微积分基本定理课时作业 2017-2018学年高中数学 苏教版 选修2-2
高中数学第1章1.5定积分1.5.3微积分基本定理讲义(含解析)苏教版选修2_2
1．5.3 微积分基本定理[对应学生用书P28]已知函数f (x )＝2x ＋1，F (x )＝x 2＋x . 问题1：f (x ) 和F (x )有何关系？ 提示：F ′(x )＝f (x )．问题2：利用定积分的几何意义求⎠⎛20(2x ＋1)d x 的值．提示：⎠⎛20(2x ＋1)d x ＝6.问题3：求F (2)－F (0)的值． 提示：F (2)－F (0)＝4＋2＝6. 问题4：你得出什么结论？提示：⎠⎛20f (x )d x ＝F (2)－F (0)，且F ′(x )＝f (x )．问题5：已知f (x )＝x 3，F (x )＝14x 4，试探究⎠⎛10f (x )d x 与F (1)－F (0)的关系． 提示：因⎠⎛10f (x )d x ＝⎠⎛10x 3d x ＝14.F (1)－F (0)＝14，有⎠⎛10f (x )＝F (1)－F (0)且F ′(x )＝f (x )．微积分基本定理对于被积函数f (x )，如果F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ba f (x )d x ＝F (b )－F (a )，即⎠⎛ba F ′(x )d x＝F (b )－F (a )．1．微积分基本定理表明，计算定积分⎠⎛a bf (x )d x 的关键是找到满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )．通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F (x )．2．微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的内在联系，最重要的是它也提供了计算定积分的一种有效方法．[对应学生用书P29]求简单函数的定积分[例1] (1)⎠⎛21(x 2＋2x ＋3)d x ；(2)⎠⎛π0(sin x －cos x )d x ；(3)⎠⎛0－π(cos x －e x)d x . [思路点拨] 先求被积函数的原函数，然后利用微积分基本定理求解． [精解详析] (1)取F (x )＝x 33＋x 2＋3x ，则F ′(x )＝x 2＋2x ＋3，从而⎠⎛12(x 2＋2x ＋3)d x ＝⎠⎛12F ′(x )d x ＝F (2)－F (1)＝253. (2)取F (x )＝－cos x －sin x ， 则F ′(x )＝sin x －cos x ，从而⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝⎠⎛0πF ′(x )d x ＝F (π)－F (0)＝2.(3)取F (x )＝sin x －e x ，则F ′(x )＝cos x －e x，从而⎠⎛0－π(cos x －e x)d x ＝⎠⎛0－πF ′(x )d x ＝F (0)－F (－π)＝1e π－1. [一点通] 求简单的定积分关键注意两点：(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．1．(江西高考改编)若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝____________.解析：∵f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，∴⎠⎛01f (x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2x ⎠⎛01f (x )d x 10＝13＋2⎠⎛01f (x )d x . ∴⎠⎛01f (x )d x ＝－13. 答案：＝－132.⎠⎛0π(cos x ＋1)d x ＝________. 解析：∵(sin x ＋x )′＝cos x ＋1，∴⎠⎛π0(cos x ＋1)d x ＝(sin x ＋x )|π0 ＝(sin π＋π)－(sin 0＋0)＝π. 答案：π3．求下列定积分：(1)∫π20sin 2x 2d x ；(2)⎠⎛23(2－x 2)(3－x )d x .解：(1)sin 2x 2＝12－cos x 2，而⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12sin x ′＝12－12cos x ，所以∫π20sin 2x 2d x ＝∫π20⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12cos x d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12sin x |π20＝π4－12＝π－24. (2)原式＝⎠⎛32(6－2x －3x 2＋x 3)d x＝⎝⎛⎭⎪⎫6x －x 2－x 3＋14x 4|32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6×3－32－33＋14×34－⎝ ⎛⎭⎪⎫6×2－22－23＋14×24 ＝－74.求分段函数的定积分 [例2] (1)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤0，cos x －1，x >0.求⎠⎛1－1f (x )d x ； (2)求⎠⎛a－a x 2d x (a >0)． [思路点拨] 按照函数f (x )的分段标准，求出每一段上的积分，然后求和． [精解详析] (1)⎠⎛1－1f (x )d x ＝⎠⎛0－1x 2d x ＋⎠⎛01(cos x －1)d x ＝13x 3|0－1＋(sin x －x )|10＝sin 1－23.(2)由x2＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，得⎠⎛a －a x 2d x ＝⎠⎛a 0x d x ＋⎠⎛0－a (－x )d x ＝12x 2|a0－12x 2|0－a ＝a 2.[一点通] (1)分段函数在区间[a ，b ]上的积分可分成几段积分的和的形式． (2)分段的标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原函数分段的情况分即可，无需分得过细．4.⎠⎛3－4|x ＋2|d x ＝________. 解析：∵|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，(－2<x ≤3)－x －2，(－4≤x ≤－2)∴⎠⎛3－4|x ＋2|d x ＝⎠⎛3－2(x ＋2)d x ＋⎠⎛－4－2(－x －2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋2x |3－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 2－2x |－2－4＝292.答案：2925．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ， x ＞0，x ＋∫a 0 3t 2d t ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝________.解析：显然f (1)＝lg 1＝0， 故f (0)＝0＋∫a 0 3t 2d t ＝t 3|a0＝1， 得a ＝1. 答案：1求图形的面积[例3] 求由曲线x 2x y x [思路点拨]在坐标系中作出图象→求曲线与直线的交点→利用定积分求面积.[精解详析] 画出草图，如图所示．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，y ＝x 2－2x ＋3，得A (0,3)，B (3,6)．所以S ＝⎠⎛30(x ＋3)d x －⎠⎛30(x 2－2x ＋3)d x ，取F (x )＝12x 2＋3x ，则F ′(x )＝x ＋3，取H (x )＝13x 3－x 2＋3x ，则H ′(x )＝x 2－2x ＋3，从而S ＝F (3)－F (0)－[H (3)－H (0)]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×32＋3×3－0－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13×33－32＋3×3－0 ＝92. [一点通] 利用定积分求曲线所围成的平面图形的面积的步骤： (1)根据题意画出图形；(2)找出范围，定出积分上、下限； (3)确定被积函数；(4)写出相应的定积分表达式，即把曲边梯形面积表示成若干个定积分的和或差； (5)用微积分基本定理及其运算性质计算定积分，求出结果．6．曲线y ＝ x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为________． 解析：所围成的图形如图阴影部分所示，点A (0，－2)，由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝x －2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2，所以B (4,2)，因此所围成的图形的面积为∫40()x －x ＋2d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－12x 2＋2x 40＝163.答案：1637．设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________. 解析：由已知得S ＝⎠⎛0ax d x ＝23x 32|a 0＝23a 32＝a 2，所以a 12＝23，所以a ＝49. 答案：491．求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)求被积函数是分段函数的定积分，应分段求定积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号后才能积分． 2．利用定积分求曲边梯形的面积(1)在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观地确定出被积函数以及积分的上、下限．(2)要把定积分和用定积分计算平面图形的面积这两个概念区分开，定积分是一种积分和的极限，可为正，也可为负或零；而平面图形的面积在一般意义下总为正，因此当f (x )≤0时要通过绝对值处理为正，一般情况下是借助定积分求出两个曲边梯形的面积，然后相加起来．[对应课时跟踪训练(十一)]一、填空题1.⎠⎛1e1x d x ＝________.解析：⎠⎛1e1xd x ＝ln x |e1＝ln e －ln 1＝1. 答案：12.⎠⎛0π(2sin x －3e x＋2)d x ＝________.解析：⎠⎛0π(2sin x －3e x ＋2)d x ＝(－2cos x －3e x ＋2x )|π0＝7＋2π－3e π.答案：7＋2π－3e π3．(江西高考改编)若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121xd x ， S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为________．解析：S 1＝13x 3⎪⎪⎪21＝83－13＝73，S 2＝ln x ⎪⎪⎪21＝ln 2<ln e ＝1，S 3＝e x⎪⎪⎪21＝e 2－e ≈2.72－2.7＝4.59，所以S 2<S 1<S 3.答案：S 2<S 1<S 34．设f (x )＝错误!则错误!f (x )d x ＝________.解析：⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x＝13x 3|10＋(2x －12x 2)|21＝56.答案：565．(福建高考)如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．解析：因为函数y ＝e x与函数y ＝ln x 互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，又因为函数y ＝e x与直线y ＝e 的交点坐标为(1，e)，所以阴影部分的面积为2(e ×1－⎠⎛01e x d x )＝2e －2e x |10＝2e －(2e －2)＝2，由几何概型的概率计算公式， 得所求的概率P ＝S 阴影S 正方形＝2e 2. 答案：2e 2二、解答题6．f (x )是一次函数，且∫ 10f (x )d x ＝5，∫ 10xf (x )d x ＝176，求f (x )的解析式．解：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax 2＋bx |10＝12a ＋b ＝5. ⎠⎛01x (ax ＋b )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋12bx 2|10＝13a ＋12b ＝176，所以由⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋b ＝5，13a ＋12b ＝176，解得a ＝4，b ＝3，故f (x )＝4x ＋3.7．求由曲线y ＝x 2与直线x ＋y ＝2围成的面积．解：如图，先求出抛物线与直线的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，x ＋y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，y 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝4，即两个交点为(1,1)，(－2,4)．直线为y ＝2－x ，则所求面积S 为： S ＝⎠⎛1－2[(2－x )－x 2]d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫2x －x 22－x 33|1－2＝92.8．设f (x )是二次函数，其图象过点(0,1)，且在点(－2，f (－2))处的切线方程为2x ＋y ＋3＝0.(1)求f (x )的表达式；(2)求f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积；(3)若直线x ＝－t (0＜t ＜1)把f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值．解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ， ∵其图象过点(0,1)，∴c ＝1，又∵在点(－2，f (－2))处的切线方程为2x ＋y ＋3＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)＝1，f ′(－2)＝－2.∵f ′(x )＝2ax ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ·(－2)2＋b ·(－2)＋1＝1，2a ·(－2)＋b ＝－2.∴a ＝1，b ＝2，故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)依题意，f (x )的图象与两坐标轴所围成的图形如图中阴影部分所示，故所求面积S ＝∫0－1(x 2＋2x ＋1)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2＋x 0－1＝13. (3)依题意，有12S ＝∫0－t (x 2＋2x ＋1)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2＋x 0－t ＝16，即13t3－t2＋t＝16，∴2t3－6t2＋6t－1＝0，∴2(t－1)3＝－1，∴t＝1－132.。
苏教版高中数学选修2-2：微积分基本定理_课件3
当堂检测
ANGTANGJIANCE
1 .微 积 分基本定理
(1)定理内容:一般地,如果 f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且 F'(x)=f(x),
那么
������ ������
f(x)dx=F(b)-F(a).
这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼茨公式.
(2)符号表示:
������
2 1
=
32.
答 案 :32
1
2
首页
X Z D 新知导学 INZHIDAOXUE
重难探究
HONGNANTANJIU
当堂检测
ANGTANGJIANCE
2.定积分和曲边梯形面积的关系 设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上,在 x 轴下方的面积为 S 下,则
f(x) (1)当曲边梯形在
x
2
2������ + π
6
'=12cos
2������ + π
6
· 2������ + π
6
'=cos
2������ + π
6
,
∴
π
2
0
cos
2������ + π
6
dx=12sin
2������ + π
6
=12
sin 2 × π + π
26
-sin
2× 0+π
6
π 2
0=12
sin
7π 6
-sin
X Z 新知导学 INZHIDAOXUE
重难探究
HONGNANTANJIU
选修2-2——微积分基本定理
1．6 微积分基本定理1．问题导航(1)微积分基本定理的内容是什么？ (2)定积分的取值符号有哪些？ 2．例题导读 通过P 53例1，学会利用微积分基本定理求简单定积分的步骤和方法，通过P 53例2的学习，理解定积分的几何意义和定积分的取值符号．1．微积分基本定理(1)内容：一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x＝F (b )－F (a )．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式．(2)表示：为了方便，常常把F (b )－F (a )记成F (x )⎪⎪⎪b a ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x )⎪⎪⎪ba ＝F (b )－F (a )． 2．定积分的符号由定积分的意义与微积分基本定理可知，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0．(1)当对应的曲边梯形位于x 轴上方时(如图1)，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积．(2)当对应的曲边梯形位于x 轴下方时(如图2)，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数．(3)当位于x 轴上方的曲边梯形面积等于位于x 轴下方的曲边梯形面积时(如图3)，定积分的值为0，且等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积．.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)微积分基本定理中，被积函数f (x )是原函数F (x )的导数．( )(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0.( )(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数．( )答案：(1)√ (2)√ (3)√2．若a ＝⎠⎛01(x －2)d x ，则被积函数的原函数为( )A ．f (x )＝x －2B ．f (x )＝x －2＋C C ．f (x )＝12x 2－2x ＋CD ．f (x )＝x 2－2x答案：C3.⎠⎛0πsin x d x ＝________．解析：⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x ⎪⎪⎪π0＝(－cos π)－(－cos 0)＝2.答案：21．应用微积分基本定理求定积分的注意事项(1)微积分基本定理沟通了定积分与导数的关系，揭示了被积函数与函数的导函数之间的互逆运算关系，为计算定积分提供了一个简单有效的方法——转化为计算函数F (x )在积分区间上的增量．(2)用微积分基本定理求定积分的关键是找到满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )再计算F (b )－F (a )．(3)利用微积分基本定理求定积分，有时需先化简被积函数，再求定积分． 2．常见函数的定积分公式(1)⎠⎛ab C d x ＝Cx ⎪⎪⎪ba (C 为常数)． (2)⎠⎛ab x n d x ＝1n ＋1x n ＋1⎪⎪⎪ba (n ≠－1)．(3)⎠⎛a b sin x d x ＝－cos x ⎪⎪⎪ba .(4)⎠⎛ab cos x d x ＝sin x ⎪⎪⎪ba . (5)⎠⎛ab 1xd x ＝ln x ⎪⎪⎪ba (b >a >0)． (6)⎠⎛a b e x d x ＝e x⎪⎪⎪ba. (7)⎠⎛ab a x d x ＝a x ln a ⎪⎪⎪ba(a >0且a ≠1)．利用微积分基本定理求定积分求下列定积分的值． (1)⎠⎛12(x ＋1)(x －2)d x ；(2)⎠⎛14x (1＋x )d x ；(3)∫π20sin 2x d x ；(4)⎠⎛24x 2－x ＋1x －1d x . [解] (1)⎠⎛12(x ＋1)(x －2)d x＝⎠⎛12(x 2－x －2)d x＝⎝⎛⎭⎫13x 3－12x 2－2x ⎪⎪⎪21 ＝⎝⎛⎭⎫13×23－12×22－2×2－⎝⎛⎭⎫13×13－12×12－2×1 ＝－76.(2)⎠⎛14x (1＋x )d x＝⎠⎛14(x ＋x )d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32＋12x 2⎪⎪⎪41＝⎝⎛⎭⎫23×432＋12×42－⎝⎛⎭⎫23×132＋12×12＝736. (3)∫π2sin 2x d x ＝∫π21－cos 2x2d x ＝12∫π20(1－cos 2x )d x ＝12⎝⎛⎭⎫x －12sin 2x ⎪⎪⎪π2＝π4. (4)⎠⎛24x 2－x ＋1x －1d x ＝⎠⎛24x （x －1）＋1x －1d x ＝⎠⎛24⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋ln （x －1）⎪⎪⎪42 ＝⎝⎛⎭⎫12×42＋ln 3－⎝⎛⎭⎫12×22＋ln 1＝6＋ln 3.(1)当被积函数为两个函数的乘积(分式)时，一般要先化简被积函数将其转化为和的形式，便于求得函数F (x )，再计算定积分，具体步骤如下：第一步：求被积函数f (x )的一个原函数F (x )； 第二步：计算函数的增量F (b )－F (a )．(2)利用微积分基本定理求定积分的关键是找出被积函数的原函数，若被积函数的原函扫一扫 进入91导学网()微积分基本定理1．(1)若⎠⎛01(kx ＋1)d x ＝2，则k 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.⎠⎛01(kx ＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎫12kx 2＋x ⎪⎪⎪10＝12k ＋1＝2. ∴k ＝2.(2)⎠⎛12x －1x2d x ＝________． 解析：⎠⎛12x －1x 2d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎫1x －1x 2d x ＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x ⎪⎪⎪21＝⎝⎛⎭⎫ln 2＋12－()ln 1＋1＝ln 2－12. 答案：ln 2－12求分段函数的定积分求下列定积分的值． (1)⎠⎛－12|x －1|d x ；(2)⎠⎛－12e |x |d x ；(3)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤0cos x －1，x >0求∫π2－1f (x )d x .[解] (1)⎠⎛－12|x －1|d x＝⎠⎛－11|x －1|d x ＋⎠⎛12|x －1|d x＝⎠⎛－11(－x ＋1)d x ＋⎠⎛12(x －1)d x＝⎝⎛⎭⎫－12x 2＋x ⎪⎪⎪1－1＋⎝⎛⎭⎫12x 2－x ⎪⎪⎪21＝2＋12＝52.(2)⎠⎛－12e |x |d x ＝⎠⎛－10e |x |d x ＋⎠⎛02e |x |d x＝⎠⎛－10e －x d x ＋⎠⎛02e x d x＝－e －x ⎪⎪⎪0－1＋e x ⎪⎪⎪2＝e －1＋e 2－1＝e 2＋e －2.(3)∫π2－1f (x )d x ＝⎠⎛－1f (x )d x ＋∫π20f (x )d x ＝⎠⎛－1x 2d x ＋∫π20(cos x －1)d x＝13x 3⎪⎪⎪－1＋(sin x －x )⎪⎪⎪π2＝13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－π2＝43－π2.求分段函数的定积分(1)由于分段函数在各区间上的函数式不同，所以被积函数是分段函数时，常常利用定积分的性质(3)，转化为各区间上定积分的和计算．(2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分再计算．2．(1)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x <1，2－x ，1<x ≤2，则⎠⎛02f (x )d x ＝( )A.23B.34C.45D.56 解析：选D.⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x＝13x 3⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎫2x －12x 2⎪⎪⎪21 ＝13＋12＝56. (2)⎠⎛0π|cos x |d x ＝________．解析：⎠⎛0π|cos x |d x ＝∫π20|cos x |d x ＋∫ππ2|cos x |d x＝∫π20cos x d x ＋∫ππ2(－cos x )d x＝sin x ⎪⎪⎪π20－sin x ⎪⎪⎪⎪ππ2＝1＋1＝2.答案：2(3)计算⎠⎛02|x 2－x |d x .解：∵|x 2－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，0≤x ≤1，x 2－x ，1<x ≤2，∴⎠⎛02|x 2－x |d x ＝⎠⎛01(－x 2＋x )d x ＋⎠⎛12(x 2－x )d x＝⎝⎛⎭⎫－13x 3＋12x 2⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎫13x 3－12x 2⎪⎪⎪21 ＝16＋56＝1.微积分基本定理的综合应用(1)已知x ∈(0，1]，f (x )＝⎠⎛01(1－2x ＋2t )d t ，则f (x )的值域是________．[解析] ⎠⎛01(1－2x ＋2t )d t ＝[(1－2x )t ＋t 2]⎪⎪⎪10 ＝2－2x ，即f (x )＝－2x ＋2，因为x ∈(0，1]，所以f (1)≤f (x )<f (0)，即0≤f (x )<2，所以函数f (x )的值域是[0，2)．[答案] [0，2)(2)已知⎠⎛01[(3ax ＋1)(x ＋b )]d x ＝0，a ，b ∈R ，试求ab 的取值范围．[解] ⎠⎛01[(3ax ＋1)(x ＋b )]d x＝⎠⎛01[3ax 2＋(3ab ＋1)x ＋b ]d x＝⎣⎡⎦⎤ax 3＋12（3ab ＋1）x 2＋bx ⎪⎪⎪10 ＝a ＋12(3ab ＋1)＋b ＝0，即3ab ＋2(a ＋b )＋1＝0.法一：由于(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≥4ab .所以⎝⎛⎭⎪⎫－3ab ＋122≥4ab ，即9(ab )2－10ab ＋1≥0，得(ab －1)(9ab －1)≥0，解得ab ≤19或ab ≥1.所以ab 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，19∪[1，＋∞)． 法二：设ab ＝t ，得a ＋b ＝－3t ＋12，故a ，b 为方程x 2＋3t ＋12x ＋t ＝0的两个实数根，所以Δ＝（3t ＋1）24－4t ≥0，整理得9t 2－10t ＋1≥0，即(t －1)(9t －1)≥0，解得t ≤19或t ≥1.所以ab 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，19∪[1，＋∞)． [互动探究] 本例(1)中原已知条件改为f (t )＝⎠⎛01(1－2x ＋2t )d x ，则f (t )＝________.解析：f (t )＝⎠⎛01(1－2x ＋2t )d x＝[(1＋2t )x －x 2]⎪⎪⎪1＝2t . 答案：2t含有参数的定积分问题的处理办法与注意点 (1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．(2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f (x )、积分上限与积分下限、积分区间与函数F (x )等概念．3．(1)设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0<1，则x 0的值为________．解析：⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝13ax 3＋cx ⎪⎪⎪10 ＝a 3＋c ＝ax 20＋c ，又0≤x 0<1，∴x 0＝33. 答案：33(2)已知f (a )＝⎠⎛01(2ax 2－a 2x )d x ，求f (a )的最大值．解：∵⎠⎛01(2ax 2－a 2x )d x＝⎝⎛⎭⎫23ax 3－12a 2x 2⎪⎪⎪1＝23a －12a 2， ∴f (a )＝23a －12a 2＝－12⎝⎛⎭⎫a 2－43a ＋49＋29 ＝－12⎝⎛⎭⎫a －232＋29.∴当a ＝23时，f (a )有最大值为29.数学思想 利用函数的奇偶性巧解定积分问题已知⎠⎛－11(x 3＋ax ＋3a －b )d x ＝2a ＋6，且f (t )＝⎠⎛0为偶函数，求a ，b .[解] ∵f (x )＝x 3＋ax 为奇函数， ∴⎠⎛－11(x 3＋ax )d x ＝0.∴⎠⎛－11(x 3＋ax ＋3a －b )d x ＝⎠⎛－11(x 3＋ax )d x ＋⎠⎛－11(3a －b )d x＝0＋(3a －b )[1－(－1)]＝6a －2b . ∴6a －2b ＝2a ＋6，即2a －b ＝3.① 又f (t )＝⎣⎡⎦⎤x 44＋a 2x 2＋（3a －b ）x ⎪⎪⎪t0 ＝t 44＋at 22＋(3a －b )t 为偶函数， ∴3a －b ＝0.②由①②，得a ＝－3，b ＝－9. [感悟提高](1)在求对称区间上的定积分时，应该首先考虑函数性质与积分的性质，使解决问题的方法尽可能简便．(2)奇、偶函数在区间[－a ，a ]上的定积分：①若奇函数y ＝f (x )的图象在[－a ，a ]上连续，则⎠⎛－aaf （x ）d x＝0. ②若偶函数y ＝g (x )的图象在[－a ，a ]上连续，则⎠⎛－aag （x ）d x ＝2⎠⎛0a g (x )d x ，如本例为偶函数，可用该结论计算．1．下列各式中，正确的是( )A.⎠⎛ab F ′(x )d x ＝F ′(b )－F ′(a )B.⎠⎛a b F ′(x )d x ＝F ′(a )－F ′(b )C.⎠⎛ab F ′(x )d x ＝F (b )－F (a ) D.⎠⎛ab F ′(x )d x ＝F (a )－F (b )答案：C2.⎠⎛12(e x －1)d x ＝________．解析：⎠⎛12(e x－1)d x ＝(e x－x )⎪⎪⎪21＝(e 2－2)－(e 1－1) ＝e 2－e －1.答案：e 2－e －13．求定积分∫π20cos 2xsin x ＋cos xd x 的值．解：∫π20cos 2xsin x ＋cos xd x＝∫π20cos2x －sin 2x cos x ＋sin xd x＝∫π20(cos x －sin x )d x＝()sin x ＋cos x ⎪⎪⎪π2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2＋cos π2－()sin 0＋cos 0＝0.[A.基础达标]1.⎠⎛1e 1xd x 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．ln 2D ．e 2解析：选A.⎠⎛1e 1x d x ＝ln x ⎪⎪⎪e1＝ln e －ln 1＝1.2.⎠⎛1e x d x 的值为( )A ．eB ．e －1 C.1eD ．1解析：选B.⎠⎛01e x d x ＝e x ⎪⎪⎪10＝e 1－e 0＝e －1. 3．已知⎠⎛1m (2x －1)d x ＝2，则m 的值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：选D.∵⎠⎛1m (2x －1)d x ＝(x 2－x )⎪⎪⎪m1＝m 2－m ＝2， ∴m 2－m －2＝0，∴m ＝－1(舍去)或m ＝2.4.⎠⎛23x x －1d x ＝( ) A ．5＋ln 2 B ．5－ln 2 C ．1＋ln 2 D ．1－ln 2解析：选C.⎠⎛23xx －1d x ＝⎠⎛23x －1＋1x －1d x＝⎠⎛23⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1d x ＝[]x ＋ln （x －1）⎪⎪⎪32 ＝(3＋ln 2)－(2＋ln 1)＝1＋ln 2.5．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13C.13D ．1解析：选B.∵⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛01⎣⎡⎦⎤2⎠⎛01f （x ）d x d x＝13x 3⎪⎪⎪10＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎠⎛01f （x ）d x x ⎪⎪⎪10＝13＋2⎠⎛01f (x )d x ， ∴⎠⎛01f (x )d x ＝－13.故选B.6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，（x ≤0）e x ，（x >0）则⎠⎛－12f (x )d x ＝________．解析：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，（x ≤0）e x ，（x >0）.∴⎠⎛－12f (x )d x ＝⎠⎛－10x d x ＋⎠⎛02e x d x＝12x 2⎪⎪⎪0－1＋e x ⎪⎪⎪2＝－12＋e 2－1＝e 2－32.答案：e 2－327．设f (x )＝kx ＋b ，若⎠⎛01f (x )d x ＝2，⎠⎛12f (x )d x ＝3.则f (x )的解析式为________．解析：由⎠⎛01(kx ＋b )d x ＝2，得⎝⎛⎭⎫12kx 2＋bx ⎪⎪⎪1＝2， 即12k ＋b ＝2，① 由⎠⎛12(kx ＋b )d x ＝3，得⎝⎛⎭⎫12kx 2＋bx ⎪⎪⎪21＝3， 即(2k ＋2b )－⎝⎛⎭⎫12k ＋b ＝3.∴32k ＋b ＝3，② 由①②联立得，k ＝1，b ＝32，∴f (x )＝x ＋32.答案：f (x )＝x ＋328.⎠⎛03x 2－4x ＋4d x ＝________．解析：⎠⎛03x 2－4x ＋4d x ＝⎠⎛03（x －2）2d x＝⎠⎛03|x －2|d x＝⎠⎛02|x －2|d x ＋⎠⎛23|x －2|d x＝⎠⎛02(2－x )d x ＋⎠⎛23(x －2)d x＝⎝⎛⎭⎫－12x 2＋2x ⎪⎪⎪20＋⎝⎛⎭⎫12x 2－2x ⎪⎪⎪32＝2＋12＝52. 答案：529．计算⎠⎛02x1＋x 2d x .解：∵f (x )＝1＋x 2的导函数为f ′(x )＝x 1＋x 2. ∴⎠⎛02x 1＋x 2d x ＝1＋x 2⎪⎪⎪20＝5－1. 10．若f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176.求⎠⎛12f （x ）xd x 的值． 解：设f (x )＝kx ＋b ，k ≠0，则⎠⎛01(kx ＋b )d x ＝⎝⎛⎭⎫k 2x 2＋bx ⎪⎪⎪10＝k 2＋b ＝5.① ⎠⎛01xf (x )d x ＝⎠⎛01(kx 2＋bx )d x ＝⎝⎛⎭⎫kx 33＋bx 22⎪⎪⎪10＝k 3＋b 2＝176，② 联立①②可得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝4.b ＝3. ∴f (x )＝4x ＋3.则⎠⎛12f （x ）x d x ＝⎠⎛124x ＋3x d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎫4＋3x d x ＝(4x ＋3ln x )⎪⎪⎪21 ＝(8＋3ln 2)－(4＋3ln 1)＝4＋3ln 2.[B.能力提升]1．若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1<S 2<S 3 B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1解析：选B.S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪21＝73， S 2＝⎠⎛121x d x ＝ln x ⎪⎪⎪21＝ln 2， S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e x ⎪⎪⎪21＝e 2－e ＝e(e －1)>e>73， 所以S 2<S 1<S 3，故选B.2．若函数f (x )，g (x )满足⎠⎛－11f (x )g (x )d x ＝0，则称f (x )，g (x )为区间[－1，1]上的一组正交函数．给出三组函数： ①f (x )＝sin 12x ，g (x )＝cos 12x ；②f (x )＝x ＋1，g (x )＝x －1；③f (x )＝x ，g (x )＝x 2. 其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.对于①，⎠⎛－11sin 12x ·cos 12x d x＝⎠⎛－1112sin x d x ＝12⎠⎛－11sin x d x ＝12(－cos x )⎪⎪⎪1－1＝12(－cos 1＋cos 1)＝0. 故①为区间[－1，1]上的一组正交函数；对于②，⎠⎛－11(x ＋1)(x －1)d x ＝⎠⎛－11(x 2－1)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－x ⎪⎪⎪1－1＝13－1－⎝⎛⎭⎫－13＋1 ＝23－2＝－43≠0， 故②不是区间[－1，1]上的一组正交函数；对于③，⎠⎛－11x ·x 2d x ＝⎠⎛－11x 3d x ＝⎝⎛⎭⎫14x 4⎪⎪⎪1－1＝0. 故③为区间[－1，1]上的一组正交函数，故选C.3．若⎠⎛0t cos θd θ＝32，且t ∈(0，2π)，则t 的值为________． 解析：∵⎠⎛0t cos θd θ＝sin θ⎪⎪⎪t 0 ＝sin t ＝32， ∵t ∈(0，2π)，∴t ＝π3或23π. 答案：π3或23π 4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≤11－ln x x 2，x >1，则⎠⎛0e f (x )d x ＝________． 解析：∵f (x )＝⎩⎨⎧x －1，x ≤11－ln x x 2，x >1， ∴⎠⎛0e f (x )d x ＝⎠⎛01(x －1)d x ＋⎠⎛1e 1－ln x x 2d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－x ⎪⎪⎪10＋ln x x ⎪⎪⎪e 1＝－12＋1e ＝2－e 2e. 答案：2－e 2e5．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2，求a 、b 、c 的值．解：由f (－1)＝2，得a －b ＋c ＝2，①又f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＝0，② 而⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋cx ⎪⎪⎪10 ＝13a ＋c ＝－2，③ 联立①②③得a ＝6，c ＝－4.6．设f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝1，求证：⎠⎛01f 2(x )d x >1. 证明：设f (x )＝kx ＋b (k ≠0，b ，k 为常数)．⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(kx ＋b )d x ＝⎝⎛⎭⎫k 2x 2＋bx ⎪⎪⎪10＝k 2＋b ， 即k 2＋b ＝1，k ＝2(1－b )． ⎠⎛01f 2(x )d x ＝⎠⎛01(kx ＋b )2d x ＝⎠⎛01(k 2x 2＋2kbx ＋b 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫13k 2x 3＋kbx 2＋b 2x ⎪⎪⎪10＝13k 2＋kb ＋b 2 ＝43(1－b )2＋2b (1－b )＋b 2＝13(b －1)2＋1>1. 即⎠⎛01f 2(x )d x >1得证．。
高中数学新湘教版选修2-2 定积分与微积分基本定理
4．5定积分与微积分基本定理[读教材·填要点]1．曲边梯形的面积(1)曲边梯形：位于曲线y ＝f (x )(a ≤x ≤b )和x 轴之间的图形，叫作函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的“曲边梯形”．(2)曲边梯形面积的计算方法：化整为零、以直代曲，即把一个曲边梯形分成多个小曲边梯形，再用矩形代替小曲边梯形．2．计算变力所做的功的方法 化整为零，以直代曲． 3．定积分的概念设f (x )是在区间[a ，b ]上有定义的函数，在a ，b 之间取若干分点a ＝x 0＜x 1＜x 2＜…＜x n ＝b .记小区间[x k －1，x k ]为Δk ，其长度x k －x k －1记作Δx k ，Δx k 中最大的记作d ，再在每个小区间Δk z k ，作和式：∑k ＝1nf (z k )Δx k . ①如果(不论如何取分点x k 和代表点z k )当d 趋于0时和式①以S 为极限，就说函数f (x )在[a ，b ]上可积，并且说S 是f (x )在[a ，b ]上的定积分，记作S ＝⎠⎛a bf (x )d x .4．微积分基本定理如果f (x )是在[a ，b ]上有定义的连续函数，F (x )在[a ，b ]上可导并且F ′(x )＝f (x )， 则⎠⎛a bf (t )d t ＝F (b )－F (a )．[小问题·大思维]1．求曲边梯形面积时，对曲边梯形进行“以直代曲”，怎样才能尽量减小求得的曲边梯形面积的误差？提示：为了减小近似代替的误差，需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代曲”，而且分割的曲边梯形数目越多，得到的面积的误差越小．2．求曲边梯形的面积与计算变速直线运动的路程有哪些相同点？提示：(1)求曲边梯形的面积与求变速直线运动的路程的共同本质是“以直代曲”“以不变代变”的思想方法．(2)求解的方法步骤相同．3．由定积分的定义可知，⎠⎛a b f (x )d x 是一个常数还是一个变量？⎠⎛a bf (x )d x 的值与哪些量有关？提示：由定义可得定积分⎠⎛a bf (x )d x 是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，而与积分变量没有关系，即⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a bf (t )d t ＝⎠⎛a bf (u )d u .4．如图所示，如何用阴影面积S 1，S 2，S 3表示定积分⎠⎛a bf (x )d x 的值？提示：⎠⎛a bf (x )d x ＝S 1－S 2＋S 3.计算下列定积分：(1) ⎠⎛－13(4x －x 2)d x; (2)⎠⎛12(x －1)5 d x ； (3)⎠⎛12(t ＋2)d x; (4)⎠⎛121x (x ＋1)d x . [自主解答] (1)取F (x )＝2x 2－x 33，因为F ′(x )＝4x －x 2，所以⎠⎛－13(4x －x 2)d x ＝F (3)－F (－1)＝⎝⎛⎭⎫2×32－333－⎣⎡⎦⎤2×(－1)2－(－1)33＝203. (2)因为⎣⎡⎦⎤16(x －1)6′＝(x －1)5， 所以⎠⎛12(x －1)5d x ＝F (2)－F (1)＝16×(2－1)6－16×(1－1)6＝16. (3)取F (x )＝(t ＋2)x ，因为F ′(x )＝t ＋2， 所以⎠⎛12(t ＋2)d x ＝F (2)－F (1) ＝2(t ＋2)－(t ＋2)＝t ＋2.(4)f (x )＝1x (x ＋1)＝1x －1x ＋1，取F (x )＝ln x －ln(x ＋1)＝ln x x ＋1， 则F ′(x )＝1x －1x ＋1.所以⎠⎛121x (x ＋1)d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎫1x －1x ＋1d x ＝F (2)－F (1)＝ln 43.运用微积分基本定理求定积分时的4个注意点(1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和；(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分； (4)注意用“F ′(x )＝f (x )”检验积分的对错．1．计算下列定积分：(1)⎠⎛－13(3x 2－2x ＋1)d x ； (2) ⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －1x d x ； (3) ⎠⎛0π (sin x －cos x )d x ； (4) ⎠⎛02|1－x |d x . 解：(1)取F (x )＝x 3－x 2＋x ， 则F ′(x )＝3x 2－2x ＋1.∴⎠⎛－13(3x 2－2x ＋1)d x ＝F (3)－F (－1)＝24.(2)取F (x )＝12x 2－ln x ，则F ′(x )＝x －1x .∴⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －1x d x ＝F (2)－F (1)＝32－ln 2. (3)取F (x )＝－cos x －sin x ， 则F ′(x )＝sin x －cos x .∴⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝F (π)－F (0)＝2.(4)∵|1－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，0＜x ＜1，x －1，1＜x ＜2，∴取F 1(x )＝x －12x 2,0＜x ＜1，F 2(x )＝12x 2－x,1＜x ＜2，则F 1′(x )＝1－x ，F 2′(x )＝x －1.∴⎠⎛02|1－x |d x ＝F 1(1)－F 1(0)＋F 2(2)－F 2(1)＝1.已知函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，求x 0的值．[自主解答] 因为f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)， 取F (x )＝a3x 3＋cx ，则F ′(x )＝ax 2＋c ，所以⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝F (1)－F (0)＝a 3＋c ＝ax 20＋c . 解得x 0＝33或x 0＝－33(舍去)． 即x 0＝33.利用定积分求参数时，注意方程思想的应用．一般地，首先要弄清楚积分变量和被积函数．当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，再进行计算；其次要注意积分下限不大于积分上限．2．已知f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，求f (x )的解析式． 解：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 取F 1(x )＝12ax 2＋bx ，∴F 1′(x )＝f (x )．则⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝F 1(1)－F 1(0)＝12a ＋b ， ⎠⎛01x (ax ＋b )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx )d x ， 取F 2(x )＝13ax 3＋12bx 2且F 2′(x )＝ax 2＋bx ，则⎠⎛01x (ax ＋b )d x ＝F 2(1)－F 2(0)＝13a ＋12b ，由⎩⎨⎧12a ＋b ＝5，13a ＋12b ＝176.解得a ＝4，b ＝3，故f (x )＝4x ＋3.求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成图形的面积．[自主解答] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－4，y ＝－x ＋2，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3，y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.所以直线y ＝－x ＋2与抛物线 y ＝x 2－4的交点为(－3,5)和(2,0)， 设所求图形面积为S ，根据图形可得S ＝⎠⎛－32[(－x ＋2)－(x 2－4)]d x ＝⎠⎛－32(6－x －x 2)d x ，取F (x )＝6x －12x 2－13x 3，则F ′(x )＝6－x －x 2， ∴S ＝F (2)－F (－3)＝1256.若将本例中“直线y ＝－x ＋2”换为“抛物线y ＝3－34x 2”，如何求解？解：如图所示，设所求图形面积为S ，S ＝⎠⎛－22⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫3－34x 2－()x 2－4d x ＝⎠⎛－22⎝⎛⎭⎫7－74x 2d x ， 取F (x )＝7x －712x 3，则F ′(x )＝7－74x 2，∴S ＝F (2)－F (－2)＝563.利用定积分求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤 (1)画出图形．(2)确定图形范围，通过方程组求出交点的横坐标，确定积分上限和积分下限． (3)确定被积函数及积分变量，确定时可以综合考察下列因素：①被积函数的原函数易求；②较少的分割区域；③积分上限和积分下限比较简单． (4)写出平面图形的面积的定积分表达式．(5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．3．求曲线y ＝e x ，y ＝e－x及直线x ＝1所围成的图形的面积．解：由图可知，积分区间为[0,1]，面积S ＝⎠⎛10()e x －e －x d x ，取F (x )＝e x ＋e －x ， 则F ′(x )＝e x －e －x ， ∴S ＝F (1)－F (0)＝e ＋1e－2.变速直线运动的物体的速度为v (t )＝1－t 2，初始位置为x 0＝1，求它在前2秒内所走的路程及2秒末所在的位置．[自主解答] 当0≤t ≤1时，v (t )≥0， 当1≤t ≤2时，v (t )<0. 所以前2秒钟内所走的路程 S ＝⎠⎛01v (t )d t ＋⎠⎛12[－v (t )]d t＝⎠⎛01(1－t 2)d t ＋⎠⎛12(t 2－1)d t取F 1(t )＝t －13t 3，F 2(t )＝13t 3－t ，S ＝F 1(1)－F 1(0)＋F 2(2)－F 2(1)＝2.2秒末所在的位置：x 1＝x 0＋⎠⎛02v (t )d t ＝1＋⎠⎛02(1－t 2)d t ＝13. 即它在前2秒内所走的路程为2,2秒末所在位置为x 1＝13.1．有关路程、位移计算公式路程是位移的绝对值之和，从时刻t ＝a 到时刻t ＝b 所经过的路程s 和位移s 1分别为 (1)若v (t )≥0(a ≤t ≤b )，则s ＝⎠⎛a bv (t )d t ；s 1＝⎠⎛a bv (t )d t . (2)若v (t )≤0(a ≤t ≤b )， 则s ＝－⎠⎛a bv (t )d t ；s 1＝⎠⎛a bv (t )d t .(3)在区间[a ，c ]上，v (t )≥0，在区间[c ，b ]上，v (t )<0， 则s ＝⎠⎛a cv (t )d t －⎠⎛c bv (t )d t ；s 1＝⎠⎛a bv (t )d t . 2．求变力做功的方法步骤(1)要明确变力的函数式F (x )，确定物体在力的方向上的位移． (2)利用变力做功的公式W ＝⎠⎛ab F (x )d x 计算．[注意] 将力与位移的单位换算为牛顿(N)与米(m)，功的单位才为焦耳(J)．4．一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°角的方向做直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时F (x )做的功为( )A. 3 JB.233 JC.433JD ．2 3 J解析：W ＝⎠⎛12F (x )cos 30°d x ＝⎠⎛1232(5－x 2)d x ＝32⎝⎛⎭⎫5x －13x 3⎪⎪⎪21＝433(J)． 答案：C求抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积．[解] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝4－x ，解出抛物线和直线的交点为(2,2)及(8，－4)．法一：选x 作为积分变量，由图可看出S ＝A 1＋A 2.在A 1部分：由于抛物线的上半支方程为y ＝2x ，下半支方程为y ＝－2x ，所以S A 1＝⎠⎛02[2x －(－2x )]d x ＝22⎠⎛02x 12d x .取F 1(x )＝23x 32，∴S A 1＝22[F 1(2)－F 1(0)]＝163. S A 2＝⎠⎛28[4－x －(－2x )]d x ， 取F 2(x )＝4x －12x 2＋223x 32.∴S A 2＝F 2(8)－F 2(2)＝383. ∴S ＝163＋383＝18.法二：选y 作积分变量， 将曲线方程写为x ＝y 22及x ＝4－y .S ＝2-4⎰⎣⎡⎦⎤(4－y )－y 22d y . 取F (y )＝4y －y 22－y 36，∴S ＝F (2)－F (－4)＝30－12＝18.1．定积分⎠⎛01(2x ＋e x)d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1解析：取F (x )＝x 2＋e x，则F ′(x )＝2x ＋e x，⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝F (1)－F (0)＝(1＋e)－(0＋e 0)＝e.答案：C2．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt (g 为常数)，则电视塔高为( )A.12g B ．g C.32g D ．2g解析：取F (x )＝12gt 2，则F ′(x )＝gt ，所以电视塔高为⎠⎛12gt d t ＝F (2)－F (1)＝2g －12g ＝32g . 答案：C3．s 1＝⎠⎛01x d x ，s 2＝⎠⎛01x 2d x 的大小关系是( )A ．s 1＝s 2B ．s 21＝s 2C ．s 1>s 2D ．s 1<s 2解析：⎠⎛01x d x 表示由直线x ＝0，x ＝1，y ＝x 及x 轴所围成的图形的面积，而⎠⎛01x 2d x 表示的是由曲线y ＝x 2与直线x ＝0，x ＝1及x 轴所围成的图形的面积，因为在x ∈[0,1]内直线y ＝x 在曲线y ＝x 2的上方，所以s 1>s 2.答案：C4.⎠⎛－12x 4d x ＝________.解析：∵⎝⎛⎭⎫15x 5′＝x 4，取F (x )＝15x 5， ∴⎠⎛－12x 4d x ＝F (2)－F (－1)＝15[25－(－1)5]＝335. 答案：3355．若⎠⎛01(2x ＋k )d x ＝2，则k ＝________. 解析：取F (x )＝x 2＋kx ，则F ′(x )＝2x ＋k ， ∴⎠⎛01(2x ＋k )d x ＝F (1)－F (0)＝1＋k ＝2，∴k ＝1. 答案：16．求由曲线xy ＝1及直线x ＝y ，y ＝3所围成平面图形的面积．解：作出曲线xy ＝1，直线x ＝y ，y ＝3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．求交点坐标：由⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1，y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝3，故A ⎝⎛⎭⎫13，3；由⎩⎪⎨⎪⎧ xy ＝1，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1(舍去)， 故B (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，故C (3,3)，故所求面积S ＝S 1＋S 2＝⎠⎜⎛131⎝⎛⎭⎫3－1x d x ＋⎠⎛13(3－x )d x ＝4－ln 3.一、选择题1.⎠⎛241x d x 等于( ) A ．－2ln 2 B ．2ln 2 C ．－ln 2D ．ln 2解析：⎠⎛241x d x ＝ln 4－ln 2＝ln 2. 答案：D2．一物体沿直线运动，其速度v (t )＝t ，这个物体在t ＝0到t ＝1这段时间内所走的路程为( )A.13B.12C. 1D.32解析：曲线v (t )＝t 与直线t ＝0，t ＝1，横轴围成的三角形面积S ＝12即为这段时间内物体所走的路程．答案：B3.如图所示，阴影部分的面积是( ) A ．2 3 B ．2－ 3 C.323D.353解析：S ＝⎠⎛－31 (3－x 2－2x )d x ，即F (x )＝3x －13x 3－x 2， 则F (1)＝3－13－1＝53，F (－3)＝－9＋9－9＝－9. ∴S ＝F (1)－F (－3)＝53＋9＝323.答案：C4．定积分⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：|x 2－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，－2≤x ＜0，－x 2＋2x ，0≤x ≤2， 取F 1(x )＝13x 3－x 2，F 2(x )＝－13x 3＋x 2， 则F 1′(x )＝x 2－2x ，F 2′(x )＝－x 2＋2x .∴⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝⎠⎛－20 (x 2－2x )d x ＋⎠⎛02(－x 2＋2x )d x ＝F 1(0)－F 1(－2)＋F 2(2)－F 2(0)＝8.答案：D二、填空题5．函数y ＝x －x 2的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积等于________．解析：由x －x 2＝0，得x ＝0或x ＝1.因此所围成的封闭图形的面积为⎠⎛01(x －x 2)d x . 取F (x )＝12x 2－13x 3， 则F ′(x )＝x －x 2，∴面积S ＝F (1)－F (0)＝16. 答案：166．设函数f (x )＝(x －1)x (x ＋1)，则满足∫a 0f ′(x )d x ＝0的实数a ＝________.解析：⎠⎛0af ′(x )d x ＝f (a )＝0，得a ＝0或1或－1，又由积分性质知a >0，故a ＝1.答案：17．计算⎠⎛02(2x －e x )d x ＝________. 解析：取F (x )＝x 2－e x ，则F ′(x )＝2x －e x ，所以⎠⎛02(2x －e x )d x ＝F (2)－F (0)＝5－e 2. 答案：5－e 28．曲线y ＝1x ＋2x ＋2e 2x ，直线x ＝1，x ＝e 和x 轴所围成的区域的面积是________．解析：由题意得，所求面积为⎠⎛1e⎝⎛⎭⎫1x ＋2x ＋2e 2x d x . 取F (x )＝ln x ＋x 2＋e 2x ，则F ′(x )＝1x ＋2x ＋2e 2x ，所以⎠⎛1e⎝⎛⎭⎫1x ＋2x ＋2e 2x d x ＝F (e)－F (1)＝e 2e . 答案：e 2e三、解答题9．计算下列定积分．(1)⎠⎛14⎝⎛⎭⎫2x －1x d x ； (2)⎠⎛01x 1＋x 2d x .解：(1)取F (x )＝2xln 2－2x ， 则F ′(x )＝2x －1x . ∴原式＝F (4)－F (1)＝⎝⎛⎭⎫16ln 2－2ln 2－(24－2)＝14ln 2－2. (2)取F (x )＝12ln(1＋x 2)，则F ′(x )＝x 1＋x 2. ∴⎠⎛01x 1＋x 2d x ＝F (1)－F (0)＝12ln 2.10．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1，求其在点(1,2)处的切线与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积．解：f ′(x )＝3x 2－2x ＋1，∵(1,2)为曲线f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1上的点，设过点(1,2)处的切线的斜率为k ，则k ＝f ′(1)＝2，∴过点(1,2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x .y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形如图：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x 可得交点A (2,4)． ∴y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积S ＝⎠⎛02(2x －x 2)． 取F (x )＝x 2－13x 3，则F ′(x )＝2x －x 2， ∴S ＝F (2)－F (0)＝43.。
(完整)高中数学选修2-2微积分基本定理
[学习目标] 1.了解导数和微积分的关系.2.掌握微积分基本定理.3.会用微积分基本定理求一些函数的定积分.知识点一 导数与定积分的关系f (x )d x 等于函数f (x )的任意一个原函数F (x )(F ′(x )＝f (x ))在积分区间[a ，b ]上的改变量F (b )－F (a ).以路程和速度之间的关系为例解释如下：如果物体运动的速度函数为v ＝v (t )，那么在时间区间[a ，b ]内物体的位移s 可以用定积分表示为s ＝v (t )d t .另一方面，如果已知该变速直线运动的路程函数为s ＝s (t )，那么在时间区间[a ，b ]内物体的位移为s (b )－s (a )，所以有v (t )d t ＝s (b )－s (a ).由于s ′(t )＝v (t )，即s (t )为v (t )的原函数，这就是说，定积分v (t )d t 等于被积函数v (t )的原函数s (t )在区间[a ，b ]上的增量s (b )－s (a ).思考 函数f (x )与其一个原函数的关系： (1)若f (x )＝c (c 为常数)，则F (x )＝cx ； (2)若f (x )＝x n (n ≠－1)，则F (x )＝1n ＋1·x n ＋1；(3)若f (x )＝1x ，则F (x )＝ln x (x >0)；(4)若f (x )＝e x ，则F (x )＝e x ；(5)若f (x )＝a x，则F (x )＝a xln a(a >0且a ≠1)；(6)若f (x )＝sin x ，则F (x )＝－cos x ； (7)若f (x )＝cos x ，则F (x )＝sin x . 知识点二 微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么f (x )d x ＝F (b )－F (a ). 思考 (1)函数f (x )的原函数F (x )是否唯一？(2)用微积分基本定理计算简单定积分的步骤是什么？ 答案 (1)不唯一.(2)①把被积函数f (x )变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等初等函数与常数的和或差；②用求导公式找到F (x )，使得F ′(x )＝f (x )； ③利用微积分基本定理求出定积分的值.题型一 求简单函数的定积分 例1 计算下列定积分. (1)3d x ；(2)(2x ＋3)d x ； (3) (4x －x 2)d x ；(4)(x －1)5d x . 解 (1)因为(3x )′＝3，所以3d x ＝(3x )⎪⎪⎪21＝3×2－3×1＝3. (2)因为(x 2＋3x )′＝2x ＋3， 所以(2x ＋3)d x ＝(x 2＋3x )⎪⎪⎪2＝22＋3×2－(02＋3×0)＝10. (3)因为⎝⎛⎭⎫2x 2－x33′＝4x －x 2， 所以(4x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－x 33⎪⎪⎪3－1＝⎝⎛⎭⎫2×32－333－⎣⎡⎦⎤2×(－1)2－(－1)33＝203.(4)因为⎣⎡⎦⎤16(x －1)6′＝(x －1)5， 所以 (x －1)5d x ＝16(x －1)6⎪⎪⎪21＝16(2－1)6－16(1－1)6＝16. 反思与感悟 (1)用微积分基本定理求定积分的步骤： ①求f (x )的一个原函数F (x )； ②计算F (b )－F (a ). (2)注意事项：①有时需先化简，再求积分；②若F (x )是f (x )的原函数，则F (x )＋C (C 为常数)也是f (x )的原函数.随着常数C 的变化，f (x )有无穷多个原函数，这是因为F ′(x )＝f (x )，则[F (x )＋C ]′＝F ′(x )＝f (x )的缘故.因为⎠⎛ab f (x )d x＝[F (x )＋C ]|b a ＝[F (b )＋C ]－[F (a )＋C ]＝F (b )－F (a )＝F (x )|b a ，所以利用f (x )的原函数计算定积分时，一般只写一个最简单的原函数，不用再加任意常数C 了. 跟踪训练1 求下列函数的定积分： (1)⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ；(2)x (1＋x )d x . 解 (1)⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x 2＋2＋1x 2d x ＝⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛122d x ＋⎠⎛121x2d x ＝13x 3⎪⎪⎪ 21+2 x ⎪⎪⎪ 21 +⎝⎛⎭⎫-12⎪⎪⎪21＝13×(23－13)＋2×(2－1)－⎝⎛⎭⎫12－1 ＝296. (2)⎠⎛49x (1＋x )d x＝⎠⎛49(x ＋x )d x＝⎝⎛⎭⎫23x x ＋12x 2⎪⎪⎪94＝⎝⎛⎭⎫23×9×3＋12×92－⎝⎛⎭⎫23×4×2＋12×42 ＝2716. 题型二 求分段函数的定积分 例2 求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ∈[0，1)，x 2，x ∈[1，2)，2x ，x ∈[2，3]在区间[0,3]上的定积分.解 由定积分的性质知：⎠⎛03f (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＋⎠⎛23f (x )d x ＝⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛232x d x＝x 44⎪⎪⎪10＋x 33⎪⎪⎪21＋2x ln 2⎪⎪⎪32＝14＋83－13＋8ln 2－4ln 2 ＝3112＋4ln 2. 反思与感悟 (1)分段函数在区间[a ，b ]上的定积分可分成几个定积分的和的形式.(2)分段的标准是确定每一段上的函数表达式，即按照原函数分段的情况分就可以. 跟踪训练2 求下列定积分： (1)⎠⎛02|x 2－1|d x ；(2) ⎠⎜⎛0π21－sin 2x d x .解 (1)∵y ＝|x 2－1|＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，0≤x ＜1，x 2－1，1≤x ≤2，∴⎠⎛02|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x＝⎝⎛⎭⎫x －x 33⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎫x 33－x ⎪⎪⎪21＝⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫83－2－⎝⎛⎭⎫13－1 ＝2.(2) ⎠⎜⎛0π21－sin 2x d x＝⎠⎜⎛0π2|sin x －cos x |d x＝⎠⎜⎛0π4 (cos x －sin x )d x ＋⎠⎜⎜⎛π4π2 (sin x －cos x )d x ＝(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪π4＋(－cos x －sin x )⎪⎪⎪⎪π2π4＝⎝⎛⎭⎫22＋22－1＋(－1)－⎝⎛⎭⎫－22－22 ＝22－2.题型三 定积分的简单应用例3 已知f (a )＝⎠⎛01 (2ax 2－a 2x )d x ，求f (a )的最大值.解 ∵⎝⎛⎭⎫23ax 3－12a 2x 2′＝2ax 2－a 2x ，∴⎠⎛01 (2ax 2－a 2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫23ax 3－12a 2x 2⎪⎪⎪10 ＝23a －12a 2， 即f (a )＝23a －12a 2＝－12⎝⎛⎭⎫a 2－43a ＋49＋29 ＝－12⎝⎛⎭⎫a －232＋29， ∴当a ＝23时，f (a )有最大值29.反思与感悟 定积分的应用体现了积分与函数的内在联系，可以通过积分构造新的函数，进而对这一函数进行性质、最值等方面的考查，解题过程中注意体会转化思想的应用. 跟踪训练3 已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2，求a 、b 、c 的值.解 由f (－1)＝2，得a －b ＋c ＝2.① 又f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＝0，② 而⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01 (ax 2＋bx ＋c )d x＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋12bx 2＋cx ⎪⎪⎪10 ＝13a ＋12b ＋c ， ∴13a ＋12b ＋c ＝－2，③ 由①②③式得a ＝6，b ＝0，c ＝－4.1.⎠⎜⎛0π4cos 2xcos x ＋sin x d x 等于( )A.2(2－1)B.2＋1C.2－1D.2－2答案 C解析 结合微积分基本定理，得⎠⎜⎛0π4cos 2x －sin 2xcos x ＋sin x d x ＝⎠⎜⎛0π4 (cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪π40＝2－1. 2.下列定积分的值等于1的是( )A.⎠⎛01x d xB.⎠⎛01(x ＋1)d xC.⎠⎛011d xD.⎠⎛0112d x 答案 C解析 ⎠⎛01x d x ＝12x 2⎪⎪⎪ 10＝12，⎠⎛01(x ＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋x ⎪⎪⎪ 10＝12＋1＝32，⎠⎛011d x ＝x ⎪⎪⎪10＝1，⎠⎛0112d x＝12x ⎪⎪⎪10＝12.故选C.3.⎠⎛02⎝⎛⎭⎫x 2－23x d x ＝ . 答案 43解析 ⎠⎛02⎝⎛⎭⎫x 2－23x d x ＝⎠⎛02x 2d x －⎠⎛0223x d x ＝x 33⎪⎪⎪20－x 23⎪⎪⎪20＝83－43＝43. 4.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，0≤x ＜1，3－x ，1≤x ≤2，则⎠⎛02f (x )d x ＝ .答案176解析 ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋1)d x ＋⎠⎛12(3－x )d x＝⎝⎛⎭⎫x 33＋x ⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎫3x －x 22⎪⎪⎪21＝176.5.已知函数f (x )为偶函数，且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛－66 f (x )d x ＝ .答案 16解析 因为函数f (x )为偶函数， 且⎠⎛06f (x )d x ＝8，所以⎠⎛－66f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝16.1.求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分.(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和. (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分.2.由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x 轴下方的图形面积要取定积分的相反数.一、选择题1.函数y ＝⎠⎛0x cos x d x 的导数是( )A.cos xB.－sin xC.cos x －1D.sin x 答案 A解析 (sin x )′＝cos x ，⎠⎛0x cos x d x ＝sin x ⎪⎪⎪x0＝sin x ，故选A. 2.若F ′(x )＝x 2，则F (x )的解析式不正确的是( ) A.F (x )＝13x 3B.F (x )＝x 3C.F (x )＝13x 3＋1D.F (x )＝13x 3＋c (c 为常数)答案 B解析 若F (x )＝x 3，则F ′(x )＝3x 2，这与F ′(x )＝x 2不一致，故选B. 3. ⎠⎛－40|x ＋2|d x 等于( )A. ⎠⎛－40 (x ＋2)d xB. ⎠⎛－40 (－x －2)d xC.⎠⎛－4－2(x ＋2)d x ＋⎠⎛－202(－x －2)d xD.⎠⎛－4－2(－x －2)d x ＋⎠⎛－20 (x ＋2)d x答案 D解析 ∵|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，－2≤x ≤0，－x －2，－4≤x <－2，∴⎠⎛－40|x ＋2|d x ＝⎠⎛－4－2(－x －2)d x ＋⎠⎛－20 (x ＋2)d x .故选D.4.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤0，1，0<x ≤1，则⎠⎛1－1f (x )d x 的值为( )A.32B.43C.23D.－23 答案 B解析 ⎠⎛－11f (x )d x ＝⎠⎛－1x 2d x ＋⎠⎛011d x ＝⎪⎪x 330－1＋x |10＝13＋1＝43，故选B. 5.⎠⎜⎛0π2sin 2x2d x 等于( )A.π4 B.π2－1 C.2 D.π－24答案 D解析 ⎠⎜⎛0π2sin 2x 2d x ＝⎠⎜⎛0π21－cos x 2d x ＝⎪⎪12(x －sin x )π20＝π－24，故选D. 6.若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A.S 1＜S 2＜S 3B.S 2＜S 1＜S 3C.S 2＜S 3＜S 1D. S 3＜S 2＜S 1答案 B 解析 S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝13x 3⎪⎪21＝73，S 2＝⎪⎪⎪⎠⎛121x d x ＝ln x 21＝ln 2＜1，S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e x ⎪⎪⎪21＝e 2－e ＝e(e －1)＞73，所以S 2＜S 1＜S 3，选B.二、填空题7.⎠⎛－11 (1－x 2＋x )d x ＝ .答案 π2解析 ⎠⎛－11 (1－x 2＋x )d x ＝⎠⎛－111－x 2d x ＋⎠⎛－11x d x ，根据定积分的几何意义可知⎠⎛－111－x 2d x 等于半径为1的半圆的面积， 即⎠⎛－111－x 2d x ＝π2，⎠⎛－11x d x ＝12x 2|1－1＝0，∴⎠⎛－11 (1－x 2＋x )d x ＝π2.8.若⎠⎛0T x 2d x ＝9，则常数T 的值为 .答案 3解析 ⎠⎛0T x 2d x ＝ 13x 3⎪⎪⎪t 0＝13T 3＝9，即T 3＝27，解得T ＝3. 9.设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0＝ .答案33解析 由⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，得⎠⎛1(ax 2＋c )d x ＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋cx ⎪⎪⎪10＝13a ＋c ＝ax 20＋c ，∴a 3＝ax 20，∵a ≠0，∴x 20＝13，又0≤x 0≤1，∴x 0＝33.故填33. 10.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0.若f [f (1)]＝1，则a ＝ .答案 1解析 因为x ＝1>0，所以f (1)＝lg 1＝0.又x ≤0时，f (x )＝x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ＝x ＋t 3⎪⎪⎪a＝x ＋a 3，所以f (0)＝a 3.因为f [f (1)]＝1，所以a 3＝1，解得a ＝1. 三、解答题11.设f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，求f (x )的解析式. 解 ∵f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则 ⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝⎠⎛01ax d x ＋⎠⎛01b d x ＝12a ＋b ＝5， ⎠⎛01xf (x )d x ＝⎠⎛01x (ax ＋b )d x ＝⎠⎛01(ax 2)d x ＋⎠⎛01bx d x ＝13a ＋12b ＝176. 由⎩⎨⎧12a ＋b ＝5，13a ＋12b ＝176，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3.即f (x )＝4x ＋3. 12.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ∈[0，1]，x ，x ∈(1，2]，2x ，x ∈(2，3].求⎠⎛03f (x )d x 的值.解 由积分的性质，知：⎠⎛03f (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＋⎠⎛23f (x )d x＝⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12x d x ＋⎠⎛232x d x＝x 44⎪⎪⎪⎪10＋23x 3221⎪⎪＋2x ln 232 ＝14＋432－23＋8ln 2－4ln 2 ＝－512＋432＋4ln 2.13.求定积分⎠⎛－43|x ＋a |d x .解 (1)当－a ≤－4即a ≥4时，原式＝⎠⎛－43(x ＋a )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 22＋ax 3－4＝7a －72. (2)当－4＜－a ＜3即－3＜a ＜4时， 原式＝⎠⎛－4－a [－(x ＋a )]d x ＋⎠⎛－a3 (x ＋a )d x＝⎝⎛⎭⎫－x 22－ax ⎪⎪－a－4＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 22＋ax 3－a ＝a 22－4a ＋8＋⎝⎛⎭⎫a 22＋3a ＋92 ＝a 2－a ＋252.(3)当－a ≥3即a ≤－3时，原式＝⎠⎛－43[－(x ＋a )]d x ＝⎝⎛⎭⎫－x 22－ax ⎪⎪⎪3-4＝－7a ＋72. 综上，得⎠⎛－43|x ＋a |d x ＝⎩⎪⎨⎪⎧7a －72(a ≥4)，a 2－a ＋252(－3＜a ＜4)，－7a ＋72(a ≤－3).。
苏教版高中数学选修2-2：微积分基本定理_课件1(3)
m2 0
(m－
x)dx＝
mx
-
2 3
x
3 2
m2 0
＝m3－23m3＝83，所以
m
＝2.
[题点发散3] 若本例变为：求曲线y＝ x，y＝2－x，y＝－13x所围 成图形的面积．
解：由yy＝＝2－x，x 得交点 A(1,1)．
y＝2－x，
由y＝－13x
由曲线 y＝ x，直线 y＝x－2 及 y 轴所围成的图形的面积为
16 __3___．
[解析] 由 y＝ x及 y＝x－2 可得，x＝4，即两曲线交于点 (4,2)．由定积分的几何意义可知，由 y＝ x及 y＝x－2 及 y 轴所 围成的封闭图形面积为
∫04(
x－x＋2)dx＝
2 3
3
x2
-
(2）1 e2 xdx 1
解（１）∵ (ln x) 1
x
2
1
1 x
dx
ln 2- ln1
ln 2
(2） (- 1 e2x )' e2x
2
1 e2xdx e2 e2
1
2
b a
f
(x)dx
F ( x)
|ba
F (b)
F (a)
例 ．计算下列定积分
5
(2)0 (2x 4)dx
解:(1)取 F (x) x3, F ' (x) 3x2
5 3x2dx F (5) F (2) 117 2
找出 f(x)的 原函数 是关健
解:(2)取 F (x) x2 4x, F '(x) 2x 4
5
苏教版高中数学选修2-2要点讲解：微积分基本定理
微积分基本定理自主探究学习1. 微积分基本定理：如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则()()()ba f x dx Fb F a =-⎰. 2. 定积分的性质：()()()()bc b a a c f x dx f x dx f x dx a c b 其中（定积分对积分区间的可加性）名师要点解析要点导学1.微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果，它揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效办法.2.寻找满足()()F x f x 的函数F(x )，一般运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，从反方向上求出F(x ).3. 为了方便起见，还常用()|ba F x 表示()()Fb F a -，即()()|()()bb a a f x dx F x F b F a ==-⎰.该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式.它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁. 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础.【经典例题】【例1】计算下列定积分：2200sin ,sin ,sin xdx xdx xdx ππππ⎰⎰⎰.由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论.【分析】求出sin x 的原函数，利用微积分基本定理求解.然后观察规律.【解】因为'(cos )sin x x -=，所以00sin (cos )|(cos )(cos 0)2xdx x πππ=-=---=⎰，22sin (cos )|(cos 2)(cos )2xdx x ππππππ=-=---=-⎰，2200sin (cos )|(cos 2)(cos 0)0xdx x πππ=-=---=⎰.可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0.( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；( 3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积．【点拨】要注意定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0.【例2】计算下列定积分：（1）3211(2)x dx x -⎰； （2）⎰+2021dx xx . 【分析】根据被积函数的特点，求出其原函数，利用微积分基本定理求解.【解】（1）因为2''211()2,()x x x x ==-，所以3332211111(2)2x dx xdx dx xx -=-⎰⎰⎰ 233111122||(91)(1)33x x =+=-+-=. （2）)1()1(211221220202x d x dx x x ++=+-⎰⎰151221202-=+⋅=x .【点拨】把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，寻找满足()()F x f x 的函数F(x )，一般运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，从反方向上求出F(x ).。
高二-数学-选修2-2--定积分与微积分基本定理
定积分与微积分基本定理教学重点：定积分的概念、定积分的几何意义．求简单的定积分,微积分基本定理的应用教学难点：定积分的概念、求曲边图形面积．一．定积分的概念回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程等问题的解决方法，这几个问题都有什么共同点呢？分割→以直代曲→求和→取极限（逼近一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，分割 用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=）， 以直代曲 在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=L ，每份小曲边梯形的面积近似为()i f x ξ∆ 求和：11()()nnn i i i i b aS f x f nξξ==-=∆=∑∑取极限 如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。
记为：()baS f x dx =⎰其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。
思考 定积分()baf x dx ⎰是一个常数还是个函数？即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()baf x dx ⎰，而不是n S ．常见定积分 曲边图形面积：()baS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功 ()baW F r dr=⎰理解 本来 面积=底⨯高 路程=速度⨯时间 功=力⨯位移因为都是不规则的，所以都用先分割，再以直代曲，这样就可以相乘了，再求和 ，再取极限。
二．定积分的几何性质 定积分()baf x dx ⎰表示由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积，。
高中数学选修系列2选修2-2《微积分学基本定理定积分计算》教案
§5 微积分学基本定理•定积分计算（续）教学目的：熟练掌握微积分学基本定理及定积分的换元与分部积分法。
重点难点：重点为微积分基本定理,难点为泰勒公式的积分型余项。
教学方法：讲练结合。
本节要在定积分形式下证明连续函数必定存在原函数. 一 变限积分与原函数的存在性设f 在[]b a ,上可积，根据定积分的性质4，对任何[]b a x ,∈，f 在[]x a ,上也可积.于是，由 ()(),dt t f x xa⎰=Φ[]b a x ,∈ （1）定义了一个以积分上限为自变量的函数，称为变上限的定积分.类似可定义变下限的定积分： ()(),dt t f x bx⎰=ψ[]b a x ,∈. （2）Φ与ψ统称为变限积分.注意，在变限积分（1）与（2）中，不可再把积分变量x 写成()dx x f xa⎰，以免与积分上、下限的x 相混淆.变限积分所定义的函数有着重要的性质．由于()(),dt t f dt t f bxbx⎰⎰-=因此下面只讨论变上限积分的情形．定理9．9 若f 在[]b a ,上可积，则由(1)式所定义的函数Φ在[]b a ,上连续． 证 对[]b a ,上任一确定的点x ，只要[]b a x x ,∈∆+，按定义式(1)有 ()()().dt t f dt t f dt t f xx xx axx a⎰⎰⎰∆+∆+=-=∆Φ因f 在[]b a ,上有界，可设()[]b a t M t f ,,∈≤．于是，当0>∆x 时有 ()();x M dt t f dt t f xx xxx x∆≤≤=∆Φ⎰⎰∆+∆+当0<∆x 时则有x M ∆≤∆Φ．由此得到 ,0lim 0=∆Φ→∆x即证得Φ在点x 连续．由x 的任意性，Φ在[]b a ,上处处连续． 口定理9．10 (原函数存在定理) 若f 在[]b a ,上连续，则由(1)式所定义的函数Φ在[]b a ,上处处可导，且()()()[].,,b a x x f dt t f dxd x xa ∈==Φ'⎰ （3）证 对[]b a ,上任一确定的x ，当0≠∆x 且[]b a x x ,∈∆+时，按定义式（1）和积分第一中值定理，有()().10,1≤≤∆+=∆=∆∆Φ⎰∆+θθx x f dt t f xx xx x 由于f 在点x 连续，故有 ()()().lim lim0x f x x f x x x x =∆+=∆∆Φ=Φ'→∆→∆θ由x 在[]b a ,上的任意性，证得Φ是f 在[]b a ,上的一个原函数． 口本定理沟通了导数和定积分这两个从表面看去似不相干的概念之间的内在联系；同时也证明了“连续函数必有原函数”这一基本结论，并以积分形式给出了f 的一个原函数．正因为定理9．10的重要作用而被誉为微积分学基本定理．此外，又因f 的任意两个原函数只能相差一个常数，所以当f 为连续函数时，它的任一原函数F 必满足 ()().C dt t f x F xa+=⎰若在此式中令a x =，得到()a F C =，从而有()).()(a F x F dt t f xa-=⎰再令b x =,有()).()(a F x F dt t f ba-=⎰这是牛顿-莱布尼茨公式的又一证明.定理9．11 (积分第二中值定理) 设函数f 在[]b a ,上可积. (ⅰ)若函数g 在[]b a ,上减,且()0≥x g ,则存在 []b a ,∈ξ,使()()()()dx x f a g dx x g x f ab a⎰⎰=ξ(ⅱ)若函数g 在[]b a ,上增,且()0≥x g ,则存在 []b a ,∈η,使()()()()dx x f b g dx x g x f bba⎰⎰=η推论 设函数f 在[]b a ,上可积, 若函数g 为单调函数,则存在[]b a ,∈ξ,使()()=⎰dx x g x f ba()()()()dx x f b g x f a g ba⎰⎰+ξξ积分第二中值定理以及它的推论是今后建立反常积分收敛判别法的工具．二 换元积分法与分部积分法定理9．12 (定积分换元积分法) 若函数f 在[]b a ,上连续，ϕ在[]βα,上连续可微，且满足 ()()()[]βαϕϕϕ,,,,∈≤≤==t b t a b b a a ，则有定积分换元公式：()()()()dt t t f dx x f b aϕϕβα'=⎰⎰ （9）证 由于(9)式两边的被积函数都是连续函数，因此它们的原函数都存在．设F 是f 在[]b a ,上的一个原函数，由复合函数微分法()()()()()()()()t t f t t F t F dtdϕϕϕϕϕ'=''= 可见()()t F ϕ是()()()t t f ϕϕ'的一个原函数．根据牛顿一莱布尼茨公式，证得()()()()()()()a F F dt t t f ϕβϕϕϕβα-='⎰()()()dx x f a F b F ba ⎰=-=从以上证明看到，在用换元法计算定积分时，一旦得到了用新变量表示的原函数后，不必作变量还原，而只要用新的积分限代人并求其差值就可以了．这就是定积分换元积分法与不定积分换元积分法的区别，这一区别的原因在于不定积分所求的是被积函数的原函数，理应保留与原来相同的自变量；而定积分的计算结果是一个确定的数，如果(9)式一边的定积分计算出来了，那么另一边的定积分自然也求得了.注 如果在定理9．12的条件中只假定f 为可积函数，但还要求ϕ是单调的，那么（9）式仍然成立.（本节习题第14题）例 计算.112dx x ⎰-解 令t x sin =，当t 由0变到2π时，x 由0增到1，故取[].2,0,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=πβα应用公式(9)，并注意到在第一象限中0cos ≥t ，则有tdt tdt t dx x ⎰⎰⎰=-=-20220212cos cos sin 11ππ()2202sin 21212cos 121ππ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⎰t t dt t.4π=例2 计算⎰22.cos sin πtdt t解 逆向使用公式(9)，令,sin ,cos tdt dx t x -==当t 由0变到2π时，x 由1减到0，则有.31cos sin 102200122⎰⎰⎰==-=dx x dx x tdt t π例3计算().11ln 102dx x x J ⎰++=解 令t x tan =，当t 从0变到4π时，x 从0增到1.于是由公式（9）及21x dx dt +=得到()dt ttt dt t J ⎰⎰+=+=404cos sin cos lntan 1ln ππdt tt ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-=40cos 4cos 2lnππ.cos ln 4cos ln 2ln 404040dt t dt t dt ⎰⎰⎰-⎪⎭⎫⎝⎛-+=ππππ对最末第二个定积分作变换t u -=4π，有dt t ⎰⎪⎭⎫⎝⎛-404cos ln ππ()⎰⎰=-=4004,cos ln cos ln ππudu du u它与上面第三个定积分相消．故得.2ln 82ln 40ππ==⎰dt J事实上，例3中的被积函数的原函数虽然存在，但难以用初等函数来表示，因此无法直接使用牛顿一莱布尼茨公式．可是像上面那样，利用定积分的性质和换元公式(9)，消去了其中无法求出原函数的部分，最终得出这个定积分的值．换元积分法还可用来证明一些特殊的积分性质，如本节习题中的第5，6，7等题． 定理9.13 (定积分分部积分法)若()()x v x u ,为[]b a ,上的连续可微函数，则有定积分分部积分公式：()()()()()().dx x v x u x v x u dx x v x u baba ba⎰⎰'-=' （10）证 因为uv 是v u v u '+'在[]b a ,上的一个原函数，所以有()()dx x v x u ba'⎰+()()dx x v x u b a⎰'()()()()[]dx x v x u x v x u ba⎰'+'==()()ba x v x u .移项后即为(10)式．为方便起见，公式(10)允许写成()()=⎰x dv x u b a=()()bax v x u ()().x du x v ba⎰- （01'）例4 计算.ln 12xdx x e⎰解()⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎰⎰⎰dx x x x x xd xdx x e e e e12131312ln 31ln 31ln ().129131313133+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=e x e e例5 计算dx x n ⎰2sin π和.,2,1,cos 20Λ=⎰n xdx n π解 当2≥n 时，用分部积分求得()⎰⎰---+-==202220120cos sin 1cos sinsin πππxdx x n xx xdx J n n n n()()xdx n xdx n n n ⎰⎰---=-20202sin 1sin1ππ()().112n n J n J n ---=-移项整理后得到递推公式：.2,12≥-=-n J nn J n n 由于,1sin ,2201200=⎰==⎰=xdx J dx J πππ重复应用递推式(11)便得()()()()⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫+=⋅--⋅+=⋅-=⋅--⋅-=+.!!12!!21321222122,2!!2!!122212232212122m m m m m m J m m m m m m J m m ΛΛππ ()12 令t x -=2π，可得.sin 2cos cos 200220xdx dt t xdx n nnππππ⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰-=⎰因而这两个定积分是等值的．由例5结论(12)可导出著名的沃利斯(Wallis)公式：()().121!!12!!2lim 22+⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∞→m m m m π()13 事实上，由,sin 2cos sin 1220021220xdx dt t xdx m n n -+⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰<⎰ππππ 把(12)代人，得到()()()()()(),!!12!!222!!2!!12!!12!!2--<⋅-<-m m m m m m π由此又得()()()().21!!12!!22121!!12!!222m m B m m m m m m A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-<<+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=π 因为()()()(),02211221!!12!!22∞→→⋅<+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-<m m m m m m A B o m m π所以().0lim =-∞→m m m A B 而,2m m m A B A -<-π故得2lim π=∞→m m A （即()13式）.三 泰勒公式的积分型余项若在[]b a ,上()x u 、()x v 有1+n 阶连续导函数，则有()()()()()()()()()Λ+'-=⎰-+x v x u x v x u dx x vx u n n n b a 11[ ()()()()()()()()dx x v x u x v x u n ban b a n n111]1++⎰-+-+().,2,1Λ=n ()14 这是推广的分部积分公式，读者不难用数学归纳法加以证明．下面应用公式()14 导出泰勒公式的积分型余项.设函数f 在点0x 的某邻域()0x U 内有1+n 阶连续导函数．令∈x ()0x U ，()()nt x t u -=，()()t f t v =，[]x x t ,0∈（或[]0,,x x ）．利用(14)式得()()()()()()()()()Λ+-+-=-⎰--+t f t x n t f t x dt t ft x n n n nn nx x 111[0()()dt t f t f n xx xx ⋅⎰++0]!00()()()()Λ+-'+-=000[!!x x x f x f n x f n()()()]!00n n x x n x f -+()x R n n !=，其中()x R n 即为泰勒公式的n 阶余项．由此求得()()()()dt t x t f n x R n n x x n -⎰=+10!1， ()15这就是泰勒公式的积分型余项． 由于()()t fn 1+连续，()n t x -在[][]()00,,x x x x 或上保持同号，因此由推广的积分第一中值定理，可将()15式写作()()()()dt t x f n x R nx x n n -⎰=+01!1ξ ()()()()101!11++-+=n n x x f n ξ，其中()10,00≤≤-+=θθξx x x ．这就是以前所熟悉的拉格朗日型余项． 如果直接用积分第一中值定理于(15)，则得()()()()()01!1x x x fn x R n n n --=+ξξ， ()10,00≤≤-+=θθξx x x . 由于()()()[]()0000x x x x x x x x x n n ----=--θξ()()101+--=n nx x θ因此又可进一步把()x R n 改写为()x R n ()()()()(),1!110001++---+=n n n x x x x x fn θθ .10≤≤θ （16）特别当00=x 时，又有 ()x R n ()()().10,1!111≤≤-=++θθθn n n x x fn （17） 公式（16）、（17）称为泰勒公式的柯西型余项.各种形式的泰勒公式余项，将在第十四章里显示它们的功用.作业:2,3,4(1),(6)(9)。
2018年苏教版数学选修2-2学业分层测评10 微积分基本定理
学业分层测评(十)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝________. 【解析】 ∵f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，∴⎠⎛01f (x )d x ＝－13. 【答案】 －132.⎠⎛0π(cos x ＋1)d x ＝________. 【导学号：01580026】【解析】 ∵(sin x ＋x )′＝cos x ＋1，∴⎠⎛0π(cos x ＋1)d x ＝(sin x ＋x ) |π0 ＝(sin π＋π)－(sin 0＋0)＝π.【答案】 π3．将曲边y ＝e x ，x ＝0，x ＝2，y ＝0所围成的图形面积写成定积分的形式________．【答案】 ⎠⎛02e x d x 4．定积分⎠⎛233t d x (t 为大于0的常数)的几何意义是________． 【答案】 由直线y ＝3t ，x ＝2，x ＝3，y ＝0所围成的矩形的面积．5．由曲线y ＝x 2－4，直线x ＝0，x ＝4和x 轴围成的封闭图形的面积(如图1-5-3)是________．(写成定积分形式)图1-5-3【答案】 ⎠⎛04()x 2－4d x 6．设a ＝⎠⎛01x d x ，b ＝⎠⎛01x 2d x ，c ＝⎠⎛01x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系是________． 【解析】 根据定积分的几何意义，易知⎠⎛01x 3d x <⎠⎛01x 2d x <⎠⎛01x d x ，即a >b >c . 【答案】 a >b >c7．计算定积分⎠⎛－11 4－4x 2d x ＝________. 【解析】 由于⎠⎛－114－4x 2d x ＝2⎠⎛－111－x 2d x 表示单位圆的面积π， 所以⎠⎛－114－4x 2d x ＝π. 【答案】 π8．如图1-5-4由曲线y ＝2－x 2，直线y ＝x 及x 轴所围成的封闭图形(图中的阴影部分)的面积是________．图1-5-4【解析】 把阴影部分分成两部分(y 轴左侧部分和右侧部分)求面积．＝22－(2)33＋2－13－12＝423＋76.【答案】 423＋76二、解答题9．计算下列定积分．(1)⎠⎛121x (x ＋1)d x ；【解】 (1)∵⎠⎛121x (x ＋1)d x ＝⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x ＋1d x ＝[ln x －ln (x ＋1)]| 21＝ln 43.10．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，f (1)＝4，f ′(1)＝1，⎠⎛01f (x )d x ＝196，求f (x )． 【解】 因为f (1)＝4，所以a ＋b ＋c ＝4，① f ′(x )＝2ax ＋b ，因为f ′(1)＝1，所以2a ＋b ＝1，②⎠⎛01f (x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋12bx 2＋cx | 10 ＝13a ＋12b ＋c ＝196，③由①②③可得a ＝－1，b ＝3，c ＝2.所以f (x )＝－x 2＋3x ＋2.[能力提升]1．设f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈(1，2]，则⎠⎛02f (x )d x ＝________. 【解析】 ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x ＝13x 3 |10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 2 |21＝56. 【答案】 562． f (x )＝sin x ＋cos x ，【解析】＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π2＋sin π2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2 ＝sin π2＋sin π2＝1＋1＝2.【答案】 23．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋⎠⎛0a 3t 2dt ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝__________. 【解析】 因为f (1)＝lg 1＝0，且⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3|a 0＝a 3－03＝a 3， 所以f (0)＝0＋a 3＝1，所以a ＝1.【答案】 14．计算：⎠⎛－22 (2|x |＋1)d x ＝__________. 【解析】 ⎠⎛－22 (2|x |＋1)d x ＝⎠⎛－20 (－2x ＋1)d x ＋ ⎠⎛02(2x ＋1)d x ＝(－x 2＋x )|0－2＋(x 2＋x )|20＝－(－4－2)＋(4＋2)＝12.【答案】 125．已知f (x )＝⎠⎛－ax (12t ＋4a )d t ，F (a )＝⎠⎛01[f (x )＋3a 2]d x ，求函数F (a )的最小值． 【解】 因为f (x )＝⎠⎛－ax (12t ＋4a )d t ＝(6t 2＋4at )|x －a ＝6x 2＋4ax －(6a 2－4a 2)＝6x 2＋4ax －2a 2， F (a )＝⎠⎛01[f (x )＋3a 2]d x ＝⎠⎛01(6x 2＋4ax ＋a 2)d x ＝(2x 3＋2ax 2＋a 2x )|10＝2＋2a ＋a 2＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1≥1.所以当a ＝－1时，F (a )的最小值为1.。
苏教版高中数学选修2-2《微积分基本定理》教学课件2
1
x2
2
0
sin
xdx
公式3
b a
cos
xdx
sin
x
|ba
sin
b
sin
a
b a
sin
xdx
(
cos
x)
|ba
cos
b
cos
a
练习：
(1) 1(-3t2 + 2)dt _1_____ 0
(2) 2(x + 1)2dx = _2_9_/_6__
1
x
(3) 2(3x2 + 2x -1)dx = __9____ -1
• 1667年他投身外交界，曾到欧洲各国游历。 1676年到汉诺威，任腓特烈公爵顾问及图书馆 的馆长，并常居汉诺威，直到去世。 莱布尼茨的多才多艺在历史上很少有人能和 他相比，他的著作包括数学、历史、语言、生 物、地质、机械、物理、法律、外交等各个方 面。
b a
f
(x)dx
F ( x)
|ba
F (b)
F (a)
例1 计算下列定积分
找出f(x)的原 函数是关健
(1) 5 3x2dx 2
练习：
（1）11dx _1_____ 0
(2) 1 xdx _1_/2____ 0
(3) 1 x2dx _1_/_4___ 0
(4) 2 x3dx _1_5_/4___ -1
公式1:
b xndx xn1 b
a
h2
A
h1
s( a )
O
aa( t0 ) t1 t2 ti1 ti
S2 S1
tn1 b(btn ) t
二、牛顿—莱布尼茨公式
定理 （微积分基本定理）
高中数学选修2-2 北师大版 微积分基本定理 课时作业(含答案)
2015-2016学年高中数学 第4章 2微积分基本定理课时作业 北师大版选修2-2一、选择题1．⎠⎜⎜⎛－π2π2 (1＋cos x )d x 等于( ) A ．π B ．2 C ．π－2 D ．π＋2[答案] D[分析] 利用微积分基本定理求定积分．[解析]⎠⎜⎜⎛－π2π2 (1＋cos x )d x ＝(x ＋sin x )⎪⎪⎪⎪π2 －π2＝(π2＋sin π2)－[－π2＋sin(－π2)]＝π＋2，故选D.2．(2014·昆明一中模拟)曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴所围成图形的面积为( ) A ．1 B ．2 C ．π2D ．π[答案] B[解析] ⎠⎛0πsin x d x ＝(－cos x )|π0＝－cos π＋cos0＝2.3．若⎠⎛1a (2x ＋1x)d x ＝3＋ln2，则a 的值是( )A ．6B ．4C ．3D ．2[答案] D[解析] ⎠⎛1a (2x ＋1x )d x ＝⎠⎛1a 2x d x ＋⎠⎛1a 1xd x＝x 2|a 1＋ln x |a 1＝a 2－1＋ln a ＝3＋ln2. ∴a ＝2.4．(2014·山东理，6)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A ．2 2B ．4 2C ．2D ．4[答案] D [解析] 如图所示⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x y ＝x3∴第一象限的交点坐标为(2,8) 由定积分的几何意义：S ＝⎠⎛02(4x －x 3)dx＝(2x 2－x 44)|20＝8－4＝4.求曲边图形的面积通常是应用定积分计算．5．(2014·大连模拟)已知f (x )为偶函数且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛－66f (x )d x 等于( )A ．0B ．4C ．8D ．16[答案] D[解析] 因为f (x )为偶函数，图像关于y 轴对称，所以⎠⎛－66f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝8×2＝16.二、填空题6．若⎠⎛0T x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．[答案] 3[解析] 由⎠⎛0T x 2dx ＝x 33|T0＝T 33＝9，解得T ＝3.7．已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛－11f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.。
微积分基本定理作业 2017-2018学年高中数学 苏教版 选修2-2
1.5.3 微积分基本定理5分钟训练 （预习类训练，可用于课前）1.下列各式中，正确的是（ ）A.⎰b af '(x)dx=f′(b)-f′(a) B.⎰ba f '(x)dx=f′(a)-f′(b) C.⎰b a f '(x)dx=f(b)-f(a) D.⎰ba f '(x)dx=f(a)-f(b) 答案：C2.⎰102dx x 等于（ ） A.0 B.31 C.31x 3 D.2x 答案：B3.⎰+π0)1(cos x dx 等于（ ）A.1B.0C.π+1D.π 答案：D4.如果⎰10)(x f dx=1,⎰20)(x f dx=-1,则⎰21)(x f dx=_____________. 答案：-210分钟训练 （强化类训练，可用于课中）1.若⎰+axx 1)12(dx=3+ln2，则a 的值是（ ） A.6 B.4 C.3 D.2 答案：D解析:⎰+ax x 1)12(dx=dx+⎰a x 12dx+⎰a x 11dx=x 2a1+lnx a1=a 2-1+lna=3+ln2, ∴a=2. 2.⎰-21)21(x xdx 的值为（ ） A.ln2-3 B.ln2+3 C.-ln2-3 D.ln2-5 答案：A 3.⎰--1121x dx 等于（ ） A.4π B.2π C.π D.2π 答案：B解析:利用定积分的几何意义.设y=21x -,则x 2+y 2=1(y≥0). ∴⎰--1121x dx 表示由曲线y=21x -在［-1,1］上的一段与坐标轴所围成的面积,即上半圆的面积.∴⎰--1121x dx=2π. 4.已知⎰--a a x )12(dx=-8,则a=_____________. 解析：⎰--a a x )12(x=⎰-a a xdx 2⎰--a a dx =a a x -2-x aa - =-2a.由-2a=-8，得a=4.答案：45.求⎰+-π0)23sin 2(x e x dx. 解:⎰+-π0)23sin 2(x e x dx =⎰π2sin 2x dx-⎰π03x e dx+⎰π02dx =-2cosx π0-3e x π0+2x π0 =7+2π-3e π.30分钟训练 （巩固类训练，可用于课后） 1.⎰-20)cos (sin πx x dx 等于（ ） A.0 B.1 C.2 D.2π 答案：A解析:⎰-20)cos (sin πx x (sinx-cosx)dx =⎰⎰-2020cos sin ππxdx xdx =-cosx 20π--sinx 20π=1-1=0.2.m=⎰10x e dx 与n=⎰e x11dx 的大小关系是（ ） A.m>n B.m<n C.m=n D.无法确定 答案：A解析:m=⎰10x e dx=e x 10=e-1, n=⎰ex11dx=lnx e 1=1,则m>n. 3.f(x)是一次函数，且⎰10)(x f dx=5,⎰10)(x xf dx=617,那么f(x)的解析式是（ ） A.4x+3 B.3x+4 C.-4x+2 D.-3x+4 答案：A解析:设f(x)=ax+b(a≠0),则⎰+10)(b ax dx+⎰10ax dx=21ax 210+bx 10=21a+b=5; ⎰+10)(b ax x dx=⎰+102)(bx ax dx=31ax 310+21bx 210=31a+21b=617,所以由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+6172131,521b a b a 解得a=4,b=3,故f(x)=4x+3. 4.曲线y=e x 在点(2,e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) A.49e 2 B.2e 2 C.e 2 D.22e 答案：D解析:y′=e x ,∴y=e x 在(2,e 2)点的导数为e 2,∴y=e x 在(2,e 2)的切线方程为y=e 2x-e 2.y=e 2x-e 2与x 轴、y 轴的交点分别为(1,0)和(0,-e 2), ∴S=21×1×e 2=22e . 5.⎰-102)2(k x dx=1,则k=_____________.解析:⎰-102)2(k x dx=⎰102x dx-⎰102k dx=31x 310-2kx 10=31-2k.由31-2k=1,得k=31-. 答案:31- 6.设f(x)是奇函数，求⎰-aa x f )(dx.解:设y=f(x),则由f(x)是奇函数,知y=f(x)的图象是关于坐标原点对称的.由定积分的几何意义知：当对应的曲边梯形面积在x 轴上方部分等于x 轴下方部分时，定积分的值为0.∴⎰-aa x f )(dx=0.7.求⎰-aa x 2dx(a>0).解:由2x =⎩⎨⎧<-≥,0,,0,x x x x 得⎰-a a x 2dx=x xd a ⎰0+⎰--0)(a x dx=21x 2a 021-x 20a --a=a 2. 8.说明下列定积分的符号并计算:(1)⎰-103)1(t dt;(2)⎰-103)1(t dt;(3)⎰-213x dx. 解:(1)大于0.因1-t 3≥0,⎰101dt ∫⎰-103dt t=t 1041-t 410=141-=43. (2)小于0.因t∈［0,1］时,t 3-1≤0,⎰-103)1(t dt=41t 410-t 10 =41-1=43-. (3)大于0.⎰-213x dx=41x 421- =41×2441-×(-1)4=441-=415. 9.设f(x)在［0,1］上连续,试证:⎰20)(sin πx f dx=⎰20)(cos πx f dx. 证明:作变量替换:x=2π-t,则dx=-dt, 且由x∈［0,2π］,得t∈［0，2π］. ∴⎰20)(sin πx f dx=⎰02πf ［sin(2π-t)］(-dt) =-⎰20)(cos πx f =⎰20)(cos πt f dt. ∵定积分与积分变量无关, ∴⎰20)(sin πx f dx=⎰20)(cos πx f dx.。
2018版高中数学苏教版选修2-2学案：1.5.3微积分基本定理
新知探究点点落实(a>0 且a 丰1.5.3微积分基本定理［学习目标】1•直观了解并掌握微积分基本定理的含义2会利用微积分基本定理求函数的积分.问题导学知识点一微积分基本定理(牛顿一莱布尼茨公式)思考 1 已知函数f(x)= 2x+ 1, F(x)= x2+ X,则?J(2x + 1)dx 与F(1) —F(0)有什么关系？思考2 对一个连续函数f(x)来说，是否存在唯一的F(x),使得F' (x)= f(x)?1 .微积分基本定理对于被积函数f(x),如果F' (x)= f(x)，那么？?f(x)dx = ____________ ，即?a F' (x)dx= ______ 知识点二定积分和曲边梯形面积的关系思考定积分与曲边梯形的面积一定相等吗?b x a(7)?a a dx=—(b>a>0).设曲边梯形在x 轴上方的面积为 S上，在x 轴下方的面积为 S 下，则 (1) 当曲边梯形在 (2) 当曲边梯形在⑶当曲边梯形在x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图③，则 ？!f(x)dx = __________ .特别地,若 S 上=S 下，则？f(x)dx = ________题型探究反思与感悟(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数,当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解;(2)被积函数会有绝对值号，可先求函数的零点，结合积分区间、分段求解. 跟踪训练1 (1)计算定积分？—1(X 2+ sin x)dx = 1 + 2x , 0w x < 1,X 2, 1<x w 2,类型二利用定积分求参数例2 ⑴已知2< ?1(kx + l)dx w 4,则实数k 的取值范围为 _______________ .⑵设函数 f(x)= ax 2 + c(a z 0) •若?o f(x)dx = f(x o ), 0< x °w 1，则 x o 的值为 ____________ .反思与感悟(1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提. (2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数 f(x)、积分上限与积分下限、 区间与函数F(x)等概念.2 2(2)?o |1 — x |dx = ________2 ⑶？2X* 2+ X + 1x cos x]dx =重点难点个个击破⑵已知f(x)=求?0f(x)dx.积分x 轴上方时，如图①，则 x 轴下方时，如图②，则跟踪训练 2 (1)已知x€ (0,1] , f(x)= ?°(1 - 2x+ 2t)dt，则f(x)的值域是___________ •⑵已知?)[(3ax+ 1)(x+ b)]dx = 0, a, b€ R，试求ab的取值范围.类型三利用微积分基本定理求面积例3 求由曲线\= x, y= 2-x, y=- °x所围成图形的面积.33.已知 f(x) = ax 2 + bx + c(a 丰 0)，且 f(— 1) = 2, f ' (0) = 0, ?o f(x)dx =— 2.求 a , b , c 的值.回特录91淘傑(www.91 }, iVt 名师箱i#课程—微积分基本定理交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选 x 运算较繁琐，则积分变量可选y ,同时要更换积分上、下限.跟踪训练3 (1)如图，阴影部分由曲线 y = -, y 2= x 与直线x = 2, y = 0所围成，则其面积为X⑵求由曲线y = x 2，直线y = 2x 和y = x 围成的图形的面积.达标检测当堂检测巩固反谯ai1.若？i (2x + -)dx = 3 + In 2，贝U a = ________x反思与感悟两条或定要确定图形范围，通过解方程组求出 回3.已知f(x) = ax2+ bx+ c(a丰 0)，且f(—1) = 2, f' (0) = 0, ?o f(x)dx=—2.求a, b, c 的值.- n4x—2 n 0< x w 2，4.已知f(x)= 计算？o"f(x)dx.ncos x, 2<x w n5.求由曲线y= x，直线y= x—2及y轴所围成的图形的面积.■规律与方法■1.求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性” ，分段积分再求和．(3) 对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x 轴下方的图形面积要取定积分的相反数．提醒：完成作业 1.5.3问题导学 知识点一思考 1 由定积分的几何意义知， ？0(2x + 1)dx = 2x (1 + 3) X 1 = 2, F(1)— F(0)= 2，故？0(2x+ 1)dx = F(1) — F(0).思考2不唯一，根据导数的性质，若F ' (x) = f(x),则对任意实数 C,都有[F(x)+ C]'= F ' (x) + C ' = f(x).1. F(b)— F(a) F(b)— F(a) 知识点二思考 当被积函数f(x)> 0恒成立时，定积分与曲边梯形的面积相等，若被积函数 f(x) >0不恒成立，则不相等. (1)S 上(2) — S 下 (3)S 上— S 下 0 题型探究 例 1 (1)e (2)2(3)4+ In 2 — sin 2 + sin 1解析 (1)?0(2x + e x )dx = (x 2 + e x )|0= (1 + e)— 1 = e. 1 — x 2, 0 w x < 1, ■=2x 2— 1, 1<x < 2.?2|1 — x 2|dx = ?o (1 — x 2)dx + ?1(x 2— 1)dx2 2=(x + x + In x — sin x)h=6 + In 2 — sin 2— (2 — sin 1) =4 + In 2 — sin 2+ sin 1.2 跟踪训练1(1)3答案精析(2)|1 — x 2| =2 7 =3+3—1=22 2x + x + 1 x=?2(2x + 1 +1 - cos x)dxx2⑶？—cos x]dx•(OO 十二n_2 /——)<B芝芝 q;更•L A qe ^o w q e e s O A (L ——qe6)(L——q e )e0mL+qe0LJ(qe)6品寸A z (卜厂L十ceg・qe寸A q e CXI +zq十洛Hz(qo H q + (L +q e e )ICN +eT-o一Xq+J L+qee)*+exexp-q+x ( l+qee)十S2K Hxp_(q+x)(L+xesws s丈ICH(CXIO (L )CXI^s s 呀H o x .・ l vo x V o ...6 +o x en (0X)4xp(o+xe)wH x p (x )^sCXI W M w l a e寸WL +M 5I o W XI 「x +空“”XP(L 十空)g (L )准匯 L r H H+ ^HCL 卜x lr +0-(X +X Tx p (x =&s s例3解画出图形，如图所示.x +y =2,所以 S = ?0[ x - (- ^x)]dx + ?3[(2 - x) - ( - §x)]dx =?0( x + £x)dx + ?3(2 — x +£x)dx=(fx|+ 6x 2)|0+ (2x — 2x 2 + 6x 2)|12 1 1 2 3=3+1+ (2x - 1x)|1=6+ 6 - A 9-2 +1=煤2跟踪训练3 (1)2- + In 2 3(2)解 由题意，三条曲线围成的面积如图阴影所示.故所求的面积 S = ?J (2x - x)dx + 瞬(2x — x 2)dx 解方程组y = x ， |x + y = 2, y = x ,y =-3x ，(14) i(Vl) 得交点分别为(1,1),(0,0), (3,- 1),y =x 2, 由 y =x , 和y = x 2,7= 2x ,解出O , A ，B 三点的横坐标分别是0,1,2.1可求得曲线y = .x 与直线y = x — 2的交点为A(4,2).2 I 1+ 3x 2-11 8 1 72—0 +(4—3) —(1 —1)= 7.达标检测3.解•/ f(— 1) = 2, ••• a — b + c = 2,①f ' (x)=2ax +?0f(x)dx = ?o (ax 2 + c)dx =坯'+ cx1=3a + c = — 2,③由①②③可得a = 6, b = 0, c = — 4.4.解？n (x)dx = ；f(x)dx + I f(x)dx■ 0 r n2 (4x — 2 n dx +0 ■ n ?cos xdx ,n2 取 F 1(x) = 2x 2 — 2欣，贝U F 1' (x) = 4x — 2n; 取 F 2(X )= sin x ,贝U F 2' (x)= cos x.所以 »n 2 (4x — 2 n dx +0 n e n cos xdx = (2x 2— 2 n )| 0 n 2n1 2 “ + sin x| n = — 2 n — 1,21 2即？0f(x)dx =— § 冗—1.5.解 如图所示的阴影部分面积即为所求面积,二S 阴=?4( x—x+ 2)dx2.常见的原函数与被积函数关系16(1) ?%dx= Cx|b(C 为常数).b n * 1 n+1b(2) ?a x dx = n +〔X a(n 工一1).b b16(3) ?a Sin xdx =—COS x|a ・b b(4) ?a COS xdx= Sin x|a ・b1 b16⑸？a；dx= ln |x||a(b>a>0).b x ,x,b(6)?a e dx = e |a.类型一定积分的求法16例1 (1)定积分?0(2x + e x)dx的值为 _________ 16。
苏教版数学高二数学苏教版选修2-2自主练习1.5.3微积分基本定理
自主广场我夯基 我达标1.下列各式中，正确的是( )A.⎰b a dx x f )('=f′(b)-f′(a) B.⎰ba dx x f )('=f′(a)-f′(b) C.⎰b a dx x f )('=f(b)-f(a) D.⎰ba dx x f )('=f(a)-f(b) 思路解析：根据微积分基本定理可直接得答案.答案:C2.⎰102dx x 等于( )A.0B.31 C.331x D.2x 思路解析：31)01(31|3133103102=-==⎰x dx x . 答案:B3.⎰+π0)1(cos dx x 等于( )A.1B.0C.π+1D.π 思路解析：ππππππ=+=+=+⎰⎰⎰00000||)(sin cos )1(cos x x dx xdx dx x . 答案:D4.若⎰+adx xx 1)12(=3+ln2，则a 的值是( ) A.6 B.4 C.3 D.2 思路解析：⎰⎰⎰+=+a a a dx x xdx dx x x 11112)12(=2ln 3ln 1|ln |2112+=+-=+a a x x a a . ∴a=2.答案:D5.如果1)(,1)(2010-==⎰⎰dx x f dx x f ,则⎰21)(dx x f =___________. 思路解析：1)()()(211020-=+=⎰⎰⎰dx x f dx x f dx x f . ∴有1+⎰21)(dx x f =-1.∴⎰21)(dx x f =-2. 答案:-26.求⎰edx x11. 思路分析：根据微积分基本定理计算. 解：e e x dx x11|ln 1=⎰=lne-ln1=1-0=1. 我综合 我发展 7.已知f(x)=ax 2+bx+c,且f(-1)=2,f′(0)=0.⎰10)(dx x f =-2,求a 、b 、c 的值.思路分析：本题主要考查了导数、定积分等基本方法以及运算能力.根据条件列出方程组，求出a、b、c的值.解：由f(-1)=2,得a-b+c=2，①∵f′(x)=2ax+b,∴由f′(0)=0得b=0. ②cbacxxbaxdxcbxaxdxxf++=++=++=⎰⎰2131|)231()()(123121.即cba++2131=-2. ③由①、②、③得a=6,b=0,c=-4.8.牛顿—莱布尼茨公式的几何解释.思路分析：课本根据位移公式s=s(t)和速度公式v=v(t)之间的联系作了进一步考查，推导出了微积分基本定理，是对牛顿—莱布尼茨公式的物理解释，仿此可作出几何解释.解：如下图，对于函数y=F(x),分割区间［a,b］.a=x0＜x1＜…＜x n-1＜x n=b.在区间［x i-1,x i］上，由近似公式Δy i≈iixy∆∆·Δx i=F′(x i)Δx i.于是F(b)-F(a)=∑∑==∆≈∆niiiniixxFy11)(';将区间［a,b］无限细分，取极限便得：F(b)-F(a)=lim⎰∑=∆=baniiidxxFxxF)(')('1.9.求下列定积分：(1)⎰+4011dxx;(2)⎰-224dxx.思路分析：(1)为了去掉被积函数中的根式，令x=t,则t∈［0,2］.因为定积分与积分变量的符号无关:dx=2tdt.(2)令x=2sint，这样就会去掉根号，积分上、下限也相应变为［0,2π］.解：(1)令x=t,t∈［0,2］,于是tx+=+1111,dx=dt 2=2tdt.原式=⎰⎰+-+=•+2020)111(2211dt tt tdt t =⎰⎰⎰+-=+-2020201122)111(2dt t dt dt t =)3ln 2(2|)1ln(2|22020-=+-t t .(2)令x=2sint ，这时dx=2costdt 且t ∈［0,2π］, t x 22sin 124-=-=2|cost|=2cost.⎰⎰⎰⎰+=+=•=-202020202)2cos 1(222cos 14cos cos 44πππdt t dt t tdt t dx x 20|)2sin 21(2πt t += =ππ=•22.。
2017-2018学年高中新课标数学人教A版选修2-2课时作业(十二)1.6 微积分基本定理含解析
课时作业(十二）微积分基本定理A组基础巩固1.错误!（cos x＋1)d x等于（)A．1 B．0C．π＋1 D．π解析：错误!（cos x＋1)d x＝（sin x＋x）错误!错误!＝sinπ＋π－0＝π。
答案：D2．设f（x)＝｛x2，x≥0，则错误!－1f(x)d x的值是（）2x，x＜0A. 错误!x2d xB。
错误!2x d xC。
错误!x2d x＋错误!2x d xD。
错误!2x d x＋错误!x2d x解析:错误!f（x）d x＝错误!2x d x＋错误!x2d x.答案：D3．若错误!错误!d x＝3＋ln2，则a的值是（）A．6 B．4C．3 D．2解析：错误!错误!d x＝(x2＋ln x）错误!错误!＝(a2＋ln a)－（1＋ln1)＝(a2－1）＋ln a＝3＋ln2。
∴错误!∴a＝2.答案：D4．若函数f（x）＝x m＋nx的导函数是f′（x)＝2x＋1,则错误!f(－x)d x＝( ）A.错误!B。
错误!C 。
错误!D .错误!解析：∵f(x ）＝x m ＋nx 的导函数是f ′(x)＝2x ＋1，∴f(x ）＝x 2＋x ，∴错误!f （－x)d x ＝错误!（x 2－x)d x＝错误!错误!错误!＝错误!。
答案：A5．若f(x)＝则f(2 012）等于( )A ．1B ．2C 。
错误!D 。
错误!解析：当x ＞0时，f(x)＝f(x －4）,即f （x ＋4)＝f （x ），所以f(x ）的周期为4,所以f （2 012）＝f （0)＝20＋错误!sin 3x 错误!06π＝1＋错误!错误!＝错误!。
故选C 。
答案:C6．已知错误!f （x)d x ＝错误!9x 2d x ，则错误![f(x ）＋6]d x ＝（ )A ．9B ．12C ．15D ．18解析：根据定积分的性质，得错误![f(x)＋6]d x ＝错误!f(x)d x ＋错误!6d x.∵⎠⎜⎜⎛02f(x)d x ＝错误!9x 2d x ＝3x 3｜错误!＝3， ∴错误!［f （x)＋6]d x ＝3＋6×2＝15.答案：C7．已知t ＞0，若⎠⎜⎜⎛0t (2x －2）d x ＝3,则t ＝__________。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中数学 第1章 导数及其应用 1.5.3 微积分基本定理自主练习
苏教版选修2-2
我夯基 我达标
1.下列各式中，正确的是( )
A.
⎰b a dx x f )('=f′(b)-f′(a) B.⎰b a dx x f )('=f′(a)-f′(b) C.⎰
b a dx x f )('=f(b)-f(a) D.⎰b a dx x f )('=f(a)-f(b) 思路解析：根据微积分基本定理可直接得答案. 答案:C 2.⎰1
02dx x 等于( ) A.0 B.
31 C.33
1x D.2x 思路解析：31)01(31|3133103102=-==⎰x dx x . 答案:B
3.⎰+π
0)1(cos dx x 等于( )
A.1
B.0
C.π+1
D.π 思路解析：
ππππππ=+=+=+⎰⎰⎰00000||)(sin cos )1(cos x x dx xdx dx x . 答案:D
4.若⎰+a
dx x
x 1)12(=3+ln2，则a 的值是( ) A.6 B.4 C.3 D.2 思路解析：
⎰⎰⎰+=+a a a dx x xdx dx x x 11112)12(=2ln 3ln 1|ln |2112+=+-=+a a x x a a . ∴a=2.
答案:D
5.如果1)(,1)(201
0-==⎰⎰dx x f dx x f ,则⎰21
)(dx x f =___________. 思路解析：
1)()()(211020-=+=⎰⎰⎰dx x f dx x f dx x f . ∴有1+⎰2
1)(dx x f =-1.∴⎰2
1)(dx x f =-2. 答案:-2
6.求⎰e
dx x
11. 思路分析：根据微积分基本定理计算. 解：e e
x dx x 11
|ln 1=⎰=lne-ln1=1-0=1.
我综合 我发展
7.已知f(x)=ax 2+bx+c,且f(-1)=2,f′(0)=0.⎰1
0)(dx x f =-2,求a 、b 、c 的值.
思路分析：本题主要考查了导数、定积分等基本方法以及运算能力.根据条件列出方程组，
求出a 、b 、c 的值.
解：由f(-1)=2,得a-b+c=2， ①
∵f′(x)=2ax+b,∴由f′(0)=0得b=0. ②
c b a cx x b ax dx c bx ax dx x f ++=++=++=⎰⎰2
131|)231()()(10231021
0. 即c b a ++2131=-2. ③ 由①、②、③得a=6,b=0,c=-4.
8.牛顿—莱布尼茨公式的几何解释.
思路分析：课本根据位移公式s=s(t)和速度公式v=v(t)之间的联系作了进一步考查，推导
出了微积分基本定理，是对牛顿—莱布尼茨公式的物理解释，仿此可作出几何解释.
解：如下图，对于函数y=F(x),分割区间［a,b ］.
a=x 0＜x 1＜…＜x n-1＜x n =b.
在区间［x i-1,x i ］上，由近似公式Δy i ≈i
i x y ∆∆·Δx i =F′(x i )Δx i
.
于是F(b)-F(a)=∑∑==∆≈∆n i i i
n i i x x F y 1
1)('; 将区间［a,b ］无限细分，取极限便得： F(b)-F(a)=lim ⎰∑=∆=b a n i i
i dx x F x x F )(')('1.
9.求下列定积分： (1)⎰+4011
dx x ; (2)⎰-2
024dx x .
思路分析：(1)为了去掉被积函数中的根式，令x =t,则t∈［0,2］.因为定积分与积分变
量的符号无关:dx=2tdt.
(2)令x=2sint ，这样就会去掉根号，积分上、下限也相应变为［0,2π］. 解：(1)令x =t,t∈［0,2］,于是
t
x +=+1111, dx=dt 2=2tdt.
原式=⎰⎰+-+=∙+2020)111(2211dt t
t tdt t =⎰⎰⎰+-=+-2020201122)111(2dt t dt dt t =)3ln 2(2|)1ln(2|22020-=+-t t .
(2)令x=2sint ，这时dx=2costdt 且t∈［0,2
π］, t x 22sin 124-=-=2|cost|=2cost.
⎰⎰⎰⎰+=+=∙=-2020202
02)2cos 1(22
2cos 14cos cos 44πππdt t dt t tdt t dx x 20|)2sin 2
1(2πt t += =ππ=∙
22.。