[推荐学习]2018考前两个月数学高考理科(江苏专用)总复习训练题：小题满分练7 Word版含答案

小题满分练7
1．(2017·镇江期末)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4,5}，则集合A ∪B 中元素的个数为________． 答案 5
解析 A ∪B ＝{1,2,3,4,5}，故集合A ∪B 中元素的个数为5. 2．i 为虚数单位，则1－i
2－i ＝________.
答案 35－15i
解析
1－i 2－i ＝(1－i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝3－i 5＝35－i
5
. 3．如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录绘制了日销售量的频率分布直方图．若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为________．
答案 9
解析 这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为(0.004＋0.002)×50×30＝9. 4．箱子中有形状、大小都相同的3只红球和2只白球，一次摸出2只球，则摸到的2只球颜色不同的概率为________． 答案 35
解析 对红球和白球进行编号：红1，红2，红3，白1，白2，则摸到的2只球的可能性有10种：红1，红2；红1，红3；红1，白1；红1，白2；红2，红3；红2，白1；红2，白2；红3，白1；红3，白2；白1，白2.摸到的2只球颜色不同的有6种：红1，白1；红1，白2；红2，白1；红2，白2；红3，白1；红3，白2.故摸到的2球颜色不同的概率为3
5.
5．若k ∈R ，则k >3是方程
x 2
k －3－
y 2
k ＋3
＝1表示双曲线的________________条件．(填“充分
不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”) 答案 充分不必要
解析 方程x 2
k －3＋y 2
－(k ＋3)
＝1表示双曲线，
只需满足(k －3)(－k －3)＜0，解得k ＞3或k ＜－3. 所以k ＞3是方程
x 2
k －3－
y 2
k ＋3
＝1表示双曲线的充分不必要条件．
6．(2017·南通一调)如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值为________．
答案 5
解析 n ＝1，a ＝1，第一次循环，a ＝1＜16，a ＝3＋2＝5，n ＝1＋2＝3；第二次循环，a ＝5＜16，a ＝15＋2＝17，n ＝3＋2＝5；此时a ＝17＞16，退出循环，输出值n ＝5.
7．(2017·苏锡常镇调研)已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是3，则该正四棱锥的体积为__________． 答案 43
解析 如图所示的正四棱锥P －ABCD 中，PA ＝3，AB ＝2，故AO ＝
2
2
AB ＝2，所以PO ＝PA 2－AO 2＝3－2＝1，所以V ＝13Sh ＝13×22×1＝43
.
8．(2017·南京学情调研)已知各项均为正数的等比数列{a n }，其前n 项和为S n .若a 2－a 5＝－78，S 3＝13，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. 答案 3
n －1
解析 设等比数列的公比为q ＞0，则由题意得⎩⎪⎨⎪
⎧
a 1q －a 1q 4
＝－78，a 1(1＋q ＋q 2
)＝13，
两式相除得q 2
－q －6
＝0，即q ＝3或q ＝－2(舍去)，从而得a 1＝1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1
.
9．若tan α＝12，tan(α－β)＝－1
3，则tan(β－2α)＝________.
答案 －1
7
解析 方法一 因为tan α＝12，所以tan2α＝2tan α1－tan 2
α＝11－14＝4
3
.又tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝1
2－tan β1＋12tan β＝－13，故tan β＝1.所以tan(β－2α)＝tan β－tan2α1＋tan βtan2α
＝
1－431＋43
＝－17. 方法二 tan(β－2α)＝－tan(2α－β)＝－tan(α＋α－β)＝－tan α＋tan (α－β)1－tan αtan (α－β)
＝－12－131－12×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－13＝－1
7.
10．以双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 为圆心，a 为半径的圆恰好与双曲线的两条渐
近线相切，则该双曲线的离心率为__________． 答案
2
解析 因为双曲线的渐近线方程为bx ±ay ＝0，则右焦点到渐近线的距离为b ，故a ＝b ，a
2
＝b 2
＝c 2
－a 2
，即2＝c 2a
2＝e 2
，所以e ＝ 2.
11.在周长为10的△ABC 中，AB ＝2，则CA →·CB →
的最小值是________． 答案 14
解析 设CA ＝m ，CB ＝n ，则m ＋n ＝8， 所以由余弦定理可得CA →·CB →
＝mn cos C ＝m 2＋n 2－4
2
＝
()m ＋n 2－2mn －4
2
＝82
－4－2mn 2
＝30－mn ， 又因为mn ≤⎝
⎛⎭
⎪⎫m ＋n 22＝16，
所以CA →·CB →
≥30－16＝14.
12．已知函数f (x )＝x 3
＋2x ，若f (1)＋f (1log 3a
)>0(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是
________．
答案 (0,1)∪(3，＋∞)
解析 由函数f (x )的解析式易得该函数为奇函数且在定义域R 上是单调增函数．故f (1)＋f (1log a 3)>0等价于f (1log a 3)>－f (1)＝f (－1)，即1l o g a 3>－1＝1log a a .所以⎩⎪⎨⎪⎧
1a
>1，
3>a 或
⎩⎪⎨⎪⎧
0<1a <1，
3<a ，
解得0<a <1或a >3.
13．已知函数f (x )＝2
x －1
＋a ，g (x )＝bf (1－x )，其中a ，b ∈R .若关于x 的不等式f (x )≥g (x )
的解的最小值为2，则a 的取值范围是________．
答案 (－∞，－2]∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫－14，＋∞
解析 因为g (x )＝b (2－x
＋a )，所以2
x －1
＋a ≥b
2
x ＋ab ，即(2x )2－2a (b －1)2x
－2b ≥0.由“二
次不等式与二次方程的根的关系”知，关于2x
的方程(2x )2
－2a (b －1)·2x
－2b ＝0中2x
的值分别为4，－b
2，因为2x 取正值，要想2x
最小为4，所以－b 2≤0，即b ≥0.又因为4－b
2＝2a (b
－1)，所以b ＝4(a ＋2)4a ＋1≥0，解得a ≤－2或a >－1
4.
14．(2017·湖北百校联考)若函数f (x )＝
1
2
()cos x －sin x ·()cos x ＋sin x ＋3a ()sin x －cos x ＋()4a －1x 在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π2，0上单调递增，则实数a 的取值范围为________________________． 答案 [1，＋∞)
解析 f (x )＝1
2cos 2x ＋3a (sin x －cos x )＋(4a －1)x ，
故f ′(x )＝－sin 2x ＋3a (cos x ＋sin x )＋4a －1
＝－(cos x ＋sin x )2
＋3a (cos x ＋sin x )＋4a ≥0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上恒成立，
令sin x ＋cos x ＝t ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，
则t ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4，t ∈[－1,1]， 故不等式可化为－t 2
＋3at ＋4a ≥0在区间[－1,1]上恒成立．
令g (t )＝－t 2
＋3at ＋4a ，只需⎩
⎪⎨
⎪⎧
g (－1)≥0，
g (1)≥0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
－1＋3a ×(－1)＋4a ≥0，
－1＋3a ＋4a ≥0
⇒a ≥1.。