【状元之路】2015届高考数学二轮(文理通用)热点专题专练：8(专题二 三角函数、平面向量)]
【状元之路】2015届高考数学二轮(文理通用)专题知识突破课件：1-6-2文、3理(专题六 概率与统
条形统计图计算抽取的高中生近视人数．
该地区中小学生总人数为 3 500＋2 000＋4 500＝10 000，
则样本容量为 10 000×2%＝200，其中抽取的高中生近视人数
为 2 000×2%×50%＝20，故选 A.
答案 A
2．(2014·山东卷)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进 行临床试验．所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为 [12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序 分别编号为第一组，第二组，…，第五组．下图是根据试验数据制 成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有 20 人，第三组中没 有疗效的有 6 人，则第三组中有疗效的人数为( )
真题感悟 1.(2014·广东卷)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 ①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽
样的方法抽取 2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近 视人数分别为( )
A．200,20
B．100,20
C．200,10
D．100,10
解析 在扇形统计图中，根据抽取的比例计算样本容量，根据
(2)分层抽样的关键是根据样本特征的差异进行分层，实质是等 比例抽样，求解此类问题需先求出抽样比——样本容量与总体容量 的比，则各层所抽取的样本容量等于该层个体总数与抽样比的乘积.
对点训练 1.(2014·天津卷)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践 活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中 抽取一个容量为 300 的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、 三年级、四年级的本科生人数之比为 4:5:5:6，则应从一年级本科生 中抽取________名学生．
【状元之路】2015届高考数学二轮(文理通用)专题知识突破课件：2-1-3-3(解答题六大题型解答策略)
[标准解答]
(1)∵SD＝DA＝AB＝BC＝1，AS∥BC，AB⊥AD，
∴CD⊥SD，CD⊥AD. ∴二面角 S－CD－A 的平面角为∠ADS， ∴∠ADS＝120° .(3 分) 又 AD∩SD＝D， ∴CD⊥平面 ASD. 又 CD⊂平面 ABCD，
∴平面 ASD⊥平面 ABCD.(6 分)
2．(文)如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，∠BAC＝90° ，AB ＝AC＝ 2，AA1＝3，D 是 BC 的中点，点 E 在棱 BB1 上运动．
(1)证明：AD⊥C1E； (2)当异面直线 AC， C1E 所成的角为 60° 时， 求三棱锥 C1－A1B1E 的体积．
解 (1)∵AB＝AC，D 是 BC 的中点， ∴AD⊥BC. 又在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，BB1⊥平面 ABC，AD⊂平面 ABC， ∴AD⊥BB1. ∴AD⊥平面 BB1C1C. 由点 E 在棱 BB1 上运动，得 C1E⊂平面 BB1C1C， ∴AD⊥C1E.
【例 2】
(文)如图，已知四棱锥 S－ABCD 是由直角梯形沿着
CD 折叠而成，其中 SD＝DA＝AB＝BC＝1，AS∥BC，AB⊥AD，且 二面角 S－CD－A 的大小为 120° .
(1)求证：平面 ASD⊥平面 ABCD； (2)设侧棱 SC 和底面 ABCD 所成的角为 θ，求角 θ 的正弦值．
(2)如图， 过点 S 作 SH⊥AD， 交 AD 的延长线于 H 点， 连接 CH. ∵平面 ASD⊥平面 ABCD，平面 ASD∩平面 ABCD＝AD， ∴SH⊥平面 ABCD，
∴∠SCH 为侧棱 SC 和底面 ABCD 所成的角 θ.(8 分) 在 Rt△SHD 中，∠SDH＝180° －∠ADS＝180° －120° ＝60° ， 3 SD＝1，SH＝SDsin60° ＝2. 在 Rt△SDC 中，∠SDC＝90° ，SD＝AB＝DC＝1， ∴SC＝ 2.(10 分) SH 3 6 在 Rt△SHC 中，sinθ＝SC ＝ ＝4， 2 2 6 即角 θ 的正弦值为 4 .(12 分)
【状元之路】2015届高考数学二轮(文理通用)专题知识突破课件：1-1-5(专题一 集合与常用逻辑用
4．(2014·湖南卷)若 0<x1<x2<1，则( )
解析 设 f(x)＝ex－lnx，则 f′(x)＝x·exx－1.当 x>0 且 x 趋近于 0 时，x·ex－1<0；当 x＝1 时，x·ex－1>0，因此在(0,1)上必然存在 x1≠x2， 使得 f(x1)＝f(x2)，因此 A、B 不正确；设 g(x)＝exx，当 0<x<1 时，g′(x) ＝x－x21ex<0，所以 g(x)在(0,1)上为减函数．所以 g(x1)>g(x2)，即exx11 >exx22，所以 x2ex1>x1ex2.故选 C.
当 a≥0 时，f′(x)>0，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 当 a<0 时，令 g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a， 由于 Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)， ①当 a＝－12时，Δ＝0，f′(x)＝－x12xx＋－1122≤0，函数 f(x)在(0， ＋∞)上单调递减． ②当 a<－12时，Δ<0，g(x)<0，f′(x)<0，函数 f(x)在(0，＋∞) 上单调递减．
所以当 x∈0，1e时，g′(x)<0； 当 x∈1e，＋∞时，g′(x)>0. 故 g(x)在0，1e上单调递减，在1e，＋∞上单调递增，从而 g(x) 在(0，＋∞)上的最小值为 g1e＝－1e. 设函数 h(x)＝xe－x－2e，则 h′(x)＝e－x(1－x)．
所以当 x∈(0,1)时，h′(x)>0；当 x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0. 故 h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而 h(x) 在(0，＋∞)上的最大值为 h(1)＝－1e. 综上，当 x>0 时，g(x)>h(x)，即 f(x)>1.
【状元之路】2015届高考数学二轮(文理通用)专题知识突破课件：1-7-1(选修4-1)
真 题 感 悟
1．(2014· 广东卷)如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在 AB 上 △CDF的面积 且 EB＝2AE，AC 与 DE 交于点 F，则 ＝________. △AEF的面积
解析 因为 ABCD 是平行四边形， 所以 AB∥DC， 且 AB＝DC， △CDF的面积 CD2 CD AB 于是△CDF∽△AEF，且 ＝ ＝3 ，因此 ＝ AE AE AE △AEF的面积 ＝9.
82＋122－62 43 即 cos∠ACP＝ ＝48， 2×8×12 在△ ACB 中，根据余弦定理 AB2 ＝ AC2 ＋ BC2 － 2AC· BCcos ∠ 43 ACB＝8 ＋9 －2×8×9×48＝16，
2 2
所以 AB＝4.
答案
4
知识方法· 考点串联
连点串线成面 构建知识体系
1．平行截割定理 (1)平行线等分线段定理及其推论 ①定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么 在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也相等． ②推论：经过梯形一腰的中点而平行于底边的直线平分另一 腰．
答案 2 3
考点二
圆的内接四边形问题
【例 2】
如图所示，在△ABC 中，AB＝AC＝4，D 是 AC 的
中点，E 是 BC 上一点，AE 与 DB 交于点 F，∠BAE＝∠CBD. (1)求证：C，D，F，E 四点共圆； (2)已知 BF＝2，求 FD 的长．
课堂笔记 (1)因为 AB＝AC， 所以∠ABC＝∠ACB. 因为∠BAE＝∠CBD， 所以△ABE∽△BCD. 所以∠AEB＝∠BDC. 所以 C，D，E，F 四点共圆． (2)由(1)，知△ABE∽△BCD，
解 (1)因为 EC＝ED， 所以∠EDC＝∠ECD. 因为 A、B、C、D 四点在同一圆上，所以∠EDC＝∠EBA，故 ∠ECD＝∠EBA. 所以 CD∥AB.
2015届高考数学状元之路二轮复习专题知识突破课件1.3.1等差数列、等比数列
(5)性质：①an＝amqn－m(n，m∈N*)． ②若 m＋n＝p＋q，则 aman＝apaq(p，q，m，n∈N*)． ③等比数列中，q≠－1 时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 也成等比数 列．
注意：(1)a2 n＝an－1an＋1 是 an－1，an，an＋1 成等比数列的必要不充 分条件． (2)利用等比数列前 n 项和的公式求和时，不可忽视对公比 q 是否为 1 的讨论.
(5)性质：①an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． ②若 m＋n＝p＋q，则 am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)． ③等差数列中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 也成等差数列．
注意：为了方便，有时等差数列的通项公式也可写成 an＝pn ＋q 的形式，前 n 项和的公式可写成 Sn＝An2＋Bn 的形式(p，q，A， B 为常数)．
014＝(a1＋a3＋a5＋„＋a2 013)＋(a2 007
1－21 007 21－21 007 ＋a4＋a6＋„＋a2 014)＝ ＋ ＝3×21 1－2 1－2 B.
－3，故选
答案 B
考点二
等差、等比数列的判定与证明
【例 2】 (2014· 陕西卷)设{an}是公比为 q 的等比数列． (1)推导{an}的前 n 项和公式； (2)设 q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．
高频考点· 聚焦突破
热点题型剖析 构建方法体系
考点一
等差、等比数列基本量的计算
【例 1】 (2014· 湖北卷)已知等差数列{an}满足：a1＝2，且 a1， a2，a5 成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和， 是否存在正整数 n， 使得 Sn>60n ＋800？若存在，求 n 的最小值；若不存在，说明理由．
【走向高考】2015高考数学(通用版)二轮复习课件 专题2 第2讲 三角变换与解三角形
而 b2＋c2≥2b c ，∴b c ＋4≥2b c ，∴b c ≤4 (当 且 仅 当 等 号 成 立 )， 1 3 3 所 以 S△ABC＝2b cs n i A＝ 4 b c ≤ 4 ×4＝ 3， 当△ABC 的 面 积 取 最 大 值 时 ， b＝c.
b＝c 时
π 又 A＝3， 故 此 时 △ABC 为 等 边 三 角 形 ．
3．三角变换的基本策略： (1)1的变换；(2)切化弦；(3)升 降次；(4)引入辅助角；(5)角的变换与项的分拆．
专题二 第二讲
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三角形形状的判定
(文)已知向量
1 m＝sinA，2与
n＝(3，sinA＋ 3
cosA)共线，其中 A 是△ABC 的内角． (1)求角 A 的大小； (2)若 BC＝2，求△ABC 的面积 S 的最大值，并判断 S 取得 最大值时△ABC 的形状．
专题二 第二讲
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2． 倍 角 公 式 ( 1 ) s n i2 ( 2 ) c o s 2 ( 3 a ) tn 2 α＝2 s n i αc o s α； α＝c o s 2α－s n i 2α＝2 c o s 2 a tn α α＝ . 1－a tn 2α
1－c o s α s n i α α ＝ s 2＝1＋c n i α . o s α
专题二 第二讲ห้องสมุดไป่ตู้
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4．正 弦 定 理 接 圆 的 直 径 s n i A＝s n i B＝s n i C＝2R(2R 为△ABC 外 5．余 弦 定 理 a2＝b2＋c2－2b cc o s A， b2＝a2＋c2－2a cc o s B， c2＝a2＋b2－2a bc o s C. a b c )．
【状元之路】2015版高考数学二轮复习 数列求和及数列的综合应用专题训练(含解析)
【状元之路】2015版高考数学二轮复习 数列求和及数列的综合应用专题训练（含解析）一、选择题1．(2014·广东惠州一模)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 1＝2，a 5＝3a 3，则S 9＝( ) A ．－72 B ．－54 C ．54D ．72解析 a 1＝2，a 5＝3a 3得a 1＋4d ＝3(a 1＋2d )，即d ＝－a 1＝－2，所以S 9＝9a 1＋9×82d ＝9×2－9×8＝－54，选B.答案 B2．(2014·全国大纲卷)等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A ．6 B ．5 C ．4D ．3解析 S 8＝lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＝lg(a 1·a 2·…·a 8)＝lg(a 1·a 8)4＝lg(a 4·a 5)4＝lg(2×5)4＝4.答案 C3．(2014·北京卷)设{a n }是公比为q 的等比数列．则“q >1”是“{a n }为递增数列”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析 利用公比与等比数列的单调性的关系进行判断．{a n }为递增数列，则a 1>0时，q >1；a 1<0时，0<q <1.q >1时，若a 1<0，则{a n }为递减数列．故“q >1”是“{a n }为递增数列”的既不充分也不必要条件，故选D.答案 D4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2＋n ，数列{b n }满足b n ＝1a n a n ＋1(n ∈N *)，T n 是数列{b n }的前n 项和，则T 9等于( )A.919B.1819C.2021D.940解析 ∵数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2＋n ，∴n ＝1时，a 1＝2；n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ，∴a n ＝2n (n ∈N *)，∴b n ＝1a n a n ＋1＝12n 2n ＋2 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，T 9＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫19－110＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110＝940. 答案 D5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－6n ，则{|a n |}的前n 项和T n ＝( ) A ．6n －n 2B ．n 2－6n ＋18C.⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 21≤n ≤3n 2－6n ＋18 n >3D.⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2 1≤n ≤3 n 2－6n n >3解析 由S n ＝n 2－6n 得{a n }是等差数列，且首项为－5，公差为2.∴a n ＝－5＋(n －1)×2＝2n －7.∴n ≤3时，a n <0；n >3时，a n >0.∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 21≤n ≤3 ，n 2－6n ＋18 n >3 .答案 C6．已知曲线C ：y ＝1x(x >0)及两点A 1(x 1,0)和A 2(x 2,0)，其中x 2>x 1>0.过A 1，A 2分别作x 轴的垂线，交曲线C 于B 1，B 2两点，直线B 1B 2与x 轴交于点A 3(x 3,0)，那么( )A ．x 1，x 32，x 2成等差数列B ．x 1，x 32，x 2成等比数列C ．x 1，x 3，x 2成等差数列D ．x 1，x 3，x 2成等比数列解析 由题意，B 1，B 2两点的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫x 1，1x 1，⎝⎛⎭⎪⎫x 2，1x2，所以直线B 1B 2的方程为y ＝－1x 1x 2(x －x 1)＋1x 1，令y ＝0，得x ＝x 1＋x 2，∴x 3＝x 1＋x 2，因此，x 1，x 32，x 2成等差数列．答案 A 二、填空题7．若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝________.解析 n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝23a n ＋13－23a n －1＋13，化简得：a n ＝－2a n －1，又a 1＝S 1＝23a 1＋13，得a 1＝1，故{a n }以1为首项，以－2为公比的等比数列，所以a n ＝(－2)n －1.答案 (－2)n －18．(2013·辽宁卷)已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________.解析 ∵a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两根，且q >1，∴a 1＝1，a 3＝4，则公比q ＝2，因此S 6＝1× 1－261－2＝63.答案 639．(2014·河南一模)已知对于任意的自然数n ，抛物线y ＝(n 2＋n )x 2－(2n ＋1)x ＋1与x 轴相交于A n ，B n 两点，则|A 1B 1|＋|A 2B 2|＋…＋|A 2 014B 2 014|＝________.解析 令(n 2＋n )x 2－(2n ＋1)x ＋1＝0，则x 1＋x 2＝2n ＋1n 2＋n ，x 1x 2＝1n 2＋n，由题意得|A n B n |＝|x 2－x 1|，所以|A n B n |＝ x 1＋x 2 2－4x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2n＋1n 2＋n 2－4·1n 2＋n ＝1n 2＋n ＝1n －1n ＋1，因此|A 1B 1|＋|A 2B 2|＋…＋|A 2 014B 2 014|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014－12 015＝1－12 015＝2 0142 015.答案2 0142 015三、解答题10．(2014·湖南卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)na n ，求数列{b n }的前2n 项和． 解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－n －1 2＋ n －12＝n .故数列{a n }的通项公式为a n ＝n . (2)由(1)知a n ＝n ，故b n ＝2n ＋(－1)nn . 记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋ (22))＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )． 记A ＝21＋22＋ (22)，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ， 则A ＝2 1－22n1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n ，故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2.11．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n ＋n 2－1，数列{b n }满足3n·b n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ，且b 1＝3.(1)求a n ，b n ；(2)设T n 为数列{b n }的前n 项和，求T n ，并求满足T n <7时n 的最大值． 解 (1)n ≥2时，S n ＝a n ＋n 2－1，S n －1＝a n －1＋(n －1)2－1， 两式相减，得a n ＝a n －a n －1＋2n －1，∴a n －1＝2n －1. ∴a n ＝2n ＋1，∴3n·b n ＋1＝(n ＋1)(2n ＋3)－n (2n ＋1)＝4n ＋3， ∴b n ＋1＝4n ＋33n ，∴当n ≥2时，b n ＝4n －13n －1，又b 1＝3适合上式，∴b n ＝4n －13n －1.(2)由(1)知，b n ＝4n －13n －1，∴T n ＝31＋73＋1132＋…＋4n －53n －2＋4n －13n －1，①13T n ＝33＋73＋113＋…＋4n －53＋4n －13，② ①－②，得23T n ＝3＋43＋432＋…＋43n －1－4n －13n＝3＋4·13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－131－13－4n －13n ＝5－4n ＋53n .∴T n ＝152－4n ＋52·3n －1.T n －T n ＋1＝4 n ＋1 ＋52·3n －4n ＋52·3n －1＝－ 4n ＋33n<0. ∴T n <T n ＋1，即{T n }为递增数列． 又T 3＝599<7，T 4＝649>7，∴当T n <7时，n 的最大值为3.B 级——能力提高组1．(2014·上海虹口一模)已知函数f (n )＝n 2sin n π2，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 014＝________.解析 考虑到sinn π2是呈周期性的数列，依次取值1,0，－1,0，…，故在求a 1＋a 2＋…＋a 2 014时要分组求和，又由a n 的定义，知a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 014＝(a 1＋a 3＋…＋a 2 013)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2 014)＝[f (1)＋f (3)＋…＋f (2 013)]＋[f (2)＋f (4)＋…＋f (2 014)]＝[(1－32)＋(52－72)＋…＋(2 0092－2 0112)＋2 0132]＋[(－32＋52)＋(－72＋92)＋…＋(－2 0112＋2 0132)－2 0152]＝－2×(4＋12＋20＋…＋4 020)＋2 0132＋2×(8＋16＋…＋4 024)－2 0152＝－2×503× 4＋4 0202＋2×503× 8＋4 024 2－2 0152＋2 0132＝503×8－2×4 028＝－4 032.答案 －4 0322．(2014·上海长宁二模)定义函数f (x )＝{x ·{x }}，其中{x }表示不小于x 的最小整数，如{1.4}＝2，{－2.3}＝－2.当x ∈(0，n ](n ∈N *)时，函数f (x )的值域为A n ，记集合A n 中元素的个数为a n ，则1a 1＋1a 2＋…＋1a n＝________.解析 由题意，a 1＝1，当x ∈(n ，n ＋1]时，{x }＝n ＋1，x ·{x }∈(n 2＋n ，n 2＋2n ＋1]，{x ·{x }}的取值依次为n 2＋n ＋1，n 2＋n ＋2，…，n 2＋2n ＋1共n ＋1个，即a n ＋1＝a n ＋n ＋1，由此可得a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12，1a n＝2n n ＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝2－2n ＋1. 答案 2－2n ＋13．(2014·湖南卷)已知数列{a n }满足a 1＝1，|a n ＋1－a n |＝p n，n ∈N *. (1)若{a n }是递增数列，且a 1,2a 2,3a 3成等差数列，求p 的值；(2)若p ＝12，且{a 2n －1}是递增数列，{a 2n }是递减数列，求数列{a n }的通项公式．解 (1)因为{a n }是递增数列，所以a n ＋1－a n ＝|a n ＋1－a n |＝p n. 而a 1＝1，因此a 2＝p ＋1，a 3＝p 2＋p ＋1. 又a 1,2a 2,3a 3成等差数列，所以4a 2＝a 1＋3a 3， 因而3p 2－p ＝0，解得p ＝13，p ＝0.当p ＝0时，a n ＋1＝a n ，这与{a n }是递增数列矛盾． 故p ＝13.(2)由于{a 2n －1}是递增数列，因而a 2n ＋1－a 2n －1>0， 于是(a 2n ＋1－a 2n )＋(a 2n －a 2n －1)>0.① 但122n <122n －1，所以|a 2n ＋1－a 2n |<|a 2n －a 2n －1|.② 由①②知，a 2n －a 2n －1>0，因此 a 2n －a 2n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －1＝ －1 2n22n －1.③因为{a 2n }是递减数列，同理可得a 2n ＋1－a 2n <0，故a 2n ＋1－a 2n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫122n ＝ －12n ＋122n④由③④即知，a n ＋1－a n ＝ －1n ＋12n.于是a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋12－122＋…＋ －1n2n －1＝1＋12·1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －11＋12＝43＋13· －1 n2n －1. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝43＋13· －1 n2n －1.。
【状元之路】2015届高考数学二轮(文理通用)专题知识突破课件：1-2-1(专题二 三角函数、平面向量)
解析 由于 y＝sin3x＋cos3x＝
π sin3x＋2，因此只需将
π 2sin3x＋4，y＝
2cos3x＝ 2
π y＝ 2cos3x 的图象向右平移12个单位，即
π 2sin3x＋4的图象，故选
可得到 y＝
π π 2sin3x－12＋2＝
sinα· cosα 等于(
)
2 B．－5 1 D．－5
2 2 C.5或－5
解析 由已知得 sinα＝－2cosα，∴tanα＝－2. sinαcosα ∴sinα· cosα＝ 2 sin α＋cos2α －2 tanα 2 ＝ 2 ＝ ＝－5，故选 B. tan α＋1 4＋1
答案 B
3－1 3．若 α∈(0，π)，sinα＋cosα＝ 2 ，则 tanα 的值为( 3 A．－ 3 或－ 3 C．－ 3 3 B．－ 3 3 D．－ 2
真 题 感 悟 π 1.(2014· 陕西卷)函数 f(x)＝cos2x－6的最小正周期是( π A.2 C．2π B．π D．4π
)
解析
2π 2π 由周期公式 T＝|ω|，得 T＝ 2 ＝π，故选 B.
答案 B
2．(2014· 全国大纲卷)设 a＝sin33° ，b＝cos55° ，c＝tan35° ，则 ( ) A．a>b>c C．c>b>a B．b>c>a D．c>a>b
π f6＝________.
解析 本题可逆推，由 y＝sinx 的图象推 f(x)＝sin(ωx＋φ)的图
π π 象．将 y＝sinx 的图象向左平移6个单位长度得到 y＝sinx＋6的图
象，再保持纵坐标不变，横坐标伸长为原来的两倍，得到 f(x)＝
【状元之路】2015届高考数学二轮(文理通用)专题知识突破课件：2-1-1(选择题快速解答技巧)
[解析]
Байду номын сангаас
a2＋b2－c2 c2 ∵cosC＝ 2ab ＝2ab，
又∵a2＋b2≥2ab(当且仅当 a＝b 时等号成立)， 1 ∴2ab≤2c2.∴cosC≥2. 1 ∴cosC 的最小值为2.
[答案] C
名
师
点
评 直接法是解答选择题最常用的基本方
法． 直接法适用的范围很广， 只要运算正确必能得出正确的答案． 平 时练习中应不断提高用直接法解选择题的能力，准确把握题目的特 点．用简便的方法巧解选择题，是建立在扎实掌握“三基”的基础 上的，否则一味求快则会快中出错．
对 点 训 练 1.若数列 {an}满足： a1＝19 ，an ＋1 ＝an －3(n∈N*)，则数列 {an} 的前 n 项和数值最大时，n 的值为( A．6 C．8 B．7 D．9 )
解析 ∵an＋1－an＝－3，∴数列{an}是以 19 为首项，－3 为公 差的等差数列，∴an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n.设{an}的前 k 项 和数值最大，则有
[答案] D
名
师
点
评 排除法适用于定性型或不易直接求解
的选择题．当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中 找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的 范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案．它与特例 法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法，在近几年高考选择 题中占有很大的比重．
【例 5】 若 3 A.5 7 C. 4
π π 3 7 θ∈ 4，2 ，sin2θ＝ 8 ，则
sinθ＝(
)
4 B.5 3 D.4
[解析]
解法一：由
π π θ∈4，2，得
【状元之路】2015届高考数学二轮(文理通用)专题知识突破课件：1-2-2(专题二 三角函数、平面向
cos∠CAD＝AC2＋2AACD·A2－D CD2.
故由题设知，cos∠CAD＝7＋21－7 4＝2
7 7.
(2)如题图，设∠BAC＝α，则 α＝∠BAD－∠CAD.
因为 cos∠CAD＝277，cos∠BAD＝－147，
所以 sin∠CAD＝ 1－cos2∠CAD＝
1－27 72＝ 721，
sin∠BAD＝ 1－cos2∠BAD＝ 于是 sinα＝sin(∠BAD－∠CAD)
∵π4<α＋β<34π，∴α＋β＝3π.
答案
π 3
考点二
正弦定理和余弦定理
【例 2】 (2014·湖南卷)如图，在平面四边形 ABCD 中，AD＝
1，CD＝2，AC＝ 7.
(1)求 cos∠CAD 的值； (2)若 cos∠BAD＝－147，sin∠CBA＝ 621，求 BC 的长．
课堂笔记 (1)如题图，在△ADC 中，由余弦定理得，
答案 1
知识方法·考点串联
连点串线成面 构建知识体系
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ. (2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ. (3)tan(α±β)＝1ta∓ntaαn±αttaannββ.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin2α＝2sinαcosα. (2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. (3)tan2α＝1－2tatannα2α.
(3)求解三角函数中的给值求角问题时，还是要通过已知求这个 角的某种三角函数值，根据三角函数值并结合角的取值范围，即可 求出角的大小.
对点训练
1.已知 tanα＋π4＝12，且－π2<α<0，则2scino2sαα＋－siπ4n2α＝(
【步步高】(广东专用)2015届高考数学二轮复习 专题训练八 第1讲 几何证明选讲 理
第1讲几何证明选讲考情解读本讲主要考查相似三角形与射影定理，圆的切线及圆内接四边形的性质与判定定理，圆周角定理及弦切角定理，相交弦、切割线、割线定理等，本部分内容多数涉及圆，并且多是以圆为背景设计的综合性考题，考查逻辑推理能力．1．(1)相似三角形的判定定理判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．(2)相似三角形的性质①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；②相似三角形周长的比等于相似比；③相似三角形面积的比等于相似比的平方．(3)直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．2．(1)圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．3．(1)圆内接四边形的性质定理①圆的内接四边形的对角互补；②圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．(2)圆内接四边形判定定理如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．4．(1)圆的切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径．(2)圆的切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(3)弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． (4)相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等． (5)切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 5．证明等积式成立，应先把它写成比例式，找出比例式中给出的线段所在三角形是否相似，若不相似，则进行线段替换或等比替换．6．圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时，要注意找相等的角，找相似三角形，从而得出线段的比．由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算，所以应注意代数法在解题中的应用．热点一 相似三角形及射影定理例1 如图所示，在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，且AD ∶BD ＝9∶4，则AC ∶BC 的值为________． 答案 3∶2解析 方法一 因为∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ， 所以由射影定理，得AC 2＝AD ·AB ，BC 2＝BD ·AB . 所以(AC BC)2＝AD ·AB BD ·AB ＝ADBD.又AD ∶BD ＝9∶4， 所以AC ∶BC ＝3∶2.方法二 因为AD ∶BD ＝9∶4， 所以可设AD ＝9k ，BD ＝4k ，k ∈R ＋. 又∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ， 由射影定理，得CD 2＝AD ·BD ， 所以CD ＝6k .由勾股定理，得AC ＝313k 和BC ＝213k ， 所以AC ∶BC ＝3∶2.思维升华 含斜边上的高的直角三角形是相似三角形中的基本图形，本题中出现多对相似三角形，这为解决问题提供了许多可以利用的有效信息．另外，直角三角形的射影定理是相似三角形的性质在直角三角形中的一个经典应用，在类似问题中应用射影定理十分简捷．如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD＝12，BE 的长为________． 答案 4 2解析 ∵AC ＝4，AD ＝12，∠ACD ＝90°， ∴CD 2＝AD 2－AC 2＝128， ∴CD ＝8 2.又∵AE ⊥BC ，∠B ＝∠D ，∴△ABE ∽△ADC ， ∴AB AD ＝BE CD ，∴BE ＝AB ·CD AD ＝6×8212＝4 2. 热点二 相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理的应用 例2 如图所示，AB 为⊙O 的直径，P 为BA 的延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，CD ⊥AB ，垂足为D ，且PA ＝4，PC ＝8，则tan∠ACD 和sin P 的值为________． 答案 12，35解析 连接OC ，BC .因为PC 为⊙O 的切线，所以PC 2＝PA ·PB . 故82＝4·PB ，所以PB ＝16.所以AB ＝16－4＝12. 由条件，得∠PCA ＝∠PBC ， 又∠P ＝∠P ， 所以△PCA ∽△PBC . 所以AC BC ＝PCPB.因为AB 为⊙O 的直径，所以∠ACB ＝90°. 又CD ⊥AB ，所以∠ACD ＝∠B . 所以tan∠ACD ＝tan B ＝AC BC ＝PC PB ＝816＝12. 因为PC 为⊙O 的切线，所以∠PCO ＝90°. 又⊙O 直径为AB ＝12，所以OC ＝9，PO ＝10.所以sin P ＝OC PO ＝610＝35.思维升华 (1)求非特殊角的函数值的关键是将这些角归结到直角三角形中，利用直角三角形的边之比表示出角的三角函数值，然后根据已知条件将这些比值转化为已知线段的比值． (2)线段成比例的证明，一般利用三角形相似进行转化，在圆中的相关问题，应注意灵活利用圆中的切割线定理、相交弦定理等求解相关线段的长度或构造比例关系．(2013·某某)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E .若AB ＝6，ED ＝2，则BC ＝____________.答案 2 3解析 C 为BD 中点，且AC ⊥BC ，故△ABD 为等腰三角形．AB ＝AD ＝6，∴AE ＝4，DE ＝2，又AE AC＝AC AD⇒AC 2＝AE ·AD ＝4×6＝24，AC ＝26，在△ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝36－24＝2 3.热点三 圆的有关性质的综合应用例3 如图，△ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E . 若△ABC 的面积S ＝12AD ·AE ，则∠BAC 的大小为________．答案 90°解析 由已知条件，可得∠BAE ＝∠CAD . 因为∠AEB 与∠ACD 是同弧所对的圆周角， 所以∠AEB ＝∠ACD .故△ABE ∽△ADC .所以AB AE ＝ADAC， 即AB ·AC ＝AD ·AE .又S ＝12AB ·AC sin∠BAC ，且S ＝12AD ·AE ，故AB ·AC sin∠BAC ＝AD ·AE ，则sin∠BAC ＝1.又∠BAC 为△ABC 的内角， 所以∠BAC ＝90°.思维升华 高考中对几何证明的命题集中在圆和三角形、四边形相结合的综合性题目上，这类试题往往要综合运用多个定理和添加一定的辅助线才能解决．已知圆的切线时，第一要考虑过切点和圆心的连线得直角；第二应考虑弦切角定理；第三涉及线段成比例或线段的积时要考虑切割线定理．同时注意四点共圆的判定及性质的应用．(2013·某某)如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D在半径OC 上的射影为E ，若AB ＝3AD ，则CE EO的值为________． 答案 8解析 易知△CDO ∽△CED ， ∴CD CE ＝CO CD，设圆O 半径为R ，则AD ＝23R ，OD ＝13R ，∴CD 2＝R 2－(13R )2＝89R 2，∴CE ＝CD 2CO ＝89R ，EO ＝19R ，故CEEO＝8.1．证明两角相等，关键是确定两角之间的关系，多利用中间量进行转化，可以通过证明三角形相似或全等，利用平行线的有关定理，如同位角相等、内错角相等等，也可利用特殊平面图形的性质，如利用等腰三角形的两个底角相等、圆中同弧或等弧所对的圆周角相等寻找中间量进行过渡．2．证明或寻找圆内接图形中的角之间的关系，除了注意平面图形中的垂直、平行关系之外，还应注意弦切角、同弧所对角等性质的灵活运用．真题感悟1．(2014·某某)如图，已知AB ，BC 是⊙O 的两条弦，AO ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝22，则⊙O 的半径等于________．答案 32解析 如图，延长AO 交圆O 于点D ，连接BD ，则AB ⊥BD . 在Rt△ABD 中，AB 2＝AE ·AD . ∵BC ＝22，AO ⊥BC ，∴BE ＝ 2. ∵AB ＝3，∴AE ＝1， ∴AD ＝3，∴r ＝32.2．(2014·某某)如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则△CDF 的面积△AEF 的面积＝_________________________.答案 9解析 在平行四边形ABCD 中，因为EB ＝2AE ，所以AE AB ＝13＝AE CD ，故CDAE＝3.因为AE ∥CD ，所以△AEF ∽△CDF ，所以S △CDF S △AEF ＝(CD AE)2＝9. 押题精练1.如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD ＝a ，CD ＝a2，点E ，F分别为线段AB ，AD 的中点，则EF ＝________. 答案 a2解析 连接DE ，由于E 是AB 的中点， 故BE ＝a 2.又CD ＝a2，AB ∥DC ，CB ⊥AB ，∴四边形EBCD 是矩形． 在Rt△ADE 中，AD ＝a ，F 是AD 的中点，故EF ＝a2.2．(2014·某某)如图，△ABC 中，BC ＝6，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，若AC ＝2AE ，则EF ＝____________. 答案 3解析 ∵∠A ＝∠A ，∠AEF ＝∠ACB ，∴△AEF ∽△ACB ，∴AC AE ＝BC EF ，∴2＝BC EF，∴EF ＝3.3．(2014·某某改编)如图，△ABC 是圆的内接三角形，∠BAC 的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分∠CBF ；②FB 2＝FD ·FA ；③AE ·CE ＝BE ·DE ；④AF ·BD ＝AB ·BF .则所有正确结论的序号是________． 答案 ①②④解析 对于①，∵BF 是圆的切线， ∴∠CBF ＝∠BAC ，∠4＝∠1. 又∵AD 平分∠BAC ， ∴∠1＝∠2.又∠2＝∠3，∴∠3＝∠4， 即BD 平分∠CBF ，故①正确；对于②，根据切割线定理有FB 2＝FD ·FA ， 故②正确；对于③，∵∠3＝∠2，∠BED ＝∠AEC ， ∴△BDE ∽△ACE .∴AE BE ＝CE DE，即AE ·DE ＝BE ·CE ，故③错误； 对于④，∵∠4＝∠1，∠BFD ＝∠AFB ， ∴△BFD ∽△AFB ，∴BF AF ＝BD AB， 即AF ·BD ＝AB ·BF ，故④正确．(推荐时间：40分钟)1．(2014·某某)如图，P 为⊙O 外一点，过P 点作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B .过PA 的中点Q 作割线交⊙O 于C ，D 两点．若QC ＝1，CD ＝3，则PB ＝________.答案 4解析 由切割线定理得QA 2＝QC ·QD ＝4，解得QA ＝2.则PB ＝PA ＝2QA ＝4.2．(2014·某某)过圆外一点P 作圆的切线PA (A 为切点)，再作割线PBC 依次交圆于B ，C .若PA ＝6，AC ＝8，BC ＝9，则AB ＝________.答案 4解析 由切割线定理得PA 2＝PB ·PC ＝PB ·(PB ＋BC )，即62＝PB ·(PB ＋9)，解得PB ＝3(负值舍去)．由弦切角定理知∠PAB ＝∠PCA ，又∠APB ＝∠CPA ，故△APB ∽△CPA ，则AB CA ＝AP CP ，即AB8＝63＋9，解得AB ＝4.3．如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P .若PB PA＝12，PC PD ＝13，则BCAD 的值为________． 答案66解析 ∵∠P ＝∠P ，∠PCB ＝∠PAD ，∴△PCB ∽△PAD .∴PB PD ＝PC PA ＝BC AD .∵PB PA ＝12，PC PD ＝13， ∴BC AD ＝66. 4．如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D .过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF ＝3，FB ＝1，EF ＝32，则线段CD 的长为________．答案 43解析 因为AF ·BF ＝EF ·CF ，解得CF ＝2， 所以34＝2BD ，即BD ＝83.设CD ＝x ，AD ＝4x ，所以4x 2＝649，所以x ＝43.5.如图，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，点E 是BD 的中点，AE 交BC 于点F ，则BF FC的值为______． 答案 12解析 过点D 作DM ∥AF 交BC 于点M . ∵点E 是BD 的中点， ∴在△BDM 中，BF ＝FM ， 又点D 是AC 的中点， ∴在△CAF 中，CM ＝MF ， ∴BF FC ＝BF FM ＋MC ＝12.6．(2013·某某)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E .若AB ＝6，ED ＝2，则BC ＝________.答案 2 3解析 C 为BD 中点，且AC ⊥BC ，故△ABD 为等腰三角形．AB ＝AD ＝6，∴AE ＝4，DE ＝2，又AE AC＝AC AD⇒AC 2＝AE ·AD ＝4×6＝24，AC ＝26，在△ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝36－24＝2 3.7.如图，PA 是圆O 的切线，切点为A ，PA ＝2，AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，PB ＝1，则圆O 的半径R ＝________. 答案3解析 由切割线定理可得PA 2＝PB ·PC ，即PC ＝PA 2PB ＝41＝4，所以BC ＝PC －PB ＝3， 因为AC 是圆O 的直径， 所以∠ABC ＝90°， 所以AB 2＝BC ·BP ＝3，所以AC 2＝BC 2＋AB 2＝9＋3＝12， 即AC ＝12＝23， 所以2R ＝23，即R ＝ 3.8．如图，AB ，CD 是圆O 内的两条平行弦，BF ∥AC ，BF 交CD 于点E ，交圆O 于点F ，过A 点的切线交DC 的延长线于点P ，若PC ＝ED ＝1，PA ＝2，则AC 的长为________．答案2解析 ∵PA 是⊙O 的切线， ∴由切割线定理得PA 2＝PC ·PD . ∵PA ＝2，PC ＝1， ∴PD ＝4. 又∵PC ＝ED ＝1，∴CE ＝2，由题意知四边形ABEC 为平行四边形， ∴AB ＝CE ＝2，连接BC ，如图， ∵PA 是⊙O 的切线，∴∠PAC ＝∠CBA .∵AB ，CD 是圆的两条平行弦， ∴∠PCA ＝∠CAB ，∴△PAC ∽△CBA ，∴PC CA ＝CA AB， ∴AC 2＝PC ·AB ＝2，∴AC ＝ 2.9．如图，已知AD ＝5，DB ＝8，AO ＝310，则圆O 的半径OC 的长为________．答案 5解析 由圆的割线定理得，AE ·AC ＝AD ·AB ，即(AO －OE )·(AO ＋OC )＝AD ·(AD ＋DB )，即(310－OC )·(310＋OC )＝5×(5＋8)，解得OC ＝5.10．如图，PA 切⊙O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，OB ＝PB ＝1，OA 绕点O 逆时针旋转60°得到OD ，则PD 的长为________．答案7解析 ∵PA 切⊙O 于点A ，B 为PO 的中点，∴∠AOB ＝60°，∴∠POD ＝120°.在△POD 中，由余弦定理，得PD 2＝PO 2＋DO 2－2PO ·DO ·cos∠POD ＝4＋1－4×(－12)＝7，故PD ＝7.11．如图，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，它们相交于点P ，连接AD ，BD ，已知AD ＝BD ＝4，PC ＝6，则PA ·PB ＝________.答案 12解析 由AD ＝BD ＝4，得∠PAD ＝∠B ，又∠B ＝∠C ，所以∠PAD ＝∠C ，又∠ADP ＝∠CDA ，所以△ADP ∽△CDA .又PC ＝6，设PD ＝x ，由CD AD ＝AD PD ，得6＋x 4＝4x，解得x ＝2或x ＝－8(舍去)， 即PD ＝2，由相交弦定理，得PA ·PB ＝PC ·PD ＝6×2＝12.12.如图，Rt△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是斜边BC 上的高，若AB ∶AC ＝2∶1，则AD ∶BC ＝________. 答案 2∶5解析 设AC ＝k ，则AB ＝2k ，BC ＝5k ，∵∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，∴AC 2＝CD ·BC ，∴k 2＝CD ·5k ，∴CD ＝55k ， 又BD ＝BC －CD ＝455k ， ∴AD 2＝CD ·BD ＝55k ·455k ＝45k 2， ∴AD ＝255k ，∴AD ∶BC ＝2∶5. 13.如图，四边形ABCD 中，DF ⊥AB ，垂足为F ，DF ＝3，AF ＝2FB ＝2，延长FB 到E ，使BE ＝FB ，连接BD ，EC .若BD ∥EC ，则四边形ABCD 的面积为________． 答案 6解析 过点E 作EN ⊥DB 交DB 的延长线于点N ，在Rt△DFB 中，DF ＝3，FB ＝1，则BD ＝10，由Rt△DFB ∽Rt△ENB ，知EN DF ＝BE BD，所以EN ＝31010，又BD ∥EC ，所以EN 为△BCD 底边BD 上的高，故S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12AB ·DF ＋12BD ·EN ＝12×3×3＋12×10×31010＝6. 14.如图，AB 是圆O 的直径，CD ⊥AB 于D ，且AD ＝2BD ，E 为AD 的中点，连接CE 并延长交圆O 于F .若CD ＝2，则AB ＝________， EF ＝________.答案 3 233解析 ∵AB 为圆O 的直径，∴AC ⊥BC .∵CD ⊥AB 于D ，∴由射影定理得CD 2＝AD ·BD .∵AD ＝2BD ，CD ＝2，∴(2)2＝2BD ·BD ，解得BD ＝1，∴AD ＝2BD ＝2，∴AB ＝AD ＋BD ＝2＋1＝3.在Rt△CDE 中，∵E 为AD 的中点，∴DE ＝12AD ＝1，又CD ＝2， ∴CE ＝CD 2＋DE 2＝3，又AE ＝DE ＝1，EB ＝2，由相交弦定理得EF ＝AE ·EB CE ＝233. 15.如图，AB 是圆O 的直径，直线CE 和圆O 相切于点C ，AD ⊥CE 于点D ，若AD ＝1，∠ABC ＝30°，则圆O 的面积是________．答案 4π解析 ∠ACD ＝∠ABC ＝30°，AC ＝ADsin∠ACD ＝2，AB ＝ACsin∠ABC ＝4，故圆O 的面积为π·22＝4π.。
2015届高考数学状元之路二轮复习专题知识突破课件2.1.2主干知识回扣
2．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪” 和“或”连接，可用“及”连接或用“，”隔开．单调区间必须是 “区间”，而不能用集合或不等式代替．
3．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有 时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．
4．分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来 表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数．
3．函数图象伸缩变换的相关结论 (1)把 y＝f(x)的图象上各点的纵坐标伸长(a>1)或缩短(0<a<1)到 原来的 a 倍，而横坐标不变，得到函数 y＝af(x)(a>0)的图象． (2)把 y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长(0<b<1)或缩短(b>1)到 原来的1b倍，而纵坐标不变，得到函数 y＝f(bx)(b>0)的图象．
如：{x|y＝lgx}——函数的定义域；{y|y＝lgx}——函数的值域； {(x，y)|y＝lgx}——函数图象上的点集．
2．易混淆 0，∅，{0}：0 是一个实数；∅是一个集合，它含有 0 个元素；{0}是以 0 为元素的单元素集合，但是 0∉∅，而∅⊆{0}．
3．集合的元素具有确定性、无序性和互异性．在解决有关集 合的问题时，尤其要注意元素的互异性．
四 三角函数与平面向量 基础知识回扣
一、基本概念与公式 1．同角三角函数的基本关系 (1)商数关系：csoinsαα＝tanαα≠kπ＋2π，k∈Z. (2)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．
2．三角函数的诱导公式 诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中，“奇、 偶”是指“k·2π±α(k∈Z)”中 k 的奇偶性；“符号”是把任意角 α 看 作锐角时，原函数值的符号． 3．三种函数的性质
2015届高考数学二轮复习专题训练试题：解三角形(2).pptx
22、理科做）已知ΔABC 中，A:B:C=1:2:3，a=1，则
=
学海无涯
23、 在
中，已知
其中正确的序号是
；③
24、已知
中, , , 分别为内角
，给出以下四个论断：① ；④
, , 的对边，且
,
；
②
则
的面积是
.
．在线段 上取一点 ，使
，
25、已知
，则
=
．
26、设 a，b，c依次是
的角A、B、C 所对的边，若
2
C.
D.
8、在锐角 A．
中，若 B．
，则 的 范 围 （ ）
C．
D．
学海无涯
（）
A．
B．
C．
D．
10、已知
中，
，点 为 边所在直线上的一个动点，则
满足（） A.最大值为 16 B.为定值 8 C.最小值为 4 D.与 的位置有关
11、已知
中，
，点 为 边的中点，点 为 边所在直线上的一个
19、下列说法：① “若
②“ 若
，则
④函数
的充要条件；
其中错误的是
．
，则实数 范围为
，则
是锐角三角形”是真命题；
”的逆命题为真命题；③
；
的最小正周期是 ； ⑤ 在△ABC 中，
是
20、在
中，
分别是角
的对边，已知
，，
的面积为 ，
则
的值为
21、已知点 为等边三角形
的中心,
则
的最大值为
.
,直线 过点 交边 于点 ，交边 于点 ，
，λ3＝
，
定义
【状元之路】2015届高考数学二轮(文理通用)专题知识突破课件：1-7-2(选修4-4)
(t 为参数，且 t ∈ R) 与曲线 C ：
(α 是参数，且 α∈[0,2π))，则直线 l 与曲线 C 的交点
坐标为________．
解析 直线 y＝－2x＋5， 曲线
x＝1＋t， l： y＝3－2t
(t 为参数， 且 t∈R)化为普通方程为
x＝cosα， C： y＝2＋cos2α
(t 为参数)， 圆 C 的极坐标方程是 ρ )
＝4cosθ，则直线 l 被圆 C 截得的弦长为( A. 14 C. 2 B．2 14 D．2 2
解析 由题意得直线 l 的直角坐标方程为 x－y－4＝0，圆 C 的 直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4. 则圆心到直线的距离 d＝ 2， 故弦长＝2 r2－d2＝2 2.
第一部分
高考专题串串讲
第一版块
专题知识突破
专题七
选考内容
第二讲 坐标系与参数方程(选修4－4)
考情分析 真题体验
知识方法 考点串联
高频考点 聚焦突破
多维探究 师生共研
考情分析· 真题体验
明确备考方向 实战高考真题
考 情 剖 析 1.高考对极坐标内容的考查主要是求简单的极坐标方程，或极 坐标方程与直角坐标方程的互化， 或利用极坐标方程求解交点坐标、 求弦长． 2． 高考对参数方程的考查主要是把参数方程化为普通方程， 利 用直线和圆的参数方程判断直线与圆的位置关系或解决一些最值、 两线段长度的和或积问题，试题的难度一般为中等.
C 的极坐标方程．
→ → (2)设点 Q 的极坐标为(ρ，θ)，∵3OP＝OQ，∴P 的极坐标为
1 ρ，θ，代入圆 3
C 的极坐标方程得
π 1 θ－ ，即 ρ＝6cosθ＋6 3sinθ， ρ ＝ 4cos 3 3
【状元之路】2015届高考数学二轮(文理通用)专题知识突破课件：1-1-1(专题一 集合与常用逻辑用
对点训练 4.(2014·湖南卷)已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若
x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q
中，真命题是( A．①③ C．②③
) B．①④ D．②④
解析 先判断命题p，q的真假，再根据真值表求解． 当x>y时，－x<－y，故命题p为真命题，从而綈p为假命题．
对点训练 7.(2014·安徽卷)“x<0”是“ln(x＋1)<0”的( )
答案 A
2．(2014·陕西卷)原命题为“若 z1，z2 互为共轭复数，则|z1|＝ |z2|”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正 确的是( )
A．真，假，真 B．假，假，真 C．真，真，假 D．假，假，假
解析 原命题为真，故逆否命题为真；逆命题为假，故否命题 为假；从而选 B.
课堂笔记 (1)函数y＝sin2x的最小正周期为π，p假．又x＝π2不 是函数y＝cosx图象的对称轴，q假．故p∧q为假命题，C正确； A、B、D均错误．
(2)因为否命题是既否定题设，又否定结论，而“奇函数”的 否定不是“偶函数”，而是“不是奇函数”，因此否命题应为 “若函数f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数”．故①正确．由 全称命题的否定是特称命题知②正确；对于③，逆命题为“若 a<b，则am2<bm2”．当m＝0时，有am2＝bm2，故③不正确．
(4)重要结论 A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔B⊆A.
2．四种命题间的关系 两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； 两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系； 一个命题的逆命题与它的否命题同真同假．
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高考专题训练(八) 平面向量A 级——基础巩固组一、选择题1．已知向量OA→＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(2m ，m ＋1)．若AB→∥OC →，则实数m 的值为( ) A ．－3 B ．－17 C ．－35D.35解析 AB→＝OB →－OA →＝(3,1)，因为AB →∥OC →， 所以3(m ＋1)－2m ＝0，解得m ＝－3. 答案 A2．已知|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B .π3 C.π2 D .2π3解析 由(a ＋2b )·(a －b )＝|a |2＋a ·b －2|b |2＝－2，得a ·b ＝2，即|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝2，cos 〈a ，b 〉＝12.故〈a ，b 〉＝π3.答案 B3．(2014·四川卷)平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析 ∵a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，∴c ＝m (1,2)＋(4,2)＝(m ＋4,2m ＋2)．又∵c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，∴cos 〈c ，a 〉＝cos 〈c ，b 〉．∴c ·a|c ||a |＝c ·b |c ||b |.即5m ＋85|c |＝8m ＋2025|c |，解得m ＝2. 答案 D4．(2014·全国大纲卷)若向量a ，b 满足：|a |＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b |＝( )A ．2 B. 2 C ．1 D.22解析 ∵(a ＋b )⊥a ，|a |＝1，∴(a ＋b )·a ＝0， ∴|a |2＋a ·b ＝0，∴a ·b ＝－1. 又∵(2a ＋b )⊥b ，∴(2a ＋b )·b ＝0. ∴2a ·b ＋|b |2＝0.∴|b |2＝2. ∴|b |＝2，选B. 答案 B5．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C ＝( )A.π6 B .π3 C.2π3 D.5π6解析 依题意得 3sin A cos B ＋3cos A sin B ＝1＋cos(A ＋B )， 3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B )，3sin C ＋cos C ＝1， 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝1，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝12.又π6<C ＋π6<7π6， 因此C ＋π6＝5π6，C ＝2π3，选C.答案 C6．在平面上，AB 1→⊥AB 2→，|OB 1→|＝|OB 2→|＝1，AP →＝AB 1→＋AB 2→.若|OP →|<12，则|OA→|的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，52 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤52，72 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤52，2 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤72，2 解析 由题意得点B 1，B 2在以O 为圆心，半径为1的圆上，点P 在以O 为圆心半径为12的圆内，又AB 1→⊥AB 2→，AP →＝AB 1→＋AB 2→，所以点A 在以B 1B 2为直径的圆上，当P 与O 点重合时，|OA→|最大为2，当P 在半径为12的圆周上，|OA →|最小为72.∵P 在圆内，∴|OA →|∈⎝ ⎛⎦⎥⎤72，2. 答案 D 二、填空题7．(2014·北京卷)已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2,1)，且λ a ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝________.解析 |b |＝22＋12＝5，由λa ＋b ＝0，得b ＝－λa ， 故|b |＝|－λa |＝|λ||a |，所以|λ|＝|b ||a |＝51＝ 5.答案58．如图，在△ABC 中，BO 为边AC 上的中线，BG →＝2GO →，若CD →∥AG →，且AD →＝15AB →＋λAC→(λ∈R )，则λ的值为________．解析 因为CD→∥AG →，所以存在实数k ，使得CD →＝kAG →.CD →＝AD →－AC →＝15AB →＋(λ－1)AC →，又由BO 是△ABC 的边AC 上的中线，BG →＝2GO →，得点G 为△ABC 的重心，所以AG →＝13(AB →＋AC →)，所以15AB →＋(λ－1)AC →＝k 3(AB →＋AC →)，由平面向量基本定理可得⎩⎪⎨⎪⎧15＝k 3，λ－1＝k3，解得λ＝65.答案 659．在△ABC 所在的平面上有一点P 满足P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则△PBC 与△ABC 的面积之比是________．解析 因为P A →＋PB →＋PC →＝AB →，所以P A →＋PB →＋PC →＋BA →＝0，即PC →＝2AP →，所以点P 是CA 边上靠近A 点的一个三等分点，故S △PBC S △ABC ＝PC AC ＝23.答案 23 三、解答题10．已知向量AB→＝(3,1)，AC →＝(－1，a )，a ∈R . (1)若D 为BC 中点，AD→＝(m,2)，求a ，m 的值；(2)若△ABC 是直角三角形，求a 的值． 解 (1)因为AB→＝(3,1)，AC →＝(－1，a )， 所以AD →＝12(AB →＋AC →)＝⎝⎛⎭⎪⎫1，1＋a 2. 又AD →＝(m,2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，1＋a ＝2×2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，m ＝1.(2)因为△ABC 是直角三角形，所以A ＝90°或B ＝90°或C ＝90°. 当A ＝90°时，由AB →⊥AC →， 得3×(－1)＋1·a ＝0，所以a ＝3；当B ＝90°时，因为BC →＝AC →－AB →＝(－4，a －1)， 所以由AB→⊥BC →， 得3×(－4)＋1·(a －1)＝0，所以a ＝13； 当C ＝90°时，由BC →⊥AC →， 得－1×(－4)＋a ·(a －1)＝0，即a 2－a ＋4＝0，因为a ∈R ，所以无解． 综上所述，a ＝3或a ＝13.11．在△ABC 中，已知2AB →·AC →＝3|AB →|·|AC →|＝3BC →2，求角A 、B 、C 的大小．解 设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c .由2AB →·AC →＝3|AB →|·|AC →|，得2bc cos A ＝3bc ， 所以cos A ＝32.又A ∈(0，π)，因此A ＝π6.由3|AB →|·|AC→|＝3BC →2，得cb ＝3a 2.于是sin C ·sin B ＝3sin 2A ＝34.所以sin C ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－C ＝34.sin C ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos C ＋32sin C ＝34，因此2sin C ·cos C ＋23sin 2C ＝3， sin2C －3cos2C ＝0， 即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π3＝0. 由A ＝π6知0<C <5π6， 所以－π3<2C －π3<4π3，从而2C －π3＝0，或2C －π3＝π， 即C ＝π6或C ＝2π3，故A ＝π6，B ＝2π3，C ＝π6，或A ＝π6，B ＝π6，C ＝2π3.B 级——能力提高组1.已知正三角形ABC 的边长为1，点P 是AB 边上的动点，点Q 是AC 边上的动点，且AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R ，则BQ →·CP →的最大值为( )A.32 B ．－32 C.38 D ．－38解析 如图，BQ →·CP →＝(BA →＋AQ →)·(CA →＋AP →)＝[BA →＋(1－λ)AC →]·(CA →＋λAB →)＝AB →·AC →－λAB →2－(1－λ)AC →2＋λ(1－λ)AB →·AC →＝(λ－λ2＋1)×cos60°－λ＋λ－1＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－122－38，0≤λ≤1，所以当λ＝12时，BQ →·CP→的最大值为－38，选D.答案 D2．(2014·安徽卷)已知两个不相等的非零向量a ，b ，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4，x 5和y 1，y 2，y 3，y 4，y 5均由2个a 和3个b 排列而成．记S ＝x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4＋x 5·y 5，S min 表示S 所有可能取值中的最小值．则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①S 有5个不同的值； ②若a ⊥b ，则S min 与|a |无关； ③若a ∥b ，则S min 与|b |无关； ④若|b |>4|a |，则S min >0；⑤若|b |＝2|a |，S min ＝8|a |2，则a 与b 的夹角为π4.解析 对于①，若a ，b 有0组对应乘积，则S 1＝2a 2＋3b 2，若a ，b 有2组对应乘积，则S 2＝a 2＋2b 2＋2a ·b ，若a ，b 有4组对应乘积，则S 3＝b 2＋4a ·b ，所以S 最多有3个不同的值，①错误；因为a ，b 是不等向量，所以S 1－S 3＝2a 2＋2b 2－4a ·b ＝2(a －b )2>0，S 1－S 2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝(a －b )2>0，S 2－S 3＝(a －b )2>0，所以S 3<S 2<S 1，故S min ＝S 3＝b 2＋4a ·b ，对于②，当a ⊥b 时，S min ＝b 2与|a |无关，②正确；对于③，显然S min 与|b |有关，③错误；对于④，设a ，b 的夹角为θ，则S min ＝b 2＋4a ·b >16|a |2＋16|a |2cos θ＝16|a |2(1＋cos θ)≥0，故S min >0，④正确；对于⑤，|b |＝2|a |，S min ＝4|a |2＋8|a |2cos θ＝8|a |2，所以cos θ＝12，又θ∈[0，π]，所以θ＝π3，⑤错误．因此正确命题是②④.答案 ②④3．已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 4，cos 2x 4. (1)若m ·n ＝1，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x 的值； (2)记f (x )＝m ·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．解 (1)m ·n ＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋12·cos x 2＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12.又∵m ·n ＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12，cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－12.(2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C . ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )．∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ，且sin A ≠0. ∴cos B ＝12.又∵0<B <π，∴B ＝π3. ∴0<A <2π3.∴π6<A 2＋π6<π2，12<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6<1.又∵f (x )＝m ·n ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12，∴f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6＋12.故函数f (A )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.。