中考数学 考点聚焦 第1章 数与式 第5讲 二次根式及其运算1

[对应训练] 2．(1)(2016·包头)计算：6 13－( 3＋1)2＝__－__4__．
(2)计算： ① 24× 13－4× 18×(1－ 2)0； 解：原式＝2 6× 33－4× 42×1＝2 2－ 2＝ 2
②(3 2－1)(1＋3 2)－(2 2－1)2； 解：原式＝(3 2)2－1－[(2 2)2－4 2＋1]＝18－1－8＋4 2－1＝8 ＋4 2
[对应训练] 1．(1)如果 （2a－1）2＝1－2a，则( B ) A．a<12 B．a≤12 C．a>21 D．a≥12 (2)(2016·自贡)若代数式 xx－1有意义，则 x 的取值范围是__x_≥_1__． (3)若 20n是整数，则正整数 n 的最小值为__5__．
二次根式的运算
【例 2】 (1)(2015·宁夏)下列计算正确的是( B )
试题
5.注意二次根式运算中的隐含条件)
已知 a＝2－ 3，求aa2＋－11－ a2a－－21a＋1的值． 错解
解：原式＝（a＋（1）a＋（1）a－1）－ （aa－－11）2＝ a－1－aa－ －11＝a－2. ∴当 a＝2－ 3时，
原式＝2－ 3－2＝－ 3.
剖析 (1) 题 目 中 的 隐 含 条 件 为 a ＝ 2 － 3 ＜ 1 ， 所 以 a2－2a＋1 ＝ （a－1）2＝|a－1|＝1－a，而不是 a－1； (2)注意挖掘题目中的隐含条件，是解决数学问题的关键之一，上 题中的隐含条件 a＝2－ 3＜1 是进行二次根式化简的依据，应注重分 析能力的培养，提高解题的正确性． 正解 ∵a＝2－ 3＜1，∴a－1＜0. ∴ a2－2a＋1＝ （a－1）2＝|a－1|＝1－a. ∴原式＝（a＋（1）a＋（1）a－1）－1a－－1a＝a－1＋1＝a. ∴当 a＝2－ 3时，原式＝2－ 3
1 A. 18 B. 3 C. 24 D. 0.3 4．(2016·南充)下列计算正确的是( A )
A. 12＝2 3 B.
32＝
3 2
C. －x3＝x －x D. x2＝x 5．(2015·淄博)已知 x＝ 52－1，y＝ 52＋1，则 x2＋xy＋y2 的值为( B )
A．2 B．4 C．5 D．7
【点评】 解决根式估值类问题有两种方法：(1)记住常见的无理数 的近似值，如 2≈1.414， 3≈1.732 等；(2)估计无理数在哪两个整数之 间，如 9＜ 10＜ 16，即 3＜ 10＜4，故 10是 3 到 4 之间的数．通常 所采用的方法为：一般先对根式平方，找出与Fra Baidu bibliotek方后所得数字相邻的两 个开得尽方的整数，然后再对这两个整数进行开方，就可以确定这个根 式在哪两个整数之间．
x－4＋ 2
4－x－2，则(x＋y)y＝__14__．
二次根式的估值
【例 4】 (1)(2016·天津)估计 19的值在( C ) A．2 和 3 之间 B．3 和 4 之间 C．4 和 5 之间 D．5 和 6 之间 (2)(2016·毕节)估计 6＋1 的值在( B ) A．2 和 3 之间 B．3 和 4 之间 C．4 和 5 之间 D．5 和 6 之间
(3)已知 a，b，c 是△ABC 的三边长，试化简： （a＋b＋c）2 ＋ （a－b－c）2 ＋ （b－c－a）2 ＋
（c－a－b）2. 解：原式＝|a＋b＋c|＋|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－a－b|＝(a＋b＋c)＋
(b＋c－a)＋(c＋a－b)＋(a＋b－c)＝2a＋2b＋2c
【点评】 (1)对于二次根式，它有意义的条件是被开方数大于或等 于 0；(2)注意二次根式性质( a)2＝a(a≥0)， a2＝|a|的区别，判断出各式 的正负性，再化简．
二次根式概念与性质
【例 1】 (1)下列各式中 2，3 5，－ 3， －7， x2＋1，一定是二次根式的有( B )
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 (2)等式 2kk－－31＝ 2kk－－31成立，则实数 k 的范围是( D ) A．k＞3 或 k＜12 B．0＜k＜3 C．k≥12 D．k＞3
③( 10－3)2 016·( 10＋3)2 017. 解：原式＝( 10－3)2 016×( 10＋3)2 016×( 10＋3)＝[( 10－3)( 10 ＋3)]2 016×( 10＋3)＝1×( 10＋3)＝ 10＋3
(3)已知 10的整数部分为 a，小数部分为 b，求 a2－b2 的值． 解：∵3＜ 10＜4，∴ 10的整数部分 a＝3，小数部分 b＝ 10－ 3.∴a2－b2＝32－( 10－3)2＝9－(10－6 10＋9)＝－10＋6 10
二次根式运算中的技巧 【例 3】 (1)已知 x＝2－ 3，y＝2＋ 3，求 x2＋xy＋y2 的值； (2)已知 x＋1x＝－3，求 x－1x的值． 解：(1)原式＝(x＋y)2－xy＝16－1＝15 (2)(x－x1)2＝(x＋x1)2－4＝5，x－1x＝± 5 【点评】 (1)x2＋xy＋y2 是一个对称式，可先求出基本对称式 x＋y ＝4，xy＝1，然后将 x2＋xy＋y2 转化为(x＋y)2－xy，整体代入即可；(2) 注意到(x－1x)2＝(x＋1x)2－4，可得(x－x1)2＝5，x－1x＝± 5.
1．“双重非负性” 算术平方根 a具有双重非负性，一是被开方数 a 必须是非负数，
即 a≥0；二是算术平方根 a的值是非负数，即 a≥0.算术平方根的非负 性主要用于两方面：
(1)某些二次根式的题目中隐含着“a≥0”这个条件，做题时要善于 挖掘隐含条件，巧妙求解；
(2)若几个非负数的和为零，则每一个非负数都等于零． 2．求值问题“五招” (1)巧用平方；(2)巧用乘法公式；(3)巧用配方； (4)巧用换元；(5)巧用倒数．
1．(2016·贵港)式子 x1－1在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 (C )
A．x＜1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≥1 2．(2016·潍坊)实数 a，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a| ＋ （a－b）2的结果是( A )
A．－2a＋b B．2a－b C．－b D．b
3．(2016·巴中)下列二次根式中，与 3是同类二次根式的是( B )
[对应训练] 4．(1)(2015·南京)估计 52－1介于( C ) A．0.4 与 0.5 之间 B．0.5 与 0.6 之间 C．0.6 与 0.7 之间 D．0.7 与 0.8 之间 (2)(2015·新疆)估算 27－2 的值( C ) A．在 1 到 2 之间 B．在 2 到 3 之间 C．在 3 到 4 之间 D．在 4 到 5 之间
[对应训练]
3．(1)已知 m＝1＋ 2，n＝1－ 2，则代数式 m2＋n2－3mn的值为
( C) A．9 B．±3 C．3 D．5
(2)(2015·孝感)已知 x＝2－ 3，则代数式(7＋4 3 )x2＋(2＋ 3)x＋
3的值是( C )
A．0 B. 3 C．2＋ 3 D．2－ 3
(3)若 y＝
(4)计算： 48÷ 3－ 21× 12＋ 24. 解：原式＝ 16－ 6＋2 6＝4＋ 6
【点评】 (1)先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根 式的乘除运算，然后合并同类二次根式；(2)二次根式化简，依据 ab＝
a· b(a≥0，b≥0)， ba＝ ba(a≥0，b＞0)，前者将被开方数分解，后 者分子、分母同时乘一个适当的数使分母变成一个完全平方数，即可将 其移到根号外；(3)二次根式加减，即化简之后合并同类二次根式；(4) 二次根式乘除结果要化为最简二次根式．
数学
第一章 数与式
第5讲 二次根式及其运算
4．最简二次根式 运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二次根式．最简二次根 式，需满足两个条件： (1)被开方数不含分母； (2)被开方数中不含开得尽方的因数或因式． 5．二次根式的估值 根式估值时，一般先对根式平方，找出与平方后所得数字相邻的两 个开得尽方的整数，并对其进行开方，就可以确定这个根式在哪两个整 数之间．例如，估算 17在哪两个整数之间时，先对 17平方，找出与 17 相邻的两个开得尽方的整数 16 和 25，因为 16<17<25，所以 16< 17 < 25，即 4< 17<5.
A. 3＋ 2＝ 5 B. 12÷ 3＝2
C．( 5)－1＝ 5 D．( 3－1)2＝2
(2)(2014·济宁)如果 ab＞0，a＋b＜0，那么下面各式：①
②
a b·
ba＝1；③ ab÷
ba＝－b.其中正确的是( B
)
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
ba＝
a； b
(3)计算： 24－ 32＋ 23－2 16； 解：原式＝2 6－12 6＋13 6－13 6＝23 6