2016-2017学年北师大版高中数学选修1-1学业分层测评13 Word版含解析

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北师大版高中数学选修1-1学业分层测评3 Word版含解析

学业分层测评(三)(建议用时：分钟)学业达标]一、选择题．下列命题为特称命题的是( )．偶函数的图像关于轴对称．正四棱柱都是平行六面体．不相交的两条直线是平行直线．存在大于等于的实数【解析】选项、、是全称命题，选项含有存在量词，故选.【答案】．将命题“＋≥”改写成全称命题为( )．对任意，∈，都有＋≥成立．存在，∈，使＋≥成立．对任意>，>，都有＋≥成立．存在<，<，使＋≤成立【解析】本题中的命题仅保留了结论，省略了条件“任意实数，”，改成全称命题为：对任意实数，，都有＋≥成立．【答案】．命题“所有能被整除的整数都是偶数”的否定是( )．所有不能被整除的整数都是偶数．所有能被整除的整数都不是偶数．存在一个不能被整除的整数是偶数．存在一个能被整除的整数不是偶数【解析】否定原命题结论的同时要把量词做相应改变．故选.【答案】．存在实数，使得－＋<成立，则的取值范围是( )．>．<．<或>．<【解析】由题意，知Δ＝－>.∴<或>.【答案】．下列命题为真命题的是( )．对任意∈，都有 <成立．存在∈，使(－)<成立．对任意>，都有>成立．存在∈，使方程－＝有解【解析】中，由于函数＝的最大值是，又<，所以是真命题；中，(－)<⇔<－<⇔<<，所以是假命题；中，当＝时，＝，所以是假命题；中，－＝⇔＝∉，所以是假命题，故选.【答案】二、填空题．下列命题中全称命题是；特称命题是．①正方形的四条边相等；②存在两个角是°的三角形是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于；④至少有一个正整数是偶数．【解析】①③是全称命题，②④是特称命题．【答案】①③②④．(·宁波高二检测)命题“任意∈，若>，则＋>”的否定是．【解析】将“任意”换为“存在”，再否定结论．【答案】存在∈，若>，则＋≤．若存在∈，使＋＋<，则实数的取值范围是.【导学号：】【解析】命题为真命题时，≤时显然存在，使＋＋<.当>时，Δ＝－>即<<.综上可知<.【答案】(－∞，)三、解答题．判断下列全称命题或特称命题的真假．()所有的单位向量都相等；()公差大于零的等差数列是递增数列；()有些向量的坐标等于其起点的坐标；()存在∈，使－＝.【解】()假命题．如果两个单位向量，的方向不相同，尽管有＝＝，但是≠.()真命题．设等差数列{}的首项为，公差>，则＋－＝＋－＋(－)]＝>，∴＋>.所以公差大于零的等差数列是递增数列．()真命题．设(，)，(，)，＝(－，－)，由(\\(－＝，－＝，))得(\\(＝，＝.))如()，()，＝(－，－)＝()，满足题意．()假命题．由于－＝·(())－·(())))＝的最大值为，所以不存在实数，使－＝.．已知函数()＝－＋.。

北师大版高中数学选修1-1学业分层测评13 Word版含解析

学业分层测评(十三)(建议用时：分钟)学业达标]一、选择题．给出下列结论：①若＝，则′＝－；②若＝，则′＝；③若()＝α，则′()＝α；④若()＝，则′()＝.其中，正确的个数是( )．个．个．个．个【解析】对于②＝，′＝＝＝，故②错；对于③()＝α，为常数函数，∴′()＝，故③错；①④都正确．【答案】．曲线()＝在点()处的切线斜率为( )【导学号：】．．．．【解析】∵()＝，∴′()＝，∴′()＝.即曲线()＝在点()处的切线的斜率为.【答案】．已知曲线＝在点(，)处的切线与直线＋＋＝垂直，则的值是( )．－．±．．±【解析】由＝知′＝，∴切线斜率＝′＝＝.又切线与直线＋＋＝垂直，∴·＝－，∴即＝，＝±，故选.【答案】．已知()＝(>)的导函数是′()，记＝′()，＝()－()，＝′()，则( )．>> ．>>．>> ．>>【解析】记(，())，(，())，则由于＝()－()＝表示直线的斜率，＝′()表示函数()＝在点处的切线的斜率，＝′()表示函数()＝在点处的切线的斜率．由()的图像易得>>.【答案】．已知直线＝是曲线＝的切线，则实数的值为( )．－．－．【解析】′＝，设切点为(，)，则(\\(＝＝\()＝\()))∴＝·，∴＝，∴＝.【答案】二、填空题．若()＝，则′()＝.【解析】()＝－，∴′()＝.【答案】．(·安庆高二检测)曲线＝在点处的切线的倾斜角为.【导学号：】【解析】′＝－，∴＝－＝－.设倾斜角为α，则α＝－，α＝°.【答案】°．设直线＝＋是曲线()＝ (>)的一条切线，则实数的值为．【解析】′()＝( )′＝，设切点坐标为(，)，由题意得＝，则＝，＝，代入切线方程＝＋，得＝－.【答案】－三、解答题．求与曲线＝在点()处的切线垂直，且过点()的直线方程．【解】∵＝，∴′＝()′＝()′＝.∴＝′()＝·＝.即曲线在点()处的切线的斜率为.∴适合条件的直线的斜率为－.从而适合条件的直线方程为－＝－(－)．即＋－＝.．若曲线()＝在点(，)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为，求的值．【解】对函数()＝求导得′()＝－(>)，则曲线()＝在点(，)处的切线的斜率＝′()＝－，由点斜式得切线的方程为－＝－(－)，易求得直线与轴，轴的截距分别为，，所以直线与两个坐标轴围成的三角形面积＝××＝＝，解得＝.能力提升]．设()＝，()＝′()，()＝′()，……，＋()＝′()，∈，则()等于( )．－．．－．【解析】()＝，()＝－，()＝－，()＝，()＝，()＝－，()＝－，()＝，…，故()以为周期，。

2016-2017学年高中数学北师大版选修2-1学业分层测评10 Word版含解析

学业分层测评(十)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(2016·泰安高二检测)以下四组向量： ①a ＝(1，－2,1)，b ＝(－1,2，－1)； ②a ＝(8,4,0)，b ＝(2,1,0)； ③a ＝(1,0，－1)，b ＝(－3,0,3)； ④a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，1，－1，b ＝(4，－3,3)．其中a ，b 分别为直线l 1，l 2的方向向量，则它们互相平行的是( ) A ．②③ B ．①④ C ．①②④D ．①②③④【解析】 ①∵a ＝－b ，∴a ∥b . ②∵a ＝4b ，∴a ∥b . ③∵b ＝－3a ，∴a ∥b . ④∵b ＝－3a ，∴a ∥b . 【答案】 D2．已知线段AB 的两端点坐标为A (9，－3,4)，B (9,2,1)则线段AB 与坐标平面( )A ．xOy 平行B ．xOz 平行C ．yOz 平行D ．yOz 相交【解析】 ∵A (9，－3,4)，B (9,2,1) ∴AB →＝(0,5，－3)∵yOz 平面内的向量的一般形式为a ＝(0，y ，z )∴AB →∥a∴AB →∥平面yOz .∴AB ∥平面yOz . 【答案】 C3．已知向量a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1，l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则( )A ．x ＝6，y ＝15B ．x ＝3，y ＝152 C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝152【解析】 ∵l 1∥l 2，设a ＝λb ， ∴(2,4,5)＝λ(3，x ，y )， ∴x ＝6，y ＝152. 【答案】 D4．已知平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α⊥β，则λ的值是( )【导学号：32550041】A ．－103B ．6C ．－6D ．103【解析】 ∵α⊥β，∴α的法向量与β的法向量也互相垂直．∴(2,3，－1)·(4，λ，－2)＝8＋3λ＋2＝0，∴λ＝－103. 【答案】 A5．已知平面α内有一个点A (2，－1,2)，α的一个法向量为n ＝(3,1,2)，则下列点P 中在平面α内的是( )A ．(1，－1,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，3，32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－3，32 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，3，－32【解析】要判断点P 是否在平面α内，只需判断向量P A →与平面α的法向量n 是否垂直，即P A →·n 是否为0，因此，要对各个选项进行检验．对于选项A ，P A →＝(1,0,1)，则P A →·n ＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A ；对于选项B ，P A →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－4，12，则P A →·n ＝(1，－4，12)·(3,1,2)＝0，故B 正确；同理可排除C ，D.故选B.【答案】 B 二、填空题6．(2016·黄山高二检测)已知l ∥α，且l 的方向向量为(2，－8,1)平面α的法向量为(1，y,2)，则y ＝________.【解析】 ∵l ∥α，∴l ⊥α的法向量， ∴2×1－8y ＋1×2＝0，∴y ＝12. 【答案】 12.7．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，向量(x ，y ，z )是平面ABC 的一个法向量，则x ∶y ∶z ＝________.【解析】设n ＝(x ，y ，z )则 n ·AB →＝0，即(x ，y ，z )·(－1,1,0)＝0， ∴－x ＋y ＝0，n ·BC →＝0，即(x ，y ，z )·(0，－1,1)＝0， ∴－y ＋z ＝0， ∴x ∶y ∶z ＝1∶1∶1. 【答案】 1∶1∶18．已知a ＝(1,1,0)，b ＝(1,1,1)，若b ＝b 1＋b 2，且b 1∥a ，b 2⊥a ，则b 1＝________，b 2＝________.【解析】设b 1＝(x ，y ，z )，∵b 1∥a ，∴x ＝y ，z ＝0. 又∵b 2＝b －b 1＝(1－x,1－y,1－z )，b 2⊥a ， ∴b 2·a ＝1－x ＋1－y ＝0，得x ＋y ＝2. ∴x ＝y ＝1.即b 1＝(1,1,0)，b 2＝(0,0,1)．【答案】 (1,1,0) (0,0,1) 三、解答题9．(2016·广州高二检测)用向量方法证明：如果两个相交平面与第三个平面垂直，则它们的交线也与第三个平面垂直．【解】已知：如图，α∩β＝l ，α⊥γ，β⊥γ. 求证：l ⊥γ证明：设平面α，β，γ的法向量分别为a ，b ，c ，直线l 的方向向量为e ，则a·e ＝0，b·e ＝0.因为a ，b 与e 不共面，故存在实数x ，y ，z 使c ＝x a ＋y b ＋z e . 因为a ⊥c ，b ⊥c ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ·(x a ＋yb ＋z e )＝0，b ·(x a ＋y b ＋z e )＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x ·a 2＋y a·b ＝0.x a ·b ＋y b 2＝0，因为α与β相交，所以a 与b 不共线，所以a 2a·b ≠a·bb2，所以方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，所以c ＝z e ，即c ∥e ，从而有l ⊥γ.图2-4-410．如图2-4-4所示，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F .证明：(1)P A ∥平面EDB ； (2)PB ⊥平面EFD .【证明】 (1)以D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系．连结AC ，AC 交BD 于G . 连结EG .设DC ＝a ，依题意得A (a,0,0)，P (0,0，a )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2，∵底面ABCD 是正方形， ∴G 是此正方形的中心，故点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，0，且P A →＝(a,0，－a )，EG ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，0，－a 2.∴P A →＝2EG →，即P A ∥EG .而EG ⊂平面EDB 且P A ⊄平面EDB ， ∴P A ∥平面EDB .(2)依题意得B (a ，a,0)，PB ＝(a ，a ，－a )．又DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2，故PB →·DE →＝0＋a 22－a 22＝0，∴PB ⊥DE ，由已知EF ⊥PB ，且EF ∩DE ＝E ，所以PB ⊥平面EFD .[能力提升]1．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )．若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则x ，y ，z 分别为( )A.337、－157、4 B ．407、－157、4 C.407、－2、4D ．4、407、－15【解析】 AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，得z ＝4.又BP ⊥平面ABC ，∴BP →·AB →＝0，BP →·BC →＝0，可解得x ＝407，y ＝－157. 【答案】 B2．如图2-4-5，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，F 是AD 上一点，当BF ⊥PE 时，AF ：FD 的值为( )图2-4-5A ．1∶2B ．1∶1C ．3∶1D ．2∶1【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形边长为1，P A ＝a .则B (1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，P (0,0，a )．设点F 的坐标为(0，y,0)，则BF →＝(－1，y,0)，PE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，－a .∵BF ⊥PE ，∴BF →·PE →＝0，解得y ＝12，则F 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，∴F 为AD 中点，∴AF ∶FD ＝1∶1. 【答案】 B3．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →，其中正确的是________．【导学号：32550042】【解析】 ∵AP →·AB →＝0，AP →·AD →＝0，∴AP ⊥AB ，AP ⊥AD 且AP →是平面ABCD 的法向量．【答案】 ①②③4．(2016·北京朝阳期末)如图2-4-6，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC .图2-4-6(1)求证：AC ⊥PB ；(2)设O ，D 分别为AC ，AP 的中点，点G 为△OAB 内一点，且满足OG →＝13(OA →＋OB →)，求证：DG ∥面PBC ；【证明】 (1)因为P A ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以P A ⊥AC . 又因为AB ⊥AC ，且P A ∩AB ＝A ，所以AC ⊥平面P AB . 又因为PB ⊂平面P AB ，所以AC ⊥PB .(2)法一：因为P A ⊥平面ABC ，所以P A ⊥AB ，P A ⊥AC . 又因为AB ⊥AC ，所以建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz .设AC ＝2a ，AB ＝b ，P A ＝2c ，则A (0,0,0)，B (0，b,0)，C (2a,0,0)，P (0,0,2c )，D (0,0，c )，O (a,0,0)，又因为OG →＝13(OA →＋OB →)，所以G ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，b 3，0.于是DG→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，b 3，－c ，BC →＝(2a ，－b,0)，PB →＝(0，b ，－2c )．设平面PBC 的一个法向量n ＝(x 0，y 0，z 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·PB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0－by 0＝0，by 0－2cz 0＝0.不妨设z 0＝1，则有y 0＝2c b ，x 0＝ca ，所以n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ，2c b ，1因为n ·DG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ，2c b ，1·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，b 3，－c ＝c a ·a 3＋2c b ·b3＋1·(－c )＝0，所以n ⊥DG →.又因为DG ⊄平面PBC ，所以DG ∥平面PBC .法二：取AB 中点E ，连接OE ，则OE →＝12(OA →＋OB →)．由已知OG →＝13(OA →＋OB →)可得OG →＝23OE →，则点G 在OE 上．连接AG 并延长交CB 于点F ，连接PF .因为O ，E 分别为AC ，AB 的中点，所以OE ∥BC ，即G 为AF 的中点．又因为D 为线段P A 的中点，又所以DG ∥PF ，又DG ⊄平面PBC ，PF ⊂平面PBC ，所以DG ∥平面PBC .。

2016-2017学年北师大版高中数学选修1-1学业分层测评11

学业分层测评(十一)(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1．已知函数y ＝f (x )＝sin x ，当x 从π6变到π2时，函数值的改变量Δy ＝( ) A ．－12 B.12 C.π3 D.32【解析】 Δy ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin π2－sin π6＝1－12＝12.【答案】 B2．在曲线y ＝x 2＋1上取一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx ，2＋Δy )，则ΔyΔx ＝( ) A ．Δx ＋1Δx ＋2B ．Δx －1Δx －2 C ．Δx ＋2D ．2＋Δx －1Δx【解析】 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝(Δx )2＋2Δx ，∴ΔyΔx ＝Δx ＋2.【答案】 C3．函数f (x )＝－2x ，在2到2＋Δx 之间的平均变化率为( ) A ．－2Δx B ．－12＋ΔxC.12＋ΔxD ．22＋Δx【解析】 f (2＋Δx )－f (2)(2＋Δx )－2＝－22＋Δx ＋1Δx ＝12＋Δx .【答案】 C4．一块木头沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数关系式为s ＝18t 2，则t ＝2时，此木头在水平方向的瞬时速度为( )A ．2B ．1 C.12D ．14【解析】因为Δs＝18(2＋Δt)2－18×22＝12Δt＋18(Δt)2，所以ΔsΔt＝12＋18Δt，当Δt趋于0时，12＋18Δt趋于12，因此t＝2时，木块在水平方向瞬时速度为12.【答案】 C5．水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，按顺序与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像相对应的一项是()A．①②③④B．②①③④C．②①④③D．②④①③【解析】以第二个容器为例，由于容器上细下粗，所以水以恒速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快，反映在图像上，①符合上述变化情况．而第三个容器在开始时高度增加快，后来时高度增加慢，图像④适合上述变化情况．故应选C.【答案】 C二、填空题6．函数f(x)＝ln x＋1从e到e2的平均变化率为________．【解析】Δy＝f(e2)－f(e)＝(ln e2＋1)－(ln e＋1)＝1，Δx＝e2－e，∴ΔyΔx＝1e2－e.【答案】1 e2－e7．质点按规律s(t)＝at＋1运动，若在t＝2时刻的瞬时速度为12，则a的值为________．【解析】由s(2＋Δt)－s(2)Δt＝a，得a＝12.【答案】1 28．质点的运动方程是s(t)＝1t2，则质点在t＝2时的速度为________.【导学号：63470057】【解析】ΔsΔt＝s(2＋Δt)－s(2)Δt＝1(2＋Δt)2－14Δt＝－4＋Δt4(2＋Δt)2，当Δt趋于0时，ΔsΔt＝－14.【答案】－1 4三、解答题9．如果一个质点从定点A开始运动，时间t的位移函数为y＝f(t)＝t3＋3，当t1＝4，且Δt＝0.01时，求：(1)Δy；(2)Δy Δt.【解】(1)∵Δy＝f(t1＋Δt)－f(t1)＝(t1＋Δt)3＋3－(t31＋3) ＝3t21Δt＋3t1(Δt)2＋(Δt)3.∴当t1＝4，Δt＝0.01时，Δy＝3×42×0.01＋3×4×0.012＋0.013＝0.481 201.(2)∵ΔyΔt＝3t21·Δt＋3t1·(Δt)2＋(Δt)3Δt＝3t21＋3t1·Δt＋(Δt)2.∴当t1＝4，Δt＝0.01时，ΔyΔx＝3×42＋3×4×0.01＋0.012＝48.120 1.10．设某跳水运动员跳水时，相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)的函数关系为h(t)＝－5t2＋6t＋10.(1)求该运动员从时间t＝1到时间t＝3的平均速度；(2)求该运动员在时间t＝1处的瞬时速度．【解】(1)由h(t)＝－5t2＋6t＋10，得该运动员从时间t＝1到时间t＝3的平均速度；Δh Δt＝h(3)－h(1)3－1＝－14.故该运动员从时间t＝1到时间t＝3的平均速度为－14 m/s；(2)∵ΔhΔt＝h(1＋Δt)－h(1)Δt＝[－5(1＋Δt)2＋6(1＋Δt)＋10]－(－5×12＋6×1＋10)Δt＝－5(Δt)2－4(Δt)Δt＝－5·Δt－4，∴当Δt趋于0时，ΔhΔt趋于－4，即该运动员在时间t＝1处的瞬时速度为－4 m/s.能力提升]1．一物体作直线运动，其运动方程为s＝3t－t2，其中位移s单位为米，时间t 的单位为秒，那么该物体的初速度为()A．0米/秒B．－2米/秒C．3米/秒D．3－2t米/秒【解析】物体的初速度就是t＝0时的瞬时速度．Δy Δx＝s(0＋Δx)－s(0)Δx＝3Δx－(Δx)2Δx＝3－Δx.当Δx→0时，3－Δx→3，∴物体初速度为3米/秒．【答案】 C2．已知点P(x0，y0)是抛物线y＝3x2＋6x＋1上一点，若函数在x0处的瞬时变化率为0，则点P的坐标为()A．(1,10) B．(－1，－2)C．(1，－2) D．(－1,10)【解析】Δy＝3(x0＋Δx)2＋6(x0＋Δx)＋1－3x20－6x0－1＝6x0·Δx＋3(Δx)2＋6Δx，∴ΔyΔx＝6x0＋3Δx＋6，由题意，当Δx→0时，ΔyΔx→6x0＋6＝0，∴x0＝－1，∴y0＝－2.【答案】 B3．经过研究，某个婴儿从出生到第24个月的体重变化如图3-1-1所示，那么该婴儿体重的平均变化率哪一年较大？________.(填“第一年”或“第二年”)【导学号：63470058】图3-1-1【解析】由题图知，第一年该婴儿体重的平均变化率是11.25－3.7512－0＝0.625；第二年该婴儿体重的平均变化率是14.25－11.2524－12＝0.25.因为0.625>0.25，所以第一年该婴儿体重的平均变化率较大．【答案】第一年4．路灯距地面8 m ，一个身高为1.6 m 的人以84 m/min 的速度在地面上从路灯在地面上射影点C 沿某直线离开路灯．(1)求身影的长度y 与人距路灯的距离x 之间的关系式； (2)求人离开路灯的第一个10 s 内身影的平均变化率．【解】 (1)如图所示，设人从C 点运动到B 点的路程为x m ，AB 为身影长度，AB 的长度为y m ，由于CD ∥BE ，则AB AC ＝BECD ，即y y ＋x＝1.68，所以y ＝f (x )＝14x . (2)84 m/min ＝1.4 m/s ，在0,10]内自变量的增量为 x 2－x 1＝1.4×10－1.4×0＝14， f (x 2)－f (x 1)＝14×14－14×0＝72. 所以f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝7214＝14.即人离开路灯的第一个10 s 内身影的平均变化率为14.。

2019—2020年新课标北师大版高中数学选修1-1全册模块质量试题及答案答案解析.docx

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-1模块质量检测一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．与命题：“若a ∈P 则b ∉P ”等价的命题是( ) A ．若a ∉P ，则b ∉P B ．若b ∉P ，则a ∈P C ．若a ∉P ，则b ∈PD ．若b ∈P ，则a ∉P解析：原命题的逆否命题是“若b ∈P ，则a ∉P ”．答案： D2．条件甲：“a 、b 、c 成等差数列”是条件乙：“ab ＋cb ＝2”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：甲⇒/乙，如a ＝－1，b ＝0，c ＝1；乙⇒甲，故甲是乙的必要不充分条件．答案： A3．曲线f(x)＝x 3＋x －2在点P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，则点P 0的坐标为( ) A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)和(－1，－4)D ．(2,8)和(－1，－4)解析： f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4， ∴x 0＝±1. 答案： C4．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A.x 216＋y 212＝1 B ．x 212＋y 216＝1C.x 216＋y 24＝1 D ．x 24＋y 216＝1解析：双曲线x 24－y 212＝－1，即x 212－y 24＝1的焦点为(0，±4)，顶点为(0，±23)．所以对椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1而言，a 2＝16，c 2＝12.∴b 2＝4，因此方程为y 216＋x 24＝1.答案： D 5．函数y ＝4x 2＋1x的单调递增区间为( ) A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D ．(1，＋∞)解析：由已知定义域为{x|x ≠0}， y ′＝8x －1x 2，令y ′＞0得x ＞12，故选C.答案： C6．若k 可以取任意实数，则方程x 2＋ky 2＝1所表示的曲线不可能是( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆或双曲线D ．抛物线解析：本题主要考查圆锥曲线的一般形式：Ax 2＋By 2＝c 所表示的圆锥曲线问题，对于k ＝0,1及k ＞0且k ≠1，或k ＜0，分别讨论可知：方程x 2＋ky 2＝1不可能表示抛物线．答案： D7．函数f(x)＝－13x 3＋x 2在区间[0,4]上的最大值是( )A ．0B ．－163C.43D ．163解析： f ′(x)＝2x －x 2，令f ′(x)＝0，解得x ＝0或2. 又∵f(0)＝0，f(2)＝43，f(4)＝－163，∴函数f(x)在[0,4]上的最大值为43.答案： C8．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( )A.54 B ．52C.32D ．54解析：因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率e 1＝32，所以1－b 2a 2＝e 21＝34，即b 2a 2＝14，而在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1中，设离心率为e 2，则e 22＝1＋b 2a 2＝1＋14＝54，所以e 2＝52.故选B. 答案： B9．已知f(2)＝－2，f ′(2)＝g(2)＝1，g ′(2)＝2，则函数 g (x )f (x )(f(x)≠0)在x ＝2处的导数为( )A ．－54B ．54C ．－5D ．5解析：令h(x)＝g (x )f (x )，则h ′(x)＝g ′(x )f (x )－f ′(x )g (x )f 2(x )，∴h ′(2)＝－54.故选A.答案： A10．已知命题p ：|x －1|≥2，命题q ：x ∈Z ，如果p 且q 、非q 同时为假，则满足条件的x 为( )A ．{x|x ≤－1或x ≥3，x ∉Z}B ．{x|－1≤x ≤3，x ∉Z}C ．{－1,0,1,2,3}D ．{0,1,2}解析： ∵p 且q 假，非q 为假， ∴p 假q 真，排除A ，B ，p 为假，即|x －1|＜2，∴－1＜x ＜3且x ∈Z.∴x ＝0,1,2. 答案： D11．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1都相切，则双曲线C 的离心率是( )A.3或62B ．2或 3C.233或2D ．233或62解析：设圆的两条过原点的切线方程为y ＝kx. 由2k 2＋1＝1得k ＝±3.当ba ＝3时，e ＝ca＝1＋b 2a 2＝2.当ab ＝3时，e ＝ca＝1＋b 2a 2＝233.答案： C12．设f(x)，g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数．当x ＜0时，f ′(x)g(x)＋f(x)g ′(x)＞0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)＜0的解集是( )A ．(－3,0)∪(3，＋∞)B ．(－3,0)∪(0,3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3)解析： f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则f(x)g(x)是奇函数．又当x ＜0时，f ′(x)g(x)＋f(x)g ′(x)＞0，即[f(x)g(x)]′＞0，所以F(x)＝f(x)·g(x)在(－∞，0)上是增函数，又g(－3)＝g(3)＝0，故F(－3)＝F(3)＝0.所以不等式f(x)g(x)＜0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)．答案： D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上)13．曲线y ＝13x 3－2在点⎝⎛⎭⎪⎫－1，－73处切线的倾斜角是________．解析： y ′＝x 2，则曲线在x ＝－1处的导数为1，所以tan α＝1，又因为α是切线的倾斜角，所以α＝45°.答案： 45°14．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)(4,0)，则双曲线的方程为________．解析：由题意知c ＝4，e ＝ca ＝2，故a ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝12，双曲线的方程为x 24－y 212＝1.答案：x 24－y 212＝1 15．函数f(x)＝x ＋2cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上的最小值是________．解析： ∵f ′(x)＝1－2sin x ，令f ′(x)＞0，∴sin x ＜12.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0时，sin x ＜0＜12，即f ′(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上恒大于0，∴f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上为增函数，∴f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－π2.答案：－π216．已知：①命题“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②命题“所有模相等的向量相等”的否定；③命题“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实根”的逆否命题； ④命题“若A ∩B ＝A ，则AB ”的逆否命题．其中能构成真命题的是________(填上你认为正确的命题的序号)．解析： ①逆命题：若x ，y 互为倒数，则xy ＝1.是真命题． ②的否定是：“存在模相等的向量不相等”．是真命题．如，a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)有|a|＝|b|＝2，但a ≠b.③命题“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0”是真命题．这是因为当m ＜0时Δ＝(－2)2－4m ＝4－4m ＞0恒成立．故方程有根．所以其逆否命题也是真命题．④若A ∩B ＝A ，则A ⊆B ，故原命题是假命题，因此其逆否命题也是假命题．答案： ①②③三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)已知p ：1≤x ≤2，q ：a ≤x ≤a ＋2，且¬p 是¬q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解析： ∵¬p 是¬q 的必要不充分条件， ∴q 是p 的充分不必要条件．∴{x|1≤x ≤2}{x|a ≤x ≤a ＋2}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ＋2≥2，∴0≤a ≤1.18．(12分)已知命题p ：方程x 22m －y 2m －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，命题q ：双曲线y 25－x 2m＝1的离心率e ∈(1,2)，若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数m 的取值范围．解析： p ：0＜2m ＜1－m ⇒0＜m ＜13，q ：1＜5＋m5＜2⇒0＜m ＜15， p 且q 为假，p 或q 为真⇒p 假q 真，或p 真q 假．p 假q 真⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ≤0或m ≥130＜m ＜15⇒13≤m ＜15， q 假p 真⇒⎩⎪⎨⎪⎧0＜m ＜13m ≤0或m ≥15m ∈∅.综上可知13≤m ＜15.19．(12分)已知动圆过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，与直线x ＝－p2相切，其中p ＞0，求动圆圆心的轨迹方程．解析：如图，设M 为动圆圆心，⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0记为点F.过点M 作直线x ＝－p2的垂线，垂足为N ，由题意知|MF|＝|MN|，即动点M 到定点F与到定直线x ＝－p2的距离相等，由拋物线的定义，知点M 的轨迹为拋物线，其中F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0为其焦点，x ＝－p2为其准线，所以动圆圆心的轨迹方程为y 2＝2px(p ＞0)．20．(12分)已知函数f(x)＝2ax 3＋bx 2－6x 在x ＝±1处取得极值． (1)求f(x)的解析式，并讨论f(1)和f(－1)是函数f(x)的极大值还是极小值； (2)试求函数f(x)在x ＝－2处的切线方程．解析： (1)f ′(x)＝6ax 2＋2bx －6，因为f(x)在x ＝±1处取得极值，所以x ＝±1是方程3ax 2＋bx －3＝0的两个实根．所以⎩⎪⎨⎪⎧－b3a ＝0，－33a ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.所以f(x)＝2x 3－6x ，f ′(x)＝6x 2－6.令f ′(x)＞0，得x ＞1或x ＜－1；令f ′(x)＜0，得－1＜x ＜1.所以f(－1)是函数f(x)的极大值，f(1)是函数f(x)的极小值．(2)由(1)得f(－2)＝－4，f ′(－2)＝18，即f(x)在x ＝－2处的切线的斜率为18. 所以所求切线方程为y －(－4)＝18[x －(－2)]，即18x －y ＋32＝0. 21．(12分)设函数f(x)＝x 3－92x 2＋6x －a. (1)对于任意实数x ，f ′(x)≥m 恒成立，求m 的最大值； (2)若方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求a 的取值范围．解析： (1)f ′(x)＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)．因为x ∈(－∞，＋∞)，f ′(x)≥m ，即3x 2－9x ＋(6－m)≥0恒成立，所以Δ＝81－12(6－m)≤0，解得m ≤－34，即m 的最大值为－34.(2)因为当x ＜1时，f ′(x)＞0；当1＜x ＜2时，f ′(x)＜0；当x ＞2时，f ′(x)＞0.所以当x ＝1时，f(x)取极大值f(1)＝52－a ；当x ＝2时，f(x)取极小值f(2)＝2－a ，故当f(2)＞0或f(1)＜0时，f(x)＝0仅有一个实根．解得a ＜2或a ＞52.22．(14分)某椭圆的中心是原点，它的短轴长为22，一个焦点为F(c,0)(c ＞0)，x轴上有一点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，0且满足|OF|＝2|FA|，其中a 为长半轴长，过点A 的直线与该椭圆相交于P ，Q 两点．求：(1)该椭圆的方程及离心率；(2)若OP →·OQ →＝0，求直线PQ 的方程．解析： (1)依题意可设椭圆的方程为x 2a 2＋y 22＝1(a ＞2)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－c 2＝2，c ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c －c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，c ＝2.所以椭圆的方程为x 26＋y 22＝1，离心率e ＝63.(2)由(1)可得点A(3,0)，由题意知直线PQ 的斜率存在，设为k ，则直线PQ 的方程为y ＝k(x －3)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y22＝1，y ＝k (x －3)，得(3k 2＋1)x 2－18k 2x ＋27k 2－6＝0，依题意知，Δ＝12(2－3k 2)＞0，得－63＜k ＜63. 设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝18k 23k 2＋1，x 1x 2＝27k 2－63k 2＋1，从而得y 1＝k(x 1－3)，y 2＝k(x 2－3)，于是y 1y 2＝k 2(x 1－3)(x 2－3)．因为OP →·OQ →＝0，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，解得5k 2＝1，从而k ＝±55∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－63，63，所以直线PQ 的方程为x －5y －3＝0或x ＋5y －3＝0.。

北师大版高中数学选修1-1学业分层测评10 Word版含解析

学业分层测评(十)(建议用时：分钟)学业达标]一、选择题．等轴双曲线的一个焦点是(－)，则它的标准方程是( )【导学号：】－＝．－＝－＝．－＝【解析】设等轴双曲线方程为－＝(＞)．∴＋＝，∴＝.故双曲线方程为－＝.【答案】．若双曲线＋＝的离心率是，则实数的值是( )．－．．．－【解析】双曲线＋＝可化为＋＝，故离心率＝＝，解得＝－.【答案】．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为()，则双曲线的标准方程为( )－＝．－＝－＝．－＝【解析】由顶点在轴上得该双曲线焦点位于轴，排除、，项，＝，＝，＝，∴＋＝·符合题意．【答案】．双曲线－＝的渐近线与圆(－)＋＝(＞)相切，则＝( )【导学号：】．．．【解析】双曲线的渐近线方程为＝±，圆心坐标为()，由点到直线的距离公式与渐近线与圆相切得，圆心到渐近线的距离为，且＝＝.【答案】．双曲线－＝和椭圆＋＝(＞，＞＞)的离心率互为倒数，那么以、、为边长的三角形是( )．锐角三角形．直角三角形．钝角三角形．等腰三角形【解析】双曲线的离心率＝，椭圆的离心率＝，由＝得(＋)(－)＝，故＋＝，因此三角形为直角三角形．【答案】二、填空题．双曲线＋＝的虚轴长是实轴长的倍，则＝.【导学号：】【解析】∵＝＝，∴＝，∴＝－.【答案】－．若双曲线中心在原点，焦点在轴，离心率＝，则其渐近线方程为．【解析】由于焦点在轴，则渐近线方程为＝±.而＝＝，则＝－＝，＝，∴渐近线方程为＝±.【答案】＝±．双曲线－＝(>，>)的两个焦点分别为，，以为边作等边△.若双曲线恰好平分三角形的另两边，则双曲线的离心率为．【解析】如图，点为的中点，且在双曲线上，利用双曲线的定义即可求解．＝，＝.又∵－＝，即－＝.∴＝＝＝＋.【答案】＋三、解答题．求适合下列条件的双曲线标准方程：()顶点间距离为，渐近线方程为＝±；()求与双曲线－＝有公共渐近线，且过点(，－)的双曲线方程．【解】()设以＝±为渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠)，当λ>时，＝λ，∴＝＝⇒λ＝；当λ<时，＝－λ，∴＝＝⇒λ＝－.∴双曲线的标准方程为－＝和－＝.()设与双曲线－＝有公共渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠)，将点(，－)代入双曲线方程，得λ＝－(－)＝－.∴双曲线的标准方程为－＝.．已知椭圆：＋＝与圆：＋(－)＝，双曲线与椭圆有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆相切，求双曲线的方程．。

2019—2020年新课标北师大版高中数学选修1-1全册质量试题试题及答案答案解析.docx

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-1高二数学选修1－1质量检测试题（卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至6页。

考试结束后. 只将第Ⅱ卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 顶点在原点，且过点(4,4)-的抛物线的标准方程是A.24y x=- B.24x y=C.24y x=-或24x y= D.24y x=或24x y=-2. 椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程为A.22110084x y+= B.221259x y+=C.22110084x y+=或22184100x y+= D.221259x y+=或221259y x+=3.如果方程22143x y m m +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 A.34m << B. 72m >C. 732m <<D.742m << 4.“5,12k k Z αππ=+∈”是“1sin 22α=”的 A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分又不必要条件5. 已知函数2sin y x x =，则y '＝A. 2sin x xB.2cos x x C. 22sin cos x x x x + D. 22cos sin x x x x +6. 已知(2)2f =-，(2)(2)1f g '==，(2)2g '=，则函数()()g x f x 在2x =处的导数值为A. 54-B.54C.5-D. 5 7. 已知两定点1(5,0)F ，2(5,0)F -，曲线上的点P 到1F 、2F 的距离之差的绝对值是6，则该曲线的方程为 A.221916x y -= B.221169x y -= C.2212536x y -= D. 2212536y x -= 8.设P 是椭圆221169x y +=上的点，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，则12PF PF +的值为A. 10B. 8C. 6D. 49.命题“a, b 都是偶数，则a 与b 的和是偶数”的逆否命题是A. a 与b 的和是偶数，则a, b 都是偶数B. a 与b 的和不是偶数，则a, b 都不是偶数C. a, b 不都是偶数，则a 与b 的和不是偶数D. a 与b 的和不是偶数，则a, b 不都是偶数10 .若曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为210x y +-=，则A. 00()f x '>B. 00()f x '<C. 00()f x '=D. 0()f x '不存在11．以下有四种说法，其中正确说法的个数为：（1）“m 是实数”是“m 是有理数”的充分不必要条件；（2）“a b >”是“22a b >”的充要条件；（3） “3x =”是“2230x x --=”的必要不充分条件；（4）“A B B =”是“A φ=”的必要不充分条件.A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个12. 双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为A ．6B ．5C ．3D ．2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2016-2017学年北师大版高中数学选修1-1检测阶段质量评估1 含答案精品

第一章常用逻辑用语一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题：①至少有一个实数x使x2－x＋1＝0成立；②对于任意的实数x都有x2－x＋1＝0成立；③所有的实数x都使x2－x＋1＝0不成立；④存在实数x使x2－x＋1＝0不成立．其中全称命题的个数是()A．1B．2C．3 D．4解析：②与③含有全称量词“任意的”，“所有的”，故为全称命题，①与④是特称命题．答案： B2．给出命题：“已知a，b，c，d是实数，若a≠b且c≠d，则a＋c≠b＋d”．对原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，其中的真命题有()A．0个B．1个C．2个D．4个解析：原命题是假命题，如3≠5,4≠2，但3＋4＝5＋2，逆命题为“若a＋c≠b＋d，则a≠b且c≠d”也是假命题，如3＋4≠3＋5中，a＝b＝3，c＝4，d＝5，c≠d，由原命题与逆否命题等价、否命题与逆命题等价，知否命题和逆否命题均为假命题，故选A.答案： A3．下列命题是真命题的有()①“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题；②“若k＞0，则方程x2＋2x－k＝0有实根”的逆命题；③“全等三角形的面积相等”的否命题．A．0个B．1个C．2个D．3个解析：只有①正确．答案： B4．下列语句是特称命题的是()A ．整数10是2和5的倍数B ．存在整数n ，使n 能被11整除C ．若3x －7＝0，则x ＝73D ．任给x ∈M ，p (x )解析： A 为“p 且q ”命题，D 为全称命题，C 为简单命题，故选B. 答案： B5．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若x ＋y ＝0与x －ay ＝0互相垂直，则x －ay ＝0的斜率必定为1，故a ＝1；若a ＝1，直线x ＋y ＝0和直线x －y ＝0显然垂直．答案： C6．命题“对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是( ) A ．不存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0 B ．存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0 C ．存在x ∈R ，x 3－x 2＋1>0 D ．对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1>0解析： “对任意x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”等价于关于x 的不等式：x 3－x 2＋1≤0恒成立，其否定为：x 3－x 2＋1≤0不恒成立；即存在x ∈R ，使得x 3－x 2＋1＞0成立，故选C.答案： C7．命题“负数的平方是正数”隐含的量词是( ) A ．有一个 B ．有些 C ．不含有量词D ．任意一个解析：这是一个省略量词的全称命题．故选D. 答案： D8．“a ＝－1”是函数f (x )＝ax 2＋(a －1)x －1有且只有一个零点的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当a ＝0时，函数f (x )也只有一个零点，故必要性不成立．答案： A9．使不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分不必要条件是( ) A ．x <0 B ．x ≥0C ．x ∈{－1,3,5}D ．x ≤－12或x ≥3解析：原不等式的解集为{x |x ≤－12或x ≥3}，其充分不必要条件应为其真子集．选项中只有C 符合．答案： C10．已知p (x )：x 2＋2x －m ＞0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为( )A ．m ≥3B ．m ＜8C ．m ≥3或m ＜8D ．3≤m ＜8解析：因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3；又因为p (2)是真命题，所以4＋4－m ＞0，解得m ＜8，故实数m 的取值范围为3≤m ＜8，故选D.答案： D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 11．命题“若ab 不为零，则a ，b 都不为零”的逆否命题是______．解析：将原命题的结论和条件的否定分别作为命题的条件和结论，即为其逆否命题．答案：若a ，b 至少有一个为零，则ab 为零12．“|x －1|<2成立”是“x (x －3)<0成立”的________条件．解析：由|x －1|<2，得－2<x －1<2⇔－1<x <3. 由x (x －3)<0⇔0<x <3，显然，有－1<x <3⇐0<x <3. 答案：必要不充分13．已知命题p ：1∈{x |x 2＜a }，q ：2∈{x |x 2＜a }，则“p 且q ”为真命题时a 的取值范围是________．解析：由1∈{x |x 2＜a }，得a ＞1；由2∈{x |x 2＜a }，得a ＞4.当“p 且q ”为真命题时，有p 真q 真，所以a ＞4. 答案： a ＞4 14．有下列四个命题：①“若xy ＝1，则lg x ＋lg y ＝0”；②“若sin α＋cos α＝π3，则α是第一象限角”的否命题；③“若b ≤0，则方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实根”的逆否命题；④“若A ∪B ＝B ，则A ⊆B ”的逆命题．其中是真命题的有________．解析：对于①，取x ＝y ＝－1，可知①是假命题；对于②，其否命题为“若sin α＋cos α≠π3，则α不是第一象限角”．取α＝π4，可知②是假命题；对于③，当b ≤0时，Δ＝4b 2－4(b 2＋b )＝－4b ≥0，知方程有实根，故原命题为真命题，其逆否命题也为真命题；对于④，其逆命题为“若A ⊆B ，则A ∪B ＝B ”是真命题．答案： ③④三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)写出由下列各组命题构成的“p 或q ”“p 且q ”“非p ”形式的复合命题，并判断真假．(1)p ：1是质数，q ：1是方程x 2＋2x －3＝0的根；(2)p ：平行四边形的对角线相等，q ：平行四边形的对角线互相垂直； (3)p ：N ⊆Z ，q ：0∈N .解析： (1)因为p 假，q 真，所以p 或q ：1是质数或是方程x 2＋2x －3＝0的根，为真；p 且q ：1是质数且是方程x 2＋2x －3＝0的根，为假；非p ：1不是质数，为真．(2)因为p 假，q 假，所以p 或q ：平行四边形的对角线相等或互相垂直，为假；p 且q ：平行四边形的对角线相等且互相垂直，为假；非p ：平行四边形的对角线不一定相等，为真．(3)因为p 真，q 真，所以p 或q ：N ⊆Z 或0∈N ，为真；p 且q ：N ⊆Z 且0∈N ，为真；非p ：N Z ，为假．16．(12分)分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假． (1)m >14时，mx 2－x ＋1＝0无实根；(2)当ab ＝0时，a ＝0或b ＝0.解析： (1)原命题：若m >14，则mx 2－x ＋1＝0无实根，是真命题；逆命题：若mx 2－x＋1＝0无实根，则m >14，是真命题；否命题：若m ≤14，则mx 2－x ＋1＝0有实根，是真命题；逆否命题：若mx 2－x ＋1＝0有实根，则m ≤14，是真命题．(2)原命题：若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0，是真命题；逆命题：若a ＝0或b ＝0，则ab ＝0，是真命题；否命题：若ab ≠0，则a ≠0且b ≠0，是真命题；逆否命题：若a ≠0且b ≠0，则ab ≠0，是真命题．17．(12分)设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，a ＜0；q ：实数x 满足x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8＞0，且¬p 是¬q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解析：设p ：A ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2＜0，a ＜0} ＝{x |3a ＜x ＜a ，a ＜0}，q ：B ＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8＞0} ＝{x |x ＜－4或x ≥－2}． ∵¬p 是¬q 的必要不充分条件， ∴AB ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－4，a ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥－2，a ＜0，解得－23≤a ＜0或a ≤－4.18．(14分)已知a >0.设命题p ：函数y ＝a x 为减函数，命题q ：当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，函数y ＝x ＋1x >1a恒成立，如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求a 的取值范围．解析： p 为真命题⇔0<a <1， q 为真命题⇔1a <⎝⎛⎭⎫x ＋1x min ， x ∈⎣⎡⎦⎤12，2.∵y ＝x ＋1x 在⎣⎡⎦⎤12，1上是递减的，在[1,2]上是递增的． ∴当x ＝1时，y ＝x ＋1x 取最小值2，∴1a <2，∴a >12. ∵p 或q 为真命题，p 且q 为假命题， ∴p 与q 一真一假．①若p 真q 假，则0<a <1且a ≤12，所以0<a ≤12.②若p 假q 真，则a ≤0或a ≥1且a >12，所以a ≥1.综上所述，a 的取值范围是0<a ≤12或a ≥1，即⎝⎛⎦⎤0，12∪[1，＋∞)．。

北京朝阳区2016-2017学年北师大版高二数学选修1-1学业分层测评18 Word版含解析

【答案】 (－∞，2ln 2－2] 4．已知函数 f(x)＝x3－ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)． (1)若函数 f(x)在 x＝－1 和 x＝3 处取得极值，试求 a，b 的值；
神笛 2005
神笛 2005
(2)在(1)的条件下，当 x∈－2,6]时，f(x)<2|c|恒成立，求 c 的取值范围．【解】 (1)f′(x)＝3x2－2ax＋b，
的容积最大时，箱子底面边长为________．
1
3
3
【解析】 V(x)＝30x2－2x3，∴V′(x)＝60x－2x2＝－2x(x－40)．
∵x∈(0,40)时，V′(x)>0，x∈(40,60)时，V′(x)<0，∴x＝40 时，V(x)有极大
值也是最大值．
【答案】 40 8．若函数 f(x)＝x3－3x－a 在区间 0,3]上的最大值、最小值分别为 m，n，则 m－n＝________.
∴f(x)max＝f(0)＝m＝3.又 f(－2)＝－37，f(2)＝－5，∴f(x)min＝－37.
【答案】 D
5．以长为 10 的线段 AB 为直径作圆，则它的内接矩形的面积的最大值为( )
A．10
B．15
C．25
D．50
【解析】设内接矩形一边长为 x，则另一边长为 102－x2，
∴内接矩形的面积 S＝x· 100－x2(0<x<10)．
∴S′＝ 100－x2＋x·( 100－x2)′
1 2x 100－2x2 ＝ 100－x2－2x· 100－x2＝ 100－x2. 令 S′＝0，得 x＝±5 2.
∵0<x<10，∴当 x＝5 2时，S 有最大值，最大值为 5 2· 100－50＝50.

北京朝阳区2016-2017学年北师大版高二数学选修1-1学业分层测评16 Word版含解析

当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
f′(x)
－
(2，＋ 0 (0,2) 2
∞)
0＋
0
－
f(x)

0
4e－2

由上表可以看出，当 x＝0 时，函数有极小值，且为 f(0)＝0；
当 x＝2 时，函数有极大值，且为 f(2)＝4e－2.
1 10．是否存在实数 a，使函数 f(x)＝3x3＋x2＋ax＋1 在 x＝1 处取极值？若存在，求出 a 的值，并判断 f(1)是极大值还是极小值；若不存在，请说明理由．
3 和(1，＋∞)，单调递减
( )1 ，1 区间为 3 .
( ) 1
1 43
∴当 x＝3时，函数有极大值，且为 f 3 ＝27，
当 x＝1 时，函数有极小值，且为 f(1)＝1，
(2)函数的定义域为 R，
f′(x)＝2xe－x－x2e－x
＝x(2－x)e－x，
令 f′(x)＝0，得 x＝0 或 x＝2.
由题意得 f′(1)＝f′(3)＝0，f(1)＝4，f(3)＝0，
即Error!
解得：a＝1，b＝－6，c＝9，d＝0.
【答案】 B 二、填空题 6．(2016·湛江高二检测)函数 f(x)＝x3－3x2＋1 在 x＝________处取得极小值．
神笛 2005
神笛 2005
【解析】 f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令 f′(x)＝0，得 x＝0 或 x＝2；由
【答案】 B
5．三次函数当 x＝1 时有极大值 4，当 x＝3 时有极小值 0，则此函数的解析式
是( ) A．y＝x3＋6x2＋9x
B．y＝x3－6x2＋9x

北师大版高中数学选修1-1学业分层测评16 Word版含解析

学业分层测评(十六)(建议用时：分钟)学业达标]一、选择题．函数()的定义域为开区间(，)，导函数′()在(，)内的图像如图--所示，则函数()在开区间(，)内极值点有( )图--．个．个．个．个【解析】＝′()的变号零点为极值点，不变号零点不是极值点，∴()在开区间(，)内有个极值点．【答案】．函数()＝＋－( )．有极小值，无极大值．无极小值，有极大值．无极小值，无极大值．有极小值，有极大值【解析】∵′()＝－＋，由′()＝得＝±.当∈(－)时′()>，∴()的单调递增区间为(－)；同理，()的单调递减区间为(－∞，－)和(，＋∞)．∴当＝－时，函数有极小值－，当＝时，函数有极大值.【答案】．已知函数()＝＋＋(＋)＋没有极值，则实数的取值范围是( )．(－) ．－]．(－∞，－)∪(，＋∞) ．(－∞，－]∪，＋∞)【解析】′()＝＋＋＋，由题意可知′()＝没有实根或有两个相等实根，故Δ＝－(＋)≤，解得－≤≤，故选.【答案】．函数()＝＋＋的图像如图--所示，且()在＝与＝处取得极值，则()＋(－)的值一定( )图--．等于．大于．小于．小于或等于【解析】′()＝＋＋，由题意知，＝与＝是方程＋＋＝的两根，由图像知，＞且＋＜，∴－＜，∴＞.又()＋(－)＝，∴()＋(－)＞.【答案】．三次函数当＝时有极大值，当＝时有极小值，则此函数的解析式是( )．＝＋＋．＝－＋．＝－－．＝＋－【解析】设()＝＋＋＋(≠)，则()＝＋＋，由题意得′()＝′()＝，()＝，()＝，即(\\(＋＋＝，＋＋＝，＋＋＋＝，＋＋＋＝，))解得：＝，＝－，＝，＝.【答案】二、填空题．(·湛江高二检测)函数()＝－＋在＝处取得极小值．【解析】′()＝－＝(－)，令′()＝，得＝或＝；由′()＞，得＜或＞；由′()＜，得＜＜，∴()在＝处取得极小值．【答案】．函数()＝－＋的极大值为，那么＝.【导学号：】【解析】由′()＝－，知函数()的单调递增区间为(－∞，)和(，＋∞)，单调递减区间为()，故()在＝处取得极大值，故＝.【答案】．已知函数()＝－＋－在，＋]上不单调，则的取值范围是．【解析】由题意知′()＝－＋－＝＝－，由′()＝得函数()的两个极值点为，则只要这两个极值点有一个在区间(，＋)内，函数()在区间，＋]上就不单调，由<<＋或<<＋，得<<或<<.【答案】()∪()三、解答题．求下列函数的极值：()()＝－＋＋；()()＝.【解】()函数的定义域为，′()＝－＋＝(－).令′()>，可得>或<；。

北京朝阳区2016-2017学年北师大版高二数学选修1-1学业分层测评3 Word版含解析

学业分层测评(三)(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1．下列命题为特称命题的是( )A．偶函数的图像关于y轴对称B．正四棱柱都是平行六面体C．不相交的两条直线是平行直线D．存在大于等于3的实数【解析】　选项A、B、C是全称命题，选项D含有存在量词，故选D.【答案】　D2．将命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称命题为( )A．对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立B．存在x，y∈R，使x2＋y2≥2xy成立C．对任意x>0，y>0，都有x2＋y2≥2xy成立D．存在x<0，y<0，使x2＋y2≤2xy成立【解析】　本题中的命题仅保留了结论，省略了条件“任意实数x，y”，改成全称命题为：对任意实数x，y，都有x2＋y2≥2xy成立．【答案】　A3．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数【解析】　否定原命题结论的同时要把量词做相应改变．故选D.【答案】　D4．存在实数x0，使得x－4bx0＋3b<0成立，则b的取值范围是( )20A．b<0 B．b>3 4C ．b <D ．b <0或b >3434【解析】　由题意，知Δ＝16b 2－12b >0.∴b <0或b >.34【答案】　D5．下列命题为真命题的是( )A ．对任意x ∈R ，都有cos x <2成立B ．存在x ∈Z ，使log 2(3x －1)<0成立C ．对任意x >0，都有3x >3成立D ．存在x ∈Q ，使方程 x －2＝0有解2【解析】　A 中，由于函数y ＝cos x 的最大值是1，又1<2，所以A 是真命题；B 中，log 2(3x －1)<0⇔0<3x －1<1⇔<x <，所以B 是假命题；C 中，当x ＝1时，132331＝3，所以C 是假命题；D 中，x －2＝0⇔x ＝∉Q ，所以D 是假命题，故选A.22【答案】　A 二、填空题6．下列命题中全称命题是________；特称命题是________．①正方形的四条边相等；②存在两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．【解析】　①③是全称命题，②④是特称命题．【答案】　①③　②④7．(2016·宁波高二检测)命题“任意x ∈R ，若y >0，则x 2＋y >0”的否定是________．【解析】　将“任意”换为“存在”，再否定结论．【答案】　存在x 0∈R ，若y >0，则x ＋y ≤0208．若存在x ∈R ，使ax 2＋2x ＋a <0，则实数a 的取值范围是________.【导学号：63470011】【解析】　命题为真命题时，a ≤0时显然存在x ，使ax 2＋2x ＋a <0.当a >0时，Δ＝4－4a 2>0即0<a <1.综上可知a <1.【答案】　(－∞，1)三、解答题9．判断下列全称命题或特称命题的真假．(1)所有的单位向量都相等；(2)公差大于零的等差数列是递增数列；(3)有些向量的坐标等于其起点的坐标；(4)存在x ∈R ，使sin x －cos x ＝2.【解】　(1)假命题．如果两个单位向量e 1，e 2的方向不相同，尽管有|e 1|＝|e 2|＝1，但是e 1≠e 2.(2)真命题．设等差数列{a n }的首项为a 1，公差d >0，则a n ＋1－a n ＝a 1＋nd －a 1＋(n －1)d ]＝d >0，∴a n ＋1>a n .所以公差大于零的等差数列是递增数列．(3)真命题．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，AB→ 由Error!得Error!如A (1,3)，B (2,6)，＝(x 2－x 1，y 2－y 1)＝(1,3)，满足题意．AB→ (4)假命题．由于sin x －cos x ＝2(sin x ·22－cos x ·22)＝sin的最大值为，所以不存在实数x ，2(x －π4)2使sin x －cos x ＝2.10．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5.(1)是否存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立？并说明理由；(2)若存在实数x ，使不等式m －f (x )>0成立，求实数m 的取值范围．【解】　(1)不等式m ＋f (x )>0可化为m >－f (x )，即m >－x 2＋2x －5＝－(x －1)2－4.要使m >－(x －1)2－4对于任意x ∈R 恒成立，只需m >－4即可．故存在实数m 使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，此时m >－4.(2)不等式m －f (x )>0可化为m >f (x )．若存在实数x 使不等式m >f (x )成立，只需m >f (x )min .又f (x )＝(x －1)2＋4，∴f (x )min ＝4，∴m >4.故所求实数m 的取值范围是(4，＋∞)．能力提升]1．下列结论正确的个数为( )①命题p “存在x 0∈，使得cos x 0≤x 0”的否定为“任意x ∈，cos(0，π2)(0，π2)x >x ”；②命题“任意x ∈R ，>0”的否定为“存在x 0∈R ，<0”；(13)x(13)x 0③函数y ＝x 2－2x 和函数y ＝x －的单调递增区间都是1，＋∞)．1x A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】　①显然正确；②不正确，应为“存在x 0∈R ，≤0”；函数(13)x 0y ＝x 2－2x 的单调增区间为1，＋∞)，函数y ＝x －的单调增区间是(－∞，0)和1x (0，＋∞)，③不正确．【答案】　B2．有四个关于三角函数的命题：p 1：存在x ∈R ，sin 2＋cos 2 ＝x2x 212p 2：存在x ，y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin yp 3：任意x ∈0，π]，＝sin x1－cos 2x2p 4：sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝，其中的假命题是( )π2A ．p 1，p 4B ．p 2，p 4C ．p 1，p 3D ．p 2，p 4【解析】　由于对任意x ∈R ，sin 2 ＋cos 2 ＝1，故p 1是假命题；x2x2当x ，y ，x －y 有一个为2k π(k ∈Z )时，sin x －sin y ＝sin (x －y )成立，故p 2是真命题．对于p 3：任意x ∈0，π]，＝＝|sin x |＝sin x 为真命题．1－cos 2x22sin2 x 2对于p 4：sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝为假命题，例如x ＝π，y ＝，满足sin x ＝cosπ2π2y ＝0，而x ＋y ＝.3π2【答案】　A3．(2016·宿州高二检测)若任意x ∈R ，f (x )＝(a 2－1)x 是单调减函数，则a 的取值范围是________．【解析】　由题意有：0<a 2－1<1，∴Error!∴Error!∴－<a <－1或1<a <.22【答案】　(－，－1)∪(1，)224．已知函数f (x )＝lg ，若对任意x ∈2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a(x ＋a x －2)的取值范围．【解】　根据f (x )>0得lg >lg 1，(x ＋ax －2)即x ＋－2>1在x ∈2，＋∞)上恒成立，ax 分离参数，得a >－x 2＋3x 在x ∈2，＋∞)上恒成立，设g (x )＝－x 2＋3x ，则g (x )＝－＋，(x －32)294当x ∈2，＋∞)时，g (x )max ＝g (2)＝2，∴a >2，故a 的取值范围是(2，＋∞)．。

北京朝阳区2016-2017学年北师大版高二数学选修1-1学业分层测评10 Word版含解析

学业分层测评(十)(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1．等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6,0)，则它的标准方程是( )【导学号：63470045】A.y 218－x 218＝1 B ．x 218－y 218＝1 C.x 28－y 28＝1D ．y 28－x 28＝1【解析】设等轴双曲线方程为x 2a 2－y 2a 2＝1(a ＞0)． ∴a 2＋a 2＝62，∴a 2＝18. 故双曲线方程为x 218－y 218＝1. 【答案】 B2．若双曲线x 2＋ky 2＝1的离心率是2，则实数k 的值是( ) A ．－3 B ．13 C ．3D ．－13【解析】双曲线x 2＋ky 2＝1可化为x 21＋y 21k＝1，故离心率e ＝1－1k 1＝2，解得k ＝－13.【答案】 D3．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 24＝1 B ．y 24－x 24＝1 C.y 24－x 28＝1D ．x 28－y 24＝1【解析】由顶点在y轴上得该双曲线焦点位于y轴，排除A、D，B项，a＝2，b＝2，c＝22，∴2a＋2b＝2·2c符合题意．【答案】 B4．双曲线x26－y23＝1的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)相切，则r＝()【导学号：63470046】A. 3 B．2 C．3 D．6【解析】双曲线的渐近线方程为y＝±22x，圆心坐标为(3,0)，由点到直线的距离公式与渐近线与圆相切得，圆心到渐近线的距离为r，且r＝|32＋0|2＋4＝ 3.【答案】 A5．双曲线x2a2－y2b2＝1和椭圆x2m2＋y2b2＝1(a＞0，m＞b＞0)的离心率互为倒数，那么以a、b、m为边长的三角形是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【解析】双曲线的离心率e1＝a2＋b2a，椭圆的离心率e2＝m2－b2m，由e1e2＝1得(a2＋b2)(m2－b2)＝a2m2，故a2＋b2＝m2，因此三角形为直角三角形．【答案】 B二、填空题6．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝________.【导学号：63470047】【解析】∵2a＝2,2b＝2－1m，∴－1m＝2，∴m＝－1 4.【答案】－1 47．若双曲线中心在原点，焦点在y 轴，离心率e ＝135，则其渐近线方程为________．【解析】由于焦点在y 轴，则渐近线方程为y ＝±ab x . 而e ＝c a ＝135，则b 2a 2＝c 2a 2－1＝14425，b a ＝125， ∴渐近线方程为y ＝±512x . 【答案】 y ＝±512x8．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为边作等边△MF 1F 2.若双曲线恰好平分三角形的另两边，则双曲线的离心率为________．【解析】如图，点N 为MF 2的中点，且在双曲线上，利用双曲线的定义即可求解．|F 1N |＝3c ，|NF 2|＝c . 又∵|NF 1|－|NF 2|＝2a ，即3c －c ＝2a .∴e ＝ca ＝23－1＝3＋1. 【答案】 3＋1三、解答题9．求适合下列条件的双曲线标准方程： (1)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x ；(2)求与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2)的双曲线方程．【解】 (1)设以y ＝±32x 为渐近线的双曲线方程为x 24－y 29＝λ(λ≠0)，当λ>0时，a 2＝4λ，∴2a ＝24λ＝6⇒λ＝94；当λ<0时，a 2＝－9λ，∴2a ＝2－9λ＝6⇒λ＝－1.∴双曲线的标准方程为x 29－y 2814＝1和y 29－x 24＝1.(2)设与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x 22－y 2＝λ(λ≠0)，将点(2，－2)代入双曲线方程，得λ＝222－(－2)2＝－2.∴双曲线的标准方程为y 22－x 24＝1.10．已知椭圆D ：x 250＋y 225＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9，双曲线G 与椭圆D 有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程．【解】椭圆D 的两个焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5. 设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， ∴渐近线方程为bx ±ay ＝0，且a 2＋b 2＝25，又圆心M (0,5)到两条渐近线的距离为r ＝3. ∴|5a |b 2＋a2＝3，得a ＝3，b ＝4，∴双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1.能力提升]1．设a ，b 是关于t 的方程t 2cos θ＋t sin θ＝0的两个不等实根，则过A (a ，a 2)，B (b ，b 2)两点的直线与双曲线x 2cos 2 θ－y 2sin 2 θ＝1的公共点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】由根与系数的关系，得a ＋b ＝－tan θ，ab ＝0，则a ，b 中必有一个为0，另一个为－tan θ.不妨设A (0,0)，B (－tan θ，tan 2 θ)，则直线AB 的方程为y ＝－x tan θ.根据双曲线的标准方程，得双曲线的渐近线方程为y ＝±x tan θ，显然直线AB 是双曲线的一条渐近线，所以直线与双曲线没有公共点．【答案】 A2．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A.2B.3C.3＋12 D.5＋12【解析】设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，而k BF ＝－bc ，∴b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c ＝－1，整理得b 2＝ac . ∴c 2－a 2－ac ＝0，两边同除以a 2，得e 2－e －1＝0，解得e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)，故选D. 【答案】 D3．设双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F .过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 面积为________.【导学号：63470048】【解析】 A (3,0)，F (5,0)，取过F 平行于渐近线y ＝43x 的直线，则方程为y ＝43(x －5)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝43(x －5)，x 29－y 216＝1，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫175，－3215.∴△AFB 的面积S ＝12(5－3)×3215＝3215.【答案】 32154．已知双曲线3x 2－y 2＝3，直线l 过右焦点F 2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A 、B 两点，试问A 、B 两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB 的长．【解】双曲线方程可化为x 21－y 23＝1， c 2＝a 2＋b 2＝4，∴c ＝2. ∴F 2(2,0)，又l 的斜率为1. ∴直线l 的方程为y ＝x －2，代入双曲线方程，得2x 2＋4x －7＝0. 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， ∵x 1·x 2＝－72<0，∴A 、B 两点不位于双曲线的同一支上． ∵x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝－72， ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·(－2)2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫－72＝6.。

北京朝阳区2016-2017学年北师大版高二数学选修1-1学业分层测评12 Word版含解析

学业分层测评(十二)(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1．若函数y ＝f (x )在x ＝1处的导数为1，则等于( )lim Δx →0f (1＋x )－f (1)x A ．2 B ．1C.D ．1214【解析】＝f ′(1)＝1.limΔx →0f (1＋x )－f (1)x 【答案】　B2．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( )A ．f ′(x )＝aB ．f ′(x )＝bC ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b 【解析】　＝＝＝a ＋b Δx ，当x 趋于x 0，即ΔyΔx f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δxa Δx ＋b (Δx )2ΔxΔx 趋于0时，平均变化率趋于a ，∴f ′(x 0)＝a .【答案】　C3．如图322所示的是y ＝f (x )的图像，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )图322A ．f ′(x A )>f ′(xB )B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定【解析】　分别过A ，B 两点作曲线的切线，由切线的斜率知k B >k A ，∴f ′(x B )>f ′(x A )．故选B.【答案】　B4．设函数f (x )＝ax ＋b ，若f (1)＝f ′(1)＝2，则f (2)等于( )【导学号：63470061】A ．1B ．2C ．4D ．6【解析】　可得f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝＝＝a ，lim Δx →0[a (1＋Δx )＋b ]－(a ＋b )Δx lim Δx →0a ΔxΔx 又f ′(1)＝2，得a ＝2，而f (1)＝2，故a ＋b ＝2，即b ＝0，所以f (x )＝2x ，有f (2)＝4.【答案】　C5．已知曲线f (x )＝－和点M (1，－2)，则曲线在点M 处的切线方程为( )2x A ．y ＝－2x ＋4B ．y ＝－2x －4C ．y ＝2x －4D ．y ＝2x ＋4【解析】　＝＝，ΔyΔx －21＋Δx ＋21Δx 21＋Δx ∴当Δx →0时，f ′(1)＝2，即k ＝2.∴直线方程为y ＋2＝2(x －1)，即y ＝2x －4.【答案】　C 二、填空题6．(2016·亳州高二检测)已知函数y ＝f (x )的图像在点(1，f (1))处的切线方程是y ＝x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝__________.【解析】　∵f (1)＝1＋2＝3，f ′(1)＝k ＝1，∴f (1)＋f ′(1)＝4.【答案】　47．(2016·蚌埠高二检测)曲线y ＝x 2上切线的倾斜角是30°的点的坐标为__________．【解析】　设切点横坐标为x 0，f ′(x 0)＝＝2x 0，lim Δx →0(x 0＋Δx )2－x 20Δx ∴2x 0＝tan 30°＝，∴x 0＝，∴y 0＝.3336112【答案】　(36，112)8．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于________.【导学号：63470062】【解析】　∵y ′＝＝ (2a ＋a Δx )＝2a .lim Δx →0a (1＋Δx )2－a ×12Δx limΔx →0∴可令2a ＝2，∴a ＝1.【答案】　1三、解答题9．已知函数f (x )＝Error!求f ′(1)·f ′(－1)的值．【解】　当x ＝1时，＝＝＝.ΔyΔx f (1＋Δx )－f (1)Δx1＋Δx －1Δx11＋Δx ＋1由导数的定义，得f ′(1)＝＝.limΔx →011＋Δx ＋112当x ＝－1时，＝ΔyΔx f (－1＋Δx )－f (－1)Δx＝＝Δx －2.1＋(－1＋Δx )2－1－(－1)2Δx由导数的定义，得f ′(－1)＝ (Δx －2)＝－2.limΔx →0所以f ′(1)·f ′(－1)＝×(－2)＝－1.1210．求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线．【解】　曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线斜率k ＝f ′(1)＝ limΔx →03(1＋Δx )2－4(1＋Δx )＋2－3＋4－2Δx＝ (3Δx ＋2)＝2.limΔx →0∴过点P (－1,2)的直线的斜率为2，由点斜式得y －2＝2(x ＋1)，即2x －y ＋4＝0.所以所求直线方程为2x －y ＋4＝0.能力提升]1．曲线y ＝x 3＋6在点P (1,7)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )A ．－4B ．－3C ．4D ．10【解析】　＝ΔyΔx (1＋Δx )3＋6－(13＋6)Δx＝＝(Δx )2＋3Δx ＋3.3Δx ＋3(Δx )2＋(Δx )3Δx 当Δx →0时，→3.ΔyΔx ∴在(1,7)处的切线方程为y －7＝3(x －1)．令x ＝0得y ＝4.【答案】　C2．(2016·杭州高二检测)若直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点P (1,3)，则b 等于( )A ．3　B ．－3C ．5D ．－5【解析】　∵点P (1,3)既在直线上又在曲线上，∴3＝k ＋1，且3＝1＋a ＋b ，即k ＝2，a ＋b ＝2.根据导数的定义知y ＝x 3＋ax ＋b 的导数为y ′＝3x 2＋a ，∴3×12＋a ＝k ，∴a ＝－1，b ＝3.【答案】　A3．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的范围为，则点P 横坐标的取值范围为________．[0，π4]【解析】　∵f ′(x )＝lim Δx →0(x ＋Δx )2＋2(x ＋Δx )＋3－(x 2＋2x ＋3)Δx ＝limΔx →0(2x ＋2)·Δx ＋(Δx )2Δx ＝ (Δx ＋2x ＋2)＝2x ＋2.limΔx →0∴可设P 点横坐标为x 0，则曲线C 在P 点处的切线斜率为2x 0＋2.由已知得0≤2x 0＋2≤1，∴－1≤x 0≤－，12∴点P 横坐标的取值范围为.[－1，－12]【答案】　[－1，－12]4．过曲线y ＝x 2＋1上点P 的切线与曲线y ＝－2x 2－1相切，求点P 的坐标.【导学号：63470063】【解】　设切点P (x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝＝2x 0.lim Δx →0(x 0＋Δx )2＋1－(x 20＋1)Δx 所以过点P 的切线方程为：y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x ＋1－x ，20又此直线与曲线y ＝－2x 2－1相切，所以切线与曲线y ＝－2x 2－1只有一个公共点．由Error!得2x 2＋2x 0x ＋2－x ＝0.20即Δ＝4x －8(2－x )＝0.2020解得x 0＝，y 0＝.±23373所以点P 的坐标为或.(233，73)(－233，73)。

2016-2017学年北师大版高二数学选修1-1学业分层测评14 Word版含解析

学业分层测评(十四)(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1．函数f (x )＝x 3＋＋cos x ，则f ′(x )等于( )3x A ．3x 2＋x －sin xB ．x 2＋x －sin x-2313-23C ．3x 2＋x ＋sin xD ．3x 2＋x －sin x13-2313-23【解析】　f ′(x )＝3x 2＋x －sin x .13-23【答案】　D2．函数y ＝的导数是( )x 2x ＋3A.B ．x 2＋6x (x ＋3)2x 2＋6x x ＋3C.D ．－2x (x ＋3)23x 2＋6x (x ＋3)2【解析】　y ′＝＝(x 2x ＋3)′ (x 2)′(x ＋3)－x 2·(x ＋3)′(x ＋3)2＝＝.2x (x ＋3)－x 2(x ＋3)2x 2＋6x (x ＋3)2【答案】　A3．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 等于( )【导学号：63470070】A.B ．193163C.D ．133103【解析】　f ′(x )＝3ax 2＋6x ，∴f ′(－1)＝3a －6＝4，∴a ＝.103【答案】　D4．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)等于( )A ．0B ．－4C ．－2D ．2【解析】　f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)．∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)．即f ′(1)＝－2.∴f ′(0)＝2(－2)＝－4.【答案】　B5．曲线y ＝－在点M 处的切线的斜率为( )sin xsin x ＋cos x 12(π4，0)A ．－B ．1212C ．－D ．2222【解析】　y ′＝＝，cos x (sin x ＋cos x )－(cos x －sin x )sin x(sin x ＋cos x )21(sin x ＋cos x )2故k ＝.即曲线在点M 处切线的斜率为.1212【答案】　B 二、填空题6．(2014·广东高考)曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程为________.【导学号：63470071】【解析】　∵y ′＝－5e x ，∴所求切线斜率是k ＝－5e 0＝－5，∴切线方程是：y －(－2)＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.【答案】　5x ＋y ＋2＝07．函数f (x )＝e x cos x ，x ∈0,2π]，且f ′(x )＝0则x ＝________.【解析】　f ′(x )＝(e x cos x )′＝(e x )′cos x ＋e x (cos x )′＝e x cos x －e x sin x ＝e x (cos x －sin x )，由f ′(x )＝0，得e x (cos x －sin x )＝0.∵e x >0，∴cos x －sin x ＝0.∴cos x ＝sin x ，x ∈0,2π]．∴x ＝或π.π454【答案】　或ππ4548．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为________．【解析】　y ′＝3x 2－10，由3x 2－10＝2，得x ＝±2.又∵P 点在第二象限内，∴x ＝－2，y ＝－8＋20＋3＝15.∴P (－2,15)．【答案】　(－2,15)三、解答题9．求下列函数的导数．(1)f (x )＝x ·tan x ；(2)f (x )＝.x 42＋log ax 【解】　(1)法一：y ′＝(x ·tan x )′＝(x sin x cos x )′＝(x sin x )′cos x －x sin x (cos x )′cos2 x＝＝.(sin x ＋x cos x )cos x ＋x sin2 xcos2 xsin x cos x ＋xcos2x法二：y ′＝(x ·tan x )′＝x ′·tan x ＋x ·(tan x )′＝tan x ＋＝.xcos2 x sin x cos x ＋x cos2 x(2)y ′＝4x 3(2＋log a x )－x 4x ln a(2＋log a x )2＝8x 3＋4x 3log a x －x 3ln a(2＋log a x )2＝.(8－1ln a )x 3＋4x 3·log a x(2＋log a x )210．已知函数f (x )＝＋，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为a ln xx ＋1bx x ＋2y －3＝0，求a ，b 的值．【解】　(1)f ′(x )＝－.a(x ＋1x－ln x)(x ＋1)2b x 2由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－，且过点(1,1)，故Error!即Error!解得Error!12所以a ＝1，b ＝1.能力提升]1．设曲线y ＝在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝( )x ＋1x －1A ．2B ．12C ．－D ．－212【解析】　∵y ＝＝＝1＋，x ＋1x －1x －1＋2x －12x －1∴y ′＝－.2(x －1)2∴曲线y ＝在点(3,2)处的切线斜率为k ＝－，由题意知，ax ＋y ＋1＝0斜x ＋1x －112率为k ′＝2，∴a ＝－2.【答案】　D2．若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为( )A ．(0，＋∞)B ．(－1,0)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－1,0)【解析】　函数的定义域为(0，＋∞)，令f ′(x )＝2x －2－＝>0，4x 2(x －2)(x ＋1)x解得x >2，故选C.【答案】　C3．若点P 是曲线f (x )＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的距离最小时点P 的坐标为________．【解析】　过点P 作y ＝x －2的平行直线l ，且与曲线f (x )＝x 2－ln x 相切．设P (x 0，x －ln x 0)，则直线l 的斜率k ＝f ′(x 0)＝2x 0－，∴2x 0－＝1，∴x 0＝1或201x 01x 0x 0＝－(舍去)，∴点P 的坐标为(1,1)．12【答案】　(1,1)4．已知曲线C 1：y ＝x 2与曲线C 2：y ＝－(x －2)2，直线l 与C 1和C 2都相切，求直线l 的方程．【解】　设l 与C 1相切于点P (x 1，x )，与C 2相切于点Q (x 2，－(x 2－2)2)．21对于C 1：y ′＝2x ，则与C 1相切于点P 的切线方程为：y －x ＝2x 1(x －x 1)，21即y ＝2x 1x －x .　①21对于C 2：y ′＝－2(x －2)，则与C 2相切于点Q 的切线方程为：y ＋(x 2－2)2＝－2(x2－2)(x －x 2)，即y ＝－2(x 2－2)x ＋x －4.　②2因为两切线重合，所以由①②，得Error!解得Error!或Error!所以直线l 的方程为y ＝0或y ＝4x －4.。

北京朝阳区2016-2017学年北师大版高二数学选修1-1学业分层测评6 Word版含解析

学业分层测评(六)(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1．若椭圆＋＝1的离心率e ＝，则m 的值是( )x 25y 2m 105A ．3 B ．3或253C.D ．或1555153【解析】　若焦点在x 轴上，则a ＝，由＝得c ＝，5ca 1052∴b 2＝a 2－c 2＝3，∴m ＝b 2＝3.若焦点在y 轴上，则b 2＝5，a 2＝m .∴＝，m －5m 25∴m ＝.253【答案】　B2．椭圆＋＝1上的点P 到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是( )x 225y 29A ．8,2 B ．5,4C ．5,1D ．9,1【解析】　由题意知a ＝5，b ＝3，c ＝4，∴a ＋c ＝9，a －c ＝1，故点P 到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别为9,1.【答案】　D3．(2016·梅州高二检测)焦点在x 轴上，长、短轴长之和为20，焦距为4，5则椭圆的方程为( )A.＋＝1B ．＋＝1x 236y 216x 216y 236C.＋＝1D ．＋＝1x 26y 24y 26x 24【解析】　∵c ＝2，∴a 2＝(2)2＋b 2，又a ＋b ＝10，可解得a ＝6，b ＝4.故55椭圆方程为＋＝1.x 236y 216【答案】　A4．设F 1，F 2是椭圆E ：＋＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝上x 2a 2y 2b 23a2一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.B ．1223C.D ．3445【解析】　由题意可得|PF 2|＝|F 1F 2|，∴2＝2c .(32a －c )∴3a ＝4c .∴e ＝.34【答案】　C5．已知P (m ，n )是椭圆x 2＋＝1上的一个动点，则m 2＋n 2的取值范围是( )y 22A ．(0,1] B ．1,2]C ．(0,2]D ．2，＋∞)【解析】　因为P (m ，n )是椭圆x 2＋＝1上的一个动点，所以m 2＋＝1，y 22n 22即n 2＝2－2m 2，所以m 2＋n 2＝2－m 2，又－1≤m ≤1，所以1≤2－m 2≤2，所以1≤m 2＋n 2≤2，故选B.【答案】　B 二、填空题6．椭圆的短轴长大于其焦距，则椭圆的离心率的取值范围是________.【导学号：63470028】【解析】　由题意2b >2c ，即b >c ，即>c ，a 2－c 2∴a 2－c 2>c 2，则a 2>2c 2.∴<，∴0<e <.c 2a 21222【答案】　(0，22)7．(2016·台州高二检测)若椭圆的两焦点为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，点P 在椭圆上，且△PF 1F 2的最大面积是12，则椭圆的短半轴长为________．【解析】　设P 点到x 轴的距离为h ，则S ＝|F 1F 2|h ，△PF 1F 212当P 点在y 轴上时，h 最大，此时S 最大△PF 1F 2∵|F 1F 2|＝2c ＝8，∴h ＝3，即b ＝3.【答案】　38．焦点在x 轴上的椭圆，焦距|F 1F 2|＝8，率心率为，椭圆上的点M 到焦点45F 1的距离2，N 为MF 1的中点，则|ON |(O 为坐标原点)的值为________．【解析】　∵|F 1F 2|＝2c ＝8，e ＝＝，∴a ＝5，c a 45∵|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10，|MF 1|＝2，∴|MF 2|＝8.又∵O ，N 分别为F 1F 2，MF 1的中点，∴ON 是△F 1F 2M 的中位线，∴|ON |＝|MF 2|＝4.12【答案】　4三、解答题9．(1)求与椭圆＋＝1有相同的焦点，且离心率为的椭圆的标准方程；x 29y 2455(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6,0)，(6,0)，求焦点在x 轴上的椭圆的标准方程．【解】　(1)∵c ＝＝，9－45∴所求椭圆的焦点为(－，0)，(，0)．55设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a ＞b ＞0)．x 2a 2y 2b 2∵e ＝＝，c ＝，c a 555∴a ＝5，b 2＝a 2－c 2＝20.∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.x 225y 220(2)因椭圆的焦点在x 轴上，设它的标准方程为＋＝1(a ＞b ＞0)．x 2a 2y 2b 2∵2c ＝8，∴c ＝4，又a ＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝20.∴椭圆的标准方程为＋＝1.x 236y 22010．设F 1，F 2分别是椭圆E ：＋＝1(a >b >0)的左，右焦点，过点F 1的直x 2a 2y 2b 2线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|；(2)若cos ∠AF 2B ＝，求椭圆E 的离心率．35【解】　(1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1.因为△ABF 2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a ＝16，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8.故|AF 2|＝2a －|AF 1|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ，则k >0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k .由椭圆定义可得|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k .在△ABF 2中，由余弦定理可得|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2|cos ∠AF 2B ，即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－(2a －3k )·(2a －k )，化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0.65而a ＋k >0，故a ＝3k .于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k .因此|BF 2|2＝|F 2A |2＋|AB |2，可得F 1A ⊥F 2A ，故△AF 1F 2为等腰直角三角形．从而c ＝a ，22所以椭圆E 的离心率e ＝＝.ca 22能力提升]1．已知椭圆＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 在该椭圆上，且x 24·＝0，则点M 到y 轴的距离为( )MF 1→ MF 2→ A.B ．233263C.D ．333【解析】　由题意，得F 1(－，0)，F 2(，0)．33设M (x ，y )，则·＝(－－x ，－y )·(－x ，－y )＝0，MF 1→ MF 2→ 33整理得x 2＋y 2＝3.　①又因为点M 在椭圆＋y 2＝1上，x 24即y 2＝1－.　②x 24将②代入①，得x 2＝2，解得x ＝±.34263故点M 到y 轴的距离为.263【答案】　B2．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点．满足·＝0的点M 总在椭圆内部，MF 1→ MF 2→ 则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0，12]C.D ．(0，22)[22，1)【解析】　∵·＝0，MF 1→ MF 2→∴M 点轨迹方程为x 2＋y 2＝c 2，其中F 1F 2为直径，由题意知椭圆上的点在圆x 2＋y 2＝c 2外部，设点P 为椭圆上任意一点，则|OP |>c 恒成立，由椭圆性质知|OP |≥b ，其中b 为椭圆短半轴长，∴b >c ，∴c 2<b 2＝a 2－c 2，∴a 2>2c 2，∴<，∴e ＝<.(c a )2 12c a 22又∵0<e <1，∴0<e <.22【答案】　C3．椭圆E ：＋＝1内有一点P (2,1)，则经过点P 并且以P 为中点的弦所x 216y 24在直线方程为__________．【解析】　设所求直线与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则＋＝1，＋＝1.x 2116y 214x 216y 24相减得＋＝0.(x 1＋x 2)(x 1－x 2)16(y 1＋y 2)(y 1－y 2)4又x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，∴k AB ＝＝－.y 1－y 2x 1－x 212因此，所求直线方程：y －1＝－(x －2)，即x ＋2y －4＝0.12【答案】　x ＋2y －4＝04．(2014·全国卷Ⅱ)设F 1，F 2分别是椭圆C ：＋＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦x 2a 2y 2b 2点，M 是C 上一点，且MF 2与x 轴垂直．直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为，求C 的离心率；34(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .【解】　(1)根据c ＝及题设，知M，2b 2＝3ac .a 2－b 2(c ，b 2a )将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得＝，＝－2(舍去)．c a 12ca 故C 的离心率为.12(2)由题意知，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故＝4，即b 2＝4a .①b 2a 由|MN |＝5|F 1N |，得|DF 1|＝2|F 1N |.设N (x 1，y 1)，由题意知y 1＜0，则Error!　即Error!代入C 的方程，得＋＝1.②9c 24a 21b 2将①及c ＝代入②，得＋＝1，a 2－b 29( a2－4a)4a214a 解得a ＝7，b2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝2.7。

北京朝阳区2016-2017学年北师大版高二数学选修1-1学业分层测评4 Word版含解析

学业分层测评(四)(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1．命题：“方程x2－1＝0的解是x＝±1”，其使用逻辑联结词的情况是() A．使用了逻辑联结词“且”B．使用了逻辑联结词“或”C．使用了逻辑联结词“非”D．没有使用逻辑联结词【解析】“方程x2－1＝0的解是x＝±1”的含义是方程x2－1＝0的解是1或－1，使用了逻辑联结词“或”．【答案】 B2．如果命题“p或q”与命题“非p”都是真命题，那么()A．命题p不一定是假命题B．命题q一定是真命题C．命题q不一定是真命题D．命题p与命题q的真假相同【解析】“非p”是真命题，则p是假命题；又“p或q”是真命题，所以q 一定是真命题．【答案】 B3．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题为真命题的是()A．(﹁p)或q B．p且qC．(﹁p)且(﹁q) D．(﹁p)或(﹁q)【解析】由于p为真命题，q为假命题，所以﹁p是假命题，﹁q为真命题，故(﹁p)或(﹁q)为真命题．【答案】 D4．已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数．p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数．则在命题q1：p1或p2，q2：p1且p2，q3：(﹁p1)或p2和q4：p1且(﹁p2)中，真命题是()A．q1，q3B．q2，q3C．q1，q4D．q2，q4【解析】p1是真命题，则﹁p1为假命题；p2是假命题，则﹁p2为真命题；∴q1：p1或p2是真命题，q2：p1且p2是假命题．∴q3：(﹁p1)或p2为假命题，q4：p1且(﹁p2)为真命题．∴真命题是q1，q4.【答案】 C5．已知命题p：“任意x∈1,2]，x2－a≥0”，命题q：“存在x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是() A．{a|a≤－2或a＝1} B．{a|a≥1}C．{a|a≤－2或1≤a≤2} D．{a|－2≤a≤1}【解析】由题意知，p：a≤1，q：a≤－2或a≥1.∵“p且q”为真命题，∴p，q均为真命题，∴a≤－2或a＝1.【答案】 A二、填空题6．命题p：方向相同的两个向量共线，q：方向相反的两个向量共线，则命题“p或q”为________．【答案】方向相同或相反的两个向量共线7．若“x∈2,5]或x∈(－∞，1)∪4，＋∞)”是假命题，则x的取值范围是________．【解析】∵x∈2,5]或x∈(－∞，1)∪4，＋∞)，故x∈(－∞，1)∪2，＋∞)，由于该命题为假命题，所以1≤x＜2，即x∈1,2)．【答案】1,2)8．命题p：若a，b∈R，则ab＝0是a＝0的充分条件，命题q：函数y＝x－3的定义域是3，＋∞)，则“p或q”、“p且q”，“﹁p”中是真命题的有________．【解析】ab＝0⇒/a＝0，∴p为假，由x－3≥0得x≥3.∴q真，所以“p或q”真，“p且q”为假，“﹁p”为真．【答案】p或q，﹁p三、解答题9．分别指出下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的命题的真假．(1)命题p：正方形的两条对角线互相垂直，命题q：正方形的两条对角线相等；(2)命题p：“x2－3x－4＝0”是“x＝4”的必要不充分条件；命题q：若函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图像关于y轴对称，则φ＝π2. 【解】(1)因为p、q均为真命题，∴p且q，p或q为真，﹁p为假命题．(2)由x2－3x－4＝0，得x＝4或x＝－1.∴命题p是真命题，又函数f(x)的图像关于y轴对称，∴φ＝kπ＋π2(k∈Z)，则命题q是假命题．由于p真，q假，∴﹁p、p且q为假命题，p或q为真命题．10．已知p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立，q：函数f(x)＝－(5－2a)x在R上是减函数．若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数a的取值范围．【解】设g(x)＝x2＋2ax＋4.因为p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立，所以函数g(x)的图像开口向上且与x轴没有交点，故Δ＝4a2－16<0，所以－2<a<2.因为q：函数f(x)＝－(5－2a)x在R上是减函数，所以5－2a>1，即a<2.又由于p或q为真，p且q为假，所以p 和q 为一真一假．①若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧ －2<a <2，a ≥2，此不等式组无解． ②若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2或a ≥2，a <2，所以a ≤－2. 综上所述，所求实数a 的取值范围为a ≤－2.能力提升]1．已知命题p ：若(x －1)(x －2)≠0，则x ≠1且x ≠2；命题q ：存在实数x ，使2x <0.下列选项中为真命题的是( )A ．﹁pB ．﹁p 或qC ．﹁q 且pD ．q 【解析】很明显命题p 为真命题，所以﹁p 为假命题；由于函数y ＝2x ，x ∈R 的值域是(0，＋∞)，所以q 是假命题，所以﹁q 是真命题．所以﹁p 或q 为假命题，﹁q 且p 为真命题，故选C.【答案】 C2．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．(﹁p )∨(﹁q )B ．p ∨(﹁q )C ．(﹁p )∧(﹁q )D ．p ∨q【解析】依题意，﹁p ：“甲没有降落在指定范围”，﹁q ：“乙没有降落在指定范围”，因此“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(﹁p )∨(﹁q )．【答案】 A3．已知命题p ：“任意x ∈R ，存在m ∈R,4x －2x ＋1＋m ＝0”，若命题﹁p 是假命题，则实数m 的取值范围是__________.【导学号：63470015】【解析】若﹁p 是假命题，则p 是真命题，即关于x 的方程4x －2·2x ＋m ＝0有实数解，由于m ＝－(4x －2·2x )＝－(2x －1)2＋1≤1.∴m ≤1.【答案】 (－∞，1]4．已知命题p ：方程a 2x 2＋ax －2＝0在－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 满足不等式x 2＋2ax ＋2a ≤0，若命题“p 或q ”是假命题，求实数a 的取值范围．【解】由a 2x 2＋ax －2＝0，得(ax ＋2)(ax －1)＝0.显然a ≠0，∴x ＝－2a 或x ＝1a .若命题p 为真，∵x ∈－1,1]，故⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2a ≤1或⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a ≤1，∴|a |≥1. 若命题q 为真，即只有一个实数x 满足x 2＋2ax ＋2a ≤0，即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点．∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2.∵命题“p 或q ”为假命题，∴a 的取值范围是{a |－1<a <0或0<a <1}．。

北京朝阳区2016-2017学年北师大版高二数学选修1-1学业分层测评5 Word版含解析

学业分层测评(五)(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1．椭圆4x 2＋y 2＝1的焦点坐标为( )A ．(±，0)B ．3(±32，0)C.D ．(0，±)(0，±32)3【解析】　∵＋＝1，y 21x 214∴椭圆的焦点在y 轴上，并且a 2＝1，b 2＝，14∴c 2＝，即焦点坐标为.34(0，±32)【答案】　C2．若椭圆＋＝1上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的x 225y 29距离为( )A ．5B ．6C ．4D ．1【解析】　由椭圆的定义知a ＝5，点P 到两个焦点的距离之和为2a ＝10.因为点P 到一个焦点的距离为5，所以到另一个焦点的距离为10－5＝5，故选A.【答案】　A3．若方程＋＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )x 2a 2y 2a ＋6A ．a ＞3 B ．a ＜－2C ．a ＞3或a ＜－2D ．a ＞3或－6＜a ＜－2【解析】　∵椭圆的焦点在x 轴上，∴Error!∴a ＞3或－6＜a ＜－2.【答案】　D4．已知A (0，－1)，B (0,1)两点，△ABC 的周长为6，则△ABC 的顶点C 的轨迹方程是( )A.＋＝1(x ≠±2)B ．＋＝1(y ≠±2)x 24y 23y 24x 23C.＋＝1(x ≠0)D ．＋＝1(y ≠0)x 24y 23y 24x 23【解析】　∵2c ＝|AB |＝2，∴c ＝1，∴|CA |＋|CB |＝6－2＝4＝2a ，∴a ＝2.∴顶点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆(A ，B ，C 不共线)．因此，顶点C 的轨迹方程为＋＝1(y ≠±2)．y 24x 23【答案】　B5．两个焦点的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，并且经过点P 的椭圆的标准(52，－32)方程是( )A.＋＝1B ．＋＝1x 210y 26y 210x 26C.＋＝1D ．＋＝1x 294y 2254y 294x 2254【解析】　由椭圆定义知：2a ＝＋＝＋＝2.(52＋2)2 ＋(－32)2 (52－2)2 ＋(32)2 310210210∴a ＝.∴b ＝＝，故椭圆的标准方程为＋＝1.10a 2－c 26x 210y 26【答案】　A 二、填空题6．椭圆方程mx 2＋ny 2＝mn (m >n >0)中，焦距为________.【导学号：63470023】【解析】　椭圆方程可化为＋＝1，∵m >n >0，∴椭圆焦点在y 轴x 2n y 2m 上．∴c ＝，即焦距为2.m －n m －n 【答案】　2m －n7．若α∈，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的(0，π2)取值范围是________．【解析】　方程可化为＋＝1.∵焦点在y 轴上，x 21sin αy 21cos α∴>，即sin α>cos α.1cos α1sin α又∵α∈，∴α∈.(0，π2)(π4，π2)【答案】　(π4，π2)8．已知F 1，F 2是椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，x 2a 2y 2b 2且⊥.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.PF 1→ PF 2→【解析】　由题意，得Error!解得a 2－c 2＝9，即b 2＝9，所以b ＝3.【答案】　3三、解答题9．在椭圆9x 2＋25y 2＝225上求点P ，使它到右焦点的距离等于它到左焦点距离的4倍.【导学号：63470024】【解】　原方程可化为＋＝1.其中a ＝5，b ＝3，则c ＝4.x 225y 29∴F 1(－4,0)，F 2(4,0)．设P (x ，y )是椭圆上任一点，由椭圆的定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.又|PF 2|＝4|PF 1|，解得|PF 1|＝2，|PF 2|＝8，即Error!解得Error!或Error!故P 点坐标为或.(－154，347)(－154，－347)10．已知动圆M 过定点A (－3,0)，并且在定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64的内部与其相内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．【解】　如图，设动圆M 和定圆B 内切于点C ，由|MA |＝|MC |得|MA |＋|MB |＝|MC |＋|MB |＝|BC |＝8，即动圆圆心M 到两定点A (－3,0)，B (3,0)的距离之和等于定圆的半径，∴动圆圆心M 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，且2a ＝8,2c ＝6，b ＝＝，a 2－c 27∴M 的轨迹方程是＋＝1.x 216y 27能力提升]1．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，x 24且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．2B ．4C ．8D ．16【解析】　设A 为椭圆左焦点，而BC 过右焦点F ，如图．可知|BA |＋|BF |＝2a ，|CA |＋|CF |＝2a ，两式相加，得|AB |＋|BF |＋|CA |＋|CF |＝|AB |＋|AC |＋|BC |＝4a .而椭圆标准方程为＋y 2＝1，因此a ＝2，故4a ＝8，故选C.x 24【答案】　C2．已知椭圆＋＝1(a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则x 2a 2y 2b 2线段MF 1的中点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．线段D ．直线【解析】　由题意知|PO |＝|MF 2|，|PF 1|＝|MF 1|，1212又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，所以|PO |＋|PF 1|＝a >|F 1O |＝c ，故由椭圆的定义知P 点的轨迹是椭圆．【答案】　B3．椭圆＋＝1上的点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则x 225y 29|ON |(O 为坐标原点)的值为________．【解析】　如图所示，∵|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10，|MF 1|＝2，∴|MF 2|＝8.∵N ，O 分别是MF 1，F 1F 2中点．∴|ON |＝|MF 2|＝×8＝4.1212【答案】　44．(2014·重庆高考改编)如图213，设椭圆＋＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点x 2a 2y 2b 2分别为F 1，F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，＝2，△DF 1F 2的面积为.|F 1F 2||DF 1|222求该椭圆的标准方程．图213【解】　设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c 2＝a 2－b 2.由＝2，得|DF 1|＝＝c .|F 1F 2||DF 1|2|F 1F 2|2222从而S ＝|DF 1||F 1F 2|＝c 2＝，故c ＝1.△DF 1F 2122222从而|DF 1|＝.22由DF 1⊥F 1F 2，得|DF 2|2＝|DF 1|2＋|F 1F 2|2＝，92因此|DF 2|＝，322所以2a ＝|DF 1|＋|DF 2|＝2，2故a ＝，b 2＝a 2－c 2＝1.2因此，所求椭圆的标准方程为＋y 2＝1.x 22。

高中数学同步测试卷(十三)北师大数学选修1-1

高中同步测试卷(十三)高考微专题圆锥曲线与方程 (时间：120分钟，总分值：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求)1．双曲线2x 2－y 2＝8实轴长是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4D ．422．抛物线y 2＝8x 焦点到直线x －3y ＝0距离是( ) A ．2 3 B ．2 C. 3D ．13．双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1焦距为10 ，点P (2，1)在C 渐近线上，那么C 方程为( )A.x 220－y 25＝1 B ．x 25－y 220＝1C.x 280－y 220＝1 D ．x 220－y 280＝14．0<θ<π4，那么双曲线C 1：x 2sin 2θ－y 2cos 2θ＝1与C 2：y 2cos 2θ－x 2sin 2θ＝1( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等5．双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)离心率为52，那么C 渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x6．双曲线x 2－y2m＝1离心率大于2充分必要条件是( )A ．m >12B ．m ≥1C ．m >1D ．m >27．中心在原点椭圆C 右焦点为F (1，0)，离心率等于12，那么C方程是( )A.x 23＋y 24＝1 B ．x 24＋y 23＝1C.x 24＋y 22＝1 D ．x 24＋y 23＝1 8．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是C 上点， PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，那么C 离心率为( )A.36B ．13C.12 D ．339．点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 准线上，记C 焦点为F ，那么直线AF 斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－1210．椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)右焦点为F (3，0)，过点F 直线交E 于A ，B 两点．假设AB 中点坐标为(1，－1)，那么E 方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B ．x 236＋y 227＝1C.x 227＋y 218＝1 D ．x 218＋y 29＝111．设抛物线M ：y 2＝2px (p >0)焦点F 是双曲线N ：x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)右焦点，假设M 与N 公共弦AB 恰好过点F ，那么双曲线N 离心率e ＝( )A.2＋1B ．1－ 2C.2＋1或1－ 2 D ．2－112．点A (2，0)，抛物线C ：x 2＝4y 焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，那么|FM |∶|MN |＝( )A ．2∶ 5B ．1∶2C. 1∶ 5 D．1∶3中横线上)13．假设抛物线y2＝2px焦点坐标为(1，0)，那么p＝________；准线方程为________．14．双曲线x216－y2m＝1离心率为54，那么m等于________．15．定义：曲线C上点到直线l距离最小值称为曲线C到直线l 距离．曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x距离等于曲线C2：x2＋(y ＋4)2＝2到直线l：y＝x距离，那么实数a＝_______．16.椭圆x2a2＋y25＝1(a为定值，且a>5)左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A、B，△FAB周长最大值是12，那么该椭圆离心率是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题总分值10分)直线y＝kx＋m(m≠0)与椭圆W：x2 4＋y2＝1相交于A，C两点，O是坐标原点．(1)当点B 坐标为(0，1)，且四边形OABC 为菱形时，求AC 长； (2)当点B 在W 上且不是W 顶点时，证明：四边形OABC 不可能为菱形．18．(本小题总分值12分)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直直线被椭圆截得线段长为433.(1)求椭圆方程；(2)设A 、B 分别为椭圆左、右顶点，过点F 且斜率为k 直线与椭圆交于C ，D 两点，假设AC→·DB →＋AD →·CB →＝8，求k 值．19.(本小题总分值12分)如图，抛物线E ：y 2＝4x 焦点为F ，准线l 与x 轴交点为A .点C 在抛物线E 上，以C 为圆心，|CO |为半径作圆，设圆C 与准线l 交于不同两点M ，N .(1)假设点C 纵坐标为2，求|MN |；(2)假设|AF |2＝|AM |·|AN |，求圆C 半径．20．(本小题总分值12分)设椭圆E ：x 2a 2＋y 21－a2＝1焦点在x 轴上． (1)假设椭圆E 焦距为1，求椭圆E 方程；(2)设F 1、F 2分别是椭圆E 左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内点，直线F 2P 交y 轴于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q .证明：当a 变化时，点P 在某定直线上．21.(本小题总分值12分)设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中一个内切，另一个外切．(1)求圆C 圆心轨迹L 方程；(2)点M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫355，455，F (5，0)，且P 为L 上动点，求||MP |－|FP ||最大值及此时点P 坐标．22．(本小题总分值12分)平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)右焦点直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 中点，且OP 斜率为 12.(1)求M 方程；(2)C ，D 为M 上两点，假设四边形ACBD 对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积最大值．参考答案与解析1．解析：选C.方程化为x 24－y 28＝1，a 2＝4，a ＝2，实轴长2a ＝4.2．解析：选D.抛物线y 2＝8x 焦点为F (2，0)，那么d ＝|2－3×0|12＋〔－3〕2D.3．[导学号06140080] 解析：选A.因为x 2a 2－y 2b2＝1焦距为10，所以c ＝5＝a 2＋b 2.①又双曲线渐近线方程为y ＝±bax ，且P (2，1)在渐近线上，所以2ba＝1，即a ＝2b .②由①②解得a ＝25，b ＝5，故应选A.4．解析：选D.双曲线C 1与C 2实半轴长分别是sin θ与cos θ，虚半轴长分别是cos θ与sin θ，那么半焦距c 都等于1，应选D.5．解析：选C.由e ＝52，得c a ＝52，所以c ＝52a ，b ＝c 2－a 2＝12a . 而x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)渐近线方程为y ＝±b ax ，所以所求渐近线方程为y ＝±12x .6．解析：选C.因为双曲线x 2－y2m＝1离心率e ＝1＋m ，又因为e >2，所以1＋m >2，所以m >1.7．解析：选D.右焦点为F (1，0)说明两层含义：椭圆焦点在x 轴上；c c a ＝12，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，故椭圆方程为x 24＋y 23＝1，应选D.8．[导学号06140081] 解析：选D. 如图，由题意知sin 30°＝|PF 2||PF 1|＝12，所以|PF 1|＝2|PF 2|.又因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝2a3.所以tan 30°＝|PF 2||F 1F 2|＝2a32c ＝33.所以c a ＝33.应选D.9．解析：选C.因为点A (－2，3)在抛物线C 准线上，所以p2＝2，所以p ＝4.所以抛物线方程为y 2＝8x ，那么焦点F 坐标为(2，0)．又A (－2，3)，根据斜率公式得k AF ＝0－32＋2＝－34.10．[导学号06140082] 解析：选D.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b 2＝1，①x 22a 2＋y22b2＝1.②①－②得〔x 1＋x 2〕〔x 1－x 2〕a 2＝－〔y 1－y 2〕〔y 1＋y 2〕b2，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2〔x 1＋x 2〕a 2〔y 1＋y 2〕.因为x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，所以k AB ＝b 2a2.而k AB ＝0－〔－1〕3－1＝12，所以b 2a 2＝12，所以a 2＝2b 2，所以c 2＝a 2－b 2＝b 2＝9，所以b ＝c ＝3，a ＝32，所以E 方程为x 218＋y 29＝1.11．解析：选A.因为抛物线M ：y 2＝ 2px (p >0)焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎪⎪⎫p 2，0，双曲线N ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右焦点为F (c ，0)，所以p2＝c ，又公共弦AB 恰好过点F ，得AB 为抛物线M 通径，所以|AB |＝2p ＝2b 2a，所以b 2＝2ac ⇒c 2－a 2＝2ac ，所以e 2－2e －1＝0，所以e ＝2＋1或e ＝1－2(舍去)． 12.解析：选C.如下图，由抛物线定义知|MF |＝|MH |，所以|MF |∶|MN |＝|MH |∶|MN |.由于△MHN ∽△FOA ，那么|MH ||HN |＝|OF ||OA |＝12，那么|MH |∶|MN |＝1∶5，即|MF |∶|MN |＝1∶ 5. 13．[导学号06140083] 解析：因为抛物线y 2＝2px 焦点坐标为(p2，0)，所以准线方程为x ＝－p2.又抛物线焦点坐标为(1，0)，故p ＝2，准线方程为x ＝－1. 答案：2 x ＝－114．解析：x 216－y 2m＝1中，a ＝4，b ＝m ，所以c ＝16＋m .而e ＝54，所以16＋m 4＝54，所以m ＝9.答案：915．解析：曲线C 2是圆心为(0，－4)，半径r ＝2圆，圆心到直线l ：y ＝x 距离d 1＝|0＋4|2＝22，所以曲线C 2到直线l 距离为d 1－r ＝ 2.设曲线C 1上点(x 0，y 0)到直线l ：y ＝x 距离最短为d ，那么过(x 0，y 0)切线平行于直线y ＝x .设平行于y ＝x 切线方程为y ＝x ＋b ，代入y ＝x 2＋a 得x 2－x ＋a －b ＝0，Δ＝(－1)2－4(a －b )＝0，b ＝a －14，那么切线y ＝x ＋a －14与直线y＝x 间距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪14－a 2.由题意知⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪14－a 2＝2，所以a ＝－74或a ＝94.当a ＝－74时，直线l 与曲线C 1相交，不合题意，故舍去．答案：9416.解析：设椭圆右焦点为F ′，如图，由椭圆定义知，|AF |＋|AF ′|＝|BF |＋|BF ′|＝2a .又△FAB 周长为|AF |＋|BF |＋|AB |≤|AF |＋|BF |＋|AF ′|＋|BF ′|＝4a ，当且仅当AB 过右焦点F ′时等号成立．此时4a ＝12，那么a ＝3.故椭圆方程为x 29＋y 25＝1，所以c ＝2，所以e ＝c a ＝23.答案：2317．[导学号06140084] 解：(1)因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 互相垂直平分．所以可设A (t ，12)，代入椭圆方程得t 24＋14＝1，即t ＝± 3.所以|AC |＝2 3.(2)证明：假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 顶点，且AC ⊥OB ，所以k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，那么x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m1＋4k 2，所以AC 中点为M (－4km 1＋4k 2，m1＋4k 2)．因为M 为AC 与OB 交点，且m ≠0，k ≠0，所以直线OB 斜率为－14k.因为k ·(－14k )≠－1，所以AC 与OB 不垂直．所以四边形OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 在W 上且不是W 顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．18．解：(1)设F (－c ，0)，由c a ＝33，知a ＝3c .过点F 且与x 轴垂直直线为x ＝－c ，代入椭圆方程有〔－c 〕2a 2＋y 2b2＝1，解得y ＝±6b 3，于是26b 3＝433，解得b ＝ 2.又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝3，c ＝1，所以椭圆方程为x 23＋y 22＝1.(2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由F (－1，0)得直线CD 方程为y＝k (x ＋1)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 〔x ＋1〕，x 23＋y 22＝1，消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0.由根与系数关系可得x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2.因为A (－3，0)，B (3，0)，所以AC →·DB →＋AD →·CB →＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1)＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2＝6＋2k 2＋122＋3k 2.由得6＋2k 2＋122＋3k2＝8，解得k ＝± 2.19．[导学号06140085] 解：(1)抛物线y 2＝4x 准线l 方程为x ＝－1.由点C 纵坐标为2，得点C 坐标为(1，2)，所以点C 到准线l 距离d ＝2.又|CO |＝5，所以|MN |＝2|CO |2－d 2＝25－4＝2.(2)设C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y 204，y 0，那么圆C 方程为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －y 2042＋(y －y 0)2＝y 4016＋y 20，即x 2－y 202x ＋y 2－2y 0y ＝0.由x ＝－1，得y 2－2y 0y ＋1＋y 202＝0.设M (－1，y 1)，N (－1，y 2)，那么⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4y 20－4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋y 202＝2y 20－4>0，y 1y 2＝y22＋1.由|AF |2＝|AM |·|AN |，得|y 1y 2|＝4，所以y 202＋1＝4，解得y 0＝±6，此时ΔC坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫32，6或⎝⎛⎭⎪⎪⎫32，－6，从而|CO |2＝334，|CO |＝332，即圆C 半径为332.20．解：(1)因为椭圆焦点在x 轴上且焦距为1，所以2a 2－1＝14，解得a 2＝58.故椭圆E 方程为8x 25＋8y 23＝1.(2)证明：设出点P 坐标，并求出其横、纵坐标关系式．注意点在直线上时，点坐标满足直线方程．设P (x 0，y 0)，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝2a 2－1. 由题设知x 0≠c ，那么直线F 1P 斜率k F 1 P ＝y 0x 0＋c，直线F 2P 斜率k F 2 P ＝y 0x 0－c.故直线F 2P 方程为y ＝y 0x 0－c(x －c )．当x ＝0时，y ＝cy 0c －y 0，即点Q 坐标为(0，cy 0c －x 0)．因此，直线F 1Q 斜率为k F 1 Q ＝y 0c －x 0.由于F 1P ⊥F 1Q ，所以k F 1 P ·k F 1 Q ＝y 0x 0＋c ·y 0c －x 0＝－1.化简得y 20＝x 20－(2a 2－1)．①将①代入椭圆E 方程，由于点P (x 0，y 0)在第一象限，解得x 0＝a 2，y 0＝1－a 2，即点P 在定直线x ＋y ＝1上．21．[导学号06140086] 解：(1)设圆C 圆心坐标为(x ，y )，半径为r .圆(x ＋5)2＋y 2＝4圆心为F 1(－5，0)，半径为2，圆(x －5)2＋y 2＝4圆心为F (5，0)，半径为2.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|CF 1|＝r ＋2，|CF |＝r －2，或⎩⎪⎨⎪⎧|CF 1|＝r －2，|CF |＝r ＋2，所以||CF 1|－|CF ||＝4.因为|F 1F |＝25＞4.所以圆C 圆心轨迹是以F 1(－5，0)，F (5，0)为焦点双曲线，其方程为x 24－y 2＝1.(2)由图知，||MP |－|FP ||≤|MF |，所以当M ，P ，F 三点共线，且点P 在MF 延长线上时，|MP |－|FP |取得最大值|MF |，且|MF |＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫355－52＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫455－02＝2. 直线MF 方程为y ＝－2x ＋25，与双曲线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋25，x 24－y 2＝1，整理得15x 2－325x ＋84＝0.解得x 1＝14515(舍去)，x 2＝655.此时y ＝－255.所以当||MP |－|FP ||取得最大值2时，点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫655，－255.22．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，那么x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝－1，由此可得b 2〔x 2＋x 1〕a 2〔y 2＋y 1〕＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1. 因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2.又由题意知，M 右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3. 因此a 2＝6，b 2M 方程为x 26＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝433，y ＝－33，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝ 3.因此|AB |＝463. 由题意可设直线CD 方程为y ＝x ＋n (－533<n <3)，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋n ，x 26＋y 23＝1，得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0.于是x 3，4＝－2n ±2〔9－n 2〕3.因为直线CD 斜率为1，所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝439－n 2.由，四边形ACBD 面积S ＝12|CD |·|AB |＝8699－n 2，当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为863.所以四边形ACBD 面积最大值为863.。

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学业分层测评(十三)
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、选择题
1．给出下列结论：①若y＝1
x3，则y′＝－
3
x4；②若y＝
3
x，则y′＝
1
3
3
x；③
若f(x)＝sin α，则f′(x)＝cos α；④若f(x)＝3x，则f′(1)＝3.其中，正确的个数是() A．1个B．2个
C．3个D．4个
【解析】对于②y＝3
x，y′＝
1
3x
1
3-1＝13x－
2
3＝1
3
3
x2
，故②错；对于③f(x)＝sin α，
为常数函数，
∴f′(x)＝0，故③错；①④都正确．
【答案】 B
2．曲线f(x)＝e x在点A(0,1)处的切线斜率为()
【导学号：63470066】A．1 B．2
C．e D．1 e
【解析】∵f(x)＝e x，∴f′(x)＝e x，
∴f′(0)＝1.
即曲线f(x)＝e x在点(0,1)处的切线的斜率为1.
【答案】 A
3．已知曲线y＝x3在点(a，b)处的切线与直线x＋3y＋1＝0垂直，则a的值是()
A．－1 B．±1
C．1 D．±3
【解析】由y＝x3知y′＝3x2，
∴切线斜率k＝y′|x＝a＝3a2.
又切线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，
∴3a 2·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13＝－1， ∴即a 2＝1，a ＝±1，故选B.
【答案】 B
4．已知f (x )＝log a x (a >1)的导函数是f ′(x )，记A ＝f ′(2)，B ＝f (3)－f (2)，C ＝f ′(3)，则( )
A ．A >
B >C
B ．A >
C >B C ．B >A >C
D ．C >B >A
【解析】记M (2，f (2))，N (3，f (3))，则由于B ＝f (3)－f (2)＝
f (3)－f (2)
3－2表示直线MN 的斜率，A ＝f ′(2)表示函数f (x )＝log a x 在点M 处的切线的斜率，C ＝f ′(3)表示函数f (x )＝log a x 在点N 处的切线的斜率．由f (x )的图像易得A >B >C .
【答案】 A
5．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( )
A.1e
B ．－1e
C ．－e
D ．e
【解析】 y ′＝e x ，设切点为(x 0，y 0)，则
⎩⎪⎨⎪⎧ y 0＝kx 0y 0＝e
x 0k ＝e x 0
∴e x 0＝e x 0·x 0，∴x 0＝1，∴k ＝e.
【答案】 D
二、填空题
6．若f (x )＝cos 2π3，则f ′(x )＝________.
【解析】 f (x )＝－12，∴f ′(x )＝0.
【答案】 0
7．(2016·安庆高二检测)曲线y ＝cos x 在点⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4，22处的切线的倾斜角为________.
【导学号：63470067】
【解析】 y ′＝－sin x ，∴k ＝－sin π4＝－22.
设倾斜角为α，则tan α＝－22，α＝135°.
【答案】 135°
8．设直线y ＝12x ＋b 是曲线f (x )＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b 的值为
________．
【解析】 f ′(x )＝(ln x )′＝1x ，设切点坐标为(x 0，y 0)，由题意得1x 0
＝12，则x 0＝2，y 0＝ln 2，代入切线方程y ＝12x ＋b ，得b ＝ln 2－1.
【答案】 ln 2－1
三、解答题
9．求与曲线y ＝3x 2在点P (8,4)处的切线垂直，且过点(4,8)的直线方程．
【解】 ∵y ＝3x 2，∴y ′＝(3x 2)′＝(x 23)′＝23
x -13. ∴k ＝f ′(8)＝23·8-13＝13.
即曲线在点P (8,4)处的切线的斜率为13.
∴适合条件的直线的斜率为－3.
从而适合条件的直线方程为y －8＝－3(x －4)．
即3x ＋y －20＝0. 10．若曲线
f (x )＝x -12在点(a ，a -12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为
18，求a 的值．
【解】对函数
f (x )＝x -12求导得f ′(x )＝－12x -32(x >0)，则曲线f (x )＝x -12在点(a ，a -12)处的切线l 的斜率k ＝f ′(a )＝－12a -32，由点斜式得切线的方程为y －a -12＝－12a -32 (x
－a )，易求得直线l 与x 轴，y 轴的截距分别为3a ，32a -12，所以直线l 与两个坐标轴
围成的三角形面积S ＝12×3a ×32a -12＝94a 12＝18，解得a ＝64.
能力提升]
1．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，……，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2 016(x )等于( )
A ．sin x
B ．－sin x
C ．cos x
D ．－cos x
【解析】 f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝－sin x ，
f 3(x )＝－cos x ，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ，
f 6(x )＝－sin x ，f 7(x )＝－cos x ，f 8(x )＝sin x ，…，
故f n (x )以4为周期，
∴f 2 016(x )＝f 504×4(x )＝f 0(x )＝sin x .
【答案】 A
2．(2016·青岛高二检测)曲线y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x 在x ＝0处的切线方程是( ) A ．x ＋y ln 2－ln 2＝0
B ．x ln 2＋y －1＝0
C ．x －y ＋1＝0
D ．x ＋y －1＝0 【解析】 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ln 12＝－ln 2·⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x ，y ′|x ＝0＝－ln 2，即切线的斜率为－ln 2.又切点为(0,1)，所以切线方程为y －1＝－ln 2×(x －0)，即x ln 2＋y －1＝0.选B.
【答案】 B
3．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为________．
【解析】 y ′＝e x ，∴y ′|x ＝2＝e 2.
∴切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，x ＝0时，y ＝－e 2；y ＝0时，x ＝1.
∴S
△＝
1
2×1×e
2＝e
2
2.
【答案】e2 2
4．已知两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．
【解】不存在．理由如下：由于y＝sin x，y＝cos x，设两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)，
所以两条曲线在P(x0，y0)处的切线斜率分别为k1＝cos x0，k2＝－sin x0.
若使两条切线互相垂直，必须有cos x0·(－sin x0)＝－1，即cos x0·sin x0＝1，也就是sin 2x0＝2，这是不可能的，所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直．。