变量与函数第3课时教案
《变量与函数》教案设计 通榆县第二中学 高亚丽
《变量与函数》第一课时教学设计通榆县第二中学高亚丽【教材分析】本节课是义务教育课程标准人教版数学八年级上册第十四章一次函数《变量与函数》中第一节课的内容。
变量与函数的概念把学生由常量数学引入变量数学，是学生数学认识上的一天飞跃.遵循从具体到抽象、感性到理性的渐进认识规律和以教师为主导、学生为主体的教学原则这一部分对于初中生来说是一块新的领域，但涉及的内容又与生活的实际联系非常密切，可以补充大量的的实例来充实本课，进而吸引学生的学习兴趣，让学生感受数学在生活中可以广泛的应用到，所举的实例也都能在认识函数的时候用到，有助于教师帮助学生在现实情境中，感受函数作为刻画现实世界的模型的意义，为下一节课奠定重要基础。
【学习者特征分析】通榆县第二中学的学生基础较好，求知欲强，思维活跃，有较好的接受能力，学生能够较为有条理的思考.本节课所教授的内容与学生的生活之际和以前学习的知识都有较为密切的联系，所以在教授过程中大可以利用这一特点，让学生举出大量的例子，通过这些例子，让学生积极思考，主动探究，并且与同学间合作发现变量与常量这一事实。
并能从中提出问题、分析问题和解决问题.还要培养一种团队合作精神，提高探索、研究和应用的能力，使学生真正成为数学学习的主人. 【教学目标】知识与技能：1.理解变量、常量的概念以及相互之间的关系。
2.增强对变量的理解。
3.本节课渗透找变量之间的关系，试列简单关系式。
过程与方法：1.通过对问题的讨论引出常量与变量的概念，为学习函数的定义做准备。
2.通过对学生熟悉的几个例子，系统地认识常量与变量，有助于理解相关概念之间的联系与区别。
情感态度价值观：学生通过积极参与课堂上对问题的分析，感受显示生活中函数的普遍性，体会事物之间的相互联系与制约。
【教学重点、难点】重点：变量与常量。
难点：对变量的判断。
【教法与学法】教法上，采用教师引导，学生自主探索、合作交流的教学方式；在学法上，极力倡导了新课程的自主探究、合作交流的学习方法。
19.1.1 变量与函数(第3课时)课件 (新版)新人教版八年级上
请你按下面的问题进行思考： （1）在这个测量过程中，锅中油的温度w 是加热时 间t 的函数吗？
做一做
例2 小明想用最大刻度为100℃的温度计测量食用 油的沸点温度（远高于100℃），显然不能直接测量， 于是他想到了另一种方法，把常温10℃的食用油放在锅 内用煤气灶均匀地加热，开始加热后，每隔10 s 测量一 次油温，共测量了4次，测得的数据如下：
时间t/s 油温w/℃ 0 10 10 25 20 40 30 55
他测量出把油烧沸腾所需要的时间是160 s，这样就 可以确定该食用油的沸点温度．他是怎样计算的呢？ 列表法、解析法
做一做
例2 小明想用最大刻度为100℃的温度计测量食用 油的沸点温度（远高于100℃），显然不能直接测量， 于是他想到了另一种方法，把常温10℃的食用油放在锅 内用煤气灶均匀地加热，开始加热后，每隔10 s 测量一 次油温，共测量了4次，测得的数据如下：
根据刚才问题的思考，你认为函数的自变量可以取 任意值吗？ 在实际问题中，函数的自变量取值范围往往是有限 制的，在限制的范围内，函数才有实际意义；超出这个 范围，函数没有实际意义，我们把这种自变量可以取的 数值范围叫函数的自变量取值范围．
问题2 你能用含自变量的式子表示下列函数，并 说出自变量的取值范围吗？ （1）等腰三角形的面积为12，底边长为 x，底边上 的高为 y，y 随着 x 的变化而变化；
时间t/s 油温w/℃ 0 10 10 25 20 40 30 55
请你按下面的问题进行思考： （2）能写出w 与t 的函数解析式吗？
做一做
例2 小明想用最大刻度为100℃的温度计测量食用 油的沸点温度（远高于100℃），显然不能直接测量， 于是他想到了另一种方法，把常温10℃的食用油放在锅 内用煤气灶均匀地加热，开始加热后，每隔10 s 测量一 次油温，共测量了4次，测得的数据如下：
八年级下数学教案-变量与函数(2)
八年级下数学教案-变量与函数(2) 一、课程目标通过本课程的学习，学生将会达到以下的学习目标：1.掌握变量用字母表示的方法；2.熟练掌握变量在代数式中的应用；3.熟练掌握常量与变量的区别；4.掌握函数的概念以及函数表达式的表示方法；5.掌握函数与变量的关系；二、教学重点和难点重点1.变量表示方法；2.变量在代数式中的应用；3.函数定义与函数表达式。
难点1.理解函数的概念；2.理解函数与变量的关系；3.掌握函数表达式的表示方法。
三、教学步骤1. 导入新知识1.引入变量概念并让学生用字母表示变量；2.让学生举一些例子来解释变量；3.引入常量的概念并让学生解释常量和变量的区别；4.引入函数概念并解释函数的定义。
2. 理解变量在代数式中的应用1.让学生用字母表示式子中的变量；2.让学生举例出一个代数式然后带入数值计算。
3. 函数的定义与表示方法1.解释函数的定义；2.引入函数表达式的表示方法。
4. 函数与变量的关系1.让学生理解函数和变量的关系；2.解释函数表达式中的变量；3.让学生用变量来表示函数表达式。
5. 练习1.带入实际问题，让学生解决问题并运用所学知识。
四、教学方法1.课堂讲授；2.学生练习；3.互动式教学。
五、学习评估1.教师布置作业，让学生运用所学知识解决实际问题；2.在课堂上让学生表现所学知识；3.监测学生在学习过程中的表现。
六、教学资源1.课件PPT；2.试卷模板；3.教学实例。
以上是本节课程的完整教案，希望能够给各位教师在日常教学中提供一些参考。
加强教育良好的教学教案，提高教学效果，使学生受益。
《变量与函数》_刘同华
全国中小学“教学中的互联网搜索”优秀教学案例评选教案设计省份：吉林省临江市学校：临江市光华中学姓名：刘同华通讯地址：吉林省白山市临江市光华中学一、教案背景1，面向学生：□中学□小学2，学科：数学2，课时：13，学生课前准备：一、课前预习了解二、完成导学案二、教学课题：《14.1变量与函数》了解：从具体的事例了解常量、变量的意义．掌握：结合实例，理解函数的概念以及自变量的意义三、教材分析《14.1变量与函数》是义务教育课程标准实验教科书第十四章第一课时的内容。
本章学习的函数内容是将代数与几何结合的枢纽，即是初中学习的重点，也是初中学习的难点，对我们数学学习有着非常重大的意义以及作用。
本节课是本章的第一课，对于本节课起着关键作用，所以本节课设计上让学生精心思考，设计情境激发学生兴趣入手。
让学生感知函数与现实社会的紧密关系，深入理解函数的意义。
四、教学目标1知识技能：了解常量与变量的含义，能分清实例中的常量与变量，了解自变量与函数的意义。
2数学思考：让学生参与变量的发现和函数概念的形成过程，以提高分析问题和解决问题的能力。
3问题解决：引导学生探索实际问题中的数量关系，培养对学习的兴趣和积极参与数学活动的热情。
【教学重、难点】教学重点：正确理解变量、常量和函数的概念教学难点：函数概念的形成过程教学之前向老教师请教本节课的有关信息，并用百度在网上搜索《14.1变量与函数》的相关教学材料，找了很多教案作参考，熟知到教学的重点和难点，确定课堂教学形式和方法。
然后根据课堂教学需要，利用百度图片搜索生活中的例子是学生更加形象的体会函数在生活中的意义，运用多媒体放给学生观看，让学生在发现生活中的轴对称现象；用百度网上搜索下载视频，观察体会案例。
用已知的常识，通过对函数有关知识的体会，来解决实际问题。
五、教学方法鉴于教材特点及初二学生模仿能力较强，选用引导发现教学法。
让学生通过对所举生活实例的体会进一步感知函数的意义以及函数在生活中的作用，在初步感知的基础上学生找一找、说一说身边的函数知识，充分运用多媒体教具学具，让学生根据体会辨析生活中的变常量以及函数。
高数教学设计(共8篇)
高数教学设计〔共8篇〕第1篇：高数教案设计教案设计教材：《高等数学》〔第三版〕上册，第一章函数与极限，第三节函数的极限。
一、方案学时本小节分为两个局部，对于初学者来说有一定的难度，所以也就分为两个学时进展教学。
第一学时：自变量趋于有限值时函数的极限。
第二学时：自变量趋于无穷大时函数的极限。
〔本次教案主要说明第一学时的内容。
〕二、教材处理通过第一节关于函数根本知识的学习，以及高中时已经对函数极限有过一定的学习理解与铺垫，所以就要通过一些根本的例如，来一步步引导学生接触本节的内容，并进一步学习与研究。
来扩展同学们的知识面，并易于承受新内容。
三、教学目的知识和才能目的：1、通过教学过程培养学生的思维才能、运算才能、以及数学创新意识。
让你给同学们积极考虑、敢于提出自己的想法。
2、让同学们掌握一些本节教学中所涉及的技能技巧。
3、通过数学知识为载体，增强学生们的逻辑思维才能，进步学习的兴趣和才能。
传达出数学的人文价值。
四、教学难点和重点1、如何让学生较快的承受新的理念与知识，而改掉以前类似的学习中的定势与习惯性思维。
2、让学生们纯熟的运用书中所涉及的公式与理解一些重要的定理，从而更好的做题。
五、教学设计1、总体思路先通过在黑板上写一些以前学过的相关知识的例题，让同学们到黑板上去做。
然后，对题目做一些变形，就成了本小节所学的知识，此时，就要通过一步步的引导，让同学们呢理解步骤的方法技巧。
最后，就是先要学生们自己总结本节的内容与规律技巧，之后，再告诉同学们本节所需要重点掌握的知识。
2、教学过程〔1〕先让同学们大致看一下本小节内容，对本节内容有一定的理解。
〔4分钟〕设计说明：通过让同学们进展自主学习，对本小节内容有大志的理解，以便于学生更易于承受新知识。
〔2〕通过小例子让大家熟悉并初步认识一下极限的概念。
如：问题：当x无限接近于1的时候，函数f(x)=2x-1的取值。
解析：问题可转化成|f(x)-1|最小取值，因为|f(x)-1|可以无限变小，也就是无限趋近于0，所以当x无限接近于1的时候，函数f(x)=2x-1的取值就是0.〔5分钟〕设计说明：通过引导学生们的思维，带到新的内容，培养学生们的逻辑思维才能以及发撒思维才能。
变量与函数 教学设计
变量与函数教学设计教学设计思想：本节课的主要内容是变量和常量以及函数的概念。
在现实世界中，到处都有变化的量，函数是表达现实世界中数量之间变化规律的一种数学模型。
本节课是用变化的观点研究量，需要学生在解决问题的活动中亲身感受；在对变量有了初步认识的基础上，探索两个变量之间的依赖关系——函数，它是两个变量之间关系的积累和升华，是对问题背景的抽象与概括。
教学目标：知识与技能：知道什么是常量、变量；叙述函数的概念；能确定简单的整式、分式及实际问题中的函数自变量的取值范围。
过程与方法：经历由实际问题抽象出函数模型，感受变量与函数是刻画现实生活中许多变化事物的一种重要的数学工具；学习本节要注意自变量与因变量的意义。
情感态度价值观：通过观察和思考“神州”五号飞船返回过程中的相关记录，意识到知识来源于生活，激发学习兴趣。
教学重点：函数的概念、自变量的取值范围。
教学难点：函数的概念。
教学安排：1课时。
教具：直尺、计算器。
教学过程：一、引入师：大家还记得“神舟”五号飞船嘛，现在我们就那它举一例。
2003年10月15日，我国“神舟”五号载人飞船发射成功。
绕地球飞行14圈后，飞船返回舱于10月16日6时23分顺利返回地面。
下面是“神舟”五号飞船返回舱返回过程中的相关记录：师：看上面的数据，回答下面的问题（1）“神舟”五号飞船返回舱返回地面共用多少分钟？在这段时间里，返回舱的高度共下降了多少米？（2）在这段时间里，飞船返回舱降落的速度最慢？（3）上表中涉及了哪几个量？这几个量的值在这一变化过程中是保持不变还是不断变化？[教学建议]分析“神舟”五号飞船返回舱降落的过程，应在观察表格的基础上先通过自己动手计算、动脑思考完成，然后再通过合作交流形成统一的认识。
引导学生借助计算器列出表格：学生得出结论。
二、讲授新知师：通过上面这个活动，我们知道量可以“取不同的数值”，也可以“保持同一数值”。
看下面的例题：一辆汽车，以90km/h的速度行驶在高速公路上，用t表示它行驶的时间（h），用s表示它行驶过的路程（km）。
14.1变量与函数练习(第三课时)
14.1变量与函数（第三课时）◆随堂检测1、对于一个函数，如果把自变量x和函数y的每对对应值分别作为点的坐标与坐标，在坐标平面内描出相应的点，这些点组成的图形，就是这个函数的。
2、某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校.右图描述了他上学的情景，下列说法中错误．．的是（）A．修车时间为15分钟B．学校离家的距离为2000米C．到达学校时共用时间20分钟D．自行车发生故障时离家距离为1000米3、小明外出散步，从家走了20分钟后到达了一个离家900米的报亭，看了10分钟的报纸然后用了15分钟返回到家．则下列图象能表示小明离家距离与时间关系的是（）4、由于干旱，某水库的蓄水量随时间的增加而直线下降．若该水库的蓄水量V(万米3)与干旱的时间t(天)的关系如图所示，则下列说法正确的是( )．A．干旱开始后，蓄水量每天减少20万米3B．干旱开始后，蓄水量每天增加20万米3C．干旱开始时，蓄水量为200万米3D．干旱第50天时，蓄水量为1 200万米35、（贵州黔东南州）如图，在凯里一中学生耐力测试比赛中，甲、乙两学生测试的路程s（米）与时间t（秒）之间的函数关系的图象分别为折线OABC和线段OD，下列说法正确的是（）A.乙比甲先到终点A．/B．C．D．(分钟)B.乙测试的速度随时间增加而增大C.比赛过程中（除去起点终点）两人相遇两次D.比赛全程甲的测试速度始终比乙的测试速度快下列四个图象中，不表示某一函数图象的是( )．◆课下作业1、如图，一个蓄水桶，60分钟可将一满桶水放干．其中，水位h （cm ）随着放水时间t （分）的变化而变化．放水速度恒定，h 与t 的函数的大致图像为（ ）.2、如图是小明从学校到家里行进的路程S （米）与时间t （分）的函数图象．观察图象，从中得到如下信息：①学校离小明家1000米；②小明用了20分钟到家；③小明前10分钟走了路程的一半；④小明后10分钟比前10分钟走的快，其中正确的有___________（填序号）．ABCD的边上有一动点P沿3、如图，平面直角坐标系中，在边长为1的正方形A B C D A →→→→运动一周，则P 的纵坐标y 与点P 走过的路程s 之间的函数关系用图象表示大致是（ ）4、星期天，小明从家里出发到图书馆去看书，再回到家．他离家的距离y （千米）与时间t （分钟）的关系如图7所示．根据图象回答下列问题： （1）小明家离图书馆的距离是____________千米； （2）小明在图书馆看书的时间为___________小时； （3）小明去图书馆时的速度是______________千米/小时．5、某校部分住校生，放学后到学校锅炉房打水，每人接水2升，他们先同时打开两个放水笼头，后来因故障关闭一个放水笼头．假设前后两人接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，锅炉内的余水量y(升)与接水时间x(分)的函数图象如图．请结合图象，回答下列问题： (1)根据图中信息，请你写出一个结论； (2)问前15位同学接水结束共需要几分钟?(3)小敏说：“今天我们寝室的8位同学去锅炉房连续接完水恰好用了3分钟．”你说可能吗?请说明理由．6、小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A ，再走上坡路到达点B ，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是多少？●体验中考1、如图1，在矩形MNPQ 中，动点R 从点N 出发，沿N →P →Q →M 方向运动至点M 处停止．设点R 运动的路程为x ，MNR △的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则当9x 时，点R 应运动到（ ）A .B .C .D .(分)A ．N 处B ．P 处C ．Q 处D ．M 处2．如图，乌鸦口渴到处找水喝，它看到了一个装有水的瓶子，但水位较低，且瓶口又小，乌鸦喝不着水，沉思一会后，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水。
初二数学最新教案-第17章函数及其图象 精品
第17章函数及其图象17、1 变量与函数第一课时变量与函数教学目标使学生会发现、提出函数的实例，并能分清实例中的常量和变量、自变量与函数，理解函数的定义，能应用方程思想列出实例中的等量关系。
教学过程一、由下列问题导入新课问题l、右图(一)是某日的气温的变化图看图回答：1．这天的6时、10时和14时的气温分别是多少?任意给出这天中的某一时刻，你能否说出这一时刻的气温是多少吗?2．这一天中，最高气温是多少?最低气温是多少?3．这一天中，什么时段的气温在逐渐升高?什么时段的气温在逐渐降低?从图中我们可以看出，随着时间t(时)的变化，相应的气温T(℃)也随之变化。
问题2 一辆汽车以30千米／时的速度行驶，行驶的路程为s千米，行驶的时间为t小时，那么，s与t具有什么关系呢?问题3 设圆柱的底面直径与高h相等，求圆柱体积V的底面半径R的关系．问题4 收音机上的刻度盘的波长和频率分别是用(m)和千赫兹(kHz)为单位二、讲解新课1．常量和变量在上述两个问题中有几个量?分别指出两个问题中的各个量?第1个问题中，有两个变量，一个是时间，另一个是温度，温度随着时间的变化而变化．第2个问题中有路程s，时间t和速度v，这三个量中s和t可以取不同的数值是变量，而速度30千米/时，是保持不变的量是常量．路程随着时间的变化而变化。
第3个问题中的体积V和R是变量，而是常量，体积随着底面半径的变化而变化．第4个问题中的l与频率f是变量．而它们的积等于300000，是常量．常量：在某一变化过程中始终保持不变的量，称为常量．变量：在某一变化过程中可以取不同数值的量叫做变量．2．函数的概念上面的各个问题中，都出现了两个变量，它们相互依赖，密切相关，例如： 在上述的第1个问题中，一天内任意选择一个时刻，都有惟一的温度与之对应，t 是自变量，T 因变量(T 是t 的函数)．在上述的2个问题中，s ＝30t ，给出变量t 的一个值，就可以得到变量s 惟一值与之对应，t 是自变量，s 因变量(s 是t 的函数)。
《函数的概念及其表示》教案完美版
《函数的概念及其表⽰》教案完美版《函数的概念及其表⽰》教案第⼀课时： 1.2.1 函数的概念（⼀）教学要求：通过丰富实例，进⼀步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习⽤集合与对应的语⾔来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作⽤；了解构成函数的要素；能够正确使⽤“区间”的符号表⽰某些集合。
教学重点、难点：理解函数的模型化思想，⽤集合与对应的语⾔来刻画函数。
教学过程：⼀、复习准备：1. 讨论：放学后骑⾃⾏车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？2 .回顾初中函数的定义：在⼀个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每⼀个确定的值，y 都有唯⼀的值与之对应，此时y 是x 的函数，x 是⾃变量，y 是因变量. 表⽰⽅法有：解析法、列表法、图象法.⼆、讲授新课：1.教学函数模型思想及函数概念：①给出三个实例：A .⼀枚炮弹发射，经26秒后落地击中⽬标，射⾼为845⽶，且炮弹距地⾯⾼度h （⽶）与时间t （秒）的变化规律是21305h t t =-.B .近⼏⼗年，⼤⽓层中臭氧迅速减少，因⽽出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞⾯积的变化情况.（见书P16页图）C .国际上常⽤恩格尔系数（⾷物⽀出⾦额÷总⽀出⾦额）反映⼀个国家⼈民⽣活质量的⾼低。
“⼋五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表. （见书P17页表）②讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着这样的对应关系？三个实例有什么共同点？归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集A 中的每⼀个x ，按照某种对应关系f ，在数集B 中都与唯⼀确定的y 和它对应，记作：:f A B →③定义：设A 、B 是⾮空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意⼀个数x ，在集合B 中都有唯⼀确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的⼀个函数（function ），记作：(),y f x x A =∈.其中，x 叫⾃变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）.④讨论：值域与B 的关系？构成函数的三要素？⼀次函数(0)y ax b a =+≠、⼆次函数2(0)y ax bx c a =++≠的定义域与值域？⑤练习：2()23f x x x =-+，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。
19.1.1变量与函数3
第十九章一次函数第三课时函数的图像（1）学习目标1.掌握用描点法画出一些简单函数的图象；2.理解解析法和图象法表示函数关系的相互转换.重点难点1.结合实际问题，经历探索用图象表示函数的过程；2.通过学生自己动手，体会用描点法画函数的图象的步骤.教学过程一、复习引入问题1 在前面，我们曾经从如图所示的气温曲线上获得许多信息，回答了一些问题．现在让我们来回顾一下．你是如何从图上找到各个时刻的气温的？二、探究学习、初步认知1.正方形边长为x，面积为S.(1)S关于x的函数式： ____________，x的取值范围_______。
(2)由函数式填写下表：x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4S(3)在下边的格子上建立适当的直角坐标系(4)把上表格中各对数值所对应的点描在直角坐标系中(5)用平滑的曲线连接这些点，便得到函数的图象。
三、巩固练习、深化理解例1 画出函数y ＝x ＋1的图象． 列表：x y描点，连线：例2 画出函数221x y 的图象． 解 列表：x y描点，连线：四、变式提高、有所领悟1.在所给的直角坐标系中画出函数x y 21=的图象（先填写下表，再描点、连线）．2.画出函数xy 6-=的图象（先填写下表，再描点、然后用光滑曲线顺次连结各点）．（题1） （题2） 五、课堂小结 总结：由函数解析式画函数图象，一般按下列步骤进行： 1.列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；2.描点：以表中对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；3.连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用光滑的曲线连结起来．描出的点越多，图象越精确．有时不能把所有的点都描出，就用光滑的曲线连结画出的点，从而得到函数的近似的图象．六、课后作业1.(1)画出函数y＝2x－1的图象（在－2与2之间，每隔0.5取一个x值，列表；并在直角坐标系中描点画图）．(2)判断下列各有序实数对是不是函数y＝2x－1的自变量x与函数y的一对对应值，如果是，检验一下具有相应坐标的点是否在你所画的函数图象上：(－2.5,－4)，(0.25,－0.5)，(1,3)，(2.5,4)．2.画出下列函数的图像（1）y=2x－1第一步：列表yx第二步：描点第三步：连线题2 题3a) 由y=2x－1图像可以看出，直线从左向右（填“上升”或“下降”），即当x由小变大时，y=2x－1随之；b) 判断点A(－2.5,－4)，B（1，3），C（2.5，4）是否在函数y=2x－1的图像上。
变量与函数教学设计
14.1.1《变量与函数》一．内容和内容解析【教学内容】《14.1变量与函数》是义务教育课程标准实验教科书人教版八年级上册第十四章第一单元，教参建议本单元内容5个课时完成．我们把第1、2、3小节整合为两个课时，第1课时介绍变量与函数的概念，第2课时探索量与量之间的函数关系，并用合适的函数表示方法进行描述，第3课时认识函数图象（“看图说话”），第4、5课时画函数图象．本设计是第1课时，是典型的概念课，引导学生从生活实例中抽象出常量、变量与函数等概念，其中函数的概念是本节核心内容．【教材分析】函数是数学中最重要的基本概念之一，它刻画了现实世界中一类数量关系之间的“特殊对应关系”．方程、不等式、函数是初中数学的核心概念，它们从不同的角度刻画一类数量关系．本节课是函数入门课，首先必须准确认识变量与常量的特征，初步感受到现实世界各种变量之间联系的复杂性，同时感受到数学研究方法的化繁就简，在初中阶段主要研究两个变量之间的特殊对应关系．课本的引例较为丰富，但有些内容学生较为陌生，本设计只选取了其中较为简单的例子．考虑到初中列函数的解析式是一个难点，其本质是用f x表示y，本节课中涉及的列函数解析式不是新的教学内容（将来学的待含x的式子()定系数法才是新的教学内容），也不是本节课能解决的问题，因此把设计的重点放在认识“两个变量间的特殊对应关系：由哪一个变量确定另一变量；唯一确定的含义．”考虑到学生在日常生活中也能接触到函数图象，函数图象较为直观形象，便于学生理解函数的概念，因此把函数图象中的部分内容提前到第1课时．【学情分析】变量与函数的概念把学生由常量数学的学习引入变量数学学习中.“变量与函数”较为抽象，学生初次接触函数的概念，难以理解定义中“唯一确定”的准确含义．另一方面，学生在日常生活中也接触到函数图象、两个变量的关系等生活实例．在本节教学中，试图从学生较为熟悉的现实情景入手，引领学生认识变量和函数的存在和意义，体会变量之间的互相依存关系和变化规律，借助生活实例，认识“由哪一个变量确定另一个变量？唯一确定的含义是什么？”，初步理解函数的概念．二．目标和目标解析【知识目标】（1）基于生活经验，学生初步感知用常量与变量来刻画一些简单的数学问题．能指出具体问题中的常量、变量．（2）借助简单实例，初步理解变量与函数的关系，知道存在一类变量可以用函数方式来刻画．能举出涉及两个变量的实例，并指出由哪一个变量确定另一个变量，这两个变量是否具有函数关系．（3）借助简单实例，初步理解对应的思想，体会函数概念的核心是两个变量之间的特殊对应关系．能判断两个变量间是否具有函数关系．【过程与方法目标】借助简单实例，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体会从生活实例抽象出数学知识的方法，感知现实世界中变量之间联系的复杂性，数学研究从最简单的情形入手，化繁为简.【情感与态度目标】(1)从学生熟悉、感兴趣的实例引入课题，学生初步感知实际生活蕴藏着丰富的数学知识，感知数学是有用、有趣的学科.(2) 借助简单实例，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体验“发现、创造”数学知识的乐趣．【目标解析】函数的概念具有高度的抽象性．学生知道代数式中的字母可以表示数，方程中的未知数求出来后也是一个“已知数”，从“静态”的角度理解字母所表示的数．学生的生活经验中已具备一些朴素的函数关系的实例．学生初次接触两个变量之间的特殊对应关系，教师应根据学生的认知基础，创设丰富的现实情境，使学生在丰富的现实情境中感知变量和函数的存在和意义，认识常量与变量，理解具体实例中两个变量的特殊对应关系，初步理解函数的概念．【变量与函数概念的核心】两个变量间的特殊对应关系：（1）由哪一个变量确定另一个变量；（2）唯一对应关系.【教学重点】借助简单实例，从两个变量间的特殊对应关系抽象出函数的概念．【教学难点】怎样理解“唯一对应”．【教学关键】借助实例，明确由哪一个量的变化引起另一个量的变化，进而指出由哪一个变量确定另一个变量；“唯一对应”是一种特殊的对应关系，包括“一对一”、“多对一”．“一对多”不是函数关系．三、教学问题诊断分析【学生已有的知识结构】学生已学习了实数的加减、乘除、乘方与开方的运算，学习了列代数式及求代数式的值，会列一次方程(组)及解方程组，知道字母可以表示数，方程中的未知数求出来后也是一个“已知数”，从“静态”的角度理解字母所表示的数．学生的生活经验中具有一些朴素的函数实例，依托学生熟悉的生活实例，引导学生认识抽象的函数的概念符合学生的认知规律．【学生学习的困难】学生对“唯一对应关系”的理解是一个难点，特别是没有实例背景的变量间的对应关系．应借助学生熟悉的简单实例明确研究函数的目的，理解变量间的特殊对应关系，初步理解函数的概念．函数关系的本质，是变量与变量之间的特殊对应关系（单值对应）．如果直接研究某个量y有一定困难，我们可以去研究另一个与之有关的量x，而x相对于y 来说，比较容易研究，从而达到研究的目的.这也是一种化繁为简的转化思想．四、教学方法与教学手段学生的学法应以自主探究与合作交流为主．通过小组合作，认识“唯一确定”的准确含义．教法采用师生互动探究式教学．函数概念具有高度的抽象性，借助几何画板形象演示几何图形中量与量之间的函数关系，借助学生熟悉的生活实例，引领学生经历从具体实例中抽象出常量、变量与函数的过程，初步理解抽象的函数概念．五、教学过程导言：1.《名侦探柯南》中有这样一个情景：柯南根据案发现场的脚印，锁定疑犯的身高．你知道其中的道理吗？ 理由：2.我们班中同学A 与职业相扑运动员，谁的饭量大？你能说明理由吗？理由：上述两个问题中都涉及两个量的关系，这一节课我们研究两个量的关系，研究怎样由一个量来确定另一个量．板书课题：两个__量的关系：说明：从学生的生活入手，开门见山，在极短的时间(一两分钟)内指明本节课的学习内容．空格中将来填上变量的“变”字．现实世界中各种量之间的联系纷繁复杂，应向学生说明我们数学的研究方法是化繁就简，本节课只关系注一类简单的问题．（一）概念的引入1.票房收入问题：每张电影票的售价为10元.（1）若一场售出150张电影票，则该场的票房收入是 元；（2）若一场售出205张电影票，则该场的票房收入是 元；（3）若一场售出310张电影票，则该场的票房收入是 元；（4）若一场售出x 张电影票，则该场的票房收入y 元，则 y .思考：（1）票房收入随售出的电影票变化而变化，即y 随 的变化而变化；1.一个__量 另一个__量 体重 饭量 脚印 身高（2）当售出票数x 取定一个确定的值时，对应的票房收入y 的取值是否唯一确定？(例如，当x =150时，y 的取值是唯一、还是有多个值？)答：________________．2．如图，是某班同学一次数学测试中的成绩登记表：这一数学测试中，（1）13号的成绩为______；（2）17号的成绩为______；（3）18号的成绩为______；（4）23号的成绩为______．思考：（1）测试成绩随________的变化而变化；（2）任意确定一个学号x ，对应的成绩f 的取值是否唯一确定？(例如，当学号x =13时，所得成绩f 的取值是唯一、还是有多个值？)答：________________．3.温度变化问题：如图一，是抚顺春季某一天的气温Ｔ随时间t 变化的图象，看图回答：（1）这天的8时的气温是℃，14时的气温是 ℃，22时的气温是 ℃；（2）这一天中，最高气温是 ℃，最低气温是 ℃；（3）这一天中，在4时~12时，气温（ ），在12时~14时气温（ ），在16时~24时，气温（ ）.A.持续升高B.持续降低C.持续不变思考：（1）天气温度随 的变化而变化，即T 随 的变化而变化；（2）当时间t 取定一个确定的值时，对应的温度T 的取值是否唯一确定？(例如，当t =12时，所得温度T 的取值是唯一、还是有多个值？)答：________________．设计意图：这三个问题中都含有变量之间的单值对应关系，通过研究这些问题引出常图一量、变量、函数等概念，通过这种从实际问题出发开始讨论的方式，使学生体验从具体到抽象地认识过程.问题的形式有填空、列表、求值、写解析式、读图等，隐含着在函数关系中表示两个变量的对应关系有解析法、列表法、图象法.（二）概念的定义1.上述四个问题中，分别涉及哪些量的关系？通过哪一个量可以确定另一个量？答：票房收入问题中，涉及票价(10元)、售出票数x、票房收入y，票数x的变化会引起票房收入y的变化，如图所示：售出票数票房收入类似的，有：学号x成绩f时间气温在上面的四个问题中，其中一个量的变化引起另一个量的变化（按照某种规律变化），变化的量叫做变量；有些量的值始终不变（例如电影票的单价10元……）．并且当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就随之确定一个值．以气温问题为例，时间的变化引起温度的变化，(1) 当t=0点时，T=2;当t=2点时，T=0;(2) 当t=12点时，T=8;当t=12点1分时，T=8;当t=12点2分时，T=8;…当t=14点时，T=8;情况（1）（2）中，时间取定一个值时，所得T的对应值只有一个（可能是“一对一”，也可能是“多对一”），即通过时间t,能把温度T“唯一确定”.反之，当T=8时，所得t的值为12~14点之间的任一时刻（“多对一”），通过温度T，不能把时间t “唯一确定”.在这个问题中，我们把温度T称为时间t的函数．（但时间t不是温度T的函数，因为通过温度T，不能把时间t “唯一确定”.）一般地，在一个变化过程中：（1）发生变化的量叫做；（2）不变的量叫做；（3）如果有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有的值与之对应，称x是，y是x的；（4）如果当a x =时，b y =，b 叫做当a x =时的函数值.说明：如何把具体的实例进行抽象，形式化为数学知识是本课的关键．这里提出的问题“上述四个问题中，分别涉及哪些量的关系？通过哪一个量可以确定另一个量？”是一个关键的“脚手架”，通过“脚手架”引领学生经历数学概念的形成过程，引导学生认识为什么要引进变量、常量、函数的概念，逐步了解如何给数学概念下定义．问题回顾指出前面三个问题中的涉及到的量，并指出其中的变量、常量、自变量与函数.1.“票房收入问题”中，（1)涉及到的量有 ______________，其中的变量是 ________，常量是____；（2）________是自变量，y 是x 的函数.2.“成绩问题”中，（1)涉及到的量有 ______________，其中的变量是 ________，常量是____；（2）____________是自变量，y 是x 的函数.3.“气温变化问题”，（1)涉及到的量有 ______________，其中的变量是 ________，常量是____；（2）____________是自变量，y 是x 的函数.注意：常量与变量必须依存于一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，关键看它在这个变化过程中是否发生变化．．．．．．. 设计意图：巩固常量、变量、自变量、函数的概念，例1 一个三角形的底边为5，这一边上的高h 可以任意伸缩，三角形的面积s 也随之发生了变化.解：（1）面积s 随h 变化的关系式=s __ ，其中常量是 ，变量是 ，是自变量， 是 的函数；（2）当=h 3时，面积=s ______；（3）当=h 10时，面积=s ______；（4）当高由1变化到5时，面积从____ _变化到_____.例2 如果用r 表示圆的半径，半径r 的变化会引起圆中哪些量发生变化？这些变量是半径r 的函数吗？分析：图二并有2S r π=，S 是r 的函数； 并有2C r π=，C 是r 的函数； 并有2d r =，d 是r 的函数．说明：此两例引导学生体会几何问题中两个变量在动态变化过程中的依存关系，顺便说明字母“π”是常量，但这并不是本节课的核心念．（三）概念巩固1. 购买一些签字笔，单价3元，总价为y 元，签字笔为x 支，根据题意填表：（1）y 随x 变化的关系式=y ， 是自变量， 是 的函数；（2）当购买8支签字笔时，总价为 元.2.周末，小李8时骑自行车从家里出发，到野外郊游，16时回到家里.他离开家后的距离s （千米）与时间t （时）的关系如图所示.（1）当12=t 时，____=s ；当14=t 时，____=s ；（2）小李从______时开始第一次休息，休息时间为____小时，此时离家______千米.图三（3）距离是时间t 的函数吗？（4）***时间是距离的函数吗？设计意图：1.例题和巩固练习，巩固变量与函数等概念，让学生充分体会到许多问题中的变量关系都存在着函数关系，隐含着在函数关系中表示两个变量的对应关系有解析半径 圆直径d 半径圆周长C 半径圆面积法、列表法、图象法.2. 练习二2(4)涉及反函数的知识，不少教师认为超纲不应涉及，本人的实践证明，提出这样的问题更有利于学生理解函数的“单值对应关系”，有利于学生明确“由哪一个量能唯一确定另一个量”，从而更好地理解自变量与函数的关系，更重要的是让学生养成逆向思维的习惯．当然，不宜在反函数的概念上作过多的拓展．（四）概念辨析1.两个变量x、y满足关系式y x，填表并回答问题：x14916yy是x的函数吗？为什么？2.下列各图中，表示y是x的函数的有_________________（可以多选）.理解函数概念把握两点：①由哪一个变量确定另一个变量；②唯一对应关系.设计意图：理解函数概念的核心是“①由哪一个变量确定另一个变量；②唯一对应关系”，给定自变量x的任意一个值就有唯一确定的y的值和它对应，这样的对应可以是“一个自变量对应一个因变量”（简称“一对一”），也可以是“几个自变量对应一个因变量”（简称“多对一”），但不可以是“一个自变量对应多个因变量”（简称“一对多”）.3．你能举出涉及两个变量的例子吗？它们具有函数关系吗？（五）小结设计意图：通过小结，让学生抓住理解函数概念的实质．自变量（确定）函数（值_ 确定）（六）作业1. 行程问题：汽车以60千米/秒的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时.t（时）12345 (10)s（千米）（1）行驶路程随的变化而变化，即s随的变化而变化；（2）当行驶时间t取定一个确定的值时，行驶路程s的取值是否唯一确定？(例如，当t=3时，s的取值是唯一、还是有多个值？)答：________________．2．写出下列问题中的函数解析式，并指出其中的自变量、函数：（1）正方形的面积s与边长x关系式；（2）秀水村的耕地面积是610m2，这个村人均占有耕地面积y随这个村人数n的变化而变化.解：（1）函数解析式：，是自变量，是的函数；（2）函数解析式：，是自变量，是的函数.3. 一年期的存款利率是4%，本金x（元）1002005001000一年到期后所得的利息y（元）（２）本金x元与一年到期后所得的利息y元之间的关系式是___________________；（３）常量是，变量是，其中是自变量，是的函数.4. 小明、爸爸和爷爷同时从家中出发到同一目的地又立即返回.小明去时骑自行车，返回时步行；爷爷去时步行，返回时骑自行车；爸爸往返都步行. 三人的步行速度不等，小明与爷爷骑自行车的速度相等. 下面表示各人行走的路程与时间的关系图中，表示小明的是图( ), 表示爷爷的是图( ), 表示爸爸的是图( ).可编辑5.一辆汽车从甲地开往乙地，开始3小时内以50千米/ 时的速度前进，但因为汽车出现故障，进行维修花去了2小时，接着以75千米/ 时的速度前进，经过2小时到达乙地．（1）请用图象表示汽车行驶的路程与时间的关系．t1234567s（2）路程S和时间t具有函数关系吗？如果具有函数关系，请指出其中的自变量与函数．图四设计理念：变量与函数的概念把学生由常量数学引入变量数学，是学生数学认识上的一天飞跃.因此，设计本课时应根据学生的认识基础，创设在一定历史条件下的现实情境，使学生从中感知到变量函数的存在和意义，体会变量之间的相互依存关系和变化规律.遵循从具体到抽象、感性到理性的渐进认识规律和以教师为主导、学生为主体的教学原则，引导学生探究新知，引导学生在观察、分析后归纳，然后提出注意问题，帮助学生把握概念的本质特征，并在概念的形成过程中培养学生的观察、分析概括和抽象等的能力.同时在引导学生探索变量之间的规律，抽象出函数概念的过程中，要注重学生的过程经历和体验，让学生领悟到现实生活中存在着多姿多彩的数学问题，并能从中提出问题、分析问题和解决问题.还要培养一种团队合作精神，提高探索、研究和应用的能力，使学生真正成为数学学习的主人.精品文档。
人教B版高中数学必修第一册精品课件 第3章 函数 3.1.1 第3课时 函数的表示方法
第3课时 函数的表示方法
内
容
索
引
01
自主预习 新知导学
02
合作探究 释疑解惑
03
随堂练习
课标定位素养阐释
1.了解函数的表示方法.
2.掌握求函数解析式的常见方法.
3.掌握用描点法作函数图象的方法.
自主预习 新知导学
一、函数的表示方法
1.阅读下面的实例并回答问题:
实例1
某物体从高度为44.1 m的空中自由下落,物体下落的距离s(单位:m)
∴f(x)=x2+6x,
∴f(x)的解析式是f(x)=x2+6x.
故选A.
答案:A
3.如图,函数f(x)的图象是曲线OAB,其中点O,A,B的坐标分别为
(0,0),(1,2),(3,1),则f(f(3))的值等于
解析:根据题图知f(3)=1,
故f(f(3))=f(1)=2.
答案:2
.
4.已知f(x)是一次函数,若f(f(x))=4x+8,则f(x)的解析式为
定义
解析法
用代数式(或解析式)表示函数的方法
列表法
用列表的形式给出函数的对应关系
图象法
用函数的图象表示函数的方法
3.(1)设在上述所给的实例2中的函数为f(x),则f(35)=
(2)若函数f(x)=kx+b,f(1)=2,f(2)=0,则f(x)=
解析: (1)观察表格可得结果.
(2)由f(1)=2,f(2)=0,
+ = 2,
得
2 + = 0,
解得
= -2,
= 4,
所以f(x)=-2x+4.
答案:(1)98 (2)-2x+4
2024年北师大版八年级上数学教学工作计划（五篇）
2024年北师大版八年级上数学教学工作计划为了不断提升个人素养和职业能力，本人在职业行为和教学实践中采取了以下措施：在职业道德和理论修养方面，本人致力于深入学习与提高。
通过对教师职业道德规范的深入研究，不断地提升自身的道德水平和政治理论素养；针对新课程改革的理念与理论，积极地学习并努力应用于业务能力提升，从而为教学理念的更新和教学方法的改进奠定了坚实基础。
在遵守工作纪律方面，本人严格要求自己，始终遵循学校规章制度，确保工作秩序和效率。
在师德方面，本人关爱学生，杜绝了体罚和变相体罚的行为，建立了和谐的师生关系，并在学生中树立了良好的榜样。
进一步，为了提升课堂教学的效果，本人在教学常规的各个环节上进行了加强：课前，深入研究教材，掌握重点与难点，同时充分了解学生的学习基础，实现教材与学生的双备；课堂上，运用多样化的教学手段，调动学生的学习兴趣，注重教学质量；课后，及时批改作业，对学习有困难的学生提供额外的辅导，确保教学工作的连贯性和有效性。
本人在教研活动方面也做出了积极的努力，参与了省级和县级的教研课题，撰写了相关教学文档和论文，不断总结和提升教学实践经验，并在课堂教学中实践新的教学理念，推广有效的教学方法，致力于学生全面而持续的发展。
在自我反思与未来规划方面，本人正视存在的问题，比如在期末考试成绩与其他平行班存在差距，进行了深刻的自我反思，并分析了原因：对学生的基础知识训练不足，知识点落实不到位，对学困生的教育缺乏持续性，以及在教学中的投入不够等。
针对这些问题，本人制定了下学期的改进措施：进一步提升对新课程改革的理解，提高课堂教学效率；加强知识点掌握的检查与落实；加强学生的阅读训练和思维拓展；采取有效措施加强学生学习和知识点的训练；强化班级管理和教育，尤其加强与班主任的沟通合作，共同解决班级学风和班风问题。
通过这一系列的努力，本人将持续在教育教学的道路上不断探索和进步，为培养德才兼备的学生贡献自己的力量。
初中数学函数及其表示法教案第三课时
分析 (1)高尔夫球飞行的路线，也就是函数x x y 5
8
512+-=的
图象，用描点法画出图象．在列表时要注意自变量x 的取值范围，因为x 是球飞出的水平距离，所以x 不能取负数．在建立直角坐标系时，横轴（x 轴）表示球飞出的水平距离，纵轴（y 轴）表示球的飞行高度．
(2)高尔夫球的最大飞行高度就是图象上函数值y 取最大值的点，如图点P ，点P 的纵坐标就是高尔夫球的最大飞行高度；球的起点与球进洞点是球飞出的水平距离最小值的点和最大值的点，如图点O 和点A ，点O 和点A 横坐标差的绝对值就是球的起点与洞之间的距离．
解 (1)列表如下：(表中取自变量的值时，应考虑使实际有意义（上述函数自变量取值不能小于0，也不能大于9）；连线时，画出的图象不能超过自变量的限制的区域。
)
在直角坐标系中，描点、连线，便可得到这个函数的大致图象．
(2)高尔夫球的最大飞行高度是3.2 m ，。
5.示范教案(2.2 函数的表示法 第3课时)
第3课时映射导入新课思路1.复习初中常见的对应关系1.对于任何一个实数a,数轴上都有唯一的点P和它对应.2.对于坐标平面内任何一个点A,都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应.3.对于任意一个三角形,都有唯一确定的面积和它对应.4.某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的坐位与它对应.5.函数的概念.我们已经知道,函数是建立在两个非空数集间的一种对应,若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”,按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系,这种对应就叫映射(板书课题).思路2.前面学习了函数的概念是:一般地,设A,B是两个非空数集,如果按照某种对应法则f,对于集合A中的每个元素x,在集合B中都有唯一的元素y和它对应.(1)对于任意一个实数,在数轴上都有唯一的点与之对应.(2)班级里的每一位同学在教室都有唯一的坐位与之对应.(3)对于任意的三角形,都有唯一确定的面积与之对应.那么这些对应又有什么特点呢？这种对应称为映射.引出课题.推进新课新知探究提出问题①给出以下对应关系:图1-2-2-20这三个对应关系有什么共同特点？②像问题①中的对应我们称为映射,请给出映射的定义？③“都有唯一”是什么意思？④函数与映射有什么关系？讨论结果：①集合A、B均为非空集合,并且集合A中的元素在集合B中都有唯一的元素与之对应.②一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B为从集合A 到集合B的一个映射.记作“f:A→B”.如果集合A中的元素x对应集合B中元素y,那么集合A中的元素x叫集合B中元素y的原象,集合B中元素y叫集合A中的元素x的象.③包含两层意思:一是必有一个;二是只有一个,也就是说有且只有一个的意思,即是一对一或多对一.④函数是特殊的映射,映射是函数的推广.应用示例思路11.下列哪些对应是从集合A 到集合B 的映射？(1)A={P|P 是数轴上的点},B=R ,对应关系f:数轴上的点与它所代表的实数对应;(2)A={P|P 是平面直角坐标系中的点},B={(x,y)|x ∈R ,y ∈R },对应关系f:平面直角坐标系中的点与它的坐标对应;(3)A={三角形},B={x|x 是圆},对应关系f:每一个三角形都对应它的内切圆;(4)A={x|x 是新华中学的班级},B={x|x 是新华中学的学生},对应关系f:每一个班级都对应班里的学生.活动：学生思考映射的定义.判断一个对应是否是映射,要紧扣映射的定义. (1)中数轴上的点对应着唯一的实数;(2)中平面直角坐标系中的点对应着唯一的有序实数对; (3)中每一个三角形都有唯一的内切圆;(4)中新华中学的每个班级对应其班内的多个学生. 解：(1)是映射;(2)是映射;(3)是映射;(4)不是映射.新华中学的每个班级对应其班内的多个学生,是一对多,不符合映射的定义. 变式训练1.图1-2-2-21(1),(2),(3),(4)用箭头所标明的A 中元素与B 中元素的对应法则,是不是映射？图1-2-2-21答案：(1)不是;(2)是;(3)是;(4)是.2.在图1-2-2-22中的映射中,A 中元素60°的对应的元素是什么？在A 中的什么元素与B 中元素22对应？图1-2-2-22答案：A 中元素60°的对应的元素是23,在A 中的元素45°与B 中元素22对应. 思路21.下列对应是不是从集合A 到集合B 的映射,为什么？ (1)A=R ,B={x ∈R |x≥0},对应法则是“求平方”;(2)A=R ,B={x ∈R |x>0},对应法则是“求平方”; (3)A={x ∈R |x>0},B=R ,对应法则是“求平方根”;(4)A={平面内的圆},B={平面内的矩形},对应法则是“作圆的内接矩形”. 活动：学生回顾映射的对应,教师适时点拨或提示.判断一个对应是否是映射,关键是确定是否是“一对一”或“多对一”的对应,即集合A 中的任意一个元素,在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应.解：(1)是映射,因为A 中的任何一个元素,在B 中都能找到唯一的元素与之对应. (2)不是从集合A 到集合B 的映射,因为A 中的元素0,在集合B 中没有对应的元素.(3)不是从集合A 到集合B 的映射,因为任何正数的平方根都有两个值,即集合A 中的任何元素,在集合B 中都有两个元素与之对应.(4)不是从集合A 到集合B 的映射.因为一个圆有无穷多个内接矩形,即集合A 中任何一个元素在集合B 中有无穷多个元素与之对应.点评：本题主要考查映射的概念.给定两集合A 、B 及对应法则f,判断是否是从集合A 到集合B 的映射,主要利用映射的定义.用通俗的语言讲:A→B 的对应有“多对一”,“一对一”,“一对多”,前两种对应是A 到B 的映射,而后一种不是A 到B 的映射. 变式训练1.设集合A={a,b,c},集合B=R ,以下对应关系中,一定能建立集合A 到集合B 的映射的是( ) A.对集合A 中的数开平方 B.对集合A 中的数取倒数C.对集合A 中的数取算术平方根D.对集合A 中的数立方分析:当a<0时,对a 开平方或取算术平方根均无意义,则A 、C 错;当a=0时,对a 取倒数无意义,则B 错;由于对任何实数都能立方,并且其立方仅有一个,所以对集合A 中的数立方能建立映射,故选D. 答案：D2.设f:A→B 是A 到B 的一个映射,其中A=B={(x,y)|x,y ∈R },f:(x,y)→(x -y,x+y),求: (1)A 中元素(-1,2)在B 中对应的元素;(2)在A 中什么元素与B 中元素(-1,2)对应？分析:这是一个映射的问题,由于A 中元素(x,y)对应B 中元素为(x-y,x+y),确定了对应法则,转化为解方程组.解：(1)A 中元素(-1,2)在B 中对应的元素为(-1-2,-1+2), 即(-3,1).(2)设A 中元素(x,y)与B 中元素(-1,2)对应, 则⎩⎨⎧=+=2,y x -1,y -x解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.23,21y x所以A 中元素(21,23)与B 中元素(-1,2)对应. 2.2007山东德州二模,理5设映射f:x→-x 2+2x 是实数集R =M 到实数集R =N 的映射,若对于实数p ∈N,在M 中不存在原象,则实数p 的取值范围是( )A.(1,+∞)B.［1,+∞)C.(-∞,1)D.(-∞,1］活动：让学生思考:若对于实数p ∈N,在M 中不存在原象,与函数f(x)=-x 2+2x 有什么关系?若对于实数p ∈N,在M 中不存在原象是指实数p 表示函数f(x)=-x 2+2x 值域中的元素,转化为求函数f(x)=-x 2+2x,x ∈R 的值域.集合M 是函数f(x)=-x 2+2x 的定义域,集合N 是函数f(x)=-x 2+2x 的值域.解：(方法一)由于集合M,N 都是数集,则映射f:x→-x 2+2x 就是函数f(x)=-x 2+2x,其定义域是M=R ,则有值域Q ={y|y≤1} N=R .对于实数p ∈N,在M 中不存在原象, 则实数p 的取值范围是Q=Q={y|y>1},即p 的取值范围是(1,+∞);(方法二)当p=0时,方程-x 2+2x=0有解x=0,2, 即在M 中存在原象0和2, 则p=0不合题意,排除C,D;当p=1时,方程-x 2+2x=1有解x=1, 即在M 中存在原象1, 则p=1不合题意, 排除B. 答案：A点评：本题主要考查映射的概念和函数的值域,以及综合应用知识解决问题的能力.解决本题的关键是转化思想的应用.把映射问题转化为函数的值域问题,进一步转化为求函数的值域在实数集中的补集.其转化的依据是对映射概念的理解以及对函数与映射关系的把握程度. 变式训练设f,g 都是由A 到A 的映射,其对应法则如下表(从上到下):原象 1 2 3 4 象 3 421原象 1 2 3 4 象4312则与f ［g(1)］相同的是( )A.g ［f(1)］B.g ［f(2)］C.g ［f(3)］D.g ［f(4)］ 分析:f(a)表示在对应法则f 下a 对应的象,g(a)表示在对应法则g 下a 对应的象.由表1和表2,得f ［g(1)］=f(4)=1,g ［f(1)］=g(3)=1,g ［f(2)］=g(4)=2,g ［f(3)］=g(2)=3,g ［f(4)］=g(1)=4,则有f ［g(1)］=g ［f(1)］=1, 故选A. 答案：A 知能训练1.下列对应是从集合S 到T 的映射的是( ) A.S=N ,T={-1,1},对应法则是(-1)n ,n ∈SB.S={0,1,4,9},T={-3,-2,-1,0,1,2,3},对应法则是开平方C.S={0,1,2,5},T={21,51},对应法则是取倒数D.S={x|x ∈R },T={y|y ∈R },对应法则是x→y=xx-+11分析:判断映射方法简单地说应考虑A 中的元素是否都可以受f 作用,作用的结果是否一定在B 中,作用的结果是否唯一这三个方面.很明显A 符合定义;B 是一对多的对应;C 命题中的元素0没有象;D 命题集合S 中的元素1也无象. 答案：A2.已知集合M={x|0≤x≤6},P={y|0≤y≤3},则下列对应关系中不能看作从M 到P 的映射的是( ) A.f:x→y=21x B.f:x→y=31x C.f:x→y=x D.f:x→y=61x 分析:选项C 中,集合M 中元素6没有象,其他均是映射.答案：C3.已知集合A=N *,B={a|a=2n-1,n ∈Z },映射f:A→B,使A 中任一元素a 与B 中元素2a-1对应,则与B 中元素17对应的A 中元素是( )A.3B.5C.17D.9 分析:利用对应法则转化为解方程.由题意得2a-1=17,解得a=9. 答案：D4.若映射f:A→B 的象的集合是Y,原象的集合是X,则X 与A 的关系是;Y 与B 的关系是. 分析:根据映射的定义,可知集合A 中的元素必有象且唯一;集合B 中的元素在集合A 中不一定有原象.故象的集合是B 的子集.所以X=A,Y ⊆B. 答案：X=A Y ⊆B5.已知集合M={a,b,c,d},P={x,y,z},则从M 到P 能建立不同映射的个数是.分析:集合M 中有4个元素,集合P 中有3个元素,则从M 到P 能建立34=81个不同的映射. 答案：816.下列对应哪个是集合M 到集合N 的映射？哪个不是映射？为什么？ (1)设M={矩形},N={实数},对应法则f 为矩形到它的面积的对应. (2)设M={实数},N={正实数},对应法则f 为x→||1x . (3)设M={x|0≤x≤100},N={x|0≤x≤100},对应法则f 为开方再乘10. 解：(1)是M 到N 的映射,因为它是一对一的对应.(2)不是映射,因为当x=0时,集合M 中没有元素与之对应. (3)是映射,因为它是一对一的对应.7.设集合A 和B 都是自然数集,映射f:A→B 把A 中的元素n 映射到B 中的元素2n +n,则在映射f 下,A 中的元素_________对应B 中的元素3.( )A.1B.3C.9D.11 分析:对应法则为f:n→2n +n,根据选项验证2n +n=3,可得n=1. 答案：A8.已知集合A={1,2,3,k},B={4,7,a 4,a 2+3a},且a ∈N ,k ∈N ,x ∈A,y ∈B,映射f:A→B,使B 中元素y=3x+1和A 中元素x 对应,求a 及k 的值.分析:先从集合A 和对应法则f 入手,同时考虑集合中元素的互异性.可以分析出此映射必为一一映射,再由3→10,求得a 值,进而求得k 值. 解：∵B 中元素y=3x+1和A 中元素x 对应,∴A 中元素1的象是4;2的象是7;3的象是10,即a 4=10或a 2+3a=10.∵a ∈N ,∴由a 2+3a=10,得a=2. ∵k 的象是a 4, ∴3k+1=16,得k=5. ∴a=2,k=5.9.A={(x,y)|x+y<3,x ∈N ,y ∈N },B={0,1,2},f:(x,y)→x+y,这个对应是否为映射？是否为函数？说明理由.解：是映射,不是函数.由题意得A={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)},显然对于A 中的每一个有序实数对,它们的和是0或1或2,则在B 中都有唯一一个数与它对应,所以是映射,因为集合A 不是数集而是点集,所以不是函数. 拓展提升问题:集合M 中有m 个元素,集合N 中有n 个元素,则从M 到N 能建立多少个不同的映射？ 探究:当m=1,n=1时,从M 到N 能建立1=11个不同的映射; 当m=2,n=1时,从M 到N 能建立1=12个不同的映射; 当m=3,n=1时,从M 到N 能建立1=13个不同的映射; 当m=2,n=2时,从M 到N 能建立4=22个不同的映射; 当m=2,n=3时,从M 到N 能建立9=32个不同的映射.集合M 中有m 个元素,集合N 中有n 个元素,则从M 到N 能建立n m 个不同的映射. 课堂小结本节课学习了:(1)映射的对应是一种特殊的对应,元素之间的对应必须满足“一对一或多对一”. (2)映射由三个部分组成:集合A,集合B 及对应法则f,称为映射的三要素. (3)映射中集合A,B 中的元素可以为任意的. 作业课本P 23练习4. 补充作业:已知下列集合A 到B 的对应,请判断哪些是A 到B 的映射,并说明理由. (1)A=N ,B=Z ,对应法则f 为“取相反数”; (2)A={-1,0,2},B={-1,0,21},对应法则:“取倒数”; (3)A={1,2,3,4,5},B=R ,对应法则:“求平方根”;(4)A={0,1,2,4},B={0,1,4,9,64},对应法则f:a→b=(a -1)2; (5)A=N +,B={0,1},对应法则:除以2所得的余数. 答案：(1)、(2)不是映射,(3)、(4)、(5)是映射.设计感想本节教学设计的内容拓展较深,在实际教学中根据学生实际选取例题和练习.本节重点设计了映射的概念,对于映射来说,只需要掌握概念即可,不要求拓展其内容,以免加重学生的负担,也偏离了课标要求和高考的方向.习题详解(课本P 19练习) 1.(1)要使分式741+x 有意义,需4x+7≠0,即x≠47-.所以这个函数的定义域是(-∞,47-)∪(47-,+∞);(2)要使根式有意义,需1-x≥0,且x+3≥0, 即-3≤x≤1.所以这个函数的定义域是［-3,1］. 2.(1)f(2)=28,f(-2)=-28,f(2)+f(-2)=0;(2)f(a)=3a 3+2a,f(-a)=-3a 3-2a,f(a)+f(-a)=0.3.(1)两个函数的对应法则相同,而表示导弹飞行高度与时间关系的函数y=500x-5x 2是有实际背景的,这里x≥0;函数y=500x-5x 2,x ∈R,这两个函数的定义域不同,故这两个函数不相等. (2)函数g(x)=x 0=1(x≠0)与函数f(x)=1,x ∈R 的对应法则相同,但定义域不同,所以不是相等的函数.已知函数解析式求函数值及不同变量的函数值的关系. (课本P 23练习)1.设矩形一边长为xcm,则另一边长为22x -50=22500x -.由题意,得 y=x 22500x -,x ∈(0,50).2.图(A)与事件(2)、图(B)与事件(3)、图(D)与事件(1)吻合得最好.图(C)可叙述为:我出发后,为了赶时间,加速行驶,走了一段后,发现时间还早,于是放慢了速度. 3.解析:由绝对值的知识,有f(x)=⎩⎨⎧<+-≥-.2,2,2,2x x x x所以,f(x)=|x-2|的图象如下图所示.图1-2-2-234.与A 中元素60°对应的B 中的元素是23;与B 中元素22相对应的A 中的元素是45°. (课本P 24习题1.2)A 组1.(1)(-∞,4)∪(4,+∞). (2)R .(3)要使分式有意义,只需x 2-3x+2≠0,即x≠1,且x≠2, 所以这个函数的定义域是(-∞,1)∪(1,2)∪(2,+∞). (4)要使函数有意义,只需⎩⎨⎧≠≤⇒⎩⎨⎧≠-≥-,1,40104x x x x 即x≤4,且x≠1.所以这个函数的定义域是(-∞,1)∪(1,4］.2.(1)g(x)=xx 2-1=x-1,x≠0,该函数虽然与f(x)的对应关系相同,但是定义域不同,所以f(x)与g(x)不相等.(2)g(x)=(x )4=x 2,x≥0,该函数虽然与f(x)的对应关系相同,但是定义域不同,所以f(x)与g(x)不相等.(3)g(x)=36x=x2,x∈R,该函数与f(x)的对应关系相同,定义域相同,所以f(x)与g(x)相等.3.(1) (2)x∈R,y∈R. x∈(-∞,0)∪(0,+∞),y∈(-∞,0)∪(0,+∞).图1-2-2-24 图1-2-2-25(3) (4)x∈R,y∈R. x∈R,y∈［-2,+∞).图1-2-2-26 图1-2-2-27 -)=8+52,f(-a)=3a2+5a+2,f(a+3)=3a2+13a+14;4.f(2f(a)+f(3)=3a2-5a+16.5.(1)点(3,14)不在f(x)的图象上;(2)f(4)=-3;(3)x=14.6.解析:由韦达定理知1+3=-b,1×3=c,∴b=-4,c=3.∴f(x)=x2-4x+3.∴f(-1)=(-1)2-4×(-1)+3=8.答案：f(-1)=8.7.(1) (2)图1-2-2-28 图1-2-2-298.y=x10 x ∈(0,+∞),y=21l-x x ∈(0,21l),y=22x d - x ∈(0,d),l=2x+x20(x>0),l=2202+d .9.由题意,可知容器内溶液高度为x 的体积等于注入的溶液的体积,即π(2d )2·x=vt,整理得x=24d v π·t. 当容器注满时有π(2d )2h=vt,得t=v h d 42π.所以该函数的定义域是t ∈［0,vhd 42π］,值域是x ∈［0,h ］.10.共8个映射.图1-2-2-30B 组1.(1)［-5,0］∪［2,6);(2)［0,+∞);(3)［0,2)∪(5,+∞).2.图1-2-2-31(1)点(x,0)和(5,y),即纵坐标为0或横坐标为5的点不能在图象上. (2)略. 3.略.4.(1)t=512342xx -++,x ∈［0,12］; (2)t=58320+≈3小时.。
变量与函数教案
19.1.1变量与函数变量尊敬的各位评委、各位老师：大家好！我今天说课的课题是人教版八年级下册第十九章第一单元第一课时《变量与函数》。
本节课我将从教材分析、学情分析、教学策略、教学程序、几点说明这五个方面对本节课进行说明。
一、教材分析1、教学内容的地位与作用本节课是一次函数的启蒙课，在这里学生初步接触了变量的概念，它是函数学习的入门，也为以后学习函数以及不等式的内容打下基础。
所以我认为本课内容它不但对培养学生比较、分析、概括的思维能力有作用，而且对培养学生运动变化等辨证唯物主义观点和形成良好的个性品质也有一定的帮助。
2、重点、难点：根据学生的认知水平和教学内容的特点，确定本节重难点：重点：常量和变量的概念；难点：较复杂问题中常量与变量的识别3、教学目标知识技能：（1）掌握常量、变量的概念，体验在一个过程中常量与变量是相对存在的；（2）会在较复杂问题中辨别常量与变量。
数学思考：通过实践与探索，让学生参与变量的发现过程，强化数学的应用意识,学会将实际问题抽象成数学问题解决问题通过实例探究，在具体的问题中找出常量和变量。
情感态度：通过列举同学们身边的事例，激发同学们探究问题的兴趣，体会数学应用价值，在探索活动中获得成功的体验。
二、学情分析：学生在日常生活中已经接触过一些有关常量与变量的现象，同时学生已具备了从实际问题抽象出数学问题的能力，具有了独立探究意识，所有这些为本节课中重点和难点的学习打下了基础。
三、教学策略：本节的教学，以师生互动探究式教学为主。
同时充分发挥多媒体的功能，并通过动手实验，使抽象的问题形象化，静态的方式动态化，从而突破本节的难点。
在教学过程中遵循“教为主导，学为主体，练为主线”的教学思想，以自主探索和合作交流为主，引导学生亲身实践知识的发生、发展、形成的认知过程。
四、教学程序（六个环节）第一轮：给出课本三个实例，指出问题中的变量与常量。
(单值对应) S = 60t y = 10xL=10+0.5x第二轮：指出下列事件中的常量与变量某种报纸每份a 元，购买x 份此种报纸共需y 元，则y=ax 中的常量 是，变量是。
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课题：§14．1．3 函数图象第三课时（教案）
一、本节课的教学目标
1.知识与技能目标：
（１）．学会用列表、描点、连线画函数图象．
（２）．学会观察、分析函数图象信息．
2.过程与方法目标：
（１）．提高识图能力、分析函数图象信息能力．
（２）．体会数形结合思想，并利用它解决问题，提高解决问题能力．
3.情感与态度目标：、
（１）．体会数学方法的多样性，提高学习兴趣．
（２）．认识数学在解决问题中的重要作用从而加深对数学的认识
二、教学重点：
（１）．函数图象的画法．
（２）．观察分析图象信息．
教学难点：分析概括图象中的信息．
三、设计思想
通过图象进一步认识函数意义，体会图象的直观性、优越性．提高对图象的分析能力、认识水平．掌握函数变化规律．
四、过程设计
下图反映的过程是小明从家去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家．•其中x表示时间，y表示小明离他家的距离．
根据图象回答下列问题：
１．菜地离小明家多远？小明走到菜地用了多少时间？
２．小明给菜地浇水用了多少时间？
３．菜地离玉米地多远？小明从菜地到玉米地用了多少时间？在教师引导下，积极思考、
参与、探。