数的差》教学设计(新版)华东师大版
§ 12.3.1两数和乘以这两数的差、背景介绍及教学资料本教材改变了传统教材乘法公式单独成章的模式，而是在学习了整式乘法的基本知识之后直接导入，显得贴切自然，使学生体会到从一般到特殊的思想。
另一方面，新课标对乘法公式的要求是：会推导乘法公式(a + b) (a—b)= a2-b2, 了解公式的几何背景，并能进行简单计算。
较之旧大纲, 内容减少，要求降低。
当然，乘法公式的推导是初中运用推理方法进行恒等变形的开端，在推导过程中使用了以特殊到一般的归纳推理方法，教学中不仅要求学生记住公式，理解公式，更要深入理解公式中字母的广泛含义。
二、教学设计【教学内容分析】本节课引导学生用所学过的多项式和多项式相乘的法则，动手运算两数和与两数差的积结果，从而让他们体会两数和与两数差的积的结果与这两数的关系，从而得出平方差公式，并通过做一做给出它的几何解释，即增加可信度和印象，也增强学生的学习兴趣。
【教学目标】1、通过运算多项式乘法，来推导平方差公式，培养学生认识由一般法则到特殊法则的能力。
2、通过亲自动手、观察并发现平方差公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义。
3、初步学会运用平方差公式进行计算。
【教学重点、难点】重点是平方差公式的推导及应用。
难点是对公式中a, b的广泛含义的理解及正确运用。
【教学准备】展示课件。
【教学过程】(2) (3-x)(3+x)= _______________(3) (a+b)(a-b )= ______________(4) (2m+n)(2m-n)= _____________二、交流探索，归结公式1、探索引导学生对引例中的1,2,3 , 4进行研究，对探索发现的特点进行整理归纳。
并回答问题：1,2,3,4 小题等式左边有哪些特点？回答问题：1,2,3,4 小题等式右边有哪些特点？问题：观察以上算式及其运算结果，你发现了什么规律？2、归结引导学生仔细而具体地观察题目特征，比较等号两边的代数式，它们在系数和字母方面各有什么特点？两者有什么联系?(用自己的语言叙述你的发现)进而分析产生这些特点的原因，然后由特殊到一般寻找出规律，并用语言进行概括，得到：两数和与这两数差的积，等于这两数的平方的差。
133乘法公式教案华东师大版八年级上
13．3乘法公式（一）
教学目标：
能说出平方差公式的特点，并会用式子表示.
能使学生正确地利用平方差公式进行多项式的乘法.
通过平方差公式得出的过程，使学生明白数形结合的思想
教学重点：
掌握平方差公式的特点，能熟练运用公式.
教学难点：
具体问题要具体分析，会运用公式进行计算.
教学准备：
多媒体课件
教学流程
教学环节
教师与学生活动
设计意图及备注
情趣引入
练习
公式推导
公式特征
数形结合
学以至用
理解公式
训练公式
强化公式：
公式应用：
探索天地：
小结：
作业
从前有一个狡猾的地主，他把一块长为x米的正方形土地租给张老汉种植，有一天，他对张老汉说：“我把这块地的一边减少5米，另一边增加5米，继续租给你，你也没吃亏，你看如何？”张老汉一听觉得没有吃亏，就答应了.同学们，你能告诉张老汉他吃亏了吗？
（9） （10）（-4a-1）（4a-1）
例3]计算:
`1998×2002999×100159.8×60.2
（1）498×502（2）
1. ；
2．求 的值，其中 ．
3．若
1、本节课我们学了什么？
2、公式有什么作用？
3、公式如何使用，注意什么？
4、公式的证明用的是数形结合（等面积法）的方法，这是今后我们常用的方法.
课本：
练习册：
激发求知欲
从特殊至一般
自主学习
发现特征
数学思想
主要用于判断
一起分析公式的关键字
教给学生用公式时如何利用转化的方法确定两个数的和、两个数的差，从而确定平方差
转化变形
初中数学八年级上华东师大版13.3乘法公式一教案
学以至用理解公式训练公式强化公式：公式应用：下列各式都能用平方差公式吗?（课件）A.(a-3)(a+3) ( )B.(a+3)(a-2) ( )C. (-a+3)(-a-3) （)D. (a+3)(-a-3) （)E. （-a-3）（a-3）（）能否用平方差公式，你有什么更快更好的判断方法吗？两个多项式中：两项相等，两项互为相反数在平方差这个结果中谁作被减数,谁作减数,你还有什么办法确定?相等数的平方减去相反数的平方公式的主要作用是简化运算：现在我们掌握了公式的特点，就可以更快更准确地去运算了.请看例题：[例1]计算:（1）.（2x+21）（2x-21）（2）. （1）(2x+y)(2x－y)（3）(3a＋2b)(3a－2b) （4）(200＋1)(200－1)例2]计算:（1）(x+6)(6-x) （2）11()()22x x-+--（3）)212)(212(22--+-xx（4）))((zyxzyx++-+（5）)31)(31(abba---（6）（3a＋b－2）(3a－b＋2)（7）（3a－2b）（2b＋3a）（8）（－4x＋y）（4x＋y）（9）)221)(221(yxyx--+-（10）（-4a-1）（4a-1）主要用于判断一起分析公式的关键字教给学生用公式时如何利用转化的方法确定两个数的和、两个数的差，从而确定平方差转化变形、公式有什么作用？。
【华东师大版八年级数学上册教案】12.3 乘法公式 第1课时
12.3 乘法公式第1课时教学目标1、使学生从已有的整式乘法的知识中提炼出两数和乘以它们的差这一乘法公式，让学生明确这一公式来源于整式乘法，又可以用于整式的乘法的辩证思想；2、使学生掌握两数和乘以它们的差的公式的结构，并能正确地运用. 教学重难点【教学重点】掌握两数和乘以它们的差的结构特征.【教学难点】正确理解两数和乘以它们的差的公式意义.课前准备无教学过程一、知识回顾：1、口述多项式与多项式相乘法则；2、计算：（1）(2)(3)x x +- （2）(31)(21)x x -+（3）(3)(7)x y x y -+ （4）(25)(32)xy x y +- 二、计算观察：1、做一做，计算()()a b a b +-2、概括：两数和与它们的差的积，等于这两数的平方差；三、举例应用：例1计算：（1）(3)(3)a a +-（2）(23)(23)ab a b +- 例2计算：19982002⨯例3 街心花园有一块边长为a 米的正方形草地，经统一规划后，南北向加长2米，而东西向要缩短2米，问改造后的长方形草地的面积是多少四、随堂练习:P82 1、2、3五、课堂小结：1、本课内容，两数和与它们的差的积，公式指出了具有特殊关系的两个二项式的性质；2、应用本节课公式应满足：找出公式中的第一个数，第二个数，两数和乘以这两数差。
六、家庭作业：Ｐ84 exc1七、每日预题：1、完全平方公式与平方差公式有何各自的特点；2、在什么情况下才能使用完全平方公式。
八、教学反馈：让学生实际参与，自主探索，自己总结，引发他们学习的兴趣，激发他们自己学习的动力，培养自己学习的习惯。
让学生由特殊值的计算规律推广到一般值的计算规律，培养了他们的归纳思想。
教师从学生学习的传授者真正变为学生学习的合作者，在讲新知识时，只是起引导和提示的作用，真正的知识点，则由学生自己得出，这样，既加深学生对知识的印象，也增强了他们学习的兴趣。
八年级数学上册123乘法公式教案华东师大版
12.3 乘法公式习题课教学目标知识与技能：引导学生进行观察、分析，使他们能掌握每一个公式的结构特征，及其公式的含义，并能熟练应用乘法公式．过程与方法：经历探索和理解，感受到乘法公式是一般到特殊的认知过程，开阔学生视野．情感态度与价值观：培养探究意识，感悟数学方法，形成良好的数学感知，体会其实际价值．重点、难点、关键重点：乘法公式的正确应用，提高运算能力．难点：对乘法公式的结构特征以及意义的理解．关键：对公式的结构特征应做出具体分析，掌握公式的特征，加深理解，并培养学生在多变的情况下运用公式．教具准备投影仪．教学过程一、回顾1．口述两数和乘以它们的差的公式．2．口述两数和的平方的公式．3．这两个公式在结构特征上有什么区别？二、参与其中，主动探索例1 计算：（1）（72y+35x）（53x－72y）（2）（－37a－15a2b）（37a－15a2b）（3）（3x－4y）（3x+4y）（9x2+16y2）思路点拨：计算上述题目，注意正确应用两数和乘以这两数的差，在应用公式时注意符号问题．例2 计算（2x－3y－1）（2x+3y+1）．思路点拨：本题不能直接用乘法公式，应进行适当的变形，使这个算式符合公式的特征．可采用适当的分组，变形为[2x－（3y+1）][ 2x +（3y+1）]，这就完全符合公式条件了．解：（2x－3y－1）（2x+3y+1）=[2x－（3y+1）][2x+（3y+1）]=4x2－（3y+1）2=4x2－（9y2+6y+1）=4x2－9y2－6y－1点评：如本道题这样的两个三项式的积，一般说，在对应的三项之中，有一项相同，两项互为相反数，或者有两项完全相同，一项互为相反数，通常是将完全相同的项分为一组，符号相反，绝对值相等的项分为另一组．例3 运用乘法公式计算．（1）745×815（2）100012思路点拨：因为745可以改写成8－15，815可以改写成8+15，•这样可用两数和乘以这两数差的公式．同样，100012可以改写成（10000+1）2，可以用两数和的平方公式来运算．解：（1）745×815=（8－15）（8+15）=64－124632525（2）（10000+1）2=100002+20000+1=100020001 例4 先化简，再求值．[（x+12y）2+（12y－x）2]（12y2－2x2），其中x=2，y=－1．思路点拨：本道题应先通过化简，这里的中括号内的两项用乘法公式展开并整理后得12y2+2x2，则原代数式化简为（12y2+2x2）（12y2－2x2），再通过观察和分析，•可联想到用两数和乘以这两数的差的公式就容易进一步化简了．解 [（x+12y）2+（12y－x）2]（12y2－2x2）=[（x2+xy+14y2）+（14y2－xy+x2）]（12y2－2x2）=（12y2+2x2）（12y2－2x2）=14y2－4x2当x=2，y=－1时原式=14×（－1）2－4×22=14－16=－1534点评：对于代数式求值问题，一般是先将所给代数式化简成最简单的形式，然后代入求值．教师活动：讲演范例、引导．学生活动：参与讨论、探索规律．教学活动：合作探究．三、随堂练习，巩固知识1．填空题：（1）（2x+7y）（2x－7y）=_________（2）（－x－2y）2=_________（3）19952－1994×1996=_________（4）若x+y=－1，xy=5，则x2+y2=_______（5）若a+b=－5，ab=7，则（a－b）2=________（6）（x－y）（x+y）（x2－y2）=_________2．计算题．（1）（3x+4）2（3x－4）2（2）（x+y－z）（x－y+z）（3）（x+3）2－2（x+3）（x－3）－3（x－3）2（4）（x－2b+1）2（5）0.982教师活动：操作投影仪、巡视、引导．学生活动：书面练习，板演、回答提问．教学方法和媒体：投影显示练习题．四、全课小结，提高认识1．本节课应理解乘法公式是一种特殊形式的乘法，•掌握好乘法公式的结构特征，并注意其区别． 2．掌握乘法公式使计算简便．3．通过学习能灵活运用公式进行计算，提高运算能力，•还应提高综合运用公式的能力．五、作业布置选用课时作业设计．课时作业设计一、判断题1．（a－b）2=a2－b2（）2．（x－y）2=x2－2xy－y2（）3．（2x－y）（2y－x）=4x2－y2（）4．（x+2y）（x－2y）=x2－4xy+y2（）5．（－m－n）2=m2+2mn+n2（）二、填空题6．（x 2+23）2=x 4+______+49 7．（x －52y ）2=x 2－5xy+______8．（______+2714)______55b =+ab+______9．（－7x －3y ）2（－7x+3y ）2=________ 10．12x 2－3（x －1）（x －7）=________ 11．若a+1a =53，则a 2+21a=__________ 12．若x （x －1）－（x 2－y ）=4，则222y x +－xy=_________三、选择题13．计算（a －1）（a+1）（a 2+1）的正确结果是（ ）． A ．a 4+1 B ．a 4－1 C ．a 4+2a+1 D ．a 2－1 14．在下列各式的计算中正确的个数有（ ）个． （1）（－x －y ）2=x 2+y 2（2）（14x+1）2=14x 2+12x+1（3）（x －2y ）2（x+2y ）2=x 4－16y 4（4）（m+n ）（m －n ）（m 2－n 2）=m 8－2m 4n 4+n 8A ．0B ．2C ．3D ．415．多项式x 的计算结果是x 2y 2－2xy+1，则x 等于（ ）．A ．（xy －1）2B ．（xy+1）2C ．（x+y ）2D ．（x －y ）216．下列各式的计算中，错误的是（ ）． A ．（x+1）（x+4）=x 2+5x+4 B ．（x 2－13）（x 2+13）=x 4－19C ．1－2（xy －1）2=－2x 2y 2+4xy －1 D ．（1+4x ）（1－4x ）=1－32x+16x 2四、计算题17．（2m －1）（2m+1）－3（m －2）218．（1－2x ）（1－3x ）－4（3x －1）219．（14x －25y ）2（14x+25y ）220．（m 4+116）（m 2+14）（m+12）（m －12） 21．（a －2b+3）（a+2b －3） 22．（a －2b －3）（a －2b+3）23．[（x －y ）2+（x+y ）2]（x 2－y 2） 24．（m －n －3）2五、先化简，再求值25．（m －14n ）（m+14n ）－3（m+14n ）2，其中m=－1，n=4． 26．[（x+y ）2+（x －y ）2+（x －12y ）2－（x+12y ）2]·（x+y ），其中x=12，y=34．六、解下列方程27．（x －2）（x+1）=（x －3）（x+5）－10 28．（2x+1）（x －1）－1=（1+x ）（2x －1） 29．（3x －4）（3x －4）>8（x －2）（x+3）+x 2答案:一、1．× 2．× 3．× 4．× 5．∨二、6．43x 2 7．2225498.425y a a b 9．81y 4－882x 2y 2+2401x 410．9x 2+24x －21 11．7912．•8 三、13．B 14．A 15．A 16．D四、17．m 2+12m －1318．－30x 2+19x －3 19．422481116120.25650625256x x y y m -+-21．a 2－4b 2+12b －9 22．a 2－4ab+4b 2－9 23．2x 4－2y 424．m 2+n 2+9－2mn －6m+6n五、25．0 26．3532六、27．x=23328．x=－12 29．x<42019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图，将矩形纸片ABCD 沿其对角线AC 折叠，使点B 落到点B′的位置，AB′与CD 交于点E ，若AB=8，AD=3，则图中阴影部分的周长为( )A ．16B ．19C ．22D ．252．某学校改造一个边长为5米的正方形花坛，经规划后，南北方向要缩短x 米(0<x<5)，东西方向要加长x 米，则改造后花坛的面积与原来的花坛面积相比（ ） A ．增加了x 平方米 B ．减少了2x 平方米 C ．保持不变D ．减少了x 2平方米3．在四边形ABCD 中，若,,AB a AD b BC c ===，则CD 等于（ ） A ．a b c --B ．a b c -+-C ．a b c -+D ．a b c -++4．如图：由火柴棒拼出的一列图形，第n 个图形是由(1)n +个等边三角形拼成的，通过观察，分析发现：第8个图形中平行四边形的个数（ ）．A ．16B ．18C ．20D ．225．某校九年级（1）班全体学生体能测试成绩统计如下表（总分30分）： 成绩（分） 24 25 26 27 28 29 30 人数（人）2566876根据上表中的信息判断，下列结论中错误的是( ) A ．该班一共有40名同学 B ．成绩的众数是28分 C ．成绩的中位数是27分D ．成绩的平均数是27.45分6．A 、B 、C 分别表示三个村庄，AB 1700=米，800BC =米，AC 1500=米，某社区拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P 的位置应在（ ）A ．AB 的中点 B ．BC 的中点C ．AC 的中点D ．C ∠的平分线与AB 的交点7．为了解某公司员工的年工资情况，小王随机调查了10位员工，某年工资(单位：万元)如下：3，3，3，4，5，5，6，6，8，20.下列统计量中，能合理反映该公司员工年工资水平的是( ) A ．方差B ．众数C ．中位数D ．平均数8．有一组数据7、11、12、7、7、8、11，下列说法错误的是（ ） A ．中位数是7B ．平均数是9C ．众数是7D ．极差为59．如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是（ ）A ．∠1=∠2B ．AB ⊥AC C ．AB=CD D ．∠BAD+∠ABC=180°10．某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x ，则可列方程为（ ）A ．80（1+x ）2=100B ．100（1﹣x ）2=80C ．80（1+2x ）=100D ．80（1+x 2）=100 二、填空题11．为了估计湖里有多少鱼，我们从湖里捕上150条鱼作上标记，然后放回湖里去，经过一段时间再捕上300条鱼，其中带标记的鱼有30条，则估计湖里约有鱼_______条．12．如图，菱形ABCD 的边长为4，∠BAD=120°，点E 是AB 的中点，点F 是AC 上的一动点，则EF+BF 的最小值是 ．13．如图，在矩形ABCD 中，20BC cm =，点P 和点Q 分别从点B 和点D 同时出发，按逆时针方向沿矩形ABCD 的边运动，点P 和点Q 的速度分别为3/cm s 和2/cm s ，当四边形ABPQ 初次为矩形时，点P 和点Q 运动的时间为__________s ．14．如图，在平面直角坐标系中，正方形OA 1B 1C 1，B 1A 2B 2C 2，B 2A 3B 3C 3，···的顶点B 1，B 2，B 3，···在x 轴上，顶点C 1，C 2，C 3···在直线y=kx+b 上，若正方形OA 1B 1C 1，B 1A 2B 2C 2的对角线OB 1=2，B 1B 2=3, 则点C 5的纵坐标是_____．15．已知等腰三角形的周长为24，底边长y 关于腰长x 的函数表达式(不写出x 的取值范围) 是________．16．若分式 23122x x --的值为零，则 x =_____．17．已知△ABC 的一边长为 10，另两边长分别是方程 x2 - 14 x + 48 = 0 的两个根若用一圆形纸片将此三角形完全覆盖，则该圆形纸片的最小半径是_______________． 三、解答题18．为了庆祝新中国成立70周年，某校组织八年级全体学生参加“恰同学少年，忆峥嵘岁月”新中国成立70周年知识竞赛活动．将随机抽取的部分学生成绩进行整理后分成5组，50～60分（5060x ≤<）的小组称为“学童”组，60～70分(6070x ≤<)的小组称为“秀才”组，70～80分(7080x ≤<)的小组称为“举人”组，80～90分(8090x ≤<)的小组称为“进士”组，90～100分(90100x ≤≤)的小组称为“翰林”组，并绘制了不完整的频数分布直方图如下，请结合提供的信息解答下列问题：（1）若“翰林”组成绩的频率是12.5％，请补全频数分布直方图； （2）在此次比赛中，抽取学生的成绩的中位数在 组；（3）学校决定对成绩在70～100分(70100x ≤≤)的学生进行奖励，若八年级共有336名学生，请通过计算说明，大约有多少名学生获奖?19．（6分）已知直线y＝kx+b经过点A（﹣20，1）、B（10，20）两点．（1）求直线y＝kx+b的表达式；（2）当x取何值时，y＞1．20．（6分）为了提高学生书写汉字的能力，增强保护汉字的意识，某校举办了“汉字听写大赛”，学生经选拔后进入决赛，测试同时听写100个汉字，每正确听写出一个汉字得1分，本次决赛，学生成绩为x（分），x<（无满分），将其按分数段分为五组，绘制出以下不完整表格：且50100组别成绩x（分）频数（人数）频率x< 2 m一5060x<10 0.2二6070x<12 b三7080x<a0.4四8090x< 6 n五90100请根据表格提供的信息，解答以下问题：（1）本次决赛共有__________名学生参加；（2）直接写出表中：a=___________b=____________（3）请补全右面相应的频数分布直方图；（4）若决赛成绩不低于80分为优秀，则本次大赛的优秀率为__________．21．（6分）,A B两地相距300km，甲、乙两车同时从A地出发驶向B地，甲车到达B地后立即返回，如图是两车离A地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象.（1）求甲车行驶过程中y 与x 之间的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围. （2）若两车行驶5h 相遇，求乙车的速度.22．（8分）在平面直角坐标系中，设两数12,ny x m y x=-+=(m n ，， 是常数，0n ≠)．若函数1y x m=-+的图象过(2)n -，，且6n m +=． (1)求m n ，的值：(2)将函数 y x m =-+的图象向上平移()0h h >个单位，平移后的函数图象与函数2 ny x=的图象交于直线4y =上的同一点，求h 的值；(3)已知点()M a b ， (a b ，为常数)在函数1 y x m =-+的图象上，()M a b ，关于y 轴的对称点为N ，函数3 0()y kx m k =+≠的图象经过点N ，当1322y y y +<时，求x 的取值范围． 23．（8分）已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，CE ∥BD 交AD 的延长线于点E ，CE=AC ． （1）求证：四边形ABCD 是矩形；（2）若AB=4，AD=3，求四边形BCED 的周长．24．（10分）如图，在ABCD 中，AE BC ⊥于点E 点，延长BC 至F 点使=CF BE ，连接AF ，DE ，DF.（1）求证：四边形AEFD 是矩形；（2）若6AB =，8DE =，10BF =，求AE 的长.25．（10分）如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，MN 垂直平分BE ，分别交AD ，BE ，BC 于点M ，O ，N ，连接BM ，EN(1)求证：四边形BMEN 是菱形.(2)若AE ＝8，F 为AB 的中点，BF+OB ＝8，求MN 的长.参考答案一、选择题（每题只有一个答案正确）1．C【解析】【分析】首先由四边形ABCD 为矩形及折叠的特性，得到B′C=BC=AD ，∠B′=∠B=∠D=90°，∠B′EC=∠DEA ，得到△AED ≌△CEB′，得出EA=EC ，再由阴影部分的周长为AD+DE+EA+E B′+B′C+EC ，即矩形的周长解答即可．【详解】解：∵四边形ABCD 为矩形，∴B′C=BC=AD ，∠B′=∠B=∠D=90°∵∠B′EC=∠DEA ，在△AED 和△CEB′中，'''BE C DEA B DB C AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AED ≌△CEB′(AAS)；∴EA=EC ，∴阴影部分的周长为AD+DE+EA+EB′+B′C+EC ，=AD+DE+EC+EA+EB′+B′C ，=AD+DC+AB′+B′C ，=3+8+8+3，=22，故选：C ．【点睛】本题主要考查了图形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，及矩形的性质．熟记翻折前后两个图形能够重合找出相等的角是解题的关键．2．D【解析】【分析】根据题意得到改造后花坛的长为（5+x ）米，宽为（5-x ）米，则其面积为（5+x ）（5-x ）=（25-x 2）平方米，然后根据正方形的面积为52=25平方米可得到改造后花坛的面积减少了x 2平方米．【详解】解：根据题意改造后花坛为矩形，其长为（5+x ）米，宽为（5-x ）米，所以矩形花坛的面积为（5+x ）（5-x ）=（25-x 2）平方米，而原正方形面积为52=25平方米，所以改造后花坛的面积减少了x 2平方米．故选：D【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景：利用几何面积验证平方差公式，根据题意画出图形，数形结合思想解题是本题的解题关键．3．B【解析】【分析】如图，连接BD ．利用三角形法则解题即可．【详解】如图，连接BD ．,,CD BD BC b a c BC =-=--==∵,AB a AD b ==，∴BD AD AB b a =-=-．又BC c =，∴CD BD BC b a c =-=--，即CD a b c =-+-．故选B ．【点睛】考查了平面向量，属于基础题，熟记三角形法则即可解题，解题时，注意转化思想的应用．4．C【解析】【分析】根据图形易得：n=1时有1=12个平行四边形；n=2时有2=1×2个平行四边形；n=3时有4=22个平行四边形；n=4时有6=2×3个平行四边形;由此可知应分n 的奇偶，得出答案.【详解】解：∵n=1时有1=12个平行四边形；n=2时有2=1×2个平行四边形；n=3时有4=22个平行四边形；n=4时有6=2×3个平行四边形；…∴当为第2k-1（k 为正整数）个图形时，有k 2个平行四边形，当第2k （k 为正整数）个图形时，有k （k+1）个平行四边形，第8个图形中平行四边形的个数为即当k=4时代入得4×5=20个，故选C.【点睛】本题考查了图形的变化规律，通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．5．C【解析】【分析】结合表格根据众数、平均数、中位数的概念求解．【详解】A、该班的学生人数为2+5+6+6+8+7+6=40（人），故此选项正确；B、由于28分出现次数最多，即众数为28分，故此选项正确；C、成绩的中位数是第20、21个数据的平均数，即中位数为28282+=28（分），故此选项错误；D、24225526627628829730640⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=27.45（分），故此选项正确，故选C．【点睛】本题考查了众数、平均数、中位数的知识，掌握各知识点的概念是解答本题的关键．6．A【解析】【分析】先计算AB2=2890000，BC2=640000，AC2=2250000，可得BC2+AC2=AB2，那么△ABC是直角三角形，而直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，从而可确定P点的位置．【详解】解：如图∵AB2=2890000，BC2=640000，AC2=2250000∴BC2+AC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，∴活动中心P应在斜边AB的中点．故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理．解题的关键是证明△ABC是直角三角形．7．C【解析】【分析】根据中位数的定义求解.【详解】解：中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），反映的是一组数据的中间水平．因此能合理反映该公司年工资中等水平的是中位数．故选C．8．A【解析】【分析】根据中位数.平均数.极差.众数的概念求解．【详解】这组数据按照从小到大的顺序排列为：7.7.7.8.11.11.12，则中位数为8，平均数为777811111297++++++=，众数为7，极差为1275-=，故选A．【点睛】本题考查了加权平均数，中位数，众数，极差，熟练掌握概念是解题的关键. 9．B【解析】【分析】根据平行四边形的性质逐一进行分析即可得.【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AB=CD，AD//BC，故C选项正确，不符合题意；∵AB//CD，∴∠1=∠2，故A选项正确，不符合题意；∵AD//BC，∴∠BAD+∠ABC=180°，故D选项正确，不符合题意；无法得到AB⊥AC，故B选项错误，符合题意，故选B.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质定理是解题的关键.10．A【解析】【分析】利用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），设平均每次增长的百分率为x，根据“从80吨增加到100吨”，即可得出方程．【详解】由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x，根据2016年蔬菜产量为80吨，则2017年蔬菜产量为80（1+x）吨，2018年蔬菜产量为80（1+x）（1+x）吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，即：80（1+x）2=100，故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）．解题的关键在于理清题目的含义，找到2017年和2018年的产量的代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程．二、填空题11．1500【解析】【分析】300条鱼里有30条作标记的，则作标记的所占的比例是30÷300=10%，即所占比例为10%．而有标记的共有150条，据此比例即可解答．【详解】150÷（30÷300）=1500（条）．故答案为：1500【点睛】本题考查的是通过样本去估计总体．12．.【解析】试题分析：首先连接DB，DE，设DE交AC于M，连接MB，DF．证明只有点F运动到点M时，EF+BF 取最小值，再根据菱形的性质、勾股定理求得最小值．试题解析：连接DB，DE，设DE交AC于M，连接MB，DF，延长BA，DH⊥BA于H，∵四边形ABCD是菱形，∴AC，BD互相垂直平分，∴点B关于AC的对称点为D，∴FD=FB，∴FE+FB=FE+FD≥DE．只有当点F运动到点M时，取等号（两点之间线段最短），△ABD中，AD=AB，∠DAB=120°，∴∠HAD=60°，∵DH⊥AB，∴AH=AD，DH=AD，∵菱形ABCD的边长为4，E为AB的中点，∴AE=2，AH=2，∴EH=4，DH=，在RT△EHD中，DE=∴EF+BF的最小值为．【考点】1.轴对称-最短路线问题；2.菱形的性质．13．1【解析】【分析】根据矩形的性质，可得BC 与AD 的关系，根据矩形的判定定理，可得BP ＝AQ ，构建一元一次方程，可得答案．【详解】解；设最快x 秒，四边形ABPQ 成为矩形，由BP ＝AQ 得3x ＝20−2x ．解得x ＝1，故答案为：1．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，能根据矩形的性质得出方程是解此题的关键．14．（34116，8116） 【解析】【分析】利用正方形性质，求得C 1、C 2坐标，利用待定系数法求得函数关系式，再求C 3坐标，根据C 1、C 2、C 3坐标找出纵坐标规律，求得C 5纵坐标，代入关系式，求得C 5坐标即可.【详解】如图：根据正方形性质可知：11111OP PC PB ==OB 1=2，B 1B 2=3∴C 1坐标为（1,1），C 2坐标为（72，32） 将C 1、C 2坐标代入y=kx+b 1=3722k b k b +⎧⎪⎨=+⎪⎩ 解得：1545k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以该直线函数关系式为1455y x =+ 设23B P a =,则3C 坐标为（1+2+a ，a ）代入函数关系式为1455y x=+，得：14(12)55a a=+++，解得：94a=则C3（294，94）则C1（1,1），C2（72，32），C3（294，94）找出规律：C4纵坐标为278，C5纵坐标为8116将C5纵坐标代入关系式，即可得：C5（34116，8116）【点睛】本题为图形规律与一次函数综合题，难度较大，熟练掌握正方形性质以及一次函数待定系数法为解题关键. 15．y=24-2x【解析】分析：根据周长等于三边之和可得出底边长y关于腰长x的函数表达式.详解：由题意得,y+x+x=24,∴y=24-2x.故答案为：y=24-2x.点睛：本题考查了列一次函数关系式，熟练掌握周长等于三边之和是解答本题的关键.16．-1【解析】【分析】直接利用分式的值为 0，则分子为 0，分母不为 0，进而得出答案．【详解】 解：∵分式23122x x --的值为零， ∴23120,20x x -=-≠解得：2x =-．故答案为：﹣1．【点睛】本题考查分式的值为零的条件，正确把握定义是解题的关键．17．1【解析】【分析】求出方程的解，根据勾股定理的逆定理得出三角形ABC 是直角三角形，根据已知得出圆形正好是△ABC 的外接圆，即可求出答案．【详解】解：解方程x 2-14x+48=0得：x 1=6，x 2=8，即△ABC 的三边长为AC=6，BC=8，AB=10，∵AC 2+BC 2=62+82=100，AB 2=100，∴AB 2=AC 2+BC 2，∴∠C=90°∵若用一圆形纸片将此三角形完全覆盖，则该圆形纸片正好是△ABC 的外接圆，∴△ABC 的外接圆的半径是12AB=1， 故答案为1．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，三角形的外接圆与外心，解一元二次方程的应用．三、解答题18．（1）详见解析；（2）70~80或“举人”；（3）231.【分析】（1）先根据90～100分的人数及其所占百分比求得总人数，再由各组人数之和等于总人数求得60～70分的人数．从而补全图形；（2）根据中位数的定义求解可得；（3）利用样本估计总体的思想求解可得．【详解】解：（1）∵被调查的总人数为6÷12.5%=48（人），∴60～70分的人数为48-（3+18+9+6）=12（人），补全频数分布直方图如下：（2）因为中位数是第24、25个数据的平均数，而第24、25个数据都落在70～80分这一组，所以在此次比赛中，抽取学生的成绩的中位数在70~80或“举人”组，故答案为70~80或“举人”；（3）1896 33623148++⨯=．答：大约有231名学生获奖．故答案为（1）详见解析；（2）70~80或“举人”；（3）231.【点睛】本题考查频数分布表、频数分布直方图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．19．（1）y＝12x+11；（2）x＞﹣20时，y＞1．【解析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式；（2）解不等式12x+11＞1即可．【详解】（1）根据题意得2051020k bk b-+=⎧⎨+=⎩，解得1k2b15⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以直线解析式为y＝12x+11；（2）解不等式12x+11＞1得x＞﹣20，即x＞﹣20时，y＞1．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；再将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；然后解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．20．解：（1）50；（2）20，0.24；（3）见详解；（4）52%．【解析】【分析】（1）用第二组的频数除以它所占的频率得到调查的总人数；（2）用第四组的频率乘以样本容量得到a的值，用第三组的频数除以样本容量得到b的值；（3）利用a的值补全频数分布直方图；（4）用第四组和第五组的频数和除以样本容量即可．【详解】解：解：（1）10÷0.2=50，所以本次决赛共有50名学生参加；（2）a=50×0.4=20，b=1250=0.24；故答案为50；20；0.24；（3）补全频数分布直方图为：（4）本次大赛的优秀率=20650+×100%=52%． 故答案为50；20；0.24；52%．【点睛】本题考查了频数（率）分布直方图：能从频数分布直方图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．21．（1）75(04)100700(47)y x x y x x =≤⎧⎨=-+≤⎩＜＜；（2）40千米/小时.【解析】【分析】（1）甲车行驶过程中y 与x 之间的函数解析式两种，即从A 地到B 地是正比例函数，返回时是一次函数，自变量的取值范围分别为 （0＜x≤4）和（ 4＜x≤7），（2）求出乙车的y 与x 的关系式，再与甲车返回时的关系式组成方程组解出即可．【详解】解：（1）设甲车从A 地驶向B 地y 与x 的关系式为y=kx ，把（4，300）代入得：300=4k ，解得：k=75，∴y=75x （0＜x≤4）设甲车从B 地返回A 地y 与x 的关系式为y=kx+b ，把（4，300）（7，0）代入得： 430070k b k b +⎧⎨+⎩＝＝， 解得：k=-100，b=700，∴y=-100x+700 （4＜x≤7），答：甲车行驶过程中y 与x 之间的函数解析式为：75(04)100700(47)y x x y x x =≤⎧⎨=-+≤⎩＜＜ ， （2）设乙车速度为m 千米/小时，依据两车行驶5h 相遇，在甲车返回时相遇，即甲乙两车离A 的距离相等，得：5m=-100×5+700 解得：m=40答：乙车的速度为40千米/小时．【点睛】考查一次函数的性质、待定系数法求函数的关系式、一次函数与一次方程的关系等知识，理解变量之间的关系是前提，正确识别图象是关键．22．（1）2,4m n ==；（2）3h =；（3）2x >或0x <【解析】【分析】（1）根据题意列方程组即可得到结论；（2）根据平移的性质得到平移后的函数的解析式为y=-x+2+h ，得到交点的坐标为（1，4），把（1，4）代入y=-x+2+h 即可得到结论；（3）由点M （a ，b ）（a ，b 为常数）在函数y 1=-x+m 的图象上，得到M （a ，2-a ），求得点M （a ，b ）关于y 轴的对称点N （-a ，2-a ），于是得到y 3=x+2，解不等式即可得到结论．【详解】解：（1） y x m =-+的图象过(2)n -，，∴2n m -+=-又6n m +=，2,4m n ∴==；（2）将1 2y x =-+的图象向上平移h 后为2y x h =-++， 与函数24 y x=的图象交直线4y =于点（1，4）， 将（1，4）代入2y x h =-++，得：412h =-++，解得：3h =．（3）∵点M （a ，b ）（a ，b 为常数）在函数y 1=-x+m 的图象上，∴M （a ，2-a ），∴点M （a ，b ）关于y 轴的对称点N （-a ，2-a ），∵函数y 3=kx+m （k≠1）的图象经过点N ，32y x ∴=+，由2312y y y <+，代入得： 422 2x x x<+-+， 当x ＞1时，解得：x ＞2，当x ＜1时，解得：x ＜1，综上所述，x 的取值范围为：x ＞2或x ＜1．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正确的理解题意，熟练掌握反比例函数与一次函数的关系是解题的关键．注意掌握数形结合的思想进行解题.23．（1）详见解析；（2）1.【解析】【分析】（1）根据已知条件推知四边形BCED 是平行四边形，则对边相等：CE=BD ，依据等量代换得到对角线AC=BD ，则平行四边形ABCD 是矩形；（2）通过勾股定理求得BD 的长度，再利用四边形BCED 是平行四边形列式计算即可得解．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AE ∥BC ．∵CE ∥BD ，∴四边形BCED 是平行四边形．∴CE=BD ．∵CE=AC ，∴AC=BD ．∴□ABCD 是矩形．（2）解：∵□ABCD 是矩形，AB=4，AD=3，∴∠DAB=90°，BC=AD=3，∴5BD ===．∵四边形BCED 是平行四边形，∴四边形BCED 的周长为2（BC+BD ）=2×(3+5)=1．故答案为（1）详见解析；（2）1.【点睛】本题考查矩形的判定，平行四边形的判定与性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键．24．（1）见解析；（2）24 5【解析】试题分析：（1）先证明四边形AEFD是平行四边形，再证明∠AEF=90°即可．（2）证明△ABF是直角三角形，由三角形的面积即可得出AE的长．试题解析：（1）证明：∵CF=BE，∴CF+EC=BE+EC．即 EF=BC．∵在▱ABCD中，AD∥BC且AD=BC，∴AD∥EF且AD=EF．∴四边形AEFD是平行四边形．∵AE⊥BC，∴∠AEF=90°．∴四边形AEFD是矩形；（2）∵四边形AEFD是矩形，DE=1，∴AF=DE=1．∵AB=6，BF=10，∴AB2+AF2=62+12=100=BF2．∴∠BAF=90°．∵AE⊥BF，∴△ABF的面积=12AB•AF=12BF•AE．∴AE=•6824105 AB AFBF⨯==．25．(1)证明见解析；(2)MN＝15 2.【解析】【分析】(1)先根据线段垂直平分线的性质证明MB＝ME，由ASA证明△BON≌△EOM，得出ME＝NB，证出四边形BMEN是平行四边形，再根据菱形的判定即可得出结论；(2)根据已知条件得到AB+BE＝2BF+2OB＝16，设AB＝x，则BE＝16﹣x，根据勾股定理得到x＝6，求得BE＝16﹣x＝10，OB＝12BE＝5，设ME＝y，则AM＝8﹣y，BM＝ME＝y，根据勾股定理即可得到结论．【详解】(1)证明：∵MN垂直平分BE，∴MB＝ME，OB＝OE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠MEO＝∠NBO，在△BON与△EOM中，MEO NBO OB OEMOE NOB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BON≌△EOM(ASA)，∴ME＝NB，又∵AD∥BC，∴四边形BMEN是平行四边形，又∵MB＝ME，∴四边形BMEN是菱形；(2)解：∵O，F分别为MN，AB的中点，∴OF∥AD，∴∠OFB＝∠EAB＝90°，∵BF+OB＝8，∴AB+BE＝2BF+2OB＝16，设AB＝x，则BE＝16﹣x，在Rt△ABE中，82+x2＝(16﹣x)2，解得x＝6，∴BE＝16﹣x＝10，∴OB＝12BE＝5，设ME＝y，则AM＝8﹣y，BM＝ME＝y，在Rt△ABM中，62+(8﹣y)2＝y2，解得y＝254，在Rt△BOM中，MO＝22222554BM OB⎛⎫=-=-⎪⎝⎭＝154，∴MN＝2MO＝152．【点睛】本题主要考查菱形的判定及性质，勾股定理，掌握菱形的判定方法及性质，结合勾股定理合理的利用方程的思想是解题的关键．2019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．关于x 的方程无解，则m 的值为（ ）A ．﹣5B ．﹣8C ．﹣2D ．52．下列方程中是一元二次方程的是( )A ．2x+1=0B ．x 2+y=1C ．x 2+2=0D ．211x x += 3．当0,0a b <<时，a b化为最简二次根式的结果是（ ） A ．1ab b B ．1ab b - C ．1ab b -- D ．b ab4．关于一次函数的图象，下列说法正确的是（ ）A ．图象经过第一、二、三象限B ．图象经过第一、三、四象限C ．图象经过第一、二、四象限D ．图象经过第二、三、四象限5．关于x 的一元二次方程2(1)210m x x ---=有两个实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m≥0B ．m ＞0C ．m≥0且m≠1D ．m ＞0且m≠1 6．已知ABCD 中，∠A+∠C=200°，则∠B 的度数是（ ） A ．100° B ．160° C ．80° D ．60°7．某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，为抢占市场份额，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．现在要使利润为6120元，每件商品应降价（ ）元．A ．3B ．5C ．2D ．2.582x -x 的取值范围( ) A ．x≤2 B ．x ＜2 C ．x ＞2 D ．x≥29．甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人10次射箭成绩的平均成绩都相同，方差分别是S 甲2=0.65，S 乙2=0.55，S 丙2=0.50，S 丁2=0.45，则射箭成绩最稳定的是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁10．样本数据3、6、a 、4、2的平均数是5，则这个样本的方差是（ ） A ．8 B ．5C ．22D ．3二、填空题11．如图，已知P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，且BP ＝BC ，则∠ACP 度数是_____度．12．设函数1y x =与y=x ﹣1的图象的交点坐标为（a ，b ），则11a b-的值为 ． 13．如图，在ABCD中，∠A =45°，BC =2，则AB 与CD 之间的距离为________ ．14．将直线21y x =-向上平移4个单位，得到直线_______。
八年级数学上册第12章整式的乘除12.3乘法公式教案新版华东师大版
乘法公式教学目标知识与技能处理习题，巩固学生的基础知识，培养学生综合复习问题的能力。
过程与方法核对答案，复习疑难问题，归纳总结知识。
情感态度与价值观完善自我，建立学生的自信心。
教学重点巩固基础知识，提高学生综合应用知识的能力。
教学难点了解学生的不足，建立完整的知识体系。
教学内容与过程教法学法设计一.复习提问，回顾知识，请看下面的问题：1.平方差公式：（1）公式的文字叙述；（2）公式的形式是。
2.完全平方公式：（1）公式的文字叙述；（2）公式的形式是。
3.在算式：①(xy)(xy)；②(12c)(12c)；③99×101；④(xa)(x b)⑤(xa)(xb)；⑥(12c)(12c).能利用平方差公式解的是；能利用完全平方公式解的是；二.导入课题，研究知识：本节课我们来运用学过的公式解决我也乘法公式的复习.面向全体学生提出相关的问题。
明确要研究，探索的问题是什么，怎样去研究和讨论。
.留给学生一定的思考和回顾知识的时间。
为学生创设表现才华的平台。
三.归纳知识，培养能力：乘法公式：1.平方差公式；2.完全平方公式；3.形式和特征。
4.特殊的整式乘法乘法公式。
四.运用知识，分析解题：问题1.计算：⑴(2x3y)2⑵(2a1)2⑶(a1)22.计算：⑴(a3)(a3) ⑵(2a3b)(2a3b) ⑶(12c)(1-2c) ⑷(b2a)(b-2a) ⑸(xy)(xy) ⑹(xy)(xy)五.课堂练习：请见教案和练习册。
六.课后小结：乘法公式七.课后作业：.复印给学生。
1．带领学生核对基础知识练习的答案，鼓励学生总结每题所用的知识，并说出知识是怎样利用的。
2．引导学生做中等难度的练习，鼓励学生总结每题所用的知识。
3．引导学生分组讨论做出较难的练习，并鼓励学生在做题时能从多个侧面、多个出发点考虑问题，从而开阔学生的思路。
建立学生的自信心。
4．引导学生做部分练习，做到进一步的巩固。
教学反思。
八年级数学上册第12章整式的乘除12.3乘法公式教案新版华东师大版word版本
乘法公式办理习题，牢固学生的基础知识，培育学生综合复习问题的教知识与技术能力。
学核对答案，复习疑难问题，归纳总结知识。
目过程与方法标完美自我，建立学生的自信心。
感情态度与价值观教课要点牢固基础知识，提升学生综合应用知识的能力。
教课难点认识学生的不足，建立完好的知识系统。
教课内容与过程教法学法设计一 . 复习发问，回顾知识，请看下边的问题：面向全体学生提出1.平方差公式：相关的问题。
明确要研（ 1）公式的文字表达；究，探究的问题是什么，（ 2）公式的形式是。
如何去研究和谈论。
.2.完好平方公式：（1）公式的文字表达；（2）公式的形式是。
3. 在算式：① (-x+y)(x+y)；② (1+2c)(1-2c)；③99× 101；④ (x+a)(x +b)⑤(x+a)(x+b) ；⑥ (1+2c)(1+2c).能利用平方差公式解的是；能利用完好平方公式解的是；留给学生必定的思考和回顾知识的时间。
为学生创建表现才干的平台。
二. 导入课题，研究知识：本节课我们来运用学过的公式解决我也--------------------乘法公式的复习.三.归纳知识，培育能力：乘法公式：1.平方差公式；2.完好平方公式；3.形式和特色。
4.特别的整式乘法 ---- 乘法公式。
四.运用知识，解析解题：问题1. 计算：⑴ (2x-3y) 22⑵ (2a+1)2⑶ (-a-1)2. 计算：⑴ (a+3)(a+3)⑵ (2a+3b)(2a-3b)⑶ (1+2c)(1-2c)⑷ (b+2a)(b-2a)⑸ (x+y)(x+y)⑹(-x+y)(-x-y)五. 课堂练习：请见教案和练习册。
六. 课后小结：乘法公式七.课后作业： . 复印给学生。
教学反思1．带领学生核对基础知识练习的答案，鼓舞学生总结每题所用的知识，并说出知识是如何利用的。
2．指引学生做中等难度的练习，鼓舞学生总结每题所用的知识。
3．指引学生分组讨论做出较难的练习，并鼓舞学生在做题时能从多个侧面、多个出发点考虑问题，从而宽阔学生的思路。
华东师大版八年级数学上册《乘法公式》教案
《乘法公式》教案教学目标1、经历探究两数和乘以这两数的差的过程来推导平方差公式，理解平方差公式的结构特征，并能有意识地用平方差公式进行简单的运算；了解平方差公式的几何背景；2、在探究平方差公式的过程中，发展学生的符号感和推理、概括能力；通过平方差公式的几何背景的了解，体会代数与几何的内在统一；3、学生通过推导两数和的平方公式，了解公式的几何背景，理解并掌握公式的结构特征，并能进行简单的计算，能用文字、字母表达两数和的平方公式；4、学生通过推导两数差的平方公式，了解公式的几何背景，理解并掌握公式的结构特征，并能进行简单的计算，能用文字、字母表达两数差的平方公式.教学重点平方差公式的应用；两数和、两数差的平方的公式.教学难点（1）平方差公式的结构特征及其有效地应用；（2）平方差公式的几何意义；（3）对公式中字母a、b的广泛含义的理解与正确应用.教学过程【一】活动一竞赛激智，建立模型，揭示公式问题1看谁能又快又准地回答下面4个小题的计算结果.(5＋3)(5－3)﹦(0.5＋0.3)(0.5－0.3)﹦(5＋0.3)(5－0.3)﹦(0.5＋3)(0.5－3)﹦（全部结果出来后）追问：你是如何计算的？设计意图：以通过竞赛为载体，以自主参与为教学形式，使学生从计算的快慢中产生疑惑：总是那几个算得快，我怎么也能象他们那样？进而激发学生的求知的热情.问题2：请计算下列多项式的积：(1)(x＋1)(x－1)﹦(2)(m＋2)(m－2)﹦(3)(2x＋1)(2x－1)﹦（全部结果正确后）追问1：你们的计算结果有什么规律吗？追问2：你发现这些多项式的乘积的表达形式有什么规律吗？学生总结：（1）计算的结果都是两项的平方差，与以往两项乘以两项的结果大多是三项或四项不同；（2）这些两项乘以两项中，有一项是完全相同，另一项又是互为相反的；（3）结果是两项的平方差，并且是完全相同项的平方减区互为相反项的平方.师生互动：（a＋b）（a－b）﹦a2－b2两个数的和与这两个数的差的记，等于这两个数的平方差.教师：（1）这个公式叫做（乘法的）平方差公式.（2）公式中的字母可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式；（3）只要是符合公式的结构特征，都可以用公式进行计算.学生练习：1、下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的有A(x＋1)(1－x) B (a＋b)(b－a) C (－a＋b)(a－b)D(x2－y)( x＋y2) E (－a－b)(a－b) F (c2－d2)(d2＋c2)2、下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？(1)（x＋2）（x－2）﹦x2－2；(2)(－3a－2)(3a－2)﹦9a2－4.设计意图：以学生熟悉的多项式的积为载体，以全部参与讨论、归纳总结为教学形式，由于计算的结果与以往的结果在表现的形式上有大的差异，以及平方差公式的发生过程的探究，体会到从一般到特殊的数学思想方法；通过选择、填空等的练习让学生了理解、掌握平方差公式的结构特征，从心里感受这种一般到特殊的数学思想方法的魅力.活动二师生互动、感知代数、几何的统一师：请同学们将准备的正方形纸板拿出：（1）设它的边长为a（图1），大家都知道它的面积为a2；（2）请同学们按图2剪去一个边长为b的小正方形，大家都知道剩下部分的面积为（a2－b2）；（3）请同学们将剩下的图形剪成（沿图2的虚线）两个长方形，并将一边长为b的小长方形拼到一边长为a的长方形后得图3；同学们都知道图3的一边长为（a＋b），另一边长为（a－b），面积为（a＋b）（a－b）；（4）同学们比较图2和图3不难发现它们面积的关系.a－b）﹦a2－b2.a b a＋b图(1) 图(2) 图(3)师：我们通过拼图游戏给出了平方差公式的一种几何解释.这说明平方差公式具有直观的几何意义，也说明代数不只是计算，还有美妙的几何意义，这实际就是数学魅力.设计意图：通过学生拼图游戏，学生直观体验了平方差公式的几何意义，感受代数不只是计算，还有美妙的几何意义，亲身经历了数学魅力所在.活动三例题分析、指导应用、巩固理解例1运用平方差公式计算：(1)(a＋3)(a－3)(2)(2a＋3b)(2a－3b)(3)(1＋2c)(1－2c)(4)(－2x－y)(2x－y)分析：（1）在(1)中，可以把3看成b，即：(a＋3)(a－3)﹦a2－32(a＋b)(a－b)﹦a2－b2（2）将(2)调整成平方差公式形式计算.（3）（4）自主计算.例2：运用平方差公式计算：1998×2002设计意图：通过一则平方差公式简单的例题分析及应用，巩固理解了公式结构特征，让学生进一步感受到这种一般到特殊的数学思想方法的魅力.活动四拓展分析、提升能力计算(1)102×98；(2)(y＋2)(y－2)－(y－1)(y＋5).分析：只有符合公式要求的乘法，才能用公式简化计算，其余的乘法运算仍按乘法法则计算.学生练习：运用平方差公式计算：（1）51×49；（2）（3x＋4）（3x－4）－（2x＋3）（3x－2）设计意图：这是平方差公式的拓展例题分析及应用，使学生进一步体会平方差公式的结构特征，能进一步灵活运用乘法公式、法则进行计算.活动5小结：平方差公式你学会了吗？【二】知识回顾学生活动：计算：（1）(x+3) (x+3) （2）(x-3) (x-3)（3）(a+b)(a+b) （4）(a-b)(a-b)教学活动说明：通过复习反馈旧知，为新知作铺垫，体现知识的连续性.创设情景提出问题，引入课题小组活动素材：有一位老爷爷非常喜欢孩子，每当有孩子到他家作客时，老爷爷都要拿出糖果招待他们.来一个孩子就给这个孩子一块糖，来两个孩子就给每个孩子两块糖，来三个孩子就给每个孩子三块糖……（1）地一天有a个小男孩一起去了老爷爷家，老爷爷一共给了他们_______块糖；（2）第二天有b个小女孩一起去了老爷爷家，老爷爷一共给了她们_______块糖；（3）第三天这(a+b)个小孩子一起去了老爷爷家，老爷爷一共给了他们_______块糖；（4）这些孩子第三天得到的糖果总数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？教学活动说明：学生分组讨论，从有趣的分糖情景中理解(a+b)2与a2+b2的关系.可激发学生学习的欲望，体现循序渐进的原则，利于运用所学知识解决实际问题从而引出课题.探究(a+b)2的几何意义1、（两人合作探究）：请同学们用自制长方形、正方形卡片拼出一个大正方形.按以下要点思考：（1）大正方形的边长是多少？（2）写出每一块卡片的面积.（3）用不同的形式表示正方形的总面积，并进行比较，你发现了什么？(a+b) 2= a2+ 2ab+ b2教学活动说明：由于正方形的总面积有多种表示方式，学生通过自己动手操作，观察、对比、猜想，了解(a+b) 2=a2+2ab+b2的几何背景，对此公式有了一个直观的认识.2、（学生猜想）：(a-b) 2=？教学活动说明：学生在直观认识的基础上，从代数角度推导公式，可以进一步理解算理.鼓励学生自己探索，鼓励算法多样化.知识归纳交流活动（学生活动）：用自己所理解的语言叙述公式.理解并掌握公式的结构特征.教学活动说明：有意识培养学生有条理的思考和语言表达能力，在交流的氛围中分享同学的想法.公式的运用（师生合作学习）：两数和（差）的平方公式计算第一题组（1）（a +1）2；（2）（a +3）2；（3）（2a +3b）2；（4）（2a + b）2；第二题组（1）（x-1）2；（2）（x-3）2；（3）（2x-3 y）2；（4）（2x - y）2；第三题组（1）（-2m+n）2；（2）（-2m-n）2；（3）10012；（4）9992.(教学活动说明)：帮助学生理解公式中字母的广泛性，在练习的过程中掌握书写的格式.体会公式的应用价值.六、学生反馈练习（学生四大组竞赛活动）：（1）（2x+y）2；（2）（5a +4b）2；（3）972；（1）（2x-y）2；（2）（5a -4b）2；（3）2022；（1）（x+2y）2；（2）（4a +5b）2；（3）1012；（1）（x-2y）2；（2）（4a -5b）2；（3）992.(教学活动说明)：由每个组的组长抽题交给本组成员，限定每人只能做一题然后传给下一个同学，比速度、比合作、比准确，通过学生的共同努力完成任务.在巩固知识的同时培养团队精神和荣誉感.七、知识的小结和延伸教学活动说明：本节课理解掌握了两数和的平方公式，利用公式计算时首先确定将哪个数或者式看作a，哪个数或者式看作b，然后再按公式展开.我们还可以运用所学的知识和方法去探索(a+b+c) 2的结论.只要求感兴趣的同学去探索.。
【华东师大版八年级数学上册教案】12.3乘法公式第2课时
12.3乘法公式
第2课时
教课目标
1、使学生理解两数和的平方的公式，掌握公式的结构特色，并熟练地应用公式进行计算；
2、培育学生探究能力，和概括能力，领悟数形结合的思想.
教课重难点
【教课要点】
掌握两数的平方这一公式的结构特色.
【教课难点】
对详尽问题会运用公式以及理解字母的广泛含义.
课前准备
无
教课过程
一、知识回顾：
1、口述多项式乘以多项式法规；
2、计算
（1）(2 x1)(3x4) （2） (5x3)(5 x3)
二、计算观察：
做一做，计算 (a b)2
2a22ab b2，经过计算，可总结出：两数和的平方的计算规律，获取公式： (a b)
即：两数和的平方，等于它们的平方和加上它们乘积的 2 倍。
三、举例应用：
例1 计算
（1）(2a3b)2（2）(2 a b)2
2
例2 计算
（1）(a b)2（ 2）(2 x 3y)2
四、随堂练习：
Ｐ84 1 、2、 3、4
五、课堂小结：
1、本节课学习了(a b)2a22ab b2，两个乘法公式，在应用时要认识公式的特
征。
记住每一个公式左右两边的特色，记准指数和系数的符号；掌握公式的意义；弄清公式
的变化形式；注意公式在应用中的条件；应灵巧地应用公式来解题
2、经过本节课的学习，使学生领悟到数形结合的数学思想。
六、家庭作业：
Ｐ84 1 、2、 3、4
七、每日预题：
1、请举例说明乘法的分配律的逆运算；
2、对于一个可分解数，如何进行因数分解。
八、教课反响：。
八年级上学期数学乘法公式说课稿模板(华师大版)
给出平方差公式的概念
并请学生观察公式的形式，并总结公式的特点。
学生记录公式的名称和内容
平方差公式可以解释为：两数和与这两数差的乘积等于它们
的平方差。
先通过感性认识平方差公式，再上升为理论，把枯燥的公式
形象化，有助于学生加深理解新知。
四
公
式
推
导
提问：
在我们之前学习的多项式乘法中，两个二项式相乘，合并同
法公式和其他知识的综合运用。
七
课
堂
总
结
⑴掌握平方差公式的内容
⑵理解平方差公式中字母的含义
⑶正向和逆向使用平方差公式，解决数学问题。
适时地总结，有助于学生对问题的深刻认识，同时养成严谨
的学习习惯。
教学过程
设计意图
八
课
后
作
业
基础作业：书后习题
选作作业：
1、证明两个连续偶数的平方差能够被4整除；
2、证明两个连续奇数的平方差能够被8整除；
论，进一步加深认识和理解
教学过程
教师活动
学生活动
设计意图
五
例
题
练
习
例题：
一个正方形的边长增加3cm，它的面积就增加39cm2，这个
正方形的边长为多少？
练习：
1．口答
2．计算
计算后，比较这三道题与口答题之间，在公式运用对象方面
的区别。
解：设这个正方形边长为xcm.
(x+3)2-x2=39
(x+3+x)(x+3-x)=39
教学过程
教师活动
学生活动
设计意图
二
合
作
华师大版初二数学《乘法公式》教学计划模板
华师大版初二数学《乘法公式》教学计划模板
为大家准备了华师大版初二数学乘法公式教学计划模板，供大家参考，
希望能帮助到大家。
一、情境导入：;除了平方差公式外，还有那些公式?如何表
示?;(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a;1.因式分解的完全平方公式：a2+2ab+b2=;用语言表述为：;□2+2□△+△2=(□+△)2□2-2□△+△;三、应用新知;在上面的表格中，
1+4a2x2+;2+4;不是完全平方式，如何修改使之成为完全平方
4.3 用乘法公式分解因式(完全平方)
除了平方差公式外，还有那些公式?如何表示?
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 这是什幺公式把公式倒过来应该怎幺写? ，。
二、知识梳理：
1.因式分解的完全平方公式：a2+2ab+b2 =(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2
用语言表述为：。
2.用□表示a，用△表示b，则公式可表示为
□2+2□△+△2=(□+△)2 □2-2□△+△2=(□-△)2
二、应用新知。
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《乘法公式》教案
教学目标
1、经历探究两数和乘以这两数的差的过程来推导平方差公式，理解平方差公式的结构特征，并能有意识地用平方差公式进行简单的运算；了解平方差公式的几何背景；
2、在探究平方差公式的过程中，发展学生的符号感和推理、概括能力；通过平方差公式的几何背景的了解，体会代数与几何的内在统一；
3、学生通过推导两数和的平方公式，了解公式的几何背景，理解并掌握公式的结构特征，并能进行简单的计算，能用文字、字母表达两数和的平方公式；
4、学生通过推导两数差的平方公式，了解公式的几何背景，理解并掌握公式的结构特征，并能进行简单的计算，能用文字、字母表达两数差的平方公式.
教学重点
平方差公式的应用；
两数和、两数差的平方的公式.
教学难点
（1）平方差公式的结构特征及其有效地应用；
（2）平方差公式的几何意义；
（3）对公式中字母a、b的广泛含义的理解与正确应用. 教学过程
【一】
活动一
竞赛激智，建立模型，揭示公式
问题1看谁能又快又准地回答下面4个小题的计算结果.
(5＋3)(5－3)﹦
(0.5＋0.3)(0.5－0.3)﹦
(5＋0.3)(5－0.3)﹦
(0.5＋3)(0.5－3)﹦
（全部结果出来后）追问：你是如何计算的？
设计意图：以通过竞赛为载体，以自主参与为教学形式，使学生从计算的快慢中产生疑惑：总是那几个算得快，我怎么也能象他们那样？进而激发学生的求知的热情.
问题2：请计算下列多项式的积：
(1)(x＋1)(x－1)﹦
(2)(m＋2)(m－2)﹦
(3)(2x＋1)(2x－1)﹦
（全部结果正确后）追问1：你们的计算结果有什么规律吗？
追问2：你发现这些多项式的乘积的表达形式有什么规律吗？
学生总结：（1）计算的结果都是两项的平方差，与以往
两项乘以两项的结果大多是三项或四项不同；（2）这些两项乘以两项中，有一项是完全相同，另一项又是互为相反的；（3）结果是两项的平方差，并且是完全相同项的平方减区互为相反项的平方.
师生互动：（a＋b）（a－b）﹦a2－b2
两个数的和与这两个数的差的记，等于这两个数的平方差.
教师：（1）这个公式叫做（乘法的）平方差公式.
（2）公式中的字母可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式；
（3）只要是符合公式的结构特征，都可以用公式进行计算.
学生练习：
1、下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的有
A(x＋1)(1－x) B (a＋b)(b－a) C (－a＋b)(a－b)
D(x2－y)( x＋y2) E (－a－b)(a－b) F (c2－d2)(d2＋c2)
2、下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
(1)（x＋2）（x－2）﹦x2－2； (2)(－3a－2)(3a －2)﹦9a2－4.
设计意图：以学生熟悉的多项式的积为载体，以全部参
与讨论、归纳总结为教学形式，由于计算的结果与以往的结果在表现的形式上有大的差异，以及平方差公式的发生过程的探究，体会到从一般到特殊的数学思想方法；通过选择、填空等的练习让学生了理解、掌握平方差公式的结构特征，从心里感受这种一般到特殊的数学思想方法的魅力.
活动二
师生互动、感知代数、几何的统一
师：请同学们将准备的正方形纸板拿出：
（1）设它的边长为a （图1），大家都知道它的面积为a 2；
（2）请同学们按图2剪去一个边长为b 的小正方形，大家都知道剩下部分的面积为（a 2－b 2）；
（3）请同学们将剩下的图形剪成（沿图2的虚线）两个长方形，并将一边长为b 的小长方形拼到一边长为a 的长方形后得图3；同学们都知道图3的一边长为（a ＋b ），另一边长为（a －b ），面积为（a ＋b ）（a －b ）；
（4）同学们比较图2和图3不难发现它们面积的关系. 生：它们的面积相等，即（a ＋b ）（a －b ）﹦a 2－b 2.
a b
a
＋b
图(1) 图(2) 图(3)
师：我们通过拼图游戏给出了平方差公式的一种几何解释.这说明平方差公式具有直观的几何意义，也说明代数不
只是计算，还有美妙的几何意义，这实际就是数学魅力.
设计意图：通过学生拼图游戏，学生直观体验了平方差
公式的几何意义，感受代数不只是计算，还有美妙的几何意义，亲身经历了数学魅力所在.
活动三
例题分析、指导应用、巩固理解
例1运用平方差公式计算：
(1)(a＋3)(a－3)
(2)(2a＋3b)(2a－3b)
(3)(1＋2c)(1－2c)
(4)(－2x－y)(2x－y)
分析：
（1）在(1)中，可以把3看成b，即：
(a＋3)(a－3)﹦a2－32
(a＋b)(a－b)﹦a2－b2
（2）将(2)调整成平方差公式形式计算.
（3）（4）自主计算.
例2：
运用平方差公式计算：
1998×2002
设计意图：通过一则平方差公式简单的例题分析及应用，巩固理解了公式结构特征，让学生进一步感受到这种一般到特殊的数学思想方法的魅力.
活动四
拓展分析、提升能力
计算
(1)102×98；
(2)(y＋2)(y－2)－(y－1)(y＋5).
分析：只有符合公式要求的乘法，才能用公式简化计算，其余的乘法运算仍按乘法法则计算.
学生练习：
运用平方差公式计算：
（1）51×49；（2）（3x＋4）（3x－4）－（2x＋3）（3x－2）
设计意图：这是平方差公式的拓展例题分析及应用，使学生进一步体会平方差公式的结构特征，能进一步灵活运用乘法公式、法则进行计算.
活动5
小结：
平方差公式你学会了吗？
【二】
知识回顾
学生活动：计算：（1）(x+3) (x+3) （2）(x-3) (x-3) （3）(a+b)(a+b) （4）(a-b)(a-b)
教学活动说明：通过复习反馈旧知，为新知作铺垫，体现知识的连续性.
创设情景提出问题，引入课题
小组活动素材：有一位老爷爷非常喜欢孩子，每当有孩子到他家作客时，老爷爷都要拿出糖果招待他们.来一个孩子就给这个孩子一块糖，来两个孩子就给每个孩子两块糖，来三个孩子就给每个孩子三块糖……
（1）地一天有a个小男孩一起去了老爷爷家，老爷爷一共给了他们_______块糖；
（2）第二天有b个小女孩一起去了老爷爷家，老爷爷一共给了她们_______块糖；
（3）第三天这(a+b)个小孩子一起去了老爷爷家，老爷爷一共给了他们_______块糖；
（4）这些孩子第三天得到的糖果总数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？
教学活动说明：学生分组讨论，从有趣的分糖情景中理
解(a+b)2与a2+b2的关系.可激发学生学习的欲望，体现循序
渐进的原则，利于运用所学知识解决实际问题从而引出课
题.
探究(a+b)2的几何意义
1、（两人合作探究）：请同学们用自制长方形、正方形
卡片拼出一个大正方形.按以下要点思考：（1）大正方形的
边长是多少？（2）写出每一块卡片的面积.（3）用不同的
形式表示正方形的总面积，并进行比较，你发现了什么？
(a+b) 2 = a2 + 2ab + b2
教学活动说明：由于正方形的总面积有多种表示方式，
学生通过自己动手操作，观察、对比、猜想，了解(a+b)
2=a2+2ab+b2的几何背景，对此公式有了一个直观的认识.
2、（学生猜想）：(a-b) 2=？
教学活动说明：学生在直观认识的基础上，从代数角度
推导公式，可以进一步理解算理.鼓励学生自己探索，鼓励
算法多样化.
知识归纳交流活动
（学生活动）：用自己所理解的语言叙述公式.理解并掌
握公式的结构特征.
教学活动说明：有意识培养学生有条理的思考和语言表达能力，在交流的氛围中分享同学的想法.
公式的运用
（师生合作学习）：两数和（差）的平方公式计算
第一题组
（1）（a +1）2；（2）（a +3）2；（3）（2a +3b）2；（4）（2a + b）2；
第二题组
（1）（x-1）2；（2）（x-3）2；（3）（2x-3 y）2；（4）（2x - y）2；
第三题组
（1）（-2m+n）2；（2）（-2m-n）2；（3）10012；（4）9992.
(教学活动说明)：帮助学生理解公式中字母的广泛性，在练习的过程中掌握书写的格式.体会公式的应用价值.
六、学生反馈练习
（学生四大组竞赛活动）：
（1）（2x+y）2；（2）（5a +4b）2；（3）972；
（1）（2x-y）2；（2）（5a -4b）2；（3）2022；
（1）（x+2y）2；（2）（4a +5b）2；（3）1012；
（1）（x-2y）2；（2）（4a -5b）2；（3）992.
(教学活动说明)：由每个组的组长抽题交给本组成员，
限定每人只能做一题然后传给下一个同学，比速度、比合作、比准确，通过学生的共同努力完成任务.在巩固知识的同时培养团队精神和荣誉感.
七、知识的小结和延伸
教学活动说明：本节课理解掌握了两数和的平方公式，利用公式计算时首先确定将哪个数或者式看作a，哪个数或者式看作b，然后再按公式展开.我们还可以运用所学的知识和方法去探索(a+b+c) 2的结论.只要求感兴趣的同学去探索.。