高级微观练习题及答案

1．两种产品x 和y 唯一需要的要素投入是劳动L 。一单位x 产品需要的劳动投入量是8，一单位y 产品需要的劳动投入量是1。假设可投入的劳动量总共为48。

（1）写出生产可能集Z 的代数表达式； （2）写出生产（隐）函数； （3）在(),x y 平面上标示生产边界。

解：（1）由题意可知，总量为48，劳动L 是两种产品唯一需要的要素投入，所以有：

848x y +≤ 因此，生产可能集Z 的代数表达式为(){},,848Z x y L x y L =+≤≤。

（2）一单位x 产品需要的劳动投入量是8，一单位y 产品需要的劳动投入量是1，所以生产（隐）函数为8x y L +=。

（3）由（1）可得，生产可能集Z 为(){},,848Z x y L x y L =+≤≤，如图1-1所示。

2．试画出Leontief 生产函数()}{1,21221min ,f x x x x ββ=的等产量线。

解：由Leontief 生产函数()}{1,21221min ,f x x x x ββ=表达式可知，当1221x x ββ=时，2121x x ββ=，由此可得到其等产量线如图1-2所示。

3．对Cobb-Douglas 生产函数()1,21

2f x x Ax x αβ

=()0,,0A αβ>> （1）证明11MP y x α=，22MP y x β=。

（2）求技术替代率12TRS 。

（3）当y 或21x x 变化时，12TRS 如何随之变化？ （4）画出等产量曲线。

解：（1）已知生产函数()1,212f x x Ax x αβ=，即12y Ax x αβ=，所以有：

()111121

21,MP f x x Ax x y x αβαα-'=== ()1

2212122,MP f x x Ax x y x αβββ-'===

即得证。

（2）在（1）中已经证明11MP y x α=，22MP y x β=，因此，技术替代率为：

1

1212221

MP y x x TRS MP y x x ααββ=-

=-=- 在Cobb-Douglas 生产函数中1αβ+=，整理得()2

121

1x TRS x αα=--。

（3）由（2）可知，()2

121

1x TRS x αα=-

-，技术替代率12TRS 与y 无关，不随y 的变化而

变化；而21x x 变化时，技术替代率12TRS 随之等比例变化。

（4）已知Cobb-Douglas 生产函数()1,21

2f x x Ax x αβ

=的技术替代率()2

121

1x TRS x αα=--，

12TRS 就是相应点处等产量曲线切线的斜率。它的等产量线如图1-3所示。

图1-3

4．对CES 生产函数

()11122y A x x α

αα

δδ=+，121δδ+=，0A >

（1）证明边际产出()

1i i i MP A y x α

αδ-=。

（2）求技术替代率12TRS 。

（3）当y 或21x x 变化时，12TRS 如何随之变化？ （4）证明技术替代弹性)11σα=-。 解：（1）()

1

1

1

111122

11

A

MP y x x x α

αααδδαδα

--'==

⨯+⨯ ()()()()()

111

111121

1

111121111A x x x A A x x x A y x αα

αα

αα

αα

αα

αα

αδδδδδδδ-----=+⎡⎤=+⎣⎦

=

同理可证()

12122MP y A y x α

αδ-'==，因此可得边际产出为[]

1i i i MP A y x α

αδ-=。

（2）由（1）得，[]

1i i i MP A y x α

α

δ-=。所以，技术替代率111212221MP x TRS MP x α

δδ-⎛⎫=-=- ⎪

⎝⎭

。

（3）已知技术替代率111212221MP x TRS MP x α

δδ-⎛⎫

=-=- ⎪

⎝⎭

，所以，当y 变化时，12TRS 保持不变；

当21x x 变化时，12TRS 随之等比例变动。

（4）假设21z x x =，则11122

TRS z α

δδ-=-

，那么： ()()

1

121212

1212112d d d d 111TRS TRS TRS z TRS z z z z z αασδδαδδα----⎛⎫== ⎪⎝⎭⎛⎫⎡⎤=-

-- ⎪⎣⎦⎝⎭

=-

即得证。

7．下列生产函数的规模收益状况如何？ （1）线性函数：()1,212f x x ax bx =+，,0a b >；

（2）Leontief 生产函数；

（3）Cobb-Douglas 生产函数； （4）CES 生产函数。

解：（1）线性生产函数()1,212f x x ax bx =+，()()121212f tx tx atx btx t ax bx =+=+，，产量随要素投入变动同比例变化，规模收益是不变的。

（2）Leontief 生产函数也是产量随要素投入变动同比例变化，规模收益是不变的。

（3）Cobb-Douglas 生产函数()1,21

2f x x Ax x αβ

=()0,,0A αβ>>，当1αβ+=时，是规模收益不变的；当1αβ+>时，规模收益是递增的；当1αβ+<时，规模收益是递减的。

（4）同理，CES 生产函数()11122y A x x αα

δδ=+，产量随要素投入变动同比例变化，规模

收益是不变的。

1．对于Cobb-Douglas 生产函数：12y Ax x αβ

=，,0αβ>，1αβ+≤，0A >。

（1）验证：仅在参数条件1αβ+≤下，利润最大化问题的二阶条件才能得到满足； （2）求要素需求函数和产品供给函数（可在结果中保留变量y ）； （3）求利润函数；

（4）验证利润函数是()12,,p w w 的一次齐次函数； （5）验证Hotelling 引理。

解：（1）Cobb-Douglas 生产函数为12y Ax x αβ=，利润最大化的二阶条件是生产函数的

Hessian 矩阵是半负定的，即：

()

()2

12

1

2212211y y

x x x D f y

y x x x αααβ

ββαβ-⎛⎫

⎪

⎪= ⎪

-

⎪ ⎪⎝

⎭

中，()2110y x αα-≤，()2

210y x ββ-≤

且矩阵的行列式非负，()()()222

22

22221212

1110y y D f x x x x αβαβαβαβαβ⎡⎤=---=--≥⎣⎦ 所以，1αβ+≤。

（2）利润最大化问题的一阶必要条件是：

11121

py w pAx x x αβ

αα-==

，1

2122

py w pAx x x αβββ-==

所以要素需求函数为()11

,py x p w w α=

，()22

,py x p w w β=

。

将要素需求函数代入生产函数121212py py p p y Ax x A Ay w w w w α

β

α

β

α

β

αβαβαβ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

，解

得产品供给函数为()1

11112,p p y p w A

w w αβ

αβαβ

αβ

αβ------⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

。