三角变换及正
(完整版)三角恒等变换公式大全,推荐文档
三角函数cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβsin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)二倍角sin(2α)=2sinα·cosα=2tan(α)/[1-tan^2(α)]cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)=[1-tan^2(α)]/[1+tan^2(α)]tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]三倍角sin3α=3sinα-4sin^3(α)cos3α=4cos^3(α)-3cosαtan3α=(3tanα-tan^3(α))÷(1-3tan^2(α))sin3α=4sinα×sin(60-α)sin(60+α)cos3α=4cosα×cos(60-α)cos(60+α)tan3α=tanα×tan(60-α)tan(60+α)半角公式sin^2(α/2)=(1-cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα半角变形sin^2(α/2)=(1-cosα)/2sin(a/2)=√[(1-cosα)/2] a/2在一、二象限=-√[(1-cosα)/2] a/2在三、四象限cos^2(α/2)=(1+cosα)/2cos(a/2)=√[(1+cosα)/2] a/2在一、四象限=-√[(1+cosα)/2] a/2在二、三象限tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα=√[(1-cosα)/(1+cosα)] a/2在一、三象限=-√[(1-cosα)/(1+cosα)] a/2在二、四象限恒等变形tan(a+π/4)=(tana+1)/(1-tana)tan(a-π/4)=(tana-1)/(1+tana)asinx+b cosx=[√(a^2+b^2)]{[a/√(a^2+b^2)]sinx+[b/√(a^2+b^2)]cosx}=[√(a^2+b^2)]sin(x+y)(辅助角公式)tan y=b/a万能代换半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式)sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]积和化差sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ= -(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)](注:留意最前面是负号)和差化积sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]内角公式sinA+sinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)cosA+cosB+cosC=1+4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanCcot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1证明方法首先,在三角形ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c若A,B均为锐角,则在三角形ABC中,过C作AB边垂线交AB于D 由CD=asinB=bsinA(做另两边的垂线,同理)可证明正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC于是有:AD+BD=cAD=bcosA,BD=acosB AD+BD=c代入正弦定理,可得sinC=sin(180-C)=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA 即在A,B均为锐角的情况下,可证明正弦和的公式。
三角函数的图像变换
cosθ = 邻边/斜边,在单位圆中表示为x坐标。
正切函数(tangent)
三角函数的周期性
tanθ = 对边/邻边,表示为正弦与余弦之比。
正弦、余弦函数周期为2π,正切函数周期为 π。
三角函数在各象限表现
第一象限
所有三角函数值均为正。
第三象限
正弦、余弦函数值为负,正切函数值为正。
第二象限
正弦函数值为正,余弦、正切函数值为负。
伸缩变换对正弦函数影响
横向伸缩
改变正弦函数图像的周期长度。缩小周期使得函数图像更加紧密,扩大周期则 使得函数图像更加稀疏。
纵向伸缩
改变正弦函数图像的振幅大小。增大振幅使得函数图像波动范围更大,减小振 幅则使得函数图像波动范围更小。
周期性与相位调整方法
周期性调整
通过改变正弦函数的周期来调整图像的疏密程度。可以通过调整函数中的系数来 实现周期的变化。
相位调整
通过改变正弦函数的相位来调整图像出现的位置。可以通过在函数中添加常数项 来实现相位的调整。同时,利用三角函数的和差化积公式,也可以实现相位的调 整。
03 余弦函数图像变换分析
余弦函数基本图像特征
波形图像
余弦函数图像呈现周期性波动,具有典型的波形 特征。
振幅和周期
余弦函数的振幅和周期是确定其图像形状和尺寸 的关键参数。
拓展:其他类型周期函数图像变换
锯齿波和方波
除了正弦波和余弦波外,还有其 他类型的周期函数如锯齿波和方 波等,它们的图像变换同样具有 实际应用价值。
周期函数的合成与分解
通过三角函数的线性组合可以合 成其他类型的周期函数;反之, 其他类型的周期函数也可以通过 傅里叶级数展开成三角函数的线 性组合。
三角函数的图像及其变换
振幅变换
振幅变换
通过将三角函数中的系数乘以一 个常数,可以改变函数图像的形 状和大小。例如,将正弦函数 y=sin(x)变为y=2sin(x),图像的 高度变为原来的两倍。
总结词
振幅变换可以改变函数图像的大 小和形状,但不影响位置。
详细描述
振幅变换通常通过乘以一个常数来实 现。例如,对于正弦函数y=sin(x),乘 以2得到y=2sin(x),图像的高度变为 原来的两倍。同样地,对于余弦函数 y=cos(x),乘以2得到y=2cos(x),图 像的高度也变为原来的两倍。
与复数的联系
三角函数与复数之间有着密切的联系。例如,复数的三角形式就是由三角函数来表示的,这使得复数 的一些性质和运算可以通过三角函数来理解和实现。
此外,在复分析中,三角函数也起着重要的作用,如在求解某些复数域上的微分方程时,经常需要用 到三角函数。
谢谢
THANKS
应用
正切函数在解决实际问题和数学 问题中也有应用,例如在几何学 和三角学中的角度和长度计算。
02 三角函数的图像
CHAPTER
正弦函数的图像
01
正弦函数图像是周期函数,其基本周期为$2pi$,在$[0, 2pi]$ 区间内呈现波形。
02
正弦函数图像在$x$轴上的交点是$(frac{pi}{2} + kpi, 0)$,其
周期变换
总结词
详细描述
通过改变三角函数的周期,可以改变
函数图像的形状和位置。例如,将正 弦函数和余弦函数的周期从2π变为4π, 图像将变为原来的两倍长,但形状和
周期变换可以改变函数图像的长度, 但不影响形状和位置。
位置保持不变。
周期变换通常通过乘以一个常数来实现。例 如,将函数y=sin(x)变为y=sin(2x),周期 从2π变为π,图像长度减半。同样地,对于 余弦函数,将y=cos(x)变为y=cos(2x),周 期从2π变为π,图像长度也减半。
三角函数的变换与性质
三角函数的变换与性质三角函数是数学中常见的一类函数,它们在数学和物理等领域有着重要的应用。
本文将介绍三角函数的变换与性质,以帮助读者更好地理解和应用这些函数。
一、正弦函数的变换与性质正弦函数可以表示为f(x) = sin(x),其图像是一个周期性的波形。
正弦函数的变换包括平移、伸缩和翻转等操作。
1. 平移:当正弦函数的自变量加上一个常数c时,函数图像将向左平移c个单位。
例如,f(x) = sin(x + π/2)的图像将向左平移π/2个单位。
2. 伸缩:当正弦函数的自变量乘以一个常数a时,函数图像将在x轴方向上缩放。
若a>1,则图像纵向压缩;若0<a<1,则图像纵向拉伸。
3. 翻转:当正弦函数的自变量乘以-1时,函数图像将在y轴方向上翻转。
即f(x) = sin(-x)的图像将关于y轴对称。
正弦函数的性质有:1. 周期性:正弦函数的图像以x轴为对称轴,其周期为2π。
即sin(x + 2π) = sin(x)。
2. 奇偶性:正弦函数是一个奇函数,即f(-x) = - f(x)。
这意味着正弦函数的图像关于原点对称。
二、余弦函数的变换与性质余弦函数可以表示为f(x) = cos(x),它与正弦函数是相互关联的。
余弦函数的变换与正弦函数类似,也包括平移、伸缩和翻转等操作。
1. 平移:当余弦函数的自变量加上一个常数c时,函数图像将向左平移c个单位。
例如,f(x) = cos(x + π/2)的图像将向左平移π/2个单位。
2. 伸缩:当余弦函数的自变量乘以一个常数a时,函数图像将在x轴方向上缩放。
若a>1,则图像纵向压缩;若0<a<1,则图像纵向拉伸。
3. 翻转:当余弦函数的自变量乘以-1时,函数图像将在y轴方向上翻转。
即f(x) = cos(-x)的图像将关于y轴对称。
余弦函数的性质有:1. 周期性:余弦函数的图像以x轴为对称轴,其周期为2π。
即cos(x + 2π) = cos(x)。
三角恒等变换两角和与差的正弦余弦正切公式两角和与差的正切公式
xx年xx月xx日
contents
目录
• 引言 • 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 • 两角和与差的正切公式推导 • 两角和的正弦、余弦、正切公式 • 两角差的正弦、余弦、正切公式
01
引言
课程背景
数学是研究数量、 结构、变化和空间 等概念的学科
$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta\cos\alpha\sin\beta$
两角和与差的正弦公式证明
1. 证明 $\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\co s\alpha\sin\beta$
2. 证明$\sin(\alpha\beta)=\sin\alpha\cos\beta\cos\alpha\sin\beta$
又因为cos(π/2-x)=sinx,sin(π/2-x)=cosx,代入上式 得sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny。
两角和的正弦应用举例
举例1
已知一个直角三角形的两个锐角分别为 30度和45度,求两锐角和的正弦值。
VS
解
首先计算出这两个锐角的正弦值分别为 1/2和1/√2,然后利用两角和的正弦公式 计算两锐角和的正弦值为: sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin 45°=1/2×√2/2+√3/2×√2/2=(√2+√6)/ 4。
两角和的正切公式
两角和的正切公式为:tan(x+y)=(tanx+tany)/(1-tanxtany)。
该公式是三角恒等变换中的基本公式之一,可以用来将两角和的正切表示为两角 正切的和除以两角正切的积减1的形式。
三角函数恒等变换
三角函数恒等变换
三角函数恒等变换是指一组关于三角函数之间的等式,这些等式可以用来简化和转化三角函数的式子,从而使计算更加方便。
下面是一些常见的三角函数恒等变换:
1. 正弦函数的恒等变换:
sin(-θ) = -sinθ
sin(π-θ) = sinθ
sin(π+θ) = -sinθ
sin(2π-θ) = -sinθ
2. 余弦函数的恒等变换:
cos(-θ) = cosθ
cos(π-θ) = -cosθ
cos(2π-θ) = cosθ
3. 正切函数的恒等变换:tan(-θ) = -tanθ
tan(π-θ) = -tanθ
tan(π+θ) = tanθ
tan(2π-θ) = tanθ
4. 余切函数的恒等变换:cot(-θ) = -cotθ
cot(π-θ) = cotθ
cot(π+θ) = -cotθ
5. 正弦函数和余弦函数的恒等变换:
sin²θ+ cos²θ= 1
sin(π/2-θ) = cosθ
cos(π/2-θ) = sinθ
6. 正切函数和余切函数的恒等变换:
1 + tan²θ= sec²θ
1 + cot²θ= csc²θ
上述恒等变换可以在求解三角函数的问题中发挥重要作用,通过运用这些变换,可以简化复杂的三角函数式子,从而更方便地进行计算。
三角恒等变换
三角恒等变换一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式:正:{ EMBED Equation.DSMT4 |()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=±; 逆:,其中.正:; 逆:,其中.正:; 变:.正:; 变:正:;变:(降角升幂公式),逆:(降幂升角公式); (半角正切)典例:(1)下列各式中,值为的是( ) A. B. C. D.(2)已知,那么的值为 (3)的值是 ;二、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是:一角二名三结构.即首先观察角与角之间的关系,注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心!第二看函数名称之间的关系,通常“切化弦”;第三观察代数式的结构特点通常是分式要因式分解、通分后约分、根号下配方后开方.基本的技巧有:★★★1.巧变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.如:,, ,,等.典例:(1)已知,,那么的值是 ;(2)已知,且,,求的值 ;(3)若为锐角,,则与的函数关系为 .2.三角函数名互化(切化弦),典例:(1)求值= ; (2)已知,求的值3.公式变形使用(.典例:(1)已知A 、B 为锐角,且满足,则= ;(2)中,,,则此三角形是 三角形.4.三角函数次数的降升(降幂公式:,与升幂公式:,).典例:(1)若,化简为 ;(2)的单调递增区间为 .5.式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同).典例:(1)= ;(2)求证:; (3)化简:= .6.常值变换主要指“1”的变换(等)典例:已知,求= .7.正余弦“三兄妹—”的内存联系—“知一求二”.典例:(1)若 ,则 ,特别提醒:这里;(2)若,求的值.;(3)已知,试用表示的值三、辅助角公式中辅助角的确定:(其中角所在的象限由a , b 的符号确定,角的值由确定)在求最值、化简时起作用.★★★典例:(1)若方程有实数解,则的取值范围是 .(2)当函数取得最大值时,的值是 ;(3)如果是奇函数,则= ;(4)求值: .[基础训练A 组]一、选择题1 已知,,则( )A B C D2 函数的最小正周期是( )A B C D3 在△ABC 中,,则△ABC 为( )A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 无法判定4 设,,,则大小关系( )A B C D5 函数是( )A 周期为的奇函数B 周期为的偶函数C 周期为的奇函数D 周期为的偶函数6 已知,则的值为( )A B C D 二、填空题1 求值:_________2 若则3 函数的最小正周期是___________4 已知那么的值为 ,的值为5 的三个内角为、、,当为 时,取得最大值,且这个最大值为三、解答题1 已知求的值2 若求的取值范围3 求值:4 已知函数(1)求取最大值时相应的的集合;(2)该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到的图象。
三角函数和三角变换的初步了解
三角函数和三角变换的初步了解一、三角函数1.1 定义:三角函数是用来描述直角三角形各个边与角度之间关系的函数。
1.2 基本三角函数:(1)正弦函数(sin):正弦函数是直角三角形中对边与斜边的比值,即sinθ = 对边/斜边。
(2)余弦函数(cos):余弦函数是直角三角形中邻边与斜边的比值,即cosθ = 邻边/斜边。
(3)正切函数(tan):正切函数是直角三角形中对边与邻边的比值,即tanθ = 对边/邻边。
(4)余切函数(cot):余切函数是直角三角形中邻边与对边的比值,即cotθ = 邻边/对边。
(5)正割函数(sec):正割函数是直角三角形中斜边与邻边的比值,即secθ = 斜边/邻边。
(6)余割函数(csc):余割函数是直角三角形中斜边与对边的比值,即cscθ = 斜边/对边。
1.3 三角函数的性质:(1)周期性:三角函数具有周期性,周期为360°或2π。
(2)奇偶性:正弦函数、余弦函数和正切函数为奇函数,余切函数、余割函数为偶函数。
(3)对称性:正弦函数、余弦函数、正切函数关于y轴对称,余切函数、余割函数关于x轴对称。
二、三角变换2.1 三角函数的基本变换:(1)和差变换:两个角的和(差)的三角函数可以通过两个角的三角函数的和(差)来表示。
(2)倍角公式:一个角的倍数的三角函数可以通过该角的三角函数的加减来表示。
(3)半角公式:一个角的半倍的三角函数可以通过该角的三角函数的平方根来表示。
2.2 三角函数的图像和性质:(1)正弦函数:图像为波浪线,性质有:周期性、奇偶性、对称性等。
(2)余弦函数:图像为水平线,性质有:周期性、奇偶性、对称性等。
(3)正切函数:图像为斜线,性质有:周期性、奇偶性、对称性等。
3.1 三角函数在实际生活中的应用:(1)测量学:利用三角函数测量物体的高度、距离等。
(2)工程学:利用三角函数计算结构的稳定性、角度等。
(3)物理学:利用三角函数描述波动、振动等现象。
三角函数变换公式
三角函数变换公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1正弦函数sinθ=y/r余弦函数cosθ=x/r正切函数tanθ=y/x余切函数cotθ=x/y正割函数secθ=r/x余割函数cscθ=r/y同角三角函数间的基本关系式:·平方关系:sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)·积的关系:sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinαtanα=sinα*secαcotα=cosα*cscαsecα=tanα*cscα cscα=secα*cotα·倒数关系:tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1三角函数恒等变形公式:·两角和与差的三角函数:cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)ta n(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)·辅助角公式:Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t),其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)·倍角公式:sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]·三倍角公式:s in3α=3sinα-4sin^3(α)cos3α=4cos^3(α)-3cosα·半角公式:sin(α/2)=正负√((1-cosα)/2)cos(α/2)=正负√((1+cosα)/2)tan(α/2)=正负√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα·降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))·万能公式:s inα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]·积化和差公式:sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·和差化积公式:sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·其他:sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+…+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+…+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0。
三角恒等变换公式大全
三角恒等变换公式大全三角函数是数学中的重要概念,它在几何、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
而三角恒等变换公式则是三角函数中的重要内容之一,它们可以帮助我们简化复杂的三角函数表达式,从而更方便地进行计算和推导。
本文将为大家详细介绍三角恒等变换公式的相关知识,并列举一些常用的三角恒等变换公式,希望对大家的学习和工作有所帮助。
首先,我们来了解一下什么是三角恒等变换公式。
三角恒等变换公式是指在三角函数中,存在一些等式关系,通过这些等式关系,我们可以将某个三角函数表达式变换成另一个等价的三角函数表达式。
这些等式关系通常是由三角函数的定义和性质推导出来的,它们可以帮助我们简化三角函数的计算和推导过程。
接下来,我们将介绍一些常用的三角恒等变换公式。
首先是正弦函数和余弦函数的恒等变换公式:\[。
\sin^2 x + \cos^2 x = 1。
\]这个公式被称为三角恒等式的基本恒等式,它是由正弦函数和余弦函数的定义推导出来的。
通过这个公式,我们可以将一个三角函数表达式中的正弦函数或余弦函数用另一个三角函数来表示,从而简化计算。
除了基本恒等式外,还有一些常用的三角恒等变换公式,如双角和半角公式、和差化积公式等。
这些公式在三角函数的计算和推导中都有着重要的应用,它们可以帮助我们解决一些复杂的三角函数表达式,加快计算速度,提高工作效率。
另外,三角恒等变换公式还可以帮助我们简化一些三角函数的积分和微分运算。
通过恒等变换,我们可以将一些复杂的三角函数积分或微分转化成更简单的形式,从而更方便地进行计算。
这对于一些需要频繁进行三角函数积分和微分运算的工程和科学问题来说,具有非常重要的意义。
总之,三角恒等变换公式是三角函数中的重要内容,它们可以帮助我们简化复杂的三角函数表达式,加快计算速度,提高工作效率。
通过学习和掌握三角恒等变换公式,我们可以更加轻松地解决一些三角函数相关的问题,为我们的工作和学习带来便利。
希望本文介绍的内容对大家有所帮助,也希望大家能够深入学习和应用三角恒等变换公式,发挥它们在实际问题中的作用。
三角恒等变换所有公式
三角恒等变换所有公式三角恒等变换是指三角函数之间相互转化的一系列公式,利用这些公式可以简化三角函数的计算与证明。
下面是一些常用的三角恒等变换公式(完整版):1.倍角公式:- $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$- $\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta =2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$- $\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}$2.半角公式:- $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}}$- $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) =\pm\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}}$- $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}}$3.和差公式:- $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm\cos\alpha\sin\beta$- $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp\sin\alpha\sin\beta$- $\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm\tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}$4.二倍角公式:- $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$- $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$- $\tan(2\alpha) = \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$5.和差化积公式:- $\sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta))$- $\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta))$- $\sin\alpha\cos\beta =\frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta))$6.积化和差公式:- $\sin\alpha+\sin\beta =2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$- $\sin\alpha-\sin\beta = 2\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)$- $\cos\alpha+\cos\beta =2\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$- $\cos\alpha-\cos\beta = -2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$7.和差化积与积化和差的关系:- $\sin\alpha\pm\sin\beta =2\sin\left(\frac{\alpha\pm\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha \mp\beta}{2}\right)$- $\cos\alpha+\cos\beta =2\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$- $\cos\alpha-\cos\beta = -2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$8.和差化积的平方形式:- $\sin^2\alpha+\sin^2\beta = 1 -\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)$- $\cos^2\alpha+\cos^2\beta = 1 +\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)$这些公式在解三角方程、化简三角函数表达式、证明三角恒等式等方面有重要应用。
三角恒等变换公式
三角恒等变换公式三角恒等变换公式如下:1、二倍角公式:sin(2α)=2sinα·cosαcos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]2、三倍角公式:sin3α=3sinα-4sin^3(α)cos3α=4cos^3(α)-3cosα3、半角公式:sin^2(α/2)=(1-cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα4、万能公式:半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式)sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]5、积化和差公式:sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] 6、和差化积公式:sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]三角函数的起源:早期对于三角函数的研究可以追溯到古代,古希腊三角术的奠基人是公元前2世纪的喜帕恰斯,他按照古巴比伦人的做法,将圆周分为360等份(即圆周的弧度为360度,与现代的弧度制不同),对于给定的弧度,他给出了对应的弦的长度数值,这个记法和现代的正弦函数是等价的。
三角函数的角度变换
三角函数的角度变换三角函数是数学中的重要概念,它们用于描述角度和三角形之间的关系。
角度变换是指将一个角度转换为另一个角度的过程,它可以通过使用三角函数的定义和性质来实现。
在本文中,我们将探讨三角函数的角度变换,并讨论其中涉及的几个重要概念和方法。
首先,我们来回顾一下三角函数的定义。
在直角三角形中,三角函数定义为一个角的某个特定比例。
具体来说,正弦函数(sin)、余弦函数(cos)和正切函数(tan)分别定义为:正弦函数:sin(A) = 对边/斜边余弦函数:cos(A) = 临边/斜边正切函数:tan(A) = 对边/临边其中A是三角形中一个角的度数,对边是与这个角相对的边,临边是与这个角相邻的边,斜边是三角形的倾斜边。
角度变换主要涉及将弧度转换为度数,以及将度数转换为弧度。
弧度是一种用于测量角度的单位,它可以被定义为半径长度为1的圆弧所对应的角度。
弧度与度数之间的转换关系由以下公式给出:弧度 = (度数* π) / 180度数 = (弧度* 180) / π在计算机科学和工程领域中,通常使用弧度作为三角函数的输入和输出单位。
因此,当我们需要在计算机程序中进行角度变换时,通常需要将度数转换为弧度。
除了角度到弧度的转换,我们还可以通过使用三角函数的性质来进行角度变换。
例如,我们可以使用以下关系将一个角的正弦、余弦和正切函数转换为另一个角的正弦、余弦和正切函数:sin(180 - A) = sin(A)cos(180 - A) = -cos(A)tan(180 - A) = -tan(A)sin(360 - A) = -sin(A)cos(360 - A) = cos(A)tan(360 - A) = tan(A)sin(A + B) = sin(A) * cos(B) + cos(A) * sin(B)cos(A + B) = cos(A) * cos(B) - sin(A) * sin(B)tan(A + B) = (tan(A) + tan(B)) / (1 - tan(A) * tan(B))这些性质可以帮助我们简化角度变换的计算过程。
三角函数变换规律
三角函数变换规律三角函数是数学中非常重要的概念,它在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用。
三角函数的变换规律是指对于给定的三角函数,通过改变它的参数或应用一些特定的变换公式所得到的新的函数。
这些变换规律可以帮助我们简化计算和解决问题。
首先,我们来看正弦函数的变换规律。
正弦函数通常用sin(x)表示,其中x为角度值。
正弦函数的图像是一个周期为2π的波形,它的最大值为1,最小值为-1。
当我们改变参数x时,可以得到不同的图像。
如果我们将x乘以一个常数a,即sin(ax),那么图像的周期将缩短为原来的1/a。
如果我们将x加上一个常数b,即sin(x+b),那么图像将向左移动b个单位。
如果我们将整个函数加上一个常数c,即sin(x)+c,那么图像将上移c个单位。
接下来是余弦函数的变换规律。
余弦函数通常用cos(x)表示,它的图像也是一个周期为2π的波形,最大值为1,最小值为-1。
与正弦函数类似,改变参数x的值可以得到不同的图像。
如果我们将x乘以一个常数a,即cos(ax),图像的周期将缩短为原来的1/a。
如果我们将x加上一个常数b,即cos(x+b),图像将向左移动b个单位。
如果我们将整个函数加上一个常数c,即cos(x)+c,图像将上移c个单位。
正弦函数和余弦函数之间有一个重要的关系,即正弦函数是余弦函数的平移90°的结果。
也就是说,sin(x) = cos(x-π/2)。
这个关系可以用于求解一些三角方程和简化计算。
除了正弦函数和余弦函数之外,还有一些其他的三角函数变换规律。
例如,正切函数tan(x)是sin(x)除以cos(x)的结果。
如果我们将x加上π/2,那么tan(x+π/2) = -cot(x),其中cot(x)表示余切函数。
同样地,sec(x)表示正割函数,csc(x)表示余割函数。
这些函数的变换规律和正弦函数、余弦函数类似,通过改变参数或应用特定的变换公式,可以得到不同的图像。
三角函数的变换规律在数学的教学和研究中扮演着重要的角色。
三角函数变换公式总结
三角函数变换公式总结三角函数是数学中常见且重要的一类函数,它们在几何、物理、工程等各个领域中都有广泛的应用。
通过对三角函数进行变换可以得到新的函数形式,这些变换公式在求解问题、简化计算、分析函数性质等方面起到了重要作用。
本文将对常见的三角函数变换公式进行总结和说明。
1. 正弦与余弦的关系正弦函数和余弦函数是最基本的三角函数之一,它们之间存在着紧密的关系。
根据勾股定理,我们知道在直角三角形中,正弦函数和余弦函数的值可以通过三角形的边长之间的比例关系来表示。
当角度为θ时,正弦函数sin(θ)表示直角三角形中斜边与斜边对应角的比值,而余弦函数cos(θ)表示直角三角形中直角边与斜边对应角的比值。
根据这个关系,我们可以得到正弦函数和余弦函数的变换公式:sin(θ) = cos(90° - θ)cos(θ) = sin(90° - θ)这两个公式称为正弦与余弦的互补关系。
2. 正切与余切的关系正切函数和余切函数也是常见的三角函数,它们的关系可以通过正弦函数和余弦函数进行表示。
正切函数tan(θ)表示直角三角形中直角边与另一直角边之商的比值,而余切函数cot(θ)表示直角三角形中另一直角边与直角边之商的比值。
根据正切与余弦的定义,我们可以得到正切函数和余切函数的变换公式:tan(θ) = 1 / cot(θ)cot(θ) = 1 / tan(θ)这两个公式表明了正切与余切之间的互相倒数关系。
3. 正弦、余弦、正切和余切的关系在三角函数中,正弦、余弦、正切和余切之间也存在着一些关系,这些关系可以通过正弦和余弦之间的关系以及正切和余切之间的关系进行推导。
具体公式如下:sin²(θ) + cos²(θ) = 11 + cot²(θ) = csc²(θ)1 + tan²(θ) = sec²(θ)这些公式被称为三角函数的平方和公式,它们表明了正弦、余弦、正切和余切之间的平方和关系。
三角函数变换公式
三角函数变换公式(总2页) -本页仅作为预览文档封面,使用时请删除本页-正弦函数sinθ=y/r余弦函数cosθ=x/r正切函数tanθ=y/x余切函数cotθ=x/y正割函数secθ=r/x余割函数cscθ=r/y同角三角函数间的基本关系式:·平方关系:sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)·积的关系:sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinαtanα=sinα*secα cotα=cosα*cscαsecα=tanα*cscα cscα=secα*cotα·倒数关系:tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1三角函数恒等变形公式:·两角和与差的三角函数:cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)·辅助角公式:Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t),其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)·倍角公式:sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]·三倍角公式:sin3α=3sinα-4sin^3(α)cos3α=4cos^3(α)-3cosα·半角公式:sin(α/2)=正负√((1-cosα)/2)cos(α/2)=正负√((1+cosα)/2)tan(α/2)=正负√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα·降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))·万能公式:sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]·积化和差公式:sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·和差化积公式:sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·其他:sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+…+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+…+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0。
tan三角变换公式
tan三角变换公式
正弦三角变换公式是数学中最重要的变换公式之一,是从三角函数的概念上进行封装的,是许多数学领域中的一个重要概念。
正弦三角变换公式是三角函数的基础,是从三角函数的概念上封装而来的,是许多数学领域的基石。
它的应用非常普遍,在几何,代数,物理,数学建模,统计等诸多领域都有所运用。
正弦三角变换公式可以用数学公式表示:
sin x = x - x/3! + x/5! - x/7! +
其中x为任意实数,!表示“阶乘”。
此外,这个公式也可以简写为 sin x = x -(i = 3,, (-1)^i* x^(2i - 1)/(2i - 1)!),其中∑表示求和。
正弦公式的推导过程中,涉及了极坐标系、向量分析以及三角函数的知识。
- 1 -。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
三角变换及正、余弦定理
一、选择题
1. (2012·山东)若θ∈⎣⎡⎦⎤π4,π2,sin 2θ=378
,则sin θ等于 ( ) A.35 B.45 C.74 D.34
2. 已知tan(α+β)=25
,tan ⎝⎛⎭⎫β-π4=14,那么tan ⎝⎛⎭⎫α+π4等于 ( ) A.1318 B .1322 C.322 D.16
3. 当-π2≤x ≤π2时,函数f (x )=sin x +3cos x 的 ( )
A .最大值是1,最小值是-1
B .最大值是1,最小值是-12
C .最大值是2,最小值是-2
D .最大值是2,最小值是-1
4. (2012·上海)在△ABC 中,若sin 2A +sin 2B <sin 2C ,则△ABC 的形状是
( ) A .钝角三角形 B .直角三角形 C .锐角三角形 D .不能确定
5. (2011·辽宁)△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,a sin A sin B +b cos 2A =2a ,则b a
等于
( ) A .2 3 B .2 2 C. 3 D. 2
6. (2012·湖北)设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若三边的长为连续的三个正整数,且A >B >C,3b =20a cos A ,则sin A ∶sin B ∶sin C 为 ( )
A .4∶3∶2
B .5∶6∶7
C .5∶4∶3
D .6∶5∶4 二、填空题
7.已知锐角α满足cos 2α=cos ⎝⎛⎭
⎫π4-α,则sin 2α=_______. 8.已知cos ⎝⎛⎭⎫π4-α=1213,α∈⎝⎛⎭⎫0,π4,则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π4+α=_________. 9. 设x ∈⎝⎛⎭⎫0,π2,则函数y =2sin 2
x +1sin 2x 的最小值为________. 10. 在△ABC 中,a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边长,已知a ,b ,c 成等比数列,且a 2-c 2=ac -bc ,则∠A =________,△ABC 的形状为__________.
11. 在△ABC 中,若∠A =60°,b =1,S △ABC =3,则a +b +c sin A +sin B +sin C
的值为________. 12. 在锐角△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若b a +a b =6cos C ,则tan C tan A +tan C tan B
的值是______.
三、解答题
13. (2012·广东)已知函数f (x )=2cos ⎝
⎛⎭⎫ωx +π6(其中ω>0,x ∈R )的最小正周期为10π. (1)求ω的值;
(2)设α,β∈⎣⎡⎦⎤0,π2,f ⎝⎛⎭⎫5α+53π=-65,f ⎝
⎛⎭⎫5β-56π=1617,求cos(α+β)的值.
14. (2012·浙江)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知cos A =23
, sin B =5cos C .
(1)求tan C 的值;
(2)若a =2,求△ABC 的面积.。