2019-2020学年高中数学第三章不等式 3.2 均值不等式名师讲义新人教B版必修5

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高中数学第三章不等式 3.2 均值不等式(第2课时)课件 b必修5b高二必修5数学课件

3.2 均值不等 (jūn zhí) 式
2021/12/8
第一页，共二十七页。
情境(qíngjìng)引入导学
甲、乙两人在每个月里总是相约到一家小铺里去购买两次白
糖，假设白糖的价格是变化的，而他们的购买方式又不一样，甲
每一次总是购买 1 千克白糖，乙每一次只拿一元钱来购买白糖，而不管购买多少，则这两种购糖方式哪一种更合算？
解：∵x，y 为正数，且 x＋2y＝1. ∴1x＋1y＝(x＋2y)(1x＋1y)＝3＋2xy＋yx≥3＋2 2，当且仅当2xy＝yx，即当 x＝ 2－1，y＝1－ 22时等号成立． ∴1x＋1y的最小值为 3＋2 2.
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变式训练 1：设 a、b∈R＋，若 a＋b＝2，则1a＋1b的最小值等于
() A．1
B．3
C．2
D．4
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【解析】1a＋1b＝121a＋1b(a＋b) ＝1＋12ba＋ab≥2，等号在 a＝b＝1 时成立.
【答案】C
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命题(mìng tí)方向2：拆项与配凑例 2：求 y＝xx2＋＋14(x>－1)的值域．
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解：y＝xx2＋＋14＝x＋12－x＋21x＋1＋5 ＝x＋1＋x＋5 1－2≥2 5－2 (x＋1>0)，等号在 x＋1＝x＋5 1，即 x＝ 5－1 时成立， ∴函数的值域为[2 5－2，＋∞)．
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第九，求 y＝x2－x＋2x1－2的最小值．解：∵x>－1，∴x＋1>0， ∴y＝x＋12－x＋41x＋1＋1 ＝(x＋1)＋x＋1 1－4≥2－4＝－2. 当且仅当 x＋1＝x＋1 1，即 x＝0 时，函数 y 取最小值－2.

2020版高中数学第三章不等式3.2均值不等式(第1课时)均值不等式学案新人教B版

第1课时均值不等式学习目标 1.理解均值不等式的内容及证明．2.能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小．3.能初步运用均值不等式证明简单的不等式．知识点一算术平均值与几何平均值对任意两个正实数a ，b ，数a ＋b2叫做a ，b 的算术平均值，数ab 叫做a ，b 的几何平均值，两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．知识点二均值不等式常见推论 1．均值定理如果a ，b ∈R ＋a ＝b 时，等号成立，以上结论通常称为均值定理，又叫均值不等式．均值定理可叙述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值． 2．常见推论(1)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )； (2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)；(3)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R )．1．对于任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ．( √ ) 2．n ∈N ＋时，n ＋2n≥22．( √ )3．x ≠0时，x ＋1x≥2．( × )4．a >0，b >0时，1a ＋1b ≥4a ＋b ．( √ )题型一常见推论的证明例1 证明不等式a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．证明 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0， ∴a 2＋b 2≥2ab ．引申探究 1．求证a ＋b2≥ab (a ＞0，b ＞0)．证明方法一a ＋b2－ab ＝12[(a )2＋(b )2－2a ·b ]＝12·(a －b )2≥0，当且仅当a ＝b ，即a ＝b 时，等号成立．方法二由例1知，a 2＋b 2≥2ab ．∴当a ＞0，b ＞0时有(a )2＋(b )2≥2a b ，即a ＋b ≥2ab ，a ＋b2≥ab ．2．证明不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )．证明由例1，得a 2＋b 2≥2ab ， ∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ，两边同除以4，即得⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，当且仅当a ＝b 时，取等号．反思感悟 (1)作差法与不等式性质在证明中常用，注意培养应用意识． (2)不等式a 2＋b 2≥2ab 和均值不等式ab ≤a ＋b2成立的条件是不同的，前者要求a ，b 都是实数，后者要求a ，b 都是正数．跟踪训练1 当a ＞0，b ＞0时，求证：21a ＋1b≤ab .证明 ∵a ＞0，b ＞0，∴a ＋b ≥2ab ＞0， ∴1a ＋b ≤12ab ，∴2ab a ＋b ≤2ab 2ab ＝ab ．又∵2ab a ＋b ＝21a ＋1b， ∴21a ＋1b≤ab (当且仅当a ＝b 时取等号)．题型二用均值不等式证明不等式例2 已知x ，y 都是正数．求证：(1)y x ＋x y≥2；(2)(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3. 证明 (1)∵x ，y 都是正数，∴x y >0，y x>0， ∴y x ＋x y ≥2y x ·x y ＝2，即y x ＋xy≥2，当且仅当x ＝y 时，等号成立．(2)∵x ，y 都是正数，∴x ＋y ≥2xy >0，x 2＋y 2≥2x 2y 2>0，x 3＋y 3≥2x 3y 3>0，∴(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3) ≥2xy ·2x 2y 2·2x 3y 3＝8x 3y 3，即(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3，当且仅当x ＝y 时，等号成立．反思感悟利用均值不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． (2)注意事项：①多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立；②同向不等式相加是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用均值不等式证明的可重新组合，形成均值不等式模型，再使用．跟踪训练2 已知a ，b ，c 都是正实数，求证：(a ＋b )(b ＋c )·(c ＋a )≥8abc . 证明 ∵a ，b ，c 都是正实数，∴a ＋b ≥2ab >0，b ＋c ≥2bc >0，c ＋a ≥2ca >0， ∴(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≥2ab ·2bc ·2ca ＝8abc ，即(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≥8abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．题型三用均值不等式比较大小例3 某工厂生产某种产品，第一年产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x (a ，b ，x 均大于零)，则( ) A ．x ＝a ＋b2B ．x ≤a ＋b2C ．x ＞a ＋b2D ．x ≥a ＋b2答案 B解析第二年产量为A ＋A ·a ＝A (1＋a )，第三年产量为A (1＋a )＋A (1＋a )·b ＝A (1＋a )(1＋b )．若平均增长率为x ，则第三年产量为A (1＋x )2．依题意有A (1＋x )2＝A (1＋a )(1＋b )， ∵a ＞0，b ＞0，x ＞0， ∴(1＋x )2＝(1＋a )(1＋b )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋a )＋(1＋b )22，∴1＋x ≤2＋a ＋b 2＝1＋a ＋b2，∴x ≤a ＋b2(当且仅当a ＝b 时，等号成立)．反思感悟均值不等式a ＋b2≥ab 一端为和，一端为积，使用均值不等式比较大小要擅于利用这个桥梁化和为积或者化积为和．跟踪训练3 设a ＞b ＞1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝lg a ＋lg b2，R ＝lg a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系是( )A ．R 0，∴lga ＋b2＞lg ab ＝12(lg a ＋lg b )，即R ＞Q ．② 综合①②，有P <Q <R ．演绎：从一般到特殊典例 (1)当x ＞0，a ＞0时，证明x ＋ax≥2a ；(2)当x ＞－1时，证明x 2＋7x ＋10x ＋1≥9.证明 (1)∵x ＞0，a ＞0，∴a x＞0．由均值不等式可知，x ＋a x ≥2x ·ax＝2a ．当且仅当x ＝a 时，等号成立．(2)x 2＋7x ＋10x ＋1＝x ＋2＋x ＋＋4x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1＋5． ∵x ＞－1，∴x ＋1＞0． ∴(x ＋1)＋4x ＋1≥24＝4， ∴(x ＋1)＋4x ＋1＋5≥9，即x 2＋7x ＋10x ＋1≥9．当且仅当x ＝1时，等号成立．[素养评析] 逻辑推理主要有两类：从特殊到一般，从一般到特殊，演绎就是从一般到特殊的一种推理形式．在本例中，“一般”指均值不等式a ＋b2≥ab ．当我们对a ，b 赋予特殊值．如令a ＝x ，b ＝a x ，就有x ＋ax≥2a ；① 再令①中的x ＝x ＋1，a ＝4，就有x ＋1＋4x ＋1≥24．均值不等式的应用关键就是给a ，b 赋予什么样的值．1．若0<a a ＋b2>ab >b B ．b >ab >a ＋b2>aC ．b >a ＋b 2>ab >aD ．b >a >a ＋b2>ab答案 C解析 ∵0<a a ＋b ，∴b >a ＋b2>ab ． ∵b >a >0，∴ab >a 2，∴ab >a ．故b >a ＋b2>ab >a ．2．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1>2x C ．2xx 2＋1≤1 D ．x ＋1x≥2答案 C解析对于A ，当x ≤0时，无意义，故A 不恒成立；对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，故B 不成立；对于D ，当x <0时，不成立；对于C ，x 2＋1≥2x ，∴2xx 2＋1≤1成立．故选C ． 3．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( ) A ．a ＋d2>bc B ．a ＋d2<bc C ．a ＋d 2＝bcD ．a ＋d2≤bc答案 A解析因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d 2＝b ＋c2>bc ．4．lg9×lg11与1的大小关系是( ) A ．lg9×lg11>1 B ．lg9×lg11＝1 C ．lg9×lg11<1 D ．不能确定答案 C解析 ∵lg 9>0，lg 11>0， ∴lg 9×lg 11<⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 9＋lg 1122＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤lg(9×11)22＝⎝⎛⎭⎪⎫lg 9922<⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 10022＝1，即lg 9×lg 11<1．5．设a >0，b >0，给出下列不等式： ①a 2＋1>a ；②⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ≥4； ③(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4；④a 2＋9>6a ．其中恒成立的是________．(填序号) 答案 ①②③解析由于a 2＋1－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0，故①恒成立；由于a ＋1a ≥2，b ＋1b≥2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ≥4，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立，故②恒成立；由于a ＋b ≥2ab ，1a ＋1b ≥21ab，故(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4，当且仅当a ＝b 时，等号成立，故③恒成立；当a ＝3时，a 2＋9＝6a ，故④不恒成立．综上，恒成立的是①②③．1．两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取等号”这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a ＝b 时，a ＋b2＝ab ；另一方面：当a ＋b2＝ab 时，也有a ＝b ．2.在利用均值不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式，以便于利用均值不等式．一、选择题1．a ，b ∈R ，则a 2＋b 2与2|ab |的大小关系是( ) A ．a 2＋b 2≥2|ab | B ．a 2＋b 2＝2|ab | C ．a 2＋b 2≤2|ab | D ．a 2＋b 2>2|ab |答案 A解析 ∵a 2＋b 2－2|ab |＝(|a |－|b |)2≥0，∴a 2＋b 2≥2|ab |(当且仅当|a |＝|b |时，等号成立)．2．若a ，b ∈R 且ab >0，则下列不等式中恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C ．1a ＋1b>2abD ．b a ＋ab≥2答案 D解析 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误；对于B ，C ，当a <0，b <0时，显然错误；对于D ，∵ab >0，∴b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．3．对于a ＞0，b ＞0，下列不等式中不正确的是( )A ．ab 2＜1a ＋1bB ．ab ≤a 2＋b 22C ．ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22 答案 A解析当a ＞0，b ＞0时，因为21a ＋1b≤ab ，所以2ab ≤1a ＋1b ，当且仅当a ＝b 时等号成立，故A 不正确；显然B ，C ，D 均正确．4．设f (x )＝ln x ,0<a pD ．p ＝r >q 答案 B解析因为0<a ab ．又因为f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2>f (ab )，即p <q ．而r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝12ln(ab )＝ln ab ，所以r ＝p ，故p ＝r <q ，故选B.5．已知a ，b ∈(0，＋∞)，则下列不等式中不成立的是( ) A ．a ＋b ＋1ab≥2 2B ．(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4C ．a 2＋b 2ab≥2abD ．2aba ＋b>ab 答案 D 解析 a ＋b ＋1ab≥2ab ＋1ab≥22，当且仅当a ＝b ＝22时，等号成立，A 成立；(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥2ab ·21ab＝4，当且仅当a ＝b 时，等号成立，B 成立； ∵a 2＋b 2≥2ab >0，∴a 2＋b 2ab≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，C 成立；∵a ＋b ≥2ab ，且a ，b ∈(0，＋∞)， ∴2ab a ＋b ≤1，2aba ＋b≤ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，D 不成立． 6．下列说法正确的是( )A ．若x ≠k π，k ∈Z ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x ＋4sin 2x min ＝4B ．若a <0，则a ＋4a≥－4C ．若a >0，b >0，则lg a ＋lg b ≥2lg a ·lg bD ．若a <0，b <0，则b a ＋a b≥2 答案 D解析对于A ，x ≠k π，k ∈Z ，则sin 2x ∈(0,1]．令t ＝sin 2x ，则y ＝t ＋4t，函数y 在(0,1]上单调递减，所以y ≥5，即sin 2x ＋4sin 2x ≥5，当sin 2x ＝1时，等号成立．对于B ，若a <0，则－a >0，－4a>0．∴a ＋4a＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－a )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4a ≤－4，当且仅当a ＝4a，即a ＝－2时，等号成立．对于C ，若a ∈(0，1)，b ∈(0，1)，则lg a <0，lg b <0，不等式不成立．对于D ，a <0，b <0，则b a >0，a b>0， ∴b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2，当且仅当b a ＝ab，即a ＝b 时，等号成立．二、填空题7．设正数a ，使a 2＋a －2＞0成立，若t ＞0，则12log a t ________log a t ＋12.(填“＞”“≥”“≤”或“＜”) 答案 ≤解析 ∵a 2＋a －2＞0，∴a ＞1或a ＜－2(舍)， ∴y ＝log a x 是增函数，又t ＋12≥t ，∴log at ＋12≥log a t ＝12log a t ． 8．设a ，b 为非零实数，给出不等式： ①a 2＋b 22≥ab ；②a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22；③a ＋b 2≥ab a ＋b ；④a b ＋b a ≥2．其中恒成立的不等式是________．答案 ①②解析由重要不等式a 2＋b 2≥2ab ，可知①正确；a 2＋b 22＝2(a 2＋b 2)4＝(a 2＋b 2)＋(a 2＋b 2)4≥a 2＋b 2＋2ab 4＝(a ＋b )24＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，可知②正确；当a ＝b ＝－1时，不等式的左边为a ＋b2＝－1，右边为ab a ＋b ＝－12，可知③不正确；当a ＝1，b ＝－1时，可知④不正确． 9．已知a ＞b ＞c ，则(a －b ) (b －c )与a －c2的大小关系是____________________________．答案(a －b ) (b －c )≤a －c2解析因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0，所以a －c 2＝(a －b )＋(b －c )2≥(a －b ) (b －c )，当且仅当a －b ＝b －c 时，等号成立．10．设a ＞1，m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (a ＋1)，p ＝log a (2a )，则m ，n ，p 的大小关系是________．(用“＞”连接) 答案 m ＞p ＞n解析 ∵a ＞1，∴a 2＋1＞2a ＞a ＋1，∴log a (a 2＋1)＞log a (2a )＞log a (a ＋1)，故m ＞p ＞n ．三、解答题11．设a ，b ，c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c ．证明 ∵a ，b ，c 都是正数，∴bc a ，ca b ，ab c也都是正数， ∴bc a ＋ca b ≥2c ，ca b ＋ab c ≥2a ，bc a ＋ab c ≥2b ，三式相加得2⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋ab c≥a ＋b ＋c ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．12．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：(1)1a ＋1b ＋1ab ≥8；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9．证明 (1)1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ， ∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋b a≥2＋2＝4， ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立)． (2)方法一 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a，同理，1＋1b ＝2＋a b， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9(当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立)．方法二 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab．由(1)知，1a ＋1b ＋1ab≥8，故⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ≥9，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立．13．设0<a <12 答案 C解析 ∵0<a <10，－log b a ＞0，∴(－log a b )＋(－log b a )＝(－log a b )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1log a b ≥2，当且仅当ab ＝1时，等号成立，∴log a b ＋log b a ≤－2．14．设x ，y 为正实数，且xy －(x ＋y )＝1，则( )A ．x ＋y ≥2(2＋1)B ．xy ≤2＋1C ．x ＋y ≤(2＋1)2D ．xy ≥2(2＋1) 答案 A解析 ∵x ，y 为正实数，且xy －(x ＋y )＝1，xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22－(x ＋y )－1≥0，解得x ＋y ≥2(2＋1)，当且仅当x ＝y ＝1＋2时取等号．。

2020版高中数学第三章不等式3.2均值不等式课件新人教B版

A．m＝1
B．m＝±1
C．m＝－1
D．m＝0
【解析】m2＋1－2m＝(m－1)2≥0，当且仅当 m＝1 时，等号成立．
【答案】A
2．已知 x>0，则 y＝3x＋4x有( )
A．最大值 4 3
B．最小值 4 3
C．最大值 2 3
D．最小值 2 3
【解析】∵x>0，∴y＝3x＋4x≥2 3x·4x＝4 3，当且仅当 3x＝4x，即 x＝233时，等号成立．
【答案】6 4
4．若正数 a、b 满足 ab＝a＋b＋3，则 ab 的取值范围是________．
【解析】∵a>0，b>0，∴a＋b≥2 ab. ∵ab＝a＋b＋3≥2 ab＋3， ∴( ab)2－2 ab－3≥0， ∴ ab≥3 或 ab≤－1(舍去)， ∴ab≥9. 【答案】[9，＋∞)
5．a>0，b>0，且1a＋9b＝1，求 a＋b 的最小值．解：∵a>0，b>0，1a＋9b＝1， ∴a＋b＝(1a＋9b)(a＋b) ＝1＋9＋ba＋9ba≥10＋2 ba·9ba＝10＋2×3＝16. 当且仅当ba＝9b，即 b2＝9a2 时等号成立．
变式训练 1：某工厂第一年产量为 A，第二年的增长率为 a, 第
三年的增长率为 b，这两年的平均增长率为 x，则( )
A．x＝a＋2 b
B．x≤a＋2 b
C．x＞a＋2 b
D．x≥a＋2 b
【解析】∵这两年的平均增长率为 x， ∴A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)， ∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)，由题设 a＞0，b＞0. ∴1＋x＝ 1＋a1＋b≤1＋a＋2 1＋b ＝1＋a＋2 b，∴x≤a＋2 b. 等号在 1＋a＝1＋b 即 a＝b 时成立．

2019_2020学年高中数学第三章不等式3.2均值不等式学案新人教B版必修5

3．2 均值不等式1.熟练掌握均值不等式及变形的应用．2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题．3．能够运用均值不等式解决生活中的应用问题．1．均值不等式(1)均值定理(又称基本不等式或均值不等式) ①形式：a ＋b2≥ab ．②成立的前提条件：a >0，b >0．③等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． (2)算术平均值和几何平均值 ①定义a ＋b2叫做正实数a ，b 的算术平均值．ab 叫做正实数a ，b 的几何平均值．②结论两个正实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值． (3)重要不等式及变形公式 ①a 2＋b 2≥2ab ； ②ab ≤a 2＋b 22； ③ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22； ④b a ＋a b≥2 (ab >0)；⑤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22； ⑥a ＋b ≤ 2（a 2＋b 2）.上述不等式中等号成立的条件均为a ＝b ． 2．利用均值不等式求最值利用均值不等式xy ≤x ＋y2，求函数的最值．已知x 、y 都是正数，(1)若x ＋y ＝s (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值． (2)若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值．上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．1．已知xy ＜0，则代数式x 2＋y 2xy( )A ．有最小值2B ．有最大值－2C ．有最小值－2D ．不存在最值答案：B2．若x >0，则x ＋2x的最小值为________．解析：x ＋2x≥2x ·2x＝22，当且仅当x ＝2时，“＝”成立．答案：2 23．基本不等式中的a ，b 可以是值为任意正数的代数式吗？解：可以．利用均值不等式比较大小[学生用书P42]已知：a 、b 、c ∈(0，＋∞)且a ＋b ＋c ＝1，试比较a 2＋b 2＋c 2，ab ＋bc ＋ca ，13的大小．【解】因为a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ，所以2(a 2＋b 2＋c 2)≥2ab ＋2ac ＋2bc ，① 所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋ac ＋bc . ①式两边分别加上a 2＋b 2＋c 2得： 3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a ＋b ＋c )2＝1，所以a 2＋b 2＋c 2≥13，3(ab ＋bc ＋ca )≤a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ＝(a ＋b ＋c )2＝1，所以ab ＋bc ＋ca≤13.综上知，a 2＋b 2＋c 2≥13≥ab ＋bc ＋ca .要想运用均值不等式，需具有配凑意识，把题目给的条件配凑变形，把待求的数或式拆配得当，才能顺利地进行运算．已知a ，b 是正数，试比较21a ＋1b与ab 的大小．解：因为a >0，b >0，所以1a ＋1b ≥21ab>0，所以21a ＋1b≤221ab＝ab ，即21a ＋1b≤ab (当且仅当a ＝b 时取“＝”)．利用均值不等式证明不等式[学生用书P43]已知a 、b 、c >0，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c .【证明】因为a ，b ，c ，a 2b ，b 2c ，c 2a 均大于0，所以a 2b＋b ≥2a 2b·b ＝2a . 当且仅当a 2b ＝b ，即a ＝b 时等号成立．b 2c＋c ≥2 b 2c·c ＝2b . 当且仅当b 2c ＝c ，即b ＝c 时等号成立．c 2a＋a ≥2 c 2a·a ＝2c ，当且仅当c 2a＝a ，即a ＝c 时等号成立．相加得a 2b ＋b ＋b 2c ＋c ＋c 2a ＋a ≥2a ＋2b ＋2c ，所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c .当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．(1)多次使用a ＋b ≥2ab 时，要注意等号能否成立，最后利用不等式性质累加，此时也要注意等号成立的条件．(2)在解决不能直接利用均值不等式的证明问题时，要重新组合，构造运用均值不等式的条件．若条件中有一个多项式的和为1，要注意“1”的代换．已知a 、b 、c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1.求证：1a ＋1b ＋1c≥9.证明：欲证不等式的右边为常数9，故将不等式的左边进行恰当的变形． 1a ＋1b ＋1c＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c)≥3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号．利用均值不等式求最值[学生用书P43](1)已知0<x <13，求函数y ＝x (1－3x )的最大值；(2)求函数y ＝x ＋1x －3(x >3)的最小值．【解】 (1)因为0<x <13，所以1－3x >0，所以y ＝x (1－3x )＝13×3x (1－3x )≤13[3x ＋（1－3x ）2]2＝112，当且仅当3x ＝1－3x ，即x ＝16时等号成立，此时16∈(0，13)．所以函数y ＝x (1－3x )的最大值为112.(2)因为x >3，所以x －3>0，所以y ＝x ＋1x －3＝(x －3)＋1x －3＋3≥21x －3·（x －3）＋3＝5. 当且仅当1x －3＝x －3，即x ＝4时等号成立，此时4∈(3，＋∞)．所以函数y ＝x ＋1x －3的最小值为5. 将本例(1)中的“0<x <13”变为“0<x ≤17”，再求函数y ＝x (1－3x )的最大值．解：y ＝x (1－3x )＝－3x 2＋x ＝－3(x －16)2＋112.因为该函数在(－∞，16]上是单调递增的，所以当0<x ≤17时，在x ＝17处，y max ＝449.求函数最值时，如果使用均值不等式，则必须满足“一正、二定、三相等”．一般来说，定值不是直接给出，而是通过凑配构造出定值，然后再求最值．求出最值后还要检验“＝”是否成立，能相等则最值能取到，不相等则不能取到，此时考虑其他方法，特别是函数单调性的方法．1.已知x ＞0，y ＞0，2x ＋3y ＝6，则xy 的最大值为( )A ．12 B ．3 C ．32D ．1解析：选C.因为x ＞0，y ＞0，2x ＋3y ＝6，所以xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32. 当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32.2．设x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y ＝xy ，求x ＋y 的最小值．解：由2x ＋8y －xy ＝0及x ＞0，y ＞0，得8x ＋2y＝1.所以x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y＝8y x ＋2xy＋10≥28y x·2xy＋10＝18.当且仅当8y x ＝2xy，即x ＝2y ＝12时等号成立．所以x ＋y 的最小值是18.利用均值不等式解应用题[学生用书P44]某工厂生产某种产品，每日的成本C (单位：万元)与日产量x (单位：吨)满足函数关系式C ＝3＋x ，每日的销售额S (单位：万元)与日产量x 的函数关系式S ＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋k x －8＋5（0＜x ＜6），14（x ≥6），已知每日的利润L ＝S －C ，且当x ＝2时，L ＝3. (1)求k 的值；(2)问：当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大？请求出最大值．【解】由题意，得每日利润L 与日产量x 的函数关系式为L ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋k x －8＋2（0＜x ＜6），11－x （x ≥6），(1)当x ＝2时，L ＝3，即3＝2×2＋k2－8＋2，所以k ＝18.(2)当x ≥6时，L ＝11－x 为单调递减函数，故当x ＝6时，L max ＝5. 当0＜x ＜6时，L ＝2x ＋18x －8＋2＝2(x －8)＋18x －8＋18≤6，当且仅当2(x －8)＝18x －8(0＜x ＜6)，即x ＝5时，L max ＝6.综上可知，当日产量为5吨时，日利润达到最大，最大值为6万元．求实际问题中最值的一般思路(1)先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式． (2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题．(3)在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑均值不等式，当均值不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单调性．(4)正确写出答案．1.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N ＋)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．解析：每台机器运转x 年的年平均利润为y x＝18－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，且x >0，故y x≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．答案：5 82．一段长为36 m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解：设矩形菜园的长为x m 、宽为y m ，则2(x ＋y )＝36，x ＋y ＝18，矩形菜园的面积为xy m 2.由xy ≤x ＋y 2＝182＝9，可得xy ≤81，当且仅当x ＝y ，即x ＝y ＝9时，等号成立．因此，这个矩形的长、宽都为9 m 时，菜园的面积最大，最大面积为81 m 2.1．利用均值不等式，一定要注意使用的条件：一正(各项为正)，二定(和或积为定值)，三相等(等号在允许值范围内能取到)．缺少任何一个条件都不可以．为获得定值，常采用“配”“凑”的方法．2．在多次使用均值不等式时，一定要保证等号成立的条件一致．同时注意“整体代入”以防出错．3．解决实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数量关系，抽象出数学模型，利用均值不等式解应用题，既要注意条件是否具备，还要注意有关量的实际含义．利用均值不等式求最值时，常因为忽视“一正”，“积”或“和”为定值以及等号成立的条件导致错误，解题时三项一定要逐一验证．1．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则xy 的最大值是( ) A ．4 B ．8 C ．14D ．18解析：选D.xy ＝12·2x ·y ≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝18，故选D. 2．设x ，y 为正数，则(x ＋y )⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋9y的最小值为( ) A ．16 B ．9 C ．12D ．15解析：选A.因为x ，y 为正数，所以(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y＝1＋9＋y x＋9x y≥16，当且仅当y ＝3x 时，等号成立．3．已知a ，b ∈R ，若a 2＋b 2＝1，则ab 有最________值为________；若ab ＝1，则a 2＋b 2有最________值为________．解析：由a 2＋b 2≥2ab 可知，当a 2＋b 2＝1时，ab ≤12，故ab 有最大值为12；当ab ＝1时，a 2＋b 2≥2，a 2＋b 2有最小值2.答案：大 12 小 24．(1)已知x <3，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值． (2)已知x ，y 为正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y的最小值．解：(1)因为x <3，所以x －3<0，所以f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋（3－x ）＋3≤－243－x·（3－x ）＋3＝－1，当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取等号，所以f (x )的最大值为－1. (2)因为x ，y 为正实数，所以(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x ＝3xy，即x ＝2(3－1)， y ＝2(3－3)时取“＝”号．又x ＋y ＝4，所以1x ＋3y ≥1＋32，故1x ＋3y 的最小值为1＋32.[A 基础达标]1．设x >0，则y ＝3－3x －1x的最大值是( )A ．3B ．3－2 2C ．3－2 3D ．－1解析：选C.y ＝3－3x －1x＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x ≤3－23x ·1x ＝3－23，当且仅当3x ＝1x，即x ＝33时取等号． 2．已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝8，则(1＋x )(1＋y )的最大值为( ) A ．16 B ．25 C ．9D ．36解析：选B.(1＋x )(1＋y )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋x ）＋（1＋y ）22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋（x ＋y ）22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋822＝25，因此当且仅当1＋x ＝1＋y 即x ＝y ＝4时，(1＋x )(1＋y )取最大值25，故选B.3．已知x ＋y ＝1且x >0，y >0，则1x ＋1y的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．6 解析：选C.法一：1x ＋1y ＝x ＋y xy ＝1xy≥1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝4，当且仅当x ＝y ＝12时取等号．法二：1x ＋1y ＝x ＋y x ＋x ＋y y ＝2＋y x ＋x y ≥4，当且仅当x ＝y ＝12时取等号．4．已知x ＞1，y ＞1且xy ＝16，则log 2x ·log 2y ( ) A ．有最大值2 B ．等于4 C ．有最小值3D ．有最大值4解析：选D.因为x ＞1，y ＞1，所以log 2x ＞0，log 2y ＞0.所以log 2x ·log 2y ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x ＋log 2y 22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤log 2（xy ）22＝4，当且仅当x ＝y ＝4时取等号．故选D.5．已知函数y ＝x －4＋9x ＋1(x ＞－1)，当x ＝a 时，y 取得最小值b ，则a ＋b ＝( ) A ．－3 B ．2 C ．3D ．8解析：选C.y ＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5.由x ＞－1，得x ＋1＞0，9x ＋1＞0，所以由均值不等式得y ＝x ＋1＋9x ＋1－5≥ 2（x ＋1）×9x ＋1－5＝1，当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即x ＝2时取等号，所以a ＝2，b ＝1，a ＋b ＝3.6．若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________．解析：因为实数x ，y 满足xy ＝1，所以x 2＋2y 2≥2x 2×2y 2＝22（xy ）2＝22，当且仅当x 2＝2y 2且xy ＝1，即x 2＝2y 2＝2时等号成立，故x 2＋2y 2的最小值为2 2.答案：2 27．函数y ＝x ＋a x (a >0，x >0)的最小值为25，则实数a 的值为________．解析：因为a >0，x >0，所以y ＝x ＋a x ≥2x ·a x ＝2a ，当且仅当x ＝a x，即x ＝a 时等号成立，故2a ＝25，解得a ＝5.答案：58．若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________．解析：设xy ＝t (t ＞0)，由xy ＝2x ＋y ＋6≥22xy ＋6，即t 2≥22t ＋6，(t －32)(t ＋2)≥0，所以t ≥32，则xy ≥18，当且仅当2x ＝y ，2x ＋y ＋6＝xy ，即x ＝3，y ＝6时等号成立，所以xy 的最小值为18.答案：189．在腰长为10 cm 的等腰直角三角形中作一个内接矩形，使它的一边在斜边上，另外两个顶点在两个腰上．那么，矩形的长与宽各为多少时，矩形面积最大？解：设矩形的长为2x cm ，则宽为(52－x )cm ，所以矩形的面积S ＝2x (52－x )≤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋52－x 22＝25，当且仅当x ＝52－x ，即x ＝522，长为5 2 cm ，宽为522cm 时，矩形面积有最大值，为25 cm 2. 10．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0，求：(1)xy 的最小值；(2)x ＋y 的最小值．解：(1)xy ＝2x ＋8y ≥216xy ，所以xy ≥8，所以xy ≥64，当且仅当2x ＝8y 且2x ＋8y －xy ＝0，即x ＝16，y ＝4时，等号成立．故xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y ＝xy ，得2y ＋8x ＝1，所以x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2y ＋8x＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋8＝18.当且仅当2x y ＝8y x 且2x ＋8y －xy ＝0，即x ＝12，y ＝6时，等号成立．故x ＋y 的最小值为18.[B 能力提升]11．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为()A ．8B ．7C ．6D ．5解析：选C.由已知，可得6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝1，所以2a ＋b ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2b a 时等号成立，所以9m ≤54，即m ≤6，故选C.12．设x ＞－1，则函数y ＝（x ＋5）（x ＋2）x ＋1的最小值是________．解析：因为x ＞－1，所以x ＋1＞0，设x ＋1＝t ＞0，则x ＝t －1，于是有y ＝（t ＋4）（t ＋1）t ＝t 2＋5t ＋4t＝t ＋4t ＋5≥2t ·4t ＋5＝9，当且仅当t ＝4t ，即t ＝2时取“＝”，此时x ＝1.所以当x ＝1时，函数y ＝（x ＋5）（x ＋2）x ＋1取得最小值9. 答案：913．已知x ＞0，y ＞0，且3x ＋4y ＝12，求lg x ＋lg y 的最大值及相应的x ，y 的值．解：由x ＞0，y ＞0，且3x ＋4y ＝12，得xy ＝112·(3x )·(4y )≤112⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4y 22＝3. 所以lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 3，当且仅当3x ＝4y ＝6，即x ＝2，y ＝32时，等号成立．故当x ＝2，y ＝32时，lg x ＋lg y 的最大值是lg 3. 14.(选做题)桑基鱼塘是广东省珠江三角洲一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，如图所示，池塘所占面积为S 平方米，其中a ∶b ＝1∶2.(1)试用x ，y 表示S ；(2)若要使S 最大，则x ，y 的值各为多少？解：(1)由题可得，xy ＝1 800，b ＝2a ，则y ＝a ＋b ＋6＝3a ＋6，S ＝(x －4)a ＋(x －6)b ＝(3x －16)a ＝(3x －16)y －63＝1 832－6x －163y (x ＞6，y ＞6，xy ＝1 800)．(2)法一：S ＝1 832－6x －163y ≤1 832－26x ×163y ＝1 832－480＝1 352，当且仅当6x ＝163y ，xy ＝1 800，即x ＝40，y ＝45时，S 取得最大值1 352.法二：S ＝1 832－6x －163×1 800x ＝1 832－⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋9 600x ≤1 832－26x ×9 600x ＝1 832－480＝1 352，当且仅当6x ＝9 600x，即x ＝40时取等号，S 取得最大值．此时y ＝1 800x＝45.。

2020版数学人教B版必修5课件：第三章 3.2 第1课时均值不等式 .pdf

第三章§3.2　均值不等式第1课时　均值不等式学习目标XUEXIMUBIAO1.理解均值不等式的内容及证明.2.能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用均值不等式证明简单的不等式.NEIRONGSUOYIN内容索引自主学习题型探究达标检测1自主学习PART ONE知识点二　均值不等式常见推论1.均值定理如果a ，b ∈R ＋，那么 ___ .当且仅当a ＝b 时，等号成立，以上结论通常称为_____定理，又叫均值不等式.均值定理可叙述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值.知识点一　算术平均值与几何平均值对任意两个正实数a ，b ，数叫做a ，b 的算术平均值，数叫做a ，b 的几何平均值，两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值.≥均值2.常见推论(3)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R).1.对于任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab .( )思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU√√×√2题型探究PART TWO题型一　常见推论的证明例1　证明不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R).证明　∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab.引申探究方法二　由例1知，a2＋b2≥2ab.证明　由例1，得a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab，当且仅当a＝b时，取等号.反思感悟　(1)作差法与不等式性质在证明中常用，注意培养应用意识. (2)不等式a2＋b2≥2ab和均值不等式≤ 成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数.题型二　用均值不等式证明不等式例2　已知x，y都是正数.当且仅当x＝y时，等号成立.(2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3.∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3，当且仅当x＝y时，等号成立.反思感悟　利用均值不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.(2)注意事项：①多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立；②同向不等式相加是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用均值不等式证明的可重新组合，形成均值不等式模型，再使用.跟踪训练2　已知a，b，c都是正实数，求证：(a＋b)(b＋c)·(c＋a)≥8abc.证明　∵a，b，c都是正实数，即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立.题型三　用均值不等式比较大小例3　某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则√解析　第二年产量为A＋A·a＝A(1＋a)，第三年产量为A(1＋a)＋A(1＋a)·b＝A(1＋a)(1＋b).若平均增长率为x，则第三年产量为A(1＋x)2.依题意有A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，∵a＞0，b＞0，x＞0，√A.R<P<QB.P<Q<RC.Q<P<RD.P<R<Q 解析　∵a＞b＞1，∴lg a＞lg b＞0，综合①②，有P<Q<R .核心素养之逻辑推理HEXINSUYANGZHILUOJITUILI演绎：从一般到特殊∵x＞－1，∴x＋1＞0.当且仅当x＝1时，等号成立.3达标检测PART THREE1.若0<a<b，则下列不等式一定成立的是√解析　∵0<a<b，∴2b>a＋b，∵b>a>0，∴ab>a2，2.下列各式中，对任何实数x都成立的一个式子是√解析　对于A，当x≤0时，无意义，故A不恒成立；对于B，当x＝1时，x2＋1＝2x，故B不成立；对于D，当x<0时，不成立；3.四个不相等的正数a，b，c，d成等差数列，则√解析　因为a，b，c，d成等差数列，则a＋d＝b＋c，又因为a，b，c，d 均大于0且不相等，4.lg 9×lg 11与1的大小关系是A.lg 9×lg 11>1B.lg 9×lg 11＝1√C.lg 9×lg 11<1D.不能确定解析　∵lg 9>0，lg 11>0，即lg 9×lg 11<1.5.设a>0，b>0，给出下列不等式：①②③其中恒成立的是________.(填序号)当且仅当a＝b＝1时，等号成立，故②恒成立；当且仅当a＝b时，等号成立，故③恒成立；当a＝3时，a2＋9＝6a，故④不恒成立.综上，恒成立的是①②③.12345课堂小结KETANGXIAOJIE2.在利用均值不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式，以便于利用均值不等式.。

高中数学第三章不等式3.2均值不等式课件新人教B版必修

式模型,再使用.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思维辨析当堂检测
1.将本例
3
中所证的不等式左边改为“��2
+
��2 ��
+
��2�� ”,其他均不变,
又将如何证明呢?
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思维辨析当堂检测
证明:∵a,b,c,��2
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思维辨析当堂检测
变式训练 1 已知 x<2,求函数 f(x)=x+��4-2的最大值. 解:∵x<2,∴2-x>0,
∴f(x)=x+��4-2=-
(2-��)
+
4 2-��
+2
≤-2
(2-��)
4 2-��
+2=-2,
一
二
三
二、均值定理
【问题思考】
1.填空:
(1)如果 a,b>0,那么��+2�� ≥ ��,当且仅当 a=b 时,等号成立.这也叫基本不等式.
(2)对任意两个正实数 a,b,数��+2��叫做 a,b 的算术平均值,数 �� 叫做 a,b 的几何平均值,故均值定理用语言叙述是两个正实数的算术
,
��+�� 2
,
��, 1��+21��,b 的大小.

2019-2020人教B版数学必修5第3章 3.2 均值不等式

3.2 均值不等式1．重要不等式如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时取“＝”)． 2．均值不等式ab ≤a ＋b 2(1)均值不等式成立的条件：a >0，b >0； (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 3．算术平均值与几何平均值(1)设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均值为a ＋b2，几何平均值为ab ； (2)均值定理可叙述为两个正实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值．4．用均值不等式求最值的规律(1)两个正数的积为常数时，它们的和有最小值． (2)两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．1．若x >0，则x ＋4x 的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．2 2D ．4D [∵x >0，∴4x >0，∴x ＋4x ≥2x ·4x ＝4.当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时，等号成立．]2．已知a ，b ∈R ，且ab >0，则下列结论恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C ．1a ＋1b >2abD ．b a ＋a b ≥2D [利用均值不等式需注意各数必须是正数，不等式a 2＋b 2≥2ab 的使用条件是a ，b ∈R .对于A ，当a ＝b 时，a 2＋b 2＝2ab ，所以A 错误；对于B ，C ，虽然ab >0，只能说明a ，b 同号，当a ，b 都小于0时，B ，C 错误；对于D ，因为ab >0，所以b a >0，ab >0，所以b a ＋a b ≥2b a ·a b ，即b a ＋a b ≥2恒成立．]3．若0<a 0，y >0且x ＋y ＝1，则xy 的最大值为________． 14[当x >0，y >0时， x ＋y ≥2xy ， ∴xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝14.当且仅当x＝y＝12时，等号成立．]【例1】(1)已知m＝a＋1a－2(a>2)，n＝22－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是()A．m>n B．m<nC．m＝n D．不确定(2)已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________．(1)A(2)p>q[(1)∵a>2，∴a－2>0.又m＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2，∴m≥2(a－2)×1a－2＋2＝4，即m∈[4，＋∞)．由b≠0得b2≠0，∴2－b2<2，∴22－b2<4，即n<4，∴n∈(0,4)．综上，易得m>n.(2)∵a，b，c互不相等，∴a2＋b2>2ab，b2＋c2>2bc，a2＋c2>2ac．∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)．即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac，亦即p>q.]1．在理解均值不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件．2．运用均值不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2ab成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b．1．设a >0，b >0，试比较a ＋b2，ab ，a 2＋b 22，21a ＋1b的大小，并说明理由．[解] ∵a >0，b >0，∴1a ＋1b ≥2ab ，即ab ≥21a ＋1b (当且仅当a ＝b 时取等号)，又⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝a 2＋2ab ＋b24≤a 2＋b 2＋a 2＋b 24＝a 2＋b 22，∴a ＋b 2≤a 2＋b 22(当且仅当a ＝b 时等号成立)，而ab ≤a ＋b2，故a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(当且仅当a ＝b 时等号成立)．【例2】已知a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：1a ＋1b ＋1c ≥9. [证明] 1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋cc ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．1．所证不等式一端出现“和式”，而另一端出现“积式”，这便是应用均值不等式的“题眼”．可尝试用均值不等式证明．2．利用均值不等式证明不等式的策略从已证不等式及问题的已知条件出发，借助不等式的性质及有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．3．利用均值不等式证明不等式的注意点(1)多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立；(2)累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用； (3)对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，形成均值不等式模型，再使用．2．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9.[证明] 法一：因为a >0，b >0，a ＋b ＝1，所以1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a .同理1＋1b ＝2＋ab . 故⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝ 5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9(当且仅当a ＝b ＝12时取等号)．法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ＝1＋a ＋b ab ＋1ab ＝1＋2ab ，因为a ，b 为正数，a ＋b ＝1，所以ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，于是1ab ≥4，2ab ≥8. 因此⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥1＋8＝9(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)．用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36 m 长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？[解] 设每间虎笼长x m ，宽y m ，则由条件知，4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18. 设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy . 法一：由于2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ，所以26xy ≤18，得xy ≤272，即S max ＝272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎨⎧ 2x ＋3y ＝18，2x ＝3y ，解得⎩⎨⎧x ＝4.5，y ＝3.故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使每间虎笼面积最大．法二：由2x ＋3y ＝18，得x ＝9－32y . ∵x >0，∴0<y <6，S ＝xy ＝y ⎝ ⎛⎭⎪⎫9－32y ＝32y (6－y )．∵0<y <6，∴6－y >0.∴S ≤32⎣⎢⎡⎦⎥⎤(6－y )＋y 22＝272. 当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝4.5. 故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使每间虎笼面积最大．1．在应用均值不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法： (1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案．2．对于函数y ＝x ＋kx (k >0)，可以证明x ∈(0，k ]及[－k ，0)上均为减函数，在[k ，＋∞)及(－∞，－k ]上都是增函数．求此函数的最值时，若所给的范围含±k ，可用均值不等式，不包含±k 就用函数的单调性．3．某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元．从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上年增加4万元．该船每年捕捞总收入50万元．(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？ (2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？ [解] (1)设该船捕捞n 年后的总盈利y 万元，则 y ＝50n －98－⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×n ＋n (n －1)2×4 ＝－2n 2＋40n －98＝－2(n －10)2＋102，∴当捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元． (2)年平均利润为y n ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋49n －20≤－2⎝⎛⎭⎪⎫2n ·49n －20＝12，当且仅当n ＝49n ，即n ＝7时上式取等号．∴当捕捞7年后年平均利润最大，最大是12万元．1．由x 2＋y 2≥2xy 知xy ≤x 2＋y 22，当且仅当x ＝y 时“＝”成立，能说xy 的最大值是x 2＋y 22吗？能说x 2＋y 2的最小值为2xy 吗？[提示] 最值是一个定值(常数)，而x 2＋y 2或2xy 都随x ，y 的变化而变化，不是定值，故上述说法均错误．要利用均值不等式a ＋b2≥ab (a ，b ∈R ＋)求最值，必须保证一端是定值，方可使用．2．小明同学初学利用均值不等式求最值时，是这样进行的：“因为y＝x＋1x≥2x·1x＝2，当且仅当x＝1x，即x2＝1时“＝”号成立，所以y＝x＋1x的最小值为2.”你认为他的求解正确吗？为什么？[提示]不正确．因为利用均值不等式求最值，必须满足x与1x都是正数，而本题x可能为正，也可能为负．所以不能盲目“套用”均值不等式求解．正确解法应为：当x>0时，y＝x＋1x≥2x×1x＝2，当且仅当x＝1x，即x＝1时取“＝”，y＝x＋1x的最小值是2；当x<0时，y＝－⎝⎛⎭⎪⎫－x－1x≤－2(－x)·⎝⎛⎭⎪⎫－1x＝－2，当且仅当x＝1x，即x＝－1时，取“＝”，y＝x＋1x的最大值是－2.3．已知x≥3，求y＝x2＋4x的最小值，下列求解可以吗？为什么？“解：∵y＝x2＋4x＝x＋4x≥2x·4x＝4，∴当x≥3时，y＝x2＋4x的最值为4.”[提示]不可以，因为在利用基本不等式求解最值时，虽然将所求代数式进行变形，使其符合均值不等式的结构特征，但是必须符合“正”“定”“等”的条件，缺一不可．本解法忽略了等号成立的条件，即“＝”号不成立．本问题可采用y＝x＋4x的单调性求解．【例4】(1)若x<0，求f(x)＝12x＋3x的最大值；(2)若x>2，求f(x)＝1x－2＋x的最小值；(3)已知0<x<12，求f(x)＝12x(1－2x)的最大值；(4)已知x>1，求函数y＝x2＋2x－1的最小值．[解] (1)因为x <0，所以f (x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋(－3x )≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ·(－3x )＝－12，当且仅当－12x ＝－3x ，即x ＝－2时等号成立，所以f (x )的最大值为－12.(2)因为x >2，所以x －2>0，f (x )＝1x －2＋x －2＋2≥ 2(x －2)·1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时等号成立，所以f (x )的最小值为4.(3)因为0<x <12，所以1－2x >0，f (x )＝12x (1－2x )＝14·2x (1－2x )≤14⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋(1－2x )22＝116，当且仅当2x ＝1－2x ，即x ＝14时等号成立，所以f (x )的最大值为116.(4)因为x >1，所以x －1>0.设t ＝x －1(t >0)，则x ＝t ＋1，所以y ＝x 2＋2x －1＝(t ＋1)2＋2t＝t ＋3t ＋2≥2t ·3t ＋2＝23＋2，当且仅当t ＝3t ，即t ＝3，x ＝3＋1时等号成立，所以f (x )的最小值为23＋2.1．本例题目都不能直接使用均值不等式求最值，需要先对其变形． 2．应用均值不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的条件进行，若具备这些条件，可直接运用均值不等式，若不具备这些条件，则应进行适当的变形．3．利用均值不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用均值不等式的条件．具体可归纳为三句话：一不正，用其相反数，改变不等号方向；二不定，应凑出定和或定积；三不等，一般用单调性．4．(1)已知a >0，b >0，若不等式2a ＋1b ≥m2a ＋b 恒成立，则m 的最大值等于( )A ．10B ．9C ．8D ．7(2)已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则1x ＋4y 的最小值是________．(1)B (2)9 [(1)∵a >0，b >0，∴2a ＋b >0，∴要使2a ＋1b ≥m2a ＋b 恒成立，只需m ≤(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b 恒成立，而(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝4＋2a b ＋2b a ＋1≥5＋4＝9，当且仅当a ＝b 时，等号成立．∴m ≤9.故应选B ．(2)由题意得1x ＋4y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y (x ＋y )＝5＋y x ＋4xy ≥5＋2y x ·4x y ＝9，当且仅当yx ＝4x y ，即x ＝13，y ＝23时取等号．1．本节课的重点是利用基本不等式求最值，难点是基本不等式在实际问题中的应用．2．本节课重点掌握的规律方法 (1)由基本不等式变形得到的常见的结论①ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b22； ②ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a ，b ∈(0，＋∞))；③b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)；④(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4(a ，b ∈(0，＋∞))；⑤a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ．(2)利用基本不等式求最值的方法及注意事项 ①利用基本不等式求最值要把握下列三个条件：“一正”——各项为正数；“二定”——“和”或“积”为定值；“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．②利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件．③在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y ＝x ＋px (p >0)的单调性求得函数的最值．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab 均成立．( ) (2)若a ≠0，则a ＋4a ≥2a ·4a ＝4.( )(3)若a >0，b >0，则ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22.( ) (4)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的．( )(5)若ab ＝1，a >0，b >0，则a ＋b 的最小值为2.( ) (6)当x >1时，函数f (x )＝x ＋1x －1≥2xx －1，所以函数f (x )的最小值是2xx －1.( ) (7)如果log 3m ＋log 3n ＝4，则m ＋n 的最小值为9.( ) (8)若x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为116.( )[解析] (1)×.任意a ，b ∈R ，有a 2＋b 2≥2ab 成立，当a ，b 都为正数时，不等式a ＋b ≥2ab 成立．(2)×.只有当a >0时，根据均值不等式，才有不等式a ＋4a ≥2a ·4a ＝4成立．(3)√.因为ab ≤a ＋b 2，所以ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22. (4)×.因为不等式a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ；而a ＋b2≥ab 成立的条件是a ，b 均为非负实数．(5)√.因为a >0，b >0，所以a ＋b ≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ＝1时取等号，故a ＋b 的最小值为2.(6)×.因为当x >1时，x －1>0，则f (x )＝x ＋1x －1＝(x －1)＋1x －1＋1≥2(x －1)·1x －1＋1＝3.当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，函数f (x )取到最小值3. (7)×.因为由log 3m ＋log 3n ＝4，得mn ＝81且m >0，n >0，而m ＋n2≥mn ＝9，所以m ＋n ≥18，当且仅当m ＝n ＝9时， m ＋n 取到最小值18.(8)√.因为x ，y ∈R ＋，而4xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，所以xy ≤116. 当且仅当x ＝4y ，即x ＝12，y ＝18时取等号．[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√ (6)× (7)× (8)√ 2．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( ) A ．ab ≤12 B ．ab ≥12 C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤3C [由a ＋b ＝2，得ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1，排除选项A ，B ．由a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，得a 2＋b 2≥2.]3．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________． [9，＋∞) [∵a ＞0，b ＞0，∴ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，即ab －2ab －3≥0，解得ab ≥3，即ab ≥9.]4．(1)已知x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值； (2)设0<x <2，求函数y ＝x (4－2x )的最大值． [解] (1)∵x >0，y >0，1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y (x ＋y )＝y x ＋9x y ＋10≥6＋10＝16，当且仅当y x ＝9x y ，又1x ＋9y ＝1，即x ＝4，y ＝12时，上式取等号．故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16. (2)∵0<x <2，∴2－x >0，∴y ＝x (4－2x )＝2·x (2－x )≤2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号， ∴当x ＝1时，函数y ＝x (4－2x )的最大值为 2.。

20192019学年高中数学人教B版必修5第三章32均值不等式一课件

课时栏目开
C．b>a＋2 b> ab>a
D．b>a>a＋2 b> ab
解析 ∵0<a<b，∴2b>a＋b，∴b>a＋2 b.
关
∵b>a>0，∴ab>a2，∴ ab>a.
故b>a＋2 b> ab>a.
( C)
练一练·当堂检测、目标达成落实处
§3.2（一）
2．设a、b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是( B ) A．6 B．4 2 C．2 6 D．8
开关
成立仅当a·xy＝yx即可，所以( a)2＋2 a＋1≥9，
即( a)2＋2 a－8≥0求得 a≥2或 a≤－4(舍去)，
所以a≥4，即a的最小值为4.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
§3.2（一）
1．若0<a<b，则下列不等式一定成立的是
本
A．a>a＋2 b> ab>b
B．b>
a＋b ab> 2 >a
同理，ac＋ac≥2，bc＋bc≥2.
∴b＋a c＋c＋b a＋a＋c b≥6.
研一研·问题探究、课堂更高效
§3.2（一）
小结在利用均值不等式证明的过程中，常需要把数、式合理
本地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于
课时
利用均值不等式．
栏
目
开
关
研一研·问题探究、课堂更高效
§3.2（一）
时
栏
目
开
关
研一研·问题探究、课堂更高效
§3.2（一）
跟踪训练3 已知不等式(x＋y)

2020版高中数学第三章不等式3.2均值不等式(第2课时)均值不等式的应用学案

第2课时均值不等式的应用学习目标 1.熟练掌握均值不等式及变形的应用．2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题．3.能够运用均值不等式解决生活中的应用问题．知识点一均值不等式及变形均值不等式的常见变形，试用不等号连接，并说明等号成立的条件．当a >0，b >0当且仅当a ＝b 时，以上三个等号同时成立．知识点二用均值不等式求最值用均值不等式x ＋y2≥xy 求最值应注意：(1)x ，y 是否是正数；(2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值；(3)等号成立的条件是否满足．1．y ＝x ＋1x的最小值为2．( × )2．因为x 2＋1≥2x ，当且仅当x ＝1时取等号．所以当x ＝1时，(x 2＋1)min ＝2．( × ) 3．由于sin 2x ＋4sin 2x≥2sin 2x ·4sin 2x ＝4，所以sin 2x ＋4sin 2x的最小值为4．( × ) 4．当x >0时，x 3＋2x ＝x 3＋1x ＋1x ≥2x 2＋1x ＝2x ＋1x≥22，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋2x min ＝22．( × )题型一利用均值不等式求最值命题角度1 求一元解析式的最值例1 (1)若x >0，求函数y ＝x ＋4x的最小值，并求此时x 的值；(2)已知x >2，求x ＋4x －2的最小值； (3)设0<x <32，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值．解 (1)当x >0时，x ＋4x≥2x ·4x＝4，当且仅当x ＝4x，即x 2＝4，x ＝2时，取等号．∴函数y ＝x ＋4x(x >0)在x ＝2处取得最小值4．(2)∵x >2，∴x －2>0， ∴x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2≥2x －4x －2＋2＝6，当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立． ∴x ＋4x －2的最小值为6． (3)∵0<x <32，∴3－2x >0，∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋－2x 22＝92．当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立．∵34∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32， ∴函数y ＝4x (3－2x )⎝⎛⎭⎪⎫0<x <32的最大值为92．反思感悟在利用均值不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备．跟踪训练1 函数y ＝2x ＋2x(x ＜0)的最大值为________．答案－4解析 ∵x ＜0，∴－x ＞0，∴(－2x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ≥2－2x⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＝4，即y ＝2x ＋2x≤－4⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当－2x ＝－2x ，即x ＝－1时等号成立．命题角度2 求二元解析式的最值例2 (1)若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________； (2)若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________．答案 (1)18 (2)233解析 (1)∵xy ＝2x ＋y ＋6≥22xy ＋6，设xy ＝t (t ＞0)，即t 2≥22t ＋6，(t －32)(t ＋2)≥0，∴t ≥32，则xy ≥18，当且仅当2x ＝y 且2x ＋y ＋6＝xy ，即x ＝3，y ＝6时等号成立，故xy 的最小值为18．(2)根据题意，1＝(x ＋y )2－xy ≥(x ＋y )2－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝34(x ＋y )2，所以43≥(x ＋y )2，所以x ＋y ≤233，当且仅当x ＝y ＞0且x 2＋y 2＋xy ＝1，即x ＝y ＝33时等号成立．反思感悟均值不等式连接了和“x ＋y ”与积“xy ”，使用均值不等式就是根据解题需要进行和、积的转化．跟踪训练2 已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则1x ＋4y的最小值是________．答案 9解析 ∵x ＋y ＝1，∴1x ＋4y＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y＝1＋4＋y x＋4xy．∵x ＞0，y ＞0，∴y x＞0，4xy＞0，∴y x＋4x y≥2y x ·4x y ＝4，∴5＋y x ＋4xy≥9．当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y x ＝4xy，即x ＝13，y ＝23时等号成立．∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y min ＝9．题型二均值不等式在实际问题中的应用例3 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？解设该厂每x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨．由题意可知，面粉的保管及其他费用为3×[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝9x (x ＋1)．设平均每天所支付的总费用为y 元，则y ＝1x[9x (x ＋1)＋900]＋6×1800＝9x ＋900x＋10809≥29x ·900x＋10809＝10989(元)，当且仅当9x ＝900x，即x ＝10时，等号成立．所以该厂每10天购买一次面粉时，才能使平均每天所支付的总费用最少．引申探究若受车辆限制，该厂至少15天才能去购买一次面粉，则该厂应多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的费用最少？解设x 1，x 2∈[15，＋∞)，且x 1<x 2．则⎝⎛⎭⎪⎫9x 1＋900x 1＋10809－⎝⎛⎭⎪⎫9x 2＋900x 2＋10809＝9(x 1－x 2)＋900⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫9－900x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫9x 1x 2－900x 1x 2．∵15≤x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1x 2＞225， ∴(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫9x 1x 2－900x 1x 2<0，即y ＝9x ＋900x＋10809在[15，＋∞)上为增函数．∴当x ＝15，即每15天购买一次面粉时，平均每天所支付的费用最少．反思感悟应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)．使用均值不等式求最值，要注意验证等号是否成立，若等号不成立，可考虑利用函数单调性求解．跟踪训练3 高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上、下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，已知当教室在n 层楼时，上、下楼造成的不满意度为n ，但高处嘈杂声较小，环境较好，因此随着教室所在楼层的升高，环境不满意度降低，设教室在第n 层楼时，环境不满意度为8n，则同学们认为最适宜的教室所在的楼层应为( )A ．2B ．3C ．4D ．8答案 B解析由题意知，教室在第n 层楼时，同学们总的不满意度y ＝n ＋8n ≥42，当且仅当n ＝8n，即n ＝22时，不满意度最小，又n ∈N ＋，分别把n ＝2，3代入y ＝n ＋8n，易知n ＝3时，y 最小．故最适宜的教室应在3楼．一种常见的函数模型y ＝x ＋ax(a ＞0)典例某市实施机动车单双号限行，新能源汽车不在限行范围内，某人为了出行方便，准备购买某种新能源汽车．假设购车费用为14.4万元，每年应交付保险费、充电费等其他费用共0.9万元，汽车的保养维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等差数列逐年递增．(1)设使用n 年该车的总费用(包括购车费用)为f (n )，试写出f (n )的表达式；(2)问这种新能源汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年年平均费用最少)？年平均费用的最小值是多少？解 (1)由题意得，f (n )＝14.4＋(0.2＋0.4＋0.6＋…＋0.2n )＋0.9n ＝14.4＋0.2n n ＋2＋0.9n ＝0.1n 2＋n ＋14.4．(2)设该车的年平均费用为S 万元，则有S ＝1n f (n )＝1n (0.1n 2＋n ＋14.4)＝n 10＋14.4n＋1≥2 1.44＋1＝3.4，当且仅当n 10＝14.4n，即n ＝12时等号成立，此时S 取得最小值3.4．故这种新能源汽车使用12年报废最合算，年平均费用的最小值是3.4万元．[素养评析] 数学建模是对现实问题进行数学抽象，建立和求解模型的过程，其过程耗时费力，所以建立的模型要有广泛的应用才有价值．本例(2)中所涉及的y ＝x ＋ax(a ＞0)就是一个应用广泛的函数模型．1．不等式9x －2＋(x －2)≥6(x ＞2)中等号成立的条件是( ) A ．x ＝3 B ．x ＝－3 C ．x ＝5 D ．x ＝－5答案 C解析 ∵x ＞2，∴x －2＞0． ∴9x －2＋(x －2)≥29x －2x －＝6，当且仅当x －2＝9x －2，即x －2＝3，x ＝5时取等号．故选C ． 2．设x ＞0，则y ＝3－3x －1x的最大值是( )A ．3B ．3－2 2C ．－1D ．3－2 3答案 D解析 ∵x ＞0，∴3x ＋1x≥23x ·1x ＝23，当且仅当x ＝33时取等号，∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x ≤－23，则y ＝3－3x －1x≤3－23，故选D ．3．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则(1－xy )(1＋xy )有( ) A ．最小值12和最大值1B ．最小值34和最大值1C ．最小值12和最大值34D ．最小值1 答案 B解析 ∵x 2y 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y 222＝14，当且仅当x 2＝y 2＝12时，等号成立，∴(1－xy )(1＋xy )＝1－x 2y 2≥34．∵x 2y 2≥0，∴34≤1－x 2y 2≤1．4．设a >0，b >0，若3是3a 与3b的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( )A ．8B ．4C ．1D ．14答案 B解析由题意知3a·3b＝3，即3a ＋b＝3，所以a ＋b ＝1．因为a >0，b >0，所以1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab＝4，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立．5．设a ，b ，c ∈R ，ab ＝2，且c ≤a 2＋b 2恒成立，则c 的最大值是( ) A ．12B ．2C ．14D ．4 答案 D解析 ∵ab ＝2，∴a 2＋b 2≥2ab ＝4．又c ≤a 2＋b 2恒成立，∴c ≤4．故选D ．1．用均值不等式求最值(1)利用均值不等式，通过恒等变形以及配凑，使得“和”或“积”为定值，从而求得函数最大值或最小值．这种方法在应用的过程中要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．(2)利用均值不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用均值不等式的条件．(3)在求最值的一些问题中，若运用均值不等式求最值，等号取不到，这时通常可以借助函数y ＝x ＋px(p >0)的单调性求得函数的最值．2．求解应用题的方法与步骤(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答．一、选择题1．下列函数中，最小值为4的是( ) A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x (0＜x ＜π)C ．y ＝e x ＋4e －xD ．y ＝x 2＋1＋2x 2＋1答案 C解析 ∵y ＝x ＋4x中x 可取负值，∴其最小值不可能为4；由于0＜x ＜π，∴0＜sin x ≤1，又∵y ＝sin x ＋4sin x 在(0，1]上单调递减，∴最小值为5；由于e x ＞0，∴y ＝e x ＋4e －x ≥2e x ·4e－x＝4，当且仅当e x＝2时取等号，∴其最小值为4，∵x 2＋1≥1，∴y ＝x 2＋1＋2x 2＋1≥22，当且仅当x ＝±1时取等号，∴其最小值为22．2．已知x >1，y >1且lg x ＋lg y ＝4，则lg x lg y 的最大值是( ) A ．4B ．2C ．1D ．14答案 A解析 ∵x >1，y >1， ∴lg x >0，lg y >0，lg x lg y ≤⎝⎛⎭⎪⎫lg x ＋lg y 22＝4，当且仅当lg x ＝lg y ＝2，即x ＝y ＝100时取等号．3．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )A ．72B ．4C ．92D ．5 答案 C解析 ∵a ＋b ＝2，∴a ＋b2＝1．∴1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 ＝52＋2a b ＋b 2a ≥52＋22a b ·b 2a ＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当2a b ＝b 2a ，即b ＝2a ＝43时，等号成立，故y ＝1a ＋4b 的最小值为92．4．若0＜x ＜12，则函数y ＝x 1－4x 2的最大值为( )A ．1B ．12C ．14D ．18答案 C解析因为0＜x ＜12，所以1－4x 2＞0，所以x 1－4x 2＝12×2x 1－4x 2≤12×4x 2＋1－4x 22＝14，当且仅当2x ＝1－4x 2，即x ＝24时等号成立，故选C ． 5．若xy 是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2的最小值是( )A ．3B ．72C ．4D ．92答案 C解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2 ＝x 2＋x y ＋14y 2＋y 2＋y x ＋14x2＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2＋14y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥1＋1＋2＝4，当且仅当x ＝y ＝22或x ＝y ＝－22时取等号．二、填空题6．(2018·天津)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a＋18b 的最小值为________．答案 14解析由a －3b ＋6＝0，得a ＝3b －6，所以2a ＋18b ＝23b －6＋123b ≥223b －6×123b ＝2×2－3＝14，当且仅当23b －6＝123b ，即b ＝1时等号成立． 7．设x >－1，则函数y ＝(x ＋5) (x ＋2)x ＋1的最小值是________．答案 9解析 ∵x >－1，∴x ＋1>0，设x ＋1＝t >0，则x ＝t －1，于是有y ＝(t ＋4) (t ＋1)t ＝t 2＋5t ＋4t＝t ＋4t＋5≥2t ·4t＋5＝9，当且仅当t ＝4t，即t ＝2时取等号，此时x ＝1．∴当x ＝1时，函数y ＝(x ＋5) (x ＋2)x ＋1取得最小值9．8．周长为2＋1的直角三角形面积的最大值为______．答案 14解析设直角三角形的两条直角边边长分别为a ，b ，则2＋1＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ，解得ab ≤12，当且仅当a ＝b ＝22时取等号，所以直角三角形的面积S ＝12ab ≤14，即S 的最大值为14．9．设a ，b ＞0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________．答案 3 2 解析由a ，b ＞0，a ＋b2≤a 2＋b 22，所以a ＋b ≤2a 2＋b 2．所以a ＋1＋b ＋3≤2·a ＋1＋b ＋3＝32，当且仅当a ＋1＝b ＋3，即a ＝72，b ＝32时“＝”成立，所以所求最大值为32．10．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________. 答案 20解析总运费与总存储费用之和f (x )＝4x ＋400x ×4＝4x ＋1600x≥24x ·1600x＝160，当且仅当4x ＝1600x，即x ＝20时取等号．三、解答题11．已知不等式x 2－5ax ＋b >0的解集为{x |x >4或x <1}． (1)求实数a ，b 的值； (2)若0<x <1，f (x )＝a x ＋b1－x，求函数f (x )的最小值．解 (1)依题意可得方程x 2－5ax ＋b ＝0的根为4和1，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＋1＝5a ，4×1＝b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4．(2)由(1)知f (x )＝1x ＋41－x ，∵0<x <1，∴0<1－x <1，1x >0，41－x>0，∴1x ＋41－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋41－x [x ＋(1－x )]＝1－x x ＋4x 1－x＋5≥21－x x ·4x1－x＋5＝9，当且仅当1－x x ＝4x 1－x ，即x ＝13时，等号成立， ∴f (x )的最小值为9．12．已知x ＞0，y ＞0,2xy ＝x ＋4y ＋a .(1)当a ＝6时，求xy 的最小值；(2)当a ＝0时，求x ＋y ＋2x ＋12y的最小值．解 (1)由题意，知x ＞0，y ＞0，当a ＝6时，2xy ＝x ＋4y ＋6≥4xy ＋6，即(xy )2－2xy －3≥0，∴(xy ＋1)(xy －3)≥0， ∴xy ≥3，∴xy ≥9，当且仅当x ＝4y ＝6时，等号成立，故xy 的最小值为9．(2)由题意，知x ＞0，y ＞0，当a ＝0时，可得2xy ＝x ＋4y ．两边都除以2xy ，得12y ＋2x＝1， ∴x ＋y ＋2x ＋12y ＝x ＋y ＋1＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ＋2x ＋1＝72＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y ＋2y x ≥72＋2x 2y ·2y x ＝112，当且仅当x 2y ＝2y x ，即x ＝3，y ＝32时，等号成立，故x ＋y ＋2x ＋12y 的最小值为112． 13.为保护环境，绿色出行，某高校今年年初成立自行车租赁公司，初期投入36万元，建成后每年收入25万元，该公司第n 年需要付出的维修费用记作a n 万元，已知{a n }为等差数列，相关信息如图所示．(1)设该公司前n 年总盈利为y 万元，试把y 表示成n 的函数，并求出y 的最大值；(总盈利即n 年总收入减去成本及总维修费用)(2)该公司经过几年经营后，年平均盈利最大，并求出最大值．解 (1)由题意知，每年的维修费用是以6为首项，2为公差的等差数列，则a n ＝6＋2(n －1)＝2n ＋4(n ∈N ＋)，所以y ＝25n －n [6＋(2n ＋4)]2－36＝－n 2＋20n －36 ＝－(n －10)2＋64，当n ＝10时，y 的最大值为64万元．(2)年平均盈利为y n ＝－n 2＋20n －36n ＝－n －36n ＋20＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋36n ＋20≤－2×n ×36n ＋20＝8 (当且仅当n ＝36n，即n ＝6时取“＝”)．故该公司经过6年经营后，年平均盈利最大，为8万元．14．已知a >0，b >0，则1a ＋1b＋2ab 的最小值是( ) A ．2B ．2 2C ．4D ．5答案 C 解析 ∵a >0，b >0，∴1a ＋1b ＋2ab ≥21ab ＋2ab ≥41ab ·ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝1时，等号同时成立．15．若关于x 的不等式(1＋k 2)x ≤k 4＋4的解集是M ，则对任意实常数k ，总有( )A ．2∈M ，0∈MB ．2∉M ，0∉MC ．2∈M ，0∉MD ．2∉M ，0∈M 答案 A 解析 M ＝⎝⎛⎦⎥⎤－∞，k 4＋4k 2＋1．当k ∈R 时，k 4＋4k 2＋1＝k 2＋2－2k 2＋3k 2＋1＝k 2＋2－k 2＋＋5k 2＋1＝(k 2＋1)＋5k 2＋1－2 ≥2k 2＋5k 2＋1－2＝25－2>2(当且仅当k 2＝5－1时，取等号)．∴2∈M ，0∈M ．。

高中数学第三章不等式3.2均值不等式4课件新人教B版必修5

2 2 2
证明： 2 2 a b 2ab 2 2 2 2 2 b c 2bc 2(a b c ) 2(ab bc ca) 2 2 c a 2ac
变式1、已知 a, b, c R 且 a b c 1，试比较 1 2 2 2 a b c , ab bc ca, 的大小。 3
2 2 2
B
D
P
C
72 1 72 a 12 S ADP (12 x) (12 ) 2 x x
A
x 6 2, ADP 的最大面积为108 72 2
72 108 6( x 决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙，不花钱，正面用铁栅，每米造价40元，两侧墙砌砖，每米造价45元，顶部每平方米造价20元，试计算： 1.仓库面积S的最大允许值是多少？ 2、为使S达到最大，而实际投资不超过预算，那么正面铁栅应设计为多少？（1）设铁栅栏为 xm ，一堵砖墙长为 ym ，则有 S xy
xy 100 x 15

例2、已知 a, b R ，求证： ab 4a b 4 8 ab

证明：
(a 1)b 4(a 1) (a 1)(b 4) 2 a 2 4b 8 ab
当且仅当
a 1, b 4
取 “=”
ad bc ab cd 变式1、设a, b, c, d R ，求证： 4 bd ac
提示：

由例1知 2(a2 b2 c2 ) 2(ab bc ca)
1 两边加上 a b c a b c 3
2 2 2
2 2 2
a b c ab bc ca

2019_2020学年高中数学第3章不等式3.2均值不等式课件新人教B版必修5

对任意两个正实数 a，b，数a＋2 b叫做 a，b 的算术平均值，数 ab叫做 a，b 的几何平均值．
均值定理：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．
2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2_____≥______2ab(a，b∈R)； (2)ba＋ab____≥_______2(a，b 同号)； (3)ab≤a＋2 b2(a，b∈R)； (4)a2＋2 b2____≥_______a＋2 b2(a，b∈R)．
解析：由 S3＝15，得 3a2＝15， ∴a2＝5. ∵a7＋a9＝2a8＝34， ∴a8＝17， ∴d＝a88－－a22＝2， ∴an＝5＋(n－2)×2＝2n＋1. ∴ana1n＋1＝2n＋112n＋3＝122n1＋1－2n1＋3，
∴Tn＝1213－15＋15－17＋…＋2n1＋1－2n1＋3 ＝6nn＋9. 由 Tn<an＋t 11，得6nn＋9<2n＋t 12， ∴t>0，∴t<2n＋12n6n＋9＝62n＋1n8＋15. 又 62n＋1n8＋15≥162，当且仅当 n＝3 时等号成立． ∴t<162. 答案：t<162
设 a>0，b>0，给出下列不等式： ①a2＋1>a；②a＋1ab＋1b≥4；
③(a＋b)1a＋1b≥4；④a2＋9>6a. 其中恒成立的是________(填序号)．
解析：由于 a2＋1－a＝a－122＋34>0，故①恒成立；由于 a ＋1a≥2，b＋1b≥2，
所以a＋1ab＋1b≥4，故②恒成立；由于 a＋b≥2 ab，1a＋1b≥2 a1b，故(a＋b)·1a＋1b≥4，故 ③恒成立；当 a＝3 时，a2＋9＝6a，故④不恒成立．答案：①②③
＝n＋1n－＋112＋8＝

2020学年高中数学第3章不等式3.2均值不等式学案新人教B版必修5(2021-2022学年)

3.2 均值不等式1．重要不等式如果ａ,b ∈Ｒ，那么ａ２＋b 2≥２ab (当且仅当ａ=b 时取“=”)． 2.均值不等式错误!未定义书签。

≤错误!未定义书签。

(1）均值不等式成立的条件：a >0,ｂ〉0；（2)等号成立的条件：当且仅当ａ＝b 时取等号. ３．算术平均值与几何平均值(1)设a 〉0,b 〉0，则ａ，b 的算术平均值为错误!未定义书签。

，几何平均值为错误!未定义书签。

；(２）均值定理可叙述为两个正实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值. 4.用均值不等式求最值的规律(1)两个正数的积为常数时，它们的和有最小值．（2)两个正数的和为常数时,它们的积有最大值.1．若x >0,则ｘ+错误!的最小值是( ) A.２ ﻩ B.3 C ．2错误!D ．４D ［∵x 〉0,∴错误!未定义书签。

〉0,∴x ＋＼ｆ(4，x )≥2＼r(x ·＼f(4，ｘ)）=４.当且仅当ｘ＝＼f （４,x ),即x =2时，等号成立.]２.已知a,b∈R ，且ab >０，则下列结论恒成立的是（）ﻬA ．a2＋b ２〉２ab ﻩＢ.a +ｂ≥２错误!C.错误!未定义书签。

+错误!未定义书签。

>错误!未定义书签。

D.错误!＋错误!≥2D ［利用均值不等式需注意各数必须是正数，不等式a 2+b ２≥2ａb 的使用条件是a ，b ∈Ｒ。

对于A,当a＝ｂ时,ａ２+b2＝2aｂ，所以Ａ错误；对于Ｂ,Ｃ，虽然ab>０，只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B,C错误；对于D，因为ａｂ>0，所以＼f（b，a)>0，错误!〉0，所以错误!未定义书签。

＋＼f(a,b)≥2错误!，即错误!+错误!未定义书签。

≥２恒成立．］3.若0〈a<b且ａ+b＝1,则下列四个数中最大的是（)A．错误!未定义书签。

B．a２+ｂ２Ｃ.2aｂD．ａB[a2＋b２=（a+b）2－２ab≥（a＋b)２-2·错误!未定义书签。

[精品]2019学年高中数学第三章不等式3.2均值不等式名师讲义新人教B版必修54

3.2 均值不等式[新知初探]1．均值定理如果a ，b ∈R ＋当且仅当a ＝b 时，等号成立，以上结论通常称为均值不等式．对任意两个正实数a ，b ，数a ＋b2称为a ，b 的算术平均值(平均数)，数ab 称为a ，b 的几何平均值(平均数)．均值定理可叙述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．[点睛] (1)“a ＝b ”是a ＋b2≥ab 的等号成立的条件．若a ≠b ，则a ＋b2≠ab ，即a ＋b2＞ab .(2)均值不等式a ＋b2≥ab 与a 2＋b 2≥2ab 成立的条件不同，前者a ＞0，b ＞0，后者a ∈R ，b ∈R.2．利用均值不等式求最值(1)两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； (2)两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab 均成立( ) (2)若a ≠0，则a ＋4a≥2a ·4a＝4( ) (3)若a >0，b >0，则ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22( )解析：(1)错误．任意a ，b ∈R ，有a 2＋b 2≥2ab 成立，当a ，b 都为正数时，不等式a ＋b ≥2ab 成立．(3)正确．因为ab ≤a ＋b2，所以ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22.答案：(1)× (2)× (3)√2．已知f (x )＝x ＋1x－2(x ＞0)，则f (x )有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最小值为－2D ．最小值为2答案：B3．对于任意实数a ，b ，下列不等式一定成立的是( ) A ．a ＋b ≥2ab B.a ＋b2≥abC ．a 2＋b 2≥2ab D.b a ＋a b≥2答案：C4．已知0＜x ＜1，则函数y ＝x (1－x )的最大值是________．答案：14[典例] (1)已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝nD ．不确定(2)若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b2，则P ，Q ，R 的大小关系是________．[解析] (1)因为a >2，所以a －2>0，又因为m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2，所以m ≥2a －1a －2＋2＝4，由b ≠0，得b 2≠0，所以2－b 2<2，n ＝22－b 2<4，综上可知m >n .(2)因为a >b >1，所以lg a >lg b >0，所以Q ＝12(lg a ＋lg b )>lg a ·lg b ＝P ；Q ＝12(lg a ＋lg b )＝lg a ＋lg b ＝lg ab <lg a ＋b 2＝R . 所以P <Q <R .[答案] (1)A (2)P <Q <R[活学活用]已知a ，b ，c 都是非负实数，试比较a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2与2(a ＋b ＋c )的大小．解：因为a 2＋b 2≥2ab ，所以2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2，所以 a 2＋b 2≥22(a ＋b )，同理 b 2＋c 2≥22(b ＋c ), c 2＋a 2≥22(c ＋a )，所以 a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥22[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )]，即a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c )，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立.[典例] 设a ，b ，c 都是正数，求证：ab (a ＋b )＋bc (b ＋c )＋ca (c ＋a )≥6abc .[证明] 因为a ，b ，c 都是正数，所以ab (a ＋b )＋bc (b ＋c )＋ca (c ＋a )＝a 2b ＋ab 2＋b 2c ＋bc 2＋c 2a ＋ca 2＝(a 2b ＋bc 2)＋(b 2c ＋ca 2)＋(c 2a ＋ab 2)≥2a 2b 2c 2＋2a 2b 2c 2＋2a 2b 2c 2＝6abc ，所以原不等式成立，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．[活学活用]已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c－1≥8.证明：因为a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，同理，1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c.上述三个不等式两边均为正，相乘得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2ab c ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号.[典例] (1)已知lg a ＋(2)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值． (3)已知x ＞0，y ＞0，1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．[解] (1)由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2，即ab ＝100，且a ＞0，b ＞0，因此由均值不等式可得a ＋b ≥2ab ＝2100 ＝20，当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取到最小值20. (2)∵x ＞0，y ＞0,2x ＋3y ＝6， ∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32，当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32.(3)∵1x ＋9y＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y＝1＋9x y ＋y x ＋9＝y x＋9xy＋10，又∵x ＞0，y ＞0，∴y x＋9xy＋10≥2y x ·9xy＋10＝16，当且仅当y x ＝9xy，即y ＝3x 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，1x ＋9y＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝12，即当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16.[活学活用]1．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5解析：选C 由已知，可得6⎝⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝1，∴2a ＋b ＝6⎝⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝⎛⎭⎪⎫5＋2a b ＋2b a≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2ba时等号成立，∴9m ≤54，即m ≤6，故选C.2．若x >0，y >0，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________．解析：1＝x ＋4y ≥24xy ＝4xy ，∴xy ≤116，当且仅当x ＝4y ＝12时等号成立．答案：116[典例] 某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：(1)仓库面积S 的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？[解] (1)设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，而顶部面积为S ＝xy ，依题意得，40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由均值不等式得3 200≥240x ×90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ，＝120S ＋20S .所以S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0，所以S 的最大允许值是100平方米，(2)取得最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100，求得x ＝15，即铁栅的长是15米．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N ＋)，求当每台机器运转多少年时，年平均利润最大，最大值是多少．解：每台机器运转x 年的年平均利润为y x＝18－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，而x >0，故y x≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．故当每台机器运转5年时，年平均利润最大，最大值为8万元．层级一学业水平达标1．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2 B ．当x >0时，x ＋1x≥2C ．当x ≥2时，x ＋1x的最小值为2D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值解析：选B A 中，当0<x <1时，lg x <0，lg x ＋1lg x ≥2不成立；由均值不等式知B 正确；C 中，由对勾函数的单调性，知x ＋1x 的最小值为52；D 中，由函数f (x )＝x －1x 在区间(0,2]上单调递增，知x －1x 的最大值为32，故选B.2．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x )B ．x 2＋1>2xC.1x 2＋1≤1 D ．x ＋1x≥2解析：选C 对于A ，当x ≤0时，无意义，故A 不恒成立；对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，故B 不成立；对于D ，当x <0时，不成立．对于C ，x 2＋1≥1，∴1x 2＋1≤1成立．故选C. 3．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4，则下列各式中正确的一个是( ) A.1a ＋1b <1B.1a ＋1b ≥1C.1a ＋1b<2D.1a ＋1b≥2解析：选B 因为ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4，所以1a ＋1b ≥21ab≥214＝1. 4．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( ) A.a ＋d2>bc B.a ＋d2<bc C.a ＋d 2＝bcD.a ＋d2≤bc解析：选A 因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d2>bc .5．若x >0，y >0，且2x ＋8y＝1，则xy 有( )A ．最大值64B ．最小值164C ．最小值12D ．最小值64解析：选D 由题意xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8y xy ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8xy ，∴xy ≥8，即xy 有最小值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.6．若a >0，b >0，且1a ＋1b＝ab ，则a 3＋b 3的最小值为________．解析：∵a >0，b >0，∴ab ＝1a ＋1b ≥21ab，即ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，∴a 3＋b 3≥2ab3≥223＝42，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，则a 3＋b 3的最小值为4 2.答案：4 27．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为________．解析：由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋3－3x 22＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时等号成立．答案：128．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．解析：因为x >0，所以x ＋1x≥2.当且仅当x ＝1时取等号，所以有x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12＋3＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞9．(1)已知x <3，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值； (2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y的最小值．解：(1)∵x <3， ∴x －3<0， ∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x＋－x ＋3≤－243－x－x ＋3＝－1，当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取等号， ∴f (x )的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x ＝3xy，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号．又x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ≥1＋32，故1x ＋3y 的最小值为1＋32. 10．设a ，b ，c 都是正数，试证明不等式：b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋bc≥6.证明：因为a >0，b >0，c >0，所以b a ＋a b ≥2，c a ＋a c ≥2，b c ＋c b≥2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c ＋c b ≥6，当且仅当b a ＝a b ，c a ＝a c ，c b ＝bc，即a ＝b ＝c 时，等号成立．所以b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋bc≥6. 层级二应试能力达标1．a ，b ∈R ，则a 2＋b 2与2|ab |的大小关系是( ) A ．a 2＋b 2≥2|ab | B ．a 2＋b 2＝2|ab | C ．a 2＋b 2≤2|ab |D ．a 2＋b 2>2|ab |解析：选A ∵a 2＋b 2－2|ab |＝(|a |－|b |)2≥0，∴a 2＋b 2≥2|ab |(当且仅当|a |＝|b |时，等号成立)． 2．已知实数a ，b ，c 满足条件a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，abc >0，则1a ＋1b ＋1c的值( )A ．一定是正数B ．一定是负数C ．可能是0D ．正负不确定解析：选B 因为a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，abc >0，所以a >0，b <0，c <0，且a ＝－(b ＋c )，所以1a ＋1b ＋1c ＝－1b ＋c ＋1b ＋1c ，因为b <0，c <0，所以b ＋c ≤－2bc ，所以－1b ＋c ≤12bc ，又1b ＋1c ≤－21bc，所以－1b ＋c ＋1b ＋1c ≤12bc－21bc ＝－32bc<0，故选B. 3．已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则a ＋b2cd的最小值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选D 由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝x ＋y ，cd ＝xy ，所以a ＋b2cd＝x ＋y 2xy＝x 2＋y 2＋2xy xy ＝x 2＋y 2xy＋2≥2＋2＝4，当且仅当x ＝y 时，等号成立．4．设a ，b 是实数，且a ＋b ＝3，则2a＋2b的最小值是( ) A ．6 B ．4 2 C ．2 6D ．8解析：选B ∵a ，b 是实数，∴2a ＞0,2b＞0，于是2a＋2b≥2 2a·2b＝2 2a ＋b＝223＝42，当且仅当a ＝b ＝32时取得最小值4 2.5．当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的最大值为________．解析：x ＋1x －1≥a 恒成立⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1min ≥a ，∵x >1，即x －1>0， ∴x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2x －1x －1＋1＝3，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立． ∴a ≤3，即a 的最大值为3. 答案：36．若正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则13a ＋2＋13b ＋2的最小值为________．解析：由a ＋b ＝1，知13a ＋2＋13b ＋2＝3b ＋2＋3a ＋2a ＋b ＋＝79ab ＋10，又ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)，∴9ab ＋10≤494，∴79ab ＋10≥47.答案：477．某厂家拟在2016年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x (单位：万件)与年促销费用m (m ≥0)(单位：万元)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件．已知2016年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．(1)将2016年该产品的利润y (单位：万元)表示为年促销费用m 的函数； (2)该厂家2016年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？解：(1)由题意，可知当m ＝0时，x ＝1，∴1＝3－k ，解得k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1，又每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx元，∴y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1.5×8＋16x x－(8＋16x ＋m )＝4＋8x －m＝4＋8⎝⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋m ＋＋29(m ≥0)．精品试卷推荐下载 (2)∵m ≥0，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8，当且仅当16m ＋1＝m ＋1，即m ＝3时等号成立， ∴y ≤－8＋29＝21，∴y max ＝21.故该厂家2016年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．8．已知k >16，若对任意正数x ，y ，不等式⎝⎛⎭⎪⎫3k －12x ＋ky ≥2xy 恒成立，求实数k 的最小值．解：∵x >0，y >0，∴不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －12x ＋ky ≥2xy 恒成立等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －12x y ＋k y x ≥2恒成立．又k >16， ∴⎝⎛⎭⎪⎫3k －12x y ＋k y x ≥2k ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －12， ∴2k ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －12≥2，解得k ≤－13(舍去)或k ≥12， ∴k min ＝12.。

2020学年高中数学第3章不等式章末复习课讲义苏教版必修5(2021-2022学年)

第3章不等式[探究问题］1．当ａ＞０时,若方程aｘ２+bx+ｃ=0有两个不等实根α,β且α<β,则不等式aｘ2＋bx+c〉0的解集是什么？[提示］借助函数ｆ(x）＝aｘ2+bｘ+c的图象可知，不等式的解集为{x|x<α或ｘ＞β｝.2．若［探究1］中的a〈0,则不等式ａx２+bx+c＞０的解集是什么？［提示］解集为{x｜α<x〈β｝.3．若一元二次方程ａｘ2＋bx+c＝０的判别式Δ=b２-４ａｃ<0,则ax2＋bｘ+c＞0的解集是什么?[提示］当a>0时，不等式的解集为R；当a<0时,不等式的解集为∅.【例1】若不等式组错误!未定义书签。

的整数解只有-2,求k的取值范围.思路探究:不等式组的解集是各个不等式解集的交集，分别求解两个不等式，取交集判断．［解］由x２-x－２>0,得x〈-1或x＞2。

对于方程2x２＋(２k+5）x＋5ｋ＝0有两个实数解x1＝－＼f(5，２)，x2＝-k.(1）当－错误!〉-k，即k〉错误!时，不等式的解集为错误!,显然－2∉错误!未定义书签。

（2）当-k＝-错误!未定义书签。

时,不等式２x2+(２k＋5）ｘ+5k〈０的解集为∅。

（3)当－错误!〈－k,即k〈错误!时，不等式的解集为错误!未定义书签。

.∴不等式组的解集由错误!或错误!确定.∵原不等式组整数解只有－2,∴-2<－ｋ≤3，故所求k的范围是－３≤k<2．(变条件,变结论)若将例题改为“已知a∈R，解关于x的不等式ax２－2x+ａ〈0".[解］（1)若a＝0,则原不等式为－2x＜０,故解集为｛x｜x>0｝.(２）若a>0,Δ=４－4a2.①当Δ＞0，即０<ａ〈1时，方程ａx2－2x＋a=0的两根为ｘ1=错误!未定义书签。

,ｘ2＝错误!，∴原不等式的解集为错误!未定义书签。

②当Δ=０，即a＝1时，原不等式的解集为∅．③当Δ＜0，即a>１时,原不等式的解集为∅.（３)若a<０，Δ＝4-4a２.①当Δ＞0，即-1〈a〈０时,原不等式的解集为错误!未定义书签。

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2019-2020学年高中数学第三章不等式 3.2 均值不等式名师讲义新人教B 版必修5[新知初探]1．均值定理如果a ，b ∈R ＋当且仅当a ＝b 时，等号成立，以上结论通常称为均值不等式．对任意两个正实数a ，b ，数a ＋b2称为a ，b 的算术平均值(平均数)，数ab 称为a ，b 的几何平均值(平均数)．均值定理可叙述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．[点睛] (1)“a ＝b ”是a ＋b2≥ab 的等号成立的条件．若a ≠b ，则a ＋b2≠ab ，即a ＋b2＞ab .(2)均值不等式a ＋b2≥ab 与a 2＋b 2≥2ab 成立的条件不同，前者a ＞0，b ＞0，后者a ∈R ，b ∈R.2．利用均值不等式求最值(1)两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； (2)两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab 均成立( )(2)若a ≠0，则a ＋4a≥2a ·4a＝4( ) (3)若a >0，b >0，则ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22( )解析：(1)错误．任意a ，b ∈R ，有a 2＋b 2≥2ab 成立，当a ，b 都为正数时，不等式a ＋b ≥2ab 成立．(2)错误．只有当a >0时，根据均值不等式，才有不等式a ＋4a≥2a ·4a＝4成立． (3)正确．因为ab ≤a ＋b2，所以ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22.答案：(1)× (2)× (3)√2．已知f (x )＝x ＋1x－2(x ＞0)，则f (x )有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最小值为－2D ．最小值为2答案：B3．对于任意实数a ，b ，下列不等式一定成立的是( ) A ．a ＋b ≥2ab B.a ＋b2≥abC ．a 2＋b 2≥2ab D.b a ＋a b≥2答案：C4．已知0＜x ＜1，则函数y ＝x (1－x )的最大值是________．答案：14[典例] (1)已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝nD ．不确定(2)若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b2，则P ，Q ，R 的大小关系是________．[解析] (1)因为a >2，所以a －2>0，又因为m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2，所以m ≥2a －1a －2＋2＝4，由b ≠0，得b 2≠0，所以2－b 2<2，n ＝22－b 2<4，综上可知m >n .(2)因为a >b >1，所以lg a >lg b >0，所以Q ＝12(lg a ＋lg b )>lg a ·lg b ＝P ；Q ＝12(lg a ＋lg b )＝lg a ＋lg b ＝lg ab <lg a ＋b 2＝R . 所以P <Q <R .[答案] (1)A (2)P <Q <R[活学活用]已知a ，b ，c 都是非负实数，试比较a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2与2(a ＋b ＋c )的大小．解：因为a 2＋b 2≥2ab ，所以2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2，所以 a 2＋b 2≥22(a ＋b )，同理 b 2＋c 2≥22(b ＋c ), c 2＋a 2≥22(c ＋a )，所以 a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥22[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )]，即a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c )，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立.[典例] 设a ，b ，c 都是正数，求证：ab (a ＋b )＋bc (b ＋c )＋ca (c ＋a )≥6abc . [证明] 因为a ，b ，c 都是正数，所以ab (a ＋b )＋bc (b ＋c )＋ca (c ＋a )＝a 2b ＋ab 2＋b 2c ＋bc 2＋c 2a ＋ca 2＝(a 2b ＋bc 2)＋(b 2c ＋ca 2)＋(c 2a ＋ab 2)≥2a 2b 2c 2＋2a 2b 2c 2＋2a 2b 2c 2＝6abc ，所以原不等式成立，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．[活学活用]已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8.证明：因为a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，所以1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a.同理，1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c.上述三个不等式两边均为正，相乘得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2ab c ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号.[典例] (1)(2)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值． (3)已知x ＞0，y ＞0，1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．[解] (1)由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2，即ab ＝100，且a ＞0，b ＞0，因此由均值不等式可得a ＋b ≥2ab ＝2100 ＝20，当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取到最小值20. (2)∵x ＞0，y ＞0,2x ＋3y ＝6， ∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32，当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32.(3)∵1x ＋9y＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y＝1＋9x y ＋y x ＋9＝y x＋9xy＋10，又∵x ＞0，y ＞0，∴y x＋9xy ＋10≥2y x ·9xy＋10＝16，当且仅当y x＝9xy，即y ＝3x 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，1x ＋9y＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝12，即当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16.[活学活用]1．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5解析：选 C 由已知，可得6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝1，∴2a ＋b ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝⎛⎭⎪⎫5＋2a b＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2ba时等号成立，∴9m ≤54，即m ≤6，故选C.2．若x >0，y >0，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________．解析：1＝x＋4y≥24xy＝4xy，∴xy≤116，当且仅当x＝4y＝12时等号成立．答案：1 16[典例] 某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：(1)仓库面积S的最大允许值是多少？(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？[解] (1)设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，而顶部面积为S＝xy，依题意得，40x ＋2×45y＋20xy＝3 200，由均值不等式得3 200≥240x×90y＋20xy＝120xy＋20xy，＝120S＋20S.所以S＋6S－160≤0，即(S－10)(S＋16)≤0，故S≤10，从而S≤100，所以S的最大允许值是100平方米，(2)取得最大值的条件是40x＝90y且xy＝100，求得x＝15，即铁栅的长是15米．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N＋)，求当每台机器运转多少年时，年平均利润最大，最大值是多少．解：每台机器运转x 年的年平均利润为y x＝18－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，而x >0，故y x≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．故当每台机器运转5年时，年平均利润最大，最大值为8万元．层级一学业水平达标1．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2 B ．当x >0时，x ＋1x≥2C ．当x ≥2时，x ＋1x的最小值为2D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值解析：选B A 中，当0<x <1时，lg x <0，lg x ＋1lg x ≥2不成立；由均值不等式知B 正确；C 中，由对勾函数的单调性，知x ＋1x 的最小值为52；D 中，由函数f (x )＝x －1x 在区间(0,2]上单调递增，知x －1x 的最大值为32，故选B.2．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1>2x C.1x 2＋1≤1 D ．x ＋1x≥2解析：选C 对于A ，当x ≤0时，无意义，故A 不恒成立；对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，故B 不成立；对于D ，当x <0时，不成立．对于C ，x 2＋1≥1，∴1x 2＋1≤1成立．故选C. 3．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4，则下列各式中正确的一个是( ) A.1a ＋1b <1B.1a ＋1b ≥1C.1a ＋1b<2D.1a ＋1b≥2解析：选B 因为ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4，所以1a ＋1b ≥21ab≥214＝1. 4．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( )A.a ＋d2>bc B.a ＋d2<bc C.a ＋d 2＝bcD.a ＋d2≤bc解析：选A 因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d2>bc .5．若x >0，y >0，且2x ＋8y＝1，则xy 有( )A ．最大值64B ．最小值164C ．最小值12D ．最小值64解析：选D 由题意xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8y xy ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8xy ，∴xy ≥8，即xy 有最小值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.6．若a >0，b >0，且1a ＋1b＝ab ，则a 3＋b 3的最小值为________．解析：∵a >0，b >0，∴ab ＝1a ＋1b ≥21ab，即ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，∴a 3＋b 3≥2ab3≥223＝42，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，则a 3＋b 3的最小值为4 2.答案：4 27．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为________．解析：由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋3－3x 22＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时等号成立．答案：128．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．解析：因为x >0，所以x ＋1x≥2.当且仅当x ＝1时取等号，所以有x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12＋3＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞9．(1)已知x <3，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值； (2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y的最小值．解：(1)∵x <3， ∴x －3<0， ∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x＋－x ＋3≤－243－x－x ＋3＝－1，当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取等号， ∴f (x )的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x＝3xy，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号．又x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ≥1＋32，故1x ＋3y 的最小值为1＋32. 10．设a ，b ，c 都是正数，试证明不等式：b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋bc≥6. 证明：因为a >0，b >0，c >0，所以b a ＋ab ≥2，c a ＋a c ≥2，b c ＋c b≥2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c ＋c b ≥6，当且仅当b a ＝a b ，c a ＝a c ，c b ＝bc，即a ＝b ＝c 时，等号成立．所以b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋bc≥6. 层级二应试能力达标1．a ，b ∈R ，则a 2＋b 2与2|ab |的大小关系是( ) A ．a 2＋b 2≥2|ab | B ．a 2＋b 2＝2|ab | C ．a 2＋b 2≤2|ab |D ．a 2＋b 2>2|ab |解析：选A ∵a 2＋b 2－2|ab |＝(|a |－|b |)2≥0，∴a 2＋b 2≥2|ab |(当且仅当|a |＝|b |时，等号成立)．2．已知实数a ，b ，c 满足条件a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，abc >0，则1a ＋1b ＋1c的值( )A ．一定是正数B ．一定是负数C ．可能是0D ．正负不确定解析：选B 因为a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，abc >0，所以a >0，b <0，c <0，且a ＝－(b ＋c )，所以1a ＋1b ＋1c ＝－1b ＋c ＋1b ＋1c ，因为b <0，c <0，所以b ＋c ≤－2bc ，所以－1b ＋c ≤12bc ，又1b ＋1c ≤－21bc，所以－1b ＋c ＋1b ＋1c ≤12bc－21bc ＝－32bc<0，故选B. 3．已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则a ＋b2cd的最小值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选 D 由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝x ＋y ，cd ＝xy ，所以a ＋b2cd＝x ＋y 2xy＝x 2＋y 2＋2xy xy＝x 2＋y 2xy＋2≥2＋2＝4，当且仅当x ＝y 时，等号成立． 4．设a ，b 是实数，且a ＋b ＝3，则2a＋2b的最小值是( ) A ．6 B ．4 2 C ．2 6D ．8解析：选B ∵a ，b 是实数，∴2a＞0,2b ＞0，于是2a＋2b≥2 2a·2b＝2 2a ＋b＝223＝42，当且仅当a ＝b ＝32时取得最小值4 2.5．当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的最大值为________．解析：x ＋1x －1≥a 恒成立⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1min ≥a ，∵x >1，即x －1>0，∴x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2x －1x －1＋1＝3，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立． ∴a ≤3，即a 的最大值为3.答案：36．若正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则13a ＋2＋13b ＋2的最小值为________．解析：由a ＋b ＝1，知13a ＋2＋13b ＋2＝3b ＋2＋3a ＋2a ＋b ＋＝79ab ＋10，又ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)，∴9ab ＋10≤494，∴79ab ＋10≥47. 答案：477．某厂家拟在2016年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x (单位：万件)与年促销费用m (m ≥0)(单位：万元)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件．已知2016年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．(1)将2016年该产品的利润y (单位：万元)表示为年促销费用m 的函数；(2)该厂家2016年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？解：(1)由题意，可知当m ＝0时，x ＝1，∴1＝3－k ，解得k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1，又每件产品的销售价格为1.5×8＋16x x元， ∴y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫1.5×8＋16x x －(8＋16x ＋m )＝4＋8x －m ＝4＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋m ＋＋29(m ≥0)． (2)∵m ≥0，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8，当且仅当16m ＋1＝m ＋1，即m ＝3时等号成立， ∴y ≤－8＋29＝21，∴y max ＝21.故该厂家2016年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．8．已知k >16，若对任意正数x ，y ，不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －12x ＋ky ≥2xy 恒成立，求实数k 的最小值．解：∵x >0，y >0，∴不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －12x ＋ky ≥2xy 恒成立等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －12x y ＋k y x ≥2恒成立．又k >16， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －12x y ＋k y x ≥2k ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －12，∴2k ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －12≥2，解得k ≤－13(舍去)或k ≥12，∴k min ＝12.。