七年级数学5.1.2垂线(第一课时)
人教版 5.1.2垂线(1)
探究
线段、射线有没有垂线？若有，应该怎 么画？
P
A O 注意：过一点画射线或线段的垂线，是指画它们所 在直线的垂线，垂足有可能落在在延长线上。
练习：P5 练习2题
A
B
Q
例题
例1：如图，直线AB、CD互相垂直，垂足为 O 点O，直线EF过点O，∠DOF=36 ，求 ∠AOE的度数。
C E
A
O
B
D
F
回顾与思考
如右图，直线AB、CD相交 于O； （1）∠1与∠3什么关系？
C 1 2
A
4 O 3
B
D
（2）∠1的邻补角有几个？是哪几个？
（3）如果∠1=35 °则∠2= ， ∠3= ，∠4= ， （4）如果∠1=90°则∠2= ， A ∠3= ，∠4= ，
C
1
∟
O B D
探究
垂直：如果两条直线相交所成的四个角中有 任意一个角等于90°，那么这两条直线互相 垂直，它们的交点叫做垂足。其中一条是另 一条的垂线。 直线AB、CD互相垂直，记作 AB CD
练习
直线AB与直线CD相交于点O,若 ∠AOC=90°则 垂直 ①直线AB与直线CD互相______ A 记作_______. AB⊥CD
C
B
O
垂足 ②交点O又叫做_____.
D
③∠____= ° AOC ∠____= BOC ∠____= AOD ∠____=90 BOD
练习：P5
练习1题
探究
如图所示，AB⊥CD，垂足为O。
定义中有两个条件：
C
1、两条直线相交 2、有一个角是直角 注意：垂直是特殊的相交。
A
O
B
D
5.1.2垂线(第一课时)
ODCB A E(3)O D C B A (2)O D CB A (1)O D C B A l l l·B A图1 图2 图3EOAB45°DC课题：5.1.2 垂线（第一课时）【学习目标】1．理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线。
2．掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离。
3．掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理。
【学习重点】垂线的定义及性质。
【学习难点】垂线的画法 （一）创设情境，质疑激思1．如图，若∠1=60°，那么∠2=_______、∠3=_______、∠4=_______2．改变上图中∠1的大小，若∠1=90°，请画出这种图形，并求出此时∠2、∠3、∠4的大小。
（二）自主学习，知识梳理1. 当两条直线相交所成的四个角中有一个角是90°时，这两条直线互相 ，其中一条直线叫做另一条直线的 ，两条直线的交点叫 ，垂直用符号 来表示，读作 ，如直线AB 垂直CD ，就记作 。
回答上面所画图形中两条直线的关系是__________，知道两条直线互相________是两条直线相交的特殊情况。
2. 用语言概括垂直定义两条直线相交，所成四个角中有一个角是_____时，我们称这两条直线__________其中一条直线是另一条的 ，他们的交点叫做_____。
3．垂直的表示方法：垂直用符号“⊥”来表示，若“直线AB 垂直于直线CD ， 垂足为O”，则记为__________________，并在图中任意一个角处作上直角记号,如下图。
4. 垂直的推理应用：（1）∵∠AOD=90° （ ） ∴AB ⊥CD （ ）（2）∵ AB ⊥CD （ ）∴ ∠AOD=90°（ ） （三）合作探究，交流展示1. 用三角尺或量角器画出已知直线l 的垂线，这样的垂线能画出几条？2. 经过直线l 上一点A 画出l 的垂线，能画出几条？3. 经过直线l 外一点B 画出l 的垂线，能画出几条？由此我们得出如下结论： 一条直线的1.垂线有 条。
七年级数学5.1.2 垂线(第1课时)
选择题
巩固练习
2．两条直线相交所成的四个角中，下列条 件中能判定两条直线垂直的是 [ C ] A．有两个角相等 B．有两对角相等 C．有三个角相等 D．有四对邻补角
3．两个角的平分线相互垂直的有 [ D ] A．两角互补； B．两角互为对顶角； C．两角都是直角； D．两角为邻补角
看谁做得快
m
1.若直线m、n相交于点O， m⊥n 。 ∠1＝90°，则__________ 2.若直线AB、CD相交于点O， 且AB⊥CD，那么∠BOD＝____ 90。 ° 3.如图，BO⊥AO，∠BOC 与∠BOA的度数之比为1:5， 那么∠COA＝_____, 72° ∠BOC的补角为______ 162 度。
O 2
D
C
选择题
巩固练习
1．下面四种判断两条直线垂直的方法正确的有___ 个 [A ] (1)两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角， 则这两条直线互相垂直． (2)两条直线相交，有一组邻补角相等，则这两条直 线互相垂直． (3)两条直线相交，所成的四个角相等，这两条直线 互相垂直． (4)两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条直 线互相垂直． A．4 B．3 C．2 D．1
练习： 1. 如图，直线AB、CD相交于点O， E C OE⊥AB，∠1=125°, 求∠COE的度数.
A 1 O D B
2、如图,∠ABC=90° ,∠1=60° ,过B作 AC的垂线BO,垂足是O,过O作BC的垂线, 垂足是D,若∠1= ∠2,求∠ABO, ∠BOD.
解： ∵∠ABC=90°( 已知) A ∠1=60°（已知 ） ∴∠ABO=30° （互余的定义） ∵BO ⊥AC于O点 （已知） 1 ） ∴∠BOC=90°（垂直的定义） B 又∵∠2=∠1 （已知） ∴∠2=60° （等量代换） （互余的定义） ∴∠BOD=30°
《5.1.2垂线》作业设计方案-初中数学人教版12七年级下册
《垂线》作业设计方案（第一课时）一、作业目标通过本次《垂线》的作业设计，使学生能够：1. 理解垂线的概念及其在几何图形中的基本应用；2. 掌握垂线的画法及其在实际问题中的应用；3. 培养学生在解决几何问题时的逻辑思维能力和空间想象力。
二、作业内容作业内容主要围绕垂线的基本概念和性质，以及在具体问题中的应用展开。
具体包括：1. 基础知识练习：要求学生复习垂线的定义、性质和垂线的画法，通过填空题、选择题等形式进行练习。
2. 理解性题目：设计一些涉及垂线在几何图形中的应用问题，如求证两线段垂直、利用垂线求解角度等。
3. 实践操作题：要求学生利用直尺和圆规等工具，实际操作画出垂线，并解决一些与垂线有关的实际问题。
4. 拓展延伸题：设计一些涉及垂线与平行线、三角形等知识点结合的问题，培养学生综合运用知识的能力。
三、作业要求1. 学生需认真审题，明确题目要求，按照题目给出的条件和要求进行作答。
2. 基础题目需熟练掌握，理解性题目需深入思考，实践操作题需动手操作并记录过程。
3. 拓展延伸题需综合运用所学知识，进行深度思考和探究。
4. 作业需整洁、规范，解题过程需清晰明了。
四、作业评价1. 评价标准：根据学生对垂线概念的理解程度、题目解答的正确性、解题过程的规范性以及实践操作的准确性进行评价。
2. 评价方式：教师批改作业时，需对每道题目进行仔细审阅，给出评分和评语。
同时，可采取学生互评的方式，让学生互相学习、互相进步。
3. 反馈方式：将作业中的典型问题及错误进行归纳整理，通过课堂讲解、小组讨论等方式进行反馈和纠正。
对优秀作业进行展示和表扬，激励学生积极参与。
五、作业反馈1. 教师需对学生在作业中出现的错误进行及时纠正，并指导学生进行反思和总结。
2. 对学生的疑惑和问题进行解答和指导，帮助学生解决学习中的困难。
3. 根据作业情况，调整教学进度和教学方法，更好地满足学生的学习需求。
4. 对学生的作业情况进行总结和分析，为后续教学提供参考和依据。
5.1.2垂线正式版(1)
BD 的长度
的长度.
BD .的距离.
B
E
AD
C
AO
B
∴ ∠DOB=40°(互余的定义)
C
F
∴ ∠AOC= ∠DOB=40°（对顶角相等）
又∵OB平分∠DOF ∴ ∠BOF= ∠DOB=40°（角平分线定义）
∴ ∠EOF= ∠EOB+ ∠BOF=90°+40°=130°
∴ ∠COF=∠COD－∠DOF=180°－80°=100°
(邻补角定义)
1.垂线的画法：
D
∴ ∠ EOD= ∠ EOB+ ∠ BOD
=90 °+55 °=145 °
例2 如图,直线AB、CD相交于点O,OE⊥AB于
O，OB平分∠ DOF，∠DOE=50°,求∠AOC、
∠ EOF、 ∠ COF的度数. E
解: ∵ AB⊥OE （已知）
D
∴ ∠EOB=90°(垂直的定义)
∵ ∠DOE= 50° （已知）
A
B
B
练习
1、如图，分别过A、B、C 作BC、AC、AB的垂线。
A
解：如图、AD⊥BC于D、 BE⊥AC于E、CF⊥AB于F
2、如图，过P分别作OA、
OB的垂线。
O
解：如图、PM⊥OA于M、 PN⊥OB于N
B F
CE D MA
P
NB
3、下面四种判定两条直线的垂直的方法，正确
的有（ A ）个
（1）两条直线相交所成的四个角中有一个角是
∴ ∠AOD=90° （垂直的定义）
应用垂直的定义：∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°
二、例题
例1 如图，直线AB、CD相交于点O， OE⊥AB，∠1=55°,求∠EOD的度数.
人教版七年级数学下册 5-1-2 垂线(第一课时) 教案
5.1 相交线5.1.2 垂线(第一课时)教学反思教学目标1.理解垂线的概念.2.理解垂线的性质——在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线.3.会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线.教学重难点重点：两条直线互相垂直的概念、性质和画法.难点：过一点作已知直线的垂线.课前准备相交线模型、多媒体课件教学过程导入新课导入一：教师：在前面我们学习了两条直线相交形成了四个角，这四个角会产生4对邻补角和2对对顶角.你们还记得它们的定义吗？学生回答，老师纠正.教师：如果两条直线相交，形成的四个角中有一个角是直角时，这两条直线有怎样的特殊关系？日常生活中有没有这方面的实例呢？今天我们就来研究这个问题.(板书课题：5.1.2垂线(第一课时))导入二：教师：同学们观察教室里的课桌面相邻的两边，黑板面相邻的两边，方格纸的横线和竖线……这些给大家什么印象？学生回答，教师指出：“垂直”这两个字对大家并不陌生，在小学，我们已经学习过“垂直”，对于“垂直”的知识我们已经了解了一些.今天，我们就在原有知识的基础上，继续探究“垂直”.(板书课题：5.1.2垂线(第一课时))设计意图通过生活中我们经常见到的现象引出垂直，通过新问题来激发学生的学习兴趣.探究新知探究点一：认识垂线和垂直教师：拿出相交线模型，如图1，演示模型，提问学生：固定木条a，转动木条b，当b的位置发生变化时，什么量随之发生变化？学生：当b 的位置变化时，a，b 所形成的四个夹角的度数随之发生变化. 教师：在b 转动的过程中，当a ，b 所形成的夹角∠α＝90°时(如图2所示)，木条a 与b 所形成的其他三个角的度数是多少？为什么？图2学生：另外三个角也是90°.教师：这种特殊的位置关系，即∠α＝90°时，我们就说a 与b 互相垂直.我们身边存在大量的形如两条直线相互垂直的实例，请同学们举一些例子.学生发言，教师肯定.教师追问：根据前面的活动，你们能说出什么样的两条直线互相垂直吗？ 师生活动鼓励学生大胆发表自己的见解，学生可能会说两条直线相交所构成的四个角都是直角时，两条直线互相垂直，这时可以引导学生认识到：两直线相交所构成的四个角中，只要有一个角是直角，就可以得出其他三个角也是直角.教师总结并板书垂直的概念：两条直线相交所构成的角中有一个角是直角时，我们就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.教师强调：“互相垂直”与“垂线”的区别与联系：“互相垂直”是指两条直线的位置关系；“垂线”是指其中一条直线对另一条直线的命名.如果两条直线“互相垂直”，那么其中一条直线必定是另一条直线的“垂线”；如果一条直线是另一条直线的“垂线”，那么它们必定“互相垂直”.设计意图垂直是两条直线相交的特殊情形，两条直线垂直所形成的四个角之间的关系，需要由“邻补角和为180°”“对顶角相等”得出.相交线模型的演示与有关问题的引导，使学生对垂直的认识由感性上升到理性，从而加深学生对垂直的理解.教师：许多几何图形都可以用符号来表示，例如，角用“∠”表示，三角形用“△”表示等等，垂直也有它自己的符号.教师：垂直用符号“⊥”表示，如图3所示，直线AB 垂直于直线CD ，垂足为O ，就可记为“AB ⊥CD ，垂足为O ”.(教师板书)图3教师：根据垂直的定义，结合图3，当AB⊥CD时，∠AOD是多少度？学生：∠AOD＝90°.教师：我们如何用几何推理语言来描述这个结论.学生大胆发言，教师引导并板书：因为AB⊥CD，所以∠AOC＝90°(垂直的定义).教师：把这个推理倒过来，当∠AOC＝90°，直线AB，CD具备什么特殊的位置关系？学生：垂直.教师：如何用几何推理语言描述这个结论.学生发言，教师板书：因为∠AOC ＝90°，所以AB⊥CD(垂直的定义).设计意图教学中在明确给出垂直的定义后，借助图形用符号语言来表示，让学生从文字语言、图形语言、符号语言等不同角度来认识垂直，实现了三种语言之间的转化，在此过程中，培养了学生用几何语言表达问题的能力，增强了学生的符号感.探究点二：垂线的画法及性质教师：根据垂直的定义，我们知道要想画垂线，必须有直角，我们的学习用具中有存在直角的吗？学生：三角尺、量角器中存在直角.教师：现在我们就开始研究用三角尺和直尺或者量角器画垂线的方法，出示课本探究.如图4所示.(1)用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条？(2)经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条？(3)经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条？(1) (2)图4学生独立尝试，小组合作交流，完成下面填空和思考：1.垂线的画法：第一步：靠，即三角尺的一条直角边紧靠；第二步：过，即三角尺的另一条直角边过；第三步：画，即画出垂线.2.(1)与直线l垂直的直线能画条.(2)经过直线上一点能画条直线与已知直线垂直.(3)经过直线外一点能画条直线与已知直线垂直.教师在学生合作交流的基础上组织两名学生用三角尺演示第(2)(3)问，并展示上述填空.教师：如果把(2)(3)两条结论合并在一起，你们认为应该怎样表达.学生发言，教师引导得出垂线的性质并板书.垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.设计意图在本环节的教学中有两个重要的任务，除了让学生掌握垂线的性质外，还应让学生在探究性质的过程中，掌握过一点作已知直线的垂线的方法，它是几何作图中的一种常用的基本作图，需要学生熟练掌握.虽然学生在小学已经接触过垂线的作法，但要在各种情境中熟练作图，对学生来说也是一个难点，尤其是过已知点作线段的垂线.因此在这一环节的教学中应给予学生充分的机会来感受、体会、总结、训练垂线的作法，教师也可以在此基础上演示总结用三角尺过一点画已知直线的垂线的方法：一靠，即三角尺的一条直角边紧靠已知直线也就是与已知直线重合；二过，即三角尺的另一条直角边过已知点；三画，即画出垂线.使学生能够顺利突破难点.新知应用例1 判断下列语句是否正确？(1)两条直线相交，若有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直.( )(2)若两条直线相交构成的四个角相等，则这两条直线互相垂直.( )(3)一条直线的垂线只能画一条.( )(4)过一点可以任意画已知直线的垂线.( )答案：(1)正确(2)正确(3)错误(4)错误师生活动教师读题，学生抢答.设计意图考查学生由角的关系来判断两直线的位置关系，强化对垂直概念的理解..或线段AB的垂线.图5师生活动找三位同学在黑板上板演，其他同学自己动手画图，画完之后请同学们点评.(1) (2) (3)图6教师引导学生归纳：画一条射线或线段的垂线，就是画它们所在直线的垂线.设计意图训练学生在各种情境中熟练作图，通过此练习，给学生充分的机会来感受、体会、总结、训练在各种条件下垂线的作法.课堂练习(见导学案“当堂达标”)参考答案1.C2.B3.D4.B5.C6.D7. 垂直 AB ⊥CD DOB BOC COA 8.30° 9.解：OD ⊥OE.理由：∵ OD 平分∠BOC ，∴ ∠COD ＝12∠BOC.∵ OE 平分∠AOC ，∴ ∠COE ＝12∠AOC. ∴ ∠EOD ＝∠COD+∠COE＝12(∠BOC+∠AOC)＝12×180°＝90°，即OD ⊥OE.10.解：(1)∠AOD ＝120°.(2)∠AOD ＝110°.(3)猜想∠AOD 与∠BOC 互补.理由如下：如题图①，∵ ∠AOD ＝∠AOC+∠COD ＝∠AOC+90°，∠BOC ＝∠AOB-∠AOC ＝90°-∠AOC ，所以∠AOD+∠BOC ＝180°，即∠AOD 与∠BOC 互补.(见导学案“课后提升”)参考答案1.解：∵ OE 平分∠BOD ，∴ ∠DOE ＝∠BOE. ∵ ∠AOD ∶∠DOE ＝4∶1，∴ ∠AOD ∶∠DOE ∶∠BOE ＝4∶1∶1.又∵ ∠AOB ＝180°，∴ ∠DOE ＝∠BOE ＝180°×16＝30°，∴ ∠COB ＝∠COD-∠DOE-∠BOE ＝180°-30°-30°＝120°. 又∵ OF 平分∠COB ，∴ ∠COF ＝∠BOF ＝12∠COB ＝60°，∴ ∠AOF ＝∠AOB-∠BOF ＝180°-60°＝120°. (此题解法多种，只提供一种)2.解：有可能有三个或两个或一个.如图7所示.课堂小结1.本节课主要学习了两条直线互相垂直、垂线以及垂足的概念和垂线的一条性质.2.会用三角尺或量角器过一点画已知直线、射线、线段的垂线.3.要关注三种语言，即文字语言、图形语言、符号语言之间的转化.布置作业教材第8页习题5.1第3，4，5题板书设计。
5.1.2垂线(1)
5.1.2 垂线（第一课时）【概念】1.如图，当∠AOC=90°时，直线AB,CD互相垂直，记作AB⊥CD, 交点O叫做垂足。
读作AB垂直于CD。
其中，直线AB（或CD）叫做直线CD（AB）的垂线。
2.画垂线的基本方法：一贴：三角尺的一条直角边贴住已知直线；二靠；另一条直角边靠住已知点三画：按要求画垂线3.在同一个平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直4.连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
【典型例题】1.如图，直线AB、CD相交于O点，当︒∠90AOC时，∠BOD=________°，=∠BOC=________°直线AB、CD的位置是_________关系，记作____________。
2.如图，AB、CD相交于点O,OE⊥AB于O，∠1=30°，则∠1=___________°，∠COA=___________°3.画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线，如图，请过点P画出线段AB的垂线PN。
4.如图，直线AB、CD相交于点O，（1）若AB⊥CD,则∠AOC=∠BOC=∠BOD=∠AOD=_________°；（垂直的定义）（2）若∠AOC=90°，则AB⊥_______。
（垂直的定义）5.如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于O，∠COE=55°，则∠BOD的度数是（）A.40°B.45°C.30°D.35°6.已知，如图，（1）在图①中过点P画直线AB的垂线PN，垂足为N；（2）在图①中过点P画AP的垂线MP，交AB于M；（3）在图②中过点P画PC⊥AB,垂足为C.图①图②7.如图，已知直线MN和PQ互相垂直，O是垂足，RS是过O点的直线，∠1=50°则∠1=（）A.50°B.40°C.60°D.以上都不对8.如图，AB⊥CD与点B，BE是∠ABD的平分线，则∠CRE的度数为___________。
5.1.2 垂线(授课典案)
5.1.2 垂线第1课时垂线第2课时垂线段课题第1课时垂线第2课时垂线段授课人教学目标知识技能1.使学生掌握垂线、垂线段、点到直线的距离等概念,理解垂线的性质,掌握在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直的结论;2.会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线.数学思考经历观察、操作、分析、概括、交流等学习过程,进一步提高学生的作图能力以及运用数学符号进行逻辑推理的能力.问题解决通过探索垂线的性质,能解决相关的垂线问题,并能够进行适当的说理.情感态度1.通过动手观察、操作、推断、交流等数学活动,进一步发展学生交流、合作的能力及有条理地表达自己思想的能力;2.通过创设情境,利用变式训练等多种教学手段来激发学生的学习兴趣,给学生创造成功的机会,使他们爱学、会学且学会,从而体验成功的快乐.教学重点垂线的概念、画法和垂线的两个性质.教学难点垂线的画法;对点到直线的距离的概念的理解.授课类型新授课课时教具量角器、三角尺、直尺、相交线模型教学活动教学步骤师生活动设计意图活动一: 创设情境导入新课【课堂引入】图5-1-28被钉死在十字架上的人是谁?十字架有什么意义?十字架原是罗马帝国处以死刑的刑具,反映了帝国的残暴本性,原为耻辱的记号.上帝之子耶稣为了拯救人类,被人钉于十字架,舍命,流血,牺牲,第三天从死里复活.使一切信他的人,罪得赦免,与神和好,获得永生.从此,活动一: 创设情境导入新课十字架具有了荣耀、得胜的含义,成了耶稣救人的标志、基督教的标志和爱的标志,也被用来作为医疗的标志.该图隐含怎样的几何图形?生活中还有哪些这种图形呢?(书本相邻的两条边、窗户框相邻的两边等)今天我们就来研究这种特殊情况!图5-1-29教师出示相交线的模型(如图5-1-29),演示模型,学生观察思考:固定木条a,转动木条b,当b的位置变化时,a,b所成的角∠α是如何变化的?通过耶稣被钉在十字架上引入相交线的模型,并揭示了“十字架”的多重含义.其中渗透了对学生的德育教育,让学生热爱生命,形成博爱的观念,并且十字架中隐含相交线的特殊情况——垂直.活动二: 实践探究交流新知【探究1】垂线的概念1.垂线的定义(1)【课堂引入】中的图5-1-29,木条a不动,当木条b转到什么位置时,两根木条互相垂直?(2)转动木条b时,它和不动的木条a互相垂直的位置有几个?活动二: 实践探究交流新知(3)当a,b相交形成的角中有一个角是直角时,其他三个角的度数是多少?通过模型展示及学生交流应使学生明白:当b的位置变化时,∠α从锐角变为钝角,其中∠α是直角是特殊情况.其特殊之处还在于:当∠α是直角时,它的邻补角、对顶角都是直角,即直线a,b相交所形成的四个角都是直角,都相等.引导学生概括垂线的定义:当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫垂足.辨析:“互相垂直”与“垂线”.“互相垂直”指两条直线的位置关系;“垂线”是指其中一条直线相对另一条直线的命名.如果说两条直线“互相垂直”时,其中一条必定是另一条的“垂线”,如果一条直线是另一条直线的“垂线”,则它们必定“互相垂直”.图5-1-302.垂直的符号表示垂直用符号“⊥”来表示,“⊥”读作“垂直于”.如图5-1-30,直线AB垂直于直线CD,垂足为O,则记为AB⊥CD,垂足为O,一般在图中任意一个直角处作上直角记号.3.用垂线的定义进行推理(1)如图5-1-30,你能说出由什么条件就知道AB与CD互相垂直吗?因为∠BOC=90°(已知),所以AB⊥CD(垂直的定义).(2)如果AB⊥CD,那么可得到什么结论?(填空)因为AB⊥CD于点O(已知),所以∠BOC=90°(或∠AOC=90°或∠AOD=90°或∠BOD=90°)(垂直的定义).1.通过探究,让学生独立思考,动手操作,经历探索过程,发现结论.培养学生归纳探究的能力及逻辑推理能力.活动二: 实践探究交流新知【探究2】垂线的性质1图5-1-31让学生用三角尺或量角器画已知直线的垂线.(1)如图5-1-31,现有一条已知直线AB,分别过直线外一点C和直线上一点D,作直线AB的垂线,你有几种方法?(2)通过上述方法画出的垂线有几条?从中你能发现什么结论?学生独立思考,动手操作,自主探索.经过思考、操作,发现对于问题(1)可以有下列两种方法来画垂线:①用量角器;②用三角尺,如图5-1-32.图5-1-32教师在学生动手操作后演示课件“用三角尺作垂线”,让学生进一步感受画垂线的过程.师生共同总结画垂线的方法:(1)用三角尺:贴直线——过定点——画垂线.用三角尺的两条直角边“一贴”:贴住已知直线,“二靠”:靠住已知点,“三画”:画垂线.(2)用量角器.学生通过思考得到:在同一平面内,经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线垂直.注意:(1)在同一平面内,经过直线上一点或直线外一点画已知直线的垂线,只能画出一条.(2)如过一点画射线或线段的垂线,是指画它们所在直线的垂线,垂足有时在射线的反向延长线或线段的延长线上.【探究3】垂线的性质22.引导学生总结作垂线的一般方法.3.培养学生的作图能力、说理能力以及思考问题的严谨性.活动二: 实践探究交流新知1.解释概念垂线段:垂线上一点到垂足的线段;点到直线的距离:直线外一点到这条直线的垂线段的长度.2.问题:(1)如图5-1-33,在灌溉时需要把河AB中的水引到C处,如何挖渠能使渠道最短?图5-1-33(2)从上述探究过程中你能发现什么结论?图5-1-34学生可以自主探究,如图5-1-34,先在直线AB上任取一些点,连接这些点和点C,可以发现所连的这些线段中CD最短,此时CD ⊥AB,于是找到挖渠方案.3.学生归纳:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.简单说成:垂线段最短.注意:垂线是直线;垂线段特指一条线段;点到直线的距离是指垂线段的长度,它是一个数量,是有单位的.活动三: 开放训练体现应用【应用举例】例1如图5-1-35,在给出的图形上,完成下列作图:(1)作出点A到直线BC的垂线段AD,并量出点A到直线BC的距离;(2)过点B作AC的垂线,垂足为E,过点C作AB的垂线,垂足为F;(3)延长DA,你能发现什么有趣的结论?图5-1-351.通过例题让学生学会画线段的垂线,并感受三角形三边上的高所在的直线相交于一点的这一事实.活动三: 开放训练体现应用解:(1)如图5-1-36.测量略.(2)如图5-1-36.(3)直线DA,BE,CF相交于同一点.图5-1-36变式1.在图5-1-37中分别画出点A,B到直线CD的垂线段AE,BF.图5-1-37解:如图5-1-38所示.图5-1-382.如图5-1-39,点A表示小明家,点B表示小明外婆家,若小明先去外婆家拿渔具,然后再去河边钓鱼,怎样走路程最短,请画出行走路径,并说明理由.图5-1-39 图5-1-40解:行走路径如图5-1-40,从A到B再到C.理由是两点之间线段最短,垂线段最短.2.通过变式练习进一步巩固垂线的概念及作图.活动三: 开放训练体现应用【拓展提升】例2如图5-1-41,一辆汽车在直线形公路AB上由A地开往B地,M,N是位于公路两侧的村庄.图5-1-41(1)设汽车行驶到公路AB上的点P位置时,距离村庄M最近;行驶到点Q位置时,距离村庄N最近,请在图中的公路AB上分别画出点P和点Q的位置;(2)当汽车从A出发向B行驶时,在公路AB的哪一段,距离M,N两村庄都越来越近?在哪一段路上距离村庄N越来越近,而距离村庄M越来越远?让学生运用垂线段最短的性质解决生活中的实际问题,让他们感受到数学来源于生活,从而增加他们学习数学的兴趣.活动四: 课堂总结反思【当堂训练】1.下面四种说法:(1)在同一平面内,过一点有一条线和已知直线垂直;(2)在同一平面内,过一点有且只有一条直线和已知直线垂直;(3)直线的垂线和直线上的任一线段垂直;(4)对顶角中有一个角是直角时,相邻的边互相垂直.其中说法正确的有(D)A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图5-1-42,直线AB,CD相交于点O,EO⊥CD.下列说法错误的是(C)A.∠AOD=∠BOCB.∠AOE+∠BOD=90°C.∠AOC=∠AOED.∠AOD+∠BOD=180°图5-1-423.如图5-1-43是小凡同学在体育课上跳远后留下的脚印,他的跳远成绩是线段AP的长度.通过练习进一步巩固所学垂线的概念及性质,且能使教师及时掌握本课教学效果,为后续教学的安排提供依据.活动四: 课堂总结反思图5-1-434.课本第6页练习.课后作业:1.课本第8页习题5.1第3,4,5,6,7题.2.课本第9页习题5.1第10,12题.【板书设计】第1课时垂线第2课时垂线段框架图式总结,更容易形成知识网络.【教学反思】①[授课流程反思]通过耶稣被钉在十字架上引入相交线的模型,并揭示了“十字架”的多重含义.其中渗透了对学生的德育教育,让学生热爱生命,形成博爱的观念,这是对学生进行思想教育非常重要的方法,使学生在学到知识的同时受到了良好的美育、德育教育.活动四: 课堂总结反思②[讲授效果反思]本节采用“引导发现”法鼓励学生自己去发现、分析、解决问题,使学生在自己动手的基础上,发现垂线的性质,又借助于教具、实物、图形,从直观的感性认识发现抽象的概念,使他们成为探求知识的主体,同时还利用边讲边练的教法让学生对新知加以巩固理解.通过变式训练习题、开放性习题帮助学生逐步树立转化的思想和发展性思维.在授课过程中努力遵循由学生置疑——感知——概括——应用的过程,通过学生积极参与、积极思维,使学生从被动的学习转化到主动探索和发现的过程中,使学生能感受到学习与探索的乐趣.③[师生互动反思]④[习题反思]好题题号错题题号回顾反思,找出差距与不足,形成知识及数学体系,更进一步提升教师教学能力.一、自学范围（课本练习） 二、自学目标：1、知道垂线的定义、能过一点画出已经直线的垂线、会用符号表示垂直。
5.1.2 垂线(1)
A
C
B
O
(2)
D
五、强化训练
3、如图所示，直线AB⊥CD于点O，直线EF经过 点O，若∠1=26°，求∠2的度数． 解： ∵ ∠1=26°， ∠DOF= ∠1
∴ ∠DOF=26° ∵ AB⊥CD ∴ ∠AOD=90° ∴ ∠2= ∠AOD﹣ ∠DOF
第五章 相交线和平行线 5.1.2 垂线（1）
二、学习目标
1 经历观察、操作、想像、归纳概括、交流等 活动,培养用几何语言准确表达的能力。
2 了解垂直概念,能说出垂线的性质。
3 会用三角尺或量角器过一点画一条 直线的垂线.
一、新课引入
1.学生观察思考:固定木条a,转动木条b, 当b的位 置变化时,a、b所成的角也发生变化。当 =90°时，会有特殊情况出现，a、b所成的四个 角有什么特殊关系?
记作 AB⊥C，D此时，∠AOD=∠COA = ∠DOB = ∠BOC =90°
点
A
一
C
D
O
B
三、研读课文
2、如图所示，OA⊥OB，OC是一条射线，若
知 ∠AOC=120°，求∠BOC度数
识 点 解：∵ OA⊥OB
一
∴∠AOB=90°
∵ ∠AOC=120°
∴ ∠BOC=∠AOC﹣∠AOB
=120 °﹣90°=30°
三、研读课文
垂线公理
知
在同一平面内，过一点有且只有 一条 直线与
识
已知直线垂直。
点 二
观察下图，分析探究作直线的垂线的方法，然 后作图：
三、研读课文
(1)过直线L外一点A作直线a与
A
人教版初中数学七年级下册5.1.2《垂线》教案(1)
5.1.2 垂线教学设计（第一课时）一、设计理念在平面几何的教学中教师应该根据认知规律，设计符合学生认知水平的教学活动，通过学生的感知、思考、归纳和抽象，形成对几何图形的认识。
由于本节课的内容在理解上较为容易，因此在本教案的内容安排上，尝试利用“发现法”教学，引导学生自己观察，分析特征猜想结论，通过和同学们一起讨论探究得出垂线和垂线段的有关性质。
二、教材分析《垂线》是人教版七年级数学第五章《相交线与平行线》中的内容，包括垂直概念、垂线概念、用数学符号表示垂直、垂线的两个性质和点到直线距离等知识。
它是在学生对基本图形点、线、角有了初步认识的基础上学习的一种特殊位置关系，初步向学生参透由一般到特殊的思想。
其学习方式和研究方法，对今后认识图形、形成空间观念起到奠基的作用，特别是对今后要学习的三角形、平行四边形和圆都有举足轻重的作用，在物理的领域也不缺少垂线性质的应用。
也是培养学生观察、动手、分析、归纳能力的重要内容，对学生的探究精神、学习兴趣的培养都具有重要意义。
三、学情分析学生在小学四年级学习过垂线，对垂线图形有了最基本的认识，也了解了垂直的一些简单性质，但对垂线并没有深入的研究，没对垂线给出严格的几何定义，也没对垂线的性质作深入的探讨。
学生在七年级第三章学习了基本的图形点、线、角，这使学生学习垂线有了基础。
但是由于学生的年龄较小，学习几何的时间太短，理论性的证明往往使他们觉得枯燥无味，因此根据教材的特点，创设问题情境，让他们自己去发现事物的特性，尝试数学家发现问题的思维过程，会使学生充满极大的乐趣去参与教学活动，课堂的效果将会很好。
四、重点和难点重点：垂线的定义，用三角尺或量角器过一点画已知直线垂线。
难点：过一点画已知直线的垂线。
五、教学目标知识与技能：知道垂直是相交的特殊情况，理解垂线的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线。
过程与方法︰通过操作﹑探究等活动，培养学生的动手能力，并通过活动使学生对知识的学习从感性认识上升到理性认识。
5.1.2 垂线(1)
The perpendicular line
泸州市蓝田中学 罗宏
学习目标
1．从实际问题发现两条直线的垂直关系及垂直
的第一个性质， 培养学生发现问题能力．
2．通过用三角板或量角器过一点画已知直线的 垂线，培养学生画图的基本技能． 3．通过学习垂直的表示方法，使学生建立初步 的符号感． 4．能初步运用垂直的定义解决有关问题.
垂直的定义
b
a
a
观察 A
观察
两条直线相交所成的
D
C
角中，如果有一个角
O B
等于90°，就说这两
条直线互相垂直。
定义的解读
A
2．符号：“⊥”读作“垂直于
D
C
O B
3、垂直在图中的用“ ” 4、正向理解 ∵∠AOD=90 ° ,（已知） ∴AB⊥CD （垂直的定义）
1．定义：当两条直线相
交所成的四个角中，有一 个角是直角时，就说这两 条直线是另一条直线的垂
条直线互相垂直，其中一 5、逆向理解
线，交点叫做垂足．
∵AB⊥CD, （已知） ∴ ∠AOD=90 （垂直的定义） °
生活中的垂直
垂直的性质
用三角尺和量角器画已知直线l的垂线，这样的垂
线能画出几条？ A
A
观察
l
观察
l
操作方法：一贴、二靠、三画. 垂直的性质：经过一点有且只有一条直线与已知 直线垂直.
3. 如图，过点 A 作 AD ⊥ CB ，垂足为 D 。过点 B 作
BE⊥AC，垂足为E。
运用探究
如图， O 为直线 AB 上一点，∠ BOC=3 ∠ AOC ，
OC 是∠ AOD 的平分线 . （ 1 ）求∠ COD 的度数； （2）判断OD与AB的位置关系，并说明理由. 解：（1）∵∠BOC=3∠AOC，
人教版七年级下册数学精品课件(RJ) 第五章 相交线与平行线 相交线 垂线 第1课时 垂线及其性质
8．(10分)(1)如图①，作AE⊥BC，CF⊥AD，垂足分别为E，F； (2)如图②，分别过点P作垂线PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D.
解：(1)如图①所示 (2)如图②所示
一、选择题(每小题5分，共10分) 9．(益阳中考)如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD.下列说法错误的是 ( C) A.∠AOD＝∠BOC B．∠AOE＋∠BOD＝90° C．∠AOC＝∠AOE D．∠AOD＋∠BOD＝180°
AOC，OF 平分∠BOC，所以∠EOC＝12 ∠AOC＝65°，∠COF＝12 ∠COB＝ 25°，所以∠EOF＝65°＋25°＝90°，所以 OE⊥OF (2)因为∠BOC＝α，所以∠AOC＝180°－α. 因为 OE 平分∠AOC，OF 平分∠BOC，
所以∠EOC＝12 ∠AOC＝90°－12 α，∠COF＝12 ∠COB＝12 α，所以∠EOF＝
14．(12分)如图所示，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，OM⊥ON，∠BOC ＝26°，求∠AOD的度数．
解：因为OM平分∠AOB，ON平分∠COD，所以∠AOB＝2∠AOM＝ 2∠BOM，∠COD＝2∠CON＝2∠DON.因为OM⊥ON，所以∠MON＝90°，所 以∠CON＋∠BOC＋∠BOM＝90°.因为∠BOC＝26°，所以∠CON＋∠BOM ＝90°－26°＝64°，所以∠DON＋∠AOM＝64°，所以∠AOD＝∠DON＋ ∠AOM＋∠MON＝64°＋90°＝154°
【素养提升】 15．(16分)如图，点O为直线AB上一点，OC为一射线，OE平分∠AOC，OF平 分∠BOC.
(1)若∠BOC＝50°，试探究OE，OF的位置关系； (2)若∠BOC为任意角α(0°<α<180°)，则(1)中OE，OF的位置关系是否仍成立？ 请说明理由．由此你发现什么规律？
5.1.2 垂 线 (第1课时)
知识拓展
(1)垂直是相交线中一种特殊形式,当垂直时,这个公 共点即为垂足. (2)线段与线段、线段与射线、射线与射线、线段 与直线或射线与直线垂直,特指它们所在的直线互相垂 直. (3)根据两条直线互相垂直的定义可知:若两条直线 互相垂直,则所成的四个角都为直角;反之,若两条直线 相交所成的四个角中的任意一个角等于90°,则这两条 直线互相垂直.
【思考】
生活中有许多垂直的例子,你能举出一些例子吗?
例：如图所示,三条直线相交于点O.若
CO⊥AB,∠1=56°,则∠2等于 B
A.30° C.45° B.34° D.56°
(
)
〔解析〕∠1和∠2既不是对顶角也不是邻补角,这就需要根据给出的 ∠1的度数和相关位置进行思考.根据已知条件,把CO⊥AB转化为 ∠AOC=∠COB=90°是关键.发现∠AOD,∠DOB分别是∠2的邻补角 和对顶角后,问题即可解决.方法1:因为CO⊥AB,所以∠COB=90°,所 以∠DOB=90°-∠1=90°-56°=34°.所以∠2=∠DOB=34°(对顶角 相等).方法2:因为CO⊥AB,所以∠COB=90°,所以 ∠AOD=90°+∠1=90°+56°=146°.所以∠2=180°-146°=34°(邻 补角互补).
(3)画垂线时是实线,此时如需延长线段或反向延长射 线,要用虚线延长或反向延长.
课堂小结
1.垂线的概念: 当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直 角时,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线 叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.
课堂小结
2.垂线的性质:
(1)在同一平面内,过一点有且只有一条直线与 已知直线垂直.
七年级数学· 下 新课标[人]
第五章
哈尔滨市实验中学七年级数学下册 第五章 相交线与平行线5.1 相交线5.1.2 垂线第1课时 垂线导
5.1相交线5.1。
2垂线第1课时垂线一、新课导入1。
导入课题：观察周围的景物：墙与地面、桌腿与地面、公路两边的电线杆与地面的位置关系都给我们垂直的印象，导出课题——垂线.2.学习目标：（1）能说出垂线、垂线段的意义、会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线。
（2）记住垂线的性质并会利用所学知识进行简单的推理.3。
学习重、难点:重点：正确理解垂线、垂线段的概念。
难点:能利用垂线的性质进行简单的推理.二、分层学习1.自学指导：（1)自学内容：课本P3至P4“探究”之前的内容。
(2）自学时间：5分钟。
（3）自学要求：认真阅读教材，对重、难点内容做好标记.不清楚，不懂的地方可以小组讨论。
（4）自学参考提纲:①垂线的定义：结合相交线模型和图5。
1-4体会当∠α=90°时，a和b互相垂直，这说明：当两条直线相交成的四个角中，有一个角是90°时，就说这两条直线是互相垂直的,其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.②垂线的定义推理过程（如图1）：因为AB⊥CD(已知)，所以∠AOC=∠AOD=∠BOC=∠BOD=90°(垂直定义).反之因为∠AOC=90°(已知）,所以AB⊥CD(垂直定义）。
③如图2，直线a ⊥ b，∠1 = 35°，则∠2 =55°。
④当两条直线相交所成的四个角相等时，这两条直线有什么位置关系？为什么?互相垂直.2.自学：同学们可结合自学指导进行自学。
3.助学：（1）师助生：①明了学情：教师在学生自学时巡视课堂，关注学生的学习进度和学习中存在的问题。
②差异指导:对在自学中遇到疑难或认识有偏差的学生进行点拨引导.（2）生助生：学生通过小组交流探讨各自遇到的问题。
4.强化:（1)垂线、垂线段的概念.(2)举例说明生活中的垂直现象.1.自学指导：（1）自学内容:课本P5练习之前的内容。
(2）自学时间：3分钟。
（3）自学要求：根据探究提纲动手操作画图；在动手过程中互助交流作图方法。
5.1.2垂线(第一课时)1
命好题是检测教师教学能力的一项重要的工作。
课上的好的老师不见得能命好题。
因为命题能力必须是在学习、探索和实践中才能具有并不断提高的。
命好题对于每个人来说都是一次比较大的能力提升过程。
一、关注学生的发展性评价现代教育评价旨在建立一个评价目标多元、评价方法多样的评价体系。
现代理念下的学生学习评价，不仅仅知识和技能，而且也关注过程和方法尤其是解决问题的能力、合作交流技能等方面以及学科学习的情感和态度。
为了较好地实施过程性评价和实现学生的综合素质评价：1、注重对学生学科学习过程的评价。
2、恰当评价学生对基础知识和基本技能的理解和掌握。
3、重视对学生发现问题和解决问题能力的评价。
二、学业评价的测试题设计与编排的基本思路和技巧在小学学业评价的测试题的设计与编排中，必须符合测试的目标和要求，满足导向性、科学性、全面性和适应性原则。
要做到：1、命题的内容不能超出课程标准的要求；2、测试题涉及的知识结构合理；3、测试题的难易比例搭配恰当；4、测试题的文字、语言表达、图形、序号、标点符号等要准确无误；5、题型的设计要符合测试的目标和要求。
众所周知，小学学科课程教学主张知识技能、过程和方法、情感态度价值观等三维目标并举，因此，学科题型的设计、选择和编排，必须处理好“双基”与各种能力之间的关系。
同时为了区分考生学科能力和一般能力的强弱、大小，还应在能力考查的综合程度和深浅层次上做出划分，统筹兼顾，设计好整卷的布局。
无论是整卷还是单题，都应以能力为主线进行题型设计。
三、善于捕捉“后进生”的闪光点，将爱心洒向每一位学生，引导学生向“下次我一定能行”方向发展。
命题的过程是一个艰辛的过程，一份好的试题绝不是在短时间内生拼硬造出来的，同时，命题的过程又是一个很好的学习和思考的过程，会促使你更加认真地去了解学情和钻研教材。
命题过程也是一个研究过程，你所命的题就是你的研究成果。
通常情况下，老师们被动应对考试的多，主动驾驭考试来改进教学的少。
垂线(第一课时)相关例题、练习题
5.1.2 垂线(一)◆典型例题【例1】①两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直；②两条直线相交，若有一组对顶角互补，则这条直线互相垂直；③两条直线相交，若所成的四个角相等，则这两条直线垂直；④两条直线相交，若有一组邻补角相等，则这两条直线垂直.其中说法正确的有( )A.1个B.2个C. 3个D. 4个【解析】题中的4个说法，都是关于两条直线垂直的判定问题.根据垂直定义，只要推出两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，就可以判断两条直线互相垂直.①是垂直的定义，所以正确；②有一组对顶角互补，因为对顶角相等，所以这两个角都是90°，所以正确；③两条直线相交，所成的四个角相等，都是90°，所以正确；④有一组邻补角相等，而邻补是互补的，所以这两个角都是90°，所以正确.【答案】 D【例2】如图5－16，过点A、B分别画OB、OA的垂线.图5－16 图5－17【解析】画线段或射线的垂线，就是画这条线段或射线所在直线的垂线，本例中的垂足分别在OB的反向延长线上和OA的延长线上.【答案】如图5－17所示，直线AE为过点A与OB垂直的直线，垂足为E;直线BD为过点B与OA垂直的直线，垂足为D.【例3】如图5－18，点O为直线AB上一点，OC为一射线，OE平分∠AOC，OF 平分∠BOC(1)若∠BOC=50°，试探究OE、OF的位置关系；(2)若∠BOC=α(0°＜x＜180°)，(1)中OE、OF的位置关系是否仍成立?请说明理由，由此你发现了什么规律?图5－18【解析】 要探究OE 、OF 的位置关系，可先用三角尺或量角器检测∠EOF 的大小来判断OE 、OF 的关系，再通过计算加以说明；第(2)问用代数代表示∠EOF ，再归纳出结论.【答案】 (1)由量角器测得∠EOF=90°,因此OE ⊥OF. 由邻补角的定义，可得∠AOC=180°－∠BOC=130°. 由OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOC 可得∠COF=21∠BOC=25°， ∠COE=21∠AOC=65°. 所以∠EOF=∠COF+∠COE=90°. 因此OE ⊥OF. (2)OE ⊥OF 仍成立.因为∠AOC=180°－α，∠COF=21α， ∠COE=21(180°－α)=90°－21α. 所以∠EOF=∠COF+∠COE=21α+(90°－21α)=90°.由此发现:无论∠BOC 度数是多少，∠EOF 总等于90°.即邻补角的平分线互相垂直.◆课前热身1.两条直线互相垂直时，所得的四个角中有__________个直角.2.过一点________条直线与已知直线垂直. ◆课上作业3.如图5－19，OA ⊥OB 于O ，直线CD 经过点O ，∠AOD=35°，则∠BOC=________.4.如图5－20，直线AB 与CD 相交于点O ，EO ⊥AB 于O ，则∠1与∠2的关系是________.图5－19 图5－205.如图5－21，O是直线AB上一点OC⊥OD，有以下两个结论:①∠AOC与∠BOD互为余角；②∠AOC、∠COD、∠BOD互为邻补角.其中说法正确的是________(填序号).图5－21 图5－226.如图5－22，已知OC⊥AB，OE⊥OD，则图中互余的角共有________对.◆课下作业一、填空题(每题5分，共50分)7.如果CD⊥AB于D，自CD上任一点向AB作垂线，那么所画垂线均与CD重合，这是因为________.8.如图5－23，直线AB、CD、EF交于一点O，CO⊥EF且∠GOB=30°，∠AOC=40°，则∠COE=________.9.从钝角∠AOB的顶点O引射线OC⊥OA，若∠ACO∶∠COB=3∶1，则∠AOB=________.10.如图5－24，直线AB、CD相交于O，EO⊥AB，OB平分∠DOF，若∠EOC=115°，则∠BOF=________.∠COF=________.图5－23 图5－24二、选择题(每题5分，共10分)11.如图5－25，∠PQR等于138°，SQ⊥QR，TQ⊥PQ则∠SQT等于( )A.42°B.64°C.48°D.24°图5－25 图5－2612.如图5－26所示，AB 、CD 相交于点O ，OE ⊥AB ，那么下列结论错误的是( )A.∠AOC 与∠COE 互为余角B.∠BOD 与∠COE 互为余角C.∠COE 与∠BOE 互为补角D.∠AOC 与∠BOD 是对顶角三、解答题(每题20分，共40分)13.OC 把∠AOB 分成两部分且有下列两个等式成立：①∠AOC=31直角+31∠BOC ；②∠BOC=31平角－21∠AOC ，问∶ (1)OA 与OB 的位置关系怎样?(2)OC 是否为∠AOB 的平分线?并写出判断的理由.14.如图5－27，已知AB 、C D 、EF 相交于点O ，EF ⊥AB ，OG 为∠COF 的平分线，OH 为∠DOG 的平分线.(1)若∠AOC ∶∠COG=4∶7，求∠DOF 的大小； (2)若∠AOC ∶∠DOH=8∶29，求∠COH 的大小.图5－27参考答案◆课前热身1.两条直线互相垂直时，所得的四个角中有__________个直角.答案：42.过一点________条直线与已知直线垂直.答案：有且只有◆课上作业3.如图5－19，OA⊥OB于O，直线CD经过点O，∠AOD=35°，则∠BOC=________.答案：125°4.如图5－20，直线AB与CD相交于点O，EO⊥AB于O，则∠1与∠2的关系是________.图5－19 图5－20答案：互为余角5.如图5－21，O是直线AB上一点OC⊥OD，有以下两个结论:①∠AOC与∠BOD互为余角；②∠AOC、∠COD、∠BOD互为邻补角.其中说法正确的是________(填序号).图5－21 图5－22答案：①6.如图5－22，已知OC⊥AB，OE⊥OD，则图中互余的角共有________对.答案：4◆课下作业一、填空题(每题5分，共50分)7.如果CD⊥AB于D，自CD上任一点向AB作垂线，那么所画垂线均与CD重合，这是因为________.答案：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直8.如图5－23，直线AB、CD、EF交于一点O，CO⊥EF且∠GOB=30°，∠AOC=40°，则∠COE=________.答案：20°9.从钝角∠AOB的顶点O引射线OC⊥OA，若∠ACO∶∠COB=3∶1，则∠AOB=________.答案：120°10.如图5－24，直线AB、CD相交于O，EO⊥AB，OB平分∠DOF，若∠EOC=115°，则∠BOF=________.∠COF=________.图5－23 图5－24答案：25°；130°二、选择题(每题5分，共10分)11.如图5－25，∠PQR等于138°，SQ⊥QR，TQ⊥PQ则∠SQT等于( )A.42°B.64°C.48°D.24°图5－25答案：A12.如图5－26所示，AB、CD相交于点O，OE⊥AB，那么下列结论错误的是( )A.∠AOC与∠COE互为余角B.∠BOD与∠COE互为余角C.∠COE与∠BOE互为补角D.∠AOC与∠BOD是对顶角图5－26答案：C三、解答题(每题20分，共40分)13.OC 把∠AOB 分成两部分且有下列两个等式成立：①∠AOC=31直角+31∠BOC ；②∠BOC=31平角－21∠AOC ，问∶ (1)OA 与OB 的位置关系怎样?(2)OC 是否为∠AOB 的平分线?并写出判断的理由.答案：(1)OA ⊥OB (2)O(C 为∠AOB 的平分线，因为∠BOC=∠AOC=45°.14.如图5－27，已知AB 、C D 、EF 相交于点O ，EF ⊥AB ，OG 为∠COF 的平分线，OH 为∠DOG 的平分线.图5－27(1)若∠AOC ∶∠COG=4∶7，求∠DOF 的大小； (2)若∠AOC ∶∠DOH=8∶29，求∠COH 的大小. 答案：(1)∠DOF=110° (2)∠COH=107.5°。
5.1.2垂线(1)
线b不重合，能使直线c与直线a垂直吗？
（3）通过画图，你能试着总结出什么结论？ 结论： 过直线上的一点有且只有一条直线与已知直 线互相垂直。
（4）如果在直线a外取一点P，过点P 能画直 线a的垂线吗？能画几条？你能用量角器（或三角
尺）把它画出来吗？
. a （5）你能得到什么结论？ 结论： 过直线外一点有且只有一条直线与已知 P
选择题： 1、 两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判 定两条直线垂直的是 （A） 有两个角相等 （C） 有三个角相等 （C） （ B）有两对角相等 （ D） 有四对邻补角
2、下面四种判定两条直线的垂直的方法，正确 的有（ A ）个 （1）两条直线相交所成的四个角中有一个角是 直角，则这两条直线互相垂直 （2）两条直线相交，只要有一组邻补角相等， 则这两条直线互相垂直 （3）两条直线相交，所成的四个角相等，这两 条直线互相垂直 （4）两条直线相交，有一组对顶角互补，则这 两条直线互相垂直 （ A） 4 （B） 3 （C） 2 （D） 1
垂线（第一课时）
我国跳水运动 员－－－田亮
1995年世界杯双人、团体、混合团体 冠军； 1998年第13届亚运会男子 10米跳台冠军； 1999年世界杯10 米跳台男子单人、双人冠军； 1999年跳水大奖赛总决赛男子10米跳 台冠军； 2000年世界杯男子10米跳 台单人、双人冠军； 2000年第27 届奥运会男子10米跳台单人冠军。 2001年世锦赛男子10米跳台单人、双 人冠军； 2001年九运会男子10米 跳台冠军； 2002年全国跳水冠军 赛男子10米跳台冠军； 2002年世 界杯男子10米跳台单人、双人冠军； 2002年全国锦标赛男子10米跳台冠军。
问题3：什么样的两条直线互相垂直？
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三、动手操作
3.1 用三角尺画垂线 (1)如图，已知直线 L,作L的垂线。
A
问题： 这样画L的 垂线可以 画几条？ 无数条
1、靠 2、画线
O B
L
(2)如图，已知直线 L 和L上的一点O ,作L 的垂线。 则所画直线AB是过 A 问题： 点O的直线L的垂线。 这样画L的 垂线可以 L 画几条？ 1 条
如图，已知直线 l 和l上的一点A ,作l的垂线.
B
则所画直线AB是过 点A的直线l的垂线.
A
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
l
1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合; 2靠:靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上; 孝感市文昌中学学生专用尺 3移:移动三角板到已知点; 4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线.
O
B
1靠（线）:把三角板的一直角边靠在直线上; 2过（点）:三角板的另一条直角边过已知点; 3画（线）:沿着三角板的另一直角边画出垂线.
用折纸方法画垂线 我们也可以通过折纸的方法得到两条垂线， 现在你可以用几种折法得到两条垂线？
想一想，做一做
如图(5)：直线a上有一点A，经过点A，你能折出几条与a垂 直的直线？如图(6)：直线a外有一点B,经过点B，你能折出 几条与a垂直的直线？
3.垂直的书写形式：
D 如图，当直线AB与CD相交 A 于O点，∠AOD=90°时， AB⊥CD，垂足为O。 O 书写形式： C ∵∠AOD=90°（已知） B ∴AB⊥CD（垂直的定义） 反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O， 那么，∠AOD=90°。 书写形式： ∵ AB⊥CD （已知） ∴ ∠AOD=90° （垂直的定义） 应用垂直的定义：∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°
民主中学初一数学备课组
一、探究新知：垂线的定义
1.定义：当两条直线AB和CD(相交）所成 的四个角中，如果有一个角是直角时， 我们就说这两条直线互相垂直。
其中一条直线叫做另一条直线的 垂线
A D
O C
B
2.垂直用符号 “⊥”来表示，读作“垂直于”。 如“直线AB垂直于直线CD”，就记作“AB⊥CD”。 3.交点O叫做垂足
二、生活中的垂直
跳水比赛中，入水时水 花的大小直接影响跳水 的成绩。那么，水花的 大小是什么原因造成的？ 身体与水面的垂直程 度
2.2 例题讲解
例1、如图，已知直线AB、CD都经过O点，OE为射线， 若∠1＝35° ∠2＝55°，则OE与AB的位置关系 垂直 是 。
C 解： ∵∠1＝35°，∠2＝55°（已知） O 2 B ∴ ∠AOE＝180°－∠1－∠2 ＝ 180°－35°－55° ＝90° ∴OE⊥AB (垂直的定义)
B
O
1靠（线）:把三角板的一直角边靠在直线上; 2过（点）:三角板的另一条直角边过已知点; 3画（线）:沿着三角板的另一直角边画出垂线.
(3)如图，已知直线 L 和L外的一点A ,作L的垂 线。 则所画直线 AB 是过点 问题： A A 的直线 L 的垂线。 这样画L的 垂线可以 画几条？ L 1 条
A
B
D
五、小结
1、当两条直线AB和CD(相交）所成 的四个角中，如果有一个角是直角时， 我们就说这两条直线互相垂直,记作 “AB⊥CD”,交点O叫做垂上一
点，有且只有一条直线与已知直线垂直。
C
P
A
.P
B
BA
垂线的画法复习：
如图，已知直线 l 和l上的一点A ,作l的垂线.
过点A、B分别可以做直线a的几条垂线呢？
四、垂线的性质
根据以上的操作，你能得出什么结论？
注意： （1）“过一点”中的点，可以在已知直线上，也 可以在已知直线外。 （2）“有且只有”中，“有”指存在，“只有” 指唯一性。
4.1 练一练 1、点A在直线a外，直线AB⊥a，直线AC⊥a，那么直 重合 线AB、AC的关系是____________ ． 2、下列说法正确的是（ C ） A．有且只有一条直线垂直于已知直线 B．互相垂直的两条线段一定相交 C．过一点作已知线段的垂线，垂足不一定在线段上， C 但一定在线段所在的直线上。
A
1
D
E
练一练：
下面四种判定两条直线的垂直的方法，正确的有 （ A ）个 （1）两条直线相交所成的四个角中有一个角是 直角，则这两条直线互相垂直 （2）两条直线相交，只要有一组邻补角相等， 则这两条直线互相垂直 （3）两条直线相交，所成的四个角相等，这两 条直线互相垂直 （4）两条直线相交，有一组对顶角互补，则这 两条直线互相垂直 （A） 4 （B ） 3
11 Cm
B
则所画直线AB是过 点A的直线l的垂线.
A
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
l
1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合; 2靠:靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上; 孝感市文昌中学学生专用尺 3移:移动三角板到已知点; 4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线.
11 Cm
垂线的画法复习：
复习回顾
问题1：如右图 （1）∠AOC的对顶角是哪个角？ 这两个角的关系怎样？ ∠BOD 相等 （2）∠AOC的邻补角有几个？ A 是哪几个角？ 2个
D B
O
∠BOC 、∠AOD
C
问题2： 将直线CD绕着点O旋转，使∠ BOD为直角。 那么其他的三个角是什么角，为什么？ 也是直角
5.1.2
垂线
第二课时