高二圆锥曲线常考题押题汇编(学生版和教师版)
最新人教版高二第一学期：圆锥曲线测试及答案
第一学期高二年级圆锥曲线测试、选择题(本大题共 10小题，每小题5分，共50 分)2 爲 1 ( a >b>0)离心率为,则双曲线 b 2 1. 椭圆爲 a A.- 4 B . 2. 抛物线顶点在原点，焦点在 A. x 2 8y 2 X~2 a 2 y b 2 1的离心率为3•圆的方程是(x — cos A. 2、" 2 4.若过原点的直线与圆 A. y 25.椭圆x 9. 5 2 y 轴上，其上一点 2 3 P(m , 1)到焦点距离为5，则抛物线方程为 ( 2 x 2 8y C. 1 )2+(y — sin )2= ,当 从0变化到2时，动圆所扫过的面积是 B . x 2 16y C. (1 , 2) x 2+ y 2 + 4x +3=0相切，若切点在第三象限,唾x3B . y .. 3x C. y 1的焦点为F i 和F 2,点P 在椭圆上, 如果线段 2 D. x 16yD (1邛2 则该直线的方程是 D 43 D. y T x PF i 中点在y 轴上, 那么|PF i | A. 7倍 B . 5倍 C. 4倍 D. 3倍以原点为圆心，且截直线 3x 4y 15 0所得弦长为 8的圆的方程是 ( A. 2 x 2 2 y 5 B . x 2 y 2 2 25 C. x y 4 D. 2 2x y 16 曲线 x 2cos (为参数)上的点到原点的最大距离为( y sin A. 1 B . 2 C. 2 D. .3( 6. 7.如果实数 (X 、 2 12是|PF 2|的 y 满足等式(x 2)2 A.- 23，贝V —最大值 x 仝 2 D. ..3 过双曲线 2Z=1 2 的右焦点F 作直线 交双曲线于A B 两点，若 | AB =4 , 则这样的直 线l 有( ) A. 1条 10.如图，过抛物线C. 3条 y 2 C,若 BC 2BF ，且 AF B . 2条 2px (p 0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点 3 ,则此抛物线的方程为D. 4条 A . B ,交其准线于点( )2y2C y2D. 3x 9x、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24 分）11•椭圆的焦点是F i （- 3, 0）F2 （3, 0）, P为椭圆上一点，且|F I F2|是|PF i|与|PF2|的等差中项，则椭圆的方程为____________________________________ .12.若直线mx ny 3 0与圆x2 y2 3没有公共点，则m,n满足的关系式为_____________________ .2 2以（m,n）为点P的坐标，过点P的一条直线与椭圆J L L 1的公共点有个.7 313.设点P是双曲线x2 1 上一点，焦点F (2, 0),点A (3, 2),使|PA+ 1| PF 有最2小值时，则点P的坐标是 ____________________________________ .214. AB是抛物线y=x的一条弦，若AB的中点到x轴的距离为1，则弦AB的长度的最大值为.________三、解答题（本大题共6小题，共76分）215. P为椭圆251上一点，F1、F2为左右焦点，若F1PF2 60 （1）求厶F1PF2的面积;（2）求P点的坐标.（12分）16.已知抛物线y2 4x ,焦点为F,顶点为O,点P在抛物线上移动，Q是OP的中点，M是FQ的中点，求点M的轨迹方程.（12分）17.已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点A（0,.. 2）为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y x对称.（1）求双曲线C的方程；（2）设直线y mx 1与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线I经过M（—2, 0）及AB的中点，求直线I在y轴上的截距b的取值范围.（12分）18.如图，过抛物线y2 2px（p 0）上一定点P（X o，y。
(word完整版)高二数学圆锥曲线测试题以及详细答案(2021年整理)
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圆锥曲线测试题及详细答案一、选择题：1、双曲线221102x y -=的焦距为（ ）D 。
2。
椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2,过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF = （ ）A ．23 B ．3 C ．27D ．4 3．已知动点M 的坐标满足方程|12512|1322-+=+y x y x ，则动点M 的轨迹是( ） A. 抛物线 B.双曲线 C. 椭圆 D.以上都不对4．设P 是双曲线19222=-y ax 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若5||1=PF ，则=||2PF （ )A 。
1或5 B. 1或9 C 。
1 D. 95、设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ,若△F 1PF 2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是（ )。
C. 21 6．双曲线)0(122≠=-mn ny m x 离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为（ ）A ．163B ．83C ．316D ．387. 若双曲线2221613x y p-=的左焦点在抛物线y 2=2px 的准线上,则p 的值为 ( ）（A)2 （B)3 (C ）4 8．如果椭圆193622=+y x 的弦被点(4，2）平分,则这条弦所在的直线方程是（ ） A 02=-y x B 042=-+y x C 01232=-+y x D 082=-+y x 9、无论θ为何值，方程1sin 222=⋅+y x θ所表示的曲线必不是（ ）A 。
(完整word版)圆锥曲线压轴解答题22题(含详细答案,可直接打印)
圆锥曲线压轴22题及答案一．解答题（共22小题）1．已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0)的焦点是椭圆M ：+=1（a ＞b ＞0）的右焦点，且两曲线有公共点（,）．（1）求椭圆M 的方程;（2)O 为坐标原点，A ，B ，C 是椭圆M 上不同的三点，并且O 为△ABC 的重心，试探究△ABC 的面积是否为定值．若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 2．已知直线11：ax ﹣y+1=0，直线12：x+5ay+5a=0．（1）直线11与l 2的交点为M,当a 变化时，求点M 的轨迹C 的方程：（2）已知点D （2，0）,过点E （﹣2，0）的直线1与C 交于A ，B 两点，求△ABD 面积的最大值． 3．已知椭圆C:+=1（a ＞b ＞0）的四个顶点围成的菱形的面积为4，点M 与点F 分别为椭圆C 的上顶点与左焦点，且△MOF 的面积为（点O 为坐标原点）．（1）求C 的方程；(2）直线l 过F 且与椭圆C 交于P ，Q 两点，点P 关于O 的对称点为P′，求△PP′Q 面积的最大值．4．如图所示，椭圆C 1:+y 2=1，抛物线C 2：y=x 2﹣1，其中C 2与y 轴的交点为M,过坐标原点O的直线l 与C 2相交于点A ，B,直线MA ，MB 分别与C 1相交于点D ，E ． （Ⅰ）证明：MA ⊥MB;（Ⅱ）记△MAB ，△MDE 的面积分别是S 1,S 2．问：是否存在直线l ，使得=．若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由．5．已知椭圆C1:的左右顶点是双曲线的顶点，且椭圆C1的上顶点到双曲线C2的渐近线距离为．（1）求椭圆C1的方程；（2）点F为椭圆的左焦点，不垂直于x轴且不过F点的直线l与曲线C1相交于A、B两点,若直线FA、FB的斜率之和为0，则动直线l是否一定经过一定点？若存在这样的定点,则求出该定点的坐标；若不存在这样的定点，请说明理由．6．椭圆的离心率是，过点P（0，1）的动直线l与椭圆相交于A，B 两点，当直线l与x轴平行时，直线l被椭圆C截得的线段长为．（1）求椭圆C的方程；（2）在y轴上是否存在异于点P的定点Q，使得直线l变化时,总有∠PQA=∠PQB?若存在,求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．7．已知椭圆，点在椭圆C上,椭圆C的四个顶点的连线构成的四边形的面积为．（1）求椭圆C的方程；(2)设点A为椭圆长轴的左端点,P、Q为椭圆上异于椭圆C长轴端点的两点，记直线AP、AQ斜率分别为k1、k2，若k1k2=2，请判断直线PQ是否过定点？若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由．8．已知椭圆Γ：=1（0＜b＜2）的左右焦点分别为F1、F2,上顶点为B，O为坐标原点，且向量与的夹角为．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设Q(1，0），点P是椭圆Γ上的动点，求的最大值和最小值;(3）设不经过点B的直线l与椭圆Γ相交于M、N两点,且直线BM、BN的斜率之和为1，证明：直线l过定点．9．椭圆E：的左、右焦点分别为、，过F1且斜率为的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为F2．(Ⅰ）求椭圆E的标准方程;(Ⅱ）设直线与椭圆E交于A，C两点，与x轴交于点H，设AC的中点为Q，试问｜AQ|2+｜QH|2是否为定值?若是，求出定值;若不是,请说明理由．10．椭圆E：的左、右焦点分别为、，过F1且斜率为的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为F2．（Ⅰ)求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设直线与椭圆E交于A、C两点，以AC为对角线作正方形ABCD,记直线l与x 轴的交点为H,试问｜BH｜是否为定值?若是,求出定值；若不是，请说明理由．11．设椭圆M：+=1(a＞b＞0）经过点P（,），F1，F2是椭圆M的左、右焦点，且△PF1F2的面积为．（1）求椭圆M的方程；（2）设O为坐标原点，过椭圆M内的一点（0，t）作斜率为k的直线l与椭圆M交于A，B两点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，若对任意实数k，存在实m，使得k1+k2=mk，求实数m的取值范围． 12．已知椭圆经过点，离心率为，过右焦点F 且与x 轴不垂直的直线l 交椭圆于P ，Q 两点． （ I ）求椭圆C 的方程； （ II ）当直线l 的斜率为时，求△POQ 的面积；( III ）在椭圆C 上是否存在点M ，使得四边形OPMQ 为平行四边形?若存在，求出直线l 的方程；若不存在,请说明理由． 13．已知F 1、F 2是椭圆C ：(a ＞b ＞0）的左、右焦点,过F 2作x 轴的垂线与C 交于A 、B两点,F 1B 与y 轴交于点D ，AD ⊥F 1B ，且｜OD|=1，O 为坐标原点． (1）求C 的方程；（2）设P 为椭圆C 上任一异于顶点的点，A 1、A 2为C 的上、下顶点,直线PA 1、PA 2分别交x 轴于点M 、N ．若直线OT 与过点M 、N 的圆切于点T ．试问:|OT|是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 14．已知椭圆C ：+=1的两个焦点分别是F 1（﹣,0)，F 2（，0)，点E(，）在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程;（Ⅱ）设P 是y 轴上的一点，若椭圆C 上存在两点M ，N 使=2，求以F 1P 为直径的圆面积取值范围． 15．已知椭圆的右焦点为F ，离心率为，平行于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，且．（I ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F 且斜率不为零的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点,在x 轴上是否存在定点E ，使得是定值？若存在，请求出该点的坐标;若不存在，请说明理由． 16．已知椭圆C ：(a ＞b ＞0）的离心率，抛物线E ：的焦点恰好是椭圆C的一个顶点．（1)求椭圆C 的标准方程；（2)过点P （0，1）的动直线与椭圆C 交于A,B 两点，设O 为坐标原点，是否存在常数λ，使得恒成立？请说明理由．17．在平面直角坐标系中,点F 1、F 2分别为双曲线C ：的左、右焦点，双曲线C 的离心率为2，点（1,)在双曲线C 上．不在x 轴上的动点P 与动点Q 关于原点O 对称，且四边形PF 1QF 2的周长为．(1）求动点P 的轨迹方程；（2）在动点P 的轨迹上有两个不同的点M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2）,线段MN 的中点为G ，已知点(x 1，x 2)在圆x 2+y 2=2上，求｜OG ｜•|MN ｜的最大值，并判断此时△OMN 的形状． 18．已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0)，其内接△ABC 中∠A=90°． （I)当点A 与原点重合时，求斜边BC 中点M 的轨迹方程；（II ）当点A 的纵坐标为常数t 0(t 0∈R ）时，判断BC 所在直线是否过定点？过定点求出定点坐标；不过定点，说明理由． 19．如图，已知F 1,F 2分别是椭圆的左、右焦点，点P （﹣2,3）是椭圆C上一点,且PF 1⊥x 轴． （1）求椭圆C 的方程；（2）设圆M ：(x ﹣m ）2+y 2=r 2（r ＞0）．①设圆M 与线段PF 2交于两点A,B ，若，且AB=2，求r 的值；②设m=﹣2，过点P 作圆M 的两条切线分别交椭圆C 于G ，H 两点（异于点P ）．试问：是否存在这样的正数r,使得G,H 两点恰好关于坐标原点O 对称？若存在，求出r 的值；若不存在，请说明理由．20．己知椭圆在椭圆上，过C 的焦点且与长轴垂直的弦的长度为．(1）求椭圆C 的标准方程；．（2）过点A （﹣2,0)作两条相交直线l 1，l 2，l 1与椭圆交于P ，Q 两点（点P 在点Q 的上方），l 2与椭圆交于M ，N 两点（点M 在点N 的上方），若直线l 1的斜率为，，求直线l 2的斜率．21．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：x 2=2py （p ＞0),直线y=x 与C 交于O ，T 两点，｜OT ｜=4．（Ⅰ）求C 的方程; （Ⅱ)斜率为k （0）的直线l 过线段OT 的中点，与C 交于A,B 两点,直线OA,OB 分别交直线y=x ﹣2于M ，N 两点，求|MN|的最大值．22．已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上，焦距为4,离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l经过点P(0,﹣1），且与椭圆交于A,B两点，若,求直线l的方程．参考答案与试题解析一．解答题(共22小题）1．已知抛物线C:y2=2px（p＞0）的焦点是椭圆M：+=1(a＞b＞0)的右焦点,且两曲线有公共点（,）．（1)求椭圆M的方程；(2）O为坐标原点，A，B，C是椭圆M上不同的三点，并且O为△ABC的重心，试探究△ABC的面积是否为定值．若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【解答】解：(1)抛物线C:y2=2px（p＞0）的焦点是椭圆M：+=1（a＞b＞0)的右焦点,∴=c，∵两曲线有公共点（,)，∴=2p•，+=1，解得p=2，∴c=1，∴c2=a2﹣b2=1，∴a2=4，b2=3，∴椭圆的方程为+=1；（2）设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程3x2+4y2=12,可得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，设A（x1，y1)，B（x2,y2），则x1x2=，x1+x2=﹣，y1+y2=k（x1+x2）+2m=，由O为△ABC的重心，可得=﹣（+)=（，﹣），由C在椭圆上，则有3（）2+4（﹣）2=12，化简可得4m2=3+4k2，|AB|=•=•=•==，C到直线AB的距离d═，S△ABC=|AB|•d=••=．当直线AB的斜率不存在时，|AB｜=3，d=3，S△ABC=｜AB｜•d=．综上可得，△ABC的面积为定值．2．已知直线11：ax﹣y+1=0，直线12:x+5ay+5a=0．（1）直线11与l2的交点为M，当a变化时,求点M的轨迹C的方程：（2）已知点D(2，0)，过点E（﹣2,0)的直线1与C交于A，B两点，求△ABD面积的最大值．【解答】解:（1）由题意设M（x，y)，M满足直线11、直线12：可得，消去a，可得x2+5y2=5，即点M的轨迹C的方程为：(2）设直线l的方程x=my﹣2．E（﹣2,0)在M的轨迹C内．ED=4，直线1与C交于A，B两点，A（x1,y1）．B（x2，y2）∴，可得（m2+5）y2﹣4my﹣1=0．∴y1+y2=．y1y2=∴△ABD面积s=×|y1﹣y2｜•|ED=×4×=2×==2×≤2×=2×=,当且仅当m=时，表达式取得最大值．△ABD面积的最大值：．3．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的四个顶点围成的菱形的面积为4，点M与点F分别为椭圆C的上顶点与左焦点，且△MOF的面积为（点O为坐标原点）．（1）求C的方程；(2）直线l过F且与椭圆C交于P,Q两点，点P关于O的对称点为P′，求△PP′Q面积的最大值．【解答】解：(1)∵△MOF的面积为,∴bc=，即bc=．又∵椭圆C的四个顶点围成的菱形的面积为4,∴=4，即ab=2．∴==,∴=，∴a=2,b=,∴C的方程为:=1．（2）由题意可知，点O为PP′的中点，则=2S△POQ．设直线l的方程为：x=my﹣1,P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，可得(3m2+4)y2﹣6my﹣9=0，∴y1+y2=，y1y2=,∴|y1﹣y2|===，∴S△POQ =|OF|•|y1﹣y2｜=．设=t≥1,=．∵函数g(t)=在［1，+∞）上单调递减，∴当t=1时，△PP′Q面积取得最大值=3．4．如图所示，椭圆C1：+y2=1,抛物线C2：y=x2﹣1，其中C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A，B，直线MA，MB分别与C1相交于点D,E．（Ⅰ)证明：MA⊥MB;(Ⅱ)记△MAB，△MDE的面积分别是S1,S2．问:是否存在直线l，使得=．若存在,求出直线l的方程，若不存在,请说明理由．【解答】解:(Ⅰ)证明：由题得,直线l 的斜率存在，设为k,则直线l 的方程为:y=kx, 由y=kx 和y=x 2﹣1，得x 2﹣kx ﹣1=0．设A(x 1，y 1），B(x 2,y 2), 于是x 1+x 2=k ，x 1•x 2=﹣1，又点M 的坐标为（0，﹣1）． 所以k MA •k MB =•====﹣1．故MA ⊥MB ，即MD ⊥ME;(Ⅱ）设直线MA 的斜率为k 1,则直线MA 的方程为y=k 1x ﹣1． 联立y=x 2﹣1可得或则点A 的坐标为（k 1，k 12﹣1）． 又直线MB 的斜率为﹣，同理可得点B 的坐标为（﹣，﹣1）．于是S 1=|MA ｜•｜MB ｜=｜k 1|•••|﹣｜•=．由椭圆方程x 2+4y 2=4和y=k 1x ﹣1， 得（1+4k 12）x 2﹣8k 1x=0,解得,或,则点D的坐标为（,）．又直线ME的斜率为﹣,同理可得点E的坐标为（﹣，)．于是S2=｜MD｜•|ME｜=．故=（4k12++17)=，解得k12=4，或k12=．又由点A，B的坐标得，k==k1﹣．所以k=±．故满足条件的直线l存在，且有两条，其方程为y=±x．5．已知椭圆C1：的左右顶点是双曲线的顶点，且椭圆C1的上顶点到双曲线C2的渐近线距离为．（1)求椭圆C1的方程；（2）点F为椭圆的左焦点,不垂直于x轴且不过F点的直线l与曲线C1相交于A、B两点，若直线FA、FB的斜率之和为0，则动直线l是否一定经过一定点？若存在这样的定点，则求出该定点的坐标;若不存在这样的定点，请说明理由．【解答】解:（1)由题意可知：a=2……………………………………1分又椭圆的上顶点为(0，b）双曲线的渐近线为：2y±x=0由点到直线的距离公式有：得……………………3分所以椭圆的方程为．……………………4分（2）设直线线l的方程为y=kx+m，A（x1，y1）、B（x2，y2）联立得（3+4k2)x2+8kmx+4m2﹣12=0……………………5分则……………………7分由已知直线FA、FB的斜率之和为0，有,2kx1x2+（k+m)（x1+x2)+2m=0…………………9分所以化简得m=4k………………11分此时△=（8km)2﹣4×(3+4k2)(4m2﹣12）=(32k2）2﹣4×（3+4k2)（64k2﹣12)=16×64k4﹣16(4k2+3）（16k2﹣3)=16×9（1﹣4k2）显然△=16×9（1﹣4k2）＞0有机会成立．所以直线l的方程为：y=kx+m=k（x+4）所以存在这样的定点（﹣4，0）符合题意．…………12分6．椭圆的离心率是，过点P(0，1）的动直线l与椭圆相交于A，B两点,当直线l与x轴平行时，直线l被椭圆C截得的线段长为．（1)求椭圆C的方程;（2）在y 轴上是否存在异于点P 的定点Q,使得直线l 变化时，总有∠PQA=∠PQB?若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵，∴a 2=2c 2=b 2+c 2，b=c,a 2=2b 2,椭圆方程化为:，由题意知，椭圆过点，∴，解得b 2=4，a 2=8，所以椭圆C 的方程为：;（2）当直线l 斜率存在时,设直线l 方程:y=kx+1， 由得(2k 2+1）x 2+4kx ﹣6=0，△=16k 2+24（2k 2+1）＞0,设,假设存在定点Q （0，t)符合题意，∵∠PQA=∠PQB ，∴k QA =﹣k QB , ∴=,∵上式对任意实数k 恒等于零，∴4﹣t=0，即t=4，∴Q （0,4），当直线l 斜率不存在时,A ，B 两点分别为椭圆的上下顶点（0，﹣2），（0,2）， 显然此时∠PQA=∠PQB ，综上，存在定点Q （0，4）满足题意． 7．已知椭圆，点在椭圆C 上，椭圆C 的四个顶点的连线构成的四边形的面积为．（1）求椭圆C 的方程;（2）设点A 为椭圆长轴的左端点，P 、Q 为椭圆上异于椭圆C 长轴端点的两点，记直线AP 、AQ 斜率分别为k 1、k 2，若k 1k 2=2,请判断直线PQ 是否过定点?若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由． 【解答】解:（1）由点在椭圆C 上可得：，整理为：9a 2+4b 2=4a 2b 2， 由椭圆C 的四个顶点的连接线构成的四边形的面积为可得：，即，可得，由a ＞b ＞0可解得：，故椭圆C 的方程为：．（2）设点P 、Q 的坐标分别为（x 1,y 1)，（x 2，y 2），点A 的坐标为（﹣2，0）， 故，可得y 1y 2=2（x 1+2)（x 2+2），设直线PQ 的方程为y=kx+m （直线PQ 的斜率存在）， 可得（kx 1+m)(kx 2+m ）=2（x 1+2）（x 2+2）， 整理为：，联立，消去y 得:(4k 2+3）x 2+8kmx+(4m 2﹣12）=0，由△=64k 2m 2﹣4(4k 2+3）（4m 2﹣12）=48（4k 2﹣m 2+3)＞0,有4k 2+3＞m 2， 有，，故有:，整理得：44k 2﹣32km+5m 2=0，解得：m=2k 或,当m=2k 时直线PQ 的方程为y=kx+2k,即y=k(x+2)，过定点（﹣2，0)不合题意， 当时直线PQ 的方程为，即,过定点．8．已知椭圆Γ：=1(0＜b ＜2）的左右焦点分别为F 1、F 2，上顶点为B ，O 为坐标原点,且向量与的夹角为．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设Q （1，0），点P 是椭圆Γ上的动点，求的最大值和最小值；(3）设不经过点B 的直线l 与椭圆Γ相交于M 、N 两点，且直线BM 、BN 的斜率之和为1，证明：直线l 过定点． 【解答】解:（1)椭圆Γ:=1（0＜b ＜2）的a=2，向量与的夹角为,可得｜BF 1｜=|BF 2｜=a==2b=2，即b=1,则椭圆方程为+y 2=1；(2）设P （m ，n ），可得+n 2=1，即n 2=1﹣，•=（1﹣m ，﹣n ）•(﹣m ，﹣n ）=m 2﹣m+n 2=m 2﹣m+1=（m ﹣）2+，由﹣2≤m ≤2可得m=时，上式取得最小值;m=﹣2时,取得最大值6， 则•的范围是［，6]；（3）证明:当直线l 的斜率不存在时，设M （x 1，y 1），N(x 2，y 2）， 由k BM +k BN =+==1，x 1=x 2,y 1=﹣y 2，得x 1=﹣2，此时M ，N 重合，不符合题意；设不经过点P 的直线l 方程为：y=kx+m ，M （x 1,y 1)，N （x 2，y 2）， 由得（1+4k 2)x 2+8ktx+4t 2﹣4=0，x 1+x 2=﹣，x 1x 2=,k BM +k BN =+==1,⇒（kx1﹣1+t）x2+（kx2﹣1+t）x1=x1x2⇒(2k﹣1）x1x2+（t﹣1）（x1+x2）=0⇒（t﹣1)（2k﹣t﹣1）=0，∵t≠1，∴t=2k﹣1,∴y=k（x+2）﹣1，直线l必过定点（﹣2，﹣1）．9．椭圆E：的左、右焦点分别为、，过F1且斜率为的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为F2．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程;（Ⅱ）设直线与椭圆E交于A,C两点，与x轴交于点H，设AC的中点为Q，试问|AQ|2+｜QH|2是否为定值?若是，求出定值；若不是，请说明理由．【解答】（本小题满分12分)解:（Ⅰ）过且斜率为的直线方程为,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分)令，则y=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）由题意可得，解得a2=16，b2=4，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分)所以椭圆E的标准方程．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ)由可得x2+2mx+2m2﹣8=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分)设A（x1，y1），C（x2，y2）则有，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）又，∵Q为AC的中点，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分)直线l与x轴的交点为H（﹣2m，0），所以，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）=，所以｜AQ｜2+|HQ｜2为定值10．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）10．椭圆E：的左、右焦点分别为、，过F1且斜率为的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为F2．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设直线与椭圆E交于A、C两点,以AC为对角线作正方形ABCD，记直线l与x 轴的交点为H，试问｜BH|是否为定值？若是，求出定值；若不是,请说明理由．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）过且斜率为的直线方程为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(1分）令，则y=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分)由题意可得，解得a2=16，b2=4，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）所以椭圆E的标准方程．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）由可得x2+2mx+2m2﹣8=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分)设A（x1，y1），C(x2，y2）则有,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8分）又，设AC的中点为Q，则﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）直线l与x轴的交点为H(﹣2m,0），所以，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）=，所以｜BH｜为定值．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12分）11．设椭圆M：+=1（a＞b＞0）经过点P（,），F1，F2是椭圆M的左、右焦点，且△PF1F2的面积为．(1）求椭圆M的方程；（2）设O为坐标原点，过椭圆M内的一点（0，t）作斜率为k的直线l与椭圆M交于A，B两点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，若对任意实数k，存在实m,使得k1+k2=mk，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）设M的焦点F1（﹣c，0），F2(c,0），∵，△PF1F2面积为，∴，∴c=1，由，得∴椭圆M的方程为．(2）设直线l的方程为y=kx+t，由•得（3+4k2）x2+8ktx+4t2﹣12=0，设A（x1•y2)，B（x2•y2),则．．由k1+k2=mk对任意k成立，得，∴，又（0，t）在椭圆内部，∴0≤t2＜3，∴m≥2，即m∈[2，+∞）．12．已知椭圆经过点，离心率为，过右焦点F且与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．（ I）求椭圆C的方程；( II）当直线l的斜率为时，求△POQ的面积；（ III)在椭圆C上是否存在点M，使得四边形OPMQ为平行四边形？若存在,求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解:（I) 根据题意,解得，故椭圆C的方程为．…(5分）（ II) 根据题意，直线l的方程为．设P（x1,y1），Q（x2，y2）．由得15x2﹣24x=0．解得．法一：．法二:，原点O到直线l的距离．所以…（10分)（ III）设直线l的方程为y=k（x﹣1）（k≠0）．设P(x1，y1）,Q（x2,y2），由得（3+4k2)x2﹣8k2x+4k2﹣12=0．由韦达定理得，．所以PQ 的中点．要使四边形OPMQ 为平行四边形，则N 为OM 的中点，所以．要使点M 在椭圆C 上，则，即12k 2+9=0，此方程无解．所以在椭圆C 上不存在点M ，使得四边形OPMQ 为平行四边形．…．（14分) 13．已知F 1、F 2是椭圆C ：（a ＞b ＞0）的左、右焦点,过F 2作x 轴的垂线与C 交于A 、B 两点,F 1B 与y 轴交于点D ，AD ⊥F 1B ，且｜OD ｜=1,O 为坐标原点． （1）求C 的方程；（2）设P 为椭圆C 上任一异于顶点的点,A 1、A 2为C 的上、下顶点，直线PA 1、PA 2分别交x 轴于点M 、N ．若直线OT 与过点M 、N 的圆切于点T ．试问：|OT ｜是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）如图：AF 2⊥x 轴，｜OD|=1， ∴AB ∥OD,∵O 为F 1F 2为的中点, ∴D 为BF 1的中点， ∵AD ⊥F 1B ，∴｜AF 1｜=|AB ｜=2｜AF 2｜=4｜OD ｜=4， ∴2a=|AF 1｜+｜AF 2｜=4+2=6， ∴a=3, ∴｜F 1F 2｜==2，∴c=,a=3，∴b2=a2﹣c2=6，∴+=1，（2）由（1）可知,A1(0，），A2（0，﹣)．设点P（x0，y），直线PA1：y﹣=x，令y=0，得xM=；直线PA2:y+=x，令y=0，得xN=;|OM｜•｜ON|=,∵+=1，∴6﹣y02=x2,∴｜OM｜•|ON｜=．由切割线定理得OT2=OM•ON=．∴OT=，即线段OT的长度为定值．14．已知椭圆C ：+=1的两个焦点分别是F 1（﹣，0)，F 2（，0），点E （，）在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程;（Ⅱ）设P 是y 轴上的一点，若椭圆C 上存在两点M,N 使=2，求以F 1P 为直径的圆面积取值范围．【解答】解:（Ⅰ）由已知,c=， ∴2a=|EF 1|+|EF 2|=+=4，∴a=2,∴b 2=a 2﹣c 2=8﹣2=6， ∴椭圆方程为+=1，（Ⅱ）设点P 的坐标为（0，t)，当直线MN 的斜率不存在时，可得M,N 分别是椭圆的两端点,可得t=±，当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y=kx+t ，M(x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 则由=2可得x 1=﹣2x 2，①，由，消y 可得（3+4k 2）x 2+8ktx+4t 2﹣24=0，由△＞0,可得64k 2t 2﹣4（3+4k 2）(4t 2﹣24）＞0，整理可得t 2＜8k 2+6，由韦达定理可得x 1+x 2=﹣,x 1x 2=，②,由①②,消去x 1，x 2可得k 2=，由，解得＜t 2＜6, 综上得≤t 2＜6，又以F 1P 为直径的圆面积S=π•，∴S 的范围为[，2π）．15．已知椭圆的右焦点为F ，离心率为，平行于x 轴的直线交椭圆于A,B 两点,且．（I)求椭圆C 的方程;（Ⅱ）过点F 且斜率不为零的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点,在x 轴上是否存在定点E ，使得是定值?若存在，请求出该点的坐标；若不存在,请说明理由． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：，∵平行于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，且．∴，a=,∴c=2，b 2=a 2=﹣c 2=2． ∴椭圆C 的方程为（Ⅱ）设直线l 的方程为y=k （x ﹣2）， 代入椭圆C 的方程,得（3k 2+1）x 2﹣12k 2x+12k 2﹣6=0，设M（x3，y3），N（x4，y4）,则，，x3x4=．根据题意，假设x轴上存在定点E（t，0），使得是为定值,=(x3﹣t,y3）•（x4﹣t,y4）=(x3﹣t）•(x4﹣t)+y3y4，=（x3﹣t)•（x4﹣t)+k2（x3﹣2）•（x4﹣2）,=（k2+1)x3x4﹣（2k2+t)(x3+x4）+4k2+t2,=要使上式为定值,即与k无关，则应3t2﹣12t+10=3（t2﹣6），即t=，故当点E的坐标为（,0）时，使得为定值．16．已知椭圆C：(a＞b＞0）的离心率，抛物线E：的焦点恰好是椭圆C 的一个顶点．（1)求椭圆C的标准方程；（2)过点P（0，1)的动直线与椭圆C交于A，B两点，设O为坐标原点，是否存在常数λ，使得恒成立?请说明理由．【解答】解：（1)由抛物线E：的焦点（0,)，椭圆的C的焦点在x轴，由题意可知：b=,椭圆的离心率e===,则a=2，∴椭圆的标准方程:；（2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+1,A，B的坐标分别为（x1,y1），（x2，y2)．联立,整理得（4k 2+3）x 2+8kx ﹣8=0．其判别式△＞0，x 1+x 2=﹣，x 1x 2=﹣．∴•+λ•=x 1x 2+y 1y 2+λ［x 1x 2+（y 1﹣1）(y 2﹣1）］，=（1+λ)（1+k 2)x 1x 2+k （x 1+x 2)+1==﹣2λ﹣3，当λ=2时，﹣2λ﹣3=﹣7，即•+λ•=﹣7为定值． 当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD ，此时•+λ•=•+2•=﹣3﹣4=﹣7，故存在常数λ=2，使得•+λ•为定值﹣7．17．在平面直角坐标系中，点F 1、F 2分别为双曲线C ：的左、右焦点,双曲线C 的离心率为2,点(1，）在双曲线C 上．不在x 轴上的动点P 与动点Q 关于原点O 对称，且四边形PF 1QF 2的周长为．（1）求动点P 的轨迹方程；（2)在动点P 的轨迹上有两个不同的点M （x 1,y 1）、N （x 2，y 2），线段MN 的中点为G,已知点(x 1，x 2）在圆x 2+y 2=2上，求|OG ｜•｜MN|的最大值,并判断此时△OMN 的形状． 【解答】解：（1）设F 1，F 2分别为（﹣c ，0)，（c ，0） 可得，b 2=c 2﹣a 2=3a 2,又点（1,)在双曲线C 上，∴，解得，c=1．连接PQ ，∵OF 1=OF 2,OP=OQ ，∴四边形PF 1QF 2的周长为平行四边形． ∴四边形PF 1+PF 2=2＞2，∴动点P 的轨迹是以点F 1、F 2分别为左右焦点的椭圆（除左右顶点),∴动点P 的轨迹方程（y ≠0）;（2）∵x 12+x 22=2，,∴y 12+y 22=1．∴｜OG ｜•｜MN｜=•=•=．∴当3﹣2x 1x 2﹣2y 1y 2=3+2x 1x 2+2y 1y 2⇒x 1x 2+y 1y 2=0时取最值， 此时OM ⊥ON ，△OMN 为直角三角形．18．已知抛物线C:y 2=2px （p ＞0），其内接△ABC 中∠A=90°． （I ）当点A 与原点重合时,求斜边BC 中点M 的轨迹方程；（II)当点A 的纵坐标为常数t 0（t 0∈R ）时，判断BC 所在直线是否过定点？过定点求出定点坐标；不过定点，说明理由． 【解答】解：（I ）设B （，y 1)，C （，y 2）,∵AB ⊥AC ，∴+y 1y 2=0,∴y 1y 2=﹣4p 2．∴设BC 的中点M （x ，y ），则=x ，y 1+y 2=2y ，∵y 12+y 22=(y 1+y 2）2﹣2y 1y 2, ∴px=4y 2+8p 2，∴M 的轨迹方程为：y 2=（x ﹣8p ）． （II ）A （，t 0)，设直线BC 的方程为y=kx+b,B （，y 1），C （,y 2),∴k AB ==,k AC ==,∵AB⊥AC，∴•=﹣1．即y1y2+t（y1+y2）+t2+4p2=0．联立方程组，消去x可得y2﹣y+=0，∴y1y2=,y1+y2=，∴+t0+t2+4p2=0．解得b=﹣t﹣﹣2pk，∴直线BC的方程为：y=kx﹣t0﹣﹣2pk=k（x﹣2p﹣）﹣t，∴直线BC过定点(2p+，﹣t）．19．如图,已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点,点P（﹣2，3）是椭圆C上一点，且PF1⊥x轴．（1）求椭圆C的方程；（2)设圆M：（x﹣m）2+y2=r2（r＞0）．①设圆M与线段PF2交于两点A，B,若,且AB=2，求r的值；②设m=﹣2，过点P作圆M的两条切线分别交椭圆C于G,H两点（异于点P)．试问:是否存在这样的正数r，使得G，H两点恰好关于坐标原点O对称？若存在,求出r的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：(1）因点P（﹣2，3)是椭圆C上一点，且PF1⊥x轴，所以椭圆的半焦距c=2，由,得，所以,……（2分）化简得a2﹣3a﹣4=0，解得a=4，所以b2=12，所以椭圆C的方程为．……(4分)（2）①因，所以，即，所以线段PF2与线段AB的中点重合(记为点Q），由（1）知,……（6分）因圆M与线段PF2交于两点A，B，所以，所以,解得，……（8分）所以，故．……(10分）②由G，H两点恰好关于原点对称,设G(x0，y），则H（﹣x，﹣y）,不妨设x＜0，因P（﹣2,3），m=﹣2,所以两条切线的斜率均存在,设过点P与圆M相切的直线斜率为k，则切线方程为y﹣3=k（x+2），即kx﹣y+2k+3=0，由该直线与圆M相切，得，即，……（12分）所以两条切线的斜率互为相反数，即kGP =﹣kHP,所以，化简得x0y=﹣6，即，代入,化简得，解得x=﹣2(舍），，所以，……(14分）所以，,所以，所以．故存在满足条件的,且．……(16分）20．己知椭圆在椭圆上,过C的焦点且与长轴垂直的弦的长度为．（1)求椭圆C的标准方程;．（2）过点A(﹣2，0）作两条相交直线l1，l2,l1与椭圆交于P，Q两点（点P在点Q的上方），l2与椭圆交于M，N两点（点M在点N的上方），若直线l1的斜率为，，求直线l2的斜率．【解答】解：（1）由已知得：，…………………………(2分）解得a=6，b=1．故椭圆C的方程为．………………………（4分）(2）由题设可知:l1的直线方程为x=﹣7y﹣2．联立方程组，整理得:85y2+28y﹣32=0.．…………………………（6分）∴．…………………………………………（7分)∵，∴，即．…………………………………………（8分)设l2的直线方程为x=my﹣2（m≠0)．将x=my﹣2代入+y2=1得(m2+36)y2﹣4my﹣32=0．设M（x1，y1），N(x2，y2），则．……………………………………(10分)又∵，∴．解得m2=4，∴m=±2．故直线l2的斜率为．………………………（12分）21．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：x2=2py(p＞0），直线y=x与C交于O，T两点，｜OT|=4．（Ⅰ)求C的方程；（Ⅱ）斜率为k（0)的直线l过线段OT的中点，与C交于A,B两点,直线OA,OB分别交直线y=x﹣2于M,N两点，求｜MN|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由方程组得x2﹣2px=0，解得x1=0,x2=2p，所以O（0，0）,T(2p,2p），则｜OT｜=2p，又｜OT|=2p=4，所以p=2．故C的方程为x2=4y．(Ⅱ)由（Ⅰ）O（0，0),T(4，4）,则线段OT的中点坐标(2，2）．故直线l的方程为y﹣2=k(x﹣2)．由方程组得x2﹣4kx+8k﹣8=0．设A(x1,x12），B（x2，x22）,则x1+x2=4k，x1x2=8k﹣8，直线OA的方程y=x,代入y=x﹣2，解得x=,所以M（，），同理得N(,）,所以|MN|=•|﹣｜=|｜=×|=4•因为0＜k≤，所以8＜|MN｜≤4．当k=时，｜MN|取得最大值4．22．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为4，离心率为．（1)求椭圆C的方程；(2)已知直线l经过点P（0,﹣1），且与椭圆交于A，B两点,若，求直线l的方程．【解答】（本小题满分12分）解:(1）依题意可设椭圆方程为(a＞b＞0)，由2c=4，c=2，e==，则a=2,b2=a2﹣c2=4，∴椭圆C的方程为：．(2）由题意可知直线l的斜率存在,设l的方程为:y=kx﹣1，A（x1，y1）,B（x2,y2），由，整理得（2k2+1）x2﹣4kx﹣6=0,且△＞0，则x1+x2=，x1x2=﹣,由,即（﹣x1，﹣1﹣y1)=2（x2,y2+1），x1=﹣2x2,，消去x2并解关于k的方程得:k=±，∴l的方程为：y=±x﹣1．。
高二圆锥曲线高考数学常考题汇编(含答案和解析)
= 1(a 0,b 0) 右支上一点，F1 ，F2 分别为左右焦点，若双曲线 C
的离
心率为 3 ， PF1F2 的内切圆圆心为 I ，半径为 2，若 SPF1I = SPF2I + 2 3 ，则 b 的值是（ ）
A． 2
B． 2
C． 6
D． 6
15．已知椭圆
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
2
16 4
2
p(2 2, 2) 在椭圆上，若 APB 的平分线交线段 AB 于点 N，则 | PN | 的值为( ) | MN |
(A) 2
32
(B)
5
25
(C)
5
(D) 5
6.设 A,B 分别是双曲线 x2 − y2 = 1的左右顶点，设过 P(1 , t) 的直线 PA,PB 与双曲线分别交于点 M,N，
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a,b
0) 已知双曲线的左、右焦点分别为 F 1，F2，P 为双曲线 C
左支上一个
点， PF1 = PF2 , 且 PF1F2 = 120 , 则双曲线 C 的离心率为
.
12．如图，过抛物线 y2 = 2 px( p 0) 焦点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点 ( A 点位于 x 轴上方 ), M 为抛物线的准线 l 上一点，MF ⊥ AB, AM 交 y 轴于 N, ND ⊥ AB 于 D, AD = 2DF , 则直线 AB 的斜率为
A. 5x 2 y = 1 B. 2x 5y = 1
C. 4x 5y = 1 D.5x 4 y = 1
A.
2
2 3
，1
B.
高二数学圆锥曲线必刷练习题
高二数学圆锥曲线必刷练习题在高二数学学习中，圆锥曲线是一个重要的知识点，对于学生来说，掌握圆锥曲线相关的知识和解题技巧是非常必要的。
本文将介绍一些高二数学圆锥曲线的必刷练习题，帮助大家更好地理解和应用这一知识点。
练习题1：椭圆的焦点坐标已知椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，椭圆的离心率为e。
求椭圆的焦点坐标。
解析：椭圆的焦点坐标可以通过长轴、短轴和离心率来确定。
根据定义，离心率e等于焦距与长轴之比。
而两个焦点的横坐标分别为(ae,0)和(-ae,0)，纵坐标均为0。
因此，椭圆的焦点坐标为(ae,0)和(-ae,0)。
练习题2：抛物线的焦点和准线已知抛物线的焦点坐标为F(a, b)，准线方程为y = -b/a。
求抛物线的焦点和准线的方程。
解析：根据抛物线的定义，焦点到抛物线上任意一点的距离等于该点到准线的距离。
根据焦准定理，可以得到焦点的坐标为F(a, b)。
而准线的方程为y = -b/a。
练习题3：双曲线的渐近线和离心率已知双曲线的方程为(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1。
求双曲线的渐近线和离心率。
解析：双曲线的渐近线可以通过求解直线与双曲线的交点来确定。
将直线的方程(y = mx + c)代入双曲线的方程，得到一个关于m和c的方程组。
解方程组可以得到直线的方程。
另外，双曲线的离心率e满足以下关系：e^2 = (a^2 + b^2)/a^2。
练习题4：椭圆与直线的交点数已知椭圆的方程为(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1，直线的方程为y = mx + c。
求椭圆与直线的交点数。
解析：将直线的方程代入椭圆的方程，得到关于m和c的二次方程，解该方程可以得到直线与椭圆的交点坐标。
通过判别式可以确定交点个数。
当判别式大于零时，有两个交点；当判别式等于零时，有一个交点；当判别式小于零时，无交点。
练习题5：双曲线与直线的位置关系已知双曲线的方程为(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1，直线的方程为y = mx + c。
2020新高考数学二轮冲刺圆锥曲线全归纳(压轴题全解析)
MA MB
AB
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
，即
( x,4
2
y)
( x,2)
0
，即
y
1
x2
2
。
4
【例 3】已知抛物线 C ： y2 2x 的焦点为 F ，平行于 x 轴的两条直线 l1,l2 分别交 C 于 A，B 两点，
交 C 的准线于 P，Q 两点． （I）若 F 在线段 AB 上， R 是 PQ 的中点，证明 AR FQ ； （II）若 PQF 的面积是 ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程.
5 轨迹 C 的方程.
解 析 设 M 的 坐 标 为 (x, y) ， P 的 坐 标 为 (x0 , y0 ) ， 因 为 M 为 PD 上 一 点 ， 且
|MD|=
4 5
|PD|，所以
x
y
x0
4 5
y0
x0 y0
x 5 4
y
，又
P (x0 ,
y0 )
若 C 为双曲线,则直线 l 与双曲线的渐近线平行;若 C 为抛物线,则直线 l 与抛物线
A圆
B 椭圆
C 线段
D 一段抛物线
解析
设点
M
(x0
,
y0
),
P(x,
浙江省2024-2025学年高二上学期期中专题复习 圆锥曲线解答题部分(含解析)
浙江省高二上学期期中专题复习圆锥曲线部分本资料以2023年浙江省各大市区期中考试题目汇编而成，旨在为学生期中复习理清方向！1．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且经过点M，(1)求双曲线C 的标准方程(2)已知直线与曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆上，求实数m 的值.2．（23-24高二上·浙江绍兴·期中）已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右顶点，、分别为椭圆的左、右焦点，．(1)求椭圆的方程；(2)设与轴不垂直的直线交椭圆于、两点（、在轴的两侧），记直线，，，的斜率分别为，，，．（i ）求的值；（ii ）若，求面积的取值范围．3．（23-24高二上·浙江宁波·期中）已知双曲线的左右顶点分别为点，其中，且双曲线过点．(1)求双曲线的方程；(2)设过点的直线分别交的左、右支于两点，过点作垂直于轴的直线，交线段于点，点满足．证明：直线过定点，并求出该定点．4．（23-24高二上·浙江·期中）已知双曲线C 的渐近线方程是，点在双曲线C上.(1)求双曲线C 的离心率e 的值；(2)若动直线l ：与双曲线C 交于A ，B 两点，问直线MA ，MB 的斜率之和是否为定22221(00)y x a b a b -=>>，22142x y -=0x y m -+=2220x y +=2222:1(0)x y C a b a b+=>>121A 2A C 1F 2F C 112A F =C x l C P Q P Q x 1A P 2A P 2A Q 1AQ 1k 2k 3k 4k 12k k ()142353k k k k +=+2F PQ △()2222Γ:10,0x y a b a b -=>>,A B 2AB =()2,3C Γ()1,1P Γ,D E E x l BC F G EF FG =DG y =()2,3M 1y kx =+值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.5．（23-24高二上·浙江·期中）已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点为，且长轴长是倍．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设过焦点F 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，是椭圆的另一个焦点，若内切圆的半径l 的方程．6．（23-24高二上·浙江·期中）已知椭圆的离心率，且椭圆经过点.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点且斜率不为零的直线与椭圆交于两点，关于轴的对称点为，求证：直线与轴交于定点.7．（23-24高二上·浙江·期中）已知椭圆，、为椭圆的左右焦点，、为椭圆的左、右顶点，直线与椭圆交于、两点.(1)若，求；(2)设直线和直线的斜率分别为、，且直线与线段交于点，求的取值范围.8．（23-24高二上·浙江·期中）已知椭圆，且过点，点分别是椭圆的左､右顶点.(1)求椭圆的方程；(2)过点的直线与椭圆交于两点（在之间），直线交于点，()10F ,1F 1ABF V r =2222:1(0)x y C a b a b +=>>e =C⎛⎝C ()2,0P C ,BD B x A AD x Q 221:4T x y +=1F 2F C D1:2l y x m =+T A B 12m =-AB AD BC 1k 2k l 12F F M 12k k ()2222:10x y C a b a b +=>>12D ⎫⎪⎭,A B C C ()4,0E l C ,P Q P ,E Q ,AP BQ M记的面积分别为，求的取值范围.9．（23-24高二上·浙江温州·期中）如图，已知椭圆的焦点为，，离心率的上、下顶点分别为，右顶点为，直线过点且垂直于轴，点在椭圆上（且在第一象限），直线与交于点，直线与轴交于点.(1)求椭圆的标准方程；(2)判定（为坐标原点）与的面积之和是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.10．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）已知双曲线过点，它的渐近线方程是．(1)求双曲线的标准方程；(2)若直线交于两点，直线的倾斜角互补，求直线的斜率．11．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）已知点，，平面内一动点满足直线与的斜率乘积为．(1)求动点的轨迹的方程；(2)直线交轨迹于两点，若直线的斜率是直线的斜率的倍，求坐标原点到直线的距离的取值范围．12．（23-24高二上·浙江衢州·期中）若双曲线E ：y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若C 是双曲线上一点，且，求k ，m 的值．13．（23-24高二上·浙江宁波·期中）已知，分别是椭圆E:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，且焦距为MN 平行于x 轴，且．(1)求椭圆E 的方程；,ABM PQM V V 12,S S 12S S C ()11,0F -()21,0F C ,A B D l D x Q C AQ l N BQ x M C AOM V O ADN △(A 20x y ±=l C ,P Q ,AP AQ l (2,0)A -(2,0)B M AM BM 14-M C l C ,P Q AP BQ 4O l 2221(0)x y a a -=>AB =()OC m OA OB =+1F 2F 114F M F N +=(2)设A ，B 为椭圆E 的左右顶点，P 为直线上的一动点（点P 不在x 轴上），连AP 交椭圆于C 点，连PB 并延长交椭圆于D 点，试问是否存在，使得成立，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．14．（23-24高二上·浙江·期中）平面上的动点到定点的距离等于点P 到直线的距离，记动点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)直线与曲线C 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M .是否存在这样的直线l ，使得，若存在，求实数m 的值，若不存在，请说明理由.15．（23-24高二上·浙江·期中）已知双曲线，斜率为k 的直线l 过点M .(1)若，且直线l 与双曲线C 只有一个交点，求k 的值；(2)已知点，直线l 与双曲线C 有两个不同的交点A ，B ，直线的斜率分别为，若为定值，求实数m 的值.16．（23-24高二上·浙江·期中）已知椭圆的离心率为，左焦点F与原点O 的距离为1，正方形PQMN 的边PQ ，MN 与x 轴平行，边PN ，QM 与y 轴平行，，过F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中垂线为l .已知直线AB 的斜率为k ，且.(1)若直线l 过点P ，求k 的值;(2)若直线l 与正方形PQMN 的交点在边PN ，QM 上，l 在正方形PQMN 内的线段长度为s ，求的取值范围.17．（23-24高二上·浙江·期中）已知是椭圆C ：的一个焦点，:4l x =λACD BCD S S λ=V V λ(,)P x y (0,1)F 1y =-:l y x m =+MF AB ⊥()22:1,,24x C y M m -=0m =(2,0)T ,TA TB 12,k k 12k k +(2222:10)x y C a b a b+=>>122112,,,7777P M ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0k >sABF 2222+1(0)x y a b a b=>>点在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线与椭圆C 分别相交于A ，B 两点，且(O 为坐标原点)，求直线l的斜率的取值范围参考答案：12M l 12OA OB k k +=-1．(1)(2)【详解】（1）设双曲线的方程为,代入,得,解得,所以双曲线的方程为．（2）由,得,设,,,,则中点坐标为,,由韦达定理可得,所以,所以中点坐标为,因为点在圆上，所以,解得．2．(1)(2)（i ）；（ii ）【详解】（1）由于椭圆的离心率为，故，又，所以，，，2212x y -=2m =±C 22142x y -=M 2242λ-=12λ=-2212x y -=2212y x m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩222204x mx m +-+=1(A x 1)y 2(B x 2)y AB 12(2x x +122y y +124x x m +=-1212()22y y x x m m +=++=-AB (2,)m m --(2,)m m --2220x y +=()()22220m m -+-=2m =±2211612x y +=34-⎛ ⎝2222:1(0)x y C a b a b+=>>1212c a =112A F a c =-=4a =2c =22212b a c =-=所以椭圆的方程为.（2）（i ）设与轴交点为，由于直线交椭圆Ｃ于、两点（、在轴的两侧），故直线的的斜率不为，直线的方程为，联立，则，则，设，，则，，又，，故，同理 ．（ii ）因为，则，．又直线交与轴不垂直可得，所以，即．所以，，于是，，整理得，解得或，因为、在轴的两侧，所以，，又时，直线与椭圆有两个不同交点，因此，直线恒过点，C 2211612x y +=l x D l P Q P Q x l 0l x my t =+2211612x my tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩222(34)63480t y mty m +++-=2248(1216)0t m ∆=-+>11(,)P x y 22(,)Q x y 122634mt y y t -+=+212234834m y y t -=+1(4,0)A -2(4,0)A 122211111222111134444163PA PA y y y y k k k k x x x y ==⋅===-+---123434QA QA k k k k ==-()142353k k k k +=+2323335()443k k k k --=+23232335()43k k k k k k +-⋅=+l x 230k k +≠23920k k =-22920PA QA k k =-121294420y y x x ⋅=---1212209(4)(4)0y y ty m ty m ++-+-=221212(920)9(4))(9(4)0t y y t m y y m +++-+-=222226(920)9(4)9(4)03483434m t t m mtt t m -+⋅+-+--+⋅=+2340m m --=1m =-4m =P Q x 2122348034m y y t -=<+44m -<<1m =-l C 1m =-l (1,0)D -此时，，，，由直线交与轴不垂直可得，故，因为在上为减函数，所以面积的取值范围为.3．(1)(2)证明见解析，【详解】（1）由，则，又，则，所以，故双曲线的方程为：.（2）如图，由，则方程为，显然直线DE 的斜率存在，设直线方程为：，则，则，由，则，122634ty y t +=+1224534y y t -=+221212F PQS F D y y =⋅-=V λ=l x λ>2272721313F PQλλλλ===++△S 7213y λλ=+)+∞2F PQ △2213y x -=(1,0)B ||22AB a ==1a =22491a b -=229413b a =-=23b =Γ2213y x -=),,(10)(23,B C BC 33y x =-DE ()()()1122,1,1,,y k x D x y E x y =-+233F y x =-()2233,F x x -EF FG =()222,66G x x y --则，，联立，则，则所以，故，故过定点.4．(1)2(2)是，3【详解】（1）由双曲线C 的渐近线方程是，故设C ：，因为在双曲线C 上，所以，所以：，所以，，所以；（2）设，，联立得，则得且，，，又，，所以()11111111111BD k x y k k x x x -+===+---()()()222222261611116111BG x y x k x k k x x x ------===-----()()()()222221132113033y k x k x k k x k x y ⎧=-+⇒------=⎨-=⎩()()2121222211,333k k k x x x x kk----+=⋅=--()()()()2122121212222122113621111321133k k x x k k x x x x x x k k k k k --+--+===----++-----+--(6)620BD BG k k k k k -=--+-=BD BG k k =DG (1,0)B y =223x y λ-=()2,3M 1293λ=-=C 2213y x -=1a =b =2c ==2ce a==()11,A x y ()22,B x y 22331x y y kx ⎧-=⎨=+⎩()223240k x kx ---=248120k ∆=->24k <23k ≠12223kx x k +=-12243x x k -=-111113132222222MA y kx k k k k k x x x -+--+-===+---222223132222222MB y kx k k k k k x x x -+--+-===+---()121122222MA MB k k k k x x ⎛⎫+=+-+ ⎪--⎝⎭.即直线MA ，MB 的斜率之和是3.5．(1)(2)【详解】（1）由题可得，焦点在x 轴上，，，解得，，所以椭圆：.（2）设，，设直线的方程为，的根为，，，，且，又∵，，，所以直线的方程为：.()()()212121222244322122142424233kx x k k k k k k x x x x k k -+--=+-=+--+-++---()()()()()()()22222232124262212121341244221k k k k k k k k k k k k k k k k k k +--++-=+-=--=--=-+--+-+-2212x y +=1x y =±+1c =22ab=a =)221b ∴=+21b =22a =C 2212x y +=()11,,A x y ()22,B x y l 1x ty =+()22222222101x y t y ty x ty ⎧+=⇒++-=⎨=+⎩1y 2y 12222ty y t +=-+12212y y t -=+2880t ∆=+>12121122ABFS c y y y y =⋅⋅-=-==△11144223ABF S a r =⋅⋅=⨯=△413t =⇒=±l 1x y =±+6．(1)(2)证明见解析【详解】（1）由离心率可得将点代入椭圆方程可得，又；解得，所以椭圆C 的方程为（2）设点，，则，直线的方程为，直线与椭圆联立，消去，得， 则可得，，易知，得由题意，直线的方程为，令，所以点的横坐标，所以直线与轴交于定点7．(2)【详解】（1）解：设、，当时，直线的方程为，联立直线与椭圆方程，可得，2212x y +=c e a ==⎛ ⎝221121ab+=222a b c =+2221a b ⎧=⎨=⎩2212x y +=()11,B x y ()22,D x y ()11,A x y -PB 2x my =+PB 22:12x C y +=x 222420m y my +++=（）12242my y m -+=+12222y y m =+28160m ∆=->22m >AD 212221()y y y x x y x x +=-+-0y =Q 1221121212221Q x y x y my y x y y y y +==+=++AD x ()1,0Q 7⎡-+⎣()11,A x y ()22,B x y 12m =-l 1122y x =-l 22112244y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩22230x x --=，由韦达定理可得，，（2）解：联立直线与椭圆方程，消去，得，则，解得，设、，由韦达定理可得，，因为，易知，直线交线段于点，则，所以，.8．(1)(2)【详解】（1）由题意可知离心率为将点代入椭圆方程可得，又，解得；4423280∆=+⨯⨯=>121x x=+2132x x=-==l221214y x mxy⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩y222220x mx m++-= ()222481840m m m∆=--=->m<<()11,A x y()22,B x y122x x m+=-21222x x m=-()()()()11212211211222112122121122222211222222yx m x x x mx x my xk xyk y x x x mx x mx m xx⎛⎫+++++⎪+-⎝⎭====-⎛⎫+--+-⎪+⎝⎭()()22222222111111122111221111m m xm mx m x m m xmm mx x m m m m x m m x-+--+--+++-===⋅-+++--+++-+111211111m m xm mm m x m+----=⋅=-+-++l12F F()2,0M m-2≤-≤m m 12112217111k m mk m m m-+-⎡=-=-=-+∈-+⎣+++2214xy+=()0,1cea==12D⎫⎪⎭223114a b+=222a b c=+2224,1,3a b c===所以椭圆方程为（2）易知，设直线的方程为，，且，联立直线和椭圆方程，整理可得，，可得，且可得直线的方程为，直线的方程为，解得点到直线的距离为所以的面积为的面积为；所以，又可得，即可得的取值范围是.2214x y +=()()2,0,2,0A B -l 4x my =+()()1122,,,P x y Q x y 12x x <22144x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()2248120m y my +++=()()22841240m m ∆=-⨯+>212m >121222812,44m y y y y m m +=-=++PA ()()11112226y yy x x x my =+=+++QB ()2222y y x my =-+12121221212262,33my y y y y y M y y y y ⎛⎫++ ⎪--⎝⎭PQ ===M PQ d PQM V 1122S PQ d =⋅=ABM V 121221212231432S y y y y B y A y y y =⋅-=-212221216144S m m m S -===-++212m >()21610,14m -∈+12S S ()0,19．(1)(2)【详解】（1）设椭圆方程为，焦距为，则，所以，所以椭圆的标准方程为.（2）由题意得，，直线：设点，，则x202+y 20=1①，直线：，令，，直线：，令，则，所以，由①得，所以10．(1)(2)【详解】（1）若双曲线焦点在轴上，设方程为，2212x y +=C 22221x y a b +=2c 1c =c a =a =2221b a c =-=C 2212x y +=()0,1A ()0,1B -l x =()00,Q x y 00x <<001y <<AQ 0011y y x x --=x =1y =1BQ 0011y y x x ++=0y =001x x y =+001x OM y =+001111212AOM ADNx S S y ⎤+=⋅⋅+⋅⎥+⎥⎦V V ()2200002221x y x y +-=+2200220x y +-=AOM ADN S S +=V V 2214x y -=x 22221x y a b-=则有，解得，所以双曲线方程为；若双曲线焦点在轴上，设方程为，则有，无解；综上双曲线方程为.（2）易知，直线的斜率一定存在，设方程为，联立，消去可得，，，可得，由韦达定理可得，，，，因为直线的倾斜角互补，所以,，即，整理得，，解得，时，直线为过定点，不满足题意，所以2281112a b b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2241a b ⎧=⎨=⎩2214x y -=y 22221y x ab-=2218112a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2214x y -=l 1122,(,),(,)y kx m P x y Q x y =+2244x y y kx m⎧-=⎨=+⎩y 222(14)8440k x kmx m ----=22222140Δ6416(14)(1)0k k m k m ⎧-≠⎨=+-+>⎩221,142k m k ≠±+>2121222844,1414km m x x x x k k ++==---121222()214my y k x x m k +=++=-()()122112211212282()14kx y x y x kx m x kx m kx x m x x k -+=+++=++=-,AP AQ 0AP AQ k k +=0==()(()(122111y x y x --+--12211212())x y x y x x y y =+-+-++0==1)0m ++-=k =1m =-1m =-y kx m =+1y kx -=-(A k =11．(1)(2)【详解】（1）设，则且化简得.（2）如图，设，若，则关于轴对称，有，不合题意故，同理可知，故由化简整理可得所以，且由可知，故即于是解得，满足坐标原点到直线的距离.12．（1）．（2）【详解】(1)由得 故双曲线E 的方程为x2－y 2＝1.2214x y +=(0)y ≠6(0,)5(),Mx y 1224AM BMy y k k x x =⨯=-+-2x ≠±()22:1,04x C y y +=≠()()1122,,,P x y Q x y :l x ty n=+0PQ k =,P Q y AP BQ k k =-0PQ k ≠0t ≠20t >2244x y x ty n⎧+=⎨=+⎩()2224240t y tny n +++-=()()()22222244441640t n t n n t ∆=-+-=-+>12221222444tn y y t n y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩P C ∈14AP BP k k =-144APBQ BP k k k =-=116BP BQ k k =-()()()()()()()()()(212121222222121212124222222422BP BQy y y y y y n k k x x ty n ty n t y y n t y y n t n t n n n -====--+-+-+-++----+-65n =-0∆>l 60,5d ⎛⎫==⎪⎝⎭(14k m ==±221ca a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩2212a c ⎧=⎨=⎩设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由得 (1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.①因为直线与双曲线右支交于A ,B 两点,所以.即,即,即k 的取值范围是．(2)由①得,.整理得,所以或,又,所以,所以x 1＋x 2＝y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2＝8.设C(x 3,y 3),由得(x 3,y 3)＝m(x 1＋x 2,y 1＋y 2)＝,因为点C 是双曲线上一点,所以80m 2－64m2＝1,得,故.13．(1)(2)存在，3【详解】（1）因为焦距为，所以，由椭圆的对称性得．又因为，所以．则，．所以椭圆E 的方程为.（2）设，又A (−2,0)，则，故直线AP 的方程为：，代入方程并整理得：．2211y kx x y =-⎧⎨-=⎩1212000x x x x +>⎧⎪⋅>⎨⎪∆>⎩()()22144120k k k >⎧⎪⎨∆=--⋅->⎪⎩1k <<(12122222,11k x x x x k k +==--==422855250k k -+=257k =254k =1k <<k =()OC m OA OB =+(),8m 14m =±14k m ==±2214x y +=12F M F N =114F M F N +=214F N F N +=24a =2a =2214x y +=()()004,0P y y ≠06AP y k =()026y y x =+2214x y +=()222200944360y xy x y +++-=由韦达定理：即，∴同理可解得：，，∴故直线CD 的方程为，即，化简可得：，直线CD 恒过定点．∴，因为，，所以14．(1)；(2)不存在，理由见解析.【详解】（1）由题意，动点P 的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，故，所以曲线C 的方程为.（2）设，联立，得，且，则，故，所以，所以，又，即，不满足，所以不存在满足要求的直线l .2020429A C Cy x x x y +=-+=-+20201829C y x y -=+02069C y y y =+2020221D y x y -=+02021Dy y y -=+02023C D CD C D y y y k x x y -==--()CD C C y k x x y =-+200022200021826399y y y y x y y y ⎛⎫-=-+ ⎪-++⎝⎭()()2003210y y y x -+-+=()1,0E 11sin sin 2211sin sin 22ACD AEC AEDBCD BCE BEDAE CE AEC AE DE AEDS S S S S S EB CE BEC BE DE BED ⋅∠+⋅∠+==+⋅∠+⋅∠V V V V V V sin sin AEC AED ∠=∠sin sin BEC BED ∠=∠ACDBCD S S =V V sin 33sin 1CD AE AEC AE CD EB BEC EB λ⋅⋅∠====⋅⋅∠24x y =(0,1)F 1y =-2p =24x y =112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y 24x y y x m⎧=⎨=+⎩2440x x m --=16160m ∆=+>1m >-12124,4x x x x m +==-1242y y m +=+(2,2)M m +MF AB ⊥11132m m +⨯=-⇒=-1m >-15．(1)或(2).【详解】（1）由题设，设直线，联立双曲线，得，所以，当，即时，直线与双曲线只有一个交点，当，交点为；当，交点为；当，此时，则当，切点为；当；综上，或（2）由题设直线，联立双曲线方程，得，则，故，所以①，设，则，，由12k =±k =2m =()02,M :2l y kx =+224(2)4x kx -+=22(14)16200k x kx ---=2140k -=12k =±12k =53(,24-12k =-53(,)242140k -≠2225680(14)0k k ∆=+-=k =k =1()2-k =1)2-12k =±k =:()22l y k x m kx mk =-+=+-22424()x kx mk +--=222241)8(2)4(45)0(k x k mk x m k mk -+-+-+=222264(2)164)[(2)]0(11k mk k mk -+⨯--+⨯=>∆22(2)41mk k ->-1122()A x y B x y ,,(,)1228(2)41k mk k x x -+=-212224(45)41x mk x m k k -+-=121221211212121212121212(2)(2)2()222()42()4x k y y y x y x x y x y y y x x x x x x x x x k -+-+-+=+==---++++-+又，，为定值，所以，此时为定值.16．(1)(2)【详解】（1）设椭圆C的半焦距为，由题意可得：，解得，所以椭圆.因为，则直线，，联立方程，消去y得，则，可得，则，，即线段AB的中点为，112y kx mk=+-222y kx mk=+-12k k+121212122(22)()482()4kx x mk k x x mkx x x x+--++-=-++222222222(22)48244(45)8(2)41414(45)8(2)4141m k mk k mmk mk k mkkk km k k k mkk k-+---⋅+--⋅+-=-+----⋅+22(84)8(41616)(3216)16m km m k m k-+=-++-+24161602m m m-+=⇒=1212k k+=1k=17⎛⎝c>222112cceaa b c=⎧⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩12cab⎧=⎪=⎨⎪=⎩22:143x yC+=()1,0F-():1AB y k x=+()()1122,,,A x yB x y()221143y k xx y⎧=+⎪⎨+=⎪⎩()22224384120k x k x k+++-=()()()()22222844341214410∆=-+-=+>k k k k221212228412,4343k kx x x xk k-+=-=++21224243+=-+x x kk()()1212122113122243+++++⎛⎫==+=⎪+⎝⎭k x b k xy y x x kkk22243,4343⎛⎫- ⎪++⎝⎭k kk k所以直线，即，若直线l 过点，则，整理得，对于，则，即无解，由，解得.（2）由（1）可知：直线，令，可得，即直线l 与PN 的交点坐标为，令，可得，即直线l 与QM 的交点坐标为，由题意可得：，解得，，，，可得，令，则，可得，因为在内单调递增，且，可得，则，可得，，可得.222314:4343⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭k k l y x k k k 22043++=+k x ky k 21,77⎛⎫- ⎪⎝⎭P 22207743-++=+k k k ()()214360-++=k k k 24360++=k k 9446900∆=-⨯⨯=-<24360++=k k ()()214360-++=k k k 1k =22:043++=+k l x ky k 27x =-22743=-+k y k k 222,7743⎛⎫-- ⎪+⎝⎭k k k 17x =21743=--+k y k k 211,7743⎛⎫-- ⎪+⎝⎭k k k 222217743721177437k k k k k k ⎧-≤-≤⎪⎪+⎨⎪-≤--≤⎪+⎩1k ≥()2212143+=+k k =s 128=()()()2222222243891611k k k k k k ++==+++28917t k =+≥298-=t k ()2228964999110188k t t t k k t t +==--⎛⎫++-+ ⎪⎝⎭910=+-y t t [)17,+∞17128|17==t y 91281017+-≥t t ()2228964170,92110k k k t t +⎛⎤=∈ ⎥+⎝⎦+-()222289491616,21k k k +⎛⎤=+∈ ⎥+⎝⎦⎛ ⎝11287⎛= ⎝s AB所以的取值范围.17．（1）；（2）.【详解】（1）由题意，椭圆的左焦点为，根据椭圆的定义，可得点M，即，所以，又因为，可得，所以椭圆C的方程为.（2）当直线l 的斜率不存在时，结合椭圆的对称性可知，，不符合题意．故设直线l 的方程为，联立方程组，可得，则，所以，因为，可得，所以，又由，可得，所以，解得或，综上可得，直线的斜率的取值范围是.s AB 17⎛ ⎝2214x y +=1[,0)(1,)4-+∞ 2222+1(0)x y a b a b=>>(142=24a =2a =c =1b ==2214x y +=0OA OB k k +=1122(0),(,),(,)y kx m k A x y B x y =+≠2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩222(41)84(1)0k x kmx m +++-=212122284(1),4141km m x x x x k k --+==++21212211222121212()()()82224(1)1OA OB y y kx m x kx m x m x x km k k k k k x x x x x x m m ++++--+=+==+=+=--12OA OB k k +=-241m k =+14k ≥-0∆>2216(41)0k m -+>2440k k ->0k <1k >l 1[,0)(1,)4-+∞。
圆锥曲线(解析版)--2024年高考真题和模拟题数学好题汇编
圆锥曲线1(新课标全国Ⅱ卷)已知曲线C ：x 2+y 2=16(y >0)，从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ，P 为垂足，则线段PP 的中点M 的轨迹方程为()A.x 216+y 24=1(y >0)B.x 216+y 28=1(y >0)C.y 216+x 24=1(y >0)D.y 216+x 28=1(y >0)【答案】A【分析】设点M (x ,y )，由题意，根据中点的坐标表示可得P (x ,2y )，代入圆的方程即可求解.【详解】设点M (x ,y )，则P (x ,y 0),P (x ,0)，因为M 为PP 的中点，所以y 0=2y ，即P (x ,2y )，又P 在圆x 2+y 2=16(y >0)上，所以x 2+4y 2=16(y >0)，即x 216+y 24=1(y >0)，即点M 的轨迹方程为x 216+y 24=1(y >0).故选：A2(全国甲卷数学(理))已知双曲线C :y 2a 2-x 2b 2=1(a >0,b >0)的上、下焦点分别为F 10,4 ,F 20,-4 ，点P -6,4 在该双曲线上，则该双曲线的离心率为()A.4B.3C.2D.2【答案】C【分析】由焦点坐标可得焦距2c ，结合双曲线定义计算可得2a ，即可得离心率.【详解】由题意，F 10,-4 、F 20,4 、P -6,4 ，则F 1F 2 =2c =8，PF 1 =62+4+4 2=10，PF 2 =62+4-4 2=6，则2a =PF 1 -PF 2 =10-6=4，则e =2c 2a =84=2.故选：C .3(新高考天津卷)双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2.P 是双曲线右支上一点，且直线PF 2的斜率为2．△PF 1F 2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为()A.x 28-y 22=1B.x 28-y 24=1C.x 22-y 28=1D.x 24-y 28=1【答案】C【分析】可利用△PF 1F 2三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设PF 2 =m ，由面积公式求出m ，由勾股定理得出c ，结合第一定义再求出a .【详解】如下图：由题可知，点P 必落在第四象限，∠F 1PF 2=90°，设PF 2 =m ，∠PF 2F 1=θ1,∠PF 1F 2=θ2，由k PF 2=tan θ1=2，求得sin θ1=25，因为∠F 1PF 2=90°，所以k PF 1⋅k PF 2=-1，求得k PF 1=-12，即tan θ2=12，sin θ2=15，由正弦定理可得：PF 1 :PF 2 :F 1F 2 =sin θ1:sin θ2:sin90°=2:1:5，则由PF 2 =m 得PF 1 =2m ,F 1F 2 =2c =5m ，由S △PF 1F 2=12PF 1 ⋅PF 2 =12m ⋅2m =8得m =22，则PF 2 =22,PF 1 =42,F 1F 2 =2c =210,c =10，由双曲线第一定义可得：PF 1 -PF 2 =2a =22，a =2,b =c 2-a 2=8，所以双曲线的方程为x 22-y 28=1.故选：C4(新课标全国Ⅰ卷)(多选)造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于-2，到点F (2,0)的距离与到定直线x =a (a <0)的距离之积为4，则()A.a =-2B.点(22,0)在C 上C.C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点x 0,y 0 在C 上时，y 0≤4x 0+2【答案】ABD【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求a，故可判断A的正误，结合曲线方程可判断B的正误，利用特例法可判断C的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D的正误.【详解】对于A：设曲线上的动点P x,y，则x>-2且x-22+y2×x-a=4，因为曲线过坐标原点，故0-22+02×0-a=4，解得a=-2，故A正确.对于B：又曲线方程为x-22+y2×x+2=4，而x>-2，故x-22+y2×x+2=4.当x=22,y=0时，22-22×22+2=8-4=4，故22,0在曲线上，故B正确.对于C：由曲线的方程可得y2=16x+22-x-22，取x=32，则y2=6449-14，而6449-14-1=6449-54=256-24549×4>0，故此时y2>1，故C在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C错误.对于D：当点x0,y0在曲线上时，由C的分析可得y20=16x0+22-x0-22≤16x0+22，故-4x0+2≤y0≤4x0+2，故D正确.故选：ABD.【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等来处理.5(新课标全国Ⅱ卷)(多选)抛物线C：y2=4x的准线为l，P为C上的动点，过P作⊙A:x2+(y-4)2=1的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则()A.l与⊙A相切B.当P，A，B三点共线时，|PQ|=15C.当|PB|=2时，PA⊥ABD.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个【答案】ABD【分析】A选项，抛物线准线为x=-1，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，P,A,B三点共线时，先求出P 的坐标，进而得出切线长；C选项，根据PB=2先算出P的坐标，然后验证k PA k AB=-1是否成立；D选项，根据抛物线的定义，PB=PF，于是问题转化成PA=PF的P点的存在性问题，此时考察AF的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设P点坐标进行求解.【详解】A选项，抛物线y2=4x的准线为x=-1，⊙A的圆心(0,4)到直线x=-1的距离显然是1，等于圆的半径，故准线l和⊙A相切，A选项正确；B选项，P,A,B三点共线时，即PA⊥l，则P的纵坐标y P=4，由y2P=4x P，得到x P=4，故P(4,4)，此时切线长PQ=PA2-r2=42-12=15，B选项正确；C选项，当PB=2时，xP=1，此时y2P=4x P=4，故P(1,2)或P(1,-2)，当P(1,2)时，A(0,4),B(-1,2)，k PA=4-20-1=-2，k AB=4-20-(-1)=2，不满足k PA k AB=-1；当P(1,-2)时，A(0,4),B(-1,2)，k PA=4-(-2)0-1=-6，k AB=4-(-2)0-(-1)=6，不满足k PA k AB=-1；于是PA⊥AB不成立，C选项错误；D选项，方法一：利用抛物线定义转化根据抛物线的定义，PB=PF，这里F(1,0)，于是PA=PB时P点的存在性问题转化成PA=PF时P点的存在性问题，A(0,4),F(1,0)，AF中点12,2，AF中垂线的斜率为-1kAF =14，于是AF的中垂线方程为：y=2x+158，与抛物线y2=4x联立可得y2-16y+30=0，Δ=162-4×30=136>0，即AF的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个P点，使得PA=PF，D选项正确.方法二：(设点直接求解)设Pt24,t，由PB⊥l可得B-1,t，又A(0,4)，又PA=PB，根据两点间的距离公式，t416+(t-4)2=t24+1，整理得t2-16t+30=0，Δ=162-4×30=136>0，则关于t的方程有两个解，即存在两个这样的P点，D选项正确.故选：ABD6(新课标全国Ⅰ卷)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1、F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|=13,|AB|=10，则C的离心率为．【答案】3 2【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出AF2，结合双曲线第一定义求出AF1，即可得到a,b,c的值，从而求出离心率.【详解】由题可知A ,B ,F 2三点横坐标相等，设A 在第一象限，将x =c 代入x 2a 2-y 2b 2=1得y =±b 2a ，即A c ,b 2a ,B c ,-b 2a ，故AB =2b 2a =10，AF 2 =b 2a=5，又AF 1 -AF 2 =2a ，得AF 1 =AF 2 +2a =2a +5=13，解得a =4，代入b 2a=5得b 2=20，故c 2=a 2+b 2=36,，即c =6，所以e =c a =64=32.故答案为：327(新高考北京卷)已知抛物线y 2=16x ，则焦点坐标为．【答案】4,0【分析】形如y 2=2px ,p ≠0 的抛物线的焦点坐标为p2,0，由此即可得解.【详解】由题意抛物线的标准方程为y 2=16x ，所以其焦点坐标为4,0 .故答案为：4,0 .8(新高考北京卷)已知双曲线x 24-y 2=1，则过3,0 且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为．【答案】±12【分析】首先说明直线斜率存在，然后设出方程，联立双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解.【详解】联立x =3与x 24-y 2=1，解得y =±52，这表明满足题意的直线斜率一定存在，设所求直线斜率为k ，则过点3,0 且斜率为k 的直线方程为y =k x -3 ，联立x 24-y 2=1y =k x -3 ，化简并整理得：1-4k 2x 2+24k 2x -36k 2-4=0，由题意得1-4k 2=0或Δ=24k 2 2+436k 2+4 1-4k 2 =0，解得k =±12或无解，即k =±12，经检验，符合题意.故答案为：±12.9(新高考天津卷)(x -1)2+y 2=25的圆心与抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为．【答案】45/0.8【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求A 及AF 的方程，从而可求原点到直线AF 的距离.【详解】圆(x -1)2+y 2=25的圆心为F 1,0 ，故p2=1即p =2，由x -12+y 2=25y 2=4x可得x 2+2x -24=0，故x =4或x =-6(舍)，故A 4,±4 ，故直线AF :y =±43x -1 即4x -3y -4=0或4x +3y -4=0，故原点到直线AF 的距离为d =45=45，故答案为：4510(新高考上海卷)已知抛物线y 2=4x 上有一点P 到准线的距离为9，那么点P 到x 轴的距离为．【答案】42【分析】根据抛物线的定义知x P =8，将其再代入抛物线方程即可.【详解】由y 2=4x 知抛物线的准线方程为x =-1，设点P x 0,y 0 ，由题意得x 0+1=9，解得x 0=8，代入抛物线方程y 2=4x ，得y 20=32，解得y 0=±42，则点P 到x 轴的距离为42．故答案为：42．11(新课标全国Ⅰ卷)已知A (0,3)和P 3,32 为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且△ABP 的面积为9，求l 的方程．【答案】(1)12(2)直线l 的方程为3x -2y -6=0或x -2y =0.【分析】(1)代入两点得到关于a ,b 的方程，解出即可；(2)方法一：以AP 为底，求出三角形的高，即点B 到直线AP 的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到B 点坐标，则得到直线l 的方程；方法二：同法一得到点B 到直线AP 的距离，再设B x 0,y 0 ，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点B 到直线AP 的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线AB 斜率不存在的情况，再设直线y =kx +3，联立椭圆方程，得到点B 坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线PB 斜率不存在的情况，再设PB :y -32=k (x -3)，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘12表达面积即可.【详解】(1)由题意得b=39a2+94b2=1，解得b2=9a2=12，所以e=1-b2a2=1-912=12.(2)法一：k AP=3-320-3=-12，则直线AP的方程为y=-12x+3，即x+2y-6=0，AP=0-32+3-3 22=352，由(1)知C:x212+y29=1，设点B到直线AP的距离为d，则d=2×9352=1255，则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移1255单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点B，设该平行线的方程为：x+2y+C=0，则C+65=1255，解得C=6或C=-18，当C=6时，联立x212+y29=1x+2y+6=0，解得x=0y=-3或x=-3y=-32，即B0,-3或-3,-3 2，当B0,-3时，此时k l=32，直线l的方程为y=32x-3，即3x-2y-6=0，当B-3,-3 2时，此时k l=12，直线l的方程为y=12x，即x-2y=0，当C=-18时，联立x212+y29=1x+2y-18=0得2y2-27y+117=0，Δ=272-4×2×117=-207<0，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0.法二：同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0，点B到直线AP的距离d=125 5，设B x0,y0，则x0+2y0-65=1255x2012+y209=1，解得x0=-3y0=-32或x0=0y0=-3，即B0,-3或-3,-3 2，以下同法一.法三：同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0，点B到直线AP的距离d=125 5，设B 23cos θ,3sin θ ，其中θ∈0,2π ，则有23cos θ+6sin θ-6 5=1255，联立cos 2θ+sin 2θ=1，解得cos θ=-32sin θ=-12或cos θ=0sin θ=-1，即B 0,-3 或-3,-32，以下同法一；法四：当直线AB 的斜率不存在时，此时B 0,-3 ，S △PAB =12×6×3=9，符合题意，此时k l =32，直线l 的方程为y =32x -3，即3x -2y -6=0，当线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y =kx +3，联立椭圆方程有y =kx +3x 212+y 29=1，则4k 2+3 x 2+24kx =0，其中k ≠k AP ，即k ≠-12，解得x =0或x =-24k 4k 2+3，k ≠0，k ≠-12，令x =-24k 4k 2+3，则y =-12k 2+94k 2+3，则B -24k 4k 2+3,-12k 2+94k 2+3同法一得到直线AP 的方程为x +2y -6=0，点B 到直线AP 的距离d =1255，则-24k4k 2+3+2×-12k 2+94k 2+3-65=1255，解得k =32，此时B -3,-32 ，则得到此时k l =12，直线l 的方程为y =12x ，即x -2y =0，综上直线l 的方程为3x -2y -6=0或x -2y =0.法五：当l 的斜率不存在时，l :x =3,B 3,-32,PB =3,A 到PB 距离d =3，此时S △ABP =12×3×3=92≠9不满足条件.当l 的斜率存在时，设PB :y -32=k (x -3)，令P x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，y =k (x -3)+32x 212+y 29=1 ，消y 可得4k 2+3 x 2-24k 2-12k x +36k 2-36k -27=0，Δ=24k 2-12k 2-44k 2+3 36k 2-36k -27 >0，且k ≠k AP ，即k ≠-12，x 1+x 2=24k 2-12k 4k 2+3x 1x 2=36k 2-36k -274k 2+3,PB =k 2+1x 1+x 2 2-4x 1x 2=43k 2+13k 2+9k +2744k 2+3 ，A 到直线PB 距离d =3k +32k 2+1,S △PAB =12⋅43k 2+13k 2+9k +2744k 2+3⋅3k +32 k 2+1=9，∴k =12或32，均满足题意，∴l :y =12x 或y =32x -3，即3x -2y -6=0或x -2y =0.法六：当l 的斜率不存在时，l :x =3,B 3,-32,PB =3,A 到PB 距离d =3，此时S △ABP =12×3×3=92≠9不满足条件.当直线l 斜率存在时，设l :y =k (x -3)+32，设l 与y 轴的交点为Q ，令x =0，则Q 0,-3k +32，联立y =kx -3k +323x 2+4y 2=36，则有3+4k 2 x 2-8k 3k -32x +36k 2-36k -27=0，3+4k 2x 2-8k 3k -32x +36k 2-36k -27=0，其中Δ=8k 23k -322-43+4k 2 36k 2-36k -27 >0，且k ≠-12，则3x B =36k 2-36k -273+4k 2,x B =12k 2-12k -93+4k 2，则S =12AQ x P -x B =123k +32 12k +183+4k 2=9，解的k =12或k =32，经代入判别式验证均满足题意.则直线l 为y =12x 或y =32x -3，即3x -2y -6=0或x -2y =0.12(新课标全国Ⅱ卷)已知双曲线C :x 2-y 2=m m >0 ，点P 15,4 在C 上，k 为常数，0<k <1．按照如下方式依次构造点P n n =2,3,... ，过P n -1作斜率为k 的直线与C 的左支交于点Q n -1，令P n 为Q n -1关于y 轴的对称点，记P n 的坐标为x n ,y n .(1)若k =12，求x 2,y 2；(2)证明：数列x n -y n 是公比为1+k1-k的等比数列；(3)设S n 为△P n P n +1P n +2的面积，证明：对任意的正整数n ，S n =S n +1.【答案】(1)x 2=3，y 2=0(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】(1)直接根据题目中的构造方式计算出P 2的坐标即可；(2)根据等比数列的定义即可验证结论；(3)思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明S n 的取值为与n 无关的定值即可.思路二：使用等差数列工具，证明S n 的取值为与n 无关的定值即可.【详解】(1)由已知有m =52-42=9，故C 的方程为x 2-y 2=9.当k =12时，过P 15,4 且斜率为12的直线为y =x +32，与x 2-y 2=9联立得到x 2-x +322=9.解得x =-3或x =5，所以该直线与C 的不同于P 1的交点为Q 1-3,0 ，该点显然在C 的左支上.故P 23,0 ，从而x 2=3，y 2=0.(2)由于过P n x n ,y n 且斜率为k 的直线为y =k x -x n +y n ，与x 2-y 2=9联立，得到方程x 2-k x -x n +y n 2=9.展开即得1-k 2 x 2-2k y n -kx n x -y n -kx n 2-9=0，由于P n x n ,y n 已经是直线y =k x -x n +y n 和x 2-y 2=9的公共点，故方程必有一根x =x n .从而根据韦达定理，另一根x =2k y n -kx n 1-k 2-x n =2ky n -x n -k 2x n1-k 2，相应的y =k x -x n +y n =y n +k 2y n -2kx n1-k 2.所以该直线与C 的不同于P n 的交点为Q n2ky n -x n -k 2x n 1-k 2,y n +k 2y n -2kx n1-k 2，而注意到Q n 的横坐标亦可通过韦达定理表示为-y n -kx n 2-91-k 2x n ，故Q n 一定在C 的左支上.所以P n +1x n +k 2x n -2ky n 1-k 2,y n +k 2y n -2kx n1-k 2.这就得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n1-k 2.所以x n +1-y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2-y n +k 2y n -2kx n1-k 2=x n +k 2x n +2kx n 1-k 2-y n +k 2y n +2ky n 1-k 2=1+k 2+2k 1-k2x n -y n =1+k 1-k x n -y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1-y 1≠0，所以数列x n -y n 是公比为1+k 1-k 的等比数列.(3)方法一：先证明一个结论：对平面上三个点U ,V ,W ，若UV =a ,b ，UW =c ,d ，则S △UVW =12ad -bc .(若U ,V ,W 在同一条直线上，约定S △UVW =0)证明：S △UVW =12UV ⋅UW sin UV ,UW =12UV ⋅UW 1-cos 2UV ,UW =12UV⋅UW 1-UV ⋅UWUV ⋅UW 2=12UV 2⋅UW 2-UV ⋅UW 2=12a 2+b 2c 2+d 2-ac +bd2=12a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2-a 2c 2-b 2d 2-2abcd =12a 2d 2+b 2c 2-2abcd =12ad -bc2=12ad -bc .证毕，回到原题.由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n 1-k 2，故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k 2x n +y n=1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1+y 1≠0，所以数列x n +y n 是公比为1-k 1+k 的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n =121-k 1+k m -1+k 1-k m x 2n -y 2n=921-k 1+k m -1+k 1-k m .而又有P n +1P n =-x n +1-x n ,-y n +1-y n ，P n +1P n +2=x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 ，故利用前面已经证明的结论即得S n =S △P n P n +1P n +2=12-x n +1-x n y n +2-y n +1 +y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1-x n y n +2-y n +1 -y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1y n +2-y n +1x n +2 +x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2=12921-k 1+k -1+k 1-k +921-k 1+k -1+k 1-k -921-k 1+k 2-1+k 1-k 2.这就表明S n 的取值是与n 无关的定值，所以S n =S n +1.方法二：由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n 1-k 2，故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k2x n +y n =1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1+y 1≠0，所以数列x n +y n 是公比为1-k1+k的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n =121-k 1+k m -1+k 1-k m x 2n -y 2n =921-k 1+k m -1+k 1-k m.这就得到x n +2y n +3-y n +2x n +3=921-k 1+k -1+k1-k=x n y n +1-y n x n +1，以及x n +1y n +3-y n +1x n +3=921-k 1+k 2-1+k 1-k 2=x n y n +2-y n x n +2.两式相减，即得x n +2y n +3-y n +2x n +3 -x n +1y n +3-y n +1x n +3 =x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2 .移项得到x n +2y n +3-y n x n +2-x n +1y n +3+y n x n +1=y n +2x n +3-x n y n +2-y n +1x n +3+x n y n +1.故y n +3-y n x n +2-x n +1 =y n +2-y n +1 x n +3-x n .而P n P n +3 =x n +3-x n ,y n +3-y n ，P n +1P n +2 =x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 .所以P n P n +3 和P n +1P n +2平行，这就得到S △P n P n +1P n +2=S △P n +1P n +2P n +3，即S n =S n +1.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解.13(全国甲卷数学(理)(文))设椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ，点M 1,32 在C 上，且MF ⊥x 轴．(1)求C 的方程；(2)过点P 4,0 的直线与C 交于A ,B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ ⊥y 轴．【答案】(1)x 24+y 23=1(2)证明见解析【分析】(1)设F c ,0 ，根据M 的坐标及MF ⊥x 轴可求基本量，故可求椭圆方程.(2)设AB :y =k (x -4)，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，联立直线方程和椭圆方程，用A ,B 的坐标表示y 1-y Q ，结合韦达定理化简前者可得y 1-y Q =0，故可证AQ ⊥y 轴.【详解】(1)设F c ,0 ，由题设有c =1且b 2a =32，故a 2-1a =32，故a =2，故b =3，故椭圆方程为x 24+y 23=1.(2)直线AB 的斜率必定存在，设AB :y =k (x -4)，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由3x 2+4y 2=12y =k (x -4) 可得3+4k 2 x 2-32k 2x +64k 2-12=0，故Δ=1024k 4-43+4k 2 64k 2-12 >0，故-12<k <12，又x 1+x 2=32k 23+4k 2,x 1x 2=64k 2-123+4k 2，而N 52,0 ，故直线BN :y =y 2x 2-52x -52 ，故y Q =-32y 2x 2-52=-3y 22x 2-5，所以y 1-y Q =y 1+3y 22x 2-5=y 1×2x 2-5 +3y 22x 2-5=k x 1-4 ×2x 2-5 +3k x 2-42x 2-5=k 2x 1x 2-5x 1+x 2 +82x 2-5=k2×64k 2-123+4k 2-5×32k 23+4k 2+82x 2-5=k128k 2-24-160k 2+24+32k 23+4k 22x 2-5=0，故y 1=y Q ，即AQ ⊥y 轴.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：(1)设直线方程，设交点坐标为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ；(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x (或y )的一元二次方程，注意Δ的判断；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为x 1+x 2、x 1x 2(或y 1+y 2、y 1y 2)的形式；(5)代入韦达定理求解.14(新高考北京卷)已知椭圆方程C ：x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 ，焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，过0,t t >2 的直线l 与椭圆交于A ，B ，C 0,1 ，连接AC 交椭圆于D ．(1)求椭圆方程和离心率；(2)若直线BD 的斜率为0，求t ．【答案】(1)x 24+y 22=1,e =22(2)t =2【分析】(1)由题意得b =c =2，进一步得a ，由此即可得解；(2)说明直线AB 斜率存在，设AB :y =kx +t ,t >2 ，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，联立椭圆方程，由韦达定理有x 1+x 2=-4kt 1+2k 2,x 1x 2=2t 2-42k 2+1，而AD :y =y 1-y 2x 1+x 2x -x 1 +y 1，令x =0，即可得解.【详解】(1)由题意b =c =22=2，从而a =b 2+c 2=2，所以椭圆方程为x 24+y 22=1，离心率为e =22；(2)显然直线AB 斜率存在，否则B ,D 重合，直线BD 斜率不存在与题意不符，同样直线AB 斜率不为0，否则直线AB 与椭圆无交点，矛盾，从而设AB :y =kx +t ,t >2 ，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，联立x 24+y 22=1y =kx +t ，化简并整理得1+2k 2x 2+4ktx +2t 2-4=0，由题意Δ=16k 2t 2-82k 2+1 t 2-2 =84k 2+2-t 2 >0，即k ,t 应满足4k 2+2-t 2>0，所以x 1+x 2=-4kt 1+2k 2,x 1x 2=2t 2-42k 2+1，若直线BD 斜率为0，由椭圆的对称性可设D -x 2,y 2 ，所以AD :y =y 1-y 2x 1+x 2x -x 1 +y 1，在直线AD 方程中令x =0，得y C =x 1y 2+x 2y 1x 1+x 2=x 1kx 2+t +x 2kx 1+t x 1+x 2=2kx 1x 2+t x 1+x 2 x 1+x 2=4k t 2-2 -4kt +t =2t =1，所以t =2，此时k 应满足4k 2+2-t 2=4k 2-2>0k ≠0 ，即k 应满足k <-22或k >22，综上所述，t =2满足题意，此时k <-22或k >22.15(新高考天津卷)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)椭圆的离心率e =12．左顶点为A ，下顶点为B ，C 是线段OB 的中点，其中S △ABC =332．(1)求椭圆方程．(2)过点0,-32的动直线与椭圆有两个交点P ，Q ．在y 轴上是否存在点T 使得TP ⋅TQ ≤0恒成立．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．【答案】(1)x 212+y 29=1(2)存在T 0,t -3≤t ≤32，使得TP ⋅TQ ≤0恒成立.【详解】(1)因为椭圆的离心率为e =12，故a =2c ，b =3c ，其中c 为半焦距，所以A -2c ,0 ,B 0,-3c ,C 0,-3c 2 ，故S △ABC=12×2c ×32c =332，故c =3，所以a =23，b =3，故椭圆方程为：x 212+y 29=1.(2)若过点0,-32 的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：y =kx -32，设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,T 0,t ，由3x 2+4y 2=36y =kx -32可得3+4k 2 x 2-12kx -27=0，故Δ=144k 2+1083+4k 2 =324+576k 2>0且x 1+x 2=12k 3+4k 2,x 1x 2=-273+4k 2,而TP =x 1,y 1-t ,TQ=x 2,y 2-t ，故TP ⋅TQ =x 1x 2+y 1-t y 2-t =x 1x 2+kx 1-32-t kx 2-32-t =1+k 2 x 1x 2-k 32+t x 1+x 2 +32+t 2=1+k 2 ×-273+4k 2-k 32+t ×12k 3+4k 2+32+t 2=-27k 2-27-18k 2-12k 2t +332+t 2+3+2t 2k 23+4k 2=3+2t2-12t -45 k 2+332+t 2-273+4k 2，因为TP ⋅TQ ≤0恒成立，故3+2t 2-12t -45≤0332+t 2-27≤0，解得-3≤t ≤32.若过点0,-32的动直线的斜率不存在，则P 0,3 ,Q 0,-3 或P 0,-3 ,Q 0,3 ，此时需-3≤t ≤3，两者结合可得-3≤t ≤32.综上，存在T 0,t-3≤t ≤32 ，使得TP ⋅TQ ≤0恒成立.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.16(新高考上海卷)已知双曲线Γ:x 2-y 2b2=1,(b >0),左右顶点分别为A 1,A 2，过点M -2,0 的直线l 交双曲线Γ于P ,Q 两点.(1)若离心率e =2时，求b 的值．(2)若b =263,△MA 2P 为等腰三角形时，且点P 在第一象限，求点P 的坐标．(3)连接OQ 并延长，交双曲线Γ于点R ，若A 1R ⋅A 2P=1，求b 的取值范围．【答案】(1)b =3(2)P 2,22 (3)0,3 ∪3,303【详解】(1)由题意得e =c a =c1=2，则c =2，b =22-1=3．(2)当b =263时，双曲线Γ:x 2-y 283=1，其中M -2,0 ，A 21,0 ，因为△MA 2P 为等腰三角形，则①当以MA 2为底时，显然点P 在直线x =-12上，这与点P 在第一象限矛盾，故舍去；②当以A 2P 为底时，MP =MA 2 =3，设P x ,y ，则 x 2-3y 28=1(x +2)2+y 2=9, 联立解得x =-2311y =-81711 或x =-2311y =81711或x =1y =0 ，因为点P 在第一象限，显然以上均不合题意，舍去；(或者由双曲线性质知MP >MA 2 ，矛盾，舍去)；③当以MP 为底时，A 2P =MA 2 =3，设P x 0,y 0 ，其中x 0>0,y 0>0，则有x 0-1 2+y 20=9x 20-y 2083=1，解得x 0=2y 0=22，即P 2,22 ．综上所述：P 2,22 .(3)由题知A 1-1,0 ,A 21,0 ， 当直线l 的斜率为0时，此时A 1R ⋅A 2P=0，不合题意，则k l ≠0，则设直线l :x =my -2，设点P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，根据OQ 延长线交双曲线Γ于点R ，根据双曲线对称性知R -x 2,-y 2 ， 联立有x =my -2x 2-y 2b2=1⇒b 2m 2-1 y 2-4b 2my +3b 2=0，显然二次项系数b 2m 2-1≠0，其中Δ=-4mb 2 2-4b 2m 2-1 3b 2=4b 4m 2+12b 2>0，y 1+y 2=4b 2m b 2m 2-1①，y 1y 2=3b 2b 2m 2-1②，A 1R =-x 2+1,-y 2 ,A 2P=x 1-1,y 1 ，则A 1R ⋅A 2P=-x 2+1 x 1-1 -y 1y 2=1，因为P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 在直线l 上，则x 1=my 1-2，x 2=my 2-2，即-my 2-3 my 1-3 -y 1y 2=1，即y 1y 2m 2+1 -y 1+y 2 3m +10=0，将①②代入有m 2+1 ⋅3b 2b 2m 2-1-3m ⋅4b 2m b 2m 2-1+10=0，即3b 2m 2+1 -3m ⋅4b 2m +10b 2m 2-1 =0化简得b 2m 2+3b 2-10=0，所以 m 2=10b 2-3, 代入到 b 2m 2-1≠0, 得 b 2=10-3b 2≠1, 所以 b 2≠3,且m 2=10b 2-3≥0，解得b 2≤103，又因为b >0，则0<b 2≤103，综上知，b 2∈0,3 ∪3,103 ，∴b ∈0,3 ∪3,303．【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用设线法，为了方便运算可设l :x =my -2，将其与双曲线方程联立得到韦达定理式，再写出相关向量，代入计算，要注意排除联立后的方程得二次项系数不为0.一、单选题1(2024·福建泉州·二模)若椭圆x 2a 2+y 23=1(a >0)的离心率为22，则该椭圆的焦距为()A.3B.6C.26或3D.23或6【答案】D【分析】分焦点在x 轴或y 轴两种情况，求椭圆的离心率，求解参数a ，再求椭圆的焦距.【详解】若椭圆的焦点在x 轴，则离心率e =a 2-3a =22，得a 2=6，此时焦距2c =26-3=23，若椭圆的焦点在y 轴，则离心率e =3-a 23=22，得a 2=32，此时焦距2c =23-32=6，所以该椭圆的焦距为23或6.故选：D2(2024·河北衡水·三模)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)，圆O 1:(x -2)2+y 2=4与圆O 2:x 2+(y -1)2=1的公共弦所在的直线是C 的一条渐近线，则C 的离心率为()A.3B.2C.5D.6【答案】C【详解】因为O 1:(x -2)2+y 2=4，O 2:x 2+(y -1)2=1，所以两圆方程相减可得y =2x ，由题意知C 的一条渐近线为y =2x ，即ba =2，双曲线C 的离心率e =c a =c 2a 2=a 2+b 2a 2=1+b 2a2=5．故选：C ．3(2024·北京·三模)已知双曲线E :3mx 2-my 2=3的一个焦点坐标是0,2 ，则m 的值及E 的离心率分别为()A.-1,233B.-1,2C.1，2D.102,10【答案】A【详解】依题意，双曲线E :3mx 2-my 2=3化为：y 2-3m -x 2-1m=1，则-3m +-1m =22，解得m =-1，双曲线y 23-x 2=1的离心率e =23=233.故选：A4(2024·贵州贵阳·三模)过点A (-3,-4)的直线l 与圆C :(x -3)2+(y -4)2=9相交于不同的两点M ，N ，则线段MN 的中点P 的轨迹是()A.一个半径为10的圆的一部分B.一个焦距为10的椭圆的一部分C.一条过原点的线段D.一个半径为5的圆的一部分【答案】D【详解】设P (x ,y )，根据线段MN 的中点为P ，则CP ⊥MN ，即CP ⊥AP ，所以CP ⋅AP =0，又A (-3,-4),C (3,4),AP =(x +3,y +4),CP =(x -3,y -4)，所以(x +3)(x -3)+(y +4)(y -4)=0，即x 2+y 2=25，所以点P 的轨迹是以(0,0)为圆心，半径为5的圆在圆C 内的一部分，故选：D .5(2024·湖南·模拟预测)已知点A 1,0 ，点B -1,0 ，动点M 满足直线AM ，BM 的斜率之积为4，则动点M 的轨迹方程为()A.x 24-y 2=1B.x 24-y 2=1(x ≠±1)C.x 2-y 24=1D.x 2-y 24=1(x ≠±1)【答案】D【详解】设动点M (x ,y )由于A 1,0 ，B -1,0 ，根据直线AM 与BM 的斜率之积为4．整理得y x +1⋅y x -1=4，化简得：x 2-y 24=1(x ≠±1)．故选：D6(2024·陕西榆林·三模)在平面直角坐标系xOy 中，把到定点F 1-a ,0 ,F 2a ,0 距离之积等于a 2(a >0)的点的轨迹称为双纽线.若a =2，点P x 0,y 0 为双纽线C 上任意一点，则下列结论正确的个数是()①C 关于x 轴不对称②C 关于y 轴对称③直线y =x 与C 只有一个交点④C 上存在点P ，使得PF 1 =PF 2 A.1个 B.2个C.3个D.4个【答案】C【详解】①设M x ,y 到定点F 1-2,0 ,F 22,0 的距离之积为4，可得(x +2)2+y 2.(x -2)2+y 2=4，整理得x 2+y 2 2=8x 2-y 2 ，即曲线C 的方程为x 2+y 2 2=8x 2-y 2 ，由x 用-x 代换，方程没变，可知曲线C 关于y 轴对称，由y 用-y 代换，方程没变，可知曲线C 关于x 轴对称，由x 用-x 代换，y 用-y 同时代换，方程没变，可知曲线C 关于原点对称，图象如图所示：所以①不正确，②正确；③联立方程组x 2+y 2 2=8x 2-y 2y =x，可得x 4=0，即x =0，所以y =0，所以直线y =x 与曲线C 只有一个交点O (0,0)，所以③正确.④原点O 0,0 满足曲线C 的方程，即原点O 在曲线C 上，则OF 1 =OF 2 ，即曲线C 上存在点P 与原点O 重合时，满足PF 1 =PF 2 ，所以④正确.故选:C .7(2024·福建泉州·二模)双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)，左、右顶点分别为A ，B ，O 为坐标原点，如图，已知动直线l 与双曲线C 左、右两支分别交于P ，Q 两点，与其两条渐近线分别交于R ，S 两点，则下列命题正确的是()A.存在直线l ，使得BQ ⎳OSB.当且仅当直线l 平行于x 轴时，|PR |=|SQ |C.存在过(0,b )的直线l ，使得S △ORB 取到最大值D.若直线l 的方程为y =-22(x -a ),BR =3BS ，则双曲线C 的离心率为3【答案】D【详解】解：对于A 项：与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点，故A 项错误；对于B 项：设直线l :y =kx +t ，与双曲线联立y =kx +tx 2a2-y 2b2=1，得：b 2-a 2k 2 x 2-2a 2ktx -a 2t 2+a 2b 2 =0，其中b 2-a 2k 2≠0，设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，由根与系数关系得：x 1+x 2=2a 2kt b 2-a 2k 2,x 1x 2=-a 2b 2+a 2t 2b 2-a 2k 2，所以线段PQ 中点N x 1+x 22,y 1+y 22 =a 2kt b 2-a 2k 2,a 2k 2tb 2-a 2k2+t，将直线l :y =kx +t ，与渐近线y =b a x 联立得点S 坐标为S at b -ak ,btb -ak，将直线l :y =kx +t 与渐近线y =-b a x 联立得点R 坐标为R -at b +ak ,btb +ak ，所以线段RS 中点M a 2kt b 2-a 2k 2,a 2k 2tb 2-a 2k2+t，所以线段PQ 与线段RS 的中点重合．所以，对任意的直线l ，都有|PR |=|PQ |-|RS |2=|SQ |，故B 项不正确；对于C 项：因为|OB |为定值，当k 越来越接近渐近线y =-b a x 的斜率-ba 时，S △ORB 趋向于无穷，所以S △ORB 会趋向于无穷，不可能有最大值，故C 项错误；对于D 项：联立直线l 与渐近线y =bax ，解得Sa 22b +a ,ab2b +a，联立直线l 与渐近线y =-b a x ，解得R a 2-2b +a ,ab2b -a由题可知，BR =3BS ，3y S =y R +2y B ,3ab2b +a =ab2b -a ，解得b =2a ，所以e =1+b 2a2=1+(2a )2a 2=3，故D 项正确．故选：D ．【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：①定义法：通过已知条件列出方程组，求得a ,c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；②齐次式法：由已知条件得出关于a ,c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.8(2024·河南·二模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左，右焦点分别为F 1,F 2,O 为坐标原点，焦距为82，点P 在双曲线C 上，OP =OF 2 ，且△POF 2的面积为8，则双曲线的离心率为()A.2B.22C.2D.4【答案】C【详解】因为△POF 2的面积为8，所以△PF 1F 2的面积为16.又OP =OF 2 ，所以OP =OF 2 =OF 1 =12F 1F 2，所以△PF 1F 2为直角三角形，且PF 1⊥PF 2.设PF 1 =m ，PF 2 =n ，所以m -n =2a ,m 2+n 2=4c 2，所以mn =m 2+n 2 -(m -n )22=4c 2-4a 22=2b 2，所以S △PF 1F 2=12mn =b 2=16，又b >0，所以b =4.焦距为2c =82，所以c =42，则a 2=c 2-b 2=(42)2-16=16，所以a =4，则离心率e =424=2.故选：C .9(2024·重庆·三模)已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，点A 在第一象限，点O 为坐标原点，且S △AOF =2S △BOF ，则直线l 的斜率为()A.22B.3C.1D.-1【答案】A 【详解】如图：设直线倾斜角为α，抛物线的准线l ：x =-1作AM ⊥l 于M ，根据抛物线的定义，AM =AF =DF +AF ⋅cos α=2+AF ⋅cos α，所以|AF |=21-cos α，类似的|BF |=21+cos α.由S △AOF =2S △BOF 知|AF |=2|BF |，得cos α=13，故k =tan α=22.故选：A10(2024·黑龙江齐齐哈尔·三模)设F 为抛物线C :y =ax 2的焦点，若点P (1,2)在C 上，则|PF |=()A.3B.52C.94D.178【答案】D【详解】依题意，2=a ×12，解得a =2，所以C :x 2=y 2的准线为y =-18，所以|PF |=2+18=178，故选:D ．11(2024·山东泰安·二模)设抛物线x 2=4y 的焦点为F ，过抛物线上点P 作准线的垂线，设垂足为Q ，若∠PQF =30°，则PQ =()A.43B.433C.3D.233【答案】A【详解】如图所示：设 M 为准线与x 轴的交点，因为∠PQF =30°，且PF =PQ ，所以∠PFQ =30°,∠QPF =120°，因为FM ⎳PQ ，所以∠QFM =30°，而在Rt△QMF中，QF=FMcos30°=232=433，所以PF=PQ=QF2÷cos30°=233÷32=43.故选：A.二、多选题12(2024·江西·模拟预测)已知A-2,0，B2,0，C1,0，动点M满足MA与MB的斜率之积为-3 4，动点M的轨迹记为Γ，过点C的直线交Γ于P，Q两点，且P，Q的中点为R，则()A.M的轨迹方程为x24+y23=1B.MC的最小值为1C.若O为坐标原点，则△OPQ面积的最大值为32D.若线段PQ的垂直平分线交x轴于点D，则R点的横坐标是D点的横坐标的4倍【答案】BCD【详解】对于选项A，设M x,y，因为A-2,0，B2,0，所以k MA⋅k MB=yx+2⋅yx-2=-34，化简得x24+y23=1x≠±2，故A错误；对于选项B，因为x24+y23=1x≠±2，则a=2，b=3，则c=a2-b2=1，所以C1,0为椭圆的右焦点，则MCmin=a-c=2-1=1，故B正确；对于选项C，设PQ的方程 x=my+1，代入椭圆方程，得3m2+4y2+6my-9=0，设P x1,y1,Q x2,y2，则y1+y2=-6m3m2+4,y1y2=-93m2+4，Δ=36m2+363m2+4>0，所以S△OPQ=12OCy1-y2=12y1+y22-4y1y2=12-6m3m2+42+363m2+4=6m2+13m2+4，令m2+1=t≥1，则S△OPQ=6t3t2+1=63t+1t，令g t =3t+1tt≥1，则S△OPQ=6g t，t≥1,g t =3-1t2=3t2-1t2>0，g t 在1,+∞为增函数，g t ≥g1 =4，g t min=4，所以S△OPQmax=64=32，当且仅当t=1时即m=0等号成立，故C正确；对于选项D，因为Rx1+x22,y1+y22，x1+x22=m y1+y22+1=-3m23m2+4+1=43m2+4，y1+y22=-3m3m2+4，所以R43m2+4,-3m3m2+4，则x R=43m2+4，设D x D ,0 ，则k PQ ⋅k RD =1m ⋅3m3m 2+4x D -43m 2+4=-1，则x D =13m 2+4，所以x R x D=43m 2+413m 2+4=4，则R 点的横坐标是D 点的横坐标的4倍，故D 正确.故选：BCD .【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个：一是利用面积公式得出面积表达式，结合导数得出最值；二是根据垂直平分得出点之间的关系.13(2024·江苏常州·二模)双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图，双曲线E :x 24-y 26=1的左、右焦点分别为F 1,F 2，从F 2发出的两条光线经过E 的右支上的A ,B 两点反射后，分别经过点C 和D ，其中AF 2 ,BF 2共线，则()A.若直线AB 的斜率k 存在，则k 的取值范围为-∞,-62 ∪62,+∞ B.当点C 的坐标为210,10 时，光线由F 2经过点A 到达点C 所经过的路程为6C.当AB ⋅AD =AB 2时，△BF 1F 2的面积为12D.当AB ⋅AD =AB 2时，cos ∠F 1F 2A =-1010【答案】ABD【详解】如图所示，过点F 2分别作E 的两条渐近线的平行线l 1,l 2，则l 1,l 2的斜率分别为62和-62，对于A 中，由图可知，当点A ,B 均在E 的右支时，k <-62或k >62，所以A 正确；对于B 中，光线由F 2经过点A 到达点C 所经过的路程为F 2A +AC =F 1A -2a +AC =F 1C -2a =(210+10)2+(10-0)2-4=6，所以B 正确；对于C 中，由AB ⋅AD =AB 2，得AB ⋅AD -AB =0，即AB ⋅BD=0，所以AB ⊥BD ，设BF 1 =n ，则BF 2 =n -2a =n -4，因为∠ABD =π2，所以n 2+(n -4)2=(2c )2=40，整理得n 2-4n -12=0，解得n =6或n =-2(舍去)，所以BF 1 =6，BF 2 =2，所以△BF 1F 2的面积S =12BF 1 ⋅BF 2 =6，所以C 错误；对于D 项，在直角△F 1BF 2中，cos ∠F 1F 2B =BF 2 F 1F 2=2210=1010，所以cos ∠F 1F 2A =-cos ∠F 1F 2B =-1010，所以D 正确．故选：ABD ．14(2024·重庆·三模)已知双曲线C :x 2a 2-y 216=1(a >0)的左，右焦点分别为F 1,F 2,P 为双曲线C 上点，且△PF 1F 2的内切圆圆心为I (3,1)，则下列说法正确的是()A.a =3B.直线PF 1的斜率为14C.△PF 1F z 的周长为643D.△PF 1F 2的外接圆半径为6512【答案】ACD【详解】如图1，由条件，点P 应在双曲线C 的右支上，设圆I 分别与△PF 1F 2的三边切于点M ､N ､A ，则由题A 3,0 ，且PM =PN ,F 1M =F 1A ，F 2N =F 2A ，又∵PF 1 -PF 2 =F 1M -F 2N =AF 1 -F 2A =x A +c -c -x A =2x A =2a ∴a =x A =3，A 选项正确；由选项A 得F 1-5,0 ,F 25,0 ，连接IF 1、IF 2、IA ，则tan ∠IF 1A =IA AF 1=18，所以k PF 1=tan ∠PF 1A =tan2∠IF 1A =2tan ∠IF 1A 1-tan 2∠IF 1A=1663，B 选项错误；同理，tan ∠PF 2A =tan2∠IF 2A =43，∴tan ∠F 1PF 2=-tan ∠PF 1A +∠PF 2A =-125，∴⇒tan∠F 1PF 22=32，所以由焦三角面积公式得S △F 1PF 2=b 2tan∠F 1PF 22=323，又S △F 1PF 2=PF 1+PF 2+F 1F 2 r2，故得PF 1 +PF 2 +F 1F 2 =643，∴△PF 1F 2的周长为643，C 选项正确；由tan ∠F 1PF 2=-125⇒sin ∠F 1PF 2=1213，由正弦定理F 1F 2sin ∠F 1PF 2=2R 得R =6512，D 选项正确.故选：ACD .【点睛】关键点睛：求直线PF 1的斜率、△PF 1F z 的周长、△PF 1F 2的外接圆半径的关键是根据已知条件F 1A 、F 2A 、IA 以及与各个所需量的关系即可求出∠PF 1A =2∠IF 1A 、∠PF 2A =2∠IF 2A 和∠F 2PF 1.15(2024·湖北襄阳·二模)抛物线C :x 2=2py 的焦点为F ，P 为其上一动点，当P 运动到(t ,1)时，|PF |=2，直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，下列结论正确的是()A.抛物线的方程为：x 2=8yB.抛物线的准线方程为：y =-1。
高二数学圆锥曲线测试题以及详细答案汇编
高二圆锥曲线测试题一、选择题：1．已知动点M 的坐标满足方程|12512|1322-+=+y x y x ，则动点M 的轨迹是（ ） A. 抛物线B.双曲线C. 椭圆D.以上都不对2．设P 是双曲线19222=-y ax 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若5||1=PF ，则=||2PF （ ）A. 1或5B. 1或9C. 1D. 93、设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）.A.2 B. 12C. 2D. 14．过点(2,-1)引直线与抛物线2x y =只有一个公共点,这样的直线共有( )条 A. 1 B.2C. 3D.45．已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(y y x P =⋅满足，则点P 的轨迹是 ( ) A ．圆 B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线6．如果椭圆193622=+y x 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） 02=-y x B 042=-+y x C 01232=-+y x D 082=-+y x7、无论θ为何值，方程1sin 222=⋅+y x θ所表示的曲线必不是（ ）A. 双曲线B.抛物线C. 椭圆D.以上都不对8．方程02=+ny mx 与)02+mx 的曲线在同一坐标系中的示意图应是（ ）B 二、填空9．对于椭圆191622=+y x 和双曲线19722=-y x 有下列命题：①椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点; ②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点; ③ 双曲线与椭圆共焦点; ④椭圆与双曲线有两个顶点相同. 其中正确命题的序号是 .10．若直线01)1(=+++y x a 与圆0222=-+x y x 相切，则a 的值为 11、抛物线2x y -=上的点到直线0834=-+y x 的距离的最小值是 12、抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,则点Q 的坐标 。
高中数学 圆锥曲线试题汇编
高考数学《圆锥曲线》试题汇编1.（湖北文）（19）（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>的离心率为63，右焦点为(22,0)。
斜率为1的直线l 与椭圆G交于,A B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为(3,2)P -。
（Ⅰ）求椭圆G 的方程；（Ⅱ）求PAB 的面积。
2.福建文11.设圆锥曲线I 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线I 上存在点P 满足1PF ：12F F ：2PF =4：3:2，则曲线I 的离心率等于A.1322或 B.223或 C.122或 D.2332或 3.福建文18.（本小题满分12分）如图，直线l ：y=x+b 与抛物线C ：x2=4y 相切于点A 。
（1） 求实数b 的值；（11）求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程.4.上海文22.（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）已知椭圆222:1x C y m+=（常数1m >），P 是曲线C 上的动点，M 是曲线C 上的右顶点，定点A 的坐标为(2,0)（1）若M 与A 重合，求曲线C 的焦点坐标； （2）若3m =，求PA 的最大值与最小值；（3）若PA 的最小值为MA ，求实数m 的取值范围. 5.天津文（18） 设椭圆)0(12222>>=+b a by ax 的左右焦点分别为21,F F ，点),(b a P 满足212F F PF =。
（1）求椭圆的离心率e ；（2）设直线2PF 与椭圆相交于B A ,两点。
若直线2PF 与圆16)3()1(22=-++y x 相交于N M ,两点，且AB MN 85=，求椭圆的方程。
6.全国新课标文（20）（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）若圆C 与直线0x y a -+=交与A ，B 两点，且OA OB ⊥，求a 的值。
(完整版)高二圆锥曲线经典练习题含答案(可编辑修改word版)
一．求离心率问题1.已知椭圆和直线，若过C 的左焦点和下顶点的直线与平行，则椭圆C 的离心率为（）A． B． C． D．2.设椭圆E 的两焦点分别为F1，F2，以F1 为圆心，|F1F2|为半径的圆与E 交于P，Q 两点．若△PF1F2 为直角三角形，则E 的离心率为（）A．﹣1 B． C． D．+13.在直角坐标系xOy 中，F 是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点，A，B 分别为左、右顶点，过点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P，Q 两点，连接PB 交y 轴于点E，连接AE 交PQ 于点M，若M 是线段PF 的中点，则椭圆C 的离心率为（）A． B． C． D．4.过原点的一条直线与椭圆＝1（a＞b＞0）交于A，B 两点，以线段AB 为直径的圆过该椭圆的右焦点F2，若∠ABF2∈[]，则该椭圆离心率的取值范围为（）A．[ ）B．[ ] C．[）D．[ ]5.设F 为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x2+y2＝a2 交于P，Q 两点．若|PQ|＝|OF|，则C 的离心率为（）A． B． C．2 D．6.已知双曲线的右焦点为F，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的右支交于不同两点A，B，若，则该双曲线的离心率为（）A.B．C．D．7.若双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x﹣3y+1＝0 垂直，则该双曲线的离心率为（）A．2 B． C． D．28.已知F1，F2 是双曲线的左、右焦点，若点F1 关于双曲线渐近线的对称点P 满足∠OPF2＝∠POF2（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（）A． B．2 C． D．二、圆锥曲线小题综合9.若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点是椭圆+＝1 的一个焦点，则p＝（）A．2 B．3 C．4 D．810.已知抛物线x2＝16y 的焦点为F，双曲线＝1 的左、右焦点分别为F1、F2，点P是双曲线右支上一点，则|PF|+|PF1|的最小值为（）A．5 B．7 C．9 D．1111.已知双曲线（a＞0，b＞0）与椭圆有共同焦点，且双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为（）A． B．C． D．12.已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线﹣x2＝1 相交于M，N两点，若△MNF 为直角三角形，其中F 为直角顶点，则p＝（）A．2 B． C．3 D．613.已知椭圆与双曲线有相同的焦点F1，F2，点P 是两曲线的一个公共点，且PF1⊥PF2，e1，e2 分别是两曲线C1，C2 的离心率，则的最小值是（）A．4 B．6 C．8 D．1614.已知点M（1，0），A，B 是椭圆+y2＝1 上的动点，且＝0，则•的取值是（）A．[ ，1] B．[1，9] C．[ ，9] D．[ ，3]15.已知双曲线的右焦点与抛物线y2＝12x 的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．16．已知抛物线y2＝2px （p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 等于（）A． B． C．3 D．917.已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为，E 的右焦点与抛物线C：y2＝8x 的焦点重合，A，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB|＝（）A．3 B．6 C．9 D．1218.若双曲线的渐近线与抛物线y＝x2+2 有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（1，3] D．（1，3）19.中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线C1的离心率为e，直线l 与双曲线C1交于A，B 两点，线段AB 中点M 在一象限且在抛物线y2＝2px（p＞0）上，且M 到抛物线焦点的距离为p，则l 的斜率为（）A． B．e2﹣1 C． D．e2+120.已知抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值是（）A.B．C．D．三．求轨迹方程问题21.已知坐标平面上点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1）的距离比等于5．（Ⅰ）求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（Ⅱ）记（Ⅰ）中的轨迹为C，过点A（﹣2，3）的直线l 被C 所截得弦长为8，求直线l 的方程．22.已知在平面直角坐标系xoy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F（﹣），右顶点为D（2，0），设点A（1，）．（1）求该椭圆的标准方程；（2）若P 是椭圆上的动点，求线段PA 中点M 的轨迹方程．23.已知抛物线y2＝4x，焦点为F，顶点为O，点P 在抛物线上移动，Q 是OP 的中点，M是FQ 的中点，求点M 的轨迹方程．24.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A（﹣，0），B（），E 为动点，且直线EA与直线EB 的斜率之积为﹣．（Ⅰ）求动点E 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设过点F（1，0）的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M，N．若点P 在y 轴上，且|PM|＝|PN|，求点P 的纵坐标的取值范围．25.已知点A（﹣2，0），B（2，0），直线AP 与直线BP 相交于点P，它们的斜率之积为﹣，求点P 的轨迹方程（化为标准方程）．四、直线和圆锥的关系问题26.已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）过点（2，0），且其中一个焦点的坐标为（1，0）．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线l：x＝my+1（m∈R）与椭圆交于两点A，B，在x 轴上是否存在点M，使得为定值？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．27.已知椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为，原点到直线的距离为．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知定点P（0，2），是否存在过P 的直线l，使l 与椭圆C 交于A，B 两点，且以|AB|为直径的圆过椭圆C 的左顶点？若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由．28.已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆C的长轴长为直径的圆与直线x+y﹣2＝0 相切．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设过椭圆右焦点且不重合于x 轴的动直线与椭圆C 相交于A、B 两点，探究在x 轴上是否存在定点E，使得•为定值？若存在，试求出定值和点E 的坐标；若不存在，请说明理由．29.已知椭圆的左右顶点分别为A1，A2，右焦点F 的坐标为，点P 坐标为（﹣2，2），且直线PA1⊥x 轴，过点P 作直线与椭圆E 交于A，B 两点（A，B 在第一象限且点 A 在点B 的上方），直线OP 与AA2交于点Q，连接QA1．（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线QA1 的斜率为k1，直线A1B 的斜率为k2，问：k1k2 的斜率乘积是否为定值，若是求出该定值，若不是，说明理由．30.已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（1，0），O 为坐标原点，A，B 是抛物线C上异于O 的两点．（I）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若直线OA，OB 的斜率之积为，求证：直线AB 过定点．31.已知椭圆C：（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，离心率为，点A 在椭圆C 上，|AF1|＝2，∠F1AF2＝60°，过F2 与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于P，Q 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若P，Q 的中点为N，在线段OF2上是否存在点M（m，0），使得MN⊥PQ？若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，说明理由．32.已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，且抛物线y2＝4 x 的焦点恰好使椭圆C 的一个焦点．（1）求椭圆C 的方程（2）过点D（0，3）作直线l 与椭圆C 交于A，B 两点，点N 满足＝（O 为原点），求四边形OANB 面积的最大值，并求此时直线l 的方程．33.已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的右焦点到直线x﹣y+3 ＝0 的距离为5，且椭圆C 的一个长轴端点与一个短轴端点间的距离为．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）给出定点Q（，0），对于椭圆C 的任意一条过Q 的弦AB，+是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．34.已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为．（1）求椭圆C 的方程；（2）设F1，F2 是椭圆C 的左右焦点，若椭圆C 的一个内接平行四边形的一组对边过点F1和F2，求这个平行四边形的面积最大值．35.如图，已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率是，一个顶点是B（0，1）．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P，Q 是椭圆C 上异于点B 的任意两点，且BP⊥BQ．试问：直线PQ 是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．36.已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（，）．（1）求椭圆方程；（2）设不过原点O 的直线l：y＝kx+m（k≠0），与该椭圆交于P、Q 两点，直线OP、OQ 的斜率依次为k1、k2，满足4k＝k1+k2，试问：当k 变化时，m2 是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．37.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，直线l：x﹣my﹣1＝0（m∈R）过椭圆C 的右焦点F，且交椭圆C 于A，B 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点D（，0），连结BD，过点A 作垂直于y 轴的直线l1，设直线l1与直线BD 交于点P，试探索当m 变化时，是否存在一条定直线l2，使得点P 恒在直线l2上？若存在，请求出直线l2的方程；若不存在，请说明理由．38.已知动点P 到定点F（1，0）和直线l：x＝2 的距离之比为，设动点P 的轨迹为曲线E，过点F 作垂直于x 轴的直线与曲线E 相交于A，B 两点，直线l：y＝mx+n 与曲线E 交于C，D 两点，与线段AB 相交于一点（与A，B 不重合）（Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）当直线l 与圆x2+y2＝1 相切时，四边形ACBD 的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l 的方程；若没有，请说明理由．39.已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，其左、右焦点分别为F1，F2，短轴长为2．点P 在椭圆C 上，且满足△PF1F2 的周长为6．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设过点（﹣1，0）的直线l 与椭圆C 相交于A，B 两点，试问在x 轴上是否存在一个定点M，使得•恒为定值？若存在，求出该定值及点M 的坐标；若不存在，请说明理由．40.已知椭圆C：的离心率为，右焦点F2 到直线l1：3x+4y＝0 的距离为．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过椭圆右焦点F2斜率为k（k≠0）的直线l 与椭圆C 相交于E、F 两点，A 为椭圆的右顶点，直线AE，AF 分别交直线x＝3 于点M，N，线段MN 的中点为P，记直线PF2 的斜率为k′，求证：k•k′为定值．一．选择题（共20 小题）1.已知椭圆和直线，若过C 的左焦点和下顶点的直线与平行，则椭圆C 的离心率为（）A． B． C． D．【分析】求出椭圆的左焦点与下顶点坐标连线的斜率，然后求解椭圆的离心率即可．【解答】解：椭圆和直线，若过C 的左焦点和下顶点的直线与平行，直线l 的斜率为，所以，又b2+c2＝a2，所以，故选：A．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．2.设椭圆E 的两焦点分别为F1，F2，以F1 为圆心，|F1F2|为半径的圆与E 交于P，Q 两点．若△PF1F2 为直角三角形，则E 的离心率为（）A．﹣1 B． C． D．+1【分析】如图所示，△PF1F2 为直角三角形，可得∠PF1F2＝90°，可得|PF1|＝2c，|PF2＝2 c，利用椭圆的定义可得2c+2c＝2a，即可得出．【解答】解：如图所示，∵△PF1F2为直角三角形，∴∠PF1F2＝90°，∴|PF1|＝2c，|PF2＝2 c，则2c+2c＝2a，解得e＝＝﹣1．故选：A．【点评】本题考查了椭圆与圆的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.在直角坐标系xOy 中，F 是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点，A，B 分别为左、右顶点，过点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P，Q 两点，连接PB 交y 轴于点E，连接AE 交PQ 于点M，若M 是线段PF 的中点，则椭圆C 的离心率为（）A． B． C． D．【分析】利用已知条件求出P 的坐标，然后求解E 的坐标，推出M 的坐标，利用中点坐标公式得到双曲线的离心率即可．【解答】解：可令F（﹣c，0），由x＝﹣c，可得y＝±b ＝±，由题意可设P（﹣c，），B（a，0），可得BP 的方程为：y＝﹣（x﹣a），x＝0 时，y＝，E（0，），A（﹣a，0），则AE 的方程为：y＝（x+a），则M（﹣c，﹣），M 是线段PF 的中点，可得2•（﹣）＝，即2a﹣2c＝a+c，即a＝3c，可得e＝＝．故选：C．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．4.过原点的一条直线与椭圆＝1（a＞b＞0）交于A，B 两点，以线段AB 为直径的圆过该椭圆的右焦点F2，若∠ABF2∈[]，则该椭圆离心率的取值范围为（）A．[ ）B．[ ] C．[）D．[ ] 【分析】由题意画出图形，可得四边形AF2BF1 为矩形，则AB＝F1F2＝2c，结合AF2+BF2＝2a，AF2＝2c•sin∠ABF2，BF2＝2c•cos∠ABF2，列式可得e 关于∠ABF2 的三角函数，利用辅助角公式化积后求解椭圆离心率的取值范围．【解答】解：如图，设椭圆的另一焦点为F1，连接AF1，AF2，BF1，则四边形AF2BF1 为矩形，∴AB＝F1F2＝2c，∵AF2+BF2＝2a，AF2＝2c•sin∠ABF2，BF2＝2c•cos∠ABF2，∴2c•sin∠ABF2+2c•cos∠ABF2＝2a，得e＝＝．∵∠ABF2∈[ ]，∴，则∈[]．则椭圆离心率的取值范围为[]．故选：B．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查数学转化思想方法，训练了三角函数最值的求法，是中档题．5.设F 为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x2+y2＝a2 交于P，Q 两点．若|PQ|＝|OF|，则C 的离心率为（）A． B． C．2 D．【分析】由题意画出图形，先求出PQ，再由|PQ|＝|OF|列式求C 的离心率．【解答】解：如图，由题意，把x＝代入x2+y2＝a2，得PQ＝，再由|PQ|＝|OF|，得，即2a2＝c2，∴，解得e＝．故选：A．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．6.已知双曲线的右焦点为F，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的右支交于不同两点A，B，若，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【分析】不妨设直线l 的斜率为﹣，∴直线l 的方程为y＝﹣（x﹣c），联立直线方程与双曲线方程，化为关于y 的一元二次方程，求出两交点纵坐标，由题意列等式求解．【解答】解：如图，不妨设直线l 的斜率为﹣，∴直线l 的方程为y＝﹣（x﹣c），联立，得（b2﹣a2）c2y2﹣2ab3cy+a2b4＝0．∴．由题意，方程得（b2﹣a2）c2y2﹣2ab3cy+a2b4＝0 的两根异号，则a＞b，此时＜0，＞0．则，即a＝2b．∴a2＝4b2＝4（c2﹣a2），∴4c2＝5a2，即e＝．故选：B．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力，是中档题．7.若双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x﹣3y+1＝0 垂直，则该双曲线的离心率为（）A．2 B． C． D．2【分析】渐近线与直线x+3y+1＝0 垂直，得a、b 关系，再由双曲线基本量的平方关系，得出a、c 的关系式，结合离心率的定义，可得该双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x﹣3y+1＝0 垂直．∴双曲线的渐近线方程为y＝±3x，∴＝3，得b2＝9a2，c2﹣a2＝9a2，此时，离心率e＝＝．故选：C．【点评】本题给出双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．8.已知F1，F2 是双曲线的左、右焦点，若点F1 关于双曲线渐近线的对称点P 满足∠OPF2＝∠POF2（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（）A． B．2 C． D．【分析】连接OP，运用等边三角形的定义和垂直平分线的性质，以及点到直线的距离公式，可得|OP|＝c，O 到PF1的距离为a，再由锐角三角函数的定义可得所求离心率的值．【解答】解：连接OP，可得|OP|＝|OF1|＝|OF2|＝|PF2|＝c，F1到渐近线bx+ay＝0 的距离为d＝＝b，在等腰三角形OPF1 中，O 到PF1 的距离为a，即sin∠OPF1＝sin30°＝＝，可得e＝＝2．故选：B．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查垂直平分线的性质以及化简运算能力，属于基础题．9.若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点是椭圆+＝1 的一个焦点，则p＝（）A．2 B．3 C．4 D．8【分析】根据抛物线的性质以及椭圆的性质列方程可解得．【解答】解：由题意可得：3p﹣p＝（）2，解得p＝8．故选：D．【点评】本题考查了抛物线与椭圆的性质，属基础题．10.已知抛物线x2＝16y 的焦点为F，双曲线＝1 的左、右焦点分别为F1、F2，点P是双曲线右支上一点，则|PF|+|PF1|的最小值为（）A．5 B．7 C．9 D．11【分析】由双曲线方程求出a 及c 的值，利用双曲线定义把|PF|+|PF1|转化为|PF1|+|PF2|+2a，连接FF2 交双曲线右支于P，则此时|PF|+|PF2|最小等于|FF2|，由两点间的距离公式求出|FF2|，则|PF|+|PF1|的最小值可求．【解答】解：如图由双曲线双曲线＝1，得a2＝3，b2＝5，∴c2＝a2+b2＝9，则c＝3，则F2（3，0），∵|PF1|﹣|PF2|＝4，∴|PF1|＝4+|PF2|，则|PF|+|PF1|＝|PF|+|PF2|+4，连接FF2交双曲线右支于P，则此时|PF|+|PF2|最小等于|FF2|，∵F 的坐标为（0，4），F2（3，0），∴|FF2|＝5，∴|PF|+|PF1|的最小值为5+4＝9．故选：C．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查了双曲线的简单性质，训练了双曲线中最值问题的求法，体现了数学转化思想方法，是中档题．11.已知双曲线（a＞0，b＞0）与椭圆有共同焦点，且双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为（）A． B．C． D．【分析】求出双曲线的渐近线方程可得，①求出椭圆的焦点坐标，可得c＝2 ，即a2+b2＝8，②，解方程可得a，b 的值，进而得到双曲线的方程．【解答】解：曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为，可得，①，椭圆的焦点为（±2 ，0），可得c＝2，即a2+b2＝8，②由①②可得a＝，b＝，则双曲线的方程为．故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和椭圆的焦点，考查运算能力，属于基本知识的考查．12.已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线﹣x2＝1 相交于M，N两点，若△MNF 为直角三角形，其中F 为直角顶点，则p＝（）A．2 B． C．3 D．6【分析】利用抛物线方程求出准线方程，然后代入双曲线方程求出M，N．利用三角形是直角三角形，转化求解即可．1 2 1 21 2 1 2 【解答】解：由题设知抛物线 y 2＝2px 的准线为 x ＝﹣ ，代入双曲线方程﹣x 2＝1 解得 y ＝±，由双曲线的对称性知△MNF 为等腰直角三角形，∴∠FMN ＝，∴tan ∠FMN ＝ ＝1，∴p 2＝3+ ，即 p ＝2 ，故选：A ．【点评】本题考查抛物线的定义及抛物线的几何性质，双曲线方程的应用，考查计算能力．13. 已 知 椭 圆 与 双 曲 线有相同的焦点 F 1，F 2，点 P 是两曲线的一个公共点，且 PF 1⊥PF 2，e 1，e 2 分别是两曲线 C 1，C 2 的离心率，则的最小值是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．16【分析】由题意设焦距为 2c ，椭圆长轴长为 2a 1，双曲线实轴为 2a 2，令 P 在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推出 a 2+a 2＝2c 2，由此能求出 9e 2+e 2 的最小值．【解答】解：由题意设焦距为 2c ，椭圆长轴长为 2a 1，双曲线实轴为 2a 2， 令 P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF 1|﹣|PF 2|＝2a 2，① 由椭圆定义|PF 1|+|PF 2|＝2a 1，② 又∵PF 1⊥PF 2， ∴|PF 1|2+|PF 2|2＝4c 2，③①2+②2，得|PF 1|2+|PF 2|2＝2a 2+2a 2，④将④代入③，得 a 2+a 2＝2c 2，∴9e 12+e 22＝+＝5++≥8，即的最小值是 8．1 2 故选：C ．【点评】本题考查 9e 2+e 2的最小值的求法，是中档题，解题时要熟练掌握双曲线、椭圆的定义，注意均值定理的合理运用． 14. 已知点 M （1，0），A ，B 是椭圆+y 2＝1 上的动点，且＝0，则 • 的取值是（）A ．[ ，1]B ．[1，9]C ．[ ，9]D ．[，3]【分析】利用＝0，可得 •＝•（﹣）＝，设 A （2cos α，sin α），可得＝（2cos α﹣1）2+sin 2α，即可求解数量积的取值范围．【解答】解：∵＝0，可得•＝•（﹣）＝，设 A （2cos α，sin α）， 则＝（2cos α﹣1）2+sin 2α＝3cos 2α﹣4cos α+2＝3（cos α﹣ ）2+，∴cos α＝ 时， 的最小值为；cos α＝﹣1 时，的最大值为 9，故选：C ．【点评】本题考查椭圆方程，考查向量的数量积运算，考查学生分析解决问题的能力， 属于中档题． 15. 已知双曲线的右焦点与抛物线 y 2＝12x 的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为（ ） A ．B ．C ．D ．【分析】由已知条件求出双曲线的一个焦点为（3，0），可得 m +5＝9，求出 m ＝4，由此能求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵抛物线 y 2＝12x 的焦点为（3，0）， ∴双曲线的一个焦点为（3，0），即 c ＝3．双曲线可得∴m +5＝9，∴m ＝4，∴双曲线的渐近线方程为：．故选：A．【点评】本题主要考查圆锥曲线的基本元素之间的关系问题，同时双曲线、椭圆的相应知识也进行了综合性考查．16.已知抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 等于（）A． B． C．3 D．9【分析】根据抛物线的焦半径公式得1+＝5，p＝8．取M（1，4），双曲线的左顶点为A（﹣a，0），AM 的斜率为，双曲线的渐近线方程是，由已知得，由双曲线一条渐近线与直线AM 平行能求出实数a．【解答】解：∵抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，∴抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其准线的距离为5，根据抛物线的焦半径公式得1+＝5，p＝8．∴抛物线y2＝16x，∴M（1，±4），∵m＞0，∴取M（1，4），∵双曲线的左顶点为A（﹣，0），∴AM 的斜率为，双曲线的渐近线方程是，由已知得，解得a＝．故选：A．【点评】本题考查圆锥曲线的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意双曲线和抛物线性质的灵活运用．17.已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为，E 的右焦点与抛物线C：y2＝8x 的焦点重合，A，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB|＝（）A．3 B．6 C．9 D．12【分析】利用椭圆的离心率以及抛物线的焦点坐标，求出椭圆的半长轴，然后求解抛物线的准线方程，求出A，B 坐标，即可求解所求结果．【解答】解：椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为，E 的右焦点（c，0）与抛物线C：y2＝8x 的焦点（2，0）重合，可得c＝2，a＝4，b2＝12，椭圆的标准方程为：，抛物线的准线方程为：x＝﹣2，由，解得y＝±3，所以A（﹣2，3），B（﹣2，﹣3）．|AB|＝6．故选：B．【点评】本题考查抛物线以及椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．18.若双曲线的渐近线与抛物线y＝x2+2 有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（1，3] D．（1，3）【分析】先根据双曲线方程表示出渐近线方程与抛物线方程联立，利用判别式等于0 求得 a 和 b 的关系，进而求得 a 和 c 的关系，则双曲线的离心率可得．【解答】解：依题意可知双曲线渐近线方程为y＝±x，与抛物线方程联立消去y 得x2± x+2＝0∵渐近线与抛物线有交点∴△＝﹣8≥0，求得b2≥8a2，∴c＝≥3a∴e＝≥3．则双曲线的离心率 e 的取值范围：e≥3．故选：A．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质和圆锥曲线之间位置关系．常需要把曲线方程联立根据判别式和曲线交点之间的关系来解决问题．19.中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线C1的离心率为e，直线l 与双曲线C1交于A，B 两点，线段AB 中点M 在一象限且在抛物线y2＝2px（p＞0）上，且M 到抛物线焦点的距离为p，则l 的斜率为（）A． B．e2﹣1 C． D．e2+1【分析】利用抛物线的定义，确定M 的坐标，利用点差法将线段AB 中点M 的坐标代入，即可求得结论．【解答】解：∵M 在抛物线y2＝2px（p＞0）上，且M 到抛物线焦点的距离为p，∴M 的横坐标为，∴M（，p）设双曲线方程为（a＞0，b＞0），A（x1，y1），B（x2，y2），则，两式相减，并将线段AB 中点M 的坐标代入，可得∴∴故选：A．【点评】本题考查双曲线与抛物线的综合，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．20.已知抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值是（）A.B．C．D．【分析】根据抛物线的定义，可得点M 到抛物线的准线x＝﹣的距离也为5，即即|1+|＝5，解可得p＝8，可得抛物线的方程，进而可得M 的坐标；根据双曲线的性质，可得A 的坐标与其渐近线的方程，根据题意，双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，可得＝，解可得a 的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，则点M 到抛物线的准线x＝﹣的距离也为5，即|1+ |＝5，解可得p＝8；即抛物线的方程为y2＝16x，易得m2＝2×8＝16，则m＝4，即M 的坐标为（1，4）双曲线的左顶点为A，则a＞0，且A 的坐标为（﹣，0），其渐近线方程为y＝±x；而K AM＝，又由若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则有＝，解可得a＝；故选：B．【点评】本题综合考查双曲线与抛物线的性质，难度一般；需要牢记双曲线的渐近线方程、定点坐标等．二．解答题（共20 小题）21.已知坐标平面上点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1）的距离比等于5．（Ⅰ）求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（Ⅱ）记（Ⅰ）中的轨迹为C，过点A（﹣2，3）的直线l 被C 所截得弦长为8，求直线l 的方程．【分析】（Ⅰ）直接利用距离的比，列出方程即可求点M 的轨迹方程，然后说明轨迹是什么图形；（Ⅱ）设出直线方程，利用圆心到直线的距离，半径与半弦长满足的勾股定理，求出直线l 的方程．【解答】解：（1）由题意坐标平面上点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1）的距离之比等于5，得＝5，即＝5，化简得x2+y2﹣2x﹣2y﹣23＝0．即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝25．∴点M 的轨迹方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2＝25，所求轨迹是以（1，1）为圆心，以5 为半径的圆．（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，过点A（﹣2，3）的直线l：x＝﹣2，此时过点A（﹣2，3）的直线l 被圆所截得的线段的长为：2＝8，∴l：x＝﹣2 符合题意．当直线l 的斜率存在时，设过点A（﹣2，3）的直线l 的方程为y﹣3＝k（x+2），即kx﹣y+2k+3＝0，圆心到l 的距离d＝，由题意，得（）2+42＝52，解得k＝．∴直线l 的方程为x﹣y+ ＝0．即5x﹣12y+46＝0．综上，直线l 的方程为x＝﹣2，或5x﹣12y+46＝0．【点评】本题考查曲线轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．22.已知在平面直角坐标系xoy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F（﹣），右顶点为D（2，0），设点A（1，）．（1）求该椭圆的标准方程；（2）若P 是椭圆上的动点，求线段PA 中点M 的轨迹方程．【分析】（1）由左焦点为F（﹣），右顶点为D（2，0），得到椭圆的半长轴a，半焦距c，再求得半短轴b，最后由椭圆的焦点在x 轴上求得方程．（2）设线段PA 的中点为M（x，y），点P 的坐标是（x0，y0），由中点坐标公式可知，将P 代入椭圆方程，即可求得线段PA 中点M 的轨迹方程【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的焦点在x 轴上，设+ ＝1（a＞b＞0），由椭圆的左焦点为F（﹣，0），右顶点为D（2，0），即a＝2，c＝，则b2＝a2﹣c2＝1，∴椭圆的标准方程为：+y2＝1（2）设线段PA 的中点为M（x，y），点P 的坐标是（x0，y0），由中点坐标公式可知，整理得：，由点P 在椭圆上，∴+（2y﹣）2＝1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10 分）∴线段PA 中点M 的轨迹方程是：（x﹣）2+4（y﹣）2＝1．【点评】本题考查椭圆的标准方程与性质，考查轨迹方程的求法，中点坐标公式的应用，考查计算能力，属于中档题．23.已知抛物线y2＝4x，焦点为F，顶点为O，点P 在抛物线上移动，Q 是OP 的中点，M是FQ 的中点，求点M 的轨迹方程．【分析】欲求点M 的轨迹方程，设M（x，y），只须求得坐标x，y 之间的关系式即可．再设P（x1，y1），Q（x2，y2），易求y2＝4x 的焦点F 的坐标为（1，0）结合中点坐标公式即可求得x，y 的关系式．【解答】解：设M（x，y），P（x1，y1），Q（x2，y2），易求y2＝4x 的焦点F 的坐标为（1，0）∵M 是FQ 的中点，∴⇒，又Q 是OP 的中点∴⇒，∵P 在抛物线y2＝4x 上，∴（4y）2＝4（4x﹣2），所以M 点的轨迹方程为【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合运用基础知识解决问题的能力．24.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A（﹣，0），B（），E 为动点，且直线EA与直线EB 的斜率之积为﹣．（Ⅰ）求动点E 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设过点F（1，0）的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M，N．若点P 在y 轴上，且|PM|＝|PN|，求点P 的纵坐标的取值范围．【分析】（Ⅰ）设动点E 的坐标为（x，y），由点A（﹣，0），B（），E 为动点，且直线EA 与直线EB 的斜率之积为﹣，知，由此能求出动点E 的轨迹C 的方程．（Ⅱ）设直线l 的方程为y＝k（x﹣1），将y＝k（x﹣1）代入，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，由题设条件能推导出直线MN 的垂直平分线的方程为y+＝﹣，由此能求出点P 纵坐标的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设动点E 的坐标为（x，y），∵点A（﹣，0），B（），E 为动点，且直线EA 与直线EB 的斜率之积为﹣，∴，整理，得，x≠，∴动点E 的轨迹C 的方程为，x ．（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，满足条件的点P 的纵坐标为0，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y＝k（x﹣1），将y＝k（x﹣1）代入，并整理，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，△＝8k2+8＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，x1x2＝，设MN 的中点为Q，则，，∴Q（，﹣），由题意知k≠0，又直线MN 的垂直平分线的方程为y+＝﹣，令x＝0，得y P＝，当k＞0 时，∵2k+ ，∴0＜；当k＜0 时，因为2k+≤﹣2 ，所以0＞y P≥﹣＝﹣．综上所述，点P 纵坐标的取值范围是[﹣]．【点评】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查点的纵坐标的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意直线与椭圆位置的综合运用．25.已知点A（﹣2，0），B（2，0），直线AP 与直线BP 相交于点P，它们的斜率之积为﹣，求点P 的轨迹方程（化为标准方程）．【分析】利用斜率的计算公式即可得出．【解答】解：设点P（x，y），则直线AP 的斜率，直线BP 的斜率．由题意得．化简得：．∴点P 的轨迹方程是椭圆．【点评】熟练掌握斜率的计算公式及椭圆的标准方程是解题的关键．只有去掉长轴的两个端点．26.已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）过点（2，0），且其中一个焦点的坐标为（1，0）．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线l：x＝my+1（m∈R）与椭圆交于两点A，B，在x 轴上是否存在点M，使得为定值？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）利用已知条件求解a，b，然后求解椭圆的方程．（Ⅱ）假设存在点M（x0，0），使得为定值，联立，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理，结合向量的数量积，转化求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由已知得a＝2，c＝1，∴，则E 的方程为；… ....................... （4 分）（Ⅱ）假设存在点M（x0，0），使得为定值，联立，得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0…（6 分）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，… ...... （7 分），∴。
完整版)高二数学圆锥曲线基础练习题(一)
完整版)高二数学圆锥曲线基础练习题(一)高二数学圆锥曲线基础练题（一）1.抛物线 $y^2=4x$ 的焦点坐标为（）A．$(1,0)$ B．$(0,1)$ C．$(-1,0)$ D．$(0,-1)$2.双曲线 $mx+y=1$ 的虚轴长是实轴长的2倍，则$m=$（）A．$-\frac{1}{2}$ B．$-4$ C．$4$ D．$\frac{1}{4}$3.双曲线 $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ 的一个焦点到渐近线距离为3，则双曲线的另一个焦点到渐近线的距离为（）A．$6$ B．$5$ C．$4$ D．$3$4.已知 $\triangle ABC$ 的顶点 $B$、$C$ 在椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ 上，顶点 $A$ 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在 $BC$ 边上，则 $\triangleABC$ 的周长是（）A．$23$ B．$6$ C．$43$ D．$12$5.已知椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ 右支上的一点，双曲线 $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ 的一条渐近线方程为 $3x-y=0$。
设该点到该渐近线的距离为 $a$，则该点到双曲线的焦点距离为（）A．$5\sqrt{2}$ B．$4\sqrt{2}$ C．$3\sqrt{2}$ D．$2\sqrt{2}$6.已知 $P$ 是双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的右焦点为 $F_1$、左焦点为 $F_2$。
若$PF_2=3$，则 $PF_1=$（）A．$5\sqrt{2}$ B．$4$ C．$3$ D．$2$7.将抛物线 $y=(x-2)^2+1$ 按向量 $a$ 平移，使顶点与原点重合，则向量 $a$ 的坐标是（）A．$(-2,-1)$ B．$(2,1)$ C．$(2,-1)$ D．$(-2,1)$8.已知双曲线的两个焦点为 $F_1(-5,0)$，$F_2(5,0)$，$P$ 是此双曲线上的一点，且 $PF_1\perp PF_2$，$|PF_1|\cdot|PF_2|=2$，则该双曲线的方程是（）A．$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ B．$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ C．$y^2=1-\frac{x^2}{16}$ D．$x^2-\frac{y^2}{9}=1$9.设 $A(x_1,y_1)$，$B(4,0)$，$C(x_2,y_2)$ 是右焦点为$F$ 的椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ 上三个不同的点，则“$AF,BF,CF$ 成等差数列”是“$x_1+x_2=8$”的（）A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既非充分也非必要条件10.已知双曲线 $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ 的左右焦点分别为 $F_1$，$F_2$，$P$ 为此双曲线上一点，且$PF_2=F_1F_2$，则 $\triangle PF_1F_2$ 的面积等于（）A．$24$ B．$36$ C．$48$ D．$96$11.已知点 $P$ 在抛物线 $y=4x$ 上，那么点 $P$ 到点$Q(2,-1)$ 的距离与点 $P$ 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点 $P$ 的坐标为（）A．$(\frac{1}{3},1)$ B．$(-\frac{1}{3},-1)$ C．$(1,2)$ D．$(1,-2)$12.设 $P$ 是双曲线 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1$ 上的一点，若 $2P$ 是该双曲线上的点，则 $P$ 的坐标为（）A．$(\sqrt{2},\sqrt{2})$ B．$(\sqrt{2},-\sqrt{2})$ C．$(-\sqrt{2},\sqrt{2})$ D．$(-\sqrt{2},-\sqrt{2})$1.在第一行加上“已知”，并且将“F1、F2”改为“左、右焦点”，将“ab圆”改为“以线段PF2为直径的圆”，将“双曲线的实轴”改为“实轴”，最后将选项改为“内切、外切或不相切”。
圆锥曲线压轴小题必刷100题(学生版)
圆锥曲线压轴小题必刷100题一、单选题1.已知圆C是以点M2,23和点N6,-23为直径的圆，点P为圆C上的动点，若点A2,0，点B1,1，则2PA-PB的最大值为()A.26B.4+2C.8+52D.22.已知点F1，F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点，点M在直线l:x=-a上运动，若∠F1MF2的最大值为60°，则椭圆C的离心率是()A.13B.12C.32D.333.过x轴上点P a,0的直线与抛物线y2=8x交于A，B两点，若1AP2+1BP2为定值，则实数a的值为()．A.1B.2C.3D.44.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个顶点在直线x-2y-2=0上，F1，F2分别是椭圆的左､右焦点，点P是椭圆上异于长轴两个端点的任一点，过点P作椭圆C的切线l与直线x=-2交于点M，设直线PF1，MF2的斜率分别为k1，k2，则k1k2的值为()A.-13B.13C.-12D.-145.已知F是椭圆x2a2+y2=1(a>1)的左焦点，A是该椭圆的右顶点，过点F的直线l(不与x轴重合)与该椭圆相交于点M，N．记∠MAN=α，设该椭圆的离心率为e，下列结论正确的是()A.当0<e<1时，α<π2B.当0<e<22时，α>π2C.当12<e<22时，α>2π3D.当22<e<1时，α>3π46.已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线与抛物线交于点A、B，若A、B两点在准线上的射影分别为M、N，线段MN的中点为C，则下列叙述不正确的是()A.AC⊥BCB.四边形AMCF的面积等于AC⋅MFC.AF+BF=AF⋅BFD.直线AC与抛物线相切7.如图，已知双曲线x2a2-y2b2=1b>a>0的左、右焦点分别为F1，F2，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A，若△AF1F2的内切圆半径为b4，则双曲线的离心率为()A.53B.54C.43D.328.在棱长为2的正四面体ABCD 中，点P 为△ABC 所在平面内一动点，且满足PA +PB =433，则PD的最大值为()A.3B.2103C.393D.29.已知点F 为抛物线y 2=4x 的焦点，M -1,0 ，点N 为抛物线上一动点，当NF NM最小时，点N 恰好在以M ，F 为焦点的双曲线上，则该双曲线的渐近线的斜率的平方为()A.3+23B.2+22C.5+12D.22-1410.已知F 1，F 2为双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线右支的一个交点为P ，PF 1与双曲线相交于点Q ，且PQ =3QF 1 ，则该双曲线的离心率为()A.873B.293C.32D.5211.若椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上的点2,53 到右准线的距离为52，过点M 0,1 的直线l 与C 交于两点A ,B ，且AM =23MB，则l 的斜率为()A.13B.±13C.±12D.1912.已知双曲线C ：x 29-y 27=1的左焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，则1FA -4FB的取值范围是()A.-16,37 B.-16,37C.-16,0 D.-16,+∞13.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M ，N 分别在双曲线C 的左、右两支上，点A 在x 轴上，且M ，N ，F 1三点共线，若AN =3F 2M，∠F 1NF 2=∠ANF 2，则双曲线C 的离心率为()A.5B.7C.3D.1114.已知抛物线C :y 2=2px p >0 ，F 为C 的焦点，过焦点F 且倾斜角为α的直线l 与C 交于A ，B 两点，则下面结论不正确的是()A.以A ，B 为直径的圆与抛物线C 的准线相切B.1AF +1BF=2p C.过点A ，B 分别作抛物线C 的切线，则两切线互相垂直D.记原点为O ，则S △AOB =p 2sin α15.已知点A 是抛物线C :x 2=2py p >0 的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，过A 作抛物线的一条切线，切点为P ，且满足PA =2，则抛物线C 的方程为()A.x 2=8yB.x 2=4yC.x 2=2yD.x 2=y16.过点P 2,1 斜率为正的直线交椭圆x 224+y 25=1于A ，B 两点.C ，D 是椭圆上相异的两点，满足CP ，DP分别平分∠ACB ，∠ADB .则ΔPCD 外接圆半径的最小值为()A.2155B.655C.2413D.191317.已知点P 在抛物线C :y 2=mx m ≠0 上，过点P 作抛物线x 2=2y 的切线l 1，l 2，切点分别为M ，N ，若G 1,1 ，且GP +GM +GN =0，则C 的准线方程为()A.x =-14B.x =14C.x =22D.x =-2218.已知点P (-1，0)，设不垂直于x 轴的直线l 与抛物线y 2=2x 交于不同的两点A 、B ，若x 轴是∠APB 的角平分线，则直线l 一定过点A.12，0 B.(1，0)C.(2，0)D.(-2，0)19.已知F 1,F 2是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且|PF 2| |PF 1|，椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，|PF 1|=|F 1F 2|，则3e 1+e 23的最小值为()A.4B.6C.4+22D.820.已知F 1，F 2分别为双曲线x 216-y 29=1的左，右焦点，过F 2且倾斜角为锐角α的直线与双曲线的右支交于A ，B 两点，记△AF 1F 2的内切圆半径为r 1，△BF 1F 2的内切圆半径为r 2，若r1r 2=3，则α的值为()A.75°B.30°C.45°D.60°21.如图，椭圆C :x 24+y 23=1，P 是直线x =-4上一点，过点P 作椭圆C 的两条切线PA ，PB ，直线AB 与OP 交于点M ，则sin ∠P MB 的最小值是()A.437 B.86565C.7210 D.3222.已知抛物线C :x 2=4y ，焦点为F ，圆M :x 2-2x +y 2+4y +a 2=0a >0 ，过F 的直线l 与C 交于A 、B 两点(点A 在第一象限)，且FB=4AF ，直线l 与圆M 相切，则a =()A.0B.2115C.115D.323.已知A ，B ，C 为抛物线x 2=4y 上不同的三点，焦点F 为△ABC 的重心，则直线AB 与y 轴的交点的纵坐标t 的取值范围是()A.-12,32B.-12,1 ∪32,+∞ C.-12,1 ∪1,32D.1,3224.已知F 1、F 2是椭圆x 24+y 23=1的左、右焦点，点P 是椭圆上任意一点，以PF 1为直径作圆N ，直线ON 与圆N 交于点Q (点Q 不在椭圆内部)，则QF 1 ⋅QF 2=A.23B.4C.3D.125.已知双曲线E ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的右焦点为F 2，A 和B 为双曲线上关于原点对称的两点，且A在第一象限.连结AF 2并延长交E 于P ，连结BF 2，PB ，若△BF 2P 是以∠BF 2P 为直角的等腰直角三角形，则双曲线E 的离心率为()A.52B.5C.102D.1026.已知F 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的一个焦点，若直线y =kx 与椭圆相交于A ,B 两点，且∠AFB =60°，则椭圆离心率的取值范围是()A.32，1B.0，32 C.0，12D.12，1 27.已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0，b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若F 2F 1+F 2A ⋅F 1A =0，则此双曲线的标准方程可能为()A.x 2-y 212=1 B.x 23-y 24=1C.x 216-y 29=1D.x 29-y 216=128.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 ，P 0,2 ，Q 0,-2 ，过点P 的直线l 1与椭圆交于A ，B ，过点Q 的直线l 2与椭圆交于C ，D ，且满足l 1⎳l 2，设AB 和CD 的中点分别为M ，N ，若四边形PMQN 为矩形，且面积为43，则该椭圆的离心率为()．A.13B.23 C.23D.6329.已知单位向量a ，b 满足2a -b =2，若存在向量c ，使得c -2a ⋅c -b =0，则c的取值范围是()A.62,62+1 B.62-1,62C.62-1,62+1 D.6-1,6+130.设双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1,F 2，过F 1的直线l 分别与双曲线C 左右两支交于M ,N 两点，以MN 为直径的圆过F 2，且MF 2 ⋅MN =12MN 2，则直线l 的斜率为()A.24B.22C.33D.3231.已知抛物线C :y 2=4x ，F 是抛物线C 的焦点，M 是抛物线C 上一点，O 为坐标原点，P (0,2)，∠OPM 的平分线过FM 的中点，则点M 的坐标为()A.(1,2)B.(2,22)C.(4,4)D.94,332.已知B ,C 是椭圆x 24+y 23=1上的两个动点，A 12,0 ，则以A 为直角顶点的等腰直角△ABC 的个数为()A.2B.4C.6D.多于633.在平面直角坐标系xOy 中，圆O :x 2+y 2=3,T (2,m )，若圆O 上存在以M 为中点的弦AB ，且AB =2MT ，则实数m 的取值范围是A.[-2,0] B.(0,2]C.[-2,2]D.(-2,2)34.已知椭圆C :x 23+y 2=1，过x 轴上一定点N 作直线l ，交椭圆C 于A ，B 两点，当直线l 绕点N 任意旋转时，有1|AN |2+1|BN |2=t (其中t 为定值)，则()A.t =9B.t =4C.t =3D.t =235.已知圆C 1:x 2+y 2=4与圆C 2:(x -1)2+(y -3)2=4，过动点P (a ,b )分别作圆C 1、圆C 2的切线PM ，PN ，(M ,N 分别为切点)，若|PM |=|PN |，则a 2+b 2-6a -4b +13的最小值是()A.5B.13C.2510 D.8536.已知抛物线C :y 2=2x ，过点E a ,0 的直线l 与C 交于不同的两点P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，且满足y 1y 2=-4，以Q 为中点的线段的两端点分别为M ,N ，其中N 在x 轴上，M 在C 上，则PM 的最小值为()A.2B.22C.32D.4237.设抛物线y 2=2px p >0 的焦点为F ，过F 的两条直线l 1，l 2分别交抛物线于点A ，B ，C ，D ，且l 1，l 2的斜率k 1，k 2满足k 1+k 2=1k 1>0,k 2>0 ，若AB +CD 的最小值为30，则抛物线的方程为()A.y 2=6xB.y 2=3xC.y 2=32x D.y 2=2x38.设点P 为椭圆C :x 225+y 216=1上一点，F 1、F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，且ΔPF 1F 2的重心为点G ，如果|PF 1|:|PF 2|=2:3，那么ΔGPF 1的面积为()A.423B.22C.823D.3239.过双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点F 作直线l ，且直线l 与双曲线C 的一条渐近线垂直，垂足为A ，直线l 与另一条渐近线交于点B ，已知O 为坐标原点，若ΔOAB 的内切圆的半径为3-12a ，则双曲线C 的离心率为()A.233B.3+1C.433D.233或240.已知F 为抛物线4y 2=x 的焦点，点A ,B 都是抛物线上的点且位于x 轴的两侧，若OA ∙OB=15(O 为原点)，则ΔABO 和ΔAFO 的面积之和的最小值为()A.652B.52C.54D.18二、多选题41.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ，过点F 且斜率大于0的直线交抛物线C 于A ，B 两点(其中A 在B 的上方)，过线段AB 的中点M 且与x 轴平行的直线依次交直线OA ，OB ，l 于点P ，Q ，N .则()A.PM =NQB.若P ，Q 是线段MN 的三等分点，则直线AB 的斜率为22C.若P ，Q 不是线段MN 的三等分点，则一定有PQ >OQD.若P ，Q 不是线段MN 的三等分点，则一定有NQ >OQ42.已知双曲线C :x 2a2-y 25=1(a >0)的左､右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，圆O :x 2+y 2=a 2+5，P 是双曲线C 与圆O 的一个交点，且tan ∠PF 2F 1=3，则下列结论中正确的有()A.双曲线C 的离心率为102B.点F 1到一条渐近线的距离为5C.△PF 2F 1的面积为55D.双曲线C 上任意一点到两条渐近线的距离之积为243.曼哈顿距离(或出租车几何)是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语.例如，在平面上，点P x 1,y 1 和点Q x 2,y 2 的曼哈顿距离为：L PQ =x 1-x 2 +y 1-y 2 .若点P x 1,y 1 为C :x 2+y 2=4上一动点，Q x 2,y 2 为直线l :kx -y -2k -4=0k ∈-12,2上一动点，设L (k )为P ，Q 两点的曼哈顿距离的最小值，则L (k )的可能取值有()A.1B.2C.3D.444.已知抛物线方程为x 2=4y ，直线l :x -2y -2=0，点P (x 0,y 0)为直线l 上一动点，过点P 作抛物线的两条切线，切点为A ､B ，则以下选项正确的是()A.当x 0=0时，直线AB 方程为y =1B.直线AB 过定点0,1C.AB 中点轨迹为抛物线D.△PAB 的面积的最小值为33245.过抛物线C ：x 2=4y 焦点F 的直线l 交C 于P ，Q 两点，O 为坐标原点，则()A.不存在直线l ，使得OP ⊥OQB.若FP=2QF ，则直线l 的斜率为24C.过P 作C 准线的垂线，垂足为M ，若PF =3，则cos ∠FPM =13D.过P ，Q 两点分别作抛物线C 的切线，则两切线交点的纵坐标为定值46.在△ABC 中，AB =4，M 为AB 的中点，且CA -CB =CM ，则下列说法中正确的是()A.动点C 的轨迹是双曲线B.动点C 的轨迹关于点M 对称C.△ABC 是钝角三角形D.△ABC 面积的最大值为2347.已知抛物线x 2=2y ，点M (t ,-1),t ∈12,1，过M 作抛物线的两条切线MA ,MB ，其中A ，B 为切点，直线AB 与y 轴交于点P ，则下列结论正确的有()A.点P 的坐标为(0,1)B.OA ⊥OBC.△MAB 的面积的最大值为33D.|PA ||PB |的取值范围是[2,2+3]48.已知抛物线E ：y 2=4x 的焦点为F ，准线l 交x 轴于点C ，直线m 过C 且交E 于不同的A ，B 两点，B 在线段AC 上，点P 为A 在l 上的射影．下列命题正确的是()A.若AB ⊥BF ，则AP =PCB.若P ，B ，F 三点共线，则AF =4C.若AB =BC ，则AF =2BFD.对于任意直线m ，都有AF +BF >2CF49.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C :y 2=4x ，过点P m ,0 m >0 作与x 轴垂直的直线，与抛物线C 交于A 、B 两点，则下列说法正确的是()A.若PA >PO ，则0<m <2B.若△ABO 为正三角形，则m =12C.若抛物线C 上存在两个不同的点E 、F (异于A 、B )，使得PE =PF =AB2，则m >4D.当AB +OPOA取得最大值时，m =150.已知椭圆C :x 216+y 29=1上有一点P ，F 1、F 2分别为左､右焦点，∠F 1PF 2=θ,△PF 1F 2的面积为S ，则下列选项正确的是()A.若θ=60°，则S =33B.若S =9，则θ=90°C.若△PF 1F 2为钝角三角形，则S ∈0,974D.椭圆C 内接矩形的周长范围是12，2051.设A ，B 是抛物线C ：y 2=4x 上两个不同的点，O 为坐标原点，若直线OA 与OB 的斜率之积为-4，则下列结论正确的有()A.AB ≥4B.OA +OB >8C.直线AB 过抛物线C 的焦点D.△OAB 面积的最小值是252.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左焦点为F ，P 为C 右支上的动点，过P 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为A ，O 为坐标原点，当PA +PF 最小时，PA ，OF ，PF 成等差数列，则下列说法正确的是()A.若C 的虚轴长为2，则F 到C 的一条渐近线的距离为2B.C 的离心率为53C.若C 的焦距为2，则P 到C 的两条渐近线的距离之积小于14D.若C 的焦距为10，当PA +PF 最小时，则△PAF 的周长为10+21353.双扭线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系xOy 中，把到定点F 1-a ,0 ，F 2a ,0 距离之积等于a 2a >0 的点的轨迹称为双扭线C ．已知点P x 0,y 0 是双扭线C 上一点，下列说法中正确的有()A.双扭线C 关于原点O 中心对称；B.-a 2≤y 0≤a 2；C.双扭线C 上满足PF 1 =PF 2 的点P 有两个；D.PO 的最大值为2a ．54.已知抛物线y 2=2px p >0 的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点，以线段AB 为直径的圆交y 轴于M 、N 两点，设线段AB 的中点为P ，则()A.OA ⋅OB =-3p 24B.若AF ⋅BF =4p 2，则直线AB 的斜率为3C.若抛物线上存在一点E 2,t 到焦点F 的距离等于3，则抛物线的方程为y 2=8xD.若点F 到抛物线准线的距离为2，则sin ∠PMN 的最小值为1255.已知四面体ABCD 的所有棱长均为2，则下列结论正确的是()A.异面直线AC 与BD 所成角为60°B.点A 到平面BCD 的距离为263C.四面体ABCD 的外接球体积为6πD.动点P 在平面BCD 上，且AP 与AC 所成角为60°，则点P 的轨迹是椭圆56.在平面直角坐标系xOy 中，动点P 与两个定点F 1-3,0 和F 23,0 连线的斜率之积等于13，记点P 的轨迹为曲线E ，直线l ：y =k x -2 与E 交于A ，B 两点，则()A.E 的方程为x 23-y 2=1 B.E 的离心率为3C.E 的渐近线与圆x -2 2+y 2=1相切D.满足AB =23的直线l 有2条57.在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知点P 为侧面BCC 1B 1上的一动点，则下列结论正确的是()A.若点P 总保持PA ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是一条线段；B.若点P 到点A 的距离为233，则动点P 的轨迹是一段圆弧；C.若P 到直线AD 与直线CC 1的距离相等，则动点P 的轨迹是一段抛物线；D.若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离比为1:2，则动点P 的轨迹是一段双曲线.58.已知抛物线C ：y 2=2px p >0 的焦点F 到准线的距离为2，过点F 的直线与抛物线交于P ，Q 两点，M 为线段PQ 的中点，O 为坐标原点，则下列结论正确的是()A.C 的准线方程为y =-1B.线段PQ 的长度最小为4C.M 的坐标可能为3,2D.OP ⋅OQ=-3恒成立59.已知ln x 1-x 1-y 1+2=0，x 2+2y 2-4-2ln2=0，记M =x 1-x 2 2+y 1-y 2 2，则A.M 的最小值为25 B.当M 最小时，x 2=125C.M 的最小值为45 D.当M 最小时，x 2=6560.已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，P 为双曲线上一点，且PF 1 =2PF 2 ，若sin ∠F 1PF 2=154，则下面有关结论正确的是()A.e =6B.e =2C.b =5aD.b =3a61.已知到两定点M -2,0 ，N 2,0 距离乘积为常数16的动点P 的轨迹为C ，则()A.C 一定经过原点B.C 关于x 轴、y 轴对称C.ΔMPN 的面积的最大值为45D.C 在一个面积为64的矩形内62.已知F 1,F 2分别是双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，A 为左顶点，P 为双曲线右支上一点，若PF 1 =2PF 2 且△PF 1F 2的最小内角为30°，则()A.双曲线的离心率3 B.双曲线的渐近线方程为y =±2x C.∠PAF 2=45°D.直线x +2y -2=0与双曲线有两个公共点63.过抛物线y 2=4x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，则()A.以线段AB 为直径的圆与直线x =-32相离B.以线段BM 为直径的圆与y 轴相切C.当AF =2FB 时，AB =92D.AB 的最小值为464.已知抛物线C :y 2=2px p >0 的焦点为F ，直线的斜率为3且经过点F ，直线l 与抛物线C 交于点A 、B 两点(点A 在第一象限)，与抛物线的准线交于点D ，若AF =8，则以下结论正确的是A.p =4B.DF =FAC.BD =2BFD.BF =465.已知点F 是抛物线y 2=2px p >0 的焦点，AB ,CD 是经过点F 的弦且AB ⊥CD ，AB 的斜率为k ，且k >0，C ,A 两点在x 轴上方.则下列结论中一定成立的是()A.OC ⋅OD =-34p 2 B.四边形ACBD 面积最小值为16p 2C.1AB +1CD =12pD.若AF ⋅BF =4p 2，则直线CD 的斜率为-366.过点P (3,4)作圆C ：x 2+y 2=4的两条切线，切点分别为A ，B ，则下列说法正确的是()A.|AB |=2215B.AB 所在直线的方程为3x +4y -4=0C.四边形PACB 的外接圆方程为x 2+y 2-3x -4y =0D.△PAB 的面积为42212567.已知点F 为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点，过原点O 的直线l 交椭圆于P ，Q 两点，点M 是椭圆上异于P ，Q 的一点，直线MP ，MQ 分别为k 1，k 2，椭圆的离心率为e ，若PF =3QF ，∠PFQ =2π3，则()A.e =74B.e =34C.k 1k 2=-916D.k 1k 2=91668.已知点M 在椭圆C :x 2+y 24=1上，过点M 分别作斜率为-2，2的直线MP ，MQ 与直线y =2x ，y =-2x分别交于P ，Q 两点.若PQ ≤λ，则实数λ的取值可能为()A.12B.1C.2D.369.曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量，已知对于曲线x 2a 2+y 2b2=1a >0,b >0 上点P x 0,y 0 处的曲率半径公式为R =a 2b 2x 2a 4+y 20b 432，则下列说法正确的是()A.对于半径为R 的圆，其圆上任一点的曲率半径均为RB.椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上一点处的曲率半径的最大值为aC.椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上一点处的曲率半径的最小值为b 2a D.对于椭圆x 2a2+y 2=1a >1 上点12,y 0 处的曲率半径随着a 的增大而减小70.如图，已知椭圆x 24+y 22=1的左､右顶点分别是A 1,A 2，上顶点为B 1，在椭圆上任取一点C ，连结A 1C 交直线x =2于点P ，连结A 2C 交OP 于点M (O 是坐标原点)，则下列结论正确的是()A.k CA 1k CA 2为定值B.k A 1P =12k OPC.OP ⊥A 2CD.MB 1的最大值为6第II 卷(非选择题)三、填空题71.已知F 1，F 2是双曲线Γ:x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点，A ，B 分别在双曲线的左右两支上，且满足AB =λF 1A (λ为常数)，点C 在x 轴上，CB =3F 2A ，BF 2 ⋅BF 1 BF 1 =BF 2 ⋅BCBC ，则双曲线Γ的离心率为_______．72.已知平面向量a 、b 、c 满足a ⋅b =0，c =1，a -c =b -c =5，则12a +12b -c的取值范围为______．73.已知平面非零向量a 1 、a 2 ，m 、n 满足a 1 -n ⎳a 2 -n ，n =1，若a i -n =a i ⋅n i =1,2 ，m -a 1⋅m -a 2 =0，则m ⋅n的最小值为______．74.设F 1,F 2分别是椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左､右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ,B 两点，|AF 1|=3|BF 1|，若cos ∠AF 2B =35，则椭圆E 的离心率为___________.75.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分別为F 1,F 2，过F 1作直线l 垂直于双曲线的一条渐近线，直线l 与双曲线的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若AF 1 =λF 1B，且λ>2，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为________．76.已知椭圆C ：x 2a2+y 2=1a >1 的左，右焦点分别是F 1,F 2,P 是椭圆C 上第一象限内的一点，且△PF 1F 2的周长为4+2 3.过点P 作C 的切线l ，分别与x 轴和y 轴交于A ,B 两点，O 为原点，当点P 在C 上移动时，△AOB 面积的最小值为___________.77.已知抛物线y 2=4x 上一点P 1,2 ，且抛物线上两个动点A ,B 满足k PA ⋅k PB =6，若直线AB 过定点M ，则M 的坐标为_________.78.已知点A 在抛物线y 2=3x 上，过点A 作抛物线的切线与x 轴交于点B ，抛物线的焦点为F ，若∠BAF =30°，则A 的坐标为___________.79.已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点F 到其准线的距离为4，圆M :(x -2)2+y 2=1，过F 的直线l 与抛物线C 和圆M 从上到下依次交于A ,P ,Q ,B 四点，则|AP |+4|BQ |的最小值为_________.80.过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F 作直线AB ，DE 分别与抛物线C 交于A ，B 和D ，E ，若直线AB ，DE 的斜率分别为k 1，k 2，且满足k 21+k 22=4，则AB +DE 的最小值为___________.81.双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的渐近线为正方形OABC 的边OA 、OC 所在的直线，点F 2,0 为该双曲线的右焦点，若过点F 的直线与直线OA 、OC 的分别相交于M 、N 两点，则△OMN 内切圆半径的最大值为______．82.已知双曲线C :x 29-y 27=1，A 3,0 ，F 4,0 ，O 是坐标原点，过点F 的直线l 交双曲线C 于M ，N 两点，若直线l 上存在点P 满足AP +OP =4，则MN 的最小值是___________.83.已知A 、B 分别为抛物线C 1:y 2=8x 与圆C 2:x 2+y 2-6x -42y +16=0上的动点，抛物线的焦点为F ，P 、Q 为平面内两点，且当AF +AB 取得最小值时，点A 与点P 重合；当AF -AB 取得最大值时，点A 与点Q 重合，则△FPQ 的面积为______.84.已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 2作圆x 2+y 2=a 2的切线交双曲线左支于点M ，且∠F 1MF 2=60°，则该双曲线的渐近线方程为__________．85.已知二元函数f x ,y =x 2+y 2+x 2+y -a 2+x +a 2+y 2a >0 的最小值为2+6，则正实数a 的值为________．86.已知点M -2,-3 ，点F 2,0 为抛物线C ：y 2=2px p >0 的焦点，第一象限内的点P 在抛物线C 上，则PM PF的最大值为______．87.已知：a =b =1，a ⋅b =12，c =λa -b λ∈R ，d -a =12，则d -c 最小值为________.88.圆M 的方程为x -2-5cos θ 2+y -5sin θ 2=1θ∈R ，圆C 的方程为x -2 2+y 2=4，过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE 、PF ，切点分别为E 、F ，则PE ⋅PF 的最小值为__________.89.已知椭圆x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过椭圆的右焦点F 2作一条直线l 交椭圆于点P 、Q .则△F 1PQ 内切圆面积的最大值是_________.90.如图所示，A 1、A 2是椭圆C ：x 218+y 29=1的短轴端点，点M 在椭圆上运动，且点M 不与A 1、A 2重合，点N满足NA 1⊥MA 1、NA 2⊥MA 2，则S ΔMA 1A 2S ΔNA 1A 2=____________．91.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l :y =kx +6上存在点P ，过点P 作圆O :x 2+y 2=4的切线，切点分别为A x1,y1，B x2,y2，且x1x2+y1y2=-2，则实数k的取值范围为________．92.已知ΔABC中，角A，B，C所对的边分别是a,b,c，且3a2+2b2+c2=1，则ΔABC的面积的最大值是___________．93.已知P为双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0,b>0上一点，O为坐标原点，F1，F2为曲线C左右焦点.若OP=OF2，且满足tan∠PF2F1=3，则双曲线的离心率为___.94.已知抛物线C:y2=2px(p>0)，其焦点为F，准线为l，过焦点F的直线交抛物线C于点A、B(其中A在x轴上方)，A，B两点在抛物线的准线上的投影分别为M，N，若|MF|=23，|NF|=2，则|AF||BF|=____________.95.已知双曲线x2a2-y2b2=1(b>a>0)的左、右焦点分别是F1、F2，P为双曲线左支上任意一点，当2PF1PF22最大值为14a时，该双曲线的离心率的取值范围是__________.96.已知函数f x =1-sin x8+4cos x，则f x 的最大值为______.97.已知F和l为抛物线C:y2=4x的焦点和准线，点P为C上一点，过P作PQ⊥l于Q，若PQOF四点共圆(O为原点)，则该圆的半径为____________.98.在平面直角坐标系xOy中，已知MN在圆C：x-22+y2=4上运动，且MN=2 3.若直线l：kx-y+3 =0上的任意一点P都满足PM2+PN2≥14，则实数k的取值范围是__________.99.已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(b>a>0)的左、右焦点为F1，F2，P2,2为双曲线C上一点，且PF1PF2=3，若线段PF1与双曲线C交于另一点A，则ΔPAF2的面积为______.100.直线l：x=my+2经过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F，与抛物线相交于A，B两点，过原点的直线经过弦AB的中点D，并且与抛物线交于点E(异于原点)，则OEOD的取值范围是______.。
高考数学压轴题突破训练——圆锥曲线(含详解)
（Ⅰ）若当点P的坐标为 时, ,求双曲线的方程；
（Ⅱ）若 ,求双曲线离心率 的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程.
15. 若F 、F 为双曲线 的左右焦点，O为坐标原点，P在双曲线的左支上，点M在右准线上，且满足； .
（1）求该双曲线的离心率；
（Ⅱ）若直线 与（Ⅰ）中所求点Q
的轨迹交于不同两点F，H，O是坐标原点，
且 ，求△FOH的面积的取值范围。
18. 如图所示，O是线段AB的中点，|AB|＝2c，以点A为圆心，2a为半径作一圆，其中 。
（1）若圆A外的动点P到B的距离等于它到圆周的最短距离，建立适当坐标系，求动点P的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线；
（2）D分有向线段 的比为 ，A、D同在以B、C为焦点的椭圆上，
当 ―5≤ ≤ 时，求椭圆的离心率e的取值范围．
29.在直角坐标平面中， 的两个顶点 的坐标分别为 ， ，平面内两点 同时满足下列条件：
① ；② ；③ ∥
（1）求 的顶点 的轨迹方程；
（2）过点 的直线 与（1）中轨迹交于 两点，求 的取值范围
由 消去 得： ①
，
而
由方程①知 ＞ ＜
， ＜ ＜ ， .
7.解：解：令
则 即
即
又∵ ∴
所求轨迹方程为
（Ⅱ）解：由条件（2）可知OAB不共线，故直线AB的斜率存在
设AB方程为
则
∵OAPB为矩形，∴OA⊥OB
∴ 得
所求直线方程为 …
8.解：（I）由题意，抛物线顶点为（－n，0），又∵焦点为原点∴m＞0
高考数学压轴题突破训练：圆锥曲线
1. 如图，直线l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A，点B、D在直线l1上(B、D 位于点A右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M是该平面上的一个动点，M在l1上的射影点是N，且|BN|=2|DM|.
2023-2024学年高二数学单元速记——圆锥曲线的方程(压轴题专练)(解析版)
第三章圆锥曲线的方程（压轴题专练）一、选择题A ．(1,4)-B ．(1,2)【答案】A【分析】先求得p ，然后联立方程组并写出根与系数关系，求得直线MQ 、直线QN ，进而确定正确答案.【详解】直线1:22p l y x ⎛=+⎫⎪⎝⎭，即240x y p -+=，依题意，,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线240x y -+=,25p ==，所以抛物线方程为24y x =，直线():1l y k x =+，由()214y k x y x ⎧=+⎨=⎩消去x 并化简得2440ky y k -+=，216160,11k k ∆=->-<<，且0k ≠，设()()()112233,,,,,M x y N x y Q x y ，则124y y =.由131322311313444MQ y y y y k y y x x y y --===-+-，直线MQ 的方程为()13411y x y y +=-+，所以()1113411y x y y +=-+，即()()3111144y y y x =++-，则122111334y y y y y y +++=-，故31341y y y +=-+，所以323441y y y +=-+，所以()2323440y y y y +++=，直线QN 的方程为()22234y y x x y y -=-+，即()()223244y y y y x x -+=-，则()222222334y y y y y y x y =--+-，故()232340y y y y y x -++=，所以1,4==-x y ，也即直线QN 过定点()1,4-.故选：A.【点睛】方法点睛：求抛物线的标准方程的方法有：根据焦点或准线来求、根据抛物线的定义来求、利用待定系数法来求、通过已知条件列等量关系式，化简后得到抛物线的标准方程.求解直线和抛物线的交点，可通过联立方程组来求解.【答案】A【分析】根据椭圆、双曲线的定义可得112212PF a a PF a a ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，结合离心率可得11211a c e a e c⎧=⎪⎨⎪=⎩，在12PF F △中，利用余弦定理可得112e =，进而结合椭圆性质可知：当Q为椭圆短轴顶点时，12FQF ∠取到最大值，分析求解即可.【详解】由题意可知：12112222PF PF a PF PF a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得112212PF a a PF a a ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，又因为1122121ce a c e a e e ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⋅=⎪⎩，可得11211a ce a e c⎧=⎪⎨⎪=⎩，由直线1PF 与y 轴的交点的坐标为230,2a⎛⎫⎪⎝⎭可得12cos PF F ∠=，在12PF F △中，由余弦定理可得()()()()()2221212112212112122cos 222a a c a a PF F F PF PF F PF F F a a c ++--+-∠==⋅+⋅()22212121111211a a c c c a a c e c e c c e e ++===+⎛⎫++ ⎪⎝⎭，1121e e =+，整理得42118210e e +-=，解得2114e =或2112e =-（舍去），且10e >，所以112e =，由椭圆性质可知：当Q 为椭圆短轴顶点时，12FQF ∠取到最大值，此时12111sin22F QF c e a ∠===，且()120,πFQF ∠∈，则12π0,22F QF ⎛∠⎫∈ ⎪⎝⎭，所以12π26F QF ∠=，即12π3F QF =∠.故选：A..【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于找到12cos PF F ∠的两种表达方式，构造了关于1e 的方程，从而得解.【答案】B【分析】根据已知条件依次求得,P Q 两点的坐标，由此可求得12k k ⋅的值.【详解】设椭圆标准方程为()222210x y a b a b +=>>，双曲线的标准方程为22221x y s t-=，则22222a b s tc -=+=，由c a =，2222445,5a c c a ==，所以2222221,55b ac a a b =-==，所以椭圆方程可化为2225x y a +=，由2222225x y a x y c⎧+=⎨+=⎩，两式相减得222214,2y a c b y b =-==±，2222115,442x c b b x=-==±，则1,2A b ⎫⎪⎪⎝⎭，根据对称性可知,A C 关于原点对称，,A B 关于x 轴对称.则11,,,,,022B b C b P ⎫⎛⎫⎫--⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，直线CP的方程为12b y x b x ⎛⎫⎛⎫=-=-⎪⎪⎪⎪⎭⎭.将1,22A b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入22221x y s t -=得222215144b bs t -=，由222222222151444b b s t s t a b b ⎧-=⎪⎨⎪+=-=⎩，解得223s b =或225s b =，而225a b =，s a <，所以223s b =，所以222243t b b b =-=，所以双曲线方程可化为222213x y bb-=，由2222132x y bb y x b ⎧-=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=-⎪⎪⎪⎭⎩消去y 并化简得22762550x b +-=，设()00,Q x y ，解得001,3838xy b ==-，所以1,3838Q b ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以12121122383AC AQ b bk k k k k +====⋅=.故选：B【点睛】本题中，涉及圆和双曲线、圆和椭圆、直线和双曲线等图象的“交点”，求交点的坐标，主要是通过联立方程组来进行求解，要注意运算的准确性，另外也要注意运算的速度.在双曲线和椭圆中，,,a b c 的关系是不相同的.【答案】D【分析】先求出以2F为圆心的圆的方程，求出()A ，()3,0B c ，求出直线1F A 的方程后结合距离公式可求M 的坐标，代入双曲线方程后可求离心率.【详解】设双曲线的半焦距为c ，因为以2F 为圆心的圆过1F，故该圆的半径为2c ，故其方程为：()2224x c y c -+=，令0x =，则y =，结合A 在y 轴正半轴上，故()A ，令0y =，则x c =-或3x c =，故()3,0B c .故100()FA k c -=--，故直线1:F A y =.设()()0M m m +<，因为A 在y 轴的正半轴上，1F 在x 轴的负半轴上，故0m <，而2BM c ==，故())22212439c m c -+=，整理得到：221649m c =，故23m c =-，故3M y =，所以222241931c ca b -=，故()22241931e e e -=-，解得242e =或42，又因为1e >，则21e >，则242e =，12e +=.故选：D.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中离心率的值或范围的计算，关键在于构建关于基本量的方程或方程组（不等式或不等式组），后者可通过点在圆锥曲线上等合理构建.【答案】D【分析】对于①，利用导数的几何意求出过点()00,P x y 的切线方程，再与渐近线方程联立可求出,A B 的横坐标，然后与0x 比较可得答案，对于②，由“等线”的定义结合重心的定义分析判断，对于③④，由多边形重心的定义可知四边形1AF BF ，其重心H 必在12AF F △与12BF F △重心连线上，也必在1AF B △与2AF B 重心连线上，12PF F △重心设为G ，则l 即为直线GH ，然后由重心的性质可证得GH ∥AB ，从而可得结论.【详解】解：①：设()00,P x y ，当00y >时，设0y >，则由22221x ya b-=，得y =，所以y '=k =所以切线方程为00)y y x x -=-，因为点()00,P x y 在双曲线上，所以2200221x y a b-=0a y b =，22222200b x a y a b -=，所以20000020()()bx b x y y x x x x a a y a y b-=-=-⋅，所以2222220000a y y a y b x x b x -=-，所以222222220000b x x a y y b x a y a b -=-=，所以00221x x y ya b-=，同理可求出当00y <时的切线方程为00221x x y ya b-=，当00y =时，双曲线的切线方程为x a =±，满足00221x x y ya b-=，所以过P 点切线方程为00221x x y ya b-=，渐近线方程为by x a=±联立两直线方程得00A ax x y a b=-，00B ax x y a b=+故有22002222A B x x x x x y a b +==-，故PA PB =②：设多边形顶点坐标为(),i i x y ，其中1,2,3i n= 设“等线”方程为0y kx b --=，则(),i i x y到等线的距离为：i d =又因为等线将顶点分为上下两部分，则有d =∑上部分d=∑∑下部分dd =∑∑上部分下部分从而1ni ==整理得1111n ni i i i y k x bn n ===⋅+∑∑即等线l 必过该多边形重心．③④：考察12PF F △重心，设()00,P x y ，则重心00,33x y G ⎛⎫⎪⎝⎭．对于四边形1AF BF ，其重心H 必在12AF F △与12BF F △重心连线上，也必在1AF B △与2AF B 重心连线上，则l 即为直线GH ．设12AF F △与12BF F △重心分别为,E F ，则12OE OF EA FB ==，所以EF ∥AB ，因为G 为12PF F △的重心，所以OE OGEA GP=，所以EG ∥AB ，所以,,E F G 三点共线，因为H 在EF 上，所以GH ∥AB ，过00,33x y G ⎛⎫⎪⎝⎭，因为直线AB 为00221x x y ya b -=，所以直线AB 的斜率为2020x b k a y =⋅，所以直线GH 的方程为20002033y x x b y x a y ⎛⎫-=⋅- ⎪⎝⎭，整理得0022331x x y ya b-=，所以直线l 方程0022331x x y ya b-=，由①的求解过程可知该方程为2222331x y a b-=切线方程，所以③正确，④错误，故①②③正确．故选：D【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线的性质和导数的几何意义的应用，考查新定义，解题的关键是对“等线”定义的正确理解和重心的找法，考查计算能力，属于难题.【答案】C【分析】直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理可判断（1），（2），分别求出点,A B 处的切线方程，联立切线方程求点P 的坐标，即可判断（3），设200,4y M y ⎛⎫⎪⎝⎭，利用两点间距离，结合二次函数求最值，即可判断（4），【详解】对于（1），设1122(,),(,)A x y B x y ，由243y xx my ⎧=⎨=+⎩，得24120y my --=，由216480m +>，所以12124,12y y m y y +==-，所以12121212(3)(3)OA OB x x y y my my y y ⋅=+=+++21212(1)3()9m y y m y y =++++212(1)3493m m m =-++⋅+=-，所以（1）正确，对于（2），因为(9,6)M -，直线AM 与BM 倾斜角互补，所以12121212666609966AM BM y y y y k k x x my my +++++=+=+=----，所以1212212122(66)()7206()36my y m y y m y y m y y +-+-=-++，所以22244(66)720122436m m m m m -+--=--+，所以22448720m m --=，且221224360m m --+≠，所以2230m m --=，且21m ≠解得3m =，所以（2）正确，对于（3），设点A 在x 轴上方，B 在x 轴下方，设221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x轴上方的抛物线方程为y =x轴下方的抛物线方程为y =-，此时在点A处的切线的斜率为112k y ==，在点B处的切线的斜率为222k y ==，所以在点A 处的切线方程为211124y y y x y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，在点B 处的切线方程为222224y y y x y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，方程化简为211122yy x y =+，222122yy x y =+，两式相除化简得1212344y y x -===-3）正确，对于（4），设200,4y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于(3,0)Q，所以MQ =当204y =时，MQ取得最小值4）错误，故选：C【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线切线方程的求法，解题的关键是直线方程代入抛物线方程化简，利用根与系数的关系，然后逐个分析，考查计算能力，属于较难题.二、填空题【答案】24y x=【分析】设||4(0)NF t t =>，表示出|,|AB RF t ===，利用抛物线定义、点在抛物线上以及圆的弦长的几何性质列出关于,a p 的方程，即可求得p ，即得答案.【详解】由2:2(02)C y px p a =<<可知(,0)2pF ，设||4(0)NF t t =>，则|,|AB RF t ===，则||3NR t =，故222||()(||22p AB a NR -+=，即222())92pa t -+=①；又点((0)N a a >在抛物线2:2(02)C y px p a =<<上，故||42pNF a t =+=②，且122pa =，即6pa =③，②联立得22122030a ap p -+=，得23a p =或6a p =，由于02p a <<，故23a p =，结合6pa =③，解得2p =，故抛物线方程为24y x =，故答案为：24y x=【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于要结合抛物线的定义以及圆的弦长的几何性质，找出参数,a p 间的等量关系，从而列出方程组，即可求解.为该椭圆上一点，且满足【答案】5/0.8【分析】根据椭圆定义并利用余弦定理可得22143F P b P F =，再根据正弦定理可知外接圆半径R =，由等面积法可知内切圆半径)r a c =-，再根据面积比即可计算出离心率45e =.【详解】根据题意画出图象如下图所示：利用椭圆定义可知122PF PF a +=，且122F F c =；又1260F PF ∠=︒，利用余弦定理可知：()2222212121212121212122cos 22PF PF PF PF F F PF PF F F F PF PF PF PF PF +--+-∠==221212424122a PF PF c PFPF --==，化简可得22143F P b P F =；所以12PF F △的面积为122124sin 6031122PF F b S PF PF =︒=⨯ ；设12PFF △的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ；由正弦定理可得12122s 2sin n 603i R c F F c F PF ==∠=︒，可得3R c =；易知12PF F △的周长为121222l PFPF F F a c=++=+，利用等面积法可知()122123PF F lr a c r S ===+ ，解得)r a c ==-；又12PF F △的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，即22π64πRr=，所以8R r =，即可得28R c a r c ==-，所以108c a =；离心率45c e a ==.故答案为：45.【点睛】方法点睛：求解椭圆焦点三角形外接圆与内切圆半径问题，通常利用正弦定理计算外接圆半径，由等面积法公式12S lr =可计算出内切圆半径，即可实现问题求解.【答案】3【分析】由直线斜率公式结合点在曲线上可得MB PB BN k k k =-=-，再由正切的和角的公式得到2213b a =，结合双曲线离心率公式即可得解.【详解】由题意可知：()(),0,,0A a B a -如图，设00(,)P x y ，可得直线的斜率分别为0000,PA PB y y k k x a x a==+-，因为点P 在双曲线上，则2200221x y a b -=，整理得200200y y b x a x a a ⋅=-+，所以22PA PBb k k a⋅=，设点11(,)M x y ，可得直线,MA MB 的斜率1111,MA MB y y k k x a x a==+-，因为点11(,)M x y 在椭圆上，则2211221x y a b +=，整理得211211y y b x a x a a⋅=--+，所以22MA MBb k k a ⋅=-，即22PA MB b k k a⋅=-，可得MB PB BN k k k =-=-，所以直线MB 与NB 关于x 轴对称，又因为椭圆也关于x 轴对称，且,M N 过焦点F ，则MN x ⊥轴，令(c,0)F ，则2b MF NF a==，因为222tan a c a ac AMF b b a ++∠==，222tan a c a acBMF b b a--∠==，则()tan tan tan tan 1tan tan AMF BMFAMB AMF BMF AMF BMF∠+∠∠=∠+∠=-∠⋅∠22222222222231a ac a aca b b a ac a ac b a b b +-+===-+---⋅，解得2213b a =，所以双曲线的离心率3e a ==.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；.【答案】2/0.5【分析】设直线l 的方程,代入椭圆方程,由韦达定理,弦长公式及中点坐标公式,求得中点坐标Q 坐标,求得AB 垂直平分线方程,当0y =时,即可求得P 点坐标,代入即可求得||PF ,即可求得||||PF AB ,即可求得a 和c 的关系,即可求得椭圆的离心率.【详解】因为倾斜角为π4的直线过点F ，设直线l 的方程为:y x c =-,()()1122,,,A x y B x y ,线段AB 的中点()00,Q x y ,联立22221y x c x y ab =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，化为()2222222220a b x a cx a c a b +-+-=，2222212122222 2,a c a c a b x x x x a b a b -∴+==++，2224ab AB a b ∴=+，212022. 2x x a cx a b+==+20022b cy x c a b∴=-=-+AB ∴的垂直平分线为:222222b c a c y x a b a b ⎛⎫+=-- ++⎝⎭,令0y =,解得322P c x a b =+,322,0c P a b ⎛⎫∴ ⎪+⎝⎭.2222||P b cPF c x a b ∴=-=+,||1||24c PF AB a ∴==,则12c a =,∴椭圆C 的离心率为12,故答案为:12.【点睛】关键点睛：运算能力是关键；本题考查简椭圆的简单几何性质,直线与椭圆的位置关系,直线的垂直平分线的求法,属于较难题.【答案】2⎣⎦【分析】作出辅助线，根据题意得到四边形21PF QF 为矩形，故221PF Q PF F S S = ，求出212P P c F F⋅≥，再根据122PF PF a +=，利用勾股定理得到2122PF PF b ⋅=，得到222b c ≥，再根据C 上存在关于坐标原点对称的两点,P Q ，使得12PQ F F =，得到22b c ≤，得到2c a ≥，得到离心率.【详解】连接11,QF PF ，由题意得，12,OP OQ OF OF ==，又12PQ F F =，所以四边形21PF QF 为矩形，故221PF Q PF F S S = ，所以()22121112228PF c F c P =≥⋅，故212P P c F F ⋅≥，又122PF PF a +=，由勾股定理得2221212PF PF F F +=，即()22121224PF PF PF PF c +-⋅=，2122PF PF b ⋅=，故222b c ≥，即22222c a c -≥，故2223a c ≥，2223c a ≤解得c a ≤，又C 上存在关于坐标原点对称的两点,P Q ，使得12PQ F F =，故22b c ≤，所以b c ≤，即222a c c -≤，所以222a c ≤，2212c a ≥，解得2c a ≥，综上，C 的离心率的取值范围是23⎥⎣⎦.故答案为：23⎢⎣⎦(或离心率的取值范围)的常见方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b c a =-转化为,a c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或2a 转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率(离心率的取值范围).【答案】【分析】依题意可得椭圆方程表示为2222143x y c c+=，设直线l 为x my c =-()0m >，()11,A x y ，()22,B x y ，()10y <，根据面积公式及椭圆的定义得到()12334r r r +=，再由1322r r r +=，即可得到2175y y=-，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，即可得到1y 、2y ，代入解得.【详解】因为椭圆的离心率为12c e a ===所以2a c =，224a c =，223b c =，则椭圆方程可以表示为2222143x y c c+=，设直线l 为x my c =-()0m >，()11,A x y ，()22,B x y ，()10y <，由2222143x my c x y c c=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 整理得()22243690m y mcy c +--=，显然0∆>，所以122643mc y y m +=+，2122943c y y m-=+，则20y >，由()()2122121332211||(||||||)222ABF S F F y y c y y AB AF BF r r a =-==⋅=-++ ，由()12211111121211||(||||||)22AF F S F F y y AF AF c r a c F F r ⋅==-=+-=++⋅ ，由()12222212121211||(||||||)22BF F S F F y y BF BF F F r r c a c =⋅=+=⋅++= ，又21212ABF AF F BF F S S S =+ ，所以()()1232a c a c r r r a +++=，所以()12334r r r +=，又1322r r r +=，所以1275r r =，又11cy a r c -=+，22c a ycr =+，所以2175y y =-，所以121543mcy m -=+，222143mc y m =+，所以2222152********mc mc c m m m --⋅=+++，所以218m =，则m =或m =，所以直线l的斜率为1m=.故答案为：【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.三、解答题(1)求双曲线C 的标准方程．(2)如图所示，点P 是曲线C 上任意一动点曲线E 于点Q （第一象限），过点【答案】(1)224x y -=(2)2【分析】（1）由题意设C ：22x y m -=，将()代入解方程即可得出答案.（2）设(),P m n ，(),0A m ，()0,B n ，设AQ QB λ=，表示出Q 点坐标，代入E ：221x y -=方程，即可求得,22m n Q ⎛⎫⎪⎝⎭，进一步求出,K J 的坐标，而KQA BQJ BKJ S S S += ，而12BKJ S KB JB =⋅ ，代入化简结合基本不等式即可得出答案.【详解】（1）由题意设C ：22x y m -=，将()代入得到4m =，∴曲线C ：224x y -=．（2）设(),P m n ，(),0A m ，()0,B n ，(),Q x y ，则224m n -=（*）设AQ QB λ=，则()(),,AQ x m y QB x n y λλ=-==-- ，解得：,,1111m n m n x y Q λλλλλλ⎛⎫== ⎪++++⎝⎭，代入E ：221x y -=方程，得()()2221m n λλ-=+，结合（*）式可知()()21130n λλλ⎡⎤-+++=⎣⎦由于0λ>，则()2130n λλ+++>，所以1λ=．所以Q 是A 、B 的中点，,22m n Q ⎛⎫⎪⎝⎭．因为四边形OAPB 是矩形，(),0A m ，,22m n Q ⎛⎫⎪⎝⎭，所以Q 为四边形OAPB 的中心，所以AQ BQ =，在AQK 与BQK △中，AQ BQ =，分别以,AQ BQ 为底时，高相同，所以KQA KQB S S = ，则KQA BQJ KQB BQJ BKJ S S S S S +=+=△△△△△，因为过双曲线221x y -=上一点,22m n Q ⎛⎫⎪⎝⎭的切线方程为122m n x y -=，所以直线KJ 的方程为：122m nx y -=即2mx ny -=，因为K B y y n ==，所以22,n K n m ⎛⎫+⎪⎝⎭，令0x =，所以20,J n ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()222211221222BKJn n S KB JB n m n mn++=⋅=⋅+===，，令222t n =+>，BKJS =△，令240s t =->，2BKJS ==△．当且仅当16s s=，即4s =，28t =，22n =时，取得最小值．【点睛】关键点睛：建立BJK 的面积S 与n 的表达式至关重要，可利用KQA KQB S S = ，,K J 的坐标和三角形面积公式，以224m n -=为桥梁得出S 与n 的表达式，最后根据基本不等式可求得面积的取值范围.在双曲线【答案】(1)188x y -=(2)证明见解析【分析】（1）由已知条件，列方程组求22,a b ，可得双曲线标准方程；（2）设直线l 的方程与双曲线联立方程组，设,A B 两点坐标，表示出直线AP ，得点Q 坐标，表示出12,k k ，结合韦达定理，证明12k k -为定值.【详解】（1）由题意，双曲线2222:1x y C a b-=()3,1M -在双曲线C 上，可得22222911a b c e a c a b ⎧-=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得28a =，28b =，所以双曲线的方程为22188x y -=.（2）双曲线C 的左焦点为()4,0F -，当直线l 的斜率为0时，此时直线为0y =，与双曲线C 左支只有一个交点，舍去；当直线l 的斜率不为0时，设:4l x my =-，联立方程组2248x my x y =-⎧⎨-=⎩，消x 得()221880m y my --+=，易得0∆>，由于过点F 作直线l 交C 的左支于,A B 两点，设()11,A x y ，()22,B x y ，所以12281m y y m +=-，12281y y m =-，由直线()1:24AP y k x -=+，得()12,22Q k -+，所以2121222222222y k y k k x my ----==+-，又11111224PA y y k k x my --===+，所以()()()()12121121121212222222222y my my y k y y k k k my my my my ---------=-=--()2111112224222my y my mk y my my --+++=-，因为1112y k my -=，所以1112k my y =-，且1212y y my y +=，所以()()()1212121212122222m y y y y k k my my y y y ---===--+-，即12k k -为定值.【点睛】方法点睛：解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．【答案】(1)214y +=(2)是定值，理由见解析【分析】（1）根据题意可得2PF d=，即可求解；（2）利用韦达定理结合14OM ON k k ⋅=-，可得22241m k =+，再利用弦长公式和点到直线的距离公式表示出三角形的面积，进而可求解.【详解】（1）设P 点坐标为(),,PFx y d =化解可得：2214x y +=.（2）设()()1122,,,M x y N x y ，联立直线和椭圆方程可得：2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得：()222148440k x kmx m +++-=，所以222222644(14)(44)16440k m k m k m ∆=-+-=-+>，即2241k m +>，则2121222844,1414km m x x x x k k --+=⋅=++，14OM ON k k ⋅=- ，()()121212121144kx m kx m y y x x x x +⋅+∴=-⇒=-()2212121214k x x km x x m x x +++⇒=-，把韦达定理代入可得：22222228(14)144444k m k m k m m -+++=---，整理得()22241*m k =+，满足224k m +>，又MN =，而O 点到直线MN 的距离d =，所以12OMNS d MN =△把()*代入，则1OMN S =△，可得OMN S △是定值1.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.16．如图，()(),00M a a >是抛物线24y x =对称轴上一点，过点M 作抛物线的弦AB ，交抛物线于A ，B .(1)若2a =，求弦AB 中点的轨迹方程；(2)过点M 作抛物线的另一条弦CD ，若AD 与y 轴交于点E ，连接ME ，BC ，求证：ME BC ∥.【答案】(1)224y x =-(2)见解析【分析】（1）由2a =,设其方程为(2)y k x =-,联立方程后,结合韦达定理及中点公式,可得弦AB 中点的轨迹方程;（2）用两点式求得AB 的方程为:()211222y t t t t x -+=，CD 的方程为:()433422y t t t t x -+=,由AB ,CD 都经过点M ,故1234t t t t a ==,进而求得ME BC k k =,根据直线平行的充要条件得到ME BC ∥.【详解】（1）设AB 方程为2x ky =+,联立22, 4x ky y x=+⎧⎨=⎩得2480y ky --=，则212124,44y y k x x k +=+=+,设AB 中点(x,y)P ,则22,22y k x k ==+,因此弦AB 中点P 的轨迹方程为224y x =-.（2）证明:设()()221122,2,,2A t t B t t ，()()223344,2,,2C t t D t t --，其中1234,,,t t t t 均为正数，用两点式求得AB 的方程为:()211222y t t t t x -+=,CD 的方程为:()433422y t t t t x -+=,因为AB ,CD 都经过点M ,故1234t t t t a ==,AD 的方程为:()411422y t t t t x -+=,AD 与y 轴交点为141420,t t E t t ⎛⎫⎪-⎝⎭，()14412ME t t k a t t =-，而()2314222323411422222BC t t t t k a a t t t t a t t t t +====----，,.ME BC k k ME BC ∴=∴ 【点睛】本题考查的知识点是直线与圆雉曲线的综合应用,抛物线的简单性质,联立方程,设而不求,韦达定理,是解答此类问题的关键.【答案】(1)142x y +=(3)存在，()0,2Q .【分析】（1）由离心率及过点)M列方程组求解,a b .（2）设直线l 为1y kx =+与椭圆方程联立，将1212AOB S x x =⋅- 表达为k 的函数，由基本不等式求最大值即可.（3）先讨论直线水平与竖直情况，求出()0,2Q ，设点B 关于y 轴的对称点B '，证得,,Q A B '三点共线得到QA PAQB PB=成立.【详解】（1）根据题意，得222222211c a a b c a b⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得222422a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，椭圆C 的方程为22142x y +=.（2）依题意，设()()1122,,,A x y B x y ，直线l 的斜率显然存在，故设直线l 为1y kx =+，联立221142y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()2212420k x kx ++-=，因为直线l 恒过椭圆内定点()0,1P ，故0∆>恒成立，12122242,1212k x x x x k k +=-=-++，故12111222AOBS x x =⋅===-，令1t t≥，所以22211AOB t S t t t=�祝++1t =，即0k =时取得等号，综上可知：AOB （3）当l 平行于x 轴时，设直线与椭圆相交于,C D 两点，如果存在点Q 满足条件，则有||||1||||QC PC QD PD ==，即QC QD =，所以Q 点在y 轴上，可设Q 的坐标为()00,y ；当l 垂直于x ,M N 两点，如果存在点Q 满足条件，则有||||||||QM PM QN PN ==，解得01y =或02y =，所以若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则点Q 的坐标为()0,2；当l 不平行于x 轴且不垂直于x 轴时，设直线l 方程为1y kx =+，由（2）知12122242,1212k x x x x k k --+==++，又因为点B 关于y 轴的对称点B '的坐标为()22,x y -，又11111211QA y kx k k x x x --===-，22222211QB y kx k k x x x '--===-+--，则121220QA QB x x k k k x x '+-=-=，所以QA QB k k '=，则,,Q A B '三点共线，所以12QA QA x PAQBQB x PB==='；综上：存在与点P 不同的定点Q ，使QA PAQB PB=恒成立，且()0,2Q ..【点睛】方法点睛：直线0Ax By C ++=与椭圆22221x y a b+=交于,M N ，当且仅当2222220a A b B C +-=时，MON S 取得最大值2ab .【答案】(1)证明见解析(2)存在，3124m =【分析】（1）将点(2,-代入抛物线方程求出p ，直线与抛物线联立方程组，由0OA OB ⋅=，利用向量数量积和韦达定理，求出12m k =-，可得直线所过定点.（2）设两条直线1l 与2l 的方程，分别与抛物线方程联立，求出弦长，由d =和||||10MN AB -=，求m 的值.【详解】（1）证明：将点(2,-代入22y px =，得244p =，即6p =．联立212,,y x y kx m ⎧=⎨=+⎩得212120ky y m -+=，由0km ≠，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1212m y y k =，()222212121221212144y y y y m x x k=⋅==．因为0OA OB ⋅= ，所以212122120m mx x y y k k+=+=恒成立，则12m k =-，所以1l 的方程为(12)y k x =-，故直线1l 过定点(12,0)．（2）联立212,2,y x y x m ⎧=⎨=+⎩得224(412)0x m x m +-+=，则122123,,4x x m m x x +=-+⎧⎪⎨=⎪⎩且22(412)1648(32)0m m m ∆=--=->，即32m <，12||AB x =-==，设2:2l y x n =+，同理可得||MN =因为直线2l 在1l 的右侧，所以n m<，则d ==，即5n m =-．所以||||10MN AB -===3124m =，因为313242<，所以满足条件的m 存在，3124m =.【点睛】方法点睛：解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件；强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．【答案】(1)22184x y +=(2)证明见解析，定点坐标为()0,1【分析】（1）根据左焦点可知c 的值，根据点)在椭圆上，可以得到另一组关系式，从而求出a ，b .（2）先设直线ST 的斜截式方程，再联立直线和椭圆方程，结合韦达定理将P 点纵坐标为4的信息转化为直线方程系数的值或关系，从而找出直线所过定点.【详解】（1）因为椭圆E 的左焦点()12,0F -，可得2c =，由定义知点)到椭圆的两焦点的距离之和为2a ，2a =((=++=，故a =则2224b a c =-=，所以椭圆E 的标准方程为22184x y +=.（2）由椭圆的方程22184x y +=，可得()()0,2,0,2M N -，且直线ST 斜率存在，设()()1122,,,S x y T x y ，设直线ST 的方程为：y kx m =+，与椭圆方程22184x y +=联立得：()222214280kx kmx m +++-=，则2121222428,2121km m x x x x k k --+==++直线SM 的方程为1122y y x x -=+ ，直线TN 的方程为2222y y x x +=- ，由直线SM 和直线TN 交点的纵坐标为4得，12122622x x y y =-+即1212322x x y y =-+又因点()11,S x y 在椭圆22184x y +=上，故2211184x y +=，得()1111222y x y x -+=-，同理，点()22,T x y 在椭圆22184x y +=上，得()12212232y x y x -+=+，即()()121232220x x y y +++=即()()121232220x x kx m kx m +++++=即()()()()2212122322220k x x k m x x m ++++++=即()()()()()()22222232824428821021k m km m km m m k k +-++-++++=+化简可得288160m m +-=，即220m m +-=，解得2m =-或1m =，当2m =-时，直线ST 的方程为2y kx =-，直线ST 过点N ，与题意不符.故1m =，直线ST 的方程为1y kx =+，直线ST 恒过点()0,1【点睛】本题主要考查直线与椭圆关系中的直线恒过定点问题，遵循“求谁设谁”的思路，将目标直线设为y kx m =+的形式，将条件转化为m 的值或k 与m 的关系式，从而得出定点，侧重数学运算能力，属于偏难题.【答案】(1)抛物线的方程为24y x =，准线方程为=1x -(2)证明见解析，定点坐标为()2,0或()6,0-【分析】（1）根据已知得出直线l的方程，与抛物线联立，根据过焦点的弦长公式，列出关系式，即可得出p ；（2）设:1l x my =+，联立方程根据韦达定理得出12,y y 的关系.进而表示出,OA OB 的方程，求出M ，N 的坐标，得出圆的方程.取0m =，即可得出定点坐标.【详解】（1）由已知可得，抛物线的焦点坐标为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 的方程为2p y x ⎫=-⎪⎝⎭.联立抛物线与直线的方程2322p y x y px ⎧⎫=-⎪⎪⎨⎝⎭⎪=⎩可得，22704p x mx -+=.设()11,A x y ，()22,B x y ，由韦达定理可得127x x p +=，则12816AB x x p p =++==，所以2p =.所以，抛物线的方程为24y x =，准线方程为=1x -.（2）设直线:1l x my =+，联立直线与抛物线的方程214x my y x=+⎧⎨=⎩可得，2440y my --=.所以，124y y m +=，124y y =-.又1114OA y k x y ==，14:OA l y x y =，所以182,M y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.同理可得282,N y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.设圆上任意一点为(),Q x y ，则由0QM QN ⋅= 可得，圆的方程为()2128820x y y y y ⎛⎫⎛⎫++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理可得，()()222221128864228160x y y x y my y y y y ⎛⎫+++++=++--= ⎪⎝⎭.令0m =，可得2x =或6x =-，所以，以MN 为直径的圆过定点，定点坐标为()2,0或()6,0-.【点睛】思路点睛：直线或圆过定点问题，先根据已知表示出直线或圆的方程，令变参数为0，得出方程，求解即可得出求出定点的坐标.。
高二数学圆锥曲线测试题及参考答案
高二数学圆锥曲线测试题一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．椭圆22146x y +=的长轴长为（ ）A ．2BC ．4D ．622. 设椭圆1422=+m y x 的离心率为21，则m 的值是（ ） A ．３ B ．316或３ C ．316 D ．316或２ 3．抛物线24y x =的焦点坐标是（ ） A ．(1,0) B ．(0,1) C ．1(,0)16 D ．1(0,)164．双曲线221916x y -=右支上一点P 到右焦点的距离是4，则点P 到左焦点的距离为（ ） A.10 B.16 C.9 D.155. 顶点在原点，焦点在对称轴上的抛物线过圆096222=++-+y x y x 的圆心，则其方程为（ ） A ．23x y =或23x y -= B ．23x y = C ．x y 92-=或23x y = D ．23x y -=或x y 92=6.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为2 ）A ．2y x =±B ．x y 2±=C ．x y 22±= D ．12y x =± 7.曲线21x xy +=的图像关于（ ）A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ． 坐标原点对称D ． 直线x y =对称8．若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线x y 22=的焦点，点M 在抛物线上移动时，使MA MF +取得最小值的M 的坐标为（ ）A ．()0,0B ．⎪⎭⎫⎝⎛1,21 C ．()2,1 D ．()2,2 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．9．双曲线22x y k -=的一个焦点为，则k 的值为_________.10．如果方程224kx y +=表示焦点在x 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是 ．11．与椭圆2216x y +=共焦点且过点Q 的双曲线方程是 ．12．双曲线221169x y -=的左、右焦点分别为F 1，F 2，在左支上过点F 1的弦AB 的长为5，那么△ABF 2的周长是 ．13．椭圆192522=+y x 的焦点1F 、2F ，P 为椭圆上的一点，已知21PF PF ⊥，则△21PF F 的面积为________.14.若直线l 与抛物线216y x =交于点A ，B ，且弦AB 的中点为（2，2），则直线l 的方程为__________. 三．解答题：本大题共6小题，满分80分．15．（本小题满分12分）已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线21y x =+截得的弦长为15，求抛物线的方程。
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则 AD CB 的最小值是（ ）
A.2
B.4
C.6
D.8
19.设抛物线 y2 = 4x 的焦点为 F ，准线为 l ，过 F 点的直线 l' 交抛物线于 A, B 两点，分别
过 A, B 作 l 的垂线，垂足为 C, D .若|AF|=2|FB| ,则三角形 CDF 的面积为
.
20.已知双曲线 E 的中点为原点，F (1, 0) 是 E 的焦点，过 F (1, 0) 的直线 l 与 E 相交于 A, B 两点，且 AB 的
2
16 4
2
p(2 2, 2) 在椭圆上，若 APB 的平分线交线段 AB 于点 N，则 | PN | 的值为( ) | MN |
(A) 2
32
(B)
5
25
(C)
5
(D) 5
6.设 A,B 分别是双曲线 x2 − y2 = 1的左右顶点，设过 P(1 , t) 的直线 PA,PB 与双曲线分别交于点 M,N，
的离
心率为 3 ， PF1F2 的内切圆圆心为 I ，半径为 2，若 SPF1I = SPF2I + 2 3 ，则 b 的值是（ ）
A． 2
B． 2
C． 6
D． 6
第2页,共19页
15．已知椭圆
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
b 0) 的左、右焦点分别为 F1 ， F2 ， P 是椭圆上一点，△ PF1F2 是以 F2P 为底
最大值为 6 3 ，则球 O 表面积为
.
12
10．直线 l：y k x 1 与抛物线 C：y2 4x 交于两点 P, Q（ P 在 Q 的上方），F 为抛物线的焦点，O
为原点，且 S OFP 3 ，以 PQ 为直径的圆与直线 x a a 0 相切，切点为 M ,则 MF
.
S OFQ
11．双曲线 C :
的最小值为（ A、16
） B、20
C、24
D、32
第5页,共19页
教师答案与解析参考版 一、选择+填空（选择题中每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1.椭圆的焦点 F1(−2 2, 0), F2 (2 2, 0) ，长轴为 2a ，在椭圆上存在点 P ，是 F1PF2 = 90 ,对于直线 y = a ，在 圆 x2 + ( y −1)2 = 2 上始终存在两点 M , N 使得直线上有点 Q ，满 MQN = 90 ,则椭圆的离心率范围是（ ）
B2 ,且使 A1B1 = A2B2 ,则称 l1 和 l2 为“WW 直线对”.现有所成的角为 600 的“WW 直线对”只有两对,且在右
支上存在一点 P ,使 PF1 = 2 PF2 ,则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A. (1, 2) B. [3,9)
C. ( 3 ,3] 2
D. (2,3]
线在第一象限内交于点 P，若| PF |= 3 ，则直线 l 的方程为 2
8．当正实数 m 变化时，斜率不为 0 的定直线 l 始终与圆 x 2m 2
.
y m 2 m2 相切，则直线 l 的方
程是
.
9．球 O 上有三点 A, B,C, AB 3, BC 1, AC 1, ，若 D 为球 O 上一动点，三棱锥 D ABC 的体积
3
2
直线 MN 交 x 轴于点 Q，过 Q 的直线交双曲线于 S,T 两点，且 SQ = 2QT ,则 BST 的面积( )
9
(A)
35
16
(B) 3 17 4
(C) 3 15 8
3
(D)
2
第1页,共19页
7.设抛物线 y2 = 4x 的焦点为 F，过 F 的直线 l 交抛物线与 A,B 两点，过 AB 的中点 M 作 y 轴的垂线与抛物
A.
2
2 3
，1
B.
2 2
，1
C.
2 2
,
2
2 3
D.
0，2
3
2
2.已知直线 l 与抛物线 y2 = 4x 交于 A, B 两点，与准线交于 C 点 ， F 为抛物线的焦点，若 BC = 3FB ，则
AF − BF =
3.已知一个直棱柱的底面是有一个内角为 120 三角形，面积最大的一个侧面是边长为 6 的正方形，则
−
y2 b2
= 1(a
0, b
0)的右顶点为
A
，以
A
为圆心的圆与双曲线 C
的某一条渐近线交
第4页,共19页
于两点 P,Q ,若 PAQ = 60o ，且 OQ = 3OP （其中 O 为坐标原点），则双曲线 C 的离心率为（ ）
A. 7 2
B. 3 7 7
C. 7
D. 2 7
30.已知 ABC 的内角 A，B，C 满足 sin(B + C − A)+ sin(A + C − B)+ sin(A + B − C) = 1 ，且 ABC 的面积
BC、AC 的中点分别为 D、E、F，直线 AB、BC、AC 的斜率分别为 k1, k2 , k3 ，且均不为 0，若直线 OD、
OE、OF 斜率之和为 1，则 1 + 1 + 1 =（
k1 k2 k3
A.
4 −
3
B. 4
3
）
C.
3 −
4
D. 3
4
34．在四棱锥 P—ABCD 中，已知侧面 PAD 为等边三角形，底面 ABCD 为矩形，AD= 2 3 ，AB=2，若二
）
5 −1
A．
2
B． 2 −1
C．3 − 5
D． 2 + 1
x2 23．已知双曲线 a2
−
y2 b2
=（1 a
0，b
0）的左、右焦点为
F1，F2
，渐近线方程为
y
=
8 3
x
，作直线
F1T
与圆 x2
+
y2
= a2 相切于点 T，交双曲线的右支于点 P，若 OM
=
1 2
(OF1
+
OP)
，则
OM
−
MT
=（
）
面角 P—AD—B 所成平面角为 120 ，那么四棱锥 P—ABCD 的外接球的体积为
.
35．已知抛物线
C：y2
=
2
px
的焦点
F
与双曲线
4 3
x2
−
4 y2
=
1
的右焦点相同，过点
F
分别做两条直线
l1 ,
l2
，
直线 l1 与抛物线 C 交于 A,B 两点，直线 l2 抛物线 C 交于 D，E 两点，若 l1 与 l2 斜率的平方和为 1，则 AB + DE
A.
2
2 3
，1
B.
2 2
，1
C.
2 2
,
2
2 3
D.
0，2
3
2
【答案】：A
2.已知直线 l 与抛物线 y2 = 4x 交于 A, B 两点，与准线交于 C 点 ， F 为抛物线的焦点，若
BC = 3FB ，则 AF − BF =
这个棱柱的外接球表面积是
4.已知双曲线
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a
0,b
0) ，若在双曲线 C
的渐近线上存在点
P 使|
PF1
|−|
PF2
|=
1| 3
F1F2
|，
则双曲线 C 离心率的取值范围是( )
(A) (1, 3)
(B) (1,3)
(C) ( 3, +)
(D) (3, +)
5.已知斜率为 1 的直线 l 与椭圆 C : x2 + y2 = 1 交于 A,B 两点，线段 AB 中点 M 纵坐标为 − 2 ，点
中点为 N（-4,-5），则双曲线 E 的渐近线方程为（ ）
A. 5x 2 y = 1 B. 2x 5y = 1
C. 4x 5y = 1 D.5x 4 y = 1
21．已知直线 l：mx + y + 3m − 3 = （0 m 0）与圆 x2 + y2 = 12 交于 A，B 两点，过 A，B 分别作 x 轴
高二圆锥曲线常考题押题汇编
注意事项： 1．本卷试题主要汇集直线、圆、椭圆、双曲线以及抛物线的综合题。 2．本卷试题汇集了重庆各名校常考题，易错题和押题的综合，颇具有代表性。 3．答案和解析仅供参考，可供高二培优和提升，高三复习专用。 4．资料用于教学和交流使用，不得用于商业和非法谋取暴利。 一、选择+填空（选择题中每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
32．我国古代有一种容器叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台（两个底面都是正方形的四
棱台），如果一个方斗的容积为 28 升（一升为一立方分米），上底边长为 4 分米，下底边长为 2 分米，
则该方斗的外接球的表面积为
平方分米。
33．已知离心率为 1 2
y2 的椭圆 a2
+ x2 b2
= 1(a b 0) 内有一个内接三角形 ABC，O 为坐标原点，边 AB、
的垂线，垂足为 C，D，若|CD|=6，则 m 为（ ）
A． − 3
B． − 3 3
3
C．
3
D． 3
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22．已知
F1，F2
为椭圆
C：
x a
2 2
+
y2 b2
=（1 a b 0）的左、右焦点，点 F2 为抛物线 E： y2