阶线性方程与常数变易法习题及解答
第4章_第4节_常数变易法
a11 ( x )e x a11 ( x ) sin x a12 ( x ) x a21 ( x )e a21 ( x ) sin x a22 ( x )
a11 ( x ) 1, a21 ( x ) a22 ( x ) 0 a12 ( x ) cos x sin x .
②
③
由③，得 y2 c2 , 再由 y2 ( 0) 1，得 c2 1
y2 1,
代入②得
dy1 y1 (cos x sin x ) 1 xe x dx 关于 y1 的一阶非齐线性方程
y1 ( x )
x x dt e 0 [
e x[
0
x
0
(cos t sin t te t )e
的一个基本解组，则(3.1)满足初值：
( 3.2)
( x0 ) ( x0 ) ( n1) ( x0 ) 0
的特解为： (3.1)的常数变易公式 n x W (t ) ni ( x) yi ( x ) f ( t )dt x0 W ( t ) i 1
x
x
0
c ( t ) dt
x
x
0
1 ( t ) f ( t ) dt
c ( x ) c ( x0 )
x
x
0
1 ( t ) f ( t ) dt
33
亦即
c ( x1 ( t ) f ( t ) dt
dy1 a11 ( x ) y1 a12 ( x ) y2 xe x dx dy2 a21 ( x ) y1 a22 ( x ) y2 dx 已知与其对应的齐线性方程组的一个基解矩阵
常微分方程第三版习题答案
常微分方程第三版习题答案常微分方程是数学中的一个重要分支，它研究的是描述自然界中变化规律的方程。
在学习常微分方程的过程中，习题是非常重要的一部分，通过解习题可以加深对理论知识的理解和应用能力的培养。
本文将为大家提供《常微分方程第三版》习题的部分答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 习题一1.1 解：首先，我们根据题意列出方程：$\frac{dy}{dt} = 2y + t^2$这是一个一阶线性常微分方程，我们可以使用常数变易法来求解。
令$y = u(t)e^{2t}$，则$\frac{dy}{dt} = \frac{du}{dt}e^{2t} + 2ue^{2t}$将上述结果代入原方程，得到：$\frac{du}{dt}e^{2t} + 2ue^{2t} = 2(u(t)e^{2t}) + t^2$化简得到：$\frac{du}{dt}e^{2t} = t^2$两边同时除以$e^{2t}$，得到：$\frac{du}{dt} = t^2e^{-2t}$对上式两边同时积分，得到：$u = -\frac{1}{4}t^2e^{-2t} + C$将$u$代入$y = u(t)e^{2t}$，得到最终的解：$y = (-\frac{1}{4}t^2e^{-2t} + C)e^{2t}$1.2 解：首先，我们根据题意列出方程：$\frac{dy}{dt} = \frac{t}{y}$这是一个一阶可分离变量的常微分方程，我们可以通过分离变量来求解。
将方程变形，得到：$ydy = tdt$对上式两边同时积分，得到：$\frac{1}{2}y^2 = \frac{1}{2}t^2 + C$解得：$y^2 = t^2 + C$由于题目中给出了初始条件$y(0) = 1$，将初始条件代入上式，得到：$1 = 0 + C$解得：$C = 1$将$C$代入$y^2 = t^2 + C$，得到最终的解：$y^2 = t^2 + 1$2. 习题二2.1 解：首先，我们根据题意列出方程：$\frac{dy}{dt} = 2ty + t^2$这是一个一阶线性常微分方程，我们可以使用常数变易法来求解。
微积分习题讲解与答案
习题8.11。
指出下列微分方程的阶数,并指出哪些方程是线性微分方程： (1)02)(2=+'-'xy y y y x (2) 02=+'-y y x y x (3）0)(sin 42=+''+'''y x y y x (4)θθ2sin d d =+p p解 (1) 1阶 非线性 (2） 1阶 线性 （3) 3阶 线性 (4) 1阶 线性2.验证下列函数是否是所给微分方程的解 （1) xxy x y y x sin ,cos ==+' （2） 2212,2)1(x C y x xy y x -+==+'- （C 为任意常数） （3) xCe y y y y ==+'-'',02 (C 为任意常数） （4) x xe C eC y y y y 21212121,0)(λλλλλλ+==+'+-'' (C 1 ,C 2为任意常数)（5） C y xy x y x y y x =+--='-22,2)2( (C 为任意常数) (6) )ln(,02)(2xy y y y y y x y x xy =='-'+'+''- 解 (1) 是，左=x x xx x x x xcos sin sin cos 2=+-=右(2) 是，左=x x C x x Cx x 2)12(1)1(222=-++---=右（3） 是,左=02=+-xxxCe Ce Ce =右 （4） 是,左=0)())(()(2121212121221121222211=++++-+x x x x x xe C e C e C e C eC e C λλλλλλλλλλλλλλ =右(5） 是，左==-=---y x yx yx y x 222)2(右（6） 是，左=x xy yx xy y y x xy y x x xy xy xy xy x xy ---+-+----2)()(22)(22332=0)())(2()()(222222232=---+-+---x xy x xy y y x xy xy x xy xy xy xy = 右3.求下列微分方程的解（1） 2d d =x y； （2) x xy cos d d 22=； （3） 0d )1(d )1(=--+y y x y (4) yx xy y )1()1(22++=' 解 (1)C x y x y +==⎰⎰2,d 2d（2) 1sin ,d cos d C x y x x x y +='=''⎰⎰211cos ,d )(sin d Cx C x y x C x x y ++-=+='⎰⎰(3）⎰⎰=+-x y y yd d 11⎰⎰=+++-x y y y d d 12)1(解得⎰⎰⎰=++-x y yy d d 12d 即 C x y y +=++-|1|ln 2(4）⎰⎰+=+dx x xdy y y )1(122解得 2122)1ln()1ln(C x y ++=+整理得 22211C x y =++4。
二阶变系数微分方程的●常数变易法●平移法●级数法+题型和题法系统讲座
二阶变系数微分方程的●常数变易法●平移法●级数法 题型和题法系统讲座一、二阶变系数微分方程常数变易法已知()()()0y x p x y q x y '''++=的通解()1122Y x c y c y =+，求()()()()y x p x y q x y f x '''++=的通解y解答方法：令()()()()y x p x y q x y f x '''++=【例1】已知20x y xy y '''-+=的通解为()12ln Y x c x c x x =+，求2x y xy y x '''-+=的通解y 。
解：22111x y xy y x y y y x x x''''''-+=⇒-+= 令 ()()()12ln Y x v x x v x x x =+代入2111y y y x x x'''-+=，求得()1212212ln 11ln ln ln ln ln 11ln 11ln 1ln ln 2y c x c x x Y x x x x x x c x c x x x dx x x dx xxxxx xxxc x c x x x x =++⋅⋅=+-+++=++⎰⎰ 已知()()()0y x p x y q x y '''++=的一个特解1y ，求()()()()y x p x y q x y f x '''++=的通解y解答方法：()()()()y x p x y q x y f x '''++=可求得通解y 。
【例2】参见同济5版下册P300例4或同济6版上册P330例4。
【例3】已知1y x =是()2220x y x xy y '''-+=的一个特解，求()23222x y x xy y x '''-+=的通解y 。
巧用常数变易法解题
2k
6k +
1
=
-
1. 所以 k = 1 或 k =
1 3
,
所以所求的直线
方程为: y = x + 2 或 y =
1 3
x
+
2.
巧用常数变易法解题
王 辉 (陕西省咸阳市南郊高级中学 712046) 李政谦 (陕西省三原县南郊高级中学 713800)
在求解某些题目的过程中, 善于在几种 知识的交融点处去联想、发散, 并合理地用变 量 去代换常数或分解常数, 使其变成具有实 际 模型意义的常用曲线方程或区域关系, 并 利用其性质来解题, 往往使问题简单化、明了 化, 下面列举几个常见类型加以阐述. 1 在方程中的应用
8y - 6x + 50 + 8y + 6x + 50 的最大值. 分析 仔细观察已知式中的“25”与函
数 式中根号内的“50”的关系, 启发我们将 “50”变换为“25 + 25”, 将其中的一个“25” 用“x 2 + y 2”代替, 就可以得到如下的解法.
解 变换原函数得 t =
8y + 6x + 50 + 8y - 6x + 50
+ (x - 3) 2 + 2 = 10, 将方程中的常数“2”看作变量, 即令 2 =
y 2, 则 (x + 3) 2 + y 2 + (x - 3) 2 + y 2
= 10.
由 椭圆的定义可知, 这个方程表示以
F 1 (- 3, 0) , F 2 (3, 0) 为焦点, 长轴长为 10 的
椭圆,
+
c=
1, 求证: a2 +
江苏大学-常微分方程-3-7 - 一阶线性方程与常数变易法
2.2 一阶线性方程与常数变易公式(First order linear differential equationand constant variation formula )[教学内容] 1. 认识一阶线性齐次方程和一阶线性非齐次方程; 2.介绍一阶线性非齐次方程的常数变易公式; 3. 介绍电学知识和基尔霍夫定律; 4. 认识Bernoulli 方程及其通过变量替换化为一阶线性方程的解法; 5. 介绍其他可化为一阶线性方程的例子.[教学重难点] 重点是知道一阶线性非齐次方程的解法，难点是如何根据方程的形式引入新的变量变换使得新方程为一阶线性方程.[教学方法] 自学1、4；讲授2、3 课堂练习 [考核目标]1. 熟练运用常数变易公式;2. 知道⎰dx bx sin e ax 计算和一些三角函数恒等式; 3. 知道电学一些知识，如电容电流公式、电感电压公式和基尔霍夫定律; 4. 知道溶液混合问题建模; 5. 认识Bernoulli 方程并会经过适当变换化为线性方程求解. 6. 知道交换自变量和因变量化非线性方程为一阶线性方程.1. 认识一阶线性齐次方程和一阶线性非齐次方程（First order (non)homogeneous linear differential equation ） (1) 称形如y p(x)dxdy=的方程为一阶线性齐次方程，其中p(x)连续； 称形如q(x)y p(x)dxdy+=的方程为一阶线性非齐次齐次方程，其中q(x) p(x),连续且q(x)不恒为零. (2) 当0y ≠时，改写y p(x)dxdy=为 1C dx p(x)|y |ln ,dx p(x)y dy dx, p(x)y dy +===⎰⎰⎰，其中⎰dx p(x)表示P(x)的一个原函数(antiderivative). 因此，y p(x)dxdy =通解(general solution)为1C p(x)dx e C ~,e C ~y =⎰±=，此外y=0也是解. 综上，y p(x)dxdy =的解为C ,e C y p(x)dx⎰=为任意常数. (3) 常数变易法：如何求q(x)y p(x)dxdy+=的解呢？ 假定上述线性非齐次方程有如下形式的解 ⎰=p(x)dxeC(x)y ，则代入原方程来确定C(x)，q(x)p(x)C(x)e e p(x) C(x)e (x)' C dxdy p(x)dxp(x)dx p(x)dx +⎰=⎰+⎰=， 即q(x)e(x)' C p(x)dx=⎰，C q(x)dx eC(x) q(x), e(x)' C p(x)dx-p(x)dx+⎰=⎰=⎰-，此处C 为任意常数,⎰⎰q(x)dx ep(x)dx-为函数q(x)ep(x)dx-⎰一个原函数.综上，一阶线性非齐次方程的通解为⎰⎰⎰⎰+⎰=+⎰⋅⎰=q(x)dx eeCeC)q(x)dx e(ey(x)p(x)dx-p(x)dxp(x)dxp(x)dx-p(x)dx.2. 一些实际应用例子（Applications ） 例28. 电容器的充电和放电模型RC 电路：假定开始电容C 上没有电荷，电容两端电压为0，合上开关1后，电池E 对电容C 开始充电，电池电压为E ，电阻阻值为R ，电容C 两端电压逐渐上升. 写出充电过程中，电容C 两端电压随时间变化的规律.解：设U(t)表示在时刻t 时电容两端电压，则根据电学知识，电容两端电量Q=U C ，电流I =dtdU C dt dQ =, 电阻两端电压为R I=dt dUR . 由基尔霍夫定律知，闭合回路上压降为零.即有0dt dU RC U E =--. 改写为 RC EU RC 1dt dU +⋅-=，这是一个一阶线性非齐次方程. 记RCE q(t) ,RC 1p(t)=-=, 由常数变易公式得到， C~e E )C ~(Ee e )C ~dt RCE e (e )C ~q(t)dt e(eU(t)RC tRC t RC t RC t RC t p(t)dtp(t)dt----+=+=+=+⎰⎰=⎰⎰再注意到初始条件U(0)=0，-E C ~0,C ~e Ee U(0)00==+=，因此，RC tEe E U(t)--=.例29. 考察如下RL 电路图，设电源E 的电压为0 U sin wt,U E m m >=为常数，求电感线圈上电流I 随时间的变化规律，设t=0时，I=0.解：设I(t)表示时刻t 时电感线圈上电流强度，则由电学知识有，电感线圈两端电压为dtdI L . 由基尔霍夫定律知，闭合回路电压降为零. 于是 0dtdIL I R E =--. 改写为sin wt U L1L I R dt dIm +-=, 这是一个一阶线性非齐次方程. 记wt sin L Uq(t) ,L R p(t)m =-=, 由常数变易公式得到，)C ~dt sin wt LU e (e )C ~q(t)dt e(eI(t)m L RtL Rt p(t)dtp(t)dt⎰⎰+=+⎰⎰=--.b a bt cos b bt sin a e bt))isin bt (cos e b a ib)(a Im()e ib a 1Im()dt e Im(dt )Im(e e dt bt sin e 22at a 22ib)t(a ib)t (a ibt at at +-=+⋅+-=+===++⎰⎰⎰22t LR m LRtm m LRt w (R/L) wt)cos w sin wt L R(e LU dt sin wt e LUdt sin wt L U e+-==⎰⎰令2222w(R/L)w φsin ,w(R/L)R/L φ cos +-=+=，于是由B sin A cos B cos A sin B)sin(A +=+知，22t LR mm LRt w (R/L)φ)sin(wt e L U dt sin wt L U e++=⎰，于是L Rt22m e C ~w (R/L)φ)sin(wt LU I(t)-+++=.再注意到初始条件I(0)=0，22m0022m w(R/L)φsin L U C ~0,C ~e e w (R/L)φsin LU I(0)+-==++=，因此，t LR 22m22mew(R/L)sin(φL Uw (R/L)φ)sin(wt LUI(t)-+-++=).练习23. (1) 求dt bt cos e at ⎰； (2) 改写 t cos b sin t a +为θ)sin(t ba 122++，给出θ所满足的条件. (3) 由 Euler 公式b sin i b cos e ib+=和R b a, ,e e e b)i(a b i a i ∈=⋅+推导出:b asin sin b cos a cos b)cos(a b,sin a cos b cos a sin b)sin(a -=++=+和b))sin(a b)(sin(a 21b cos a sin -++=， b))cos(a b)(cos(a 21b cos a cos -++=. 作业24. （1） 如例28中RC 电路图，设E=10V , R=100Ω, C=0.01 F, 开始时刻电容C 上电压为零并在此刻合上开关1，问经过多长时间电容C 两端电压为V 5U 1=?（2）如下RL 电路图，设E, R, L 均为正的常数，求开关闭合后电路中电流强度I(t)，假定I(0)=0.例30. 溶液混合问题：设容积为V （单位3m ）的密封容器装着某种溶液如下图，从A 以速度r （单位/s m 3）流入浓度为0C e >（常数）的相同溶液，经充分混合后在B 以相同速度r 流出容器, 假设时刻t=0时，容器溶液浓度为0，问容器中浓度随时间变化的规律.解：设时刻t 时容器溶液浓度为C(t)，则C(0)=0，且由溶质出入平衡，也即流入减去流出等于容器内溶质变化量，由微元法建立如下等式：V C(t))Δt)(C(t C(t)Δt r C Δt r e -+≈-，即e C VrC V r dt dC +-=. (以下略) 作业25. 假设伊利湖的存水量为34m 1048⨯，从休伦湖流入和从安大略湖流出的速度都是每年34m 1035⨯，在t=0时刻，伊利湖的污染物浓度时休伦湖的5倍. 如果流出的水是完全混合好的湖水，问使得伊利湖的污染物浓度减少到休伦湖2倍需要多少时间？（假定休伦湖污染物浓度为常数0C e >） 3. Bernoulli 方程及其解法称形如R n ,y q(x)y p(x)dxdyn ∈+=为Bernoulli 方程. 解法：当0y ≠时，改写原方程1n , n)q(x)(1y p(x) n)(1dxdy y n)-(1n -1n -≠-+-=, 令n)q(x)(1n)p(x)u (1dx du ,y u n1-+-==-，这是一个一阶线性非齐次方程. 例31 求解方程2y x xy6dx dy -=. 解：经过观察，原方程是一个Bernoulli 方程, n=2. （1）当0y ≠时，改写原方程为 x 2)(1y x62)(1dx dy 2)y-(1212---=--，令21y u -=，则 x u x6dx du +-=. 由常数变易公式得到， 6276-dx x6dx x6x C8x C)dx x (x )C xdx e(eu(x)+=+=+⎰⎰=⎰⎰-.返回原变量得到62x C8x y 1+=.(2) 当y=0时，容易验证0y =也是原方程的解. 作业26. 求解方程（1）33y x y x dxdy=+； （2）1y(1) ,y xy 'y x 22==-. 4. 交换自变量和因变量化非线性方程为一阶线性方程 例32. 求解（1）2y 2x y dx dy -=； （2）33yx xy 1dx dy -=. 解：(1) 这是一个一阶方程，非线性方程，不是Bernoulli 方程.(a) 当0y ≠时，交换自变量和因变量而改写原方程为 y x y2y y 2x dy dx 2-=-=. 这是一个一阶线性方程. 由常数变易公式得到， C)y)dy (e(ex dy y2dy y2+-⎰⎰=⎰-，即 |)y |ln (C y C)y)dy (y1(y x 222-=+-=⎰为所求方程的通积分. (b) 当y=0时，已验证y=0也是原方程的一个解. (2) 结合Bernoulli 方程来完成，留作练习.作业27. 求解方程（1）3y x y dx dy +=； （2） y2y x dx dy 22+=.5. 一些一阶线性方程的理论 （1）考虑方程q(x)y p(x)dxdy=+，其中p(x), q(x)都是以w>0为周期的连续函数. 用常数变易公式证明：（a) 若0q(x)≡，则方程任一非零解都以w 为周期的周期函数充要条件是p(x)的平均值.0p(x)dx w 1(x)p w==⎰ (b) 若q(x)不恒为零，则方程有唯一w 周期解充要条件是0p(x)dx w1(x)p w0≠=⎰, 试求出此解. （参见丁同仁、李承治《常微分方程教程》P36 习题5， 6）。
线性考试题库及答案解析
线性考试题库及答案解析1. 线性代数中，矩阵的秩是指什么？答案：矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行（或列）的最大数目。
2. 请解释线性方程组的解集。
答案：线性方程组的解集是指所有满足方程组的未知数的集合。
3. 什么是特征值和特征向量？答案：对于一个方阵A，如果存在一个非零向量v和标量λ，使得Av = λv，则称λ为矩阵A的特征值，v为对应的特征向量。
4. 矩阵的可逆性是什么？答案：如果一个方阵存在逆矩阵，则称该矩阵是可逆的。
5. 请解释什么是正交矩阵。
答案：正交矩阵是指一个矩阵的转置矩阵与其自身的乘积等于单位矩阵的矩阵。
6. 如何判断一个矩阵是否为正定矩阵？答案：一个实对称矩阵是正定的，如果它的所有特征值都是正的。
7. 线性空间的基是什么？答案：线性空间的基是构成该空间的一组线性无关的向量，且这组向量可以线性表出空间中的任意向量。
8. 请解释什么是线性变换。
答案：线性变换是指在两个线性空间之间，保持向量加法和数乘运算不变的映射。
9. 什么是线性方程组的齐次解？答案：线性方程组的齐次解是指方程组中所有方程的系数都为零时的解。
10. 请解释什么是矩阵的迹。
答案：矩阵的迹是指矩阵对角线元素之和。
11. 什么是向量的范数？答案：向量的范数是指衡量向量大小的非负实数。
12. 请解释什么是投影矩阵。
答案：投影矩阵是指将一个向量投影到另一个向量上得到的向量。
13. 什么是线性方程组的非齐次解？答案：线性方程组的非齐次解是指方程组中至少有一个方程的系数不为零时的解。
14. 什么是矩阵的行列式？答案：矩阵的行列式是一个标量值，它提供了矩阵是否可逆的信息。
15. 请解释什么是矩阵的伴随矩阵。
答案：矩阵的伴随矩阵是由原矩阵的代数余子式组成的矩阵的转置。
常微分方程习题答案
常微分方程习题答案常微分方程习题是数学学科中的重要内容之一。
通过解答这些习题，可以帮助学生巩固和加深对常微分方程的理解和应用能力。
下面将通过几个实例来展示常微分方程习题的解答过程。
第一个习题是求解一阶线性常微分方程。
考虑方程dy/dx + y = x。
首先将方程改写为dy/dx = x - y。
这是一个一阶线性常微分方程，可以使用常数变易法求解。
设y = uv，其中u和v是关于x的函数。
将y = uv代入方程，得到u(dv/dx) + v(du/dx) + uv = x。
整理后得到du/dx = (x - v)/u。
将等式两边分别关于x求导，得到d^2u/dx^2 = (du/dx - v)/u。
将方程du/dx = (x - v)/u带入，得到d^2u/dx^2 = (x - v)/u。
这是一个二阶常微分方程，可以通过适当的变量代换和求解方法得到解析解。
最后再将u和v代入y = uv，即可得到原方程的解。
第二个习题是求解一阶非线性常微分方程。
考虑方程dy/dx = y^2 + x。
这是一个一阶非线性常微分方程，可以使用分离变量法求解。
将方程改写为dy/(y^2 + x) = dx。
对方程两边同时积分，得到∫dy/(y^2 + x) = ∫dx。
对左边的积分进行变量代换，令u = y^2 + x，得到1/2∫du/u = x + C。
对等式两边积分，得到1/2ln|u| = x + C。
再将u代回，得到1/2ln|y^2 + x| = x + C。
整理后得到ln|y^2 + x| = 2x + 2C。
最后再对等式两边取指数，得到|y^2 + x| = e^(2x + 2C)。
由于指数函数的定义域为正实数，所以可以去掉绝对值符号，得到y^2 + x = e^(2x + 2C)。
这就是原方程的解。
通过以上两个习题的解答过程，我们可以看到常微分方程习题的解答方法多种多样，需要根据具体的方程形式选择合适的方法进行求解。
§2.2 线性方程与常数变易法
.
例4 求微分方程 y ln ydx ( x ln y )dy 0 的通解.
原方程不是未知函数 y 的线性方程 .
解
将 x 看作 y 的函数 , 将方程改写为
dx dy
x e
x y ln y
1
1 y
,
y ln y
1
dy
1 y
1 y ln y dy e dy C y
一阶线性微分方程的标准形式:
dy dx
P ( x ) y Q( x )
当 Q ( x ) 0 , 称为一阶齐线性方程.
当 Q ( x ) 0,
称为一阶非齐线性方程.
一阶线性微分方程的解法:
1、一阶齐线性方程
dy dx
dy y
P ( x) y.
分离变量, 并两边积分, 得
解 设开关K合上后, 电路中在时刻t的电流强度为I(t),
则电流经过电感L, 电阻R的电压降分别为 L 于是由Kirchhoff第二定律, 得到 L
dI dt 即 I (0) 0. dI dt RI E . , RI ,
取开关闭合时的时刻为0,
R E dI I L L, 即求解初值问题: d t I (0) 0
x
由 y |x0 0,
所求曲线为
x 2 x 2 ).
2
二、伯努利方程
伯努利(Bernoulli)方程的标准形式
dy dx P ( x ) y Q( x ) y ,
a
(a R, a 0,1)
当 a = 0,1 时, 方程为线性微分方程. 当 a 0,1 时, 方程为非线性微分方程. 解法 需经过变量代换化为一阶线性微分方程.
线性方程与常数变易法
于是，令
P ( x ) dx y c ( x )e
(2.20)
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
两边微分得到：
dy dc( x) e dx dx
P ( x ) dx
c ( x ) P ( x )e
P ( x ) dx
整理：
dc( x) e dx
P ( x ) dx
P ( x ) dx
~ c
P ( x ) dx P ( x ) dx ye ( Q( x)e dx c )
注意：1、常数变易法的本质实际上是一种变 量变换方法，通过变换（2.20）将原方程变为 可分离变量方程。 2、常数变易方法的特点强调求解过程。
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
所以，主要讨论非齐次线性方程(2.19)通解的求法。通
过分析，不难看出，(2.3)是(2.19)的特殊情形，两者既
有联系又有差别。因此，可以设想它们的解之间也应
该有某种联系而又有区别。于是，试图从方程(2.3)的
通解(2.4)的形式去求出方程(2.19)的通解。显然，如果 (2.4)中C恒保持为常数，它必不可能是(2.19)的通解。 故，可以假想，在(2.4)中，将常数C看成x的待定函数 C(x)，使它满足方程(2.19)，从而求出C(x)。
问题中出现的微分方程是多种多样的，如果能够找到 适当地变量代换，把有关的微分方程化为上述规范方 程之一，那么原来的微分方程的通解也就容易求出来 了，这是初等积分法中最常用的方法。当然如何确定 变量代换，是比较困难，且无通法可循。一般而言， 主要根据每一个方程的特点去寻找，这就要靠在实践 中多总结经验，才能够逐步达到熟能生巧的地步。
(完整版)常微分方程习题及解答
常微分方程习题及解答一、问答题：1．常微分方程和偏微分方程有什么区别？微分方程的通解是什么含义?答：微分方程就是联系着自变量，未知函数及其导数的关系式。
常微分方程，自变量的个数只有一个。
偏微分方程，自变量的个数为两个或两个以上。
常微分方程解的表达式中，可能包含一个或几个任意常数，若其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程的阶数相同，这样的解为该微分方程的通解。
2．举例阐述常数变易法的基本思想。
答：常数变易法用来求线性非齐次方程的通解，是将线性齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数来求线性非齐次方程的通解。
例：求()()dyP x y Q x dx=+的通解。
首先利用变量分离法可求得其对应的线性齐次方程的通解为()P x dxy c ⎰=l ，然后将常数c 变易为x 的待定函数()c x ，令()()P x dxy c x ⎰=l ，微分之，得到()()()()()P x dxP x dx dy dc x c x P x dx dx⎰⎰=+l l ，将上述两式代入方程中，得到 ()()()()()()()()()P x dxP x dx P x dxdc x c x P x dx c x P x Q x ⎰⎰+⎰=+l l l即()()()P x dx dc x Q x dx-⎰=l 积分后得到()()()P x dxc x Q x dx c -⎰=+⎰%l 进而得到方程的通解()()(())P x dxP x dxy Q x dx c -⎰⎰=+⎰%l l3．高阶线性微分方程和线性方程组之间的联系如何？答：n 阶线性微分方程的初值问题()(1)11(1)01020()...()()()(),(),....()n n n n n nx a t xa t x a t x f t x t x t x t ηηη---'⎧++++=⎪⎨'===⎪⎩ 其中12()(),...(),()n a t a t a t f t ，是区间a tb ≤≤上的已知连续函数，[]0,t a b ∈，12,,...,n ηηη是已知常数。
2.2线性微分方程与常数变易法
将初始条件 y(1) 1代入后得
3 c 2
x 3 y x ln x cx 2
3 4
故所给初值问题的解为
3 3 x y x ln x x 2 2
3 4
线性微分方程解的性质:
1.齐次方程的解或者恒为零，或恒不为零。
2.齐次方程任何解的线性组合仍是它的解。
3.齐次方程的任一解与非齐次方程的任一解之和仍 为非齐次方程的解。 4.非齐次方程的两解之差为对应齐次方程的解。
t0
t
t
x0 Me
t0
e s ds
x0 M [1 e(t0 t ) ]
x0 M
证毕。
例 设F(x)＝f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在(－∞,+∞)
内满足以下条件: f ( x) g ( x), g ( x) f ( x), 且 f (0) 0, x f ( x) g ( x) 2e .
(2e ) 2 F ( x)
x 2
所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程: 2x F ( x) 2F ( x) 4e
F ( x) 2F ( x) 4e2 x
(2) 由一阶线性微分方程解的公式得
F ( x) e
2d x
2d x 4e e d x C 2x
dy n y e x ( x 1) n 解: 将方程改写为 dx x 1
dy n y 的通解 首先,求齐次方程 dx x 1
dy n dy n y 分离变量得 从 dx dx x 1 y x 1
两边积分得 ln y n ln x 1 c 1
微积分习题讲解与答案
习题8.11.指出下列微分方程的阶数，并指出哪些方程是线性微分方程： (1)02)(2=+'-'xy y y y x (2) 02=+'-y y x y x (3)0)(sin 42=+''+'''y x y y x (4)θθ2sin d d =+p p解 (1) 1阶 非线性 (2) 1阶 线性 (3) 3阶 线性 (4) 1阶 线性2.验证下列函数是否是所给微分方程的解 (1) xxy x y y x sin ,cos ==+' (2) 2212,2)1(x C y x xy y x -+==+'- (C 为任意常数) (3) xCe y y y y ==+'-'',02 (C 为任意常数) (4) x xe C eC y y y y 21212121,0)(λλλλλλ+==+'+-'' (C 1 ,C 2为任意常数)(5) C y xy x y x y y x =+--='-22,2)2( (C 为任意常数) (6) )ln(,02)(2xy y y y y y x y x xy =='-'+'+''- 解 (1) 是，左=x x xx x x x xcos sin sin cos 2=+-=右(2) 是，左=x x C x x Cx x 2)12(1)1(222=-++---=右(3) 是，左=02=+-xxxCe Ce Ce =右 (4) 是，左=0)())(()(2121212121221121222211=++++-+x x x x x xe C e C e C e C eC e C λλλλλλλλλλλλλλ =右(5) 是，左==-=---y x yx yx y x 222)2(右(6) 是，左=x xy yx xy y y x xy y x x xy xy xy xy x xy ---+-+----2)()(22)(22332=0)())(2()()(222222232=---+-+---x xy x xy y y x xy xy x xy xy xy xy = 右3.求下列微分方程的解(1) 2d d =x y; (2) x xy cos d d 22=; (3) 0d )1(d )1(=--+y y x y (4) yx x y y )1()1(22++=' 解 (1) C x y x y +==⎰⎰2,d 2d(2) 1sin ,d cos d C x y x x x y +='=''⎰⎰211cos ,d )(sin d Cx C x y x C x x y ++-=+='⎰⎰(3)⎰⎰=+-x y y yd d 11⎰⎰=+++-x y y y d d 12)1(解得⎰⎰⎰=++-x y yy d d 12d 即 C x y y +=++-|1|ln 2(4)⎰⎰+=+dx x xdy y y )1(122解得 2122)1ln()1ln(C x y ++=+整理得 22211C x y =++4.已知曲线)(x f y =经过原点，并且它在点),(y x 处的切线的斜率等于22x ，试求这条曲线的方程。
常微分方程答案-4.2
常微分方程答案-4.2LT习题4.22. 求解以下常系数线性微分方程： (1) (4)540x x x ''-+=解：特征方程：42540λλ-+=特征根：12342211λλλλ==-==-，，， 根本解组：22,,,t t t t e e e e -- 所求通解：221234,,1,2,3,4t t t t i x c e c e c e c e c i --=+++∈=(2) 23330x ax a x a x ''''''-+-=解：特征方程：0333223=-+-a a a λλλ特征根：1,2,3a λ= 根本解组：2,,at at at e te t e 所求通解：()2123,,1,2,3at i x c c t c t e c i =++∈=(3) (5)40x x '''-=解：特征方程：0435=-λλ特征根：1,2,345022λλλ===-，， 根本解组：2221,,,,t t t t e e - 所求通解：22212345,,1,2,3,4,5t t i x c c t c t c e c e c i -=++++∈=(4) 0x x x '''++=解：特征方程：012=++λλ特征根：1,213iλ-±=根本解组：112233,t t ee --所求通解：11221233cos sin ,,1,222t t i x c ec e c i --=+∈=(5) 21s a s t ''-=+ 〔属于类型Ⅰ〕 解：齐次方程：20s a s ''-=特征方程：022=-a λ 特征根：12,a a λλ==-当0a ≠，齐次方程通解：12,,1,2at at i s c e c e c i -=+∈=，此时0不是特征根，故设特解为s At B =+，将其代入原方程可得21a B A -==，从而特解为()211s t a=-+，所以所求通解： ()12211,,1,2at at i s c e c e t c i a-=+-+∈= 当0a =，0是二重特征根，故齐次方程通解：12,,1,2i s c c t c i =+∈=，设特解为()2s t At B =+，那么将其代入原方程可得11,62A B ==，从而特解为21162s t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以所求通解：21211,,1,262i s c c t t t c i ⎛⎫=+++∈= ⎪⎝⎭(6) 45223x x x x t ''''''-+-=+ 〔属于类型Ⅰ〕 解：齐次方程：4520x x x x ''''''-+-=特征方程：025423=-+-λλλ 特征根：1,231,2λλ==齐次方程通解：()2123,,1,2,3t t i x c c t e c e c i =++∈=0不是特征根，故设特解为x At B =+，将其代入原方程可得1,4A B =-=-，从而特解为4x t =--，所以所求通解：()21234,,1,2,3t t i x c c t e c e t c i =++--∈=(7) (4)223x x x t ''-+=- 〔属于类型Ⅰ〕 解：齐次方程：(4)20x x x ''-+=特征方程：42210λλ-+= 特征根：1,23,41,1λλ==-齐次方程通解：()()1234,,1,2,3,4t t i x c c t e c c t e c i -=+++∈= 方法一：常数变易法求解设原方程通解为()()()()1234t t t t x c t e c t te c t e c t te --=+++，那么()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()1234112342312344212340003t t t t t t t t t t t t t t t t c t e c t te c t e c t te c t c t e c t te c t e c t te c t c t c t e c t te c t e c t te c t c t e c t te c t e c t te t --------''''⎧+++=⎪'=⎧''''⎪⎪''''+++='=⎪⎪⇒⎨⎨'''''''''=''''+++=⎪⎪⎪⎪'=⎩''''''''''''⎪''''+++=-⎩()()()()1234c t c t c t c t =⎧⎪=⎪⇒⎨=⎪⎪=⎩所以将(),1,2,3,4i c t i =代入()()()()1234t t t t x c t e c t te c t e c t te --=+++中即得原方程通解：()()212341,,1,2,3,4t t i x c c t e c c t e t c i -=+++++∈=方法二：比拟系数法求解由于0不是特征根，故设特解为2x At Bt C =++，将其代入原方程可得1,0,1A B C ===，从而特解为21x t =+，所以所求通解：()()212341,,1,2,3,4t t i x c c t e c c t e t c i -=+++++∈=(10) t x x e '''-= 〔属于类型Ⅱ〕 解：齐次方程：0x x '''-=特征方程：013=-λ 特征根：1,2313,12iλλ-±== 齐次方程通解：112212333cos sin ,,1,2,322t t t i x c et c e c e c i --=++∈=由于1是一重特征根，故设特解为t x Ate =，将其代入原方程可得13A =，从而特解为13t x te =，所以所求通解：1122123331sin ,,1,2,33t t t t i x c ec e c e te c i --=+++∈= (12) t e x x x 256=+'+'' 〔属于类型Ⅱ〕 解：齐次方程：650x x x '''++=特征方程：0562=++λλ 特征根：121,5λλ=-=-齐次方程通解：512,,1,2t t i x c e c e c i --=+∈=由于2不是特征根，故设特解为2t x Ae =，将其代入原方程可得121A =，从而特解为121tx e =，所以所求通解： 5121,,1,221t t ti x c e c e e c i --=++∈= (14) t t x x 2cos sin -=+'' 〔属于类型Ⅲ的混合，注意sin t 和cos2t 中t 的系数不一样〕解：齐次方程：0x x ''+=特征方程：012=+λ 特征根：12i λ=±，齐次方程通解：12cos sin ,,1,2i x c t c t c i =+∈=①对于sin x x t ''+=，由于i i αβ+=是一重特征根，故设其特解为()101cos sin x t A t A t =+，那么将其代入sin x x t ''+=可得011,02A A =-=，从而sin x x t ''+=的特解为11cos 2x t t =-；②对于cos2x x t ''+=，由于2i i αβ+=不是特征根，故设其特解为201cos 2sin 2x B t B t =+，那么将其代入cos2x x t ''+=可得011,03B B ==，从而cos2x x t ''+=的特解为21cos 23x t =。
常微分方程习题及解答
常微分方程习题及解答一、问答题：1．常微分方程和偏微分方程有什么区别？微分方程的通解是什么含义?答：微分方程就是联系着自变量，未知函数及其导数的关系式。
常微分方程，自变量的个数只有一个。
偏微分方程，自变量的个数为两个或两个以上。
常微分方程解的表达式中，可能包含一个或几个任意常数，假设其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程的阶数相同，这样的解为该微分方程的通解。
2．举例阐述常数变易法的基本思想。
答：常数变易法用来求线性非齐次方程的通解，是将线性齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数来求线性非齐次方程的通解。
例：求()()dyP x y Q x dx=+的通解。
首先利用变量别离法可求得其对应的线性齐次方程的通解为()P x dxy c ⎰=，然后将常数c 变易为x 的待定函数()c x ，令()()P x dx y c x ⎰=，微分之，得到 ()()()()()P x dxP x dx dy dc x c x P x dx dx⎰⎰=+ ，将上述两式代入方程中，得到 ()()()()()()()()()P x dxP x dx P x dxdc x c x P x dx c x P x Q x ⎰⎰+⎰=+即()()()P x dx dc x Q x dx-⎰= 积分后得到()()()P x dxc x Q x dx c -⎰=+⎰进而得到方程的通解()()(())P x dx P x dxy Q x dx c -⎰⎰=+⎰3．高阶线性微分方程和线性方程组之间的联系如何？答：n 阶线性微分方程的初值问题()(1)11(1)01020()...()()()(),(),....()n n n n n n x a t xa t x a t x f t x t x t xt ηηη---'⎧++++=⎪⎨'===⎪⎩ 其中12()(),...(),()n a t a t a t f t ，是区间a t b ≤≤上的已知连续函数，[]0,t a b ∈，12,,...,n ηηη是已知常数。
阶线性方程与常数变易法习题及解答
§2.2 一阶线性方程与常数变易法习题及解答求下列方程的解1．dxdy =x y sin + 解： y=e ⎰dx (⎰x sin e ⎰-dx c dx +)=e x [-21e x -(x x cos sin +)+c] =c e x -21 (x x cos sin +)是原方程的解。
2．dtdx +3x=e t 2 解：原方程可化为：dt dx =-3x+e t 2 所以：x=e ⎰-dt 3 (⎰e t 2 e -⎰-dt 3c dt +) =e t 3- (51e t 5+c) =c e t 3-+51e t 2 是原方程的解。
3．dt ds =-s t cos +21t 2sin 解：s=e ⎰-tdt cos (t 2sin 21⎰e dt dt ⎰3c + ) =e t sin -(⎰+c dt te t t sin cos sin )= e t sin -(c e te t t +-sin sin sin )=1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。
4．dx dy n x x e y nx =- ， n 为常数. 解：原方程可化为：dx dy n x x e y n x += )(c dx e x e e y dx x nn x dx x n+⎰⎰=⎰-)(c e x x n += 是原方程的解.5．dx dy +1212--y xx =0解：原方程可化为：dx dy =-1212+-y xx ⎰=-dx x x e y 212(c dx e dx x x+⎰-221))21(ln 2+=x e )(1ln 2⎰+--c dx ex x =)1(12x ce x + 是原方程的解.6． dx dy 234xyx x += 解：dx dy 234xy x x += =23yx +x y 令xy u = 则 ux y = dx dy =u dx du x + 因此：dx du x u +=2ux 21u dx du = dx du u =2c x u +=331 c x x u +=-33 （*）将xy u =带入 （*）中 得：3433cx x y =-是原方程的解.3332()21()227.(1)12(1)12(),()(1)1(1)(())1(1)dx P x dx x P x dx dy y x dx x dy y x dx x P x Q x x x e e x e Q x dx c x +--=++=+++==++⎰⎰==+⎰⎰++⎰⎰P(x)dx 232解：方程的通解为：y=e =(x+1)(*(x+1)dx+c) =(x+1)((x+23221(1)()211,()(())dy y x c dy y dx x y dx x y dy y yQ y y ye y Q y dy c -+++==+=⎰⎰==⎰⎰+⎰⎰2243P(y)dy P(y)dy P(y)dy 1)dx+c)=(x+1) 即：2y=c(x+1)+(x+1)为方程的通解。
4-18-求解线性非齐次高阶方程的特解-常数变易法
4.3非齐次高阶线性方程特解的常数变易方法、叠加原理(Use the method of Variation of Constants to find particular solution tononhomogeneous higher order Linear ODE)［教学内容］1.介绍非齐次线性方程特解的常数变易法• 2.介绍非齐次线性方程特解的叠加原理3介绍一些特殊求解方法(乘积求导法则、特征方程法和刘维尔公式)［教学重难点］重点是知道常数变易法求解非齐次线性方程的特解；难点是如何给出未知函数满足的方程•［教学方法］预习1、2、3;讲授1、2、3［考核目标］1.灵活运用常数变易法求解非齐次线性方程的特解•2.知道非齐次线性方程特解的叠加原理3知道一些特殊求解方法(乘积求导法则、特征方程法和刘维尔公式) 1.常数变易法求解非齐次线性方程的特解(以二阶微分方程为例)(1)引例(1)求出方程y'_y 二esc x ; (2) t2x''-4tx'• 6x =36 ：上的通解. 这里f(x)=cs(x=^^和f (t) =36—不是多项式函数、不是指数函数、不是可以用形式特s i rx t解的待定系数法来求解方程的特解.2d x dx⑵解法思路：考察2 p(t) q(t)x =f(t) (**).为了求出方程(** )的一个特解，先dt dtd x dx考虑相应的二阶齐次线性方程费P⑴-q(t)x 5)，假定已知齐次线性方程的基本解组X1(t), X2(t)，则齐次线性方程的通解为x(t)二C1X1(t) C2x 2 (t)，其中C1,C2为常数.现假定方程(** )具有形如~(t^c1(t)x1(t) c2(t)x2(t)的特解(这就是常数变易法叫法由来！)经计算得到~'(t)珂S'(t)X1(t) C2'(t)X2(t)］［C1(t)Xjt) C2(t)X2'(t)］，注意到将其代入原方程(** )只得一个等式，而这里有两个未知函数C1(t),C2 (t)，因此我们添加一个限制条件［cjtjx/t) • c2'(t)x2(t)］ =0 ；进一步求二阶导数得到~''(t)二[C1(t)X「(t) C2(t)X2''(t)] [C1'(t)X「(t) C2'(t)X2'(t)]，将~(t), ~'(t), ~''(t)代入原方程得到,C1(t)[x「p(t)x「q(t)x』C2(t)【X2'' P(t)X2‘ q(t)X2] G'x, C2‘X2' = f(t),注意到x1(t), x2(t)为方程(* )的解，因此上述左端第一项和第二项都为零，即得到如下方XC'+XG' = 0 . 一 ...程组丿11 2 2,由此运用克莱姆法则得到x1'c1^x2'c2^f(t)0 X2f(t) X2'W[X i,X2]X10,X i' f(t),C2 = ------------------------W[XiX]里W[X i,X2] X iX iX2为Wronski行列式，是不为零的(为什么？)X2‘最后对上面两个等式两边同时关于变量t积分可得c1(t), c2(t).例56求解y''・y =csc X的一个特解解：第一步：注意到原方程已是标准形式了，相应的齐次方程为y'' • y = 0，其特征方程为九2 +1=0，特征值为打,2 =±i •于是相应的基本解组为y r = cos X, y2 =sin X .第二步：假定原方程具有如下特解~(x) = &(x)y r• c2(x)y 2，于是由常数变易法知, Ci")满足膵;:応)，解得C i'(x)0 sin Xcscx cosxcosx sinx-si nx cosxG'(x)二cosx—sin Xcscx cosxcosx sin X sin X一sin X cosx于是得到，s(x) =—x + a, c2(x) =ln |sinx | +伏其中a，为任意常数特别地，取a二0, B = 0得到所求特解为~(x)=-x cos X ln| sin X | sin X .例57. Find a particular solution to the differential equation y''+2y'+y = e^ln X .Solution (i) The equation has standard form and the associated homogeneous equation is y''七y'+y=0, whose characteristic equation is 丸+2^+i = 0. Then we get ^-y2 = -i and-X - X corresp onding fun dame ntal soluti ons to homoge neous equati on are y i = e , xe .*(2) Suppose the original equation has the following particular solution y = c (x)y i十c2(x)y 2,Then we get%即勺2。
2.2线性微分方程与常数变易法
练习 解
(3)
dy y 3 dx x y
1 , Q( y ) y 2 y
方程可以改写为:
dx 1 x y2 dy y
故通解为:
p( y )
xe
即:
1 dy y
( y e
2
1 dy y
1 2 c) y ( y c) 2
1 3 x y cy 2
§ 2.2 Linear ODE and variation of constants Method
dc ( x) ( x 1) n nc ( x)( x 1) n 1 nc ( x)( x 1) n 1 e x ( x 1) n dx
x dc ( x ) x c ( x ) e c 积分得 e 即 dx n x y ( x 1) (e c), c 为任意常数 故通解为
2) 用公式求方程通解
2
xe
1 dx y
[ ye
2
1 dy y
dy c] e
ln y 2
( ye
ln y 2
dy c)
1 x y ( dy c) y 2 ln y cy2 y x y 2 ln y cy2
2
§ 2.2 Linear ODE and variation of constants Method
练习 (2)
解
dy 2 xy 4 x dx
用公式求解, p( x) 2 x, Q( x) 4 x
ye
e
2 xdx
x2
e
即:
x2
( 4 xe dx c)
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§ 一阶线性方程与常数变易法习题及解答求下列方程的解1．dxdy =x y sin + 解： y=e ⎰dx (⎰x sin e ⎰-dx c dx +)=e x [-21e x -(x x cos sin +)+c] =c e x -21 (x x cos sin +)是原方程的解。
2．dtdx +3x=e t 2 解：原方程可化为：dt dx =-3x+e t 2 所以：x=e ⎰-dt 3 (⎰e t 2 e -⎰-dt 3c dt +)=e t 3- (51e t 5+c) =c e t 3-+51e t 2 是原方程的解。
3．dtds =-s t cos +21t 2sin 解：s=e ⎰-tdt cos (t 2sin 21⎰e dt dt ⎰3c + ) =e t sin -(⎰+c dt te t t sin cos sin )= e t sin -(c e te t t +-sin sin sin )=1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。
4．dx dy n x x e y nx =- ， n 为常数. 解：原方程可化为：dx dy n x x e y n x += )(c dx e x e e y dx x nn x dx x n+⎰⎰=⎰-)(c e x x n += 是原方程的解.5．dx dy +1212--y xx =0解：原方程可化为：dx dy =-1212+-y xx ⎰=-dx x x ey 212(c dx e dx x x +⎰-221) )21(ln 2+=x e )(1ln 2⎰+--c dx e x x =)1(12xce x + 是原方程的解.6． dx dy 234xyx x += 解：dx dy 234xy x x += =23yx +x y 令xy u = 则 ux y = dx dy =u dx du x + 因此：dx du x u +=2u x 21u dx du = dx du u =2c x u +=331 c x x u +=-33 （*）将xy u =带入 （*）中 得：3433cx x y =-是原方程的解.3332()21()227.(1)12(1)12(),()(1)1(1)(())1(1)dx P x dx x P x dx dy y x dx x dy y x dx x P x Q x x x e e x e Q x dx c x +--=++=+++==++⎰⎰==+⎰⎰++⎰⎰P(x)dx 232解：方程的通解为：y=e =(x+1)(*(x+1)dx+c) =(x+1)((x+23221(1)()211,()(())dy y x c dy y dx x y dx x y dy y yQ y y ye y Q y dy c -+++==+=⎰⎰==⎰⎰+⎰⎰2243P(y)dy P(y)dy P(y)dy 1)dx+c)=(x+1) 即：2y=c(x+1)+(x+1)为方程的通解。
8. =x+y 解：则P(y)= e 方程的通解为：x=e e 2331*)22y dy c yy cy y ++⎰ =y( =即 x= +cy是方程的通解 ，且y=0也是方程的解。
()()()19.,1),()(())01adx P x dx a x P x dx P x dxa a dy ay x a dx x xa x P x Q x x x e e x e e Q x dx c a a -+=++==⎰⎰==⎰⎰+==⎰为常数解：（方程的通解为： y=1x+1 =x (dx+c) x x当 时，方程的通解为 y=x+ln/x/+c当 时，方程01a a a≠a 的通解为y=cx+xln/x/-1当 ，时，方程的通解为x 1 y=cx +- 1-3331()()()310.11(),()1(())(*)dx P x dx x P x dx P x dx dy x y x dxdy y x dx xP x Q x x xe e xe e Q x dx c x x dx c c xc x --+==-+=-=⎰⎰==⎰⎰++++⎰⎰33解：方程的通解为： y=1 =xx =4x 方程的通解为： y=4()()()223333233232332311.2()2()()2,()2(())((2)p x xdx x p x p x x dy xy x y dxxy x y dxxy x y dxxy x dxy zdz xz x dxP x x Q x x e dx e e e dx e dxQ x dx c e x -----+==-+=-+=--+==--+==-⎰⎰==⎰⎰+-⎰⎰23-2x dy 解：两边除以y dy dy 令方程的通解为：z= =e 222)11)1,0x x dx c ce y ce y +++++==22 =x 故方程的通解为：(x 且也是方程的解。
22212111()()222ln 112.(ln 2)424ln 2ln 2ln 22ln 2ln (),()(())ln 1(())(P x dx P x dx dx dx x x c x y x ydx xdy x dy x y y dx x xy dy x y y dx x xdy x y dx x xy zdz x z dx x xx P x Q x x xz e e Q x dx c x z e e dx c x x -------=++=-=-=-==-==-⎰⎰=+⎰⎰=-+=⎰⎰解： 两边除以 令方程的通解为：222ln ())ln 1424ln 1:()1,424x dx c x x c x x c x y x -+=++++=⎰方程的通解为且y=0也是解。
13222(2)2122xydy y x dxdy y x y dx xy x y=--==- 这是n=-1时的伯努利方程。
两边同除以1y， 212dy y y dx x =- 令2y z = 2dz dy y dx dx= 22211dz y z dx x x=-=-P(x)=2xQ(x)=-1 由一阶线性方程的求解公式 22()dx dx x x z e e dx c -⎰⎰=-+⎰ =2x x c +22y x x c =+ 14 23y dy e x dx x += 两边同乘以y e 22()3y yydy e xe e dx x += 令y e z = ydz dy e dx dx= 222233dz z xz z z dx x x x+==+ 这是n=2时的伯努利方程。
两边同除以2z22131dz z dx xz x =+ 令1T z= 21dT dz dx z dx =- 231dT T dx x x-=+ P （x ）=3x - Q(x)=21x - 由一阶线性方程的求解公式3321()dx dx x x T e e dx c x--⎰⎰=+⎰ =321()2x x c --+ =1312x cx ---+ 131()12z x cx ---+= 131()12y e x cx ---+= 2312y y x e ce x -+= 2312y x x e c -+=15 331dy dx xy x y=+ 33dx yx y x dy=+ 这是n=3时的伯努利方程。
两边同除以3x 3321dx y y x dy x=+ 令2x z -= 32dz dx x dy dy-=- 3222dz y y dy x=--=322yz y -- P(y)=-2y Q(y)=32y - 由一阶线性方程的求解公式223(2)ydy ydy z e y e dy c ---⎰⎰=-+⎰=223(2)y y e y e dy c --+⎰=221y y ce --++ 222(1)1y x y ce --++=22222(1)y y y x e y ce e --++=22222(1)y e x x y cx -+=16 y=xe +0()x y t dt ⎰ ()x dy e y x dx=+ x dy y e dx=+ P(x)=1 Q(x)=x e 由一阶线性方程的求解公式11()dx dx x y e e e dx c -⎰⎰=+⎰=()x x x e e e dx c -+⎰=()x e x c +0()()xx x x e x c e e x c dx +=++⎰ c=1y=()x e x c +17 设函数ϕ(t)于-∞<t<+∞上连续，'ϕ(0)存在且满足关系式ϕ(t+s)=ϕ(t)ϕ(s)试求此函数。
令t=s=0 得ϕ(0+0)=ϕ(0)ϕ(0) 即ϕ(0)=2(0)ϕ 故(0)0ϕ=或(0)1ϕ=（1） 当(0)0ϕ=时 ()(0)()(0)t t t ϕϕϕϕ=+= 即()0t ϕ=(t ∀∈-∞,+∞)(2) 当(0)1ϕ=时 '0()()()lim t t t t t t ϕϕϕ∆→+∆-=∆=0()()()lim t t t t t ϕϕϕ∆→∆-∆ =0()(()1)lim t t t t ϕϕ∆→∆-∆=0(0)(0)()lim t t t t ϕϕϕ∆→∆+-∆='(0)()t ϕϕ 于是'(0)()d t dtϕϕϕ= 变量分离得'(0)d dt ϕϕϕ= 积分 '(0)t ce ϕϕ= 由于(0)1ϕ=，即t=0时1ϕ= 1=0ce ⇒c=1故'(0)()t t e ϕϕ=20.试证：（1）一阶非齐线性方程（2 .28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（）之解；（2）若()y y x =是（）的非零解，而()y y x =:是（）的解，则方程（）的通解可表为()()y cy x y x =+:，其中c 为任意常数.（3）方程（）任一解的常数倍或任两解之和（或差）仍是方程（）的解. 证明：()()dy P x y Q x dx=+ （） ()dy P x y dx= （） （1） 设1y ，2y 是（）的任意两个解则 11()()dy P x y Q x dx=+ （1） 22()()dy P x y Q x dx=+ （2） （1）-（2）得()1212()()d y y P x y y dx-=- 即12y y y =-是满足方程（）所以，命题成立。
（2） 由题意得：()()dy x P x y dx= （3） ()()()()d y x P x y x Q x dx =+:: （4） 1）先证y cy y =+:是（）的一个解。