中考数学 考点聚焦 第1章 数与式 第5讲 二次根式及其运算1
浙江省中考数学总复习第一章数与式第5讲二次根式及其运算讲解篇
第5讲 二次根式及其运算1．二次根式的有关概念考试内容考试要求二次根式一般地，形如a( )的式子叫做二次根式．a最简二次根式必须同时满足：(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；(2)被开方数的因数是整数，因式是整式(分母中不应含有根号)．2.二次根式的性质考试内容考试要求两个重要的性质(a)2＝a(a____________________)；a 2＝|a|＝错误!a积的算术平方根 ab ＝a ·b (a≥0，b ≥0)． 商的算术平方根a b ＝ab(a≥0，b>0)． 3.二次根式的运算考试内容考试要求二次根式的加减先将各根式化为 ，然后合并被开方数的二次根式．b二次根式的乘法a ·b ＝ (a≥0，b ≥0)．二次根式的除法a b＝ (a≥0，b ＞0)．二次根式的混合运算与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算 ，最后算加减，有括号的先算括号里面的(或先去括号)．考试内容考试要求基本方法1.整式运算法则也适用于二次根式的运算． c2.估算一个根号表示的无理数可用“逐步逼近”的方法，即首先找出与该数邻近的两个完全平方数，可估算出该无理数的整数部分，然后再取一位小数进一步估算即可．3.绝对值：|a|；偶次幂：a 2n；非负数的算术平方根：a (a≥0)是常见的三种非负数形式．非负数具有以下两条重要性质：①非负数形式有最小值为零；②几个非负数的和等于零，那么每个非负数都等于零．1．(2015·湖州)4的算术平方根是( )A ．±2B ．2C ．－2D . 22．(2017·宁波)要使二次根式x －3有意义，则x 的取值范围是( )A ．x ≠3B ．x ＞3C ．x ≤3D ．x ≥33．(2016·杭州)下列各式变形中，正确的是( )A ．x 2·x 3＝x 6B .x 2＝|x|C .⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x÷x ＝x －1D ．x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋144．(2017·宁波)实数－8的立方根是____________________．5．(2017·湖州)计算：2×(1－2)＋8.【问题】下列各式已给出计算结果：①8－2＝6； ②（－3）2＝－3；③2×3＝6； ④8÷2＝4 (1)其中正确的是____________； (2)对于错误的结果，请给出正确答案；(3)通过以上的解答，联想二次根式有哪些性质、运算法则？【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理二次根式的性质和运算法则，以及注意的问题．类型一 平方根、算术平方根、立方根例1 (1)(2015·黄冈)9的平方根是( )A ．±3B ．±13C ．3D ．－3(2)(2017·黄冈)16的算术平方根是________． (3)(2016·宁波)实数－27的立方根是________．【解后感悟】一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根；注意算术平方根易与平方根的概念混淆而导致错误；开立方和立方互为逆运算是解题的关键．1．(1)(2016·唐山模拟)下列式子中，计算正确的是( )A ．－ 3.6＝－0.6B .（－13）2＝－13C .36＝±6D ．－9＝－3(2)如果一个正数的两个平方根为a ＋1和2a －7，则这个数为____________________．类型二 二次根式的有关概念与性质例2 (1)式子2x ＋1x －1有意义的x 的取值范围是________； (2)(2017·邵阳模拟)将45化成最简二次根式是________． (3)计算：（1－2）2＝________.【解后感悟】(1)此类有意义的条件问题主要是根据：①二次根式的被开方数大于或等于零；②分式的分母不为零列不等式组，转化为求不等式组的解集．(2)此题根据二次根式的性质化简，是解本题的关键．2．(1)(2017·荆州)下列根式是最简二次根式的是( )A .13B .0.3C . 3D .20 (2)k 、m 、n 为三个整数，若135＝k 15，450＝15m ，180＝6n ，则下列有关于k 、m 、n 的大小关系，何者正确( )A ．k ＜m ＝nB ．m ＝n ＜kC ．m ＜n ＜kD ．m ＜k ＜n(3)(2016·金华)能够说明“x 2＝x 不成立”的x 的值是____________________(写出一个即可)．(4)若实数a 、b 满足||a ＋2＋b －4＝0，则a2b＝____________________.(5)若整数x 满足|x|≤3，则使7－x 为整数的x 的值是____________________(只需填一个)．类型三 二次根式的运算与求值例3 (1)(2017·滨州)下列计算：(1)(2)2＝2，(2)（－2）2＝2，(3)(－23)2＝12，(4)(2＋3)(2－3)＝－1，其中结果正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)计算：8－312＋2＝______； (3)化简：3(2－3)－24－|6－3|＝________.【解后感悟】(1)二次根式的加减运算，关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并；(2)二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．3．(1)下列计算正确的是( )A．43－33＝1 B.2＋3＝ 5C．212＝ 2 D．3＋22＝5 2(2)算式(6＋10×15)×3之值为( )A．242 B．12 5 C．1213D．18 2 4．(1)计算(10－3)2018·(10＋3)2017＝____________________；(2)(2016·聊城)计算：27·83÷12＝.类型四二次根式的大小比较例4已知甲、乙、丙三数，甲＝5＋15，乙＝3＋17，丙＝1＋19，则甲、乙、丙的大小关系，下列何者正确( )A．丙＜乙＜甲B．乙＜甲＜丙C．甲＜乙＜丙D．甲＝乙＝丙【解后感悟】比较两个二次根式大小时要注意：(1)负号不能移到根号内；(2)根号外的正因数要平方后才能从根号外移到根号内．5．(1)(2015·河北)在数轴上标注了四段范围，如图，则表示8的点落在( )A．段① B．段② C．段③ D．段④(2)(2015·杭州)若k＜90＜k＋1(k是整数)，则k＝( )A．6 B．7 C．8 D．9(3)(2017·白银)估计5－12与0.5的大小关系是：5－12____________________0.5.(填“＞”、“＝”、“＜”)类型五二次根式的综合型问题例5(1)已知实数x，y满足||x－4＋y－8＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是________．(2)在日常生活中，取款、上网都需要密码，有的人把自己的出生年月作为密码，有的人把生活中的重要数字或自己认为吉利的数字作为密码，这样很容易被知情人窃用．有一种用二次根式法产生的密码，如：对于二次根式121，计算的结果是11，取被开方数和计算结果，再在中间加一个数字0，于是就得到一个六个数字的密码“121011”．对于二次根式0.81，用上述方法产生的密码是________．【解后感悟】常见的非负数有三种形式：|a|，a，a2；若几个非负数的和等于零，则这几个数都为零．6．(1)矩形相邻两边长分别为2，8，则它的周长是____________________，面积是____________________．(2)观察分析下列数据，寻找规律：0，3，6，3，23，…，那么第10个数据应是____________________．(3)若y＝3x－6＋6－3x＋x3，则10x＋2y的平方根为____________________．7．已知x＝3＋1，y＝3－1，求下列各式的值：(1)x2＋2xy＋y2；(2)x2－y2.【探索规律题】如图，以O(0，0)、A(2，0)为顶点作正△OAP1，以点P1和线段P1A的中点B为顶点作正△P1BP2，再以点P2和线段P2B的中点C为顶点作△P2CP3，…，如此继续下去，则第六个正三角形中，不在第五个正三角形上的顶点P6的坐标是________．【方法与对策】根据O(0，0)，A(2，0)为顶点作△OAP1，再以P1和P1A的中点B为顶点作△P1BP2，再以P2和P2B的中点C为顶点作△P2CP3，…，如此继续下去，结合图形求出点P6的坐标．本题由特殊到一般的规律解题是关键，这类题型是中考的热点．【二次根式的化简符号不明确】下列各式中，正确的是( )A.（－3）2＝－3 B．－32＝－3 C.（±3）2＝±3D.32＝±3参考答案第5讲二次根式及其运算【考点概要】1．a≥02.≥0a－a3.最简二次根式相同ab ab乘除【考题体验】1．B2.D3.B4. －25.原式＝2－22＋22＝2. 【知识引擎】【解析】(1)③； (2)①8－2＝2，②（－3）2＝3，④8÷2＝2； (3)主要从二次根式性质、运算法则方面去思考．【例题精析】例1 (1)A ；(2)4；(3)－3 例2 (1)根据题意得，2x ＋1≥0且x －1≠0，解得x≥－12且x≠1.(2)35；(3)2－1. 例3 (1)D ；(2)原式＝22－322＋2＝322，故答案为：322；(3)3(2－3)－24－|6－3|＝6－3－26－(3－6)＝－6.故答案为：－6. 例4 ∵3＝9<15<16＝4， ∴8＜5＋15＜9，∴8＜甲＜9.∵4＝16＜17＜25＝5，∴7＜3＋17＜8，∴7＜乙＜8.∵4＝16＜19＜25＝5，∴5＜1＋19＜6，∴5＜丙＜6.∴丙＜乙＜甲．故选A . 例5 (1)由||x －4＋y －8＝0得，x －4＝0，y －8＝0，即x ＝4，y ＝8.若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形．若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，能组成三角形，周长为4＋8＋8＝20；即等腰三角形的周长是20.(2)0.81＝0.9，所以得到一个六个数字的密码081009.【变式拓展】1．(1)D (2)9 2.(1)C (2)D (3)－1 (4)1 (5)－2 3. (1)C (2)D 4.(1)10－3 (2)12 5．(1)C (2)D (3)＞6.(1)6 2 4 (2)3 3 (3)±67.(1)因为x ＝3＋1，y ＝3－1，所以x ＋y ＝23，x －y ＝2.则(1)x 2＋2xy ＋y 2＝(x ＋y)2＝(23)2＝12. (2)x 2－y 2＝(x ＋y)(x －y)＝4 3.【热点题型】【分析与解】每一个正三角形的边长都是上个三角形的边长的12，第六个正三角形的边长是116，故顶点P 6的横坐标是6332，P 5纵坐标是3－34－38＝538，P 6的纵坐标为538＋332＝21332，故答案为：(6332，21332)．【错误警示】（－3）2＝9＝32＝3，选项A 错误；（±3）2＝9＝32＝3，选项C 错误；32＝3，选项D 错误．故选B .。
九年级二次根式知识点总结
九年级二次根式知识点总结数学是一门抽象而又具有逻辑性的学科，其中二次根式也是九年级数学中一个重要的知识点。
二次根式在数学中的应用是非常广泛的，掌握它的相关知识点对于学好高中的数学课程有着重要的意义。
本文将就九年级二次根式的一些核心知识点进行总结，以供同学们参考。
1. 二次根式的概念与性质二次根式是指形如√a的表达式，其中a为一个非负实数。
当a 为一个正实数时，√a称为二次根式的正根号；当a为一个非负实数时，√a称为二次根式的非负根号。
对于一个二次根式√a，满足以下性质：- 如果a和b都是正实数，那么√(a*b) = √a * √b，即二次根式的乘法法则；- 如果a和b都是正实数，那么√(a/b) = √a / √b，即二次根式的除法法则；- 如果a和b都是非负实数，那么√(a ± b) ≠ √a ± √b，即二次根式的加减法不具有简单的运算法则。
2. 二次根式的化简化简二次根式是指将二次根式√a转化为较简单的形式。
化简的方法有多种，具体可以根据不同的情况采用不同的策略。
对于一个二次根式√a，当a的因数中存在平方数时，可以使用因式分解的方法化简。
例如，对于√24，可以将24分解为2^2 * 3，即√(2^2 * 3) = √2^2 * √3 = 2√3。
当a的因数中没有平方数时，可以考虑使用合并同类项的方法化简。
例如，对于√6 + √2，可以将其合并为(1 + √2)√3。
3. 二次根式的加减运算二次根式的加减运算是指将两个二次根式相加或相减的过程。
在进行加减运算时，需要注意二次根式加减法不满足简单的运算法则，需要根据具体情况进行变形或化简。
对于两个二次根式√a和√b，可以进行如下的加减运算：- 如果a和b均为正实数，那么√a ± √b = √a± √b，即根号内无法进行合并；- 如果a和b均为非负实数，那么√a ± √b ≠ √a ± √b，需要进行合并同类项或化简。
有关初三数学知识点大全之二次根式讲解
有关初三数学知识点大全之二次根式讲解第1篇：有关初三数学知识点大全之二次根式讲解1.二次根式：一般地，式子叫做二次根式.注意：(1)若这个条件不成立，则不是二次根式;(2)是一个重要的非负数，即;0.2.重要公式：(1),(2)3.积的算术平方根：积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积;4.二次根式的乘法法则：.5.二次根式比较大小的方法：(1)利用近似值比大小;(2)把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小;(3)分别平方，然后比大小.6.商的算术平方根：，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.7.二次根式的除法法则：(1);(2);(3)分母有理化的方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式.8.最简二次根式：(1)满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，①被开方数的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含能开的尽的因数或因式;(2)最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母;(3)化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式;(4)二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式.10.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.(1)二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数未完，继续阅读 >第2篇：初三数学二次根式的乘除法知识点二次根式的乘除法运算：1.乘法规定：(a≥0，b≥0)二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。
推广：(1)(a≥0，b≥0，c≥0)(2)(b≥0，d≥0)2.乘法逆用：(a≥0，b≥0)积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积。
注意：公式中的a、b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b≥0;3.除法规定：(a≥0，b>0)二次根式相处，把被开方数相除，根指数不变。
推广：，其中a≥0，b>0，。
初中数学二次根式知识点整理
初中数学二次根式知识点整理二次根式是初中数学中的重要知识点之一，也是数学学习中的基础。
它包含了平方根、分数指数和有理化的相关内容。
掌握了二次根式的知识，对于解决问题和提高数学能力具有重要的作用。
下面将对二次根式的相关知识点进行整理和总结。
一、二次根式的定义与性质二次根式是指具有形如√a（其中a≥0）的表达式。
其中，a被称为被开方数，√a被称为二次根式的根号部分。
除此之外，我们还需要了解以下性质：1. 二次根式的值是非负的实数或零：√a≥0；2. 二次根式的值大于零的情况下，可以化简：√a=0，a=0；二、二次根式的运算1. 二次根式的加减运算当被开方数相同时，二次根式的加减可以合并为一个根号内的运算，即√a±√a=2√a。
当被开方数不同但可以合并时，可以通过有理化的方法进行化简，具体操作如下：例如：√3+√12=√3+√(4×3)=√3+2√3=3√3；再例如：√8-√32=√(4×2)-√(16×2)=2√2-4√2=-2√2；2. 二次根式的乘除运算二次根式的乘法运算可以通过根式的合并和简化进行：例如：√2×√3=√(2×3)=√6；类似地，二次根式的除法运算可以通过根式的合并和简化进行：例如：√20÷√4=√(20÷4)=√5；需要注意的是，对于根号内含有非完全平方数的情况，需要通过化简为最简根式。
例外：对于根号内含有互质数的情况，乘法运算可以直接合并；例如：√7×√5=√(7×5)=√35；而除法运算同样可以进行简化：例如：√28÷√7=√(28÷7)=√4=2；三、二次根式的有理化有理化是将含有根号的式子转化成不含根号的式子，常用的方法有以下两种：1. 乘以去根号因式：当分母含有根号时，可以乘以分母的共轭形式，即乘以√a-√b；例如：1/（√2+√5）×（√2-√5）=√2-√5；2. 利用平方的性质进行有理化：当分母是二次根式时，可以通过平方的性质进行有理化；例如：1/√3=√3/（√3×√3）=√3/3；需要注意的是，有理化后的结果通常会更便于计算和使用。
中考数学复习第一单元数与式数的开方与二次根式课件
4.把分母中的根号化去的方法
(1) 1??= ??·????= ????;
(2)
1 ??-
??= (
??-
??+ ?? ??)( ??+
=
??)
???+?-????.
考点四 二次根式的估算 1.一般先对根式进行平方 ,如( 7)2=7; 2.找出与平方后所得数相邻的两个完全平方数,如4< 7< 9; 3.对以上两个整数开方 ,如 4=2, 9= 3; 4.这个根式的值在这两个相邻整数之间 ,如 2< 7<3.
第 5 课时
数的开方与二次根式
考点一 平方根、算术平方根与立方根 1.平方根、算术平方根 :实数 a(a≥0)的平方根为± ??,其中 ??为 a 的算术平方根, 正数的平方根有两个 ,互为① 相反数 ,算术平方根只有一个且为 ② 正数 ,0 的平方根是 0. 2.立方根:实数 a 的立方根为 3 ??(a 为任意实数),立方根只有一个,符号与被开方 数③ 相同 ,立方根等于本身的数为 ±1,0.
A.4
B.8
C.±4
D.±8
2.3 8的算术平方根是 ( C )
A.2 C. 2
B.±2 D.± 2
3.[2019·大庆]有理数-8的立方根为 ( A )
A.-2
B.2
C.±2
D.±4
4. (1)化简:- 9=
-3
,-
2
1
4=
-???? , (-2)2 =
2
.
(2)25 的平方根是 ±5 ,(-4)2 的算术平方根是 4 , 16 的算术平方根
图5-1
而 0<a< 2,则 a-2<0,所以原式=a +2-a= 2.
2024年中考重点之二次根式的基本概念与性质
2024年中考重点之二次根式的基本概念与性质二次根式，也称为平方根，是数学中一种重要的概念。
在2024年中考中，二次根式将是一个重点考点。
本文将对二次根式的基本概念和性质进行详细的阐述，帮助同学们更好地理解和掌握这个知识点。
一、基本概念1. 什么是二次根式二次根式指的是形如√a的表达式，其中a是一个非负实数。
√a表示求a的平方根。
当a≥0时，二次根式有唯一的实数解；当a<0时，二次根式没有实数解。
例如，√9=3，√16=4，√(-1)在实数范围内没有解。
2. 平方根的运算性质（1）非负实数的平方根是唯一的。
即对于非负实数a和b，当a=b²（b≥0）时，b是a的平方根。
（2）若a≥0，b≥0，则√(ab)=√a × √b。
（3）若a≥0，b≥0，则√(a/b)=√a / √b（b≠0）。
（4）若a≥0，b≥0，则√a ± √b不能再进行有理化简。
二、性质和定理1. 二次根式的大小关系对于非负实数a和b，有以下性质：（1）若a<b，则√a<√b。
（2）若a>0，则√a>0。
（3）若a<0，则√a不存在。
2. 二次根式的化简（1）约分与有理化分母当二次根式的被开方数含有平方数因子时，可以进行有理化分母的操作。
例如，√(12)=√(4×3)=√4 × √3=2√3。
（2）分解因式当二次根式的被开方数可以分解成平方数的乘积时，可以进行分解因式的操作。
例如，√(16×25)=√(4²×5²)=4×5=20。
3. 基本运算法则（1）加减法两个二次根式相加或相减时，要求被开方数和指数相同。
例如，√3 + √3 = 2√3，√5 - √2 = √5 - √2。
（2）乘法两个二次根式相乘时，可以利用二次根式的乘法法则进行计算。
例如，√3 × √5 = √(3×5) = √15。
初三数学专题复习教案
初三数学专题复习教案【篇一：2016年数学中考第一轮复习整套教案(完整版)】中考数学一轮复习资料第一轮复习的目的1、第一轮复习的目的是要“过三关”：（1）过记忆关。
必须做到记牢记准所有的公式、定理等，没有准确无误的记忆，就不可能有好的结果。
要求学生记牢认准所有的公式、定理，特别是平方差公式、完全平方和、差公式，没有准确无误的记忆。
我要求学生用课前5 ---15分钟的时间来完成这个要求，有些内容我还重点串讲。
（2）过基本方法关。
如，待定系数法求函数解析式，过基本计算关：如方程、不等式、代数式的化简，要求人人能熟练的准确的进行运算，这部分是决不能丢。
（3）过基本技能关。
如，给你一个题，你找到了它的解题方法，也就是知道了用什么办法，这时就说具备了解这个题的技能。
做到对每道题要知道它的考点。
基本宗旨：知识系统化，练习专题化。
2、一轮复习的步骤、方法（1）全面复习,把书读薄:全面复习不是生记硬背所有的知识,相反,是要抓住问题的实质和各内容各方法的本质联系,把要记的东西缩小到最小程度,(要努力使自已理解所学知识,多抓住问题的联系,少记一些死知识),而且,不记则已,记住了就要牢靠,事实证明,有些记忆是终生不忘的,而其它的知识又可以在记住基本知识的基础上,运用它们的联系而得到.这就是全面复习的含义（2）突出重点，精益求精:在考试大纲的要求中，对内容有理解，了解，知道三个层次的要求；对方法有掌，会（能）两个层次的要求，一般地说，要求理解的内容，要求掌握的方法，是考试的重点．在历年考试中，这方面考题出现的概率较大；在同一份试卷中，这方面试题所占有的分数也较多．”猜题”的人，往往要在这方面下功夫．一般说来，也确能猜出几分来．但遇到综合题，这些题在主要内容中含有次要内容．这时，”猜题”便行不通了．我们讲的突出重点，不仅要在主要内容和方法上多下功夫，更重要的是要去寻找重点内容与次要内容间的联系，以主带次，用重点内容担挈整个内容．主要内容理解透了，其它的内容和方法迎刃而解．即抓出主要内容不是放弃次要内容而孤立主要内容，而是从分析各内容的联系，从比较中自然地突出主要内容．（3）基本训练反复进行:学习数学，要做一定数量的题，把基本功练熟练透，但我们不主张”题海”战术，而是提倡精练，即反复做一些典型的题，做到一题多解，一题多变．要训练抽象思维能力，对些基本定理的证明，基本公式的推导，以及一些基本练习题，要作到不用书写，就象棋手下”盲棋”一样，只需用脑子默想，即能得到正确答案．这就是我们在常言中提到的，在20分钟内完成10道客观题．其中有些是不用动笔，一眼就能作出答案的题，这样才叫训练有素，”熟能生巧”，基本功扎实的人，遇到难题办法也多，不易被难倒．相反，作练习时，眼高手低，总找难题作，结果，上了考场，遇到与自己曾经作过的类似的题目都有可能不会；不少考生把会作的题算错了，归为粗心大意，确实，人会有粗心的，但基本功扎实的人，出了错立即会发现，很少会”粗心”地出错3、数学：过来人谈中考复习数学巧用“两段”法中考数学复习大致分为两个阶段。
2024年中考重点之二次根式的计算与应用
2024年中考重点之二次根式的计算与应用二次根式是中学数学中的一个重要概念，在2024年中考中也是一个重点考点。
在本文中，我们将深入探讨二次根式的计算与应用，帮助同学们更好地掌握相关知识。
一、二次根式的定义与性质二次根式可以定义为具有形式√a的数，其中a是一个非负实数。
当a为正数时，二次根式的值也是一个正实数；当a为零时，二次根式的值为零；当a为负数时，二次根式的值为虚数。
二次根式有一些基本的性质需要了解：1. 二次根式可以进行四则运算，包括加减乘除。
在进行运算时，可以利用化简、合并同类项等方法简化运算步骤。
2. 二次根式可以与整数、分数进行运算。
在进行运算时，可以通过有理化的方法将二次根式化为有理数形式。
3. 二次根式可以进行比较大小。
当两个二次根式的被开方数相同时，可以通过比较底数的大小来判断二次根式的大小关系。
二、二次根式的计算方法1. 简化二次根式：当一个二次根式的被开方数中存在平方数因子时，可以利用简化的方法将二次根式化简为较简单的形式。
例如，√36可以简化为6。
2. 合并二次根式：当两个二次根式的被开方数相同时，可以将它们合并为一个二次根式。
例如，√2 + √8可以合并为√2 + 2√2，即3√2。
3. 化简含有二次根式的表达式：当一个表达式中含有多个二次根式时，可以通过合并同类项、分配律等方法化简为最简形式。
例如，(√2 + √3)²可以化简为2 + 2√6 + 3。
三、二次根式的应用1. 几何应用：二次根式在几何学中有着广泛的应用。
例如，计算正方形的对角线长度时就会涉及到二次根式的计算。
同学们在解决几何问题时，可以运用二次根式的性质进行计算和推导。
2. 物理应用：在物理学中，很多物理量的计算也需要用到二次根式。
例如，计算物体的速度、加速度等时常会涉及到二次根式的计算。
同学们可以运用二次根式的知识解答物理题目。
3. 经济应用：在经济学中，二次根式的应用也是比较常见的。
例如，计算利润的增长率、房屋面积的计算等都需要涉及二次根式的计算。
初中数学二次根式的知识点汇总
初中数学二次根式的知识点汇总二次根式是代数中的一个重要概念，它是一个含有平方根的表达式。
在初中数学中，学生将会学习有关二次根式的一些基本知识，以及如何进行运算和简化。
以下是一些关于初中数学二次根式的知识点的汇总。
一、二次根式的定义和表示方法1.二次根式是一个非负实数的平方根或一组二次根目标。
它可以表示为√a或±√a。
2.在二次根式中，a被称为根式的被开方数，表示所求的数；√a被称为二次根号，表示开方操作。
3.如果a是一个非负实数，那么二次根式√a表示的是非负的实数。
如果a是一个负实数，那么二次根式√a没有实数解。
4.二次根式的定义域是非负实数集合[0,∞)。
二、二次根式的比较大小1.二次根式的大小比较可以通过比较根式的被开方数来进行。
2.如果a和b是两个非负实数，且a>b，则有√a>√b。
3.如果a和b是两个非负实数，且a=b，则有√a=√b。
4.如果a和b是两个非负实数，且a<b，则有√a<√b。
三、二次根式的加减法运算1.只有具有相同的被开方数的二次根式才能进行加减法运算。
2.二次根式的加减法运算可以通过合并同类项的方式进行。
3.合并同类项时，需要注意二次根式的正负号是否一致。
四、二次根式的乘法运算1.二次根式的乘法运算可以通过乘法分配律进行。
2.二次根式的乘法运算可以通过提取同类项的方式进行。
3.提取同类项时，需要注意二次根式的正负号是否一致。
五、二次根式的除法运算1.二次根式的除法运算可以通过乘以倒数的方式进行。
2.二次根式的除法运算可以通过有理化的方式进行，即将分母有理化为无二次根式的形式。
六、二次根式的化简1.将一个二次根式化简为最简形式时，需要将其内部的二次根式去除。
2.二次根式化简的基本原则是尽量将被开方数的因式分解为平方数的积。
3.化简二次根式时，需要注意遵循二次根式的定义域，确保结果是有意义的。
七、二次根式的应用1.二次根式广泛应用于几何、物理和计算机科学等领域。
初中数学二次根式知识点总结
初中数学二次根式知识点总结二次根式是初中数学的重要知识点之一，也是数学中常见的一个分支。
它是指由开方运算得到的含有二次根号的数，通常可以表示为√a（其中a为一个非负实数）。
在学习二次根式的过程中，我们需要掌握以下几个重要的知识点。
一、二次根式的基本概念二次根式是指含有二次根号的数，如√2、√3、√5等。
其中，√2表示一个无理数，它的近似值约为1.414。
二次根式的运算主要包括化简、加减乘除等。
二、二次根式的化简当二次根式的被开方数是平方数的倍数时，可以将其化简为一个整数。
例如，√4=2，√16=4。
当被开方数是两个数的积时，可以将其化简为两个二次根式的乘积。
例如，√6=√2×√3。
三、二次根式的四则运算二次根式之间的加减运算可以通过化简和合并同类项来进行。
例如，√2+√3=√2+√3。
二次根式之间的乘法运算可以通过分解因式和合并同类项来进行。
例如，（√2+√3）×（√2-√3）=2-√6。
二次根式之间的除法运算可以通过有理化分母的方法来进行。
例如，（√2+√3）/（√2-√3）=（√2+√3）×（√2+√3）/（√2-√3）×（√2+√3）=5+2√6。
四、二次根式的应用二次根式在几何中有广泛的应用。
例如，在勾股定理中，三角形的斜边长度可以表示为√（a²+b²），其中a和b分别为三角形的两条直角边的长度。
在平面几何中，正方形对角线的长度可以表示为√2×边长。
五、二次根式的乘法公式二次根式的乘法公式是指将两个二次根式相乘时可以应用的公式。
例如，（√2+√3）×（√2-√3）=2-√6。
通过这个公式，我们可以将二次根式相乘的过程简化为乘法运算。
六、二次根式的有理化当二次根式的分母含有二次根号时，为了方便运算和表示，我们需要对二次根式进行有理化处理。
有理化的方法主要包括有理化分母和有理化分子。
有理化分母是指将分母的二次根式去掉，通常通过乘以分母的共轭形式来实现。
初中数学知识点归纳二次根式
初中数学知识点归纳二次根式二次根式是初中数学中的一个重要知识点，它是一个数的平方根，或者可以表示成形如√a的形式，其中a是一个正整数。
在学习二次根式的过程中，我们需要掌握二次根式的化简、计算与运算等基本技巧。
下面我将详细介绍二次根式的相关知识点。
1.二次根式的定义与性质二次根式可以表示成√a的形式，其中a是一个正整数。
二次根式有以下基本性质：（1）√a=b，其中b是一个正数，那么a=b²；（2）√a=b，其中b是一个正数，那么b²=a，即b是a的一个正平方根；（3）0<√a<√b，其中a<b。
2.二次根式的化简化简二次根式是指将一个二次根式以最简形式表达出来。
（1）对于根号中的数，可以找出完全平方数因式，然后求出根号中被平方的数的平方根。
（2）对于根号外的系数，可以利用乘方运算法则进行整理。
3.二次根式的运算二次根式之间的运算包括加法、减法、乘法和除法。
（1）加减法：二次根式的加减法可以转化为同类项相加减的问题，将根号内的数进行化简和整理即可。
（2）乘法：乘法运算可以通过合并同类项、运用公式进行展开、化简来求解。
（3）除法：除法运算需要利用有理化技巧，将二次根式的被除数和除数分别乘以一个适当的有理化因子，使得分子没有根号。
4.二次根式的应用二次根式在初中数学中常常与勾股定理、平方差公式等知识点相结合，应用于解决各种几何问题。
（1）使用二次根式计算直角三角形的边长：根据勾股定理，可以利用二次根式计算直角三角形的边长。
（2）使用二次根式计算面积：利用二次根式可以计算各类面积，如矩形、正方形、圆等。
5.二次根式的估算在实际生活和解题过程中，我们常常需要对二次根式进行估算。
可以利用四舍五入和近似计算的方法对二次根式进行估算，得到一个较为接近的结果。
以上就是关于初中数学中二次根式的相关知识点的归纳。
通过学习和掌握这些知识，可以更好地理解和运用二次根式，提高数学解题的能力。
初中数学知识点学习课件PPT第四节 二次根式知识点学习PPT
相同
乘除
提分技法二次根式运算的注意事项
1.在进行二次根式的运算时，一般先把二次根式化为最简二次根式，再利用二次根式的乘除法法则进行乘除运算，同类二次根式之间可以进行加减运算（类运算中，要注意 与 的区别.①取值不同：前者的 为任意实数，后者的 为非负数；②化简结果不同： , .
两个重要的性质
积的算术平方根
商的算术平方根
≥
a
-a
考点3 二次根式的运算
加减
先将二次根式化成⑤______________，再合并被开方数⑥______的二次根式.
乘法
除法
混合运算
先算乘方，再算⑨______，最后算加减，有括号的先算括号里面的.注意：二次根式混合运算和实数的混合运算顺序相同.有理数的加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律以及整式的乘法公式仍适用于二次根式的运算.
初中数学知识点学习课件PPT 第一章 数与式
第四节 二次根式知识点学习
考点1 二次根式的概念
二次根式
最简二次根式满足的两个条件
1.被开方数不含分母；2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这样的二次根式称为同类二次根式.
考点2 二次根式的性质
考点4 二次根式的估值
步骤：
1.先对二次根式平方，如 ;
2.找出平方后所得数相邻的两个完全平方数，如 ;
3.对以上两个完全平方数开方，如 ， ；
4.确定这个二次根式在哪两个连续整数之间，如 .
方法指导求二次根式离哪个整数较近时，先确定这个二次根式在哪两个连续整数之间，再求这两个整数的平均数，用平方法比较这个二次根式和平均数的大小.若二次根式的平方大于平均数的平方，则离较大的整数近；若二次根式的平方小于平均数的平方，则离较小的整数近.
中考数学总复习 基础知识梳理 第1单元 数与式 1.5 二次根式课件
要 使 x3在 实 数 范 围 内 有 意 义 ，
则 - x 3 0 ， 所 以 x 0 . 所 以 x 3 = x 2 x x 2 x x x x x
所以C错误. 【答案】A
2021/12/9
x2
x
xx x
0所以.D错误. x＜0
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THANK YOU!
2021/12/9
第十三页，共十四页。
内容 总结 (nèiróng)
第一章 数与式。1.5.1 平方根、算术(suànshù)平方根与立方根。1.加减法：先将二次根式进行化简，. 二次根式的运算顺序与有理数的运算顺序相同.。【解析】（1） 9的平方根为±3.。（2） 的算术(suànshù)平方
C.x 3
D.x 3
【解析(jiě xī)】要使有意义，则x-3≥0，即x≥3.
【答案】D
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【例3】下列(xiàliè)计算正确的是
A. 12=2 3
C. x3 x x
经典 考题 (jīngdiǎn)
（）
B. 3 = 3 22
D. x2 x
【解析】 3 3 3 2，6所以B错误. 2 2 2 2 2
第三页，共十四页。
1.5.1 平方根、算术(suànshù)平方根与立方根
要点 梳理 (yàodiǎn)
1.平方根：一个数x的平方等于a，那么x叫做(jiàozuò)a的平方根，记作
.
2.算术平a 方根：一个正数x的平方等于a，则x叫做a的算术平方根，记作 ，
0的算术平方根是0.
3.立方根a ：一个数x的立方等于a，那么x叫做a的立方根,记作 .
3a
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中考数学 第一部分 考点研究 第一章 数与式 第二节 二次根式
加减法运算：先将二次根式化成最简二次根式， 再将同类二根式进行合并
运算 乘法： a b =⑤___a_b_ (a≥0，b≥0)
除法： a = a (a≥0，b＞0)
b
b
第一章 数与式
第二节 二次根式
考点精讲
有关概念 二次根式 性质
运算
定义：形如 a (a≥0)的式子 有意义的条件：被开方数①_大__于__或__等__于__零___
1.被开方数不含②_分__母__
有 最简二次根式满足的两个条件 2.被开方数中不含能开
关 （2011版课标新增内容） 概
得尽方的因数或因式
念 同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，
如果它们的被开方数相同，就把这
几个二次根式叫做同类二次根式.
如 8 与 2 是同类二次根式
1.( a )2=③___a__(a≥0) a(a≥0)
性质 2. a 2 =|a|= ④___a_(a＜0) 3. a b = a b (a≥0，b≥0)
二次根式数学知识点一五
二次根式数学知识点一五初中数学知识点资料2一、数与代数A：数与式：1：有理数有理数：①整数→正整数/0/负整数②分数→正分数/负分数数轴：①画一条水*直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。
在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点距离相等。
④数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。
正数大于0，负数小于0，正数大于负数。
绝对值：①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。
②正数的绝对值是他本身/负数的绝对值是他的相反数/0的绝对值是0。
两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
有理数的运算：加法：①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。
②异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
③一个数与0相加不变。
减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。
②任何数与0相乘得0。
③乘积为1的两个有理数互为倒数。
除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。
②0不能作除数。
乘方：求N个相同因数A的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，A叫底数，N叫次数。
混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。
2：实数无理数：无限不循环小数叫无理数*方根：①如果一个正数X的*方等于A，那么这个正数X 就叫做A的算术*方根。
②如果一个数X的*方等于A，那么这个数X就叫做A的`*方根。
③一个正数有2个*方根/0的*方根为0/负数没有*方根。
④求一个数A的*方根运算，叫做开*方，其中A叫做被开方数。
立方根：①如果一个数X的立方等于A，那么这个数X就叫做A的立方根。
②正数的立方根是正数/0的立方根是0/负数的立方根是负数。
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试题
5.注意二次根式运算中的隐含条件)
已知 a＝2－ 3，求aa2＋－11－ a2a－－21a＋1的值． 错解
解：原式＝（a＋（1）a＋（1）a－1）－ （aa－－11）2＝ a－1－aa－ －11＝a－2. ∴当 a＝2－ 3时，
原式＝2－ 3－2＝－ 3.
剖析 (1) 题 目 中 的 隐 含 条 件 为 a ＝ 2 － 3 ＜ 1 ， 所 以 a2－2a＋1 ＝ （a－1）2＝|a－1|＝1－a，而不是 a－1； (2)注意挖掘题目中的隐含条件，是解决数学问题的关键之一，上 题中的隐含条件 a＝2－ 3＜1 是进行二次根式化简的依据，应注重分 析能力的培养，提高解题的正确性． 正解 ∵a＝2－ 3＜1，∴a－1＜0. ∴ a2－2a＋1＝ （a－1）2＝|a－1|＝1－a. ∴原式＝（a＋（1）a＋（1）a－1）－1a－－1a＝a－1＋1＝a. ∴当 a＝2－ 3时，原式＝2－ 3
(4)计算： 48÷ 3－ 21× 12＋ 24. 解：原式＝ 16－ 6＋2 6＝4＋ 6
【点评】 (1)先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根 式的乘除运算，然后合并同类二次根式；(2)二次根式化简，依据 ab＝
a· b(a≥0，b≥0)， ba＝ ba(a≥0，b＞0)，前者将被开方数分解，后 者分子、分母同时乘一个适当的数使分母变成一个完全平方数，即可将 其移到根号外；(3)二次根式加减，即化简之后合并同类二次根式；(4) 二次根式乘除结果要化为最简二次根式．
1 A. 18 B. 3 C. 24 D. 0.3 4．(2016·南充)下列计算正确的是( A )
A. 12＝2 3 B.
32＝
3 2
C. －x3＝x －x D. x2＝x 5．(2015·淄博)已知 x＝ 52－1，y＝ 52＋1，则 x2＋xy＋y2 的值为( B )
A．2 B．4 C．5 D．7
1．(2016·贵港)式子 x1－1在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 (C )
A．x＜1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≥1 2．(2016·潍坊)实数 a，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a| ＋ （a－b）2的结果是( A )
A．－2a＋b B．2a－b C．－b D．b
3．(2016·巴中)下列二次根式中，与 3是同类二次根式的是( B )
二次根式概念与性质
【例 1】 (1)下列各式中 2，3 5，－ 3， －7， x2＋1，一定是二次根式的有( B )
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 (2)等式 2kk－－31＝ 2kk－－31成立，则实数 k 的范围是( D ) A．k＞3 或 k＜12 B．0＜k＜3 C．k≥12 D．k＞3
[对应训练] 2．(1)(2016·包头)计算：6 13－( 3＋1)2＝__－__4__．
(2)计算： ① 24× 13－4× 18×(1－ 2)0； 解：原式＝2 6× 33－4× 42×1＝2 2－ 2＝ 2
②(3 2－1)(1＋3 2)－(2 2－1)2； 解：原式＝(3 2)2－1－[(2 2)2－4 2＋1]＝18－1－8＋4 2－1＝8 ＋4 2
(3)已知 a，b，c 是△ABC 的三边长，试化简： （a＋b＋c）2 ＋ （a－b－c）2 ＋ （b－c－a）2 ＋
（c－a－b）2. 解：原式＝|a＋b＋c|＋|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－a－b|＝(a＋b＋c)＋
(b＋c－a)＋(c＋a－b)＋(a＋b－c)＝2a＋2b＋2c
【点评】 (1)对于二次根式，它有意义的条件是被开方数大于或等 于 0；(2)注意二次根式性质( a)2＝a(a≥0)， a2＝|a|的区别，判断出各式 的正负性，再化简．
[对应训练]
3．(1)已知 m＝1＋ 2，n＝1－ 2，则代数式 m2＋n2－3mn的值为
( C) A．9 B．±3 C．3 D．5
(2)(2015·孝感)已知 x＝2－ 3，则代数式(7＋4 3 )x2＋(2＋ 3)x＋
3的值是( C )
A．0 B. 3 C．2＋ 3 D．2－ 3
(3)若 y＝
二次根式运算中的技巧 【例 3】 (1)已知 x＝2－ 3，y＝2＋ 3，求 x2＋xy＋y2 的值； (2)已知 x＋1x＝－3，求 x－1x的值． 解：(1)原式＝(x＋y)2－xy＝16－1＝15 (2)(x－x1)2＝(x＋x1)2－4＝5，x－1x＝± 5 【点评】 (1)x2＋xy＋y2 是一个对称式，可先求出基本对称式 x＋y ＝4，xy＝1，然后将 x2＋xy＋y2 转化为(x＋y)2－xy，整体代入即可；(2) 注意到(x－1x)2＝(x＋1x)2－4，可得(x－x1)2＝5，x－1x＝± 5.
A. 3＋ 2＝ 5 B. 12÷ 3＝2
C．( 5)－1＝ 5 D．( 3－1)2＝2
(2)(2014·济宁)如果 ab＞0，a＋b＜0，那么下面各式：①
②
a b·
ba＝1；③ ab÷
ba＝－b.其中正确的是( B
)
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
ba3－2 16； 解：原式＝2 6－12 6＋13 6－13 6＝23 6
1．“双重非负性” 算术平方根 a具有双重非负性，一是被开方数 a 必须是非负数，
即 a≥0；二是算术平方根 a的值是非负数，即 a≥0.算术平方根的非负 性主要用于两方面：
(1)某些二次根式的题目中隐含着“a≥0”这个条件，做题时要善于 挖掘隐含条件，巧妙求解；
(2)若几个非负数的和为零，则每一个非负数都等于零． 2．求值问题“五招” (1)巧用平方；(2)巧用乘法公式；(3)巧用配方； (4)巧用换元；(5)巧用倒数．
[对应训练] 4．(1)(2015·南京)估计 52－1介于( C ) A．0.4 与 0.5 之间 B．0.5 与 0.6 之间 C．0.6 与 0.7 之间 D．0.7 与 0.8 之间 (2)(2015·新疆)估算 27－2 的值( C ) A．在 1 到 2 之间 B．在 2 到 3 之间 C．在 3 到 4 之间 D．在 4 到 5 之间
数学
第一章 数与式
第5讲 二次根式及其运算
4．最简二次根式 运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二次根式．最简二次根 式，需满足两个条件： (1)被开方数不含分母； (2)被开方数中不含开得尽方的因数或因式． 5．二次根式的估值 根式估值时，一般先对根式平方，找出与平方后所得数字相邻的两 个开得尽方的整数，并对其进行开方，就可以确定这个根式在哪两个整 数之间．例如，估算 17在哪两个整数之间时，先对 17平方，找出与 17 相邻的两个开得尽方的整数 16 和 25，因为 16<17<25，所以 16< 17 < 25，即 4< 17<5.
[对应训练] 1．(1)如果 （2a－1）2＝1－2a，则( B ) A．a<12 B．a≤12 C．a>21 D．a≥12 (2)(2016·自贡)若代数式 xx－1有意义，则 x 的取值范围是__x_≥_1__． (3)若 20n是整数，则正整数 n 的最小值为__5__．
二次根式的运算
【例 2】 (1)(2015·宁夏)下列计算正确的是( B )
x－4＋ 2
4－x－2，则(x＋y)y＝__14__．
二次根式的估值
【例 4】 (1)(2016·天津)估计 19的值在( C ) A．2 和 3 之间 B．3 和 4 之间 C．4 和 5 之间 D．5 和 6 之间 (2)(2016·毕节)估计 6＋1 的值在( B ) A．2 和 3 之间 B．3 和 4 之间 C．4 和 5 之间 D．5 和 6 之间
【点评】 解决根式估值类问题有两种方法：(1)记住常见的无理数 的近似值，如 2≈1.414， 3≈1.732 等；(2)估计无理数在哪两个整数之 间，如 9＜ 10＜ 16，即 3＜ 10＜4，故 10是 3 到 4 之间的数．通常 所采用的方法为：一般先对根式平方，找出与平方后所得数字相邻的两 个开得尽方的整数，然后再对这两个整数进行开方，就可以确定这个根 式在哪两个整数之间．
③( 10－3)2 016·( 10＋3)2 017. 解：原式＝( 10－3)2 016×( 10＋3)2 016×( 10＋3)＝[( 10－3)( 10 ＋3)]2 016×( 10＋3)＝1×( 10＋3)＝ 10＋3
(3)已知 10的整数部分为 a，小数部分为 b，求 a2－b2 的值． 解：∵3＜ 10＜4，∴ 10的整数部分 a＝3，小数部分 b＝ 10－ 3.∴a2－b2＝32－( 10－3)2＝9－(10－6 10＋9)＝－10＋6 10