山东省济南外国语学校高三上学期12月考试数学(理)试题

高三数学试题（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1|22x A x ⎧=≤<⎨⎩，{}|ln 0B x x x =≤，则A B =（ ） A ．1(0,)2B ．[1,0)-C ．1[,1)2D ．[]1,1-2.定义一种运算如下：11122122x y x y x y x y ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，则复数1i z i i ⎤-=⎥⎥⎦（i 是虚数单位）的模长为（ ） A ．8B ．4 C． D13.原命题：“a ，b 为两个实数，若2a b +≥，则a ，b 中至少有一个不小于1”，下列说法错误的是（ ）A ．逆命题为：若a ，b 中至少有一个不小于1，则2a b +≥，为假命题B ．否命题为：若2a b +<，则a ，b 都小于1，为假命题C ．逆否命题为：若a ，b 都小于1，则2a b +<，为真命题D ．“2a b +≥”是“a ，b 中至少有一个不小于1”的必要不充分条件4.“石头、剪刀、布”，又称“猜丁壳”，是一种流行多年的猜拳游戏，起源于中国，然后传到日本、朝鲜等地，随着亚欧贸易的不断发展，它传到了欧洲，到了近代逐渐风靡世界．其游戏规则是：出拳之前双方齐喊口令，然后在语音刚落时同时出拳，握紧的拳头代表“石头”，食指和中指伸出代表“剪刀”，五指伸开代表“布”．“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、而“布”又胜过“石头”．若不存在所出的拳相同，则为和局．小军和大明两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛，则小军和大明比赛至第四局小军胜出的概率是（ ） A ．127B ．227C ．281D ．8815.若tan 2α=，则22cos 23sin 2sin ααα+-的值为（ ） A ．25B ．25-C ．5 D．6.已知函数()ln 2x xe ef x -+=，则()f x 是（ ）A ．奇函数，且在(,)-∞+∞上单调递增B ．偶函数，且在(,0)-∞上单调递增C ．奇函数，且在(,)-∞+∞上单调递减D ．偶函数，且在(0,)+∞上单调递增7.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，点10081010(,)a a 在直线20x y +-=上，则2017S =（ ） A ．4034B ．2017C ．1008D ．10108.若01a b <<<，则b a ，ab ，log b a ，1log ab 的大小关系为（ ）A ．1log log b a b aa b a b >>>B ．1log log a b b ab a b a >>>C ．1log log b a b aa ab b >>>D ．1log log a b b aa b a b >>>9.函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向左平移ϕ（0ϕπ<<）个单位后关于4x π=对称，且两相邻对称中心相距2π，则函数()2sin()g x x ωϕ=+在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是（ ） A ．2-B ．1-CD ．210.数学活动小组由12名同学组成，现将12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出一名组长，则不同的分配方案的种数为（ ） A ．333412963C C CB ．33341296433C C C A A C ．33331296444C C C A D ．333312964C C C11.已知定义在R 上的函数()f x 满足：222,[0,1),()2,[1,0),x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨-∈-⎪⎩且(2)()f x f x +=，25()2x g x x +=+，则方程()()f x g x =在区间[]5,1-上的所有实根之和为（ ） A ．5-B ．6-C ．7-D ．8-12.已知()f x 是定义在R 上的函数，'()f x 是()f x 的导函数，且满足'()3()f x f x >，1()3f e =，则3(ln )f x x <的解集为（ ） A ．(0,)eB ．13(0,)eC ．(1,)eD ．13(1,)e第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某程序框图如图所示，若3a =，则该程序运行后，输出的x 值为 ．14.已知函数()f x =（a 为常数），且(2017)2016f =-，则(2017)f -= ．15.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若2sin sin c b a B C+=，2b =，则ABC ∆面积是 ．16.若函数()y f x =满足：对()y f x =图象上任意点11(,())P x f x 总存在点22'(,())P x f x ，也在()y f x =图象上，使得1212()()0x x f x f x +=成立，称函数()y f x =是“特殊对点函数”．给出下列五个函数：①1y x -=；②ln y x =；③2xy e =-；④sin 1y x =+；⑤y =其中是“特殊对点函数”的序号是 ．（写出所有正确的序号）三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，满足13a =，11b =，2210b S +=，5232a b a -=．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）令2,,n n nn S c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩是奇，是偶，设数列{}n c 的前n 项和n T ，求2n T ．18.在ABC ∆，已知11sin()214A π+=，1cos()2B π-=-． （1）求sin A 与角B 的值；（2）若角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且5a =，求b ，c 的值．19.已知函数2()cos cos 1f x x x x b ωωω=⋅+++．（1）若函数()f x 的图象关于直线6x π=对称，且[]0,3ω∈，求函数()f x 的单调递增区间；（2）在（1）的条件下，当70,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 有且只有一个零点，求实数b 的取值范围．20.某校在高二年级实行选课走班教学，学校为学生提供了多种课程，其中数学学科提供5种不同层次的课程，分别称为数学1、数学2、数学3、数学4、数学5，每个学生只能从5种数学课程中选择一种学习，该校高二年级1800名学生的数学选课人数统计如表：为了了解数学成绩与学生选课情况之间的关系，用分层抽样的方法从这1800名学生中抽取10人进行分析．（1）从选出的10名学生中随机抽取3人，求这3人中至少有2人选择数学2的概率； （2）从选出的10名学生中随机抽取3人，记这3人中选择数学2的人数为X ，选择数学1的人数为Y ，设随机变量X Y ξ=-，求随机变量ξ的分布列和数学期望()E ξ．21.设n S 是数列{}n a （*n N ∈）的前n 项和，已知14a =，13n n n a S +=+，设3nn n b S =-．（1）证明：数列{}n b 是等比数列，并求数列{}n b 的通项公式； （2）令22log 2n n nnc b b =-+，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 22.已知函数21()(1)2xf x xe a x =-+． （1）若a e =，求函数()f x 的极值；（2）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．高三数学试题（理科）答案一、选择题1-5:ACABA 6-10:DBCBA 11、12：CB二、填空题13.63 14.2018 15.2 16.③④⑤三、解答题17.解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ， 由2210b S +=，5232a b a -=， 得610,34232,q d d q d ++=⎧⎨+-=+⎩解得2,2,d q =⎧⎨=⎩∴32(1)21n a n n =+-=+，12n n b -=．（2）由13a =，21n a n =+，得(2)n S n n =+， 则n 为奇数时，2112n n c S n n ==-+，n 为偶数时，12n n c -=， ∴21321242()()n n n T c c c c c c -=+++++++……32111111=(1)()()(222)3352121n n n -⎡⎤-+-++-++++⎢⎥-+⎣⎦……12(14)221(41)2114213n n n n n -=-+=+-+-+．18.解：（1）∵sin()cos 2A A π+=，∴11cos 14A =，又∵0A π<<，∴sin A = ∵1cos()cos 2B B π-=-=-，且0B π<<， ∴3B π=．（2）由正弦定理得sin sin a b A B =，∴sin 7sin a Bb A==，另由2222cos b a c ac B =+-，得249255c c =+- ，解得8c =或3c =-（舍去）， ∴7b =，8c =．19.解：（1）函数2()cos cos 1f x x x x ωωω=++3sin(2)62x b πω=+++， ∵函数()f x 的图象关于直线6x π=对称，∴2662k πππωπ⋅+=+且[]0,3ω∈，∴1ω=（k Z ∈），由222262k x k πππππ-≤+≤+解得36k x k ππππ-≤≤+（k Z ∈），函数()f x 的单调增区间为,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k Z ∈）．（2）由（1）知3()sin(2)62f x x b πω=+++， ∵70,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴42,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， ∴2,662x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦函数()f x 单调递增； 42,623x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即7,612x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦函数()f x 单调递减． 又(0)()3f f π=，∴当()03f π>7()12f π≥或()06f π=时，函数()f x 有且只有一个零点， 即435sinsin 326b ππ≤--<或3102b ++=，∴5(2b ⎧⎫∈--⎨⎬⎩⎭．20.解：抽取的10人中选修数学1的人数应为1801011800⨯=人， 选修数学2的人数应为5401031800⨯=人，选修数学3的人数应为5401031800⨯=人， 选修数学4的人数应为6010218003⨯=人，选修数学5的人数应为1801011800⨯=人．（1）从10人中选3人共有310120C =种选法，并且这120种选法出现的可能性是相同的，有2人选择数学2的选法共有213721C C ⋅=种，有3人选择数学2的选法有331C =种，所以至少有2人选择数学2的概率为221112060=． （2）X 的可能取值为0,1,2,3，Y 的可能取值为0,1，ξ的可能取值为1-，0,1,2,3．12163101(1)(0,1)8C C P P X Y C ξ⋅=-=====； 31116316331010201819(0)(0,0)(1,1)12012060C C C C P P X Y P X Y C C ξ⋅⋅====+===+=+=； 122136313310104532(1)(1,0)(2,1)1201205C C C C P P X Y P X Y C C ξ⋅⋅====+===+=+=； 21363103(2)(2,0)20C C P P X Y C ξ⋅======； 333101(3)(3)120C P P X C ξ=====， ∴ξ的分布列∴()(1)01238605201205E ξ=-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 21.解：（1）∵13n n n a S +=+，∴13nn n n S S S +-=+，即123n n n S S +=+，则11132332(3)n n n nn n n S S S +++-=+-=-，∴12n n b b +=，又111331b S a =-=-=，∴{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列，故数列{}n b 的通项公式为12n n b -=．（2）由（1）得212log 222n n n n n nc b n b -=-+=-， 设23212341122222n n n nM ---=++++++…，① 则23111231222222n n n nM --=+++++…，② ①-②得：23111111111222222222n n n n n nM --=+++++-=--…，所以2111244222n n n n nM ---+=--=-，∴12(1)42n n n T n n -+=++-．22.解：（1）函数定义域为(,)-∞+∞，'()(1)(1)(1)()xxf x x e e x x e e =+-+=+-．'()0f x =，解得11x =-，21x =，列表：所以1x =-时，()f x 取极大值e-；当1x =时，()f x 取极小值e -． （2）'()(1)(1)(1)()xxf x x e a x x e a =+-+=+-， 当0a =时，易知函数()f x 只有一个零点，不符合题意； 当0a <时，在(,1)-∞-上，'()0f x <，()f x 单调递减； 在(1,)-+∞上，'()0f x >，()f x 单调递增；1(1)0f e-=-<，且(1)20f e a =->，x →-∞，()f x →+∞，所以函数()f x 有两个零点． 当10a e<<时，在(,ln )a -∞和(1,)-+∞上，'()0f x >，()f x 单调递增；在(ln ,1)a -上'()0f x <，()f x 单调递减；11(ln )ln (ln 1)(ln 1)022f a a a a a a a =-+=-<，函数()f x 至多有一个零点，不符合题意． 当1a e>时，在(,1)-∞-和(ln ,)a +∞上'()0f x >，()f x 单调递增；在(1,ln )a -上'()0f x <，()f x 单调递减；1(1)0f e-=-<，函数()f x 至多有一个零点，不符合题意．综上：实数a 的取值范围是0a <．。