基于降维观测器的亚微米超精密车床振动控制

现代控制理论基础
上机实验报告之二
基于降维观测器的亚微米超精密车床
振动控制
院系航天学院控制科学与工程系
专业自动化
姓名
班号
指导教师
哈尔滨工业大学
2013年5月31日
一、 工程背景介绍
在实验一中针对亚微米超精密车床的振动控制系统，我们采用全状态反馈法设计了控制规律。

但是在工程实践中，传感器一般只能测量基座和床身的位移信号，不能测量它们的速度及加速度信号，所以后两个状态变量不能获得，换句话说全状态反馈很难真正实现。

为了解决这个问题，本实验设计一个降维（2维）状态观测器，用来解决状态变量、的估计问题，从而真正实现全状态反馈控制。

二、 实验目的
通过本次上机实验，使同学们熟练掌握：
1. 降维状态观测器的概念及设计原理；
2. 线性系统分离原理的内涵；
3. 进一步熟悉极点配置及状态反馈控制律的设计过程；
4. MATLAB 语言的应用。

三、 性能指标
1. 闭环系统渐近稳定；
2. 降维观测器渐近稳定。

四、 系统给定实际参数
假设某一亚微米超精密车床隔振系统的各个参数为：
01200N /m k =
，980N /A e k =，kg 120=m ，2.0=c ，Ω300=R ，H 95.0=L 。

五、 车床振动系统的开环状态空间模型的建立
由实验1并结合系统给定实际参数，选取状态变量：
1x y =，2x y =，3x y =
已经推得系统开环状态空间模型为：
u x x x x x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡6.8008.3155.109.3157100010321.3.2.1
[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321001x x x y 然后，可以求得开环系统的传递函数，328.6()122235215200
G s s s s -=
+++这样，就得到了系统的开环状态模型。

状态反馈控制律为K=[1400， 270， -22.54 ]T 。

这样，闭环系统的状态方程为 .11.22.33123010000101520023521228.6(100)x x x x r
x x x y x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎝
⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭
⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。

由系统状态空间表达式可见系统输出只含有状态变量x1,状态变量x2，x3是不可测的，为此要实现状态反馈的设计，必须设计一个二维的状态观测器来实现状态反馈。

六、 降维观测器的设计
由系统开环状态空间表达式，定x2，x3为所设计的状态观测器所要观测的状态变量。

系统的状态方程和特征方程不需要进行变换。

对开环系统的A 矩阵进行分割，得到B1=[0]，B2=[0 -8.6]T ，A11=[0]，A12=[1 0]，A21=[0 -3157.9]T ，
0122-10.5315.8A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦。

不妨设，观测器的矩阵L=[L1 L2]T ，选定观测器的特征根为-2.5和-318.5。

这样，观测器的矩阵A22-L*A12的特征根为-2.5和-318.5。

求解A22-L*A12的特征方程，有()22315.8110.50s L s L ++-=，相应的特征方程
应为2321796.250s s ++=，这样根据对应系数相等，可以求得：
L1=5.2，L2=-75.8。

然后，设计降维变量观测器Z ：
()()()()221222122111215.21102.84065.3315.8235988.6z A LA z A LA L A LA y B LB u
z y u ∙=-+-+-+-⎡⎤⎣⎦--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭
然后，进行状态重构，有
1001005.2010 5.21075.800175.801x y z y y z ∧
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

这样，就设计出了降维状态观测器。

七、 基于降维观测器的状态反馈控制律设计
基于观测器的状态反馈的基本原理如上图所示，由于现实系统中某些状态变量的不可测量性，因此，需要构建一个新的动态系统作为状态反馈的输入。

所以，就有了全维观测器和降维观测器。

并且直接反馈部分的极点和观测器部分的极点是相互独立的，由观测器构成的状态反馈系统和状态直接反馈系统具有相同的传递函数矩阵，直接反馈矩阵可以直接应用实验一的中得到的结果。

按照实验的要求，状态反馈控制律的极点配置同实验一，也就是说，状态反馈矩阵为K=[1400， 270， -22.54 ]T 。

并且，由上文可以算出，观测器的加速矩阵L=[5.2 -75.8]T 。

八、 闭环系统数字仿真的MATLAB 编程
编写matlab 程序如下：
命名为xy1.m 的M 文件如下：
function dx=xy1(t,x)
u=1400*x(1)+270*x(2)-22.54*x(3);
dx(1)=x(2);
dx(2)=x(3);
dx(3)=-3157.9*x(1)-10.5*x(2)-315.79*x(3)-8.6*u;
dx(4)=-5.2*x(4)+x(5)-102.84*x(1);
dx(5)=65.3*x(4)-315.8*x(5)-23598*x(1)-8.6*u;
dx=[dx(1);dx(2);dx(3);dx(4);dx(5)];
命名为xy2.m的脚本文件如下：
[t,f]=ode45('xy1',[0 5],[-1 2 -1 3 0.5]);
figure
plot(t,f(:,1));grid
title('输出');
xlabel('t');ylabel('y');
figure
plot(t,f(:,2),t,5.2*f(:,1)+f(:,4));grid
figure
plot(t,f(:,3),t,-75.8*f(:,1)+f(:,5));grid
得到的结果如下。

输出y（即x1）的图形如下图所示：
本次实验要求闭环系统渐进稳定，设计的状态反馈矩阵和观测器矩阵满足要求的。

系统的状态变量X2和观测器的变量
2x随时间的变化情况如下图所示：
可以看出系统的状态变量X2和观测器的变量∧
2x 在1.5秒时重合，观测器成功观测X2。

系统的状态变量X3和观测器的变量∧3x 随时间的变化情况如下图所示：
可以看出系统的状态变量X3和观测器的变量∧
3x 在0.5秒时重合，观测器成功观测X3。

由此，可以得出结论，降维观测器是渐进稳定的。

因此，状态反馈矩阵和观测器矩阵满足要求。

九、实验结论及心得
降维观测器可以有效的解决状态变量无法观测的问题，通过观测器设计状态反馈矩阵可以使状态变量收敛到零点，并且可以使观测变量趋近状态变量。

通过本次实验，我掌握了降维观测器的设计方法，进一步提高了自己设计状态反馈矩阵的能力，对控制系统设计有了更直观明了的认识。

同时，与实验一结合，让我对理论知识有了更整体化的认识，对矩阵特征值有了本质的认识，也让我更加深入的了解了在Mat lab中M文件编程与Simulink仿真的区别。

最后，感谢老师对实验的精心设计，让我们能够在与实践结合中提高对理论知识的认识。