专题12 直线与圆(押题专练)-2017年高考文数二轮复习精品资料(解析版)

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2012-2017年高考文科数学真题汇编：直线和圆老师版(最新整理)

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x
3
；
31（2016 年新课标 1 理）设圆 x2 y2 2x 15 0 的圆心为 A，直线 l 过点 B（1,0）且与 x 轴不重合，l
交圆 A 于 C，D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E.（I）证明 EA EB 为定值，并写出点 E 的轨迹
方程。
【详细解答】（I）圆心为 A(1, 0) ，圆的半径为 AD 4 ， AD AC ，
22.（2015 北京文）圆心为 1,1 且过原点的圆的方程是（ D ）
A． x 12 y 12 1
B． x 12 y 12 1
C． x 12 y 12 2
D． x 12 y 12 2
23.（2015 年广东理）平行于直线 2x y 1 0 且与圆 x2 y2 5 相切的直线的方程是（ D ）
学员姓名授课老师
授课日期及时段
学科教师辅导教案
年级
高三
辅导科目
课时数
2h
第
2017 年月日： — ：
数学次课
历年高考试题集锦——直线和圆
1．（2012 辽宁文）将圆 x2+y2 -2x-4y+1=0 平分的直线是（ C ）
（A）x）x-y+1=0 （D）x-y+3=0
4 的距离为
5 ，则圆 C 的方程为____ (x 2)2 y2 9. ______
5
19、（2016 年全国 I 卷）设直线 y=x+2a 与圆 C：x2+y2-2ay-2=0 相交于 A，B 两点，若
，则圆 C
的面积为 4π . 20、（2016 年全国 III 卷）已知直线 l ： x 3y 6 0 与圆 x2 y2 12 交于 A, B 两点，过 A, B 分别作 l

直线与圆(仿真押题)-2017年高考数学(文)命题猜想与仿真押题含解析

1．圆（x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2）2＋(y－1)2＝9的位置关系为(）A．内切 B．相交C．外切D．相离【答案】：B【解析】:两圆的圆心距离为错误!,两圆的半径之差为1、半径之和为5，而1〈错误!〈5，所以两圆相交．2．已知直线x＋y－k＝0(k>0）与圆x2＋y2＝4交于不同的两点A，B。

O是坐标原点，且有|错误!＋错误!｜≥错误!｜错误!|，那么k的取值范围是（)A．(错误!，＋∞）B．错误!,＋∞)C．2，2错误!）D．错误!，2错误!)【答案】：C3．已知A(1,2）,B（3，1)两点到直线l的距离分别是错误!，错误!－错误!，则满足条件的直线l共有( ）A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】：C【解析】：当A，B两点位于直线l的同一侧时，一定存在这样的直线l，且有两条．又|AB|＝错误!＝错误!，而点A到直线l与点B到直线l的距离之和为错误!＋错误!－错误!＝错误!，所以当A,B两点位于直线l的两侧时，存在一条满足条件的直线．综上可知满足条件的直线共有3条．4．已知直线l:x－y＋4＝0与圆C：（x－1)2＋（y－1）2＝2，则圆C上的点到直线l的距离的最小值为（）A.错误!B.错误!C．1 D．3【答案】：A【解析】:由题意知，圆C上的点到直线l的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l的距离减去圆的半径，即错误!－错误!＝错误!。

5．已知直线l过圆x2＋(y－3）2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则直线l的方程为( )A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0【答案】：D【解析】：由已知得，圆心为（0,3），所求直线的斜率为1，由直线方程的斜截式得，y＝x＋3，即x－y＋3＝0，故选D。

6．已知圆C：(x＋1)2＋y2＝r2与抛物线D：y2＝16x 的准线交于A，B两点,且|AB｜＝8，则圆C的面积为（)A．5π B．9πC．16πD．25π【答案】D【解析】抛物线的准线方程为x＝－4，而圆心坐标为（－1，0），所以圆心到直线的距离为3，所以圆的半径为5,故圆面积为25π.7．过点（－2，0)且倾斜角为错误!的直线l与圆x2＋y2＝5相交于M，N两点，则线段MN的长为（）A．2错误!B．3 C．2错误! D．6【答案】C【解析】l的方程为x－y＋2＝0，圆心(0，0)到直线l的距离d＝2,则弦长｜MN|＝2错误!＝2错误!。

文科数学专题直线与圆(教学案)高考二轮复习资料含答案

(1)以客观题形式考查两条直线平行与垂直的关系判断，常常是求参数值或取值范围，有时也与命题、充要条件结合，属常考点之一．(2)与三角函数、数列等其他知识结合，考查直线的斜率、倾斜角、直线与圆的位置关系等，以客观题形式考查．(3)本部分内容主要以客观题形式考查，若在大题中考查，较少单独命制试题，常常与圆锥曲线相结合，把直线与圆的位置关系的判断或应用作为题目条件的一部分或一个小题出现，只要掌握最基本的位置关系，一般都不难获解．1．直线方程(1)直线的倾斜角与斜率的关系倾斜角α的取值范围：0°≤α<180°.倾斜角为α(α≠90°)的直线的斜率k＝tanα，倾斜角为90°的直线斜率不存在．当0°<α<90°时，k>0且k随倾斜角α的增大而增大．当90°<α<180°时，k<0且k随倾斜角α的增大而增大．(2)直线方程(3)两直线的位置关系(4)距离公式①两点P 1(x 1，y 1)，P (x 2，y 2)间的距离 |P 1P 2|＝ x 1－x 2 2＋ y 1－y 2 2.②点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.2．圆的方程 (1)圆的方程①标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，圆心坐标为(a ，b )，半径为r .②一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径r ＝D 2＋E 2－4F 2.(2)点与圆的位置关系①几何法：利用点到圆心的距离d 与半径r 的关系判断：d >r ⇔点在圆外，d ＝r ⇔点在圆上；d <r ⇔点在圆内．②代数法：将点的坐标代入圆的标准(或一般)方程的左边，将所得值与r 2(或0)作比较，大于r 2(或0)时，点在圆外；等于r 2(或0)时，点在圆上；小于r 2(或0)时，点在圆内．(3)直线与圆的位置关系直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)与圆：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)的位置关系如下表. (4)圆与圆的位置关系【误区警示】1．应用点斜式或斜截式求直线方程时，注意斜率不存在情形的讨论，应用截距式求直线方程时，注意过原点的情形．2．判断两直线平行与垂直时，不要忘记斜率不存在的情形．考点一直线及其方程例1. 【2017江苏，13】在平面直角坐标系xOy 中,(12,0),(0,6),A B -点P 在圆2250O x y +=：上,若20,PA PB ⋅≤则点P 的横坐标的取值范围是 ▲ .【答案】[-【解析】设(,)P x y ，由20PA PB ⋅≤ ，易得250x y -+≤，由2225050x y x y -+=⎧⎨+=⎩，可得5:5x A y =-⎧⎨=-⎩或1:7x B y =⎧⎨=⎩，由250x y -+≤得P 点在圆左边弧 AB 上,结合限制条件x -≤≤，可得点P 横坐标的取值范围为[-.【变式探究】【2016高考新课标3文数】已知直线l ：30mx y m ++=错误！未找到引用源。

2017届高考数学年(文科) 直线与圆、圆锥曲线的概念、方程与性质专题练习答案

不等式与线性规划解析一、选择题1．解析：由a⊥b可得a·b=0，即1×2+(-2)×m=0，解得m=1．所以|b|==。

故选D．2．解析：由已知可得a·b=1×2cos 60°=1．所以b·(b-a)=b2-a·b=22-1=3．故选B．3．解析：根据程序框图，知当i=4时，输出S，因为第一次循环得到：S=S0-2，i=2；第二次循环得到：S=S0-2-4，i=3；第三次循环得到：S=S0-2-4-8，i=4；所以S0-2-4-8=-4．解得S0=10.故选D．4．解析：将这列数分布为：1，2，3，3，2，1；2，3，4，4，3，2；3，4，5，5，4，3；4，5，6，6，5，4；…，发现如果每6个数成一组，每组的第一个数(或最后一个数)依次为1，2，3，4，…，每组的数都是先按1递增两次，再相等一次，最后按1递减两次；因为2016=336×6，所以第2016个数是336．故选B．5．解析：第一次执行循环体，r=90，m=135，n=90，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体，r=45，m=90，n=45；第三次执行循环体，r=0，m=45，n=0，满足退出循环的条件。

故输出的m值为45．故选C．6．解析：由题设得3+4=-5，9+24·+16=25，所以·=0，∠AOB=90°，所以S△OAB=|OA||OB|=，同理S△OAC=，S△OBC=，所以S△ABC=S△OBC+S△AOC+S△ABO=。

故选C．7．解析：由已知归纳可得第n行的第一个数和最后一个数均为，其他数字等于上一行该数字“肩膀”上的两个数字的和，故A(15，2)=++++…+=+2（-）=，故选C．8．解析：第一次循环：n=2，x=2t，a=1；n=2<4，第二次循环：n=4，x=4t，a=3；第三次循环：n=6，x=8t，a=3；n=6>4，终止循环，输出38t。

直线和圆综合练习题集附答案解析

直线与圆的方程训练题一、选择题:1．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（）A ．B ．C ．，不存在D ．，不存在 2．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（） A ．1=+b aB ．1=-b aC ．0=+b aD ．0=-b a3．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（） A ．012=-+y x B ．052=-+y x C ．052=-+y x D ．072=+-y x 4．已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（） A ．524=+y x B ．524=-y x C ．52=+y x D ．52=-y x 5．直线cos sin 0x y a θθ++=与sin cos 0x y b θθ-+=的位置关系是（）A ．平行B ．垂直C ．斜交D ．与的值有关 6．两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为（）A ．4 BCD7．如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是（）A ．-13B ．3-C ．13D ．38．直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于,A B 两点，若线段AB 的中点为(1,1)M -，则直线l 的斜率为（）A ．23 B ．32 C ．32- D ． 23-9．若动点P 到点(1,1)F 和直线340x y +-=的距离相等，则点P 的轨迹方程为（） A ．360x y +-= B ．320x y -+= C ．320x y +-= D ．320x y -+=10．若为圆的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（） A. 03=--y x B. 032=-+y x C. 01=-+y x D. 052=--y x11．圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（） A ．2 B ．21+ C ．221+D ．221+ 12．在坐标平面，与点(1,2)A 距离为1，且与点(3,1)B 距离为2的直线共有（）0135,1-045,10900180,,a b θ(2,1)P -22(1)25x y -+=A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 13．圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（）A ．023=-+y xB ．043=-+y xC ．043=+-y xD ．023=+-y x14．直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 交于,E F 两点，则∆EOF （O 是原点）的面积为（）Ａ．23 Ｂ．43Ｃ．52 Ｄ．55615．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆C 的方程为（）A ．03222=--+x y x B ．0422=++x y xC ．03222=-++x y xD ．0422=-+x y x16．若过定点)0,1(-M 且斜率为k 的直线与圆05422=-++y x x 在第一象限的部分有交点，则k 的取值围是（）A. 50<<k B. 05<<-k C. 130<<k D. 50<<k 17．圆：06422=+-+y x y x 和圆：0622=-+x y x 交于,A B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是（） A.30x y ++= B ．250x y --= C ．390x y --= D ．4370x y -+=18．入射光线在直线1:23l x y -=上，经过x 轴反射到直线2l 上，再经过y 轴反射到直线3l 上，若点P是1l 上某一点，则点P 到3l 的距离为（）A ．6 B ．3 C D 二、填空题:19．已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为__________; 若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为_________; 若4l 与1l 关于x y =对称，则4l 的方程为___________;20．点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则22x y +的最小值是________________.21．直线l 过原点且平分ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为(1,4),(5,0)B D ，则直线l 的方程为________________。

直线与圆(命题猜想)-2017年高考数学(文)命题猜想与仿真押题含解析

【考向解读】考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题。

直线与圆的位置关系特别是弦长问题，此类问题难度属于中低档,一般以选择题、填空题的形式出现.【命题热点突破一】直线的方程及应用1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在,则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1。

若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．2．求直线方程要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．3．两个距离公式（1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0,l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝错误!.(2）点(x0，y0)到直线l:Ax＋By＋C＝0的距离公式d ＝错误!。

例1、【2016高考新课标3理数】已知直线：++=与圆2212mx y m330+=交于,A B两点,过,A B分别做的x y垂线与x轴交于,C D两点，若23AB=CD=__________________.||【答案】4【变式探究】（1)已知直线l1：(k－3）x＋(4－k）y＋1＝0与l2：2（k－3）x－2y＋3＝0平行，则k的值是（) A．1或3B．1或5C．3或5D．1或2(2）已知两点A(3,2）和B（－1，4）到直线mx＋y ＋3＝0的距离相等，则m的值为（）A．0或－错误!B。

错误!或－6C．－12或错误!D．0或错误!【答案】（1)C （2）B【特别提醒】(1）求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况；(2）对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究．【变式探究】已知A (3，1),B (－1,2)两点，若∠ACB 的平分线方程为y ＝x ＋1，则AC 所在的直线方程为( )A ．y ＝2x ＋4B ．y ＝错误!x －3C ．x －2y －1＝0D ．3x ＋y ＋1＝0【答案】 C【解析】由题意可知,直线AC 和直线BC 关于直线y ＝x ＋1对称．设点B (－1，2)关于直线y ＝x ＋1的对称点为B ′(x 0，y 0），则有错误!⇒错误!即B ′(1，0)．因为B ′(1，0）在直线AC 上，所以直线AC 的斜率为k ＝1－03－1＝错误!，所以直线AC 的方程为y －1＝12（x －3)，即x －2y －1＝0。

09直线与圆(高考押题)-2017年高考数学(文)考纲解读与热点难点突破含解析

1．已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R）是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则｜AB｜＝（)A．2 B．4错误!C．6 D．2错误!【答案】C【解析】圆C的标准方程为（x－2)2＋（y－1）2＝4，圆心为C（2,1)，半径为r＝2，因此2＋a×1－1＝0，所以a＝－1，从而A(－4，－1)，｜AB｜＝错误!＝错误!＝6。

2．已知圆x2＋y2＋mx－错误!＝0与抛物线y＝错误!x2的准线相切，则m＝( )A．±2错误!B．±错误!C.错误!D。

错误!【答案】B【解析】抛物线的准线为y＝－1，将圆化为标准方程得错误!2＋y2＝错误!，圆心到准线的距离为1＝错误!⇒m＝±3。

3．若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x ＋y－5＝0上运动，则AB的中点M到原点的距离最小值为( ）A。

错误! B．2错误!C．3 2 D．4错误!【答案】C4．一条光线从点（－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋（y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( ）A．－错误!或－错误!B．－错误!或－错误!C．－错误!或－错误!D．－错误!或－错误!【答案】D5．两圆x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0和x2＋y2－4by－1＋4b2＝0恰有三条公切线,若a∈R,b∈R且ab≠0，则错误!＋错误!的最小值为（)A．1 B．3C。

错误! D.错误!【答案】A【解析】x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0,即(x＋a）2＋y2＝4，x2＋y2－4by－1＋4b2＝0，即x2＋（y－2b）2＝1,依题意可得，两圆外切,则两圆心距离等于两圆的半径之和，则a2＋2b2＝1＋2＝3,即a2＋4b2＝9，所以错误!＋错误!＝错误!错误!＝错误!错误!≥错误!错误!＝1,当且仅当错误!＝错误!即a＝±错误!b时取等号,故选A.6．已知圆的方程为（x－1）2＋(y－1）2＝9，点P （2,2)是该圆内一点，过点P的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积是( ）A．3错误!B．4错误!C．57 D．6错误!【答案】D【解析】依题意，圆的最长弦为直径，最短弦为过点P垂直于直径的弦，所以|AC｜＝2×3＝6。

专题13 直线与圆—三年高考(2015-2017)数学(文)真题分项版解析(解析版)

一、选择题1. 【2014高考北京文第7题】已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（）A.7B.6C.5D.4 【答案】B考点：本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.2. 【2015高考北京，文2】圆心为()1,1且过原点的圆的方程是（） A ．()()22111x y -+-= B ．()()22111x y +++= C ．()()22112x y +++= D ．()()22112x y -+-= 【答案】D【解析】由题意可得圆的半径为r =()()22112x y -+-=，故选D .【考点定位】圆的标准方程.【名师点晴】本题主要考查的是圆的标准方程，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“过原点”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是圆的标准方程，即圆心(),a b ，半径为r 的圆的标准方程是()()222x a y b r -+-=．3.【 2014湖南文6】若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=相外切，则m =（）.21A .19B .9C .11D -【答案】C【解析】因为()()22226803425x y x y m x y m +--+=⇒-+-=-,所以250m ->25m ⇒<且圆2C 的圆心为()3,4,,根据圆与圆外切的判定(圆心距离等于半径和)可得1=+9m ⇒=,故选C.【考点定位】圆与圆之间的外切关系与判断【名师点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系，解决问题的关键是根据条件得到圆的半径及圆心坐标，然后根据两圆满足的几何关系进行列式计算即可.4. 【2014全国2，文12】设点()0,1M x ，若在圆22:+1O x y =上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是（）（A ）[]1,1-- （B ）11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （C ）⎡⎣ （D ）⎡⎢⎣ 【答案】A【考点定位】直线与圆的位置关系【名师点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一． 5. 【2014四川，9文】设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是（）A 、B 、C 、D 、【答案】B 【解析】试题分析：易得.设，则消去得：，所以点P在以AB 为直径的圆上，，所以，令||10sin ,||10cos PA PB θθ==，则||||)4PA PB πθθθ+=+=+.因为||0,||0PA PB ≥≥，所以02πθ≤≤.sin()14πθ≤+≤||||PA PB ≤+≤选B. 法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆.以下同法一.【考点定位】1、直线与圆；2、三角代换. 【名师点睛】在几何意义上表示P 点到与的距离之和，解题的关键是找P 点的轨迹和轨迹方程；也可以使用代数方法，首先表示出，这样就转化为函数求最值问题了.6. 【2015高考四川，文10】设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆C ：(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )(A )(1，3) (B )(1，4) (C )(2，3) (D )(2，4) 【答案】D当t ＝0时，若r ≥5，满足条件的直线只有1条，不合题意，若0＜r ＜5，则斜率不存在的直线有2条，此时只需对应非零的t 的直线恰有2条即可. 当t ≠0时，将m ＝3－2t 2代入△＝16t 2＋16m ，可得3－t 2＞0，即0＜t 2＜3 又由圆心到直线的距离等于半径，可得d ＝r==由0＜t 2＜3，可得r ∈(2，4).选D【考点定位】本题考查直线、圆及抛物线等基本概念，考查直线与圆、直线与抛物线的位置关系、参数取值范围等综合问题，考查数形结合和分类与整合的思想，考查学生分析问题和处理问题的能力.【名师点睛】本题实质是考查弦的中垂线过定点问题，注意到弦的斜率不可能为0，但有可能不存在，故将直线方程设为x ＝ty ＋m ，可以避免忘掉对斜率不存在情况的讨论.在对r 的讨论中，要注意图形的对称性，斜率存在时，直线必定是成对出现，因此，斜率不存在(t ＝0)时也必须要有两条直线满足条件.再根据方程的判别式找到另外两条直线存在对应的r 取值范围即可.属于难题.7.【2014年.浙江卷.文5】已知圆02222=+-++a y x y x 截直线02=++y x 所得弦的长度为4，则实数a 的值为（）A.2-B. 4-C. 6-D.8- 【答案】B考点：直线与圆相交，点到直线的距离公式的运用，容易题.【名师点睛】本题主要考查直线与圆相交的弦长问题，解决问题的关键点在讨论有关直线与圆的相交弦问题时，如能充分利用好平面几何中的垂径定理，并在相应的直角三角形中计算，往往能事半功倍．8. 【2014，安徽文6】过点(P 的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（）A.]60π，（ B.]30π，（ C.]60[π， D.]30[π，【答案】D ．【解析】试题分析：如下图，要使过点P 的直线l 与圆有公共点，则直线l 在PA 与PB 之间，因为1sin 2α=，所以6πα=，则23AOB πα∠==，所以直线l 的倾斜角的取值范围为]30[π，.故选D.考点：1.直线的倾斜角；2.直线与圆的相交问题.【名师点睛】研究直线与圆的相交问题，应牢牢记住三长关系，即半弦长2l、弦心距d 和半径长r 之间形成的数量关系为222()2l d r +=.但在具体做题过程中，常利用数形结合的方程进行求解，通过图形会很快了解具体的量的关系.另外，直线的倾斜角和斜率之间的关系也是重要考点，告知斜率的范围要能求出倾斜角的范围，反之一样.当90α=，斜率不存在. 9. 【2015高考安徽，文8】直线3x +4y =b 与圆222210x y x y +--+=相切，则b =（）（A ）-2或12 （B ）2或-12 （C ）-2或-12 （D ）2或12 【答案】D【考点定位】本题主要考查利用圆的一般方程求圆的圆心和半径，直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式的应用.【名师点睛】在解决直线与圆的位置关系问题时，有两种方法；方法一是代数法：将直线方程与圆的方程联立，消元，得到关于x （或y ）的一元二次方程，通过判断0;0;0<∆=∆>∆来确定直线与圆的位置关系；方法二是几何法：主要是利用圆心到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d ，然后再将d 与圆的半径r 进行判断，若r d >则相离；若r d =则相切；若r d <则相交；本题考查考生的综合分析能力和运算能力.12.【2014上海,文18】已知),(111b a P 与),(222b a P 是直线y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a xb y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（）（A ）无论k ，21,P P 如何，总是无解（B)无论k ，21,P P 如何，总有唯一解（C ）存在k ，21,P P ，使之恰有两解（D ）存在k ，21,P P ，使之有无穷多解【答案】B【解析】由题意，直线1y kx =+一定不过原点O ，,P Q 是直线1y kx =+上不同的两点，则OP 与OQ 不平行，因此12210a b a b -≠，所以二元一次方程组112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩一定有唯一解．选B.【考点】向量的平行与二元一次方程组的解．【名师点睛】可以通过系数之比来判断二元一次方程组的解的情况，如下列关于x,y 的二元一次方程组：ax by cdx ey f +=⎧⎨+=⎩,当a/d≠b/e 时，该方程组有一组解。

2017年高考英语二轮复习专题12特殊句式押题专练含解析

专题12 特殊句式一、单句填空1．I was in trouble in overcoming my addiction to alcohol，and ________ was my friend Mike.【答案】so【解析】句意：我在克服酒瘾方面有困难，我的朋友迈克也是。

根据句意判断，所填的词要能表达出后一种情况与前面情况相同这一意义，故用so，构成“so＋谓语动词＋主语”这种倒装结构，表示“……也……”。

2． Freddy gave him a job and housing and lent him pocket money while ________(train) him.【答案】training3． It's true，but I heard some people ________ find their better half through online dating.【答案】did【解析】句意：这是真的，但是我听说很多人的确是通过网上约会找到他们更好的另一半。

根据主句时态I heard判断，hear的宾语从句应该用一般过去时，而空格后是动词原形find，故空格处应填助动词did，一方面起强调作用，另一方面与find一起构成一般过去时态。

4． It is one's inner beauty ________ matters.【答案】that【解析】句意：是人的内在美重要。

所填词与句首的It is一起构成强调句式，被强调的是表示事物的句子的主语，故填that。

5． It was then ________ I burst into tears because I really needed the money at the time.【答案】that【解析】句意：是在那个时候我突然哭起来，因为那个时候我确实需要那笔钱。

所填词与句首的It was 一起构成强调句，所以应填that。

2017年高考数学理试题分类汇编：直线与圆

14．(2017年新课标Ⅰ)设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，则32z x y =-的最小值为 .【答案】5-【解析】如图所示，不等式组表示的可行域为ABC ∆易求得1111(1,1),(,),(,)3333A B C ---直线32z x y =-在x 轴上的截距越小，z 就越小所以，当直线直线32z x y =-过点A 时，z 取得最小值所以z 取得最小值为3(1)215⨯--⨯=-(2017年新课标Ⅰ文) 7．设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为 (D)A ．0B ．1C ．2D ．37. ( 2017年新课标Ⅱ文)设x 、y 满足约束条件2+330233030x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩。

则2z x y =+ 的最小值是 ( A)A. -15B.-9C. 1 D 913．(2017年新课标Ⅲ卷理)若x ，y 满足约束条件y 0200x x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则z 34x y =-的最小值为__________．【答案】1-【解析】绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得，目标函数在点()1,1A 处取得最小值341z x y =-=- .5. ( 2017年新课标Ⅱ卷理)设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（）A ．15-B ．9-C ．1D ．9 【答案】A4．(2017年浙江卷)若x ,y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则z =x +2y 的取值范围是A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6，+∞]D ．[4,+∞]【答案】D【解析】可行域为一开放区域，所以直线过点(2,1)时取最小值4，无最大值，选D.(2017年江苏卷) 13．在平面直角坐标系xOy 中，(12,0),(0,6),A B -点P 在圆22:50O x y +=上，若20,PA PB ⋅≤则点P 的横坐标的取值范围是 ▲ ．(2017年北京卷理) （4）若x ，y 满足32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，，，则x + 2y 的最大值为（A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）9 【答案】D【解析】如图，画出可行域，2z x y =+表示斜率为12-的一组平行线，当过点()3,3C 时，目标函数取得最大值max 3239z =+⨯=，故选D.(2017年江苏卷) [选修4-1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，AB 为半圆O 的直径，直线PC 切半圆O 于点C ，AP ⊥PC ，P 为垂足．求证：（1）PAC CAB ∠=∠；（2）2AC AP AB =⋅．【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分10分）【解析】（1）因为PC 是圆O 的切线，所以PCA CBA =∠∠，又AP ⊥PC ，所以90PAC PCA +=︒∠∠，因为B 为半圆O 的直径，所以90CAB CBA +=︒∠∠，所以PAC CAB ∠=∠. （2）由（1）可得PAC CAB △∽△，所以PA AC CA AB=，所以2·AC AP AB =. 5.( 2017年全国Ⅲ卷文)设,x y 满足约束条件3260,0,0,x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩则z x y =-的取值范围是（）A. []3,0-B.[]3,2-C.[]0,2 D []0,3 【答案】选B【解析】由题意，画出可行域，端点坐标 ()0,0O ,()0,3A ,()2,0B . 在端点,A B 处分别取的最小值与最大值. 所以最大值为2，最小值为3-. 故选B20( 2017年全国Ⅲ卷文)在直角坐标系xOy 中，曲线22-+=mx x y 与x 轴交于B A ,两点，点C 的坐标为（0,1）。

2023-2024学年高二数学单元速记——直线与圆的方程(压轴题专练)(解析版)

第二章直线与圆的方程（压轴题专练）一、选择题1．已知m ∈R ，若过定点A 的动直线1l ：20x my m -+-=和过定点B 的动直线2l ：240mx y m ++-=交于点P （P 与A ，B 不重合），则以下说法错误的是（）A ．A 点的坐标为()2,1B ．PA PB ⊥C ．2225PA PB +=D ．2PA PB +的最大值为5【答案】D【分析】根据定点判断方法、直线垂直关系、勾股定理、三角函数辅助角求最值即可得解.【详解】因为1:20l x my m -+-=可以转化为(1)20m y x -+-=，故直线恒过定点A ()2,1，故A 选项正确；又因为2l ：240mx y m ++-=即()42y m x -=-+恒过定点B ()2,4-，由1:20l x my m -+-=和2:420l mx y m +-+=,满足()110m m ⨯+-⨯=，所以12l l ⊥,可得PA PB ⊥,故B 选项正确；所以()()22222221425PA PB AB +==++-=,故C 选项正确;因为PA PB ⊥,设,PAB ∠θθ=为锐角,则5cos ,5sin PA PB θθ==,所以()()252cos sin 5PA PB θθθϕ+=+=+,所以当()sin 1θϕ+=时,2PA PB +取最大值,故选项D 错误.故选：D.2．设m R ∈，过定点A 的动直线10x my ++=和过定点B 的动直线230mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB +的最大值（）A ．B ．C ．3D ．6【答案】D【分析】根据动直线方程求出定点,A B 的坐标，并判断两动直线互相垂直，进而可得22||||18PA PB +=，最后由基本不等式222||||||||22PA PB PA PB ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭即可求解.【详解】解：由题意，动直线10x my ++=过定点(1,0)A -，直线230mx y m --+=可化为(2)30x m y -+-=，令2030x y -=⎧⎨-=⎩，可得()2,3B ，又1(1)0m m ⨯+⨯-=，所以两动直线互相垂直，且交点为P ，所以()()22222||||||120318PA PB AB +==--+-=，因为222||||||||22PA PB PA PB ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以6P A PB +≤，当且仅当||||3PA PB ==时取等号.故选：D.3．在平面直角坐标系内，设()11,M x y ，()22,N x y 为不同的两点，直线l 的方程为0ax by c ++=，1122ax by c ax by c δ++=++，下面四个命题中的假命题为（）A ．存在唯一的实数δ，使点N 在直线l 上B ．若1δ=，则过M ，N 两点的直线与直线l 平行C ．若1δ=-，则直线经过线段M ，N 的中点；D ．若1δ>，则点M ，N 在直线l 的同侧，且直线l 与线段M ，N 的延长线相交；【答案】A【分析】根据题意对δ一一分析，逐一验证．【详解】解：对于A ，1122ax by c ax by cδ++=++化为：112222()0(0)ax by c ax by c ax by c δ++-++=++≠，即点2(N x ，2)y 不在直线l 上，因此A 不正确．对于B ，1δ=，则1212()()0a x x b y y -+-=，即过M ，N 两点的直线与直线l 的斜率相等，又点2(N x ，2)y 不在直线l 上，因此两条直线平行，故B 正确；对于C ，1δ=-，则1122()0ax by c ax by c +++++=，化为1212022x x y y a b c ++++=，因此直线l 经过线段MN 的中点，故C 正确；对于D ，1δ>，则2112222()()()0ax by c ax by c ax by c δ++⨯++=++>，则点M ，N 在直线l 的同侧，故D 正确；故选A【点睛】本题考查了直线系方程的应用、平行直线的判定、点与直线的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．4．我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”事转化为点(),x y 与点(),a b 之间的距离的几何问题.已知点()11,M x y 在直线1:2l y x =+，点()22,N x y 在直线2:l y x =上，且1MN l ⊥）A ．2B ．2C D ．5【答案】D【分析】根据两点距离公式将目标函数转化为点()11,M x y 到点()0,4A 的距离与点()22,N x y 到点()5,0B 的距离和，过点A 作1AC l ⊥，垂足为C ，证明AM CN =，由CN NB CB +≥求目标函数最小值.表示点()11,M x y 到点()0,4A 的距离，表示点()22,N x y 到点()5,0B 的距离，MA NB +=+，过点A 作1AC l ⊥，垂足为C ，因为直线1l 的方程为20x y -+=，()0,4A ，所以AC ==又直线1:2l y x =+与直线2:l y x =平行，1MN l ⊥，所以MN =所以//,MN AC MN AC =，所以四边形AMNC 为平行四边形，所以AM CN =，CN NB +=+，又CN NB CB +≥，当且仅当,,C N B 三点共线时等号成立，所以当点N 为线段CB 与直线2l 的交点时，CB ，因为过点()0,4A 与直线1l 垂直的直线的方程为4y x =-+，联立42y x y x =-+⎧⎨=+⎩，可得13x y =⎧⎨=⎩，所以点C 的坐标为()1,3，所以CB =，5，故选：D.将问题转化为两点之间的距离问题.5．已知圆C 是以点(2,M 和点(6,N -为直径的圆，点P 为圆C 上的动点，若点()2,0A ，点()1,1B ，则2PA PB -的最大值为（）A B ．4C ．8+D【答案】A【分析】由题设可知圆C ：22(4)16x y -+=，在坐标系中找到(4,0)D -，应用三角线相似将2PA 转化到||PD ，再利用三角形的三边关系确定目标式的最大值即可.【详解】由题设，知：(4,0)C 且||8MN ==，即圆C 的半径为4，∴圆C ：22(4)16x y -+=，如上图，坐标系中(4,0)D -则24OD AC CP OC ====，∴12AC PC CP DC ==，即△APC △PCD ，故12PA PD =，∴2||||PA PB PD PB -=-，在△PBD 中||||||PD PB BD -<，∴要使||||PD PB -最大，,,P B D 共线且最大值为||BD 的长度.∴||BD ==故选：A【点睛】关键点点睛：首先求出圆C 方程，找到定点D 使AC PC CP DC =，进而将2PA 转化到其它线段，结合三角形三边关系求目标式的最值.6．过点()8,4A -作抛物线28y x =的两条切线1l ，2l ，设1l ，2l 与y 轴分别交于点B ，C ，则ABC ∆的外接圆方程为（）A ．2264160x y x y ++--=B ．226160x y x ++-=C ．2256120x y x y ++--=D ．224160x y y +--=【答案】A【解析】设切线方程为l ：()84x t y +=-，与抛物线联立，表示线段AB 的中垂线方程，可求解圆心坐标和半径，表示圆的方程即可.【详解】设过点()8,4A -的抛物线2:8E y x =的切线方程为l ：()84x t y +=-，即84x ty t =--（*），代入28y x =得288(48)0y ty t -++=，由0∆=得2240t t --=，（1）所以方程（1）有两个不相等的实数根1t ，2t ，且122t t +=，124t t =-，在（*）中令0x =得180,4B t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，280,4C t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，设ABC ∆的外接圆圆心为点()100,O x y ，则()0122B C y y y =+=，下求0x ：线段AB 中点横标04x '=-，纵标0144y t '=+，线段AB 的中垂线方程为1144(4)y t x t --=-+，令2y =得211021424t t x t -++=，由（1）知21124t t +=，故03x =-，设ABC ∆的外接圆半径为R ，则229R =，所以ABC ∆的外接圆方程为22(3)(2)29x y ++-=，即2264160x y x y ++--=.故选：A【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，圆的方程，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.7．已知平面内两个定点A ，B 及动点P ，若PBPA λ=（0λ>且1λ≠），则点P 的轨迹是圆.后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆.已知()0,0O，0,2Q ⎛ ⎝⎭，直线1:230l kx y k -++=，直线2:320l x ky k +++=，若P 为1l ，2l 的交点，则32PO PQ +的最小值为（）A ．B．6-C．9-D．3【答案】A【分析】由直线方程可得12l l ⊥，则点P 的轨迹是以CD 为直径的圆，除去D 点，得到P 的轨迹方程为()()22293x y y ++=≠-，即()22453x y x y ++=≠-，可得)332PQ y =+≠-，取5,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则32PQ PA =，结合AQ =()3222PO PQ PA PQ AQ +=+≥，进而求解.【详解】由已知1:230l kx y k -++=过定点()2,3C -，2:320l x ky k +++=过定点()2,3D --，因为1l k k =，21l k k=-，所以121l l k k ⋅=-，即12l l ⊥，所以点P 的轨迹是以CD 为直径的圆，除去D 点，故圆心为()2,0-，半径为3，则P 的轨迹方程为()()22293x y y ++=≠-，即()22453x y x y ++=≠-，易知O 、Q 在该圆内，又32PO =即)332PO y ==≠-，取5,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则32PO PA =，又2AQ =，所以()3322222PO PQ PO PQ PA PQ AQ ⎛⎫+=+=+≥= ⎪⎝⎭所以32PO PQ +的最小值为故选：A.8．已知点P 为直线l ：20x y +-=上的动点，过点P 作圆C ：2220x x y ++=的切线PA ，PB ，切点为,A B ，当PC AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（）A ．3310x y ++=B ．3310x y +-=C ．2210x y ++=D ．2210x y +-=【答案】A【分析】先利用圆切线的性质推得,,,A P B C 四点共圆，AB CP ⊥，从而将PC AB ⋅转化为2PA ，进而确定PC l ⊥时PC AB ⋅取得最小值，再求得以PC 为直径的圆的方程，由此利用两圆相交弦方程的求法即可得解.【详解】因为圆C ：2220x x y ++=可化为()2211x y ++=，所以圆心()1,0C -，半径为1r =，因为PA ，PB 是圆C 的两条切线，则,PA AC PB BC ⊥⊥，由圆的知识可知，,,,A P B C 四点共圆，且AB CP ⊥，PA PB =，所以14422PAC PC AB S PA AC PA ⋅==⨯⨯⨯= ，又PA =所以当PC 最小，即PC l ⊥时，PC AB ⋅取得最小值，此时PC 的方程为1y x =+，联立120y x x y =+⎧⎨+-=⎩，解得13,22x y ==，即13,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故以PC 为直径的圆的方程为13(1)022x x y y ⎛⎫⎛⎫-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即，221031222x x y y +-+=-，又圆22:20C x x y ++=，两圆的方程相减即为直线AB 的方程：3310x y ++=.故选：A.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将PC AB ⋅转化为2PA ，从而确定PC AB ⋅最小时P 的坐标，从而利用两圆相减可得相交弦方程的技巧得解.9．（多选）已知O 为坐标原点，()3,1A ，P 为x 轴上一动点，Q 为直线l ：y x =上一动点，则（）A ．APQ △周长的最小值为B ．AP AQ +的最小值为1C ．AP PQ +的最小值为D OP +的最小值为4【答案】BCD【分析】设A 关于直线l ：y x =的对称点为()11,3A ，A 关于x 轴的对称点为()23,1A -，对于A ：根据对称性可得1212PQ QA PA PQ QA PA A A ++=++≥，进而可得结果；对于B ：根据点到直线的距离分析判断；对于C ：因为2AP PQ A P PQ +=+，结合点到直线的距离分析判断；对于D ：根据题意分析可得)2OP A P CP+=+，结合点到直线的距离分析判断.【详解】设()3,1A关于直线l：y x=的对称点为()11,3A，()3,1A关于x轴的对称点为()23,1A-，可知12,QA QA PA PA==，对于选项A：可得APQ△周长1212PQ QA PA PQ QA PA A A++=++≥=当且仅当12,,,A P Q A四点共线时，等号成立，所以APQ△周长的最小值为A错误；对于选项B：设()3,1A到x轴，直线l：0x y-=的距离分别为12,d d，则121,d d==，可得121AP AQ d d+≥+=，所以AP AQ+的最小值为1B正确；对于选项C：因为2AP PQ A P PQ+=+，设()23,1A-到直线l：0x y-=的距离为3d=可得23A P PQ d +≥=所以AP PQ +的最小值为C 正确；对于选项D ：作PC l ⊥，垂足为C ，因为直线l 的斜率1k =，则45COP ∠=︒，可得CP =，则23AP CP A P CP d +=+≥=，)2234OP A P OP A P CP d ⎫++=⎪⎪⎭，OP +的最小值为4，故D 正确；故选：BCD.二、填空题10．设R m ∈，过定点A 的动直线10x my ++=和过定点B 的动直线230mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB ⋅的最大值．【答案】9【分析】根据直线方程求出定点，然后根据直线垂直，结合基本不等式求解即可；【详解】由题意，动直线10x my ++=过定点(1,0)A -，直线230mx y m --+=可化为(2)30x m y -+-=，令2030x y -=⎧⎨-=⎩，可得()2,3B ，又1(1)0m m ⨯+⨯-=，所以两动直线互相垂直，且交点为P ，所以22222||||||(12)(03)18PA PB AB +==--+-=，因为2218||2PA PB PA PB =+≥⋅，所以9PA PB ⋅≤，当且仅当||||3PA PB ==时取等号．【点睛】根据直线方程求定点，判断直线垂直，将问题转化为基本不等式是本题的难点和突破点.11．若恰有三组不全为0的实数对(a ,)b满足关系式|1||431|a b a b t ++=-+=t 的所有可能的值为．【答案】52或75t ==，然后对t 进行分类讨论即可求解.【详解】由已知得0t >t ==，看成有且仅有三条直线满足(1,1)A 和(4,3)B -到直线:10l ax by ++=(不过原点)的距离t 相等，又5AB ==，（1）当||522AB t ==，此时易得符合题意的直线l 为线段AB 的垂直平分线68230x y --=以及与直线AB 平行的两条直线86110x y ++=和86390x y +-=；（2）当||522AB t <=时，有4条直线l 会使得点(1,1)A 和(4,3)B -到它们的距离相等，注意到l 不过原点，所以当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去．设点A 到l 的距离为d ，①作为增根被舍去的直线l ，过原点和A ，B 的中点5(,1)2M -，其方程为250x y +=，此时52t d ==，符合；②作为增根被舍去的直线l ，过原点且与AB 平行，其方程为430x y +=，此时7552t d ==<，符合；综上，满足题意的实数t 为52或75故答案为：52或75t ==，将问题转化为有且仅有三条直线满足(1,1)A 和(4,3)B -到直线:10l ax by ++=(不过原点)的距离t 相等，然后分类讨论即得.12．已知P ､Q 分别在直线1:10l x y -+=与直线2:10l x y --=上，且1PQ l ⊥，点()4,4A -，()4,0B ，则AP PQ QB ++的最小值为.【分析】利用线段的等量关系进行转化，找到AP QB +最小值即为所求.【详解】由直线1l 与2l PQ =()4,0B 作直线l 垂直于1:10l x y -+=，如图，则直线l 的方程为：4y x =-+，将()4,0B 沿着直线l B '点，有()3,1B '，连接AB '交直线1l 于点P ，过P 作2⊥PQ l 于Q ，连接BQ ，有//,||||BB PQ BB PQ ''=，即四边形BB PQ '为平行四边形，则||||PB BQ '=，即有||AP QB AP PB AB ''+=+=，显然AB '是直线1l 上的点与点,A B '距离和的最小值，因此AP QB +的最小值，即AP PB '+的最小值AB '，而AB '==，所以AP PQ QB ++的最小值为AB PQ '+【点睛】思路点睛：（1）合理的利用假设可以探究取值的范围，严谨的思维是验证的必要过程.（2）转化与划归思想是解决距离最值问题中一种有效的途径.（3）数形结合使得问题更加具体和形象，从而使得方法清晰与明朗.13．在平面直角坐标互中，给定()()1,2,3,4M N 两点，点P 在x 轴的正半轴上移动，当MPN ∠最大值时，点P 的横坐标为【答案】3【分析】根据条件结合圆的性质，转化为求圆的半径最小，利用数形结合，即可求解.【详解】过点,,M N P 三点的圆的圆心在线段MN 的中垂线5y x =-上，其中MPN ∠为弦MN 所对的圆周角，所以当圆的半径最小时，MPN ∠最大，设圆心坐标为(,5)E a a -，又由点P 在x 轴上移动，当圆和x 轴相切时，MPN ∠取得最大值，设切点为(,0)P a ，圆的半径为5a -，所以圆的方程为222()(5)(5)x a y a a -++-=-，代入点(1,2)M 代入圆的方程，可得222(1)(25)(5)a a a -++-=-，整理得2250a a +-=，解得3a =或5a =-（舍去），所以点P 的横坐标的为3.故答案为：3.14．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()()221:2C x a y a -+-+=，点(0,2)A ，若圆C 上的点M 均满足2210MA MO +>，则实数a 的取值范围是．【答案】a<0或3a >【分析】将条件2210MA MO +>坐标化，先转化为22(1)4x y +->恒成立，即圆C 上所有动点到定点(0,1)B 距离的最小值大于2，再转化为(0,1)B 与圆心C 距离的不等关系求解可得.【详解】设(,)M x y ，由点(0,2)A ，2210MA MO +> 222222(2)2(22)10x y x y x y y ∴+-++=+-+>即点M 满足22(1)4x y +->2，设点(0,1)B ，即2MB >恒成立则min 2MB >，圆上所有点到定点(0,1)B 最小值大于2，又圆(,2)C a a -，半径为1，圆上所有点到定点(0,1)B 最小值即为：1BC -.12BC ∴->.即3BC =，化简得230a a ->，解得a<0或3a >.故答案为：a<0或3a >.15．已知P 为直线60x y ++=上一动点，过点P 作圆22:66140C x y x y +--+=的切线，切点分别为A ，B ，则当四边形PACB 面积最小时，直线AB 的方程为．【答案】6=0x y +【分析】求得四边形PACB 面积最小时P 点的坐标，再根据圆与圆的位置关系求得直线AB 的方程.【详解】圆22:66140C x y x y +--+=，即()()22233=2x y -+-，所以圆心为()3,3C ，半径2r =，1=2=22PACB S PA r PA ⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭所以当CP 最小，也即CP 垂直60x y ++=时，四边形PACB 面积最小，直线60x y ++=的斜率为1-，则此时直线CP 的斜率为1，则直线CP 的方程为y x =，由60y xx y =⎧⎪⎨++=⎪⎩，解得3x y ==-即(3P --，对应PC ，=PA PB以P 为圆心，半径为((2233=12x y -++-+，即()()226622x y x y ++++-，由()()2222661406622x y x yx y x y ⎧+--+=⎪⎨++++-⎪⎩，两式相减并化简得26=0x y ++-，也即直线AB 的方程为26=0x y ++-.故答案为：26=0x y ++-【点睛】研究直线和圆的位置关系问题，主要思路是数形结合的数学思想方法，直线和圆有关的相切问题，连接圆心和切点的直线，与切线相互垂直.与四边形面积的最值有关问题，可先求得面积的表达式，再根据表达式来求最值.16．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y －2－a ＝0(a ∈R )．(1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为；(2)若a >－1，直线l 与x 、y 轴分别交于M 、N 两点，O 为坐标原点，则△OMN 的面积取最小值时，直线l 对应的方程为.【答案】x －y ＝0或x ＋y －2＝0x ＋y －2＝0【详解】(1)①当直线l 经过坐标原点时，可得a ＋2＝0，解得a ＝－2．所以直线l 的方程为－x ＋y ＝0，即x －y ＝0；②当直线l 不经过坐标原点，即a ≠－2且a ≠－1时，由条件得221a a a +=++，解得a ＝0，所以直线l 的方程为x ＋y －2＝0．综上可得直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0．(2)在(a ＋1)x ＋y －2－a ＝0（a >－1）中，令0x =，得2y a =+；令0y =，得21a x a +=+．所以2(,0),(0,2)1a M N a a +++．由于1a >-，得210a a +>+>．所以22121(2)1(1)2(1)1(2)212121OMNa a a a S a a a a ∆++++++=⋅⋅+=⋅=⋅+++111[(1)2][22]2212a a =+++≥=+．当且仅当111a a +=+，即a ＝0时等号成立．此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0．答案：(1)x －y ＝0或x ＋y －2＝0(2)x ＋y －2＝0【点睛】用基本不等式求最值时，首先要判断是否满足了使用基本不等式的条件，若满足则可直接利用基本不等式求出最值；若不满足，则需要对代数式进行适当的变形，此时要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等变形的技巧，通过变形使得代数式满足基本不等式中“正”、“定”、“等”的条件．三、解答题17．现有一组互不相同且从小到大排列的数据：012345,,,,,a a a a a a ，其中00a =．为提取反映数据间差异程度的某种指标，今对其进行如下加工：记()015011,,5n n n n T a a a x y a a a T=+++==+++ ，作函数()y f x =，使其图像为逐点依次连接点(),(0,1,2,,5)n n n P x y n = 的折线．(1)求(0)f 和(1)f 的值；(2)设1n n P P -的斜率为(1,2,3,4,5)n k n =，判断12345,,,,k k k k k 的大小关系；(3)证明：当(0,1)x ∈时，()f x x <；(4)求由函数y x =与()y f x =的图像所围成图形的面积．（用12345,,,,a a a a a 表示）【答案】(1)(0)0f =，(1)1f =(2)12345k k k k k <<<<(3)见解析(4)124512345225()a a a a a a a a a --++++++【分析】（1）运用代入法进行求解即可；（2）根据斜率公式，结合已知进行判断即可；（3）要证明()f x x <，(0,1)x ∈，只需要证明(),(1,2,3,4)n n f x x n <=，根据已知定义，结合放缩法进行证明即可.（4）设1S 为[]0,1上折线()f x 与x 轴及直线1x =所围成图形的面积，求出1S ，再由112S S =-求解即可.【详解】（1）0015(0)0a f a a a ==+++ ，015015(1)1a a a f a a a +++==+++ ；（2）[]01011111()()5155n n n n n n n n a a a a a a y y T k a n n x x T ---+++-+++-===--- (1,2,,5)n = ，因为12345a a a a a <<<<，所以12345k k k k k <<<<；（3）由于()f x 的图像是连接各点(),(0,1,2,,5)n n n P x y n = 的折线要证明()f x x <，(0,1)x ∈，只需要证明(),(1,2,3,4)n n f x x n <=事实上，当1(,)n n x x x -∈时，1111()()()()()n n n n n n f x f x f x x x f x x x -----=-+-11111111()()n n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x f x f x x x xx x x x x x x x ------------=+<+=----下面证明(),(1,2,3,4)n n f x x n <=对任何n (1,2,3,4)n =，15()n a a ++ 1[(5)]()n n n a a =+-++ 11()(5)()n n n a a n a a =+++-++ 1()(5)n n n a a n na ≤+++- []1()(5)n n n a a n a =+++-< 115()n n n a a a a nT++++++= 所以1()5n n n a a nf x x T ++=<= ，综上，(),(1,2,3,4)n n f x x n <=（4）设1S 为[]0,1上折线()f x 与x 轴及直线1x =所围成图形的面积则1011012212332111()()()()()()222S y y x x y y x x y y x x =+-++-++-3443455411()()()()22y y x x y y x x ++-++-123451(2222)10y y y y y =++++[]112123123411()()()510a a a a a a a a a a T =++++++++++123411(432)105a a a a T=++++直线y x =与()y f x =的图像所围成图形的面积为1245112345221.25()a a a a S S a a a a a --++=-=++++【点睛】关键点睛：在证明()f x x <，(0,1)x ∈时，关键在于将其转化为证明(),(1,2,3,4)n n f x x n <=，结合题设定义进行证明.18．已知曲线():,0T F x y =，对坐标平面上任意一点(),P x y ,定义[](),=F P F x y ,若两点P ,Q ，满足[][]0F P F Q ⋅>，称点P ,Q 在曲线T 同侧；[][]0F P F Q ⋅<，称点P ,Q 在曲线T 两侧.(1)直线l 过原点，线段AB 上所有点都在直线l 同侧，其中()1,1A -，()2,3B ,求直线l 的倾斜角的取值范围；(2)已知曲线()(,3450F x y x y =+-=，O 为坐标原点，求点集[][]{}0S P F P F O =⋅>的面积；(3)记到点()0,1与到x 轴距离和为5的点的轨迹为曲线C ，曲线()22:,0=+--=T F x y x y y a ，若曲线C 上总存在两点M ,N 在曲线T 两侧,求曲线C 的方程与实数a 的取值范围.【答案】(1)33[0,arctan (,)24ππ ；(2)83S π=（3）()()222480:24120y x x C y x x ⎧=-≥⎪⎨=+<⎪⎩，52⎡⎢⎣⎦.【分析】（1）由题意设出直线方程为y kx =，通过新定义，得到[][](1)(23)0⋅=--->F A F B k k ，求出斜率范围，进而可求出倾斜角范围；（2）先由题意得到点集S 为圆224x y +=在直线3450x y +-=下方内部，设直线与圆的交点为A B 、，求出23AOB π∠=，进而可求出结果；（3）先设曲线C 上的动点为(,)x y5=y ，化简整理，即可得出轨迹方程；再由新定义，将[][]0⋅<F M F N 化为(6)(24)0--<a a ，进而可得出结果.【详解】（1）由题意，显然直线l 斜率存在，设方程为y kx =，则(),0=-=F x y kx y ，因为()1,1A -，()2,3B ，线段AB 上所有点都在直线l 同侧，则[][](1)(23)0⋅=--->F A F B k k ，解得312-<<k ；故倾斜角的范围是33[0,arctan (,)24ππ ；（2）因为[]0<F O ，所以[](345)0=+-F P x y ，故2234504x y x y +-<⎧⎨+<⎩，点集S 为圆224x y +=在直线3450x y +-=下方内部，设直线与圆的交点为A B 、，则O 到AB 的距离为1，故23AOB π∠=，因此，所求面积为：2214182223223ππ=⋅⋅+⋅=S（3）设曲线C 上的动点为(,)x y 5=y ，化简得曲线C 的方程为：228(3),0312(2),20x y y x y y ⎧=-≤≤⎨=+-≤≤⎩，其轨迹为两段抛物线弧；当03≤≤y 时，[]2(,)9246,24=-+-∈--F x y y y a a a ；当20-≤≤y 时，[]2(,)11246,24=++-∈--F x y y y a a a ，故若有[][]0⋅<F M F N ，则(6)(24)0--<a a ，解得624<<a .【点睛】本题主要考查新定义下直线与圆的综合，熟记直线与圆位置关系，以及直线斜率与倾斜角的概念等即可，属于常考题型.19．如图，已知A ，(0,0)B，(12,0)C ，直线:(20l k x y k --=．(1)证明直线l 经过某一定点，并求此定点坐标；(2)若直线l 等分ABC 的面积，求直线l 的一般式方程；(3)若P ，李老师站在点P 用激光笔照出一束光线，依次由BC （反射点为K ）、AC （反射点为I ）反射后，光斑落在P 点，求入射光线PK 的直线方程．【答案】(1)证明见解析，定点坐标为(2,；170y +-=；(3)2100x +-=．【分析】（1）整理得到(2))0k x y -+-=，从而得到方程组，求出定点坐标；（2）求出定点P 在直线AB 上，且||8AM =，由12AMD ABC S S = 得到3||||94AD AC ==，设出00(,)D x y ，由向量比例关系得到D（3）作出辅助线，确定P 关于BC 和AC 的对称点1,P 2P ，得到123P P k =，由对称性得3PK k =-，写成直线方程.【详解】（1）直线:(20l k x y k --=可化为(2))0k x y -+-=，令200xy -=⎧⎪-=，解得2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩l 经过的定点坐标为(2,；（2）因为A ，(0,0)B ，(12,0)C ，所以||||||12AB AC BC ===，由题意得直线AB 方程为y =，故直线l 经过的定点M 在直线AB 上，所以||8AM =，设直线l 与AC 交于点D ，所以12AMD ABC S S =，即111||||sin ||||sin 222AM AD A AB AC A =⨯⨯，所以3||||94AD AC ==，设00(,)D x y ，所以34AD AC =，即003(6,(6,4x y --=-，所以0212x =，0y =21(2D ，将D 点坐标代入直线l的方程，解得k =所以直线l170y +-=；（3）设P 关于BC的对称点1(2,P -，关于AC 的对称点2(,)P m n ，直线AC12612x -=-，即)12y x =-，直线AC的方程为12)y x =-，所以(1221222n m n m ⎧-⋅=-⎪-⎪⎨++⎫⎪=-⎪⎪⎭⎩，解得14,m n ==2P ，由题意得12,,,P K I P四点共线，123P P k =，由对称性得3PK k =-，所以入射光线PK的直线方程为2)y x ---，即2100x -=．20．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 过坐标原点O 且圆心在曲线y x =上．(1)设直线l ：43y x =+与圆M 交于C ，D 两点，且OC OD =，求圆M 的方程；(2)设直线y =与（1）中所求圆M 交于E ，F 两点，点P 为直线5x =上的动点，直线PE ，PF 与圆M 的另一个交点分别为G ，H ，且G ，H 在直线EF 两侧，求证：直线GH 过定点，并求出定点坐标．【答案】(1)22(1)(4x y -+=(2)证明见解析【分析】（1）由||||OC OD =，知OM l ⊥，运用两直线垂直的条件：斜率之积为1-，解方程可得t ，讨论t 的取值，求得圆心到直线的距离，即可得到所求圆的方程；（2）设0(5,)P y ，11(,)G x y ，22(,)H x y ，求得E ，F 的坐标，PE 和PF 的方程，联立圆的方程，运用韦达定理，3PE PF k k =．设PE k m =，则3PF k m =．设直线GH 的方程为y kx b =+，代入圆的方程，运用韦达定理，可得k ，b 的关系，即可得到所求定点．（1）圆M 过坐标原点O 且圆心在曲线y x =上，设M t ⎛ ⎝⎭由||||OC OD =，知OM l ⊥.所以2OM k t =1t =±.当1t =时，圆心M 到直线:4l y =+的距离1)d =小于半径，符合题意；当1t =-时，圆心(1,M -到直线:4l y =+的距离1)d =大于半径，不符合题意.所以，所求圆M 的方程为22(1)(4x y -+-=.（2）设0(5,)P y ，11(,)G x y ，22(,)H x y ，又知(E -，F ，所以06PE y k =，02PF y k =．显然3PE PF k k =，设PE k m =，则3PF k m =．从而直线PE 方程为：(1)y m x +，与圆M 的方程22(1)(4x y -+=联立，消去y ，可得：2222(1)(22)30m x m x m ++-+-=，所以212311m x m --⨯=+，即21231m x m -=+；同理直线PF 方程为：3(3)y m x -，与圆M 的方程22(1)(4x y -+=联立，消去y ，可得：2222(19)(542)8130m x m x m +-++-=，所以222813319m x m -⨯=+，即22227119m x m -=+．所以22212224232713221199101m m m x x m m m m --+=+=+++++；222122242327111231199101m m m x x m m m m --=⋅=-+++⋅++．消去参数m 整理得121227()200x x x x -++=．①设直线GH 的方程为y kx b =+，代入22(1)(4x y -+=，整理得222(1)(22)0k x kb x b ++--+-=．所以122221kb x x k --+=-+，21221b x x k -⋅=+．代入①式，并整理得22(71030b k b k +-+-+=，即(250b k b k ++-=，解得2b k =或5b k -．当2b k =时，直线GH 的方程为(2)y k x =-；当5b k =时，直线GH 的方程为(5)y k x =-，过定点第二种情况不合题意（因为G ，H 在直径EF 的异侧），舍去．所以，直线GH 过定点．21．如图所示，已知圆222:()0O x y r r +=>上点(1,)a 处切线的斜率为圆O 与y 轴的交点分别为A B 、，与x 轴正半轴的交点为D ，P 为圆O 的第一象限内的任意一点，直线BD 与AP 相交于点M ，直线DP 与y 轴相交于点N ．（1）求圆O 的方程；（2）试问：直线MN 是否经过定点？若经过定点，求出此定点坐标；若不经过，请说明理由．【答案】（1）224x y +=；（2）(2,2).【分析】(1)根据切线斜率得切点与圆心连线斜率，解得a,再代入圆方程得r,即得结果，(2)先设直线AP 方程，分别解得P 坐标，M 坐标,以及N 坐标，再求出直线MN 方程，最后根据方程求定点.【详解】（1）由题意得2211413a a r ⋅=-∴==+=∴22:4O x y += （2）设:2(10)AP y kx k =+-<<()222221404y kx k x kx x y =+⎧⇒++=⎨+=⎩222422,11k k P k k ⎛⎫-+⇒- ⎪++⎝⎭()()0,2,2,0B D - ∴直线:2BD y x =-2422,211y x k M y kx k k =-⎧---⎛⎫⇒⎨ ⎪=+--⎝⎭⎩由,,D P N 三点共线得：2222222002222140221121N N k y k k k y k k k k k -+---+-++=⇒==--+++-+∴21MN kk k =+直线MN 为：22211k k y x k k -+=+++即：()()2220y x k y -++-=由2022202y x y x y -==⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩∴直线MN 过定点()2,2.【点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.22．已知圆C 经过()0,1A ，()()4,0B a a >两点．(1)如果AB 是圆C 的直径，证明：无论a 取何正实数，圆C 恒经过除A 外的另一个定点，求出这个定点坐标．(2)已知点A 关于直线3y x =-的对称点A '也在圆C 上，且过点B 的直线l 与两坐标轴分别交于不同两点M 和N ，当圆C 的面积最小时，试求BM BN ⋅的最小值.【答案】(1)证明见解析，定点为()4,1(2)min 8BM BN ⋅=【分析】（1）设点(),P x y 是圆C 上任意一点，由AB 是圆C 的直径，得0AP BP ⋅= ，从而可求出圆C 的方程，即可得出结论；（2）根据题意可得点C 在直线3y x =-上，要使圆C 的面积最小，则圆C 是以AA '为直径的圆，从而可求出圆C 的方程，进而可求得B 点的坐标，设出直线l 的方程，分别求出,M N 的坐标，再根据两点间距离公式结合基本不等式即可得解．【详解】（1）设点(),P x y 是圆C 上任意一点，因为AB 是圆C 的直径，所以0AP BP ⋅= ，即()()()()(),14,410x y x y a x x y y a -⋅--=-+--=，所以圆C 的方程为：()()()410x x y y a -+--=，则4x =，1y =时等式恒成立，故定点为()4,1，所以无论a 取何正实数，圆C 恒经过除A 外的另一个定点，定点坐标为()4,1；（2）因点A 关于直线3y x =-的对称点A '也在圆C 上，所以点C 在直线3y x =-上，又圆C 的面积最小，所以圆C 是以AA '直径的圆，设过点A 与直线3y x =-垂直的直线方程为1y x =-+，由方程组31y x y x =-⎧⎨=-+⎩得()2,1C -，则AC =所以圆C 的方程为()()22218x y -++=，当4x =时，1a =或3a =-，又0a >，所以1a =，即()4,1B ，由题意知直线l 斜率存在且不为零，设直线l 的方程为()14y k x -=-，当0x =时14y k =-，当0y =，时14x k =-，所以||||448BM BN ⋅=，（当且仅当221k k =，即1k =±时取等号）则当1k =±时，min 8BM BN ⋅=。

专题14+直线与圆(押题专练)-2019年高考理数二轮复习精品资料-含解析

1．已知直线l ：y ＝k (x ＋3)和圆C ：x 2＋(y －1)2＝1，若直线l 与圆C 相切，则k ＝( )A ．0 B. 3 C.33或0 D.3或0 解析：选D 因为直线l 与圆C 相切，所以圆心C (0,1)到直线l 的距离d ＝|－1＋3k |1＋k2＝1，解得k ＝0或k ＝3，故选D.2．圆：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2距离的最大值是( )A ．1＋ 2B ．2C ．1＋22D ．2＋2 2解析：选A 将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，即圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2距离的最大值为d ＋1＝2＋1. 3．直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“|AB |＝2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 依题意，注意到|AB |＝2＝|OA |2＋|OB |2等价于圆心O 到直线l 的距离等于22，即有1k 2＋1＝22，k ＝±1.因此，“k ＝1”是“|AB |＝2”的充分不必要条件． 4．若三条直线l 1：4x ＋y ＝3，l 2：mx ＋y ＝0，l 3：x －my ＝2不能围成三角形，则实数m 的取值最多有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．6个5．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0解析：选C 由(a －1)x －y ＋a ＋1＝0得(x ＋1)a －(x ＋y －1)＝0，由x ＋1＝0且x ＋y －1＝0，解得x ＝－1，y ＝2，即该直线恒过点(－1,2)，∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.6．与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝2B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝2D ．(x －2)2＋(y －2)2＝27．已知圆C 关于x 轴对称，经过点(0,1)，且被y 轴分成两段弧，弧长之比为2∶1，则圆的方程为( )A ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43 B ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝13 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±332＋y 2＝43 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±332＋y 2＝13 解析：选C 设圆的方程为(x ±a )2＋y 2＝r 2(a >0)，圆C 与y 轴交于A (0,1)，B (0，－1)，由弧长之比为2∶1，易知∠OCA ＝12∠ACB ＝12×120°＝60°，则tan 60°＝|OA ||OC |＝1|OC |＝3，所以a ＝|OC |＝33，即圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±33，0，r 2＝|AC |2＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫±332＝43.所以圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±332＋y 2＝43，故选C.8．设圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的圆心为C ，直线l 过(0,3)且与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －12＝0或4x －3y ＋9＝0B ．3x ＋4y －12＝0或x ＝0C ．4x －3y ＋9＝0或x ＝0D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0解析：选B 由题可知，圆心C(1,1)，半径r＝2.当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝0，计算出弦长为23，符合题意；当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx＋3，由弦长为23可知，圆心到该直线的距离为1，从而有|k＋2|k2＋1＝1，解得k＝－34，所以直线l的方程为y＝－34x＋3，即3x＋4y－12＝0.综上，直线l的方程为x＝0或3x＋4y－12＝0，故选B.9．关于曲线C：x2＋y4＝1，给出下列四个命题：①曲线C有两条对称轴，一个对称中心；②曲线C上的点到原点距离的最小值为1；③曲线C的长度l满足l>42；④曲线C所围成图形的面积S满足π<S<4.上述命题中，真命题的个数是( )A．4 B．3 C．2 D．1解析：选A ①将(x，－y)，(－x，y)，(－x，－y)代入，方程不变，则可以确定曲线关于x轴，y轴对称，关于原点对称，故①是真命题．②由x2＋y4＝1得0≤x2≤1,0≤y4≤1，故x2＋y2≥x2＋y2·y2＝x2＋y4＝1，即曲线C上的点到原点的距离为x2＋y2≥1，故②是真命题．③由②知，x2＋y4＝1的图象位于单位圆x2＋y2＝1和边长为2的正方形之间，如图所示，其每一段弧长均大于2，所以l>42，故③是真命题．④由③知，π×12<S<2×2，即π<S<4，故④是真命题．综上，真命题的个数为4.10．已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝( )A．2 B．4 2C．6 D．210解析：选C 由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，∴圆心C(2,1)在直线x＋ay －1＝0上，∴2＋a－1＝0，解得a＝－1，∴A(－4，－1)，|AC|2＝(－4－2)2＋(－1－1)2＝40.又r＝2，∴|AB|2＝40－4＝36，即|AB|＝6.11．两个圆C 1：x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0(a ∈R)与C 2：x 2＋y 2－2by －1＋b 2＝0(b ∈R)恰有三条公切线，则a ＋b 的最小值为( ) A ．3 2 B ．－3 2C ．6D ．－612．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则半径r 的取值范围是( )A ．(4,6)B ．[4,6]C ．(4,5)D ．(4,5] 解析：选A 设直线4x －3y ＋m ＝0与直线4x －3y －2＝0之间的距离为1，则有|m ＋2|5＝1，m ＝3或m ＝－7.圆心(3，－5)到直线4x －3y ＋3＝0的距离等于6，圆心(3，－5)到直线4x －3y －7＝0的距离等于4，因此所求圆半径的取值范围是(4,6)，故选A.13．若直线x －y ＋m ＝0被圆(x －1)2＋y 2＝5截得的弦长为23，则m 的值为( )A ．1B ．－3C ．1或－3D ．2解析：因为圆(x －1)2＋y 2＝5的圆心C (1，0)，半径r ＝ 5.又直线x －y ＋m ＝0被圆截得的弦长为2 3. 所以圆心C 到直线的距离d ＝r 2－（3）2＝2，因此|1－0＋m |12＋（－1）2＝2，所以m ＝1或m ＝－3.答案：C14．已知过点(－2，0)的直线与圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0相切于点P (P 在第一象限内)，则过点P 且与直线3x －y ＝0垂直的直线l 的方程为( )A ．x ＋3y －2＝0B ．x ＋3y －4＝0 C.3x ＋y －2＝0 D ．x ＋3y －6＝0解析：圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0的标准方程(x －2)2＋y 2＝4，所以圆心C (2，0)，半径r ＝2.又过点(－2，0)的直线与圆C 相切于第一象限，所以易知倾斜角θ＝30°，切点P (1，3)，设直线l 的方程为x ＋3y ＋c ＝0，把点P (1，3)代入，所以1＋3＋c ＝0，所以c ＝－4.所以直线l 的方程为x ＋3y －4＝0.答案：B15．圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C. 3 D ．2解析：选A 因为圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心坐标为(1，4)，所以圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43. 16．已知圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝16的一条直径通过直线x －2y ＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为( )A ．3x ＋y －5＝0B ．x －2y ＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．2x ＋y －3＝0解析：选D 直线x －2y ＋3＝0的斜率为12，已知圆的圆心坐标为(2，－1)，该直径所在直线的斜率为－2，所以该直径所在的直线方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y －3＝0，故选D.17．圆心在曲线y ＝2x(x >0)上，与直线2x ＋y ＋1＝0相切，且面积最小的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋(y －1)2＝25B ．(x －2)2＋(y －1)2＝5C ．(x －1)2＋(y －2)2＝25D ．(x －1)2＋(y －2)2＝5 解析：选D 设圆心坐标为C ⎝⎛⎭⎫a ，2a (a >0)，则半径r ＝2a ＋2a ＋15≥22a ×2a ＋15＝5，当且仅当2a ＝2a ，即a ＝1时取等．所以当a ＝1时圆的半径最小，此时r ＝5，C (1，2)，所以面积最小的圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5.18．已知圆O ：x 2＋y 2＝4上到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点至少有2个，则a 的取值范围为( )A ．(－32，32)B ．(－∞，－32)∪(32，＋∞)C ．(－22，22)D ．[－32，3 2 ]解析：选A 由圆的方程可知圆心为O (0，0)，半径为2，因为圆上的点到直线l 的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l 的距离d <2＋1＝3，即d ＝|－a |12＋12＝|a |2<3，解得a ∈(－32，32)，故选A. 19．已知点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值是( )A ．2 6B ．4 C. 6 D ．2解析：选B 根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，设点P 到圆心的距离为d ，则求最短弦长，等价于求到圆心的距离最大的点，即为图中的P 点，其坐标为(1，3)，则d ＝1＋32＝10，此时|AB |min ＝214－10＝4，故选B.20．过原点且与直线6x －3y ＋1＝0平行的直线l 被圆x 2＋(y －3)2＝7所截得的弦长为________．解析：由题意可得l 的方程为2x －y ＝0，∵圆心(0，3)到l 的距离为d ＝1，∴所求弦长＝2R 2－d 2＝27－1＝2 6.答案：2 621．已知f (x )＝x 3＋ax －2b ，如果f (x )的图象在切点P (1，－2) 处的切线与圆(x －2)2＋(y ＋4)2＝5相切，那么3a ＋2b ＝________．22．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：（x －a ）2＋（y －b ）2可以转化为平面上点M (x ，y )与点N (a ，b )的距离．结合上述观点，可得f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10的最小值为________．解析：∵f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10＝（x ＋2）2＋（0－4）2＋（x ＋1）2＋（0－3）2，∴f (x )的几何意义为点M (x ，0)到两定点A (－2，4)与B (－1，3)的距离之和，设点A (－2，4)关于x 轴的对称点为A ′，则A ′为(－2，－4)．要求f (x )的最小值，可转化为|MA |＋|MB |的最小值，利用对称思想可知|MA |＋|MB |≥|A ′B |＝（－1＋2）2＋（3＋4）2＝52，即f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10的最小值为5 2.答案：5 223．已知圆C 的方程是x 2＋y 2－8x －2y ＋8＝0，直线y ＝a (x －3)被圆C 截得的弦最短时，直线方程为________．解析：圆C 的标准方程为(x －4)2＋(y －1)2＝9，所以圆C 的圆心C (4，1)，半径r ＝3.又直线y ＝a (x －3)过定点P (3，0)，则当直线y ＝a (x －3)与直线CP 垂直时，被圆C 截得的弦长最短．因此a ·k CP ＝a ·1－04－3＝－1，所以a ＝－1. 故所求直线的方程为y ＝－(x －3)，即x ＋y －3＝0.答案：x ＋y －3＝024．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，点A (3，5)．(1)求过点A 的圆的切线方程；(2)O 点是坐标原点，连接OA ，OC ，求△AOC 的面积S .解：(1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，配方，得(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆心C (2，3)．当斜率存在时，设过点A 的圆的切线方程为y －5＝k (x －3)，即kx －y ＋5－3k ＝0.由d ＝|2k －3＋5－3k |k 2＋1＝1，得k ＝34. 又斜率不存在时直线x ＝3也与圆相切，故所求切线方程为x ＝3或3x －4y ＋11＝0.(2)直线OA 的方程为y ＝53x ，即5x －3y ＝0，点C 到直线OA 的距离为d ＝|5×2－3×3|52＋32＝134，又|OA |＝32＋52＝34，所以S ＝12|OA |d ＝12. 25．在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：x 2＋y 2＋4x －2y ＋m ＝0与直线x －3y ＋3－2＝0相切．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 上有两点M ，N 关于直线x ＋2y ＝0对称，且|MN |＝23，求直线MN 的方程．解：(1)将圆C ：x 2＋y 2＋4x －2y ＋m ＝0化为(x ＋2)2＋(y －1)2＝5－m ，因为圆C ：x 2＋y 2＋4x －2y ＋m ＝0与直线x －3y ＋3－2＝0相切，所以圆心(－2，1)到直线x －3y ＋3－2＝0的距离d ＝41＋3＝2＝r ，所以圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝4.26．已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.解：(1)由题设可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1.因为直线l 与圆C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1，解得4－73<k <4＋73. 所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0. 所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2.＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k 2＋8. 由题设可得4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1.故圆心C 在直线l 上，所以|MN |＝2.27．已知点P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程； (2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0，4)，半径为4. 设M (x ，y )，则＝(x ，y －4)，＝(2－x ，2－y )．由题设知·＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1，3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为y ＝－13x ＋83. 又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离d 为4105，所以|PM |＝2|OP |2－d 2＝4105，所以△POM 的面积为S △POM ＝12|PM |d ＝165.学+科 28．已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．(1)求圆C 的方程；(2)过点M (1，0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆心C (a ，0)⎝⎛⎭⎫a >－52，则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍)．所以圆C ：x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t ，0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k （x －1），得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0. 所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1. 若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ⇒y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝0⇒k （x 1－1）x 1－t ＋k （x 2－1）x 2－t＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒2（k 2－4）k 2＋1－2k 2（t ＋1）k 2＋1＋2t ＝0⇒t ＝4，所以当点N 为(4，0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立．。

专题12 直线与圆(高考押题)-2016年高考理数二轮复习精品资料(解析版)

1．已知倾斜角为α的直线l 与直线x －2y ＋2＝0平行，则tan 2α的值为( )A.45B.43C.34D.23解析直线的斜率为12，即直线l 的斜率为k ＝tan α＝12，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝134＝43，选B. 答案 B2．已知直线l 1：ax ＋(a ＋2)y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋2＝0.若l 1⊥l 2，则实数a 的值是( )A ．0B ．2或－1C ．0或－3D ．－3答案 C3．直线2x －my ＋1－3m ＝0，当m 变动时，所有直线都通过定点( )A.⎝⎛⎭⎫－12，3 B.⎝⎛⎭⎫12，3 C.⎝⎛⎭⎫12，－3 D.⎝⎛⎭⎫－12，－3 解析 ∵(2x ＋1)－m (y ＋3)＝0恒成立，∴2x ＋1＝0，y ＋3＝0，∴x ＝－12，y ＝－3. 答案 D4．经过点P (1，4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为( )A ．x ＋2y －6＝0B ．2x ＋y －6＝0C ．x －2y ＋7＝0D ．x －2y －7＝0解析直线过P (1，4)，代入后舍去A 、D ，又在两坐标轴上的截距均为正值，故舍去C.答案 B5．原点必位于圆：x 2＋y 2－2ax －2y ＋(a －1)2＝0(a >1)的( )A ．内部B ．圆周上C ．外部D ．均有可能解析把原点坐标代入圆的方程得到(a －1)2>0(a >1)，所以点在圆外，故选C.答案 C6．已知圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝r 2与抛物线D ：y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，且|AB |＝8，则圆C 的面积为( )A ．5πB ．9πC ．16πD ．25π答案 D7．过点(－2，0)且倾斜角为π4的直线l 与圆x 2＋y 2＝5相交于M ，N 两点，则线段MN 的长为( ) A ．2 2 B ．3 C ．2 3 D ．6解析 l 的方程为x －y ＋2＝0，圆心(0，0)到直线l 的距离d ＝2，则弦长|MN |＝2r 2－d 2＝2 3. 答案 C8．已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1，0)且被x 轴分成两段弧长比为1∶2，则圆C 的方程为( )A.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝43B.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝13 C ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43 D ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝13 解析由已知圆C 圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为23π，设圆心(0，a )，半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为 x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43. 答案 C9．已知A (－2，0)，B (0，2)，M ，N 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0(k 是常数)上两个不同的点，P 是圆上的动点，如果M ，N 两点关于直线x －y －1＝0对称，则△P AB 面积的最大值是( )A ．3－ 2B ．3＋ 2C ．2＋ 3D ．2＋ 2解析因为M ，N 两点关于直线x －y －1＝0对称，故圆心⎝⎛⎭⎫－k 2，0在直线x －y －1＝0上，则－k 2－1＝0，解得k ＝－2，则圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1.又直线AB 的方程为x －y ＋2＝0，所以圆心(1，0)到直线AB 的距离为d ＝|1＋2|2＝322，所以圆上的点到直线AB 的最远距离为1＋322，故△P AB 面积的最大值为S ＝12|AB |⎝⎛⎭⎫1＋322＝12×22×⎝⎛⎭⎫1＋322＝3＋ 2. 答案 B10．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)4＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1答案 A11．两个圆C 1：x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0(a ∈R )与C 2：x 2＋y 2－2by －1＋b 2＝0(b ∈R )恰有三条公切线，则a ＋b 的最小值为( )A ．－6B ．－3C ．－3 2D ．3解析两个圆恰有三条公切线，则两圆外切，两圆的标准方程为圆C 1：(x ＋a )2＋y 2＝4，圆C 2：x 2＋(y －b )2＝1，所以|C 1C 2|＝a 2＋b 2＝2＋1＝3，即a 2＋b 2＝9.由a 2＋b 2≥（a ＋b ）22，当且仅当“a ＝b ”时等号成立，所以(a ＋b )2≤2(a 2＋b 2)，即|a ＋b |≤3 2.所以－32≤a ＋b ≤3 2.故a ＋b 的最小值为－3 2.答案 C12．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）|y －3x －2＝a ＋1，B ＝{(x ，y )|(a 2－1)x ＋(a －1)y ＝15}，求a 为何值时，A ∩B ＝∅. 解集合A 、B 分别为平面xOy 上的点集，直线l 1：(a ＋1)x －y －2a ＋1＝0(x ≠2)，13．已知数列{a n }，圆C 1：x 2＋y 2－2a n x ＋2a n ＋1y －1＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0，若圆C 1与圆C 2交于A ，B 两点且这两点平分圆C 2的周长．(1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)若a 1＝－3，则当圆C 1的半径最小时，求出圆C 1的方程．(1)证明由已知，圆C 1的圆心坐标为(a n ，－a n ＋1)，半径为r 1＝a 2n ＋a 2n ＋1＋1，圆C 2的圆心坐标为(－1，－1)，半径为r 2＝2.又圆C 1与圆C 2交于A ，B 两点且这两点平分圆C 2的周长，∴|C 1C 2|2＋r 22＝r 21.∴(a n ＋1)2＋(－a n ＋1＋1)2＋4＝a 2n ＋a 2n ＋1＋1，∴a n ＋1－a n ＝52. ∴数列{a n }是等差数列．(2)解 ∵a 1＝－3，∴a n ＝52n －112. 则r 1＝a 2n ＋a 2n ＋1＋1 ＝12（5n －11）2＋（5n －6）2＋4 ＝1250n 2－170n ＋161. ∵n ∈N *，∴当n ＝2时，r 1可取得最小值，此时，圆C 1的方程是：x 2＋y 2＋x ＋4y －1＝0.14．已知圆O ：x 2＋y 2＝4和点M (1，a )．(1)若过点M 有且只有一条直线与圆O 相切，求实数a 的值，并求出切线方程；(2)若a ＝2，过点M 的圆的两条弦AC ，BD 互相垂直，求AC ＋BD 的最大值．(2)设O 到直线AC ，BD 的距离分别为d 1，d 2(d 1，d 2≥0)，则d 21＋d 22＝OM 2＝3.又有AC ＝24－d 21，BD ＝24－d 22，所以AC ＋BD ＝24－d 21＋24－d 22.则(AC ＋BD )2＝4(4－d 21＋4－d 22＋24－d 214－d 22)＝4[5＋216－4（d 21＋d 22）＋d 21d 22]＝4(5＋24＋d 21d 22)．因为2d 1d 2≤d 21＋d 22＝3，所以d 21d 22≤94，当且仅当d 1＝d 2＝62时取等号，所以4＋d 21d 21≤52，所以(AC ＋BD )2≤4×⎝⎛⎭⎫5＋2×52＝40. 所以AC ＋BD ≤210，即AC＋BD的最大值为210.：。

2017届高考数学(文科)- 直线与圆、圆锥曲线的概念、方程与性质-专题练习-答案

)()5,10直线与圆、圆锥曲线的概念、方程与性质解析一、选择题1．解析：由两直线平行得=≠，解得a=1．故选A．2．解析：直线过圆心(1，-2)，得a=4．(1，-1)到圆心距离为1，圆半径为，所求弦长为4．选D．3．解析：y2=4x的焦点坐标为(1，0)，故选D．4．解析：因为M(0，3)关于直线x+y=0的对称点为P(-3，0)，又N(3，8)，所以|AC|+|BC|≥|PN|-1-2=-3=7．选A．5．解析：设双曲线的焦距为2c，由已知得=b，又c2=4+b2，解得c=4，则焦距为8．选D．6．解析：双曲线中，顶点与较近焦点距离为c-a=1，焦点到渐近线的距离是，即b=，所以c2-a2=3，两式联立得，a=1，c=2，所以方程为x2-=1．选A．7．解析：依题意知C2的焦点即C1的右顶点，故C2的准线为x=-a，将其代入C1的渐近线方程y=±x，即知该等边三角形的边长为2b，高为a，故a=b，又c2=a2+b2，所以离心率e===．选D．8．解析：由双曲线的定义知，|BF1|-|BF2|=2A．又因|AB|=|BF2|，所以|AF1|=2a，又由定义可得，|AF2|=4A．在三角形AF1F2中，又因|F1F2|=2c，∠F1AF2=120°，所以由余弦定理得，(2c)2=(2a)2+(4a)2-2·2a·4a·cos 120°，解得c2=7a2，所以e==．选B．9．解析：因为准线方程为x=-1，双曲线的渐近线方程为y=±x，所以|y0|=<2，所以e=<，又e>1，所以1<e<．选B．10．解析：过B作BE⊥l于E．设l与x轴的交点为D，则=．因为=5，所以===，所以||=4，又||=||+3=7，所以||=5||=35．选B．11．解析：设M(x，y)，因为|MA|2+|MO|2=10，所以有x2+(y-2)2+x2+y2=10，即x2+(y-1)2=4，由于点M还在直线l上，所以直线与圆相交或相切，即≤2解得-2-1≤a≤2-1．选D．二、填空题12．解析：由题意知，1<<2⇒-10<m<-5或5<m<10.13．解析：设抛物线的方程为y2=2px(p>0)，抛物线的准线方程为x=-，由抛物线的定义可得，2+=，解得p=1．即抛物线的方程为y2=2x．14．解析：双曲线-=1的渐近线方程为y=±x，故y=x经过点(1，2)，可得b=2a，故双曲线的离心率e====．。

2017年高考理数二轮复习精品资料专题12 直线与圆(押题专练) 含解析

1．“C＝5”是“点(2,1)到直线3x＋4y＋C＝0的距离为3”的(）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】：选B 点(2，1)到直线3x＋4y＋C＝0的距离为3等价于错误!＝3,解得C＝5或C＝－25,所以“C＝5”是“点（2,1)到直线3x ＋4y＋C＝0的距离为3”的充分不必要条件，故选B。

2．圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1,则a＝( ）A．－错误!B．－错误!C.错误!D．2【答案】A【解析】：选A 因为圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心坐标为（1，4），所以圆心到直线ax＋y－1＝0的距离d＝错误!＝1，解得a＝－错误!.3．已知圆(x－2)2＋（y＋1）2＝16的一条直径通过直线x－2y＋3＝0被圆所截弦的中点,则该直径所在的直线方程为( ) A．3x＋y－5＝0 B．x－2y＝0C．x－2y＋4＝0 D．2x＋y－3＝0【答案】D【解析】：4．圆心在曲线y＝2x（x〉0)上，与直线2x＋y＋1＝0相切，且面积最小的圆的方程为（）A．(x－2）2＋(y－1）2＝25B．（x－2)2＋(y－1)2＝5C．(x－1）2＋（y－2)2＝25D．（x－1)2＋（y－2)2＝5【答案】D【解析】：选D 设圆心坐标为C错误!(a〉0），则半径r＝错误!≥错误!＝错误!，当且仅当2a＝错误!，即a＝1时取等号．所以当a＝1时圆的半径最小，此时r＝错误!，C（1，2)，所以面积最小的圆的方程为（x－1)2＋(y－2)2＝5。

5．已知圆O：x2＋y2＝4上到直线l:x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，则a的取值范围为（)A．(－3错误!，3错误!）B．（－∞，－3错误!）∪(3错误!，＋∞)C．(－2错误!，2错误!)D．－3错误!,3错误!]【答案】A【解析】：6．已知点P的坐标（x,y)满足错误!过点P的直线l与圆C：x2＋y2＝14相交于A,B两点,则｜AB｜的最小值是( ）A．2错误!B．4 C.错误!D．2【答案】B【解析】：选B 根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，设点P到圆心的距离为d，则求最短弦长，等价于求到圆心的距离最大的点，即为图中的P点，其坐标为（1,3)，则d＝错误!＝错误!，此时｜AB|min＝2错误!＝4，故选B.7．过原点且与直线6x－错误!y＋1＝0平行的直线l被圆x2＋（y －3）2＝7所截得的弦长为________．【答案】：2错误!【解析】：由题意可得l的方程为错误!x－y＝0，∵圆心（0，错误!)到l的距离为d＝1,∴所求弦长＝2错误!＝2错误!＝2错误!.8．已知f（x)＝x3＋ax－2b,如果f(x)的图象在切点P(1,－2）处的切线与圆（x－2)2＋（y＋4）2＝5相切，那么3a＋2b＝________．【答案】:－7【解析】：9．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决,如:错误!可以转化为平面上点M（x，y）与点N (a，b）的距离．结合上述观点,可得f(x)＝错误!＋错误!的最小值为________．【答案】：52【解析】：10．已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：（x－2）2＋（y－3）2＝1交于M，N两点．(1)求k的取值范围;(2）若＝12，其中O为坐标原点，求｜MN|.【解析】：(1)由题设可知直线l的方程为y＝kx＋1。

新高考高中数学名师预测考前押题精品直线与圆的方程(选择与填空)(解析版)

精选16 直线与圆的方程（选择与填空）1．涉及直线被圆截得的弦长问题的两种求解方法：（1）利用半径长r 、弦心距d 、弦长l 的一半构成直角三角形，结合勾股定理222()2ld r +=求解；（2）若斜率为k 的直线l 与圆C 交于1122,,()()A x y B x y ，两点，则12|||AB x x =-. 2．求两圆公共弦长的两种方法：（1）联立两圆的方程求出交点坐标，再利用两点间的距离公式求解；（2）求出两圆公共弦所在直线的方程，转化为直线被圆截得的弦长问题. 3．两圆相交时公共弦所在直线的方程：设圆C 1：x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0 ①，圆C 2：x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0 ②，若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得（D 1－D 2）x +（E 1－E 2）y +F 1－F 2=0 ③．方程③表示圆C 1与圆C 2的公共弦所在直线的方程． 4．距离公式：（1）平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离|P 1P 2| （2）点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d．（3）两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(C 1≠C 2)间的距离d．一、单选题1．直线l ：10mx y m -+-=与圆C ：22(1)5x y +-=的位置关系是 A ．相交 B ．相切 C ．相离D ．不确定【答案】A【解析】直线l ：10mx y m -+-=过定点(11)，，因为221(11)5+-<，则点(11)，在圆22(1)5x y +-=的内部，所以直线l 与圆相交，故选A ．2．直线过点()0,2P ，且截圆224x y +=所得的弦长为2，则直线的斜率为A ．32± B ．C ．±D ．【答案】C【解析】设所求直线方程为2y kx =+，即20kx y -+=，∴圆心到直线的距离d =，2∴==，解得k =．故选C ．3．已知点)P和圆C ：224x y +=，则过点P 且与圆C 相切的直线方程是A 4y -=B 4y +=C ．4x -=D ．4x =【答案】B【解析】可知)P在圆上，则PC k =，所以切线方程为1y x -=4y +=．故选B ． 4．若直线:10l x y -+=与圆22210x y ay +--=相切，则实数a = A ．1- B ．0 C ．1D ．2【答案】A【解析】()222222101x y ay x y a a +--=⇒+-=+，所以圆心为()0,a ，半径r :10l x y -+=与圆()2221x y a a -=++相切，=，解得1a =-．故选A.5．已知()0,0A ，()1,1B ，直线l 过点()2,0且和直线AB 平行，则直线l 的方程为A ．20x y --=B ．20x y +-=C ．240x y --=D ．240x y +-=【答案】A【解析】因为()0,0A ，()1,1B ，所以直线AB 的斜率为10110-=-，因为直线l 过点()2,0且和直线AB 平行，所以直线l 的方程为01(2)y x -=⋅-，即20x y --=，故选A ．6．若直线210ax y ++=与直线220x y +-=互相垂直，则实数a 的值是 A ．1 B ．1- C ．4D ．4-【答案】B【解析】直线210ax y ++=的斜率为2a-，直线220x y +-=的斜率为2-，因为直线210ax y ++=与直线220x y +-=互相垂直，所以()2112a a ⎛⎫-⨯-=-⇒=- ⎪⎝⎭，故选B ．7．若圆心坐标为()2,1-的圆被直线10x y --=截得的弦长为 A ．()()22212x y -++= B ．()()22214x y -++= C ．()()22218x y -++= D ．()()222116x y -++=【答案】B【解析】设圆的半径为r ，圆心到直线10x y --=的距离d ==∴==，解得24r =，∴圆的方程为()()22214x y -++=．故选B ．8．过点()0,1P 的直线l 与圆()()22111x y -+-=相交于A ，B 两点，若该直线的斜率为1，则AB =A ．1BCD ．2【答案】B【解析】由题意可得直线l 的方程为1y x =+，圆()()22111x y -+-=的圆心()1,1，半径1r =，圆心()1,1到直线1y x =+的距离为d ==所以弦长22AB ===⨯= B. 9．已知过点()2,4M -的直线l 与圆C ：()()22125x y -++=相切，且与直线230ax y -+=垂直，则实数a 的值为A ．4B ．2C ．2-D ．4-【答案】D【解析】因为点()2,4M -满足圆()()22125x y -++=的方程，所以M 在圆上，又过点()2,4M -的直线与圆()()22125x y -++=相切，且与直线230ax y -+=垂直，所以切点与圆心连线与直线230ax y -+=平行，所以直线230ax y -+=的斜率为422221a -+==--，所以4a =-，故选D. 10．已知直线()1:3453l a x y a ++=-，()2:258l x a y ++=，若12l l //，则a 的值为 A ．7- B ．1- C ．7-或1-D ．2-或4【答案】A【解析】已知直线()1:3453l a x y a ++=-，()2:258l x a y ++=，且12l l //，则()()()()35883253a a a a ⎧++=⎪⎨+≠-⎪⎩，解得7a =-．故选A ．【名师点睛】利用一般式方程判定直线的平行与垂直：已知直线1111:0l A x B y C ++=和直线2222:0l A x B y C ++=．（1）121221//l l A B A B ⇔=且1221A C A C ≠；（2）2112210A A l B B l +⇔=⊥．11．若函数()f x x m =-有零点，则实数m 的取值范围是A ．⎡-⎣B ．4,⎡⎣C ．[]4,4-D ．4,⎡-⎣【答案】D【解析】由题意可知，若()f x x m =-有零点，则只需满足直线y x m =+与曲线y =当直线y x m =+4=，得m =y x m =+过点A 时，4m =-，故4m -≤≤D ．【名师点睛】解答根据函数有零点求参数的取值范围的问题时，可采用数形结合法，将问题转化为()()f x g x =有解，分别画出函数()f x 和()g x 的图象，根据图象的位置变化确定参数的取值范围．12．已知直线1l ：230ax y +-=，2l ：()310x a y a ++-=，若12l l ⊥．则a 的值为 A ．25- B ．25C ．1D ．-2【答案】A 【解析】12l l ⊥，显然两直线的斜率存在且都不为0，312+1a a ⎛⎫⎛⎫∴-⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得25a =-．故选A ． 13．圆22420x y x y ++-=和圆22230x y x +--=交于A 、B 两点，则相交弦AB 的垂直平分线的方程为 A ．6230x y -+= B ．310x y +-= C ．2230x y -+=D ．310--=x y【答案】B【解析】由两圆的方程可得两圆的圆心分别为()()2,1,1,0,M N - 两圆的相交弦的垂直平分线是通过圆心,M N 的直线方程，由直线方程的两点式得到直线MN 的方程为120112y x -+=-+，整理得310x y +-=，故选B ． 14．若点()1,1P 到直线cos sin 2x y θθ⋅+⋅=的距离为d ，则d 的最大值是A ．2+B ．2C ．2-D ．2+【答案】A【解析】点()1,1P 到直线cos sin 2x y θθ⋅+⋅=的距离为cos sin 224d πθθθ⎛⎫==+-=+- ⎪⎝⎭，当sin 14πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时max 22d == A.15．圆1C ：22430x y x +-+=与圆2C ：()()2214x y a ++-=外切，则实数a 的值为 A ．4 B ．16 C ．8D ．12【答案】B【解析】将圆22430x y x +-+=化为标准方程为()2221x y -+=，故圆1C 的圆心为()2,0，半径为1；圆2C 的圆心为()1,4-1=+16a =．故选B ．16．已知P 为圆22:1O x y +=上一个动点，O 为坐标原点，过点P 作圆O 的切线与圆221:28190O x y x y +---=相交于两点,A B ，则||AB 最小值是A 1B 1C ．2D ．2【答案】C【解析】由图象可知，当1O P AB ⊥时，且1O P 最大时，||AB 可取得最小值，()()22221:281901436O x y x y x y +---=⇒-+-=，所以圆心()11,6O ，半径16r =，而22:1O x y +=，圆心()0,0，半径1r =，又1OO ==1max 1O P =，在1Rt PO B 中，111,6O P O B ==，1PB ∴===，min 22AB PB ∴==．故选C.17．设点(3,4)M 在圆222(0)x y r r +=>外，若圆O 上存在点N ，使得3OMN π∠=，则实数r 的取值范围是A ．5[,)2+∞ B ．[,)2+∞C ．D ．5[,5)2【答案】C【解析】如图所示：222(0)x y r r +=>上存在点N 使得3OMN π∠=，则OMN ∠的最大值大于或者等于3π时，一定存在点N 使得3OMN π∠=，当MN 与圆相切时，OMN ∠取得最大值，此时，5OM =，sin 52ON ON OMN OM∠==≥，解得2ON ≥，即2r ≥，又(3,4)M 在圆外，22234r ∴+>，解得5r <，综上所述：52r ≤<．故选C ．18．古希腊数学家阿波罗尼奧斯（约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知(0,0),(3,0)O A ，动点(,)P x y 满足2PA PO=，则动点P 轨迹与圆22(1)1x y -+=位置关系是A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切【答案】C【解析】设(),P x y ，由2PA PO =，得()2222344x y x y -+=+，整理得()2214x y ++=，表示圆心为(1,0)-，半径为2R =的圆，圆22(1)1x y -+=的圆心为(1,0)为圆心，1r =为半径的圆，两圆的圆心距为2，满足2R r R r -<<+，所以两个圆相交．故选C ．19．已知动直线:20(0,0)l ax by c a c ++-=>>恒过点(2,)P n ，且(5,0)Q 到动直线l的最大距离为3，则22c a c+的最小值为A ．92B ．94C ．3D ．9【答案】C【解析】因为:20l ax by c ++-=恒过点(2,)P n ，所以220a bn c ++-=，因为(5,0)Q 到动直线l 的最大距离为3，所以||3PQ =，所以22(25)9n -+=，得0n =，所以22a c +=，0,0a c >>，所以22c a c +22c a c a c +=+21132c a a c =++≥=，当且仅当1,12a c ==时，等号成立．故选C20．已知点()1,0A m -，()()1,00B m m +>，若圆C ：2288280x y x y +--+=上存在一点P ，使得PA PB ⊥，则实数m 的取值范围是 A ．3m ≥ B ．3m 7≤≤ C ．27m -<≤ D ．46m ≤≤【答案】B【解析】根据题意，圆2288280C x y x y +--+=：，即()()22444x y -+-=；其圆心为()4,4，半径2r =，设AB 的中点为M ，又由点()()1,0,1,0,A m B m -+则()1,0,2M AB m =，以AB 为直径的圆为()2221x y m -+=，若圆2288280C x y x y +--+=：上存在一点P ，使得P A ⊥PB ，则圆C 与圆M 有公共点，又由5MC ==，即有25m -≤且25m +≥，即37m ≤≤，又0,37m m >∴≤≤，故选B ．21．已知圆C ：()()22122x y -+-=和点()00P x ,，若圆C 上存在两点,A B 使得3APB π∠=，则实数0x 的取值范围是A ．[]3,1-B ．[13]-,C ．[2,3]-D ．[2,4]-【答案】B【解析】圆C ：()()22122x y -+-=，圆心(1,2)C，半径r =由图可知，当PA 和PB 与圆C 相切时，APB ∠最大，要使圆C 上存在两点,A B ，使得3APB π∠=，则6APC π∠≥，sin6PC ∴≤=≤解得013x -≤≤，故选B．22．若关于x 的方程3kx k =+-恰有两个实数根，则实数k 的取值范围是A ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B ．43,32⎛⎤⎥⎝⎦ C ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．43,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】因为关于x 的方程3kx k =+-恰有两个实数根，所以函数(1)3yk x =-+与函数y =(1)3yk x =-+与半圆y =直线(1)3y k x =-+经过定点(1,3)M ，当直线(1)3y k x =-+与半圆y =A1=，解得43k =，当直线(1)3y k x =-+经过点(1,0)B -时，32k，所以满足函数(1)3y k x =-+与函数y =的图象恰有两个交点的k 的范围为43,32⎛⎤⎥⎝⎦．故选B 23．若P 是直线l ：260x y ++=上一动点，过P 作圆C ：22230x y x ++-=的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 面积的最小值为 A ．1 B ．2 C ．3D ．4【答案】B【解析】根据题意：要使四边形PACB 面积的最小值，则只需切线长,PA PB 最小，进而只需PC 取最小即可．由于()2214x y ++=，故圆心为()1,0-，2r，由于P 是直线l ：260x y ++=上一动点，所以过圆心作直线l 的垂线，垂足即为P ，此时CP ==此时切线长1PA PB ===，此时四边形PACB 面积为122S =⨯=．即四边形PACB 面积的最小值为2．故选B ．24．直线220ax by -+=被222440x y x y ++--=截得弦长为6，则ab 的最大值是 A ．9 B ．4 C ．12D ．14【答案】D【解析】将222440x y x y ++--=化为标准形式：22(1)(2)9x y ++-=，故该圆圆心为(1,2)-，半径为3．因为直线截圆所得弦长为6，故直线过圆心，所以2220a b --+=，即1a b +=，所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭（当且仅当12a b ==时取等号），故选D ． 25．点P 是直线2100x y ++=上的动点，直线PA ，PB 分别与圆224x y +=相切于A ，B 两点，则四边形PAOB （O 为坐标原点）的面积的最小值等于A ．8B ．4C ．24D ．16【答案】A【解析】因为圆224x y +=的圆心为()0,0O ，半径为2r，圆心()0,0O 到直线2100x y ++=的距离为2d ==>，所以直线2100x y ++=与圆224x y +=相离，又点P 是直线2100x y ++=上的动点，直线PA ，PB 分别与圆224x y +=相切于A ，B两点，所以PA PB =，PA OA ⊥，PB OB ⊥，因此四边形PAOB 的面积为12222PAO PBOPAOS SSSPA r PA =+==⨯⨯== 为使四边形面积最小，只需PO 最小，又min PO 为圆心()0,0O 到直线2100x y ++=的距离d =PAOB 的面积的最小值为8=．故选A ．26．若P 是直线l ：3490x y +-=上一动点，过P 作圆C ：2240x y x ++=的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 面积的最小值为A B ．CD ．【答案】B【解析】圆C ：22(2)4x y ++=，圆心为（-2，0）半径2AC r ==，画出图象，如图所示：因为直线与圆相切，所以90PAC PBC ∠=∠=︒，且PAC PBC ≌，所以四边形PACB 面积12222PACS S AC PA PA ==⨯⨯⨯=，又PA ==所以当PC 最小时，P A 最小，四边形PACB 面积的最小值，由图象可得，PC 最小值即为点C 到直线3490x y +-=的距离，所以min 3PC ==，所以min PA =，所以四边形PACB 面积的最小值2S PA == B.27．已知圆C 的方程为222610x y x y +-++=，点P 在圆C 上，O 是坐标原点，则||OP 的最小值为A ．3B 3C ．3-D ．2【答案】B【解析】化简得圆C 的标准方程为()()22139x y -++=，故圆心是()1,3C -，半径3r =，则连接线段OC ，交圆于点P 时||OP 最小，因为原点到圆心的距离OC =||3OP OC r =-=．故选B ．28．已知圆O 的半径为3，且经过点()5,12P ，若点C 的坐标为(),a b 小值为 A ．5 B ．7 C ．9D ．10【答案】D3=，即()()225129a b -+-=，所以点(),C a b 在以()5,12P 为圆心，3为半径的圆上．表示点(),a b 到原点的距离，3310PO -=-=．故选D ． 29．两圆222240x y ax a +++-=和2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，若a R ∈，b R ∈且0ab ≠，则2211a b+的最小值为 A ．72B ．4C ．1D ．5【答案】C【解析】圆222240x y ax a +++-=的标准方程为()224x a y ++=，圆心为()1,0C a -，半径为12r =，圆2224140x y by b +--+=的标准方程为()2221x y b +-=，圆心为()20,2C b ，半径为21r =．由于圆222240x y ax a +++-=和2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，则这两圆外切，所以，1212C C r r =+，即3=，所以，2249a b +=，所以，2222221114155199a b a b b a ⎛⎛⎫+=++≥⨯+=⎪ ⎝⎭⎝，当且仅当222a b =时，等号成立，因此，2211a b+的最小值为1．故选C ．二、多选题30．若圆22240x y x y +--=的圆心到直线0x y a -+=的距离为2，则实数a 的值为 A ．2 B ．2- C ．12D ．0【答案】AD【解析】因为圆22240x y x y +--=的圆心为(1,2)，所以圆心(1,2)到直线0x y a -+=2=，所以0a =或2a =．故选AD ．31．已知圆C ：()()223372x y -+-=，若直线0x y m +-=垂直于圆C 的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则m = A ．2 B ．4 C ．6D ．10【答案】AD【解析】因为直线0x y m +-=垂直于圆C 的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，所以圆心到直线的距离等于半径的13．由题意圆心为(3,3)C ，半径为r ==2m =或10m =．故选AD ．32．若过点()2,0有两条直线与圆222210x y x y m +-+++=相切，则实数m 的可能取值是 A ．－3 B ．3 C ．0D ．12【答案】CD【解析】由题意过点(2,0)有两条直线与圆222210x y x y m +-+++=相切，则点(2,0)在圆外，即222210m -⨯++>，解得1m >-，由方程222210x y x y m +-+++=表示圆，则22(2)24(1)0m -+-+>，解得1m <，综上，实数m 的取值范围是(1,1)-．即实数m 取值范围是0，12．故选CD ． 33．点P 在圆221:1C x y +=上，点Q 在圆222:68240C x y x y +-++=上，则A ．PQ 的最小值为0B ．PQ 的最大值为7C ．两个圆心所在的直线斜率为43-D ．两个圆相交弦所在直线的方程为68250x y --= 【答案】BC【解析】由已知1(0,0)C ，半径为1r =，圆2C 标准方程为22(3)(4)1x y -++=，2(3,4)C -，1R =，则125C C =，所以min 5113PQ =--=，A 错；max 5117PQ =++=，B 正确；4433PQ k -==-，C 正确；又12C C R r >+，两圆相离，不相交，D 错．故选BC ．【名师点睛】本题考查两圆的位置关系，判断两圆12,C C 的位置关系，一般通过圆心距d 与两圆半径,R r 的关系判断．d R r >+⇔相离，d R r =+⇔外切，R r d R r -<<+⇔相交，d R r =-⇔内切，d R r <-⇔内含．34．已知直线l ：(2)10mx m y m --+-=，圆C ：22(1)1x y -+=，则下列结论中正确的是A ．存在m 的一个值，使直线l 经过圆心CB ．无论m 为何值时，直线l 与圆C 一定有两个公共点 C ．圆心C 到直线lD ．当1m =时，圆C 关于直线l 对称的圆的方程为22(1)1y x +-=．【答案】BCD【解析】圆心坐标为(1,0)C ，代入直线l 得10m m +-=，无解，所以不论m 为何值，圆心都不在直线l 上，A 错；直线l 方程整理为(1)210m x y y +-++=，由10210x y y +-=⎧⎨-+=⎩得1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即直线l 过定点11,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又12MC ==<，M 在圆C 内部，所以直线与圆相交，B 正确；设直线l 与圆相交于,A B 两点，弦AB 中点为N ，则CN AB ⊥，CN 为C 到直线AB 的距离，显然CN CM ≤，,N M重合时取等号．MC =C 正确；1m =时直线l 方程为0x y -=，(1,0)C 关于l 的对称点为(0,1)，因此对称圆方程为22(1)1y x +-=，D 正确．故选BCD ．35．圆221:(2cos )(2sin )1C x y θθ-+-=与圆222:1C x y +=，下列说法正确的是A ．对于任意的θ，圆1C 与圆2C 始终相切B ．对于任意的θ，圆1C 与圆2C 始终有四条公切线 C ．当6πθ=时，圆1C被直线10l y --=D ．P ，Q 分别为圆1C 与圆2C 上的动点，则PQ 的最大值为4 【答案】ACD【解析】由已知1(2cos ,2sin )C θθ，2(0,0)C，122C C ==等于两圆半径之和，两圆始终相切，A 正确，B 错误；6πθ=时，1C ，1C 到已知直线l的距离为12d ==，则弦长为=，C 正确；由于122C C =，所以12max 114PQ C C =++=，12,,,P C C Q 共线时最大值．D 正确．故选ACD ．36．已知点()()1,0,1,0A B -，若圆()()2221221x a y a -++--=上存在点M 满足3MA MB ⋅=，则实数a 的值为A ．2-B ．1-C ．2D ．0【答案】BD【解析】设点(),M x y ，则()()1,,1,MA MB x y x y =---=-+-，所以()()2113MA MB x x y =⋅---++=，所以M 的轨迹方程为224x y +=，圆心为()0,0，半径为2，由此可知圆()()2221221x a y a -++--=与224x y +=有公共点，又圆()()2221221x a y a -++--=的圆心为()21,22a a -+，半径为1，所以13≤≤，解得112a -≤≤．故选BD ． 37．如图，直线12,l l 相交于点O ，点P 是平面内的任意一点，若x ，y 分别表示点P 到12,l l 的距离，则称（x ，y ）为点P 的“距离坐标”．下列说法正确的是A ．距离坐标为（0，0）的点有1个B ．距离坐标为（0，1）的点有2个C ．距离坐标为（1，2）的点有4个D ．距离坐标为（x ，x ）的点在一条直线上【答案】ABC【解析】对于A ，若距离坐标为（0，0)，即P 到两条直线的距离都为0，P 为两直线的交点，即距离坐标为（0，0)的点只有1个，A 正确，对于B ，若距离坐标为(0，1)，即P 到直线1l 的距离为0，到直线2l 的距离为1，P 在直线1l 上，到直线2l 的距离为1，符合条件的点有2个，B 正确，对于C ，若距离坐标为（1，2)，即P 到直线1l 的距离为1，到直线2l 的距离为2，有4个符合条件的点，即四个交点为与直线1l 相距为2的两条平行线和与直线2l 相距为1的两条平行线的交点，C 正确，对于D ，若距离坐标为（x ，x )，即P 到两条直线的距离相等，则距离坐标为(x ，x )的点在2条相互垂直的直线上，D 错误，故选ABC38．如果()2,0A ，()1,1B ，()1,1C - ，()2,0D - ，CD 是以OD 为直径的圆上一段圆弧，CB 是以BC 为直径的圆上一段圆弧，BA 是以OA 为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线Ω，则下面说法正确的是A ．曲线Ω与x 轴围成的面积等于32πB ．CB 与BA 的公切线方程为10x y +--=C ．AB 所在圆与CB 所在圆的交点弦方程为0x y -=D ．用直线y x =截CD 所在的圆，所得的弦长为2【答案】BC【解析】连BC 交y 轴于点Q ，过点B 作BN x ⊥轴于N ，过点C 作CM x ⊥轴于M ，各段圆弧所在圆的方程分别为CD ：()2211x y ++=；CB ：()2211x y +-=；BA ：()2211x y -+=；由题知曲线Ω与x 轴围成的图形是一个半圆，一个矩形和两个四分之一圆，所以围成的面积等于22242ππ⨯++=π+，故A 错误；易知直线QN ：1y x =-+，公切线l 平行于NQ ，且两直线间的距离为1，设直线l ：()0y x b b =-+>1=，解得1b =+，所以直线l ：10x y +-=，故B 正确；将AB 所在圆与CB 所在圆方程相减，得交点弦方程为0x y -=，故C 正确；圆心()1,0-到直线y x =的距离为d =，所以弦长为=故D 错误．故选BC.39．下列说法正确的是A ．直线(3)4330()m x y m m ++-+=∈R 恒过定点(3,3)--B ．圆224x y +=上有且仅有3个点到直线l ：0x y -=的距离等于1C ．若圆1C ：2220x y x ++=与圆2C ：22480(20)x y x y m m +--+=<恰有三条公切线，则4m =D ．若已知圆C ：224x y +=，点P 为直线142x y+=上一动点（点P 在圆C 外），过点P 向圆C 引两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点，则直线AB 经过定点(1,2) 【答案】BCD 【解析】对于A ，将(3)4330m x y m ++-+=化为(3)3430x m x y +++-=，由303430x x y +=⎧⎨+-=⎩得33x y =-⎧⎨=⎩，所以直线(3)4330()m x y m m ++-+=∈R 恒过定点()3,3-，故A 不正确；对于B ，圆224x y +=的圆心为(0,0)，半径为2，圆心到直线的距离1d ==，所以圆224x y +=上有且仅有3个点到直线l ：0x y -+=的距离等于1，故B 正确；对于C ，因为圆1C ：2220x y x ++=与圆2C ：22480(20)x y x y m m +--+=<恰有三条公切线，所以两圆外切，因为1(1,0)C -，半径11r =，2(2,4)C ，半径2r =所以12||5C C ==，所以15=，解得4m =，故C 正确；对于D ，设00(,)P x y ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1010(,)PA x x y y =--，11(,)CA x y =，因为PA CA⊥，所以101101()()0PA CA x x x y y y ⋅=-+-=，所以220101114x x y y x y +=+=，同理02024x x y y +=，所以直线AB 的方程为004x x y y +=，又00142x y +=，所以0042x y =-，所以00(42)4y x y y -+=，即044(2)x x y y -=-，由44020x x y -=⎧⎨-=⎩得1,2x y ==，所以直线AB 经过定点(1,2)，故D 正确．故选BCD40．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A 、B 的距离之比为定值λ（1λ≠）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -、()4,0B ，点P 满足12PA PB =，设点P 所构成的曲线为C ，下列结论正确的是 A ．C 的方程为()22416x y ++=B ．在C 上存在点D ，使得D 到点()1,1的距离为3 C ．在C 上存在点M ，使得2MO MA = D ．在C 上存在点N ，使得224NO NA += 【答案】ABD【解析】设点P （x ，y ），()2,0A -、()4,0B ，由12PA PB =12=，化简得x 2+y 2+8x ＝0，即（x +4）2+y 2＝16，故A 选项正确；曲线C 的方程表示圆心为（﹣4，0），半径为4的圆，圆心与点（1，1）的距离为=4，而3∈﹣4+4]，故B 正确；对于C 选项，设M （x 0，y 0），由|MO |＝2|MA |=，又 ()2200416x y ++=，联立方程消去y 0得x 0＝2，解得y 0无解，故C 选项错误；对于D 选项，设N （x 0，y 0），由|NO |2+|NA |2＝4，得 ()2222000024x y x y ++++=，又()2200416x y ++=，联立方程消去y 0得x 0＝0，解得y 0＝0，故D 选项正确．故选ABD ． 41．在平面上有相异两点A ，B ，设点P 在同一平面上且满足PA PB λ=(其中0λ>，且1λ≠)，则点P 的轨迹是一个圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆．设(),0A a -，(),0B a ，a 为正实数，下列说法正确的是A ．当2λ=时，此阿波罗尼斯圆的半径43r a =B ．当12λ=时，以AB 为直径的圆与该阿波罗尼斯圆相切 C ．当01λ<<时，点B 在阿波罗尼斯圆圆心的左侧 D ．当1λ>时，点A 在阿波罗尼斯圆外，点B 在圆内【答案】AD【解析】设(),P x y ，所以PA PB ==，因为PA PB λ=，所以PA ==()()222222221411a a x y λλλλ⎛⎫+ ⎪-+= ⎪--⎝⎭, A ．当2λ=时，此阿波罗尼斯圆的半径22413a ar λλ==-，故正确； B ．当12λ=时，以AB 为直径的圆为222x y a +=，阿波罗尼斯圆为 22251639a x a y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，圆心距为53a ，两半径之和为73a ，两半径之差的绝对值为13a ，不相切，故错误；C ．当01λ<<时，圆心的横坐标为()22212111aa a λλλ+⎛⎫=+< ⎪--⎝⎭，所以点B 在阿波罗尼斯圆圆心的右侧，故错误； D ．当1λ>时，点A与圆心的距离()22222122111aa aa r λλλλλλ++=>=---，在阿波罗尼斯圆外，点B与圆心的距离()2222122111aa aa r λλλλλ+-=<=---，在圆内，故正确；故选AD ．42．已知ABC 的三个顶点的坐标分别为(2)A -，3、()21B --，、(61)C -，，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为 A ．221x y += B ．22165x y +=C ．224x y +=D ．2237x y +=【答案】AD【解析】依题意，直线AC 的方程为163126y x +-=+--，化为一般式方程：240x y +-=，点O 到直线240x y +-=的距离1d ==>，又直线AB 的方程为2x =-，直线BC 的方程为1y =-，因此点O 到直线AB 的距离为2，到直线BC 的距离为1，当以原点为圆心的圆与直线BC 相切时，能满足圆与此三角形有唯一公共点；此时圆的半径为1，所以圆的方程为221x y +=；又OA ==，OB ==，OC ==由以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，可得圆可以与三角形交于点(61)C -，，，则圆的方程为2237x y +=．故选AD ．【名师点睛】解决本题的关键在于，根据三角形与圆的交点个数，分圆与三角形一边相切，或圆过三角形的一点这两种情况进行讨论，即可求出结果．43．“平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值()1λλ≠的点的轨迹是圆”．在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -，()4,0B ，点P 满足12PA PB =．设点P 的轨迹为C ，下列结论正确的是A ．C 的方程为()22416x y ++=B ．当A ，B ，P 三点不共线时，射线PO 是APB ∠的平分线C ．PAB △的面积最大值为12D ．在C 上存在点M ，使得2MO MA = 【答案】ABC【解析】在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)A -，(4,0)B ，点P 满足||1||2PA PB =，设(,)P x y 12=，化简可得22(4)16x y ++=，故A 正确；当A ，B ，P 三点不共线时，由||1||||2||OA PA OB PB ==，可得射线PO 是APB ∠的平分线，故B正确；因为||6AB =，而P 在圆22(4)16x y ++=上，所以P 到AB 的最大距离为4，所以PAB△的面积最大值为164122S =⨯⨯=，故C 正确；若在C 上存在点M ，使得||2||MO MA =，可设(,)M x y ，=化简可得221616033x y x +++=，联立2280x y x ++=，可得方程组无解，故不存在M ，故D 错误．故选ABC【名师点睛】求平面上点的轨迹方程的一般步骤：建系，设点，建立方程，代入坐标化简方程；根据这一过程可求出满足12PA PB =的点P 的轨迹方程，圆上的动点到直径的距离的最大值即为半径，可求出该题中三角形面积的最大． 44．已知曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+==．从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为(0)n n k k >的切线n l ，切点为(),n n n P x y ．则下列结论正确的是A ．数列{}n x 的通项为1n n x n =+ B ．数列{}n y的通项为1n y n =+C ．当3n >时，13521n x x x x -⋅⋅⋅⋅>Dn nxy < 【答案】ABD【解析】设直线:(1)n n l y k x =+，联立2220x nx y -+=，得()()22221220n n n k x k n x k ++-+=，则由0∆=，即()()222222410n n n k nk k ∆=--+=，得n k =（负值舍去）所以可得211n n n n k n x k n -==++，()1n n n y k x =+=AB 对；= 因为22441n n >-，则2211421n n n -<+，即()222121421n n n n --<+，所以212n n -<135211321242n n x x x x n --⋅⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⋅⋅⋅⨯<=C 错；因为n n x y ==()f x x x =，()1f x x =-'．可得()f x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，可知x x <在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立．4π≤<．< 故D 正确．故选ABD. 三、填空题45．直线3450x y ++=被圆224x y +=截得的弦长为____________．【答案】【解析】224x y +=的圆心坐标为()0,0，圆心到直线3450x y ++=的距离1d ==，则直线3450x y ++=被圆224x y +=截得的弦长为==46．直线:1l y x =+与圆22:430C x y y +-+=交于A 、B 两点，则ABC 的面积是____________．【答案】12【解析】圆()22:21C x y +-=，()0,2C 到直线l的距离2d ==，所以AB ==所以1112222ABC S AB d =⋅==△，故答案为12. 47．已知两点()1,0M -，()1,0N ，若直线340x y m -+=上存在点P 满足0PM PN ⋅=，则实数m 的取值范围是____________．【答案】[]5,5-【解析】因为0PM PN ⋅=，所以PM PN ⊥，所以以MN 为直径的圆与直线340x y m -+=有公共点，2MN =，MN 中点为(0,0)O ，1≤，解得55m -≤≤．故答案为[5,5]-．48．在平面直角坐标系中，已知点()2,0A 、()4,0B ．若直线:0l x y m -+=上存在点P使得PB PA =，则实数m 的取值范围是____________．【答案】[]4,4-【解析】设点(),P x y，由于PB PA ==化简可得228x y +=，由题意可知，直线l 与圆228x y +=有公共点，≤解得44m -≤≤．因此，实数m 的取值范围是[]4,4-．故答案为[]4,4-．49．若直线1:26l x ay C +-=与直线()()2:150l x a y a +-++=平行，则实数a =_________．【答案】2【解析】由题意2(1)0a a --=，解得2a =，2a =时，两直线方程分别为2260x y +-=和70x y ++=，平行．故答案为250．在平面直角坐标系xOy 中，过圆1C ：22()(4)1x k y k -++-=上任一点P 作圆2C ：22(1)1x y ++=的一条切线，切点为Q ，则当PQ 取最小值时，k =____________．【答案】32【解析】由方程可得圆C 1，C 2的圆心坐标分别为(),4k k -+，()1,0-，半径都是1．如图，因为PQ 为切线，所以2PQ C Q ⊥，由勾股定理，得PQ =PQ 最小，则需2PC 最小，显然当点P 为12C C 与1C 的交点时，2PC 最小，此时，2121PC C C =-，所以当12C C 最小时，2PC 就最小，12C C === 当32k 时，12C C 最小，得到PQ 最小，故答案是32．51．已知直线1:0l ax y a ++=，()()2:2130l x a y a a R +++=∈，若12l l ⊥，则a =_________．【答案】13-【解析】已知直线1:0l ax y a ++=，()()2:2130l x a y a a R +++=∈，且12l l ⊥，所以，()210a a ++=，解得13a =-．故答案为13-．【名师点睛】利用一般式方程判定直线的平行与垂直：已知直线1111:0l A x B y C ++=和直线2222:0l A x B y C ++=．（1）121221//l l A B A B ⇔=且1221A C A C ≠；（2）2112210A A l B B l +⇔=⊥．52．已知直线0x y a -+=与圆22:2O x y +=相交于A 、B 两点（O 为坐标原点），且AOB 为等边三角形，则实数a =____________．【答案】【解析】因为OAB 是等边三角形，OA =所以圆心O 到直线AB 距离为d ==(0,0)O所以2d ==，解得a = 53．已知圆()()2245169x y -+-=，过点()1,1的直线交圆于A ，B 两点，则AB 的取值范围为____________．【答案】[]24,26【解析】由题意可知，该圆的圆心为(4,5)O ，因为22(14)(15)169-+-<，所以点(1,1)C 在圆O 内部，由圆的对称性可知，当(1,1)C 为弦AB 的中点时，弦AB 最短，且24AB ===，当弦AB 恰好为直径时，弦AB 最长，即26AB =，则[]24,26AB ∈，故答案为[]24,26.54．已知直线():120l kx y k k R -+-=∈，则点()5,0A 到l 的距离的最大值为_________．【解析】由题意，直线():120l kx y k k R -+-=∈，可化为直线的点斜式方程1(2)y k x -=-，可得直线l 过定点(2,1)P ，又由点()5,0A ，可得PA ==当直线l 与PA 所在的直线垂直时，此时点()5,0A 到l ．．55．已知圆()()22:215C x y -+-=及点()0,2B ，设P ，Q 分别是直线:20l x y ++=和圆C 上的动点，则PB PQ +的最小值为____________．【答案】【解析】如图所示：设点B 关于直线:20l x y ++=的对称点为(),B x y '，则2202221x y y x+⎧++=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得42x y =-⎧⎨=-⎩，则()4,2B '--，因为PB PB '=，所以 PB PQ +的最小值为B C r '-==.56．已知圆()222:2400C x y mx y m m +--+=>被直线:30l x y -+=截得的弦长为，则m =____________．【答案】1【解析】根据题意，圆()222:2400C x y mx y m m +--+=>，即()()2224-+-=x m y ，其圆心C 为()m,2，半径2r，若圆C 被直线:30l x y -+=截得的弦长为则圆心到直线l 的距离d==l的距离d ==，则有=1m =或-3（舍），故1m =，故答案为1．57．关于x 、y 的方程组282(3)mx y x m y m +=⎧⎨+-=⎩无解，则实数m =_________．【答案】1-【解析】因为关于x 、y 的方程组282(3)mx y x m y m+=⎧⎨+-=⎩无解，所以直线280mx y +-=与直线2(3)0x m y m +--=平行，所以(3)220m m --⨯=且216m -≠-，解得1m =-．故答案为1-．【名师点睛】利用两直线平行求参数时，容易忽视条件1221A C A C ≠造成增解的情况． 58．已知直线y ＝ax 与圆C ：x 2＋y 2－6y ＋6＝0相交于A ，B 两点，C 为圆心．若△ABC 为等边三角形，则a 的值为____________．【答案】【解析】根据题意，圆C ：x 2＋y 2－6y ＋6＝0即x 2＋(y －3)2＝3，其圆心为(0，3)，半径r直线y ＝ax 与圆C ：x 2＋y 2－6y ＋6＝0相交于A ，B 两点，若△ABC 为等边三角形，则圆心C 到直线y ＝ax 的距离3cos302d r =︒=，32=，解得a =59．大约2000多年前，我国的墨子就给出了圆的概念：“一中同长也．”意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周上的点的距离都相等．这个定义比古希腊数学家欧几里德给出的圆的定义要早100年．已知O 是坐标原点，3OP =，若1(2M -，则线段PM 长的最小值是___________．【答案】2【解析】因为O 是坐标原点，3OP =，所以点P 在以坐标原点为圆心，3为半径的圆上，因为1OM ==，所以点M 在圆内，所以当,,O P M 共线，且,P M 在点O 的同侧时，PM 长的最小，此时3312PM OM =-=-=，所以线段PM 长的最小值为2,故答案为2.60．已知圆22(1)4x y -+=上一动点Q ，则点()2,3P --到点Q 的距离的最小值为___________．【答案】2【解析】由题意圆22(1)4x y -+=的圆心为()1,0，半径为2r，所以圆心与P=所以点()2,3P--到点Q的距离的最小值为2，故答案为2．61．已知圆C 与y 轴相切于点(P ，与x 轴正半轴交于两点A ，B ，30APB ∠=，则圆C 的方程为___________．【答案】()(2224x y -+-=【解析】连接PC AC BC 、、，因为30APB ∠=，所以圆心角60ACB ∠=， ACB △是等边三角形，作CD AB ⊥于D ，所以D 是AB 的中点，因为圆C 与y 轴相切于点(P ，所以PO DC ==所以=2AC PC =，所以(C ，所以圆的方程为()(2224x y -+-=．故答案为()(2224x y -+-=．62．已知点()3,0A ，()0,4B ，点P 在圆221x y +=上运动，则22||||PA PB +的最小值为___________．【答案】17【解析】设(),P x y ，则22||||PA PB +2222(3)(4)x y x y =-+++-223252(2)2524x y ⎡⎤⎛⎫=⨯-+--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，若求()22min||||PA PB +，即求(),P x y 与3,22⎛⎫⎪⎝⎭距离的平方的最小值， 2222min511924d r ⎤⎤⎛⎫⎥⎥===-= ⎪⎥⎥⎝⎭⎦⎦，所以()22min925||||2251744PA PB ⎛⎫+=⨯-+= ⎪⎝⎭．故答案为17．63．已知点(),P x y 是直线240x y -+=上一动点，直线PA ，PB 是圆22:20C x y y ++=的两条切线，A ，B 为切点，C 为圆心，则四边形PACB 面积的最小值是____________．【答案】2【解析】圆22:20C x y y ++=化为()2211x y ++=，可得圆心为()0,1-，半径为1，如图，可得22221PA PC AC PC =-=-，1222PACB PACS SPA AC PA ==⨯⨯⨯==则当PC 取得最小值时，PACB S最小，点(),P x y 是直线240x y -+=上一动点，()0,1C ∴-到直线240x y -+=的距离即为PC 的最小值，min PC ∴==()min 2PACB S∴==．故答案为2．64．已知两定点()()1,0,1,0A B -，如果平面内动点C满足条件CA =，则ABC S ∆的最大值是___________．【解析】设(),C x y，由CA =，=整理得 22410x y x +-+=，即()2223x y -+=所以12ABC AB S AB h ∆=⨯⨯（AB h 表示ABC 中AB 边上的高），显然()max AB h=ABC S ∆65．过点()3,1的直线分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，则AOB （O 为坐标原点）面积取得最小值时直线方程为_________．【答案】360xy +-=【解析】易知直线AB 的斜率存在且不为零，设直线AB 的方程为()13y k x -=-，即13y kx k =+-．在直线AB 的方程中，令0x =，可得13=-y k ；令0y =，可得31k x k-=．所以，点31,0k A k -⎛⎫⎪⎝⎭、()0,13B k -．由已知条件可得310130k k k -⎧>⎪⎨⎪->⎩，解得0k <．OAB 的面积为()131111136966222k S k k k k ⎡-⎛⎫=⨯-⨯=--≥⨯+=⎢ ⎪⎝⎭⎢⎣．当且仅当()190k k k-=-<时，即当13k =-时，等号成立，所以，直线AB 的方程为123y x =-+，即360x y +-=．故答案为360x y +-=．【名师点睛】解本题的关键在于将三角形的面积利用斜率k 有关的代数式表示，并结合基本不等式求出三角形面积的最小值，同时不要忽略了斜率k 的取值范围的求解．66．2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：(0,3)Q -是圆Q 的圆心，圆Q 过坐标原点O ；点L 、S 均在x 轴上，圆L 与圆S 的半径都等于2，圆S ､圆L 均与圆Q 外切．已知直线l 过点O ．若直线l 截圆L 、圆S 、圆Q 所得弦长均等于d ，则d =____________．【答案】125【解析】由题意圆L 与圆S 关于原点对称，设(),0(0)S aa >，234a =+=，，即()()4,04,0S L ∴-，．设方程为(0y kx mk =+≠），则三个圆心到该直线的距离分别为1d =2d =，3d =，则()()()2222123444449d d d d =-=-=-，即有222449⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-，解得240,21m k ==，则24161442144425121d ⎛⎫⨯ ⎪=-= ⎪ ⎪+⎝⎭，即125d =，故答案为 125．67．已知圆M ：()()22004x x y y -+-=，从点()3,4N 向圆M 作两条切线NP ，NQ ，切点分别为P ，Q ，若3PNQ π∠=，则点M 到直线34250x y ++=的最小距离为___________．【答案】6【解析】如图所示，从点()3,4N 向圆M 作两条切线NP ，NQ ，且3PNQ π∠=，可得在Rt MPN △中，6PNM π∠=，2PM =，所以4MN =，所以点M 的轨迹是以(3,4)N 为圆心，4为半径的圆，因为N 到直线34250x y ++=的距离10d ==，所以点M 到直线34250x y ++=的最小距离为1046-=．故答案为6．68．圆222410x y x y +-++=关于直线30(00)ax by a b --=>>，对称，则12a b+的最小值是___________．【答案】3【解析】由已知得圆的圆心坐标为()1,2-，半径为2r，由于圆222410x y x y +-++=关于直线30(00)ax by a b --=>>，对称，所以直线30(00)ax by a b --=>>，过圆心，所以23a b +=，00a b >>，，所以2133a b +=，00a b >>，，所以1212522233333533a b a b b a a b a b ⎛⎫⎛⎫+=+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝+≥⎭+=，当且仅当2233a bb a=，即1a b ==时等号成立，故答案为3. 69．已知方程为2220x y x ay a ++-+=的圆关于直线40x y +=对称，则圆的半径r =___________；若过点()1,0M 作该圆的切线，切点为A ，则线段MA 长度为___________．【答案】3【解析】圆的标准方程为222(1)()124a a x y a ++-=+-，因为圆关于直线40x y +=对称，所以圆心(1,)2a-在直线40x y +=上，所以8a =，圆半径3r ==，设圆心为C ，则(1,4)C -，所以MC =所以MA ===，故答案为370．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius ）在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆．后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆．已知直角坐标系中()2,0A -，()2,0B ，(),P x y ，且满足PA =，则点P 的运动轨迹方程为___________，点P 到直线40x y +-=的最小距离为___________．【答案】()22632x y ++=。

专题13+直线与圆(押题专练)-2019年高考文数二轮复习精品资料Word版含解析

1．设a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 所对的边，则直线sin A ·x ＋ay －c ＝0与bx －sin B ·y ＋sin C ＝0的位置关系是( ) A ．平行 B ．重合 C ．垂直D ．相交但不垂直解析：选C.由题意可得直线sin A ·x ＋ay －c ＝0的斜率k 1＝－sin A a ，bx －sin B ·y ＋sin C ＝0的斜率k 2＝b sin B ，故k 1k 2＝－sin A a ·bsin B ＝－1，则直线sin A ·x ＋ay －c ＝0与直线bx －sin B ·y ＋sin C ＝0垂直，故选C.2．一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( ) A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34解析：选D.点(－2，－3)关于y 轴的对称点为(2，－3)，故可设反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，∵反射光线与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，∴圆心(－3,2)到直线的距离d ＝|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，化简得12k 2＋25k ＋12＝0，解得k ＝－43或－34.3．已知点M 是直线3x ＋4y －2＝0上的动点，点N 为圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1上的动点，则|MN |的最小值是( ) A.95 B ．1 C.45D.135解析：选C.圆心(－1，－1)到点M 的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d ＝|－3－4－2|5＝95，故点N到点M 的距离的最小值为d －1＝45.4．两个圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0，C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的公切线的条数为( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：选B.C 1：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4，C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝4.圆心距d ＝|C 1C 2|＝2＋12＋1＋12＝13.|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2，∴两圆C 1与C 2相交，有两条公切线，故选B. 5．圆C ：x 2＋y 2－4x ＋8y －5＝0被抛物线y 2＝4x 的准线截得的弦长为( ) A ．6 B ．8 C ．10 D ．12解析：选B.依题意，圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋4)2＝25，圆心为(2，－4)，半径为5，抛物线y 2＝4x 的准线为x ＝－1，故弦长为252－2＋12＝8，故选B.6．直线kx －3y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －3)2＝10相交所得弦长的最小值为( ) A ．2 5B. 5C ．210 D.10解析：选A.由题意易知直线kx －3y ＋3＝0恒过圆内的定点(0,1)，则圆心(1,3)到定点(0,1)的距离为5，当圆心到直线kx －3y ＋3＝0的距离最大时(即圆心(1,3)到定点(0,1)的距离)，所得弦长最小，因此最短弦长为2×10－5＝2 5.故选A.7．若两直线l 1：3x ＋4y ＋a ＝0与l 2：3x ＋4y ＋b ＝0都与圆x 2＋y 2＋2x ＋4y ＋1＝0相切，则|a －b |＝( ) A. 5 B ．2 5 C ．10 D ．20解析：选D.由题意知直线l 1与l 2平行，且它们间的距离等于d ＝|a －b |5；又直线l 1，l 2均与题中的圆相切，因此它们间的距离等于该圆的直径4，即有|a －b |5＝4，即|a －b |＝20，故选D.8．圆C ：(x －1)2＋y 2＝25，过点P (2，－1)作圆的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是( )A ．1013B ．921C ．1023D ．9119．已知P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k ＞0)上一动点，P A 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的一条切线，A 是切点，若线段P A 长度最小值为2，则k 的值为( ) A ．3 B.212 C ．2 2D ．2解析：选D.圆C ：x 2＋(y －1)2＝1，圆心C (0,1)，半径r ＝1，圆心到直线的最小距离d ＝5k 2＋1＝22＋12，解得k ＝2或k ＝－2(舍去)，故选D.10．若圆(x －5)2＋(y －1)2＝r 2(r ＞0)上有且仅有两点到直线4x ＋3y ＋2＝0的距离等于1，则实数r 的取值范围为( ) A ．[4,6] B ．(4,6) C ．[5,7]D ．(5,7)解析：选B.因为圆心(5,1)到直线4x ＋3y ＋2＝0的距离为|20＋3＋2|5＝5，又圆上有且仅有两点到直线4x ＋3y＋2＝0的距离为1，则4＜r ＜6，故选B.11．若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：x (y －mx －m )＝0有三个不同的公共点，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0，3) B ．(－3，0)∪(0，3)C.⎝⎛⎭⎫0，33 D.⎝⎛⎭⎫－33，0∪⎝⎛⎭⎫0，33 解析：选D.由x (y －mx －m )＝0可知x ＝0，y ＝m (x ＋1)，当直线y ＝m (x ＋1)与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切时，m ＝±33，当m ＝0时，只有两个公共点，因此m ∈⎝⎛⎭⎫－33，0∪⎝⎛⎭⎫0，33，故选D.12．已知两点M (－1,0)，N (1,0)，若直线y ＝k (x －2)上存在点P ，使得PM ⊥PN ，则实数k 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫－13，0∪⎝⎛⎦⎤0，13 B.⎣⎡⎭⎫－33，0∪⎝⎛⎦⎤0，33 C.⎣⎡⎦⎤－13，13 D ．[－5,5] 解析：选B.因为直线y ＝k (x －2)上存在点P ，使PM ⊥PN ，即以MN 为直径的圆x 2＋y 2＝1与y ＝k (x －2)相交或相切，即|－2k |k 2＋1≤1且k ≠0，解得k ∈⎣⎡⎭⎫－33，0∪⎝⎛⎦⎤0，33. 13．已知圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝16的一条直径通过直线x －2y ＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为( )A ．3x ＋y －5＝0B ．x －2y ＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．2x ＋y －3＝0解析：选D 直线x －2y ＋3＝0的斜率为12，已知圆的圆心坐标为(2，－1)，该直径所在直线的斜率为－2，所以该直径所在的直线方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y －3＝0，故选D.14．圆心在曲线y ＝2x (x >0)上，与直线2x ＋y ＋1＝0相切，且面积最小的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝25B ．(x －2)2＋(y －1)2＝5C ．(x －1)2＋(y －2)2＝25D ．(x －1)2＋(y －2)2＝5解析：选D 设圆心坐标为C ⎝⎛⎭⎫a ，2a (a >0)，则半径r ＝2a ＋2a ＋15≥22a ×2a ＋15＝5，当且仅当2a ＝2a ，即a＝1时取等号．所以当a ＝1时圆的半径最小，此时r ＝5，C (1，2)，所以面积最小的圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5.15．已知圆O ：x 2＋y 2＝4上到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点至少有2个，则a 的取值范围为( )A ．(－32，32)B ．(－∞，－32)∪(32，＋∞)C ．(－22，22)D ．[－32，3 2 ]解析：选A 由圆的方程可知圆心为O (0，0)，半径为2，因为圆上的点到直线l 的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l 的距离d <2＋1＝3，即d ＝|－a |12＋12＝|a |2<3，解得a ∈(－32，32)，故选A.16．已知点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值是( )A ．2 6B ．4 C. 6 D ．2解析：选B 根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，设点P 到圆心的距离为d ，则求最短弦长，等价于求到圆心的距离最大的点，即为图中的P 点，其坐标为(1，3)，则d ＝1＋32＝10，此时|AB |min ＝214－10＝4，故选B.17．过原点且与直线6x －3y ＋1＝0平行的直线l 被圆x 2＋(y －3)2＝7所截得的弦长为________．解析：由题意可得l 的方程为2x －y ＝0，∵圆心(0，3)到l 的距离为d ＝1，∴所求弦长＝2R 2－d 2＝27－1＝2 6. 答案：2 618．已知f (x )＝x 3＋ax －2b ，如果f (x )的图象在切点P (1，－2) 处的切线与圆(x －2)2＋(y ＋4)2＝5相切，那么3a ＋2b ＝________．19．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：（x －a ）2＋（y －b ）2可以转化为平面上点M (x ，y )与点N (a ，b )的距离．结合上述观点，可得f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10的最小值为________．解析：∵f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10＝（x ＋2）2＋（0－4）2＋（x ＋1）2＋（0－3）2，∴f (x )的几何意义为点M (x ，0)到两定点A (－2，4)与B (－1，3)的距离之和，设点A (－2，4)关于x 轴的对称点为A ′，则A ′为(－2，－4)．要求f (x )的最小值，可转化为|MA |＋|MB |的最小值，利用对称思想可知|MA |＋|MB |≥|A ′B |＝（－1＋2）2＋（3＋4）2＝52，即f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10的最小值为5 2. 答案：5 220．圆心在直线x ＝2上的圆与y 轴交于A (0，－4)，B (0，－2)两点，则该圆的标准方程是________．解析：根据题意，设圆的方程为(x －2)2＋(y －a )2＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧0－22＋－4－a2＝r 2，0－22＋－2－a2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，r 2＝5，所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.答案：(x －2)2＋(y ＋3)2＝521．与直线x －y －4＝0和圆A ：x 2＋y 2＋2x －2y ＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________．解析：如图，易知所求圆C 的圆心在直线y ＝－x 上，故设其坐标为C (c ，－c )半径为r ，又其直径为圆A 的圆心A (－1,1)到直线x －y －4＝0的距离减去圆A 的半径2，即2r ＝62－2＝22⇒r ＝2，即圆心C 到直线x －y －4＝0的距离等于2，故有|2c －4|2＝2⇒c ＝3或c ＝1，当c ＝3时圆C 在直线x －y －4＝0下方，不符合题意，故所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. 答案：(x －1)2＋(y ＋1)2＝222．抛物线y 2＝12x 的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当△FPM 为等边三角形时，△FPM 的外接圆的方程为________．解析：据题意知，△PMF 为等边三角形，PF ＝PM ，∴PM ⊥抛物线的准线，F (3,0)．设M (－3，m )，则P (9，m )，等边三角形边长为MP ＝2MA ＝2×6＝12，如图．在直角△APF 中，PF ＝12，FQ ＝23F A ＝23×PF 2－P A 2＝23×122－62＝43，外心Q 的坐标为(3，±43)，则△FPM 的外接圆的半径为FQ＝4 3.∴△FPM 的外接圆的方程为(x －3)2＋(y ±43)2＝48.答案：(x －3)2＋(y ±43)2＝4823．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．解析：圆C ：(x －4)2＋y 2＝1，如图，直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，只需保证圆心C 到y ＝kx －2的距离小于等于2即可，∴|4k －2|1＋k 2≤2⇒0≤k ≤43.∴k max ＝43.答案：4324．已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围； (2)若＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.解：(1)由题设可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 因为直线l 与圆C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1，解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2. ＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k 2＋8.由题设可得4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在直线l 上，所以|MN |＝2.25．已知点P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；学-科网(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1，3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM . 因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为y ＝－13x ＋83.又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离d 为4105，所以|PM |＝2|OP |2－d 2＝4105，所以△POM 的面积为S △POM ＝12|PM |d ＝165.26．已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方． (1)求圆C 的方程；(2)过点M (1，0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆心C (a ，0)⎝⎛⎭⎫a >－52，则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍)．所以圆C ：x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t ，0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k （x －1），得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0. 所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x轴平分∠ANB，则k AN＝－k BN⇒y1x1－t＋y2x2－t＝0⇒k（x1－1）x1－t＋k（x2－1）x2－t＝0⇒2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0⇒2（k2－4）k2＋1－2k2（t＋1）k2＋1＋2t＝0⇒t＝4，所以当点N为(4，0)时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立．。

2017届高三数学(理)二轮复习第一部分重点保分题题型(十六)直线与圆含答案

题型专题(十六)直线与圆[师说考点]1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．2．两个距离公式（1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝错误!.(2）点（x0，y0）到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝错误!.［典例] （1）“a＝－1”是“直线ax＋3y＋3＝0和直线x＋（a－2）y＋1＝0平行”的（)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件［解析］选C 依题意，直线ax＋3y＋3＝0和直线x＋（a－2）y＋1＝0平行的充要条件是错误!解得a＝－1。

（2）直线l过点（2，2），且点（5，1)到直线l的距离为错误!,则直线l的方程是( ）A．3x＋y＋4＝0 B．3x－y＋4＝0C．3x－y－4＝0 D．x－3y－4＝0[解析］选C 由已知，设直线l的方程为y－2＝k(x－2），即kx－y＋2－2k＝0，所以错误!＝错误!，解得k ＝3，所以直线l的方程为3x－y－4＝0。

［类题通法]求直线方程的2种方法(1）直接法:选用恰当的直线方程的形式,由题设条件直接求出方程中的系数，写出结果．(2）待定系数法:先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有待定系数，再由题设条件构建方程，求出待定系数．[演练冲关］1．已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线2x－y ＝0和x＋ay＝0上,且线段AB的中点为P错误!，则线段AB的长为( ）A．11 B．10 C．9 D．8解析:选B 依题意，a＝2,P(0，5）,由错误!得错误!即互相垂直的直线2x－y＝0和x＋ay＝0相交于点O（0，0)，于是|AB|＝2|OP|＝10。

故选B.2．已知点P（3，2）与点Q(1，4)关于直线l对称，则直线l的方程为（)A．x－y＋1＝0 B．x－y＝0C．x＋y＋1＝0 D．x＋y＝0解析：选A 由题意知直线l与直线PQ垂直，所以k l＝－错误!＝－错误!＝1.又直线l经过PQ的中点（2，3），所以直线l的方程为y－3＝x－2,即x－y＋1＝0。

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1．“C ＝5”是“点(2，1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3”的( )
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】：选B 点(2，1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3等价于|3×2＋4×1＋C |32＋42
＝3，解得C ＝5或C ＝－25，所以“C ＝5”是“点(2，1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3”的充分不必要条件，故选B.
2．圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )
A ．－43
B ．－34
C. 3 D ．2
【答案】A
【解析】：
3．已知圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝16的一条直径通过直线x －2y ＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为( )
A ．3x ＋y －5＝0
B ．x －2y ＝0
C ．x －2y ＋4＝0
D ．2x ＋y －3＝0
【答案】D 【解析】：选D 直线x －2y ＋3＝0的斜率为12
，已知圆的圆心坐标为(2，－1)，该直径所在直线的斜率为－2，所以该直径所在的直线方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y －3＝0，故选D.
4．圆心在曲线y ＝2x
(x >0)上，与直线2x ＋y ＋1＝0相切，且面积最小的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋(y －1)2＝25
B ．(x －2)2＋(y －1)2＝5
C ．(x －1)2＋(y －2)2＝25
D ．(x －1)2＋(y －2)2＝5
【答案】D
【解析】：
5．已知圆O ：x 2＋y 2＝4上到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点至少有2个，则a 的取值范围为( )
A ．(－32，32)
B ．(－∞，－32)∪(32，＋∞)
C ．(－22，22)
D ．[－32，3 2 ]
【答案】A
【解析】：
6．已知点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，
过点P 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A ，B 两点，则|AB |的
最小值是( )
A ．2 6
B ．4 C. 6 D ．2
【答案】B
【解析】：选B 根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，设点P 到圆心的距离为d ，则求最短弦长，等价于求到圆心的距离最大的点，即为图中的P 点，其坐标为(1，3)，则d ＝1＋32＝10，此时|AB |min ＝214－10＝4，故选B.
7．过原点且与直线6x －3y ＋1＝0平行的直线l 被圆x 2＋(y －3)2＝7所截得的弦长为________．
【答案】：2 6
【解析】：由题意可得l 的方程为2x －y ＝0，∵圆心(0，3)到l 的距离为d ＝1，∴所求弦长＝2R 2－d 2＝27－1＝2 6.
8．已知f (x )＝x 3＋ax －2b ，如果f (x )的图象在切点P (1，－2) 处的切线与圆(x －2)2＋(y ＋4)2＝5相切，那么3a ＋2b ＝________．
【答案】：－7
【解析】：由题意得f (1)＝－2⇒a －2b ＝－3，又∵f ′(x )＝3x 2＋a ，∴f (x )的图象在点P (1，
－2)处的切线方程为y ＋2＝(3＋a )(x －1)，即(3＋a )x －y －a －5＝0，∴|（3＋a ）×2＋4－a －5|（3＋a ）2＋12
＝5⇒a ＝－52，∴b ＝14
，∴3a ＋2b ＝－7. 9．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：（x －a ）2＋（y －b ）2可以转化为平面上点M (x ，y )与点N (a ，b )的距离．结合上述观点，可得f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10的最小值为________．
【答案】：5 2
【解析】：
10．已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．
(1)求k 的取值范围；
(2)若＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.
【解析】：(1)由题设可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1.
因为直线l 与圆C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2
<1，解得4－73<k <4＋73
. 所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭
⎪⎫4－73，4＋
73. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．
将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，
整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0.
所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2
.
＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k 2
＋8. 由题设可得4k （1＋k ）1＋k 2
＋8＝12，解得k ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1.
故圆心C 在直线l 上，所以|MN |＝2.
11．已知点P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．
(1)求M 的轨迹方程；
(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．
12．已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．
(1)求圆C 的方程；
(2)过点M (1，0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】：(1)设圆心C (a ，0)⎝⎛⎭⎫a >－52，则|4a ＋10|5
＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍)．所以圆C ：x 2＋y 2＝4.
(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .。